Revista de Matema´tica: Teor´ıa y Aplicaciones 3(1): 35-44 (1996)
la ecuacio´n de hill con potencial irregular
Santiago Cambronero Villalobos1
Resumen
Se considera la ecuacio´n de Hill cuyo potencial es la derivada formal de una funcio´n
Ho¨lder – continua de para´metro θ ∈ (0, 1), y se muestra que las soluciones de la versio´n
discreta correspondiente convergen adecuadamente a las soluciones de la ecuacio´n orig-
inal. Este hecho se usa para establecer teoremas de existencia de soluciones para este
caso singular, y para deducir algunas propiedades de las soluciones y el discriminante
de la ecuacio´n estudiada.
Abstract
We consider the Hill equation whose potential is the formal derivative of a Ho¨lder
– continuous function of parameter θ ∈ (0, 1), and show that solutions of the discrete
version converge to solutions of the original equation in a suitable way. This fact
is used to establish existence and uniqueness theorems for this singular case, and to
deduce some properties of solutions and the discriminant of the studied equation.
1 Introduccio´n
La ecuacio´n de Hill con potencial Q esta´ dada por
−y′′ +Qy = λy, (1)
con λ ∈ C. La mayor´ıa de los resultados existentes hasta el momento acerca de esta
ecuacio´n asumen que Q es suave. En [1] y [2] se trata el caso de potenciales singulares
aleatorios, como es el caso de “ruido blanco”. Sin embargo, el lector requiere de ciertos
conocimientos en probailidad para entender dichos trabajos. En el presente trabajo se
retoman algunos de los me´todos usados en las referencias antes citadas y se adaptan al
caso de un potencial no aleatorio, con el fin simplificar el tratamiento y a la vez generalizar
los resultados a potenciales menos regulares.
Se considera la versio´n discreta de (1):
−∆2ui +Qiui = λui, para i = 0, 1, ... (2)
donde u′i = n(ui+1 − ui), ∆
2ui = n
2(ui+1 − 2ui + ui−1), y se demuestra que las soluciones
de (2) convergen a las de (1) en una manera adecuada, lo que servira´ para deducir una
serie de propiedades acerca de las soluciones de (1).
1Escuela de Matema´tica, Universidad de Costa Rica, 2060 San Jose´, Costa Rica
15
16 s. cambronero
Denotaremos por −∆2 + Q al operador definido por el lado izquierdo de (2). E´ste
es un operador definido en el conjunto de sucesiones complejas. La sucesio´n (ui)i≥0 se
llama perio´dica si ui+n = ui, ∀ i ∈N. Diremos que λ ∈ C es un valor propio perio´dico de
−∆2 +Q, si existe una solucio´n perio´dica no nula de (2).
2 Algunos Preliminares
Para Q = (Q0, . . . , Qn−1), u = (u0, . . . , un−1), v = (v0, . . . , vn−1) ∈ C
n definamos
D(u, v) =
n−1∑
i=0
u′iv¯
′
ih+
n−1∑
i=0
Qiuiv¯ih
H(u, v) =
n−1∑
i=0
uiv¯ih,
con h = 1/n.
Definimos Qi+n = Qi, y escribimos b0 = 0, bi = h(Q0 + . . .+Qi−1),
|b| = max{|bi| : i = 1, . . . , n}.
El siguiente lema sera´ de gran utilidad en el presente trabajo.
Lema 1 λ0(Q) = min{D(u, u) : un = u0, H(u, u) = 1} existe para todo Q ∈ R
n, y
λ0(Q) ≥ −|b|(|b| + 1).
Prueba:
Por compacidad del conjunto {u :
∑
u2i h = 1} enR
n, el mı´nimo existe. Ahora siH(u, u) =
1, entoces |ui| ≤ 1 para algu´n i. Supongamos entonces |u0| ≤ 1, para simplificar. Sumando
por partes tenemos
D(u, u) =
∑
|u′i|
2h+ bn|un|
2 −
∑
bi+1(|ui+1|
2 − |ui|
2).
Tomando T = (
∑
|u′i|
2h)
1
2 , la desigualdad de Shwarz’s implica
∑∣∣|ui+1|2 − |ui|2∣∣ ≤ 2(∑ |ui|2h) 12 (∑ |u′i|2h) 12 = 2T,
y entonces
D(u, u) ≥ T 2 − |b|(1 + 2T ) = (T − |b|)2 − |b|(|b| + 1),
en vista de |un| = |u0| ≤ 1. 
Observacio´n: Note que si H(u, u) = 1 y vi = |ui|, entonces H(v, v) = 1, |v
′
i| ≤ |u
′
i|, y
como consecuencia tenemos D(v, v) ≤ D(u, u). Esto es, si D(u, u) = λ0(Q), u se puede
tomar no negativo. Pero ahora, se sigue de (2) que ui > 0 para todo i. Esto se va a asumir
en lo que sigue sin ma´s comentario.
la ecuacio´n de hill con potencial irregular 17
Lema 2 Sea λ0(Q) = D(u, u) y extienda u a todo N por ui+n = ui. Entonces u es una
solucio´n perio´dica de (2) con λ = λ0(Q). i.e. λ0(Q) es un valor propio perio´dico del
operador −∆2 +Q.
Prueba:
Sea v real y tal que vn+i = vi para todo i. Entonces D(u+ εv, u + εv)/H(u + εv, u + εv)
tiene un mı´nimo local en ε = 0, y consecuentemente D(u, v) = λ0H(u, v). Pero
∑
u′iv
′
ih =
−
∑
(∆2ui)vih, y entonces
∑
(−∆2ui + Qiui − λ0ui)vih = 0 para cualquier v de esos.
Entonces u satisface (2). 
Lema 3 Todos los valores propios perio´dicos de −∆2 +Q son reales, y λ0(Q) es el ma´s
pequen˜o.
Prueba:
Si λ es un valor propio perio´dico y u es la solucio´n correspondiente, entonces λH(u, u) =∑
(−∆2ui +Qiui)u¯ih = D(u, u). Luego λ es real y λ ≥ λ0(Q). 
3 La versio´n continua
Consideremos ahora una funcio´n b : [0,∞[→ R, la cual es Ho¨lder–continua con para´metro
θ, o sea,
|b(t)− b(s)| ≤M |t− s|θ, para t, s ≥ 0, donde 0 < θ < 1. (3)
Asuma adema´s que b(0) = 0, y que
b(t+ 1)− b(1) = b(t), para 0 ≤ t < 1. (4)
Considere la ecuacio´n (1) cuyo potencial Q es la derivada formal de b. Ma´s precisamente,
la ecuacio´n (1) se interpreta como
−y′(x) + y′(0) +
∫ x
0
y(t)Q(t)dt = λ
∫ x
0
y(t)dt,
donde la intergral en el lado izquierdo representa
y(x)b(x)−
∫ x
0
b(t)y′(t)dt.
No´tese que Q no existe en el sentido cla´sico, a menos que b sea derivable. La condicio´n (4)
dice que Q es perio´dica de per´ıodo 1. Defina Qi como n(bi+1 − bi), donde bi = b(
i
n
). En
lo que sigue, consideramos (2) con potencial Q(n) = (Q0, . . . , Qn−1) y escribimos λ
(n) =
λ0(Q
(n)). Vamos a mostrar ma´s adelante que la sucesio´n (λ(n)) converge al primer valor
propio de (1). De ahora en adelante, |b| denotara´ la norma sup de b(t) en [0, 1].
18 s. cambronero
4 Condiciones Iniciales
Fijemos λ ∈ C y consideremos una solucio´n de (2) con condiones iniciales fijas u0 = α,
u′0 = β independentes de n. Vamos a mostrar que dicha solucio´n converge a la solucio´n
correspondiente de (1).
Note primero que de (2) se tiene
u′j − u
′
k =
j∑
i=k+1
(Qi − λ)uih
=
j∑
i=k+1
(Qi − λ)h
[
u0 +
i−1∑
l=0
u′lh
]
= u0
j∑
i=k+1
(Qi − λ)h+
k∑
l=0
u′lh
j∑
i=k+1
(Qi − λ)h
+
j−1∑
l=k+1
u′lh
j∑
i=l+1
(Qi − λ)h,
y que ∣∣∣∣∣
j∑
i=l+1
(Qi − λ)h
∣∣∣∣∣ = |bj+1 − bl+1 − λ(j − l)h| ≤ Cεθ
para k ≤ l ≤ j − 1, siempre que (j − k)h ≤ ε ≤ 1. Aqu´ı C depende so´lo de b, siempre que
λ se mantenga acotado. Luego,
|u′j − u
′
k| ≤ Cε
θ
[
|α|+
j−1∑
l=0
|u′l|h
]
. (5)
En particular, para k = 0,
|u′j| ≤ c1 + C
j−1∑
l=0
|u′l|h
con c1 = |β|+ C|α|. Se sigue por induccio´n que
|u′j | ≤ c1(1 + Ch)
j ≤ c1(1 + Ch)
n ≤ c1e
C .
i.e. |u′j| es uniformemente acotada. Ahora (5) implica
|u′j − u
′
k| ≤ Cε
θ,
con una nueva constante C.
Denote por ψn el camino poligonal determindo por los valores uj en los puntos j/n, y
por ψˆn el camino correspondiente a los valores u
′
j . Entonces (ψn) y (ψˆn) son equicontinuas
la ecuacio´n de hill con potencial irregular 19
y uniformemente acotadas. Esto implica que existe una subsucesio´n (ψnk) que converge
uniformemente a una funcio´n continua ψ, y tal que (ψˆnk) converge uniformemente a una
funcio´n continua ψ̂. Es fa´cil ver que entonces ψ es derivable, y ψ′ = ψ̂.
De la identidad2
u′j = β + bj+1uj −
j−1∑
k=0
bk+1u
′
kh− λ
j∑
k=1
ukh
obtenemos
ψ′(x) = β + b(x)ψ(x) −
∫ x
0
b(t)ψ′(t)dt − λ
∫ x
0
ψ(t)dt.
Adema´s ψ(0) = α, y entonces ψ es solucio´n del problema
−y′′ +Qy = λy
y(0) = α, y′(0) = β.
(6)
Esto muestra en particular la existencia de soluciones de (6); la unicidad se muestra abajo.
Teorema 1 Si Q = b′, donde b es Ho¨lder continua de para´metro θ ∈]0, 1[, entonces (6)
tiene una solucio´n u´nica para todo α, β y λ ∈ C.
Prueba:
Sea ψ solucio´n de (6) con α = β = 0, que significa
ψ′(x) = b(x)ψ(x) −
∫ x
0
b(t)ψ′(t)dt − λ
∫ x
0
ψ(t)dt,
de donde
|ψ′(x)| ≤ |b||ψ(x)| + |b|
∫ x
0
|ψ′(t)|dt + |λ|
∫ x
0
|ψ(t)|dt,
el resto es rutina. 
La unicidad de ψ implica que realmente la sucesio´n ψn converge a ψ, pues para toda
subsucesio´n de (ψn), hay siempre una sub-subsucesio´n que converge a ψ. Ahora, como
(ψn) es localmente acotada en λ, se sigue que ψ es entera como funccio´n de λ. Para
resumir:
Teorema 2 Considere la solucio´n (u0, u1, . . .) de (2), con u0 = α y u
′
0 = β. Los corre-
spondientes caminos poligonales ψn y ψˆn convergen uniformemente a ψ y ψ
′ respectiva-
mente, en el intervalo [0, 1], con ψ la solucio´n of (6). Esta solucio´n es una funcio´n entera
de λ.
2Compare con (2) y use suma parcial.
20 s. cambronero
Una pequen˜a modificacio´n a la prueba del teorema 2 muestra el siguiente corolario.
Corolario. Si (λn) es una sucesio´n de nu´meros complejos que converge a algu´n λ, entonces
la solucio´n ψn de (2) correspondiente a λn, con ψn(0) = α y ψ
′
n(0) = β, converge a la
solucio´n de (6) en el sentido poligonal empleado arriba.
Notacio´n: De ahora en adelante, (ψj) denotara´ la solucio´n de (2) con ψ0 = 1 y ψ
′
0 = 0, y
(φj) la solucio´n con φ0 = 0, φ
′
0 = 1. Las letras ψ y φ denotara´n las soluciones correspon-
dientes de (1). Las soluciones generales sera´n denotadas por ϕj y ϕ respectivamente.
5 Condiciones Cuasi–Perio´dicas
Considere el problema de encontrar una solucio´n (ϕj) de (2) que satisfaga las condiciones
ϕi+n = mnϕi, (7)
para algu´n mn > 1.
Toda solucio´n de (2) satisface
ϕ′j = ϕ
′
j−1 + (Qj − λ)hϕj
ϕj+1 = (2 + (Qj − λ)h
2)ϕj − ϕj−1,
(8)
de donde es obvio que, para que la solucio´n satisfaga (7) es suficiente que satisfaga
ϕn = mnϕ0, y ϕ
′
n = mnϕ
′
0.
Escrribiendo ϕj = c1ψj + c2φj , estas condiciones se transforman en
c1ψn + c2φn = mnc1,
c1ψ
′
n + c2φ
′
n = mnc2.
(9)
entonces, mn debe ser un valor propio de la matrix
M =
[
ψn φn
ψ′n φ
′
n
]
,
y consecuentemente m2n − 2∆nmn + wn = 0; aqu´ı ∆n =
1
2(ψn + φ
′
n) y
wj = ψjφ
′
j − ψ
′
jφj = n(ψjφj+1 − ψj+1φj).
Note que w0 = 1 y, por la segunda identidad en (8), que wj = wj−1, para todo j. entonces
wj ≡ 1. En particular wn = 1. La ecuacio´n m
2
n − 2∆nmn + 1 = 0 tiene soluciones reales
si y so´lo si |∆n| ≥ 1.
Por otro lado, para que una solucio´n ϕ = c1ψ + c2φ de (1) satisfaga
ϕ(x+ 1) = mϕ(x),
la ecuacio´n de hill con potencial irregular 21
se encuentra de la misma manera que m debe satisfacer
m2 − 2∆m+w(1) = 0,
con ∆ = 12(ψ(1) + φ
′(1)) y w(t) = ψ(t)φ′(t)− ψ(t)′φ(t).
Por el teorema 2, w(t) = limn→∞wj = 1 (para j/n → t), y entonces w ≡ 1. Este hecho
se obtiene tambie´n del siguiente ca´lculo formal:
w′′ = ψφ′′ − ψ′′φ = ψ(Q− λ)φ− φ(Q− λ)ψ = 0.
Por el mismo teorema,
∆(λ) = lim
n→∞
∆n(λ).
Si se tiene |∆(λ)| > 1, se sigue que |∆n(λ)| > 1 para n grande, y consecuentemente
mn = ∆n +
√
∆2n − 1→ m = ∆+
√
∆2 − 1.
Ahora podemos establecer el siguiente teorema.
Teorema 3 Suponga |∆(λ)| > 1 para algu´n λ. Entonces hay una solucio´n ϕ de (1), con
ϕ(x+1) = mϕ(x). Adema´s, para n grande hay una solucio´n (ϕj) de (2), con ϕi+n = mnϕi,
la cual converge a ϕ en el sentido poligonal.
Prueba:
Si ϕ = c1ψ + c2φ, entonces
c1ψ(1) + c2φ(1) = mc1,
c1ψ
′(1) + c2φ
′(1) = mc2.
(10)
Podemos escoger siempre las soluciones (c1, c2) de (9) y (10) de tal forma que c1 = 1
o c2 = 1. Entonces, como los coeficientes de (9) convergen a los de (10), las soluciones
corespondentes de (9) tambie´n convergen a las de (10), y esto es todo lo que se necesita.

El caso |∆| = 1 es ma´s delicado, pues podemos tener |∆n| < 1 para todo n. En lo que
sigue tratamos el caso λ = λ0(Q).
6 Convergencia del Primer Valor Propio
Podemos ahora probar la existencia de λ0(Q) como el l´ımite de la sucesio´n λ
(n) de primeros
valores propios de (2). Empezaremos por establecer otros resultados acerca de dicha
sucesio´n.
Lema 4 La sucesio´n (λ(n)) es acotada.
22 s. cambronero
Prueba:
Por definicio´n, λ(n) ≤ D(1, 1) = b(1) ≤ |b|, y (λ(n)) es tambie´n acotada por abajo, por el
lema 1. 
Lema 5 Asuma que λ es un valor propio perio´dico de (1). Entonces
lim sup
n→∞
λ(n) ≤ λ.
Prueba:
Sea ϕ la solucio´n perio´dica correspondiente de (1), normalizada para que
∫ 1
0 ϕ
2 = 1, y
defina ϕj = ϕ(j/n), para j = 0, 1, . . . , n, y cualquier n. Tenemos
λ(n) ≤
n−1∑
j=0
|ϕ′j |
2h+
n−1∑
j=0
Qjϕ
2
jh
/n−1∑
j=0
ϕ2jh

Cuando n→∞, el lado derecho converge a
∫ 1
0 (|ϕ
′|2+Qϕ2) = λ. La justificacio´n es rutina.

Lema 6 Sea u la solucio´n perio´dica de (2) correspondiente a λ(n), normalizada para que∑
u2jh = 1, y sea C0 = |b|+
√
|b|2 + 2|b|. Entonces hay un j tal que |u′j | ≤ C0.
Prueba:
Suponga |u′j | > C0, para j = 0, . . . , n− 1. Entonces
√∑
|u′i|
2h > C0, y consecuentemente
b(1) = D(1, 1) ≥ D(u, u) > [C0−|b|]
2−|b|(|b|+1) = |b|; compare con la prueba de lemma 1.
Esto es una contradiccio´n. 
Lema 7 Sea u como en el lema 6. Entonces hay una constante C, independiente de n,
tal que |u′j | ≤ C y |uj | ≤ C para j = 0, 1, . . . , n, y todo n ≥ 1.
Prueba:
Por la periodicidad, podemos asumir |u′0| ≤ C0. Ahora para j > k,
u2j = u
2
k +
j−1∑
i=k
(u2i+1 − u
2
i ),
y entonces, como en la prueba del lema 1,
u2j ≤ u
2
k + 2Tn, con Tn =
(∑
|u′i|
2h
) 1
2
.
Lo mismo es cierto para k ≥ j, y entonces tomando el promedio sobre k tenemos
u2j ≤
∑
u2kh+ 2Tn = 1 + 2Tn : for j = 0, 1, . . . , n − 1.
la ecuacio´n de hill con potencial irregular 23
Por otro lado,
u′j = u
′
0 +
j∑
i=1
ui(bi+1 − bi)− λ
(n)
j∑
i=1
uih
= u′0 + bj+1uj − b1u0 −
j∑
i=1
bi(ui − ui−1)− λ
(n)
j∑
i=1
uih,
de donde
|u′j | ≤ Kn + |b|
j−1∑
i=0
|u′i|h,
con Kn = |λ
(n)|+ C0 + 2|b|(1 + 2Tn)
1
2 , y por induccio´n sobre j se sigue que
|u′j | ≤ Kn(1 + |b|h)
j ≤ Kne
|b|, for j = 0, 1, . . . , n− 1.
Entonces Tn ≤ Kne
|b|, y como lasucesio´n (λ(n)) es acotada, esto implica que (Tn) y (Kn)
son acotadas tambie´n. 
Denotemos por ψn el camino poligonal determinado por los valores uj en los puntos
j/n, donde u es dado por el lema 6. Entonces (ψn) es equicontinua y uniformemente
acotada. Tenemos tambie´n acotacio´n uniforme de la sucesio´n ψˆn determinada por los
valores u′j en los puntos j/n. La equicontinuidad de esta sucesio´n es obtenida en la misma
forma que en el caso de condiciones iniciales. No´tese que ahora no tenemos λ fijo, pero
como (λ(n)) es acotada, los detalles son ba´sicamente los mismos.
Dada una subsucesio´n
(
λ(nk)
)
que converge a algu´n λ, podemos escoger una sub–
subsucesio´n (que denotaremos en la misma forma), tal que (ψnk) converge uniformemente
a una una funcio´n ψ de clase C1, y (ψ̂nk) converge uniformente a ψ
′. Se sigue que ψ es una
solucio´n de (2), y que
∫ 1
0 ψ = 1.
Combinando esto con el lema 5, obtenemos que cualquier subsucesio´n convergente de (λ(n))
debe converger a lim supλ(n). Esto muestra lo siguiente.
Teorema 4 La sucesio´n (λ(n)) converge a λ0. i.e.
lim
n→∞
λ0(Q
(n)) = λ0(Q).
Adema´s, si (u0, u1, . . .) es la solucio´n perio´dica de (2) correspondiente a λ
(n), y ψ es la
solucio´n perio´dica de (1) correspondiente a λ0(Q), entonces (uj) converge a ψ en el sentido
poligonal.
Observaciones:
Los resultados establecidos hasta el momento se pueden usar para probar una serie de
propiedades de la ecuacio´n de Hill, probando primero sus versiones discretas. Por ejemplo,
la solucio´n correspondiente al primer valor propio de (2) se puede tomar positiva; entonces,
24 s. cambronero
por el teorema anterior, lo mismo es cierto para la solucio´n de (1) correspondiente al primer
valor propio λ0(Q).
Se puede observar del lema 5 que λ0 es una cota inferior del conjunto{∫ 1
0
(ϕ′ +Qϕ2) : ϕ ∈ C1(S1) con
∫ 1
0
ϕ2 = 1
}
,
y por otro lado, por el teorema anterior, λ0 pertenece a dicho conjunto. Esto es
λ0(Q) = min
{∫ 1
0
(ϕ′ +Qϕ2) : ϕ ∈ C1(S1) con
∫ 1
0
ϕ2 = 1
}
,
Esta clase de argumento sera´ aplicado en lo que sigue para estudiar el discriminante de
∆(λ) de (1)
7 Propiedades del Discriminante
Teorema 5 ∆(λ) es una funcio´n entera deλ, de orden ≤ 12 . Adema´s, para λ < λ0(Q)
tenemos ∆(λ) > 1.
Prueba:
De (8) se sigue que ψj y φ
′
j son polinomios en λ, cuyos te´rminos de mayor grado son
h2(j−1)(−λ)j−1 y h2j(−λ)j respectivamente. Entonces ∆n es un polinomio en λ, con
te´rmino de mayor grado 12h
2n(−λ)n.
Consecuentemente, ∆n(λ) → +∞, cuando λ → −∞. Ahora como ∆n 6= 1 para λ < λn,
se sigue por continuidad que ∆n(λ) > 1, para estos valores de λ. Dado λ < λ0(Q),
el teorema anterior implica λ < λ(n) para valores grandes de n, y consecuentemente
∆(λ) = lim∆n(λ) ≥ 1. Pero la igualdad no se da aqu´ı, pues λ < λ0(Q). Esto prueba la
u´ltima afirmacio´n del enunciado.
Que ∆(λ) es una funcio´n entera se sigue del teorema 2.
Finalmente, si |b| ≤ c, no es dif´ıcil ver que ψ y φ son mayorizadas por la solucio´n w de
w′′ = 2cw′ + |λ|w
w(0) = 1, w′(0) = 1,
de donde se sigue la afirmacio´n acerca del orden de ∆. 
Un corolario del teorema 5 es que ∆(λ) es localmente acotada en λ y |b|, i.e. |∆(λ)| ≤ C
si |λ| ≤ c y |b| ≤ c, donde C depende so´lo de c. Lo mismo es cierto para ∆˙(λ) = d
dλ
∆(λ)
y ∆¨(λ). Por ejemplo
ψ˙(x, λ) =
∫ x
0
[ψ(x)φ(t) − ψ(t)φ(x)]ψ(t)dt,
y similarmente para ψ˙′(·, λ), y as´ı sucesivamente. En resumen:
Corolario. Para |b| ≤ c y |λ| ≤ c, hay una constante C, que depende so´lo de c, tal que
max{|∆(λ)|, |∆˙(λ)|, |∆¨(λ)|} ≤ C.
la ecuacio´n de hill con potencial irregular 25
Referencias
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