Revista de Matema´tica: Teor´ıa y Aplicaciones 2(2): 87–95 (1995)
algunos aspectos de morfismos K-finitos
en topos elementales
Osvaldo Acun˜a1
Resumen
En este art´ıculo se estudian condiciones para que un morfismo f :X−→Y en un
topos E sea K–finito. Se construyen algunos contraejemplos.
Abstract
In this paper we study conditions under which morphims f :X −→Y are K–finite
in a topos E. We construct some counterexamples.
1 Introduccio´n
En el presente art´ıculo probamos que un morfismo f :Y −→X de un topos elemental E es
K–finito si Y es un objeto K–finito y X es decidible. Se dan contraejemplos mostrando
que las hipo´tesis, tanto de K–finito para Y como decidible para X, son necesarias. En el
proceso de encontrar uno de los contraejemplos se prueba un interesante teorema que dice:
si Y ⊆ X
pi1−→−→
pi2
Z es un coproducto fibrado de la inclusio´n de un subobjeto Y en X, entonces
pi = [pi1, pi2]:X +X −→Z es K–finito si y so´lo si Y tiene complemento en X. Tambie´n se
caracterizan los monomorfismos K–finitos en E.
El lector no familiarizado con la teor´ıa de los topos, puede pensar que un topos E
es una categor´ıa generalizada de conjuntos donde, subconjuntos de conjuntos dados no
poseen necesariamente complementos. Un excelente libro sobre el tema es, por ejemplo,
el libro de P. T. Johnstone [3].
Como en conjuntos, todo topos E posee un lenguaje en el que podemos hacer afirma-
ciones sobre morfismos y objetos de E; ma´s au´n, podemos probar teoremas y dar defini-
ciones sobre ellos en E. Esta lo´gica asociada a un topos es de cara´cter intuicion´ıstico; en
particular el axioma del tercero excluido no es necesariamente va´lido.
Cuando usemos el lenguaje del topos E, pondremos el s´ımbolo “|=” al frente de nuestras
deducciones y definiciones.
1Escuela de Matema´tica, Universidad de Costa Rica
87
88 o. acun˜a
2 Desarrollo
Definicio´n 1 Una categor´ıa E es llamada un topos elemental si:
(i) E tiene todos los l´ımites finitos. (Esto es equivalente a decir que E tenga productos
fibrados y objeto terminal 1).
(ii) E es cartesianamente cerrada, es decir para cada objeto X de E tenemos un functor
exponencial (−)X :E−→E, el cual es adjunto derecho del functor (−)×X:E−→E .
(iii) E tiene un clasificador de subobjetos, es decir un objeto Ω y un morfismo t: 1−→Ω
(llamado verdad) tal que para cada monomorfismo σ:Y −→X en E, existe un u´nico
morfismo χσ:X −→Ω (la funcio´n clasificadora o caracter´ıstica de σ) tal que:
-
??
-Y 1
X
χσ
Ω
tσ *
es un producto fibrado, 1 es el objeto terminal de E.
Observacio´n Si E es un topos y X un objeto de E, sea E/X la categor´ıa cuyos objetos
son los morfismos h:Y −→X y cuyos morfismos son los tria´ngulos conmutativos de la
forma:
Y Y ′
X
-
U 
g
h h′
Entonces E/X es un topos tambie´n.
Nota
(a) Si σ:Y −→X es un monomorfismo en E y χσ:X −→Ω es la funcio´n caracter´ıstica de
σ. Entonces como 1×X ' X, podemos suponer que χσ: 1×X −→Ω. Por lo tanto,
por la propiedad (ii) de la definicio´n de un topos, χσ: 1×X −→Ω corresponde a un
u´nico morfismo 1−→ΩX , el cual denotamos por dσe o simplemente dY e cuando no
hay ambigu¨edad.
(b) Denotemos por φ el objeto inicial de E, es claro que para todo X objeto de E existe
un u´nico morfismo φ−→X, el cual es monomorfismo.
(c) Sea X4:X ×X −→Ω la funcio´n caracter´ıstica de la diagonal 4:X −→X ×X. χ4
corresponde a un u´nico morfismo X −→ΩX , que denotamos por {·}X :X −→ΩX .
algunos aspectos de morfismos K-finitos en topos elementales 89
Definicio´n 2 Sea E un topos.
(a) Si X es un objeto de E, denotemos por K(X) el subobjeto ma´s pequen˜o de ΩX que
satisface las siguientes propiedades:
(i) {·}X :X −→ΩX se factoriza a trave´s de K(X) o equivalentemente |= x ∈
X =⇒ {·}X (x) = {x}X ∈ K(X).
(ii) dφe: 1−→ΩX se factoriza a trave´s de K(X) o simplemente |= dφe ∈ K(X).
(iii) |= a, b ∈ K(X) =⇒ a ∪ b ∈ K(X), es decir K(X) es cerrado bajo uniones
binarias.
(b) X objeto de E se dice ser K–finito si dXe: 1−→ΩX se factoriza a trave´s de K(X) o
equivalentemente |= dXe ∈ K(X).
(c) Un morfismo f :Y −→X se dice ser K–finito si f es un objeto K–finito de E/X.
(d) Un objeto X de E es decidible si la diagonal 4:X −→X ×X tiene complemento en
X ×X o equivalentemente
|= x, y ∈ X =⇒ x = y ∨ x 6= y.
Nota Como en la parte (a) de la definicio´n anterior podemos definir K+(X) como al
subobjeto ma´s pequen˜o de ΩX que satisface u´nicamente (i) y (iii) de la parte (a) de la
definicio´n 2.
Es conocido (proposicio´n 6.3 de [2]) que
1>−→
dφe
K(X)←−<K+(X)
es un diagrama de coproducto, K+(X) es claramente un subobjeto de K(X).
Proposicio´n 1 Sean f :Y −→X un morfismo de un topos E, Y objeto K–finito y X
objeto decidible de E. Entonces f es un morfismo K–finito de E.
Prueba Considere el diagrama conmutativo.
-
-ΩX
f−1
ΩY
2X 2YX
>
- K(Y )-
I
{·}X 6 6
El tria´ngulo a la izquierda conmuta porque es X decidible (proposicio´n 3.3. de [1]),
el tria´ngulo a la derecha conmuta, ya que Y es K–finito (proposicio´n 3.1 de [1]) y el
recta´ngulo central conmuta por propiedades ba´sicas de f−1. Por lo tanto f−1 ◦ {·} se
factoriza a trave´s de K(Y ) y por el Teorema 3.28 de [1], f es K–finito. 2
90 o. acun˜a
Proposicio´n 2 Sea i:X ′>−→X es un monomorfismo en un topos E. Entonces i es un
morfismo K–finito si y so´lo si i:X ′>−→X como subobjeto de X tiene complemento.
Prueba
(⇐= ) Si i:X ′>−→X tiene complemento j:Y ′>−→X entonces en el topos E/X, 1X
(objeto terminal de E/X) es la suma directa de i con j, como 1X esK–finito, la proposicio´n
3.3 de [1] garantiza que i esK–finito en E/X, es decir i:X ′−→X es un morfismoK–finito.
( =⇒ ) Sea i:X ′−→X monomorfismo K–finito. Considere el siguiente diagrama conmu-
tativo.
X ′ K+(X ′)
X ΩX K(X ′)
Y ′ 1-
- -
-
6
? ?
6
{·}X′
i
j d∅e
{·}X i−1
j esta´ definido en el producto fibrado del recta´ngulo inferior. Como i es K–finito i−1◦{·}X
se factoriza a trave´s de K(X ′). El recta´ngulo superior es claramente conmutativo, ma´s
au´n es un producto fibrado, ya que si el diagrama siguiente
Z K
+(X ′)
X ΩX K(X ′)- -
-
? ?
h2
h1
{·}X i−1
conmuta, entonces
|= ∀z∈Z h2(z) = i−11 ({h1(z)}) = {y ∈ X ′/i(y) = h1(z)}.
Como |= ∀z∈Z h2(z) 6=d φe e i es un monomorfismo, tenemos que existe un u´nico morfismo
t:Z −→X ′ tal que:
|= ∀z∈Z (h2(z) = {t(z)}X′ ∧ i(t(z)) = h1(z)).
Por lo tanto h2 = {·}X′ ◦ t y i ◦ t = h1.
Por otro lado como K+(X)>−→K(X)
dφe←−1 es un diagrama de coproducto, por uni-
versalidad de los productos fibrados debemos tener que el diagrama Y ′
j
>−→X i←−X ′ es
tambie´n un coproducto y entonces i:X ′−→X tiene complemento. 2
Nota Si Z es un espacio topolo´gico To no discreto y E es el topos de los haces sobre Z,
sabemos por el corolario 1.4 de [4] que existe un monomorfismo i:X ′−→1 que no tiene
complemento y por el resultado anterior i no es un morfismo K–finito. Es conocido que
1 es decidible en todo topos, luego X ′ no puede ser K–finito por la proposicio´n 1. Por lo
tanto la hipo´tesis deK–finito para el dominio de f no puede ser removida de la proposicio´n
1.
algunos aspectos de morfismos K-finitos en topos elementales 91
Proposicio´n 3 Sean h:X −→ Y y k:Y −→Z dos morfismos K–finitos en un topos E.
Entonces k ◦ h:X −→Z es un morfismo K–finito.
Prueba Considere el siguiente diagrama
Z ΩZ ΩY ΩΩ
Y ΩΩ
X
ΩX
- - - -{·}Z k−1 ∃{·}Y ∃h−1

1:
(k ◦ h)−1(e)
h−1
U
(f)
K(Y ) KK(X)
ΩK(X)
6
K(X)
(a)
j (b)
∃i (c)
(d)
6
6
6
ffi
s -
z
Como k, h son morfismos K–finitos existen morfismos i, j u´nicos tales que los siguientes
diagramas conmutan
K(Y )
ΩYΩZZ
j
- -
6
{·}Z k−1
j
K(X)
ΩXΩYY
j
- -
6
{·}Y h−1
i
En particular los diagramas (a) y (c) conmutan. El diagrama (b) conmuta ya que ima´genes
de un objeto K–finito son K–finitas. (d) conmuta ya que la unio´n de familias K–finitas
de objetos K–finitos es K–finita. (e) conmuta por functorialidad de la imagen inversa.
Para probar la conmutatividad del diagrama (f), considere las siguientes implicaciones
para Y ′ ⊆ Y , variable de tipo ΩY :
|= U ◦ ∃h−1 ◦ ∃({·}Y )(Y ′) = U ◦ ∃(h−1 ◦ {·}Y )(Y ′)
= U({h−1({a})/a ∈ Y ′})
= {x ∈ X/∃a∈Y x ∈ h−1({a}Y ) ∧ a ∈ Y ′}
= {x ∈ X/∃a∈Y h(x) = a ∧ a ∈ Y ′}
= {x ∈ X/h(x) ∈ Y ′}
= h−1(Y ′).
Por lo tanto U ◦∃h−1◦∃{·}Y = h−1, es decir el diagrama (f) conmuta. Concluimos entonces
que (k ◦h)−1 ◦ {·}Z se factoriza a trave´s de K(X), entonces k ◦ h:X −→Z es un morfismo
K–finito. 2
Definicio´n 3 SeaX un objeto en un topos E e i:X ′>−→X un monomorfismo. Considere
el siguiente coproducto fibrado
92 o. acun˜a
X ′ X
X
pi1
Q
pi2i
-
-
?
i
?
Sea pi = [pi1, pi2]:X +X −→Q.
Proposicio´n 4 Para todo objeto X de un topos E e i:X ′>−→X monomorfismo, se tiene
que pi:X +X >−→Q es un morfismo K–finito si y so´lo si i:X ′−→X tiene complemento.
Prueba Suponga que pi:X + X −→Q es K–finito, como la inclusio´n i1:X −→X + X
es K–finito, por proposicio´n 3, pi1 = pi ◦ i1:X −→Q es K–finito. Como los morfismos
K–finitos son estables bajo productos fibrados, entonces dado que:
-
??
-X ′ X
X pi2
Q
pi1i
i
es un producto fibrado tambie´n, siendo pi1 K–finito, lo debe ser tambie´n i:X ′−→X y por
la proposicio´n 2, i:X ′−→X tiene complemento en X.
Rec´ıprocamente, suponga que i:X ′>−→X tiene complemento ¬X ′ en X.
Si X i1−→ X+X i2←− X es un diagrama coproducto, defina q′1, q′2:X −→ΩX+X tal que:
|= (q′1|¬X ′)(s) = {i1(s)}, |= (q′1|X ′)(s) = {i1(s)} ∪ {i2(s)} y
|= (q′2|¬X ′)(s) = {i2(s)}, |= q′2|X ′(s) = {i1(s)} ∪ {i2(s)}.
Existe un u´nico q′:X +X −→Ω X+X tal que el siguiente diagrama conmuta:
X +X ΩX+X
X
X
?
6
-
*
j
i1
i2
q′1
q′
q′2
Sea Q′ la imagen de q′, entonces las ima´genes de q′1 y q′2 esta´n contenidas en Q′ y
podemos suponer que el codominio de q′1, q′2, q′ es Q′. Por definicio´n de q′, Q′ es la unio´n
de las ima´genes Q′1 y Q′2 de q′1 y q′2 respectivamente y as´ı tenemos que:
|= t ∈ Q′ =⇒ t ∈ Q′1 ∨ t ∈ Q′2
=⇒ (∃s∈X t = q′1(s)) ∨ (∃s∈X t = q′2(s))
=⇒ (∃s∈X t = {i1(s)} ∨ t = {i1(s), i2(s)})
∨(∃s∈X t = {i2(s)} ∨ t = {i1(s), i2(s)}).
algunos aspectos de morfismos K-finitos en topos elementales 93
Por lo tanto
|= t ∈ Q′ =⇒ ∃s∈X((t = {i1(s)}∧s ∈ ¬X ′)∨(t = {i2(s)}∧s ∈ ¬X ′)∧(t = {i1(s), i2(s)}∧s ∈ X ′)).
En particular Q′ es la unio´n disjunta de Q′1 y la imagen de q′2|¬X ′.
Probaremos a continuacio´n que el morfismo q′:X + X −→Q′ es K–finito. Primero
probamos que:
|= s ∈ X =⇒ (q′)−1({i1(s)}) ⊆ {i1(s)}.
Considere:
|= t ∈ (q′)−1({i1(s)}) =⇒ q′(t) = {i1(s)} ∧ ∃s′∈X(t = i1(s′) ∨ t = i2(s′))
=⇒ ∃s′∈X((q′(t) = {i1(s)} ∧ t = i1(s′)) ∨ (q′(t) = {i1(s)} ∧ t = i2(s′)))
=⇒ ∃s′∈X(q′(t) = {i1(s)} ∧ t = i1(s′)) ∨ (q′2(s′) = {i1(s)})
=⇒ ∃s′∈X((q′(t) = {i1(s)} ∧ t = i1(s′)) ∨ ({i2(s′)} = {i1(s)} ∨ {i1(s′), i2(s′)} = {i1(s′)})
=⇒ ∃s′∈X((q′(t) = {i1(s)} ∧ t = i1(s′)) ∨ (i1(s) = i2(s′) ∨ i1(s′) = i2(s′)))
=⇒ (∃s′∈X(q′(t) = {i1(s)} ∧ t = i1(s′))) ∨ ∃s′∈X(i1(s) = i2(s′)) ∨ ∃s′∈X i1(s′) = i2(s′)
=⇒ (∃s′∈X(q′(t) = {i1(s)} ∧ t = i1(s′))) ∨ falso ∨ falso
=⇒ ∃s′∈X(q′(t) = {i1(s)} ∧ t = i1(s′))
=⇒ ∃s′∈X({i1(s′)} = {i1(s)} ∨ {i1(s′), i2(s′)} = {i1(s)}) ∧ t = i1(s′)
=⇒ ∃s′∈X(s′ = s ∨ i1(s′) = i2(s′)) ∧ t = i1(s′)
=⇒ ∃s′∈X(s′ = s ∧ t = i1(s′)) ∨ falso
=⇒ ∃s′∈X(s′ = s ∧ t = i1(s′))
=⇒ ∃s′∈X(t = i1(s))
=⇒ t = i1(s)
=⇒ t ∈ {i1(s)}.
Por lo tanto |= t ∈ (q′)−1({i1(s)}) ∧ s ∈ X =⇒ t ∈ {i1(s)}, es decir
|= s ∈ X =⇒ (q′)−1({i1(s)}) ⊆ {i1(s)}.
Similarmente probamos que |= s ∈ X =⇒ (q′)−1({i2(s)}) ⊆ {i2(s)}. Luego tenemos
que:
|= s ∈ X ∧ (q′)−1({i1(s), i2(s)}) = (q′)−1({i1(s)}) ∪ (q′)−1({i2(s)})
=⇒ (q′)−1({i1(s), i2(s)}) ⊆ {i1(s)} ∪ {i2(s)}.
y entonces
|= s ∈ X =⇒ (q′)−1({i1(s), i2(s)}) ⊆ ({i1(s), i2(s)}.
Por otro lado como q′ ◦ i1 = q′1, tenemos
|= s ∈ ¬X ′ =⇒ q′(i1(s)) = q′1(s) ∧ s ∈ ¬X ′
=⇒ q′(i1(s)) = {i1(s)}
=⇒ i1(s) ∈ (q′)−1({i1(s)})
=⇒ {i1(s)} ⊆ (q′)−1({i1(s)}).
94 o. acun˜a
Entonces |= s ∈ ¬X ′ =⇒ {i1(s)} ⊆ (q′)−1({i1(s)}).
Similarmente se prueba que |= s ∈ ¬X ′ =⇒ {i2(s)} ⊆ (q′)−1({i2(s)}).
Por otro lado, de la definicio´n de q′ tenemos que
|= s ∈ X ′ =⇒ (q′)(i1(s)) = {i1(s), i2(s)} ∧ q′(i2(s)) = {i1(s), i2(s)}
=⇒ i1(s) ∈ (q′)−1({i1(s), i2(s)}) ∧ i2(s) ∈ (q′)−1({i1(s), i2(s)})
=⇒ {i1(s), i2(s)} ⊆ (q′)−1({i1(s), i2(s)})
luego |= s ∈ X ′ =⇒ {i1(s), i2(s)} ⊆ (q′)−1({i1(s), i2(s)}). Por lo tanto concluimos que
|= s ∈ X ′ =⇒ (q′)−1({i1(s), i2(s)}) = {i1(s), i2(s)} y
|= s ∈ ¬X ′ =⇒ (q′)−1({i1(s)}) = {i1(s)) ∧ (q′)−1({i2(s)} = {i2(s)}.
Podemos probar ahora que q′:X +X −→Q′ es un morfismo K–finito
|= t ∈ Q′ =⇒ ∃s∈X((t = {i1(s)} ∧ s ∈ ¬X ′) ∨ (t = {i2(s)} ∧ s ∈ ¬X ′)
∨(t = {i1(s), i2(s)} ∧ s ∈ X ′)
=⇒ ∃s∈X ((q′)−1(t) = t ∨ (q′)−1(t) = t ∨ (q′)−1(t) = t) ∧ t ∈ K(X +X)
=⇒ (q′)−1(t) = t ∧ t ∈ K(X +X)
=⇒ (q′)−1(t) ∈ K(X +X).
Luego |= ∀t∈Q′(t ∈ Q′ =⇒ (q′)−1(t) ∈ K(X + X)), por lo tanto q′:X + X −→Q′ es un
morfismo K–finito.
Para probar que q es K–finito es suficiente demostrar que el siguiente diagrama:
-
??
-X ′ X
X
q′1
Q′
q′2i
i
es un coproducto fibrado, ya que podr´ıamos tomar pi por q′ y como q′ es K–finito lo ser´ıa
tambie´n pi.
Considere el siguiente diagrama conmutativo,
-
??
-X ′ X
X
f1
Z
f2i
i
tenemos entonces que f1|X ′ = f2|X ′. Si Q′1 es la imagen de q′1 y Q′′2 es la imagen de
q′2|¬X ′, sabemos que Q′ es la unio´n disjunta de Q′1 y Q′′2.
algunos aspectos de morfismos K-finitos en topos elementales 95
Defina j1:Q′1−→Z y j2:Q′′2 −→Z tal que |= jk(q′k(s)) = fk(s) para k = 1, 2. j1, j2
esta´n bien definidas ya que q′1, q′2 son monomorfismos.
Sea j:Q′−→Z tal que j|Q′1 = j1 y j|Q′′2 = j2. Queremos probar que j ◦ q′1 = f1 y
j ◦ q′2 = f2:
|= j ◦ q′1(s) = j(q′1(s))
= f1(s),
luego j ◦ q′1 = f1. Por otro lado
|= s ∈ X ′ ∨ s ∈ ¬X ′ =⇒ s ∈ X ′ ∨ (q′2(s) ∈ Q′′2 ∧ s ∈ ¬X ′)
=⇒ s ∈ X ′ ∨ (j(q′2(s)) = f2(s))
=⇒ (f1(s) = f2(s) ∧ s ∈ X ′) ∨ j(q′2(s)) = f2(s)
=⇒ (f1(s) = f2(s) ∧ q′1(s) = q′2(s)) ∨ j(q′2(s)) = f2(s))
=⇒ (j(q′1(s)) = j(q′2(s)) ∧ f1(s) = f2(s)) ∨ j(q′2(s)) = f2(s)
=⇒ (f1(s) = j(q′1(s)) ∧ j(q′1(s)) = j(q′2(s)) ∧ f1(s) = f2(s))
∨f(q′2(s)) = f2(s)
=⇒ (f2(s) = j(q′2(s)) ∨ (f2(s) = f(q′2(s))
=⇒ f2(s) = j(q′2(s)).
Como |= s ∈ X ′ ∨ s ∈ ¬X ′, tenemos que |= ∀s∈X f2(s) = j(q′2(s)) luego j ◦ q′2 = f2.
Debemos probar la unidad de j. Si j′ ◦ q′1 = f1 y j′ ◦ q′2 = f2 con j′:Q−→Z, entonces
|= ∀s∈X′ j′(q′1(s)) = f1(s) y j′|Q′1 = j|Q′1. Por otro lado |= ∀s∈¬X′ j(q′2(s)) = f2(s) y
j′|Q′2 = j|Q′2. As´ı tenemos j = j′ y entonces el diagrama
-
??
-X ′ X
X
q′1
Q′
q′2i
i
satisface la propiedad universal de coproducto fibrado, concluyendo esto la prueba de la
proposicio´n 4. 2
Nota Sea E el topos de hases sobre un espacio topolo´gico Z, To no discreto. Sea X
objeto K–finito de E y i:X ′>−→X, subobjeto de X sin complemento (ver corolario 1.4
de [4]), entonces el morfismo pi:X+X −→Q correspondiente no puede ser K–finito por el
teorema anterior. Sin embargo X +X es K–finito, pi es un epimorfismo y por proposicio´n
1, Q no puede ser decidible. Por lo tanto la hipo´tesis decidible para el dominio de f de la
proposicio´n 1 no puede ser suprimida, pi:X +X −→Q es un contraejemplo.
Referencias
[1] Acun˜a-Ortega, O. (1977) Finiteness in Topoi, Ph. D. Dissertation, Wesleyan Univer-
sity, Middletown, Connecticut.
96 o. acun˜a
[2] Acun˜a-Ortega, O. & Linton, F. E. J. (1979) Finiteness and Decidability I, in Lecture
Notes in Matematics 753, Springer–Verlag, Berlin, pp. 80–100.
[3] Johnstone, P.T. (1977) Topos Theory, L.M.S. Mathematical Monographs, Academic
Press, New York.
[4] Johnstone, P. T. & Linton, F. E. J. (1978) “Finiteness and decidability II”,Math Proc.
Camb. Phil. Soc 84: 207ss.