MA–870: GEOMETRÍA DIFERENCIAL
Joseph C. Várilly
Escuela de Matemática, Universidad de Costa Rica
II Ciclo Lectivo del 2020
Introducción
El ámbito natural del cálculo diferencial e integral en varias variables está constituido
por espacios topológicos que son localmente euclidianos. Esto significa que cada punto
del espacio posee un vecindario abierto homeomorfo a una bola abierto de algún ℝ𝑛;
entonces es posible importar las nociones de función diferenciable y de elemento de
volumen desdeℝ𝑛 al vecindario de marras. Así se confiere al espacio dado una estructura
diferencial, dando lugar a una variedad diferencial. Unos ejemplos típicos son las esferas,
los toros y los espacios proyectivos, sin omitir el propioℝ𝑛. Otros ejemplos son los grupos
de matrices invertibles (reales o complejos) y las órbitas de acciones (libres y propias)
de tales grupos. El tema de este curso es el estudio de la estructura diferencial de tales
variedades diferenciales.
Mediante las correspondencias locales con espacios euclidianos, es posible asignar
coordenadas locales a ciertos abiertos de la variedad. Esto permite transportar el cálculo
diferencial ordinario a la variedad, de manera consistente entre las diversas sistemas
de coordenadas locales. A partir de ahí, se introduce varias estructuras globales sobre
la variedad: campos vectoriales, formas diferenciales, y transformaciones lineales entre
ellos. Sobre una variedad orientable, es posible definir integrales mediante formas de
volumen. Una pieza clave de ese análisis es el llamado teorema de Stokes, que relaciona
integrales sobre formas de grados diferentes.
La geometría de las variedades diferenciales depende de una estructura suplemen-
taria, necesaria para definir los conceptos de torsión y curvatura. Esta es una conexión
afín, que determina el desplazamiento paralelo de vectores tangentes. Otra estructura
suplementaria es una métrica riemanniana, que permite definir una noción intrínseca de
distancia entre puntos de la variedad. Dada una métrica, hay una única conexión afín
compatible con ella y libre de torsión: con ello es posible calcular diversos invariantes
métricos, entre ellos la curvatura escalar.
MA–870: Geometría Diferencial
Temario
Variedades diferenciales Definición y ejemplos de variedades. Funciones y aplicaciones
diferenciables, particiones de la unidad. Vectores tangentes y campos vectoriales.
Curvas integrales y flujo de un campo vectorial. Grupos de Lie y sus espacios
homogéneos. Fibrados principales y fibrados vectoriales, los fibrados tangente y
cotangente de una variedad diferencial.
Formas diferenciales Formas diferenciales de primer grado y su dualidad con campos
vectoriales. Algebra tensorial, formas de grado superior. La derivada exterior de
una forma diferencial, derivadas de Lie de campos vectoriales y formas. Formas
cerradas y exactas, el lema de Poincaré.
Integración en variedades Variedades orientables. Integrales de 𝑛-formas. Cadenas y
homología singular. Cohomología de de Rham, el teorema de Stokes.
Conexiones y curvatura Transporte paralelo de campos vectoriales. Conexiones afines,
derivadas covariantes, símbolos de Christoffel, curvas geodésicas. Métricas rieman-
nianas y conexiones de Levi-Civita. Curvatura riemanniana, tensores de Ricci, cur-
vatura escalar. Espacios de curvatura constante, geometría esférica.
Bibliografía
El curso seguirá mayormente los lineamientos de los libros An Introduction to Ma-
nifolds y Differential Geometry de Loring Tu. He aquí una selección de libros de mucha
utilidad paar este curso.
[1] R. Abraham, J. E.Marsden and T. Ratiu,Manifolds, Tensor Analysis, and Applications,
Springer, New York, 1988.
[2] L. Conlon, Differentiable Manifolds, 2a edición, Birkhäuser, Boston, 2008.
[3] M. Crampin y F. A. E. Pirani, Applicable Differential Geometry, Cambridge Univ.
Press, Cambridge, 1986.
[4] J. A. Dieudonné, Éléments d’Analyse, tomo 3, Gauthier–Villars, París, 1974.
[5] H. Flanders, Differential Forms, Academic Press, Orlando, FL, 1963.
[6] T. Frankel, The Geometry of Physics: An Introduction, 3a edición, Cambridge Univer-
sity Press, New York, 2012.
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MA–870: Geometría Diferencial
[7] S. Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, Academic
Press, New York, 1978.
[8] J. M. Lee, Manifolds and Differential Geometry, American Mathematical Society,
Providence, RI, 2009.
[9] J. R. Munkres, Analysis on Manifolds, CRC Press, Boca Raton, FL, 1991.
[10] A. N. Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer, Berlin, 2010.
[11] L. A. Santaló, Introducción a la geometría diferencial de variedades diferenciables,
Universidad de Buenos Aires, 1965.
[12] M. D. Spivak, Cálculo en Variedades, Reverté, Barcelona, 1975.
[13] M. D. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, tomo 1, Publish
or Perish, Berkeley, CA, 1979.
[14] C. H. Taubes, Differential Geometry: Bundles, Connections, Metrics and Curvature,
Oxford University Press, Oxford, 2011.
[15] L. W. Tu, An Introduction to Manifolds, Springer, New York, 2008.
[16] L. W. Tu, Differential Geometry, Springer, Cham, Suiza, 2017.
Notaciones y convenios
Un curso de cálculo en varias variables es prerrequisito de esta materia. Cabe men-
cionar algunos detalles de notación, aunque el lector ya habrá visto la mayoría de ellos.
 Las letras ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ denotan los números naturales,1 enteros, racionales, reales
y complejos, respectivamente.
 Si 𝐴 y 𝐵 son conjuntos disjuntos, 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, su unión disjunta es 𝐴 ] 𝐵.
 Si 𝑅(𝑥) es una relación lógica que d{epende de un parámetro 𝑥 , se escribe:
1, si 𝑅(𝑥) es cierto;
È𝑅(𝑥)É :=
0, si 𝑅(𝑥) es falso.
1Los autores franceses usan ℕ = {0, 1, 2, 3, . . . } y escriben ℕ∗ = {1, 2, 3, . . . }. En cambio, los autores
alemanes suelen ponerℕ = {1, 2, 3, . . . } yℕ0 = {0, 1, 2, 3, . . . }. El lector debe cerciorarse si un determinado
libro considera 0 como número natural o no. En estos apuntes, se seguirá el convenio francés, en el cual
ℕ = {0, 1, 2, 3, . . . }.
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MA–870: Geometría Diferencial
Esta función booleana se conoce como la notación de Iverson.2 Por ejemplo, la
función indicatriz 𝜒𝐴 de un conjunto 𝐴 se de{fine como
1, si 𝑥 ∈ 𝐴 ;
𝜒𝐴 (𝑥) := È𝑥 ∈ 𝐴É =
0, si 𝑥 ∉ 𝐴 .
La función de signo sobreℝ vale 1, 0, −1 para un número positivo, cero o negativo,
respectivamente. Su definición es simplemente
signo(𝑡) := È𝑡 > 0É − È𝑡 < 0É.
La delta de Kronecker, comúnmente escrito{𝛿 𝑘𝑗𝑘 o 𝛿 𝑗 , también se puede definir así:
1, si 𝑗 = 𝑘;
𝛿 𝑗𝑘 = È 𝑗 = 𝑘É :=
0, si 𝑗 ≠ 𝑘.
 Las coordenadas de un vector en ℝ𝑛 se denotarán por superíndices (exponentes) en
vez de subíndices:
𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) ∈ ℝ𝑛 .
Al tomar potencias de coordenadas, el uso de paréntesis evita ambigüedades; así,
la norma euclidiana de 𝑥 ∈ ℝ𝑛√︁es:
‖𝑥 ‖ := (𝑥1)2 + (𝑥2)2 + · · · + (𝑥𝑛)2 .
Una lista de vectores empleará subíndices. Por ejemplo, la base ortonormal usual
de ℝ𝑛 será denotada por {𝒆1, 𝒆2, . . . , 𝒆𝑛}.
 Las formas ℝ-lineales 𝜉 : ℝ𝑛 → ℝ constituyen el espacio vectorial dual (ℝ𝑛)∗ – a
veces denotado por ℝ . Con respecto a la base dual {𝜺1, . . . , 𝜺𝑛𝑛 }, definida por las
relaciones 𝜺𝑖 (𝒆 𝑗 ) = È𝑖 = 𝑗É, los componentes de 𝜉 se denotan por subíndices:
𝜉 = 𝜉1𝜺
1 + 𝜉2𝜺2 + · · · + 𝜉𝑛𝜺𝑛 .
Entonces la evaluación de la forma lineal 𝜉 sobre el vector 𝑥 se presenta así:
〈𝜉, 𝑥〉 ≡ 𝜉 (𝑥) = 𝜉 1 2 𝑛 𝑘1𝑥 + 𝜉2𝑥 + · · · + 𝜉𝑛𝑥 =: 𝜉𝑘𝑥 .
2Este símbolo fue introducido por Kenneth Iverson, el inventor del lenguaje de computación APL, en
su libro A Programming Language (Wiley, New York, 1962). Fue recomendado por Donald Knuth para uso
general, en: Donald E. Knuth, Two notes on notation, American Mathematical Monthly 99 (1992), 403–422.
Véase también el libro: Ronald L. Graham, Donald E. Knuth and Oren Patashnik, Concrete Mathematics,
Addison-Wesley, Reading, MA, 1989.
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MA–870: Geometría Diferencial
 La notación 𝜉 𝑥𝑘𝑘 al lado derecho de la última fórmula usa el convenio de Einstein
para sumatorias: en una expresión con índices, se suma sobre todos los valores de
cualquier índice que se repite una vez como subíndice y otra vez como superíndice,
salvo indicación expresa de lo contrario.
 Los corchetes angulares 〈−,−〉 también señalan una dualidad entre dos espacios
vectoriales: la expresión 〈𝜉, 𝑥〉 es ℝ-lineal en 𝑥 si 𝜉 es fijo, y es ℝ-lineal en 𝜉 si
𝑥 es fijo. Se trata, entonces, de una aplicación bilineal de (ℝ𝑛)∗ ×ℝ𝑛 en ℝ.
 Si la entrada (𝑖, 𝑗) de una matriz 𝐴 se denota por 𝑎𝑖 𝑗 , la matriz misma se denota
por 𝐴 = [𝑎𝑖 𝑗 ], sin más detalle. Se sobreentiende que los índices 𝑖, 𝑗 recorren todos
los valores permisibles.
 Si 𝑓 : ℝ𝑛 → ℝ es 𝑚 veces continuamente diferenciable y 𝑟1, . . . , 𝑟𝑛 ∈ ℕ cumplen
|𝒓 | ≡ 𝑟1 + · · · + 𝑟𝑛 = 𝑚, la letra 𝒓 = (𝑟1, . . . , 𝑟𝑛) ∈ ℕ denota un multiíndice y la
derivada parcial correspondiente de 𝑓 , de orden𝑚, se denota por
𝜕 𝒓 𝑓 𝜕𝑟1+···+𝑟𝑛 𝑓
:= .
𝜕𝑥 𝒓 𝜕𝑟1𝑥1 · · · 𝜕𝑟𝑛𝑥𝑛
 Si una vector en ℝ𝑛 se expresa en coordenadas locales como 𝒙 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛), las
derivadas parciales correspondientes se expresan con subindices: 𝜕 𝑗 = 𝜕/𝜕𝑥 𝑗 para
𝑗 = 1, . . . , 𝑛.
 Se adopta el siguiente convenio para omitir ûn elemento de una lista. Dada una listaordenada (𝑋1, . . . , 𝑋𝑘), se escribe un techo sobre la entrada 𝑋 𝑗 para denotar su
ausencia de la lista:
(𝑋1, . . . , 𝑋 𝑗 , . . . , 𝑋𝑘) := (𝑋1, . . . , 𝑋 𝑗−1, 𝑋 𝑗+1, . . . , 𝑋𝑘).
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Índice general
Introducción 1
1 Variedades diferenciales 1-1
1.1. Definición y ejemplos de variedades 1-2
1.2. Aplicaciones diferenciables 1-8
1.3. Vectores tangentes 1-16
1.4. Subvariedades 1-20
1.5. Campos vectoriales 1-25
1.6. Curvas integrales y flujos 1-32
1.7. Grupos de Lie 1-35
1.8. Espacios homogéneos 1-45
1.9. Fibrados 1-48
1.10. Ejercicios sobre variedades diferenciales 1-52
2 Formas diferenciales 2-1
2.1. Formas diferenciales de primer grado 2-1
2.2. Álgebra tensorial y álgebra exterior 2-4
2.3. Formas diferenciales de grado superior 2-9
2.4. La derivada exterior 2-15
2.5. La derivada de Lie 2-22
2.6. Formas cerradas y exactas 2-27
2.7. Suplemento: cálculo de Cartan 2-32
2.8. Ejercicios sobre formas diferenciales 2-34
3 Integración en variedades 3-1
3.1. Variedades orientables 3-1
3.2. Integrales de 𝑛-formas 3-8
3.3. Símplices y cadenas 3-10
3.4. El teorema de Stokes 3-18
3.5. Ejercicios sobre integración en variedades 3-28
4 Conexiones y Curvatura 4-1
4.1. Transporte paralelo y conexiones afines 4-1
4.2. Métricas riemannianas 4-7
4.3. Tensores de curvatura 4-14
4.4. Fibrados principales y formas de conexión 4-20
4.5. Ejercicios sobre conexiones y curvatura 4-32
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MA–870: Geometría Diferencial
1 Variedades diferenciales
Physics is very interesting. There are many, many inter-
esting theorems in physics. Unfortunately, there are no
definitions.
— David Kazhdan1
Una variedad diferencial𝑀 de dimensión 𝑛 es un espacio topológico que es localmente
homeomorfo al espacio euclidianoℝ𝑛; esto significa que cada uno de sus puntos posee un
vecindario homeomorfo a una bola abierta deℝ𝑛. Se trata de transferir el cálculo diferen-
cial e integral de funciones sobre ℝ𝑛 a 𝑀 , tomando en cuenta que las correspondencias
con bolas en ℝ𝑛 pueden variar de un punto a otro.
Para efectuar dichas correspondencias, se toma una colección de abiertos que cubren
𝑀 acompañados con homeomorfismos hacia abiertos de ℝ𝑛. Este juego de cartas locales
define la estructura diferencial de𝑀 , siempre y cuando aquellos homeomorfismos cuyos
dominios traslapan sean compatibles. Antes de abordar la teoría diferencial en detalle,
conviene repasar algunos conceptos topológicos.
Definición 1.1. Un espacio topológico es un conjunto 𝑋 dotado de una colección T de
partes de 𝑋 (esa colección T es la topología) que satisface tres condiciones:
(a) 𝑋 ∈ T y ∅ ∈ T (∅ denota el conjunto vacío).
(b) Si 𝑈 ,𝑉 ∈ T, entonces 𝑈 ∩𝑉 ∈ T⋃.
(c) Si {𝑈𝛼 : 𝛼 ∈ 𝐴 } ⊆ T, entonces 𝛼∈𝐴𝑈𝛼 ∈ T.
La elementos de T son los abiertos (o partes abiertas) de 𝑋 . Un vecindario de 𝑥 ∈ 𝑋 es
una parte 𝑉 ⊆ 𝑋 que incluye un abierto 𝑈 ∈ T que contiene 𝑥 , o sea: 𝑥 ∈ 𝑈 ⊆ 𝑉 . Una
parte de 𝑋 es abierta si y solo si es un vecindario de cada uno de sus propios puntos.
Sus complementos {𝑋 \𝑈 : 𝑈 ∈ T } son los cerrados (o partes cerradas) de 𝑋 . ♦
Ejemplo 1.2. Una bola abierta en ℝ𝑛, con centro 𝑥 ∈ ℝ𝑛 y radio 𝑟 > 0, es el conjunto
𝐵(𝑥; 𝑟 ) := {𝑦 ∈ ℝ𝑛 : ‖𝑦 − 𝑥 ‖ < 𝑟 }. ⋃
La topología usual de ℝ𝑛 es la colección de uniones arbitrarias 𝑈 = 𝛼∈𝐴 𝐵(𝑥𝛼 ; 𝑟𝛼 ). En
este caso, basta tomar uniones numerables, porque cada 𝐵(𝑥; 𝑟 ) es una unión numerable
de bolas abiertas con centro en ℚ𝑛 y radio positivo en ℚ.
La bola cerrada 𝐵(𝑥; 𝑟 ) := {𝑦 ∈ ℝ𝑛 : ‖𝑦 − 𝑥 ‖ 6 𝑟 } es un cerrado de ℝ𝑛. ♦
1Citado por James Milne en su página web, 〈http://www.jmilne.org/math/index.html〉.
1-1
MA–870: Geometría Diferencial 1.1. Definición y ejemplos de variedades
Ejemplo 1.3. Si 𝑋 ⊂ ℝ𝑛, sea T := {𝑋 ∩ 𝑈 : 𝑈 abierto en ℝ𝑛 }; esta T es la llamada
topología relativa de 𝑋 . Los cerrados de 𝑋 son {𝑋 ∩𝐶 : 𝐶 cerrado en ℝ𝑛 }.
De esta manera se define la “topología usual” de conjuntos como la esfera
𝕊𝑛−1 := { 𝑥 ∈ ℝ𝑛 : ‖𝑥 ‖ = 1 },
que se determinan en primera instancia como partes de ℝ𝑛. ♦
Por la Definición 1.1(c), una intersección arbitraria de cerrados en 𝑋 es cerrada. Si
𝐴 ⊆ 𝑋 la intersección de cerradas que incluyen 𝐴 es un cerrado 𝐴, la clausura de 𝐴.
Una parte 𝐴 ⊆ 𝑋 es densa en 𝑋 si 𝐴 = 𝑋 . Dícese que 𝑋 es separable si alguna parte
numerable es densa; por ejemplo, ℝ𝑛 es separable porque ℚ𝑛 es una parte densa.
Definición 1.4. En un conjunto 𝑋 , una función 𝑑 : 𝑋 × 𝑋 → [0,∞) es una distancia
métrica si 𝑑 es simétrica: 𝑑 (𝑥,𝑦) = 𝑑 (𝑦, 𝑥) para 𝑥,𝑦 ∈ 𝑋 ; definida: 𝑑 (𝑥, 𝑥) = 0 si y solo si
𝑥 = 0⋃; y cumple la desigualdad triangular: 𝑑 (𝑥, 𝑧) 6 𝑑 (𝑥,𝑦) + 𝑑 (𝑦, 𝑧) para 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 .Una distancia 𝑑 define bolas abiertas 𝐵𝑑 (𝑥; 𝑟 ) := {𝑦 ∈ 𝑋 : 𝑑 (𝑥,𝑦) < 𝑟 }. Las uniones
𝑈 = 𝛼∈𝐴 𝐵𝑑 (𝑥𝛼 ; 𝑟𝛼 ) son los abiertos de la topología métrica de 𝑋 . Un espacio topológico
es metrizable si su topología está dada por una métrica. Los espacios euclidianos ℝ𝑛
(y sus partes 𝑋 ⊆ ℝ𝑛 con las topologías relativas) son metrizables. ♦
Definición 1.5. Una función 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 entre dos espacios topológicos es continua si
para todo abierto 𝑉 de 𝑌 su preimagen 𝑓 −1(𝑉 ) := { 𝑥 ∈ 𝑋 : 𝑓 (𝑥) ∈ 𝑉 } es abierto en 𝑋 .
Una sucesión {𝑥𝑘}𝑘∈ℕ ⊆ 𝑋 converge a 𝑥 ∈ 𝑋 (escrito 𝑥𝑘 → 𝑥) si para cada vecindario
𝑉 de 𝑥 hay 𝑁 ∈ ℕ tal que 𝑥𝑘 ∈ 𝑉 para 𝑘 > 𝑁 . Si 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 es continua, entonces 𝑥𝑘 → 𝑥
en 𝑋 implica 𝑓 (𝑥𝑘) → 𝑓 (𝑥) en 𝑌 . El inverso (una función que preserva la convergencia
de sucesiones es continua) es válido si 𝑋 y 𝑌 son metrizables y separables.
Un homeomorfismo entre dos espacios topológicos𝑋,𝑌 es una aplicación biyectiva y
continua 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 tal que 𝑓 −1 : 𝑌 → 𝑋 es también continua. En tal caso,𝑈 ↔ 𝑓 (𝑈 ) es
una correspondencia biunívoca entre las topologías de 𝑋 y 𝑌 ; y se dice que los espacios
topológicos 𝑋 y 𝑌 son homeomorfos. ♦
1.1. Definición y ejemplos de variedades
Definición 1.6. Sea 𝑀 un espacio topológico metrizable y separable.2 Una carta local
𝑛-dimensional para 𝑀 es un par (𝑈 ,𝜙), donde el dominio 𝑈 de 𝜙 es un abierto de 𝑀 ,
𝜙 (𝑈 ) ⊆ ℝ𝑛 es un abierto de ℝ𝑛, y 𝜙 : 𝑈 → 𝜙 (𝑈 ) es un homeomorfismo.
2Algunos autores admiten una clase más amplia de espacios topológicos subyacentes, al definir una va-
riedad diferencial: los que son de Hausdorff, paracompactos y cumplen el primer axioma de numerabilidad.
Consúltese cualquier texto de topología general para el alcance de esas propiedades.
1-2
MA–870: Geometría Diferencial 1.1. Definición y ejemplos de variedades
Si (𝑉 ,𝜓 ) es otra carta local para𝑀 con𝑈 ∩𝑉 ≠ ∅, entonces 𝜙 (𝑈 ∩𝑉 ) y𝜓 (𝑈 ∩𝑉 ) son
abiertos no vacíos de ℝ𝑛. Las dos cartas son compatibles si las funciones de transición:
𝜓 ◦ 𝜙−1 : 𝜙 (𝑈 ∩𝑉 ) → 𝜓 (𝑈 ∩𝑉 ),
𝜙 ◦𝜓−1 : 𝜓 (𝑈 ∩𝑉 ) → 𝜙 (𝑈 ∩𝑉 ), (1.1)
son continuas (de hecho, son homeomorfismos, al ser mutuamente inversos). ♦
𝑀
𝑈𝛼 𝑈𝛽
𝜙𝛼 𝜙𝛽
𝜙𝛼 (𝑈𝛼 ) 𝜙𝛽 (𝑈𝛽)
ℝ𝑛 ℝ𝑛
𝜙𝛼 ( ∩ ) 𝜙𝛽 (𝑈𝛼 ∩𝑈𝛽)𝑈𝛼 𝑈𝛽
𝜙 ◦ 𝜙−1𝛽 𝛼
Figura 1.1: Una función de transición entre dos cartas locales
Definición 1.7. Un atlas sobre 𝑀 es un juego A := { (𝑈𝛼 , 𝜙𝛼 ) : 𝛼⋃∈ 𝐴 } de cartas locales,
todas de la misma3 dimensión 𝑛 y compatibles entre sí, tal que 𝛼∈𝐴𝑈𝛼 = 𝑀 .
Dos atlasesA yB sobre𝑀 son equivalentes si cada carta local (𝑈 ,𝜙) deA es compatible
con cada carta local (𝑉 ,𝜓 ) deB tal que𝑈 ∩𝑉 ≠ ∅; en otras palabras, si A∪B es también
un atlas. Fíjese que la clase de equivalencia de A contiene un atlas maximal, constituido
por la totalidades de cartas locales (𝑉 ,𝜓 ) compatibles con todas las cartas locales de A.
Una variedad topológica de dimensión 𝑛 es un espacio topológico 𝑀 , metrizable y
separable, dotado de una clase de equivalencia de atlases – o bien,𝑀 dotado de un atlas
maximal – cuyas cartas tienen imágenes en ℝ𝑛. Se escribe dim𝑀 = 𝑛 y se dice que 𝑛 es
la dimensión de esta variedad.⁴ ♦
3Un teorema importante de la topología general asegura que un abierto no vacío de ℝ𝑛 puede ser
homeomorfo con un abierto no vacío de ℝ𝑚 solo si 𝑚 = 𝑛. Esto implica que la dimensión del espacio
euclidiano ambiente no es ambigua.
4La existencia de una atlas sobre 𝑀 indica que el espacio topológico 𝑀 es localmente homeomorfo
a ℝ𝑛; en particular, 𝑀 es localmente conexo y localmente compacto. El conjunto de Cantor es un ejemplo
de una espacio topológico metrizable y separable que no admite atlas alguna.
1-3
MA–870: Geometría Diferencial 1.1. Definición y ejemplos de variedades
Definición 1.8. Sea 𝑀 un espacio topológico metrizable y separable. Un atlas sobre 𝑀
es un atlas de clase 𝐶𝑘 , para 𝑘 ∈ ℕ, si todas sus funciones de transición entre abiertos
de ℝ𝑛, 𝜙 −1𝛽 ◦ 𝜙𝛼 : 𝜙𝛼 (𝑈𝛼 ∩𝑈𝛽) → 𝜙𝛽 (𝑈𝛼 ∩𝑈𝛽) – véase la Figura 1.1 – son de clase 𝐶𝑘 , es
decir, son 𝑘 veces continuamente diferenciables.
Por su definición, cada 𝜙𝛽 ◦ 𝜙−1𝛼 es de clase 𝐶0, por ser continua. El atlas dado es un
atlas de clase 𝐶∞ si es de clase𝐶𝑘 para cada 𝑘 ∈ ℕ; en otras palabras, si sus funciones de
transición son suaves.
Una variedad diferencial de dimensión 𝑛 es un espacio topológico 𝑀 , metrizable y
separable,⁵ dotado de una clase de equivalencia de atlases de clase 𝐶∞. ♦
Ejemplo 1.9. El espacio euclidiano ℝ𝑛 con el atlas de una sola carta {(ℝ𝑛, 1ℝ𝑛 )}, es
una variedad diferencial de dimensión 𝑛.
De igual modo, cualquier abierto𝑈 ⊆ ℝ𝑛 es una variedad diferencial de dimensión 𝑛,
cuyo atlas es la sola carta {(𝑈 , 𝑖)}, donde 𝑖 : 𝑈 → ℝ𝑛 denota la inclusión. ♦
Ejemplo 1.10. Si 𝛾 : ℝ → ℝ𝑛 es una aplicación suave e inyectiva cuya derivada no se
anula, 𝛾 ′(𝑡) ≠ 0 para 𝑡 ∈ ℝ, la trayectoria 𝛾 (ℝ) ⊂ ℝ𝑛 no tiene puntos singulares y la
función inversa 𝛾−1 : 𝛾 (ℝ) → ℝ es suave a lo largo de esta trayectoria. (Este es un caso
particular del teorema de la función inversa.) En tal caso 𝛾 (ℝ), dotado de la sola carta
(𝛾 (ℝ), 𝛾−1), es una variedad diferencial unidimensional encajada en ℝ𝑛. ♦
ÈEn el ejemplo anterior la palabra trayectoria denota la imagen de la función 𝛾 como
una parte deℝ𝑛 (con la topología relativa). El término curva se reserva para la función 𝛾
misma: una curva es una función continua (en este caso, suave) cuyo dominio es un
intervalo de la recta real. En otros contextos se dice que 𝛾 es una parametrización que
recorre la trayectoria 𝛾 (ℝ) con una determinada velocidad.É
Ejemplo 1.11. Considérese la recta ℝ dotado de la carta (ℝ, 𝜅), donde 𝜅 (𝑡) := 𝑡3 para
𝑡 ∈ ℝ. Nótese que 𝜅 : ℝ → ℝ es una biyección continua con inverso continuo 𝑠 ↦→ 𝑠1/3;
luego, 𝜅 es un homeomorfismo de ℝ en ℝ y el atlas {(ℝ, 𝜅)} hace de ℝ una variedad
topológica indistinguible de la ℝ original.
Sin embargo, aunque 𝜅 es suave (cualquier polinomio es diferenciable), su función
inversa 𝜅−1 no es diferenciable en 𝑠 = 0, así que las cartas (ℝ, 1ℝ) y (ℝ, 𝜅) serán
incompatibles si se quiere formar un atlas de clase 𝐶1 o mayor. ♦
5En la geometría algebraica, la palabra variedad significa un conjunto de ceros de un juego finito
de polinomios. Como tal, puede poseer puntos singulares, como el vértice del cono 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 = 0
en ℝ3. En inglés y alemán se emplean palabras distintos: (differential) manifold vs. (algebraic) variety,
(differenzierbare)Mannigfaltigkeit vs. (algebraische) Varietät; pero en francés y español los vocablos variété
y variedad se usan en los dos contextos.
1-4
MA–870: Geometría Diferencial 1.1. Definición y ejemplos de variedades
A continuación se introducirá varios ejemplos de variedades diferenciales 𝑀 con un
atlas A declarado. El atlas maximal de 𝑀 consiste de la familia de cartas compatibles
con las cartas de A. (No habrá otra mención de variedades topológicas: en adelante la
palabra variedad denotará una variedad diferencial.)
Ejemplo 1.12. El círculo
𝕊1 := { 𝑧 ∈ ℂ : |𝑧 | = 1 } = { 𝑒𝑖𝜃 : −𝜋 < 𝜃 6 𝜋 }
es una variedad unidimensional. Su atlas usual se compone de dos cartas:
(𝑈+ = 𝕊1 \ {−1},−𝑖 log>), log (𝑟𝑒𝑖𝜃> ) := log 𝑟 + 𝑖𝜃 para 𝑟𝑒𝑖𝜃 ∈ ℂ \ (−∞, 0];
(𝑈− = 𝕊1 \ {+1},−𝑖 log<), log< (𝑟𝑒𝑖𝜙 ) := log 𝑟 + 𝑖𝜙 para 𝑟𝑒𝑖𝜙 ∈ ℂ \ [0, +∞) . (1.2)
Fíjese que −𝑖 log> (𝑈+) = (−𝜋, 𝜋) ⊂ ℝ y −𝑖 log< (𝑈−) = (0, 2𝜋) ⊂ ℝ. Las funciones de
transición son las traslaciones 𝜃 ↦→ (𝜃 + 𝜋) para 𝜃 ≠ 0; 𝜙 →↦ (𝜙 − 𝜋) para 𝜙 ≠ 𝜋 . Estas
funciones afines son obviamente suaves. ♦
𝒆𝑛
•
𝑈 𝕊𝑛−1
• 𝑥
• • ℝ𝑛−1
𝑦 • 𝑧 0
𝑉
•
−𝒆𝑛
Figura 1.2: Dos proyecciones estereográficas de 𝕊𝑛−1 en ℝ𝑛−1
Ejemplo 1.13. La esfera 𝕊𝑛−1 := { 𝑥 ∈ ℝ𝑛 : ‖𝑥 ‖ = 1 } es una variedad diferencial de
dimensión (𝑛−1). Al quitar su polo norte 𝒆𝑛 o su polo sur −𝒆𝑛 se obtiene un par de abiertos
𝑈 := 𝕊𝑛−1 \ {𝒆𝑛}, 𝑉 := 𝕊𝑛−1 \ {−𝒆𝑛} que cubren la esfera, pues 𝑈 ∪𝑉 = 𝕊𝑛−1. Defínase
𝜙 : 𝑈 → ℝ𝑛−1 y 𝜓 : 𝑉 → ℝ𝑛−1 por las proyecciones estereográficas (Figura 1.2):
𝜙 ( ) 1 1𝑥 := 1− (𝑥 , . . . , 𝑥
𝑛−1), 𝜓 (𝑥) := 1 𝑛−1
1 𝑥𝑛 1 + (𝑥 , . . . , 𝑥 ) .𝑥𝑛
1-5
MA–870: Geometría Diferencial 1.1. Definición y ejemplos de variedades
( ) ( ) 𝑛−1 ‖ ‖2 1 − (𝑥
𝑛)2 1 + 𝑥𝑛
Si 𝑦 = 𝜙 𝑥 , 𝑧 = 𝜓 𝑥 en ℝ , entonces 𝑦 = ( = , por lo tanto1 − 𝑥𝑛)2 1 − 𝑥𝑛
𝜙−1( 1𝑦) = (2𝑦1+ ‖ ‖2 , . . . , 2𝑦
𝑛−1, ‖𝑦‖2 − 1),
1 𝑦
y por ende
1 𝑦
𝑧 = 𝜓 ◦ 𝜙−1(𝑦) = 1‖ ‖2 (𝑦 , . . . , 𝑦
𝑛−1) =
𝑦 ‖𝑦‖2
para 𝑦 ∈ 𝜙 (𝑈 ∩𝑉 ) = ℝ𝑛−1 \ {0}.
Es evidente que 𝜓 ◦ 𝜙−1 es una biyección suave de ℝ𝑛−1 \ {0} en sí mismo. ÈEsta
es la inversión en la esfera ecuatorial 𝕊𝑛−2.É En este caso 𝜓 (𝑈 ∩ 𝑉 ) = 𝜙 (𝑈 ∩ 𝑉 ) y
𝜙 ◦ 𝜓−1 : 𝑧 →↦ 𝑧/‖𝑧‖2 también. Luego estas dos cartas forman un atlas que determina
una estructura de variedad diferencial sobre la esfera 𝕊𝑛−1. ♦
Ejemplo 1.14. El plano proyectivo real ℝℙ2 := { 𝐿 6 ℝ3 : dim𝐿 = 1 } es el conjunto
de todas las rectas que pasan por el origen de ℝ3. Si 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ ℝ3 \ {0}, la recta
𝐿𝑥 que pasa por 0 y 𝑥 se denota por las coordenadas homogéneas 𝑥 = [𝑥1 : 𝑥2 : 𝑥3]
(en vista de que [𝑡𝑥1 : 𝑡𝑥2 : 𝑡𝑥3] = [𝑥1 : 𝑥2 : 𝑥3] para 𝑡 ≠ 0). Se debe observar que
ℝℙ2 = 𝑈1 ∪𝑈2 ∪𝑈3 donde
𝑈 𝑗 := { [𝑥1 : 𝑥2 : 𝑥3] : 𝑥 𝑗 ≠ 0 } para 𝑗 = 1, 2, 3.
La topologí⋃a deℝℙ2 se define como sigue:⁶ una parte𝑉 ⊆ ℝℙ2 es un abierto deℝℙ2 si y
solo si𝑉 = 𝑥∈𝑉 (𝐿𝑥 \{0}) es abierto enℝ3\{0}. Las aplicaciones biyectivas 𝜙 𝑗 : 𝑈 𝑗 → ℝ2
dadas por ( 2 3 ) ( 1 ) (𝑥 𝑥 𝑥 𝑥3 𝑥1 2 )
𝜙1( )
𝑥
𝑥 := 1 , 1 , 𝜙2(𝑥) := 2 , 2 , 𝜙3(𝑥) := 3 , 3 (1.3)𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
son bien definidas y continuas. Fíjese que cada 𝜙 𝑗 (𝑈 𝑗 ∩𝑈𝑘) es igual a ℝ2 menos uno de
sus ejes coordenados. Es evidente que ( 2 )
𝜙−1(𝑦11 , 𝑦2) = [1 : 𝑦1 : 𝑦2], 𝜙2 ◦ 𝜙−1(𝑦11 , 𝑦2)
1 𝑦
= 1 , 1 . (1.4)𝑦 𝑦
Las otras funciones de transición 𝜙𝑘 ◦ 𝜙−1𝑗 son del mismo estilo. Todos sus componentes
son cocientes de polinomios (de primer grado, en este caso) que no se anulan en sus
6El conjunto ℝℙ2 puede considerarse como un cociente de ℝ3 \ {0} bajo la relación de equivalencia:
𝑥 ∼ 𝑦 si y solo si 𝑦 = 𝑡𝑥 para algún 𝑡 ≠ 0; la clase de equivalencia de 𝑥 es 𝐿𝑥 \ {0}. Esta definición
de abiertos en ℝℙ2 se conoce como la topología cociente: es la topología más fuerte tal que la aplicación
cociente 𝑥 ↦→ (𝐿𝑥 \ {0}) es continua.
1-6
MA–870: Geometría Diferencial 1.1. Definición y ejemplos de variedades
dominios, y por ende son funciones suaves de dos variables. Luego ℝℙ2, con este atlas
de tres cartas locales, es una variedad diferencial de dimensión 2.
El plano proyectivo ℝℙ2, visto como conjunto sin estructura diferencial, es un espacio
homogéneo definido por la acción del grupomultiplicativoℝ× = ℝ\ {0} sobre el conjunto
ℝ3 \ {0} por multiplicación escalar, 𝑡 · 𝑥 := 𝑡𝑥 ∈ ℝ3 \ {0}. Las órbitas de esta acción de
grupo son rectas menos el origen, 𝐿𝑥 \ {0}.
Otra definición de ℝℙ2 viene de considerar la acción del grupo 𝐶2 = {1,−1} sobre
la esfera 𝕊2 = { 𝑥 ∈ ℝ3 : (𝑥1)2 + (𝑥2)2 + (𝑥3)2 = 1 }, por (−1) · 𝑥 := −𝑥 ∈ 𝕊2. Ahora
las órbitas son pares de puntos antipodales {𝑥,−𝑥}. Esta acción de grupo se obtiene del
anterior al imponer las ligaduras ‖𝑥 ‖ = 1 y |𝑡 | = 1. Nótese que 𝕊2 = 𝑉1 ∪𝑉2 ∪𝑉3 donde
cada 𝑉 2𝑘 es el abierto 𝕊 \ {𝒆𝑘,−𝒆𝑘} cocientado por 𝑥 ∼ −𝑥 . Se definen tres cartas locales
(𝑉𝑘,𝜓𝑘) por las mismas fórmulas respectivas (1.3) que definen los 𝜙𝑘 . Esta estructura
diferencial sobre ℝℙ2 coincide con la anterior. ♦
Definición 1.15. Si 𝑀 y 𝑁 son dos variedades diferenciales de dimensiones respectivas
𝑛 y 𝑚, con atlases A := { (𝑈𝛼 , 𝜙𝛼 ) : 𝛼 ∈ 𝐴 } y B := { (𝑉𝛽,𝜓𝛽) : 𝛽 ∈ 𝐵 } sobre 𝑀 y 𝑁
respectivamente, su producto cartesiano𝑀 ×𝑁 posee el a( tlas {(𝑈𝛼 ×𝑉)𝛽, 𝜙𝛼 ×𝜓𝛽)}, donde
𝜙𝛼 ×𝜓𝛽 : 𝑈𝛼 ×𝑉 → ℝ𝑛+𝑚𝛽 : (𝑥,𝑦) →↦ 𝜙𝛼 (𝑥),𝜓𝛽 (𝑦) .
El espacio topológico 𝑀 × 𝑁 , con este atlas, es la variedad producto de 𝑀 y 𝑁 . ♦
Ejemplo 1.16. La igualdad ℝ𝑛 ×ℝ𝑚 = ℝ𝑛+𝑚 es un isomorfismo ℝ-lineal de espacios vec-
toriales y un homeomorfismo de espacios topológicos. Además, la estructura diferencial
de variedad producto del lado izquierdo coincide con la estructura diferencial de ℝ𝑛+𝑚
al lado derecho, porque 1ℝ𝑛 × 1ℝ𝑚 = 1ℝ𝑛+𝑚 . ♦
Ejemplo 1.17. El toro (o 2-toro) 𝕋2 := 𝕊1 × 𝕊1 es el producto cartesiano de dos círculos.
(Se usa la letra 𝕋, de “toro”, como sinónimo de 𝕊1; así, 𝕋2 = 𝕋 × 𝕋.)
Inductivamente, se define el 𝒏-toro 𝕋𝑛 := 𝕋 ×𝕋𝑛−1 para cualquier 𝑛 ∈ ℕ∗. Esta es una
variedad diferencial de dimensión 𝑛. ♦
Ejemplo 1.18. Sea SU(2) el conjunto de matrices complejas 2 × 2, 𝑢 ∈ 𝑀2(ℂ), que son
unitarios: 𝑢𝑢∗ = 𝑢∗𝑢 = 1(2 y ade)más unimodulares: det𝑢 = 1. Sus elementos tienen laforma
𝛼 𝛽
𝑢 = − con 𝛼, 𝛽 ∈ ℂ, |𝛼 |
2 + |𝛽 |2 = 1. (1.5)
𝛽 𝛼
Nótese que para (𝛼, 𝛽) ∈ ℂ2 ' ℝ4 (isomorfismo de espacios ℝ-vectoriales), la condición
|𝛼 |2 + |𝛽 |2 = 1 es equivalente a (𝛼, 𝛽) ∈ 𝕊3, así que SU(2) es topológicamente una esfera
tridimensional. Es una variedad diferencial, por ser un caso particular del Ejemplo 1.13.
1-7
MA–870: Geometría Diferencial 1.2. Aplicaciones diferenciables
Sin embargo, se puede usar otra parametrización de sus elementos. No es difícil
comprobar que hay ángulos 𝜃, 𝜙,𝜓 tales que
𝛼 = 𝑒𝑖 (𝜙+𝜓 )/2 cos𝜃, 𝛽 = 𝑒𝑖 (𝜙−𝜓 )/2 sen𝜃 .
Hay una carta local (𝑉 , 𝜒) donde 𝑉 , un abierto denso en SU(2), está dada por las
condiciones −𝜋 < 𝜃 < 𝜋 , −2𝜋 < 𝜙 < 2𝜋 , −2𝜋 < 𝜓 < 2𝜋 . Fíjese que 12 ∈ 𝑉 . ♦
1.2. Aplicaciones diferenciables
Si 𝑈 ⊆ ℝ𝑛 y 𝑉 ⊆ ℝ𝑚 son dos abiertos en espacios euclidianos, conviene recordar la
definición de aplicación diferenciable de𝑈 en𝑉 . Una función 𝑓 : 𝑈 → 𝑉 es diferenciable
en 𝑥 ∈ 𝑈 si hay una aplicación ℝ-lineal 𝐿𝑥 : ℝ𝑛 → ℝ𝑚 tal que, para cada 𝜀 > 0 vale
‖ 𝑓 (𝑥 + ℎ) − 𝑓 (𝑥) − 𝐿𝑥 (ℎ)‖ < 𝜀‖ℎ‖ toda vez que ‖ℎ‖ < 𝛿,
donde 𝛿 = 𝛿 (𝜀) puede depender de 𝜀 y además 𝐵(𝑥, 𝛿) ⊆ 𝑈 . En otras palabras, la
aplicación ℎ ↦→ 𝑓 (𝑥 + ℎ) − 𝑓 (𝑥) puede ser aproximado hasta primer orden por una
función lineal 𝐿𝑥 ∈ L(ℝ𝑛,ℝ𝑚). En segundo lugar, se dice que 𝑓 es continuamente
diferenciable en 𝑈 , o de clase 𝑪1 en 𝑈 , si además la aplicación 𝑥 ↦→ 𝐿𝑥 es continua en
el dominio 𝑈 . Al escribir 𝐷𝑓 (𝑥) := 𝐿𝑥 se obtiene una función 𝐷𝑓 : 𝑈 → L(ℝ𝑛,ℝ𝑚), la
cual es continua si 𝑓 es de clase𝐶1; esta 𝐷𝑓 es la derivada de la función diferenciable 𝑓 .
Este formalismo “libre de coordenadas” es excelente para ciertos propósitos, entre
ellos para demostrar la regla de la cadena:
𝐷 (𝑔 ◦ 𝑓 ) (𝑥) = 𝐷𝑔(𝑓 (𝑥)) · 𝐷𝑓 (𝑥), (1.6)
cuando 𝑔 : 𝑉 →𝑊 ⊆ ℝ𝑘 es otra función continuamente diferenciable en 𝑉 ; el punto al
lado derecho indica la composición de aplicaciones lineales en L(ℝ𝑚,ℝ𝑘) y L(ℝ𝑛,ℝ𝑚).
Sin embargo, resulta incómodo que la derivada𝐷𝑓 tenga imagen en un espacio euclidiano
de mayor dimensión, si 𝑛 > 1; y en casos concretos es preferible emplear coordenadas
cartesianas. Para ello, se escribe la aplicación lineal 𝐷𝑓 (𝑥) como una matriz de derivadas
parciales:
­© 𝜕𝑓 1 1­­ 1 · · ·
𝜕𝑓
𝜕𝑥 𝜕𝑥𝑛 ª [ ]𝑖
𝐷𝑓 (𝑥) = .. . . ® 𝜕𝑓« . . . .. ®® ≡ . (1.7)𝜕𝑥 𝑗𝜕𝑓𝑚 𝑚1 · · · 𝜕𝑓𝜕𝑥 𝜕𝑥𝑛 ¬
Por lo tanto, 𝑓 es de clase 𝐶1 (es decir, 𝐷𝑓 es continua) si y solo si todas sus derivadas
parciales 𝜕𝑓 𝑖/𝜕𝑥 𝑗 son continuas.
1-8
MA–870: Geometría Diferencial 1.2. Aplicaciones diferenciables
En seguida, dícese que 𝑓 es de clase 𝑪2 si su derivada 𝐷𝑓 es de clase 𝐶1, o sea, si
todas las derivadas parciales de segunda orden 𝜕2𝑓 𝑖/𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥𝑘 son continuas. Nótese que,
para 𝑥 ∈ 𝑈 , la aplicación lineal 𝐷2𝑓 (𝑥) ∈ L(ℝ𝑛,L(ℝ𝑛,ℝ𝑚)) ' L(ℝ𝑛 × ℝ𝑛,ℝ𝑚) puede
ser considerada como una aplicación bilineal de ℝ𝑛 × ℝ𝑛 en ℝ𝑚. Un teorema conocido
(de Euler) asegura que la continuidad de 𝐷2𝑓 garantiza que esta aplicación bilineal es
simétrica; esto es, que las derivadas parciales mixtas de segundo orden coinciden:
𝜕2𝑓 𝑖 𝜕2𝑓 𝑖
= para todo 𝑗, 𝑘 = 1, . . . , 𝑛.
𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥 𝑗
Por inducción, 𝑓 es de clase 𝐶𝑘+1 si 𝐷𝑓 es de clase 𝐶𝑘 . Dícese que 𝑓 es suave o de
clase 𝑪∞ si 𝑓 es de clase 𝐶𝑘 para todo 𝑘; en cuyo caso, 𝐷𝑓 es también suave y las
derivadas parciales de orden superior de 𝑓 son invariantes bajo permutaciones de las
variables 𝑥 𝑗 .
Lema 1.19 (Hadamard). Si 𝑓 : 𝐵(𝑥, 𝑟 ) → ℝ es una función de clase 𝐶𝑘+1 definida en una
bola centrada en 𝑥 ∈ ℝ𝑛, entonce∑︁s hay funciones 𝑔 , . . . , 𝑔 : 𝐵(𝑥, 𝑟 ) → ℝ, todas de clase𝐶
𝑘
1 𝑛 ,
tales que
𝑛
𝑓 (𝑦) = 𝑓 (𝑥) + (𝑦 𝑗 − 𝑥 𝑗 ) 𝑔 𝑗 (𝑦) para ‖𝑦 − 𝑥 ‖ < 𝑟 . (1.8)
𝑗=1
Demostración. Para 𝑦 ∈ 𝐵(𝑥, 𝑟 ), defínase 𝑢𝑦 : [0, 1] → ℝ por 𝑢𝑦 (𝑡) := 𝑓 ((1 − 𝑡)𝑥 + 𝑡𝑦).
Entonces la función 𝑢𝑦 es (𝑘 + 1) veces diferenciable, con 𝑢𝑦 (0) = 𝑓 (𝑥), 𝑢𝑦 (1) = 𝑓 (𝑦). El
teorema fundamental del∫cálculo y la reg∫la de la cadena muestran que1 1∑︁𝑛
( 𝜕𝑓𝑢𝑦 1) − 𝑢𝑦 (0) = 𝑢′𝑦 (𝑡) 𝑑𝑡 𝑗∫= (𝑦 − 𝑥
𝑗 ) ((1 − 𝑡)𝑥 + 𝑡𝑦) 𝑑𝑡
∑︁ 𝜕𝑥 𝑗0 0 𝑗=1𝑛 1
= (𝑦 𝑗 − 𝑥 𝑗 ) 𝜕𝑓 ((1 − 𝑡)𝑥 + 𝑡𝑦) 𝑑𝑡 .
𝜕𝑥 𝑗
𝑗=1 0
Basta con definir ∫ 1
( ) 𝜕𝑓𝑔 𝑗 𝑦 := ((1 − 𝑡)𝑥 + 𝑡𝑦) 𝑑𝑡 para ‖𝑦 − 𝑥 ‖ < 𝑟 .
𝜕𝑥 𝑗0
Se verifica fácilmente, con la regla de la cadena, que cada 𝑔 𝑗 es de clase 𝐶𝑘 . De hecho,
para el caso 𝑘 = 0, se ve que 𝑔 𝑗 es continua porque el integrando es continuo en las
variables ( 𝜕𝑓𝑦, 𝑡). Nótese bien que 𝑔 𝑗 (𝑥) = (𝑥) para cada 𝑗 . 𝜕𝑥 𝑗
1-9
MA–870: Geometría Diferencial 1.2. Aplicaciones diferenciables
I Antes de proseguir, conviene recordar ciertos resultados clásicos sobre funciones dife-
renciables de varias variables, que se supondrán conocidos.⁷
Definición 1.20. Sea 𝑓 : 𝑈 → ℝ𝑛 una función diferenciable definida en un abierto
𝑈 ⊆ ℝ𝑛. Si 𝑥 ∈ 𝑈 , la aplicación lineal 𝐷𝑓 (𝑥) ∈ L(ℝ𝑛,ℝ𝑛) posee una matriz cuadrada
en𝑀𝑛 (ℝ), con respecto de la base usual deℝ 𝑛. El jacobian o de 𝑓 es la función 𝐽 𝑓 : 𝑈 →ℝ dada por
( ) := det ( ) =  𝜕𝑓 1 𝜕𝑓 11 . . . 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝑛   𝑖𝐽 𝑓 𝑥 𝐷𝑓 𝑥  .. .   . 𝜕𝑓. . .  ..  ≡ 𝜕𝑥 𝑗 . (1.9)𝜕𝑓 𝑛 𝜕𝑓 𝑛 
𝜕𝑥1
. . .
𝜕𝑥𝑛
Nótese que 𝐷𝑓 (𝑥) es una aplicación lineal invertible si y solo si 𝐽 𝑓 (𝑥) ≠ 0. ♦
Teorema 1.21 (de la aplicación inversa). Sea 𝑓 : 𝑈 → ℝ𝑛 una función de clase𝐶1 definida
en un abierto 𝑈 ⊆ ℝ𝑛. Si 𝐽 𝑓 (𝑥) ≠ 0 para algún 𝑥 ∈ 𝑈 , entonces hay un vecindario abierto
𝑉 de 𝑥 con 𝑉 ⊆ 𝑈 , con 𝑓 (𝑉 ) abierto en ℝ𝑛, donde la restricción 𝑓 |𝑉 es uno-a-uno. La
biyección diferenciable 𝑓 |𝑉 : 𝑉 → 𝑓 (𝑉 ) tiene una función inversa 𝑔 : 𝑓 (𝑉 ) → 𝑉 , la cual es
también de clase 𝐶1 con
1
𝐽𝑔(𝑓 (𝑦)) = ( ) para todo 𝑦 ∈ 𝑉 .𝐽 𝑓 𝑦
Si 𝑓 es de clase 𝐶𝑘 en 𝑈 , la función inversa local 𝑔 también es de clase 𝐶𝑘 en 𝑓 (𝑉 ). 
Nótese que la función original 𝑓 no tiene que ser uno-a-uno. Si𝑈 = ℝ2 \ {0}, tómese
𝑓 (𝑥,𝑦) := (𝑥2 − 𝑦2, 2𝑥𝑦), obviamente dos-a-uno (es la versión real del cuadrado 𝑧 ↦→ 𝑧2
para 𝑧 ∈ ℂ \ {0}). Entonces 𝐽 𝑓 (𝑥,𝑦) = 4𝑥2 +4𝑦2 > 0 para (𝑥,𝑦) ∈ 𝑈 . El punto (1, 0) ∈ 𝑈
posee un vecindario abierto 𝑉 , por ejemplo el semiplano 𝑥 > 0, en donde 𝑓 sí es uno-
a-uno. En tal cas√o, 𝑓 (𝑉 ) es el “plano cortado” ℝ
2 \ { (𝑥, 0) : 𝑥 6 0 }; la función inversa
local es 𝑟𝑒𝑖𝜃 ↦→ 𝑟 𝑒𝑖𝜃/2 definido para 𝑟 > 0, −𝜋 < 𝜃 < 𝜋 . En un vecindario del punto
(−1, 0), se debe usar otra rama de la raíz cuadrada compleja.
I Considérese una función diferenciable 𝑓 : 𝑈 → ℝ𝑝 con 𝑈 ⊆ ℝ𝑛 × ℝ𝑚 abierto. En un
punto (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝑈 , la derivada 𝐷𝑓 (𝑥0, 𝑦0) tiene una matriz de dos bloques 𝐷1𝑓 (𝑥0, 𝑦0) ∈
L(ℝ𝑛,ℝ𝑝) y 𝐷2𝑓 (𝑥0, 𝑦0) ∈ L(ℝ𝑚,ℝ𝑝). En términos de las inclusiones 𝑖 𝑛1 : ℝ ↩→ ℝ𝑛+𝑚 :
𝑥 ↦→ (𝑥,𝑦0) e 𝑖2 : ℝ𝑚 ↩→ ℝ𝑛+𝑚 : 𝑦 ↦→ (𝑥0, 𝑦), estos bloques son las derivadas de las
funciones 𝑓 ◦ 𝑖1 y 𝑓 ◦ 𝑖2 en los puntos respectivos 𝑥0, 𝑦0.
7Estos teoremas están enunciadas y demostradas enmuchos textos de análisis. Consúltese, por ejemplo,
en los libros de Abraham, Marsden y Ratiu; de Conlon; de Munkres; y de Spivak (ambos), entre los libros
de la bibliografía. Véase también el capítulo 10 del libro: J. A. Dieudonné, Fundamentos de análisis moderno,
Reverté, Barcelona, 1976.
1-10
MA–870: Geometría Diferencial 1.2. Aplicaciones diferenciables
Teorema 1.22 (de la función implícita). Si 𝑓 : 𝑈 → ℝ𝑚 es una función de clase𝐶1 definida
en un abierto𝑈 ⊆ ℝ𝑛 ×ℝ𝑚 y si (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝑈 es un punto donde 𝑓 (𝑥0, 𝑦0) = 0 y 𝐷2𝑓 (𝑥0, 𝑦0)
es invertible, entonces hay vecindarios abiertos 𝑉 de 𝑥0 en ℝ𝑛 y 𝑊 de 𝑦0 en ℝ𝑚 y una
aplicación 𝑔 : 𝑉 →𝑊 de clase 𝐶1 tales que
𝑓 (𝑥,𝑦) = 0 para (𝑥,𝑦) ∈ 𝑉 ×𝑊 ⇐⇒ 𝑦 = 𝑔(𝑥) para 𝑥 ∈ 𝑉 .
La derivada de 𝑔 está dada por
𝐷𝑔(𝑥) = −𝐷2𝑓 (𝑥,𝑔(𝑥))−1 · 𝐷1𝑓 (𝑥,𝑔(𝑥)) para todo 𝑥 ∈ 𝑉 .
Si 𝑓 es de clase 𝐶𝑘 en 𝑈 , entonces 𝑔 es de clase 𝐶𝑘 en 𝑉 . 
Definición 1.23. Sea 𝑓 : 𝑈 → ℝ𝑚 una función de clase𝐶1 definida en un abierto𝑈 ⊆ ℝ𝑛.
El rango de 𝒇 en un punto 𝑥 ∈ 𝑈 es el rango de la aplicación lineal 𝐷𝑓 (𝑥). Este rango
es, a su vez, el número de columnas linealmente independientes en la matriz de 𝐷𝑓 (𝑥);
o bien, el mayor 𝑟 ∈ ℕ tal que esa matriz tenga un menor 𝑟 × 𝑟 diferente de 0. Por
la continuidad de 𝐷𝑓 , los mismos menores de 𝐷𝑓 (𝑦) no son ceros para 𝑦 en algún
vecindario de 𝑥; por lo cual el rango de 𝐷𝑓 (𝑦) es mayor o igual que el rango de 𝐷𝑓 (𝑥).
En otras palabras,⁸ el conjunto 𝑉𝑥 := {𝑦 ∈ 𝑈 : rango𝐷𝑓 (𝑦) > rango𝐷𝑓 (𝑥) } es un
abierto de ℝ𝑛. ♦
Teorema 1.24 (del rango). Sea 𝑓 : 𝑈 → ℝ𝑚 una función de clase𝐶𝑘 definida en un abierto
𝑈 ⊆ ℝ𝑛, de rango constante 𝑟 en un vecindario de 𝑥 ∈ 𝑈 . Entonces hay vecindarios abiertos
𝑉 de 𝑥 y𝑊 de 𝑓 (𝑥), junto con biyecciones 𝜙 : 𝑉 → 𝜙 (𝑉 ) ⊆ ℝ𝑛 y 𝜓 : 𝑊 → 𝜓 (𝑊 ) ⊆ ℝ𝑚
con 𝜙 , 𝜙−1, 𝜓 , 𝜓−1 todos de clase 𝐶𝑘 , tales que 𝜓 ◦ 𝑓 ◦ 𝜙−1 : 𝜙 (𝑉 ) → 𝜓 (𝑊 ) tenga la forma
𝜓 ◦ 𝑓 ◦ 𝜙−1 : (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) ↦→ (𝑦1, . . . , 𝑦𝑟 , 0, . . . , 0), para todo 𝑦 ∈ 𝜙 (𝑉 ). 
La aplicación lineal𝐷𝑓 (𝑥), de rango 𝑟 , posee unamatriz𝑚×𝑛 con un bloque 1𝑟 y otros
bloques de ceros, con respecto a ciertas bases de ℝ𝑛 y ℝ𝑚 que transforman esa matriz
en una “forma escalonada”, por un algoritmo conocido del álgebra lineal. El teorema del
rango afirma que la función 𝑓 puede ser “rectificada” por cambios de coordenadas locales
apropiadas, representadas por las funciones 𝜙 y 𝜓 , de tal manera que este algoritmo es
aplicable a cada 𝐷𝑓 (𝑦) para 𝑦 en un vecindario del punto 𝑥 . Evidentemente, esto solo es
posible si el rango de 𝑓 es constante en ese vecindario.
I Cómo definir una aplicación diferenciable entre dos variedades que no necesariamente
son abiertos de espacios euclidianos? Las cartas locales permiten llevar la discusión al
ámbito de la situación clásica: así se define la diferenciabilidad.
8Dícese que la función rango𝐷𝑓 : 𝑈 → ℕ es semicontinua superiormente (si 𝑓 es de clase 𝐶1).
1-11
MA–870: Geometría Diferencial 1.2. Aplicaciones diferenciables
𝑓
𝑀 𝑁
𝑓 −1(𝑉 ) 𝑉
𝑈
𝜓
𝜙
ℝ𝑛 ℝ𝑚
𝜙 (𝑈 ) 𝜓 (𝑉 )
𝜓 ◦ 𝑓 ◦ 𝜙−1
Figura 1.3: Una versión local de una función suave
Definición 1.25. Sean 𝑀 , 𝑁 dos variedades diferenciales de dimensiones respectivas 𝑛
y 𝑚. Una aplicación continua 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 es suave, o indefinidamente diferenciable, si
para cada par de cartas locales (𝑈 ,𝜙) para 𝑀 y (𝑉 ,𝜓 ) para 𝑁 , la composición
𝜓 ◦ 𝑓 ◦ 𝜙−1 : 𝜙 (𝑈 ∩ 𝑓 −1(𝑉 )) → 𝜓 (𝑉 ) (1.10)
es una aplicación suave⁹ entre abiertos euclidianos; véase la Figura 1.3. ♦
Dos atlases A = {(𝑈𝛼 , 𝜙𝛼 )} para 𝑀 y B = {(𝑉𝛽,𝜓𝛽)} para 𝑁 definen cubrimientos
abiertos {𝑈𝛼 }𝛼∈𝐴 de 𝑀 y {𝑉𝛽}𝛽∈𝐵 de 𝑁 . Como 𝑓 es continua, las preimágenes 𝑓 −1(𝑉𝛽)
cubren 𝑀 con abiertos; las 𝑈 ∩ 𝑓 −1𝛼 (𝑉𝛽) forman un cubrimiento abierto más fino de 𝑀 .
Luego, las aplicaciones (1.10) son suficientes para determinar el comportamiento de la
función original 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 .
Definición 1.26. Un difeomorfismo entre dos variedades diferenciales 𝑀 y 𝑁 es una
aplicación biyectiva y suave 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 cuya función inversa 𝑓 −1 : 𝑁 → 𝑀 también es
suave. Dos variedades 𝑀 y 𝑁 se llaman difeomorfas si existe un difeomorfismo de 𝑀
en 𝑁 . ♦
9Una función 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 es una aplicación de clase 𝑪𝒌 entre variedades si todas las aplicaciones
de (1.10) entre abiertos euclidianos son de clase 𝐶𝑘 .
1-12
MA–870: Geometría Diferencial 1.2. Aplicaciones diferenciables
Ejemplo 1.27. Sea 𝔹𝑛 ≡ 𝐵(0, 1) := { 𝑥 ∈ ℝ𝑛 : ‖𝑥 ‖ < 1 } la bola abierta unitaria de ℝ𝑛
(con respecto a la norma euclidiana). La función biyectiva 𝑓 : 𝔹𝑛 → ℝ𝑛 dado por
( ) 2𝑥 𝑦𝑓 𝑥 := − ‖ ‖2 , 𝑓
−1(𝑦) = √︁
1 𝑥 1 + 1 + ‖𝑦‖2
es suave y 𝑓 −1 también es suave, como se verifica fácilmente. En este caso no es necesario
usar cartas locales porque los dominios y codominios son abiertos de ℝ𝑛. Por lo tanto, la
bola 𝔹𝑛 es difeomorfa al espacio total ℝ𝑛. ♦
Ejemplo 1.28. El soporte sop 𝑓 de una función continua 𝑓 : 𝑋 → ℝ𝑚 es un cerrado en
el espacio topológico 𝑋 , definido como la clausura del conjunto { 𝑥 ∈ 𝑋 : 𝑓 (𝑥) ≠ 0 }.
Una función suave 𝑓 : ℝ → ℝ puede tener soporte compacto sin ser idénticamente
nula. Si 𝑎 < 𝑏 en ℝ, considérese la función 𝑓 dada por
𝑓 (𝑡) := 𝑒−1/(𝑏−𝑡) (𝑡−𝑎) È𝑎 < 𝑡 < 𝑏É .
El empleo de la notación de Iverson y Knuth indica que 𝑓 (𝑡) ≡ 0 para 𝑡 6 𝑎 o 𝑡 > 𝑏. Se
verifica fácilmente que 𝑓 alcanza su máximo en 12 (𝑎 +𝑏), que es creciente en el intervalo
𝑎 < 𝑡 < 12 (𝑎 + 𝑏), decreciente en
1
2 (𝑎 + 𝑏) < 𝑡 < 𝑏, y suave en el intervalo abierto (𝑎, 𝑏).
Un cálculo explícito comprueba que 𝑓 (𝑟 ) (𝑎) = 𝑓 (𝑟 ) (𝑏) = 0 para todo 𝑟 ∈ ℕ. También es
evidente que sop(𝑓 ) = [𝑎, 𝑏], un intervalo compacto.
Considérese también su integral indefi∫nida normalizada:
𝑔(𝑡) := ∫ 𝑡−∞ 𝑓 (𝑠) 𝑑𝑠∞ .
−∞ 𝑓 (𝑠) 𝑑𝑠
Este 𝑔 : ℝ → ℝ es una función suave tal que 𝑔(𝑡) ≡ 0 si 𝑡 6 𝑎; 𝑔(𝑡) es creciente para
𝑎 < 𝑡 < 𝑏; y 𝑔(𝑡) ≡ 1 si 𝑡 > 𝑏. ♦
El ejemplo anterior permite definir una función suave ℎ : ℝ𝑛 → ℝ con las siguientes
características. Dados 𝑥 ∈ ℝ𝑛 y dos números reales 𝑎, 𝑏 con 0 6 𝑎 < 𝑏, se requiere que
ℎ(𝑦) ≡ 1 para ‖𝑦 − 𝑥 ‖ 6 𝑎,
0 < ℎ(𝑦) < 1 para 𝑎 < ‖𝑦 − 𝑥 ‖ < 𝑏,
ℎ(𝑦) ≡ 0 para ‖𝑦 − 𝑥 ‖ > 𝑏. (1.11)
Basta definir ℎ(𝑦) := 1 − 𝑔(‖𝑦 − 𝑥 ‖2) para la fu⋃nción 𝑔 del Ejemplo 1.28.
Si 𝑈 es un abierto en ℝ𝑛, entonces 𝑈 = 𝑘 𝑈𝑘 es una unión finita o numerable
donde cada 𝑈𝑘 = 𝐵(𝑥𝑘, 𝑟𝑘) es una bola abierta con centro 𝑥𝑘 ∈ 𝑈 ∩ ℚ𝑛 y radio racional
1-13
MA–870: Geometría Diferencial 1.2. Aplicaciones diferenciables
𝑟𝑘 ∈ (0, +∞) ∩ ℚ. Entonces, por (1.11), hay una función suave ℎ 𝑛𝑘 : ℝ → ℝ tal que
ℎ𝑘 (𝑦) > 0 para 𝑦 ∈ 𝑈𝑘 pero ℎ𝑘 (𝑧) = 0 para 𝑧 ∉ 𝑈𝑘 .
En la bola cerrada 𝑈 𝑘 = 𝐵(𝑥𝑘, 𝑟𝑘), la función continua |𝜕𝑟ℎ𝑘 | = |𝜕𝑟ℎ 𝑟𝑘/𝜕𝑥 | alcanza un
máximo, para cada multiíndice 𝑟 ∈ ℕ𝑛. Defínase
𝑀𝑘 := sup{ |𝜕 𝑛𝑟ℎ𝑘 | : 𝑥 ∈ ℝ , |𝑟 | 6 𝑘 },
notando que el lado derecho se anula fuera de 𝑈𝑘 , así que el supremo se alcanza efecti-
vamente en 𝑈 𝑘 . Entonces la función defi∑︁nido por la siguiente serie:∞
ℎ(𝑥) 1:= ℎ (𝑥)
2𝑘 𝑘𝑀
𝑘=0 𝑘
converge uniformemente en todoℝ𝑛. Además, al reemplazar cada ℎ𝑘 al lado derecho por
su derivada parcial 𝜕𝑟ℎ𝑘 la serie correspondiente converge uniformemente a 𝜕𝑟ℎ, lo cual
muestra que ℎ es de clase 𝐶∞ en ℝ𝑛. Por su construcción, ℎ : ℝ𝑛 → ℝ es una función
suave que se anula fuera de 𝑈 y cumple ℎ(𝑦) > 0 para 𝑦 ∈ 𝑈 .
Lema 1.29. Si𝐴 y 𝐵 son dos partes cerradas de ℝ𝑛 con𝐴∩𝐵 = ∅, entonces hay una función
suave 𝑓 : ℝ𝑛 → ℝ tal que:
𝑓 (𝑥) ≡ 1 para 𝑥 ∈ 𝐴,
0 < 𝑓 (𝑥) < 1 para 𝑥 ∉ (𝐴 ] 𝐵),
𝑓 (𝑥) ≡ 0 para 𝑥 ∈ 𝐵.
Demostración. Los complementos 𝑈 := ℝ𝑛 \ 𝐴 y 𝑉 := ℝ𝑛 \ 𝐵 son dos abiertos que
cubren ℝ𝑛. La construcción anterior permite fabricar dos funciones suaves 𝑔, ℎ : ℝ𝑛 →
[0,∞) tales que ℎ(𝑥) = 0 si y solo si 𝑥 ∈ 𝐴, y 𝑔(𝑥) = 0 si y solo si 𝑥 ∈ 𝐵. Entonces
𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ𝑛 pues 𝑈 ∪𝑉 = ℝ𝑛. Luego, la función
𝑔(𝑥)
𝑓 (𝑥) := 𝑛
𝑔( ) + ( ) para todo 𝑥 ∈ ℝ𝑥 ℎ 𝑥
es suave y no negativa; cumple 𝑓 (𝑥) = 1 si y solo si ℎ(𝑥) = 0 si y solo si 𝑥 ∈ 𝐴; y cumple
𝑓 (𝑥) = 0 si y solo si 𝑔(𝑥) = 0 si y solo si 𝑥 ∈ 𝐵. 
I Si 𝑀 es una variedad diferencial, una aplicación continua 𝑓 : 𝑀 → ℝ es suave si y
solo si 𝑓 ◦ 𝜙−1 : 𝜙 (𝑈 ) → ℝ es suave, para cada carta local (𝑈 ,𝜙) de 𝑀 . La totalidad de
aplicaciones suaves de𝑀 enℝ es entonces un álgebra real, es decir, un espacioℝ-vectorial
con un producto asociativo compatible con su suma y su multiplicación escalar:
𝑓 + 𝑔(𝑝) := 𝑓 (𝑝) + 𝑔(𝑝); 𝑓 𝑔(𝑝) := 𝑓 (𝑝) 𝑔(𝑝); 𝑡 𝑓 (𝑝) := 𝑡 𝑓 (𝑝) para 𝑡 ∈ ℝ.
1-14
MA–870: Geometría Diferencial 1.2. Aplicaciones diferenciables
Para comprobar que el producto puntual 𝑓 𝑔 de dos funciones suaves es otra función
suave, basta recordar que eso se verifica para funciones suaves en abiertos deℝ𝑛 y aplicar
la fórmula de composición:
(𝑓 𝑔) ◦ 𝜙−1 = (𝑓 ◦ 𝜙−1) (𝑔 ◦ 𝜙−1).
Esta álgebra será denotada por 𝐶∞(𝑀), o bien por 𝐶∞(𝑀,ℝ) si se quiere precisar que
los escalares son reales.
Una función con valores complejos ℎ : 𝑀 → ℂ es suave (por definición) si sus partes
real e imaginaria <ℎ : 𝑀 → ℝ, =ℎ : 𝑀 → ℝ son funciones reales suaves. Ellas forman
un álgebra compleja 𝐶∞(𝑀,ℂ) con las mismas operaciones puntuales.
Definición 1.30. Si (𝑈 ,𝜙) es una carta local para 𝑀 , se puede suponer, sin perder
generalidad, que 0 ∈ 𝜙 (𝑈 ). Llámese 𝑝 al punto de 𝑈 tal que 𝜙 (𝑝) = 0 ∈ ℝ𝑛. Para
cualquier 𝑞 ∈ 𝑈 , sean (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) las coordenadas cartesianas del vector 𝑥 := 𝜙 (𝑞). Las
funciones suaves 𝑥 𝑗 : 𝑈 → ℝ, para 𝑗 = 1, 2, . . . , 𝑛, son las coordenadas locales de 𝑀
asociadas con la carta local (𝑈 ,𝜙).
Dicho de otro modo: sea pr : 𝑥 →↦ 𝑥 𝑗𝑗 la proyección de ℝ𝑛 sobre ℝ que corresponde
al eje coordenado número 𝑗 , dado por 𝑥 = 𝑥1𝒆 + 𝑥21 𝒆2 + · · · + 𝑥𝑛𝒆𝑛, siendo {𝒆1, . . . , 𝒆𝑛}
la base estándar de ℝ𝑛. Las coordenadas locales son las funciones 𝑥 𝑗 := pr 𝑗 ◦𝜙 : 𝑈 → ℝ
para 𝑗 = 1, . . . , 𝑛, que son suaves sobre 𝑈 porque cada pr 𝑗 es suave sobre ℝ𝑛. ♦
Si (𝑉 ,𝜓 ) es alguna otra carta local para 𝑀 con 𝑝 ∈ 𝑉 tal que 𝜓 (𝑝) = 0 también,
las coordenadas cartesianas del vector 𝑦 = 𝜓 (𝑞) dan otro sistema de coordenadas loca-
les (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) sobre 𝑉 . La transformación (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ↦→ (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) es una función
vectorial de 𝑛 variables que representa la aplicación
𝜓 ◦ 𝜙−1 : 𝜙 (𝑈 ∩𝑉 ) → 𝜓 (𝑈 ∩𝑉 ).
Por lo tanto, este cambio de coordenadas locales es una aplicación suave. Su derivada
es la matriz de derivadas[parc]iales, de 𝜙 (𝑈 ∩𝑉 ) en L(ℝ𝑛,ℝ𝑛):  
𝑖 𝑖
𝐷 (𝜓 ◦ 𝜙−1
 
) 𝜕𝑦 𝜕𝑦= , con determinante 𝐽 (𝜓 ◦ 𝜙−1) :=   ≠ 0.
𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑗 
Este determinante, el jacobiano de 𝜓 ◦ 𝜙−1, no se anula en 𝜙 (𝑈 ∩ 𝑉 ) porque la matriz
𝐷 (𝜓 ◦ 𝜙−1) es invertible, por la regla de la cadena (1.6) aplicada a las funciones inversas
𝜓 ◦ 𝜙−1 y 𝜙 ◦𝜓−1.
Ejemplo 1.31. Para el plano proyectivo ℝℙ2 del Ejemplo 1.14, llámese (𝑦1, 𝑦2) a las
coordenadas locales de la carta local (𝑈1, 𝜙 ) y (𝑧1, 𝑧21 ) a las coordenadas locales de la
1-15
MA–870: Geometría Diferencial 1.3. Vectores tangentes
carta local (𝑈2, 𝜙2). De la fórmula (1.4) se ve que 𝑧1 = 1/𝑦1, 𝑧2 = 𝑦2/𝑦1 en el dominio
común 𝜙1(𝑈1 ∩𝑈 12) = { (𝑦( , 𝑦2) ∈ ℝ2 : 𝑦1 ≠)0 }. Entonces1 2
( ◦ −1) −1/(𝑦 ) 0 ( ◦ −1) 1𝐷 𝜙2 𝜙1 = − 2/( 1)2 / 1 , 𝐽 𝜙2 𝜙1 = −𝑦 𝑦 1 𝑦 (𝑦1)3 ≠ 0.
Nótese que en este caso 𝜙1(𝑈1 ∩𝑈2) es disconexo,1⁰ por ser la unión disjunta de dos
semiplanos abiertos 𝑦1 > 0 y 𝑦1 < 0. En uno de ellos el jacobiano tiene signo negativo y
en el otro tiene signo positivo. Esta situación incómoda es un artefacto del cubrimiento
abierto ℝℙ2 = 𝑈1 ∪𝑈2 ∪𝑈3 usado para el atlas mínimo de tres cartas. ♦
1.3. Vectores tangentes
Una superficie suave en ℝ3 posee en cada uno de sus puntos un plano tangente;
se pretende ahora generalizar este concepto a variedades de cualquier dimensión, no
necesariamente encajadas en un espacio euclidiano ambiente. Un plano tangente a una
superficie es un espacio afín: desde el punto de contacto con la superficie a cualquier
punto del plano tangente se puede trazar un vector tangente. Este vector representa la
velocidad de una curva sobre la superficie que pasa por el punto de contacto; pero a la
vez puede verse como una derivada direccional (en el punto de contacto) de las funciones
diferenciables sobre la superficie.
La derivada en 𝑥 ∈ ℝ𝑛 de una función suave 𝛼 solo dependen de la restricción
de 𝛼 a un vecindario abierto 𝑈 de 𝑥 . En efecto, si 𝛽 : 𝑉 → ℝ𝑛 es otra función suave
donde 𝑉 es otro vecindario abierto de 𝑥 , tal que 𝛼 (𝑦) = 𝛽 (𝑦) en 𝑈 ∩ 𝑉 , entonces
𝐷𝛼 (𝑥) = 𝐷𝛽 (𝑥). Esto se ve al considerar las diferencias 𝛼 (𝑥 +ℎ) −𝛼 (𝑥), 𝛽 (𝑥 +ℎ) − 𝛽 (𝑥),
donde 𝑥 + ℎ ∈ 𝐵(𝑥;𝛿) ⊆ 𝑈 ∩𝑉 , para 𝛿 > 0 pequeño.
Entonces se puede establecer una relación de equivalencia, (𝛼,𝑈 ) ∼ (𝛽,𝑉 ), si hay un
abierto𝑊 con 𝑥 ∈𝑊 ⊂𝑊 ⊂ 𝑈 ∩𝑉 tal que 𝛼 (𝑦) = 𝛽 (𝑦) para 𝑦 ∈𝑊 ; de modo que 𝐷𝛼 (𝑥)
solo depende de la clase de equivalencia de (𝛼,𝑈 ), la cual se llama el germen de 𝛼 en 𝑥 .
Esta noción de germen (de una función en un punto) se puede definir en una variedad
diferencial cualquiera, no solo en ℝ𝑛. Esto motiva la siguiente definición.
Definición 1.32. Sea 𝑝 un punto de una variedad diferencial 𝑀 . Una función suave11
𝑓 : 𝑉𝑓 → ℝ definida en un vecindario abierto 𝑉𝑓 de 𝑝 se declara equivalente a otra,
10Un espacio topológico 𝑋 es disconexo si 𝑋 = 𝑈 ] 𝑉 es la unión disjunta de dos abiertos no vacíos
𝑈 ≠ ∅ y 𝑉 ≠ ∅. El plano ℝ2 menos una recta es disconexo: los dos semiplanos a cada lado de la recta
forman una desconexión. Por el contrario, dícese que 𝑋 es conexo si no es disconexo. Un teorema de
topología asegura que la imagen continua de un espacio conexo es también conexo.
11Si (𝑈 ,𝜙) es una carta de𝑀 con 𝑝 ∈ 𝑈 , 𝜙 (𝑈 ∩𝑉𝑓 ) es abierto en ℝ𝑛 y 𝑓 ◦𝜙−1 es suave en ese dominio.
1-16
MA–870: Geometría Diferencial 1.3. Vectores tangentes
𝑔 : 𝑉𝑔 → ℝ, si hay un vecindario abierto𝑊 de 𝑝 con𝑊 ⊂ 𝑉𝑓 ∩ 𝑉𝑔 tal que 𝑓 (𝑞) = 𝑔(𝑞)
para todo 𝑞 ∈𝑊 . La clase de equivalencia [(𝑓 ,𝑉𝑓 )] se llama el germen de 𝒇 en 𝒑.
Denótese por𝐶∞(𝑀, 𝑝) la totalidad de dichos gérmenes. Si 𝑓 , 𝑔 son suaves cerca de 𝑝
y 𝑡 ∈ ℝ, tómese 𝑉𝑡 𝑓 := 𝑉𝑓 y 𝑉𝑓 +𝑔 = 𝑉𝑓 𝑔 := 𝑉𝑓 ∩𝑉𝑔; con estos vecindarios de 𝑝 se definen
los gérmenes de 𝑡 𝑓 , 𝑓 + 𝑔, 𝑓 𝑔, respectivamente. De este manera, 𝐶∞(𝑀, 𝑝) resulta ser
un ℝ-álgebra conmutativa. Con un abuso de notación, se escribe “𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀, 𝑝)” como
abreviatura de “[(𝑓 ,𝑉 )] ∈ 𝐶∞𝑓 (𝑀, 𝑝)”.
Los gérmenes de las coordenadas locales 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛 introducidas en la Definición 1.30
son elementos del álgebra 𝐶∞(𝑀, 𝑝). ♦
Definición 1.33. Sea𝑀 una variedad diferencial de dimensión 𝑛 y sea 𝑝 ∈ 𝑀 . Un vector
tangente en 𝒑 es una forma ℝ-lineal 𝑣}: 𝐶∞(𝑀, 𝑝) → ℝ, es decir,
𝑣 (𝑓 + 𝑔) = 𝑣 (𝑓 ) + 𝑣 (𝑔)
para 𝑓 , 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑀, 𝑝), 𝑡 ∈ ℝ; (1.12a)
𝑣 (𝑡 𝑓 ) = 𝑡 𝑣 (𝑓 )
que además cumple la siguiente regla de Leibniz local:
𝑣 (𝑓 𝑔) = 𝑣 (𝑓 ) 𝑔(𝑝) + 𝑓 (𝑝) 𝑣 (𝑔) para todo 𝑓 , 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑀, 𝑝). (1.12b)
La totalidad de vectores tangentes en 𝑝 es un espacio ℝ-vectorial, denotado 𝑇𝑝𝑀 . ♦
Resulta que es posible considerar un vector tangente 𝑣 en 𝑝 como una forma lineal
sobre las funciones suaves 𝑓 : 𝑉𝑓 → ℝ y no solo sobre sus clases de equivalencia. Si
𝑔 : 𝑉𝑔 → ℝ tal que (𝑓 ,𝑉𝑓 ) ∼ (𝑔,𝑉𝑔); y si (𝑈 ,𝜙) es una carta local de 𝑀 con 𝑝 ∈ 𝑈 ,
entonces hay un abierto 𝑉 de 𝑀 con 𝑝 ∈ 𝑉 ⊂ 𝑉 ⊂ 𝑈 ∩𝑉𝑓 ∩𝑉𝑔 tal que 𝑓 (𝑞) = 𝑔(𝑞) para
todo 𝑞 ∈ 𝑉 . Por el Lema 1.29, hay una función 𝐹 : ℝ𝑛 → [0, 1] tal que 𝐹 (𝜙 (𝑞)) = 1 para
𝑞 ∈ 𝑉 y 𝐹 (𝑦) = 0 para 𝑦 ∉ 𝜙 (𝑈 ). Defínase [(ℎ,𝑈 )] ∈ 𝐶∞(𝑀, 𝑝) por ℎ(𝑞) := 𝐹 (𝜙 (𝑞)), de
tal manera que ℎ(𝑞) = 1 para 𝑞 ∈ 𝑉 . Resulta entonces que (𝑓 −𝑔) ℎ = 0 en𝐶∞(𝑀, 𝑝). De
las propiedades (1.12) y la igualdad ℎ(𝑝) = 1 se obtiene
0 = 𝑣 (0) = 𝑣 ((𝑓 − 𝑔)ℎ) = (𝑣 (𝑓 ) − 𝑣 (𝑔)) 1 + (𝑓 (𝑝) − 𝑔(𝑝)) 𝑣 (ℎ) = 𝑣 (𝑓 ) − 𝑣 (𝑔).
Esto dice que 𝑓 ↦→ 𝑣 (𝑓 ) está bien definida sobre funciones suaves definidas cerca de 𝑝;
porque si dos funciones suaves 𝑓 , 𝑔 coinciden en un vecindario de 𝑝, entonces 𝑣 (𝑓 ) = 𝑣 (𝑔).
Lema 1.34. Si 𝑣 ∈ 𝑇𝑝𝑀 es un vector tangente en 𝑝 ∈ 𝑀 , y si 𝑐 : 𝑉𝑐 → ℝ es constante en un
vecindario de 𝑝, entonces 𝑣 (𝑐) = 0.
1-17
MA–870: Geometría Diferencial 1.3. Vectores tangentes
Demostración. Se puede suponer, por el párrafo anterior, que 𝑐 es una función constante
– de valor 𝑐 (𝑝) ∈ ℝ – definido en todo 𝑀 . Si 𝑓 : 𝑉𝑓 → ℝ es cualquier función suave
definida cerca de 𝑝, se verifica
𝑐 (𝑝)𝑣 (𝑓 ) = 𝑣 (𝑐 (𝑝) 𝑓 ) = 𝑣 (𝑐 𝑓 ) = 𝑣 (𝑐) 𝑓 (𝑝) + 𝑐 (𝑝) 𝑣 (𝑓 ),
así que 𝑣 (𝑐) 𝑓 (𝑝) = 0, cualquiera que sea 𝑓 (𝑝). Eso implica que 𝑣 (𝑐) = 0. 
Proposición 1.35. 𝑇𝑝𝑀 es un espacio ℝ-vectorial, con dimℝ𝑇𝑝𝑀 = dim𝑀 .
Demostración. Sea (𝑈 ,𝜙) una carta local de 𝑀 tal que 𝜙 (𝑝) = 0. Las coordenadas
locales 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛 asociadas con esta carta definen elementos de 𝐶∞(𝑀, 𝑝). Denótese
por 𝜕1, . . . , 𝜕𝑛 las derivadas parciales ordinarias de funciones sobre ℝ𝑛; y por 𝜕 𝑗 la𝜕𝑥 𝑝
forma ℝ-lineal sobre 𝐶∞(𝑀, 𝑝) dada por
𝜕  : 𝑓 →↦ 𝜕 𝑗 (𝑓 ◦ 𝜙−1) (0). (1.13)
𝜕𝑥 𝑗 𝑝
La regla del producto (para derivadas parciales en ℝ𝑛) implica que
 𝜕 𝑗 (𝑓 𝑔 ◦ 𝜙−1) (0) = 𝜕 𝑗 (𝑓 ◦ 𝜙−1) (0) 𝑔(𝑝) + 𝑓 (𝑝) 𝜕 (𝑔 ◦ 𝜙−1𝑗 ) (0),así que 𝜕 𝑗 ∈ 𝑇𝑝𝑀 . En particular, al tomar 𝑓 = 𝑥
𝑘 para 𝑘 = 1, . . . , 𝑛, se obtiene
𝜕𝑥 𝑝
𝜕
   (𝑥𝑘) = È 𝑗 = 𝑘É,  𝜕𝑥 𝑗 𝑝de donde se ve que 𝜕 𝜕1 , . . . , 𝑛 son linealmente independientes en 𝑇𝑝𝑀 .𝜕𝑥 𝑝 𝜕𝑥 𝑝
Para 𝑣 ∈ 𝑇𝑝𝑀 cualquiera, escríbase 𝑣𝑘 := 𝑣 (𝑥𝑘). Si 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀, 𝑝), el Lema 1.8 muestra
que la función suave 𝑓 ◦ 𝜙−1 : 𝜙 (𝑈 ∩𝑉𝑓 ) → ℝ puede expresarse en la forma12
(𝑓 ◦ 𝜙−1) (𝜙 (𝑞)) = (𝑓 ◦ 𝜙−1) (0) + 𝑥 𝑗 (𝑞) 𝑔 𝑗 (𝜙 (𝑞))
donde cada 𝑔 𝑗 : 𝜙 (𝑈 ∩𝑉𝑓 ) → ℝ es suave y 𝑔 𝑗 (0) = 𝜕 𝑗 (𝑓 ). En consecuencia, se verifica𝜕𝑥 𝑝
𝑓 = 𝑐 + 𝑥 𝑗 (𝑔 𝑗 ◦ 𝜙) en 𝐶∞(𝑀, 𝑝), donde 𝑐 es una constante. Como 𝑣 (𝑐) = 0, y cada
𝑥 𝑗 (𝑝) = 0, se obtiene la regla de Leibniz: 
𝑣 (𝑓 ) = 𝑣 (𝑥 𝑗 ) 𝜕𝑔 𝑗 (0) 𝑗

= 𝑣  (𝑓 ).
𝜕𝑥 𝑗 𝑝 
Como 𝑓 es arbitrario, se deduce la combinación lineal 𝑣 = 𝑣 𝑗 𝜕 𝑗 . Por ende, los 𝑛 vectores𝜕𝑥 𝑝tangentes 𝜕 𝑗 forman una base para 𝑇𝑝𝑀 , así que dim𝑇𝑝𝑀 = 𝑛. 𝜕𝑥 𝑝
12Hay una suma implícita sobre 𝑗 = 1, . . . , 𝑛, por el convenio de Einstein.
1-18
MA–870: Geometría Diferencial 1.3. Vectores tangentes
Definición 1.36. Una curva suave en una variedad diferencial 𝑀 es una aplicación
continua 𝛾 : 𝐼 → 𝑀 , definida en un intervalo cerrado 𝐼 = [𝑎, 𝑏] ⊆ ℝ, que es suave en el
interior (𝑎, 𝑏). ÈSe permiten los casos 𝑎 = −∞ y 𝑏 = +∞, excluyendo los extremos en
tales casos.É ♦
Fíjese que la curva es la aplicación 𝛾 misma y no el conjunto imagen 𝛾 (𝐼 ) ⊆ 𝑀 ,
el cual se llama la trayectoria de la curva. Por ejemplo, si 𝛾 : ℝ → ℝ2 se define por
𝛾 (𝑡) := (cos 𝑡, sen 𝑡), la trayectoria es el círculo 𝕊1, pero la curva es el recorrido de ese
círculo, infinitas veces, en el sentido contrario a reloj.
Definición 1.37. Sea 𝑀 una variedad diferencial con 𝑝 ∈ 𝑀 , y sea 𝛾 : 𝐼 → 𝑀 una curva
en 𝑀 con 𝛾 (𝑡0) = 𝑝. La siguiente receta define un
→↦ ( ◦ )′( ) 𝑑: 
vector tangente en 𝑇𝑝𝑀:
𝑓 𝑓 𝛾 𝑡0 =  (𝑓 ◦ 𝛾) (𝑡).
𝑑𝑡 𝑡=𝑡0
(Si 𝑡0 es un extrema del intervalo 𝐼 , se usa la derivada unilateral en 𝑡 = 𝑡0.)
El vector tangente será denotado por 𝛾¤(𝑡0), de modo que
〈𝛾¤(𝑡0), 𝑓 〉 := (𝑓 ◦ 𝛾)′(𝑡0) . (1.14)
Este 𝛾¤(𝑡0) se llama la derivada direccional en 𝑝 a lo largo de la curva 𝜸 . ♦
Definición 1.38. Sea 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 una aplicación suave entre dos variedades diferenciales.
Para cada 𝑝 ∈ 𝑀 , la aplicación tangente 𝑇𝑝 𝑓 : 𝑇𝑝𝑀 → 𝑇𝑓 (𝑝)𝑁 es la aplicación ℝ-lineal
determinado por:
𝑇 ∞𝑝 𝑓 (𝑣) : ℎ ↦→ 𝑣 (ℎ ◦ 𝑓 ) para 𝑣 ∈ 𝑇𝑝𝑀, ℎ ∈ 𝐶 (𝑁, 𝑓 (𝑝)).
Obsérvese que 𝑇𝑝 𝑓 (𝑣) ∈ 𝑇𝑓 (𝑝)𝑁 , puesto que
𝑇𝑝 𝑓 (𝑣) (ℎ𝑘) = 𝑣 (ℎ𝑘 ◦ 𝑓 ) = 𝑣 ((ℎ ◦ 𝑓 ) (𝑘 ◦ 𝑓 ))
= 𝑣 (ℎ ◦ 𝑓 ) 𝑘 (𝑓 (𝑝)) + ℎ(𝑓 (𝑝)) 𝑣 (𝑘 ◦ 𝑓 ). ♦
Lema 1.39. Si 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 es una aplicación suave, si (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) y (𝑦1, . . . , 𝑦𝑚) son
coordenadas locales para cartas (𝑈 ,𝜙) de 𝑀 y (𝑉 ,𝜓 ) de 𝑁 con 𝜙 (𝑝) = 𝜓 (𝑓 (𝑝)) = 0, la
matriz de la aplicación tangente𝑇𝑝 𝑓 con respecto a la base (1.13) de𝑇𝑝𝑀 y la base análoga
de 𝑇𝑓 (𝑝)𝑁 es la matri[z de de]riva[das p arciales ]de la expresión local de 𝑓 en el origen:
𝜕𝑓 𝑖  ≡ 𝜕  (𝑦𝑖 ◦ 𝑓 ) = 𝐷 (𝜓 ◦ 𝑓 ◦ 𝜙−1) (0). (1.15)
𝜕𝑥 𝑗 𝑝 𝜕𝑥 𝑗 𝑝
1-19
MA–870: Geometría Diferencial 1.4. Subvariedades
Demostración. Por su(defini)ción, 𝑇𝑝 𝑓 obe dece
𝜕
𝑇𝑝 𝑓  𝜕: 𝑦𝑖 →↦  (𝑦𝑖 ◦ 𝑓 ) = 𝜕 𝑗 (𝑦𝑖 ◦ 𝑓 ◦ 𝜙−1) (0) .
𝜕𝑥 𝑗 𝑝 𝜕𝑥 𝑗 𝑝
Esta es la entrada (𝑖, 𝑗) de la matriz de derivadas parciales en 0 de 𝜓 ◦ 𝑓 ◦ 𝜙−1. 
Lema 1.40 (Regla de la cadena). Si 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 , 𝑔 : 𝑁 → 𝑅 son aplicaciones suaves entre
variedades, y si 𝑝 ∈ 𝑀 , entonces la aplicación tangente 𝑇𝑝 (𝑔 ◦ 𝑓 ) está dada por:
𝑇𝑝 (𝑔 ◦ 𝑓 ) = 𝑇𝑓 (𝑝)𝑔 ◦𝑇𝑝 𝑓 . (1.16)
Demostración. Elíjanse cartas locales (𝑈 ,𝜙) para 𝑀 , (𝑉 ,𝜓 ) para 𝑁 y (𝑊, 𝜒) para 𝑅, con
𝑝 ∈ 𝑈 , 𝑓 (𝑝) ∈ 𝑉 y 𝑔(𝑓 (𝑝)) ∈𝑊 . Sin perder generalidad, se puede suponer que 𝜙 (𝑝) = 0
y que 𝜓 (𝑓 (𝑝)) = 0. Sean 𝐹 := 𝜓 ◦ 𝑓 ◦ 𝜙−1 y 𝐺 := 𝜒 ◦ 𝑔 ◦𝜓−1 las expresiones locales de 𝑓
y 𝑔 entre los dominios apropiados. La regla de cadena ordinaria (1.6) aplicada a 𝐹 y 𝐺
en el punto 0 = 𝜙 (𝑝), produce la multiplicación de matrices (1.15) que corresponde con
la composición de aplicaciones lineales (1.16). 
1.4. Subvariedades
Definición 1.41. Una aplicación suave entre dos variedades 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 se llama una
inmersión si para todo 𝑝 ∈ 𝑀 , la aplicación tangente 𝑇𝑝 𝑓 : 𝑇𝑝𝑀 → 𝑇𝑓 (𝑝)𝑁 es inyectiva.
Si 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 es una inmersión y si además 𝑓 : 𝑀 → 𝑓 (𝑀) ⊆ 𝑁 es un homeomorfis-
mo, 𝑓 se llama un encaje (embedding, en inglés; plongement, en francés).
Una aplicación suave 𝑔 : 𝑀 → 𝑁 es una sumersión si para todo 𝑝 ∈ 𝑀 , la aplicación
tangente 𝑇𝑝𝑔 es sobreyectiva.13 ♦
Si 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 es una inmersión y una sumersión a la vez, es decir, si cada aplicación
tangente 𝑇𝑝 𝑓 es biyectiva, entonces dim𝑀 = dim𝑁 y la matriz (1.15) es invertible para
cada 𝑝 ∈ 𝑀 . Por el Teorema 1.21 (de la aplicación inversa), hay un vecindario abierto𝑊
de 𝜙 (𝑝) en ℝ𝑛 en el cual la aplicación suave𝜓 ◦ 𝑓 ◦𝜙−1 es uno-a-uno y posee un inverso
suave. Luego 𝑓 es inyectiva y posee un inverso suave, en el sentido de la Definición 1.25,
en el vecindario abierto 𝑉𝑓 := 𝜙−1(𝑊 ) de 𝑝 en 𝑀 . En resumen, una función suave 𝑓 de
este tipo es un difeomorfismo local.
Ejemplo 1.42. La función 𝑓 : 𝕊1 → 𝕊1 : 𝑒𝑖𝜃 ↦→ 𝑒2𝑖𝜃 es dos-a-uno y por lo tanto no es
un difeomorfismo. La aplicación tangente 𝑇1𝑓 se calcula como sigue. Defínase dos cartas
13Algunos textos en español emplean la palabra sumersión para denotar un encaje; esto a veces causa
confusión. Este error lingüístico se debe posiblemente al libro de Santaló.
1-20
MA–870: Geometría Diferencial 1.4. Subvariedades
(𝑈 ,𝜙) y (𝑉 ,𝜓 ) por 𝑈 := { 𝑒𝑖𝜃 : −𝜋2 < 𝜃 <
𝜋
2 }, 𝜙 (𝑒
𝑖𝜃 ) := 𝜃 ; y 𝑉 := { 𝑒𝑖𝜃 : −𝜋 < 𝜃 < 𝜋 },
𝜓 (𝑒𝑖𝜃 ) := 𝜃 . La expresión local de 𝑓 : 𝑈 → 𝑉 es 𝜓 ◦ 𝑓 ◦ 𝜙−1 : 𝜃 ↦→ 2𝜃 , así que 𝑇1𝑓 es la
aplicación lineal biyectiva 𝑣 ↦→ 2𝑣 .
Si 𝑝 = 𝑒𝑖𝛼 ≠ 1, se puede adaptar este cálculo con rotaciones apropiadas de 𝑈 y 𝑉
para comprobar que 𝑇 1 1𝑝 𝑓 : 𝑇𝑝𝕊 → 𝑇𝑝2𝕊 tiene el mismo formato 𝑤 ↦→ 2𝑤 ; por ende,
cada𝑇𝑝 𝑓 es biyectiva. En conclusión, esta doble envoltura del círculo es un difeomorfismo
local, pero no es un difeomorfismo “global”. ♦
•
Figura 1.4: La lemniscata de Bernoulli
Ejemplo 1.43. La lemniscata de Bernoulli es la curva en ℝ2 cuya trayectoria obedece
la ecuación polinomial de cuarto grado:
(𝑥2 + 𝑦2)2 = 2𝑎2(𝑥2 − 𝑦2),
donde 𝑎 > 0 es un parámetro. Esta curva se puede parametrizar por las funciones
√ √
( ) 𝑎 2 cos 𝑡 ( ) 𝑎 2 cos 𝑡 sen 𝑡𝑥 𝑡 := + 2 , 𝑦 𝑡 :=1 sen 𝑡 1 + 2 .sen 𝑡
En otras palabras, la curva𝛾 : ℝ→ ℝ2 dada por𝛾 (𝑡) := (𝑥 (𝑡), 𝑦 (𝑡)) recorre la trayectoria
dada (infinitas veces); para obtener un solo recorrido hay que restringir 𝛾 a un intervalo
de longitud 2𝜋 , por ejemplo [0, 2𝜋). Esta parametrización es regular porque𝛾 ′(𝑡) ≠ (0, 0)para todo 𝑡 ∈ ℝ. Entonces la aplicación tangente 𝑇 𝛾 : 𝑑𝑡 →↦ 𝛾 ′(𝑡) no se anula en 𝑡 ∈ ℝ.𝑑𝑡 𝑡
Luego cada 𝑇𝑡𝛾 es uno-a-uno, así que 𝛾 es una inmersión de ℝ en ℝ2.
Sin embargo, la curva 𝛾 no es un encaje. Aun cuando se considera l√a restricción
de 𝛾 a una función suave del intervalo abierto (0, 2𝜋) al abierto ℝ2 \ {(𝑎 2, 0)} en el
plano, esta tampoco es un encaje porque no es uno-a-uno, como evidencia el punto doble
(0, 0) = 𝛾 (𝜋/2) = 𝛾 (3𝜋/2): véase la Figura 1.4. ♦
1-21
MA–870: Geometría Diferencial 1.4. Subvariedades
Definición 1.44. Sea 𝑀 una variedad diferencial, dim𝑀 = 𝑛. Una subvariedad de 𝑀 es
una parte 𝑅 ⊆ 𝑀 que es también una variedad diferencial con dim𝑅 = 𝑟 6 𝑛; donde
en cada punto 𝑝 ∈ 𝑅 hay una carta local (𝑈 ,𝜙) de 𝑀 , con 𝑝 ∈ 𝑈 y 𝜙 (𝑝) = 0, tal que
𝑅 ∩𝑈 = {𝜙−1(𝑥1, . . . , 𝑥𝑟 , 0, . . . , 0) : 𝑥 ∈ ℝ𝑟 con (𝑥, 0) ∈ 𝜙 (𝑈 ) }. (1.17)
Aquí (𝑥, 0) ≡ (𝑥1, . . . , 𝑥𝑟 , 0, . . . , 0). En tal caso, la expresión local 𝜙 ◦ 𝑖 |𝑅∩𝑈 ◦ 𝜙−1 de la
inclusión 𝑖 : 𝑅 ↩→ 𝑀 coincide con la inclusión 𝑥 ↦→ (𝑥, 0) : ℝ𝑟 ↩→ ℝ𝑛, y por ende la
aplicación 𝑖 es una inmersión. ♦
Proposición 1.45. Sea 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 una sumersión y sea 𝑆 una subvariedad de 𝑁 . Entonces
𝑅 = 𝑓 −1(𝑆) es una subvariedad de 𝑀 , de dimensión dim𝑅 = dim𝑀 − dim𝑁 + dim 𝑆 .
Demostración. Escríbase 𝑛 = dim𝑀 ,𝑚 = dim𝑁 , 𝑠 = dim 𝑆; entonces 𝑛 > 𝑚 > 𝑠. Tómese
𝑝 ∈ 𝑅 y sea 𝑞 := 𝑓 (𝑝) ∈ 𝑆 . Hay una carta local (𝑉 ,𝜓 ) para 𝑁 con 𝑞 ∈ 𝑉 , 𝜓 (𝑞) = 0, tal
que 𝑆 ∩𝑉 = 𝜓−1(ℝ𝑠 ∩𝜓 (𝑉 )), por ser 𝑆 una subvariedad de 𝑁 .1⁴
Si (𝑈 ,𝜙) es una carta local en𝑀 con 𝑝 ∈ 𝑓 −1(𝑉 ) ⊆ 𝑈 y 𝜙 (𝑝) = 0, la aplicación suave
𝜓 ◦ 𝑓 ◦ 𝜙−1 tiene derivada sobreyectiva – con rango constante 𝑚 – en cada punto de
𝜙 (𝑓 −1(𝑉 )). Por el Teorema 1.24 (del rango), se puede modificar las cartas de tal manera
que la aplicación modificada 𝜓 ◦ 𝑓 ◦ 𝜙−1 tenga la forma (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ↦→ (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚).
Entonces
𝜙 (𝑅 ∩ 𝑓 −1(𝑉 )) = (𝜙 ◦ 𝑓 −1) (𝑆 ∩𝑉 ) = (𝜙 ◦ 𝑓 −1 ◦𝜓−1) (ℝ𝑠 ∩𝜓 (𝑉 ))
= (𝜓 ◦ 𝑓 ◦ 𝜙−1)−1(ℝ𝑠 ∩𝜓 (𝑉 ))
= (𝜓 ◦ 𝑓 ◦ 𝜙−1)−1(ℝ𝑠) ∩ (𝑓 ◦ 𝜙−1)−1(𝑉 )
= ℝ𝑛−𝑚+𝑠 ∩ 𝜙 (𝑓 −1(𝑉 )). ( )
Al aplicar 𝜙−1 a las dos lados de esta ecuación, se deduce que 𝑓 −1(𝑉 ), 𝜙 | 𝑓 −1 (𝑉 ) es una
carta local para 𝑀 con 𝑝 ∈ 𝑓 −1(𝑉 ) y que se cumple la condición (1.17) en esta carta. Se
concluye que 𝑅 es una subvariedad de 𝑀 , de dimensión 𝑛 −𝑚 + 𝑠. 
Corolario 1.46. Si 𝑓 : 𝑀 → ℝ𝑚 es una función suave, dícese que un elemento 𝑎 ∈ 𝑓 (𝑀)
es un valor regular de 𝑓 si 𝑇𝑝 𝑓 es sobreyectiva toda vez que 𝑓 (𝑝) = 𝑎. Dado un tal valor
regular, su preimagen
𝑓 −1(𝑎) = { 𝑝 ∈ 𝑀 : 𝑓 (𝑝) = 𝑎 }
es una subvariedad de 𝑀 , de dimensión 𝑛 −𝑚.
14Aquí se ha identificado ℝ𝑠 con su imagen en ℝ𝑚 bajo la inclusión 𝑦 ↦→ (𝑦, 0).
1-22
MA–870: Geometría Diferencial 1.4. Subvariedades
Demostración. El punto {𝑎} es una subvariedad de ℝ𝑚 de dimensión 0. La hipótesis dice
que la aplicación lineal 𝑇 𝑓 tiene rango máximo𝑚 para cada 𝑝 ∈ 𝑓 −1𝑝 (𝑎).
Cada expresión local 𝜓 ◦ 𝑓 ◦ 𝜙−1 con 𝜙 (𝑝) = 0 tiene derivada 𝐷 (𝜓 ◦ 𝑓 ◦ 𝜙−1) (𝑥) ∈
L(ℝ𝑛,ℝ𝑚) de rango 𝑚 en 𝑥 = 0. Al menos un menor1⁵ de tamaño 𝑚 de la matriz
𝐷 (𝜓 ◦ 𝑓 ◦ 𝜙−1) (𝑥) no se anula en 𝑥 = 0; por la continuidad de 𝐷 (𝜓 ◦ 𝑓 ◦ 𝜙−1), esta
condición también e⋃s válida para 𝜙
−1(𝑥) en un vecindario 𝑊𝑝 de 𝑝. Luego 𝑇𝑞 𝑓 tiene
rango máximo𝑚 para 𝑞 ∈𝑊𝑝 .
La unión 𝑉 := 𝑓 −1{𝑝:𝑓 (𝑝)=𝑎} (𝑊𝑝) es un abierto de 𝑀 que incluye 𝑓 −1(𝑎), y se
ha comprobado que 𝑓 | 𝑚𝑉 : 𝑉 → ℝ es una sumersión. El resultado ahora sigue de la
Proposición 1.45; la dimensión de la subvariedad 𝑓 −1(𝑎) de 𝑀 es 𝑛 −𝑚 + 0. 
Ejemplo 1.47. Si 𝑓 : ℝ𝑛 → ℝ es el polinomio cuadrático 𝑓 (𝑥) := (𝑥1)2 + · · · + (𝑥𝑛)2, su
derivada es la matriz 𝑛 × 1 de valor [2𝑥 𝑗 ] en 𝑥 (esto es, el vector de columna 2𝑥). Esta
matriz tiene rango 1 salvo en el origen 𝑥 = 0. Luego 0 es un valor singular de 𝑓 , los otros
valores en (0,∞) son regulares. El Corolario 1.46 muestra que la esfera 𝕊𝑛−1 = 𝑓 −1(1) es
una subvariedad de ℝ𝑛, de dimensión 𝑛 − 1. ♦
Ejemplo 1.48. Sea 𝑀𝑛 (ℝ) el álgebra de matrices 𝑛 × 𝑛 reales. Las entradas individuales
𝑎𝑖 𝑗 de la matriz 𝐴 = [𝑎𝑖 𝑗 ] forman un sistema de coordenadas cartesianas para𝑀𝑛 (ℝ): su
dimensión como espacio ℝ-vectorial es 𝑛2.
El grupo general lineal GL(𝑛,ℝ) es el grupo de matrices invertibles 𝑛 × 𝑛; esto es,
GL(𝑛,ℝ) = det−1(ℝ \ {0}).
La función determinante det : 𝑀𝑛 (ℝ) → ℝ es un polinomio en las entradas matriciales y
como tal es una función suave. En particular, det es continua: la preimagen de ℝ \ {0} es
un abierto en𝑀𝑛 (ℝ). Como tal,GL(𝑛,ℝ) es una variedad diferencial de dimensión𝑛2. ♦
Ejemplo 1.49. El grupo especial lineal SL(𝑛,ℝ) es el subgrupo de las matrices en
GL(𝑛,ℝ) de determinante 1,
SL(𝑛,ℝ) := {𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (ℝ) : det𝐴 = 1 }.
Resulta que 1 es un valor regular de la función det, así que SL(𝑛,ℝ) es una subvariedad
de 𝑀𝑛 (ℝ), de dimensión (𝑛2 − 1). ♦
Ejemplo 1.50. Otro subgrupo de GL(𝑛,ℝ) es el grupo ortogonal
O(𝑛) := {𝐴 ∈ 𝑀 (ℝ) : 𝐴t𝑛 𝐴 = 𝐴𝐴t = 1𝑛 }, (1.18)
15Un menor de tamaño 𝑟 de una matriz 𝐴 es el determinante de alguna submatriz 𝑟 × 𝑟 de 𝐴.
1-23
MA–870: Geometría Diferencial 1.4. Subvariedades
donde 𝐴t denota la matriz transpuesta de 𝐴; 1𝑛 es la matriz identidad 𝑛 × 𝑛. Cada
matriz ortogonal es invertible, con 𝐴−1 = 𝐴t. Además, como det𝐴t = det𝐴, se ve que
(det𝐴)2 = 1 y por ende det𝐴 = ±1 para 𝐴 ∈ O(𝑛).
Considérese también el conjunto de las matrices reales simétricas:
Sim(𝑛) := {𝑋 ∈ 𝑀𝑛 (ℝ) : 𝑋 t = 𝑋 },
el cual es un espacio vectorial real de dimensión 𝑛(𝑛 + 1)/2. Sus coordenadas son las en-
tradas supradiagonales { 𝑥𝑟𝑠 : 𝑟 6 𝑠 }. Defínase 𝑓 : GL(𝑛,ℝ) → Sim(𝑛) por 𝑓 (𝐵) := 𝐵t𝐵,
de modo que O(𝑛) = 𝑓 −1(1𝑛). La función vectorial 𝑓 es suave porque sus componentes
son polinomios en las entradas de 𝐵.
Como GL(𝑛,ℝ) es un abierto en un espacio ℝ-vectorial, se obtiene la aplicación
tangente 𝑇𝐵 𝑓 en el punto 𝐵 = 1𝑛 por un cálculo directo. Su matriz tiene entrada (𝑟𝑠, 𝑖 𝑗),
con 𝑟 6 𝑠, igual a
𝜕  (∑︁𝑛 ) ∑︁𝑛𝑏𝑘𝑟𝑏𝑘𝑠 = È𝑖 = 𝑘É È 𝑗 = 𝑟É È𝑘 = 𝑠É + È𝑘 = 𝑟É È𝑖 = 𝑘É È 𝑗 = 𝑠É𝜕𝑏𝑖 𝑗 𝐵=1𝑛 𝑘=1 𝑘=1
= È𝑖 = 𝑠É È 𝑗 = 𝑟É + È𝑖 = 𝑟É È 𝑗 = 𝑠É,
al notar que la entrada (𝑘, 𝑠) de la matriz 1𝑛 es È𝑘 = 𝑠É. Esta expresión vale 1 si 𝑟 < 𝑠 y
si (𝑖, 𝑗) = (𝑟, 𝑠) o ( 𝑗, 𝑖) = (𝑟, 𝑠); vale 2 si 𝑟 = 𝑠 con 𝑖 = 𝑗 = 𝑟 ; y vale 0 en otros casos.
Entonces la matriz de 𝑇1 𝑓 tiene dos bloques [𝑃 | 𝑄], donde 𝑃 reúne las columnas𝑛
con 𝑖 6 𝑗 y 𝑄 se compone de columnas con 𝑖 > 𝑗 ; el bloque 𝑃 es una matriz cuadrada
diagonal con entradas diagonales 1 y 2. Esta forma escalonada de 𝑇1 𝑓 evidencia que𝑛
rango[𝑃 |𝑄] = rango(𝑃) = 𝑛(𝑛 + 1)/2, así que la matriz rectangular de 𝑇1 𝑓 tiene rango𝑛
maximal y por ende 𝑇1 𝑓 es sobreyectivo.𝑛
Un cálculo directo del rango de𝑇𝐵 𝑓 , para 𝐵 ≠ 1𝑛 enGL(𝑛,ℝ), es factible pero engorro-
so. En su lugar, se puede aprovechar la operación de grupo (la multiplicación matricial)
en GL(𝑛,ℝ). Es cuestión de notar que
𝑓 (𝐴) = 𝐴t𝐴 = 𝐵t𝐵−t𝐴t𝐴𝐵−1𝐵 = 𝐵t𝑓 (𝐴𝐵−1)𝐵 = 𝑅𝐵𝐿𝐵t 𝑓 (𝐴𝐵−1), (1.19)
donde las operaciones matriciales de premultiplicación 𝐿𝐵t : 𝐶 →↦ 𝐵t𝐶 y postmultiplicación
𝑅𝐵 : 𝐶 →↦ 𝐶𝐵 son operadores lineales sobre 𝑀𝑛 (ℝ).
La relación (1.19) puede ser reescrito en la forma
𝑓 = 𝑅𝐵 ◦ 𝐿𝐵t ◦ 𝑓 ◦ 𝑅𝐵−1 .
Como derivada de una función lineal 𝐿 es la función constante de valor 𝐿, la regla de la
cadena (1.16) aplicada a la composición anterior muestra que
𝑇𝐵 𝑓 = 𝑇𝐵t (𝑅𝐵) ◦𝑇1 (𝐿𝐵t) ◦𝑇1 𝑓 ◦𝑇𝐵 (𝑅𝐵−1) = 𝑅𝐵 ◦ 𝐿𝐵t ◦𝑇1 𝑓 ◦ 𝑅𝑛 𝑛 𝑛 𝐵−1 .
1-24
MA–870: Geometría Diferencial 1.5. Campos vectoriales
Las operaciones lineales que aparecen al lado derecho son invertibles: (𝑅 )−1𝐵 = 𝑅𝐵−1 ,
etcétera; y 𝑇1 𝑓 es sobreyectivo, así que 𝑇𝐵 𝑓 es también sobreyectivo para todo 𝐵 ∈𝑛
GL(𝑛,ℝ). Se ha comprobado que 𝑓 es una sumersión de GL(𝑛,ℝ) en Sim(𝑛).
Luego 1𝑛 es un valor regular de 𝑓 y su preimagenO(𝑛) := 𝑓 −1(1𝑛) es una subvariedad
deGL(𝑛,ℝ), en vista del Corolario 1.46. Ese corolario también proporciona su dimensión:
( ) ( ) − ( ) 2 − 𝑛(𝑛 + 1) 𝑛(𝑛 − 1)dimO 𝑛 = dimGL 𝑛,ℝ dimSim 𝑛 = 𝑛 = . (1.20)
2 2
El grupo O(𝑛) es una variedad disconexa, pues el determinante det : O(𝑛) → {1,−1}
es una función continua con exactamente dos valores reales. La preimagen det−1(1) es a
su vez una subvariedad de O(𝑛) de la misma dimensión, por el Corolario 1.46 de nuevo;
es también un subgrupo, porque det es un homomorfismo. Este subgrupo es el grupo
especial ortogonal,
SO(𝑛) := {𝐴 ∈ O(𝑛) : det𝐴 = +1 } = O(𝑛) ∩ SL(𝑛,ℝ).
Resulta que SO(𝑛) sí es conexo; este es el componente neutro del grupo O(𝑛). ♦
1.5. Campos vectoriales
Un campo vectorial sobre una variedad diferencial posee una naturaleza doble: por
un lado, es un operador diferencial sobre funciones suaves, pero al mismo tiempo es una
asignación (suave) de un vector tangente en cada punto.
Definición 1.51. Sea 𝑀 una variedad diferencial. Un campo vectorial sobre 𝑀 es un
operador lineal 𝑋 : 𝐶∞(𝑀) → 𝐶∞(𝑀), es decir,1⁶
𝑋 (𝑓 + 𝑔) = 𝑋 𝑓 + 𝑋𝑔, 𝑋 (𝑡 𝑓 ) = 𝑡 𝑋 𝑓 para 𝑓 , 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑀), 𝑡 ∈ ℝ;
que además cumple la siguiente regla de Leibniz:
𝑋 (𝑓 𝑔) = (𝑋 𝑓 ) 𝑔 + 𝑓 (𝑋𝑔) para todo 𝑓 , 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑀) . (1.21)
Tales operadores lineales conforman un espacio ℝ-vectorial, denotado por X(𝑀).
Un campo vectorial 𝑋 ∈ X(𝑀) define en cada punto 𝑝 ∈ 𝑀 un vector tangente
𝑋𝑝 ∈ 𝑇𝑝𝑀 mediante la evaluación en 𝑝:
𝑋𝑝 (𝑓 ) := 𝑋 𝑓 (𝑝). (1.22)
Cada 𝑋𝑝 : 𝐶∞(𝑀) → ℝ es lineal y cumple (1.12b), al evaluar la igualdad (1.21) en 𝑝:
𝑋𝑝 (𝑓 𝑔) = 𝑋𝑝 (𝑓 ) 𝑔(𝑝) + 𝑓 (𝑝)𝑋𝑝 (𝑔). ♦
16Nótese la omisión de paréntesis alrededor del argumento de una aplicación lineal: se escribe 𝑋 𝑓 en
vez de 𝑋 (𝑓 ). Esto permite ahorrar muchas paréntesis innecesarias.
1-25
MA–870: Geometría Diferencial 1.5. Campos vectoriales
I Si (𝑈 ,𝜙) es una carta local para 𝑀 con 𝜙 (𝑝) = 0, un campo vectorial 𝑋 ∈ X(𝑀)
define un campo vectorial local 𝑋 |𝑈 ∈ X(𝑈 ) por restricción. Esto es menos obvio de lo
que parece, porque en general 𝐶∞(𝑈 ) no es una subálgebra de 𝐶∞(𝑀). Por ejemplo, si
𝑀 = ℝ y 𝑈 = (0,∞), la función 𝑡 ↦→ 1/𝑡 en 𝐶∞(0,∞) no tiene una extensión suave (ni
continua) a una función en 𝐶∞(ℝ).1⁷ Entonces es necesario definir con mayor precisión
esta noción de “restricción” de un campo vectorial.
Si 𝑈 es un abierto en una variedad diferencial 𝑀 y si 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑈 ), se puede afirmar
lo siguiente, con la ayuda del Lema 1.29. Para cada 𝑥 ∈ 𝑈 , hay un abierto 𝑉 de 𝑀 con
𝑥 ∈ 𝑉 ⊂ 𝑉 ⊆ 𝑈 y una función suave ℎ ∈ 𝐶∞(𝑀) tal que ℎ |𝑉 = 𝑓 |𝑉 .
Definición 1.52. Una función suave 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑈 ) tiene soporte compacto si hay una parte
compacta 𝐾 ⊂ 𝑈 tal que 𝑔(𝑦) = 0 para 𝑦 ∈ 𝑈 \ 𝐾 . (En tal caso, el soporte sop𝑔 es un
cerrado incluido en 𝐾 y por tanto es también compacto.) Por un teorema de topología,1⁸
hay abiertos 𝑉 ,𝑊 de 𝑀 tales que 𝑉 y𝑊 son compactos, que satisfacen
𝐾 ⊂ 𝑉 ⊂ 𝑉 ⊂𝑊 ⊂𝑊 ⊂ 𝑈 .
Una variante del Lema 1.29, adaptado a la variedad 𝑀 en vez de ℝ𝑛, muestra que hay
una función suave 𝑘 ∈ 𝐶∞(𝑀) tal que:
𝑘 (𝑞) = 1 para 𝑞 ∈ 𝑉 ,
0 < 𝑘 (𝑞) < 1 para 𝑞 ∈𝑊 \𝑉 ,
𝑘 (𝑞) = 0 para 𝑞 ∈ 𝑀 \𝑊 .
Defínase ℎ ∈ 𝐶∞(𝑀) por {
𝑔(𝑞) 𝑘 (𝑞) si 𝑞 ∈ 𝑈 ,
ℎ(𝑞) :=
0 si 𝑞 ∈ 𝑀 \𝑈 .
Entonces ℎ |𝑉 = 𝑔 | ∞𝑉 . Nótese que sopℎ ⊆ sop𝑘 = 𝑊 , así que ℎ ∈ 𝐶 (𝑀) también tiene
soporte compacto.
La totalidad de funciones suaves sobre𝑈 con soporte compacto se denota por D(𝑈 ),
o alternativamente por 𝐶∞𝑐 (𝑈 ). Esta es una ℝ-subálgebra de 𝐶∞(𝑈 ). ♦
Lema 1.53. Sean 𝑈 ⊂ 𝑀 es un abierto, 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑈 ), 𝑋 ∈ X(𝑀). Entonces la función
𝑝 →↦ 𝑋𝑝 (𝑓 ), para 𝑝 ∈ 𝑈 , define bien una función suave 𝑋 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑈 ).
17No obstante, una función en 𝐶∞(𝑈 ) que se an⋃ula en un vecindario de la frontera de 𝑈 sí puede serextendido a 𝐶∞(𝑀), al declararla igual a cero fuera de 𝑈 .18 ⋃Como𝑀 es metrizable y 𝐾 compacto, hay𝑉 = 𝑘 𝐵(𝑝 , 𝑟 ) tal que 𝐾 ⊂ 𝑉 ⊂ 𝑉 ⊆ 𝑘𝑖=1 𝑖 𝑖 𝑖=1 𝐵(𝑝𝑖 , 𝑟𝑖 ) ⊂ 𝑈 .
Así, 𝑉 es también compacto, y se forma𝑊 al cubrir 𝑉 del mismo modo.
1-26
MA–870: Geometría Diferencial 1.5. Campos vectoriales
Demostración. Para cada 𝑝 ∈ 𝑈 hay un vecindario abierto 𝑉 de 𝑝 con 𝑝 ∈ 𝑉 ⊆ 𝑈 , y
existe ℎ ∈ 𝐶∞(𝑀) tal que 𝑓 (𝑞) = ℎ(𝑞) para 𝑞 ∈ 𝑉 . Entonces los gérmenes de 𝑓 y ℎ en 𝑝
coinciden, así que 𝑋𝑝 (𝑓 ) = 𝑋𝑝ℎ = 𝑋ℎ(𝑝).
Si𝑊 es otro vecindario abierto de 𝑝 y si 𝑘 ∈ 𝐶∞(𝑀) coincide con 𝑓 en𝑊 , entonces
𝑘 (𝑞) = 𝑓 (𝑞) = ℎ(𝑞) para 𝑞 ∈ 𝑉 ∩𝑊 , así que𝑋𝑝𝑘 = 𝑋𝑝ℎ porque los gérmenes de 𝑘 y ℎ en 𝑝
coinciden. De este modo, 𝑋 𝑓 (𝑝) := 𝑋𝑝 𝑓 está bien definido como una función de𝑈 en ℝ.
Además, como 𝑋 𝑓 = 𝑋ℎ en el vecindario 𝑉 de 𝑝, esta función es suave en un vecindario
de 𝑝. Por ser 𝑝 ∈ 𝑈 arbitrario, se concluye que 𝑋 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑈 ). 
Ahora bien, esta correspondencia 𝑋 |𝑈 : 𝑓 ↦→ 𝑋 𝑓 es un operador lineal sobre 𝐶∞(𝑈 )
que además cumple una regla de Leibniz análoga a (1.21), porque los valores en cada
𝑝 ∈ 𝑀 cumplen (1.12b). En resumen, 𝑋 |𝑈 ∈ X(𝑈 ). Este campo vectorial “local” es, por
definición, la restricción de 𝑋 al abierto 𝑈 .
No es difícil comprobar que si 𝑔 ∈ D(𝑈 ), entonces 𝑋𝑔 ∈ D(𝑈 ) también, y tanto 𝑔
como𝑋𝑔 pueden ser considerados como elementos de𝐶∞(𝑀), extendidos como funciones
suaves que se anulan fuera de 𝑈 .
I Para simplificar la discusión, tómese una sola carta local (𝑈 ,𝜙) de𝑀 y considérese el
dominio 𝑈 como subvariedad de 𝑀 . Si (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) es el sistema de coordenadas locales
asociadas con la carta (𝑈 ,𝜙), las derivadas parciales de funciones en ℝ𝑛 proporcionan
campos vectoriales en X(𝑈 ) por la receta:
𝜕
: 𝑓 −↦ → 𝜕 𝑗 (𝑓 ◦ 𝜙−1) ◦ 𝜙 para 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑈 ), (1.23a)
𝜕𝑥 𝑗
con 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}. Su linealidad sobre 𝐶∞(𝑈 ) y su regla de Leibniz son evidentes. En
el punto 𝑝 = 𝜙 (0) ∈ 𝑈 , los vectores tangentes correspondientes son los 𝜕  de (1.13), al
𝜕𝑥 𝑗 𝑝
reemplazar en esa fórmula 0 por 𝜙 (𝑝).
Si 𝑞 ∈ 𝑈 con 𝑞 ≠ 𝑝, entonces 𝜙 (𝑞) ≠ 0. Después de componer 𝜙 con la traslación
𝛼 : 𝑥 ↦→ 𝑥 − 𝜙 (𝑞) de ℝ𝑛, se obtiene otra carta local (𝑈 , 𝛼 ◦ 𝜙) tal que 𝛼 ◦ 𝜙 (𝑞) = 0. El
vector tangente de (1.23a) en 𝑞 resulta ser𝜕  (𝑓 ) = 𝜕 (𝑓 ◦ 𝜙−1 ◦ 𝛼−1𝑗 ) (0) = 𝜕 𝑗 (𝑓 ◦ 𝜙−1) (𝜙 (𝑞)), (1.23b)𝜕𝑥 𝑗 𝑞
al aplicar la regla de la cadena a (𝑓 ◦ 𝜙−1) ◦ 𝛼−1, porque 𝛼−1(0) = 𝜙 (𝑞) y la derivada de
la función afín 𝛼−1 es el operador lineal 1 : ℝ𝑛 → ℝ𝑛𝑛 .
1-27
MA–870: Geometría Diferencial 1.5. Campos vectoriales
Lema 1.54. Sea𝑀 una variedad diferencial y sea (𝑈 ,𝜙) una de sus cartas locales. Entonces
la restricción al dominio 𝑈 de un campo vectorial 𝑋 ∈ X(𝑀) es una suma finita: 𝜕𝑋 = 𝑎 𝑗 (1.24)
𝑈 𝜕𝑥 𝑗
con coeficientes suaves 𝑎1, . . . , 𝑎𝑛 ∈ 𝐶∞(𝑈 ).
Demostración. Si 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑈 ) y 𝑞 ∈ 𝑈 , entonces 𝑋 𝑓 (𝑞) = 𝑋𝑞 (𝑓 ) con 𝑋𝑞 ∈ 𝑇𝑞𝑀 . Por la
Proposición 1.35, en cada punto 𝑞 ∈ 𝑈 , el vector tangente 𝑋𝑞 tiene la forma:
𝑋 = 𝑎 𝑗𝑞 (𝑞)
𝜕  para algunos 𝑎1(𝑞), . . . , 𝑎𝑛 (𝑞) ∈ ℝ.
𝜕𝑥 𝑗 𝑞
La fórmula (1.23b) muestra que
𝑋 𝑓 (𝑞) = 𝑋 (𝑓 ) = 𝑎 𝑗 (𝑞) 𝜕 (𝑓 ◦ 𝜙−1𝑞 𝑗 ) (𝜙 (𝑞)) = 𝑎 𝑗 (𝑞)
𝜕 (𝑓 ) (𝑞).
𝜕𝑥 𝑗
En breve: hay funciones 𝑎1, . . . , 𝑎𝑛 : 𝑈 → ℝ tales que 𝑋 𝑓 = 𝑎 𝑗 𝜕 𝑗 (𝑓 ) para 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑈 ).𝜕𝑥
Ahora bien, las coordenadas locales 𝑥𝑘 := pr𝑘 ◦𝜙 son elementos del álgebra 𝐶∞(𝑈 ) que
cumplen las relaciones1⁹
𝜕 (𝑥𝑘) = È 𝑗 = 𝑘É para 𝑗, 𝑘 ∈ {1, . . . , 𝑛}.
𝜕𝑥 𝑗
Entonces, para cada 𝑘 =∑︁1, . . . , 𝑛,𝑛
𝑎𝑘 = 𝑎 𝑗 È 𝜕𝑗 = 𝑘É = 𝑎 𝑗 (𝑥𝑘) = 𝑋 (𝑥𝑘) ∈ 𝐶∞(𝑈 ),
𝜕𝑥 𝑗
𝑗=1
verificando así la suavidad de la función coeficiente 𝑞 ↦→ 𝑎𝑘 (𝑞). 
Si (𝑉 ,𝜓 ) es otra carta local de 𝑀 con 𝑈 ∩𝑉 ≠ ∅ y si (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) son las coordenadas
locales para la carta (𝑈 ,𝜙), entonces el campo vectorial 𝑋 ∈ X(𝑀) tiene el aspecto local𝜕𝑋 = 𝑏𝑖 con 𝑏1, . . . , 𝑏𝑛 ∈ 𝐶∞(𝑉 ) .
𝑉 𝜕𝑦𝑖
Cuál es la relación entre los coeficientes 𝑎 𝑗 y 𝑏𝑖 en la intersección 𝑈 ∩ 𝑉 ? Si se escribe
𝐹 (𝑥) := 𝑓 ◦ 𝜙−1(𝑥) para 𝑥 ∈ 𝜙 (𝑈 ∩ 𝑉 ), entonces la regla de la cadena (ordinaria) en
varias variables muestra que
𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝐹
= .
𝜕𝑦𝑖 𝜕𝑦𝑖 𝜕𝑥 𝑗
19Cada expresión È 𝑗 = 𝑘É al lado derecho es una función constante sobre 𝑈 , de valor 0 o 1.
1-28
MA–870: Geometría Diferencial 1.5. Campos vectoriales
Este es el resultado de aplicar los siguientes campos vectoriales locales a una función
suave 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑈 ∩𝑉 ):
𝜕 𝜕𝑥 𝑗 𝜕
= en la intersección 𝑈 ∩𝑉 .
𝜕𝑦𝑖 𝜕𝑦𝑖 𝜕𝑥 𝑗
Por lo tanto,  𝑖 𝜕 𝜕𝑥 𝑗 𝜕 𝜕𝑋 ∩ = 𝑏 = 𝑏𝑖 = 𝑎 𝑗𝑈 𝑉 𝜕𝑦𝑖 𝜕𝑦𝑖 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑗
lo cual justifica la relación:
𝜕𝑥 𝑗
𝑎 𝑗 = 𝑏𝑖 en 𝐶∞(𝑈 ∩𝑉 ) .
𝜕𝑦𝑖
Fíjese que [𝜕𝑥 𝑗/𝜕𝑦𝑖] es la matriz (1.7) de la derivada 𝐷 (𝜙 ◦ 𝜓−1) en 𝜓 (𝑈 ∩ 𝑉 ) ⊆ ℝ𝑛.
Su matriz inversa es [𝜕𝑦𝑖/𝜕𝑥 𝑗 ], la cual representa 𝐷 (𝜓 ◦ 𝜙−1) en 𝜙 (𝑈 ∩𝑉 ). Las últimas
fórmulas exhiben diversas maneras de concretar la regla de la cadena.
I Luego de examinar estas expresiones locales para campos vectoriales, es oportuno
considerar la estructura algebraica global de X(𝑀), a partir de la Definición 1.51.
Definición 1.55. Si 𝑋 ∈ X(𝑀), 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑀), se puede definir un elemento 𝑔𝑋 ∈ X(𝑀)
por la correspondencia 𝑓 ↦→ 𝑔(𝑋 𝑓 ) – producto puntual de las funciones 𝑔 y 𝑋 𝑓 – la cual
es evidentemente lineal en 𝑓 y cumple la regla de Leibniz. Es inmediato que la aplicación
(𝑔,𝑋 ) ↦→ 𝑔𝑋 es ℝ-bilineal y cumple
𝑔(ℎ𝑋 ) = (𝑔ℎ)𝑋 si 𝑋 ∈ X(𝑀) y 𝑔, ℎ ∈ 𝐶∞(𝑀), 1𝑋 = 𝑋 .
(Este 1 denota la función constante de valor 1 sobre𝑀 .) Así, el espacioℝ-vectorial X(𝑀)
es un módulo (a izquierda) sobre el álgebra conmutativa 𝐶∞(𝑀). ♦
Proposición 1.56. Si 𝑋,𝑌 ∈ X(𝑀), el corchete
[𝑋,𝑌 ] : 𝑓 ↦→ 𝑋 (𝑌 𝑓 ) − 𝑌 (𝑋 𝑓 ) (1.25a)
define un nuevo campo vectorial [𝑋,𝑌 ] ∈ X(𝑀). Este corchete cumple dos propiedades:
(a) La correspondencia (𝑋,𝑌 ) ↦→ [𝑋,𝑌 ] es bilineal y antisimétrico, [𝑌,𝑋 ] = −[𝑋,𝑌 ].
(b) El corchete satisface la identidad de Jacobi:
[𝑋, [𝑌, 𝑍 ]] + [𝑌, [𝑍,𝑋 ]] + [𝑍, [𝑋,𝑌 ]] = 0 para todo 𝑋,𝑌, 𝑍 ∈ X(𝑀). (1.25b)
1-29
MA–870: Geometría Diferencial 1.5. Campos vectoriales
Demostración. Ad (a): Escríbase 𝑊 𝑓 := 𝑋 (𝑌 𝑓 ) − 𝑌 (𝑋 𝑓 ). Está claro que 𝑓 ↦→ 𝑊 𝑓 es
ℝ-lineal y𝑊 lleva 𝐶∞(𝑀) en 𝐶∞(𝑀). Además, se verifica
𝑊 (𝑓 𝑔) = 𝑋 ((𝑌 𝑓 )𝑔 + 𝑓 (𝑌𝑔)) − 𝑌 ((𝑋 𝑓 )𝑔 + 𝑓 (𝑋𝑔))
= 𝑋 (𝑌 𝑓 )𝑔 + (𝑌 𝑓 ) (𝑋𝑔) + (𝑋 𝑓 ) (𝑌𝑔) + 𝑓 (𝑋 (𝑌𝑔))
− 𝑌 (𝑋 𝑓 )𝑔 − (𝑋 𝑓 ) (𝑌𝑔) − (𝑌 𝑓 ) (𝑋𝑔) − 𝑓 (𝑌 (𝑋𝑔))
= (𝑊 𝑓 )𝑔 + 𝑓 (𝑊𝑔), (1.26)
así que𝑊 ∈ X(𝑀). Es evidente que [𝑌,𝑋 ] = −[𝑋,𝑌 ].
Ad (b): Obsérvese que
[𝑋, [𝑌, 𝑍 ]] (𝑓 ) = 𝑋 ( [𝑌, 𝑍 ] 𝑓 ) − [𝑌, 𝑍 ] (𝑋 𝑓 )
= 𝑋 (𝑌 (𝑍 𝑓 )) − 𝑋 (𝑍 (𝑌 𝑓 )) − 𝑌 (𝑍 (𝑋 𝑓 )) + 𝑍 (𝑌 (𝑋 𝑓 )).
Al sumar los cuatro términos al lado derecho con otros ocho obtenidos de las permuta-
ciones cíclicas de las tres letras𝑋,𝑌, 𝑍 , se obtienen 12 términos que se cancelan en pares,
así que esta suma es cero. 
La Proposición 1.56 anterior dice que X(𝑀) es un ejemplo de un álgebra de Lie. Un
espacio ℝ-vectorial 𝐸 es un álgebra de Lie si posee un corchete bilineal y antisimétrica
[·, ·] : 𝐸 × 𝐸 → 𝐸 que cumple la identidad de Jacobi (1.25b). Se debe notar que esta
operación binaria en 𝐸 no es asociativa, porque en general [𝑋, [𝑌, 𝑍 ]] ≠ [[𝑋,𝑌 ], 𝑍 ]; de
hecho, la identidad de Jacobi declara la falta de asociatividad en forma concreta, porque
la antisimetría hace posible reacomodar (1.25b) así:
[𝑋, [𝑌, 𝑍 ]] = [[𝑋,𝑌 ], 𝑍 ] + [𝑌, [𝑋,𝑍 ]] . (1.27a)
Considérese la aplicación ad𝑋 : 𝐸 → 𝐸 definida por ad𝑋 (𝑌 ) := [𝑋,𝑌 ]. Con esta notación,
la relación (1.27a) se traduc(e así: )
ad𝑋 [𝑌, 𝑍 ] = [ad𝑋 (𝑌 ), 𝑍 ] + [𝑌, ad𝑋 (𝑍 )] (1.27b)
de modo que cada ad𝑋 cumple una regla de Leibniz con respecto al corchete de 𝐸.
I Es deseable comparar los campos vectoriales sobre dos variedades diferenciales𝑀 y 𝑁 .
Esto es factible si𝑀 y 𝑁 son difeomorfas: cada difeomorfismo 𝜏 : 𝑀 → 𝑁 da lugar a una
correspondencia entre X(𝑀) y X(𝑁 ), detallada a continuación.
Definición 1.57. Sea 𝜏 : 𝑀 → 𝑁 un difeomorfismo entre dos variedades diferenciales.
A cada 𝑋 ∈ X(𝑀) se le puede asociar un nuevo campo vectorial 𝜏∗𝑋 ∈ X(𝑁 ) por
𝜏 𝑋 (ℎ) := 𝑋 (ℎ ◦ 𝜏) ◦ 𝜏−1∗ para ℎ ∈ 𝐶∞(𝑁 ). (1.28)
1-30
MA–870: Geometría Diferencial 1.5. Campos vectoriales
El campo vectorial 𝜏∗𝑋 es la imagen directa2⁰ de 𝑋 bajo 𝜏 . Al evaluar los dos lados
de (1.28) en un punto 𝜏 (𝑝) ∈ 𝑁 , se obtiene
𝜏∗𝑋 (ℎ) (𝜏 (𝑝)) = 𝑋 (ℎ ◦ 𝜏) (𝑝) = 𝑋𝑝 (ℎ ◦ 𝜏) = 𝑇𝑝𝜏 (𝑋𝑝) (ℎ)
al invocar la aplicación tangente 𝑇𝑝𝜏 de la Definición 1.38. Al eliminar la función ℎ de
estas fórmulas, resulta
(𝜏∗𝑋 )𝜏 (𝑝) = 𝑇𝑝𝜏 (𝑋𝑝). (1.29)
De esta manera, se obtiene un isomorfismo lineal entre los espacios tangentes en los
puntos 𝑝 ∈ 𝑀 y 𝜏 (𝑝) ∈ 𝑁 , dado por
𝑇𝑝𝜏 : 𝑇𝑝𝑀 → 𝑇𝜏 (𝑝)𝑁 : 𝑋𝑝 ↦→ (𝜏∗𝑋 )𝜏 (𝑝),
cuya aplicación lineal inversa es 𝑇 −1𝜏 (𝑝)𝜏 .
En el caso de que𝑀 = 𝑁 y 𝜏 es un difeomorfismo de𝑀 en sí mismo, se dice que 𝑿 es
invariante bajo 𝝉 si se cumple 𝜏∗𝑋 = 𝑋 . ♦
Lema 1.58. Si 𝜏 : 𝑀 → 𝑁 y 𝜎 : 𝑁 → 𝑅 son dos difeomorfismos y si 𝑋 ∈ X(𝑀), entonces
𝜎∗(𝜏∗𝑋 ) = (𝜎 ◦ 𝜏)∗𝑋 en X(𝑅).
Demostración. Si 𝑘 ∈ 𝐶∞(𝑅), se calcula
𝜎∗(𝜏∗𝑋 ) (𝑘) = 𝜏∗𝑋 (𝑘 ◦ 𝜎) ◦ 𝜎−1 = 𝑋 ((𝑘 ◦ 𝜎) ◦ 𝜏) ◦ 𝜏−1 ◦ 𝜎−1
= 𝑋 (𝑘 ◦ (𝜎 ◦ 𝜏)) ◦ (𝜎 ◦ 𝜏)−1.
Alternativamente, nótese que la fórmula (1.29) y la regla de la cadena (1.16) implican
(𝜎∗(𝜏∗𝑋 ))𝜎◦𝜏 (𝑝) = 𝑇𝜏 (𝑝)𝜎 ((𝜏∗𝑋 )𝜏 (𝑝)) = 𝑇𝜏 (𝑝)𝜎 (𝑇𝑝𝜏 (𝑋𝑝)) = 𝑇𝑝 (𝜎 ◦ 𝜏) (𝑋𝑝)
para cada 𝑋 ∈ X(𝑀) y 𝑝 ∈ 𝑀 . 
Lema 1.59. Sea 𝜏 : 𝑀 → 𝑁 un difeomorfismo. Entonces 𝜏∗ : X(𝑀) → X(𝑁 ) es un homo-
morfismo de álgebras de Lie; es decir, se cumple 𝜏∗ [𝑋,𝑌 ] = [𝜏∗𝑋, 𝜏∗𝑌 ] para 𝑋,𝑌 ∈ X(𝑀).
Demostración. Basta calcular el efecto de [𝜏∗𝑋, 𝜏∗𝑌 ] sobre una función ℎ ∈ 𝐶∞(𝑁 ):
[𝜏∗𝑋, 𝜏∗𝑌 ] (ℎ) = 𝜏∗𝑋 (𝜏∗𝑌 (ℎ)) − 𝜏∗𝑌 (𝜏∗𝑋 (ℎ))
= 𝜏∗𝑋 (𝑌 (ℎ ◦ 𝜏) ◦ 𝜏−1) − 𝜏∗𝑌 (𝑋 (ℎ ◦ 𝜏) ◦ 𝜏−1)
= 𝑋 (𝑌 (ℎ ◦ 𝜏)) ◦ 𝜏−1 − 𝑌 (𝑋 (ℎ ◦ 𝜏)) ◦ 𝜏−1
= [𝑋,𝑌 ] (ℎ ◦ 𝜏) ◦ 𝜏−1 = 𝜏∗ [𝑋,𝑌 ] (ℎ) . 
20En inglés: pushout o (a veces) push-forward.
1-31
MA–870: Geometría Diferencial 1.6. Curvas integrales y flujos
1.6. Curvas integrales y flujos
Definición 1.60. Una curva integral de un campo vectorial 𝑋 ∈ X(𝑀) es una curva
suave 𝛾 : 𝐼 → 𝑀 tal que
𝛾¤(𝑡) = 𝑋𝛾 (𝑡) ∈ 𝑇𝛾 (𝑡)𝑀 para todo 𝑡 ∈ 𝐼 . (1.30)
La función 𝑡 ↦→ 𝛾¤(𝑡) es la velocidad de la curva 𝛾 . ♦
Sea (𝑈 ,𝜙) una carta local de 𝑀 tal que 𝛾 (𝑠) ∈ 𝑈 para algún 𝑠 ∈ 𝐼 . Entonces hay un
subintervalo abierto 𝐽 ⊆ 𝐼 con 𝑠 ∈ 𝐽 , tal que 𝛾 (𝑡) ∈ 𝑈 para todo 𝑡 ∈ 𝐽 . La expresión
local (1.24) del campo vectorial 𝑋 ∈ X(𝑀) permite calcular el efecto del vector de
velocidad 𝛾¤(𝑠) sobre una fun ción 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑈 ):𝑑 𝜕𝑓
𝛾¤(𝑠) 𝑓 ≡  𝑓 (𝛾 (𝑡)) = 𝑋𝛾 (𝑠) (𝑓 ) = 𝑎 𝑗 (𝛾 (𝑠)) (𝛾 (𝑠)) .𝑑𝑡 𝑡=𝑠 𝜕𝑥 𝑗
Si 𝑓 una de las funciones coordenadas 𝑥𝑘 , esto se reduce a
(𝑥𝑘 ◦ 𝛾)′(𝑠) = 𝛾¤(𝑠) (𝑥𝑘) = 𝑎𝑘 (𝛾 (𝑠)).
Las funciones 𝑦𝑘 ≡ 𝑥𝑘 ◦ 𝛾 : 𝐽 → ℝ, para 𝑘 = 1, . . . , 𝑛, satisfacen las ecuaciones:
(𝑦𝑘)′(𝑡) = (𝑎𝑘 ◦ 𝜙−1) (𝑦1(𝑡), . . . , 𝑦𝑛 (𝑡)) para todo 𝑡 ∈ 𝐽 . (1.31)
Este es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. La búsqueda
de las curvas integrales de 𝑋 (dentro del dominio 𝑈 de una carta local) se reduce a la
resolución de tales ecuaciones diferenciales.
Las 𝑎𝑘 ◦𝜙−1 son funciones suaves sobre el abierto𝜙 (𝑈 ) ⊆ ℝ𝑛. El teorema de existencia
y unicidad para soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden, dadas unas condiciones iniciales 𝑦𝑘 (𝑡0) = 𝑥𝑘0 referidos a algún 𝑡0 ∈ 𝐽 , garantiza que
este sistema posee una solución única en un subintervalo (𝑡0 − 𝛿, 𝑡0 + 𝛿) de 𝐽 . Sin perder
generalidad, se puede redefinir 𝐽 como este intervalo.
Las condiciones iniciales pueden ser reexpresadas como 𝜙 (𝛾 (𝑡0)) = 𝑥0 ∈ 𝜙 (𝑈 ), o bien
como 𝛾 (𝑡0) = 𝑝, donde 𝑝 ∈ 𝑈 es tal que 𝜙 (𝑝) = 𝑥0. En breve, se ha comprobado que la
ecuación vectorial con condición inicial:
𝛾¤(𝑡) = 𝑋𝛾 (𝑡) , 𝛾 (𝑡0) = 𝑝, (1.32)
posee una solución única 𝑡 ↦→ 𝛾 (𝑡), definida en un intervalo abierto 𝑡 ∈ 𝐽 ⊆ 𝐼 .
1-32
MA–870: Geometría Diferencial 1.6. Curvas integrales y flujos
Como las funciones 𝑎𝑘 ◦ 𝜙−1 al lado derecho de (1.31) son suaves, la teoría de las
ecuaciones diferenciales ordinarias asegura que las soluciones 𝑦 (𝑡) dependen suavemente
de las condiciones iniciales. En detalle, existen: un número 𝜀 > 0; un abierto 𝑉 ⊆ 𝑈 ; y
una aplicación suave 𝛽 : (𝑡0 − 𝜀, 𝑡0 + 𝜀) × 𝜙 (𝑉 ) → 𝜙 (𝑈 ) tal que, para cada 𝑥 ∈ 𝜙 (𝑉 ),
𝑦𝑥 (𝑡) ≡ 𝛽 (𝑡, 𝑥) es una solución de (1.31) con la condición inicial 𝑦𝑥 (𝑡0) = 𝑥 .
Defínase 𝛼 (𝑡, 𝑞) := 𝜙−1(𝛽 (𝑡, 𝜙 (𝑞)) para 𝑡0 − 𝜀 < 𝑡 < 𝑡0 + 𝜀, 𝑞 ∈ 𝑉 . El párrafo anterior
se traduce como sigue.
Lema 1.61. Existe una función suave 𝛼 : (𝑡0 − 𝜀, 𝑡0 + 𝜀) × 𝑉 → 𝑈 tal que la función
𝛾𝑞 : 𝑡 ↦→ 𝛼 (𝑡, 𝑞) es una curva integral de 𝑋 que pasa por 𝛾𝑞 (𝑡0) = 𝑞. 
Sin perder generalidad, se puede tomar 𝑡0 = 0; es cuestión de reparametrizar las
curva 𝛾 de (1.32) con 𝑡 ↦→ 𝑡 − 𝑡0. La aplicación suave 𝛼 : (−𝜀, 𝜀) ×𝑉 → 𝑈 se llama un
flujo local del campo vectorial 𝑋 .
Definición 1.62. Sea 𝑋 ∈ X(𝑀) un campo vectorial sobre una variedad 𝑀 . Para cada
punto 𝑝 ∈ 𝑀 , sea 𝐼𝑝 el intervalo máximo21 con 0 ∈ 𝐼𝑝 ⊆ ℝ tal que la ecuación diferencial
(1.30) tenga una solución 𝛾𝑝 : 𝐼𝑝 → 𝑀 con condición inicial 𝛾𝑝 (0) = 𝑝. En el dominio
𝐷𝑋 := { (𝑡, 𝑝) ∈ ℝ ×𝑀 : 𝑡 ∈ 𝐼𝑝 }, defínase la función
𝛼 : 𝐷𝑋 → 𝑀 : (𝑡, 𝑝) → 𝛾𝑝 (𝑡).
Este dominio 𝐷𝑋 es un abierto de la variedad producto ℝ×𝑀 y la función 𝛼 es suave, en
vista de la discusión anterior. Esta función 𝛼 es el flujo (global) del campo vectorial 𝑋 .
Se debe notar que 𝛼 (0, 𝑝) = 𝑝 para todo 𝑝 ∈ 𝑀 , y además:
𝛼 (𝑡, 𝛼 (𝑠, 𝑝)) = 𝛼 (𝑡 + 𝑠, 𝑝) (1.33)
si los dos lados están definidos. En efecto, la curva 𝑡 ↦→ 𝛼 (𝑡 + 𝑠, 𝑝) = 𝛾𝑝 (𝑡 + 𝑠) pasa por el
punto 𝛾𝑝 (𝑠) =𝛼 (𝑠, 𝑝) cuando 𝑡 = 0, y su vector de velocidad en 𝑡 = 0 es𝑑  𝛾𝑝 ( 𝑑𝑡 + 𝑠) : 𝑓 ↦→  (𝑓 ◦ 𝛾𝑝) (𝑡 + 𝑠) = (𝑓 ◦ 𝛾𝑝)′(𝑠) = 𝛾¤𝑝 (𝑠) 𝑓 ,𝑑𝑡 𝑡=0 𝑑𝑡 𝑡=0
y este es el vector𝛾¤𝑝 (𝑠) ∈ 𝑇𝛾 (𝑠)𝑀 . La unicidad de las soluciones de (1.32) entonces implica𝑝
que 𝛾𝑝 (𝑡 + 𝑠) = 𝛾𝛾 (𝑠) (𝑡), que es un sinónimo de la fórmula (1.33). ♦𝑝
21El teorema de existencia y unicidad para soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias garantiza
que haya una solución única en un intervalo corto (−𝛿, 𝛿) alrededor de 0. En cada instante 𝑡0 de ese
intervalo se puede replantear la ecuación diferencial con una condición inicial obtenida de la primera
solución, lo cual extiende la solución única a un intervalo mayor (−𝜀1, 𝜀2); y se repite el proceso. La unión
de una sucesión de tales extensiones es el intervalo máximo de la solución.
1-33
MA–870: Geometría Diferencial 1.6. Curvas integrales y flujos
Proposición 1.63. Si la variedad diferencial 𝑀 es compacta, entonces 𝐷𝑋 = ℝ × 𝑀 para
cada 𝑋 ∈ X(𝑀).
Demostración. Si 𝑝 ∈ 𝑀 , hay un número 𝜀𝑝 > 0 y un vecindario abierto 𝑉𝑝 de 𝑝 tales que
(−𝜀𝑝, 𝜀𝑝) ×𝑉𝑝 ⊆ 𝐷𝑋 . Los abiertos 𝑉𝑝 recubren 𝑀; como 𝑀 es compacto, hay un número
finito de puntos 𝑝1, . . . , 𝑝𝑟 tales que𝑀 = 𝑉𝑝1∪· · ·∪𝑉𝑝 . Sea 𝜀 := mı́n{𝜀1, . . . , 𝜀𝑟 }; entonces𝑟
(−𝜀, 𝜀) ×𝑀 ⊆ 𝐷𝑋 .
Si −𝜀 < 𝑠 < 𝜀, la curva 𝑡 ↦→ 𝛾𝛾 (𝑠) (𝑡) está definida para 𝑡 ∈ (−𝜀, 𝜀) y su vector tangente𝑝
en 𝑡 = 0 es 𝛾¤𝑝 (𝑠) = 𝑋𝛾 (𝑠). Luego 𝛾𝑝 (𝑡 +𝑠) está definido, con 𝛾𝑝 (𝑡 +𝑠) := 𝛾𝑝 𝛾𝑝 (𝑠) (𝑡). Como los
𝑡 + 𝑠 recorren el intervalo (−2𝜀, 2𝜀) y 𝑝 es arbitrario, se deduce que (−2𝜀, 2𝜀) ×𝑀 ⊆ 𝐷𝑋 .
Por inducción, se obtiene (−2𝑘𝜀, 2𝑘𝜀) ×𝑀 ⊆ 𝐷𝑋 para todo 𝑘, así que ℝ ×𝑀 = 𝐷𝑋 . 
Definición 1.64. Un campo vectorial 𝑋 ∈ X(𝑀) se llama completo si 𝐷𝑋 = ℝ ×𝑀; esto
es, si el flujo de 𝑋 está definido en todo ℝ × 𝑀 . La Proposición 1.63 asegura que cada
campo vectorial sobre una variedad compacta es completa. ♦
Ejemplo 1.65. En la variedad unidimensionalℝ, con coordenada 𝑥 , considérese el campo
vectorial 𝑋 := (1+𝑥2) 𝑑 . Sus curvas integrales satisfacen la ecuación diferencial 𝑦′(𝑡) =
𝑑𝑥
1+𝑦 (𝑡)2. Dada la condición inicial 𝑦 (0) = 0, la solución única es 𝑦 (𝑡) ≡ tg 𝑡 , con derivada
𝑦′(𝑡) = sec2 𝑡 = 1 + tg2 𝑡 . El intervalo maximal de esta solución es (−𝜋/2, 𝜋/2). Por lo
tanto, este campo 𝑋 no es completo. ♦
Ejemplo 1.66. En la variedad no compacta ℝ2, con coordenadas (𝑥,𝑦), considérese el
campo vectorial
− 𝜕 + 𝜕𝑋 = 𝑦 𝑥 .
𝜕𝑥 𝜕𝑦
Sus curvas integrales 𝛾 (𝑡) = (𝑥 (𝑡), 𝑦 (𝑡)) están dadas por (1.31):
𝑥′(𝑡) = −𝑦 (𝑡), 𝑦′(𝑡) = 𝑥 (𝑡),
cuya solución general tiene la forma
𝑥 (𝑡) = 𝑟 cos(𝑡 − 𝑡0), 𝑦 (𝑡) = 𝑟 sen(𝑡 − 𝑡0),
dependiente de la condición inicial 𝛾 (0) = (𝑥0, 𝑦0) = (𝑟 cos 𝑡0,−𝑟 sen 𝑡0).
Si 𝑟 = 0, la curva integral es constante, 𝛾 (𝑡) ≡ (0, 0); su trayectoria es un punto en
donde el campo vectorial 𝑋 se anula. Si 𝑟 ≠ 0, la trayectoria es un círculo de radio |𝑟 |
recorrido infinitas veces (el signo de 𝑟 determina el sentido del recorrido). Este campo
vectorial es completo, porque en cada caso el recorrido está parametrizado por todo ℝ:
𝛼 (𝑡, (𝑥,𝑦)) = (𝑥 cos 𝑡 − 𝑦 sen 𝑡, 𝑥 sen 𝑡 + 𝑦 cos 𝑡). ♦
1-34
MA–870: Geometría Diferencial 1.7. Grupos de Lie
Definición 1.67. Sea 𝑋 un campo vectorial completo sobre una variedad 𝑀 , con flujo
𝛼 : ℝ ×𝑀 → 𝑀 . Escríbase 𝛼𝑡 (𝑝) ≡ 𝛼 (𝑡, 𝑝). Entonces cada 𝛼𝑡 : 𝑀 → 𝑀 es un difeomor-
fismo, con inverso 𝛼−𝑡 y con 𝛼0 = 1𝑀 . En efecto, la fórmula (1.33) se transcribe en este
caso como
𝛼𝑡+𝑠 = 𝛼𝑡 ◦ 𝛼𝑠 para todo 𝑡, 𝑠 ∈ ℝ. (1.34)
Por lo tanto, 𝑡 →↦ 𝛼𝑡 es un homomorfismo del grupo aditivo ℝ en el grupo de difeomor-
fismos Diff (𝑀) de la variedad diferencial 𝑀 . Los difeomorfismos { 𝛼𝑡 : 𝑡 ∈ ℝ } forman
un subgrupo de Diff (𝑀); este es el grupo uniparamétrico22 generado por el campo
vectorial completo 𝑋 . ♦
Proposición 1.68. Sean 𝑋 ∈ X(𝑀) y 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀). Si 𝛼 es el flujo de 𝑋 , entonces
( ) 𝑓 (𝛼𝑡 (𝑝)) − 𝑓 (𝑝)𝑋 𝑓 𝑝 = ĺım para todo 𝑝 ∈ 𝑀. (1.35)
𝑡→0 𝑡
Demostración. El lado derecho es la derivada, en 𝑡 = 0, de la función
𝑡 →↦ 𝑓 (𝛼 (𝑡, 𝑝)) = 𝑓 (𝛾𝑝 (𝑡)),
donde 𝛾𝑝 es la curva integral de 𝑋 tal que 𝛾𝑝 (0) = 𝑝. Esta derivada en 𝑡 = 0 coincide con
𝛾¤𝑝 (0) 𝑓 = 𝑋𝑝 𝑓 = 𝑋 𝑓 (𝑝). 
Al eliminar el punto 𝑝 de la fórmula (1.35), queda una relación entre funciones suaves:
𝑓 ◦ 𝛼𝑡 − 𝑓
𝑋 𝑓 = ĺım . (1.36)
𝑡→0 𝑡
Dícese que el campo vectorial 𝑋 es el generador del flujo 𝛼 . En particular, el generador
de un grupo uniparamético de difeomorfismos es un campo vectorial completo.
1.7. Grupos de Lie
Definición 1.69. Un grupo de Lie es una variedad diferencial 𝐺 , que es a su vez un
grupo, en donde las operaciones de grupo son aplicaciones suaves:
𝑚 : 𝐺 ×𝐺 → 𝐺 : (𝑔, ℎ) →↦ 𝑔ℎ, 𝜄 : 𝐺 → 𝐺 : 𝑔 ↦→ 𝑔−1.
En un grupo de Lie 𝐺 , la inversión 𝜄 : 𝑔 ↦→ 𝑔−1 es un difeomorfismo de 𝐺 en 𝐺 , porque es
biyectiva y suave, y coincide con su propio inverso.
22El flujo de un campo vectorial incompleto no da lugar a un grupo de difeomorfismos. En todo caso,
si (−𝜀, 𝜀) × 𝑉 ⊆ 𝐷𝑋 , las aplicaciones 𝛼𝑡 : 𝑝 →↦ 𝛼 (𝑡, 𝑝) cumplen (1.34) toda vez que 𝑡, 𝑠, 𝑡 + 𝑠 ∈ (−𝜀, 𝜀). En
particular, vale 𝛼−𝑡 ◦𝛼𝑡 = 𝛼𝑡 ◦𝛼−𝑡 = 1𝑉 sobre𝑉 para −𝜀 < 𝑡 < 𝜀; se dice que los 𝛼𝑡 forman un seudogrupo
de difeomorfismos locales.
1-35
MA–870: Geometría Diferencial 1.7. Grupos de Lie
Las traslaciones a izquierda 𝜆𝑔 : ℎ ↦→ 𝑔ℎ son también difeomorfismos: el inverso de
𝜆𝑔 es la traslación contraria 𝜆𝑔−1 . Las traslaciones a derecha 𝜌𝑔 : ℎ ↦→ ℎ𝑔 constituyen
otro juego de difeomorfismos de 𝐺 . ♦
ÈAlgunos autores, entre ellos el seudoautor N. Bourbaki, definen un grupo de Lie
como una variedad analítica cuyas operaciones de grupo 𝑚, 𝜄 son analíticas, esto es,
expresable en coordenadas locales por funciones con series de Taylor localmente conver-
gentes. Sin embargo, resulta que la analiticidad es automática con solo suponer que𝑚, 𝜄
son de clase𝐶2. Esta es una consecuencia no trivial del teorema de la función implícita.É
Ejemplo 1.70. Un espacio vectorial real𝑉 de dimensión finita es un grupo de Lie abeliano
bajo la operación de suma. En particular, (ℝ𝑛, +) es un grupo de Lie de dimensión 𝑛.
El grupo multiplicativo ℝ× := ℝ \ {0} es un grupo de Lie unidimensional no compac-
to. Como ℝ× = (−∞, 0) ] (0, +∞) es una unión disjunta de dos abiertos no vacíos, esta
variedad diferencial es disconexa. Su componente neutro (el componente conexo que
incluye el elemento neutro 1) es el subgrupo y subvariedad ℝ×+ := (0, +∞).
La función exponencial exp: ℝ→ ℝ×+ es simultáneamente un isomorfismo de grupos
(su inverso es la función log : ℝ×+ → ℝ) y un difeomorfismo, pues tanto exp como log
son biyecciones suaves. En breve: exp es un isomorfismo de grupos de Lie. ♦
Ejemplo 1.71. El círculo23 𝕋 ≡ U(1) := { 𝑧 ∈ ℂ : |𝑧 | = 1 } es un grupo de Lie compacto,
con dim 𝕋 = 1.
El toro 𝕋𝑛 := 𝕋 × · · · × 𝕋, el producto cartesiano de 𝑛 círculos – este es también un
producto directo de grupos – es un grupo de Lie abeliano, con dim 𝕋𝑛 = 𝑛. ♦
Ejemplo 1.72. El grupo general lineal GL(𝑛,ℝ) del Ejemplo 1.48 es un grupo de Lie de
dimen∑sión 𝑛
2. Para verificar la suavidad de su producto, basta recordar que las entradas
de la matriz 𝐶 = 𝐴𝐵 son polinomios en las entradas de 𝐴 y de 𝐵, mediante la fórmula
𝑐𝑖 𝑗 = 𝑘 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘 𝑗 . La suavidad de la inversión 𝜄 es una consecuencia de la regla de Cramer:
la entrada (𝑖, 𝑗) de 𝐴−1 es (−1)𝑖+ 𝑗𝑚 𝑗𝑖/det𝐴, donde la menor𝑚 𝑗𝑖 es un polinomio en las
entradas de 𝐴.
El subgrupo SL(𝑛,ℝ) definido en el Ejemplo 1.49 es a la vez una subvariedad cerrada
de GL(𝑛,ℝ). Este es un grupo de Lie de dimensión (𝑛2 − 1). ♦
I El próximo ejemplo es un grupo de Lie complejo. Una variedad diferencial compleja
se define de igual manera que una variedad diferencial real: es un espacio topológico
23Las notaciones 𝕋, U(1) y 𝕊1 son sinónimas; generalmente se usa 𝕋 cuando se considera el círculo
como grupo de Lie. Los físicos prefieren U(1), porque cada 𝑧 ∈ 𝕋 es una matriz unitaria 1 × 1.
1-36
MA–870: Geometría Diferencial 1.7. Grupos de Lie
metrizable y separable dotado de un atlas de cartas locales (𝑈 ,𝜙), donde ahora cada
𝜙 (𝑈 ) es una abierto de ℂ𝑚 y las funciones de transición 𝜓 ◦ 𝜙−1 entre abiertos de ℂ𝑚
son holomorfas (es decir, diferenciables como funciones de varias variables complejas:
tales funciones son automáticamente suaves y además analíticas). Ahora bien, no existen
funciones analíticas parcialmente nulas como las de la fórmula (1.11): lo cual implica que
todas las construcciones que dependen de esa fórmula no son aplicables. Sin embargo,
al recordar que ℂ𝑚 ' ℝ2𝑚 como espacio vectorial real, siempre es posible “olvidar” la
holomorficidad y considerar una variedad diferencial compleja de dimensión 𝑚 como
una variedad diferencial real de dimensión 2𝑚.
Ejemplo 1.73. El grupo de matrices invertibles complejas
GL(𝑛,ℂ) := {𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (ℂ) : det𝐴 ≠ 0 }
y su subgrupo SL(𝑛,ℂ) := {𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (ℂ) : det𝐴 = 1 } son grupos de Lie reales, de
dimensiones 2𝑛2 y (2𝑛2 − 2), respectivamente. De hecho, GL(𝑛,ℂ) es un abierto en
𝑀𝑛 (ℂ), un espacio vectorial real con dimℝ𝑀 2𝑛 (ℂ) = 2𝑛 . Las coordenadas cartesianas de
𝐴 ∈ GL(𝑛,ℂ) son<𝑎𝑖 𝑗 y =𝑎 2𝑖 𝑗 , las partes real e imaginaria de sus 𝑛 entradas complejas.
Resulta que la aplicación polinomial det : GL(𝑛,ℂ) → ℂ× ≡ ℂ\ {0} es una sumersión
y 1 es un valor regular de det, así que SL(𝑛,ℂ) es una subvariedad (y también un
subgrupo) de GL(𝑛,ℂ). ♦
Ejemplo 1.74. El grupo ortogonal O(𝑛) del Ejemplo 1.50 es un grupo de Lie de dimensión
𝑛(𝑛 − 1)/2.
El grupo ortogonal especial SO(𝑛) := O(𝑛) ∩ SL(𝑛,ℝ) es el componente neutro de
O(𝑛). Como tal, es otro grupo de Lie de dimensión 𝑛(𝑛 − 1)/2. ♦
Ejemplo 1.75. Un grupo finito 𝐺 , con su topología discreta, es un grupo de Lie de
dimensión 0. (Las condiciones de suavidad son triviales en dimensión cero.)
El grupo ortogonal es un producto semidirecto O(𝑛) ' SO(𝑛) o 𝐶2 de su subgrupo
normal SO(𝑛), de índice 2, y el grupo finito 𝐶2 := {±1}. Fíjese que 𝐶2 ' {1𝑛, 𝑅} 6 O(𝑛),
donde 𝑅 := diag[1, . . . , 1,−1] es la reflexión de ℝ𝑛 en el hiperplano 𝑥𝑛 = 0. ♦
I La geometría de un grupo de Lie𝐺 admite una importante simplificación, porque solo
es necesario considerar cartas locales que contienen la identidad 1 ∈ 𝐺 . Las traslaciones
a izquierda 𝜆𝑔−1 y 𝜆𝑔 (que son difeomorfismos) llevan un vecindario de cualquier punto
𝑔 ∈ 𝐺 en un vecindario de 1 y viceversa. Por ejemplo, una curva integral de un campo
vectorial que pasa por 𝑔 es un traslado de una curva correspondiente que pasa por 1. De
1-37
MA–870: Geometría Diferencial 1.7. Grupos de Lie
entre todos los campos vectoriales sobre 𝐺 , se destacan aquellas que son invariantes por
estas traslaciones a izquierda.2⁴
Definición 1.76. Sea 𝐺 un grupo de Lie cualquiera. Un campo vectorial 𝑋 ∈ X(𝐺) es
invariante a la izquierda si todas las traslaciones a izquierda lo conservan:
(𝜆𝑔)∗𝑋 = 𝑋 para todo 𝑔 ∈ 𝐺.
Escríbase 𝑋 := 𝑋1 ∈ 𝑇1𝐺 . El campo vectorial 𝑋 queda determinado por el vector tangen-
te 𝑋 mediante el isomorfismo lineal 𝑇1𝜆𝑔 : 𝑇1𝐺 → 𝑇𝑔𝐺 de (1.29):
𝑋𝑔 = 𝑇1𝜆𝑔 (𝑋1) = 𝑇1𝜆𝑔 (𝑋 ). (1.37)
Inversamente, dado 𝑌 ∈ 𝑇1𝐺 , las recetas 𝑌𝑔 := 𝑇1𝜆𝑔 (𝑌 ), 𝑌 𝑓 (𝑔) := 𝑌𝑔 𝑓 determinan un
campo vectorial 𝑌 invariante a izquierda. La totalidad g de estos campos vectoriales
invariantes es un subespacio vectorial de X(𝐺).
Resulta, entonces, que 𝑋 ↔ 𝑋 es una biyección ℝ-lineal g↔ 𝑇1𝐺; por lo tanto, g es
finitodimensional y su dimensión es 𝑛 = dimℝ𝑇1𝐺 = dim𝐺 , la dimensión de la variedad
diferencial 𝐺 . ♦
Lema 1.77. Si 𝑋,𝑌 ∈ g, entonces [𝑋,𝑌 ] ∈ g también.
Demostración. Del Lema 1.59 se obtiene inmediatamente:
(𝜆𝑔)∗ [𝑋,𝑌 ] = [(𝜆𝑔)∗𝑋, (𝜆𝑔)∗𝑌 ] = [𝑋,𝑌 ] para todo 𝑔 ∈ 𝐺. 
Definición 1.78. Defínase un corchete en el espacio vectorial 𝑇1𝐺 por
[𝑋,𝑌 ] := [𝑋,𝑌 ]1 . (1.38)
En vista de la correspondencia (1.37) y del Lema 1.77, este corchete es una operación
bilineal antisimétrica sobre 𝑇1𝐺 que cumple la identidad de Jacobi. Con ello, 𝑇1𝐺 es un
álgebra de Lie finitodimensional, isomorfa a la subálgebra de Lie g ⊂ X(𝐺). Entonces 𝑇1𝐺
se bautiza el álgebra de Lie del grupo 𝑮.
A partir de ahora, se identificará g con 𝑇1𝐺 y se escribirá 𝑋 en vez de 𝑋 para aquellos
campos vectoriales invariantes que pertenecen a g. ♦
Sea𝐺 un grupo de Lie, con álgebra de Lie g. Si𝑋 ∈ g, sea 𝛾𝑋 : 𝐼 → 𝐺 la curva integral
del campo vectorial invariante 𝑋 tal que 𝛾𝑋 (0) = 1. Entonces 𝛾¤𝑋 (0) = 𝑋 ∈ 𝑇1𝐺 . Si el
24Algunos autores denotan la identidad de 𝐺 por la letra 𝑒 en vez de 1. No se gana nada con eso.
1-38
MA–870: Geometría Diferencial 1.7. Grupos de Lie
dominio inicial 𝐼 de la curva 𝛾𝑋 fuera un intervalo acotado 𝐼 = (−𝜀, 𝜀) – obtenido de la
existencia de solución única para (1.32) – se podría prolongar que este intervalo en ℝ.
En efecto, para cualquier 𝑠 ∈ (−𝜀, 𝜀), la curva 𝜂 determinada por la ecuación diferencial
𝜂¤(𝑡) = 𝑋𝜂 (𝑡) = 𝑇𝑔−1𝜂 (𝑡)𝜆𝑔 (𝑋𝑔−1𝜂 (𝑡)), 𝜂 (0) = 𝑔 := 𝛾𝑋 (𝑠),
tiene como solución única 𝜂 (𝑡) ≡ 𝑔𝛾𝑋 (𝑡) = 𝛾𝑋 (𝑠) 𝛾𝑋 (𝑡), definida para −𝜀 < 𝑡 < 𝜀. Esta
curva constituye una prolongación de𝛾𝑋 al intervalo (𝑠−𝜀, 𝑠+𝜀). De este modo, se obtiene
una curva𝛾𝑋 : (−2𝜀, 2𝜀) → 𝐺 cuya restricción al subintervalo (−𝜀, 𝜀) coincide con la curva
original. Al iterar este proceso 𝑘 veces, se prolonga 𝛾𝑋 al intervalo (−2𝑘𝜀, 2𝑘𝜀); luego, por
inducción, se produce una curva 𝛾𝑋 : ℝ→ 𝐺 , que cumple
𝛾𝑋 (𝑠 + 𝑡) = 𝛾𝑋 (𝑠) 𝛾𝑋 (𝑡) para todo 𝑠, 𝑡 ∈ ℝ. (1.39)
I Conviene resumir estas consideraciones sobre la curva integral del campo vectorial
invariante 𝑋 mediante la introducción de una notación especial, a continuación.
Definición 1.79. Sea 𝐺 un grupo de Lie con álgebra de Lie g. Si 𝑋 ∈ g es un campo
vectorial invariante a izquierda, su curva integral tal que 𝛾𝑋 (0) = 1 cumple 𝛾¤𝑋 (0) = 𝑋 ;
su intervalo de definición es todo ℝ; y 𝛾𝑋 cumple la propiedad homomórfica (1.39).
Por lo tanto, esta curva 𝑡 ↦→ 𝛾𝑋 (𝑡) es un subgrupo uniparamétrico de 𝐺 , determinado
unívocamente por la condición 𝛾¤𝑋 (0) = 𝑋 ∈ g. Escríbase
exp𝑋 := 𝛾𝑋 (1).
La construcción de 𝛾𝑋 evidencia que 𝛾𝑡𝑋 (1) = 𝛾𝑋 (𝑡), es decir,
𝛾𝑋 (𝑡) = exp 𝑡𝑋 para todo 𝑡 ∈ ℝ. (1.40)
Esta función exp: g→ 𝐺 es la aplicación exponencial asociada al grupo de Lie 𝐺 . ♦
Ejemplo 1.80. En el círculo 𝕋 = { 𝑧 ∈ ℂ : |𝑧 | = 1 }, considérese la carta local (𝑈 , ℓ),
donde𝑈 = 𝕋 \ {−1} y ℓ : 𝑈 → (−𝜋, 𝜋) está dada por ℓ (𝑒𝑖𝜃 ) = 𝜃 . Fíjese que la coordenada
local 𝜃 vale 𝜃 = 0 en el punto 𝑧 = 1 del círculo. El campo vectorial 𝑋 = 𝑑/𝑑𝜃 , definido
inicialmente en 𝑈 , se extiende a todo 𝕊1 como campo vectorial invariante por las “tras-
laciones” que en este caso son las rotaciones rígidas del círculo, 𝜆𝑤 : 𝑧 ↦→ 𝑤𝑧. ÈSe deja la
verificación de esta afirmación para el Ejercicio (1.21).É
La curva integral de 𝑋 tal que 𝛾𝑋 (0) = 1 está dada por 𝛾𝑋 (𝑡) := 𝑒𝑖𝑡 ≡ cos 𝑡 + 𝑖 sen 𝑡 .
En efecto, esta curva satisface, por (1.14):  
〈 ¤ ( ) 〉 𝑑  ( ( )) 𝑑0 𝛾𝑋 , 𝑓 = 𝑓 𝛾𝑋 𝑡 =  𝑓 ( 𝑑 𝑒𝑖𝑡 ) = 𝑖 𝑓 ′(1) =  (𝑓 ),
𝑑𝑡 𝑡=0 𝑑𝑡 𝑡=0 𝑑𝜃 1
y 𝛾¤𝑋 (0) = (𝑑/𝑑𝜃 ) |1 = 𝑋1 = 𝑋 , identificando el campo invariante 𝑋 con su valor en 1.
1-39
MA–870: Geometría Diferencial 1.7. Grupos de Lie
En este caso, la curva integral está definido inicialmente en 𝐼 = (−𝜋, 𝜋) por la fórmula
𝛾 (𝜃 ) := 𝑒𝑖𝜃𝑋 . Su prolongación a todo 𝑡 ∈ ℝ señala que la curva integral gira alrededor
del círculo infinitas veces. En este caso, la función exponencial es exp 𝑡𝑋 ≡ 𝑒𝑖𝑡 y el grupo
uniparamétrico define un homomorfismo sobreyectivo (pero no inyectivo) exp: ℝ→ 𝕋.
Nota: la “rama principal” de la función logarítmica log : 𝑈 → ℂ está dada por
log(𝑒𝑖𝜃 ) = 𝑖𝜃 . Al cambiar ℓ por log en el cálculo anterior, la fórmula exp 𝑡 := 𝑒𝑖𝑡 se
modifica en exp(𝑖𝑡) = 𝑒𝑖𝑡 . De este modo, se identifica el espacio tangente 𝑇1𝕋 con 𝑖ℝ, un
espacio ℝ-vectorial unidimensional del cual {𝑖} es una base. ♦
Un grupo de Lie lineal es un grupo de Lie𝐺 tal que𝐺 ⊆ GL(𝑛, 𝔽) para algún 𝑛, donde
𝔽 = ℝ o ℂ. El espacio tangente𝑇1𝐺 puede identificarse con un subespacio ℝ-vectorial de
𝑀𝑛 (𝔽). En tales casos, la exponencial matri∑︁cial∞ 1
exp𝑋 := 𝑋𝑘 (1.41)
𝑘!
𝑘=0
coincide con la aplicación exponencial de 𝐺 . La búsqueda del álgebra de Lie se reduce a
la tarea de identificar un subespacio (real) de matrices:
g = {𝑋 ∈ 𝑀𝑛 (𝔽) : exp 𝑡𝑋 ∈ 𝐺 para todo 𝑡 ∈ ℝ }, (1.42)
en vista del siguiente resultado sobre exponenciales matriciales.
Lema 1.81. Si 𝑋,𝑌 ∈𝑀𝑛((𝔽) con 𝔽 = ℝ o ℂ, entonces1 𝑑2
2  )exp 𝑡𝑋 exp 𝑡𝑌 exp(−𝑡𝑋 ) exp(−𝑡𝑌 ) = 𝑋𝑌 − 𝑌𝑋 . (1.43)2 𝑑𝑡 𝑡=0
Demostración. Se aprovecha la fórm(ula de Campbell, Baker y Hausdo) rff:2⁵
exp 𝑡𝑋 exp 𝑡𝑌 = exp 𝑡 (𝑋 + 𝑌 ) + 12𝑡
2(𝑋𝑌 − 𝑌𝑋 ) +𝑂 (𝑡3) . (1.44)
Esta fórmula viene del desa( rrollo de Taylor en 𝑡 = 0:
exp 𝑡𝑋 exp 𝑡𝑌 = 1 + 𝑡𝑋 + 1𝑡2
) (
𝑋 2 +𝑂 (𝑡3) 1 + 𝑡𝑌 + 1𝑡2𝑌 2 +𝑂 (𝑡3
)
2 2 )
= 1 + 𝑡 (𝑋 + 𝑌 ) + 1𝑡2(𝑋 22 + 2𝑋𝑌 + 𝑌
2) +𝑂 (𝑡3)
= 1 + 𝑡( (𝑋 + 𝑌 ) + 1𝑡22 (𝑋 + 𝑌 )2 + 1 22𝑡 (𝑋𝑌 −) 𝑌𝑋 ) +𝑂 (𝑡3)
= exp 𝑡 (𝑋 + 𝑌 ) + 1𝑡22 (𝑋𝑌 − 𝑌𝑋 ) +𝑂 (𝑡
3) .
25La notación de Landau𝑂 (𝑡3) indica alguna función 𝐹 (𝑡) tal que 𝐹 (𝑡)/𝑡3 permanece acotada al dejar
𝑡 → 0, y por ende puede despreciarse en comparación con 𝑡2 cuando 𝑡 es pequeño.
1-40
MA–870: Geometría Diferencial 1.7. Grupos de Lie
En el último paso, se ha empleado la ex(pansión logarítmica:1 2 1 3 )1 +𝐴 = exp 𝐴 − 2𝐴 + 3𝐴 − · · ·
porque la serie al lado derecho converge en el caso de interés 𝐴 = 𝑡 (𝑋 + 𝑌 ) si 𝑡 es
suficientemente pequeño. Ahora se puede aplicar (1.44) tres veces, para obtener
exp 𝑡𝑋 e(xp 𝑡𝑌 exp(−𝑡𝑋 ) exp(−𝑡𝑌 ) ) ( )
= exp(𝑡 (𝑋 + 𝑌 ) + 1 22𝑡 (𝑋𝑌 − )𝑌𝑋 ) +𝑂 (𝑡3) exp −𝑡 (𝑋 + 𝑌 ) + 1𝑡22 (𝑋𝑌 − 𝑌𝑋 ) +𝑂 (𝑡3)
= exp 𝑡2(𝑋𝑌 − 𝑌𝑋 ) +𝑂 (𝑡3) .
Ahora, al derivar el lado derecho dos veces en 𝑡 = 0, se obtiene la fórmula deseada. 
Observación. En vista del Lema 1.81, sea 𝐺 un grupo de Lie cualquiera, con álgebra de
Lie g. Si 𝑋,𝑌 ∈ g con 𝑋 = 𝑋1(, 𝑌 = 𝑌1 en 𝑇1𝐺 , la fórmula
𝑓 ↦→ 𝑑  √ √ √ √ )𝑓 exp 𝑠𝑋 exp 𝑠𝑌 exp(− 𝑠𝑋 ) exp(− 𝑠𝑌 )𝑑𝑠 𝑠=0
define un vector tangente en 𝑇1𝐺 . Al notar que 
𝑑 
𝑋 𝑓 = 𝑋1𝑓 = 𝛾¤𝑋 (0) 𝑓 =  𝑓 (exp 𝑡𝑋 )𝑑𝑡 𝑡=0
puesto que 𝛾𝑋 (𝑡) := exp 𝑡𝑋 es una curva integral de 𝑋 , el Lema 1.81 permite calcular e√ste
vector tangente en el caso matricial. Basta notar que el cambio de parámetro 𝑡 = 𝑠,𝑠 = 𝑡2 conduce a 1 𝑑2 𝑑 𝑑2+ 1 𝑑2 𝑑= 2𝑠  
2 𝑑𝑡2 𝑑𝑠 𝑑𝑠2
=⇒ 2  =2 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑡=0 𝑠=0
y la fórmula (1.43) da como resultado el conmutador matricial 𝑋𝑌 − 𝑌𝑋 en el caso de
que g 6 𝑀𝑛 (𝔽). Por otro lado, los cálculos de la demostración del Lema 1.81, usando la
relación𝑋 𝑓 = 𝑑 𝑓 (exp 𝑡𝑋 ) y el desarro(llo de Taylor de 𝑓 hasta) segundo orden, muestran𝑑𝑡que
𝑓 (exp 𝑡𝑋 exp 𝑡𝑌 ) = 𝑓 exp(𝑡 (𝑋 + 𝑌 ) + 1𝑡22 𝑍 ) +𝑂 (𝑡
3)
donde 𝑍 = 𝑍1 y 𝑍 = 𝑋𝑌 − 𝑌𝑋 en X(𝐺), lo cual implica que 𝑍 = [𝑋,𝑌 ] en 𝑇1𝐺 . La
conclusión de los dos cálculos – como era de esperar – es que
[𝑋,𝑌 ] ≡ [𝑋,𝑌 ]1 = 𝑋𝑌 − 𝑌𝑋 cuando g 6 𝑀𝑛 (𝔽).
1-41
MA–870: Geometría Diferencial 1.7. Grupos de Lie
Definición 1.82. Sea 𝔽 = ℝ o ℂ. Un álgebra de Lie matricial (real o complejo, según el
caso) es un subespacio 𝔽-vectorial g de 𝑀𝑛 (𝔽), para algún 𝑛 ∈ 𝑁 , que es cerrado bajo la
formación de conmutadores: si 𝑋,𝑌 ∈ g, entonces 𝑋𝑌 −𝑌𝑋 ∈ g. Su corchete de Lie es el
conmutador, [𝑋,𝑌 ] := 𝑋𝑌 − 𝑌𝑋 .
Escríbase gl(𝑛,ℝ) := 𝑀𝑛 (ℝ) y gl(𝑛,ℂ) := 𝑀𝑛 (ℂ), considerados como álgebras de
Lie matriciales. Ellas son las álgebras de Lie asociados a los grupos generales lineales
GL(𝑛,ℝ) y GL(𝑛,ℂ), respectivamente. ♦
Ejemplo 1.83. Cualquier matriz 𝑋 ∈ 𝑀𝑛 (𝔽) verifica la identidad:
det(exp𝑋 ) = 𝑒 tr𝑋 (1.45)
donde tr𝑋 denota la traza de la matriz 𝑋 .
Para comprobar (1.45), basta tomar 𝔽 = ℂ. Fíjese que exp(𝑃𝑋𝑃−1) = 𝑃 (exp𝑋 )𝑃−1
al usar la serie de Taylor (1.41), así que la semejanza 𝑋 ↦→ 𝑃𝑋𝑃−1 deja sin cambio los
dos lados de (1.45); sin perder generalidad, entonces, se puede suponer que la matriz
𝑋 es triangular2⁶ con entradas diagonales (𝜆1, . . . , 𝜆𝑛). Entonces exp𝑋 es una matriz
triangular, con entradas diagonales (𝑒𝜆1, . . . , 𝑒𝜆𝑛 ), de donde (1.45) es obvio.
En particular, la condición det(exp 𝑡𝑋 ) ≡ 1 para todo 𝑡 ∈ ℝ es equivalente a la
condición tr𝑋 = 0. Por lo tanto, el álgebra de Lie de 𝐺 = SL(𝑛, 𝔽) es
sl(𝑛, 𝔽) := {𝑋 ∈ 𝑀𝑛 (𝔽) : tr𝑋 = 0 }.
Este resultado proporciona otra manera de calcular la dimensión de SL(𝑛,ℝ), al observar
que dimSL(𝑛,ℝ) = dimℝ sl(𝑛,ℝ) = 𝑛2 − 1. ♦
Definición 1.84. Sea 𝑑 una forma bilineal simétrica no degenerada sobre ℝ𝑛, es decir,
𝑑 (𝑥,𝑦) = 𝑑 (𝑦, 𝑥) para 𝑥,𝑦 ∈ ℝ𝑛; con 𝑑 (𝑥,𝑦) = 0 para todo 𝑥 solo si 𝑦 = 0. Por el teorema
de Sylvester, después de un cambio de base en ℝ𝑛, 𝑑 obtiene el formato:
𝑑 (𝑥,𝑦) = 𝑥1𝑦1 + · · · + 𝑥𝑝𝑦𝑝 − 𝑥𝑝+1𝑦𝑝+1 − · · · − 𝑥𝑝+𝑞𝑦𝑝+𝑞, (1.46)
con rango 𝑝 + 𝑞 = 𝑛 (pues 𝑑 es no degenerada) y signatura 𝑝 − 𝑞. Defínase el grupo de
simetría de 𝒅 por
O(𝑝, 𝑞) := {𝐴 ∈ GL(𝑝 + 𝑞,ℝ) : 𝑑 (𝐴𝑥,𝐴𝑦) = 𝑑 (𝑥,𝑦) para 𝑥,𝑦 ∈ ℝ𝑝+𝑞 }. (1.47)
26Un teorema de Schur dice que cualquier matriz compleja 𝑋 ∈ 𝑀𝑛 (ℂ) es semejante a una matriz
triangular mediante un(cam)bio de base ortonormal de ℂ𝑛. Alternativamente, 𝑋 posee una forma normalde Jordan, la cual es triangular. Estas técnicas no están disponibles en el caso de matrices reales; por
ejemplo, la matriz real 0 1−1 0 no es trigonalizable sin usar escalares complejos.
1-42
MA–870: Geometría Diferencial 1.7. Grupos de Lie
Si 𝑞 = 0, la forma bilineal 𝑑 es definida positiva y se escribe O(𝑛) en vez de O(𝑛, 0);
este coincide con el grupo ortogonal del Ejemplo 1.50, porque 𝑑 es el producto escalar
usual sobre ℝ𝑛. Si en (1.47) se toma 𝑔 ∈ SL(𝑝 + 𝑞,ℝ), es decir, si se añade la condición
det𝑔 = 1, se definen los subgrupos
SO(𝑝, 𝑞) := O(𝑝, 𝑞) ∩ SL(𝑝 + 𝑞,ℝ) . ♦
Definición 1.85. Sea 𝑠 una forma bilineal alternante no degenerada sobre ℝ2𝑛, es decir,
𝑠 (𝑥,𝑦) = −𝑠 (𝑦, 𝑥) para 𝑥,𝑦 ∈ ℝ𝑛; con 𝑠 (𝑥,𝑦) = 0 para todo 𝑥 solo si 𝑦 = 0. Tales formas
alternantes no degeneradas existen solo si la dimensión es par, 𝑛 = 2𝑚. Después de un
cambio de base en ℝ2𝑚, 𝑠 obtiene el formato:
𝑠 (𝑥,𝑦) = 𝑥𝑚+1𝑦1 + · · ·(+ 𝑥2𝑚𝑦𝑚 − 𝑥1𝑦𝑚+1 − · · · − 𝑥𝑚𝑦2𝑚 .Escríbase )
0 1
𝐽 ≡ 𝐽2𝑚 := 𝑚− ∈ 𝑀2𝑚 (ℝ). (1.48)1𝑚 0
entonces la forma bilineal 𝑑 𝐽 (𝑥,𝑦) := 𝑠 (𝑥, 𝐽𝑦) es simétrica y definida positiva. El grupo
simpléctico de ℝ2𝑚 es el grupo de simetría de 𝑠, dado por2⁷
Sp(2𝑚,ℝ) := { 𝐵 ∈ GL(2𝑚,ℝ) : 𝑠 (𝐵𝑥, 𝐵𝑦) = 𝑠 (𝑥,𝑦) para 𝑥,𝑦 ∈ ℝ2𝑚 }. (1.49)
Si 𝐵 ↦→ 𝐵t denota la transpuesta de 𝐵 con respecto a la forma simétrica 𝑑 𝐽 , entonces
𝐵 ∈ Sp(𝑚,ℝ) si y solo si 𝑑 𝐽 (𝐽𝐵𝑥, 𝐵𝑦) ≡ 𝑑 𝐽 (𝐽𝑥,𝑦) si y solo si 𝐵t𝐽𝐵 = 𝐽 .
Nótese que 𝐽 ∈ Sp(2𝑚,ℝ) y que 𝐽 2 = −12𝑚 en 𝑀2𝑚 (ℝ). ♦
Definición 1.86. Denótese por 𝐴∗ = [𝑎 𝑗𝑖] el conjugado hermítico de 𝐴 = [𝑎𝑖 𝑗 ] ∈ 𝑀𝑛 (ℂ).
El grupo unitario
U(𝑛) := {𝑈 ∈ 𝑀𝑛 (ℂ) : 𝑈 ∗𝑈 = 1𝑛 }
es un grupo de Lie. Este es el grupo de simetría del producto escalar usual de ℂ𝑛, el cual
es una forma sesquilineal hermítica. Obsérvese que U(1) = 𝕋 es el círculo unitario.
El grupo especial unitario es el subgrupo de Lie:
SU(𝑛) := U(𝑛) ∩ SL(𝑛,ℂ) = {𝑈 ∈ U(𝑛) : det𝑈 = 1 }. ♦
Definición 1.87. Si 𝑉 es un espacio ℝ-vectorial con una base {𝑣1, . . . , 𝑣𝑛}. Denótese por
𝑉ℂ := 𝑉 ⊗ℝ ℂ ≡ 𝑉 ⊕ 𝑖𝑉 su complexificación, la cual es un espacio ℂ-vectorial. Ahora
{𝑣1, . . . , 𝑣𝑛} es también una base de𝑉ℂ sobre ℂ, mientras {𝑣1, 𝑖𝑣1, . . . , 𝑣𝑛, 𝑖𝑣𝑛} es una base
de 𝑉ℂ como espacio ℝ-vectorial. Por lo tanto, dimℂ𝑉ℂ = dimℝ𝑉 = 12 dimℝ𝑉ℂ; y en
particular, (ℝ𝑛) 𝑛ℂ ' ℂ .
27Algunos libros denotan el grupo (1.49) por Sp(𝑚,ℝ) en vez de Sp(2𝑚,ℝ).
1-43
MA–870: Geometría Diferencial 1.7. Grupos de Lie
Se puede ampliar una forma ℝ-bilineal sobre 𝑉 a una forma ℂ-bilineal sobre 𝑉ℂ así:
𝑑 (𝑢 + 𝑖𝑣, 𝑥 + 𝑖𝑦) := 𝑑 (𝑢, 𝑥) − 𝑑 (𝑣,𝑦) + 𝑖 𝑑 (𝑢,𝑦) + 𝑖 𝑑 (𝑣, 𝑥) ∈ ℂ.
En la clasificación de formas bilineales simétricas sobreℂ𝑛, la signatura no cuenta porque
−1 = 𝑖2 es un cuadrado. Si 𝑑 es no degenerada sobre ℝ𝑛, la forma ampliada 𝑑 es no
degenerada sobre ℂ𝑛 y su grupo de simetría es
O(𝑛,ℂ) := {𝐶 ∈ GL(𝑛,ℂ) : 𝑑 (𝐶𝑥,𝐶𝑦) = 𝑑 (𝑥,𝑦) para 𝑥,𝑦 ∈ ℂ𝑛 }.
De modo similar, una forma ℝ-bilineal alternante 𝑠 sobre ℝ2𝑚, ampliada a una forma
ℂ-bilineal alternante sobre ℂ2𝑚, posee el grupo de simetría:
Sp(2𝑚,ℂ) := {𝐷 ∈ GL(2𝑚,ℂ) : 𝑠 (𝐷𝑥, 𝐷𝑦) = 𝑠 (𝑥,𝑦) para 𝑥,𝑦 ∈ ℂ2𝑚 }.
Ahora, Sp(2𝑚,ℂ) y U(2𝑚) son subgrupos de GL(2𝑚,ℂ). Su intersección es:
Sp(2𝑚) := Sp(2𝑚,ℂ) ∩ U(2𝑚). ♦
Proposición 1.88. Los grupos de Lie O(𝑛), SO(𝑛), U(𝑛), SU(𝑛), Sp(2𝑚) son compactos.
Demostración. Los grupos SO(𝑛), SU(𝑛), Sp(2𝑚) son subgrupos cerrados de O(𝑛), U(𝑛)
y U(2𝑚), respectivamente. Basta mostrar, entonces, que O(𝑛) y U(𝑛) son compactos.
Sea 𝑑 el producto escalar usual sobre ℝ𝑛. Una matriz 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (ℝ), con columnas
𝑎1, . . . , 𝑎𝑛 ∈ ℝ𝑛, es ortogonal si y solo si 𝐴t𝐴 = 1𝑛; si y solo si 𝑑 (𝑎𝑖, 𝑎 𝑗 ) = È𝑖 = 𝑗É; si y
solo si las columnas forman una base ortonormal de ℝ𝑛. Esto implica que ‖𝑎 𝑗 ‖ = 1 para
cada 𝑗 y ‖𝑎 21‖ + · · · + ‖𝑎𝑛‖2 = 𝑛 (por el teorema de Pitágoras). Por lo tant√o, el vector
en ℝ𝑛
2
cuyas coordenadas son las entradas 𝑎𝑖 𝑗 de 𝐴 tiene norma euclid√iana 𝑛. De esta2
manera, se identifica O(𝑛) con una parte cerrada de la esfera de radio 𝑛 en ℝ𝑛 . Por el
teorema de Heine y Borel, este conjunto cerrado y acotado O(𝑛) es compacto.
El mismo argumento se aplica a U(𝑛), cambiando el producto escalar real 𝑑 por el
producto escalar sesquilineal 〈𝑤 |𝑧〉 := ?̄?1𝑧1+· · ·+?̄?𝑛𝑧𝑛 para𝑤, 𝑧 ∈ ℂ𝑛. Ahora,𝑈 ∈ 𝑀𝑛 (ℂ)
es unitaria si y solo si sus columnas form√an una base ortonormal de ℂ
𝑛. Luego, U(𝑛) es
2 2
una parte cerrada de la esfera de radio 𝑛 en ℂ𝑛 ' ℝ2𝑛 . 
Hay un extenso catálogo de grupos de Lie, más allá de los ejemplos mencionados
arriba (los cuales, colectivamente, se designan los grupos clásicos). Hay varios grupos de
matrices triangulares, que no caben en el catálogo anterior; algunos “grupos excepcio-
nales” aparecen como grupos de automorfismos de ciertas estructuras algebraicas. Para
el importante grupo de Heisenberg, véase el Ejercicio 1.29.
1-44
MA–870: Geometría Diferencial 1.8. Espacios homogéneos
1.8. Espacios homogéneos
Definición 1.89. Sea 𝐺 un grupo de Lie. Un subgrupo 𝐻 6 𝐺 que es también una
variedad diferencial se llama un subgrupo de Lie de 𝐺 si la inclusión 𝑖 : 𝐻 ↩→ 𝐺 es una
inmersión inyectiva. (Un subgrupo de Lie no necesariamente es cerrado en 𝐺 .)
Sin embargo, si 𝐻 es un subgrupo de Lie cerrado, resulta que 𝐻 es también una
subvariedad2⁸ de 𝐺 y cada coclase a izquierda 𝑔𝐻 := {𝑔ℎ : ℎ ∈ 𝐻 } = 𝜆𝑔 (𝐻 ) es una
subvariedad cerrada de 𝐺 . El conjunto de coclases
𝐺/𝐻 := {𝑔𝐻 : 𝑔 ∈ 𝐺 }
puede ser dotado de una estructura diferencial de tal manera que la aplicación cociente
𝜂 : 𝐺 → 𝐺/𝐻 : 𝑔 ↦→ 𝑔𝐻
es una sumersión sobreyectiva. En tal caso, se dice que 𝐺/𝐻 es la variedad cociente
de 𝐺 por el subgrupo cerrado 𝐻 .
Si el subgrupo 𝐻 no es normal en𝐺 , entonces𝐺/𝐻 generalmente no es un grupo. En
cambio, si 𝐻 E 𝐺 es un subgrupo normal cerrado, entonces 𝐺/𝐻 es un grupo de Lie y la
aplicación cociente 𝜂 es un homomorfismo.2⁹ ♦
Ejemplo 1.90. El toro 𝕋2 es un grupo de Lie compacto y abeliano. Sea 𝑎 ∈ ℝ \ ℚ un
número irracional; se define un homomorfismo 𝜌𝑎 : ℝ→ 𝕋2 por
𝜌𝑎 (𝑡) := (𝑒2𝜋𝑖𝑡 , 𝑒2𝜋𝑖𝑎𝑡 ).
Entonces 𝜌𝑎 es una inmersión inyectiva, pero no un encaje: véase el Ejercicio 1.9. Esto
implica que el subgrupo de Lie 𝐻 = 𝜌𝑎 (ℝ) no es cerrado en 𝕋2, y por ende 𝜌𝑎 no es
sobreyectiva, aunque 𝐻 resulta ser denso en 𝕋2. (La trayectoria 𝜌𝑎 (ℝ) es un hilo que
enrolla el toro, pasando infinitas veces por cada vecindario de cualquier punto del toro.)
En cambio, si 𝑝/𝑞 es racional, (𝑝, 𝑞 ∈ ℕ), entonces 𝜌 (𝑘𝑞) = (𝑒2𝜋𝑖𝑘𝑞, 𝑒2𝜋𝑖𝑘𝑝𝑝/𝑞 ) = (1, 1)
para todo 𝑘 ∈ ℤ. En este caso, el homomorfismo 𝜌𝑝/𝑞 no es inyectivo, pero 𝐻 = 𝜌𝑝/𝑞 (ℝ)
es un subgrupo cerrado de 𝕋2 que es difeomorfo al círculo 𝕋. ♦
I La formación de una variedad cociente𝐺/𝐻 es un caso particular de un procedimiento
más general, que es el de una acción de un grupo de Lie𝐺 . En el contexto actual, interesa
solamente las acciones dadas por funciones suaves.
28Aquí se omite la prueba de esta afirmación. De hecho, hay un teorema que asegura que un subgrupo
de Lie de 𝐺 es cerrado si y solo si es una subvariedad de 𝐺 . Para una demostración, véase la sección 5.3
del libro de Conlon.
29Estas afirmaciones están demostradas en las secciones 16.9 y 16.10 del libro de Dieudonné.
1-45
MA–870: Geometría Diferencial 1.8. Espacios homogéneos
Definición 1.91. Sea 𝐺 un grupo de Lie y sea 𝑀 una variedad diferencial. Una acción
(suave, a izquierda) de 𝐺 sobre 𝑀 es una aplicación suave Φ : 𝐺 ×𝑀 → 𝑀 tal que:
(a) Φ(𝑔,Φ(ℎ, 𝑝)) = Φ(𝑔ℎ, 𝑝) para todo 𝑔, ℎ ∈ 𝐺 , 𝑝 ∈ 𝑀;
(b) Φ(1, 𝑝) = 𝑝 para todo 𝑝 ∈ 𝑀 .
Escríbase 𝑔 · 𝑝 := Φ(𝑔, 𝑝); con esta notación, las dos propiedades de una acción son:
𝑔 · (ℎ · 𝑝) = (𝑔ℎ) · 𝑝, 1 · 𝑝 = 𝑝. (1.50)
Luego, cada Φ𝑔 : 𝑝 ↦→ 𝑔 · 𝑝 es un difeomorfismo de 𝑀 , y 𝑔 ↦→ Φ𝑔 es un homomorfismo
de 𝐺 en el grupo Diff (𝑀) de difeomorfismos de 𝑀 en sí mismo.3⁰ ♦
Ejemplo 1.92. Un grupo de Lie 𝐺 actúa sobre sí mismo por las traslaciones a izquierda,
porque el producto Φ(𝑔, ℎ) ≡𝑚(𝑔, ℎ) := 𝑔ℎ es suave, por definición. La regla (1.50) sigue
de la asociatividad del producto; y Φ𝑔 coincide con la traslación 𝜆𝑔 en este caso.
El grupo𝐺 también actúa sobre sí mismo por las traslaciones a derecha; en cuyo caso,
la acción está dada por 𝑔 · ℎ := ℎ𝑔−1, para cumplir con (1.50). Ahora Φ𝑔 = 𝜌𝑔−1 . ♦
Ejemplo 1.93. Otra acción de un grupo de Lie 𝐺 sobre sí mismo viene de la conjugación
en 𝐺 , al definir 𝑔 · ℎ := 𝑔ℎ𝑔−1. ♦
Ejemplo 1.94. El círculo 𝕋 actúa sobre la esfera𝕊2 por rotaciones alrededor de un eje fijo.
Si este eje es el diámetro entre los polos norte y sur, la acción está dada en coordenadas
esféricas31 por 𝑒𝑖𝛼 · (𝜃, 𝜙) := (𝜃, 𝜙 + 𝛼). ♦
Ejemplo 1.95. El grupo SO(𝑛) actúa sobre ℝ𝑛 por rotaciones, al tomar 𝐴 · 𝑥 := 𝐴𝑥 , el
producto usual de una matriz cuadrada por un vector columna.
Lamatriz diagonal𝑅 = diag[1, . . . , 1,−1] ∈ O(𝑛) es la reflexión deℝ𝑛 en el hiperplano
𝑥𝑛 = 0. Es obvio que O(𝑛) \ SO(𝑛) = {𝐴𝑅 : 𝐴 ∈ SO(𝑛) }; se dice que O(𝑛) actúa sobre
ℝ𝑛 por rotaciones y reflexiones. ♦
30El grupo Diff (𝑀) generalmente no es un grupo de Lie, porque tiene dimensión infinita; pero posee
algunos subgrupos que sí son grupos de Lie.
31Las coordenadas esféricas son coordenadas locales de una carta con dominio 𝑈 = 𝕊2 \ 𝐿, donde 𝐿
es un meridiano semicircular entre los polos norte y sur. La imagen de 𝑈 en ℝ2 es el rectángulo abierto
0 < 𝜃 < 𝜋 , −𝜋 < 𝜙 < 𝜋 ; este 𝜃 es el ángulo polar y 𝜙 es el ángulo acimutal de la cartografía. (Nótese
que el convenio opuesto, con 𝜃 ↔ 𝜙 , es común en los libros de cálculo diferencial e integral.)
1-46
MA–870: Geometría Diferencial 1.8. Espacios homogéneos
Definición 1.96. Si 𝐺 un grupo de Lie que actúa sobre una variedad 𝑀 , sea 𝑝 ∈ 𝑀 . El
subgrupo de isotropía 𝐺𝑝 6 𝐺 y la órbita 𝐺 · 𝑝 ⊆ 𝑀 se definen por:
𝐺𝑝 := {ℎ ∈ 𝐺 : ℎ · 𝑝 = 𝑝 }, 𝐺 · 𝑝 := {𝑔 · 𝑝 ∈ 𝑀 : 𝑔 ∈ 𝐺 }. (1.51)
Una acción es transitiva si posee una sola órbita: 𝐺 · 𝑝 = 𝑀 para todo 𝑝 ∈ 𝑀 .
Una variedad diferencial que posee una acción transitiva de un grupo de Lie 𝐺 se
llama un espacio homogéneo de 𝐺 . ♦
El subgrupo de isotropía 𝐺𝑝 de una acción suave es un subgrupo de Lie cerrado. Si
la órbita 𝐺 · 𝑝 es una subvariedad de 𝑀 , esa órbita es un espacio homogéneo para 𝐺 ,
difeomorfo a la variedad cociente 𝐺/𝐺𝑝 mediante 𝑔 · 𝑝 ↔ 𝑔𝐺𝑝 . Esta correspondencia
está bien definida, porque 𝑔 · 𝑝 = ℎ · 𝑝 si y solo si 𝑔−1ℎ · 𝑝 = 𝑔−1 · (ℎ · 𝑝) = 𝑔−1 · (𝑔 · 𝑝) = 𝑝;
si y solo si 𝑔−1ℎ ∈ 𝐺𝑝 ; si y solo si 𝑔𝐺𝑝 = ℎ𝐺𝑝 .
Ejemplo 1.97. El grupo 𝐺 = SO(𝑛) actúa sobre 𝑀 = ℝ𝑛 por rotaciones. El subgrupo de
isotropía del vector 𝒆𝑛 = (0, . . . , 0, 1) es isomorfo a SO(𝑛 − 1). Por otro lado, la órbita
de 𝒆𝑛 es la esfera unitaria 𝕊𝑛−1, la cual es una subvariedad de ℝ𝑛. Luego 𝕊𝑛−1 es un
espacio homogéneo, difeomorfo al cociente SO(𝑛)/SO(𝑛 − 1). ♦
Ejemplo 1.98. Una forma bilineal simétrica cualquiera sobre ℝ𝑛 (degenerada o no) está
dada por 𝑑 (𝑥,𝑦) = 𝑥 t𝑅𝑦, donde 𝑅 ∈ Sim(𝑛) ⊂ 𝑀𝑛 (ℝ) es una matriz simétrica real. Si F es
el conjunto de las formas bilineales simétricas sobre, entonces el grupo de Lie GL(𝑛,ℝ)
actúa sobre F, o equivalentemente sobre Sim(𝑛), por
𝐴 · 𝑑 (𝑥,𝑦) := 𝑑 (𝐴−1𝑥,𝐴−1𝑦), o bien 𝐴 · 𝑅 := 𝐴−t 𝑅𝐴−1.
Referente a estas acciones, el grupo de Lie O(𝑝, 𝑞) es el subgrupo de isotropía de la forma
𝑑 dada por la fórmula (1.46), o bien de la matriz diagonal diag[1, . . . , 1,−1, . . . ,−1]. ♦
Ejemplo 1.99. Si 𝑘 ∈ {1, . . . , 𝑛}, un 𝒌-marco en ℝ𝑛 es un juego ordenado (𝑢1, . . . , 𝑢𝑘) de
𝑘 vectores de norma 1 en ℝ𝑛 ortogonales entre sí. Si 𝐴 ∈ O(𝑛), (𝐴𝑢1, . . . , 𝐴𝑢𝑘) es otro 𝑘-
marco. Denótese por St(𝑘,ℝ𝑛) la totalidad de estos 𝑘-marcos. La receta𝐴 · (𝑢1, . . . , 𝑢𝑘) :=
(𝐴𝑢1, . . . , 𝐴𝑢𝑘) define una acción, por (1.50). Si {𝒆1, . . . , 𝒆𝑛} denota la base ortonormal
estándar de ℝ𝑛, es obvio que 𝐴 · (𝒆1, . . . , 𝒆(𝑘) = (𝒆)1, . . . , 𝒆𝑘) si y solo si
1𝑘 0
𝐴 = ,
0 𝐶
donde 𝐶 es una matriz ortogonal en O(𝑛 − 𝑘). Luego hay una correspondencia biyectiva
entre St(𝑘,ℝ𝑛) y la variedad cociente O(𝑛)/O(𝑛 − 𝑘). Con un atlas que hace de esta
biyección un difeomorfismo, St(𝑘,ℝ𝑛) es la variedad de Stiefel de 𝑘-marcos en ℝ𝑛. ♦
1-47
MA–870: Geometría Diferencial 1.9. Fibrados
Ejemplo 1.100. El conjunto Gr(𝑘,ℝ𝑛) de los subespacios de ℝ𝑛 con dimensión 𝑘, dotado
de una atlas apropiado, se llama una variedad de Grassmann.
Se identifica ℝ𝑘 con el subespacio lin〈𝒆1, . . . , 𝒆𝑘〉 6 ℝ𝑛. Si 𝑉 6 ℝ𝑛 con dim𝑉 = 𝑘 y si
𝐴 ∈ O(𝑛), entonces 𝐴(𝑉 ) = {𝐴𝑥 : 𝑥 ∈ 𝑉 }(es otr)o subespacio 𝑘-dimensional. Obsérveseque 𝐴(ℝ𝑘) = ℝ𝑘 si y solo si
𝐵 0
𝐴 = ,
0 𝐶
con 𝐵 ∈ O(𝑘) y 𝐶 ∈ O(𝑛 − 𝑘). En efecto, la relación 𝐴(𝑉 ) = 𝑉 implica 𝐴t(𝑉⊥) = 𝑉⊥,
donde𝑉⊥ es el complemento ortogonal de𝑉 en ℝ𝑛. Por lo tanto, hay una biyección (que
resulta ser un difeomorfismo):
Gr(𝑘,ℝ𝑛) ←→ O(𝑛)
O(𝑘) × O(𝑛 − 𝑘) .
En particular, Gr(1,ℝ𝑛) es una variedad diferencial cuyos elementos son rectas que
pasan por el origen de ℝ𝑛; Luego, Gr(1,ℝ𝑛) = ℝℙ𝑛−1, el espacio proyectivo real. ♦
1.9. Fibrados
Definición 1.101. Un fibrado o haz fibrado,32 cuya fibra típica es una variedad diferen-
𝜋
cial 𝐹 , es un juego (𝐸,𝑀, 𝜋 ; 𝐹 ), generalmente denotado por 𝐸 −→𝑀 , compuesto de otras
dos variedades diferenciales 𝐸 y 𝑀 junto con una sumersión sobreyectiva 𝜋 : 𝐸 → 𝑀 ,
que satisfacen estas dos condiciones:
(a) Para cada 𝑝 ∈ 𝑀 , la fibra 𝐸𝑝 := 𝜋−1({𝑝}) es difeomorfa a 𝐹 .
(b) Existe un cubrimiento abierto {𝑈 𝑗 : 𝑗 ∈ 𝐽 } de 𝑀 y un juego de difeomorfismos
𝜓 −1𝑗 : 𝜋 (𝑈 𝑗 ) → 𝑈 𝑗 × 𝐹, para cada 𝑗 ∈ 𝐽 , (1.52)
tales que 𝜋 (𝜓−1𝑗 (𝑝, 𝑣)) = 𝑝 para 𝑝 ∈ 𝑈 𝑗 , 𝑣 ∈ 𝐹 .
La variedad 𝐸 es el espacio total y 𝑀 es la base del fibrado; la sumersión 𝜋 se llama la
proyección del fibrado. Los 𝜓 𝑗 son trivializaciones locales; debido a su existencia, se
dice que el fibrado es localmente trivial. ♦
32Los libros mexicanos lo llaman simplemente un haz. Sin embargo, el nombre haz (faisceau, en francés;
sheaf, en inglés) se refiere correctamente a otro concepto fundamental de la en la geometría algebraica;
en general, un haz no es localmente trivial.
1-48
MA–870: Geometría Diferencial 1.9. Fibrados
El espacio total 𝐸 es la unión disjunta de las fibras 𝐸𝑝 . Cada fibra es la preimagen
bajo una sumersión de un punto de 𝑀 y por tanto la Proposición 1.45 garantiza que 𝐸𝑝
es una subvariedad de 𝑀 , con dimensión dim𝐸𝑝 = dim𝐸 − dim𝑀 . En general, entonces,
se cumple: dim𝐸 = dim𝑀 + dim 𝐹 .
pr
Ejemplo 1.102. La variedad producto 𝐸 = 𝑀×𝐹 define un fibrado (𝑀×𝐹 ) −→1 𝑀 con fibra
típica 𝐹 y proyección pr1 : 𝑀 × 𝐹 → 𝑀 : (𝑝, 𝑣) ↦→ 𝑝. Si 𝑈 es un abierto de 𝑀 , entonces
𝜋−1(𝑈 ) = 𝑈 × 𝐹 y la trivialización correspondiente es 𝜓 := 1𝑈×𝐹 .
Si 𝐸 es una variedad diferencial difeomorfa a 𝑀 × 𝐹 mediante un difeomorfismo
→ × ◦ → −→𝜋𝛽 : 𝐸 𝑀 𝐹 , tómese 𝜋 := pr1 𝛽 : 𝐸 𝑀 . En este caso, 𝐸 𝑀 se llama un fibrado
trivial. Al tomar 𝑈 = 𝑀 , 𝜋−1(𝑈 ) = 𝐸, se ve que 𝛽 mismo es una trivialización global. ♦
Ejemplo 1.103. Si 𝐺 es un grupo de Lie y 𝐻 es un subgrupo de Lie cerrado, la De-
finición 1.89 asegura que 𝐺/𝐻 es una variedad diferencial y la aplicación cociente
𝜂 : 𝐺 → 𝐺/𝐻 es una sumersión sobreyectiva. La preimagen de cualquier elemento
𝜂 (𝑔) ∈ 𝐺/𝐻 es la subvariedad 𝑔𝐻 ≡ 𝜆𝑔 (𝐻 ) de 𝐺 , la cual es difeomorfo al subgrupo
cerrado 𝐻 mediante la traslación 𝜆𝑔. Resulta que esta proyección 𝜂 es localmente trivial,
𝜂
así que 𝐺 −→𝐺/𝐻 es un fibrado con fibra típica 𝐻 . ♦
El espacio cociente 𝐺/𝐻 proporciona un ejemplo de un fibrado principal. Este es
un fibrado (𝑃,𝑀, 𝜎;𝐻 ) en el cual la fibra típica 𝐻 es un grupo de Lie que actúa a la
derecha transitivamente sobre las fibras. De hecho, en el caso de (𝐺,𝐺/𝐻,𝜂;𝐻 ) la fibra
que contiene el punto 𝑔 ∈ 𝐺 es la coclase 𝑔𝐻 = {𝑔ℎ : ℎ ∈ 𝐻 }; la traslación a derecha
𝜌𝑘 : 𝑔ℎ →↦ 𝑔ℎ𝑘 permuta los elementos de esta coclase si y solo si 𝑘 ∈ 𝐻 .
𝜏
Definición 1.104. El fibrado tangente 𝑇𝑀 −→𝑀 de una variedad diferencial 𝑀 con
dim𝑀 = 𝑛 tiene fibra típica ℝ𝑛 y se define así:
𝑇𝑀 := { (𝑝, 𝑣) : 𝑝 ∈ 𝑀, 𝑣 ∈ 𝑇𝑝𝑀 }, 𝜏 (𝑝, 𝑣) := 𝑝. (1.53)
El espacio total𝑇𝑀 es (por su mera definición) la unión disjunta de los espacios tangentes
individuales 𝑇𝑝𝑀 (cada uno isomorfo a ℝ𝑛 como espacio vectorial).
Dado un atlas A = { (𝑈𝛼 , 𝜙𝑎) : 𝛼 ∈ 𝐴 } de𝑀 , sean (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) las coordenadas locales
de una carta (𝑈𝛼 , 𝜙𝑎) y defínase la trivialización local 𝜓𝛼 : 𝜏−1(𝑈𝛼 ) 𝑛
( ) ( 1 𝑛) 𝑗 𝜕: ; donde 
→ 𝑈𝛼 ×ℝ por
𝜓𝛼 𝑝, 𝑣 = 𝑝 𝑣 , . . . , 𝑣 𝑣 = 𝑣  . (1.54)
𝜕𝑥 𝑗 𝑝
Con el atlas { (𝜏−1(𝑈𝛼 ), (𝜙𝛼 × 1𝑛) ◦ 𝜓𝛼 ) : 𝛼 ∈ 𝐴 }, 𝑇𝑀 es una variedad diferencial con
dim𝑇𝑀 = 2𝑛; y 𝜏 : 𝑇𝑀 → 𝑀 es una sumersión sobreyectiva. Fíjese que la fibra 𝜏−1({𝑝})
es precisamente el espacio tangente 𝑇𝑝𝑀 . ♦
1-49
MA–870: Geometría Diferencial 1.9. Fibrados
El fibrado tangente es un ejemplo de un fibrado vectorial, definido a continuación.
𝜋
Definición 1.105. Un fibrado vectorial es un fibrado 𝐸 −→𝑀 cuya fibra típica 𝐹 y cada
fibra individual 𝐸𝑝 son espacios ℝ-vectoriales de la misma dimensión, tales que las
aplicaciones 𝐹 → 𝐸 : 𝑣 ↦→ 𝜓−1𝑝 𝑗 (𝑝, 𝑣) sean isomorfismos lineales.
La dimensión 𝑘 := dim 𝐹 de cada fibra se llama el rango del fibrado vectorial. ♦
Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que el cubrimiento {𝑈 𝑗 } de la Defini-
ción 1.101 consiste de los dominios de cartas de un atlas {(𝑈 𝑗 , 𝜙 𝑗 )} para la base 𝑀 . Si
dim 𝐹 = 𝑘 y si 𝜃 : 𝐹 → ℝ𝑘 es un isomorfismo lineal fijo, se obtiene un atlas para el espacio
total 𝐸 cuyas cartas son las (𝜋−1(𝑈 𝑗 ), (𝜙 𝑗 × 𝜃 ) ◦𝜓 𝑗 ).
Si (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) son las coordenadas locales para la carta (𝑈𝛼 , 𝜙𝑎) de 𝑀 , la carta
correspondiente de 𝑇𝑀 tiene coordenadas locales (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛; 𝑣1, . . . , 𝑣𝑛), en vista de la
relación (1.54).
I Ciertas operaciones del álgebra lineal sobre espacios vectoriales pueden elevarse “pun-
to por punto” a un fibrado vectorial. Dadas dos espacios ℝ-vectoriales 𝑉 y𝑊 , se puede
formar el espacio dual 𝑉 ∗ de formas ℝ-lineales 𝑓 : 𝑉 → ℝ.
Definición 1.106. Si 𝑀 es una variedad diferencial y si 𝑝 ∈ 𝑀 , denótese por 𝑇 ∗𝑝𝑀 el
espacio ℝ-vectorial dual de 𝑇𝑝𝑀 . Sus elementos se llaman covectores en 𝒑 y 𝑇 ∗𝑝𝑀 es el
espacio cotangente en el punto 𝑝.
En una carta local (𝑈 ,𝜙) de 𝑀 tal que 𝑝 ∈ 𝑈 , cada vector tangente 𝑣 ∈ 𝑇𝑝𝑀 es unacombinación lineal de vectores tangentes básicos, 𝑣 = 𝑎 𝑗 𝜕 𝑗 . Para cada 𝑘 = 1, . . . , 𝑛, la𝜕𝑥 𝑝forma lineal 𝑑𝑥𝑘 | 𝑘𝑝 : 𝑣 →↦ 𝑎 es un covector en 𝑝{. Por su definici}ón, estos covectores sonlinealmente {independientes. A} demás, a la base 𝜕 , . . . , 𝜕  de 𝑇𝜕𝑥1 𝑝 𝜕𝑥𝑛 𝑝 𝑝𝑀 le corresponde
la base dual 𝑑𝑥1 | , . . . , 𝑑𝑥𝑛𝑝 |𝑝 de 𝑇 ∗𝑝𝑀 .
𝜋
El fibrado cotangente de 𝑀 es el fibrado vectorial 𝑇 ∗𝑀 −→𝑀 con fibra típica ℝ𝑛
definido por:
𝑇 ∗𝑀 := { (𝑝, 𝜉) : 𝑝 ∈ 𝑀, 𝜉 ∈ 𝑇 ∗𝑝𝑀 }, 𝜋 (𝑝, 𝜉) := 𝑝. (1.55)
Dado un atlas A = {(𝑈𝛼 , 𝜙𝑎)} de 𝑀 , defínase una familia de trivializaciones locales
𝜒 −1 𝑛𝛼 : 𝜋 (𝑈𝛼 ) → 𝑈𝛼 ×ℝ por 
𝜒𝛼 (𝑝, 𝜉) := (𝑝; 𝜉1, . . . , 𝜉𝑛) donde 𝜉 = 𝜉 𝑑𝑥𝑘 𝑘 . (1.56)𝑝
Con el atlas {(𝜋−1(𝑈𝛼 ), (𝜙𝛼×1𝑛)◦𝜒 )},𝑇 ∗𝛼 𝑀 es una variedad diferencial de dimensión 2𝑛;
y 𝜋 : 𝑇 ∗𝑀 → 𝑀 es una sumersión sobreyectiva. La fibra 𝜋−1({𝑝}) es 𝑇 ∗𝑝𝑀 .
De (1.56), se ve que (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛; 𝜉1, . . . , 𝜉𝑛) son coordenadas locales para 𝑇 ∗𝑀 . ♦
1-50
MA–870: Geometría Diferencial 1.9. Fibrados
𝜋
Definición 1.107. Una sección (suave) de un fibrado 𝐸 −→𝑀 es una aplicación suave
𝑠 : 𝑀 → 𝐸 tal que 𝜋 ◦ 𝑠 = 1𝑀 , es decir, 𝑠 (𝑝) ∈ 𝐸𝑝 para todo 𝑝 ∈ 𝑀 .
𝜋
Denótese por Γ(𝑀, 𝐸) la totalidad de secciones suaves del fibrado 𝐸 −→𝑀 . Si 𝐸 es un
fibrado vectorial, este conjunto es también un espacio ℝ-vectorial, al definir
𝑠 + 𝑡 (𝑝) := 𝑠 (𝑝) + 𝑡 (𝑝) ∈ 𝐸𝑝, 𝜆𝑠 (𝑝) := 𝜆 𝑠 (𝑝) ∈ 𝐸𝑝,
para 𝑠, 𝑡 ∈ Γ(𝑀, 𝐸), 𝜆 ∈ ℝ, 𝑝 ∈ 𝑀 . ♦
pr
Ejemplo 1.108. Una sección suave de un fibrado trivial × −→1𝑀 𝐹 𝑀 está dada por una
fórmula 𝑠 (𝑝) := (𝑝, 𝑓 (𝑝)) donde 𝑓 : 𝑀 → 𝐹 es una función suave. En particular, las
funciones suaves en 𝐶∞(𝑀) están en correspondencia biunívoca con las secciones suaves
pr
del fibrado trivial × −→1𝑀 ℝ 𝑀 . ♦
𝜋
En ciertos casos, las secciones suaves de 𝐸 −→𝑀 con dominio 𝑀 son escasas; pero si
𝑈 ⊂ 𝑀 es un abierto, también se define el conjunto Γ(𝑈 , 𝐸) := { 𝑠 : 𝑈 → 𝐸 : 𝜋 ◦ 𝑠 = 1𝑈 }
de secciones locales con dominio 𝑈 . En particular, para cada 𝑣 ∈ 𝐹 , la trivialización
local 𝜓 : 𝜋−1𝑗 (𝑈 𝑗 ) → 𝑈 𝑗 × 𝐹 determina una sección local en Γ(𝑈 , 𝐸) por 𝑝 →↦ 𝜓−1𝑗 𝑗 (𝑝, 𝑣).
𝜏
Ejemplo 1.109. Una sección del fibrado tangente 𝑇𝑀 −→𝑀 es una función 𝑝 ↦→ 𝑋𝑝 que
lleva cada punto 𝑝 ∈ 𝑀 a un vector tangente en 𝑇𝑝𝑀 , de tal manera que su expresión
en coordenadas locales depende suavemente de 𝑝. En otras palabras, en una carta local(𝑈 ,𝜙),∑esta función define combinaciones lineales 𝑋 = 𝑎
𝑗
𝑝 (𝑝) 𝜕 𝑗 y se requiere que las𝜕𝑥 𝑝
funciones coeficientes 𝑎 𝑗 : 𝑈 → ℝ sean suaves. Al recordar la relación (1.24), esto es,
𝑋 | = 𝑛 𝑎 𝑗 𝜕 𝜏𝑈 𝑗=1 𝑗 , se concluye que una sección suave del fibrado tangente𝑇𝑀 −→𝑀 no es𝜕𝑥
otra cosa que un campo vectorial 𝑋 ∈ X(𝑀). ♦
Este último ejemplo muestra que los campos vectoriales pueden visualizarse de dos
maneras distintas. Por un lado, cada campo vectorial 𝑋 es un operador lineal sobre
𝐶∞(𝑀) que cumple una regla de Leibniz, miembro del álgebra de Lie X(𝑀). Por otro
lado, cada 𝑋 es una sección suave 𝑝 ↦→ 𝑋𝑝 del fibrado tangente. Por esta razón, es
oportuno identificar estos dos espacios vectoriales:
X(𝑀) = Γ(𝑀,𝑇𝑀).
Hay un diálogo entre la estructura algebraica de X(𝑀) y la del espacio vectorial de
secciones Γ(𝑀,𝑇𝑀) que ilumina diversos aspectos computacionales de la teoría de las
variedades diferenciales. Se aprovechará a fondo esa relación en el próximo capítulo.
1-51
MA–870: Geometría Diferencial 1.10. Ejercicios sobre variedades diferenciales
1.10. Ejercicios sobre variedades diferenciales
En los ejercicios que siguen, 𝑀 y 𝑁 denotan dos variedades diferenciales.
Ejercicio 1.1. Sean A := { (𝑈𝛼 , 𝜙𝛼 ) : 𝛼 ∈ 𝐴 } y B := { (𝑉𝛽,𝜓𝛽) : 𝛽 ∈ 𝐵 } dos atlases para
𝑀 y 𝑁 , respectivamente. Si dim𝑀 =𝑚 y dim𝑁 = 𝑛, defínase la aplicación 𝜙𝛼 ×𝜓𝛽 : 𝑈𝛼 ×
𝑉 → ℝ𝑚 ×ℝ𝑛 = ℝ𝑚+𝑛𝛽 por
𝜙𝛼 ×𝜓𝛽 (𝑥,𝑦) := (𝜙𝛼 (𝑥),𝜓𝛽 (𝑦)) .
Verificar que { (𝑈𝛼 × 𝑉𝛽, 𝜙𝛼 × 𝜓𝛽) : 𝛼 ∈ 𝐴, 𝛽 ∈ 𝐵 } es un atlas sobre 𝑀 × 𝑁 . (Con
este atlas, se define la variedad producto 𝑀 × 𝑁 .) Demostrar que las proyecciones
pr1 : 𝑀 × 𝑁 → 𝑀 : (𝑥,𝑦) ↦→ 𝑥 , pr2 : 𝑀 × 𝑁 → 𝑁 : (𝑥,𝑦) ↦→ 𝑦, son suaves.
Ejercicio 1.2. Defínase un juego de 2𝑛 cartas locales { (𝑉 ±,𝜓±) : 𝑘 = 1, . . . , 𝑛 } sobre la
𝑘 𝑘
esfera 𝕊𝑛−1, donde los 𝑉 ± son los hemisferios abiertos:
𝑘
𝑉 + := { 𝑥 ∈ 𝕊𝑛−1 : 𝑥𝑘 > 0 }, 𝑉 − := { 𝑥 ∈ 𝕊𝑛−1 : 𝑥𝑘 < 0 },
𝑘 𝑘
y las 𝜓± son proyecciones de los 𝑉 ± a los respectivos planos ecuatoriales:
𝑘 𝑘
𝜓±(𝑥) := (𝑥1, . . . , 𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘+1, . . . , 𝑥𝑛) ∈ ℝ𝑛−1.
𝑘
Demostrar que estas cartas forman un atlas para 𝕊𝑛−1. Determinar si este atlas es com-
patible o no con el atlas de dos cartas del Ejemplo 1.13.
Ejercicio 1.3. Comprobar que las funciones biyectivas 𝑓 : 𝔹𝑛 → ℝ𝑛 y 𝑓 −1 : ℝ𝑛 → 𝔹𝑛 del
Ejemplo 1.27 son suaves y calcular sus derivadas. Ellas son:
𝑓 ( ) 2𝑥𝑥 := −1− ‖ ‖2 , 𝑓 (𝑦) = √︁ 𝑦 .1 𝑥 1 + 1 + ‖𝑦‖2
Ejercicio 1.4. Si 𝑎 < 𝑏 en ℝ, la función 𝑓 : ℝ→ ℝ dada por
𝑓 (𝑡) := 𝑒−1/(𝑏−𝑡) (𝑡−𝑎) È𝑎 < 𝑡 < 𝑏É
es obviamente suave en los intervalos abiertos (−∞, 𝑎), (𝑎, 𝑏) y (𝑏, +∞). Verificar que las
derivadas 𝑓 (𝑟 ) (𝑎) y 𝑓 (𝑟 ) (𝑏), para 𝑟 ∈ ℕ, también existen y son todas iguales a 0.
Ejercicio 1.5. U⊎na función suave y sobreyectiva 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 es una aplicación recubri-dora si para cada 𝑞 ∈ 𝑁 , hay un vecindario abierto𝑉 de 𝑞 cuyo preimagen 𝑓 −1(𝑉 ) es una
unión disjunta 𝑘 𝑈𝑘 de abiertos de 𝑀 , donde cada 𝑓 |𝑈 : 𝑈𝑘 → 𝑉 es un difeomorfismo.𝑘
Demostrar que estas dos funciones son aplicaciones recubridoras:
𝑓 : ℝ→ 𝕋 : 𝑡 ↦→ 𝑒2𝜋𝑖𝑡 , 𝑔 : 𝕋 → 𝕋 : 𝑧 ↦→ 𝑧2.
1-52
MA–870: Geometría Diferencial 1.10. Ejercicios sobre variedades diferenciales
Ejercicio 1.6. Sean (𝑈 ,𝜙) y (𝑉 ,𝜓 ) dos cartas locales de 𝑀 tales que 𝜙 (𝑝) = 𝜓 (𝑝) = 0
para un determinado punto 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉 .Sean (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛), (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) sus sistemasrespectivas de coordenadas locales. Un vector tangente 𝑣 ∈ 𝑇𝑝𝑀 se expresa mediante doscombinaciones lineales, 𝑣 = 𝑎 𝑗 𝜕 𝑗 = 𝑏𝑘 𝜕𝑘 con coeficientes 𝑎 𝑗 , 𝑏𝑘 ∈ ℝ. Comprobar que𝜕𝑥 𝑝 𝜕𝑦 𝑝
estos coeficientes están ligados por la fórmula:33
𝜕𝑦𝑘
𝑏𝑘 = (0) 𝑎 𝑗 para cada 𝑘 = 1, . . . , 𝑛.
𝜕𝑥 𝑗
Ejercicio 1.7. Sea 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 una función suave. Si 𝑝 ∈ 𝑀 y 𝑣 ∈ 𝑇𝑝𝑀 , sea 𝛾 : 𝐼 → 𝑀 una
curva suave tal que 𝛾 (0) = 𝑝, 𝛾¤(0) = 𝑣 . Si 𝜁 := 𝑓 ◦ 𝛾 : 𝐼 → 𝑁 es la curva imagen en 𝑁 ,
demostrar que 𝑇𝑝 𝑓 (𝑣) = 𝜁¤(0).
Ejercicio 1.8. (a) Comprobar que una función suave 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 es una inmersión si y
solo si dim𝑀 6 dim𝑁 y el rango de 𝑇𝑝 𝑓 es igual a dim𝑀 , para todo 𝑝 ∈ 𝑀 .
(b) Demostrar que la aplicación ℎ : ℝ→ ℝ2 dada por ℎ(𝑡) := (𝑡2, 𝑡3) es suave e inyec-
tiva pero que no es una inmersión de ℝ en ℝ2.
Ejercicio 1.9. Sea 𝕋2 = 𝕊1 × 𝕊1 el toro de dimensión 2 (encajada en el espacio vectorial
ℂ2 ' ℝ4). Considérese la curva suave 𝛾 : ℝ→ 𝕋2 dado por la fórmula
𝛾 (𝑡) := (𝑒2𝜋𝑖𝑡 , 𝑒2𝜋𝑖𝛼𝑡 ),
donde 𝛼 ∈ ℝ \ℚ es irracional.
(a) Comprobar que 𝛾 es una inmersión inyectiva.
(b) Demostrar que la sucesión {𝛾 (𝑛)}𝑛∈ 2ℕ tiene un punto de acumulación en 𝕋 y
concluir que 𝛾 : ℝ → 𝛾 (ℝ) no es un homeomorfismo, de modo que 𝛾 no es un
encaje.3⁴
È Indicación: 𝕋2 es cerrado y acotado en ℝ4.É
Ejercicio 1.10. Si 𝑎 es un valor regular de 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 y 𝑆 = 𝑓 −1(𝑎), verificar que
𝑇𝑝𝑆 ' ker𝑇𝑝 𝑓 para todo 𝑝 ∈ 𝑆 .
33El convenio de Einstein (sumas sobre índices repetidas) está en vigor.
34De hecho, es posible mostrar que la trayectoria 𝛾 (ℝ) es denso en el toro 𝕋2.
1-53
MA–870: Geometría Diferencial 1.10. Ejercicios sobre variedades diferenciales
𝑦
𝑥
Figura 1.5: La hoja de Descartes
Ejercicio 1.11. La hoja de Descartes es la curva 𝑥3 + 𝑦3 = 3𝑥𝑦 en el plano ℝ2.
(a) Verificar que la parametrización 𝑡 ↦→ (𝑥 (𝑡), 𝑦 (𝑡)), dada por
2
𝑥 ( ) 3𝑡 3𝑡𝑡 := , 𝑦 (𝑡) :=
1 + 𝑡3 1 + 𝑡3 ,
define una inmersión 𝑓 : ℝ \ {−1} → ℝ2 cuya imagen es la hoja de Descartes
(Figura 1.11).
(b) Explicar por qué la inmersión 𝑓 es inyectiva pero no es un encaje.
Ejercicio 1.12. Si 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 es suave, se dice que 𝑝 ∈ 𝑀 es un punto regular de 𝑓 si
rango𝑇𝑝 𝑓 = 𝑚 = dim𝑁 ; pero si rango𝑇𝑝 𝑓 < 𝑚, 𝑝 es un punto crítico de 𝑓 . Nótese que
𝑎 ∈ 𝑁 es un valor regular de 𝑓 si y solo si cada 𝑞 con 𝑓 (𝑞) = 𝑎 es un punto regular de 𝑓 ;
en cambio, 𝑓 (𝑝) es valor crítico si 𝑝 es un punto crítico de 𝑓 .
(a) Si 𝑈 ⊆ ℝ𝑛 es un abierto y 𝑓 : 𝑈 → ℝ es suave, comprobar que 𝑝 ∈ 𝑈 es un punto
crítico de 𝑓 si y solo si 𝜕 𝑗 𝑓 (𝑝) = 0 para 𝑗 = 1, . . . , 𝑛.
(b) Si 𝑐 ≠ 0, concluir que el hiperboloide 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 = 𝑐 es una subvariedad de ℝ3.
Qué puede decirse del cono 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 = 0?
Ejercicio 1.13. Sea det : 𝑀𝑛 (ℝ) → ℝ la función que lleva cada matriz real 𝑛 × 𝑛 a su
determinante. Demostrar que 0 es el único valor crítico de esta función.
È Indicación: para la unicidad, usar la expansión del determinante en una fila.É
Deducir la afirmación del Ejemplo 1.49, de que SL(𝑛,ℝ) es una subvariedad de𝑀𝑛 (ℝ),
cuya dimensión es 𝑛2 − 1.
1-54
MA–870: Geometría Diferencial 1.10. Ejercicios sobre variedades diferenciales
Ejercicio 1.14. Considérese la helicoide 𝑀 := { (𝑠 cos 𝑡, 𝑠 sen 𝑡, 𝑡) ∈ ℝ3 : 𝑠, 𝑡 ∈ ℝ }.
Demostrar que 𝑀 es una subvariedad de ℝ3. Si se definen 𝑓 , 𝑔 : 𝑀 → ℝ2 por
𝑓 (𝑥,𝑦, 𝑧) := (𝑥,𝑦), 𝑔(𝑥,𝑦, 𝑧) := (𝑦, 𝑧),
determinar si 𝑓 y 𝑔 son sumersiones o no.
Ejercicio 1.15. (a) Demostrar que esta superficie cúbica es una subvariedad de ℝ3:
𝑆 := { (𝑥,𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3 − 3𝑥𝑦𝑧 = 1 }.
(b) Comprobar que la intersección de 𝑆 con el plano 𝑥 +𝑦 + 𝑧 = 𝑡 es un círculo si 𝑡 > 0,
pero es vacío si 𝑡 6 0. Concluir que 𝑆 es una superficie de revolución.
Ejercicio 1.16. Si 𝑅 es una subvariedad de una variedad diferencial 𝑀 y si 𝑆 es una
subvariedad de 𝑅, comprobar que 𝑆 es una subvariedad de 𝑀 .
Ejercicio 1.17. (a) Si 𝑋 = 𝑎 𝑗 𝜕 𝑗 𝜕𝑗 , 𝑌 = 𝑏 𝑗 son las expresiones en coordenadas locales𝜕𝑥 𝜕𝑥
de dos campos vectoriales 𝑋,𝑌 ∈ X(𝑀), y si [𝑋,𝑌 ] = 𝑐 𝑗 𝜕 𝑗 con respecto a la misma𝜕𝑥
carta local, comprobar que las funciones 𝑐 𝑗 están dadas por:
𝑗
𝑗 𝜕𝑏 𝜕𝑎
𝑗
𝑐 = 𝑎𝑘 − 𝑏𝑘 .
𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑘
(b) Demostrar que los dos campos vectoriales
𝑋 = 𝑥2
𝜕
3 − 𝑥
3 𝜕 𝜕 𝜕
2 , 𝑌 = 𝑥
3
1 − 𝑥
1
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥3
generan una subálgebra de Lie tridimensional de X(ℝ3).
Ejercicio 1.18. Si 𝑋,𝑌 ∈ X(𝑀) y 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀), verificar la fórmula:
[𝑓 𝑋,𝑌 ] = 𝑓 [𝑋,𝑌 ] − (𝑌 𝑓 )𝑋 .
Ejercicio 1.19. Si 𝑋,𝑌 ∈ X(𝑀) tienen flujos respectivos 𝛼 , 𝛽 definidos en todo ℝ × 𝑀 ,
demostrar que [𝑋,𝑌 ] = 0 si y solo si 𝛼 (𝑡, 𝛽 (𝑡, 𝑝)) = 𝛽 (𝑡, 𝛼 (𝑡, 𝑝)) para todo 𝑡 ∈ ℝ, 𝑝 ∈ 𝑀 .
Ejercicio 1.20. Considérese los dos campos vectoriales sobre ℝ2 definidos por3⁵
𝑋 = − 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕𝑦 + 𝑥 , 𝑌 := 𝑥 + 𝑦 .
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦
35En el Ejemplo 1.66, se demostró que las curvas integrales de 𝑋 son los círculos 𝑡 ↦→ (𝑟 cos 𝑡, 𝑟 sen 𝑡),
con radios 𝑟 > 0; y el origen (0, 0), que es un punto fijo (una curva constante).
1-55
MA–870: Geometría Diferencial 1.10. Ejercicios sobre variedades diferenciales
(a) Determinar las curvas integrales del campo vectorial 𝑌 .
(b) Verificar que [𝑋,𝑌 ] = 0 e interpretar esta conmutación en términos de los flujos,
a la luz del Ejercicio 1.19.
Ejercicio 1.21. Si 𝑧 = 𝑒𝑖𝛼0 ∈ 𝕊1 = { 𝑧 ∈ ℂ : |𝑧 | = 1 }, se puede definir un carta
local (𝑉𝛼 ,𝜓𝛼 ) de 𝕊1 al tomar 𝑉𝛼 := 𝕊1 \ {−𝑧0} y al definir 𝜓𝛼 : 𝑉𝛼 → (𝛼 − 𝜋, 𝛼 + 𝜋) por
𝜓 (𝑒𝑖𝜃𝛼 ) := 𝜃 . Aquí 𝜃 es la coordenada local para esta carta y determina un campo vectorial
local 𝑑/𝑑𝜃 , restringido a𝑉𝛼 . Si 𝑧 = 𝑒𝑖𝛽1 es otro punto de 𝕊1, las fórmulas análogas definen
un campo vectorial local 𝑑/𝑑𝜃 en 𝑉𝛽 . Mostrar que estos dos campos vectoriales locales
coinciden (es decir, tienen la misma restricción) sobre 𝑉𝛼 ∩𝑉𝛽 .
Así, se ha definido un campo vectorial 𝑋 = 𝑑/𝑑𝜃 sobre todo 𝕊1. Comprobar que 𝑋 es
invariante bajo las rotaciones rígidas del círculo 𝜆𝑤 : 𝑧 ↦→ 𝑤𝑧, para 𝑤 ∈ 𝕊1.
Ejercicio 1.22. Verificar la afirmación de la fórmula (1.40): si 𝑋 es el campo vectorial
invariante sobre 𝐺 que corresponde al vector tangente 𝑋 ∈ 𝑇1𝐺 , su curva integral con
𝛾𝑋 (0) = 1 está dada por la expresión 𝛾𝑋 (𝑡) = exp 𝑡𝑋 para todo 𝑡 ∈ ℝ.
È Indicación: defínase una curva 𝛼 : ℝ → 𝐺 por 𝛼 (𝑠) := 𝛾𝑋 (𝑡𝑠); comprobar que
𝛼¤ (𝑠) = 𝑡 𝑋𝛼 (𝑠) para 𝑠 ∈ ℝ y que 𝛼 (0) = 1; luego mostrar que 𝛼 (1) = exp 𝑡𝑋 .É
En los cuatro ejercicios que siguen, exp denota la exponencial matricial de una matriz
cuadrada 𝑋 ∈ 𝑀𝑛 (𝔽)
∑
definida por exp𝑋 := ∞=0(1/𝑘!)𝑋𝑘 , con 𝑋 0 := 1𝑛.𝑘
Ejercicio 1.23. (a) Verificar que la curva 𝛾𝑋 : ℝ→ GL(𝑛, 𝔽) dada por 𝛾𝑋 (𝑡) := exp(𝑡𝑋 )
es suave y que su derivada en 𝑡 = 0 es 𝑋 ∈ 𝑀𝑛 (𝔽).3⁶
(b) Comprobar que exp(𝑋 + 𝑌 ) = exp𝑋 exp𝑌 si [𝑋,𝑌 ] = 0. Concluir que la función
𝑡 ↦→ exp 𝑡𝑋 es un homomorfismo de ℝ en GL(𝑛, 𝔽).
Ejercicio 1.24. Calcu(lar ex)p 𝑡𝑋 ∈ GL(2,ℝ) p(ara lo)s tres casos siguie(ntes: )
𝑎 0 0 1 0 1
(i) 𝑋 = ; (ii) 𝑋 = ; (iii) 𝑋 =
0 𝑏 0 0 − .1 0
Ejercicio 1.25. (a) Mostrar que su(2), el álgebra de Lie del grupo de Lie SU(2), tiene
la siguiente base ℝ(-vecto)rial: ( ) ( )
𝑖 0 1 1 0 −1 𝑖 1 0
𝑋1 := , 𝑋2 := , 𝑋3 := − .2 1 0 2 1 0 2 0 1
36Así se demuestra que la aplicación exponencial de la Definición 1.79 coincide con la exponencial
matricial si g 6 𝑀𝑛 (𝔽).
1-56
MA–870: Geometría Diferencial 1.10. Ejercicios sobre variedades diferenciales
(b) Verificar las relaciones de conmutación:
[𝑋1, 𝑋2] = 𝑋3 , [𝑋2, 𝑋3] = 𝑋1 , [𝑋3, 𝑋1] = 𝑋2 .
(c) Calcular los subgrupos uniparamétricos { exp 𝑡𝑋 𝑗 : 𝑡 ∈ ℝ } para 𝑗 = 1, 2, 3.
(d) Demostrar que cualquier elemento 𝑈 ∈ SU(2) puede escribirse en la forma3⁷
𝑈 = (exp𝜙𝑋3) (exp𝜃𝑋2) (exp𝜓𝑋3)
con 0 6 𝜃 6 𝜋 , −𝜋 < 𝜙 6 𝜋 , −2𝜋 < 𝜓 6 2𝜋 .
Ejercicio 1.26. Mostrar que so(3), el álgebra de Lie del grupo de Lie SO(3), tiene la
siguiente base ℝ-vectorial:
©­0 0 0®®ª ­©0 0 −1ª®® ©­ 0 1 0ª𝑌1 := «0 0 1¬ , 𝑌2 := «0 0 0 ¬ , 𝑌3 := «−1 0 0®® .0 −1 0 1 0 0 0 0 0¬
Con la notación del Ejercicio 1.25, defínase un homomorfismo 𝜌 : SU(2) → SO(3) por
𝜌 (exp 𝑡𝑋 𝑗 ) := exp 𝑡𝑌𝑗 para 𝑗 = 1, 2, 3; 𝑡 ∈ ℝ.
Calcular 𝜌 (exp𝜙𝑋3 exp𝜃𝑋2 exp𝜓𝑋3) y comprobar que el núcleo de 𝜌 es el subgrupo de
dos elementos {12,−12} 6 SU(2).
Ejercicio 1.27. Sea UT(𝑛,ℝ) el conjunto de matrices unitriangulares en 𝑀𝑛 (𝔽), con
entradas diagonales 𝑎 𝑗 𝑗 = 1 y además 𝑎𝑖 𝑗 = 0 si 𝑖 > 𝑗 . Demostrar que este es un grupo de
Lie, y hallar su álgebra de Lie.
Ejercicio 1.28. Sea ℍ un espacio ℝ-vectorial con la base {1, 𝒊, 𝒋, 𝒌} (se identifica 𝑟 ∈ ℝ
con 𝑟 1 ∈ ℍ), dotado con el producto ℝ-bilineal definido sobre elementos de la base por:
𝒊2 = 𝒋2 = 𝒌2 = −1, 𝒊𝒋 = 𝒌 = −𝒋𝒊, 𝒋𝒌 = 𝒊 = −𝒌𝒋, 𝒌 𝒊 = 𝒋 = −𝒊𝒌 .
Este ℍ es una ℝ-álgebra con elemento identidad 1; sus elementos son las cuaterniones.
(a) Si 𝑞 = 𝑞0 + 𝑞1 𝒊 + 𝑞2𝒋 + 𝑞3𝒌 ∈ ℍ, se escribe 𝑞 := 𝑞0 − 𝑞1 𝒊 − 𝑞2𝒋 − 𝑞3𝒌; y se define
𝑁 (𝑞) := 𝑞 𝑞 ∈ ℝ. Comprobar que 𝑁 (𝑝𝑞) = 𝑁 (𝑝) 𝑁 (𝑞) para 𝑝, 𝑞 ∈ ℍ.
37Estos ángulos de Euler 𝜃, 𝜙,𝜓 parametrizan el grupo de Lie SU(2).
1-57
MA–870: Geometría Diferencial 1.10. Ejercicios sobre variedades diferenciales
(b) Las cuaterniones unitarias UH := {𝑞 ∈ ℍ : 𝑁 (𝑞) = 1 } forman un grupo de Lie.
Encontrar un isomorfismo de grupos entre UH y SU(2).
Ejercicio 1.29. El grupo de Heisenberg 𝐻𝑛 se define como sigue. El conjunto 𝐻𝑛 es el
espacio vectorial ℝ𝑛 ⊕ ℝ𝑛 ⊕ ℝ ' ℝ2𝑛+1, cuyo elemento típico es (𝒒,𝒑, 𝑡) con 𝒒,𝒑 ∈ ℝ𝑛,
𝑡 ∈ ℝ. Se define el producto en 𝐻𝑛 por la fórmula:
(𝒒1,𝒑1, 𝑡1) ∗ (𝒒2,𝒑2, 𝑡2) := (𝒒1 + 𝒒2,𝒑1 + 𝒑2, 𝑡1 + 𝑡2 + 12 (𝒒1 · 𝒑2 − 𝒒2 · 𝒑1))
donde 𝒒1 ·𝒑2 denota el producto escalar usual en ℝ𝑛. Comprobar que 𝐻𝑛 es un grupo de
Lie no abeliano. Determinar el centro del grupo 𝐻𝑛.
Sea 𝐻𝑛 el mismo conjunto con un producto diferente:
(𝒒1,𝒑1, 𝑡1)  (𝒒2,𝒑2, 𝑡2) := (𝒒1 + 𝒒2,𝒑1 + 𝒑2, 𝑡1 + 𝑡2 + 𝒒1 · 𝒑2) .
Hallar un isomorfismo de grupos 𝜃 : 𝐻𝑛 → 𝐻𝑛 que es a la vez un difeomorfismo.
Ejercicio 1.30. Sea 𝐺 un grupo de Lie. Verificar que 𝑔 · ℎ := 𝑔ℎ𝑔−1 define una acción a
izquierda de𝐺 sobre sí mismo. Cuáles son las órbitas de esta acción? Cuál es el subgrupo
de isotropía de un elemento ℎ ∈ 𝐺 bajo esta acción?
Ejercicio 1.31. Sea 𝐺 un grupo de Lie que actúa sobre una variedad diferencial 𝑀 . Si
dos órbitas coinciden: 𝐺 ·𝑢 = 𝐺 · 𝑣 , demostrar que los subgrupos de isotropía 𝐺𝑢 , 𝐺𝑣 son
conjugados; esto es, que existe ℎ ∈ 𝐺 tal que 𝐺 −1𝑣 = {ℎ𝑔ℎ : 𝑔 ∈ 𝐺𝑢 }.
Ejercicio 1.32. Demostrar que la siguiente fórmula define una acción a izquierda de
SL(2,ℝ) sobre ℂ: ( )
𝑎 𝑏 𝑎𝑧 + 𝑏
para 𝐴 = ∈ SL(2,ℝ); 𝑧 ∈ ℂ, sea 𝐴 · 𝑧 := + .𝑐 𝑑 𝑐𝑧 𝑑
√
Cuál es la órbita del punto 𝑖 = −1 ? y cuál es el subgrupo de isotropía de 𝑖 ?
Ejercicio 1.33. El grupo de Lie(SU(1), 1) consta de matrices en 𝑀2(ℂ) de la forma
𝛼 𝛽
𝐴 = , con |𝛼 |2 − |𝛽 |2 = 1.
𝛽 𝛼
Verificar que tales matrices forman un grupo, el cual actúa transitivamente sobre el disco
unitario 𝔻 := { 𝑧 ∈ ℂ : |𝑧 | < 1 } por
𝐴 · 𝛼𝑧 + 𝛽𝑧 := para 𝑧 ∈ 𝔻.
𝛽𝑧 + 𝛼
1-58
MA–870: Geometría Diferencial 1.10. Ejercicios sobre variedades diferenciales
Dibujar las ór(bitas de c)ada uno de los(subgrupos uni)paramétricos c(on elementos:)
𝑒𝑖𝜃( ) 0 ( ) cosh 𝑡 sinh 𝑡 ( ) 1 + 𝑖𝑠 −𝑖𝑠𝑘 𝜃 := −𝑖𝜃 , 𝑎 𝑡 := , 𝑛 𝑠 :=0 𝑒 sinh 𝑡 cosh 𝑡 𝑖𝑠 1 − .𝑖𝑠
Estos tres subgrupos generan SU(1, 1). Mostrar que el grupo de isotropía de 0 ∈ 𝔻 es
𝕋 := { 𝑘 (𝜃 ) : −𝜋 < 𝜃 6 𝜋 }; concluir que SU(1, 1)/𝕋 es difeomorfo a 𝔻.
Ejercicio 1.34. El algoritmo de Gram y Schmidt toma una base cualquiera {𝑎1, . . . , 𝑎𝑛}
de ℝ𝑛 y produce una base ortonormal {𝑞1, . . . , 𝑞𝑛}, de tal manera que la base parcial
{𝑞1, . . . , 𝑞𝑘} depende solamente de {𝑎1, . . . , 𝑎𝑘}. Si𝐴 y𝑄 son las matrices cuyas columnas
son estas dos bases, comprobar que 𝐴 = 𝑄𝑅, donde 𝑟𝑖 𝑗 = 0 si 𝑖 > 𝑗 ; y cada 𝑟 𝑗 𝑗 > 0. (Así,
𝑅 ∈ T+(𝑛,ℝ) es una matriz triangular superior con entradas diagonales positivas.) Usar
las fórmulas explícitas del algoritmo para demostrar que la correspondencia𝑄𝑅 ↦→ (𝑄, 𝑅)
es biyectiva y define un difeomorfismo: GL(𝑛,ℝ) ≈ O(𝑛) × T+(𝑛,ℝ).
Ejercicio 1.35. Sea 𝐺 un grupo de Lie con álgebra de Lie g. Para 𝑔 ∈ 𝐺 , 𝑌 ∈ g, defínase
Ad(𝑔) 𝑑𝑌 :=  𝑔(exp 𝑡𝑌 )𝑔−1.𝑑𝑡 𝑡=0
(a) Demostrar que (𝑔,𝑌 ) ↦→ Ad(𝑔) 𝑌 es una acción suave de 𝐺 sobre g.
(b) Si 𝐺 es un grupo de Lie lineal, es decir, 𝐺 6 GL(𝑚,ℝ) o 𝐺 6 GL(𝑚,ℂ) para
algún𝑚 ∈ ℕ, demostrar que esta acción adjunta está dada por la conjugación de
matrices: Ad(𝑔) 𝑌 = 𝑔𝑌𝑔−1.
𝜋 𝜎
Ejercicio 1.36. Unmorfismo de fibrados vectoriales entre 𝐸 −→𝑀 y 𝐹 −→𝑁 es un par
(Φ, 𝜙), donde Φ : 𝐸 → 𝐹 , 𝜙 : 𝑀 → 𝑁 son aplicaciones suaves tales que 𝜎 ◦ Φ = 𝜙 ◦ 𝜋 :
Φ
𝐸 𝐹
𝜋 𝜎
𝜙
𝑀 𝑁
y todas las aplicaciones entre fibras Φ𝑥 : 𝑣 ↦→ Φ(𝑣) : 𝐸𝑥 → 𝐹𝜙 (𝑥) deben ser lineales.
Si 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 es suave, mostrar que la aplicación tangente 𝑇 𝑓 : 𝑇𝑀 → 𝑇𝑁 dada por
𝑇 𝑓 (𝑝, 𝑣) := (𝑓 (𝑝),𝑇𝑝 𝑓 (𝑣)) es suave y que el par (𝑇 𝑓 , 𝑓 ) es un morfismo de fibrados.
Ejercicio 1.37. Si 𝑥 · 𝑦 := 𝑥1𝑦1 + 𝑥2𝑦2 + 𝑥3𝑦3 denota el producto escalar usual en ℝ3,
considérese el conjunto
𝐸 := { (𝑥,𝑦) ∈ ℝ3 ×ℝ3 : ‖𝑥 ‖ = 1, 𝑥 · 𝑦 = 0 } ⊂ ℝ6
1-59
MA–870: Geometría Diferencial 1.10. Ejercicios sobre variedades diferenciales
con su topología relativa; la proyección 𝜋 : 𝐸 → 𝕊2 : (𝑥,𝑦) ↦→ 𝑥 es continua. La esfera
𝕊2 tiene un cubrimiento abierto {𝑈1,𝑈2,𝑈3}, donde 𝑈𝑘 := { 𝑥 ∈ 𝕊2 : |𝑥𝑘 | < 1 } para
𝑘 = 1, 2, 3. Defínase tres funciones 𝜓 : 𝜋−1𝑘 (𝑈𝑘) → 𝑈𝑘 ×ℝ2 por
𝜓 (𝑥,𝑦) := (𝑥; 𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2, 𝑦11 ),
𝜓 (𝑥,𝑦) := (𝑥; 𝑥3𝑦1 − 𝑥12 𝑦3, 𝑦2),
𝜓 (𝑥,𝑦) := (𝑥; 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦13 , 𝑦3).
𝜋
Demostrar que 𝜓1, 𝜓2, 𝜓3 son trivializaciones locales para un fibrado vectorial 𝐸 −→𝕊2.
Ejercicio 1.38. Un isomorfismo de fibrados vectoriales es un morfismo de fibrados
(Φ, 𝜙) invertible, es decir, las dos aplicaciones Φ y 𝜙 son difeomorfismos.
𝜋
Demostrar que el fibrado vectorial 𝐸 −→𝕊2 del Ejercicio 1.37 es isomorfo al fibrado
𝜏
tangente 𝑇𝕊2 −→𝕊2.
𝜏
Ejercicio 1.39. Comprobar que el fibrado tangente 𝑇𝕊1 −→𝕊1 es trivial,3⁸ al encontrar
𝜏 pr
un isomorfismo explícito entre 𝑇𝕊1 −→ 1 y 1 × −→1𝕊 𝕊 ℝ 𝕊1.
−→𝜋Ejercicio 1.40. Sea 𝐸 𝑀 un fibrado vectorial con fibra típica 𝐹 y dos trivializaciones
locales𝜓 : 𝜋−1𝑗 (𝑈 𝑗 ) → 𝑈 𝑗 × 𝐹 ,𝜓𝑘 : 𝜋−1(𝑈𝑘) → 𝑈𝑘 × 𝐹 tales que𝑈 𝑗 ∩𝑈𝑘 ≠ ∅. Mostrar que
𝜓 −1𝑗 ◦𝜓 : (𝑈 𝑗 ∩𝑈𝑘) × 𝐹 → (𝑈 𝑗 ∩𝑈𝑘) × 𝐹𝑘
es un isomorfismo de fibrados triviales sobre 𝑈 𝑗 ∩𝑈𝑘 .
Entonces, al denotar por GL(𝐹 ) el grupo de automorfismos lineales3⁹ del espacio
vectorial 𝐹 , hay una única función suave 𝑔 𝑗𝑘 : 𝑈 𝑗 ∩ 𝑈𝑘 → GL(𝐹 ) determinado por la
fórmula 𝜓 −1𝑗 ◦𝜓 (𝑥, 𝑣) = (𝑥, 𝑔 𝑗𝑘 (𝑥) 𝑣). Demostrar que estas funciones de transición 𝑔𝑘 𝑗𝑘
cumplen la relación siguiente:
𝑔 𝑗𝑘 (𝑥) 𝑔𝑘𝑙 (𝑥) = 𝑔 𝑗𝑙 (𝑥) para 𝑥 ∈ 𝑈 𝑗 ∩𝑈𝑘 ∩𝑈𝑙 (1.57)
toda vez que 𝑈 𝑗 ∩𝑈𝑘 ∩𝑈𝑙 ≠ ∅.
È Inversamente, dada una familia de funciones {𝑔 𝑗𝑘} que cumplen (1.57), es posible
𝜋
reconstruir un fibrado vectorial 𝐸 −→𝑀 cuyas funciones de transición son estas 𝑔 𝑗𝑘 .É
38Una variedad diferencial 𝑀 se llama paralelizable si su fibrado tangente es trivial. El círculo 𝕊1 y la
esfera 𝕊3 son paralelizables porque son grupos de Lie: 𝕊1 ≈ U(1) y 𝕊3 ≈ SU(2). En cambio, la esfera 𝕊2
no es paralelizable – y por lo tanto no es la variedad diferencial subyacente a grupo de Lie alguno.
39Si dimℝ 𝐹 = 𝑚, la elección de una base vectorial de 𝐹 determina un isomorfismo de grupos de Lie
GL(𝐹 ) ' GL(𝑚,ℝ).
1-60
MA–870: Geometría Diferencial
2 Formas diferenciales
It is nice to know that the computer understands the
problem. But I would like to understand it, too.
— Eugene Paul Wigner
En su libro sobre las formas diferenciales, Harley Flanders las define así:
Estas son las cosas que ocurren bajo signos de integración.
Sus ejemplos son “cosas” como
𝜔 = 𝐴𝑑𝑥 + 𝐵 𝑑𝑦 +𝐶 𝑑𝑧, 𝛼 = 𝑃 𝑑𝑦 𝑑𝑧 +𝑄 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑅 𝑑𝑥 𝑑𝑦, 𝜆 = 𝐻 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧,
que ap∫arecen en integrales de l∬ínea, de superficie y triples en ℝ3:∭
𝐴𝑑𝑥 + 𝐵 𝑑𝑦 +𝐶 𝑑𝑧, 𝑃 𝑑𝑦 𝑑𝑧 +𝑄 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑅 𝑑𝑥 𝑑𝑦, 𝐻 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧.
Los términos 𝐴, 𝐵, . . . , 𝐻 son funciones de (𝑥,𝑦, 𝑧).
Este capítulo se dedicará al concepto de forma diferencial; en el capítulo siguiente se
examinará su colocación bajo signos de integración. El manejo algebraico de las formas
diferenciales recibe el nombre de cálculo de Cartan.
2.1. Formas diferenciales de primer grado
Sea 𝑀 una variedad diferencial. Las funciones suaves 𝑓 : 𝑀 → ℝ son los elementos
de laℝ-álgebra conmutativa𝐶∞(𝑀).1 Fíjese que𝐶∞(𝑀) no es un cuerpo porque contiene
divisores de cero: si 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑀 con 𝑝 ≠ 𝑞, hay vecindarios abiertos 𝑈 de 𝑝 y 𝑉 de 𝑞 tales
que 𝑈 ∩𝑉 = ∅; existen dos funciones 𝑓 , 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑀) con 𝑓 (𝑝) = 1 y sop 𝑓 ⊂ 𝑈 mientras
𝑔(𝑞) = 1 y sop𝑔 ⊂ 𝑉 ; en consecuencia, 𝑓 𝑔 = 0 en 𝐶∞(𝑀).
Cabe recordar, por la Definición 1.55, que los campos vectoriales sobre 𝑀 forman un
módulo (a izquierda) X(𝑀) del álgebra 𝐶∞(𝑀).
Definición 2.1. Una 1-forma diferencial sobre una variedad diferencial 𝑀 es una apli-
cación 𝐶{∞(𝑀)-lineal 𝛼 : X(𝑀) → }𝐶∞(𝑀). Esto significa que:
𝛼 (𝑋 + 𝑌 ) = 𝛼 (𝑋 ) + 𝛼 (𝑌 ),
para todo 𝑋,𝑌 ∈ X(𝑀); 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀). (2.1a)
𝛼 (𝑓 𝑋 ) = 𝑓 𝛼 (𝑋 ),
1Sería más correcta escribir 𝐶∞(𝑀,ℝ) en vez de 𝐶∞(𝑀) para enfatizar que aquí solo se consideran
funciones con valores reales. Por ahora no es necesario considerar 𝐶∞(𝑀,ℂ), la totalidad de funciones
suaves 𝑔 : 𝑀 → ℂ, la cual es una ℂ-álgebra conmutativa.
2-1
MA–870: Geometría Diferencial 2.1. Formas diferenciales de primer grado
Denótese por A1(𝑀) la totalidad de 1-formas diferenciales sobre𝑀 . Con las operaciones
“puntuales”:
𝛼 + 𝛽 (𝑋 ) := 𝛼 (𝑋 ) + 𝛽 (𝑋 ); 𝑓 𝛼 (𝑋 ) := 𝑓 𝛼 (𝑋 ); (2.1b)
el conjunto A1(𝑀) es otro módulo a izquierda sobre 𝐶∞(𝑀). ♦
Proposición 2.2. Si 𝛼 ∈ A1(𝑀) y𝑋 ∈ X(𝑀), el valor de la función 𝛼 (𝑋 ) en 𝑝 ∈ 𝑀 depende
solamente del vector tangente 𝑋𝑝 ∈ 𝑇𝑝 (𝑀). La correspondencia 𝛼𝑝 : 𝑋𝑝 ↦→ 𝛼 (𝑋 ) (𝑝) define
𝜋
una sección suave 𝑝 →↦ 𝛼𝑝 del fibrado cotangente 𝑇 ∗𝑀 −→𝑀 .
Demostración. Tómese 𝑋 ∈ X(𝑀) tal que 𝑋𝑝 = 0; se debe mostrar que 𝛼 (𝑋 ) (𝑝) = 0.
Sea (𝑈 ,𝜙) una carta local de 𝑀 con 𝑝 ∈ 𝑈 y 𝜙 (𝑝) = 0. Hay un abierto 𝑉 ⊂ 𝑀 con 𝑉
compacto tal que 𝑝 ∈ 𝑉 ⊂ 𝑉 ⊂ 𝑈 . Por el Lema 1.29, hay una función 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑀) de
soporte compacto con 𝑔(𝑞) = 1 para 𝑞 ∈ 𝑉 ; 0 6 𝑔(𝑞) < 1 para 𝑞 ∈ 𝑈 \𝑉 ; y sop𝑔 ⊂ 𝑈 .
Esto implica que
𝛼 (𝑔𝑋 ) (𝑞) = 𝑔𝛼 (𝑋 ) (𝑞) = 𝑔(𝑞) 𝛼 (𝑋 ) (𝑞) = 𝛼 (𝑋 ) (𝑞) para 𝑞 ∈ 𝑉 ,
y además 𝛼 (𝑔𝑋 ) (𝑞′) = 0 si 𝑞′ ∉ 𝑈 .
El campo vectorial 𝑔𝑋 ∈ X(𝑀) está determinado por su restricción a 𝑈 . En efecto,
por el Lema 1.54, hay funciones suaves 𝑎1, . . . , 𝑎𝑛 en 𝐶∞(𝑈 ) tales que 𝑋 |𝑈 = 𝑎 𝑗 𝜕 𝑗 y por𝜕𝑥
ende 𝑋 |𝑉 = (𝑔𝑎 𝑗 ) | 𝜕𝑉 𝑗 . Def(ínase)𝑌 ∈ X(𝑀) por 𝑌 |𝑈 := 𝑔𝑎 𝑗
𝜕
𝑗 , 𝑌 |𝑀\𝑈 := 0. Está claro𝜕𝑥 𝜕𝑥
que 𝑋 |𝑉 = 𝑌 |𝑉 y además 𝛼 (𝑋 ) (𝑝) = 𝛼 (𝑔𝑋 ) (𝑝) = 𝛼 (𝑌 ) (𝑝).
Nótese que 𝛼 (𝑌 ) = 𝑎 𝑗 𝛼 𝑔 𝜕 ∞𝑗 por 𝐶 (𝑀)-linealidad.2 La hipótesis 𝑋𝑝 = 0 implica𝜕𝑥
que 𝑎 𝑗 (𝑝) = 0 para 𝑗 = 1, . . . , 𝑛. Por lo tanto, vale 𝛼 (𝑋 ) (𝑝) = 𝛼 (𝑌 ) (𝑝) = 0.
Ahora, si 𝑋,𝑍 ∈ X(𝑀) son dos campos vectoriales tales que 𝑋𝑝 = 𝑍𝑝 , entonces vale
(𝑋 −𝑍 )𝑝 = 𝑋𝑝 −𝑍𝑝 = 0, así que 𝛼 (𝑋 −𝑍 ) (𝑝) = 0 y por ende 𝛼 (𝑋 ) (𝑝) = 𝛼 (𝑍 ) (𝑝). Luego la
correspondencia 𝑋𝑝 ↦→ 𝛼 (𝑋 ) (𝑝) está bien definido y es obviamente una forma ℝ-lineal
sobre 𝑇𝑝𝑀; en otras palabras, esta correspondencia 𝛼𝑝 es un covector en 𝑇 ∗𝑝𝑀 .
Si 𝑞 ∈ 𝑉 , hay escalares 𝑓1(𝑞), . . . , 𝑓𝑛 (𝑞) ∈ ℝ tales que 𝛼𝑞 = 𝑓𝑘 (𝑞) 𝑑𝑥𝑘 |𝑞, al usar la base
vectorial de 𝑇 ∗𝑞𝑀 introducida en la Definición 1.106. Por lo tanto,
𝛼 (𝑋 ) (𝑞) = 𝛼𝑞 (𝑋𝑞) = 𝑓𝑘 (𝑞) 𝑑𝑥𝑘 |𝑞 (𝑋𝑞) = 𝑓𝑘 (𝑞) 𝑎𝑘 (𝑞) para 𝑞 ∈ 𝑉 . (2.2)
Al reemplazar 𝑋 en (2(.2) por) el campo vectorial 𝑔 𝜕 𝑗 ∈ X(𝑀), se obtiene𝜕𝑥𝜕
𝛼 𝑔 (𝑞) = 𝑓 𝑗 (𝑞)𝑔(𝑞) = 𝑓 𝑗 (𝑞) para 𝑞 ∈ 𝑉 .
𝜕𝑥 𝑗
2Es importante observar que la expresión 𝑔𝑎 𝑗 𝜕 𝑗 define una campo vectorial sobre todo 𝑀 , que se𝜕𝑥
anula (como sección del fibrado tangente) fuera de𝑈 , por las propiedades de la función suave 𝑔. Entonces
𝑌 = 𝑔𝑎 𝑗 𝜕 𝑗 es una igualdad válida en el espacio vectorial X(𝑀).𝜕𝑥
2-2
MA–870: Geometría Diferencial 2.1. Formas diferenciales de primer grado
El lado izquierdo de esta ecuación es (por la definición de 𝛼) una función suave sobre𝑉 ,
así que 𝑓 𝑗 |𝑉 es suave. Esto dice que la expresión local 𝑓𝑘 𝑑𝑥𝑘 de la aplicación 𝑞 ↦→ 𝛼𝑞 tiene
funciones coeficientes suaves en un vecindario abierto de 𝑝. Como 𝑝 ∈ 𝑀 es arbitrario, se
𝜋
obtiene de esta manera una sección suave 𝑝 ↦→ 𝛼𝑝 del fibrado 𝑇 ∗𝑀 −→𝑀 . 
Lema 2.3. Hay una biyección ℝ-lineal entre las 1-formas diferenciales sobre una variedad
diferencial 𝑀 y las secciones suaves del fibrado cotangente de 𝑀 , es decir:
A1(𝑀) ' Γ(𝑀,𝑇 ∗𝑀). (2.3)
Demostración. La Proposición 2.2 asocia a cada 𝛼 ∈ A1(𝑀) una única sección 𝑝 ↦→ 𝛼𝑝
𝜋
del fibrado 𝑇 ∗𝑀 −→𝑀 . De este modo, se ha definido una aplicación ℝ-lineal e inyectiva
𝜃 : A1(𝑀) → Γ(𝑀,𝑇 ∗𝑀).
Por otro lado, sea 𝑝 ↦→ 𝛽𝑝 ∈ 𝑇 ∗𝑝𝑀 es una sección suave del fibrado cotangente.Si 𝑋 ∈ X(𝑀), la aplicación 𝑋𝑝 ↦→ 𝛽𝑝 (𝑋𝑝) : 𝑇𝑝𝑀 → ℝ es lineal para cada 𝑝. Al usarexpresiones locales 𝑋 = 𝑎 𝑗𝑞 (𝑞) 𝜕 𝑗 y 𝛽𝑞 = 𝑔𝑘 (𝑞) 𝑑𝑥𝑘 |𝑞 en un vecindario abierto 𝑉 de 𝑝,𝜕𝑥 𝑞
se ve que 𝛽 𝑘𝑞 (𝑋𝑞) = 𝑔𝑘 (𝑞) 𝑎 (𝑞) para 𝑞 ∈ 𝑉 . Como la suma finita 𝑔 𝑎𝑘𝑘 es una función
suave sobre𝑉 , se concluye que la correspondencia 𝑝 ↦→ 𝛽𝑝 (𝑋𝑝) ∈ ℝ es una función suave
sobre todo 𝑀 .3
Llámese 𝛽 (𝑋 ) a este elemento de 𝐶∞(𝑀). Entonces 𝑋 ↦→ 𝛽 (𝑋 ) : X(𝑀) → 𝐶∞(𝑀) es
una 1-forma diferencial sobre 𝑀; y por su definición, vale 𝛽 (𝑋 ) (𝑝) = 𝛽𝑝 (𝑋𝑝) para todo
𝑝 ∈ 𝑀 . Se ha comprobado que la aplicación 𝜃 es sobreyectiva. 
𝜋
De hecho, las secciones suaves Γ(𝑀, 𝐸) de un fibrado vectorial cualquiera 𝐸 −→𝑀
constituyen un 𝐶∞(𝑀)-módulo (a izquierda). La identificación (2.3) de 1-formas con
secciones cotangentes resulta ser un isomorfismo de 𝐶∞(𝑀)-módulos.
I A la luz de las demostraciones anteriores, en cada carta local (𝑈 ,𝜙) de𝑀 se define un
juego de 1-formas locales〈𝑑𝑥1, . . . , 𝑑𝜕 〉𝑥
𝑛 ∈ A(1(𝑈 ))por:
𝑑𝑥𝑘, ≡ 𝑑𝑥𝑘 𝜕 := È 𝑗 = 𝑘É. (2.4)
𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑗
Estas 1-formas sobre 𝑈 definen secciones locales 𝑞 ↦→ 𝑑𝑥𝑘 |𝑞 del fibrado cotangente. En
vista de la fórmula (2.2), la restricción a𝑈 de una 1-forma 𝛼 ∈ A1(𝑀) es una combinación
lineal de estas 1-formas locales en A1(𝑈 ) ' Γ(𝑈 ,𝑇 ∗𝑀):
𝛼 |𝑈 = 𝑓𝑘 𝑑𝑥𝑘, con coeficientes 𝑓 , . . . , 𝑓 ∈ 𝐶∞1 𝑛 (𝑈 ) . (2.5)
3La suavidad de una función es una propiedad local; es decir, ℎ : 𝑀 → ℝ es suave si y solo si ℎ |𝑉 es
suave en un vecindario 𝑉 de cualquier punto de 𝑀 .
2-3
MA–870: Geometría Diferencial 2.2. Álgebra tensorial y álgebra exterior
2.2. Álgebra tensorial y álgebra exterior
La teoría de las formas diferenciales de grado superior se apoya en ciertos conceptos
de álgebra multilineal, que conviene repasar.
Si 𝐸 y 𝐹 son dos espacios ℝ-vectoriales, las aplicaciones bilineales ℎ : 𝐸 × 𝐹 → ℝ
conforman un espacioℝ-vectorial 𝐵(𝐸, 𝐹 ). Dados dos vectores 𝑥 ∈ 𝐸, 𝑦 ∈ 𝐹 , la evaluación
ℎ ↦→ ℎ(𝑥,𝑦) es una aplicación lineal sobre 𝐵(𝐸, 𝐹 ), es decir, un elemento del espacio
vectorial dual 𝐵(𝐸, 𝐹 )∗. Se denota esta evaluación por 𝑥 ⊗ 𝑦. Dadas dos bases {𝒆 𝑗 } de 𝐸
y {𝒇𝑘} de 𝐹 , las combinaciones lineales⁴ 𝑥 = 𝑥 𝑗𝒆 𝑗 , 𝑦 = 𝑦𝑘𝒇𝑘 conllevan una expansión
ℎ(𝑥,𝑦) = 𝑥 𝑗𝑦𝑘 ℎ(𝒆 𝑗 ,𝒇𝑘) por la bilinealidad de ℎ. Esto muestra que 𝑥 ⊗ 𝑦 = 𝑥 𝑗𝑦𝑘 (𝒆 𝑗 ⊗ 𝒇𝑘).
De este modo, {𝒆 𝑗 ⊗ 𝒇𝑘} es una base ℝ-vectorial de 𝐵(𝐸, 𝐹 )∗.
Definición 2.4. El producto tensorial de dos espacios ℝ-vectoriales 𝐸 y 𝐹 es el espacio
ℝ-vectorial 𝐸 ⊗ 𝐹 := 𝐵(𝐸, 𝐹 )∗. Sus elementos son sumas finitas de los tensores simples
𝑥 ⊗ 𝑦 con 𝑥 ∈ 𝐸, 𝑦 ∈ 𝐹 , que cumplen las siguientes reglas de combinación:
(𝑥1 + 𝑥2) ⊗ 𝑦 = 𝑥1 ⊗ 𝑦 + 𝑥2 ⊗ 𝑦,
𝑥 ⊗ (𝑦1 + 𝑦2) = 𝑥 ⊗ 𝑦1 + 𝑥 ⊗ 𝑦2,
𝑡 (𝑥 ⊗ 𝑦) = 𝑡𝑥 ⊗ 𝑦 = 𝑥 ⊗ 𝑡𝑦 para 𝑡 ∈ ℝ.
Si 𝐸 y 𝐹 son finitodimensionales, entonces dimℝ (𝐸 ⊗ 𝐹 ) = (dimℝ 𝐸) (dimℝ 𝐹 ). ♦
Hay isomorfismos lineales ℝ ⊗ 𝐸 ' 𝐸 ' 𝐸 ⊗ ℝ, dadas por 1 ⊗ 𝑥 ↔ 𝑥 ↔ 𝑥 ⊗ 1 para
𝑥 ∈ 𝐸. En adelante, se identificará estos tres espacios ℝ-vectoriales.
Si 𝐸, 𝐹 y 𝐺 son tres espacios ℝ-vectoriales, la evaluación ℎ →↦ ℎ(𝑥,𝑦, 𝑧) de una forma
trilineal 𝑘 : 𝐸 × 𝐹 ×𝐺 → ℝ se denota por
𝑥 ⊗ 𝑦 ⊗ 𝑧 := (𝑥 ⊗ 𝑦) ⊗ 𝑧 = 𝑥 ⊗ (𝑦 ⊗ 𝑧).
Así, el espacio dual del espacio ℝ-vectorial 𝑇 (𝐸, 𝐹,𝐺) de tales ℎ se denota por
𝐸 ⊗ 𝐹 ⊗ 𝐺 ' (𝐸 ⊗ 𝐹 ) ⊗ 𝐺 ' 𝐸 ⊗ (𝐹 ⊗ 𝐺).
Definición 2.5. Sean 𝐸1, . . . , 𝐸𝑘 y 𝐹 unos espacios ℝ-vectoriales. Una determinada apli-
cación 𝑔 : 𝐸1 × · · · × 𝐸𝑘 → 𝐹 es 𝒌-lineal si para cada 𝑗 = 1, . . . , 𝑘 la aplicación parcial
𝐸 𝑗 → 𝐹 : 𝑥 𝑗 ↦→ 𝑔(𝑥1, . . . , 𝑥 𝑗 , . . . , 𝑥𝑘) es lineal.
El producto tensorial 𝐸1 ⊗ · · · ⊗ 𝐸𝑘 es el espacio dual correspondiente. Está deter-
minado hasta isomorfismo por la siguiente propiedad universal: existe una aplicación
4El convenio de Einstein sigue en vigor. Así, las expresiones 𝑥 𝑗 𝒆 𝑗 y 𝑦𝑘𝒇𝑘 son sumas finitas.
2-4
MA–870: Geometría Diferencial 2.2. Álgebra tensorial y álgebra exterior
𝑘-lineal canónica 𝜃 : 𝐸1 × · · · × 𝐸𝑘 → 𝐸1 ⊗ · · · ⊗ 𝐸𝑘 tal que a cada aplicación 𝑘-lineal
𝑔 : 𝐸1 × · · · × 𝐸𝑘 → 𝐹 le corresponde una única aplicación lineal 𝑔 : 𝐸1 ⊗ · · · ⊗ 𝐸𝑘 → 𝐹
que satisface 𝑔 ◦ 𝜃 = 𝑔:
𝐸1 × · · · × 𝐸𝑘
𝑔
𝜃 𝐹
𝑔
𝐸1 ⊗ · · · ⊗ 𝐸𝑘
Dados unos vectores 𝑥 𝑗 ∈ 𝐸 𝑗 , el símbolo 𝑥1 ⊗ 𝑥2 ⊗ · · · ⊗ 𝑥𝑘 ∈ 𝐸1 ⊗ · · · ⊗ 𝐸𝑘 denota la
evaluación ℎ ↦→ ℎ(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑘) de formas 𝑘-lineales. Sea 𝜃 (𝑥1, . . . , 𝑥𝑘) := 𝑥1 ⊗ · · · ⊗ 𝑥𝑘 ;
esta 𝜃 es lineal en cada variable. Basta definir 𝑔(𝑥1 ⊗ · · · ⊗ 𝑥𝑘) := 𝑔(𝑥1, . . . , 𝑥𝑘) y extender
esta receta por linealidad a sumas finitas de tensores simples.
Si {𝒆 𝑗1, . . . , 𝒆 𝑗𝑚 } es una base ℝ-vectorial para cada 𝐸 𝑗 , todos los tensores simples𝑗
𝒆1𝑟1 ⊗ 𝒆2𝑟2 ⊗ · · · ⊗ 𝒆𝑘𝑟 , con cada 𝑟 𝑗 ∈ {1, .∏. . ,𝑚 𝑗 }, forman una base para 𝐸1 ⊗ · · · ⊗ 𝐸𝑘 .𝑘
Luego dimℝ (𝐸1 ⊗ · · · ⊗ 𝐸𝑘) =𝑚1 · · ·𝑚𝑘 = 𝑘𝑗=1 dimℝ 𝐸 𝑗 . ♦
Definición 2.6. Si 𝑓 : 𝐸1×· · ·×𝐸𝑘 → ℝ y𝑔 : 𝐸𝑘+1×· · ·×𝐸𝑘+𝑟 → ℝ son formasmultilineales,
su producto tensorial es la forma (𝑘 + 𝑟 )-lineal 𝑓 ⊗ 𝑔 : 𝐸1 × · · · × 𝐸𝑘+𝑟 → ℝ dada por
𝑓 ⊗ 𝑔(𝑥1, . . . , 𝑥𝑘+𝑟 ) := 𝑓 (𝑥1, . . . , 𝑥𝑘) 𝑔(𝑥𝑘+1, . . . , 𝑥𝑘+𝑟 ). ♦
Definición 2.7. Si 𝐸 es un espacio ℝ-vectorial, 𝐸𝑘 := 𝐸 × · · · × 𝐸 (𝑘 veces) denota el
producto cartesiano de 𝑘 copias de 𝐸. Una aplicación 𝑘-lineal 𝑔 : 𝐸𝑘 → 𝐹 es alternante (o
antisimétrica) si cualquier permutación 𝜎 ∈ 𝑆𝑘 de sus argumentos multiplica sus valores
por el signo (−1)𝜎 = ±1 de la permutación:⁵
𝑔(𝑥𝜎 (1), . . . , 𝑥 ) = (−1)𝜎𝜎 (𝑘) 𝑔(𝑥1, . . . , 𝑥𝑘) para 𝑥1, . . . , 𝑥𝑘 ∈ 𝐸; 𝜎 ∈ 𝑆𝑘 . ♦
Definición 2.8. Cada aplicación 𝑘-lineal ℎ : 𝐸𝑘 → 𝐹 da lugar a una aplicación 𝑘-lineal
alternante 𝔸ℎ : 𝐸𝑘 → 𝐹 por antisimetriz∑︁ación:1
𝔸ℎ(𝑥1, . . . , 𝑥𝑘) := (−1)𝜎 ℎ(𝑥 , . . . , 𝑥 ). (2.6)
𝑘! 𝜎 (1) 𝜎 (𝑘)
𝜎∈𝑆𝑘
El producto exterior de dos formas multilineales alternantes 𝑓 : 𝐸𝑘 → ℝ y 𝑔 : 𝐸𝑟 → ℝ
es la forma (𝑘 + 𝑟 )-lineal alternante 𝑓 ∧ 𝑔 : 𝐸𝑘+𝑟 → ℝ siguiente:
∧ (𝑘 + 𝑟 )!𝑓 𝑔 := 𝔸(𝑓 ⊗ 𝑔). (2.7)
𝑘! 𝑟 !
Cuando 𝑘 = 𝑟 = 1, la última fórmula se reduce a: 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓 ⊗ 𝑔 − 𝑔 ⊗ 𝑓 . ♦
5Nótese que ℎ : 𝐸2 → ℝ es alternante si y solo si ℎ(𝑥,𝑦) = −ℎ(𝑦, 𝑥) para todo 𝑥,𝑦 ∈ 𝐸.
2-5
MA–870: Geometría Diferencial 2.2. Álgebra tensorial y álgebra exterior
Lema 2.9. (a) El producto exterior es asociativa y anticonmutativa: dadas tres formas
multilineales alternantes 𝑓 : 𝐸𝑘 → ℝ, 𝑔 : 𝐸𝑟 → ℝ, ℎ : 𝐸𝑠 → ℝ, valen
(𝑓 ∧ 𝑔) ∧ ℎ = 𝑓 ∧ (𝑔 ∧ ℎ), (2.8a)
𝑔 ∧ 𝑓 = (−1)𝑘𝑟 𝑓 ∧ 𝑔. (2.8b)
(b) Si 𝑓𝑖 : 𝐸𝑘𝑖 → ℝ es una forma alternante para 𝑖 = 1, . . . ,𝑚, su producto exterior es
∧ · · · ∧ (𝑘1 + · · · + 𝑘𝑚)!𝑓1 𝑓𝑚 = 𝔸(𝑓1 ⊗ · · · ⊗ 𝑓! ! 𝑚). (2.9)𝑘1 . . . 𝑘𝑚
Demostración. El grupo de permutaciones 𝑆𝑘 actúa sobre formas las 𝑘-lineales por
𝜎 · 𝑎(𝑥1, . . . , 𝑥𝑘) := 𝑎(𝑥𝜎−1 (1), . . . , 𝑥𝜎−1 (𝑘)).∑
Al poner 𝜏 := 𝜎−1, la fórmula (2.6) se simplifica en 𝔸ℎ := (1/𝑘!) 𝜏 (−1)𝜏𝜏 · ℎ.
De la Definición 2.6 está claro que el producto tensorial de formas es asociativo; por
lo tanto, vale
( ∧ ) ∧ (𝑘 + 𝑟 + 𝑠)!𝑓 𝑔 ℎ = ( + ) 𝔸((𝑓 ∧ 𝑔) ⊗ ℎ)
(𝑘 + 𝑟 + 𝑠)! (𝑘 + 𝑟 )!
= ( ∑︁+ ) 𝔸(𝔸(𝑓 ⊗ 𝑔) ⊗ ℎ)𝑘 𝑟 ! 𝑠! 𝑘 𝑟 ! 𝑠! 𝑘! 𝑟 !(𝑘 + 𝑟 + 𝑠)! 1 1
= (−1)𝜎 (−1)𝜏𝜎 · (𝜏 · (𝑓 ⊗ 𝑔) ⊗ ℎ)
𝑘! 𝑟 ! 𝑠! (𝑘 + 𝑟∑︁+ 𝑠)! (𝑘 + 𝑟 )! 𝜎∈𝑆𝑘+𝑟+𝑠𝜏∈𝑆𝑘+𝑟1
= ( (−1)
𝜎𝜏 (𝜎𝜏) · (𝑓 ⊗ 𝑔 ⊗ ℎ)
𝑘! 𝑟 ! 𝑠! 𝑘∑︁+ 𝑟 )! 𝜎∈𝑆𝑘+𝑟+𝑠𝜏∈𝑆𝑘+𝑟1
= (−1)𝜌𝜌 · (𝑓 ⊗ 𝑔 ⊗ ℎ),
𝑘! 𝑟 ! 𝑠!
𝜌∈𝑆𝑘+𝑟+𝑠
después de identificar 𝜏 ∈ 𝑆𝑘+𝑟 con la permutación correspondiente en 𝑆𝑘+𝑟+𝑠 que deja
fijos los últimos 𝑠 objetos, tomando 𝜌 = 𝜎𝜏 .∑︁Con un cálculo similar, se obtiene1
𝑓 ∧ (𝑔 ∧ ℎ) = (−1)𝜌𝜌 · (𝑓 ⊗ 𝑔 ⊗ ℎ),
𝑘! 𝑟 ! 𝑠!
𝜌∈𝑆𝑘+𝑟+𝑠
lo cual establece la asociatividad (2.8a). De camino, se ha verificado el caso𝑚 = 3 de la
relación (2.9); el caso general (b) sigue por inducción sobre𝑚.
En el caso 𝑘 = 𝑟 = 1, la forma bilineal 𝑓 ∧ 𝑔 está dada por (2.7):
𝑓 ∧ 𝑔(𝑥,𝑦) = 2𝔸(𝑓 ⊗ 𝑔) (𝑥,𝑦) = 𝑓 (𝑥) 𝑔(𝑦) − 𝑓 (𝑦) 𝑔(𝑥). (2.10)
De ahí, su anticonmutatividad es evidente: 𝑔 ∧ 𝑓 = −𝑓 ∧ 𝑔.
2-6
MA–870: Geometría Diferencial 2.2. Álgebra tensorial y álgebra exterior
En el caso general, sea 𝜅 ∈ 𝑆𝑘+𝑟 la permutación que intercambia los bloques {1, . . . , 𝑘}
con {𝑘 + 1, . . . , 𝑘 + 𝑟 }; es decir, {
𝑖 + 𝑟 si 𝑖 6 𝑘,
𝜅 (𝑖) :=
𝑖 − 𝑘 si 𝑖 > 𝑘.
Esta permutación 𝜅 es el producto de 𝑘𝑟 transposiciones de elementos consecutivos: se
requiere 𝑟 transposiciones para llevar cada uno de los 𝑘 elementos iniciales a su posición
final. Así, (−1)𝜅 = (−1)𝑘𝑟 . Si 𝑓 = 𝑓 1 ∧ · · · ∧ 𝑓 𝑘 y 𝑔 = 𝑔1 ∧ · · · ∧ 𝑔𝑟 con 𝑓 𝑖, 𝑔 𝑗 ∈ 𝐸∗, la
anticonmutatividad (2.10) establece (2.8b) por inducción sobre 𝑘 y 𝑟 .
Solo falta observar que el espacio vectorial de formas 𝑘-lineales alternantes sobre 𝐸
tiene una base de elementos {𝑓 1∧ · · · ∧ 𝑓 𝑘}, donde 𝑓 1, . . . , 𝑓 𝑘 son miembros de una base
vectorial de 𝐸∗. 
Lema 2.10. Si 𝑔1, . . . , 𝑔𝑘 ∈ 𝐸∗ y 𝑥1, . . . , 𝑥𝑘 ∈ 𝐸, entonces
𝑔1 ∧ · · · ∧ 𝑔𝑘 (𝑥1, . . . , 𝑥𝑘) = det [𝑔𝑖 (𝑥 𝑗 )] . (2.11)
Demostración. La igualdad (2.10) es el caso 𝑘 = 2 de esta fórmula. En el caso general, se
obtiene de (2.9) y (2.6) la expansión de Leibniz del determinante:
(𝑔1 ∧ · · · ∧ 𝑔𝑘) (𝑥1, . . . , 𝑥𝑘) = 𝑘∑︁!𝔸(𝑔1 ⊗ · · · ⊗ 𝑔𝑘) (𝑥1, . . . , 𝑥𝑘)
= ∑︁ (−1)𝜎 (𝑔𝜎 (1) ⊗ · · · ⊗ 𝑔𝜎 (𝑘)) (𝑥1, . . . , 𝑥𝑘)𝜎∈𝑆𝑘
= (−1)𝜎𝑔𝜎 (1) (𝑥1) . . . 𝑔𝜎 (𝑘) (𝑥 𝑖𝑘) = det[𝑔 (𝑥 𝑗 )] . 
𝜎∈𝑆𝑘
Definición 2.11. Sea 𝐸 un espacio ℝ-vectorial con dimℝ 𝐸 = 𝑛. Denótese por Λ𝑘𝐸∗ el
espacio ℝ-vectorial de las formas 𝑘-lineales alternantes 𝑓 : 𝐸𝑘 → ℝ. Si {𝑓 1, . . . , 𝑓 𝑛} es
una base de 𝐸∗, la base correspondiente de Λ𝑘𝐸∗ tiene elementos:
𝑓 𝐼 ≡ 𝑓 𝑖1 ∧ 𝑓 𝑖2 ∧ · · · ∧ 𝑓 𝑖𝑘 , con 𝐼 = {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘} ⊆ {1, . . . , 𝑛}.
Debido a la anticonmutatividad 𝑓 𝑖 ∧ 𝑓 𝑗 = −𝑓 𝑗 ∧ 𝑓 𝑖 , se debe escribir las 1-formas 𝑓 𝑖 en
orden estrictamente creciente, 1 6 𝑖1 < 𝑖2 < · · · < 𝑖𝑘 6 𝑛, para describir la 𝑘-forma
básica 𝑓 𝐼 . La cardinalidad de{esta base es } ( )
# 𝐼 ⊆ {1, . . . , 𝑛} 𝑛: |𝐼 | = 𝑘 = .
𝑘
Una “forma 0-lineal” es una constante: Λ0𝐸∗ := ℝ y luego dim Λ0ℝ 𝐸∗ = 1. Además,
Λ1𝐸∗ = 𝐸∗ y luego dim 1 ∗ 𝑛 ∗ 𝑘 ∗ℝ Λ 𝐸 = 𝑛. También, dimℝ Λ 𝐸 = 1; y Λ 𝐸 = {0} para 𝑘 > 𝑛.
2-7
MA–870: Geometría Diferencial 2.2. Álgebra tensorial y álgebra exterior
La suma directa de estos⊕espacios vectoriales de 𝑘-formas,𝑛
Λ•𝐸∗ := Λ𝑘𝐸∗ = ℝ ⊕ 𝐸∗ ⊕ Λ2𝐸∗ ⊕ · · · ⊕ Λ𝑛𝐸∗ (2.12)
𝑘=0
es una ℝ-álgebra graduada bajo el pro∑ducto( e)xterior de formas: si 𝑓 ∈ Λ
𝑘𝐸∗, 𝑔 ∈ Λ𝑟𝐸∗,
entonces 𝑓 ∧ 𝑔 ∈ Λ𝑘+𝑟𝐸∗. Esta Λ•𝐸∗ es el álgebra exterior asociada con el espacio
vectorial 𝐸∗. Nótese que dim • 𝑛ℝ Λ 𝐸∗ = 𝑛=0 = 2
𝑛. ♦
𝑘 𝑘
Definición 2.12. Si 𝔽 es un cuerpo cualquiera, una 𝔽-álgebra es un espacio 𝔽-vectorial
𝐴 dotado de un producto 𝔽-bilineal asociativo⊕. Ella es una 𝔽-álgebra graduada si es la
suma directa de subespacios 𝔽-vectoriales𝐴 = 𝑘∈ℤ𝐴𝑘 , de tal manera que𝐴𝑘 𝐴𝑙 ⊆ 𝐴𝑘+𝑙 .
Esto significa que 𝑥 ∈ 𝐴𝑘, 𝑦 ∈ 𝐴𝑙 =⇒ 𝑥𝑦 ∈ 𝐴𝑘+𝑙 .
Conviene escribir #𝑥 = 𝑟 ∈ ℤ cuando 𝑥 ∈ 𝐴𝑟 .
Algunos⊕de estos subespacios 𝐴𝑘 pueden ser nulos: este es el caso de la ℝ-álgebragraduada Λ•𝐸∗ de (2.12), para la cual Λ𝑘𝐸∗ = {0} si 𝑘 < 0 o si 𝑘 > dim 𝐸∗ℝ .
Si 𝐴 = 𝑘∈ℤ𝐴𝑘 es una 𝔽-álgebra graduada, dícese que una aplicación 𝔽-lineal
𝑇 : 𝐴 → 𝐴 es un operador de grado 𝒓 ∈ ℤ si 𝑇 (𝐴𝑘) ⊆ 𝐴𝑘+𝑟 para todo 𝑘.
ÈEn particular, cada 𝑧 ∈ 𝐴𝑟 define dos operadores de grado 𝑟 : la premultiplicación
𝑥 ↦→ 𝑧𝑥 y la postmultiplicación 𝑥 ↦→ 𝑥𝑧.É
Si 𝑆 : 𝐴 → 𝐴 y 𝑇 : 𝐴 → 𝐴 son dos operadores de grados respectivos 𝑘 y 𝑙 , su
conmutador [𝑆,𝑇 ] := 𝑆𝑇 − 𝑇𝑆 es un operador de grado 𝑘 + 𝑙 . Igual sucede con su
anticonmutador [𝑆,𝑇 ]+ := 𝑆𝑇 +𝑇𝑆 . ♦
Definición 2.13. Sea𝐴 una 𝔽-álgebra cualquiera. Una derivación par de𝐴 es un operador
𝔽-lineal 𝐷 : 𝐴 → 𝐴 que cumple una regla de Leibniz:
𝐷 (𝑎𝑏) = (𝐷𝑎) 𝑏 + 𝑎 (𝐷𝑏) para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴. (2.13a)
Una derivación impar de 𝐴 es otro operador 𝔽-lineal 𝐸 : 𝐴 → 𝐴 tal que
𝐸 (𝑎𝑏) = (𝐸𝑎) 𝑏 + (−1)𝑘𝑎 (𝐸𝑏) para todo 𝑎 ∈ 𝐴𝑘, 𝑏 ∈ 𝐴. (2.13b)
La fórmula (2.13b) también se escribe así: 𝐸 (𝑎𝑏) = (𝐸𝑎) 𝑏 + (−1)#𝑎𝑎 (𝐸𝑏). ♦
Si 𝐷′ es otra derivación par, el conmutador [𝐷, 𝐷′] := 𝐷𝐷′ − 𝐷′𝐷 es una derivación
par: el cálculo (1.26) que demostró la Proposición 1.56 se adapta al caso.
Es fácil verificar lo siguiente: el conmutador [𝐷, 𝐸] := 𝐷𝐸−𝐸𝐷 de una derivación par
y una derivación impar resulta ser una derivación impar. En cambio, el anticonmutador
[𝐸, 𝐹 ]+ := 𝐸𝐹 + 𝐹𝐸 de dos derivaciones impares 𝐸 y 𝐹 es una derivación par.
2-8
MA–870: Geometría Diferencial 2.3. Formas diferenciales de grado superior
2.3. Formas diferenciales de grado superior
Definición 2.14. Sea 𝑀 una variedad diferencial. Si 𝑝 ∈ ℕ, un 𝒑-tensor covariante
sobre 𝑀 es una aplicación 𝑝-lineal 𝑅 : X(𝑀)𝑝 → 𝐶∞(𝑀) tal que cada aplicación parcial
𝑋 𝑗 ↦→ 𝑅(𝑋1, . . . , 𝑋 𝑗 , . . . , 𝑋𝑝) sea 𝐶∞(𝑀)-lineal. Dicho de otra manera: si 𝑗 ∈ {1, . . . , 𝑛},
𝑅 cumple las dos propiedades algebraicas:
𝑅(𝑋1, . . . , 𝑋 𝑗 + 𝑋 ′𝑗 , . . . , 𝑋𝑝) = 𝑅(𝑋1, . . . , 𝑋 𝑗 , . . . , 𝑋𝑝) + 𝑅(𝑋1, . . . , 𝑋 ′𝑗 , . . . , 𝑋𝑝),
𝑅(𝑋1, . . . , 𝑓 𝑋 𝑗 , . . . , 𝑋𝑝) = 𝑓 𝑅(𝑋1, . . . , 𝑋 𝑗 , . . . , 𝑋𝑝),
para 𝑋 ′1, . . . , 𝑋 𝑗 , 𝑋 𝑗 , . . . , 𝑋𝑝 ∈ X(𝑀), 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀).
Un 𝒒-tensor contravariante es una aplicación 𝑞-lineal 𝑆 : A1(𝑀)𝑞 → 𝐶∞(𝑀) tal que
cada 𝛼𝑘 →↦ 𝑆 (𝛼1, . . . , 𝛼𝑘, . . . , 𝛼𝑞) sea 𝐶∞(𝑀)-lineal.
Un 0-tensor sobre 𝑀 (covariante o contravariante) es una función suave en 𝐶∞(𝑀).
Una aplicación (𝑝 + 𝑞)-lineal 𝑇 : X(𝑀)𝑝 × A1(𝑀)𝑞 → 𝐶∞(𝑀), cuyas aplicaciones
parciales 𝑋 𝑗 ↦→ 𝑇 (𝑋1, . . . , 𝑋 1 𝑞 𝑘 1 𝑞𝑝, 𝛼 , . . . , 𝛼 ) y 𝛼 ↦→ 𝑇 (𝑋1, . . . , 𝑋𝑝, 𝛼 , . . . , 𝛼 ) son todas
𝐶∞(𝑀)-lineales, es un (𝒑, 𝒒)-tensor mixto sobre 𝑀 . ♦
Ejemplo 2.15. Un 1-tensor covariante es simplemente una 1-forma diferencial.
Un 1-tensor contravariante es una aplicación 𝐶∞(𝑀)-lineal de 1-formas diferenciales
en ℝ. Ahora, la evaluación 𝛼 ↦→ 𝛼 (𝑋 ) de 1-formas en un campo vectorial 𝑋 ∈ X(𝑀) es
una aplicación de A1(𝑀) en ℝ, que de hecho es 𝐶∞(𝑀)-lineal:
𝑓 𝛼 (𝑋 ) = 𝑓 𝛼 (𝑋 ) para todo 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀), 𝛼 ∈ A1(𝑀).
Por otro lado, sea 𝑆 : A1(𝑀) → 𝐶∞(𝑀) un 1-tensor contravariante. Al adaptar la demos-
tración de la Proposición 2.2 al presente caso, se puede comprobar que:
 el valor de 𝑆 (𝛼) en un punto 𝑝 ∈ 𝑀 depende solamente del covector 𝛼𝑝 ∈ 𝑇 ∗𝑝𝑀;
 la función 𝑋𝑝 : 𝛼𝑝 ↦→ 𝑆 (𝛼) (𝑝) es ℝ-lineal, así que 𝑋 ∗𝑝 ∈ (𝑇𝑝𝑀)∗ ' 𝑇𝑝𝑀;
 𝜏la asignación 𝑝 ↦→ 𝑋𝑝 es una sección suave del fibrado tangente 𝑇𝑀 −→𝑀;
 dicha sección es un campo vectorial 𝑋 ∈ X(𝑀), para el cual 𝑆 (𝛼) = 𝛼 (𝑋 ) para todo
𝛼 ∈ A1(𝑀).
En breve: cualquier 1-tensor contravariante es una evaluación de 1-formas en un campo
vectorial. Al identificar la evaluación 𝛼 ↦→ 𝛼 (𝑋 ) con el campo 𝑋 mismo, se ve que los
1-tensores contravariantes coinciden con los campos vectoriales sobre 𝑀 . ♦
2-9
MA–870: Geometría Diferencial 2.3. Formas diferenciales de grado superior
Definición 2.16. Una 𝒌-forma diferencial sobre una variedad diferencial𝑀 es una apli-
cación 𝑘-lineal alternante 𝜔 : X(𝑀)𝑘 → 𝐶∞(𝑀) tal que cada aplicación parcial 𝑋 𝑗 ↦→
𝜔 (𝑋 , . . . , 𝑋 , . . . , 𝑋 ) es 𝐶∞1 𝑗 𝑘 (𝑀)-lineal. En otras palabras, 𝜔 cumple es un 𝑘-tensor cova-
riante que es antisimeetrico en sus 𝑘 argumentos:
𝜔 (𝑋1, . . . , 𝑋 𝑗 + 𝑋 ′𝑗 , . . . , 𝑋𝑘) = 𝜔 (𝑋1, . . . , 𝑋 𝑗 , . . . , 𝑋 ′𝑘) + 𝜔 (𝑋1, . . . , 𝑋 𝑗 , . . . , 𝑋𝑘),
𝜔 (𝑋1, . . . , 𝑓 𝑋 𝑗 , . . . , 𝑋𝑘) = 𝑓 𝜔 (𝑋1, . . . , 𝑋 𝑗 , . . . , 𝑋𝑘) cuando 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀),
𝜔 (𝑋 𝜎𝜎 (1), . . . , 𝑋𝜎 (𝑘)) = (−1) 𝜔 (𝑋1, . . . , 𝑋𝑘) para cada 𝜎 ∈ 𝑆𝑘 . (2.14)
La totalidad de 𝑘-formas diferenciales sobre 𝑀 será denotado por A𝑘 (𝑀). ♦
Definición 2.17. Cada 𝑘-tensor covarian∑︁te 𝑅 sobre 𝑀 determina una 𝑘-forma 𝜔 = 𝔸𝑅,
( 1𝜔 𝑋1, . . . , 𝑋 𝜎𝑘) := (−1) 𝑅(𝑋𝜎 (1), . . . , 𝑋! 𝜎 (𝑘)).𝑘
𝜎∈𝑆𝑘
Si 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑀), 𝜂 ∈ A𝑟 (𝑀), su producto tensorial es el (𝑘 + 𝑟 )-tensor covariante:
𝜔 ⊗ 𝜂 (𝑋1, . . . , 𝑋𝑘+𝑟 ) := 𝜔 (𝑋1, . . . , 𝑋𝑘) 𝜂 (𝑋𝑘+1, . . . , 𝑋𝑘+𝑟 );
y su producto exterior 𝜔 ∧ 𝜂 ∈ A𝑘+𝑟 (𝑀) es la antisimetrización de 𝜔 ⊗ 𝜂:
∧ (𝑘 + 𝑟 )!𝜔 𝜂 := 𝔸(𝜔 ⊗ 𝜂). (2.15)
𝑘! 𝑟 !
Con este producto exterior⊕, la suma directa𝑛
A•(𝑀) := A𝑘 (𝑀) = A0(𝑀) ⊕ A1(𝑀) ⊕ · · · ⊕ A𝑛 (𝑀) (2.16)
𝑘=0
es una álgebra graduada sobre ℝ. Conviene emplear la notación A0(𝑀) ≡ 𝐶∞(𝑀): las
0-formas son las funciones suaves sobre𝑀 . Una forma diferencial, sin mención explícita
de grado, es un elemento de este álgebra A•(𝑀). ♦
Las fórmulas (2.14) implican que cada A𝑘 (𝑀) [y también su suma directa A•(𝑀)] es
un módulo sobre el ℝ-álgebra conmutativa 𝐶∞(𝑀).
Definición 2.18. Sea 𝑀 una variedad diferencial 𝑛-dimensional. Si 𝑘 ∈ {1, . . . , 𝑛}, se
𝜋
puede definir un fibrado vectorial Λ𝑘𝑇 ∗𝑀 −→𝑀 cuya fibra 𝜋−1(𝑝) en 𝑝 ∈ 𝑀 es la
“potencia exterior” Λ𝑘 (𝑇 ∗𝑝𝑀). En efecto, sea
Λ𝑘𝑇 ∗𝑀 := { (𝑝, 𝜁 ) : 𝑝 ∈ 𝑀, 𝜁 ∈ Λ𝑘 (𝑇 ∗𝑝𝑀) }, 𝜋 (𝑝, 𝜁 ) := 𝑝.
2-10
MA–870: Geometría Diferencial 2.3. Formas diferenciales de grado superior
𝑛
Un atlas A = {(𝑈𝛼 , 𝜙𝑎)} para 𝑀 determina funciones∑︁𝜓 : 𝜋−1𝛼 (𝑈𝛼 ) → 𝑈𝛼 ×ℝ(𝑘) por
𝜓 (𝑝, 𝜁 ) := (𝑝; 𝜁 , . . . , 𝜁 𝑖 𝑖1 ( − +1) ) si 𝜁 = 𝜁 𝑑𝑥 1  ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥 𝑘 𝛼 ...𝑘 𝑛 𝑘 ...𝑛 𝑖1 ...𝑖 .( ) 𝑘 𝑝 𝑝𝑖1<···<𝑖𝑘
Las cartas locales 𝜋−1(𝑈𝛼 ), (𝜙 𝑘 ∗𝛼 × 1(𝑛)) ◦ 𝜓𝛼 f(o)rman un atlas sobre Λ 𝑇 𝑀 , con la𝑘
cual Λ𝑘𝑇 ∗𝑀 es una( variedad de dimensión 𝑛 +
𝑛 y la proyección 𝜋 : Λ𝑘𝑇 ∗𝑀 → 𝑀 es
𝑘
𝜋
automáticamente un)a función suave. Por su construcción, Λ𝑘𝑇 ∗𝑀 −→𝑀 es un fibrado
vectorial de rango 𝑛 . ♦
𝑘
Al adaptar la Proposición 2.2 a este caso, el valor de la función 𝜔 (𝑋1, . . . , 𝑋𝑘) en cada
𝑝 ∈ 𝑀 depende solamente(de los vectores ta) ngentes (𝑋1)𝑝, . . . , (𝑋𝑘)𝑝 ∈ 𝑇𝑝𝑀 . También, la
aplicación (𝑇 𝑀)𝑘𝑝 → ℝ : (𝑋1)𝑝, . . . , (𝑋𝑘)𝑝 ↦→ 𝜔 (𝑋1, . . . , 𝑋𝑘) (𝑝) es 𝑘-lineal y alternante.
Luego, hay un el(emento 𝜔𝑝 ∈ Λ𝑘 )(𝑇 ∗𝑝𝑀) = Λ𝑘 (𝑇 ∗𝑝𝑀) tal que
𝜔𝑝 (𝑋1)𝑝, . . . , (𝑋𝑘)𝑝 = 𝜔 (𝑋1, . . . , 𝑋𝑘) (𝑝) para todo 𝑝 ∈ 𝑀. (2.17)
La aplicación 𝑝 →↦ 𝜔 entonces define una sección del fibrado vectorial Λ𝑘𝑇 ∗𝑝 𝑀 −→
𝜋
𝑀 . En
resumen: la fórmula (2.17) constituye una identificación de la 𝑘-forma𝜔 con esta sección:
A𝑘 (𝑀) ' Γ(𝑀,Λ𝑘𝑇 ∗𝑀) .
I Si (𝑈 ,𝜙) es una carta local para 𝑀 , la restricción 𝜔 |𝑈 ∈ A𝑘 (𝑈 ) se define por una ge-
neralización de la receta (2.5) para 1-formas locales. Esta carta determina un juego básico
de 1-formas locales 𝑑𝑥1, . . . , 𝑑𝑥𝑛 en A1(𝑈 ). Las reglas algebraicas de la Definición 2.17
conducen a las fórmula(s: ) ∏𝑘 ( ) ∏𝑘
𝑑𝑥𝑖1 ⊗ · · · ⊗ 𝜕 𝜕 𝜕𝑑𝑥𝑖𝑘 , . . . , := 𝑑𝑥𝑖𝑟 = È𝑖𝑟 = 𝑗𝑟É = È𝐼 = 𝐽É,
𝜕𝑥 𝑗1 𝜕𝑥 𝑗𝑘 𝜕𝑥 𝑗𝑟
𝑟=1 𝑟=1
donde 𝐼 = {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘}, 𝐽 = { 𝑗1, . . . , 𝑗𝑘} son 𝒌-tuplas ordenadas de elementos distintos
de {1, 2, . . . , 𝑛}. En seguida, se define por antisi(metrización: )
𝑑𝑥𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑘 := 𝑘!𝔸 𝑑𝑥𝑖1 ⊗ · · · ⊗ 𝑑𝑥𝑖𝑘 .
La expresión local∑︁de 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑀) entonces tiene∑︁el aspecto siguiente:
𝜔 | = 𝑓 𝑖1 𝑖𝑘 𝑖1 𝑖𝑘𝑈 𝑖1 ...𝑖 𝑑𝑥 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥 ≡ 𝑓𝐼 𝑑𝑥 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥 . (2.18)𝑘
𝑖1<···<𝑖𝑘 |𝐼 |=𝑘
En la segunda sumatoria, se sobreentiende que 𝐼 ≡ {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘} ⊆ {1, . . . , 𝑛} tiene sus
elementos desplegados en orden creciente.
2-11
MA–870: Geometría Diferencial 2.3. Formas diferenciales de grado superior
Proposición 2.19. El producto exterior de formas diferenciales es asociativa y anticonmu-
tativa: si 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑀), 𝜂 ∈ A𝑟 (𝑀), 𝜁 ∈ A𝑠 (𝑀), entonces
(𝜔 ∧ 𝜂) ∧ 𝜁 = 𝜔 ∧ (𝜂 ∧ 𝜁 ), (2.19a)
𝜂 ∧ 𝜔 = (−1)𝑘𝑟𝜔 ∧ 𝜂. (2.19b)
Si 𝜆𝑖 es una 𝑘𝑖 -forma lineal, para 𝑖 = 1, . . . , 𝑡 , entonces
𝜆1 ∧ · · · ∧ 𝑡 (𝑘1 + · · · + 𝑘𝑡 )!𝜆 = 𝔸(𝜆1 ⊗ · · · ⊗ 𝜆𝑡 ). (2.20)
𝑘1! . . . 𝑘𝑡 !
Demostración. Basta observar que los valores de estas formas en cada punto 𝑝 ∈ 𝑀
satisfacen el Lema 2.9, con 𝐸 = 𝑇𝑝𝑀 . 
I Sobre el álgebra graduada A•(𝑀) de formas diferenciales, se definen diversos opera-
dores de grados ±1 (estos son operadores que aumentan o disminuyen el grado de sus
argumentos en 1).
Definición 2.20. Un operador sobre formas diferenciales 𝑇 : A•(𝑀) → A•(𝑀) se llama
de grado 𝒓 si 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑀) =⇒ 𝑇 (𝜔) ∈ A𝑘+𝑟 (𝑀).
Si 𝛼 ∈ A1(𝑀) es una 1-forma fija, la multiplicación exterior 𝜀𝛼 : 𝜔 ↦→ 𝛼 ∧ 𝜔 es un
operador ℝ-lineal sobre A•(𝑀) de grado +1, pues 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑀) =⇒ 𝛼 ∧ 𝜔 ∈ A𝑘+1(𝑀).
Si 𝑋 ∈ X(𝑀) es un campo vectorial fijo, la contracción 𝑖𝑋 es un operador ℝ-lineal
de grado −1. Si 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑀), se define 𝑖𝑋𝜔 ∈ A𝑘−1(𝑀) por:⁶
𝑖𝑋𝜔 (𝑌1, . . . , 𝑌𝑘−1) := 𝜔 (𝑋,𝑌1, . . . , 𝑌𝑘−1). (2.21)
Para 𝑓 ∈ A0(𝑀) = 𝐶∞(𝑀), se define 𝑖𝑋 𝑓 := 0. Para una 1-forma 𝛼 ∈ A1(𝑀), la fórmula
(2.21) se simplifica en 𝑖𝑋𝛼 := 𝛼 (𝑋 ) ∈ 𝐶∞(𝑀). ♦
Proposición 2.21. Si 𝛼1, . . . , 𝛼𝑘 ∈ A1(𝑀) y si 𝑋,𝑋1, . . . , 𝑋𝑘 ∈ X(𝑀); y si 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑀),
𝜂 ∈ A𝑟 (𝑀), entonces las siguientes fórmulas son válidas:
(𝛼1 ∧ · · · ∧ 𝛼𝑘) (𝑋1, . . . , 𝑋𝑘) =∑︁det [𝛼𝑖 (𝑋 𝑗 )] . (2.22a)𝑘
𝑖 (𝛼1𝑋 ∧ · · · ∧ 𝛼𝑘) = (−1) 𝑗−1𝛼𝑖 (𝑋 ) (𝛼1 ∧ · · · ∧ 𝛼 𝑗 ∧ · · · ∧ 𝛼𝑘). (2.22b)
𝑗=1
𝑖𝑋 (𝜔 ∧ 𝜂) = 𝑖𝑋𝜔 ∧ 𝜂 + (−1)𝑘𝜔 ∧ 𝑖𝑋𝜂. (2.22c)
La fórmula (2.22c) dice que la contracción 𝑖𝑋 es una derivación impar de A•(𝑀).
6Algunos autores llaman producto interior a la contracción de 𝑋 con 𝜔 . Se escribe 𝑋 y 𝜔 ≡ 𝑖𝑋𝜔 , en
contraste con el producto exterior 𝛼 ∧ 𝜔 ≡ 𝜀𝛼𝜔 .
2-12
MA–870: Geometría Diferencial 2.3. Formas diferenciales de grado superior
Demostración. Ad (a): La fórmula (2.22a) sigue el patrón del Lema 2.10:
(𝛼1 ∧ · · · ∧ 𝛼𝑘) (𝑋1, . . . , 𝑋𝑘) = 𝑘∑︁!𝔸(𝛼1 ⊗ · · · ⊗ 𝛼𝑘) (𝑋1, . . . , 𝑋𝑘)
= ∑︁ (−1)𝜎 (𝛼𝜎 (1) ⊗ · · · ⊗ 𝛼𝜎 (𝑘)) (𝑋1, . . . , 𝑋𝑘)𝜎∈𝑆𝑘
= (−1)𝜎𝛼𝜎 (1) (𝑋 ) . . . 𝛼𝜎 (𝑘) (𝑋 𝑖1 𝑘) = det[𝛼 (𝑋 𝑗 )] .
𝜎∈𝑆𝑘
Ad (b): Al desarrollar ese determinante con respecto a su primera columna,
𝑖 1𝑋1 (𝛼 ∧ · · · ∧ 𝛼𝑘) (𝑋2 .∑︁. . , 𝑋 ) = (𝛼1𝑘 ∧ · · · ∧ 𝛼𝑘) (𝑋1, . . . , 𝑋𝑘)𝑘
= det[𝛼𝑖 (𝑋 𝑗−1 𝑗𝑗 )] = (−1) 𝛼 (𝑋1) det[𝛼𝑟 (𝑋𝑠)] (con 𝑟 ≠ 𝑗 , 𝑠 > 2)
∑︁ 𝑗=1𝑘
= (−1) 𝑗−1𝛼 𝑗 (𝑋 ) (𝛼11 ∧ · · · ∧ 𝛼 𝑗 ∧ · · · ∧ 𝛼𝑘) (𝑋2 . . . , 𝑋𝑘).
𝑗=1
Ad (c): Cada elemento de A•(𝑀) es una suma finita de productos exteriores de
1-formas; para comprobar la relación (2.22c), cuyos dos lados dependen bilinealmente
de (𝜔,𝜂), basta tomar𝜔 = 𝛼1∧· · ·∧𝛼𝑘 y 𝜂 = 𝛽1∧· · ·∧𝛽𝑟 donde las 𝛼𝑖 y 𝛽 𝑗 son 1-formas.
El resultado sigue de la parte (b), mediante el cálculo:
𝑖 (∑︁𝛼1𝑋 ∧ · · · ∧ 𝛼𝑘 ∧ 𝛽1 ∧ · · · ∧ 𝛽𝑟 )𝑘
= (−1)𝑖−1 𝑖∑︁ 𝛼 (𝑋 ) 𝛼
1 ∧ · · · ∧ 𝛼𝑖 ∧ · · · ∧ 𝛼𝑘 ∧ 𝛽1 ∧ · · · ∧ 𝛽𝑟
𝑖=1
𝑟
+ (−1)𝑘+ 𝑗−1𝛽 𝑗 (𝑋 ) 𝛼1 ∧ · · · ∧ 𝛼𝑘 ∧ 𝛽1 ∧ · · · ∧ 𝛽 𝑗 ∧ · · · ∧ 𝛽𝑟
𝑗=1
= 𝑖 (𝛼1𝑋 ∧ · · · ∧ 𝛼𝑘) ∧ (𝛽1 ∧ · · · ∧ 𝛽𝑟 ) + (−1)𝑘 (𝛼1 ∧ · · · ∧ 𝛼𝑘) ∧ 𝑖 1𝑋 (𝛽 ∧ · · · ∧ 𝛽𝑟 ) . 
Definición 2.22. Sea 𝜏 : 𝑀 → 𝑁 una aplicación suave entre variedades diferenciales y
sea 𝛽 ∈ A1(𝑁 ). El pullback (o la preimagen, o la imagen inversa) 𝜏∗𝛽 ∈ A1(𝑀) se define
por
(𝜏∗𝛽)𝑝 (𝑋𝑝) := 𝛽𝜏 (𝑝) (𝑇𝑝𝜏 (𝑋𝑝)). (2.23)
Fíjese que la aplicación lineal 𝑇 ∗ 𝑁 → 𝑇 ∗( ) 𝑝𝑀 : 𝛽𝜏 (𝑝) ↦→ (𝜏
∗𝛽)𝑝 es, por esta misma𝜏 𝑝
definición, la transpuesta de la aplicación tangente 𝑇𝑝𝜏 : 𝑇𝑝𝑀 → 𝑇𝜏 (𝑝)𝑁 .
Obsérvese que para definir el pullback 𝛽 →↦ 𝜏∗, no es necesario que 𝜏 : 𝑀 → 𝑁 sea
invertible.
2-13
MA–870: Geometría Diferencial 2.3. Formas diferenciales de grado superior
Si 𝜏 es un difeomorfismo, se puede comparar esta imagen inversa con las imágenes
directas de campos vectoriales bajo 𝜏; en efecto, de (1.29) se obtiene
𝜏∗𝛽 (𝑋 ) = 𝛽 (𝜏∗𝑋 ) ◦ 𝜏, (2.24)
puesto que se recupera (2.23) al evaluar los dos lados de (2.24) en el punto 𝑝 ∈ 𝑀 .
Más generalmente, si 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑁 ), se define su pullback bajo 𝜏 por:
(𝜏∗𝜔)𝑝 ((𝑋1)𝑝, . . . , (𝑋𝑘)𝑝) := 𝜔𝜏 (𝑝) (𝑇𝑝𝜏 (𝑋1)𝑝, . . . ,𝑇𝑝𝜏 (𝑋𝑘)𝑝),
y en el caso de que 𝜏 sea un difeomorfismo, la forma 𝜏∗𝜔 ∈ A𝑘 (𝑀) cumple
𝜏∗𝜔 (𝑋1, . . . , 𝑋𝑘) = 𝜔 (𝜏∗𝑋1, . . . , 𝜏∗𝑋𝑘) ◦ 𝜏 .
Para 𝑔 ∈ A0(𝑁 ) = 𝐶∞(𝑁 ), se define simplemente 𝜏∗𝑔 := 𝑔 ◦ 𝜏 (la transpuesta usual). ♦
Proposición 2.23. El producto exterior es equivariante bajo pullbacks: si 𝜏 : 𝑀 → 𝑁 es
una aplicación suave, 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑁 ), 𝜂 ∈ A𝑟 (𝑁 ), entonces en A𝑘+𝑟 (𝑀) vale
𝜏∗(𝜔 ∧ 𝜂) = 𝜏∗𝜔 ∧ 𝜏∗𝜂. (2.25)
Demostración. Si 𝑋1, . . . , 𝑋𝑘+𝑟 ∈ X(𝑀) y 𝑝 ∈ 𝑀 , entonces
(𝜏∗(𝜔 ∧ 𝜂))𝑝 ((𝑋(1)𝑝, . .). , ((𝑋𝑘+𝑟 )𝑝) = (𝜔 )∧ 𝜂)𝜏 (𝑝) (𝑇𝑝𝜏 (𝑋1)𝑝, . . . ,𝑇𝑝𝜏 (𝑋𝑘+𝑟 )𝑝)𝑘 + 𝑟
= ( ) 𝔸(𝜔𝜏 (𝑝) ⊗ 𝜂𝜏 (𝑝) (𝑇𝑝)𝜏 (𝑋1)𝑝, . . . ,𝑇𝑝𝜏 (𝑋𝑘+𝑟 )𝑝)𝑘𝑘 + 𝑟
= 𝔸 (𝜏∗𝜔)𝑝 ⊗ (𝜏∗𝜂)𝑝 ((𝑋1)𝑝, . . . , (𝑋𝑘+𝑟 )𝑝)
𝑘
= (𝜏∗𝜔 ∧ 𝜏∗𝜂)𝑝 ((𝑋1)𝑝, . . . , (𝑋𝑘+𝑟 )𝑝) .
En el caso de un difeomorfis(mo 𝜏 ,)hay un argumento “no puntual” equivalente:
𝜏∗( 𝑘 + 𝑟𝜔 ∧ 𝜂) (𝑋1,
1 ∑︁. . . , 𝑋𝑘+𝑟 ) (= 𝔸(𝜔 ⊗ 𝜂) (𝜏∗𝑋1, . . . , 𝜏∗𝑋𝑘+𝑟 ) ◦ 𝜏𝑘 )
= (−1)𝜎∑︁ 𝜔 (𝜏! ! ∗𝑋𝜎 (1), . . . , 𝜏∗𝑋𝜎 (𝑘)) 𝜂 (𝜏∗𝑋𝜎 (𝑘+1), . . . , 𝜏∗𝑋𝜎 (𝑘+𝑟 )) ◦ 𝜏𝑘 𝑟 𝜎∈𝑆𝑘+𝑟1
= ( ) (−1)𝜎𝜏∗𝜔 (𝑋𝜎 (1), . . . , 𝑋 ∗𝜎 (𝑘)) 𝜏 𝜂 (𝑋𝜎 (𝑘+1), . . . , 𝑋! ! 𝜎 (𝑘+𝑟 ))𝑘 𝑟 𝜎∈𝑆𝑘+𝑟
𝑘 + 𝑟
= 𝔸(𝜏∗𝜔 ⊗ 𝜏∗𝜂) (𝑋 , . . . , 𝑋 ) = 𝜏∗𝜔 ∧ 𝜏∗1 𝑘+𝑟 𝜂 (𝑋1, . . . , 𝑋𝑘+𝑟 ).
𝑘
Como 𝑋1, . . . , 𝑋𝑘+𝑟 son arbitrarios, la relación (2.25) queda demostrada. 
2-14
MA–870: Geometría Diferencial 2.4. La derivada exterior
2.4. La derivada exterior
Definición 2.24. Si 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀), la evaluación 𝑋 ↦→ 𝑋 𝑓 es una aplicación 𝐶∞(𝑀)-lineal
de X(𝑀) en𝐶∞(𝑀), pues (𝑋 +𝑌 ) 𝑓 = 𝑋 𝑓 +𝑌 𝑓 y (𝑔𝑋 ) 𝑓 = 𝑔(𝑋 𝑓 ) por la definición de 𝑔𝑋 .
Por lo tanto, dicha evaluación define una 1-forma diferencial 𝑑 𝑓 ∈ A1(𝑀):
(𝑑 𝑓 ()𝑋 ) := 𝑋 𝑓 . (2.26)
En coordenadas locales, se ve que 𝑑 𝑓 𝜕 𝑗 = 𝜕𝑓 /𝜕𝑥 𝑗 ; por lo tanto, la expresión local (2.5)𝜕𝑥
de la 1-forma 𝑑 𝑓 es la suma finita:
𝜕𝑓
𝑑 𝑓 = 𝑑𝑥 𝑗 . ♦
𝜕𝑥 𝑗
Definición 2.25. Sea∑(𝑈 ,𝜙) una carta local para 𝑀 y sea 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑈 ) una 𝑘-forma local
dada por (2.18):𝜔 = 𝑖| 1𝐼 |=𝑘 𝑓𝐼 𝑑𝑥 ∧· · ·∧𝑑𝑥𝑖𝑘 para algunas 𝑓𝐼 ∈ 𝐶∞(𝑈 ). Defínase la forma
local 𝑑𝜔 ∈ A𝑘+1∑︁(𝑈 ) por ∑︁∑︁𝑛
∧ 𝜕𝑓𝐼𝑑𝜔 := 𝑑 𝑓𝐼 𝑑𝑥𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑘 = 𝑑𝑥 𝑗 ∧ 𝑑𝑥𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑘 . (2.27)𝑗
|𝐼 |=𝑘 | | 𝜕𝑥𝐼 =𝑘 𝑗=1
Las 1-formas 𝑑𝑥𝑟 ∈ A1(𝑈 ) anticonmutan: 𝑑𝑥𝑟 ∧ 𝑑𝑥𝑠 = −𝑑𝑥𝑠 ∧ 𝑑𝑥𝑟 . Por lo tanto, los
sumandos al lado derecho de (2.27) tales que 𝑗 ∈ 𝐼 son nulas. Se puede exigir 𝑗 ∉ 𝐼 al lado
derecho sin cambiar el resultado (aunque { 𝑗, 𝑖1, . . . , 𝑖𝑘} no esté en orden creciente). ♦
Es evidente que 𝑑 (𝑠𝜔1 + 𝑡𝜔2) = 𝑠 𝑑𝜔 𝑘1 + 𝑡 𝑑𝜔∑2 si 𝜔1, 𝜔2 ∈ A (𝑈 ) y 𝑠, 𝑡 ∈ ℝ, así que
𝜔 ↦→ 𝑑𝜔 es ℝ-lineal. Sean 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑈 ) y 𝜂 = 𝑗 𝑗 𝑟|𝐽 | 1=𝑟 𝑔𝐽 𝑑𝑥 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥 𝑟 ∈ A (𝑈 ). Las
derivadas exteriore∑︁s de 𝑔𝜔 y 𝜔 ∧ 𝜂 obedecen ciertas reglas de Leibniz:
𝑑 ( ) 𝜕𝑔𝜔 =∑︁( (𝑔𝑓
𝑗
𝐼 ) 𝑑𝑥 ∧)𝑑𝑥𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑘𝜕𝑥 𝑗𝐼 , 𝑗
𝜕𝑔
= 𝑓 + 𝜕𝑓𝐼𝑔 𝑑𝑥 𝑗 ∧ 𝑑𝑥𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑘𝐼 = 𝑑𝑔 ∧ 𝜔 + 𝑔𝑑𝜔;∑︁ 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑗𝐼 , 𝑗
𝑑 (𝜔 ∧ 𝜂) =∑︁𝑑 (𝑓 𝑖1𝐼𝑔𝐽 ) ∧ 𝑑𝑥 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑘 ∧ 𝑑𝑥 𝑗1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥 𝑗𝑟𝐼 ,𝐽
= (𝑑 𝑓𝐼 𝑔 𝑖1 𝑖𝑘 𝑗1 𝑗𝑟𝐽 + 𝑓𝐼 𝑑𝑔∑︁𝐽 ) ∧ 𝑑𝑥 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑥 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝐼 ,𝐽
= 𝑑𝜔 ∧ 𝜂 + (−1)𝑘 𝑓 𝑖1𝐼 𝑑𝑥 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑘 ∧ 𝑑𝑔 𝑗1 𝑗𝑟𝐽 ∧ 𝑑𝑥 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥 .
𝐼 ,𝐽
2-15
MA–870: Geometría Diferencial 2.4. La derivada exterior
En la ultima igualdad, se usó la anticonmutación (2.19b) para pasar la 1-forma 𝑑𝑔𝐽 a
la derecha de la 𝑘-forma 𝑑𝑥𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑘 . En consecuencia,
𝑑 (𝜔 ∧ 𝜂) = 𝑑𝜔 ∧ 𝜂 + (−1)𝑘𝜔 ∧ 𝑑𝜂. (2.28)
Se concluye que 𝜔 ↦→ 𝑑𝜔 es una derivación impar del álgebra graduada A•(𝑈 ).
I Para pasar de las fórmulas locales tales como (2.27) y (2.28) a expresiones “globales”
sobre toda la variedad 𝑀 , se requiere el lema siguiente.
Lema 2.26. Sea 𝑀 una variedad diferencial y sea 𝐷 : A•(𝑀) → A•(𝑀) una derivación
(par o impar). Si𝑈 es un abierto de𝑀 y si 𝜔 ∈ A•(𝑀) se anula sobre𝑈 , es decir, 𝜔 |𝑈 = 0,
entonces (𝐷𝜔) |𝑈 = 0 también.
Demostración. Si 𝑝 ∈ 𝑈 , el Lema 1.29 y la Definición 1.52 muestran que es posible hallar
un vecindario 𝑉 de 𝑝 con 𝑉 ⊂ 𝑈 y una función suave ℎ ∈ 𝐶∞(𝑀) tal que sopℎ ⊂ 𝑈
mientras ℎ(𝑞) = 1 para 𝑞 ∈ 𝑉 . ∑
Sea 𝑛 = dim𝑀 . Entonces 𝜔 es una suma 𝜔 = 𝑛=0𝜔𝑘 donde cad⊕a 𝜔 ∈ A𝑘𝑘 (𝑀), en𝑘
vista de (2.16). La condición 𝜔 |𝑈 = 0 dice que 𝜔𝑞 = 0 en Λ•𝑇 ∗𝑞𝑀 =
𝑛
𝑘=0 Λ
𝑘𝑇 ∗𝑞𝑀 para
cada 𝑞 ∈ 𝑈 , así que𝜔𝑘 |𝑈 = 0 enA𝑘 (𝑈 ) para cada 𝑘 por separado. Sin perder generalidad,
entonces, se puede suponer que 𝜔 tiene un solo sumando: 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑀) para algún 𝑘.
La forma diferencial ℎ𝜔 se anula en 𝑈 (porque 𝜔 |𝑈 = 0), y también en 𝑀 \ (sopℎ);
luego ℎ𝜔 = 0 en A𝑘 (𝑀). La ℝ-linealidad de 𝐷 y la propiedad de derivación entonces
implican que
0 = 𝐷 (0) = 𝐷 (ℎ𝜔) = 𝐷ℎ ∧ 𝜔 ± ℎ 𝐷𝜔,
donde el signo ± vale +1 o bien (−1)𝑘 , según 𝐷 sea par o impar. Al evaluar esta igualdad
en cualquier 𝑞 ∈ 𝑉 , se obtiene 0 = (𝐷ℎ)𝑞 ∧ 𝜔𝑞 ± ℎ(𝑞) (𝐷𝜔) en Λ•𝑇 ∗𝑞 𝑞𝑀 . Ahora las
hipótesis 𝜔𝑞 = 0 y ℎ(𝑞) = 1 dan como resultado (𝐷𝜔)𝑞 = 0. Se concluye que (𝐷𝜔) |𝑉 = 0.
En particular, se ve que (𝐷𝜔)𝑝 = 0 para 𝑝 ∈ 𝑈 arbitrario, así que (𝐷𝜔) |𝑈 = 0. 
Teorema 2.27. Sea 𝑀 una variedad diferencial. Existe una única derivación impar 𝛿 , de
grado +1, sobre el álgebra graduada A•(𝑀), que satisface:
(a) 𝛿 (𝑓 ) = 𝑑 𝑓 para toda 𝑓 ∈ A0(𝑀);
(b) 𝛿 (𝑑𝜔) = 0 para toda 𝜔 ∈ A•(𝑀).
Demostración. Sea (𝑈 ,𝜙) una carta local de 𝑀 . Si 𝜔,𝜂 ∈ A•(𝑀) cumplen 𝜔 |𝑈 = 𝜂 |𝑈 , así
que (𝜔 − 𝜂) |𝑈 = 0, el Lema 2.26 muestra que 𝐷𝜔 |𝑈 = 𝐷𝜂 |𝑈 para cualquier derivación 𝐷
2-16
MA–870: Geometría Diferencial 2.4. La derivada exterior
de A•(𝑀). Basta, entonces, determinar la correspondencia 𝜔 |𝑈 →↦ 𝛿 (𝜔) |𝑈 para cada
carta local de 𝑀 .
Tómese 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑈 ) para algún 𝑘 ∈ {0, 1, . . . , 𝑛}. En términos del las coordenadas
locales {𝑥1 ∑, . . . , 𝑥𝑛} para la carta (𝑈 ,𝜙), vale 𝜔 = |𝐼 |=𝑘 𝑓 𝑑𝑥𝑖1𝐼 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑘 , según (2.18),
para determinadas funciones 𝑓𝐼 ∈ 𝐶∞(𝑈 ). Como 𝛿 es ℝ-lineal y una derivación impar, se
calcula que(∑︁ )
𝛿 (𝜔) = 𝛿 𝑓 𝑑𝑥𝑖1𝐼 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑘
∑︁|𝐼 |(=𝑘 ∑︁𝑛 )
= ∑︁ 𝛿 (𝑓𝐼 ) ∧ 𝑑𝑥𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑘 + (−1)𝑟−1𝑓𝐼 𝑑𝑥𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝛿 (𝑑𝑥𝑖𝑟 ) ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑘|𝐼 |=𝑘 𝑟=1
= 𝑑 𝑓𝐼 ∧ 𝑑𝑥𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑘 + 0 = 𝑑𝜔, (2.29)
|𝐼 |=𝑘
al usar las hipótesis (a) y (b) y la fórmula (2.27).
Es oportuno verificar la consistencia de las propiedades del enunciado, al comprobar
que 𝑑 (𝑑 𝑓 ) = 0 para 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑈 )(.∑︁En vista de) la f∑︁órmula (2.27), se obtiene𝑛 𝑛
( ) 𝜕𝑓 𝑗 𝜕
2𝑓
𝑑 𝑑 𝑓 = 𝑑 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥𝑖 ∧ 𝑑𝑥 𝑗
∑︁ 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥 𝑗𝑗=1 𝑖, 𝑗=1𝑛 𝜕2𝑓
= (𝑑𝑥𝑖( ⊗ 𝑑𝑥
𝑗
)− 𝑑𝑥
𝑗 ⊗ 𝑑𝑥𝑖)
∑︁ 𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥 𝑗𝑖, 𝑗=1𝑛 𝜕2𝑓 − 𝜕2𝑓= 𝑑𝑥𝑖 ⊗ 𝑑𝑥 𝑗 = 0,
𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥𝑖
𝑖, 𝑗=1
por la igualdad de las derivadas parciales mixtas de segundo orden de una función suave.
Si (𝑉 ,𝜓 ) es otra carta∑︁local tal que 𝑈 ∩𝑉 ≠ ∅,∑︁con coordenadas locales {𝑦1, . . . , 𝑦𝑛},entonces
𝜔 | 𝑖∩ = 𝑓 𝑑𝑥 1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑘 = 𝑔 𝑑𝑦 𝑗1𝑈 𝑉 𝐼 𝐽 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑦 𝑗𝑘
|𝐼 |=𝑘 |𝐽 |=𝑘
para algunas funciones 𝑔𝐽 ∈ 𝐶∞(𝑉 ), relacionados con las 𝑓𝐼 mediante fórmulas de cambio
de variables. Es u∑︁na consecuencia inmediata d∑︁e (2.29) que
𝑑 𝑓 𝑖1𝐼 ∧ 𝑑𝑥 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑘 = 𝑑𝑔𝐽 ∧ 𝑑𝑦 𝑗1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑦 𝑗𝑘
|𝐼 |=𝑘 |𝐽 |=𝑘
en A𝑘+1(𝑈 ∩𝑉 ). (Se puede verificar esta igualdad directamente por fórmulas de cambio
de variables.) Al evaluar esta forma en cualquier punto 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉 , se obtiene un
2-17
MA–870: Geometría Diferencial 2.4. La derivada exterior
elemento (𝑑𝜔) | ∈ Λ𝑘+1𝑇 ∗𝑝 𝑝𝑀 que no depende de las cartas locales. Se ha construido
una única sección suave 𝑝 ↦→ (𝑑𝜔) | 𝑘+1𝑝 en Γ(𝑀,Λ 𝑇 ∗𝑀), es decir, una forma diferencial
𝑑𝜔 ∈ A𝑘+1(𝑀). Por su construcción, 𝜔 ↦→ 𝑑𝜔 es una derivación impar que cumple las
propiedades (a) y (b) del enunciado. 
Definición 2.28. La aplicación ℝ-lineal 𝑑 : A•(𝑀) → A•(𝑀) de grado +1 dada por el
Teorema 2.27 se llama la derivación exterior sobre el álgebra graduado A•(𝑀). Este
operador es una derivación impar:
𝑑 (𝜔 ∧ 𝜂) = 𝑑𝜔 ∧ 𝜂 + (−1)#𝜔𝜔 ∧ 𝑑𝜂. (2.30)
La forma diferencial 𝑑𝜔 es la derivada exterior de 𝜔 . ♦
I Una manera alternativa de construir la derivación exterior no requiere el uso de
cálculos locales. Es cuestión de exhibir las fórmulas algebraicas que evalúan 𝑑𝜔 sobre un
juego de campos vectoriales. Si𝜔 ∈ A𝑘 (𝑀), dichas fórmulas para 𝑑𝜔 deben ser funciones
𝐶∞-multilineales y alternantes, de grado (𝑘 + 1), de elementos de X(𝑀).
Proposición 2.29. Si 𝛼 ∈ A1(𝑀), su derivada exterior cumple la fórmula:
𝑑𝛼 (𝑋,𝑌 ) = 𝑋 𝛼 (𝑌 ) − 𝑌 𝛼 (𝑋 ) − 𝛼 ( [𝑋,𝑌 ]) . (2.31)
Demostración. Está claro que el lado derecho de (2.31) es ℝ-bilineal y alternante como
función de (𝑋,𝑌 ). Falta comprobar que sea bilineal sobre el anillo 𝐶∞(𝑀).
Al sustituir 𝑋 ↦→ 𝑓 𝑋 en el lado derecho, se obtiene 𝑓 𝑋 𝛼 (𝑌 ) −𝑌 𝛼 (𝑓 𝑋 ) −𝛼 ( [𝑓 𝑋,𝑌 ]).
El campo vectorial [𝑓 𝑋,𝑌 ] obedece
[𝑓 𝑋,𝑌 ] (𝑔) = (𝑓 𝑋 ) (𝑌𝑔) − 𝑌 (𝑓 𝑋𝑔)
= 𝑓 𝑋 (𝑌𝑔) − (𝑌 𝑓 ) (𝑋𝑔) − 𝑓 𝑌 (𝑋𝑔)
= 𝑓 [𝑋,𝑌 ] (𝑔) − (𝑌 𝑓 ) (𝑋𝑔),
y al eliminar 𝑔, se obtiene una fórmula útil, ya visto en el Ejercicio 1.18:
[𝑓 𝑋,𝑌 ] = 𝑓 [𝑋,𝑌 ] − (𝑌 𝑓 )𝑋 en X(𝑀) . (2.32)
Ahora se calcula:
𝑓 𝑋 𝛼 (𝑌 ) − 𝑌 𝛼 (𝑓 𝑋 ) − 𝛼 ( [𝑓 𝑋,𝑌 ])( )
= 𝑓 𝑋 𝛼 (𝑌 ) − 𝑌 (𝑓 𝛼 (𝑋 )) − 𝛼 𝑓 [𝑋,𝑌 ] − (𝑌 𝑓 )𝑋
= 𝑓 𝑋( 𝛼 (𝑌 ) − (𝑌 𝑓 ) 𝛼 (𝑋 ) − 𝑓 𝑌 𝛼 (𝑋)) − 𝑓 𝛼 ( [𝑋,𝑌 ]) + (𝑌 𝑓 ) 𝛼 (𝑋 )
= 𝑓 𝑋 𝛼 (𝑌 ) − 𝑌 𝛼 (𝑋 ) − 𝛼 ( [𝑋,𝑌 ]) .
2-18
MA–870: Geometría Diferencial 2.4. La derivada exterior
De igual modo, se obtiene ( )
𝑋 𝛼 (𝑔𝑌 ) − 𝑔𝑌 𝛼 (𝑋 ) − 𝛼 ( [𝑋,𝑔𝑌 ]) = 𝑔 𝑋 𝛼 (𝑌 ) − 𝑌 𝛼 (𝑋 ) − 𝛼 ( [𝑋,𝑌 ]) .
Esto verifica que el lado derecho de (2.31) es una 2-forma evaluada en (𝑋,𝑌 ).
Para comprobar que esta 2-forma es igual a 𝑑𝛼 (es decir, que ellas determinan el
mismo elemento de Λ2𝑇 ∗𝑝𝑀 para cada 𝑝 ∈ 𝑀), basta chequear que ambas 2-formas
coinciden en el dominio de cada carta local. Para tal efecto, se puede suponer que 𝑀
posee una sola carta loc∑︁al en donde 𝛼 = 𝑓 𝑑𝑥
𝑗
𝑗 ∑︁. (En particul𝑛 )ar,𝜕𝑓 𝑗 𝜕𝑓 𝑗 𝜕𝑓𝑖
𝑑𝛼 = 𝑑𝑥𝑖 ∧ 𝑑𝑥 𝑗 = − 𝑑𝑥𝑖 ∧ 𝑑𝑥 𝑗 . (2.33)
𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥 𝑗
𝑖, 𝑗=1 𝑖< 𝑗
Por la 𝐶∞(𝑀)-bilinealidad, se puede suponer también que 𝑋,𝑌 son campos básicos,
es decir, 𝑋[ = 𝜕 , 𝑌]= 𝜕𝑖 𝑗 . Fíjes(e qu)e los cam( pos)básicos conmutan, porque𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕 𝜕 2 2
, ( 𝜕 𝜕𝑓𝑓 ) = − 𝜕 𝜕𝑓 𝜕 𝑓= − 𝜕 𝑓 = 0. (2.34)
𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥𝑖
La evaluación de 𝑑𝛼( en camp)os básicos sale directa(ment)e de (2.33(): )
𝜕 𝜕 𝜕𝑓 𝑗 𝜕𝑓
= − 𝑖 𝜕 𝜕𝑑𝛼 , = 𝛼 − 𝜕 𝜕𝛼 .
𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥𝑖
Los dos lados de (2.31) coinciden en este caso especial, y por ende en general. 
Hay fórmulas análogas para las derivadas exteriores de formas de grado superior, las
cuales se pueden comprobar al seguir el patrón de la última demostración. Por ejemplo,
si 𝛽 ∈ A2(𝑀), entonces
𝑑𝛽 (𝑋,𝑌, 𝑍 ) = 𝑋 𝛽 (𝑌, 𝑍 ) + 𝑌 𝛽 (𝑍,𝑋 ) + 𝑍 𝛽 (𝑋,𝑌 )
− 𝛽 ( [𝑋,𝑌 ], 𝑍 ) − 𝛽 ( [𝑌, 𝑍 ], 𝑋 ) − 𝛽 ( [𝑍,𝑋 ], 𝑌 ) . (2.35)
La receta general “libre de coordenadas” para la derivada exterior de una 𝑘-forma es la
siguiente: ∑︁𝑘+1
𝑑𝜔 (𝑋1, . . . , 𝑋𝑘+1) = (∑︁−1)𝑖+1𝑋𝑖 𝜔 (𝑋1, . . . , 𝑋𝑖, . . . , 𝑋𝑘+1)𝑖=1
+ (−1)𝑖+ 𝑗 𝜔 ( [𝑋𝑖, 𝑋 𝑗 ], 𝑋1, . . . , 𝑋𝑖, . . . , 𝑋 𝑗 , . . . , 𝑋𝑘+1) . (2.36)
𝑖< 𝑗
2-19
MA–870: Geometría Diferencial 2.4. La derivada exterior
Proposición 2.30. La derivación exterior es equivariante bajo preimágenes; si 𝜏 : 𝑀 → 𝑁
es una aplicación suave y si 𝜔 ∈ A•(𝑁 ), entonces
𝑑 (𝜏∗𝜔) = 𝜏∗(𝑑𝜔). (2.37)
Demostración. Considérese primero el caso 𝑘 = 0, 𝜔 = 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑁 ). Si 𝑝 ∈ 𝑀 y 𝑋𝑝 ∈ 𝑇𝑝𝑀 ,
entonces por (2.23), (2.26) y la Definición 1.38:
𝜏∗(𝑑𝑔)𝑝 (𝑋𝑝) = (𝑑𝑔)𝜏 (𝑝) (𝑇𝑝𝜏 (𝑋𝑝)) = 𝑇𝑝𝜏 (𝑋𝑝) (𝑔)
= 𝑋𝑝 (𝑔 ◦ 𝜏) = 𝑋𝑝 (𝜏∗𝑔) = 𝑑 (𝜏∗𝑔)𝑝 (𝑋𝑝),
así que 𝜏∗(𝑑𝑔) (𝑋 ) = 𝑑 (𝜏∗𝑔) (𝑋 ) para 𝑋 ∈ X(𝑀); es decir, 𝜏∗(𝑑𝑔) = 𝑑 (𝜏∗𝑔) en A1(𝑀).
Si ahora 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑀) con 𝑘 > 1, se debe mostrar que 𝑑 (𝜏∗𝜔) ∗𝑝 = 𝜏 (𝑑𝜔)𝑝 para cada
𝑝 ∈ 𝑀 . En vista del Lema 2.26, basta comprobar la relac∑ión (2.37) para 𝑘-formas en eldominio de una carta local. Dado 𝑝 ∈ 𝑀 , sea (𝑉 ,𝜓 ) una carta local de 𝑁 con 𝜏 (𝑝) ∈ 𝑉 ,
cuyas coordenadas locales son {𝑦1, . . . , 𝑦𝑚}. Tómese𝜔 := |𝐽 |=𝑘 𝑔 𝑑𝑦 𝑗1𝐽 ∧· · ·∧𝑑𝑦 𝑗𝑘 donde
cada 𝑔 ∈ 𝐶∞𝐽 (𝑉∑︁). Entonces, por la Proposición 2.23,∑︁
𝜏∗𝜔 = (𝜏∗𝑔 ∗𝐽 ) 𝜏 (𝑑𝑦 𝑗1) ∧ · · · ∧ 𝜏∗(𝑑𝑦 𝑗𝑘 ) = (𝑔𝐽 ◦ 𝜏) 𝑑ℎ 𝑗1 ∧ · · · ∧ 𝑑ℎ 𝑗𝑘
|𝐽 |=𝑘 |𝐽 |=𝑘
al poner ℎ 𝑗𝑟 := 𝑦 𝑗𝑟 ◦ 𝜏 para 𝑟 ∑︁= 1, . . . , 𝑘. Entonces
𝑑 (𝜏∗𝜔) = ∑︁ 𝑑 (𝑔𝐽 ◦ 𝜏) ∧ 𝑑ℎ 𝑗1 ∧ · · · ∧ 𝑑ℎ 𝑗𝑘|𝐽 |=𝑘
= ∑︁ 𝑑 (𝜏∗𝑔𝐽 ) ∧ 𝑑ℎ 𝑗1 ∧ · · · ∧ 𝑑ℎ 𝑗𝑘|𝐽 |=𝑘
= ∗( 𝜏 (𝑑𝑔𝐽 ) ∧ 𝜏
∗(𝑑𝑦 𝑗1) ∧ · · · ∧ 𝜏∗) (𝑑𝑦
𝑗𝑘 )
|𝐽 |=𝑘∑︁
= 𝜏∗ 𝑑𝑔 𝑗1𝐽 ∧ 𝑑𝑦 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑦 𝑗𝑘 = 𝜏∗(𝑑𝜔),
|𝐽 |=𝑘
en donde la tercera igualdad requiere el caso 𝑘 = 0, ya comprobada. 
Ejemplo 2.31. Sea 𝜏 : (0,∞) × (−𝜋, 𝜋) → ℝ2 la función
(𝑥,𝑦) ≡ 𝜏 (𝑟, 𝜃 ) := (𝑟 cos𝜃, 𝑟 sen𝜃 ),
que efectúa el cambio de coordenadas polares a cartesianas en ℝ2. (Fíjese que esta 𝜏 no
es sobreyectiva, porque su imagen omite el semieje 𝑥 negativo.)
2-20
MA–870: Geometría Diferencial 2.4. La derivada exterior
Como consecuencia inmediata, se obtiene
𝜏∗(𝑑𝑥) = 𝑑 (𝑥 ◦ 𝜏) = 𝑑 (𝑟 cos𝜃 ) = cos𝜃 𝑑𝑟 − 𝑟 sen𝜃 𝑑𝜃,
𝜏∗(𝑑𝑦) = 𝑑 (𝑦 ◦ 𝜏) = 𝑑 (𝑟 sen𝜃 ) = sen𝜃 𝑑𝑟 + 𝑟 cos𝜃 𝑑𝜃,
pues 𝑑 es una derivación impar.⁷ La 2-forma de área 𝑑𝑥 ∧𝑑𝑦 tiene la siguiente expresión
(archiconocida) en coordenadas polares:
𝜏∗(𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦) = 𝜏∗(𝑑𝑥) ∧ 𝜏∗(𝑑𝑦)
= (cos𝜃 𝑑𝑟 − 𝑟 sen𝜃 𝑑𝜃 ) ∧ (sen𝜃 𝑑𝑟 + 𝑟 cos𝜃 𝑑𝜃 )
= 𝑟 cos2 𝜃 𝑑𝑟 ∧ 𝑑𝜃 − 𝑟 sen2 𝜃 𝑑𝜃 ∧ 𝑑𝑟
= 𝑟 𝑑𝑟 ∧ 𝑑𝜃,
porque 𝑑𝑟 ∧ 𝑑𝑟 = 0, 𝑑𝜃 ∧ 𝑑𝜃 = 0 y 𝑑𝜃 ∧ 𝑑𝑟 = −𝑑𝑟 ∧ 𝑑𝜃 por antisimetría. ♦
Ejemplo 2.32. Sea 𝑖 : 𝕊2 → ℝ3 la inclusión de la esfera en ℝ3 como subvariedad. El
pullback de la forma de volumen 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧 en ℝ3 es una 3-forma sobre 𝕊2 y por lo
tanto es nula, porque 3 > dim𝕊2. Se debe buscar, entonces, una 2-forma 𝜎 ∈ A2(ℝ3) –
en las coordenadas cartesianas (𝑥,𝑦, 𝑧) – cuyo pullback es la 2-forma conocida de área:
sen𝜃 𝑑𝜃 ∧ 𝑑𝜙 ∈ A2(𝕊2), expresada en las coordenadas esféricas usuales:
𝑥 = sen𝜃 cos𝜙, 𝑦 = sen𝜃 sen𝜙, 𝑧 = cos𝜃 .
Estas fórmulas son abreviaturas para 𝑖∗(𝑥) := sen𝜃 cos𝜙 , etc.
Nótese que
𝑖∗(𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦) = (cos𝜃 cos𝜙 𝑑𝜃 − sen𝜃 sen𝜙 𝑑𝜙) ∧ (cos𝜃 sen𝜙 𝑑𝜃 + sen𝜃 cos𝜙 𝑑𝜙)
= cos𝜃 sen𝜃 𝑑𝜃 ∧ 𝑑𝜙.
Por cálculos similares, se deduce que
𝑖∗(𝑥 𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧) = (sen𝜃 cos𝜙) (cos𝜃 sen𝜙 𝑑𝜃 + sen𝜃 cos𝜙 𝑑𝜙) ∧ (− sen𝜃 𝑑𝜃 )
= sen3 𝜃 cos2 𝜙 𝑑𝜃 ∧ 𝑑𝜙,
𝑖∗(𝑦 𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑥) = (sen𝜃 sen𝜙) (− sen𝜃 𝑑𝜃 ) ∧ (cos𝜃 cos𝜙 𝑑𝜃 − sen𝜃 sen𝜙 𝑑𝜙)
= sen3 𝜃 sen2 𝜙 𝑑𝜃 ∧ 𝑑𝜙,
𝑖∗(𝑧 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦) = cos𝜃 𝑖∗(𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦) = cos2 𝜃 sen𝜃 𝑑𝜃 ∧ 𝑑𝜙.
Al sumar estas tres expresiones, se obtiene el área esférica en coordenadas cartesianas:
𝜎 := 𝑥 𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧 + 𝑦 𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑥 + 𝑧 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 =⇒ 𝑖∗𝜎 = sen𝜃 𝑑𝜃 ∧ 𝑑𝜙. ♦
7Se suele escribir estas fórmulas y el resultado final sin mención explícita de la función 𝜏 , de este
modo: 𝑑𝑥 = cos𝜃 𝑑𝑟 − 𝑟 sen𝜃 𝑑𝜃 , 𝑑𝑦 = sen𝜃 𝑑𝑟 + 𝑟 cos𝜃 𝑑𝜃 ; y luego 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 = 𝑟 𝑑𝑟 ∧ 𝑑𝜃 .
2-21
MA–870: Geometría Diferencial 2.5. La derivada de Lie
2.5. La derivada de Lie
Definición 2.33. Sea 𝑋 ∈ X(𝑀) un campo vectorial completo sobre una variedad dife-
rencial 𝑀; el flujo de 𝑋 , según la Definición 1.67, determina un grupo uniparamétrico
{ 𝛼𝑡 : 𝑡 ∈ ℝ } de difeomorfismos de𝑀 . Si𝜔 ∈ A𝑘 (𝑀) es una 𝑘-forma diferencial sobre𝑀 ,
su derivada de Lie con respecto a 𝑋 e s la 𝑘-forma L𝑋𝜔 dada por:𝑑  ∗ 𝛼∗𝜔 − 𝜔L𝑋𝜔 := 𝛼𝑡 𝜔 = ĺım 𝑡 . (2.38a)𝑑𝑡 =0 𝑡→0𝑡 𝑡
En cada punto (𝑝 ∈ 𝑀 , su valor ()L𝑋𝜔)𝑝 ∈ Λ
𝑘𝑇 ∗𝑝𝑀( satisface: )
(L𝑋𝜔)𝑝 (𝑋1)
𝑑
𝑝, . . . , (𝑋𝑘)𝑝 =  𝜔𝛼𝑡 (𝑝) 𝑇𝑝𝛼𝑡 (𝑋1)𝑝, . . . ,𝑇𝑝𝛼𝑡 (𝑋𝑘)𝑝 . (2.38b)𝑑𝑡 𝑡=0
La segunda fórmula sigue válida para un campo vectorial incompleto, con D𝑋 ≠ ℝ ×𝑀 ,
porque en todo caso, según (1.33), el flujo de 𝑋 define difeomorfismos locales 𝛼𝑡 en un
vecindario de 𝑝, para −𝜀 (𝑝) < 𝑡 < 𝜀 (𝑝). Por lo tanto, la derivada de Lie L𝑋 está definido
para cualquier 𝑋 ∈ X(𝑀), no necesariamente completo. ♦
Para simplificar la exposición, en estos apuntes se considerará L𝑋 solo para campos
vectoriales completos; por la Proposición 1.63, esto no conlleva pérdida de generalidad
cuando 𝑀 es compacta.
Lema 2.34. Si 𝑓 ∈ A0(𝑀) = 𝐶∞(𝑀), entonces L𝑋 𝑓 = 𝑋 𝑓 .
Demostración. Cabe recordar que 𝛼∗ 𝑡 𝑓 = 𝑓 ◦𝛼𝑡 pa ra 𝑓 ∈ 𝐶
∞(𝑀); luego, para cada 𝑝 ∈ 𝑀 ,
la Proposición 1.68 y la fórmula(1.35) muestran queL𝑋 𝑓 (𝑝) 𝑑  ∗ 𝑑= 𝛼 𝑡 𝑓 (𝑝) ≡ 𝑓 (𝛼𝑡 (𝑝)) = 𝑋 𝑓 (𝑝). 𝑑𝑡 𝑡=0 𝑑𝑡 𝑡=0
Proposición 2.35. La derivada de Lie de formas diferenciales con respecto a un campo
vectorial 𝑋 ∈ X(𝑀) cumple las siguientes identidades, para 𝜔,𝜂 ∈ A•(𝑀), 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀):
(a) L𝑋 (𝜔 + 𝜂) = L𝑋𝜔 + L𝑋𝜂; (2.39a)
(b) L𝑋 (𝑓 𝜔) = (𝑋 𝑓 )𝜔 + 𝑓 L𝑋𝜔; (2.39b)
(c) L𝑋 (𝜔 ∧ 𝜂) = L𝑋𝜔 ∧ 𝜂 + 𝜔 ∧ L𝑋𝜂; (2.39c)
(d) L𝑋 (𝑑𝜔) = 𝑑 (L𝑋𝜔). (2.39d)
Demostración. La aditividad (a) es obvia por las fórmulas (2.38), porque 𝛼∗𝑡 (𝜔 + 𝜂) =
𝛼∗𝑡 𝜔 + 𝛼∗𝑡 𝜂 para cada 𝑡 . La regla de Leibniz (b) es un caso particular de la identidad (c).
Nótese que las propiedades (a) y (c) dicen que L𝑋 es una derivación par de A•(𝑀).
2-22
MA–870: Geometría Diferencial 2.5. La derivada de Lie
La propiedad (c) es una consecuencia de la equivariancia del producto exterior bajo
pullbacks, dada por la Prop osición 2.23: 
L (𝜔 ∧ 𝑑𝜂) =  𝛼∗( ∧ ) 𝑑 𝑋  𝑡 𝜔 𝜂 =   𝛼
∗
𝑡 𝜔 ∧ 𝛼∗𝑡 𝜂
𝑑𝑡 𝑡=0
𝑑𝑡 𝑡=0
𝑑
= 𝛼∗𝑡 𝜔 ∧ 𝜂 + 𝜔 ∧
𝑑  𝛼∗𝑡 𝜂 = L𝑋𝜔 ∧ 𝜂 + 𝜔 ∧ L𝑋𝜂.𝑑𝑡 𝑡=0 𝑑𝑡 𝑡=0
La propiedad (d) sigue de la equivariancia de la deriva  (
da exterior), Proposición 2.30:𝑑 𝑑 𝑑
L𝑋 (𝑑𝜔) = 𝛼∗𝑡 (𝑑𝜔) = 𝑑 (𝛼∗𝑡 𝜔) = 𝑑  𝛼∗𝑡 𝜔 = 𝑑 (L𝑋𝜔). 
𝑑𝑡 𝑡=0 𝑑𝑡 𝑡=0 𝑑𝑡 𝑡=0
Ejemplo 2.36. Si 𝑀 = ℝ2, considérese la 2-forma 𝜔 y el campo vectorial 𝑋 dadas por
𝜔 = (𝑥2 + 𝜕 𝜕𝑦2) 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦, 𝑋 = −𝑦 + 𝑥 .
𝜕𝑥 𝜕𝑦
Las reglas de la Proposición 2.35 permiten calcular:
L 𝜔 = 𝑋 (𝑥2 + 𝑦2𝑋 ) 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 + (𝑥2 + 𝑦2) (L𝑋 (𝑑𝑥) ∧ 𝑑𝑦 + 𝑑𝑥 ∧ L𝑋 (𝑑𝑦))
= (−2𝑦𝑥 + 2𝑥𝑦) 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 + (𝑥2 + 𝑦2) (𝑑 (𝑋𝑥) ∧ 𝑑𝑦 + 𝑑𝑥 ∧ 𝑑 (𝑋𝑦))
= 0 + (𝑥2 + 𝑦2) (−𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑦 + 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑥) = 0.
Ahora la condición L𝑋𝜔 = 0 es una ecuación diferencial, la cual, por la fórmula (2.38), es
equivalente a la condición de que 𝛼∗𝑡 𝜔 = 𝜔 para 𝑡 ∈ ℝ. Por lo tanto, L𝑋𝜔 = 0 expresa la
invariancia de la forma 𝜔 bajo el flujo de 𝑋 . En el caso aquí ejemplificado, este flujo es
el grupo de rotaciones alrededor del origen de ℝ2; es evidente por inspección que 𝜔 es
invariante bajo tales rotaciones de las coordenadas cartesianas.⁸ ♦
Hay una relación notable entre las tres derivaciones del álgebra graduada A•(𝑀)
consideradas hasta ahora: la derivada exterior 𝑑, de grado (+1); la contracción 𝑖𝑋 con un
campo vectorial 𝑋 , de grado (−1); y ahora la derivada de Lie L𝑋 , de grado 0. (Obsérvese
que las fórmulas (2.38) conservan el grado de formas diferenciales.)
Proposición 2.37. Las derivadas de Lie L𝑋 cumplen la identidad de Cartan:
L𝑋𝜔 = 𝑖𝑋 (𝑑𝜔) + 𝑑 (𝑖𝑋𝜔) (2.40)
para todo 𝑋 ∈ X(𝑀) y 𝜔 ∈ A•(𝑀).
8Este generador −𝑦 𝜕 + 𝑥 𝜕 del grupo de rotaciones del plano es un operador de momento angular.
𝜕𝑥 𝜕𝑦
2-23
MA–870: Geometría Diferencial 2.5. La derivada de Lie
Demostración. La prueba es inductiva: se comprobará la identidad de Cartan (2.40) por
inducción sobre el grado de 𝜔 .
En primer lugar, si 𝜔 = 𝑓 ∈ A0(𝑀), entonces L𝑋 𝑓 = 𝑋 𝑓 por el Lema 2.34. Por otro
lado, vale 𝑖𝑋 (𝑑 𝑓 ) = 𝑑 𝑓 (𝑋 ) = 𝑋 𝑓 , mientras 𝑖𝑋 𝑓 = 0 por regla, según la Definición 2.20.
En segundo lugar, si 𝜔 = 𝛽 ∈ A1(𝑀), tómese 𝑌 ∈ X(𝑀); entonces, por (2.24):𝑑 𝑑
L 𝛽 (𝑌 ) =  ∗𝑋  𝛼𝑡 𝛽 (𝑌 ) =  𝛽 (𝛼𝑡∗𝑌 ) ◦ 𝛼𝑡 . (2.41)𝑑𝑡 𝑡=0 𝑑𝑡 𝑡=0
Ahora, si ℎ ∈ 𝐶∞(𝑀), se puede adaptar el Lema 1.19 (de Hadamard) para escribir
ℎ ◦ 𝛼𝑡 =: ℎ + 𝑡 𝑔𝑡 para todo 𝑡 ∈ ℝ,
donde la función 𝑡 →↦ 𝑔𝑡 (𝑝) : ℝ→ 𝑀 e∫s suave, para cada 𝑝 ∈ 𝑀 . En efecto, se define1
( ) 𝜕𝑔𝑡 𝑝 := ℎ(𝛼𝑠𝑡 (𝑝)) 𝑑𝑠,
0 𝜕𝑠
y el teorema funda∫mental del cálculo mu∫estra que1 𝜕 𝑡
𝑡 𝑔𝑡 (𝑝) = ℎ(𝛼𝑠𝑡 (𝑝))
𝜕
𝑡 𝑑𝑠 = ℎ(𝛼𝑢 (𝑝)) 𝑑𝑢 = ℎ(𝛼𝑡 (𝑝)) − ℎ(𝑝) .
0 𝜕𝑠 0 𝜕𝑢
Además, la curva 𝑡 ↦→ 𝛼𝑡 (𝑝) es la curva integral del campo vectorial 𝑋 que pasa por 𝑝,así que 𝑔0(𝑝) = ĺım𝑡→0 𝑔𝑡 (𝑝) = 𝑑𝑑𝑡 𝑡=0ℎ(𝛼𝑡 (𝑝)) = 𝑋ℎ(𝑝).
La Definición 1.57 de la im agen directa 𝛼 𝑡∗
𝑌 y el Lema 2.34 implican que
𝑑  ( ) 𝑑 𝛼 ∗𝑌 ℎ = 

𝑌 ( 𝑑ℎ ◦ 𝛼 ) ◦ 𝛼− = 𝑡 𝑡 𝑡 ( (𝑌ℎ) ◦ 𝛼−𝑡 + 𝑡 𝑌𝑔𝑡 ◦ 𝛼−𝑡 )𝑑𝑡 𝑡=0 𝑑𝑡 𝑡=0 𝑑𝑡 𝑡=0𝑑
=  (𝑌ℎ ◦ 𝛼−𝑡 ) + ĺım 𝑌𝑔 ◦ 𝛼→ 𝑡 −𝑡𝑑𝑡 =0 𝑡 0𝑡
 = L−𝑋 (𝑌ℎ) + 𝑌 (𝑋ℎ) = −𝑋 (𝑌ℎ) + 𝑌 (𝑋ℎ) = −[𝑋,𝑌 ] (ℎ).Por lo tanto, vale 𝑑 =0(𝛼𝑡∗𝑌 ) = −[𝑋,𝑌 ]. Alenchufar esto en (2.41), se obtiene𝑑𝑡 𝑡
L𝑋 𝛽 ( ) − ([ ]) +
𝑑
𝑌 = 𝛽 𝑋,𝑌  𝛽 (𝑌 ) ◦ 𝛼𝑡
𝑑𝑡 𝑡=0
= −𝛽 ( [𝑋,𝑌 ]) + 𝑋 𝛽 (𝑌 ) = 𝑑𝛽 (𝑋,𝑌 ) + 𝑌 𝛽 (𝑋 )
= 𝑑𝛽 (𝑋,𝑌 ) + 𝑌 (𝑖𝑋 𝛽) = 𝑖𝑋 (𝑑𝛽) (𝑌 ) + 𝑑 (𝑖𝑋 𝛽) (𝑌 ), (2.42)
donde se ha empleado la fórmula (2.31) para la 2-forma 𝑑𝛽. Entonces se deduce que
L𝑋 𝛽 = 𝑖𝑋 (𝑑𝛽) + 𝑑 (𝑖 𝛽) en A1𝑋 (𝑀).
2-24
MA–870: Geometría Diferencial 2.5. La derivada de Lie
Por último, supóngase que la proposición es válida para 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑀) – para hacer una
inducción sobre 𝑘. Si 𝛽 ∈ A1(𝑀), fíjese que 𝑖𝑋 𝛽, 𝛽, 𝑑𝛽 tienen grados respectivos 0, 1 y 2.
Entonces las derivaciones impares 𝑑 e 𝑖𝑋 cumplen las siguientes relaciones:
𝑑 (𝑖𝑋 𝛽 ∧ 𝜔) = 𝑑 (𝑖𝑋 𝛽) ∧ 𝜔 + 𝑖𝑋 𝛽 ∧ 𝑑𝜔,
𝑑 (𝛽 ∧ 𝜔) = 𝑑𝛽 ∧ 𝜔 − 𝛽 ∧ 𝑑𝜔,
𝑖𝑋 (𝛽 ∧ 𝜔) = 𝑖𝑋 𝛽 ∧ 𝜔 − 𝛽 ∧ 𝑖𝑋𝜔,
𝑖𝑋 (𝑑𝛽 ∧ 𝜔) = 𝑖𝑋 (𝑑𝛽) ∧ 𝜔 + 𝑑𝛽 ∧ 𝑖𝑋𝜔.
Como L𝑋 es una derivación par, se obtiene:
L𝑋 (𝛽 ∧ 𝜔) = L𝑋 𝛽 ∧ 𝜔 + 𝛽 ∧ L𝑋𝜔
= (𝑖𝑋 (𝑑𝛽) + 𝑑 (𝑖𝑋 𝛽)) ∧ 𝜔 + 𝛽 ∧ (𝑖𝑋 (𝑑𝜔) + 𝑑 (𝑖𝑋𝜔))
= 𝑖𝑋 (𝑑𝛽 ∧ 𝜔) − 𝑑𝛽 ∧ 𝑖𝑋𝜔 + 𝛽 ∧ 𝑑 (𝑖𝑋𝜔)
+ 𝑑 (𝑖𝑋 𝛽 ∧ 𝜔) − 𝑖𝑋 𝛽 ∧ 𝑑𝜔 + 𝛽 ∧ 𝑖𝑋 (𝑑𝜔)
= 𝑖𝑋 (𝑑𝛽 ∧ 𝜔) − 𝑑 (𝛽 ∧ 𝑖𝑋𝜔) + 𝑑 (𝑖𝑋 𝛽 ∧ 𝜔) − 𝑖𝑋 (𝛽 ∧ 𝑑𝜔)
= 𝑖𝑋 (𝑑 (𝛽 ∧ 𝜔)) + 𝑑 (𝑖𝑋 (𝛽 ∧ 𝜔)).
Cada elemento de A𝑘+1(𝑀) es una suma finita de formas de tipo 𝛽 ∧𝜔 . Entonces (2.40)
es válida para elementos de A𝑘+1(𝑀); la proposición sigue por inducción sobre 𝑘. 
I La derivada de Lie L𝑋 define un operador, no solamente sobre formas, sino sobre un
tensor de cualquier especie, como la derivada en 𝑡 = 0 de una preimagen del tensor bajo
el flujo de𝑋 . Dicha derivada será nula si (y solo si) el flujo de𝑋 deja el tensor invariante.
Toda vez que el campo vectorial 𝑋 sea completo, se define L𝑋 como sigue.
En tensores covariantes cualesquiera se define la imagen inversa 𝛼∗𝑡 como en la
Definición 2.22; en tensores contravariantes se reemplaza 𝛼∗𝑡 por la imagen directa (𝛼−𝑡 )∗
bajo el flujo en reverso 𝑡 ↦→ 𝛼−𝑡 generado por −𝑋 . El cambio de signo es necesario pues
las acciones de 𝛼∗𝑡 y 𝛼𝑡∗ son contragredientes, como evidencia la fórmula (2.24).
Definición 2.38. Sea 𝑋 ∈ X(𝑀) un campo completo, con flujo { 𝛼𝑡 ∈ Diff (𝑀) : 𝑡 ∈ ℝ }.
Si 𝑌 ∈ X(𝑀) es otro campo vectorial, su der ivada de Lie L𝑋𝑌 ∈ X(𝑀) se define como
𝑑 
L 𝑌 := 𝑋  (𝛼−𝑡 )∗𝑌 . ♦𝑑𝑡 𝑡=0
Lema 2.39. Si 𝑋,𝑌 ∈ X(𝑀), entonces L𝑋𝑌 = [𝑋,𝑌 ].
2-25
MA–870: Geometría Diferencial 2.5. La derivada de Lie
Demostración. Para cada 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀), las Defin(icion es 1.57 y 2).33 muestran que
( ) 𝑑  𝑑 𝑑L𝑋𝑌 𝑓 = 𝑌 (𝑓 ◦ 𝛼−𝑡 ) ◦ 𝛼𝑡 = 𝑌 𝑑𝑡 𝑑𝑡  𝑓 ◦ 𝛼− 𝑡 + 𝑌 𝑓 ◦ 𝛼𝑡𝑡=0 𝑡=0 𝑑𝑡 𝑡=0
= 𝑌 (L−𝑋 𝑓 ) + L𝑋 (𝑌 𝑓 )
= 𝑌 (−𝑋 𝑓 ) + 𝑋 (𝑌 𝑓 ) = [𝑋,𝑌 ] 𝑓 . 
En el desarrollo del cálculo (2.42), se obtuvo otra fórmula útil:
𝑋 𝛽 (𝑌 ) = L𝑋 𝛽 (𝑌 ) + 𝛽 ( [𝑋,𝑌 ]), (2.43)
para todo 𝑌 ∈ X(𝑀), 𝛽 ∈ A1(𝑀). Fíjese que esta es otra especie de regla de Leibniz,
pues dice que L𝑋 (𝛽 (𝑌 )) = L𝑋 𝛽 (𝑌 ) + 𝛽 (L𝑋𝑌 ).
Proposición 2.40. Si 𝑋,𝑌 ∈ X(𝑀) y 𝛽 ∈ A1(𝑀), se verifica:
L𝑋 (L𝑌 𝛽) − L𝑌 (L𝑋 𝛽) = L[𝑋,𝑌 ] 𝛽. (2.44)
Demostración. Empleando la identidad de Cartan (2.40), la fórmula (2.31), la identidad
de Jacobi (1.25b) y la fórmula (2.43) varias veces, se calcula, para cada 𝑍 ∈ X(𝑀):
L[𝑋,𝑌 ] 𝛽 (𝑍 ) = 𝑖 [𝑋,𝑌 ] (𝑑𝛽) (𝑍 ) + 𝑑 (𝑖 [𝑋,𝑌 ]𝛽) (𝑍 ) = 𝑑𝛽 ( [𝑋,𝑌 ], 𝑍 ) + 𝑍 (𝑖 [𝑋,𝑌 ]𝛽)
= [𝑋,𝑌 ] (𝛽 (𝑍 )) − 𝑍 𝛽 ( [𝑋,𝑌 ]) − 𝛽 ( [[𝑋,𝑌 ], 𝑍 ]) + 𝑍 𝛽 ( [𝑋,𝑌 ])
= 𝑋 ((𝑌 𝛽 (𝑍 )) − 𝑌 (𝑋 𝛽 (𝑍 ))) + 𝛽 (( [[𝑌, 𝑍 ], 𝑋 ]) + 𝛽 ( [[𝑍), 𝑋 ], 𝑌 ])
= 𝑋 L𝑌 𝛽 (𝑍 ) + 𝛽 ( [𝑌, 𝑍 ]) − 𝑌 L𝑋 𝛽 (𝑍 ) + 𝛽 ( [𝑋,𝑍 ])
− 𝛽 ( [𝑋, [𝑌, 𝑍 ]]) + 𝛽 ( [𝑌, [𝑋,𝑍 ]])
= 𝑋 (L𝑌 𝛽 (𝑍 )) + L𝑋 𝛽 ( [𝑌, 𝑍 ]) − 𝑌 (L𝑋 𝛽 (𝑍 )) − L𝑌 𝛽 ( [𝑋,𝑍 ])
= L𝑋 (L𝑌 𝛽) (𝑍 ) − L𝑌 (L𝑋 𝛽) (𝑍 ). 
Corolario 2.41. Si 𝑋,𝑌 ∈ X(𝑀) y 𝜔 ∈ A•(𝑀), se verifica:
L𝑋 (L𝑌𝜔) − L𝑌 (L𝑋𝜔) = L[𝑋,𝑌 ] 𝜔.
Demostración. Otra consecuencia de la identidad de Cartan (2.40) es la ℝ-linealidad de
la correspondencia 𝑋 ↦→ L𝑋 𝛽. Por lo tanto, se puede suponer sin perder generalidad
que 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑀) para algún 𝑘. El caso 𝑘 = 0 es un resultado inmediato del Lema 2.34: si
𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀), entonces
L𝑋 (L𝑌 𝑓 ) − L𝑌 (L𝑋 𝑓 ) = 𝑋 (𝑌 𝑓 ) − 𝑌 (𝑋 𝑓 ) = [𝑋,𝑌 ] 𝑓 = L[𝑋,𝑌 ] 𝑓 .
El caso 𝑘 = 1 es la Proposición 2.40 anterior.
2-26
MA–870: Geometría Diferencial 2.6. Formas cerradas y exactas
Escríbase [L𝑋 ,L𝑌 ] := L𝑋 ◦ L𝑌 − L𝑌 ◦ L𝑋 . Si 𝛽 ∈ A1(𝑀) y 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑀), se obtiene
[L𝑋 ,L𝑌 ] (𝛽 ∧ 𝜔) = L𝑋 (L𝑌 𝛽 ∧ 𝜔 + 𝛽 ∧ L𝑌𝜔) − L𝑌 (L𝑋 𝛽 ∧ 𝜔 + 𝛽 ∧ L𝑋𝜔)
= L𝑋L𝑌 𝛽 ∧ 𝜔 + L𝑌 𝛽 ∧ L𝑋𝜔 + L𝑋 𝛽 ∧ L𝑌𝜔 + 𝛽 ∧ L𝑋L𝑌𝜔
− L𝑌L𝑋 𝛽 ∧ 𝜔 − L𝑋 𝛽 ∧ L𝑌𝜔 − L𝑌 𝛽 ∧ L𝑋𝜔 − 𝛽 ∧ L𝑌L𝑋𝜔
= L𝑋L𝑌 𝛽 ∧ 𝜔 − L𝑌L𝑋 𝛽 ∧ 𝜔 + 𝛽 ∧ L𝑋L𝑌𝜔 − 𝛽 ∧ L𝑌L𝑋𝜔
= L[𝑋,𝑌 ]𝛽 ∧ 𝜔 + 𝛽 ∧ [L𝑋 ,L𝑌 ] 𝜔.
Si [L𝑋 ,L𝑌 ] 𝜔 = L[𝑋,𝑌 ]𝜔 para 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑀), el despliegue anterior implica que
[L𝑋 ,L𝑌 ] (𝛽 ∧ 𝜔) = L[𝑋,𝑌 ]𝛽 ∧ 𝜔 + 𝛽 ∧ L[𝑋,𝑌 ]𝜔 = L[𝑋,𝑌 ] (𝛽 ∧ 𝜔).
Cada elemento de A𝑘+1(𝑀) es una suma finita de tales 𝛽 ∧ 𝜔 . El resultado sigue por
inducción sobre 𝑘. 
Este corolario dice que la correspondencia ℝ-lineal 𝑋 ↦→ L𝑋 , que lleva X(𝑀) en el
espacio vectorial Der+(A•(𝑀)) de derivaciones pares sobre formas diferenciales, es un
homomorfismo de álgebras de Lie. En efecto, el conmutador de dos derivaciones pares es
otra derivación par (véase la demostración de la Proposición 1.56), así que Der+(A•(𝑀))
es un álgebra de Lie cuyo corchete es el conmutador. Por lo tanto, se puede abreviar la
conclusión del Corolario 2.41 como sigue:
[L𝑋 ,L𝑌 ] = L + •[𝑋,𝑌 ] en Der (A (𝑀)), para todo 𝑋,𝑌 ∈ X(𝑀).
Hay una fórmula análoga en Der+(X(𝑀)):
L𝑋 (L𝑌𝑍 ) − L𝑌 (L𝑋𝑍 ) = L[𝑋,𝑌 ] 𝑍, para todo 𝑋,𝑌, 𝑍 ∈ X(𝑀).
En vista del Lema 2.39, esto no es otra cosa que una reformulación de la identidad de
Jacobi, ya notada en la fórmula (1.27b).
2.6. Formas cerradas y exactas
Definición 2.42. Sea 𝑀 una variedad diferencial. Una forma 𝜔 ∈ A•(𝑀) es cerrada si
𝑑𝜔 = 0. (En particular, si dim𝑀 = 𝑛, cualquier 𝑛-forma es cerrada.)
Se dice que 𝜔 ∈ A•(𝑀) es exacta si hay otra forma 𝜂 ∈ A•(𝑀) tal que 𝜔 = 𝑑𝜂.
Una forma exacta es también cerrada, ya que 𝑑 (𝑑𝜂) = 0 por el Teorema 2.27. ♦
2-27
MA–870: Geometría Diferencial 2.6. Formas cerradas y exactas
Ejemplo 2.43. En algunas variedades, hay formas cerradas que no son exactas. Considé-
rese la variedad bidimensional 𝑀 = ℝ2 \ {(0, 0)}, con la 1-forma
𝑦 𝑥
𝛼 := −
𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥 + 𝑥2 + 𝑑𝑦.𝑦2
Los coeficientes de 𝛼 son funciones singulares en el origen; no es posible extender 𝛼 a
una forma diferencial sobre(ℝ2. Un c)álculo directo (muestra )que 𝛼 es cerrada:
𝑑𝛼 = (𝜕 −𝑦 ∧ 𝜕 𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦𝜕𝑦 𝑥2 + 𝑦2 𝜕𝑥) 𝑥2 + 𝑦2
𝑥2 − 𝑦2 𝑦2 − 𝑥2
= (𝑥2 + 𝑦2)2 + ( 2 + 2)2 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 = 0.𝑥 𝑦
Si hubiera una 0-forma 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀) tal que 𝛼 = 𝑑 𝑓 = (𝜕𝑓 /𝜕𝑥) 𝑑𝑥 + (𝜕𝑓 /𝜕𝑦) 𝑑𝑦, sería
𝜕𝑓 /𝜕𝑦 = 𝑥/(𝑥2 + 𝑦2), así que 𝑓 (𝑥,𝑦) ≡ arc tg(𝑦/𝑥) + 𝑐 (𝑥), al menos en el semiplano
𝑥 > 0, para alguna función suave 𝑐 (𝑥). Al derivar esta relación con respecto a 𝑥 , se
obtiene 𝜕𝑓 /𝜕𝑥 = −𝑦/(𝑥2 + 𝑦2) + 𝑐′(𝑥), por lo cual 𝑐′ ≡ 0 y por ende 𝑐 es una constante.
La función 𝑓 (𝑥,𝑦) = arc tg(𝑦/𝑥) + 𝑐, definida inicialmente en el semiplano 𝑥 > 0,
puede extenderse al plano cortado ℝ2 \ { (𝑥, 0) : 𝑥 6 0 }, en el cual la igualdad 𝛼 = 𝑑 𝑓
sigue válida. Pero no es posible extender 𝑓 continuamente a ℝ2 \ {(0, 0)}; por ejemplo,
ĺım𝜀↓0 𝑓 (−1, 𝜀) = 𝑐 + 𝜋 pero ĺım𝜀↑0 𝑓 (−1, 𝜀) = 𝑐 − 𝜋 . Luego no hay 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀) alguna tal
que 𝛼 = 𝑑 𝑓 ; la forma cerrada 𝛼 no es exacta. ♦
La obstrucción a la exactitud de 𝛼 en el Ejemplo 2.43 es topológica: la variedad 𝑀
tiene un “agujero” en el origen deℝ2, y la función de arcotangente toma valores distintos
en los extremos de un circuito circular que encierra el agujero. Para poder afirmar que en
una determinada variedad cada forma cerrada es exacta, se debe imponer una condición
topológica que elimina tales agujeros.
Definición 2.44. Una parte 𝐴 ⊆ ℝ𝑛 es convexa si para cada par de puntos 𝑥,𝑦 ∈ 𝐴, el
conjunto 𝐴 incluye el segmento [𝑥,𝑦] := { (1 − 𝑡)𝑥 + 𝑡𝑦 : 0 6 𝑡 6 1 }.
Dícese que otra parte 𝐵 ⊆ ℝ𝑛 es estelar desde 𝑧 ∈ 𝐵 si para cada 𝑦 ∈ 𝐵 \ {𝑧}, el
conjunto 𝐵 incluye el segmento [𝑧,𝑦]. Por ejemplo, el plano cortado del Ejemplo 2.43 es
estelar desde 𝑧 = (1, 0); por otra parte, ℝ2 \ {(0, 0)} no es estelar, ya que cada segmento
[𝑥,−𝑥] atraviesa el agujero en el origen. Fíjese que 𝐴 es convexo si y solo si es estelar
desde cualquiera de sus puntos. ♦
Definición 2.45. Una variedad 𝑀 es contractible si hay un punto 𝑧 ∈ 𝑀 y una función
suave 𝐹 : [0, 1] ×𝑀 → 𝑀 tal que 𝐹 (0, 𝑝) ≡ 𝑧 y 𝐹 (1, 𝑝) = 𝑝 para todo 𝑝 ∈ 𝑀 .
2-28
MA–870: Geometría Diferencial 2.6. Formas cerradas y exactas
Al poner 𝑓𝑡 (𝑝) := 𝐹 (𝑡, 𝑝), se define una familia de funciones suaves 𝑓𝑡 : 𝑀 → 𝑀 , para
0 6 𝑡 6 1, tales que 𝑓1 = 1𝑀 mientras 𝑓0 = 𝑐𝑧 es la función constante cuya imagen es el
punto 𝑧. Dícese que 𝐹 es una homotopía (suave) entre las funciones 𝑐𝑧 e 1𝑀 .
Si un abierto 𝑈 ⊆ ℝ𝑛 es estelar desde 𝑧 ∈ 𝑈 , entonces 𝑈 es contractible, porque
𝐹 (𝑡, 𝑥) := (1 − 𝑡) 𝑧 + 𝑡𝑥 define una homotopía suave entre 𝑐𝑧 e 1𝑈 . ♦
Teorema 2.46 (Lema de Poincaré). Cada forma cerrada sobre ℝ𝑛 es exacta. En particular,
si 𝜔 ∈ A𝑘 (ℝ𝑛) cumple 𝑑𝜔 = 0, entonces existe 𝜂 ∈ A𝑘−1(ℝ𝑛) tal que 𝜔 = 𝑑𝜂.
Demostración. Las coo∑︁rdenadas cartesianas de ℝ
𝑛 son coordenadas locales para la sola
carta de ℝ𝑛. Cualquier 𝜔 ∈ A𝑘 (ℝ𝑛), no necesariamente cerrada, se escribe como
𝜔 = 𝑓 𝑑𝑥𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑘 con cada 𝑓 ∈ 𝐶∞(ℝ𝑛𝐼 𝐼 ).
|𝐼 |=𝑘
Para cada 𝐼 ⊆ {1, . . . , 𝑛} c∑︁on |𝐼 | = 𝑘, defínase una forma 𝜎𝐼 ∈ A𝑘−1(ℝ𝑛) por𝑘
𝜎 := (−1)𝑟−1𝑥𝑖𝑟 𝑑𝑥𝑖1𝐼 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑟 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑘 .
𝑟=1
La derivada exterior de cada sumando es 𝑑𝑥𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑘 , así que
𝑑𝜎𝐼 = 𝑘 𝑑𝑥
𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑘 .
Si 𝑘 ∈ {1, . . . , 𝑛}, defínase un operador∫ℝ-lineal 𝐸 : 𝐶∞𝑘−1 (ℝ𝑛) → 𝐶∞(ℝ𝑛) por1
𝐸𝑘−1 𝑓 (𝑥) := 𝑡𝑘−1𝑓 (𝑡𝑥) 𝑑𝑡 . (2.45)
0
Este es un promedio ponderado de la∫función 𝑓 a lo largo de(l seg)mento [0, 𝑥]. Se ve que
𝜕 1(𝐸𝑘−1 𝑓 ) ( )
𝜕𝑓 𝜕𝑓
𝑥 = 𝑡𝑘 (𝑡𝑥) 𝑑𝑡 = 𝐸𝑘 (𝑥).
𝜕𝑥 𝑗 0 𝜕𝑥
𝑗 𝜕𝑥 𝑗
Ahora se puede definir una forma di∑︁ferencial ℎ𝜔 ∈ A𝑘−1(ℝ𝑛) por la receta:
ℎ𝜔 := (𝐸𝑘−1 𝑓𝐼 ) 𝜎𝐼 . (2.46)
|𝐼 |=𝑘
Su derivada exterior∑︁es
𝑑 (ℎ𝜔) = (𝑑 (𝐸𝑘−1 𝑓𝐼 ) ∧ 𝜎𝐼 + (𝐸𝑘−1 𝑓𝐼 ) 𝑑𝜎𝐼|∑︁𝐼 |=𝑘 ∑︁𝑛 ( 𝜕𝑓 ) )
= 𝐼𝐸𝑘 𝑑𝑥
𝑗 ∧ 𝜎𝐼 + 𝑘 (𝐸 𝑖 𝑖𝑗 𝑘−1 𝑓𝐼 ) 𝑑𝑥 1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥 𝑘 ,
| | 𝜕𝑥𝐼 =𝑘 𝑗=1
2-29
MA–870: Geometría Diferencial 2.6. Formas cerradas y exactas
mientras (∑︁∑︁𝑛 )
ℎ( 𝜕𝑓𝐼𝑑𝜔) = ℎ 𝑑𝑥 𝑗 ∧ 𝑑𝑥𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑘
∑︁ 𝑗| |∑︁ 𝜕𝑥𝐼 =𝑘 𝑗=1𝑛 ( 𝜕𝑓 )𝐼 ( )= 𝐸 𝑥 𝑗 𝑑𝑥𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑘𝑘 − 𝑑𝑥 𝑗 ∧ 𝜎𝐼 ,
| | 𝜕𝑥
𝑗
𝐼 =𝑘 𝑗=1
Al sumar estas dos expres∑︁ion(es, se obtiene∑︁𝑛 ( ))
𝑑 (ℎ𝜔) + ℎ(𝑑𝜔) = ( 𝑗 𝜕𝑓𝐼𝑘 𝐸 𝑖− 1 𝑖𝑘 1 𝑓 ) + 𝑥 𝐸 𝑑𝑥 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥 𝑘𝐼 𝑘 . (2.47)
| | 𝜕𝑥
𝑗
𝐼 =𝑘 𝑗=1
Para 𝑓 ∈ 𝐶∞(ℝ𝑛)∑︁y 𝑘 ∈ {1(, . . . ,𝑛 𝜕𝑓 )𝑛}, se c∫alcu(la que1 ∑︁𝑛 )( 𝑗 𝜕𝑓𝑘 𝐸𝑘−1 𝑓 ) (𝑥) + 𝑥 𝐸𝑘 (𝑥) = ∫ 𝑘𝑡
𝑘−1𝑓 (𝑡𝑥) + 𝑡𝑘𝑥 𝑗 (𝑡𝑥) 𝑑𝑡
𝜕𝑥 𝑗 0 ( ) 𝜕𝑥
𝑗
𝑗=1 𝑗=1
1 𝑡=1𝑑
= 𝑡𝑘 𝑓 (𝑡𝑥) 𝑑𝑡 = 𝑡𝑘 𝑓 (𝑡𝑥) = 𝑓 (𝑥).
0 𝑑𝑡 𝑡=0
Al enchufar esta evaluación en (2.47), se obtiene la relación fundamental:
𝑑 (ℎ𝜔) + ℎ(𝑑𝜔) = 𝜔. (2.48)
La igualdad (2.48) no requiere que 𝜔 sea cerrada, Ahora bien, en el caso 𝑑𝜔 = 0, esta
ecuación se reduce a 𝑑 (ℎ𝜔) = 𝜔 , así que basta tomar 𝜂 := ℎ𝜔 . 
Corolario 2.47. Si 𝑈 ⊆ ℝ𝑛 es un abierto estelar, cada forma cerrada en A•(𝑈 ) es exacta.
Demostración. El resultado es una consecuencia inmediata de (2.48), una vez que se
construye un operador lineal que la cumple, ℎ : A•(𝑈 ) → A•(𝑈 ), de grado (−1).
Si 𝑈 ⊆ ℝ𝑛 es estelar desde 0, los integrandos en (2.45) para 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑈 ) están
bien definidos, las integrales 𝐸𝑘−1 𝑓 existen, y la receta (2.46) define ℎ𝜔 ∈ A𝑘−1(𝑈 ). La
demostración anterior muestra que 𝑑 (ℎ𝜔) + ℎ(𝑑𝜔) = 𝜔 para toda 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑈 ).
Más generalmente, si𝑈 ⊆ ℝ𝑛 es estelar desde 𝑧, sea 𝜏 (𝑥) := 𝑥 − 𝑧 la traslación de ℝ𝑛
que lleva 𝑧 al origen. Sea 𝑉 := { 𝑥 − 𝑧 : 𝑥 ∈ 𝑈 }; fíjese que 𝑉 es estelar desde 0. Si
𝜔 ∈ A•(𝑈 ), tómese 𝜃 := (𝜏−1)∗𝜔 ∈ A•(𝑉 ), así que 𝜔 = 𝜏∗𝜃 . Entonces
0 = 𝑑𝜔 = 𝜏∗(𝑑𝜃 ) ⇐⇒ 𝑑𝜃 = 0 ⇐⇒ 𝜃 = 𝑑𝜁 para algún 𝜁 ∈ A𝑘−1(𝑉 ).
Por lo tanto, 𝑑𝜔 = 0 si y solo si 𝜔 = 𝑑𝜂 para algún 𝜂 := 𝜏∗𝜁 ∈ A𝑘−1(𝑈 ). 
2-30
MA–870: Geometría Diferencial 2.6. Formas cerradas y exactas
La esencia de la demostración del Lema de Poincaré es la construcción de las apli-
caciones ℎ de (2.46) – una para cada 𝑘 = 1, 2, . . . , 𝑛 – que dan lugar a (2.48). Dada una
homotopía suave 𝐹 : [0, 1] ×𝑀 → 𝑀 , se puede modificar la demostración para obtener
una receta para ℎ tal que
𝑑 (ℎ𝜔) + ℎ(𝑑𝜔) = 𝑓 ∗1𝜔 − 𝑓 ∗0𝜔. (2.49)
Si 𝑓0 es una función constante, vale 𝑓 ∗0𝜔 = 0; y si 𝑓1 = 1𝑀 , entonces 𝑓
∗
1𝜔 = 𝜔 . Por lo
tanto, el Lema de Poincaré es válido para toda variedad contractible.
I Considérese el campo vectorial de Euler:
𝜕
𝑍 := 𝑥 𝑗 ∈ X(ℝ𝑛). (2.50)
𝜕𝑥 𝑗
El flujo de 𝑍 es un grupo uniparamétrico { 𝜌𝑡 : 𝑡 ∈ ℝ } de difeomorfismos de ℝ𝑛, que
satisface la ecuación de Euler:
𝑑 (𝑓 ◦ 𝜌𝑡 ) = 𝑍 (𝑓 ◦ 𝜌𝑡 ); 𝜌0 = 1ℝ𝑛 .
𝑑𝑡
Su solución única es
𝜌𝑡 (𝑥) ≡ 𝑒𝑡𝑥 . (2.51)
Para(∫𝑠 > 0, la dilatación 𝜌log 𝑠 : 𝑥 →↦ 𝑠𝑥 cumple 𝑓 (𝑠𝑥) ≡ 𝜌∗log 𝑓 (𝑥). Entonces𝑠1 ) ∑︁ ∫ 1 ( )
𝑖 𝜌∗ 𝜔 𝑑𝑠 = 𝑓 (𝑠𝑥) 𝑖 𝜌∗ 𝑖1 𝑖𝑘𝑍 log 𝑠∫ ( 𝐼 𝑍 log
(𝑑𝑥 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥 ) 𝑑𝑠
𝑠
0 ∑︁ |𝐼 |=∑︁𝑘 01 𝑘 )
= (∫ 𝑓𝐼 (𝑠𝑥) (−1)
𝑟−1𝑥𝑖𝑟) 𝑑 (𝑠𝑥)
𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑑›(𝑠𝑥)𝑖𝑟 ∧ · · · ∧ 𝑑 (𝑠𝑥)𝑖𝑘 𝑑𝑠
|∑︁𝐼 |=𝑘 0 𝑟=11
= 𝑠𝑘−1𝑓𝐼 (𝑠𝑥) 𝑑𝑠 𝜎𝐼 = ℎ𝜔.
|𝐼 |=𝑘 0
Nótese, de paso, que las formas 𝜎𝐼 introducidas en la demostración de∫l Teorema 2.46obedecen 𝜎 = 𝑖 (𝑑𝑥𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑖𝑘𝐼 𝑍 ).
El∫resultado del cálculo ante∫rior puede abreviarse como 1ℎ = 𝑖 ∗𝑍 ◦ 0 𝜌log 𝑑𝑠. Con𝑠
: 1Ω = ∗0 𝜌log 𝜔 𝑑𝑠, y luego
1
𝑑Ω = 0 𝜌
∗
log (𝑑𝜔) 𝑑𝑠, la identidad de Cartan muestra que𝑠 𝑠
𝑑 (ℎ𝜔) + ℎ(𝑑𝜔) = 𝑑 (𝑖𝑍Ω) + 𝑖𝑍 (𝑑Ω) = L𝑍Ω.
2-31
MA–870: Geometría Diferencial 2.7. Suplemento: cálculo de Cartan
Por otro lado: ∫ 1 ∫ 1 
∫ 𝑑

L𝑍Ω = L𝑍 (𝜌
∗ 
log 𝜔) 𝑑𝑠 =𝑠  ∫(𝜌∗ ∗𝑡 𝜌log 𝜔) 𝑑𝑠0 0 𝑑𝑡 𝑠𝑡=01 𝑑 1
= ∫ 𝑟  (𝜌∗ ∗log 𝜌log 𝜔) 𝑑𝑠 =
𝑑
𝑟  (𝜌∗log 𝜔) 𝑑𝑠𝑑𝑟 𝑟 𝑠 𝑑𝑟 𝑟𝑠0 𝑟=1  0 𝑟=11 𝑢=1𝑑= (𝜌∗ 𝜔) 𝑑𝑢 = 𝜌∗log 𝜔 = 𝜔,𝑑𝑢 𝑢 log𝑢0 𝑢=0
porque ĺım𝑢↓0 𝜌log𝑢 (𝑥) = 0 por (2.51∫). Se concluye que 𝑑 (ℎ𝜔) + ℎ(𝑑𝜔) = 𝜔 .
El cálculo anterior muestra que 1 𝜌∗0 log 𝑑𝑠 es la transformación inversa de la derivada𝑠
de Lie L𝑍 . Como 𝑍 genera las dilataciones (2.51), este inverso es un operador integral que
toma un promedio de las dilataciones por factores de escala entre 0 y 1; luego, requiere
que la variedad sea un conjunto estelar donde tales dilataciones pueden actuar.
2.7. Suplemento: cálculo de Cartan
Lo que sigue es una transcripción de la Tabla 2.4-1 del libro: Ralph Abraham & Jerrold
Marsden, Foundations of Mechanics, Benjamin/Cummings, Reading, MA, 1978. Se trata
de un resumen ejecutivo del llamado Cálculo de Cartan.
En esta tabla,𝑀 es una variedad diferencial; 𝑋,𝑌, 𝑍 ∈ X(𝑀) son campos vectoriales;
y 𝜔,𝜂 ∈ A•(𝑀) son formas diferenciales.
1. Los campos vectoriales sobre 𝑀 con el corchete [𝑋,𝑌 ] forman un álgebra de Lie;
esto es, [𝑋,𝑌 ] es ℝ-bilineal, antisimétrica, y cumple la identidad de Jacobi:
[[𝑋,𝑌 ], 𝑍 ] + [[𝑍,𝑋 ], 𝑌 ] + [[𝑌, 𝑍 ], 𝑋 ] = 0.
2. Para difeomorfismos 𝜏 y 𝜎 , valen 𝜏∗ [𝑋,𝑌 ] = [𝜏∗𝑋, 𝜏∗𝑌 ] y (𝜏 ◦ 𝜎)∗𝑋 = 𝜏∗𝜎∗𝑋 .
3. Las formas A•(𝑀) son un álgebra asociativa real con ∧ como su multiplicación.
Además, 𝜔 ∧ 𝜂 = (−1)𝑘𝑙𝜂 ∧ 𝜔 para 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑀), 𝜂 ∈ A𝑙 (𝑀).
4. Si 𝜏 y 𝜎 son aplicaciones suaves, valen 𝜏∗(𝜔 ∧ 𝜂) = 𝜏∗𝜔 ∧ 𝜏∗𝜂 y (𝜏 ◦ 𝜎)∗𝜔 = 𝜎∗𝜏∗𝜔 .
5. La derivación exterior 𝑑 es ℝ-lineal sobre formas y se cumple:
𝑑 (𝑑𝜔) = 0, 𝑑 (𝜔 ∧ 𝜂) = 𝑑𝜔 ∧ 𝜂 + (−1)𝑘𝜔 ∧ 𝑑𝜂 para 𝜔 una 𝑘-forma.
2-32
MA–870: Geometría Diferencial 2.7. Suplemento: cálculo de Cartan
6. Para 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑀) y camp∑︁os vectoriales 𝑋0, . . . , 𝑋𝑘 , vale:𝑘
𝑑𝜔 (𝑋0, . . . , 𝑋 𝑗𝑘) = (∑︁−1) 𝑋 𝑗 (𝜔 (𝑋0, . . . , 𝑋 𝑗 , . . . , 𝑋𝑘))𝑗=0
+ (−1)𝑖+ 𝑗𝜔 ( [𝑋𝑖, 𝑋 𝑗 ], 𝑋0, . . . , 𝑋𝑖, . . . , 𝑋 𝑗 , . . . , 𝑋𝑘)).
𝑖< 𝑗
7. Para 𝜏 una aplicación suave, vale 𝜏∗(𝑑𝜔) = 𝑑 (𝜏∗𝜔).
8. (Lema de Poincaré): si 𝑑𝜔 = 0, entonces 𝜔 es localmente exacta; esto es, hay un
vecindario 𝑈 de cada punto en el cual 𝜔 = 𝑑𝜂 para algún 𝜂.
9. 𝑖𝑋𝜔 esℝ-bilineal en𝑋,𝜔; y para 𝑓 : 𝑀 → ℝ, vale 𝑖 𝑓 𝑋𝜔 = 𝑓 𝑖𝑋𝜔 = 𝑖𝑋 (𝑓 𝜔). Además,
vale 𝑖𝑋 𝑖𝑋𝜔 = 0 y
𝑖𝑋 (𝜔 ∧ 𝜂) = 𝑖𝑋𝜔 ∧ 𝜂 + (−1)𝑘𝜔 ∧ 𝑖𝑋𝜂.
10. Para un difeomorfismo 𝜏 : 𝑀 → 𝑁 , vale⁹ 𝜏∗(𝑖𝑋𝜔) = 𝑖𝜏∗ (𝜏∗𝑋 𝜔).
11. L𝑋𝜔 = 𝑑𝑖𝑋𝜔 + 𝑖𝑋𝑑𝜔 .
12. L𝑥𝜔 es ℝ-bilineal en 𝑋,𝜔; y vale L𝑋 (𝜔 ∧ 𝜂) = L𝑋𝜔 ∧ 𝜂 + 𝜔 ∧ L𝑋𝜂.
13. Para un difeomorfismo 𝜏 : 𝑀 → 𝑁 , vale∑𝜏∗(L𝑋𝜔) = L ∗ ∗𝜏 𝑋 (𝜏 𝜔).
14. L𝑋𝜔 (𝑋1, . . . , 𝑋𝑘) = 𝑋 (𝜔 (𝑋1, . . . , 𝑋 )) − 𝑘𝑘 𝑗=1𝜔 (𝑋1, . . . , [𝑋,𝑋 𝑗 ], . . . , 𝑋𝑘)).
15. Localmente, vale ∑︁𝑘
(L𝑋𝜔)𝑝 (𝑣1, . . . , 𝑣𝑘) = 𝐷𝜔𝑝 · 𝑋𝑝 (𝑣1, . . . , 𝑣𝑘) + 𝜔𝑝 (𝑣1, . . . , 𝐷𝑋𝑝 · 𝑣 𝑗 , . . . , 𝑣𝑘).
𝑗=1
16. Las siguientes identidades son válidas:
L𝑓 𝑋𝜔 = 𝑓 L𝑋𝜔 + 𝑑 𝑓 ∧ 𝑖𝑋𝜔,
L[𝑋,𝑌 ]𝜔 = L𝑋L𝑌𝜔 − L𝑌L𝑋𝜔,
𝑖 [𝑋,𝑌 ]𝜔 = L𝑋 𝑖𝑌𝜔 − 𝑖𝑌L𝑋𝜔,
L𝑋 (𝑑𝜔) = 𝑑 (L𝑋𝜔),
L𝑋 𝑖𝑋𝜔 = 𝑖𝑋L𝑋𝜔.
9Aquí se denota 𝜏∗𝑋 ≡ (𝜏−1)∗𝑋 .
2-33
MA–870: Geometría Diferencial 2.8. Ejercicios sobre formas diferenciales
2.8. Ejercicios sobre formas diferenciales
Ejercicio 2.1. Sea 𝐸 un espacioℝ-vectorial con dimℝ 𝐸 = 𝑛 y sea 𝜎 : 𝐸×𝐸 → ℝ una forma
bilineal alternante. Demostrar que hay 𝑔1, . . . , 𝑔2𝑟 ∈ 𝐸∗, linealmente independientes, tales
que
𝜎 = 𝑔1 ∧ 𝑔2 + 𝑔3 ∧ 𝑔4 + · · · + 𝑔2𝑟−1 ∧ 𝑔2𝑟 .
È Indicación: Si 𝜎 ≠ 0, hay vectores 𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝐸 tales que 𝜎 (𝑣1, 𝑣2) ≠ 0. Demostrar que hay
𝑔1, 𝑔
∗
2 ∈ 𝐸 con 𝑔1(𝑣1) = 𝑔2(𝑣2) = 1, 𝑔1(𝑣2) = 𝑔2(𝑣1) = 0.É
Calcular 𝜎∧𝑟 := 𝜎 ∧ · · · ∧ 𝜎 (𝑟 veces) y verificar que 𝜎∧𝑟 ≠ 0, 𝜎∧(𝑟+1) = 0.
Ejercicio 2.2. La diferencial de una función suave 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀) se define como la evaluación
𝑑 𝑓 : 𝑋 ↦→ 𝑋 𝑓 para todo campo vectorial 𝑋 ∈ X(𝑀). Comprobar que 𝑑 𝑓 es una 1-forma
sobre 𝑀 , al demostrar que 𝑑 𝑓 : X(𝑀) → 𝐶∞(𝑀) es 𝐶∞(𝑀)-lineal.
Ejercicio 2.3. (a) Si 𝜔 ∈ A2𝑟+1(𝑀) tiene grado impar, mostrar que 𝜔 ∧ 𝜔 = 0.
(b) Si 𝜂 = 𝑑𝑥1 ∧ 𝑑𝑥2 − 𝑑𝑥2 ∧ 𝑑𝑥3 + 𝑑𝑥3 ∧ 𝑑𝑥4 ∈ A2(ℝ4), calcular 𝜂 ∧ 𝜂.
Ejercicio 2.4. Si 𝑀 = ℝ2𝑚, demostrar que la 2-forma
𝜔 := 𝑑𝑥1 ∧ 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑥3 ∧ 𝑑𝑥4 + · · · + 𝑑𝑥2𝑚−1 ∧ 𝑑𝑥2𝑚
es no degenerada: esto es, si 𝜔 (𝑋,𝑌 ) = 0 para todo 𝑌 ∈ X(ℝ2𝑚), entonces 𝑋 = 0.
Calcular la 2𝑚-forma 𝜔∧𝑚 := 𝜔 ∧ · · · ∧ 𝜔 (𝑚 veces) en las coordenadas 𝑥1, . . . , 𝑥2𝑚.
Ejercicio 2.5. Una matriz 𝐴 := [𝑎𝑖𝑟 ] con entradas en 𝐶∞(ℝ𝑛) determina un juego de
1-formas 𝛼𝑖 := 𝑎𝑖𝑟 𝑑𝑥𝑟 , para 𝑖 = 1, . . . , 𝑛∑︁. Si 𝐼 := {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘} ⊂ {1, . . . , 𝑛}, listado en ordencreciente, demostrar que
𝛼𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝛼𝑖𝑘 = 𝑚 𝑑𝑥 𝑗1𝐼 𝐽 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥 𝑗𝑘 ,|𝐽 |=𝑘
donde 𝑚𝐼 𝐽 = det𝐴𝐼 𝐽 es el menor de la submatriz 𝑘 × 𝑘 de 𝐴 con filas 𝐼 y columnas 𝐽 .
Concluir que
𝛼1 ∧ · · · ∧ 𝛼𝑛 = (det𝐴) 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛 .
Ejercicio 2.6. En la esfera 𝕊𝑛−1, las cartas locales (𝑉 ±,𝜓±) del Ejercicio 1.2 determinan
𝑘 𝑘
coordenadas locales (𝑥1, .∑︁. . , 𝑥𝑘, . . . , 𝑥𝑛). La fórmula siguiente:𝑛
𝜎 := (−1) 𝑗−1𝑥 𝑗 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥 𝑗 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛,
𝑗=1
determina una forma diferencial 𝜎 ∈ A𝑛−1(𝕊𝑛−1) en las coordenadas cartesianas de ℝ𝑛.
Calcular la expresión local de 𝜎 en cada 𝑉 ± y comprobar que 𝜎𝑞 ≠ 0 para 𝑞 ∈ 𝕊𝑛−1.𝑘
2-34
MA–870: Geometría Diferencial 2.8. Ejercicios sobre formas diferenciales
Ejercicio 2.7. Si 𝑋,𝑌 ∈ X(𝑀), demostrar que 𝑖𝑋 ◦ 𝑖𝑌 = −𝑖𝑌 ◦ 𝑖𝑋 como operadores sobre
A•(𝑀). ÈEn particular, esto significa que 𝑖𝑋 ◦ 𝑖𝑋 = 0.É
Ejercicio 2.8. Si 𝜏 : 𝑀 → 𝑁 y 𝜎 : 𝑁 → 𝑅 son aplicaciones suaves entre variedades
diferenciales, demostrar que 𝜏∗(𝜎∗𝜂) = (𝜎 ◦ 𝜏)∗𝜂 para todo 𝜂 ∈ A•(𝑅).
Ejercicio 2.9. Si 𝜂 = 𝑔𝑑𝑥1 ∧𝑑𝑥2 ∧ · · · ∧𝑑𝑥𝑛 en A𝑛 (ℝ𝑛) y si 𝜏 : ℝ𝑛 → ℝ𝑛 es un difeomor-
fismo con componentes 𝜏 = (𝜏1, . . . , 𝜏𝑛[), dem] ostrar que
𝜕𝜏𝑖
𝜏∗𝜂 = (𝑔 ◦ 𝜏) det 𝑑𝑥1 ∧ 𝑑𝑥2 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛 .
𝜕𝑥 𝑗
Ejercicio 2.10. Si 𝐹®: ℝ3 → ℝ3 y 𝑔 : ℝ3 → ℝ son suaves, defínase tres formas diferen-
ciales 𝛼 ® ∈ A1(ℝ3), 𝛽 2 3 3 3® ∈ A (ℝ ), 𝛾𝑔 ∈ A (ℝ ) por:𝐹 𝐹
𝛼 := 𝐹 1® 𝑑𝑥 + 𝐹 2 𝑑𝑦 + 𝐹 3 𝑑𝑧,𝐹
𝛽 := 𝐹 1 𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧 + 𝐹 2 𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑥 + 𝐹 3® 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦,𝐹
𝛾𝑔 := 𝑔𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧.
Con las notaciones usuales ∇® 𝑓 ≡ grad 𝑓 , ∇® × 𝐹® ≡ rot 𝐹®, ∇® · 𝐹® ≡ div 𝐹 , verificar que
𝛼grad 𝑓 = 𝑑 𝑓 , 𝛽rot ® = 𝑑𝛼 ® , 𝛾div ® = 𝑑𝛽 .𝐹 𝐹 𝐹 𝐹®
Comprobar que las identidades conocidas ∇® × ∇® 𝑓 = 0 y ∇® · (∇® × 𝐹®) = 0 son casos
particulares de la nilpotencia 𝑑2 = 0 de la derivada exterior.
Ejercicio 2.11. Si 𝛽 ∈ A2(𝑀), verificar la fórmula:
𝑑𝛽 (𝑋,𝑌, 𝑍 ) = 𝑋 (𝛽 (𝑌, 𝑍 )) + 𝑌 (𝛽 (𝑍,𝑋 )) + 𝑍 (𝛽 (𝑋,𝑌 ))
− 𝛽 ( [𝑋,𝑌 ], 𝑍 ) − 𝛽 ( [𝑌, 𝑍 ], 𝑋 ) − 𝛽 ( [𝑍,𝑋 ], 𝑌 ).
È Indicación: comprobar que el lado derecho es trilineal y alternante en (𝑋,𝑌, 𝑍 ); y que
la sustitución 𝑋 ↦→ 𝑓 𝑋 multiplica el lado derecho por 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀). Concluir que entonces
basta verificar la fórmula dada en una carta local con campos vectoriales básicos.É
Ejercicio 2.12. Si 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑀), verificar la fórmula algebraica general para la derivada
exterior: ∑︁𝑘+1
𝑑𝜔 (𝑋1, . . . , 𝑋𝑘+1) = (∑︁−1) 𝑗−1𝑋 𝑗 (𝜔 (𝑋1, . . . , 𝑋 𝑗 , . . . , 𝑋𝑘+1))𝑗=1
+ (−1)𝑖+ 𝑗𝜔 ( [𝑋𝑖, 𝑋 𝑗 ], 𝑋1, . . . , 𝑋𝑖, . . . , 𝑋 𝑗 , . . . , 𝑋𝑘+1)) .
𝑖< 𝑗
2-35
MA–870: Geometría Diferencial 2.8. Ejercicios sobre formas diferenciales
Ejercicio 2.13. Si 𝛼 ∈ A1(𝑀) y si 𝑋,𝑌 ∈ X(𝑀), comprobar la fórmula siguiente:
L𝑋𝛼 (𝑌 ) = 𝑋 𝛼 (𝑌 ) − 𝛼 ( [𝑋,𝑌 ]) .
Ejercicio 2.14. Verificar esta fórmula algebraica general para la derivada de Lie: para
todo 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑀), 𝑋 ∈ X(𝑀), se cumple ∑︁𝑘
L𝑋𝜔 (𝑋1, . . . , 𝑋𝑘) = 𝑋 (𝜔 (𝑋1, . . . , 𝑋𝑘)) − 𝜔 (𝑋1, . . . , [𝑋,𝑋 𝑗 ], . . . , 𝑋𝑘)) .
𝑗=1
Ejercicio 2.15. Las fórmulas de los Ejercicios 2.12 y 2.14 pueden considerarse como unas
definiciones alternativas de las derivadas exterior y de Lie. Con base en estas fórmulas
únicamente, comprobar las identidades algebraicas:
𝑑 (𝑑𝜔) = 0 ; L𝑋 = 𝑑 ◦ 𝑖𝑋 + 𝑖𝑋 ◦ 𝑑 ; L𝑋 ◦ L𝑌 − L𝑌 ◦ L𝑋 = L[𝑋,𝑌 ] .
Ejercicio 2.16. Si 𝜔 ∈ A•(𝑀), 𝑋 ∈ X(𝑀), 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀), comprobar las fórmulas:
𝑖 𝑓 𝑋𝜔 = 𝑓 𝑖𝑋𝜔,
L𝑓 𝑋𝜔 = 𝑓 L𝑋𝜔 + 𝑑 𝑓 ∧ 𝑖𝑋𝜔.
È Indicación: usar inducción sobre el grado de 𝜔 .É
Ejercicio 2.17. Si 𝜏 : 𝑀 → 𝑁 es un difeomorfismo, si 𝑋 ∈ X(𝑀) y si 𝜔 ∈ A•(𝑁 ),
demostrar las identidades:
𝑖𝑋 (𝜏∗𝜔) = 𝜏∗(𝑖𝜏∗𝑋𝜔) y L𝑋 (𝜏∗𝜔) = 𝜏∗(L𝜏∗𝑋𝜔).
Ejercicio 2.18. Si 𝜂 = 𝑓 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛 en A𝑛 (ℝ𝑛), verificar la fórmula:
∑︁ L𝑋𝜂 = (𝑋 𝑓 + 𝑓 div𝑋 ) 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛,𝑛 𝜕𝑔 𝑗 𝜕
donde div𝑋 := es la divergencia del campo vectorial 𝑋 = 𝑔 𝑗 ∈ X(ℝ𝑛).
𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑗
𝑗=1
Ejercicio 2.19. Si 𝜔 ∈ A•(𝑀) y si 𝑋,𝑌 ∈ X(𝑀), verificar la fórmula:
𝑖 [𝑋,𝑌 ]𝜔 = L𝑋 (𝑖𝑌𝜔) − 𝑖𝑌 (L𝑋𝜔).
Concluir que L𝑋 (𝑖𝑋𝜔) = 𝑖𝑋 (L𝑋𝜔).
𝜕
Ejercicio 2.20. Si 𝑋 = 𝑎 𝑗 y 𝛼 = 𝑏𝑘 𝑑𝑥𝑘 en el dominio de una carta local de 𝑀 ,
𝜕𝑥 𝑗
comprobar que en ese dominio L𝑋 tie(ne obedece la fó) rmula local:
𝑗 𝜕𝑏𝑘 + 𝜕𝑎
𝑗
L 𝑘𝑋𝛼 = 𝑎 𝑏 𝑗 𝑑𝑥 .
𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥𝑘
2-36
MA–870: Geometría Diferencial 2.8. Ejercicios sobre formas diferenciales
Ejercicio 2.21. Si𝐺 es un grupo de Lie y g = 𝑇1𝐺 su álgebra de Lie. Una forma diferencial
𝜂 ∈ A•(𝐺) se llama invariante (a izquierda) si 𝜆∗𝑔𝜂 = 𝜂 para todo 𝑔 ∈ 𝐺; en cuyo caso, 𝜂
está determinada por el elemento 𝜂1 ∈ Λ•(𝑇 ∗1𝐺). Demostrar que 𝛼 ∈ A1(𝐺) es invariante
si y solo si, para todo 𝑋 ∈ g, la función 𝛼 (𝑋 ) es constante1⁰ con valor 𝛼1(𝑋 ).
Concluir que 𝑑𝛼 es una 2-forma invariante, que cumple la relación:
𝑑𝛼 (𝑋,𝑌 ) = −𝛼1( [𝑋,𝑌 ]).
Ejercicio 2.22. Si {𝑋1, . . . , 𝑋𝑛} es una base vectorial para el álgebra de Lie g, el corchete
de g está determinado por las combinaciones lineales:
[𝑋𝑖, 𝑋𝑘] = 𝑐𝑘𝑖 𝑗 𝑋𝑘
cuyas coeficientes 𝑐𝑘𝑖 𝑗 (para 𝑖, 𝑗, 𝑘 = 1, . . . , 𝑛) son las constantes de estructura de g. Se
identifica el espacio vectorial de 1-formas invariantes con el espacio ℝ-vectorial dual
g∗ := 𝑇 ∗ 11𝐺 . Si 𝛼 , . . . , 𝛼
𝑛 son las 1-formas invariantes tales que {(𝛼1)1, . . . , (𝛼𝑛)1} es la
base dual a {𝑋1, . . . , 𝑋𝑛}, comprobar las ecuaciones de Maurer y Cartan:
𝑑𝛼𝑘 = −12 𝑐
𝑘
𝑖 𝑗 𝛼
𝑖 ∧ 𝛼 𝑗 .
Ejercicio 2.23. Defínase unamatriz de 1-formas sobreGL(𝑚,ℝ) por la receta Ω := 𝑔−1 𝑑𝑔,
donde 𝑔 = [𝑔𝑖𝑗 ] ∈ GL(𝑚,ℝ). Verificar que las entradas Ω𝑖𝑗 := (𝑔−1)𝑖 𝑑𝑔𝑘𝑗 de esta matriz𝑘
son 1-formas invariantes sobre GL(𝑚,ℝ).
Comprobar que 𝑑 (𝑔−1) = −𝑔−1 𝑑𝑔𝑔−1 para 𝑔 ∈ GL(𝑚,ℝ) y obtener con esta fórmula
una expresión matricial para 𝑑Ω. Cómo se expresan las ecuaciones de Maurer y Cartan
(del Ejercicio 2.22) para este grupo de Lie?
Ejercicio 2.24. Una forma simpléctica sobre𝑀 es una 2-forma cerrada no degenerada:11
𝜔 ∈ A2(𝑀), 𝑑𝜔 = 0; y 𝜔 (𝑋,𝑌 ) = 0 para todo 𝑌 ∈ X(𝑀) =⇒ 𝑋 = 0.
Demostrar que 𝑋 ↔ 𝑖𝑋𝜔 es una biyección𝐶∞(𝑀)-lineal entre los𝐶∞(𝑀)-módulos X(𝑀)
y A1(𝑀).
10Este 𝑋 es el campo vectorial invariante tal que 𝑋1 = 𝑋 .
11Si 𝑝 ∈ 𝑀 , 𝜔𝑝 es una forma bilineal alternada no degenerada sobre 𝑇𝑝𝑀 , cuya matriz es antisimétrica
e invertible; por lo tanto, dim𝑀 = dimℝ𝑇𝑝𝑀 es necesariamente par.
2-37
MA–870: Geometría Diferencial 2.8. Ejercicios sobre formas diferenciales
Ejercicio 2.25. Si dim𝑀 es par y𝜔 ∈ A2(𝑀) es una forma simpléctica, dícese que (𝑀,𝜔)
es una variedad simpléctica.
Denotando por (𝑞1, . . . , 𝑞𝑛) las coordenadas cartesianas de ℝ𝑛, se suele escribir
(𝑞1, . . . , 𝑞𝑛;𝑝 , . . . , 𝑝 ) para denotar las coordenadas cartesianas de 𝑇 ∗ℝ𝑛  ℝ2𝑛1 𝑛 . Al
definir
𝜔 := 𝑑𝑞 𝑗 ∧ 𝑑𝑝 𝑗 ∈ A2(𝑇 ∗ℝ𝑛),
comprobar que (𝑇 ∗ℝ𝑛, 𝜔) es una variedad simpléctica.12
Ejercicio 2.26. En una variedad simpléctica (𝑀,𝜔), un campo 𝑋 ∈ X(𝑀) se llama un
campo vectorial simpléctico si L𝑋𝜔 = 0. Si 𝑋,𝑌 son dos campos vectoriales simplécticos,
demostrar que 𝑖 [𝑋,𝑌 ]𝜔 = 𝑑 𝑓 donde 𝑓 := 𝜔 (𝑌,𝑋 ). È Indicación: usar el Ejercicio 2.19.É
Ejercicio 2.27. Dada una variedad simpléctica (𝑀,𝜔), escríbase𝑋 ♭ := 𝑖𝑋𝜔 ∈ A1(𝑀) para
cualquier 𝑋 ∈ X(𝑀). La biyección 𝑋 →↦ 𝑋 ♭ dada por el Ejercicio 2.24 tiene una biyección
inversa 𝛼 ↦→ 𝛼 ♯ : A1(𝑀) → X(𝑀), determinada por la identidad 𝜔 (𝛼 ♯, 𝑌 ) = 𝛼 (𝑌 ).
Si 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀), el campo vectorial 𝑋 := (𝑑 𝑓 )♯𝑓 ∈ X(𝑀) se llama el campo vectorial
hamiltoniano asociado a la función 𝑓 ; se ve que 𝑖𝑋 𝜔 = 𝑑 𝑓 .𝑓
(a) Demostrar que L𝑋 𝜔 = 0 (o sea, 𝑋 𝑓 es un campo simpléctico); concluir que 𝜔 es𝑓
invariante bajo el flujo del campo hamiltoniano 𝑋 𝑓 .
(b) Si 𝑌 ∈ X(𝑀) es un campo vectorial simpléctico, demostrar que
𝑌 𝑓 = 𝜔 (𝑋 𝑓 , 𝑌 ) y además [𝑌,𝑋 𝑓 ] = 𝑋𝑌 𝑓 .
Ejercicio 2.28. Verificar que el campo vectorial hamiltoniano 𝑋 𝑓 de 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑇 ∗ℝ𝑛) está
dado por
𝜕𝑓 𝜕 − 𝜕𝑓 𝜕𝑋 𝑓 =
𝜕𝑝 𝜕𝑞 𝑗 𝜕𝑞 𝑗𝑗 𝜕𝑝 𝑗
con la notación del Ejercicio 2.25. ÈNótese que
𝜕𝑓 𝜕𝑔 𝜕𝑓 𝜕𝑔
𝑋 𝑓𝑔 = − .
𝜕𝑞 𝑗 𝜕𝑝 𝑗 𝜕𝑝 𝑗 𝜕𝑞
𝑗
El lado derecho de esta fórmula clásica se llama el corchete de Poisson {𝑓 , 𝑔} de las
funciones 𝑓 , 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑇 ∗ℝ𝑛).É
12Un teorema de Darboux asegura cualquier variedad simpléctica tiene un atlas para el cual 𝜔 posee
esta misma expresión en cada carta local. Si 𝑄 es una variedad diferencial cualquiera, el espacio total
𝑀 = 𝑇 ∗𝑄 de su fibrado cotangente es una variedad simpléctica.
2-38
MA–870: Geometría Diferencial 2.8. Ejercicios sobre formas diferenciales
Ejercicio 2.29. En una variedad simpléctica (𝑀,𝜔) en general, el corchete de Poisson
es la forma ℝ-bilineal sobre 𝐶∞(𝑀) dada por {𝑓 , 𝑔} := 𝑋 𝑓𝑔. Comprobar las siguientes
identidades:
{𝑓 , 𝑔} = 𝜔 (𝑋𝑔, 𝑋 𝑓 ) y además [𝑋 𝑓 , 𝑋𝑔] = 𝑋{𝑓 ,𝑔} .
Ejercicio 2.30. Si (𝑀,𝜔) es una variedad simpléctica y si 𝑓 , 𝑔, ℎ ∈ 𝐶∞(𝑀), verificar las
propiedades algebraicas del corchete de Poisson:
{𝑓 , 𝑔} + {𝑔, 𝑓 } = 0,
{𝑓 , {𝑔, ℎ}} + {𝑔, {ℎ, 𝑓 }} + {ℎ, {𝑓 , 𝑔}} = 0,
{𝑓 , 𝑔ℎ} = {𝑓 , 𝑔}ℎ + 𝑔 {𝑓 , ℎ}.
Ejercicio 2.31. Si 𝑓 , 𝑔, ℎ ∈ 𝐶∞(ℝ3), considérese el sistema de ecuaciones en derivadas
parciales:
𝜕𝑟 − 𝜕𝑞 𝜕𝑝 − 𝜕𝑟 𝜕𝑞 𝜕𝑝= 𝑓 , = 𝑔, − = ℎ.
𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦
Demostrar que esta ecuación tiene una solución – dada por 𝑝, 𝑞, 𝑟 ∈ 𝐶∞(ℝ3) – si y solo si
𝜕𝑓 + 𝜕𝑔 + 𝜕ℎ = 0.
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
È Indicación: colocar 𝜔 := 𝑓 𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧 + 𝑔𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑥 + ℎ 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 y usar el lema de Poincaré
en ℝ3.É
2-39
MA–870: Geometría Diferencial
3 Integración en variedades
A problem that seems insurmountable is just seemingly so
because we have not asked the right question. You should
always ask the right question and then you can solve the
problem.
— Niels Henrik Abel
La teoría de variedades diferenciales generaliza el cálculo diferencial sobre abiertos
deℝ𝑛, dando lugar a las formas diferenciales introducidos en el capítulo anterior. De igual
importancia es el cálculo integral sobre abiertos de ℝ𝑛; en ese contexto, los teoremas
clásicos de Green, Gauss y Stokes juegan un papel importante, bajo la rúbrica de “análisis
vectorial”. Esos teoremas son, en el fondo, generalizaciones del teorema fundamental del
cálculo en una variable. El objetivo de este capítulo es definir el concepto de integración
de formas diferenciales sobre una variedad diferencial, e identificar la generalización
apropiada de dichos teoremas clásicos.
Un aspecto notable del cálc∫ulo integral, ya∫en dimensión 1, es la conocida fórmula𝑎 𝑏
𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡 = − 𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡, (3.1)
𝑏 𝑎
que expresa la integral de una función 𝑓 sobre un intervalo compacto [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ. Por
lo tanto, el dominio de integración es ese intervalo [𝑎, 𝑏] dotado de una dirección, que
puede ser 𝑎 → 𝑏 o bien 𝑏 → 𝑎. Se habla, pues, de un intervalo orientado; un cambio de
orientación del dominio conlleva un cambio de signo en la integral.
Un aspecto novedoso de la teoría, entonces, impuesto por la necesidad de formular
y calcular integrales, es la posibilidad (o no) de asignar una direccionalidad a una
determinada variedad diferencial de manera consistente.
3.1. Variedades orientables
En el cálculo del volumen de un abierto 𝑉 ⊂ ℝ𝑛, se suele repartir 𝑉 en una colección
de cubos pequeños que no traslapan – los llamados “elementos de volumen” – para luego
sumar los volúmenes individuales de los cubos. El volumen de un cubo o paralelepípedo
rectangular (un producto cartesiano de intervalos) se define como el producto de las
longitudes de los lados incidentes a un vértice particular. Pero en vista de (3.1), se puede
adjudicar un signo al volumen de un determinado cubo. Si 𝑎 < 𝑏 enℝ, se asigna la longitud
(𝑏 − 𝑎) al intervalo [𝑎, 𝑏] := { 𝑡 ∈ ℝ : 𝑎 6 𝑡 6 𝑏 }. El intervalo degenerado [𝑎, 𝑎] = {𝑎}
tendrá longitud 0. En el caso 𝑎 > 𝑏, se puede adoptar la notación [𝑎, 𝑏] para designar el
conjunto { 𝑡 ∈ ℝ : 𝑎 > 𝑡 > 𝑏 } dotado de una longitud negativa 𝑏 − 𝑎 = −(𝑎 − 𝑏).
3-1
MA–870: Geometría Diferencial 3.1. Variedades orientables
Al tomar productos cartesianos de intervalos de ℝ, se puede asignar volúmenes
positivos o negativos a paralelepípedos de la misma manera. Este procedimiento se
volvería engorroso al unir juegos de paralelepípedos para formar el “volumen” de 𝑉 .
Sin embargo, en una variedad diferencial hay un artificio, definido a continuación, que
simplifica el proceso de asignar volúmenes con signo.
Definición 3.1. Una variedad diferencial 𝑀 de dimensión 𝑛 es orientable si existe una
forma diferencial de gradomáximo 𝜈 ∈ A𝑛 (𝑀) tal que 𝜈𝑝 ≠ 0 enΛ𝑛𝑇 ∗𝑝𝑀 para todo 𝑝 ∈ 𝑀 .
Se dice que la 𝑛-forma 𝜈 no se anula.1
Si una tal 𝑛-forma 𝜈 existe, el par (𝑀,𝜈) se llama una variedad orientada; y esa
𝑛-forma 𝜈 es su forma de volumen. ♦
Ejemplo 3.2. La variedad diferencial ℝ𝑛, junto con la 𝑛-forma
𝜈 := 𝑑𝑥1 ∧ 𝑑𝑥2 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛, (3.2)
es una variedad orientada. Este 𝜈 es el “elemento de volumen” en integrales múltiples. ♦
I Para entender mejor el concepto de orientación, conviene reexpresar la definición
anterior en el lenguaje de fibrados. Nótese que dim Λ𝑛𝑇 ∗ℝ 𝑝𝑀 = 1 si 𝑛 = dim𝑀 , así que
𝜋
el fibrado vectorial Λ𝑛𝑇 ∗𝑀 −→𝑀 tiene rango 1, es decir, cada fibra es una recta real. Se
puede considerar 𝑀 como una subvariedad de Λ𝑛𝑇 ∗𝑀 , al identificar cada punto 𝑝 ∈ 𝑀
con la imagen de la sección cero 𝑝 ↦→ 0 ∈ Λ𝑛𝑇 ∗𝑝𝑀 . Al restringir la proyección 𝜋 a la
𝜋
variedad Λ𝑛𝑇 ∗𝑀 \ 𝑀 , se obtiene un fibrado (Λ𝑛𝑇 ∗𝑀 \ 𝑀) −→𝑀 , cuyas fibras son las
“rectas perforadas” Λ𝑛𝑇 ∗𝑝𝑀 \ {0}; su fibra típica es ℝ× = ℝ \ {0}. Fíjese bien que esa fibra
típica tiene dos componentes conexos, los intervalos abiertos (−∞, 0) y (0,∞).
Una 𝑛-forma 𝜈 ∈ A𝑛 (𝑀) que no se anula es precisamente una sección suave del fibrado
( 𝑛 ∗ \ ) −→𝜋Λ 𝑇 𝑀 𝑀 𝑀 .
Proposición 3.3. Una variedad orientada (𝑀,𝜈) posee un atlas A = { (𝑈𝛼 , 𝜙𝛼 ) : 𝛼 ∈ 𝐴 }
donde toda función de transición 𝜙 −1𝛽 ◦ 𝜙𝛼 : 𝜙𝛼 (𝑈𝛼 ∩𝑈𝛽) → 𝜙𝛽 (𝑈𝛼 ∩𝑈𝛽) tiene jacobiano
positivo.
Demostración. El jacobiano de una función de transición entre dos cartas locales (𝑈 ,𝜙)
y (𝑉 ,𝜓 ) de 𝑀 tales que 𝑈 ∩𝑉 ≠ ∅, es una func[ión s]uave que no se anula en 𝜙 (𝑈 ∩𝑉 ),
( ◦ −1) 𝜕𝑦
𝑖
𝐽 𝜓 𝜙 := det ∈ ℝ×. (3.3)
𝜕𝑥 𝑗
1 ∈ 𝑛 ( ) 𝜋La 𝑛-forma 𝜈 A 𝑀 es una sección del fibrado vectorial de rango uno Λ𝑛𝑇 ∗𝑀 −→𝑀 . Decir que
𝜈 no se anula es afirmar que 𝜈 es disjunta de la “sección cero” 𝑝 ↦→ 0.
3-2
MA–870: Geometría Diferencial 3.1. Variedades orientables
(Véase la discusión antes del Ejemplo 1.31.) En cada componente conexo de 𝜙 (𝑈 ∩𝑉 ), el
jacobiano toma valores positivos exclusivamente, o bien valores negativos solamente.
Sea (𝑈 ,𝜙) una carta local de 𝑀 para la cual 𝑈 es conexo, con coordenadas locales
(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛). Como 𝜈𝑝 ≠ 0 para cada 𝑝 ∈ 𝑈 , la 𝑛-forma local 𝜈 |𝑈 se escribe como
𝜈 |𝑈 = 𝑓 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛,
donde la función 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑈 ) no se anula. Como 𝑈 es conexo, bien 𝑓 (𝑞) > 0 para todo
𝑞 ∈ 𝑈 , o bien 𝑓 (𝑞) < 0 para todo 𝑞 ∈ 𝑈 . Sea (𝑈 , 𝜃 ) la carta local de 𝑀 con el mismo
dominio 𝑈 pero con 𝜃 ≡ (𝑧1, . . . , 𝑧𝑛){dado por
(𝑥1 2 𝑛1 2 𝑛 , 𝑥 , . . . , 𝑥 ), si 𝑓 > 0 en 𝑈 ,(𝑧 , 𝑧 , . . . , 𝑧 ) :=
(−𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛), si 𝑓 < 0 en 𝑈 .
Nótese que 𝑑𝑧𝑘 = 𝑑𝑥𝑘 para 𝑘 = 2, . . . , 𝑛; mientras 𝑑𝑧1 = ±𝑑𝑥1 con signo negativo si y solo
si 𝑓 < 0; esto implica que
𝜈 | = 𝑔𝑑𝑧1𝑈 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑧𝑛, con 𝑔(𝑞) := |𝑓 (𝑞) | > 0 para todo 𝑞 ∈ 𝑈 .
Ahora 𝜃 = 𝜙 si 𝑓 > 0 en𝑈 ; pero 𝜃 = 𝜌 ◦𝜙 si 𝑓 < 0 en𝑈 , donde 𝜌 es una reflexión (lineal
e invertible) de ℝ𝑛.
Dado un atlas {(𝑈𝛼 , 𝜙𝛼 )}𝛼∈𝐴 de 𝑀 con cada 𝑈𝛼 conexo (sin perder generalidad),2 las
cartas correspondientes (𝑈𝛼 , 𝜃𝛼 ) forman un nuevo atlas, compatible con el original.
Si (𝑉 ,𝜓 ), con 𝜓 ≡ (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛), es otra carta del atlas modificado {(𝑈𝛼 , 𝜃𝛼 )}𝛼∈𝐴 con
𝑈 ∩𝑉 ≠ ∅, hay un cambio de variable:
1 𝑛
𝑑𝑦1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑦𝑛 𝜕𝑦= ∑︁ 𝑑𝑧 𝑗1 ∧ · · · ∧
𝜕𝑦
𝑑𝑧 𝑗𝑛
𝜕𝑧 𝑗1 𝜕𝑧 𝑗𝑛
1 [ ]𝜕𝑦 𝜕𝑦𝑛 𝑖
= 𝜀 · · · 𝑑𝑧1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑧𝑛 𝜕𝑦 1𝐽 = det 𝑑𝑧 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑧𝑛
𝜕𝑧 𝑗1 𝜕𝑧 𝑗𝑛| | 𝜕𝑧
𝑗
𝐽 =𝑛
= 𝐽 (𝜓 ◦ 𝜃−1) 𝑑𝑧1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑧𝑛, (3.4)
donde 𝜀 𝐽 = 0 si la lista ( 𝑗1, . . . , 𝑗𝑛) tiene repeticiones – por cancelación de 𝑑𝑧 𝑗 ∧ 𝑑𝑧 𝑗 = 0;
y si no, 𝜀 𝐽 es el signo de la permutación (1, . . . , 𝑛) ↦→ ( 𝑗1, . . . , 𝑗𝑛). En 𝑈 ∩𝑉 , vale
𝜈 |𝑈∩𝑉 = ℎ 𝑑𝑦1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑦𝑛 = 𝑔𝑑𝑧1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑧𝑛,
así que 𝐽 (𝜓 ◦ 𝜃−1) = 𝑔/ℎ > 0 en 𝑈 ∩𝑉 , pues 𝑔 > 0 en 𝑈 y ℎ > 0 en 𝑉 . 
2 ⋃Si 𝑈 no es conexo, sea 𝑈 = 𝑗 𝑉𝑗 su expresión como unión de componentes conexos (los cuales
son abiertos de 𝑀 porque 𝜙 (𝑈 ) ⊆ ℝ𝑛 es un espacio topológico localmente conexo). Luego, se puede
reemplazar la carta local (𝑈 ,𝜙) por el juego de cartas locales (𝑉𝑗 , 𝜙 |𝑉 ); de esta manera se obtiene otro𝑗
atlas, compatible con el original, en el cual cada dominio de carta es conexo.
3-3
MA–870: Geometría Diferencial 3.1. Variedades orientables
En la demostración anterior, el cambio de atlas se rige por las alternativas 𝜃𝛼 = 𝜙𝛼
o bien 𝜃𝛼 = 𝜌 ◦ 𝜙𝛼 ; en cada carta se elige uno u otro según el signo del coeficiente
𝑓𝛼 ∈ 𝐶∞(𝑈𝛼 ) de la 1-forma local 𝜈 |𝑈 . Sin embargo, en la ausencia de una 𝑛-forma que𝛼
no se anula, no siempre es posible elegir estas opciones de manera consistente.
Ejemplo 3.4. Considérese el plano proyectivo ℝℙ2 con el atlas del Ejemplo 1.14. Hay tres
cartas (𝑈 𝑗 , 𝜙 𝑗 ) y el jacobiano de una de las funciones de transición fue calculado en el
Ejemplo 1.31:
𝐽 (𝜙 ◦ 𝜙−1) = −(𝑦1)−32 1 ≠ 0 para 𝑦1 ≠ 0.
En este caso, los dominios de cartas 𝑈 𝑗 son conexos pero las intersecciones 𝑈 𝑗 ∩ 𝑈𝑘 son
disconexos: 𝜙1(𝑈1 ∩ 𝑈2) es la unión de dos semiplanos abiertos {𝑦1 > 0} y {𝑦1 < 0};
para otro par de cartas, el cambio podría dar jacobiano −(𝑦2)−3 en semiplanos {𝑦2 > 0}
y {𝑦2 < 0}. En todo caso, con o sin la reflexión 𝜌 : (𝑦1, 𝑦2) ↦→ (−𝑦1, 𝑦2), el jacobiano
siempre tomará valores positivos en un semiplano y negativos en el otro.
Se concluye que no es posible modificar este atlas por reflexiones para obtener ja-
cobianos positivos de las funciones de transición. En vista de la demostración anterior,
no puede existir una 2-forma sobre ℝℙ2 que no se anula: se concluye que la variedad
diferencial ℝℙ2 no es orientable. ♦
La Proposición 3.3 tiene una inversa (la Proposición 3.6 abajo): un atlas de𝑀 para el
cual todos los jacobianos son positivos establece la orientabilidad de 𝑀 . La construcción
de la 𝑛-forma 𝜈 depende del siguiente concepto topológico.
Definición 3.5. Sea 𝑋 un espacio topológico metrizable y separable. Una partición de
la unidad es un juego de funciones continuas ℎ𝛼 : 𝑋 → [0, 1], tales que:
(a) hay abiertos 𝑉𝛼 , tales que sop(ℎ𝛼 ) ⊂ 𝑉𝛼 para cada 𝛼 , que forman un cubrimiento
localmente finito de 𝑋 ; es decir, cada 𝑥 ∈ 𝑋 posee un vecindario abierto𝑊 tal
∑que𝑊 ∩𝑉𝛼 ≠ ∅ solo para un número finito de índices 𝛼;
(b) 𝛼 ℎ𝛼 (𝑥) = 1 para todo 𝑥 ∈ 𝑋 .3
Una partición de la unidad de una variedad diferencial 𝑀 se llama suave si cada función
ℎ𝛼 es suave; y se dice que la partición {ℎ𝛼 } es subordinada al cubrimiento abierto {𝑉𝛼 }. ♦
Un espacio metrizable y separable siempre posee una partición de la unidad continua,
con conjunto índice numerable.
3La∑finitud local (a) implica que la sumatoria en (b) es una suma finita en cada 𝑥 ∈ 𝑋 : se puede
escribir 𝛼 ℎ𝛼 (𝑥) ≡ 1 sin incurrir en problemas de convergencia.
3-4
MA–870: Geometría Diferencial 3.1. Variedades orientables
Si 𝑀 es una variedad diferencial, se puede elegir los 𝑉𝛼 como dominios de cartas de
un atlas de 𝑀; y se puede tomar cada ℎ ∈ 𝐶∞𝛼 (𝑀), a la luz de la discusión que sigue al
Ejemplo 1.28. En resumen: cada variedad diferencial 𝑀 posee una partición de la unidad
suave, subordinada a un atlas de 𝑀 .
Proposición 3.6. Si una variedad diferencial 𝑀 posee un atlas tal que todas sus funciones
de transición tienen jacobianos positivos, entonces 𝑀 es orientable.
Demostración. Por hipótesis, hay un atlas A = {(𝑈𝛼 , 𝜙𝛼 )} −1𝛼∈𝐴 de𝑀 tal que 𝐽 (𝜙𝛽 ◦𝜙𝛼 ) > 0
en 𝜙𝛼 (𝑈𝛼 ∩𝑈𝛽) toda vez que 𝑈𝛼 ∩𝑈 ∞𝛽 ≠ ∅. Sea {ℎ𝛼 : 𝛼 ∈ 𝐴 } ⊂ 𝐶 (𝑀) una partición de
la unidad suave subordinada al cubrimiento abierto {𝑈𝛼 : 𝛼 ∈ 𝐴 } de 𝑀 . Defínase unas
𝑛-formas 𝜈 𝑛(𝛼) ∈ A (𝑀) por 
𝜈  := ℎ 𝑑𝑥1(𝛼) 𝛼 𝛼 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛𝛼 ; 𝜈 (𝛼)  \ := 0.𝑈𝛼 𝑀 𝑈𝛼
Nótese que 𝜈 (𝛼) están bien definidas porqu∑︁e ℎ𝛼 = 0 en un vecindario abierto de 𝑀 \𝑈𝛼 .La siguiente suma:
𝜈 := 𝜈 (𝛼)
𝛼∈𝐴
es localmente finita (es decir, la restricción del lado derecho a algún vecindario 𝑊 de
cualquier 𝑝 ∈ 𝑀 es una suma finita) y por ende define una sección suave 𝑝 ↦→ 𝜈𝑝 del
𝜋
fibrado vectorial Λ𝑛𝑇 ∗𝑀 −→𝑀 . Esto demuestra que 𝜈 ∈ A𝑛 (𝑀).
La expresión localde 𝜈 (en 𝑈𝛼∑︁tiene el siguiente)aspecto:𝜈 = ℎ𝛼 + ℎ𝛽 𝐽 (𝜙𝛽 ◦ 𝜙−1) 𝑑𝑥1𝛼 𝛼 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛𝛼 ,𝑈𝛼
𝛽≠𝛼
al usar la fórmula (3.4) para efectuar los cambios de coordenadas. Esta sumatoria es
localmente finita, y por lo tanto la expresión entre paréntesis converge a una función
suave 𝑓𝛼 ∈ 𝐶∞(𝑈𝛼 ). Como 0 6 ℎ𝛼 6 1 y cada 0 6 ℎ𝛽 6 1, y por hipótesis
𝐽 (𝜙𝛽 ◦ 𝜙−1𝛼 ) > 0 en {𝑞 ∈ 𝑈𝛼 : ℎ𝛽 (𝑞) > 0 } ⊆ 𝑈𝛼 ∩𝑈𝛽,
se concluye que la suma cumple 𝑓𝛼 > 0 en 𝑈𝛼 .
Además, si 𝑞 ∈ 𝑈𝛼 , entonces
𝑓𝛼 (𝑞) = 0 =⇒ ℎ𝛼∑(𝑞) = 0 y ℎ𝛽 (𝑞) = 0 para cada 𝛽,
lo cual es imposible pues ℎ𝛼 (𝑞) + 𝛽≠𝛼 ℎ𝛽 (𝑞) = 1. Se concluye que 𝑓𝛼 > 0 en 𝑈𝛼 , para
cualquier 𝛼 ∈ 𝐴. En consecuencia, la 𝑛-forma 𝜈 no se anula en 𝑈𝛼 . Como los dominios
𝑈𝛼 recubren 𝑀 , se ve que 𝜈 no se anula en todo 𝑀 .
Por lo tanto, (𝑀,𝜈) es una variedad orientada. 
3-5
MA–870: Geometría Diferencial 3.1. Variedades orientables
Corolario 3.7. Sea 𝑀 una variedad orientable y sean 𝜇, 𝜈 ∈ A𝑛 (𝑀) dos 𝑛-formas sobre 𝑀
que no se anulan. Entonces hay una función ℎ ∈ 𝐶∞(𝑀) tal que 𝜇 = ℎ𝜈 , con ℎ(𝑝) ≠ 0 para
todo 𝑝 ∈ 𝑀 . El signo de la función ℎ es constante en cada componente conexo de 𝑀 .
Demostración. Para carta local (𝑈 ,𝜙) de 𝑀 , hay funciones 𝑓 ∞𝑈 , 𝑔𝑈 ∈ 𝐶 (𝑈 ) tales que
𝜈 |𝑈 = 𝑓𝑈 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛, 𝜇 |𝑈 = 𝑔𝑈 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛 .
con 𝑓 ≠ 0, 𝑔 ≠ 0 en 𝑈 . Colóquese ℎ𝑈 := 𝑔𝑈 /𝑓𝑈 ∈ 𝐶∞(𝑈 ).
Si (𝑉 ,𝜓 ) es otra carta local, entonces 𝑓𝑉 = 𝑓𝑈 𝐽 (𝜓 ◦𝜙−1) y 𝑔𝑉 = 𝑔𝑈 𝐽 (𝜓 ◦𝜙−1) en𝑈 ∩𝑉 ,
así que ℎ ∞𝑈 = 𝑔𝑉 /𝑓𝑉 = ℎ𝑉 en 𝑈 ∩𝑉 . Por lo tanto, hay una función suave ℎ ∈ 𝐶 (𝑀) tal
que ℎ |𝑈 = ℎ𝑈 para cada carta (𝑈 ,𝜙). Como ningún ℎ𝑈 se anula en𝑈 , la función global ℎ
no toma el valor 0 en punto alguno de 𝑀 .
Sin perder generalidad, se puede suponer que cada dominio de carta 𝑈 es conexo.
Luego 𝑓𝑈 , 𝑔𝑈 y por ende ℎ𝑈 no cambian de signo en 𝑈 . Como los 𝑈 recubren 𝑀 , cada
punto 𝑝 ∈ 𝑀 posee una vecindario 𝑉 para el cual signo(ℎ) |𝑉 es constante. En otras
palabras, signoℎ : 𝑀 ↦→ {−1, +1} es una función continua localmente constante.
En particular, { 𝑝 ∈ 𝑀 : ℎ(𝑝) > 0 } = (signoℎ)−1(+1) es una unión de componentes
conexos de 𝑀 . 
Escolio 3.8. Sea 𝑀 una variedad orientable y conexo. Si 𝜇, 𝜈 ∈ A𝑛 (𝑀) son 𝑛-formas que
no se anulan, entonces 𝜇 = ℎ𝜈 , con ℎ > 0 en 𝑀 o bien ℎ < 0 en 𝑀 . 
Definición 3.9. Si 𝑀 es una variedad orientable, dos 𝑛-formas 𝜇, 𝜈 ∈ A𝑛 (𝑀) que no se
anulan son equivalentes, 𝜇 ∼ 𝜈 , si 𝜇 = ℎ𝜈 para algún ℎ ∈ 𝐶∞(𝑀) con ℎ > 0 sobre 𝑀 . Si
𝑀 es también conexo, solo hay dos clases de equivalencia: 𝜇 ∼ 𝜈 o bien 𝜇 ∼ −𝜈 , por el
Escolio 3.8. Si 𝑀 es disconexo, con 𝑘 componentes conexos, entonces hay 2𝑘 clases de
equivalencia. Cada clase de equivalencia [𝜈] se llama una orientación sobre 𝑀 . ♦
Ejemplo 3.10. Cada permutación 𝜎 ∈ 𝑆𝑛 reordena las coordenadas cartesianas de ℝ𝑛.
En vista de la relación
𝑑𝑥𝜎 (1) ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝜎 (𝑛) = (−1)𝜎 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛,
la acción de 𝜎 preserva o cambia la orientación usual de ℝ𝑛 según 𝜎 sea par o impar. ♦
Lema 3.11. Sea (𝑀,𝜈) una variedad orientada con dim𝑀 = 𝑛, y sea 𝑁 una subvariedad
de 𝑀 con dim𝑁 = 𝑛 − 1; denótese por 𝑗 : 𝑁 → 𝑀 la inclusión.⁴ Si hay un campo vectorial
𝑋 ∈ X(𝑀) tal que 𝑋𝑝 ∉ 𝑇𝑝 𝑗 (𝑇𝑝𝑁 ) para todo 𝑝 ∈ 𝑁 , entonces 𝑁 es orientable: 𝑗∗(𝑖𝑋𝜈) es
una forma de volumen sobre 𝑁 .
4Se dice que la subvariedad 𝑁 tiene codimensión 1 en 𝑀 .
3-6
MA–870: Geometría Diferencial 3.1. Variedades orientables
Demostración. Nótese que 𝑖 𝑛−1𝑋𝜈 ∈ A (𝑀); en consecuencia, 𝑗∗(𝑖 𝑛−1𝑋𝜈) ∈ A (𝑁 ) es una
forma diferencial de grado máximo sobre 𝑁 . Si 𝑝 ∈ 𝑁 , sea {𝑣1, . . . , 𝑣𝑛−1} una base
de 𝑇𝑝𝑁 y escríbase 𝑤𝑘 := 𝑇𝑝 𝑗 (𝑣𝑘). Los vectores 𝑤1, . . . ,𝑤𝑛−1 ∈ 𝑇𝑝 𝑗 (𝑇𝑝𝑁 ) son linealmente
independientes por ser 𝑇𝑝 𝑗 inyectivo (porque la inclusión de la subvariedad 𝑗 : 𝑁 → 𝑀
es una inmersión). Luego {𝑋𝑝,𝑤1, . . . ,𝑤𝑛−1} es una base vectorial de 𝑇𝑝𝑀 . Ahora
( 𝑗∗(𝑖𝑋𝜈))𝑝 (𝑣1, . . . , 𝑣𝑛−1) = (𝑖𝑋𝜈)𝑝 (𝑤1, . . . ,𝑤𝑛−1) = 𝜈𝑝 (𝑋𝑝,𝑤1, . . . ,𝑤𝑛−1) ≠ 0,
pues 𝜈𝑝 ≠ 0 en Λ𝑛𝑇 ∗𝑝𝑀 . Se concluye que ( 𝑗∗(𝑖𝑋𝜈)) ≠ 0 en Λ𝑛−1𝑝 𝑇 ∗𝑝 𝑁 para todo 𝑝 ∈ 𝑁 .
Esto dice que la (𝑛 − 1)-forma 𝑗∗(𝑖𝑋𝜈) no se anula sobre 𝑁 . 
Para una superficie 𝑁 ⊂ ℝ3, el espacio vectorial 𝑇𝑝 𝑗 (𝑇𝑝𝑁 ) puede visualizarse como
el plano tangente a 𝑁 en el punto 𝑝; el vector 𝑋𝑝 corresponde a una dirección en ℝ3 que
sale de ese plano. Si esta dirección es perpendicular al plano tangente en cada 𝑝 ∈ 𝑁 , se
describe {𝑋𝑝 : 𝑝 ∈ 𝑁 } como un “campo de vectores normales no ceros” sobre 𝑁 . Hay
superficies no orientables, como la franja de Möbius, para los cuales esto es imposible:
cualquier campo de vectores normales debe anularse en algún punto de la superficie.
Ejemplo 3.12. La esfera 𝕊𝑛−1 es una subvariedad de ℝ𝑛 \ {0}; y el campo de Euler
𝑍 := 𝑥𝑘 𝜕𝑘 definido en (2.50) no se∑︁anula en ℝ
𝑛 \ {0}. Obsérvese que
𝜕𝑥
𝑛
𝑖 𝜈 = 𝑖 (𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛) = (−1)𝑘−1𝑥𝑘 𝑑𝑥1𝑍 𝑍 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑘 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛 . (3.5a)
𝑘=1
La esfera está dada por 𝕊𝑛−1 = 𝑓 −1(1), donde 𝑓 (𝑥) := (𝑥1)2+· · ·+ (𝑥𝑛)2. Evidentemente,
𝑓 ∈ 𝐶∞(ℝ𝑛). Si 𝑝 ∈ 𝕊𝑛−1 y 𝑌𝑝 ∈ 𝑇𝑝 𝑗 (𝑇 𝕊𝑛−1𝑝 ), entonces 𝑌𝑝 𝑓 = 𝑌𝑝 (1) = 0.
Pero 𝑍 𝑓 = 2𝑓 , ya que 𝑓 es un polinomio cuadrático, y por lo tanto vale 𝑍𝑝 𝑓 = 2
para 𝑝 ∈ 𝕊𝑛−1. Esto implica que 𝑍𝑝 ∉ 𝑇𝑝 𝑗 (𝑇 𝕊𝑛−1𝑝 ). Del Lema 3.11 se deduce que la forma
diferencial
𝜎 := 𝑗∗(𝑖𝑍𝜈) ∈ A𝑛−1(𝕊𝑛−1) (3.5b)
es una forma de volumen sobre 𝕊𝑛−1. En particular, la esfera 𝕊𝑛−1 es orientable.
El lado derecho de (3.5a) expresa 𝜎 en las coordenadas cartesianas deℝ𝑛. El pullback
de 𝑖𝑍𝜈 bajo 𝑗∗ permite interpretar {𝑥1, . . . , 𝑥𝑛} como un juego de coordenadas locales para
la esfera – pero se debe notar que en cada carta local de 𝕊𝑛 una de esas coordenadas
es redundante. Para ese efecto, conviene emplear las cartas hemisféricas (𝑉 ±,𝜓±) del
𝑘 𝑘
Ejercicio 1.2. En cada carta, la coordenada extra debe expresarse como una función de
las otras mediante la ecuación 𝑓 (𝑥) = 1. ♦
3-7
MA–870: Geometría Diferencial 3.2. Integrales de 𝑛-formas
3.2. Integrales de 𝑛-formas
Definición 3.13. Sea 𝜔 = 𝑓 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛∫ 0 una 𝑛-forma sobre un abierto 𝑉 ⊆ ℝ
𝑛. Su
integral sobre 𝑉 es el número∫real ∫
𝜔0 ≡ · · · 𝑓 (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛 (3.6)
𝑉 𝑉
obtenido por el proceso iterativo usual. (La función coeficiente 𝑓 de 𝜔 es suave, pero el
lado derecho de (3.6) tiene sentido para una clase más amplia de integrandos.)⁵
En detalle, esta “integral iterada” se define como sigue. Sea𝑉1 := pr1(𝑉 ) la proyección
de 𝑉 sobre el eje 𝑥1; y sea
𝑉 (1) := { (𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) ∈ ℝ𝑛−1 : (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) ∈ 𝑉 para algún 𝑥1 ∈ 𝑉1 }
la proyección de 𝑉 sobre el complemento ∫ortogonal (ℝ𝒆1)⊥. Defínase 𝑓1 : 𝑉 (1) → ℝ porla integral:
𝑓 (𝑥2, . . . , 𝑥𝑛1 ) := 𝑓 (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) 𝑑𝑥1,
𝑉1
Si 𝑉 (1)12 := pr2(𝑉 ), defínase de modo sim∫ilar:
𝑓 (𝑥3, . . . , 𝑥𝑛12 ) := 𝑓1(𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) 𝑑𝑥2,
𝑉12
y así sucesivamente. En resumen, se calcula la integral de 𝑓 (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) respecto de las
variables 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛 consecutivamente; en cada paso, al integrar con respecto a 𝑥 𝑗 , se
dejan fijas las variables subsiguientes. La integral resultante (3.6) está bien definida si
todas las integraciones intermedias convergen, y su valor no depende del orden de las
variables de integración. ♦
Definición 3.14. Sea (𝑀,𝜈) una variedad orientada con dim𝑀 = 𝑛 y sea 𝜔 ∈ A𝑛 (𝑀).
En una carta local (𝑈 ,𝜙) de 𝑀 , sea 𝜔 | = 𝑓 𝑑𝑥1𝑈 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛 la expresión local de 𝜔 .
Entonces 𝜔 |𝑈 = 𝜙∗𝜔0, donde 𝜔0 es la 𝑛-forma en 𝜙 (𝑈 ) que posee la misma expresión
local – conviene recordar que (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) son las coordenadas cartesianas en el abierto
𝜙 (𝑈 ) ⊆ ℝ𝑛∫. Defína∫se la integra∫l de 𝝎 sobr∫e 𝑼 por la fórmula:
𝜔 = 𝜙∗𝜔 := 𝜔 = 𝑓 (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛 10 0 ) 𝑑𝑥 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛 (3.7)
𝑈 𝑈 𝜙 (𝑈 ) 𝜙 (𝑈 )
cuyo lado derecho está dado por la integral múltiple ordinaria (3.6). ♦
5Estas integrales iteradas son integrales de Lebesgue, en principio. En cada caso el integrando es una
función suave, y por ende su integral de Lebesgue coincide con su integral de Riemann, quizás impropia:
esas dos integrales coinciden cuando el integrando es continuo y su valor absoluto tiene integral finita.
3-8
MA–870: Geometr∫ía Diferencial 3.2. Integrales de 𝑛-formas
No es obvio si 𝜔 está bien definida, porque el lado derecho de (3.6) depende de la
𝑈
carta (𝑈 ,𝜙). Considérese entonces otra carta (𝑉 ,𝜓 ) para 𝑀 , con 𝑈 ∩𝑉 ≠ ∅, donde𝜔 1 𝑛 1 𝑛∩ = 𝑓 (𝑥 , . . . , 𝑥 ) 𝑑𝑥 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥 = 𝑔(𝑦1, . . . ,∫𝑦𝑛) 𝑑𝑦1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑦𝑛𝑈 𝑉
son∫las dos expresiones locales para 𝜔 en 𝑈 ∩𝑉 . Para que ∩ 𝜔 sea independiente de𝑈 𝑉las cartas, hace falta comprobar que: ∫
𝑓 (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛 = 𝑔(𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) 𝑑𝑦1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑦𝑛 . (3.8)
𝜙 (𝑈∩𝑉 ) 𝜓 (𝑈∩𝑉 )
El jacobiano de la función de transición 𝐽 (𝜓 ◦ 𝜙−1) no se anula en 𝜙 (𝑈 ∩ 𝑉 ), así que
𝑔(𝑦) = 𝑔(𝜓 ◦𝜙−1(𝑥)) en esa región de ℝ𝑛. Los elementos de volumen transforman según
la receta (3.4), y se deduce que
𝑔(𝑦) 𝑑𝑦1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑦𝑛 = 𝑔(𝜓 ◦ 𝜙−1(𝑥)) 𝐽 (𝜓 ◦ 𝜙−1) (𝑥) 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛 .
Esto implica que
𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝜓 ◦ 𝜙−1(𝑥)) 𝐽 (𝜓 ◦ 𝜙−1) (𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝜙 (𝑈 ∩𝑉 ).
∫Basta entonces comprobar lo s∫iguiente, para 𝑔 suave pero arbitraria:
𝑔(𝑦) 𝑑𝑦1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑦𝑛 = 𝑔(𝜓 ◦ 𝜙−1(𝑥)) 𝐽 (𝜓 ◦ 𝜙−1) (𝑥) 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛 .
𝜓 (𝑈∩𝑉 ) 𝜙 (𝑈∩𝑉 )
(3.9)
Esta fórmula es la regla usual de cambio de variable en integrales múltiples, toda vez que
el jacobiano aparece a la derecha en valor absoluto. Al ser (𝑀,𝜈) una variedad orientada,
es necesario y suficiente exigir que su atlas sea compatible con la orientación, esto es,
que todos los jacobianos sean positivos. En efecto, por las Proposiciones 3.3 y 3.6, se puede
suponer que 𝐽 (𝜓 ◦ 𝜙−1) (𝑥) > 0 en (3.9), sin perder generalidad. El contexto apropiado
para definir integrales de 𝑛-formas es el de una variedad orientada (𝑀,𝜈).
Definición 3.15. Sea (𝑀,𝜈) una variedad orientada. Sea A = {(𝑈𝛼 , 𝜙𝛼 )}𝛼∈𝐴 un atlas
de 𝑀 cuyas funciones de transición tienen jacobianos positivos, y que además cumple
𝜈 |𝑈 = 𝑓𝛼 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛 con 𝑓𝛼 > 0 en 𝐶∞(𝑈𝛼 ) para cada carta local. Sea {ℎ𝛼 : 𝛼 ∈ 𝐴 }𝛼
una partición de la unidad su∑ave y localmente finita con sop(ℎ𝛼 ) ⊂ 𝑈𝛼 para∑cad∫a 𝛼 ∈ 𝐴.
Si 𝜔 ∈ A𝑛 (𝑀), entonces 𝜔 = 𝛼 ℎ𝛼𝜔 . No es difícil comprobar que la suma 𝛼 (ℎ𝛼𝜔)𝑈𝛼
no depende de la partición de la unidad empleada. Entonces se define la integral de la
𝑛-forma 𝜔 sobre 𝑀 (relativa a la∫orientaci∑︁ón ∫dada) por
𝜔 := (ℎ𝛼𝜔). ♦
𝑀 𝛼 𝑈𝛼
3-9
MA–870: Geometría Diferencial 3.3. Símplices y cadenas
Proposición 3.16 (Cambio de variables). Sean (𝑀,𝜈) y (𝑁, 𝜌) dos variedades orientadas
de la misma dimensión 𝑛 y sea 𝜏 : 𝑀 → 𝑁 un difeomorfismo que preserva la orientación:
es decir, 𝜏∗𝜌 ∼ 𝜈 en el sentido de la Definición 3.9. La integral sobre 𝑀 del pullback de una
𝑛-forma coincide con su i∫ntegral or∫iginal sobre 𝑁 :
𝜏∗𝜂 = 𝜂 para todo 𝜂 ∈ A𝑛 (𝑁 ). (3.10)
𝑀 𝑁
Demostración. Si (𝑉 ,𝜓 ) es una carta local para 𝑁 , sea (𝑈 ,𝜙) una carta local para 𝑀 tal
que 𝜏 (𝑈 ) = 𝑉 ; escríbase 𝜃 := 𝜓 ◦ 𝜏 ◦ 𝜙−1 : 𝜙 (𝑈 ) → 𝜓 (𝑉 ). La igualdad 𝜏∗𝜌 ∼ 𝜈 implica
que es posible elegir estas cartas – en atlases apropiados para𝑀 y 𝑁 – de tal manera que
el jacobiano 𝐽𝜃 sea positivo.
Sea 𝜂 |𝑉 = 𝑔(𝑦) 𝑑𝑦1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑦𝑛 la expresión local de 𝜂 en 𝑉 . Entonces la expresión
local de 𝜏∗𝜂 en 𝑈 es
𝜏∗

𝜂 = 𝑔(𝜃 (𝑥)) 𝐽𝜃 (𝑥) 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛, donde 𝑥 = 𝜃−1(𝑦).
𝑈
Aho∫ra la re∫gla (3.9) de cambio de varia∫ble en integrales múltiples muestra qu∫e
𝜂 = 𝑔(𝑦) 𝑑𝑦1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑦𝑛 = 𝑔(𝜃 (𝑥)) 𝐽𝜃 (𝑥) 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛 = 𝜏∗𝜂.
𝑉 𝜓 (𝑉 ) 𝜙 (𝑈 ) 𝑈
El resultado sigue de la Definición 3.15, al emplear una partición de la unidad {ℎ𝛼 }𝛼∈𝐴
sobre 𝑁 ; su preimagen {ℎ𝛼 ◦ 𝜏}𝛼∈𝐴 es otra partición de la unidad sobre 𝑀 . 
Fíjese bien que la “fórmula de cambio de variables” (3.10) es concordante con la
fórmula (3.7) que define la integral en una carta local. En efecto, si 𝜈0 = 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛
es la orientación usual de ℝ𝑛, entonces 𝜙 : 𝑈 → 𝜙 (𝑈 ) es un difeomorfismo tal que
𝜈 | ∼ 𝜙−1𝑈 (𝜈0 |𝜙 (𝑈 )) en la situación de la Definición 3.14. En otras palabras, (3.7) es un
caso particular de la fórmula general (3.10).
3.3. Símplices y cadenas
El cálculo de integrales múltiples en abiertos de algún ℝ𝑛 fue generalizado por la
Definiciones 3.14 y (3.15) a la integración de 𝑛-formas sobre variedad orientada 𝑀 de
dimensión 𝑛. Se debe tomar particular nota de la fórmula (3.9) de cambio de variable,
que muestra que la integral no depende de la parametrización usada, toda vez que esta
sea compatible con la orientación de 𝑀 .
3-10
MA–870: Geometría Diferencial 3.3. Símplices y cadenas
En cambio, para las integrales de línea y las integrales de superficie, generalizadas a
casos de 𝑛 variables, los integrandos son 𝑘-formas con 𝑘 < 𝑛. Por consiguiente, sus regio-
nes de integración deben ser también 𝑘-dimensionales. (No es necesario que estas sean
subvariedades de la variedad ambiente 𝑀 .) En esta sección se investigará la naturaleza
de tales regiones de integración.
I Conviene empezar con regiones poligonales enℝ𝑛, para luego generalizarlas mediante
cambios de parametrización.
Definición 3.17. Un conjunto finito {𝑝0, 𝑝1, . . . , 𝑝𝑘} de puntos en ℝ𝑛 es afínmente inde-
pendiente si las diferencias 𝑝1 − 𝑝0, 𝑝2 − 𝑝0, . . . , 𝑝𝑘 − 𝑝0 son vectores linealmente
independientes. (Para eso, es necesario que 𝑘 6 𝑛.) Una combinación afín de los
puntos 𝑝𝑖 es u∑︁na suma de la forma𝑘
𝑡𝑖𝑝𝑖 = 𝑡0𝑝0 + 𝑡1𝑝1 + · · · + 𝑡𝑘𝑝𝑘 con 𝑡0 + 𝑡1 + · · · + 𝑡𝑘 = 1.
𝑖=0
Una combinación convexa de los puntos 𝑝𝑖 es una combinación afín con coeficientes no
negativ∑︁os:𝑘 ∑︁𝑘
𝑡𝑖𝑝𝑖 = 𝑡0𝑝0 + 𝑡1𝑝1 + · · · + 𝑡𝑘𝑝𝑘, con 𝑡𝑖 = 1 y cada 𝑡𝑖 > 0. (3.11)
𝑖=0 𝑖=0
Una parte 𝐶 ⊆ ℝ𝑛 es convexa si incluye el segmento
[𝑥,𝑦] ≡ { (1 − 𝑡)𝑥 + 𝑡𝑦 : 0 6 𝑡 6 1 }
que une cualquier par de sus puntos: 𝑥,𝑦 ∈ 𝐶 =⇒ [𝑥,𝑦] ⊆ 𝐶. La totalidad de las
combinaciones convexas (3.11) del conjunto finito {𝑝0, 𝑝1, . . . , 𝑝𝑘} es obviamente convexa;
esta es su envoltura convexa,⁶ denotado por [𝑝0, 𝑝1, . . . , 𝑝𝑘] o Δ(𝑝0, . . . , 𝑝𝑘). ♦
Definición 3.18. Un 𝒌-símplice⁷ en ℝ𝑛 es la envoltura convexa 𝜎 := Δ(𝑝0, . . . , 𝑝𝑘) de
(𝑘 + 1) puntos afínmente independientes en ℝ𝑛.
El 𝒌-símplice estándar en ℝ𝑛 es
Δ𝑘 := Δ(0, 𝒆1, . . . , 𝒆𝑘), (3.12)
donde 𝒆1, . . . , 𝒆𝑘 son los primeros 𝑘 vectores de la base estándar de ℝ𝑛.
Se identifica ℝ𝑛 con el subespacio lin〈𝑒 , . . . , 𝑒 〉 de ℝ𝑛+11 𝑛 , de esa manera, Δ𝑘 no
depende del espacio ambiente ℝ𝑛 siempre y cuando 𝑛 > 𝑘. ♦
6Una definición equivalente del la envoltura convexa de 𝐶 es: la intersección de todos los conjuntos
convexos 𝐶 ′ ⊆ ℝ𝑛 tales que 𝐶 ⊆ 𝐶 ′.
7Algunos libros escriben simplex (del Nuevo Latín; su plural es simplicia) en vez de “símplice”.
3-11
MA–870: Geometría Diferencial 3.3. Símplices y cadenas
Definición 3.19. Una 𝒌-cadena simplicial en ℝ𝑛 es una suma formal de 𝑘-símplices con
coeficientes enteros:
𝐶 = 𝑎1𝜎1 + · · · + 𝑎𝑟𝜎𝑟 , con 𝑎1, . . . , 𝑎𝑟 ∈ ℤ,
donde 𝜎1, . . . , 𝜎𝑟 son 𝑘-símplices en ℝ𝑛. La totalidad de tales 𝑘-cadenas simpliciales,
denotada por 𝑆 𝑛𝑘 (ℝ ), es el ℤ-módulo (o grupo abeliano libre) generado por todos los
𝑘-símplices en ℝ𝑛.
El borde de un 𝑘-símplice 𝜎 =∑︁Δ(𝑝0, . . . , 𝑝𝑘) es la (𝑘 − 1)-cadena simplicial siguiente:𝑘
𝜕𝜎 := (−1) 𝑗 Δ(𝑝0, . . . , 𝑝 𝑗 , . . . , 𝑝𝑘). (3.13)
𝑗=0
Se extiende 𝜕 por ℤ-linealidad a las 𝑘-cadenas:
𝜕(𝑎1𝜎1 + · · · + 𝑎𝑟𝜎𝑟 ) := 𝑎1𝜕𝜎1 + · · · + 𝑎𝑟 𝜕𝜎𝑟 .
De esta manera, 𝜕 : 𝑆𝑘 (ℝ𝑛) → 𝑆𝑘−1(ℝ𝑛) es un homomorfismo de grupos abelianos. En el
caso 𝑘 = 0, se define 𝜕Δ(𝑝0) := 0, el cero del grupo trivial 𝑆−1(ℝ𝑛) := {0}. ♦
𝑝2
•
−• +• • •
𝑝0 𝑝1 𝑝0 𝑝1
Figura 3.1: Un 1-símplice y un 2-símplice con sus bordes
Ejemplo 3.20. Un 0-símplice Δ(𝑝0) es el punto {𝑝 } ⊂ ℝ𝑛0 . El 0-símplice estándar es el
origen: Δ0 = {0}.
Un 1-símplice Δ(𝑝0, 𝑝1) es el segmento [𝑝0, 𝑝1]. Su borde es la diferencia 𝜕Δ(𝑝0, 𝑝1) =
Δ(𝑝1) − Δ(𝑝0). Fíjese que 𝜕Δ(𝑝1, 𝑝0) = −𝜕Δ(𝑝0, 𝑝1); ese cambio de signo se indica, en la
Figura 3.1, al decorar [𝑝0, 𝑝1] con una flecha de 𝑝0 a 𝑝1. ♦
Ejemplo 3.21. Un 2-símplice es un triángulo Δ(𝑝0, 𝑝1, 𝑝2) = [𝑝0, 𝑝1, 𝑝2]. Su borde es
𝜕Δ(𝑝0, 𝑝1, 𝑝2) = Δ(𝑝1, 𝑝2) − Δ(𝑝0, 𝑝2) + Δ(𝑝0, 𝑝1)
= Δ(𝑝1, 𝑝2) + Δ(𝑝2, 𝑝0) + Δ(𝑝0, 𝑝1) . (3.14)
Esta es la suma formal de sus tres lados, recorridos en el sentido determinado por la
orientación inicial de sus vértices: véase la Figura 3.1. ♦
3-12
MA–870: Geometría Diferencial 3.3. Símplices y cadenas
En la fórmula (3.14), se ha escrito Δ(𝑝2, 𝑝0) = −Δ(𝑝0, 𝑝2), en vista de la igualdad
𝜕Δ(𝑝2, 𝑝0) = −𝜕Δ(𝑝0, 𝑝2) en el ejemplo anterior. Resulta conveniente, entonces, adoptar
el convenio de signo de que una permutación 𝜋 de los vértices de un 𝑘-símplice preserva
o revierte su signo, según sea 𝜋 para o impar:
Δ(𝑝𝜋 (0), 𝑝𝜋 (1), . . . , 𝑝 ) = (−1)𝜋𝜋 (𝑘) Δ(𝑝0, . . . , 𝑝𝑘) para 𝜋 ∈ 𝑆𝑘+1 . (3.15)
El signo de un 𝑘-símplice, considerado como una 𝑘-cadena con un solo término, tiene
una interpretación geométrica. Es posible cambiar el orden de los vértices mediante un
número finito de reflexiones de ℝ𝑛 que intercambian dos vértices mientras dejan fijos
los demás. Sea 𝜋 ∈ 𝑆𝑘+1 el producto correspondiente de transposiciones de los vértices.
El producto de las reflexiones modifica la forma de volumen 𝜈 de ℝ𝑛 en (−1)𝜋𝜈 . Por lo
tanto, el signo en (3.15) es +1 si y solo si la renumeración de los vértices preserva la
orientación dada de ℝ𝑛.
Ejemplo 3.22. El borde del 𝑘-∑︁símplice estándar Δ
𝑘 es
𝑘−1
𝜕Δ𝑘 = Δ(𝒆1, . . . , 𝒆𝑘) + (−1) 𝑗 Δ(0, 𝒆1, . . . , 𝒆 𝑗 , . . . , 𝒆𝑘) + (−1)𝑘Δ𝑘−1. (3.16)
𝑗=1
En particular, 𝜕Δ1 = Δ(𝒆1) − Δ0; y además 𝜕Δ2 = Δ(𝒆1, 𝒆2) − Δ(0, 𝒆2) + Δ1. ♦
Lema 3.23. Si 𝐶 ∈ 𝑆𝑘 (ℝ𝑛) es una 𝑘-cadena simplicial, entonces 𝜕(𝜕𝐶) = 0 en 𝑆 𝑛𝑘−2(ℝ ).
Demostració∑︁n. Basta comprobar que 𝜕(𝜕𝜎) = 0 para un 𝑘-símplice 𝜎 = Δ(𝑝0, . . . , 𝑝𝑘):𝑘
𝜕(𝜕∑︁𝜎) = (−1) 𝑗 𝜕Δ(𝑝0, . . . , 𝑝 𝑗 , . . . , 𝑝𝑘)𝑗=0 ∑︁
=∑︁((−1)
𝑖+ 𝑗 Δ(𝑝0, . . . , 𝑝𝑖,). . . , 𝑝
𝑖−1+ 𝑗
𝑗 , . . . , 𝑝𝑘) + (−1) Δ(𝑝0, . . . , 𝑝 𝑗 , . . . , 𝑝𝑖, . . . , 𝑝𝑘)
𝑖< 𝑗 𝑖> 𝑗
= (−1)𝑖+ 𝑗 + (−1) 𝑗−1+𝑖 Δ(𝑝0, . . . , 𝑝𝑖, . . . , 𝑝 𝑗 , . . . , 𝑝𝑘) = 0 por cancelación.
𝑖< 𝑗
En la primera sumatoria del segundo renglón, hay 𝑖 vértices antes de 𝑝𝑖 , mientras que en
la segunda hay (𝑖−1) vértices antes de 𝑝𝑖 . Es oportuno reorganizar la segunda sumatoria
con el cambio de índices 𝑖 ↔ 𝑗 . Entonces, entre las dos sumatorias, se repiten los términos
con signos opuestos. 
Todos los 𝑘-símplices en ℝ𝑘 están relacionados mediante transformaciones afines
de ℝ𝑘 . ÈUna transformación afín de ℝ𝑘 es una biyección que lleva rectas en rectas; como
3-13
MA–870: Geometría Diferencial 3.3. Símplices y cadenas
tal, es la composición de una aplicación lineal invertible y una traslación, 𝑥 ↦→ 𝐴𝑥 +𝑣 con
𝐴 ∈ GL(𝑘,ℝ), 𝑣 ∈ ℝ𝑘 .É En efecto, si 𝑝0, . . . , 𝑝𝑘 son afínmente independientes, hay una
única transformación afín 𝑠 de ℝ𝑘 tal que 𝑠 (𝒆 𝑗 ) = 𝑝 𝑗 para 𝑗 = 0, . . . , 𝑘. En consecuencia,
𝑠 (Δ𝑘) = Δ(𝑝0, . . . , 𝑝𝑘).
En otras palabras, la imagen del Δ𝑘 bajo 𝑠 es el conjunto convexo [𝑝0, . . . , 𝑝𝑘]; y si
𝑠 (𝑥) ≡ 𝐴𝑥 + 𝑣 , el signo ±1 de Δ(𝑝0, . . . , 𝑝𝑘) es el signo de (det𝐴).
La fórmula (3.16) para el borde del∑︁𝑘-símplice estándar se puede abreviar como𝑘
𝜕Δ𝑘 = (−1) 𝑗 𝑠𝑘𝑗 (Δ𝑘−1), (3.17a)
𝑗=0
donde las aplicaciones faciales 𝑠𝑘𝑗 : ℝ
𝑘−1 → ℝ𝑘 , para 𝑗 = 0, . . . , 𝑘, son las aplicaciones
afines determinadas por lo{s vértices, de esta manera: {
𝑘 0 si 𝑗 > 0, 𝒆 si 𝑖 < 𝑗,𝑠 𝑗 (0) :
𝑖
= 𝑠𝑘 (𝒆𝑖) := (3.17b)
𝒆1 si 𝑗 = 0
𝑗
, 𝒆𝑖+1 si 𝑖 > 𝑗 .
Nótese que 𝑠𝑘 = 1𝑘 es la aplicación identidad sobre ℝ𝑘 . Además, la lista de vértices𝑘
{𝑠𝑘𝑗 (0), 𝑠𝑘𝑗 (𝒆1), . . . , 𝑠𝑘𝑗 (𝒆𝑘−1)} omite el vértice 𝒆 𝑗 de Δ𝑘 ; entonces, el símplice 𝑠𝑘 (Δ𝑘−1𝑗 ) es la
faceta de Δ𝑘 opuesto al vértice 𝒆 𝑗 . La cadena 𝜕Δ𝑘 es la suma alternada de estas facetas.
I Los dominios de integración de 𝑘-formas sobre una variedad generalmente no son
cadenas simpliciales, pero comparten la estructura combinatoria de esas cadenas. Una
generalización apropiada de las cadenas simpliciales consiste en reemplazar las imágenes
afines de los Δ𝑘 por sus imágenes bajo funciones suaves.⁸
Definición 3.24. Sea 𝑀 una variedad diferencial. Si 𝑘 ∈ ℕ, un 𝒌-símplice singular
(suave) es una función suave 𝜎 : Δ𝑘 → 𝑀 cualquiera. (Por función suave con dominio Δ𝑘 ,
se entiende la restricción a Δ𝑘 de una función suave 𝜎 : 𝑉 → 𝑀 cuyo dominio es un
abierto 𝑉 con Δ𝑘∑ ⊂ 𝑉 ⊆ ℝ
𝑘 .)
Una 𝒌-cadena singular (suave) en 𝑀 , con coeficientes reales, es una suma finita
formal 𝑐 = 𝑟𝑖=1 𝑎𝑖𝜎𝑖 , con 𝑎𝑖 ∈ ℝ, donde los 𝜎𝑖 son 𝑘-símplices singulares (suaves) en 𝑀 .
La totalidad de 𝑘-cadenas singulares en 𝑀 se denotará por 𝑆𝑘 (𝑀,ℝ); este es el espacio
ℝ-vectorial generado por los 𝑘-símplices singulares. ♦
8Habría más flexibilidad si se usara imágenes continuas de los Δ𝑘 en vez de imágenes suaves solamente.
Eso permitiría considerar dominios de integración menos regulares, si fuera necesario.
3-14
MA–870: Geometría Diferencial 3.3. Símplices y cadenas
Definición 3.25. El borde de un 𝑘-símplice singular 𝜎 : Δ𝑘 → 𝑀 es la (𝑘 − 1)-cadena
singular definido por
∑︁𝑘
𝜕𝜎 := (−1) 𝑗 𝜎 ◦ 𝑠𝑘𝑗 : Δ𝑘−1 → 𝑀, (3.18)
𝑗=0
donde las aplicaciones faciales (3.17b) se interpretan como funciones 𝑠𝑘𝑗 : Δ
𝑘−1 → Δ𝑘 .
Al extender (3.18) por lineal∑︁idad, se obtiene el∑︁borde de una 𝑘-cadena singular:𝑟 𝑟
𝑐 = 𝑎𝑖𝜎𝑖 =⇒ 𝜕𝑐 := 𝑎𝑖 𝜕𝜎𝑖 .
𝑖=1 𝑖=1
Entonces (3.18) define una aplicación ℝ-lineal 𝜕 : 𝑆𝑘 (𝑀,ℝ) → 𝑆𝑘−1(𝑀,ℝ).
Un 0-símplice singular es un punto de𝑀: si 𝑝 ∈ 𝑀 , se identifica 𝑝 con la única función
𝜎 : Δ0 → 𝑀 tal que 𝜎 (Δ0) = 𝑝. Como 𝜕Δ0 = 0 por regla, se declara que 𝑆−1(𝑀,ℝ) := {0}
y se pone 𝜕𝑐 := 0 para 𝑐 ∈ 𝑆0(𝑀,ℝ). ♦
Lema 3.26. Si 𝑐 ∈ 𝑆𝑘 (𝑀,ℝ) es una 𝑘-cadena singular, entonces
𝜕(𝜕𝑐) = 0 en 𝑆𝑘−2(𝑀,ℝ).
Demostración. A partir de las fórmulas (3.17) y (3.18), la demostración del Lema 3.23 se
traduce directamente en un cálculo que da 𝜕(𝜕𝜎) = 0 por cancelación. Por linealidad, se
obtiene 𝜕(𝜕𝑐) = 0 para una 𝑘-cadena 𝑐 cualquiera. 
Definición 3.27. Un 𝒌-ciclo singular es una 𝑘-cadena singular 𝑐 tal que 𝜕𝑐 = 0. La
totalidad de 𝑘-ciclos es un subespacio ℝ-vectorial de 𝑆𝑘 (𝑀,ℝ), denotado por
𝑍𝑘 (𝑀,ℝ) := { 𝑐 ∈ 𝑆𝑘 (𝑀,ℝ) : 𝜕𝑐 = 0 }.
En particular, se ve que 𝑍0(𝑀,ℝ) = 𝑆0(𝑀,ℝ).
Un 𝒌-borde singular es el borde de una (𝑘 + 1)-cadena singular; el subespacio
𝐵𝑘 (𝑀,ℝ) := { 𝜕𝑏 : 𝑏 ∈ 𝑆𝑘+1(𝑀,ℝ) }
de los 𝑘-bordes cumple 𝐵𝑘 (𝑀,ℝ) ⊆ 𝑍𝑘 (𝑀,ℝ) para todo 𝑘, por la relación 𝜕(𝜕𝑐) = 0.
El espacio ℝ-vectorial cociente
𝐻𝑘 (𝑀,ℝ) := 𝑍𝑘 (𝑀,ℝ)/𝐵𝑘 (𝑀,ℝ)
es el 𝑘-ésimo espacio⁹ de homología singular real de la variedad 𝑀 . ♦
9Los 𝐻𝑘 (𝑀,ℝ) también se llaman grupos (abelianos) de homología, en vez de “espacios vectoriales”.
3-15
MA–870: Geometría Diferencial 3.3. Símplices y cadenas
Los 𝑆𝑘 (𝑀,ℝ) forman un complejo: una sucesión de espacios vectoriales ligados por
aplicaciones lineales 𝜕 tales que 𝜕 ◦ 𝜕 = 0 en cada caso:
· · · −→𝜕 𝜕 𝜕𝑆𝑘+1(𝑀,ℝ) −→ 𝑆𝑘 (𝑀,ℝ) −→ 𝑆𝑘−1(𝑀,ℝ) −→
𝜕 · · · −→𝜕 𝜕𝑆0(𝑀,ℝ) −→ 0. (3.19)
ÈEl contexto general que abarca el concepto de un complejo es el siguiente. Dado
un anillo conmutativo 𝑅 cualquiera, se define un complejo 𝐶• = {𝐶𝑘 : 𝑘 ∈ ℤ } como
una sucesión de 𝑅-módulos (en algunos casos con 𝐶𝑘 = 0 para 𝑘 < 0) dotado con una
familia de 𝑅-homomorfismos 𝜕 : 𝐶𝑘 → 𝐶𝑘−1 tales que 𝜕 ◦ 𝜕 = 0 : 𝐶𝑘 → 𝐶𝑘−2 en cada
caso. Se identifica dos 𝑅-submódulos de cada 𝐶𝑘 : los 𝒌-ciclos 𝑍𝑘 := ker(𝜕 : 𝐶𝑘 → 𝐶𝑘−1)
y los 𝒌-bordes 𝐵𝑘 := im(𝜕 : 𝐶𝑘+1 → 𝐶𝑘). La condición 𝜕 ◦ 𝜕 = 0 implica que 𝐵𝑘 ⊆ 𝑍𝑘 . Los
𝑅-módulos cocientes 𝐻𝑘 := 𝑍𝑘/𝐵𝑘 forman la homología del complejo 𝐶•.
En particular, se puede replantear las cadenas singulares con coeficientes en ℤ en
vez de ℝ; tales cadenas forman un complejo de grupos abelianos (ℤ-módulos). Los
grupos abelianos 𝐻𝑘 (𝑀,ℤ), para 𝑘 ∈ ℕ, forman la homología singular de𝑀 (sin adjetivo
calificativo); ellos podrían tener subgrupos de torsión, en contraste con los 𝐻𝑘 (𝑀,ℝ).É
Figura 3.2: Una triangulación de la esfera 𝕊2
Ejemplo 3.28. Considérese la 2-cadena singular en 𝕊2:
𝑐 = 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 + 𝜎4 + 𝜎5 + 𝜎6 + 𝜎7 + 𝜎8
cuyos 𝜎𝑖 son los triángulos esféricos formados por las intersecciones de𝕊2 con los octantes
𝑥 𝑗 ≷ 0 de ℝ3. Se recorren sus vértices en el orden contrario a reloj, visto desde el punto
diagonal (±1,±1,±1) del octante correspondiente (véase la Figura 3.2). El borde 𝜕𝑐 es
una suma de arcos orientados, de un cuarto de gran círculo cada uno, sobre los gran
círculos 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0 y 𝑥3 = 0. Resulta que estos arcos orientados se cancelan en pares,
y por ende 𝑐 ∈ 𝑍2(𝕊2,ℝ). Nótese que la unión de los triángulos colindantes es todo 𝕊2.
Se puede mostrar que 𝐵2(𝕊2,ℝ) = {0}, así que [𝑐] ≠ 0 en 𝐻2(𝕊2,ℝ).
Sucede que 𝐻2(𝕊2,ℝ) = 𝐻0(𝕊2,ℝ) = ℝ y que 𝐻 2𝑘 (𝕊 ,ℝ) = 0 para 𝑘 = 1 o 𝑘 > 3.
3-16
MA–870: Geometría Diferencial 3.3. Símplices y cadenas
La igualdad𝐻0(𝕊2,ℝ) = ℝ dice que 𝕊2 es conexo por arcos. Si 𝑝, 𝑞 ∈ 𝕊2, la diferencia
{𝑝}− {𝑞} es el borde de un arco de círculo 𝛾 ∈ 𝑆1(𝕊2,ℝ) que va desde 𝑞 a 𝑝. Por lo tanto,
{𝑝} − {𝑞} = 𝜕𝛾 ∈ 𝐵 20(𝕊 ,ℝ); pero el singulete {𝑝} no es el borde de un arco. Entonces
{𝑝} representa un elemento no cero 𝐻0(𝕊2,ℝ), mientras {𝑝} − {𝑞} representa el cero de
este espacio cociente, así que [𝑝] = [𝑞]. En resumen, 𝐻0(𝕊2,ℝ) = ℝ [𝑝] ' ℝ.
En general, si𝑀 es una variedad diferencial con𝑚 componentes conexos (por arcos),
entonces 𝐻 𝑚0(𝑀,ℝ) ' ℝ . ♦
I Después de estos prolegómenos, ya se puede plantear la integral de una 𝑘-forma sobre
la “región de integración” dada por una 𝑘-cadena singular.
Definición 3.29. Sea 𝜎 : Δ𝑘 → 𝑀 un 𝑘-símplice singular en una variedad diferencial 𝑀
y sea 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑀) una 𝑘-forma (con 𝑘 6 dim𝑀). Hay un abierto 𝑉 de ℝ𝑘 con Δ𝑘 ⊂ 𝑉 al
cual 𝜎 se extiende como aplicación suave 𝜎 : 𝑉 → 𝑀 . Entonces 𝜎∗𝜔 ∈ A𝑘 (𝑉 ) posee una
integral dada por la Definición 3.13.∫La inte∫gral de 𝝎 sobre 𝝈 se define por
𝜔 := 𝜎∗𝜔 . (3.20a)
𝜎 Δ𝑘
Si 𝜎∫∗𝜔 = 𝑔(𝑥1,∫. . . ,∫𝑥𝑘) 𝑑𝑥1 ∧∫· · · ∧ 𝑑𝑥𝑘 ∈ A𝑘 (𝑉 ), el lado derecho es una integral iterada:1 1−𝑥𝑘 1−𝑥2−···−𝑥𝑘
𝜎∗𝜔 := · · · 𝑔(𝑥1, . . . , 𝑥𝑘) 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑘−1 ∧ 𝑑𝑥𝑘 . (3.20b)
Δ𝑘 0 0 0
Es importante notar que el lado derecho de (3.20a) no depende de la extensión de 𝜎
al abierto 𝑉 que incluye Δ𝑘 . En efecto, si 𝜏 : 𝑉 ′ → 𝑉 es un difeomorfismo de 𝑉 en otro
abierto que incluye Δ𝑘 , ta∫l que 𝜏 (𝑥) = 𝑥 p∫ara todo 𝑥 ∈ Δ∫𝑘 , entonces
(𝜎 ◦ 𝜏)∗𝜔 = 𝜏∗(𝜎∗𝜔) = 𝜎∗𝜔
Δ𝑘 Δ𝑘 Δ𝑘
por la Proposición 3.16, porque la restricción a Δ𝑘 del difeomorfismo 𝜏 : 𝑉 ′ → 𝑉 es la
aplicación∑idéntica 1 : Δ𝑘Δ𝑘 → Δ𝑘 . ∫
Si 𝑐 = 𝑟𝑖=1 𝑎𝑖𝜎𝑖 es una 𝑘-caden∫a singular en 𝑀 , se define 𝜔 al extender (3.20a) por𝑐
linealidad. De esta manera, 𝑐 →↦ ∫𝜔 es un∑︁func∫ional lineal sobre 𝑆𝑘 (𝑀,ℝ), al poner𝑐 𝑟
𝜔 := 𝑎𝑖 𝜔 . ♦
𝑐 𝑖=1 𝜎𝑖
3-17
MA–870: Geometría Diferencial 3.4. El teorema de S∑tokes
Observación. Una tria⋃ngulación de la variedad orientable 𝑀 es un 𝑛-ciclo 𝑐 = 𝑖 ±𝜎𝑖
sobre𝑀 tal que𝑀 = 𝑛𝑖 𝜎𝑖 (Δ ) y tal que las expresiones locales 𝜙𝛼 ◦𝜎𝑖 con respecto a un
atlas compatible con la orientación tengan jacobianos positivos. Un teorema no trivial de
la topología algebraica asegura que cada variedad orientable compacta admite una trian-
gulación.1⁰ También es posible, mediante un proceso llamado subdivisión baricéntrica,
refinar una triangulación dada para obtener otra más fina, en la cual que cada símplice
esté incluido en el dominio de alguna carta local de𝑀 . (La subdivisión baricéntrica c∫on-
serva la homología singular de 𝑀 .) El resultado de este proceso es que la integral 𝜔
𝑐
de una 𝑛-forma 𝜔 puede evaluarse por cálculos son coordenadas locales.
3.4. El teorema de Stokes
Las formas diferenciales y cadenas singulares permiten unificar diversas teoremas del
“análisis vectorial”∫en un solo enunciado: el teorema de Stokes. El paso esencial en suprueba es la invocación del teorema fundamental del cálculo unidimensional, esto es, la
fórmula conocida 𝑏 𝐹 ′(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐹 (𝑏) − 𝐹 (𝑎). A la vez, el lenguaje de formas y cadenas
𝑎
señala que el teorema de Stokes es esencialmente un teorema de dualidad.
Teorema 3.30 (Stokes). Sea𝑀 una variedad diferencial de dimensión 𝑛; sea 𝑐 ∈ 𝑆𝑘 (𝑀,ℝ)
una 𝑘-cadena singular suave sobre 𝑀 con 𝑘 ∈ {1, . . . , 𝑛}; y sea 𝜂 ∈ A𝑘−1(𝑀) una forma
diferencial sobre 𝑀 de grado (𝑘 − 1). E∫ntonces∫la siguiente igualdad es válida:
𝜂 = 𝑑𝜂. (3.21)
𝜕𝑐 𝑐
Demostración. Los dos lados de (3.21) son lineales en 𝑐, así que basta comprobar esta
ecuación cuando 𝑐 = 𝜎 es u∫n 𝑘-símplic∫e singular su∫ave. Se debe mostrar que
𝜎∗𝜂 = 𝜎∗(𝑑𝜂) = 𝑑 (𝜎∗𝜂) (3.22)
𝜕Δ𝑘 Δ𝑘 Δ𝑘
para todo𝜂 ∈ A𝑘−1(𝑀). Aquí𝜎∗𝜂 es una (𝑘−1)-forma diferencial definido en un abierto𝑉
con Δ𝑘 ⊂ 𝑉 ⊆ ℝ𝑘 , que tiene la siguiente expresión en las coordenadas cartesianas deℝ𝑘∑︁ :𝑘
𝜎∗𝜂 = 𝑔 𝑗 (𝑥1, . . . , 𝑥𝑘) 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥 𝑗 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑘 .
𝑗=1
10En la categoría más amplia de variedades diferenciales con borde, las triangulaciones son cadenas
pero no necesariamente son ciclos.
3-18
MA–870: Geometría Diferencial 3.4. El teorema de Stokes
Por la linealidad en 𝜂 de los tres términos en (3.22), basta considerar el caso de un solo
sumando al lado derecho; entonces se puede suponer que
𝜎∗𝜂 = 𝑔(𝑥1, . . . , 𝑥𝑘) 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑘−1.
(Los otros sumandos son análogos, después de una permutación cíclica de las variables 𝑥 𝑗
y un cambio de la función coeficiente.) La derivada exterior de esta expresión es
𝜎∗(𝑑𝜂) = 𝑑 (𝜎∗𝜂) 𝜕𝑔= (𝑥1, . . . , 𝑥𝑘) 𝑑𝑥𝑘 ∧ 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑘−1 (3.23)
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑔
= (−1)𝑘−1 (𝑥1, . . . , 𝑥𝑘) 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑘−1 ∧ 𝑑𝑥𝑘 .
𝜕𝑥𝑘 ∑
Por otro lado, la fórmula (3.16) dice que el borde 𝜕Δ𝑘 es una cadena 𝑘 𝑗𝑗=0(−1) 𝜎 𝑗 , la
suma alternada de (𝑘 + 1) sí{mplices de dimensi∑ón (𝑘 − 1); la primera de estas fa}cetas es
𝜎0 = Δ(𝒆1, . . . , 𝒆 ) = (𝑥1𝑘 , . . . , 𝑥𝑘−1, 1 − 𝑘−1 𝑥 𝑗𝑗=1 ) : (𝑥1, . . . , 𝑥𝑘−1) ∈ Δ𝑘−1 .
Esta es la parte del hiperplano 𝑥1 + · · · +𝑥𝑘 = 1 con coordenadas no negativas. La última
faceta es 𝜎𝑘 = Δ𝑘−1. También hay facetas intermedias 𝜎 𝑗 = Δ(0, 𝒆1, . . . , 𝒆 𝑗 , . . . , 𝒆𝑘) en los
hiperplanos 𝑥 𝑗 = 0, para 𝑗 ∈ {1, . . . , 𝑘 − 1}.
∫ Al combinar la∫s fórmulas anteriores, se obtiene:
𝜎∗( ) (3.23) 𝜕𝑔𝑑𝜂 = ∫ ∫ (𝑥1, . .∫. , 𝑥𝑘) 𝑑𝑥𝑘 ∧ 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑘−1𝑘Δ 𝜕𝑥𝑘 Δ𝑘1 1−𝑥1 1−𝑥1−···−𝑥𝑘−1
(3.20)
=∫ ( · · ·
𝜕𝑔 (𝑥1∑ , . . . , 𝑥
𝑘) 𝑑𝑥𝑘 ∧ 𝑑 1 𝑘−1
0 0 0 𝜕𝑥𝑘
(a) ∫ 1 −1 −1 1 −1 )
𝑥 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥
= 𝑔(𝑥 , . . . , 𝑥𝑘 , 1 − 𝑘 𝑗 𝑘𝑗=1 𝑥 ) − 𝑔(𝑥 , . . . , 𝑥 , 0) 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑘−1
Δ𝑘−1
(b)
= 𝑔(∫𝑥1, . . . , 𝑥𝑘) 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑘−1Δ(𝒆1,...,𝒆𝑘 )
∫− (−1)𝑘−1 𝑔(𝑥1, . . . , 𝑥𝑘) 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑘−1Δ(𝒆1,...,𝒆𝑘−1,0) ∫
(c)
= 𝑔(𝑥1, . . . , 𝑥𝑘) 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑘−1 = 𝜎∗𝜂.
𝜕Δ𝑘−1 𝜕Δ𝑘−1
La igualda∫d (a) viene del teorema fundamental del cálculo en una variable. En la (b),las regiones de integración son las facetas 𝜎0 y 𝜎𝑘 de 𝜕Δ𝑘 . Sobre las otras facetas 𝜎 𝑗 , las
integrales 𝑔(𝑥1, . . . , 𝑥𝑘) 𝑑𝑥1∧· · ·∧𝑑𝑥𝑘−1 valen 0 porque la coordenada 𝑥 𝑗 es constante
𝜎 𝑗
y por ende 𝑑𝑥 𝑗 = 0 a lo largo de 𝜎 𝑗 ; la igualdad (c) queda establecida. 
3-19
MA–870: Geometría Diferencial 3.4. El teorema de Stokes
Ejemplo 3.31. Este “teorema de Stokes” generaliza varios resultados clásicos del llamado
análisis vectorial. Por ejemplo, si 𝛾 : [𝑎, 𝑏] → ℝ𝑛 es una curva suave y si 𝑭 : 𝑉 → ℝ𝑛 es
una función de clase 𝐶1 definido en un abierto 𝑉 con 𝛾 ( [𝑎, 𝑏]) ⊂ 𝑉 ⊆ ℝ𝑛, la integral de
l∫ínea de 𝑭 s∫obre la curv∫a 𝛾 es igual a ∫ 𝑏 ∫ 𝑏
𝑭 · 𝑑𝒓 ≡ 𝐹 𝑑𝑥 𝑗𝑗 = 𝛾∗(𝐹 𝑗 𝑑𝑥 𝑗 ) = 𝐹 (𝛾 (𝑡)) (𝛾 𝑗 )′𝑗 (𝑡) 𝑑𝑡 ≡ 𝑭 (𝛾 (𝑡)) · 𝛾 ′(𝑡) 𝑑𝑡 .
𝛾 𝛾 [𝑎,𝑏] 𝑎 𝑎
La curva 𝛾 es un 1-símplice singular. Si existe una función potencial 𝑣 : ℝ𝑛 → ℝ tal que
𝑭 = ∇𝑣 (es deci∫r, 𝐹 𝑗𝑗 = 𝜕𝑣/𝜕∫𝑥 para cada∫𝑗), ento∫nces
· 𝜕𝑣𝑭 𝑑𝒓 = 𝑑𝑥 𝑗 = 𝑑𝑣 = 𝑣 ≡ 𝑣 (𝛾 (𝑏)) − 𝑣 (𝛾 (𝑎)) .
𝜕𝑥 𝑗𝛾 𝛾 𝛾 𝜕𝛾
porque el borde de𝛾 es la 0-cadena singular 𝜕𝛾 := {𝛾 (𝑏)}−{𝛾 (𝑎)}. La parametrización de
la curva reduce este caso del teorema de Stokes a una instancia del teorema fundamental
del cálculo unidimension∫al:𝑏 𝑑 [ ]
𝑣 (𝛾 (𝑡)) 𝑑𝑡 = 𝑣 (𝛾 (𝑏)) − 𝑣 (𝛾 (𝑎)). ♦
𝑎 𝑑𝑡
Ejemplo 3.32 (Teorema de Green). Sea 𝑅 una región abierta del plano ℝ2 cuya frontera
𝐶 es suave por trozos. Si 𝑃,𝑄 : 𝑉 → ℝ son dos funciones de clase 𝐶1 definidos en un
abierto 𝑉 tal que 𝑅 ⊂ 𝑉∮⊆ ℝ2, entonces ∬ ( )
𝜕𝑄 𝜕𝑃
𝑃 𝑑𝑥 +𝑄 𝑑𝑦 = − 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦. (3.24)
𝐶 𝑅 𝜕𝑥 𝜕𝑦
En efecto, si 𝛼 := 𝑃 𝑑𝑥 +𝑄 𝑑𝑦 ∈ A1(𝑉 ), entonces ( )
𝜕𝑃 𝜕𝑄 𝜕𝑄 𝜕𝑃
𝑑𝛼 = 𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑥 +∫ 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 = − 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦,𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦
así que el lado derecho de (3.24) es 𝑑𝛼 .
𝑅
Ahora bien, la clausura 𝑅 admite una triangulación: 𝑅 = 𝜎1(Δ2) ∪ · · · ∪ 𝜎𝑟 (Δ2) es
una unión finita de conjuntos difeomorfos a triángulos que no traslapan.11 La 2-cadena
singular 𝑐 = 𝜎1 + · · · + 𝜎𝑟 tiene borde 𝜕𝑐 = 𝜕𝜎1 + · · · + 𝜕𝜎𝑟 que cumple 𝜕𝑐 (Δ1) = 𝐶. En
la suma orientada de los 𝜕𝜎𝑖 (Δ1), hay arcos d∫e “fronteras internas” que se cancelan enpares mientras los restantes arcos constituyen la frontera 𝐶 de 𝑅 con recorrido positivo.
El lado izquierdo de (3.24) entonces es 𝛼; la igualdad de los dos lados es un
𝜕𝑐
caso del teorema de Stokes. El 1-borde 𝜕𝑐 es también un 1-ciclo singular: su imagen
𝜕𝑐 (Δ1) = 𝐶 es la unión de una o varias curvas cerradas en 𝑉 . Véase la Figura 3.3. ♦
3-20
MA–870: Geometría Diferencial 3.4. El teorema de Stokes
•
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Figura 3.3: Triangulaciones de regiones del plano
I El complejo (𝑆•(𝑀,ℝ), 𝜕) de (3.19), determinado por las cadenas singulares reales y
su operación de borde, puede compararse con el siguiente complejo, determinado por
las formas diferenciales sobre 𝑀 y la derivada exterior:
−→𝑑 0( 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑0 A 𝑀) −→A1(𝑀) −→ · · · −→A𝑘−1(𝑀) −→A𝑘 (𝑀) −→A𝑘+1(𝑀) −→ · · · (3.25)
en vista de la propiedad 𝑑 ◦ 𝑑 = 0 del Teorema 2.27. Desde luego, este complejo es finito,
pues A𝑘 (𝑀) = {0} para 𝑘 < 0 o 𝑘 > dim𝑀 .
ÈUn complejo de 𝑅-módulos se puede renumerar al poner 𝐶𝑘 := 𝐶−𝑘 y renombrar 𝜕
por 𝑑 : 𝐶𝑘 → 𝐶𝑘+1, con 𝑑 ◦ 𝑑 = 0 : 𝐶𝑘 → 𝐶𝑘+2. En el complejo 𝐶• = {𝐶𝑘 : 𝑘 ∈ ℤ } de
𝒌-cocadenas (a veces con𝐶𝑘 = 0 para 𝑘 < 0), se identifican dos submódulos de cada𝐶𝑘 :
los 𝒌-cociclos 𝑍𝑘 := ker(𝑑 : 𝐶𝑘 → 𝐶𝑘+1) y los 𝒌-cobordes 𝐵𝑘 := im(𝑑 : 𝐶𝑘−1 → 𝐶𝑘),
siempre con 𝐵𝑘 ⊆ 𝑍𝑘 . Los 𝑅-módulos cocientes 𝐻𝑘 := 𝑍𝑘/𝐵𝑘 forman la cohomología del
complejo 𝐶•.É
Definición 3.33. Conviene introducir las siguientes notaciones para las 𝑘-formas cerradas
y exactas, respectivamente:12
𝑍𝑘dR(𝑀) := {𝜔 ∈ A
𝑘 (𝑀) : 𝑑𝜔 = 0 }, 𝐵𝑘dR(𝑀) := {𝑑𝜂 : 𝜂 ∈ A
𝑘−1(𝑀) }.
La relación 𝑑 (𝑑𝜂) = 0 dice que 𝐵𝑘dR(𝑀) es un subespacio ℝ-vectorial de 𝑍
𝑘
dR(𝑀). Los
espacios vectoriales cocientes: /
𝐻𝑘dR(𝑀) := 𝑍
𝑘
dR(𝑀) 𝐵
𝑘
dR(𝑀) para 𝑘 = 0, 1, . . . , dim𝑀 (3.26)
son los “grupos” de la cohomología de de Rham de la variedad 𝑀 . ♦
11Dos regiones de ℝ𝑛 no traslapan si su intersección bien es vacía o bien es parte de su frontera común.
12El subíndice ‘dR’ hace referencia al matemático suizo Georges de Rham, quien mostró en 1931 un
isomorfismo canónico entre cada 𝐻𝑘dR (𝑀) y el espacio vectorial dual 𝐻𝑘 (𝑀,ℝ)
∗.
3-21
MA–870: Geometría Diferencial 3.4. El teorema de Stokes
Ejemplo 3.34. El lema de Poincaré (Teorema 2.46) muestra que 𝐻𝑘 (ℝ𝑛dR ) = 0 para
todo 𝑘 > 1. En efecto, para 𝑘 > 1, toda 𝑘-forma cerrada es exacta, esto es: 𝑍𝑘 𝑛dR(ℝ ) =
𝐵𝑘 (ℝ𝑛dR ).
En cambio, 𝑍0dR(ℝ
𝑛) = { 𝑓 ∈ 𝐶∞(ℝ𝑛) : 𝑑 𝑓 = 0 } consta de las funciones constantes
(porque ℝ𝑛 es conexo), así que 𝑍0 𝑛dR(ℝ ) {' ℝ. Como 𝐵0dR(ℝ𝑛) = {0} por definición, seobtiene
𝑘 𝑛 ℝ si 𝑘 = 0,𝐻dR(ℝ ) = ♦{0} si 𝑘 > 0.
Definición 3.35. Sea𝑀 una variedad diferencial. La integración sobre cadenas singulares
define una forma ℝ-bilineal ∫
(𝑐, 𝜔) ↦→ 𝜔 : 𝑆𝑘 (𝑀,ℝ) ×A𝑘 (𝑀) → ℝ.
𝑐
El teorema de Stokes demuestra∫que el re∫sultado es cero en estos dos casos:
(a) ∫Si 𝜔 ∈ 𝑍𝑘dR(𝑀), entonces 𝜔 = 𝑑𝜔 = 0, para todo 𝑏 ∈ 𝑆𝑘+1(𝑀,ℝ). Por eso,𝜕𝑏 𝑏
𝜔 = 0 toda vez que 𝜔 ∈ 𝑍∫𝑘dR(𝑀) y∫𝑐 ∈ 𝐵𝑘 (𝑀,ℝ).𝑐
(b) ∫Si 𝑐 ∈ 𝑍𝑘 (𝑀,ℝ), entonces 𝑑𝜂 = 𝜂 = 0 para todo 𝜂 ∈ A𝑘−1(𝑀). Por lo tanto,𝑐 𝜕𝑐
𝜔 = 0 toda vez que 𝜔 ∈ 𝐵𝑘
𝑐 dR(𝑀) y 𝑐 ∈ 𝑍𝑘 (𝑀,ℝ). ∫
En consecuencia, si (𝑐, 𝜔) ∈ 𝑍𝑘 (𝑀,ℝ) × 𝑍𝑘dR(𝑀), el valor 𝜔 depende solamente de las𝑐
clases [𝑐] ∈ 𝐻𝑘 (𝑀,ℝ) y [𝜔] ∈ 𝐻𝑘
( ) dR∫
(𝑀). Esto define bien una forma bilineal:
[𝑐], [𝜔] →↦ 𝜔 : 𝐻𝑘 (𝑀,ℝ) × 𝐻𝑘dR(𝑀) → ℝ (3.27)
𝑐
que expresa un apareamiento entre la homología singular real de 𝑀 y la cohomología
de de Rham de 𝑀 , mediante la integración de formas diferenciales cerradas sobre ciclos
singulares del mismo grado. ♦
El teorema de de Rham asegura que esta forma bilineal es no degenerada. Por lo
tanto, induce un isomorfismo lineal13 entre 𝐻𝑘dR(𝑀) y el espacio dual 𝐻𝑘 (𝑀,ℝ)
∗, para
13Estos isomorfismos (y su expresión mediante el teorema de Stokes) fueron demostrados en la tesis
doctoral de Georges de Rham en 1933. Para los detalles de este teorema y su prueba, consúltese el capítulo 8
del libro de Conlon.
3-22
MA–870: Geometría Diferencial 3.4. El teorema de Stokes
cada 𝑘 ∈ {0, 1, . . . , dim𝑀}. En particular, vale dim 𝐻𝑘ℝ dR(𝑀) = dimℝ𝐻𝑘 (𝑀,ℝ) para
cada 𝑘 y además 𝐻𝑟 (𝑀,ℝ) = {0} para 𝑟 > dim𝑀 .
El teorema de de Rham tiene varias consecuencias. En primer lugar, la homología
singular real de 𝑀 solo depende de la topología de 𝑀: la generalización de 𝑘-símplices
singulares a funciones continuas 𝜎 : Δ𝑘 → 𝑀 (no necesariamente suaves, ni definidas
fuera de Δ𝑘) no cambia los espacios vectoriales 𝐻𝑘 (𝑀,ℝ). Los isomorfismos 𝐻𝑘 (𝑀,ℝ) '
𝐻𝑘dR(𝑀) dados por (3.27) indican que los 𝐻
𝑘
dR(𝑀) son invariantes topológicos de 𝑀; por
ende, no depende de la estructura diferencial de 𝑀 .
Enmuchos casos – entre ellos, las variedades compactas o contractibles – la homología
singular de𝑀 es finita: es decir, todos los espacios vectoriales 𝐻𝑘 (𝑀,ℝ) son finitodimen-
sionales. En consecuencia, los espacios vectoriales 𝐻𝑘dR(𝑀) son finitodimensionales. (Por
lo general, los espacios 𝑍𝑘dR(𝑀) y 𝐵
𝑘
dR(𝑀) son infinitodimensionales.)
Las dimensiones
𝑏𝑘 = 𝑏𝑘 (𝑀) := dim 𝐻𝑘ℝ dR(𝑀), para 𝑘 = 0, 1, . . . , 𝑛, (3.28)
se llaman los números de Betti de 𝑀 . Ellos son invariantes topológicos de 𝑀 .
Ejemplo 3.36. El círculo 𝕊1 = { (𝑥,𝑦) ∈ ℝ2 : 𝑥2 + 𝑦2 = 1 } tiene dimensión 1, así que
𝐻𝑘 1dR(𝕊 ) = {0} para 𝑘 > 2.
Nótese que 𝐻0dR(𝕊
1) = 𝑍0dR(𝕊
1) porque 𝐵0dR(𝕊
1) = {0}. Una 0-forma cerrada es una
función suave 𝑓 : 𝕊1 → ℝ tal que 𝑑 𝑓 = 0; en una carta local (𝑈 ,𝜙) con coordenada
local 𝜃 , vale 𝑑 𝑓 |𝑈 = 𝑓 ′(𝜃 ) 𝑑𝜃 = 0, así que 𝑓 ′(𝜃 ) ≡ 0 para 𝜃 ∈ 𝜙 (𝑈 ). Se deduce que
la función 𝑓 es localmente constante; y de hecho, por ser 𝕊1 conexo, 𝑓 es una función
constante: 𝑓 ≡ 𝑐 para algún 𝑐 ∈ ℝ. Se sigue que 𝐻0dR(𝕊
1) ' ℝ.
Por otro lado, 𝕊1 es orientable y posee una 1-forma que no se anula. En efecto, si
𝑈 := { (𝑥,𝑦) ∈ 𝕊1 : 𝑥 ≠ 0 } y 𝑉 := { (𝑥,𝑦) ∈ 𝕊1 : 𝑦 ≠ 0 }, defínase 𝛼 ∈ A1(𝕊1) por
𝛼  1 1:= 𝑑𝑦, 𝛼  := − 𝑑𝑥,
𝑈 𝑥 𝑉 𝑦
al notar que 𝑑𝑦/𝑥 + 𝑑𝑥/𝑦 = 𝑑 (𝑥2 + 𝑦2)/(2𝑥𝑦) = 0 en 𝑈 ∩ 𝑉 . Esto dice que 𝛼 |𝑈∩𝑉 no
es ambiguo; y se ve que 𝛼 ∈ A1(𝕊1) = 𝑍1 1dR(𝕊 ) no se anula. Por otro lado, cualquier
1-forma exacta sí se anula en algún punto: cada función suave 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝕊1) alcanza un
valor máximo en cierto punto 𝑝 ∈ 𝕊1 porque el círculo es compacto, lo cual implica que
(𝑑𝑔)𝑝 = 0. Luego 𝛼 no puede ser exacta, así que [𝛼] ≠ 0 en 𝐻1dR(𝕊
1).
En las dos cartas locales del Ejemplo 1.12, se puede escribir (𝑥,𝑦) = (cos𝜃, sen𝜃 ) y se
ve que 𝛼 = 𝑑𝜃 en ambas cartas. Sin embargo, esta 1-forma 𝑑𝜃 no es exacta, por cuanto
3-23
MA–870: Geometría Diferencial 3.4. El teorema de Stokes
𝜃 no es una función bien definida de 𝕊1 en ℝ. ÈUna función ℎ ∈ 𝐶∞(ℝ) define un
elemento de 𝐶∞(𝕊1) si y solo si ℎ es periódica: ℎ(𝑡 + 2𝜋) ≡ ℎ(𝑡).É En 𝑈+ = 𝕊1 \ {−1},
la función 𝜃 : 𝑈+ → (−𝜋, 𝜋) ⊂ ℝ sí está definida como coordenada local, y cualquier
𝛽 ∈ A1(𝕊1) cumple 𝛽 |𝑈+ = 𝑔(𝜃 ) 𝑑𝜃 para alguna función suave 𝑔. Como 𝑑𝜃 no se anula
en 𝕊1, se obtiene 𝛽 = 𝑔(𝜃 ) 𝑑𝜃 donde 𝑔 ∈ 𝐶∞(ℝ) es suave y periódica, con período 2𝜋 .
Una integral so∫bre 𝕊1 n∫o cambia∫si se qu∫ita un punto ∫de su dominio, así que𝜋
𝛼 = 𝑑𝜃 = 𝑑𝜃 = 𝜃 ∗(𝑑𝑡) = 𝑑𝑡 = 2𝜋.
𝕊1 𝕊1 𝑈+ 𝑈+ ∫ −𝜋
Luego, la aplicación linea∫l 𝐼 : 𝑍1dR(𝕊1) → ℝ : 𝛽 →↦ 1 𝛽 es sobreyectiva. Si 𝛽 ∈ ker 𝐼 ,𝕊
entonces 𝛽 = 𝑔(𝜃 ) 𝑑𝜃 donde 𝜋− 𝑔(𝜃 ) 𝑑𝜃 = 0∫. Considérese la integral indefinida de 𝑔,𝜋 𝜃
𝑓 (𝜃 ) := 𝑔(𝑡) 𝑑𝑡,
−𝜋
la cual es otra función p∫eriódica:𝜋 ∫ 𝜃+2𝜋 ∫ 𝜃
𝑓 (𝜃 + 2𝜋) = 𝑔(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑔(𝑡) 𝑑𝑡 = 0 + 𝑔(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑓 (𝜃 ),
−𝜋 𝜋 −𝜋
de modo que 𝛽 = 𝑓 ′(𝜃 ) 𝑑𝜃 = 𝑑 𝑓 con 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝕊1). Se ha comprobado que ker 𝐼 = 𝐵1dR(𝕊
1).
Al pasar al cociente, se obtiene un isomorfismo lineal 𝐼 : 𝐻1dR(𝕊
1) → ℝ. Esto muestra
que 𝐻1dR(𝕊
1) ' ℝ, y el isomorfismo (3.27) está dado por un 1-ciclo 𝑐 tal que 𝑐 (Δ1) = 𝕊1.
En resumen:
𝐻0dR(𝕊
1) ' ℝ, 𝐻1dR(𝕊
1) ' ℝ, 𝐻𝑘 (𝕊1dR ) = {0} para 𝑘 > 2.
Los números de Betti del círculo 𝕊1 son 𝑏0 = 𝑏1 = 1. ♦
I La versión clásica del teorema de Stokes no hace referencia directa a integrales sobre
cadenas o ciclos, sino que relaciona la integral de una forma diferencial sobre una porción
de una superficie en ℝ3 con otra integral sobre su curva de frontera. Para plantear esta
versión en un contexto más general, conviene ampliar un poco la definición de una
variedad diferencial, para incorporar variedades con frontera.
Definición 3.37. El conjunto siguiente es un semiespacio cerrado en ℝ𝑛:
ℍ𝑛 := { 𝑥 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ∈ ℝ𝑛 : 𝑥𝑛 > 0 }. (3.29)
La topología de ℍ𝑛 es su topología relativa como parte de ℝ𝑛. Se identifica ℝ𝑛−1 con el
hiperplano { 𝑥 ∈ ℝ𝑛 : 𝑥𝑛 = 0 }, el cual es la frontera de ℍ𝑛 en ℝ𝑛.
3-24
MA–870: Geometría Diferencial 3.4. El teorema de Stokes
Una variedad diferencial con borde de dimensión 𝑛 es un espacio topológico 𝑀 ,
junto con un atlas de cartas locales A = { (𝑈𝛼 , 𝜙𝛼 ) : 𝛼 ∈ 𝐴 } que cumple las Definiciones
1.6 y 1.7 de un atlas, con las siguientes dos modificaciones:
 cada 𝜙𝛼 (𝑈𝛼 ) es un abierto de ℍ𝑛;
 cada 𝜙𝛼 (𝑈𝛼 ∩𝑈𝛽) es un abierto de ℍ𝑛.
Si 𝐴 y 𝐵 son abiertos en ℍ𝑛, hay abiertos 𝑈 , 𝑉 en ℝ𝑛 tales que 𝐴 = 𝑈 ∩ ℍ𝑛, 𝐵 = 𝑉 ∩ ℍ𝑛,
por la definición de la topología relativa. Una aplicación 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 es suave si es posible
elegir 𝑈 y 𝑉 tales que 𝑓 = 𝑓 |𝐴 para alguna función suave 𝑓 : 𝑈 → 𝑉 . La modificación
apropiada de la Definición 1.25 define el concepto de aplicación suave entre dos variedades
con borde.
Tómese 𝑞 ∈ 𝑀 con 𝑞 ∈ 𝑈𝛼 ∩𝑈𝛽 tal que 𝜙𝛼 (𝑞) ∈ ℝ𝑛−1 es un punto fronterizo; entonces
𝜙 𝑛−1 −1𝛽 (𝑞) ∈ ℝ también, porque el difeomorfismo𝜙𝛽◦𝜙𝛼 lleva el abierto𝜙𝛼 (𝑈𝛼∩𝑈 𝑛−1𝛽)\ℝ
deℝ𝑛 en el interior de 𝜙𝛽 (𝑈𝛼 ∩𝑈𝛽), y vice versa. Luego, la condición de que 𝜙𝛼 (𝑞) ∈ ℝ𝑛−1
no depende de la carta local (𝑈𝛼 , 𝜙𝛼 ); la totalidad de tales puntos 𝑞 constituye el borde
de 𝑀 , el cual se denota por 𝜕𝑀 .
Ahora 𝜙 𝑛−1𝛼 (𝑈𝛼 \ 𝜕𝑀) = 𝜙𝛼 (𝑈𝛼 ) \ ℝ es abierto en 𝜙𝛼 (𝑈𝛼 ) para cada 𝛼 ∈ 𝐴, y por lo
tanto el interior 𝑀 \ 𝜕𝑀 es abierto en 𝑀; y por ende, 𝜕𝑀 es cerrado en 𝑀 . El abierto
𝑀 \𝜕𝑀 es una variedad diferencial 𝑛-dimensional del tipo original; y el borde 𝜕𝑀 , dotado
con el atlas A′ = { (𝑈𝛼 ∩ 𝜕𝑀,𝜙𝛼 |𝑈 ∩𝜕𝑀) : 𝛼 ∈ 𝐴 }, es una variedad diferencial (ordinaria,𝛼
sin borde) de dimensión (𝑛 − 1). ♦
Ejemplo 3.38. La bola unitaria cerrada 𝔹𝑛 := { 𝑥 ∈ ℝ𝑛 : ‖𝑥 ‖ 6 1 } es una variedad con
borde; su borde es 𝜕𝔹𝑛 = 𝕊𝑛−1. ♦
Definición 3.39. Una variedad con borde 𝑀 es orientable si 𝑀 posee un atlas cuyas
funciones de transición (entre dos abiertos de ℍ𝑛) tienen jacobianos positivos. (Tales
jacobianos no se anulan en la intersección de sus dominios con ℝ𝑛−1.) ♦
Proposición 3.40. Si 𝑀 es una variedad con borde orientable, entonces 𝜕𝑀 es también
orientable; y una orientación de 𝑀 induce una orientación en la variedad ordinaria 𝜕𝑀 .
Demostración. Tómese dos cartas de 𝑀: (𝑈 ,𝜙) con coordenadas locales (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) y
(𝑉 ,𝜓 ) con coordenadas locales (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛), donde 𝑥𝑛 = 0 en𝑈 ∩ 𝜕𝑀 , 𝑥𝑛 > 0 en𝑈 \ 𝜕𝑀;
𝑦𝑛 = 0 en𝑉 ∩ 𝜕𝑀 , 𝑦𝑛 > 0 en𝑉 ∩ 𝜕𝑀 . Por hipóte[sis, e]l jacobiano de transición es positivoen 𝑈 ∩𝑉 :
𝜕𝑦𝑖
𝐽 (𝜓 ◦ 𝜙−1) = det > 0.
𝜕𝑥 𝑗
3-25
MA–870: Geometría Diferencial 3.4. El teorema de Stokes
Si𝑈 ∩𝑉 ∩ 𝜕𝑀 ≠ ∅, la aplicación𝜓 ◦𝜙−1 lleva 𝐵 := 𝜙 (𝑈 ∩𝑉 ) ∩ℝ𝑛−1 en𝜓 (𝑈 ∩𝑉 ) ∩ℝ𝑛−1.
Esto implica que 𝑦𝑛 (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛−1, 0) ≡ 0. La derivada de 𝜓 ◦ 𝜙−1 en puntos de 𝐵 tiene la
matriz ­© 𝜕𝑦1 𝜕𝑦𝑛−1( ) ­­ 1 · · ·𝜕𝑥 𝜕𝑥1 0 ª­ .. . . .. . ®−1 ­ . . . .. ®𝐷 (𝜓 ◦ 𝜙 ) |𝐵 = ­ ®𝜕𝑦1 𝑛−1 . (3.30)« 𝑛−1 · · ·
𝜕𝑦 0 ®
𝜕𝑥 𝜕𝑥𝑛−1 ®®
𝜕𝑦1 𝑛−1 𝑛
𝑛 · · · 𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑥𝑛 ¬
La última entrada de esta matriz obedece
𝜕𝑦𝑛 𝑛 1 𝑛−1 𝑛 1 𝑛−1( 𝑦 (𝑥 , . . . , 𝑥 , ℎ) − 𝑦 (𝑥 , . . . , 𝑥 , 0)𝑥1, . . . , 𝑥𝑛−1, 0) = ĺım > 0.
𝜕𝑥𝑛 ℎ↓0 ℎ
Esta derivada parcial no puede anularse en𝐵, porque también se anularía el determinante
𝑛
de la matriz (3.30). Resulta entonces que 𝜕𝑦/𝑛 (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛−1, 0) > 0. La submatriz de las𝜕𝑥primeras (𝑛 − 1) filas y columnas tiene jacobiano, en puntos de 𝐵, dado por
𝜕𝑦𝑛
𝐽 (𝜓 ◦ 𝜙−1) > 0.
𝜕𝑥𝑛
Este es el jacobiano de una función de transición del atlas A′ de 𝜕𝑀 cuyas cartas locales
son (𝑈𝛼 ∩ 𝜕𝑀,𝜙𝛼 |𝑈 ∩𝜕𝑀), obtenido por restricción del atlas orientado de 𝑀 . Se concluye𝛼
que 𝜕𝑀 tiene un atlas con todos sus jacobiano de transición positivos; y la Proposición 3.6
asegura que 𝜕𝑀 es orientable. 
Para evitar ciertos problemas de signo en el teorema de Stokes, conviene modificar la
orientación sobre el borde 𝜕𝑀 de la siguiente manera.
Definición 3.41. Sea𝑀 una variedad con borde orientable. Un atlas A sobre𝑀 con jaco-
bianos de transición positivos determina una orientación sobre𝑀 . Si dim𝑀 = 2𝑚 es par,
la orientación inducida sobre 𝜕𝑀 es la que está determinada por el atlas restringido A′.
En cambio, si dim𝑀 = 2𝑚 + 1 es impar, la orientación inducida sobre 𝜕𝑀 es la opuesta
a aquella dada por el atlas restringido A′. ♦
Los conceptos de vectores tangentes, campos vectoriales y formas diferenciales se ex-
tienden a las variedades con borde. Si (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) es un sistema de coordenadas locales
en un vecindario de 𝑞 ∈ 𝜕𝑀 , el vector tangente 𝜕 𝑛 se define como antes, así que 𝑇𝜕𝑥 𝑞 𝑞𝑀
es un espacio vectorial 𝑛-dimensional. Un campo vectorial puede definirse como una sec-
𝜏
ción suave del fibrado vectorial 𝑇𝑀 −→𝑀; el espacio total 𝑇𝑀 es también una variedad
con borde. Una 𝑘-forma diferencial puede definirse como una sección suave del fibrado
𝜋
vectorial Λ𝑘𝑇 ∗𝑀 −→𝑀 . Si 𝑗 : 𝜕𝑀 → 𝑀 es la inclusión, y si 𝜂 ∈ A𝑘 (𝑀), el pullback 𝑗∗𝜂
está definido y resulta ser una 𝑘-forma diferencial (ordinaria) sobre el borde 𝜕𝑀 .
3-26
MA–870: Geometría Diferencial 3.4. El teorema de Stokes
Ejemplo 3.42. La variedad con bordeℍ𝑛 tiene un atlas de una sola carta: sus coordenadas
locales son las coordenadas cartesianas (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) de ℝ𝑛. Su orientación usual, hereda-
da de ℝ𝑛, está dada por la forma de volumen 𝜈 = 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧𝑑𝑥𝑛. Su borde es ℝ𝑛−1, con
la sola carta de coordenadas cartesianas (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛−1). Por la regla de la Definición 3.41,
la forma de volumen que da la orientación inducida es 𝜈 := (−1)𝑛𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛−10 . ♦
Si 𝑀∫ es una variedad con borde orientada, de dimensión 𝑛, se puede definir la
i∫ntegral 𝜔∫ de una 𝑛-forma𝜔 como en la Definición 3.15, con el uso de una partición de𝑀la unidad apropiada. Si (𝑈 ,𝜙) es una carta local de 𝑀 , la fórmula local (3.7) dado como
𝜙∗𝜔0 := ( ) 𝜔0 sigue válida para variedades con borde, con la única modificación de𝑈 𝜙 𝑈
que la región de integración múltiple 𝜙 (𝑈 ) es ahora un abierto en ℍ𝑛.
Teorema 3.43 (Stokes, bis). Sea𝑀 una variedad con borde, orientada y compacta; tómese
la orientación inducida sobre el borde∫𝜕𝑀 . Si 𝜔 ∈∫A𝑛−1(𝑀) y si 𝑗 : 𝜕𝑀 → 𝑀 es la inclusión,entonces
𝑗∗𝜔 = 𝑑𝜔. (3.31)
𝜕𝑀 𝑀
Demostración (bosquejo). Con el uso de una partición de la unidad si fuera necesario, se
puede suponer que 𝜔 se anula fuera del dominio 𝑈 de una carta local (𝑈 ,𝜙) del atlas
que determina la orientación de 𝑀 .
Entonces se puede suponer que 𝑀 = 𝑉 ∩ ℍ𝑛 y 𝜕𝑀 = 𝑉 ∩ ℝ𝑛−1 para algún abierto 𝑉
de ℝ𝑛; y que hay un compacto 𝐾 con 𝐾 ⊂ 𝑉 ∩ ℍ𝑛 tal que 𝜔 se anula fuera de 𝐾 .
Resulta posible cubrir el compacto 𝐾 con una cantidad finita de imágenes de unos
𝑛-símplices singulares suaves 𝜎1, . . . , 𝜎𝑚 con las siguientes propiedades:
(a) Si 𝜎𝑖 (Δ𝑛) ∩ 𝜎 (Δ𝑛𝑗 ) ≠ ∅, esta intersección es una faceta común de 𝜎𝑖 y 𝜎 𝑗 :
𝜎 (Δ𝑛𝑖 ) ∩ 𝜎 (Δ𝑛𝑗 ) = 𝜎𝑖 (±𝑠𝑛 (Δ𝑛−1)) = 𝜎 (∓𝑠𝑛𝑗 (Δ𝑛−1)) ≡ 𝜌 (Δ𝑛−1𝑖 𝑗 ).𝑘 𝑘
(b) Esta 𝜌 (Δ𝑛−1𝑖 𝑗 ) no es una faceta de otro 𝜎𝑟 y ocurre con signos opuestos en las
cadenas singulares 𝜕𝜎𝑖 y 𝜕𝜎 𝑗 .
(c) Si 𝑐 := 𝜎1 + · · · + 𝜎𝑚, los símplices de 𝜕𝑐 que no se cancelan en la suma tienen sus
imágenes en 𝑉 ∩ℝ𝑛−1, o bien en la parte de 𝑉 ∩ ℍ𝑛 donde 𝜔 se anula.
Entonces la igualdad (3.31) sigue del Teorema 3.30, porque las integrales del enun-
ciado se reducen a ∫ ∫ ∫ ∫
𝑗∗𝜔 = 𝜔 y 𝑑𝜔 = 𝑑𝜔. 
𝜕𝑀 𝜕𝑐 𝑀 𝑐
Corolario∫ 3.44. Sea 𝑀 una variedad orientada y compacta (sin borde). Si 𝜔 ∈ A𝑛−1(𝑀),
entonces 𝑑𝜔 = 0. 
𝑀
3-27
MA–870: Geometría Diferencial 3.5. Ejercicios sobre integración en variedades
3.5. Ejercicios sobre integración en variedades
Ejercicio 3.1. Si 𝐺 es un grupo de Lie, demostrar que la variedad diferencial 𝐺 es
orientable. È Indicación: si 𝑛 = dim𝐺 , tómese 𝜉 ≠ 0 en Λ𝑛𝑇 ∗1𝐺 . Mostrar que existe
𝜈 ∈ A𝑛 (𝐺) tal que 𝜈1 = 𝜉 y 𝜆∗𝑔𝜈 = 𝜈 para todo 𝑔 ∈ 𝐺 .É
Ejercicio 3.2. Si 𝑇𝑀 −→𝜏 𝑀 es el fibrado tangente de una variedad diferenciable 𝑀 ,
demostrar que el espacio total 𝑇𝑀 es orientable (sea 𝑀 orientable o no).
Ejercicio 3.3. El espacio proyectivo real ℝℙ𝑛−1 es el cociente1⁴ de la esfera 𝕊𝑛−1 bajo
la identificación de puntos antipodales: 𝑥 ∼ 𝑦 si y solo si 𝑥 = ±𝑦 en ℝ𝑛.
Sea 𝜌 : 𝕊𝑛−1 → 𝕊𝑛−1 la simetría 𝑥 ↦→ −𝑥; y sea 𝜂 : 𝕊𝑛−1 → ℝℙ𝑛−1 la aplicación
cociente 𝑥 ↦→ {𝑥,−𝑥}. Si 𝜔 ∈ A𝑛−1(ℝℙ𝑛−1), comprobar que 𝜌∗𝜂∗𝜔 = 𝜂∗𝜔 .
Sea 𝜎 la forma de volumen sobre 𝕊𝑛−1, así que 𝜂∗𝜔 = 𝑓 𝜎 para algún 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝕊𝑛−1).
Demostrar que 𝜌∗𝜎 = (−1)𝑛𝜎 y que 𝑓 (−𝑝) = (−1)𝑛 𝑓 (𝑝) para todo 𝑝 ∈ 𝕊𝑛−1. Concluir
que ℝℙ𝑛−1 es orientable si y solo si (𝑛 − 1) es impar.
Ejercicio 3.4. Sea (𝑀,𝜈) una variedad compacta orientada y sea 𝜔 ∈ A𝑛 (𝑀) donde
𝑛 = dim𝑀 . Sean A = { (𝑈𝛼 , 𝜙𝛼 ) : 𝛼 ∈ 𝐴 } y B = { (𝑉𝛽,𝜓𝛽) : 𝛽 ∈ 𝐵 } dos atlases
compatibles de 𝑀 .∑Una partic∑ión de la unidad {ℎ𝛼 : 𝛼 ∈ 𝐴 } está subordinada a A sisopℎ𝛼 ⊂ 𝑈𝛼 para cada 𝛼 ∈ 𝐴. Si { 𝑘𝛽 : 𝛽 ∈ 𝐵 } es otra partición de la unidad subordinada
a B, entonces 𝜔 = 𝛼 ℎ𝛼𝜔 =∑︁𝛽 𝑘∫𝛽𝜔 . Demost∑︁rar∫que
∫(ℎ𝛼𝜔) = (𝑘𝛽𝜔),𝛼 𝑈𝛼 𝛽 𝑉𝛽
para poder concluir que la integral 𝜔 de la Definición 3.15 está bien definida.
𝑀
Ejercicio 3.5. Sea (𝑀,𝜈) una variedad orientada y conexa. Escríbase −𝑀 para denotar
la misma variedad con la orientació∫n opuesta,∫es decir, −𝑀 := (𝑀,−𝜈). Si 𝜔 ∈ A
𝑛 (𝑀)
con 𝑛 = dim𝑀 , comprobar que
𝜔 = − 𝜔.
−𝑀 𝑀
Un difeomorfismo 𝜌 : 𝑀 → 𝑀 preserva o revierte la orientación según sea 𝜌∗𝜈 ∼ 𝜈 o bien
𝜌∗𝜈 ∼ −𝜈 . En el caso d∫e que 𝜌 revie∫rte la orientación, verificar la igualdad
𝜌∗𝜔 = − 𝜔 para todo 𝜔 ∈ A𝑛 (𝑀).
𝑀 𝑀
14La esfera 𝕊𝑛−1 está cubierta por 𝑛 pares antipodales de hemisferios abiertos𝑉 ±, véase el Ejercicio 1.2.
𝑘
Al pasar al cociente, ℝℙ𝑛−1 posee un atlas de 𝑛 cartas locales (𝑉 ,𝜓 ), donde 𝑉 := 𝜂 (𝑉 ±). Luego ℝℙ𝑛−1𝑘 𝑘 𝑘 𝑘
es una variedad diferencial compacta de dimensión (𝑛 − 1).
3-28
MA–870: Geometría Diferencial 3.5. Ejercicios sobre integración en variedades
Ejercicio 3.6. Sea 𝑅 una región (un conjunto abierto y conexo) de ℝ2. Supóngase que
𝑅 es acotada y que su frontera 𝜕𝑅 es una curva suave, cerrada y simple (es decir, sin
autointersecciones). Sea 𝑉 un abierto de ℝ2 tal que 𝑅 ] 𝜕𝑅 ⊂ 𝑉 .
(a) Si 𝑓 , 𝑔 : 𝑉 → ℝ son funciones suaves, verificar que la siguiente fórmula de Green
es un corolario del te∮orema de Stokes:∬ ( )
𝜕𝑔 𝜕𝑓
𝑓 𝑑𝑥 + 𝑔𝑑𝑦 = − 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦.
𝜕𝑅 𝑅 𝜕𝑥 𝜕𝑦
(b) Concluir que el área de la región 𝑅 está dada por la fórmula siguiente, donde se
recorre la curva 𝐶 = 𝜕𝑅 una vez contrari∮o a reloj:
1
Area(𝑅) = 𝑥 𝑑𝑦 − 𝑦 𝑑𝑥.
2 𝐶
(c) Usar esta última fórmula para hallar el área de una elipse de semiejes 𝑎 y 𝑏.
Ejercicio 3.7. La parametrización del Ejercicio 1.11, para 0 6 𝑡 < ∞, encierra un área
finita (la hoja de Descartes). Usar la fórmula del Ejercicio 3.6(b) para hallar esa área.
Ejercicio 3.8. Con la misma notación del Ejercicio 3.6, sea 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑉 ) tal que 𝑓 (𝑥,𝑦) = 0
para todo (𝑥,∬𝑦) ∈( 𝜕𝑅. Usar el te)orema de Stok∬es (p(ara )verifi(car )est2 )a fórmula:𝜕 𝑓 + 𝜕2𝑓 2 2𝑓 2 𝑓 𝑑𝑥 ∧ − 𝜕𝑓 + 𝜕𝑓𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦.
𝑅 𝜕𝑥 𝜕𝑦
2
𝑅 𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕2𝑓 𝜕2𝑓
Si 2 + 2 ≡ 0 en 𝑅, concluir que 𝑓 se anula idénticamente en 𝑅.𝜕𝑥 𝜕𝑦
Ejercicio 3.9. Sea 𝑀 una variedad diferencial compacta (sin borde) y sean 𝜔 ∈ A𝑘 (𝑀)
y 𝜂 ∈ A𝑟 (𝑀), donde 𝑘 + 𝑟 + 1 =∫dim𝑀 . Compr∫obar que la siguiente fórmula es válida:
𝜔 ∧ 𝑑𝜂 = ± 𝑑𝜔 ∧ 𝜂
𝑀 𝑀
y determinar este signo.
El ejercicio que sigue involucra la función gamma de Euler. Entre sus propiedades
conocidas, se requieren:
√
Γ(𝑥 + 1) = 𝑥 Γ(𝑥) si 𝑥 > 0; Γ(𝑛 + 1) = 𝑛! si 𝑛 ∈ ℕ; y Γ( 12) = 𝜋.
3-29
MA–870: Geometría Diferencial 3.5. Ejercicios sobre integración en variedades
Ejercicio 3.10. Si 𝜎 es la (𝑛 − 1)-forma sobre 𝕊𝑛−1 del Ejercicio 2.6, la medida Ω𝑛 de la
esfera 𝕊𝑛−1 y el volumen𝑉𝑛 d∫e la bola unitaria∫𝔹𝑛 := { 𝑥 ∈ ℝ𝑛 : ‖𝑥 ‖ 6 1 } se definen por
Ω𝑛 := 𝜎, 𝑉𝑛 := 𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛 .
𝕊𝑛−1 𝔹𝑛
(a) Usar el teorema de Stokes para verificar que 𝑉𝑛 = Ω𝑛/𝑛.
(b) Comprobar la relación siguiente È∫Indicación: integración por partesÉ:
𝑉 1𝑛 = (1 − 𝑡2) (𝑛−1)/2 𝑑𝑡 .
𝑉𝑛−1 −1
Deducir los valores de
Ω1 = #(𝕊0), Ω2 = ℓ (𝕊1), Ω3 = Area(𝕊2), Ω4 = Vol(𝕊3) .
(c) Demostrar por inducción las fórmulas generales para 𝑉𝑛 y Ω𝑛:
/2  2𝜋𝑚 si 𝑛 = 2𝑚,2𝜋𝑛 2𝜋𝑛/2  (𝑚 − 1)!
𝑉𝑛 = , Ω = =
𝑛 Γ( 12𝑛)
𝑛
Γ( 1𝑛)  2𝑚+1 𝑚2 𝜋( si 𝑛 = 2𝑚 + 1.2𝑚 − 1)!!
3-30
MA–870: Geometría Diferencial
4 Conexiones y Curvatura
Galileo’s principle of inertia is sufficient in itself to prove
conclusively that the world is affine in character.
— Hermann Weyl
As parallel transport, in general, is not given in a canoni-
cal way, an explicit rule is necessary.
— Florian Scheck1
Se puede concebir un campo vectorial 𝑓 ↦→ 𝑋 𝑓 como una derivada direccional de
funciones en 𝐶∞(𝑀). En el caso 𝑀 = ℝ𝑛, con 𝑋 = 𝑎 𝑗 𝜕/𝜕𝑥 𝑗 en coordenadas locales, se
obtiene 𝑋 𝑓 = 𝑎 𝑗 𝜕𝑓 /𝜕𝑥 𝑗 , esto es, la receta conocida para una derivada direccional “en la
dirección del campo vectorial 𝑋 ”.
Ahora bien, qué debería ser la derivada direccional de otro campo vectorial 𝑌 en la
dirección de 𝑋? En ℝ𝑛, con 𝑌 = 𝑏𝑘 𝜕/𝜕𝑥𝑘 , se puede ensayar la receta:
𝑘
𝐷𝑋𝑌 := 𝑋 (𝑏𝑘)
𝜕 𝑗 𝜕𝑏 𝜕= 𝑎 . (4.1)
𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥𝑘
Esta receta se puede llamar la derivada direccional del campo vectorial 𝑌 en la dirección
del otro campo 𝑋 . Es obvio que (4.1) es aditiva tanto en 𝑋 como en 𝑌 . Pero el efecto de
multiplicar por una función suave 𝑓 marca una diferencia:
𝐷 𝑓 𝑋𝑌 = 𝑓 𝐷𝑋𝑌 pero 𝐷𝑋 (𝑓 𝑌 ) = (𝑋 𝑓 )𝑌 + 𝑓 𝐷𝑋𝑌 .
Entonces 𝑋 ↦→ 𝐷𝑋𝑌 es 𝐶∞(𝑀)-lineal, pero 𝑌 →↦ 𝐷𝑋𝑌 no lo es: en la segunda igualdad
hay un término “extra” (𝑋 𝑓 )𝑌 . En consecuencia, (𝑋,𝑌 ) ↦→ 𝐷𝑋𝑌 no es un tensor. Por eso,
la prescripción (4.1) no es independiente del sistema de coordenadas locales.
4.1. Transporte paralelo y conexiones afines
Para derivar un campo vectorial 𝑌 , es necesario comparar su valor 𝑌𝑝 en un punto
𝑝 ∈ 𝑀 con su valor 𝑌𝑞 en otro punto cercano 𝑞; pero no hay una manera canónica
de identificar los espacios vectoriales 𝑇𝑝𝑀 y 𝑇𝑞𝑀 . (Esta dificultad queda oculta cuando
𝑀 = ℝ𝑛 porque cada espacio tangente se identifica con el propio ℝ𝑛 mediante el uso de
coordenadas cartesianas.) Sin embargo, siempre es posible imponer esa identificación,
como sigue.
1En el libro Mechanics, 6th edition, Springer, Berlin, 2018; p. 374.
4-1
MA–870: Geometría Diferencial 4.1. Transporte paralelo y conexiones afines
Definición 4.1. Sea 𝛾 : 𝐼 → 𝑀 una curva suave. Una regla de transporte paralelo
sobre 𝜸 es una familia de aplicaciones lineales invertibles
{ Ψ𝑞,𝑝 : 𝑇𝑝𝑀 → 𝑇𝑞𝑀 : 𝑝, 𝑞 ∈ 𝛾 (𝐼 ) }
que dependen suavemente de 𝑝 y 𝑞, tales que
Ψ𝑟,𝑝 = Ψ𝑟,𝑞 ◦ Ψ𝑞,𝑝 para todo 𝑝, 𝑞, 𝑟 ∈ 𝛾 (𝐼 ).
En particular, Ψ −1𝑝,𝑝 = 1 sobre 𝑇𝑝𝑀; y Ψ𝑝,𝑞 = Ψ𝑞,𝑝 .
Un campo vectorial 𝑋 ∈ X(𝑀) se dice paralelo a lo largo de 𝜸 si 𝑋𝑞 = Ψ𝑞,𝑝 (𝑋𝑝) para
todo 𝑝, 𝑞 ∈ 𝛾 (𝐼 ). ♦
( ) ( + ) 𝑋 (𝑡 + ℎ)𝑋 𝑡 𝑋 𝑡 ℎ ‖
•
•
( ) 𝛾 (𝑡 + ℎ)𝛾 𝑡
Figura 4.1: Transporte paralelo de vectores
Definición 4.2. Sea Ψ una regla de transporte paralelo a lo largo de 𝛾 : 𝐼 → 𝑀 . Si
𝑋 ∈ X(𝑀) y si 𝑡, 𝑡 + ℎ ∈ 𝐼 , escríbase 𝑋 (𝑡) := 𝑋𝛾 (𝑡) ∈ 𝑇𝛾 (𝑡)𝑀 y sea 𝑋 (𝑡 + ℎ)‖ ∈ 𝑇𝛾 (𝑡)𝑀 el
traslado de 𝑋 (𝑡 + ℎ) al primer espacio tangente 𝑇𝛾 (𝑡)𝑀 , esto es:
𝑋 (𝑡 + ℎ)‖ := Ψ𝛾 (𝑡),𝛾 (𝑡+ℎ) (𝑋 (𝑡 + ℎ)) .
La derivada absoluta de la( función 𝑡 →↦ 𝑋 (𝑡)) en el punto 𝛾 (𝑡) se define así:𝐷𝑋 (𝑡) 1:= ĺım 𝑋 (𝑡 + ℎ)‖ − 𝑋 (𝑡) 𝑑=  Ψ→ 𝛾 (𝑡),𝛾 (𝑠) (𝑋 (𝑠)) ∈ 𝑇𝛾 (𝑡)𝑀. (4.2)𝐷𝑡 ℎ 0 ℎ 𝑑𝑠 𝑠=𝑡
La diferencia 𝑋 (𝑡 + ℎ) − 𝑋 (𝑡) no está definida, porque los vectores 𝑋 (𝑡 + ℎ) y 𝑋 (𝑡)
pertenecen a espacios vectoriales disjuntos (partes del espacio total 𝑇𝑀). Es necesario
transportar el vector 𝑋 (𝑡 + ℎ) al espacio 𝑇𝛾 (𝑡)𝑀 antes de calcular el límite de diferencias
de vectores. Véase la Figura 4.1. ♦
La utilidad de la derivada absoluta reside en el siguiente criterio de paralelismo: si
𝐷𝑋/𝐷𝑡 ≡ 0 en el intervalo 𝐼 , entonces el campo vectorial 𝑋 es paralelo a lo largo de lacurva 𝛾 . En efecto, si 𝑝 = 𝛾 (𝑡0), entonces𝑑  𝑑Ψ𝑝,𝛾 (𝑠) (𝑋 (𝑠)) = Ψ𝑝,𝛾 (𝑡)𝑑𝑠 𝑑𝑠  ( )𝐷𝑋Ψ𝛾 (𝑡),𝛾 (𝑠) (𝑋 (𝑠)) = Ψ𝑝,𝛾 (𝑡) (𝑡) .𝑠=𝑡 𝑠=𝑡 𝐷𝑡
4-2
MA–870: Geometría Diferencial 4.1. Transporte paralelo y conexiones afines
Luego, si 𝐷𝑋/𝐷𝑡 (𝑡) = 0 para 𝑡 ∈ 𝐼 , entonces la función 𝑡 ↦→ Ψ𝑝,𝛾 (𝑡) (𝑋 (𝑡)) : 𝐼 → 𝑇𝑝𝑀 es
constante, con Ψ𝑝,𝛾 (𝑡) (𝑋 (𝑡)) ≡ 𝑋𝑝 . Esto dice que 𝑋 es paralelo a lo largo de 𝛾 .
I Para poder seguir, se requiere una prescripción concreta para la regla de transporte
paralela Ψ, que cumple dos requisitos. En primer lugar, el vector (𝐷𝑌/𝐷𝑡) |𝑝 ∈ 𝑇𝑝𝑀 debe
depender (suavemente) solamente del vector inicial 𝑌𝑝 y no de la curva 𝛾 . En segundo
lugar, la correspondencia 𝑌𝑝 ↦→ (𝐷𝑌/𝐷𝑡) |𝑝 debe ser un operador lineal sobre 𝑇𝑝𝑀 .
Entonces, dado 𝑋𝑝 ∈ 𝑇𝑝𝑀 , la derivada absoluta
∇𝑋 𝑌 := (𝐷𝑌/𝐷𝑡) (0) ∈ 𝑇𝑝𝑀𝑝
debe ser el mismo para cualquier curva 𝛾 tal que 𝛾 (0) = 𝑝 y 𝛾¤(0) = 𝑋𝑝 . Esto da lugar a
un nuevo campo vectorial ∇𝑋𝑌 sobre la variedad 𝑀 , mediante la definición siguiente.
Definición 4.3. Una conexión afín sobre una variedad diferencial 𝑀 es una aplicación
ℝ-bilineal
∇ : X(𝑀) × X(𝑀) → X(𝑀) : (𝑋,𝑌 ) ↦→ ∇𝑋𝑌
que es 𝐶∞(𝑀)-lineal en 𝑋 y cumple una regla de Leibniz en 𝑌 :
∇𝑓 𝑋𝑌 = 𝑓 ∇𝑋𝑌, (4.3a)
∇𝑋 (𝑓 𝑌 ) = (𝑋 𝑓 ) 𝑌 + 𝑓 ∇𝑋𝑌, (4.3b)
para todo 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀).
El campo vectorial ∇𝑋𝑌 se llama la derivada direccional de 𝑌 en la dirección de 𝑋
(determinada por la conexión afín ∇). ♦
La naturaleza tensorial de (4.3a) implica que el valor (∇𝑋𝑌 )𝑝 ∈ 𝑇𝑝𝑀 , para un campo
vectorial fijo 𝑌 ∈ X(𝑀), depende solo del vector 𝑋𝑝 ∈ 𝑇𝑝𝑀 . Por eso, se puede escribir
∇𝑋 𝑌 ≡ (∇𝑋𝑌 )𝑝 para cada 𝑝 ∈ 𝑀.𝑝
Fíjese que ∇𝑋 : X(𝑀) → 𝑇𝑝𝑀 es ℝ-lineal.𝑝
Ejemplo 4.4. En el caso 𝑀 = ℝ𝑛, las derivadas direccionales (4.1) cumplen las condicio-
nes (4.3) y por ende definen una conexión afín (𝑋,𝑌 ) ↦→ 𝐷𝑋𝑌 sobre ℝ𝑛, a veces llamada
su conexión euclidiana. ♦
Dada una conexión afín, es posible simplificar el concepto de derivada absoluta (4.2),
como sigue.
4-3
MA–870: Geometría Diferencial 4.1. Transporte paralelo y conexiones afines
Definición 4.5. Dada una conexión afín ∇ sobre 𝑀 y una curva suave 𝛾 : 𝐼 → 𝑀 , la
derivada covariante de una campo vectorial 𝑋 ∈ X(𝑀) a lo largo de 𝜸 es
𝐷𝑋 (𝑡) := ∇𝛾¤(𝑡) 𝑋 . (4.4)
𝐷𝑡
Si el campo restringido 𝛾¤ ∈ X(𝑀) |𝛾 (𝐼 ) es paralelo a lo largo de la propia 𝛾 , esto es, si
∇𝛾¤ 𝛾¤ = 0, (4.5)
se dice que la curva 𝛾 es una geodésica con respecto a la conexión afín ∇. ♦
I La existencia de conexiones afines se ve más claramente si se considera sus expresiones
en coordenadas locales. Sean (𝑈 ,𝜙) y (𝑉 ,𝜓 ) dos cartas locales de 𝑀 , con coordenadas
locales respectivas (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) en 𝑈 y (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) en 𝑉 . Las abreviaturas
𝜕 𝑗 ≡
𝜕 𝜕
, 𝜕
𝑗 𝑟
≡
𝜕𝑥 𝜕𝑦𝑟
ayudarán para aliviar los cálculos que siguen. El conjunto de campos locales {𝜕1, . . . , 𝜕𝑛}
es una base del 𝐶∞(𝑈 )-módulo X(𝑀) |𝑈 ; y {𝜕1, . . . , 𝜕𝑛} es una base de X(𝑀) |𝑉 .
Por las propiedades (4.3), basta considerar el caso en donde 𝑋,𝑌 ∈ {𝜕1, . . . , 𝜕𝑛}.
Entonces
∇ 𝑘𝜕 𝜕 𝑗 = Γ𝑖 𝑗 𝜕𝑖 𝑘 para 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑛 (4.6)
para ciertos funciones suaves Γ𝑘𝑖 𝑗 ∈ 𝐶∞(𝑈 ): estas se llaman símbolos de Christoffel de
la conexión afín ∇.
Análogamente, en 𝐶∞(𝑉 ), hay otros símbolos de Christoffel Γ̃𝑡𝑟𝑠 dados por
∇𝜕 𝜕𝑠 = Γ̃𝑡𝑟 𝑟𝑠 𝜕𝑡
y es fácil verificar la siguiente regla de cambio de variables, cuando 𝑈 ∩𝑉 ≠ ∅:
𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥 𝑗𝑡 𝜕𝑦
𝑡 𝜕2𝑥𝑙 𝜕𝑦𝑡
Γ̃ 𝑘𝑟𝑠 = Γ𝑖 𝑗 + . (4.7)𝜕𝑦𝑟 𝜕𝑦𝑠 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑦𝑟𝑦𝑠 𝜕𝑥𝑙
La presencia de unas derivadas de segundo orden en el segundo sumando indica que los
Γ𝑘𝑖 𝑗 no son componentes de un tensor.
Una conexión afín está determinada por juegos de 𝑛3 funciones Γ𝑘𝑖 𝑗 definidas en cada
carta local, si ellas cumplen la regla de cambio (4.7) en las intersecciones de cartas.
4-4
MA–870: Geometría Diferencial 4.1. Transporte paralelo y conexiones afines
Ahora bien: si ∇′ es otra conexión afín sobre𝑀 con símbolos de Christoffel Γ′𝑘 ∞𝑖 𝑗 ∈ 𝐶 (𝑈 ),
las diferencias 𝐶𝑘 := Γ𝑘 − Γ′𝑘𝑖 𝑗 𝑖 𝑗 𝑖 𝑗 obedecen una regla de cambio más sencilla:
𝜕𝑥𝑖𝑡 𝜕𝑥
𝑗 𝜕𝑦𝑡
𝐶 = 𝐶𝑘𝑟𝑠 ,
𝜕𝑦𝑟 𝜕𝑦𝑠 𝑘 𝑖 𝑗𝜕𝑥
lo cual implica que ∇ − ∇′ es un tensor mixto, de bigrado (2, 1).
De hecho, si 𝑆 (𝑋,𝑌, 𝛼) := 〈𝛼,∇𝑋𝑌 − ∇′ 𝑌 〉 para 𝛼 ∈ A1(𝑀), es una consecuencia𝑋
directa de la Definición 4.3 que 𝑆 es 𝐶∞(𝑀)-trilineal.
Basta, entonces, hallar una sola conexión ∇′ sobre una determinada variedad 𝑀; las
otras ∇ difieren de la primera por ciertos tensores.
Proposición 4.6. Dada una conexión afín sobre 𝑀 , una curva suave 𝛾 : 𝐼 → 𝑀 resulta ser
una geodésica con respecto a ∇ si y solo si sus componentes 𝛾𝑘 := 𝑥𝑘 ◦ 𝛾 en cada carta local
cumplen este sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden:
𝑑2𝛾𝑘 𝑑𝛾 𝑖+ 𝑘 𝑑𝛾
𝑗
2 Γ𝑖 𝑗 = 0. (4.8)𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
En consecuencia, para cada punto inicial 𝑝 = 𝛾 (0) y velocidad inicial 𝑣 = 𝛾¤(0), existe una
única geodésica con respecto a ∇, definida en un intervalo (−𝜀, 𝜀) ⊆ 𝐼 .
Demostración. Una solución de las ecuaciones diferenciales (4.8) determina un arco de
curva en un vecindario del punto 𝑝. Basta, entonces, examinar la cuestión en una carta
local (𝑈 ,𝜙) con 𝜙 (𝑝) = 0; equivalentemente, se puede suponer que 𝑀 posee una sola
carta local. Para 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀), vale
𝑖
〈𝛾¤(𝑡), 𝑓 〉 ≡ ( ◦ )′( ) 𝜕𝑓 𝑑𝛾𝑓 𝛾 𝑡 = (𝑡) 𝜕, así que 𝛾¤(𝑡) = 𝛾¤𝑖 (𝑡) .
𝜕𝑥𝑖 𝑑𝑡 𝜕𝑥𝑖
En vista de (4.3a) y (4.6), esto implica que
∇ 𝑖𝛾¤(𝑡) 𝜕 𝑗 = 𝛾¤ (𝑡) ∇ 𝑖𝜕 𝜕 𝑗 = 𝛾¤ (𝑡) Γ𝑘𝑖 𝑗 (𝛾 (𝑡)) 𝜕𝑘 .𝑖
D( enot)ando por(𝛾¤ ∈ X(𝑀) ) |𝛾 (𝐼 ) la función 𝑡 →↦ 𝛾¤(𝑡), se obtiene
∇𝛾¤ 𝛾¤ (𝑡) = ∇ 𝑗 𝑗 𝑗𝛾¤ 𝛾¤ (𝑡) 𝜕 𝑗 = 〈𝛾¤(𝑡), 𝛾¤ 〉 𝜕 𝑗 + 𝛾¤ (𝑡) ∇𝛾¤𝜕 𝑗
(𝑑= (𝛾¤ 𝑗 ) ( 𝑑𝑡) 𝜕 𝑗 +) 𝛾¤ 𝑗 (𝑡) 𝛾¤𝑖 (𝑡) Γ𝑘𝑖 𝑗 (𝑡) 𝜕 𝑘 𝑘𝑘 = (𝛾¤ ) (𝑡) 𝜕𝑘 + Γ𝑖 𝑗 (𝑡) 𝛾¤𝑖 (𝑡) 𝛾¤ 𝑗 (𝑡) 𝜕𝑘𝑑𝑡 𝑑𝑡
= 𝛾¥𝑘 + Γ𝑘 𝑖 𝑗𝑖 𝑗 𝛾¤ 𝛾¤ (𝑡) 𝜕𝑘 .
El coeficiente de 𝜕𝑘 es el lado izquierdo de la ecuación (4.8).
4-5
MA–870: Geometría Diferencial 4.1. Transporte paralelo y conexiones afines
𝛾¤(𝑡) = 𝛾¤(𝑡 + ℎ)‖
• 𝛾¤(𝑡 + ℎ)
•
( ) 𝛾 (𝑡 + ℎ)𝛾 𝑡
Figura 4.2: Una geodésica: los vectores tangentes 𝛾¤(𝑡) son paralelos a lo largo de 𝛾
La curva 𝛾 es una geodésica con respecto a ∇ si y solo si ∇𝛾¤ 𝛾¤ = 0, véase (4.5) y la
Figura 4.2; si y solo si 𝛾¥𝑘 + Γ𝑘𝑖 𝑗 𝛾¤𝑖 𝛾¤ 𝑗 = 0 para cada 𝑘.
Ahora bien, las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden (4.8) poseen
solución única – definida en algún intervalo abierto (−𝜀, 𝜀) centrado en 𝑡 = 0 – si las
condiciones iniciales para los 𝛾 𝑗 (0) y sus derivadas 𝛾¤ 𝑗 (0) están dadas; en otras palabras,
si se asignan el punto 𝑝 = 𝛾 (0) ∈ 𝑀 y el vector tangente 𝛾¤(0) ∈ 𝑇𝑝𝑀 . 
I El concepto de conexión afín admite una generalización importante. Habida cuenta
de que los campos vectoriales X(𝑀) = Γ(𝑀,𝑇𝑀) son secciones suaves del fibrado tan-
𝜏
gente 𝑇𝑀 −→𝑀 , se puede reemplazar el 𝐶∞(𝑀)-módulo de la segunda variable por las
secciones suaves de un fibrado vectorial cualquiera.
𝜋
Definición 4.7. Sea 𝐸 −→𝑀 un fibrado vectorial. Una conexión de Koszul (o simple-
mente, una conexión)2 sobre 𝐸 es una aplicación ℝ-bilineal
∇ : X(𝑀) × Γ(𝑀, 𝐸) → Γ(𝑀, 𝐸) : (𝑋, 𝑠) ↦→ ∇𝑋𝑠
que es 𝐶∞(𝑀)-lineal en 𝑋 y cumple una regla de Leibniz en 𝑠:
∇𝑓 𝑋𝑠 = 𝑓 ∇𝑋𝑠, (4.9a)
∇𝑋 (𝑓 𝑠) = (𝑋 𝑓 ) 𝑠 + 𝑓 ∇𝑋𝑠, (4.9b)
para todo 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀), 𝑋 ∈ X(𝑀), 𝑠 ∈ Γ(𝑀, 𝐸).
Nótese que cada ∇𝑋 : 𝑠 →↦ ∇𝑋𝑠 es un operador ℝ-lineal sobre Γ(𝑀, 𝐸). ♦
Ejemplo 4.8. Dada una conexión afín ∇ sobre 𝑀 , se puede definir su conexión dual ∇′
𝜋
sobre el fibrado cotangente 𝑇 ∗𝑀 −→𝑀 . Esta es una aplicación ℝ-bilineal
∇′ : X(𝑀) ×A1(𝑀) → A1(𝑀)
que se define simplemente al(deman)dar la siguiente regla de Leibniz sobre evaluaciones:
𝑋 〈𝛼,𝑌 〉 =: 〈∇′𝑋𝛼,𝑌 〉 + 〈𝛼,∇𝑋𝑌 〉. (4.10)
2Las conexiones en fibrados vectoriales vienen de la tesis doctoral: Jean-Louis Koszul, “Homologie et
cohomologie des algèbres de Lie”, Bulletin de la Société Mathématique de France 78 (1950), 65–127.
4-6
MA–870: Geometría Diferencial 4.2. Métricas riemannianas
Fíjese que(esta defi) nición “implícita”(cumple )la relación (4.9b):
𝑋 〈𝑓 𝛼, 𝑌 〉 − 〈𝑓 𝛼,∇𝑋𝑌 〉 = 𝑋 𝑓 〈𝛼,𝑌 〉 − 𝑓 〈𝛼(,∇𝑋𝑌 〉)
= (𝑋 𝑓 ) 〈𝛼,𝑌 〉 + 𝑓 𝑋 〈𝛼,𝑌 〉 − 𝑓 〈𝛼,∇𝑋𝑌 〉
para cada 𝑌 ∈ X(𝑀), así que ∇′ (𝑓 𝛼) = (𝑋 𝑓 ) 𝛼 + 𝑓 ∇′ 𝛼 en A1(𝑀).
𝑋 𝑋
En una carta local de 𝑀 , la fórmula local (4.6) para ∇ implica una fórmula local
correspondiente para ∇′:
∇′𝜕 𝑑𝑥𝑘 = −Γ𝑘 𝑗𝑖 𝑖 𝑗 𝑑𝑥 para 𝑖, 𝑘 = 1, . . . , 𝑛. (4.11)
debido a la igualdad 〈𝑑𝑥𝑘, 𝜕 𝑗〉 ≡ È 𝑗 = 𝑘É. ♦
A veces conviene “eliminar la 𝑋 ” de las fórmulas (4.9), con el siguiente artificio. Si
−→𝜋𝐸 𝑀 es un fibrado vectorial, se denota
A𝑘 (𝑀, 𝐸) ≡ A𝑘 (𝑀) ⊗𝐶∞ (𝑀) Γ(𝑀, 𝐸) . (4.12)
Este es un 𝐶∞(𝑀)-módulo cuyos elementos se llaman 𝒌-formas con valores en 𝑬 . È La
notación ⊗𝐶∞ ∞(𝑀) entre dos 𝐶 (𝑀)-módulos indica3 un producto tensorial sobre 𝐶∞(𝑀),
esto es, el 𝐶∞(𝑀)-módulo generado por tensores simples 𝜔 ⊗ 𝑠 sujeto a las relaciones
𝑓 𝜔 ⊗ 𝑠 = 𝜔 ⊗ 𝑓 𝑠 para 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀).É
Si ∇ es una conexión sobre 𝐸 y si 𝑠 ∈ Γ(𝑀, 𝐸), se define ∇𝑠 ∈ A1(𝑀, 𝐸) por la relación
〈∇𝑠, 𝑋 〉 = ∇𝑋𝑠 para 𝑋 ∈ X(𝑀). Esto es consistente porque ∇𝑋𝑠 es𝐶∞(𝑀)-lineal en 𝑋 . De
este modo se obtiene una aplicación ℝ-lineal
∇ : Γ(𝑀, 𝐸) → A1(𝑀, 𝐸) : 𝑠 ↦→ ∇𝑠 . (4.13)
La regla de Leibniz (4.9b) para ∇ ahora toma el siguiente aspecto:
∇(𝑓 𝑠) = 𝑑 𝑓 ⊗ 𝑠 + 𝑓 ∇𝑠 para todo 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀), 𝑠 ∈ Γ(𝑀, 𝐸).
4.2. Métricas riemannianas
Una métrica, en contextos de topología, es una función simétrica y positiva de dos
variables que cumple la desigualdad triangular. En geometría diferencial, es palabra tiene
una segunda acepción: se reservará el término distancia para el concepto topológico.
3Más generalmente, si 𝐴 es un anillo conmutativo y si 𝐸, 𝐹 son 𝐴-módulos, su “producto tensorial
sobre 𝐴” es el 𝐴-módulo 𝐸 ⊗𝐴 𝐹 generado por elementos 𝑒 ⊗ 𝑓 con 𝑒 ∈ 𝐸, 𝑓 ∈ 𝐹 sujeto a las relaciones
𝑎𝑒 ⊗ 𝑓 = 𝑒 ⊗ 𝑎𝑓 para 𝑎 ∈ 𝐴.
4-7
MA–870: Geometría Diferencial 4.2. Métricas riemannianas
Definición 4.9. Una métrica riemanniana sobre una variedad diferencial 𝑀 es un
2-tensor covariante
𝑔 : X(𝑀) × X(𝑀) → 𝐶∞(𝑀)
que es simétrica y definida positiva:
𝑔(𝑋,𝑌 ) = 𝑔(𝑌,𝑋 ), con 𝑔(𝑋,𝑋 ) > 0 para 𝑋 ∈ X(𝑀)
donde 𝑔(𝑋,𝑋 ) ≡ 0 como función en 𝐶∞(𝑀) solo si 𝑋 = 0 es el campo vectorial nulo.
En consonancia con la Proposición 2.2, el valor 𝑔(𝑋,𝑌 ) (𝑝) depende solamente de los
vectores 𝑋𝑝, 𝑌𝑝 ∈ 𝑇𝑝𝑀; y las evaluaciones
𝑔𝑝 (𝑋𝑝, 𝑌𝑝) := 𝑔(𝑋,𝑌 ) (𝑝) (4.14)
definen formas ℝ-bilineales simétricas y definidas positivas 𝑔𝑝 sobre cada espacio tan-
gente 𝑇𝑝𝑀 . Esto dice que cada 𝑔𝑝 es un producto escalar real sobre 𝑇𝑝𝑀 , que depende
suavemente del punto 𝑝. ♦
Es oportuno recordar que un producto escalar (− | −) sobre un espacio vectorial 𝐸 de
dimensión finita – real o complejo⁴ – define un par de isomorfismos entre 𝐸 y su espacio
vectorial dual 𝐸∗. Si 𝑢 ∈ 𝐸, 𝜉 ∈ 𝐸∗, se identifica 𝑢 con la forma lineal 𝑣 ↦→ (𝑢 | 𝑣) en 𝐸∗;
y se identifica 𝜉 ∈ 𝐸∗ con el vector 𝑥 ∈ 𝐸 tal que 𝜉 (𝑣) ≡ (𝑥 | 𝑣). De esta manera, una
métrica riemanniana define isomorfismos 𝑇 ∗𝑝𝑀 ' 𝑇𝑝𝑀 para cada 𝑝 ∈ 𝑀; su efecto sobre
las secciones de los fibrados vectoriales 𝑇𝑀 y 𝑇 ∗𝑀 permite asociar campos vectoriales
con 1-formas y viceversa, como sigue.
Definición 4.10. Una variedad riemanniana es un par (𝑀,𝑔) formado por una variedad
diferencial 𝑀 y una métrica riemanniana 𝑔 sobre 𝑀 . Se define un par de isomorfismos
musicales⁵ de 𝐶∞(𝑀)-módulos: X(𝑀) → A1(𝑀) : 𝑋 ↦→ 𝑋 ♭ y la aplicación inversa
A1(𝑀) → X(𝑀) : 𝛼 ↦→ 𝛼 ♯, dados por:
𝑋 ♭(𝑌 ) := 𝑔(𝑋,𝑌 ), 𝑔(𝛼 ♯, 𝑌 ) := 𝛼 (𝑌 ). (4.15)
Entonces se puede expresar la métrica como un apareamiento de 1-formas, así:
𝑔−1(𝛼, 𝛽) := 𝑔(𝛼 ♯, 𝛽♯), para todo 𝛼, 𝛽 ∈ A1(𝑀). ♦
4En este curso se emplean espacios vectoriales reales; pero todos los conceptos se adaptan directamente
al casi de escalares complejos, con esta excepción: un producto escalar real es bilineal, pero un producto
escalar complejo es sesquilineal, esto es, lineal en una variable pero antilineal en la otra. La opción preferible
es que (− | −) sea lineal en la segunda variable, como indica la llamada “notación de Dirac”.
5En el Ejercicio 2.27 se ha empleado esta misma notación para un par de isomorfismos diferentes entre
X(𝑀) y A1(𝑀). En la literatura de geometría diferencial, se usan las notaciones musicales en los dos
sentidos. En este curso, aparte del citado Ejercicio, los símbolos ♭ y ♯ se refieren a la versión riemanniana.
4-8
MA–870: Geometría Diferencial 4.2. Métricas riemannianas
En términos de coordenadas locales en una carta (𝑈 ,𝜙) de 𝑀 , se puede identificar
𝑔|𝑈 con la matriz invertible de funciones [𝑔𝑖 𝑗 ] ∈ 𝑀 (𝐶∞𝑛 (𝑈 )) y 𝑔−1 |𝑈 con su matriz inversa
[𝑔𝑟𝑠], cuyas entradas se definen por
𝑔𝑖 𝑗 := 𝑔(𝜕𝑖, 𝜕 𝑗 ); 𝑔𝑟𝑠 := 𝑔−1(𝑑𝑥𝑟 , 𝑑𝑥𝑠). (4.16)
De este modo, si 𝑋,𝑌 ∈ X(𝑀) y 𝛼, 𝛽 ∈ A1(𝑀) tienen las siguientes versiones locales:
𝑋 |𝑈 = 𝑓 𝑖 𝜕𝑖 , 𝑌 |𝑈 = ℎ 𝑗 𝜕 𝑗 , 𝛼 |𝑈 = 𝑎𝑟 𝑑𝑥𝑟 , 𝛽 |𝑈 = 𝑏𝑠 𝑑𝑥𝑠 , se evalúan 𝑔 y 𝑔−1 en 𝐶∞(𝑈 ) así:
𝑔(𝑋,𝑌 ) = 𝑔 𝑓 𝑖ℎ 𝑗𝑖 𝑗 y 𝑔−1(𝛼, 𝛽) = 𝑔𝑟𝑠 𝑎𝑟𝑏𝑠 .
Definición 4.11. Una isometría entre dos variedades riemannianas (𝑀,𝑔) y (𝑁,ℎ) es un
difeomorfismo 𝜏 : 𝑀 → 𝑁 tal que 𝜏∗ℎ = 𝑔. Esto es equivalente a la condición:
ℎ(𝜏∗𝑋, 𝜏∗𝑌 ) = 𝑔(𝑋,𝑌 ) para todo 𝑋,𝑌 ∈ X(𝑀). ♦
Definición 4.12. Una conexión afín ∇ sobre 𝑀 es compatible con la métrica 𝒈 si su
transporte paralelo es isométrico. Esto significa que si 𝛾 : 𝐼 → 𝑀 es una curva suave y si
𝑋,𝑌 ∈ X(𝑀) son paralelos a lo largo de 𝛾 , entonces 𝑔(𝑋,𝑌 ) (𝛾 (𝑡)) = 𝑔𝛾 (𝑡) (𝑋𝛾 (𝑡), 𝑌𝛾 (𝑡)) es
una función constante de 𝑡 ∈ 𝐼 .
Alternativamente, 𝑑 𝑔(𝑋,𝑌 ) (𝛾 (𝑡)) ≡ 0 cuando 𝑋 y 𝑌 son paralelos a lo largo de 𝛾 .
𝑑𝑡
Con la ayuda de las f(órmulas)(4.2) y (4.4), se puede mostrar que eso es equivalente a que
𝛾¤(𝑡) 𝑔(𝑋,𝑌 ) = 𝑔(∇𝛾¤(𝑡)𝑋,𝑌 ) + 𝑔(𝑋,∇𝛾¤(𝑡)𝑌 ) para 𝑡 ∈ 𝐼
con 𝑋,𝑌 ∈ X(𝑀) cualesquiera. Además, como la curva 𝛾 es arbitrario, se puede reempla-
zar 𝛾¤(𝑡) por cualquier vector tangente en 𝑍𝛾 (𝑡) ∈ 𝑇𝛾 (𝑡)𝑀 . La condición de compatibilidad
entre ∇ y 𝑔 se reduce a la s(iguiente)regla de Leibniz: si 𝑋,𝑌, 𝑍 ∈ X(𝑀), entonces
𝑍 𝑔(𝑋,𝑌 ) = 𝑔(∇𝑍 𝑋,𝑌 ) + 𝑔(𝑋,∇𝑍𝑌 ). (4.17)
O bien: 𝑑 (𝑔(𝑋,𝑌 )) = 𝑔(∇𝑋,𝑌 ) + 𝑔(𝑋,∇𝑌 ), en términos del operador ∇ de (4.13). ♦
Lema 4.13. Sea ∇ una conexión sobre una variedad diferencial 𝑀 . La fórmula
𝑇∇(𝑋,𝑌 ) := ∇𝑋𝑌 − ∇𝑌 𝑋 − [𝑋,𝑌 ] (4.18)
define un 2-tensor 𝑇∇ : X(𝑀) × X(𝑀) → X(𝑀), llamado la torsión de la conexión ∇. En
otros términos, (𝑋,𝑌, 𝛼) →↦ 〈𝛼,𝑇∇(𝑋,𝑌 )〉 es un tensor de bigrado (2, 1) sobre 𝑀 .
4-9
MA–870: Geometría Diferencial 4.2. Métricas riemannianas
Demostración. Se debe mostrar que 𝑇∇ es 𝐶∞(𝑀)-bilineal. Como 𝑇∇ es ℝ-bilineal y anti-
simétrico en sus argumentos, basta verificar que𝑇∇(𝑓 𝑋,𝑌 ) = 𝑓 𝑇∇(𝑋,𝑌 ) para 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀).
Al recordar la fórmula (2.32), que dice que [𝑓 𝑋,𝑌 ] = 𝑓 [𝑋,𝑌 ] − (𝑌 𝑓 )𝑋 , se obtiene
𝑇∇(𝑓 𝑋,𝑌 ) = ∇𝑓 𝑋𝑌 − ∇𝑌 (𝑓 𝑋 ) − [𝑓 𝑋,𝑌 ]
= 𝑓 ∇𝑋𝑌 − (𝑌 𝑓 )𝑋 − 𝑓 ∇𝑌 𝑋 − 𝑓 [𝑋,𝑌 ] + (𝑌 𝑓 )𝑋
= 𝑓 𝑇∇(𝑋,𝑌 ). 
Ahora, este𝑇∇, como cualquier tensor, esté determinada por sus expresiones (compa-
tibles) en coordenadas locales. En una carta (𝑈 ,𝜙) de𝑀 , usando la base local {𝜕1, . . . , 𝜕𝑛}
de X(𝑈 ), se obtiene
𝑇∇(𝜕𝑖, 𝜕 𝑗 ) = ∇𝜕 𝜕 𝑗 − ∇𝜕 𝜕𝑖 − [𝜕𝑖, 𝜕 𝑗 ] = (Γ𝑘𝑖 𝑗 − Γ𝑘𝑗𝑖) 𝜕𝑖 𝑗 𝑘
ya que [𝜕𝑖, 𝜕 𝑗 ] = 0. Por lo tanto, la conexión afín ∇ es libre de torsión (es decir, 𝑇∇ = 0)
si y solo si los símbolos de Christoffel Γ𝑘𝑖 𝑗 de cada carta local son simétricos en los índices
inferiores 𝑖, 𝑗 ; esto es, Γ𝑘𝑖 𝑗 = Γ
𝑘
𝑗𝑖 .
Proposición 4.14. Sobre una variedad riemanniana (𝑀,𝑔), existe una única conexión afín
∇𝑔 que es compatible con la métrica 𝑔 y libre de torsión: esto es, cumple (4.17) y además
satisface ∇𝑔 − ∇𝑔𝑌 𝑋 = [𝑋,𝑌 ] para todo 𝑋,𝑌 ∈ X(𝑀).
𝑋 𝑌
Demostración. Para comprobar la unicidad, nótese que una conexión ∇𝑔 compatible con
la métrica 𝑔 debe cumplir, por (4.17):
( ) = (∇𝑔 ) + ( ∇𝑔𝑍 𝑔 𝑋,𝑌 𝑔 𝑋,𝑌 𝑔 𝑋, 𝑌 ),
𝑍 𝑍
𝑌 𝑔(𝑍,𝑋 ) = 𝑔(∇𝑔𝑍,𝑋 ) + 𝑔(𝑍,∇𝑔 𝑋 ),
𝑌 𝑌
𝑋 𝑔(𝑌, 𝑍 ) = (∇𝑔 𝑔𝑔 𝑌, 𝑍 ) + 𝑔(𝑌,∇ 𝑍 ).
𝑋 𝑋
Si además ∇𝑔 es libre de torsión, se obtiene
𝑋 𝑔(𝑌, 𝑍 ) + 𝑌 𝑔(𝑍,𝑋 ) − 𝑍 𝑔(𝑋,𝑌 )
= 𝑔(∇𝑔𝑍 − ∇𝑔 ) + (∇𝑔 − ∇𝑔𝑌,𝑋 𝑔 𝑍 𝑋,𝑌 ) + 𝑔(∇𝑔 𝑌 + ∇𝑔 𝑋,𝑍 )
𝑌 𝑍 𝑋 𝑍 𝑋 𝑌
= 𝑔( [𝑌, 𝑍 ], 𝑋 ) + 𝑔( [𝑋,𝑍 ], 𝑌 ) − 𝑔( [𝑋,𝑌 ], 𝑍 ) + 2 (∇𝑔𝑔 𝑌, 𝑍 ). (4.19)
𝑋
En consecuencia, la cantidad (∇𝑔𝑔 𝑌, 𝑍 ) está determinada por la métrica y el corchete
𝑋
de X(𝑀). Como 𝑔 es definida positiva (así que cada forma bilineal 𝑔𝑝 es definida positiva
sobre 𝑇𝑝𝑀), el campo vectorial ∇𝑔 𝑌 queda determinado para todo 𝑋,𝑌 ∈ X(𝑀). Se ha𝑋
comprobado la unicidad de la conexión ∇𝑔.
4-10
MA–870: Geometría Diferencial 4.2. Métricas riemannianas
Para comprobar su existencia, es obligatorio usar la receta sugerida por (4.19):
𝑔(∇{𝑔 𝑌, 𝑍 ) := (}4.20)𝑋1
2 𝑋 𝑔(𝑌, 𝑍 ) + 𝑌 𝑔(𝑍,𝑋 ) − 𝑍 𝑔(𝑋,𝑌 ) − 𝑔( [𝑌, 𝑍 ], 𝑋 ) − 𝑔( [𝑋,𝑍 ], 𝑌 ) + 𝑔( [𝑋,𝑌 ], 𝑍 ) .
Es fácil verificar que el lado derecho de (4.20) es 𝐶∞(𝑀)-lineal en 𝑋 y en 𝑍 . Como tal,
esta fórmula define una aplicación ℝ-bilineal (𝑋,𝑌 ) ↦→ ∇𝑔 𝑌 que es 𝐶∞(𝑀)-lineal en 𝑋 .
𝑋
También se puede constatar que esta operación cumple la regla de Leibniz en 𝑌 , y por lo
tanto, ∇𝑔 es una conexión afín. En vista de (4.19), unos cálculos rutinarios comprueban
que ∇𝑔 es efectivamente compatible con 𝑔 y libre de torsión. 
Definición 4.15. La conexión afín ∇𝑔 sobre (𝑀,𝑔) determinada por la fórmula (4.20) se
llama la conexión de Levi-Civita sobre 𝑀 asociada con la métrica 𝑔. ♦
Lema 4.16. En una carta local de una variedad riemanniana (𝑀,𝑔), los símbolos de Chris-
toffel de la conexión de Levi-Civita están dados por la fórmula explícita:
Γ𝑘𝑖 𝑗 =
1
2𝑔
𝑘𝑙 (𝜕𝑖𝑔 𝑗𝑙 + 𝜕 𝑗𝑔𝑖𝑙 − 𝜕𝑙𝑔𝑖 𝑗 ). (4.21)
Demostración. Como 𝑔 es un tensor, está determinada por sus restricciones 𝑔 |𝑈 a los
dominios de cartas locales (𝑈 ,𝜙) de 𝑀; y además, cada 𝑔 |𝑈 es una métrica sobre la
subvariedad 𝑈 de 𝑀 . La condición de compatibilidad (4.17), aplicada a los campos
locales 𝑋 |𝑈 = 𝜕𝑖 , 𝑌 |𝑈 = 𝜕 𝑗 , 𝑍 |𝑈 = 𝜕𝑙 da la fórmula
𝜕 𝑔 𝑚 𝑚𝑙 𝑖 𝑗 = 𝑔 𝑗𝑚Γ + 𝑔𝑖𝑚Γ .𝑙𝑖 𝑙 𝑗
Como [𝜕𝑖, 𝜕 𝑗 ] = [𝜕𝑖(, 𝜕𝑙 ] = [𝜕)𝑗 , 𝜕 𝑗 ] (= 0, la fó) rmul(a (4.19) )se reduce a 𝑔
𝜕𝑖 𝑔(𝜕 𝑗 , 𝜕𝑙 ) + 𝜕 𝑗 𝑔(𝜕𝑖, 𝜕𝑙 ) − 𝜕𝑙 𝑔(𝜕𝑖, 𝜕 𝑗 ) = 2𝑔(𝜕𝑙 ,∇ 𝜕𝜕 𝑗 );𝑖
y por ser ∇𝑔 𝜕 𝑗 = Γ𝑚𝑖 𝑗 𝜕𝑚, esto es𝜕𝑖
𝜕𝑖𝑔 𝑗𝑙 + 𝜕 𝑗𝑔𝑖𝑙 − 𝜕𝑙𝑔𝑖 𝑗 = 2𝑔 Γ𝑚𝑙𝑚 𝑖 𝑗 .
Para 𝑖, 𝑗 fijos, esta fórmula expresa una igualdad entre dos vectores de columna con
índice 𝑙 . Al multiplicar ambos lados por la matriz 12 [𝑔
𝑘𝑙 ], donde 𝑔𝑘𝑙𝑔𝑙𝑚 = 𝛿𝑘𝑚 ≡ È𝑘 =𝑚É,
se obtiene la igualdad deseada (4.21). 
4-11
MA–870: Geometría Diferencial 4.2. Métricas riemannianas
Ejemplo 4.17. Considérese la esfera 𝕊2 con el atlas de dos cartas locales definido en el
Ejemplo 1.13: 𝑈 :=( 𝕊2 \ {𝒆3} y 𝑉1 2 ):= 𝕊2 \ {−𝒆3}. Se pued(e usar las coord)enadas locales⁶
( ) 𝑥 −𝑥 𝑥
1 𝑥2
𝑥,𝑦 := − 3 , − 3 en 𝑈 , (𝑢, 𝑣) := , en 𝑉 .1 𝑥 1 𝑥 1 + 𝑥3 1 + 𝑥3
ÈSi se introduce coordenadas complejas⁷ 𝑧 := 𝑥 + 𝑖𝑦, de modo que 𝑧 = (𝑥1− 𝑖𝑥2)/(1−𝑥3)
en 𝑈 ; y 𝑤 := 𝑢 + 𝑖𝑣 , con 𝑤 = (𝑥1 + 𝑖𝑥2)/(1 + 𝑥3) en 𝑉 ; su relación con las coordenadas
esféricas usuales es 𝑧 = 𝑒−𝑖𝜙 ctg 𝜃2 en 𝑈 , mientras 𝑤 = 𝑒
+𝑖𝜙 tg 𝜃2 en 𝑉 . Nótese que 𝑤 = 1/𝑧
en 𝑈 ∩𝑉 .É
La métrica redonda (llamada así porque es invariante bajo el grupo SO(3) de rota-
ciones de la esfera) se define como el siguiente 2-tensor covariante simétrica:
4(𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2) 4(𝑑𝑢2 + 𝑑𝑣2)
𝑔 = 𝑑𝜃2 + sen2 𝜃 𝑑𝜙2 = (1 + 𝑥2 + 𝑦2)2 = (1 + 𝑢2 + 𝑣2)2 . (4.22)
(La primera fórmula es singular en los polos ±𝒆3, pero se puede usar la invariancia
rotacional para extender el dominio de 𝑔 para incluirlos.)
Es conveniente usar la abreviatura 𝑞 := 1 + 𝑥2 + 𝑦2, de modo que𝑔 = 4𝑞−2(𝑑𝑥2+𝑑𝑦2).
Los componentes de 𝑔 y de la métrica dual 𝑔−1 en el dominio 𝑈 son
𝑔 = 4𝑞−2 𝛿 𝑘𝑙 1 2 𝑘𝑙𝑖 𝑗 𝑖 𝑗 y 𝑔 = 4𝑞 𝛿 .
Si ahora se redefine (𝑥1, 𝑥2) ≡ (𝑥,𝑦) como coordenadas locales (en vez de coordena-
das cartesianas en ℝ3), se calcula enseguida que 𝜕𝑙𝑔𝑖 𝑗 = −16𝑥𝑙𝑞−3 𝛿𝑖 𝑗 . Los símbolos de
Christoffel en 𝑈 son
Γ𝑘
2 𝑖 𝑘 𝑗 𝑘 𝑘
𝑖 𝑗 = − (𝑥 𝛿 𝑗 + 𝑥 𝛿𝑖 − 𝑥 𝛿𝑖 𝑗 ). (4.23)𝑞
como consecuencia directa de (4.21). ♦
I Una métrica riemanniana 𝑔 sobre una variedad 𝑀 define productos escalares reales
𝑔𝑝 en 𝑇 𝑀 y 𝑔−1 en 𝑇 ∗𝑝 𝑝 𝑝𝑀 , para cada 𝑝 ∈ 𝑀 . Dos vectores 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑇𝑝𝑀 son ortogonales si
𝑔𝑝 (𝑢, 𝑣) = 0; dos covectores 𝜉, 𝜂 ∈ 𝑇 ∗𝑝𝑀 son ortogonales si 𝑔−1𝑝 (𝜉, 𝜂) = 0. En general, no
es posible “globalizar” estos conceptos a toda la variedad 𝑀 , pero sí definen estructuras
euclidianas en cada carta local.
6Los signos de 𝑥2 están elegidos para que el jacobiano de transición sea positivo en 𝑈 ∩𝑉 .
7Al considerar el codominioℝ2 de las cartas locales como el plano complejo ℂ, 𝕊2 se ve como la esfera
de Riemann ℂ∞ = ℂ ] {∞}, la compactificación de un punto de ℂ. El punto excluido del dominio de la
carta local es 𝑧 = ∞ para 𝑈 , 𝑤 = ∞ para 𝑉 .
4-12
MA–870: Geometría Diferencial 4.2. Métricas riemannianas
Definición 4.18. Sea (𝑈 ,𝜙) una carta local de una variedad riemanniana (𝑀,𝑔). Dos
campos vectoriales locales 𝑋,𝑌 ∈ X(𝑈 ) se llaman ortogonales si 𝑔(𝑋,𝑌 ) ≡ 0 sobre 𝑈 ;
el campo local 𝑋 está normalizado si 𝑔(𝑋,𝑋 ) ≡ 1 sobre 𝑈 .
Si 𝑛 = dim𝑀 , una base ortonormal local (o vielbein)⁸ de campos vectoriales es
una familia {𝐸1, . . . , 𝐸𝑛} ⊂ X(𝑈 ), tal que 𝑔(𝐸𝜇, 𝐸𝜈) ≡ 𝛿𝜇𝜈 sobre 𝑈 para 𝜇, 𝜈 = 1, . . . , 𝑛.
Una base ortonormal local de 1-formas es otra familia {𝜃1, . . . , 𝜃𝑛} ⊂ A1(𝑈 ) tal
que 𝑔−1(𝜃 𝜇, 𝜃𝜈) ≡ 𝛿𝜇𝜈 sobre 𝑈 para 𝜇, 𝜈 = 1, . . . , 𝑛. ♦
Para comprobar la existencia de estas bases ortonormales locales, se podría aplicar
el algoritmo de Gram y Schmidt a las bases locales respectivas {𝜕1, . . . , 𝜕𝑛} de X(𝑈 ) y
{𝑑𝑥1, . . . , 𝑑𝑥𝑛} de A1(𝑈 ). Alternativamente, se puede ensayar una construcción directa,
tomando en cuenta que la matriz 𝐺 = [𝑔𝑖 𝑗 ] es una función suave 𝐺 : 𝑈 → GL(𝑛,ℝ)
cuyos valores son matrices definidas positivas. Supóngase que hay una función suave
𝐻 : 𝑈 → GL(𝑛,ℝ) tal que 𝐻 t = 𝐻 y 𝐻2 = 𝐺 (y luego 𝐻−2 = 𝐺−1 también). Si sus
entradas se denotan por 𝐻 = [ 𝛽ℎ ] y 𝐻−1 = [ℎ̃𝑟𝛼 ], estas condiciones se expresan mediante𝑗
las fórmulas:
ℎ𝛼
𝛽
𝑖 𝛿𝛼𝛽 ℎ = 𝑔 , ℎ̃
𝑟
𝑖 𝑗 𝛼 𝛿
𝛼𝛽 ℎ̃𝑠 = 𝑔𝑟𝑠 .
𝑗 𝛽
Inversamente, las identidades 𝐻−1𝐺𝐻−1 = 1 y 𝐻𝐺−1𝐻 = 1 se traducen en:
ℎ̃𝑖
𝑗 𝜇
𝜇 𝑔𝑖 𝑗 ℎ̃𝜈 = 𝛿 , ℎ 𝑔
𝑟𝑠 ℎ𝜈 = 𝛿𝜇𝜈𝜇𝜈 𝑟 𝑠 .
Las bases ortonormales locales entonces se definen por:
𝐸 𝑖 𝜈 𝜈 𝑠𝜇 := ℎ̃𝜇 𝜕𝑖 , 𝜃 := ℎ𝑠 𝑑𝑥 , (4.24)
en vista de los cálculos: ( )
𝑔(𝐸 , 𝐸 ) = 𝑔 ℎ̃𝑖( 𝑗𝜇 𝜈 𝜇 𝜕𝑖, ℎ̃ 𝜕 = ℎ̃𝑖𝜈 𝑗 𝜇)𝑔( 𝑗𝜕𝑖, 𝜕 𝑗 ) ℎ̃𝜈 = 𝛿𝜇𝜈 ;−1( 𝜇 𝜇𝑔 𝜃 𝜇, 𝜃𝜈) = 𝑔−1 ℎ 𝑑𝑥𝑟 , ℎ𝜈 𝑑𝑥𝑠 = ℎ 𝑔−1(𝑑𝑥𝑟 , 𝑑𝑥𝑠𝑟 𝑠 𝑟 ) ℎ𝜈𝑠 = 𝛿𝜇𝜈 .
ÈSiempre hay una solución simétrica continua de la ecuación 𝐻2 = 𝐺 , porque una
matriz definida positiva 𝐺0 posee una única “raíz cuadrada” 𝐻0 = 𝐻 t0 que es también
definida positiva, y la receta 𝐺0 ↦→ 𝐻0√está dada por un límite 𝑝𝑛 (𝐺0) → 𝐻0 donde los
𝑝𝑛 son polinomios tales que 𝑝𝑛 (𝑡) → 𝑡 uniformemente sobre un intervalo [0, 𝑡0]. Una
solución suave no está garantizada, pero existe en muchos casos.É
8Por convenio, los campos y las 1-formas locales llevan índices latinos: 𝜕𝑗 , 𝑑𝑥𝑘 , etc., y los vielbein se
denotan con índices griegos: 𝐸𝜇 , 𝜃 𝜈 , etc. La palabra alemana vielbein (plural vielbeine) significa “muchas
patas”; si 𝑛 = 4 se habla de vierbein; y si 𝑛 = 2, de zweibein.
4-13
MA–870: Geometría Diferencial 4.3. Tensores de curvatura
Ejemplo 4.19. En el dominio de carta 𝑈 := 𝕊2 \ {𝒆3} de la esfera 𝕊2, la matriz de
la métrica 𝑔 es diagonal, 𝑔 = 4𝑞−2𝑖 𝑗 𝛿𝑖 𝑗 , por (4.22). Esta matriz tiene la raíz cuadrada
diagonal (definida positiva y suave en 𝑈 ) dada por
𝛽
ℎ := 2 𝛽𝑞−1 𝛿 , con inverso ℎ̃𝑟 := 1 𝑟
𝑗 𝑗 𝛼 2𝑞 𝛿𝛼 .
Entonces las bases ortonormales locales en 𝑈 son:
𝑞 𝜕 𝑞 𝜕 2 2
𝐸1 := , 𝐸2 := , y 𝜃1 := 𝑑𝑥, 𝜃2 := 𝑑𝑦. ♦2 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 𝑞 𝑞
I Si la variedad riemannana (𝑀,𝑔) es orientable, tiene una forma de volumen 𝜈𝑔 dada
localmente por
𝜈𝑔 |𝑈 := 𝜃1 ∧ 𝜃2 ∧ · · · ∧ 𝜃𝑛 .
Esta forma de volumen cumple 𝜈𝑔 (𝐸1, 𝐸2, . . . , 𝐸𝑛) ≡ 1 en 𝑈 toda vez que el orden de
la base ortonormal local (𝐸1, . . . , 𝐸𝑛) sea compatible con la orientación. Obsérvese que
det𝑔 ≡ det[𝑔𝑖 𝑗 ] > 0, puesto que la matriz [𝑔𝑖 𝑗 (𝑝)] es definida positiva en cada punto
𝑝 ∈ 𝑀 . Si esta base local está dada por una fórmula de tipo (4.24), entonces la expresión
local para esta forma de volumen riemanniana√︁𝜈𝑔 es:
𝜈  = det[ℎ𝜈] 𝑑𝑥1𝑔 𝑠 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛 = det𝑔𝑑𝑥1 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛 . (4.25)𝑈
En particular, la forma de área sobre 𝕊2, en coordenadas locales o esféricas, es:
𝜎 = 𝜃1 ∧ 𝜃2 = 4𝑞−2 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 = sen𝜃 𝑑𝜃 ∧ 𝑑𝜙.
4.3. Tensores de curvatura
Dada una conexión afín sobre una variedad diferencial 𝑀 y tres campos vectoriales
𝑋,𝑌, 𝑍 ∈ X(𝑀), la derivada direccional ∇𝑌𝑍 es otro campo vectorial, el cual a su vez
admite una segunda derivada direccional ∇𝑋∇𝑌𝑍 ∈ X(𝑀). La expresión local de esta
última incluye derivadas parciales de segundo orden; de donde es evidente que este
proceso no es tensorial. Sin embargo, es posible formar un tensor con una modificación
astuta de esta segunda derivada, como se verá en seguida.
𝜋 Π
Definición 4.20. Sea 𝐸 −→𝑀 un fibrado vectorial. Sea End𝐸 −→𝑀 el fibrado vectorial
cuya fibra en 𝑝 ∈ 𝑀 es laℝ-álgebra (End𝐸)𝑝 := Endℝ (𝐸𝑝) de endomorfismosℝ-lineales
del espacio vectorial 𝐸𝑝 . Si la fibra típica de 𝐸 es 𝐹 ' ℝ𝑘 , entonces la fibra típica de End𝐸
es Endℝ 𝐹 ' 𝑀𝑘 (ℝ).
4-14
MA–870: Geometría Diferencial 4.3. Tensores de curvatura
𝜋
A cada trivialización local 𝜓 : 𝜋−1(𝑈 ) → 𝑈 ×ℝ𝑘 del fibrado 𝐸 −→𝑀 , le corresponde
Π
una trivialización local Ψ : Π−1(𝑈 ) →[ 𝑈 ×𝑀𝑘 ](ℝ) de End𝐸 −→𝑀 , dada por:
Ψ−1(𝑝,𝐴) 𝜓−1(𝑝, 𝑣) := 𝜓−1(𝑝,𝐴𝑣) .
El álgebra de secciones suaves Γ(𝑀, End𝐸) actúa fibra por fibra sobre Γ(𝑀, 𝐸), el módulo
𝜋
de las secciones suaves de 𝐸 −→𝑀 . Es decir, si 𝐴 ∈ Γ(𝑀, End𝐸) y 𝑠 ∈ Γ(𝑀, 𝐸), entonces
𝐴𝑠 ∈ Γ(𝑀, 𝐸) se define por (𝐴𝑠)𝑝 := 𝐴𝑝 (𝑠𝑝).
En particular, End𝐶∞ (𝑀) (X(𝑀)) ≡ Γ(𝑀, End𝑇𝑀) es el álgebra de todos los operadores
𝐶∞(𝑀)-lineales sobre los campos vectoriales X(𝑀) = Γ(𝑀,𝑇𝑀). ♦
Definición 4.21. Sea ∇ una conexión afín sobre una variedad𝑀 . Defínase una aplicación
ℝ-bilineal 𝑅 = 𝑅∇ : X(𝑀) × X(𝑀) → End𝐶∞ (𝑀) (X(𝑀)) por la fórmula:
𝑅(𝑋,𝑌 ) 𝑍 := ∇𝑋∇𝑌𝑍 − ∇𝑌∇𝑋𝑍 − ∇[𝑋,𝑌 ]𝑍 (4.26)
para 𝑋,𝑌, 𝑍 ∈ X(𝑀). Este 𝑅 es el operador de curvatura de la conexión ∇. ♦
Lema 4.22. La expresión 𝑅(𝑋,𝑌 ) 𝑍 es 𝐶∞(𝑀)-trilineal en las tres variables 𝑋,𝑌, 𝑍 .
Demostración. Es evidente que 𝑅(𝑌,𝑋 )𝑍 = −𝑅(𝑋,𝑌 )𝑍 ; por lo tanto, basta verificar la
𝐶∞(𝑀)-linealidad en 𝑋 y en 𝑍 . Si 𝑓 , ℎ ∈ 𝐶∞(𝑀), se obtiene:
𝑅(𝑓 𝑋,𝑌 )𝑍 = 𝑓 ∇𝑋∇𝑌𝑍 − ∇𝑌 (𝑓 ∇𝑋𝑍 ) − ∇[𝑓 𝑋,𝑌 ]𝑍
= 𝑓 ∇𝑋∇𝑌𝑍 − (𝑌 𝑓 ) ∇𝑋𝑍 − 𝑓 ∇𝑌∇𝑋𝑍 − ∇𝑓 [𝑋,𝑌 ]𝑍 + ∇(𝑌 𝑓 )𝑋𝑍
= 𝑓 ∇𝑋∇𝑌𝑍 − (𝑌 𝑓 ) ∇𝑋𝑍 − 𝑓 ∇𝑌∇𝑋𝑍 − 𝑓 ∇[𝑋,𝑌 ]𝑍 + (𝑌 𝑓 ) ∇𝑋𝑍
= 𝑓 𝑅(𝑋,𝑌 )𝑍 ;
y también, ( ) ( )
𝑅(𝑋,𝑌 ) (ℎ𝑍 ) = ∇𝑋 (𝑌ℎ) 𝑍 + ℎ ∇𝑌𝑍 − ∇𝑌 (𝑋ℎ) 𝑍 + ℎ ∇𝑋𝑍 − [𝑋,𝑌 ] (ℎ) 𝑍 − ℎ ∇[𝑋,𝑌 ]𝑍
= 𝑋 (𝑌ℎ) 𝑍 + (𝑌ℎ) ∇𝑋𝑍 + (𝑋ℎ) ∇𝑌𝑍 + ℎ ∇𝑋∇𝑌𝑍 − [𝑋,𝑌 ] (ℎ) 𝑍
− 𝑌 (𝑋ℎ) 𝑍 − (𝑋ℎ) ∇𝑌𝑍 − (𝑌ℎ) ∇𝑋𝑍 − ℎ ∇𝑌∇𝑋𝑍 − ℎ ∇[𝑋,𝑌 ]𝑍
= ℎ∇𝑋∇𝑌𝑍 − ℎ∇𝑌∇𝑋𝑍 − ℎ∇[𝑋,𝑌 ]𝑍 + {𝑋 (𝑌ℎ) − 𝑌 (𝑋ℎ) − [𝑋,𝑌 ] (ℎ)}𝑍
= ℎ 𝑅(𝑋,𝑌 )𝑍 . 
Corolario 4.23. Para 𝑋,𝑌, 𝑍 ∈ X(𝑀) y 𝛼 ∈ A1(𝑀), la correspondencia
(𝑋,𝑌, 𝑍, 𝛼) →↦ 〈𝛼, 𝑅(𝑋,𝑌 ) 𝑍 〉 (4.27)
es un tensor mixto de bigrado (3, 1), llamado el tensor de curvatura de la conexión ∇. 
4-15
MA–870: Geometría Diferencial 4.3. Tensores de curvatura
𝜋
Para conexiones más generales sobre fibrados vectoriales 𝐸 −→𝑀 (no necesariamente
el fibrado tangente) se puede definir un operador de curvatura de ∇, con valores en
Γ(𝑀, End𝐸), por la generalización directa de (4.26):
𝑅(𝑋,𝑌 ) 𝑠 := ∇𝑋∇𝑌 𝑠 − ∇𝑌∇𝑋 𝑠 − ∇[𝑋,𝑌 ] 𝑠 para 𝑠 ∈ Γ(𝑀, 𝐸). (4.28)
La demostración del Lema 4.22, con la única modificación 𝑍 ↦→ 𝑠, comprueba la
fórmula 𝑅(𝑋,𝑌 ) (ℎ𝑠) = ℎ 𝑅(𝑋,𝑌 ) 𝑠 para todo ℎ ∈ 𝐶∞(𝑀), así que 𝑅(𝑋,𝑌 ) es un operador
𝐶∞(𝑀)-lineal sobre Γ(𝑀, 𝐸). La antisimetría y la𝐶∞(𝑀)-bilinealidad en (𝑋,𝑌 ) muestran
que 𝑅 es una 2-forma con valores en End𝐸, o sea: 𝑅 ∈ A2(𝑀, End𝐸).
I El tensor (4.27) es antisimétrica en 𝑋 ↔ 𝑌 , pero no en 𝑋 ↔ 𝑍 ni en 𝑌 ↔ 𝑍 . Entonces
este tensor no define una 3-forma con valores en 𝑇𝑀 . Sin embargo, el caso especial
∇ = ∇𝑔, la conexión de Levi-Civita para una métrica 𝑔, sí posee una amplia gama de
simetrías.
Definición 4.24. La curvatura de la conexión de Levi-Civita ∇𝑔 de una variedad rieman-
niana (𝑀,𝑔), que es una 2-forma con valores matriciales, 𝑅 ∈ A2(𝑀, End𝑇𝑀), se llama
la curvatura riemanniana de (𝑀,𝑔). ♦
Proposición 4.25. La curvatura riemanniana de una variedad riemanniana (𝑀,𝑔) cumple
las cuatro relaciones de simetría siguientes: si 𝑋,𝑌, 𝑍,𝑊 ∈ X(𝑀), entonces
(a) 𝑅(𝑋,𝑌 )𝑍 + 𝑅(𝑌,𝑋 )𝑍 = 0;
(b) 𝑅(𝑋,𝑌 )𝑍 + 𝑅(𝑌, 𝑍 )𝑋 + 𝑅(𝑍,𝑋 )𝑌 = 0: esta es la identidad de Bianchi;
(c) 𝑔(𝑅(𝑋,𝑌 )𝑍,𝑊 ) = −𝑔(𝑅(𝑋,𝑌 )𝑊,𝑍 );
(d) 𝑔(𝑅(𝑋,𝑌 )𝑊,𝑍 ) = 𝑔(𝑅(𝑊,𝑍 )𝑋,𝑌 ).
Demostración. Ad (a): Esta la mencionada antisimetría en 𝑋 ↔ 𝑌 , evidente de (4.26).
Ad (b): La identidad de Bianchi es válida para cualquier conexión afín libre de torsión.
En efecto, nótese que
∇𝑋∇𝑌𝑍 − ∇𝑋∇𝑍𝑌 − ∇𝑋 [𝑌, 𝑍 ] = ∇𝑋 (𝑇∇(𝑌, 𝑍 )) = 0.
Al permutar 𝑋,𝑌, 𝑍 cíclicamente (y sumar), se obtiene:
∇𝑋∇𝑌𝑍 + ∇𝑌∇𝑍𝑋 + ∇𝑍∇𝑋𝑌 − ∇𝑋∇𝑍𝑌 − ∇𝑌∇𝑋𝑍 − ∇𝑍∇𝑌𝑋
−∇𝑋 [𝑌, 𝑍 ] − ∇𝑌 [𝑍,𝑋 ] − ∇𝑍 [𝑋,𝑌 ] = 0. (4.29a)
4-16
MA–870: Geometría Diferencial 4.3. Tensores de curvatura
Al usar (4.26), la identidad (4.29a) queda reformulada así:
𝑅(𝑋,𝑌 )𝑍 + ∇[𝑋,𝑌 ]𝑍 + 𝑅(𝑌, 𝑍 )𝑋 + ∇[𝑌,𝑍 ]𝑋 + 𝑅(𝑍,𝑋 )𝑌 + ∇[𝑍,𝑋 ]𝑌
−∇𝑋 [𝑌, 𝑍 ] − ∇𝑌 [𝑍,𝑋 ] − ∇𝑍 [𝑋,𝑌 ] = 0. (4.29b)
La libertad de torsión 𝑇∇ = 0 da ∇[𝑋,𝑌 ]𝑍 − ∇𝑍 [𝑋,𝑌 ] = [[𝑋,𝑌 ], 𝑍 ] y dos expresiones
similares; entonces (4.29b) se simplifica en:
𝑅(𝑋,𝑌 )𝑍 + 𝑅(𝑌, 𝑍 )𝑋 + 𝑅(𝑍,𝑋 )𝑌 + [[𝑋,𝑌 ], 𝑍 ] + [[𝑌, 𝑍 ], 𝑋 ] + [[𝑍,𝑋 ], 𝑌 ] = 0.
La identidad de Jacobi cancela los últimos tres términos al lado izquierdo, dejando la
identidad de Bianchi:
𝑅(𝑋,𝑌 )𝑍 + 𝑅(𝑌, 𝑍 )𝑋 + 𝑅(𝑍,𝑋 )𝑌 = 0. (4.29c)
Ad (c): Basta mostrar que 𝑔(𝑅(𝑋,𝑌 )𝑍, 𝑍 ) = 0 en general; la identidad (c) se deduce
de ésta al polarizarla con las sustituciones 𝑍 ↦→ 𝑍 +𝑊 y 𝑍 →↦ 𝑍 −𝑊 . Escríbase
ℎ := 𝑔(𝑍, 𝑍 ) ∈ 𝐶∞(𝑀); la compatibilidad de ∇𝑔 con 𝑔 y la fórmula (4.20) implican
2𝑔(∇𝑔 𝑍, 𝑍 ) = 𝑋 𝑔(𝑍, 𝑍 ) = 𝑋ℎ.
𝑋
La compatibilidad con 𝑔 también muestra que
𝑔(𝑅(𝑋,𝑌 )𝑍, 𝑍 ) = (∇𝑔 ∇𝑔𝑔 𝑍, 𝑍 ) − 𝑔(∇𝑔∇𝑔 𝑔𝑍, 𝑍 ) − 𝑔(∇[ ]𝑍, 𝑍 )𝑋 𝑌 𝑌 𝑋 𝑋,𝑌
= (∇𝑔 ) − (∇𝑔 ∇𝑔 ) − (∇𝑔𝑋 𝑔 𝑍, 𝑍 𝑔 𝑍, 𝑍 𝑌 𝑔 𝑍, 𝑍 ) + 𝑔(∇𝑔 𝑔𝑍,∇ 𝑍 ) − 1
𝑌 𝑌 𝑋 𝑋 𝑋 𝑌 2 [𝑋,𝑌 ] (ℎ)
= (∇𝑔𝑋 𝑔 𝑍, 𝑍 ) − 𝑌 𝑔(∇𝑔 𝑍, 𝑍 ) − 12 [𝑋,𝑌 ] (ℎ)𝑌 𝑋
= 12𝑋 (𝑌ℎ) −
1 1
2𝑌 (𝑋ℎ) − 2 [𝑋,𝑌 ] (ℎ) = 0.
Ad (d): Si𝑊 ∈ X(𝑀), entonces 𝑔(𝑅(𝑋,𝑌 )𝑍,𝑊 ) = −𝑔(𝑅(𝑌,𝑋 )𝑍,𝑊 ) por la parte (a).
Además, se verifican las siguientes identidades:
𝑔(𝑅(𝑋,𝑌 )𝑍,𝑊 ) + 𝑔(𝑅(𝑌, 𝑍 )𝑋,𝑊 ) + 𝑔(𝑅(𝑍,𝑋 )𝑌,𝑊 ) = 0,
𝑔(𝑅(𝑊,𝑌 )𝑍,𝑋 ) + 𝑔(𝑅(𝑌, 𝑍 )𝑊,𝑋 ) + 𝑔(𝑅(𝑍,𝑊 )𝑌,𝑋 ) = 0,
𝑔(𝑅(𝑋,𝑊 )𝑍,𝑌 ) + 𝑔(𝑅(𝑊,𝑍 )𝑋,𝑌 ) + 𝑔(𝑅(𝑍,𝑋 )𝑊,𝑌 ) = 0,
𝑔(𝑅(𝑋,𝑌 )𝑊,𝑍 ) + 𝑔(𝑅(𝑌,𝑊 )𝑋,𝑍 ) + 𝑔(𝑅(𝑊,𝑋 )𝑌, 𝑍 ) = 0. (4.30a)
En efecto, la primera de estas ecuaciones sigue de (4.29c). Las otras se obtienen al
intercambiar𝑊 con 𝑋,𝑌, 𝑍 respectivamente.
4-17
MA–870: Geometría Diferencial 4.3. Tensores de curvatura
Al sumar los cuatro lados izquierdos de (4.30a), la condición (c) implica que tres pares
de términos se cancelan. Los otros términos forman tres pares repetidos: por ejemplo,
𝑔(𝑅(𝑍,𝑊 )𝑌,𝑋 ) = 𝑔(𝑅(𝑊,𝑍 )𝑋,𝑌 ) por (a) y (c). De ahí resulta que
𝑔(𝑅(𝑊,𝑌 )𝑍,𝑋 ) + 𝑔(𝑅(𝑊,𝑍 )𝑋,𝑌 ) + 𝑔(𝑅(𝑊,𝑋 )𝑌, 𝑍 ) = 0. (4.30b)
Entonces, al aplicar las condiciones (b) y luego (a) y (c) se obtiene:
𝑔(𝑅(𝑋,𝑌 )𝑊,𝑍 ) = −𝑔(𝑅(𝑊,𝑋 )𝑌, 𝑍 ) − 𝑔(𝑅(𝑌,𝑊 )𝑋,𝑍 )
= −𝑔(𝑅(𝑊,𝑋 )𝑌, 𝑍 ) − 𝑔(𝑅(𝑊,𝑌 )𝑍,𝑋 ) . (4.30c)
De (4.30b) y (4.30c) se deduce que 𝑔(𝑅(𝑋,𝑌 )𝑊,𝑍 ) = 𝑔(𝑅(𝑊,𝑍 )𝑋,𝑌 ). 
I Para calcular tensores de curvatura, es necesario expresar sus componentes en las
coordenadas locales de una carta (𝑈 ,𝜙) de 𝑀 . Dada una conexión afín cualquiera so-
bre 𝑀 , el tensor de curvatura (4.27), de bigrado (3, 1), tiene las componentes
𝑅𝑖 := 〈𝑑𝑥𝑖, 𝑅(𝜕
𝑗𝑘𝑙 𝑘
, 𝜕𝑙 ) 𝜕 𝑗〉. (4.31)
La fórmula (4.26) para el operador de curvatura se escribe así:
𝑅𝑖 𝜕𝑖 = 𝑅(𝜕𝑘, 𝜕𝑙 ) 𝜕 𝑗 = ∇𝜕 ∇ 𝜕𝑗𝑘𝑙 𝑘 𝜕𝑙 𝑗 − ∇𝜕 ∇ 𝜕 .𝑙 𝜕𝑘 𝑗
En vista de (4.6), la curvatura de ∇ está determinada por los símbolos de Christoffel y
sus derivadas:
𝑅𝑖 = 〈𝑑𝑥𝑖,∇𝜕 (Γ𝑚𝜕 𝑖 𝑚𝑗𝑘𝑙 𝑘 𝑗𝑙 𝑚)〉 − 〈𝑑𝑥 ,∇𝜕 (Γ 𝜕𝑚)〉𝑙 𝑗𝑘
= 〈𝑑𝑥𝑖, (𝜕 Γ𝑚) 𝜕 + Γ𝑚Γ𝑟 𝜕 〉 − 〈𝑑𝑥𝑖, (𝜕 Γ𝑚 𝑚 𝑟𝑘 𝑚 𝑟 𝑙 ) 𝜕𝑚 + Γ Γ 𝜕 〉,𝑗𝑙 𝑗𝑙 𝑚𝑘 𝑗𝑘 𝑗𝑘 𝑚𝑙 𝑟
y esta expresión se simplifica en la siguiente fórmula local:
𝑅𝑖 = 𝜕 𝑖 𝑖 𝑚 𝑖 𝑚 𝑖
𝑗𝑘𝑙 𝑘
Γ − 𝜕
𝑗𝑙 𝑙
Γ + Γ Γ − Γ Γ . (4.32)
𝑗𝑘 𝑗𝑙 𝑚𝑘 𝑗𝑘 𝑚𝑙
En el caso de que ∇ = ∇𝑔 es la conexión de Levi-Civita para una métrica Riemanniana
𝑔 sobre𝑚, los componentes (4.31) dan lugar a un 4-tensor covariante, también denotado
por 𝑅 pero con cuatro subíndices: ( )
𝑅𝑖 𝑗𝑘𝑙 := 𝑔 𝜕𝑖, 𝑅(𝜕𝑘, 𝜕𝑙 ) 𝜕 𝑗 = 𝑔 𝑅𝑚𝑖𝑚 . (4.33)𝑗𝑘𝑙
Las simetrías de la Proposición 4.25 ahora se manifiestan así:
𝑅𝑖 𝑗𝑘𝑙 = −𝑅 𝑗𝑖𝑘𝑙 = −𝑅𝑖 𝑗𝑙𝑘 ; 𝑅𝑖 𝑗𝑘𝑙 + 𝑅𝑖𝑙 𝑗𝑘 + 𝑅𝑖𝑘𝑙 𝑗 = 0 ; 𝑅𝑖 𝑗𝑘𝑙 = 𝑅𝑘𝑙𝑖 𝑗 . (4.34)
4-18
MA–870: Geometría Diferencial 4.3. Tensores de curvatura
Definición 4.26. La curvatura riemanniana 𝑅 sobre (𝑀,𝑔) da lugar a otros tensores,
por contracción de índices. El tensor de Ricci es la traza de la aplicación 𝐶∞(𝑀)-lineal
𝑌 ↦→ 𝑅(−, 𝑌 ), la cual es un 2-tensor covariante Ric, con componentes locales:
𝑅 • 𝑘𝑗𝑙 ≡ Ric 𝑗𝑙 := tr(𝑅 • ) = 𝑅 . (4.35)𝑗 𝑙 𝑗𝑘𝑙
En vista de las simetrías de 𝑅, el tensor de Ricci es simétrico:
𝑅𝑙 𝑗 = 𝑅
𝑚 = 𝑔𝑚𝑘𝑅𝑘𝑙𝑚𝑗 = 𝑔
𝑘𝑚𝑅 𝑘
𝑙𝑚𝑗 𝑚𝑗𝑘𝑙
= 𝑅 = 𝑅 .
𝑗𝑘𝑙 𝑗𝑙
La contracción total del tensor de Ricci con la métrica inversa 𝑔−1 es una función
𝑆 ∈ 𝐶∞(𝑀) definida por
𝑆 := 𝑔 𝑗𝑙𝑅 = 𝑔 𝑗𝑙𝑔𝑘𝑚𝑗𝑙 𝑅𝑚𝑗𝑘𝑙 . (4.36)
Esta 𝑆 es la curvatura escalar 𝑆 de la variedad riemanniana (𝑀,𝑔). ♦
En una variedad riemanniana (𝑀,𝑔) de dimensión 2, los componentes locales 𝑅𝑖 𝑗𝑘𝑙
del tensor de curvatura obedecen las relaciones de simetría (4.34), donde 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙 = 1, 2.
De las primeras dos relaciones, se ve que 𝑅𝑖 𝑗𝑘𝑙 = 0 si 𝑖 = 𝑗 o bien 𝑘 = 𝑙 . Los otros
coeficientes son 𝑅1212 = −𝑅2112 = −𝑅1221 = 𝑅2121; y para ellos, las relaciones tercera (de
Bianchi) y cuarta son automáticas. Por lo tanto, 𝑅 queda determinado por el coeficiente
𝑅1212 solamente.
Si dim𝑀 = 4, las relaciones de simetría reducen las 256 componentes de 𝑅 a unos
20 componentes independientes. En dimensión 𝑛, el número de componentes indepen-
dientes es 𝑛2(𝑛2 − 1)/12.
Proposición 4.27. La esfera 𝕊2 tiene curvatura escalar constante 𝑆 ≡ 2.
Demostración. En el caso de la esfera 𝕊2, basta hacer el cálculo en el dominio de carta
local 𝑈 = 𝕊2 \ {𝒆3}; hay un cálculo análogo en 𝑉 = 𝕊2 \ {−𝒆3}. (Como 𝑈 ∩ 𝑉 ≠ ∅, los
valores constantes de 𝑆 en 𝑈 y en 𝑉 deben ser – y son – iguales.)
Con la notación del Ejemplo 4.17, se usa coordenadas locales (𝑥,𝑦) en 𝑈 y se escribe
𝑞 := 1 + 𝑥2 + 𝑦2. Los símbolos de Christoffel fueron calculados en (4.23):
1 2𝑥 1 1 2𝑦 2𝑥Γ 111 = − , Γ12 = Γ21 = − , Γ𝑞 𝑞 22 = + ,𝑞
2𝑦 2𝑥
Γ2 = + , Γ2 = Γ2 = − , Γ2 2𝑦11 𝑞 12 21 22 = − .𝑞 𝑞
Como las matrices [𝑔𝑖 𝑗 ] y [𝑔𝑟𝑠] son diagonales, las sumatorias en (4.33) tienen un
solo término cada uno; por ejemplo, 𝑅 11212 = 𝑔11𝑅212 y luego 𝑅
1 = 𝑔11212 𝑅1212.
4-19
MA–870: Geometría Diferencial 4.4. Fibrados principales y formas de conexión
En seguida, a partir de (4.31) se calcula:
𝑅1 1212 = 𝜕1Γ(22 −)𝜕2Γ1 +( Γ𝑚 Γ)112 22 𝑚1 − Γ𝑚 121Γ𝑚2
𝜕 2𝑥 − 𝜕 2𝑦 4𝑥
2
− − + 4𝑦
2
− 4𝑦
2
+ 4𝑥
2
=
𝜕𝑥 𝑞 𝜕𝑦 𝑞 𝑞2 𝑞2 𝑞2 𝑞2
2𝑞 − 4𝑥2 2
= 2 +
2𝑞 − 4𝑦 4
2 = 2 ,𝑞 𝑞 𝑞
y en consecuencia
1 4 · 4 16𝑅1212 = 𝑔11𝑅212 = = .𝑞2 𝑞2 𝑞4
Los componentes del tensor de Ricci son:
𝑅 = 𝑅1 + 𝑅2 = 𝑅1 + 𝑔22 422 212 222 212 𝑅2222 = 𝑅1212 = 𝑞2 ,
𝑞2 16 4
𝑅11 = 𝑅
1 2
111 + 𝑅121 = 𝑔11𝑅 22 221111 + 𝑔 𝑅2121 = 𝑔 𝑅1212 = · = ,4 𝑞4 𝑞2
y de modo similar 𝑅12 = 𝑅21 = 0. Luego las matrices [𝑔𝑟𝑠] y [𝑅 𝑗𝑙 ] son diagonales en este
caso; la curvatura escalar es una suma de dos términos:
2 2
𝑆 = 𝑔 𝑗𝑙𝑅 = 𝑔11𝑅 + 𝑔22 𝑞𝑗𝑙 11 𝑅22 = ·
4 + 𝑞 · 4
4 𝑞2 4 𝑞2
≡ 2.
Un cálculo similar muestra que 𝑆 ≡ 2 en 𝑉 ; luego vale 𝑆 ≡ 2 en todo 𝕊2. 
La métrica estándar en 𝑀 = ℝ𝑛 es constante, 𝑔𝑖 𝑗 = 𝛿𝑖 𝑗 ; y su curvatura escalar es
𝑆 ≡ 0. Existen otras superficies de curvatura constante negativa, llamadas seudoesferas.
4.4. Fibrados principales y formas de conexión
La teoría de conexiones y curvatura puede ser reformulada en términos de ciertas
formas diferenciales locales. Para abordarlas, es necesario introducir el fibrado de marcos
(locales) sobre una variedad diferencial, definido a continuación.
𝜎
Definición 4.28. Sea 𝑀 es una variedad diferencial de dimensión 𝑛, sea F𝑀 −→𝑀 el
fibrado cuya fibra F𝑝𝑀 en el punto 𝑝 es la totalidad de bases {𝑣1, . . . , 𝑣𝑛} del espacio
tangente 𝑇𝑝𝑀 . Al elegir una base, se define⁹ un isomorfismo lineal 𝑢 : ℝ𝑛 → 𝑇𝑝𝑀; el
9El isomorfismo lineal 𝑢 queda determinado por sus valores en la base estándar de ℝ𝑛, 𝑢 (𝒆𝑖 ) := 𝑣𝑖 ,
que deben ser vectores linealmente independientes.
4-20
MA–870: Geometría Diferencial 4.4. Fibrados principales y formas de conexión
conjunto F𝑝𝑀 es la totalidad de tales isomorfismos. El grupo de Lie 𝐺 = GL(𝑛,ℝ) de los
automorfismos lineales de ℝ𝑛 actúa (libre y transitivamente) sobre F𝑝𝑀 por composición
a la derecha:
→↦ ◦ 𝑛 −→𝐴𝑢 𝑢 𝐴 : ℝ ℝ𝑛 −→𝑢 𝑇𝑝𝑀.
𝜏
Si {(𝑈 ,𝜙)} es una carta de un atlas que trivializa el fibrado tangente 𝑇𝑀 −→𝑀 ,
se puede hallar un marco l⋃ocal {𝑋1, . . . , 𝑋𝑛} en X(𝑈 ) cuyos valores puntuales (𝑋𝑖)𝑝forman una base de 𝑇𝑝𝑀 , para 𝑝 ∈ 𝑈 𝑗 . El marco local {𝜕/𝜕𝑥1, . . . , 𝜕/𝜕𝑥𝑛} es un ejemplo
particular de eso. Entonces 𝑝∈𝑈 F𝑝𝑀 ≡ 𝜎−1(𝑈 𝑗 ) ≈ 𝑈 𝑗 × 𝐺 . Así se define un fibrado𝑗
principal F𝑀 −→𝜎 𝑀 , el fibrado de marcos de 𝑀 , cuya fibra típica es 𝐺 = GL(𝑛,ℝ). ♦
El uso de un marco local da lugar a una manera alternativa de estudiar conexiones
afines, que generaliza los símbolos de Christoffel. Este punto de vista fue introducido por
Élie Cartan con su método del marco móvil.1⁰
Definición 4.29. Sea (𝑈 ,𝜙) una carta local de una variedad diferencial𝑀 , que trivializa
𝜏
el fibrado tangente𝑇𝑀 −→𝑀 . Sea {𝑋1, . . . , 𝑋𝑛} unmarco local deX(𝑈 ). Cada𝑋 ∈ X(𝑀)
tiene la siguiente expansión sobre 𝑈 :
𝑋 |𝑈 =: 𝜃 𝑖 (𝑋 )𝑋𝑖 con 𝜃1, . . . , 𝜃𝑛 ∈ A1(𝑈 ). (4.37a)
Si ∇ es una conexión afín sobre 𝑀 , cada ∇𝑋 (𝑋 𝑗 ) ∈ X(𝑈 ) posee una expansión similar:
∇𝑋 (𝑋 𝑗 ) =: 𝜔𝑖 𝑖 1𝑗 (𝑋 )𝑋𝑖 con cada 𝜔 𝑗 ∈ A (𝑈 ). (4.37b)
Los lados izquierdos de estas ecuaciones dependen tensorialmente de 𝑋 , así que los
coeficientes 𝜃 𝑖 (𝑋 ) y 𝜔𝑖𝑗 (𝑋 ) dependen 𝐶∞(𝑀)-linealmente de 𝑋 . En otras palabras, estas
𝜃 𝑖 y 𝜔𝑖𝑗 son 1-formas locales sobre 𝑈 . ♦
Definición 4.30. La torsión 𝑇∇ y la curvatura 𝑅∇ de una conexión ∇, definidas por
las fórmulas respectivas (4.18) y (4.26), permiten introducen ciertas 2-formas locales en
términos de un marco local {𝑋1, . . . , 𝑋𝑛} sobre 𝑈 :
𝑇 𝑖∇(𝑋,𝑌 ) |𝑈 =: 𝜏 (𝑋,𝑌 )𝑋𝑖 con 𝜏1, . . . , 𝜏𝑛 ∈ A2(𝑈 ), (4.38a)
𝑅 (𝑋,𝑌 )𝑋 =: Ω𝑖∇ 𝑗 𝑗 (𝑋,𝑌 )𝑋𝑖 con cada Ω𝑖 2𝑗 ∈ A (𝑈 ). (4.38b)
Cabe recordar que 𝑇∇(𝑋,𝑌 ) y 𝑅∇(𝑋,𝑌 ) son antisimétricos y tensoriales en 𝑋,𝑌 , así que
estas 𝜏𝑖 y Ω𝑖𝑗 son efectivamente 2-formas sobre 𝑈 . ♦
10El método de la repère mobile (el marco móvil) fue expuesto en el libro: Élie Cartan, La méthode du
repère mobile, la théorie des groupes continus, et les espaces généralisés, Actualités Scientifiques et Industrielles
194, Hermann, Paris, 1935.
4-21
MA–870: Geometría Diferencial 4.4. Fibrados principales y formas de conexión
Estas 1-formas y 2-formas locales no son independientes, sino que están ligadas por
las ecuaciones estructurales de Cartan, como demuestra el teorema siguiente.
Teorema 4.31 (Cartan). Dado un marco local {𝑋1, . . . , 𝑋𝑛} de X(𝑈 ), las formas locales
(4.37) y (4.38) obedecen estas ecuaciones de estructura:
𝜏𝑖 = 𝑑𝜃 𝑖 + 𝜔𝑖 𝑗𝑗 ∧ 𝜃 , (4.39)
Ω𝑖 𝑖 𝑖 𝑘𝑗 = 𝑑𝜔 𝑗 + 𝜔 ∧ 𝜔 .𝑘 𝑗
Demostración. El siguiente cálculo enX(𝑈 ) sigue directamente de la definición de torsión
y las fórmulas (4.37):
𝜏𝑖 (𝑋,𝑌 )𝑋𝑖 = 𝑇∇(𝑋,𝑌 ) = ∇𝑋𝑌 − ∇𝑌𝑋 − [𝑋,𝑌 ]
= ∇{ 𝑋 (𝜃 𝑗 (𝑌 )𝑋 𝑗 ) − ∇𝑌 (𝜃 𝑗 (𝑋 )𝑋 𝑗 ) − 𝜃 𝑗 (}[𝑋,𝑌 ])𝑋 𝑗
= 𝑋 (𝜃 𝑗 (𝑌 )) − 𝑌 (𝜃 𝑗 (𝑋 )) − 𝜃 𝑗 ( [𝑋,𝑌 ] 𝑋 + 𝜃 𝑗𝑗 (𝑌 ) ∇𝑋 (𝑋 𝑗 ) − 𝜃 𝑗 (𝑋 ) ∇𝑌 (𝑋 𝑗 )
= 𝑑{𝜃 𝑗 (𝑋,𝑌 )𝑋 𝑗 + 𝜃 𝑗 (𝑌 )𝜔𝑖𝑗 (𝑋 )𝑋𝑖 − 𝜃 𝑗 (𝑋 )𝜔𝑖}𝑗 (𝑌 )𝑋𝑖
= {𝑑𝜃 𝑖 (𝑋,𝑌 ) + 𝜔𝑖𝑗 (𝑋 ) 𝜃 𝑗 (𝑌 ) −}𝜔𝑖𝑗 (𝑌 ) 𝜃 𝑗 (𝑋 ) 𝑋𝑖
= 𝑑𝜃 𝑖 (𝑋,𝑌 ) + 𝜔𝑖 ∧ 𝜃 𝑗𝑗 (𝑋,𝑌 ) 𝑋𝑖
al usar la fórmula 𝜔𝑖 ∧ 𝜃 𝑗 = 𝜔𝑖 𝑗 𝑗 𝑖𝑗 𝑗 ⊗ 𝜃 − 𝜃 ⊗𝜔 𝑗 . La independencia lineal de los 𝑋𝑖 produce
la primera ecuación de (4.39).
De modo similar, de la defi( nición de curvatura y la)s fórmulas (4.37) se obtiene:
Ω𝑖𝑗 (𝑋,𝑌 )𝑋𝑖 = 𝑅∇(𝑋,𝑌 )𝑋 𝑗 = ∇𝑋∇𝑌 − ∇𝑌∇𝑋 − ∇[𝑋,𝑌 ] 𝑋 𝑗
= ∇{ 𝑖𝑋 (𝜔 𝑗 (𝑌 )𝑋𝑖) − ∇𝑌 (𝜔𝑖𝑗 (𝑋 )𝑋 𝑖𝑖) − 𝜔 𝑗 ( [}𝑋,𝑌 ])𝑋𝑖
= 𝑋 (𝜔𝑖𝑗 (𝑌 )) − 𝑌 (𝜔𝑖𝑗 (𝑋 )) − 𝜔𝑖𝑗 ( [𝑋,𝑌 ]) 𝑋𝑖 + 𝜔𝑘𝑗 (𝑌 )∇𝑋 (𝑋𝑘) − 𝜔𝑘𝑗 (𝑋 )∇𝑌 (𝑋𝑘)
= 𝑑{𝜔𝑖𝑗 (𝑋,𝑌 )𝑋 + 𝜔𝑖𝑖 (𝑋 )𝜔𝑘 (𝑌 )}𝑋 − 𝜔𝑖 (𝑌 )𝜔𝑘𝑗 𝑖 (𝑋 )𝑋𝑘 𝑘 𝑗 𝑖
= 𝑑𝜔𝑖𝑗 (𝑋,𝑌 ) + 𝜔𝑖 ∧ 𝜔𝑘𝑗 (𝑋,𝑌 ) 𝑋𝑘 𝑖
así que Ω𝑖𝑗 (𝑋,𝑌 ) = (𝑑𝜔𝑖 + 𝜔𝑖 ∧ 𝜔𝑘𝑗 𝑗 ) (𝑋,𝑌 ) para todo 𝑋,𝑌 ∈ X(𝑈 ). 𝑘
Es posible escribir las ecuaciones estructurales de Cartan en una forma más compacta
al notar que los productos cuña en (4.39) aparecen en el formato de productos matriciales
(habida cuenta del convenio de Einstein). Conviene introducir ciertos vectores columna
𝜃 := [𝜃 𝑖] ∈ A1(𝑈 ,ℝ𝑛), 𝜏 := [𝜏𝑖] ∈ A2(𝑈 ,ℝ𝑛);
usando A𝑘 (𝑈 ,ℝ𝑛) := A𝑘 (𝑈 ) ⊗𝐶∞ (𝑀) Γ(𝑈 ,𝑀 × ℝ𝑛), una variante de la notación (4.12)
apropiada para fibrados vectoriales triviales.
4-22
MA–870: Geometría Diferencial 4.4. Fibrados principales y formas de conexión
También se puede introducir ciertas matrices cuadradas
𝜔 := [𝜔𝑖 ] ∈ A1𝑗 (𝑈 , g), Ω := [Ω𝑖𝑗 ] ∈ A2(𝑈 , g),
donde g = 𝑀𝑛 (ℝ) es el álgebra de Lie del grupo de Lie 𝐺 = GL(𝑛,ℝ). Se definen los
“productos cuña matriciales” 𝜔 ∧𝜃 y 𝜔 ∧𝜔 entrada por entrada. Entonces las ecuaciones
de estructura se resumen en estas fórmulas:
𝜏 = 𝑑𝜃 + 𝜔 ∧ 𝜃, Ω = 𝑑𝜔 + 𝜔 ∧ 𝜔. (4.40)
I A esta altura, es un poco insatisfactorio trabajar solamente con formas diferenciales
locales. Es deseable obtener una reformulación “global” de tales formas 𝜃 𝑖 y 𝜔𝑖𝑗 , reempla-
zándolas por objetos que no dependen de cartas locales. El concepto que permite sentar
ese contexto global es el de un fibrado principal, que obtuvo una mención breve en la
sección 1.9.
𝜎
Definición 4.32. Un fibrado principal (𝑃,𝑀, 𝜎;𝐺), también denotado por 𝑃 −→𝑀 , es
un fibrado cuya fibra típica es un grupo de Lie 𝐺 , que actúa libre y transitivamente a la
derecha sobre cada fibra 𝑃𝑞. (La acción del grupo 𝐺 es libre si el subgrupo de isotropía
de cada 𝑢 ∈ 𝑃 es {1}; es transitiva sobre 𝑃𝑞 si la acción permuta todos los puntos de 𝑃𝑞.)
De esta manera, existe una función suave 𝑅 : 𝑃 × 𝐺 → 𝑃 denotado por 𝑅(𝑢,𝑔) := 𝑢 ⊳ 𝑔
tal que, en contraste con la acción a izquierda (1.50):
(𝑢 ⊳ 𝑔) ⊳ ℎ = 𝑢 ⊳ (𝑔ℎ), 𝑢 ⊳ 1 = 𝑢 para todo 𝑢 ∈ 𝑃 ; 𝑔, ℎ ∈ 𝐺.
El fibrado y la acción del grupo de estructura 𝐺 deben ser compatibles, como sigue:
(a) Se requiere que 𝜎 (𝑢 ⊳𝑔) = 𝜎 (𝑢) para todo𝑢 ∈ 𝑃 , 𝑔 ∈ 𝐺 , y que𝐺 → 𝑃𝜎 (𝑢) : 𝑔 ↦→ 𝑢 ⊳𝑔
sea biyectiva. Así, las fibras 𝑃𝜎 (𝑢) son las órbitas de la acción de 𝐺 sobre 𝑃 .
(b) Las trivializaciones locales𝜓 : 𝜋−1𝑗 (𝑈 𝑗 ) → 𝑈 𝑗 ×𝐺 de (1.52) deben ser equivariantes
para las acciones de 𝐺 sobre 𝑃 y sobre 𝑀 × 𝐺 mediante (𝑝,𝑔) ⊳ ℎ := (𝑝,𝑔ℎ). Esta
condición dice que 𝜓 𝑗 (𝑢 ⊳ ℎ) = 𝜓 𝑗 (𝑢) ⊳ ℎ para 𝑢 ∈ 𝑈 𝑗 , ℎ ∈ 𝐺 . ♦
En la sección 1.9, ya se notó que cuando𝐻 un subgrupo cerrado de un grupo de Lie𝐺 ,
𝜂
la aplicación cociente 𝐺 −→𝐺/𝐻 determina un fibrado principal con fibra típica 𝐻 .
𝜎
El fibrado de marcos F𝑀 −→𝑀 de la Definición 4.28 es también un fibrado principal,
cuyo grupo de estructura es 𝐺 = GL(𝑛,ℝ). Se puede generalizar este ejemplo, como
sigue, al reemplazar el fibrado tangente por cualquier otro fibrado vectorial.
4-23
MA–870: Geometría Diferencial 4.4. Fibrados principales y formas de conexión
Definición 4.33. Sea 𝐸 −→𝑀 un fibrado vectorial de rango 𝑘. Defínase un fibrado
principal F( ) −→𝜎𝐸 𝑀 como sigue. Para 𝑝 ∈ 𝑀 , sea F(𝐸)𝑝 ≡ F(𝐸𝑝) la totalidad de
isomorfismos lineales 𝑢𝑝 : ℝ𝑘 → 𝐸𝑝 . El espacio total es la unión disjunta de estos F(𝐸𝑝):
F(𝐸) := {𝑢 = (𝑝,𝑢𝑝) : 𝑝 ∈ 𝑀, 𝑢𝑝 ∈ F(𝐸𝑝) }, 𝜎 (𝑢) := 𝑝. (4.41)
Si𝜓 : 𝜋−1(𝑈 ) → 𝜋𝑈 ×ℝ𝑘 es una trivialización local de 𝐸 −→𝑀 , entonces la aplicación
𝑢 ↦→ pr2(𝜓 (𝑢)) define isomorfismos lineales𝜓𝑝 : 𝐸𝑝 → ℝ𝑘 , con 𝑔𝑝 := 𝜓𝑝 ◦𝑢𝑝 ∈ GL(𝑘,ℝ).
Al definir 𝜑 (𝑢) := (𝑝,𝑔𝑝), se obtiene una trivialización local 𝜑 : 𝜎−1(𝑈 ) → 𝑈 × GL(𝑘,ℝ)
que es equivariante para las acciones a derecha de GL(𝑘,ℝ). El fibrado principal así
definido es el fibrado de marcos de 𝐸. Su grupo de estructura es GL(𝑘,ℝ). ♦
En la dirección contraria, es posible recuperar un fibrado vectorial a partir de su
fibrado de marcos, como sigue.
Definición 4.34. Hay una acción a izquierda de 𝐺 = GL(𝑘,ℝ) sobre F(𝐸) × ℝ𝑘 por la
fórmula “diagonal”:
𝐴 ⊲ (𝑢, 𝑥) := (𝑢 ◦𝐴−1, 𝐴𝑥) para 𝐴 ∈ GL(𝑘,ℝ). (4.42)
El espacio cociente de F(𝐸) ×ℝ𝑘 bajo esta acción (esto es, el conjunto de las órbitas) se
llama el producto fibrado de F(𝐸) y ℝ𝑘 , denotado por
F(𝐸) × ℝ𝑘𝐺 .
Sus elementos son las clases de equivalencia [𝑢, 𝑥] de (𝑢, 𝑥) bajo la acción (4.42). Para
𝑢 ∈ F(𝐸) fijo, estas clases forman un espacio ℝ-vectorial, al poner 𝑎[𝑢, 𝑥] + 𝑏 [𝑢,𝑦] :=
[𝑢, 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦]. Fíjese que
[𝑢 ◦𝐴, 𝑥] = [𝑢,𝐴𝑥] para cada 𝐴 ∈ GL(𝑘,ℝ),
así que este espacio vectorial depende solo del punto de la base 𝑝 = 𝜎 (𝑢) ∈ 𝑀 . Entonces
𝜎
F(𝐸) × 𝑘𝐺 ℝ −→𝑀 es un fibrado vectorial, con proyección 𝜎 ( [𝑢, 𝑥]) := 𝜎 (𝑢).
Al definir 𝜃 ( [𝑢, 𝑥]) := 𝑢 (𝑥) ∈ 𝐸𝜎 (𝑢), se obtiene un isomorfismo de fibrados vectoriales
𝜃 : F(𝐸) × ℝ𝑘𝐺 → 𝐸; se ve que 𝜋 ◦ 𝜃 = 𝜎 por su definición. ♦
È La fórmula (4.42) aprovecha la acción (matriz por columna) de GL(𝑘,ℝ) sobre ℝ𝑘 .
A veces conviene generalizarla, al reemplazar GL(𝑘,ℝ) por un grupo de Lie𝐺 cualquiera
y ℝ𝑘 por un espacio vectorial 𝑉 , junto con una representación de 𝐺 sobre 𝑉 , esto es, un
4-24
MA–870: Geometría Diferencial 4.4. Fibrados principales y formas de conexión
𝜎
homomorfismo de grupos 𝜌 : 𝐺 → GL(𝑉 ). Dado un fibrado principal 𝑃 −→𝑀 con grupo
de estructura 𝐺 , se usa la acción 𝑔 ⊲ (𝑢, 𝑥) := (𝑢 ◦ 𝑔−1, 𝜌 (𝑔)𝑥) de 𝐺 sobre 𝑃 × 𝑉 para
𝜋
definir el producto fibrado 𝐸 := 𝑃 ×𝐺 𝑉 como antes. Se obtiene así un fibrado 𝐸 −→𝑀
𝜎
que se llama el fibrado vectorial asociado a 𝑃 −→𝑀 mediante la representación 𝜌.É
Ejemplo 4.35. Si (𝑀,𝑔) es una variedad riemanniana, cada espacio tangente𝑇𝑝𝑀 posee
un producto escalar real 𝑔𝑝 . Sea O𝑝𝑀 la totalidad de bases ortonormales {𝑣1, . . . , 𝑣𝑛} de
𝑇𝑝𝑀 . La base estándar {𝒆1, . . . , 𝒆 𝑛𝑛} deℝ es una base ortonormal para el producto escalar
usual; luego, se puede identificar O𝑝𝑀 con las isometrías lineales 𝑣 : ℝ𝑛 → 𝑇𝑝𝑀 entre
estos dos espacios euclidianos, al tomar 𝑣 𝑗 := 𝑣 (𝒆 𝑗 ) en cada caso.
El grupo de Lie 𝑂 (𝑛) – las isometrías lineales de ℝ𝑛 – actúa a la derecha O𝑝𝑀 por
𝐴 𝑣
composición: 𝑣 ↦→ 𝑣 ◦𝐴 : ℝ𝑛 −→ℝ𝑛 −→𝑇𝑝𝑀 .
Por analogía con la Definición 4.28, estas O𝑝 (𝑀) son fibras de un fibrado principal
( ) −→𝜎O 𝑀 𝑀 , cuyo grupo de estructura es 𝑂 (𝑛). Este es el fibrado de marcos ortonor-
males de (𝑀,𝑔). ♦
𝜎
Definición 4.36. Sea 𝑃 −→𝑀 un fibrado principal con grupo de estructura 𝐺 y sea g el
álgebra de Lie de 𝐺 . Para cada 𝑋 ∈ g, se define un campo vectorial fundamental 𝑋sobre 𝑃 por: 𝑑
𝑋𝑢 :=  (𝑢 ⊳ exp 𝑡𝑋 ). (4.43)𝑑𝑡 𝑡=0
Esta fórmula verifica la relación 
( ) ≡ ( ) 𝑑

𝑋 𝑓 𝑢 𝑋 𝑢 𝑓 =  𝑓 (𝑢 ⊳ exp 𝑡𝑋 ), para 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑃),𝑑𝑡 𝑡=0
al notar que (𝑢, 𝑡) →↦ 𝑓 (𝑢 ⊳ exp 𝑡𝑋 ) es suave sobre 𝑃 ×ℝ. Luego 𝑋 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑃), y por ende
𝑋 es un campo vectorial sobre 𝑃 ; su regla de Leibniz es inmediato.
De esta manera, se obtiene una aplicación ℝ-lineal
𝑗 : g→ X(𝑃) : 𝑋 →↦ 𝑋, (4.44)
que de hecho es un homomorfismo de álgebras de Lie:11 o sea, 𝑗 ( [𝑋,𝑌 ]) = [𝑋,𝑌 ]. La
curva integral de 𝑋 que pasa por 𝑢 es 𝛾 (𝑡) := 𝑢 ⊳ exp 𝑡𝑋 . ♦
11Esto puede mostrarse usando la fórmula (1.44) de Campbell Baker y Hausdorff, en el caso de grupos
de Lie matriciales.
4-25
MA–870: Geometría Diferencial 4.4. Fibrados principales y formas de conexión
La aplicación 𝑗 resulta ser equivariante bajo dos acciones a derecha del grupo de Lie𝐺 .
Sobre g se usa la acción adjunta del Ejercicio 1.35. Esta es una acción a izquierda; para
obtener una acción a derecha, basta cambiar 𝑔 ↔ 𝑔
−1:
𝑑
Ad(𝑔−1)𝑋 :=  𝑔−1(exp 𝑡𝑋 )𝑔.𝑑𝑡 𝑡=0
Para obtener la acción de 𝐺 sobre los campos vectoriales fundamentales, conviene usar
las notaciones:
𝜃𝑢 : 𝐺 → 𝑃 : 𝑔 ↦→ 𝑢 ⊳ 𝑔, 𝑟𝑔 : 𝑃 → 𝑃 : 𝑢 ↦→ 𝑢 ⊳ 𝑔,
observando que 𝑔 ↦→ 𝑟𝑔 es la acción libre de 𝐺 sobre 𝑃 .
Lema 4.37. La aplicación 𝑗 de (4.44) es equivariante ba˜jo las dos acciones a derecha de 𝐺:(𝑟𝑔)∗𝑋 = (Ad(𝑔−1)𝑋 ) . (4.45)
Demostración. Fíjese que 𝛾 (𝑡) := 𝑢 ⊳exp 𝑡𝑋 = 𝜃𝑢 (exp 𝑡𝑋 ). Entonces𝑋𝑢 = 𝛾¤(0) = 𝑇1𝜃𝑢 (𝑋 ).
Además,
𝑟𝑔𝜃𝑢 (ℎ) = (𝑢 ⊳ ℎ) ⊳ 𝑔 = 𝑢 ⊳ ℎ𝑔 = 𝑢 ⊳ 𝑔(𝑔−1ℎ𝑔) para ℎ ∈ 𝐺.
Al sustituir ℎ = exp 𝑡𝑋 , la derivada de esta relación e(n 𝑡 = 0 produce𝑑  ( 𝑑 )𝑟𝑔 𝑢 ⊲ exp 𝑡𝑋 ) =  𝜃 −1𝑢⊳𝑔 𝑔 (exp 𝑡𝑋 )𝑔 .𝑑𝑡 𝑡=0 𝑑𝑡 𝑡=0
Con regla de la cadena (1.16) se deduce que ( )
𝑇 𝑟 −1 −1 ˜𝑢 𝑔 (𝑋𝑢) = 𝑇𝑢𝑟𝑔 ◦𝑇1𝜃𝑢 (𝑋 ) = 𝑇1𝜃𝑢⊳𝑔 (Ad(𝑔 )𝑋 ) = (Ad(𝑔 )𝑋 ) 𝑢⊳𝑔
y esto coincide con la igualdad (4.43) evaluada en el punto arbitrario (𝑢 ⊲ 𝑔) ∈ 𝑃 . 
Definición 4.38. Si 𝑢 ∈ 𝑃 y 𝑞 := 𝜎 (𝑢) ∈ 𝑀 , sea 𝑇𝑢𝜎 : 𝑇𝑢𝑃 → 𝑇𝑞𝑀 la aplicación tangente
en 𝑢 de la sumersión sobreyectiva 𝜎 : 𝑃 → 𝑀 . El subespacio vectorial
𝑉𝑢 := ker𝑇𝑢𝜎 6 𝑇𝑢𝑃
se conoce como el espacio tangente vertical en 𝑢. ♦
Lema 4.39. Los campos vectoriales fundamentales 𝑋𝑢 de (4.43) son verticales.
4-26
MA–870: Geometría Diferencial 4.4. Fibrados principales y formas de conexión
Demostración. Como 𝑇𝑢𝜎 es sobreyectiva (porque 𝜎 es una sumersión), hay una sucesión
exacta corta de espacios vectoriales:
0−→ 𝑇𝑢𝜎𝑉𝑢 −→𝑇𝑢𝑃 −→𝑇𝜎 (𝑢)𝑀 −→ 0. (4.46)
Fíjese que 𝜎 ◦ 𝜃𝑢 (𝑔) = 𝜎 (𝑢 ⊳ 𝑔) = 𝜎 (𝑢) para todo 𝑔 ∈ 𝐺 , así que 𝜎 ◦ 𝜃𝑢 : 𝐺 → 𝑀 es una
función constante. Al combinar eso con la regla de la cadena, se obtiene
𝑇𝑢𝜎 (𝑋𝑢) = 𝑇𝑢𝜎 (𝑇1𝜃𝑢 (𝑋 )) = 𝑇𝑢 (𝜎 ◦ 𝜃𝑢) (𝑋 ) = 0 para 𝑋 ∈ g.
Se concluye 𝑋𝑢 ∈ 𝑉𝑢 para cada 𝑢 ∈ 𝑃 y cada 𝑋 ∈ g. 
Si algún 𝑋𝑢 = 0 en 𝑉𝑢 , entonces la curva integral 𝛾 (𝑡) := 𝑢 ⊳ exp 𝑡𝑋 cumple 𝛾 (0) = 𝑢
y 𝛾¤(0) = 0; por su unicidad se obtiene 𝛾 (𝑡) ≡ 𝑢 para 𝑡 ∈ ℝ. Esto dice que el subgrupo
uniparamétrico { exp 𝑡𝑋 : 𝑡 ∈ ℝ } 6 𝐺 deja fijo el punto 𝑢 ∈ 𝑃 . Como la acción de 𝐺
sobre 𝑃 es libre por hipótesis, se deduce que exp 𝑡𝑋 ≡ 1 en 𝐺 y que 𝑋 = 0 en g. Como
resultado, la aplicación ℝ-lineal 𝑋 ↦→ 𝑋𝑢 : g→ 𝑉𝑢 es inyectiva.
Al contar dimensiones, en vista de que
dimℝ𝑉𝑢 = dim 𝑃 − dim𝑀 = dim𝐺 = dimℝ g
se deduce que 𝑉𝑢 = {𝑋𝑢 : 𝑋 ∈ g }.
𝜏
Es posible comprobar que los 𝑉𝑢 son fibras de un fibrado vectorial trivial 𝑉 −→ 𝑃 , de
𝜏
rango 𝑛 = dim𝑀 , que es un subfibrado del fibrado tangente 𝑇𝑃 −→ 𝑃 .
I La estructura de fibrados principales expuesta hasta este momento solamente ha
empleado las herramientas generales introducidos en el capítulo 1, sin referencia alguna
a conexiones ni curvaturas. Ya es hora de vincular las dos sectores de la teoría.
𝜎
Definición 4.40. Dado un fibrado principal 𝑃 −→𝑀 con grupo de estructura 𝐺 , un
𝜏 𝜏
subfibrado 𝐻 −→ 𝑃 del fibrado tangente 𝑇𝑀 −→ 𝑃 es un subfibrado horizontal de 𝑇𝑃
si 𝑇𝑢𝑃 = 𝑉𝑢 ⊕ 𝐻𝑢 para todo 𝑢 ∈ 𝑃 .
ÈSe escribe 𝑇𝑃 = 𝑉 ⊕ 𝐻 : la suma de Whitney de dos fibrados vectoriales.É ♦
Un subfibrado horizontal, si existe, proporciona un espacio vectorial suplementario
𝐻𝑢 6 𝑇𝑢𝑃 al espacio tangente vertical (de ahí su nombre). Resulta que no hay una manera
canónica de elegir estos subespacios suplementarios: el subfibrado horizontal no es único.
Se verá a continuación cómo una conexión afín sobre𝑀 puede dar lugar a un subfibrado
horizontal.
4-27
MA–870: Geometría Diferencial 4.4. Fibrados principales y formas de conexión
I Sea 𝑀 una variedad diferencial y sea (𝑈 ,𝜙) una carta local de 𝑀 . Un marco local
definido en 𝑈 , dada por campos vectoriales locales {𝑋1, . . . , 𝑋𝑛} ⊂ X(𝑈 ), define una
𝜎
sección local del fibrado demarcosF𝑀 −→𝑀 , esto es, un elemento de Γ(𝑈 ,F𝑀). Tómese
un punto 𝑝 ∈ 𝑈 ; hay un único isomorfismo lineal 𝑢 : ℝ𝑛 → 𝑇𝑝𝑀 tal que 𝑢 (𝒆 𝑗 ) := 𝑋 𝑗 |𝑝
para 𝑗 = 1, . . . , 𝑛. Obviamente, 𝜎 (𝑢) = 𝑝. Considérese también una curva suave 𝛾 : 𝐼 → 𝑈
tal que 𝛾 (0) = 𝑝 y 𝛾¤(0) ≠ 0.
Tómese ahora una conexión afín ∇ sobre𝑀 . Se ha visto que, para cada 𝑗 ∈ {1, . . . , 𝑛},
esta ∇ determina el transporte paralelo a lo largo de 𝛾 del vector tangente 𝑋 𝑗 |𝑝 ∈ 𝑇𝑝𝑀 ,
en vectores tangentes 𝑌𝑗 (𝑡) ∈ 𝑇𝛾 (𝑡)𝑀 , dados por la solución única del problema de valorinicial
∇𝛾¤(𝑡)𝑌𝑗 (𝑡) = 0; 𝑌𝑗 (0) = 𝑋 𝑗 ∈ 𝑇𝑝𝑀. (4.47)𝑝
De este modo, se obtiene 𝑛 curvas 𝑡 ↦→ 𝑌𝑗 (𝑡) en 𝑇𝑀 , definidos en un subintervalo 𝐽 ⊂ 𝐼
con 0 ∈ 𝐽 (en donde se garantiza la existencia única de las soluciones de (4.47)), que
son linealmente independientes en 𝑡 = 0. Si fueran linealmente dependientes en 𝑡1 ∈ 𝐽 ,
habría una combinación lineal no trivial 𝑐 𝑗𝑌𝑗 (𝑡1) = 0; pero del mismo modo se podría
trasladar ese vector tangente nulo en 𝑇𝛾 (𝑡1)𝑀 “para atrás”, a lo largo de la curva reversa
𝑠 ↦→ 𝛾 (𝑡1 − 𝑠), y por unicidad de las soluciones se obtendría 𝑐 𝑗𝑌𝑗 (0) = 0 cuando 𝑠 = 𝑡1,
contrario a hipótesis.12
Estos 𝑛 curvas en el espacio total 𝑇𝑀 del fibrado tangente determinan una curva13
Γ(𝑡) ≡ {𝑌1(𝑡), . . . , 𝑌𝑛 (𝑡)}
en el espacio total 𝑃 := F𝑀 del fibrado de marcos, con valor inicial Γ(0) = 𝑢.
Fíjese que 𝜎 (Γ(𝑡)) = 𝛾 (𝑡). Ahora bien, el marco local dado también define una
segunda curva 𝑢 (𝑡) := {𝑋1 |𝛾 (𝑡), . . . , 𝑋𝑛 |𝛾 (𝑡)} en 𝑃 con 𝑢 (0) = 𝑢 y 𝜎 (𝑢 (𝑡)) = 𝛾 (𝑡) para
𝑡 ∈ 𝐼 . Como el grupo 𝐺 = GL(𝑛,ℝ) actúa libre y transitivamente sobre las fibras de 𝑃 , se
obtiene
𝑢 (𝑡) = Γ(𝑡) ⊳ 𝑔(𝑡) para 𝑡 ∈ 𝐼 , (4.48)
donde los 𝑔(𝑡) definen una curva suave 𝑡 ↦→ 𝑔(𝑡) ∈ 𝐺 , con 𝑔(0) = 1.
La derivada de esta relación en 𝑡 = 0 tiene la forma
𝑢¤ (0) = Γ¤ ( ) ( ) + 𝑑
 ( )
0 ⊳ 𝑔 0  Γ(0) ⊳ 𝑔(𝑡) = Γ¤ (0) +𝐴𝑢 (4.49)𝑑𝑡 𝑡=0
donde 𝐴 := 𝑔¤(0), usando la definición (4.43) del campo vectorial fundamental 𝐴 en el
punto Γ(0) = 𝑢.
12Este argumento verifica que la traslación paralela Ψ𝛾 (𝑡1),𝑝 : 𝑇𝑝𝑀 → 𝑇𝛾 (𝑡1)𝑀 es un isomorfismo lineal.
13No es problema que Γ esté definido inicialmente solo en un subintervalo 𝐽 de 𝐼 , porque en cada 𝑡1
en 𝐽 se podría reiniciar la traslación paralela, con unicidad. Al cubrir un subintervalo compacto de 𝐼 por
un número finito de tales intervalos 𝐽 , se ve que el marco Γ(𝑡) ∈ F𝛾 (𝑡 )𝑀 está bien definido para todo 𝑡 ∈ 𝐼 .
4-28
MA–870: Geometría Diferencial 4.4. Fibrados principales y formas de conexión
Lema 4.41. Si 𝜔 = [𝜔𝑖𝑗 ] ∈ A1(𝑈 ;𝑀𝑛 (ℝ)) es la matriz de 1-formas (4.37b) asociada al
marco local {𝑋1, . . . , 𝑋𝑛}, entonces 𝐴 = 𝜔 (𝛾¤(0)).
Demostración. La fórmula (4.37b), evaluada en el pun to 𝑝 ∈ 𝑈 , dice que∇ 𝑖𝛾¤(0)𝑋 𝑗 = 𝜔 𝑗 (𝛾¤(0)𝑋𝑖 .𝑝
Esto es el valor en 𝑡 = 0 de la deriva(da abs)oluta a lo largo d(e 𝛾 :
∇ 𝐷 𝐷 𝐷
)
𝑖
𝛾¤(𝑡)𝑋 𝑗 (𝛾 (𝑡)) = 𝑋 𝑗 |𝛾 (𝑡) ≡ 𝑢 𝑗 (𝑡) = 𝑔 𝑗 (𝑡) 𝑌𝑖 (𝑡)𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
= (𝑔𝑖 ′𝑗 ) (𝑡) 𝑌 (𝑡) + (𝑔𝑖𝑖 𝑗 ) (𝑡)
𝐷𝑌𝑖 (𝑡)
𝑑𝑡
= (𝑔𝑖 ′𝑗 ) (𝑡) 𝑌𝑖 (𝑡),
al notar que 𝐷𝑌𝑖/𝑑𝑡 (𝑡) = 0 porque los 𝑌𝑖 (𝑡) son paralelosa lo largo de 𝛾 . La evaluaciónen 𝑡 = 0 produce
∇ 𝑖 ′ 𝑖𝛾¤(0)𝑋  𝑗 = (𝑔 𝑗 ) (0)𝑋𝑖 = 𝑎 𝑋𝑝 𝑗 𝑖 .𝑝
Como los 𝑋𝑖 |𝑝 son linealmente independientes, se deduce que 𝑎𝑖𝑗 = 𝜔𝑖𝑗 (𝛾¤(0)); o bien, en
notación matricial, 𝐴 = 𝜔 (𝛾¤(0)). 
De la igualdad (4.49) se obtiene Γ¤ (0) = 𝑢¤ (0) − 𝐴𝑢 . El término 𝑢¤ (0) depende lineal-
mente de 𝛾¤(0) por la definición de 𝑢 (𝑡), mientras 𝐴𝑢 también depende linealmente de
𝛾¤(0) porque los 𝜔𝑖𝑗 son 1-formas y 𝐴 ↦→ 𝐴 es ℝ-lineal. Esto implica que
𝑙𝑢 : 𝑇 ¤𝑝𝑀 → 𝑇𝑢𝑃 : 𝛾¤(0) ↦→ Γ(0) es ℝ-lineal.
Nótese que𝑇 ¤𝑢𝜎 (Γ(0)) = 𝛾¤(0). Se ha estipulado que𝛾¤(0) ≠ 0, así que Γ¤ (0) ∉ ker𝑇𝑢𝜎 = 𝑉𝑢 .
Sea 𝐻𝑢 la totalidad de posibles Γ¤ (0), junto con 0 ∈ 𝑇𝑢𝑃 ; este es entonces un subespacio
vectorial de𝑇𝑢𝑃 . Se acaba de notar que𝑇𝑢𝜎◦𝑙𝑢 = 1 sobre𝑇𝑝𝑀 y por ende 𝑙𝑢 es inyectiva. Se
concluye que dimℝ𝐻𝑢 = dimℝ 𝑙𝑢 (𝑇𝑝𝑀) = dimℝ𝑇𝑝𝑀 = dim𝑀; por conteo de dimensiones
y la observación de que 𝐻𝑢 ∩𝑉𝑢 = {0}, se obtiene la descomposición deseada:
𝑇𝑢𝑃 = 𝑉𝑢 ⊕ 𝐻𝑢 para todo 𝑢 ∈ 𝑃 . (4.50)
Si se cambia el marco local 𝑢 ∈ F𝑝𝑀 por otro marco 𝑢 ⊳ 𝑔 ∈ F𝑝𝑀 , la curva Γ(𝑡) ⊳ 𝑔
es la que se obtiene por transporte paralelo a lo largo de 𝛾 con el nuevo marco inicial
Γ(0) ⊳𝑔 = 𝑢 ⊳𝑔. Al repetir la construcción anterior con este curva, el subespacio horizontal
obtenido es 𝐻𝑢⊳𝑔 = (𝑟𝑔)∗𝐻𝑢: la familia de los subespacios horizontales 𝐻𝑢 es invariante
bajo la acción a derecha de 𝐺 sobre 𝑇𝑃 .
𝜏
En resumen: la conexión afín ∇ determina un subfibrado horizontal 𝐻 −→ 𝑃 del
𝜏
fibrado tangente 𝑇𝑃 −→ 𝑃 tal que 𝑇𝑢𝑃 = 𝑉𝑢 ⊕ 𝐻𝑢 para todo 𝑢 ∈ 𝑃 = F𝑀 .
4-29
MA–870: Geometría Diferencial 4.4. Fibrados principales y formas de conexión
Definición 4.42. Sea ∇ una conexión afín sobre 𝑀 y sea 𝑃 = F𝑀 el espacio total del
fibrado de marcos sobre 𝑀; denótese 𝐺 := GL(𝑛,ℝ) y g := 𝑀𝑛 (ℝ) su álgebra de Lie.
Si 𝑢 ∈ 𝑃 , 𝑇1𝜃𝑢 : g→ 𝑉𝑢 : 𝑋 ↦→ 𝑋𝑢 es un isomorfismo lineal. Sea 𝜂𝑢 : 𝑇𝑢𝑃 → 𝑉𝑢 la pro-
yección lineal que anula el subespacio horizontal 𝐻𝑢 determinado por ∇. La composición
𝜔𝑢 := (𝑇 𝜃 )−11 𝑢 ◦ 𝜂𝑢 : 𝑇𝑢𝑃 → g (4.51)
esℝ-lineal. Luego,𝑢 ↦→ 𝜔𝑢 define una 1-forma con valores en g, esto es,𝜔 ∈ A1(𝑃, g). ♦
Resulta que toda la construcción anterior del subfibrado horizontal a partir de una
conexión afín admite una generalización directa al reemplazar el fibrado de marcos
𝜎
F𝑀 −→𝑀 por un fibrado principal cualquiera. El papel de la conexión afín recae en una
conexión de Koszul en un fibrado vectorial asociado. Pero sucede que este último paso no
es necesario, a priori: se puede definir el subfibrado horizontal directamente en términos
de una 1-forma 𝜔 ∈ A1(𝑃, g), que cumple los dos requisitos de la definición siguiente.
Definición 4.43. Sea 𝑃 −→𝜎 𝑀 un fibrado principal con grupo de estructura 𝐺 , cuya
álgebra de Lie es g. Una 1-forma de conexión sobre 𝑃 , también conocida como una
conexión de Ehresmann, es un elemento 𝜔 ∈ A1(𝑃, g) que satisface estas dos condiciones:
(a) 𝜔𝑢 (𝑋𝑢) = 𝑋 para todo 𝑋 ∈ g, 𝑢 ∈ 𝑃 ;
(b) 𝑟 ∗𝑔𝜔 = Ad(𝑔−1)𝜔 para todo 𝑔 ∈ 𝐺 .
Para cada 𝑢 ∈ 𝑃 , se define 𝐻𝑢 := ker𝜔𝑢 6 𝑇𝑢𝑃 . Así se determina una descomposición
(4.50) de cada 𝑇𝑢𝑃 . ♦
La condición (a) muestra que𝜔𝑢 es inyectiva sobre el subespacio𝑉𝑢 de𝑇𝑢𝑃 ; el teorema
de rango y nulidad implica que𝑇𝑢𝑃 = 𝑉𝑢 ⊕𝐻𝑢 como suma directa de espacios vectoriales.
La condición (b) garantiza que 𝐻𝑢⊳𝑔 = (𝑟𝑔)∗𝐻𝑢 .
Es necesario comprobar que la 1-forma 𝜔 de (4.51) cumple las condiciones de
la Definición 4.43. La proyección 𝜂𝑢 : 𝑇𝑢𝑃 → 𝑉𝑢 actúa como la identidad sobre el
subespacio 𝑉𝑢 , mientras ker𝜂𝑢 = 𝐻𝑢 por definición. Entonces ker𝜔𝑢 = 𝐻𝑢 y además
𝜂𝑢 (𝑋𝑢) = 𝑋𝑢 = 𝑇1𝜃𝑢 (𝑋 ). Por lo tanto, 𝜔𝑢 (𝑋𝑢) = 𝑋 si 𝑋 ∈ g: esto es la condición (a).
Además, cada vector tangente 𝑍𝑢 ∈ 𝑇𝑢𝑃 es una suma 𝑍𝑢 = 𝑋𝑢 + 𝑌𝑢 , de modo único,
con 𝑋 ∈ g, 𝑌𝑢 ∈ 𝐻𝑢 . Si 𝑔 ∈ 𝐺 , se sabe que (𝑟𝑔)∗𝑌𝑢 ∈ 𝐻𝑢⊳𝑔, así que 𝜔𝑢 (𝑌𝑢) = 0 y a la vez
𝑟 ∗𝑔𝜔 (𝑌𝑢) = 𝜔𝑢⊳𝑔 ((𝑟𝑔)∗𝑌𝑢) = 0. La condición (b) entonces sigue con el uso del Lema 4.37:
(𝑟 ∗𝑔𝜔)𝑢 (𝑍𝑢) = 𝜔𝑢⊳𝑔 (( (𝑟𝑔)∗𝑍𝑢) = 𝜔˜𝑢⊳)𝑔 ((𝑟𝑔)∗𝑋𝑢)= 𝜔 −1 −1𝑢⊳𝑔 (Ad(𝑔 )𝑋 ) = Ad(𝑔 )𝑋𝑢⊳𝑔
= Ad(𝑔−1)𝜔 (𝑋 ) = Ad(𝑔−1𝑢 𝑢 )𝜔𝑢 (𝑍𝑢).
4-30
MA–870: Geometría Diferencial 4.4. Fibrados principales y formas de conexión
Definición 4.44. Cada 1-forma de conexión 𝜔 ∈ A1(𝑃, g) sobre un fibrado principal
−→𝜎𝑃 𝑀 determina una 2-forma de curvatura Ω ∈ A2(𝑃, g), definido por
Ω := 𝑑𝜔 + 𝜔 ∧ 𝜔. (4.52)
Esta es la versión global de la segunda ecuación de Cartan en (4.40). ♦
En el caso particular del fibrado de marcos 𝑃 = F𝑀 , con g = 𝑀𝑛 (ℝ), hace falta
determinar la relación entre la 1-forma 𝜔 ∈ A1(F𝑀, g) y la matriz [𝜔𝑖𝑗 ] de 1-formas
locales en A1(𝑈 , g). Para eso, basta notar que un marco local {𝑋1, . . . , 𝑋𝑛} definido en
una carta (𝑈 ,𝜙) de𝑀 no es otra cosa que una sección local 𝜒 ∈ Γ(𝑈 ,F𝑀) del fibrado de
marcos. Es cuestión de chequear que [𝜔𝑖𝑗 ] = 𝜒∗𝜔: la matriz de las 1-formas locales 𝜔𝑖𝑗 se
obtiene de la 1-forma de conexión por un pullback por 𝜒∗ a través del marco local dado.
Como 𝜒∗ conmuta con la derivada exterior 𝑑 y con productos exteriores, la definición
(4.52) y las ecuaciones de estructura (4.39) muestran que [Ω𝑖𝑗 ] = 𝜒∗Ω ∈ A2(𝑈 , g). Esto
indica por qué la Ω de (4.52) se llama una 2-forma de curvatura.
Por un procedimiento similar, se puede determinar una 1-forma 𝜃 ∈ A1(𝑃,ℝ𝑛) tal
que la columna de 1-formas locales [𝜃 𝑖] ∈ A1(𝑈 ,ℝ𝑛) es un pullback a través del marco
local: [𝜃 𝑖] = 𝜒∗𝜃 . Entonces se define la 2-forma de torsión 𝜏 por la fórmula
𝜏 := 𝑑𝜃 + 𝜔 ∧ 𝜃 ∈ A2(F𝑀,ℝ𝑛)
cuyo pullback [𝜏𝑖] = 𝜒∗𝜏 ∈ A2(𝑈 ,ℝ𝑛) ofrece las 2-formas locales que cumplen la primera
ecuación de estructura de Cartan.
Es natural preguntar por qué no se podría hacer un pullback de 𝜃 , 𝜔 , 𝜏 y Ω para
obtener formas globales 𝜃 𝑖 ∈ A1(𝑀), etcétera, mediante una sección global 𝜒 : 𝑀 → F𝑀
del fibrado de marcos? Pues resulta que en muchos casos tales secciones globales no
existen. El Ejercicio 4.17 muestra que un fibrado principal admite secciones globales solo
si es trivial, en marcado contraste con los fibrados vectoriales, cuyas secciones globales
abundan.
I En el caso de una variedad riemanniana (𝑀,𝑔), se puede emplear el fibrado principal
−→𝜎O𝑀 𝑀 de marcos ortonormales y repetir la construcción anterior del subfibrado
horizontal con la conexión de Levi-Civita ∇ = ∇𝑔. Cabe preguntar, entonces, cuál sería
la relación entre la 2-forma de curvatura Ω ∈ A2(O𝑀, so(𝑛)) y el tensor de curvatura
riemanniana 𝑅 ? En el Ejercicio 4.12, se exhibe esta relación en coordenadas locales:
Ω𝑖 = 1𝑅𝑖 𝜃𝑘𝑗 2 ∧ 𝜃
𝑙 .
𝑗𝑘𝑙
4-31
MA–870: Geometría Diferencial 4.5. Ejercicios sobre conexiones y curvatura
4.5. Ejercicios sobre conexiones y curvatura
Ejercicio 4.1. Sea ∇ una conexión afín sobre una variedad diferencial 𝑀 . Un campo
vectorial𝑌 ∈ X(𝑀) es paralelo a lo largo de una curva𝛾 : 𝐼 → 𝑀 si ∇𝛾¤(𝑡)𝑌 = 0 ∈ 𝑇𝛾 (𝑡)𝑀
para todo 𝑡 ∈ 𝐼 .
Si 𝑌 |𝑈 = 𝑓 𝑗 𝜕 𝑗 en las coordenadas locales de una carta (𝑈 ,𝜙) de 𝑀 , demostrar que 𝑌
es paralelo a lo largo de 𝛾 si y solo si
𝑑 (𝑓 𝑘 ◦ 𝛾 (𝑡)) + Γ𝑘𝑖 𝑗 (𝛾 (𝑡)) 𝛾¤𝑖 (𝑡) 𝑓 𝑗 ◦ 𝛾 (𝑡) = 0 (𝑘 = 1, . . . , 𝑛)𝑑𝑡
para todo 𝑡 ∈ 𝐼 . Deducir que existe algún 𝜀 > 0 con (−𝜀, 𝜀) ⊆ 𝐼 tal que los vectores
{𝑌𝑞 ∈ 𝑇𝑞𝑀 : 𝑞 ∈ 𝛾 ((−𝜀, 𝜀)) } están determinados por 𝑌𝑝 ; y que la correspondencia
𝑌𝑝 ↦→ 𝑌𝑞 determina un isomorfismo lineal Ψ𝑞,𝑝 : 𝑇𝑝𝑀 → 𝑇𝑞𝑀 para tales puntos 𝑞. Concluir
que ∇ determina una regla de transporte paralelo a lo largo de cada curva suave en 𝑀 .
Ejercicio 4.2. Verificar la regla de cambio de variables (4.7) para los símbolos de Chris-
toffel de una conexión afín:
𝑖 𝑗 𝑡 2 𝑙 𝑡
Γ̃𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕 𝑥 𝜕𝑦
𝑟𝑠 = Γ
𝑘
𝜕𝑦𝑟 𝜕𝑦𝑠 𝑘 𝑖 𝑗
+ .
𝜕𝑥 𝜕𝑦𝑟𝑦𝑠 𝜕𝑥𝑙
Ejercicio 4.3. Sea ℝ+ = (0,∞), la cual es una variedad unidimensional con coordenada
local 𝑟 > 0 y campo vectorial básico 𝑑 ∈ X(ℝ+). Sea 𝑍 := 𝑟 𝑑 el campo de Euler en ℝ+.
𝑑𝑟 𝑑𝑟
Demostrar que 𝑍 es paralelo a lo largo d(e ℝ
+
) con respecto a la conexión afín ∇ sobre ℝ
+
dada por
∇ 𝑑 1 𝑑𝑑/𝑑𝑟 = − .
𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝑟
Demostrar que la (única) geodésica 𝛾 : ℝ→ ℝ+ determinada por las condiciones iniciales
𝛾 (0) = 1, 𝛾¤(0) = 𝑎 𝑑 1 está dada por la función exponencial 𝛾 (𝑡) ≡ 𝑒𝑎𝑡 .𝑑𝑟
Ejercicio 4.4. Sea 𝑆 ⊂ ℝ3 una superficie regular, esto es, { 𝑝 ∈ ℝ3 : 𝑓 (𝑝) = 𝑎 } donde
𝑓 : ℝ3 → ℝ es suave y 𝑎 es un valor regular de 𝑓 (Corolario 1.46). El gradiente ∇® 𝑓
es un “campo normal” (que no se anula) sobre 𝑆 . Se identifica 𝑇𝑝ℝ3 con ℝ3 y el plano
tangente a la superficie 𝑇𝑝𝑆 con el subespacio vectorial { 𝑣 ∈ ℝ3 : ∇® 𝑓 (𝑝) · 𝑣 = 0 }. Sea
𝜋𝑝 : 𝑇𝑝ℝ3 → 𝑇𝑝𝑆 la proyección ortogonal; y sea 𝐷 la derivada direccional en ℝ3 dada
por (4.1). Si 𝑋,𝑌 ∈ X(𝑆), defínase ∇𝑋𝑌 := 𝜋 (𝐷𝑋𝑌 ). Demostrar que esta ∇ es una
conexión afín sobre 𝑆 .
Ejercicio 4.5. Demostrar que las geodésicas que pasan por el punto (1, 0, 0) del cilindro
𝑥2 +𝑦2 = 1 en ℝ3 son: (a) la recta 𝑥 = 1, 𝑦 = 0; (b) el círculo 𝑥2 +𝑦2 = 1, 𝑧 = 0; y (c) las
hélices 𝑡 ↦→ (cos 𝑡, sen 𝑡, 𝑐𝑡), con 𝑐 ∈ ℝ \ {0}. È Indicación: coordenadas cilíndricas.É
4-32
MA–870: Geometría Diferencial 4.5. Ejercicios sobre conexiones y curvatura
Ejercicio 4.6. Completar la demostración de la Proposición 4.14, como sigue.
Sea 𝐴(𝑋,𝑌, 𝑍 )
:= 𝑋 𝑔(𝑌, 𝑍 ) + 𝑌 𝑔(𝑍,𝑋 ) − 𝑍 𝑔(𝑋,𝑌 ) − 𝑔( [𝑌, 𝑍 ], 𝑋 ) − 𝑔( [𝑋,𝑍 ], 𝑌 ) + 𝑔( [𝑋,𝑌 ], 𝑍 ) .
(a) Verificar que 𝐴(𝑋,𝑌, 𝑍 ) es 𝐶∞(𝑀)-lineal en 𝑋 y en 𝑍 . Esto muestra que el campo
vectorial 𝐵(𝑋,𝑌 ) ∈ X(𝑀) dado por 𝑔(𝐵(𝑋,𝑌 ), 𝑍 ) := 12𝐴(𝑋,𝑌, 𝑍 ) es tensorial en 𝑋
y ℝ-lineal en 𝑌 .
(b) Chequear que 𝐵(𝑋,ℎ𝑌 ) = (𝑋ℎ) 𝑌 + ℎ 𝐵(𝑋,𝑌 ) para todo ℎ ∈ 𝐶∞(𝑀).
(c) Verificar que la conexión ∇𝑔 dada por ∇𝑔 𝑌 := 𝐵(𝑋,𝑌 ) es libre de torsión.
𝑋
(d) Verificar que esta conexión ∇𝑔 es compatible con la métrica 𝑔.
Ejercicio 4.7. Si ∇𝑔 es la conexión de Levi-Civita sobre la esfera 𝕊2 con la métrica
𝑔 := 𝑑𝜃2 + sen2 𝜃 𝑑𝜙2, así que 𝑔𝜃𝜃 = 1, 𝑔𝜃𝜙 = 𝑔𝜙𝜃 = 0, 𝑔𝜙𝜙 = sen2 𝜃,
hallar los 8 coeficientes de Christoffel Γ𝑘𝑖 𝑗 (𝜃, 𝜙) en 𝑈 ∩𝑉 = 𝕊2 \ {±𝑒3} en términos de las
coordenadas esféricas.
Ejercicio 4.8. Si (𝑀,𝑔) es una variedad riemanniana orientada, su forma de volumen
riemanniana se define localmente por √︃
𝜈 := 𝜌 𝑑𝑥1𝑔 ∧ · · · ∧ 𝑑𝑥𝑛, con 𝜌 := det[𝑔𝑖 𝑗 ] .
Si Γ𝑘𝑖 𝑗 son los símbolos de Christoffel de la conexión de Levi-Civita ∇𝑔, comprobar esta
fórmula local para su traza parcial Γ 𝑗 :
𝑗𝑘
𝑗 1 1 𝜕𝜌Γ = 𝑔 𝑗𝑙 𝜕𝑘𝑔 𝑗𝑙 = = 𝜕𝑘 (log 𝜌).𝑗𝑘 2 𝜌 𝜕𝑥𝑘
Ejercicio 4.9. Considérese el semiplano superior ℍ2 := { (𝑥,𝑦) ∈ ℝ2 : 𝑦 > 0 } con la
métrica riemanniana 𝑔 = 𝑦−2(𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2) ≡ 𝑦−2(𝑑𝑥 ⊗ 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 ⊗ 𝑑𝑦). Calcular sus coefi-
cientes de Christoffel Γ𝑘𝑖 𝑗 y el componente 𝑅1212 del tensor de curvatura riemanniana.
Demostrar que su curvatura escalar es constante: 𝑆 ≡ −2.
Ejercicio 4.10. Sea 𝑀 una subvariedad de ℝ𝑚 mediante un encaje 𝑗 : 𝑀 ↩→ ℝ𝑚. Se
puede identificar 𝑇 ℝ𝑚 ' ℝ𝑚 por 𝐴 = 𝑎𝑖 (𝑝) 𝜕  ↔ 𝒂 = (𝑎1(𝑝), . . . , 𝑎𝑚 (𝑝)) ∈ ℝ𝑚𝑝 𝑝 𝜕𝑥𝑖 𝑝 𝑝 . La
métrica euclidiana en ℝ𝑚 es 𝑔(𝐴, 𝐵) := 𝒂 · 𝒃.
La métrica inducida 𝑔 sobre 𝑀 se define como el pullback 𝑔 := 𝑗∗(𝑔); en otras
palabras, 𝑔(𝑋,𝑌 ) (𝑝) := 𝒙𝑝 · 𝒚𝑝 para todo 𝑝 ∈ 𝑀 .
4-33
MA–870: Geometría Diferencial 4.5. Ejercicios sobre conexiones y curvatura
(a) Si 𝐹® ≡ 𝜙−1 : 𝜙 (𝑈 ) → 𝑈 ⊂ ℝ𝑚 parametriza el dominio de una carta local (𝑈 ,𝜙)
de 𝑀 , verificar que 𝑔𝑖 𝑗 = 𝜕𝑖𝐹® · 𝜕 𝑗𝐹® son los componentes de la métrica inducida.
(b) En particular, usando las coordenadas esféricas
𝐹®(𝜃, 𝜙) := (𝑎 sen𝜃 cos𝜙, 𝑎 sen𝜃 sen𝜙, 𝑎 cos𝜃 )
de la esfera 𝑀 = 𝑎 𝕊2 de radio 𝑎 en ℝ3, calcular los 𝑔𝑖 𝑗 como funciones de (𝜃, 𝜙).
(c) Calcular los coeficientes de Christoffel para 𝑎 𝕊2 en coordenadas esféricas.
Ejercicio 4.11. Considérese la esfera 𝕊3 como la subvariedad de ℝ4 dado por 𝒙 · 𝒙 = 1,
donde 𝒙 = (𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ ℝ4 denotan las coordenadas cartesianas.
(a) Bajo la métrica inducida del Ejercicio 4.10, mostrar que las tres1⁴ campos vectoria-
les:
𝐸1 := −𝑥1 𝜕0 + 𝑥0 𝜕1 + 𝑥3 𝜕2 − 𝑥2 𝜕3
𝐸 2 3 0 12 := −𝑥 𝜕0 − 𝑥 𝜕1 + 𝑥 𝜕2 + 𝑥 𝜕3
𝐸 := −𝑥3 𝜕 + 𝑥2 𝜕 − 𝑥1 𝜕 + 𝑥03 0 1 2 𝜕3
son ortonormales en X(𝕊3), esto es, 𝑔(𝐸𝑎, 𝐸𝑎) = 1; y 𝑔(𝐸𝑎, 𝐸𝑏) = 0 para 𝑎 ≠ 𝑏.
(b) En vista de que ∇ 4 𝑗 𝑖 𝑗𝜕 𝜕 𝑗 = 0 en ℝ , se obtiene ∇𝑓 𝑖 𝜕 (ℎ 𝜕 𝑗 ) = 𝑓 𝜕𝑖 (ℎ ) 𝜕 𝑗 . Demostrar𝑖 𝑖
que ∇𝐸 𝐸𝑎 = 0 para 𝑎 = 1, 2, 3; y que𝑎
∇𝐸1𝐸2 = 𝐸3 = −∇𝐸2𝐸1, ∇𝐸2𝐸3 = 𝐸1 = −∇𝐸3𝐸2, ∇𝐸3𝐸1 = 𝐸2 = −∇𝐸1𝐸3.
(c) Concluir que la conexión de Levi-Civita para 𝕊3 obedece
∇𝐸 𝐸𝑏 = 𝜀 𝑐𝑎 𝑎𝑏 𝐸𝑐 ,
donde 𝜀 3 1 2 2 3 1 𝑐12 = 𝜀23 = 𝜀31 = +1; 𝜀13 = 𝜀21 = 𝜀32 = −1; y los otros 𝜀𝑎𝑏 = 0.
(d) Comprobar que [𝐸𝑎, 𝐸𝑏] = 2 𝜀 𝑐𝑎𝑏 𝐸𝑐 para 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ {1, 2, 3}.
(e) Obtener una expresión para 𝑔(𝑅(𝐸𝑎, 𝐸𝑏) 𝐸𝑐, 𝐸𝑑) donde 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ {1, 2, 3}.
14El campo de Euler 𝐸0 := 𝑥0 𝜕0 +𝑥1 𝜕1 +𝑥2 𝜕2 +𝑥3 𝜕 43 en X(ℝ ) es ortogonal a estos tres: 𝑔(𝐸0, 𝐸𝑎) = 0
para 𝑎 = 1, 2, 3. Este es el campo normal a 𝕊3 ⊂ ℝ4, en la terminología del Ejercicio 4.4.
4-34
MA–870: Geometría Diferencial 4.5. Ejercicios sobre conexiones y curvatura
Ejercicio 4.12. Dado un marco local {𝑋1, . . . , 𝑋𝑛} de X(𝑈 ), sean 𝜃1, . . . , 𝜃𝑛 las 1-formas
locales duales, definidos por (4.37a). Si ∇ = ∇𝑔 es la conexión de Levi-Civita para una
métrica 𝑔 sobre𝑀 , comprobar que las 2-formas locales de curvatura Ω𝑖𝑗 están dadas por:
Ω𝑖 = 1 𝑖 𝑘 𝑙𝑗 2𝑅 𝜃 ∧ 𝜃 .𝑗𝑘𝑙
Ejercicio 4.13. Sea 𝜔 = [𝜔𝑖 1𝑗 ] ∈ A (𝑈 ;𝑀𝑛 (ℝ)) la matriz de 1-formas locales asociada
a una conexión afín. Si Ω = [Ω𝑖𝑗 ] ∈ A2(𝑈 ;𝑀𝑛 (ℝ)) es la matriz de 2-formas locales de
curvatura, demostrar la segunda identidad de Bianchi:
𝑑Ω = Ω ∧ 𝜔 − 𝜔 ∧ Ω.
Ejercicio 4.14. Si {𝑋 ′1, . . . , 𝑋 ′𝑛} es un segundo marco local de X(𝑈 ), relacionado con el
marco local {𝑋1, . . . , 𝑋𝑛} del Ejercicio 4.12 por una matriz de cambio de base 𝑔 = [𝑔𝑖𝑗 ]:
𝑋 ′𝑗 := 𝑔
𝑖
𝑗 𝑋𝑖 ,
sean 𝜃 ′ = [𝜃 ′𝑖], 𝜔′ = [𝜔′𝑖], Ω′ = [Ω′𝑖𝑗 𝑗 ] las colecciones de formas locales correspondientes.
(a) Demostrar que 𝜃 ′ y 𝜔′ están relacionadas con 𝜃 y 𝜔 a través de estas fórmulas de
cambio de base:
𝜃 ′ = 𝑔−1𝜃, 𝜔′ = 𝑔−1𝜔 𝑔 + 𝑔−1 𝑑𝑔.
(b) Demostrar que Ω′ y Ω están relacionadas por una conjugación matricial:
Ω′ = 𝑔−1 Ω𝑔.
Ejercicio 4.15. Considérese el semiplano superior ℍ2 del Ejercicio 4.9, con la métrica
riemanniana 𝑔 = 𝑦−2(𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2). Mostrar que el marco (global!) {𝑋1, 𝑋2} dado por
𝑋 := 𝑦 𝜕1 , 𝑋2 := 𝑦 𝜕 es ortonormal y que 𝜃1 = 𝑦−1 𝑑𝑥 , 𝜃2 = 𝑦−1 𝑑𝑦.𝜕𝑥 𝜕𝑦
Usar las ecuaciones de estructura de Cartan para hallar las matrices de 1-formas
𝜔 = [𝜔𝑖𝑗 ] y Ω = [Ω𝑖𝑗 ]. Calcular su curvatura gaussiana 𝐾 := Ω12 (𝑋1, 𝑋2).
Ejercicio 4.16. El círculo 𝕋 actúa sobre 𝕊3 = { (𝑧,𝑤) ∈ ℂ2 : |𝑧 |2 + |𝑤 |2 = 1 } por
(𝑧,𝑤) ⊳ 𝑒𝑖𝜃 := (𝑒𝑖𝜃𝑧, 𝑒𝑖𝜃𝑤). Comprobar que se puede identificar el espacio cociente 𝕊3/𝕋
𝜎
con la esfera 𝕊2. Demostrar que así se obtiene un fibrado principal 𝕊3 −→𝕊2 con grupo
de estructura 𝕋. ÈEste es el fibrado de Hopf.É
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MA–870: Geometría Diferencial 4.5. Ejercicios sobre conexiones y curvatura
𝜌 𝜎
Ejercicio 4.17. Dos fibrados principales 𝑄 −→𝑀 y 𝑃 −→𝑀 con la misma base 𝑀 y el
mismo grupo de estructura 𝐺 son isomorfos si hay un difeomorfismo 𝑓 : 𝑄 → 𝑃 tal que
𝜎 ◦ 𝑓 = 𝜌 y además 𝑓 (𝑣 ⊳ 𝑔) = 𝑓 (𝑣) ⊳ 𝑔 para todo 𝑣 ∈ 𝑄 , 𝑔 ∈ 𝐺 .
Si 𝑠 : 𝑀 → 𝑃 es una sección global, esto es, una función suave tal que 𝜎 ◦ 𝑠 = 1𝑀 ,
𝜎
demostar que el fibrado principal 𝑃 −→𝑀 es trivial, es decir, isomorfo al fibrado principal
pr
trivial 𝑀 ×𝐺 −→1 𝑀 con la acción (𝑝,𝑔) ⊳ ℎ := (𝑝,𝑔ℎ).
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