Presentación El documento que se presenta a continuación tiene como propósito facilitar al estudiantado del Bachillerato en Ciencias del Movimiento Humano una serie de ejercicios matemáticos, con datos reales en su mayoría, de acciones y situaciones deportivas, para que en tiempo de estudio afirmen los conceptos teóricos que se van desarrollando durante las lecciones del curso “Introducción a la Biomecánica”. Cada tema presenta una breve introducción que le guiará para que desarrolle la práctica de ejercicios que aparecen a continuación. ______________________________________________________________________________________ 2 Índice A. Conversiones 4 B. Vectores 17 C. Cinemática Lineal 22 1. Movimiento Rectilíneo Uniforme 43 2. Movimiento Uniformemente Acelerado 43 3. Caída libre 43 4. Movimiento compuesto o proyectiles 52 5. Movimiento Circular 57 D. Dinámica o Cinética del Movimiento 61 1. Gravitación y Peso 65 2. Cantidad de Movimiento Lineal 70 3. Impactos y Deformaciones 75 4. Fuerza de Fricción 76 5. Energía, Trabajo y Potencia 79 E. Bibliografía 83 ______________________________________________________________________________________ 3 A. CONVERSIONES En 1995 la Sociedad Internacional de Biomecánicos y revistas afiliadas adoptaron como su estándar de unidades el “Sistema Internacional de Unidades” (SI), para crear un acuerdo, en relación a las unidades de medición con el fin de facilitar la comprensión de las publicaciones que se hacían en Biomecánica. Las unidades fundamentales son el metro (m), el kilogramo (kg) y el segundo (s). La siguiente práctica tiene como objetivo familiarizarse con la conversión de unidades al SI. Expresar las siguientes cantidades conforme al Sistema Internacional de Unidades. 1. Annie Bolt saltó 6 pies, 6 pulgadas y 3/4, a pesar de tener solamente una pierna. Convertir el salto: 6 pies, 6 pulg y ¾ a metros. Si} 1 pie = 12 pulgadas = 0.304 8 metros 1 pulgada = 0.025 4 metros ¾ pulgadas = 0.75 pulgadas Entonces} 6 pies x 12 pulg = 72 pulg 1 pies 72 pulg + 6 pulg + 0.75 pulg = 78.75 pulg 78.75 pulg x 0.025 4 m = 2.00025 m 1 pulg Respuesta: Annie Bolt saltó 2.00025 m ______________________________________________________________________________________ 4 2. El resultado de Bob Beamon de salto largo se mantuvo por unos 25 años. Eso no es de extrañarse, ya que su salto de 29 pies, 2 pulgadas y media, rompió la antigua marca por un margen de dos pies. Convertir el salto largo: 29 pies, 2 pulgadas y ½ a metros. Si} 1 pie = 12 pulgadas = 0.304 8 metros 1 pulgada = 0.025 4 metros ½ pulgadas = 0.5 pulgadas Entonces} 29 pies x 12 pulg = 348 pulg 1 pies 348 pulg + 2 pulg + 0.5 pulg = 350.5 pulg 350.5 pulg x 0.0254 m = 8.902 7 m 1 pulg Respuesta: Bob Beamon saltó 8.90 m ______________________________________________________________________________________ 5 3. Valery Brummel, de la Unión Soviética, fue uno de los últimos saltadores exitosos que utilizó el estilo ventral. En Moscú, en 1963, pasó el listón a 7 pies, 5 pulgadas y ¾. Convertir el salto alto: 7 pies, 5 pulg y ¾ a metros. Si} 1 pie = 12 pulgadas = 0.304 8 metros 1 pulgada = 0.025 4 metros ¾ pulgadas = 0.75 pulgadas Entonces} 7 pies x 12 pulg = 84 pulg 1 pie 84 pulg + 5 pulg + 0.75 pulg = 89.75 pulg 89.75 pulg x 0.0254 m = 2.27965 m 1 pulg Respuesta: Valery Brummel pasó el listón a 2.227965 m ______________________________________________________________________________________ 6 4. Una de las velocidades más altas que se ha registrado en un deporte no mecánico es el paracaidismo: 185 m.p.h. en la atmósfera inferior. En altitudes enormes, donde el aire es muy ralo, se ha registrado una velocidad de 614 m.p.h. El proyectil más rápido en un juego con bola es en la pelota (jai-alai), a 188 m.p.h. A) Convertir la velocidad: 185 millas por hora., 614 m.p.h. y 188 m.p.h a m/s Si} 1 milla = 1.609 kilómetros = 1 609 metros 1 hora = 60 minutos = 3 600 segundos 1 minuto = 60 segundos Entonces} A) 185 millas x 1 609 m x 1 hora = 82.68472222 m/s hora 1 milla 3 600 s B) 614 millas x 1 609 m x 1 hora = 274.4238884 m/s hora 1 milla 3 600 s C) 188 millas x 1 609 m x 1 hora = 84.02555556 m/s hora 1 milla 3 600 s Respuesta: A) El paracaidismo desarrolla una de las velocidades más altas en deportes no mecánicos de 82.68 m/s B) En altitudes enormes se ha registrado una velocidad de 274.42 m/s y C) El proyectil más rápido en un juego con bola es en la pelota (jai-alai) a 84.03 m/s ______________________________________________________________________________________ 7 5. En una competencia de jalar a la cuerda en Jubbulpare, India, el 12 de agosto de 1889, la competencia tardó 2 horas y 41 minutos. El equipo ganador se movió una distancia neta de 12 pies, para una velocidad promedio de 0.000 84 m.p.h. A) Convertir 2 horas y 41 minutos a segundos B) Convertir la distancia: 12 pies a metros. C) Convertir la velocidad: 0.00084 m.p.h. a m/s. Si} 1 pie = 0.304 8 metros 1 milla = 1.609 kilómetros = 1 609 metros 1 hora = 60 minutos = 3 600 segundos 1 minuto = 60 segundos Entonces} 3600s A) 2h 7200s 1h 60s 41min 2460s 1min 7200s +2460s= 9660s B) 12 pies x 0.304 8 m = 3.6576 m 1 pie C) 0.000 84 millas x 1 609 m x 1 hora = 0.000 3753333 m/s hora 1 milla 3 600 s Respuesta:} A) El equipo ganador se movió una distancia neta de 3.66 m 4 B) Para una velocidad de 0.000 375 m/s (3.75 x 10 ¯ m/s). ______________________________________________________________________________________ 8 6. Quizás el campeón mundial de boxeo más pequeño del mundo ha sido Pascual Pérez, quien ganó el campeonato de peso mosca en Tokio en 1954, cuando pesaba 107 libras y medía 4 pies, 11 pulgadas y media. A) Convertir el peso: 107 libras a kilogramos. B) Convertir la talla: 4 pies, 11 pulgadas y ½ a metros. Si} 1 libra = 0.453 592 kilogramos 1 kilogramo = 2.204 6 libras 1 pie = 12 pulgadas = 0.304 8 metros 1 pulgada = 0.025 4 metros ½ pulgadas = 0.5 pulgadas Entonces} A) 107 libras x 0.453 592 kg = 48.534344 kg 1 libra B¹) 4 pies x 12 pulg = 48 pulg 1 pies B²) 48 pulg + 11 pulg + 0.5 pulg = 59.50 pulg B³) 59.5 pulg x 0.025 4 m = 1.511 3 m 1 pulg 0.511 3 m x 100 cm = 51.13 cm 1 m Respuesta: A) El campeón mundial de boxeo más pequeño del mundo ha sido Pascual Pérez, quien pesaba 48.53 kg y medía 1.51 m *(1 metro, 51 centímetros, 13 milímetros). ______________________________________________________________________________________ 9 7. En 1973, el Dr. Allan Abbott alcanzó una velocidad de 140.5 m.p.h. en una bicicleta que iba detrás de un vehículo que le tapaba el viento, logrando mantener una velocidad promedio de 138.674 m.p.h. en una milla. A) Convertir la velocidad: (140.5 m.p.h.) a m/s B) Convertir la velocidad: (138.674 m.p.h.) a m/s C) Convertir la distancia: (1 milla) a metros Si} 1 milla = 1.609 kilómetros = 1 609 metros 1 hora = 60 minutos = 3 600 segundos 1 minuto = 60 segundos Entonces} A) 140.5 millas x 1 609 m x 1 hora = 62.795 69444 m/s hora 1 milla 3 600 s B) 138.674 millas x 1 609 m x 1 hora = 61.979 573 384m/s hora 1 milla 3 600 s C) 1 milla x 1 609 m = 1 609 m 1 milla Respuesta: A) El Dr. Allan Abbott alcanzó una velocidad de 62.80 m/s en una bicicleta. B) Logrando una velocidad promedio de 61.98 m/s C) en 1 609 m ______________________________________________________________________________________ 10 8. El récord de salto vertical en 1981 era de 42 pulgadas (David Thompson) en masculino y de 30 pulgadas (Mary Peters) en femenino. A) Convertir la altura del salto vertical masculino: (42 pulgadas) a metros. B) Convertir la altura del salto vertical femenino: (30 pulgadas) a metros. Si} 1 pulgada = 0.025 4 metros 12 pulgadas = 0.304 8 metros Entonces} A) 42 pulg x 0.025 4 m = 1.066 8 m 1 pulg B) 30 pulg x 0.0254 m = 0.762 cm = 76 cm 2 mm 1 pulg Respuesta: En 1981, A) El récord de salto vertical de David Thompson era de 1.067 m (1 metro, 6 centímetros y 7 milímetros). B) y el de Mary Peters de 0.76 m(76cm, 2mm) ______________________________________________________________________________________ 11 9. En el Hockey sobre hielo, Bobby Hull ha logrado impulsar la pastilla a una rapidez de 118.3 m.p.h. A) Convertir la velocidad: (118.3 m.p.h.) a m/s Si} 1 milla = 1.609 kilómetros = 1 609 metros 1 hora = 60 minutos = 3 600 segundos 1 minuto = 60 segundos Entonces} A) 118.3 milla x 1 609 m x 1 hora = 52.87552778 m/s hora 1 milla 3600 s Respuesta: A) En el Hockey sobre hielo, Bobby Hull logró impulsar la pastilla a una rapidez de 52.87 m/s ______________________________________________________________________________________ 12 10. El esquiador Steve McKinney registró una velocidad máxima de 124.412 m.p.h. en Portillo, Chile, en 1978. A) Convertir la velocidad: (124.412 m.p.h.) a m/s Si} 1 milla = 1.609 kilómetros = 1 609 metros 1 hora = 60 minutos = 3 600 segundos 1 minuto = 60 segundos Entonces} A) 124.412 millas x 1 609 m x 1 hora = 55.60 525222m/s hora 1 milla 3 600 s Respuesta: A) El esquiador Steve McKinney registró una velocidad máxima de 55.61 m/s en Portillo, Chile, en 1978. ______________________________________________________________________________________ 13 11. David Steed, oriundo de Tucson, Arizona, se mantuvo en equilibrio sobre una bicicleta estática y sin apoyo durante 9 horas y 15 minutos, en Noviembre de 1977. ¿Cuántos minutos estuvo sobre la bicicleta? ¿Cuántos segundos representa eso? A) Convertir el tiempo: (9 horas: 15 minutos) a minutos. B) Convertir el tiempo: (9 horas: 15 minutos) a segundos. Si} 1 hora = 60 minutos = 3 600 segundos 1 minuto = 60 segundos Entonces} A¹) 9 horas x 60 min = 540 min 1 hora A²) 540 min + 15 min = 555 min B) 555 min x 60 s = 33 300 s 1 min Respuesta: A) David Steed, se mantuvo en equilibrio sobre una bicicleta estática y sin apoyo durante 555 minutos, en Noviembre de 1977. B) Eso representa 33 300 s ______________________________________________________________________________________ 14 12. El saltador cubano Iván Pedroso había prometido saltar 9 metros en el mundial de atletismo en Suecia. ¿Cuántas pulgadas sería eso? A) Convertir el salto: (9 metros) a pulgadas. Si} 0.025 4 metros = 1 pulgada 0.304 8 metros = 12 pulgadas Entonces} A) 9 m x 1 pulg = 354.33 070866pulg 0.025 4 m Respuesta: A) El saltador cubano Iván Pedroso había prometido saltar 354.33 pulgadas en el mundial de atletismo en Suecia. ______________________________________________________________________________________ 15 13. A finales del siglo XX, un costarricense estableció la primera marca nacional de ciclismo de una hora en pista: casi 40 kilómetros, es decir, 40 km/h. ¿Cuál fue su rapidez promedio en m/s? A) Convertir la rapidez promedio: (40 km/h) a m/s Si} 1 kilómetro = 10³ metros 1 hora = 60 minutos = 3 600 segundos Entonces} A) 40 km x 1000 m x 1 h = 11.11111111111 m/s h 1 km 3600 s Respuesta: A) El costarricense que estableció la primera marca nacional de ciclismo de una hora en pista, desarrolló una rapidez promedio de 11.11 m/s ______________________________________________________________________________________ 16 B. VECTORES Los vectores son cantidades físicas que se utilizan para describir el movimiento, desde la perspectiva mecánica. Estas cantidades deben expresar tanto la magnitud, como la dirección y orientación para comprenderlas. En el desplazamiento, por ejemplo, la magnitud se expresa en metros (m) para expresar cuánta distancia se desplaza la persona; se debe conocer, además, cuál fue la dirección del desplazamiento (puntos cardinales) y a qué inclinación del norte, sur, este u oeste se dirige (orientación). Los vectores se pueden representar gráficamente, por medio de segmentos de líneas rectas, que se pueden trazar a escala para representar la magnitud, como se ilustra a continuación: Escala E 2 cm = 10 km 20 m 40° S Este vector representa un desplazamiento de 20 metros de magnitud (hipotenusa), en dirección sureste (SE) con una inclinación de 40°. La forma de expresión abreviada es: 20 m del S 40° E. Este vector, como se ilustra en la figura anterior, posee dos componentes: el “x”(azul) y el “y” (rojo). Los tipos de vectores, relacionados al estudio del movimiento humano, que interesa destacar son: el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y la fuerza. El desplazamiento se define como la distancia en línea recta entre el punto de partida y el punto de llegada, es decir, desde el “punto” hasta el “cuadrado” según se ilustra en la siguiente figura, aunque la distancia sea el total recorrido siguiendo la trayectoria marcada en color gris. La mayoría de las descripciones de movimiento se realiza por medio de las cantidades vectoriales. Debido a los componentes de los vectoriales (magnitud, dirección y orientación), la sumatoria se puede realizar por medio de dos formas: 1. Método gráfico, a escala, y 2. Método analítico, con el uso de la trigonometría, es decir, la relación entre los catetos y la hipotenusa. ______________________________________________________________________________________ 17 Los ejercicios a continuación le permitirán practicar la destreza de graficar vectores y sus respectivos componentes, y aplicar los procedimientos de sumatoria vectorial. 4. Dibuje un vector AB que forme un ángulo de 40º con la horizontal y que represente un desplazamiento de 10 m. Dibuje su componente vertical y horizontal. Obtenga las magnitudes de estos componentes. A) Obtener la magnitud del componente horizontal (x). B) Obtener la magnitud del componente vertical (y). Si} sen = cat op/hip hip x sen = cat opuesto cos = cat ady/hip hip x cos = cat adyacente Pitágoras h² = x² + z² 10 m = h cat op = z 40º cat ady = x Entonces} A) h × cos = cat ady (x) 10 m × cos 40 = 7.660 444 431 m x = 7.66 m B) h × sen = cat op (y) 10 m × sen 40 = 6.427 876 097 m y = 6.43 m Respuesta: A) La magnitud del componente horizontal es x = 7.66 m B) La magnitud del componente vertical es y = 6.43 m ______________________________________________________________________________________ 18 15. Una persona viaja 6 km al norte, 5 al sureste y 3 al noreste. Obtenga el desplazamiento resultante por el método gráfico (magnitud, dirección, orientación). N 5 km 6 km 7.4 km 3 km 40º O E S Respuesta: El desplazamiento resultante 7.4 km E 40º N ______________________________________________________________________________________ 19 16. La suma de vectores puede realizarse mediante la suma algebraica de las magnitudes de los componentes verticales y horizontales de cada vector. Esto se conoce como el método analítico. Obtenga el vector resultante (magnitud, dirección y orientación) del problema anterior por este método y compare los resultados con los obtenidos por el método gráfico. A¹) Obtener la magnitud. A²) Obtener la dirección. A³) Obtener la orientación. Si} sen = cat op/hip hip·sen = cat opuesto cos = cat ady/hip hip·cos = cat adyacente tan = cat op/cat ady Entonces} Az = 6 km Ax = 0 km Bx = 5 km sen 45º = 3.535 533 906 45º 5 km Bz = 5 km cos 45º = -3.535 533 906 Bz Bx 3 km Cx = 3 km cos 45º = 2.121 320 344 Cz Cz = 3 km sen 45º = 2.121 320 344 45º Cx x = Ax + Bx + -Cx x = 0 km + 3.535 533 906 km + 2.121 320 344 km X = 5.656 854 249 km z = Az + -Bz + Cz z = 6 km + -3.535 533 906 km + 2.121 320 344 km Z = 4.585 786 438 km ______________________________________________________________________________________ 20 Pitágoras d² = x² + z² d² = ( x)² + ( z)² d² = (5.656 854 249 km)² + (4.585 786 438 km)² d² = 53.029 437 25 km² d = 53.02943725 d=7.282 131 367 km Como en realidad no se midió la distancia con este grado de precisión el resultado se redondea a dos decimales. ¿dxz? dz = 4.585786438 θ = ? dx = 5.656 854 249 km θ = invtan 4.585 786 438 = θ = 39º 01´49´´ 5.656 854 249 Respuesta: A) El desplazamiento es de 7.28 km del E 39º 01´49´´ N. A¹) Magnitud: 7.28 km A²) Dirección: N E A³) Orientación: 39º 01´49´´ Los datos del problema resuelto por el método gráfico y el método analítico son prácticamente los mismos (7.4 km E 40º N y 7.28 km E 39º 01´49´´ ). Sí se espera un pequeño margen de error con el método gráfico. ______________________________________________________________________________________ 21 C. CINEMÁTICA LINEAL La cinemática lineal es una rama de la mecánica que se encarga de describir la naturaleza del movimiento, sin interesarse por la causas del movimiento, ni las dimensiones de los cuerpos. De esta manera, los cuerpos serán considerados como puntos o partículas: sin importar qué tan grande o pequeño sea el cuerpo, éste será considerado como una partícula que se mueve en dos dimensiones, la vertical y la horizontal. Estas partículas, además, tendrán la característica de no deformarse cuando hacen contacto con otro cuerpo como si fueran cuerpos rígidos. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME: El movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) se caracteriza por su velocidad constante, es decir, que a lo largo de una trayectoria rectilínea la velocidad es la misma. La velocidad que lleva un cuerpo indica el desplazamiento alcanzado por unidad de tiempo. Matemáticamente se obtiene del cociente del desplazamiento y el tiempo transcurrido, v = d/t. De esta relación numérica es posible averiguar el valor de cualquiera de las tres variables si se conocen las otras dos. Por ejemplo, si se conoce el valor de la velocidad que lleva el cuerpo u objeto y el tiempo que tardó en llegar a la meta, se puede determinar cuanta distancia recorrió, multiplicando la velocidad por el tiempo. La unidad de medida en la que se debe expresar la velocidad, de acuerdo al Sistema Internacional de Unidades, es el metro por segundo (m/s). Los siguientes ejercicios matemáticos tienen como objetivo practicar la descripción desde la perspectiva física de lo que está ocurriendo, haciendo uso de conversiones, y de las fórmulas del M.R.U. También muy directamente relacionados con el M.R.U. están los problemas de cadencia o frecuencia, que analizan cuántos eventos ocurren en un tiempo determinado. 17. Una de las demostraciones de tiros libres en baloncesto más impresionantes de la historia la hizo Ted St. Martin, un jugador profesional de la NBA. En 1 977 él anotó 2 036 tiros libres consecutivos. Suponiendo que hiciera un tiro cada 5 segundos, ¿Cuánto tiempo habría durado la demostración? A¹) Obtener las horas. A²) Obtener los minutos. A³) Obtener los segundos. Si} Factor de conversión = 1 tiro libre cada 5 segundos 1 hora = 60 minutos = 3 600 segundos ______________________________________________________________________________________ 22 t =? Entonces} A) 2 036 tiros x 5 s = 10 180 s 1 tiro A¹) 10 180 s x 1 h = 2.827 777 778 h 3 600 s A²) 0.827 777 778 h x 60 min = 49.666 666 68 min 1 h A³) 0.666 666 68 min x 60 s = 40.0000008 s 1 min Respuesta: A) La demostración habría durado un total de 10 180 segundos; es decir, 2 horas con 49 minutos y 40 segundos (2:49’40”) 18. En Diciembre de 1979, un vehículo sobre ruedas, el Cohete Budweiser, puso una marca de 739.666 m.p.h., ó Mach 1.010 6. ¿Cuántos km/h representa eso? Mach 1 es la velocidad del sonido, ¿cuál es esta velocidad en km/h y en m/s? A) Convertir la velocidad: 739.666 m.p.h. a km/h B¹) Convertir la velocidad: Mach 1 a km/h B²) Convertir la velocidad: Mach 1 a m/s Si} 1 milla = 1.609 km = 1 609 m 1 hora = 60 minutos = 3 600 segundos Mach 1.010 6 = 739.666 m.p.h 1 000 metros = 1 kilómetro Entonces} A) 739.666 m.p.h x 1.609 km = 1 190.122 594 km/h 1 milla Mach 1.0106 = 739.666 m.p.h = 1 190.122 594 km/h B¹) Mach 1 x 1 190.12 km/h = 1 177.639 614 km/h Mach 1.010 6 ______________________________________________________________________________________ 23 B²) 1 177.639 6 km x 1 000 m x 1 h = 327.122 115m/s h 1 km 3 600 s Respuesta: A) En Diciembre de 1979, un vehículo sobre ruedas, el Cohete Budweiser, puso una marca de 1 190.12 km/h B¹) 1 Mach es la velocidad del sonido, esta velocidad es equivalente a 1 177.64 km/h B²) A su vez 1 Mach es equivalente a 327.12 m/s ______________________________________________________________________________________ 24 19. Paul Wilson, de Nueva Zelanda, corrió los 100 metros planos hacia atrás en 13.1 segundos, en 1979. En 1978 Graham Henry Salmon, que era ciego, corrió la misma distancia (pero hacia adelante) en 11.4 s. En 1 988, Ben Johnson corrió la final de 100 m planos en 9.79 s, pero fue descalificado al descubrirse que había ingerido esteroides anabólicos. Calcule sus velocidades promedio en kilómetros por hora. A) Obtener la velocidad promedio de cada corredor: (v = d/t) en m/s d B) Calcular sus velocidades promedio: (v = ) en km/h t d C) Calcular sus velocidades promedio: (v = ) en m.p.h t 1 hora = 60 minutos = 3 600 segundos 1 000 metros = 1 kilómetro v = ? d = 100 m t = ¿? d v = t Entonces} A) Paul Wilson: t = 13.1 s y d = 100 m v = 100 m = 7.633 587 87786 m/s 13.1 s 7.63 m x 1 km x 3 600 s = 27.48091603 km/h s 1 000 m 1 h B) Graham Henry Salmon: t = 11.4 s y d = 100 m v = 100 m = 8.771929825 m/s 11.4 s 8.77 m x 1 km x 3 600 s = 31.57894737 km/h s 1 000 m 1 h C) Ben Johnson: t = 9.76 s y d = 100 m v = 100 m = 10.2145046 m/s 9.79 s 10.2 m x 1 km x 3600 s = 36.77221656 km/h s 1 000 m 1 h Respuesta: A) Paul Wilson posee una velocidad promedio de 27.48 km/h B) Graham Henry Salmon posee una velocidad promedio de 31.58 km/h C) Ben Johnson posee una velocidad promedio de 36.77 km/h ______________________________________________________________________________________ 25 20. En mayo de 1 972, Mark Donahue impuso un récord de 3 horas, 4 minutos y 5.54 segundos en las 500 millas de Indianápolis, carrera que consta de 200 vueltas completas. ¿Cuál fue su velocidad promedio? ¿Cuál fue su rapidez promedio? (Dar resultados en m.p.h., km/h y m/s) d A) Calcular la velocidad promedio: (v = ). t d B) Calcular la rapidez promedio: (v = ). t 1 milla = 1.609 km = 1609 m 1 hora = 60 minutos = 3 600 segundos 1000 metros = 1 kilómetro r =? dtotal = 500 millas d (desplazamiento) = 0 millas t = 3:4’5.54” v =? v = d/t Entonces} A) t = 3 h: 4 min’ y 5.54” s = 3.07 h y d = 0 millas. v = 0 millas = 0 m.p.h. 3.07 h B) dtotal = 500 millas X 1.609 km = 804.5 km x 1000 m = 804 500 m 1 millas 1 km t = 4 min x 1 h = 0.066 666 667 h 60 min t = 5.54 s x 1 h = 0.001 538 88888 h 3600 s horas = 3 h + 0.066 666 666 h + 0.001 538 888 h = 3.068 205 5556 h ttotal = 3.068 205 554 h x 3 600 s = 11 045.539 994 4 s 1 h d r total= ttotal 1 B ) r = 500 millas = 162.961 7024 m.p.h. 3.068 205 551 h B²) r = 162.961 702 millas x 1.609 km = 262.205 37992 km/h h 1 milla B³) 262.205 379 km x 1 000 m x 1 h = 72.83482756 m/s h 1 km 3 600 s Respuesta: A) Mark Donohue tuvo una velocidad promedio de 0 m.p.h; (0 km/h) ó (0 m/s), pues no hubo desplazamiento. B) Su rapidez promedio fue de 162.96 m.p.h.; 262.20 km/h ó 72.83 m/s ______________________________________________________________________________________ 26 21. CUIDADO CON LOS DESCANSOS. Un atleta entrenando intervalos hace un total de 4 800 m. El primer 800 lo tira en 2 minutos y 5 segundos; el segundo, en 2 minutos exactos; el tercero, en 2 minutos 4 segundos; el último en 2 minutos y 10 segundos. Si permanecía sentado (¡qué bruto!) durante los descansos de 10 minutos, a) ¿Cuál fue la distancia total recorrida? b) ¿Cuál fue el desplazamiento? c) ¿Cuál fue la rapidez promedio? d) ¿Cuál fue la rapidez promedio en el tercer intervalo? A) Calcular la distancia total recorrida: (d = r·t). B) Calcular el desplazamiento: (d = v·t). d C) Calcular la rapidez promedio: (r total= ). ttotal d 1. Calcular la rapidez promedio en el tercer intervalo: (r total= ). ttotal r = ? dtotal = 4 800 m d (desplazamiento) = 0 m t = intervalos + descansos Entonces} 1er 2ndo 3ero 4to ttotal Intervalos 2.05 min + 2.00 min + 2.04 min + 2.10 min = 8.19 min Descansos 10 min + 10 min + 10 min = 30 min ttotal 12.5 min + 12 min + 12.04 + 2.10 min = 38.19 min d ttotal = v ttotal = 38 min x 60 s = 2 280 s + 32 s = 2 299 s 1 min A) A) dtotal = 4 x 800 m = 3 200 m B) d = 0 m El desplazamiento es cero ya que regresa al mismo lugar luego de cada intervalo. C) d r total= ttotal r = 3 200 m = 1.391 909 505m/s 2 299 s D) Tercer intervalo: t = 2 minutos y 4 segundos t = 2 min x 60 s = 120 s Entonces, 120 s + 4 s = 124 s 1 min d = 800 m r = 800 m = 6.451 612 903 m/s Respuesta: A) La distancia total recorrida fue 3 200 m B) El desplazamiento fue de cero metros. C) La rapidez promedio fue 1.39 m/s D) La rapidez promedio del tercer intervalo fue 6.45 m/s ______________________________________________________________________________________ 27 22. ¿Cuánto espacio recorre un automóvil, que viaja a 80 km/h, durante los 2 segundos que el conductor quita su vista de la carretera para buscar el monto del peaje en su cenicero? A¹) Obtener la velocidad: (80 km/h) a m/s A²) Calcular el espacio recorrido (d = v · t). Si} 1 000 metros = 1 kilómetro 1 hora = 3 600 s D = ? v = 80 km/h t = 2 s Entonces} A¹) v = 80 km x 1 000 m x 1 h = 22.2222222222222 m/s h 1 km 3 600 s A²) d = v x t d = 22.22 m/s x 2 s = 44.4444444444444 m Respuesta: A) Un automóvil, que viaja a 80 km/h, recorre 44.4 metros de espacio, durante los 2 segundos que le toma al conductor buscar el monto del peaje en su cenicero. ______________________________________________________________________________________ 28 23. En este ejemplo de atletismo que compara a Carl Lewis en la final de los 100 m planos en Seúl 1 988, con Usain Bolt en la final de los 100 m en Beijing 2 008, calcule la rapidez promedio de c/u. C.L. v C.L. U.B. v U.B. t reacción 0.136 m/s 0.165 m/s 0 m - 10 m 1.75 5.71 1.70 5.88 10 m - 20 m 1.07 9.34 1.00 10 20 m - 30 m 0.94 10.64 0.90 11.11 30 m - 40 m 0.89 11.23 0.87 11,49 40 m - 50 m 0.86 11.63 0.85 11.76 50 m - 60 m 0.86 11.63 0.84 11.90 60 m - 70 m 0.83 12.05 0.82 12.19 70 m - 80 m 0.85 11.76 0.83 12.05 80 m - 90 m 0.86 11.63 0.85 11.76 90 m - 100 m 0.88 11.36 0.86 11.63 Tiempo total 9.92 10.08 9.685 10.32 ______________________________________________________________________________________ 29 24. En el año 1980, las marcas mundiales de patinaje sobre hielo eran las siguientes: Pruebas Marca masculina Marca Femenina 500 metros 37.00 40.68 1 000 metros 1:13.60 1:23.46 1 500 metros 1:54.79 2:07.18 3 000 metros 4:04.06 4:31.00 5 000 metros 6:56.90 xxx 10 000 metros 14:28.13 xxx Asumiendo una rapidez constante ¿cuánta distancia le sacaría el mejor hombre a la mejor mujer en cada una de las pruebas de 500, 1000, 1500, y 3000 metros? 1) Calcular la diferencia de tiempo: (diftiempo = tfem - tmasc) de la prueba que existe entre ambos sexos. 2) Calcular la rapidez: (r = d/t) del que hizo mayor tiempo. 3) Obtener la distancia que le saca la marca masculina a la femenina: (d = v · t) para las pruebas de 500, 1 000, 1 500, 3 000 metros. Si} 60 segundos = 1 minuto dif = ? d distancia r = t Entonces} *d = v · t * Se entiende como la distancia que le sacaría el patinador más rápido a su similar femenina en términos de la rapidez de la patinadora por la diferencia de tiempo de las marcas registradas al finalizar el evento. PRUEBA 500 metros A¹) 40.68 - 37.00 = 3.68 diftiempo = 3.68 s A²) rfem = 500 m = 12.29105211 m/s 40.68 s A³) d = 12.29 m/s x 3.68 s = 45.23107176 m ______________________________________________________________________________________ 30 PRUEBA 1 000 metros B¹) 1:23.46 min – 1:13.60 min = 9.86 dif · t = 9.86 s B²) tT = 1 min = 60 s + 23.46 s = 83.46 s rfem = 1 000 m = 11.98178768 m/s 83.46 s B³) d = 11.98 m/s x 9.86 s = 118.1404266 m PRUEBA 1 500 metros C¹) 2:07.18 min – 1:54.79 min = 12.39s dif · t = 12,39 s C²) tT = 2 min = 120 s + 07.18 s = 127.18 s rfem = 1 500 m = 11.79430728 m/s 127.18 s C³) d = 11.79 m/s x 12.39 s = 146.1314072 m PRUEBA 3 000 metros D¹) 4’31.00” mi. - 4’04.06” min = 26.94”. dif · t = 26.94 s D²) tT = 4 min = 240 s + 31 s = 271.00 s rfem = 3 000 m = 11.0701107 m/s 271 s D³) d = 11.07 m/s x 26.94 s = 298.2287823 m Respuesta: En el año de 1981, para cada prueba mundial de patinaje sobre hielo, si se comparasen las marcas masculina y femenina. A continuación esta es la distancia que le sacaría el mejor hombre a la mejor mujer: A) Prueba de 500 m: 45.23 metros. B) Prueba de 1 000 m: 118.14 metros. C) Prueba de 1 500 m: 146.09 metros y D) Prueba de 3 000 m: 298.23 metros. ______________________________________________________________________________________ 31 5. El primer ganador de la Maratón de Boston en 1 897, John J. McDermott, puso un tiempo de 2:55:10, para una distancia de 26 millas y 385 yardas. ¿Cuál fue su rapidez promedio en m/s? ¿Cuál fue su ritmo promedio (tiempo por kilómetro)? Compare sus resultados con los de uno de los mejores tiempos en esa misma maratón, el de William Rodgers en 1979, de 2:09:27. A) Convertir el tiempo: 2h:55’10” a segundos. B) Convertir la distancia: 26 millas y 385 yardas a metros. C) Calcular su rapidez promedio en m/s. D) Calcular su ritmo promedio (tiempo/km). E) Comparar el tiempo de McDermott con uno de los mejores tiempos en esta misma maratón: (2:09’27”) Si} 1 milla = 1 609 km = 1609 m 1 hora = 60 minutos = 3 600 segundos 1 minuto = 60 segundos 1 metro = 1.093 6 yardas r = ? ritmo = ? Entonces} A¹) 2 h x 3 600 s = 7 200 s 1 h A²) 55 min X 60 s = 3 300 s 1 min A³) T = 7 200 s + 3 300 s + 10 s = 10 510 s B¹) 26 millas x 1 609 m = 41 834 m 1 milla B²) 385 yardas x 0.914 4 m = 352.044 m 1 yarda B³) 41 834 m + 352.04 m = 42 186.044 m C) d r = t r = 42 186.04 m = 4.013895718 m/s 10 510 s ______________________________________________________________________________________ 32 D) t ritmo= d t = 10 510 s x 1 min = 175.166666 67min 60 s d = 42 186.04 m x 1 km = 42.18604 km 1 000 m ritmo = 10 510 s = 249.1345478 s/km 42.18604 km ritmo = 175.16666 min = 4.150868877min/km 42.2 km t = 0.152 min x 60 s = 9.05213262 s 1 min r = 4:09.13min /km Respuesta: John McDermott, el primer ganador de la Maratón de Boston en 1 897: tuvo una rapidez promedio de 4.01 m/s B) Su ritmo promedio fue de 4 minutos con 9.05 segundos por kilómetro. (4:9.13min/km). Rodgers tardó en hacer el recorrido 45.72 minutos menos que Dermont, es decir, corrió a un ritmo mayor (3.07min/km), alcanzando una velocidad de 5.43 m/s en 1979. ______________________________________________________________________________________ 33 26. En los Juegos Olímpicos de Beijing, en la prueba de 100 metros mariposa, Michael Phelps competía por lograr su séptima medalla de oro, con lo cual empataría la marca de Mark Spitz en Munich. El nadador Milorad Cavic lo aventajaba hasta el último instante, pero Phelps logró ganarle por una centésima de segundo, con un tiempo final de 50.58 s. El cierre quedó bellamente capturado en fotografías gracias a la labor de Heinz Kluetmeier, que las publicó en Sports Illustrated. Asumiendo que nadaban a una rapidez constante, ¿qué ventaja le sacó Phelps a Cavic en términos de distancia? (Phelps ganó también medalla de oro en su octava competencia, estableciendo una nueva marca mundial de ocho medallas de oro en unos juegos olímpicos). A) Calcular la rapidez: (r = d/t) del que hizo mayor tiempo. C) Obtener la distancia que le saca Phelps a Cavic: (d = v·t) en la prueba de natación 100 metros mariposa. Si} 60 segundos = 1 minuto d = 100 m A) Tiempo de Cavic = 50.59 s B) rCavic = dtotal/tCavic rCavic = 100 m = 1.976675232 m/s 50.59 s dCavic(50.58 s) = 1.976675232 m/s x 50.58 s = 99.980 233 25 m Ddif.Phelps y Cavic = 100 m - 99.98023325 m = 0.019 766 75232 m Respuesta: C) En la prueba de 100 metros mariposa, rama masculina, en términos de distancia Phelps le sacó a Cavic 0.019 m (19 mm). ______________________________________________________________________________________ 34 27. Un maratonista corre a un ritmo promedio de 3:32 por kilómetro y otro a 3:33.5 por kilómetro. a) Cuántos segundos de ventaja le sacará el primer corredor al segundo en la maratón (42.195 km)? Cuando llegue el primer maratonista a la meta. b) ¿qué distancia le faltará al segundo para terminar? A) Convertir el ritmo promedio de los fondistas: 3’32” y 3’33.5” a segundos/metros. B) Convertir la distancia: 42.195 km a metros. C) Obtener la diferencia de tiempo: t = ritmo · d entre ambos corredores. D) Obtener la rapidez del segundo corredor: rapidez = d/t. E) Obtener la distancia que le saca el 1er corredor al 2do: d = v·t en la prueba de maratón. Si} 60 segundos = 1 minuto 1 000 metros = 1 kilómetro d = 42.195 km ritmos = “x” min/km dif · t = ? dif · d = ? Entonces} A) Ritmo del 1er fondista = 3.32/km ritmo1ro = 3 min x 60 s = 180 s 1 min ritmo1ro = 180 s + 32 s = 212 s x 1 km = 0.212 s/m km 1 000 m Ritmo del 2do fondista = 3:33.5/km ritmo2do = 3 min x 60 s = 180 s 1 min ritmo2do = 180 s + 33.5 s = 213.5 s x 1 km = 0.2135 s/m km 1 000 m B) d = 42.195 km = 1 000 m = 42 195 m 1 km C) t = ritmo · d t1ro = 0.212 s/m x 42 195 m = 8 945.34 s t2do = 0.213 5 s/m x 42 195 m = 9 008.6325 s diftiempo = 9 008.6 s - 8 945.34 s = 63.2925 s ______________________________________________________________________________________ 35 D) d r= t r2do = 42 195 m = 4.683840749 m/s 9 008.6 s E) *d = v·t * Se entiende como la distancia que le sacaría el fondista más rápido a su similar más próximo en términos de la rapidez del corredor por la diferencia de tiempo de las marcas registradas al finalizar el evento. d = 4.68 m/s x 63.29 s = 296.4519906 m Respuesta: C) El primer corredor le sacará 63.29 segundos de ventaja al segundo corredor en la maratón. E) Luego que el primer maratonista llega a la meta, al segundo corredor le faltarán 296.45 m para terminar. ______________________________________________________________________________________ 36 28. Un esquiador compitiendo en campo traviesa se desplaza 5 km en dirección Norte, luego gira y viaja 12 km más en dirección este. Si cubre la distancia en 51 minutos, a) ¿Cuál es su rapidez promedio en km/h? b) ¿Cuál es la magnitud de su velocidad promedio en km/h? A) Convertir el tiempo: 45 min a horas. B) Obtener la distancia recorrida por el velero: de los componentes x & y en kilómetros. C) Obtener la rapidez promedio: rapidez = d/t en km/hora. D) Obtener la magnitud de su velocidad promedio: v = d/t en km/hora. Si} 1 hora = 60 minutos D = 12 km t = 51 min d = 12 km t = 51 min 12 km R = ? v = ? Entonces} 12 km 5 km A) Resultante = 13 km t = 51 min x 1 h = 0.85 h 60 min dtotal = 5 km +12km d = 12 km + 5 km = 17 km d r = t R = 17 km = 20 km/h 0.85 h B) Pitágoras c² = a² + b² C² = ( x)² + ( y)² C² = (12km) ² + (5 km) ² C² = 144 km² + 25 km² C² = 169 km² C = 169km2 = 13 km 169km2 d v = 13 = 15.29411705 km/h v = t 0.85h 5 θ = invtan = θ = 22º 61986495´ 12 Respuesta: A) La rapidez promedio del esquiador es de 20 km/h B) La magnitud de su velocidad promedio es de 15.29 km/h E 22º 62´N. ______________________________________________________________________________________ 37 29. Un kayak que viaja en el océano a una rapidez constante de 6 km/h se mueve hacia el este durante 40 minutos, luego al noreste durante 20 minutos y finalmente al oeste durante 50 minutos. ¿Cuál es su velocidad promedio? (magnitud, dirección, orientación). A¹) Convertir los tiempos: 35, 15 y 55 minutos a segundos. A²) Obtener el tiempo total: min en segundos. B) Convierta la rapidez constante: 8 km/h a m/s C) Obtener la distancia: xxd = r·t de cada uno de los componentes. D¹) Obtener la magnitud de la velocidad D²) Obtener la dirección. D³) Obtener la orientación. d E) Obtener la velocidad: (v = ). t Si} 1 hora = 3 600 s 1 minuto = 60 segundos 1 kilómetro = 1 000 metros sen = cat op/hip hip·sen = cat opuesto cos = cat ady/hip hip·cos = cat adyacente tan = cat op/cat ady r = 8 km/h tTotal = 110 min d = ? d = ? a = 40 min b = 20 min 50 min t = 40 min x 1 hora = 0.666 h t = 20 min x 1 hora = 0.33333 h t =50 min x 1 hora=0.83333 h 60 min 60 min 60 min d = r·t 6 km x 0.6666 h = 4 km d = r·t 6 km x 0.3333 h = 2 km d = r·t 6 km x 0.8333 h=5 km h h h ax = 4 km bx = hipcosθ = 2cos45º = 1.414213 cx = -5 km ay = 0 km by = hipcosθ = 2sen45º = 1.414213 cy = 0 km drxy = dx + dy dx = ax + bx + cx dx = 4 km + 1. 414 213 562 373 km + -5 km drx =0.414 213 562 373 km ______________________________________________________________________________________ 38 dy = ay + by + cy dy = 0 km + 1. 414 213 562 373 km + 0 km dry = 1. 414 213 562 373 km Se grafican los componentes drx y dry. Y por medio del método del paralelogramo se determina el valor de la hipotenusa 0. 414 213 562 373 km 1. 414 213 562 373 km D¹) Pitágoras dxy² = dx² + dy² dxy² = dx²+ dy² dxy² = (0. 414 213 562 373 km)² + (1. 414 213 562 373 km)² dxy² = 0.17157287 km² + 2 km² dxy² = 2.171572875 km² dxy = 2.171572875km2 dxy = 1.4736257582 km 1.473625 7582 km x 1 000 m = 1 473.625 758 m dxy = 1 473.625 758 m 1 km 2 D ) Dirección: NE 3 D ) Orientación: 0. 414 213 562 373 km tan = = 0.292 893 218 881 1. 414 213 562 373 km invtan 0.292 893 218 881 = 16.32º º E) dxy V = t total 110 min x 60 s = 6 600 s 1 min V = 1 473.625 758 m = 0.223 276 63 m/s 6 600 s Respuesta: E) La velocidad promedio del kayak es de 0.22 m/s del E 16.32º N ______________________________________________________________________________________ 39 30. En el Mundial de Natación de Roma „94, en la prueba de 800 m libres, Claudia Poll cronometró 2 minutos, 6 segundos y 21 centésimas en los primeros 200 m. Si hubiera mantenido ese mismo ritmo el resto de la competencia, ¿cuánto habría cronometrado en la prueba? Expresarlo en minutos y segundos (La ganadora paró el cronómetro en 8‟29.85”). A) Convertir el tiempo: (2’6,21”) a segundos. B) Obtener la rapidez constante: (rapidez = d/t) en metros/segundo. D) Obtener el tiempo total: (t = d·v) en minutos, segundos y centésimas. Si} 1 minuto = 60 segundos d = 200 m t = 2’6.21” dtotal = 800 m R = ? ttotal = ? t = 2 min x 60 s = 120 s 1 min t “s” = 120 s + 6 s + 0.21 s = 126.21 s B) d r = t r = 200 m = 1.584660486 m/s 126.21 s C) ttotal = dtotal · r ttotal = 800 m = 504.84 s 1.58 m/s ttotal = 504.84 s x 1 min = 8.414 min 60 s ttotal = 0. 414 min x 60 s = 24.84 s 1 min ttotal = 8’24.84” Respuesta} C) Si Claudia Poll hubiera mantenido ese ritmo el resto de la competencia habría cronometrado 8 minutos, 24 segundos y 84 centésimas. C) 8’24.84” (La ganadora impuso 8’29.85”). ______________________________________________________________________________________ 40 31. En esa misma competencia (Roma „94, 800 m libres), Janet Evans ganó la medalla de oro con un tiempo de 8 minutos, 29 segundos y 85 centésimas, mientras Hayley Lewis ganó la medalla de plata con 8 minutos, 29 segundos y 94 centésimas. Asumiendo que al final de la competencia ambas nadadoras iban a la misma velocidad promedio, ¿cuánta distancia le sacó Evans a Lewis? A) Convertir el tiempo del nadador menos rápido: 8’29.94” en segundos. B) Calcular la rapidez: (r = d/t) del que hizo mayor tiempo. C) Obtener la distancia que le saca Evans a Lewis: (d = v·t) en la prueba de natación 800 metros libre femenino. Si} 60 segundos = 1 minuto d = 800 m diftiempo = 0.09 s difdistancia= ? rapidez = ? Entonces, Tiempo de Evans = 8’29.85”. tLewis = 8 min x 60 s = 480 s 1 min tLewis = 480 s + 29.85 s = 509.85 s Sacar la velocidad de Lewis Tiempo de Lewis = 8’29.94”. tLewis = 8 min x 60 s = 480 s 1 min tLewis = 480 s + 29.94 s = 509.94 s d r = t r = 800 m = 1.568 812 m/s 509.85 s d = v·t d = 1.568 812 017 m/s × 509.85 s = 799.858 806 918 m D = 800 m - 799.858 806 918 m = 0.141 19 m Respuesta: C) En términos de distancia Evans le sacó a Lewis 0.141 19 m, es decir 14.12 cm ______________________________________________________________________________________ 41 32. ¿Cuántos minutos tardaría un ciclista en completar una prueba de 100 km si su velocidad promedio fuera de 33.6 km/h? ¿Cuál sería su ritmo por kilómetro? d A¹) Obtener el tiempo: (t = ) en horas. v A²) Convertir en tiempo obtenido en minutos. t B) Obtener el ritmo: (ritmo = ) en min/km d Si} 60 segundos = 1 minuto 1 hora = 60 minutos d = 100 km v = 33.6 km/h t = ? ritmo = ? Entonces} A¹) d t = v t = 100 km = 2.976190476 h 33.6 km/h A²) ttotal = 2.976 190 476 h x 60 min = 178.571 428 6 min 1 h B) t ritmo = d ritmo = 178.571 428 6 min = 1.785714286 min/km 100 km Respuesta} A²) Un ciclista en completar una prueba de 100 km si su velocidad promedio fuera de 33.6 km/h tardaría 178.6 minutos y B) su ritmo por kilómetro sería 1.78 min/km ______________________________________________________________________________________ 42 1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME, 2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.U.A) Y 3. CAÍDA LIBRE En general el movimiento uniformemente acelerado indica un cambio en la velocidad, ya sea que aumente o que disminuya. Matemáticamente se refiere al cambio de la velocidad por unidad de tiempo, simbólicamente se expresa: a = vf - vo t Donde Vf es la velocidad final, Vo es la velocidad inicial, y t es el tiempo transcurrido. Si al aplicar la fórmula la aceleración es positiva, indica que la aceleración aumenta, si esta es negativa, indica que disminuye. Según el Sistema Internacional de unidades la aceleración se -2 expresa en m•s Las fórmulas que se utilizan para el M.U.A. son: 2 2 a = vf - vo vf = vo + at d = vot + at2 vf = vo + 2ad t 2 El movimiento de caída libre ocurre cuando un cuerpo cae verticalmente al suelo al ser soltado a cierta altura de la superficie. La tierra ejerce una fuerza de atracción, hacia su centro, sobre todo cuerpo en la superficie de la tierra, lo que provoca que los cuerpos experimenten este fenómeno. Conforme el cuerpo cae, su velocidad aumenta según transcurre el tiempo de caída, ya que es afectado por la aceleración de la gravedad, cuyo valor es de 9.8 -2 -1 m•s . Esta aceleración es constante y va provocando un aumento de la velocidad en 9.8 m•s cada segundo mientras el cuerpo cae. Se entiende que la velocidad de caída (vo) tiene un valor de 0 m/s y alcanza una velocidad de final (vf) al llegar al suelo. Si el cuerpo es lanzado -2 verticalmente hacia arriba, la aceleración de la gravedad (g = 9.8 m•s ) afectará inversamente la velocidad de lanzamiento o despegue, es decir, va a disminuir la velocidad hasta que esta sea “0” y el cuerpo empiece su trayectoria de descenso experimentando un aumento en la velocidad por efecto de la gravedad. Las fórmulas para caída libre son las mismas del cuadro anterior donde la aceleración -2 equivale a la aceleración de la gravedad con un valor de g = 9.8 m•s y la velocidad inicial de caída un valor cero (0 m/s). ______________________________________________________________________________________ 43 33. ¿Cuánta distancia requiere un ciclista que viaja a 27 m/s para detenerse, si su aceleración es de -3 m/s²? vf - v0 A) Obtener el tiempo: t = en segundos. a v ·t at² B) Obtener la distancia: (d = 0 ) en metros. 2 Si} v = 27 m/s a = -3 m/s² d = ? t = ? Entonces} A) t = vf - v0 a t = 0 - 27 m/s = 9 s -3 m/s² B) d = V0·t + a·t² 2 d = 27 m/s · 9 s + -3 m/s² · (9 s)² 2 d = 243 m + -3 m/s² · 81 s² 2 d = 243 m + -243 m 2 d = 243 m + -121.5 m d = 121.5 m Respuesta} B) Un ciclista que viaja a 27 m/s, si su aceleración es de -3 m/s² requiere de 121.5 m para detenerse. ______________________________________________________________________________________ 44 34. ¿Cuánto tiempo tarda un balín en caer desde el techo de la casa (a 2.37 m) hasta el suelo? 2 d A) Obtener el tiempo: (t = ) en segundos a Si} d = 2.37 m a = -9.8 m/s² t = ? Entonces} A) 2 d t = a 2 · - 2.37 m t = - 9.8 m/s² - 4.74 m t = - 9.8 m/s² 0.4836734694s2 t = 0 .6954663683 s Respuesta} A) Un balín en caer desde el techo de la casa (a 2.37 m) hasta el suelo tarda 0.70 s ______________________________________________________________________________________ 45 35. Si tomo el mismo balín y lo dejo caer desde el último piso de un edificio y cronometro que la caída duró 3.85 s ¿qué altura tenía el edificio? A) Obtener la altura: (d = a · t²/2) en metros. Si} t = 3.85 s a = 9.8 m/s² d = ? Entonces} A) d = a·t² 2 d = 9.8 m/s² · (3.85 s)² 2 d = 9.8 m/s² · (14.822 5 s²) 2 d = 145.260 5 m 2 d = 72.63025m Respuesta} A) El edificio tenía una altura de 72.63 metros. ______________________________________________________________________________________ 46 36. Un volibolista salta para bloquear un remate y tarda 0.7 s en el aire, antes de volver a caer. Suponiendo que la posición en el momento de despegue fue la misma que en el momento de aterrizar, A) ¿Cuál fue la altura del salto? B) ¿Cuál fue su velocidad de despegue? taire = 0.7 s g = 9.8 m/s² h = ? V0 = ? Entonces} A) taire = 0.7 s = t + t t t aireHmáx = 2 tHmáx = 0.35 s d = v0t + at² 2 h = gt² 2 h = (9.8 m/s²) · (0.35 s)² 2 h = (9.8 m/s²) · (0.122 5 s²) 2 h = 1.200 5 m 2 h = 0.60025 m h = 0.60 m x 100 cm = 60 cm 1 m B) vf = V0 + at vf = (9.8 m/s²) · (0.35 s) vf = 3.43 m/s Respuesta} A) La altura del salto del volibolista fue de 60 centímetros. B) Su velocidad de despegue fue 3.43 m/s ______________________________________________________________________________________ 47 37. Se deja caer una piedra en un pozo, ésta tarda 3 segundos en llegar al agua. A) ¿Qué profundidad hay hasta donde está el agua? B) ¿A qué velocidad entra la piedra al agua? taire = 3 s g = 9.8 m/s² h = ? Entonces} A) taire = 3 s = t d = v0t + at² 2 at 2 Para v0 = 0, entonces d = 2 h = gt² 2 h = (9.8 m/s²) · (3 s)² 2 h = (9.8 m/s²) · (9 s²) 2 h = 88.2 m 2 h = 44.1 m B) vf = v0 + at Para v0 = 0, entonces vf = a·t vf = 9.8 m/s² · 3s vf = 29.4 m/s Respuesta} A) La distancia de donde es soltada la piedra hasta donde está el agua es de 44.1 metros. B) La velocidad con que la piedra entra al agua es de 29.4 m/s ______________________________________________________________________________________ 48 38. Un jugador de voleibol realiza la prueba de salto vertical alcanzando una altura de 90 centímetros. Asumiendo que su posición de despegue es igual a su posición de aterrizaje, A) ¿Cuánto tiempo se mantuvo en el aire? B) ¿Cuál fue la velocidad de despegue de su centro de masa, que le permitió alcanzar esa altura? h = 90 cm thmáx = ? taire = ? v0 = ? Entonces} A) 90 cm x 1 m = 0.9 m 100 cm d = vo·t + at² 2 h = vo·t + g·t² 2 vo = 0 h = g·t² 2 2(0.9m) t 9.8m / s 2 1.8m t 9.8m / s 2 0.183673469s2 = t 0.4245714286 s = t t + t = 0.86 s B) Para v0 de subida. vf=0 vf = v0 + at vf - g·t = v0 -(-9.8 m/s²) · (0.43s) = v0 -(-4.2 m/s) = v0 v0 = 4.2 m/s Respuesta} A) El volibolista se mantuvo en el aire 0.86 s B) La velocidad de despegue de su centro de masa fue de 4.2 m/s ______________________________________________________________________________________ 49 39. Un ciclista viaja sobre su bicicleta a 50 km/h por la carretera cuando nota que hay un vehículo atravesado adelante. Si aplica los frenos cuando faltan 30 m para pegar con el vehículo y logra detenerse inmediatamente antes de hacer contacto con el auto, ¿Cuál fue su aceleración? vo = 50 km/h d = 30 m a = ? vf = 0 Entonces} A) v = 50 km/h X 1 000 m x 1 h = 13.88888889 m/s 1 km 3 600 s 2 2 vf = vo + 2ad a = - vo ² 2d a = (13.89 m/s)² 2(30) m a = 192.9321 m²/s² 60 m a = -3.215020577 m/s² 2 Respuesta} El ciclista disminuyó la velocidad de su bicicleta a una aceleración de -3.22 m/s ______________________________________________________________________________________ 50 40. Un compañero del ciclista del problema anterior, quien viajaba a su lado y a la misma velocidad, tiene muy mal tiempo de reacción, de manera que aplica los frenos 300 milisegundos más tarde que su amigo. Si su aceleración es de -3,5 m/s, ¿lograría detenerse antes de pegar con el auto o no? vo = 13.9 m/s a = -3.5 m/s² d = ? Entonces} A) trc = 300 mms x 1 s = 0.3 s 1 000 mms d = v· t d = 13.89 m/s X 0.3 s d = 4.166 666 7 m dif·d = 30 m - 4.166 666 7 m dif·d = 25.8333333 m 2d t = a 2 · 25.8 m t = -3.5 m/s² 51.6 m t = - (3.5 m/s²) t = 14.7s 2 t = 3.839642841 s d = vo t + at² 2 d = 13.89 m/s (3.84 s) + -3.5 m/s² (3.84 s)² 2 d = 53.371 035 48 m + -26.6175 m d = 27.5324m Respuesta} El segundo ciclista no logra detenerse antes. ______________________________________________________________________________________ 51 4. MOVIMIENTO COMPUESTO (PROYECTILES) El movimiento compuesto ocurre cuando los cuerpos son proyectados al aire. Este tipo de movimiento se presenta en muchas actividades deportivas como el baloncesto, béisbol, fútbol y tenis, entre otros. En un movimiento compuesto, los movimientos de las componentes son independientes entre sí. Es por eso que en el tiro parabólico (proyectiles) se pueden estudiar por aparte su componente vertical (que se rige por los principios de caída libre) y su componente horizontal (que se rige por los principios de movimiento uniforme). 41. Un proyectil es lanzado con una velocidad inicial de 50 m/s, a un ángulo de 30 con respecto a la superficie horizontal. Calcule: A) Los componentes horizontal y vertical del proyectil en el instante del despegue. B) ¿Cuánto tiempo estará en el aire? C) ¿Cuál será la altura máxima que alcance? D) ¿Cuál será la máxima distancia que cubra horizontalmente (alcance) antes de tocar el suelo? A) Obtener los componentes horizontal (x) y vertical (y) B) Obtener el tiempo en que el proyectil permanece en el aire. C) Calcular la altura máxima que alcanza el proyectil. D) Calcular la distancia que cubre el proyectil antes de caer y tocar suelo. Si} sen = cat op/hip hip·sen = cat opuesto cos = cat ady/hip hip·cos = cat adyacente Pitágoras = 30 v0 = 50 m/s c² = a² + b² taire = ? hmáx = ? dx = ? 50 m/s y = 25 m/s x = 43.30 m/s Entonces} A) hip•cos = cat ady (x) hip•sen = cat op (y) 50 m/s × cos 30 = 43.301 270 19 m/s 50 m/s × sen 30 = 25 m/s x = 43.301 270 m/s y = 25 m/s ______________________________________________________________________________________ 52 B) t = vf – v0y g thmáx = -v0y g thmáx = -25 m/s -9.8 m/s² thmáx = 2.551 020 408 s tvuelo = 2·thmáx tvuelo = 2 x (2.55 s) tvuelo = 5.10 s C) hmáx = -v0² x (sen )² 2·g hmáx = -(50 m/s)² x (sen 30 )² = -(2 500 m²/s²) x 0.25 2 (-9.8 m/s²) -19.6 m/s² hmáx = -625 m²/s² -19.6 m/s² hmáx = 31.89 m D) dalc = v0x x taire D = 43.301 270 m/s 5.102 040 816 s D = 220.92m Respuesta} A) La magnitud del componente horizontal es (x = 43.3 m/s), la magnitud del componente vertical es (y = 25 m/s) B) El tiempo en que el proyectil permanece en el aire es de 5.10 segundos. C) La altura máxima que alcanza el proyectil es 31.89 metros. D) La distancia que cubre el proyectil antes de caer y tocar suelo es 220.92 metros. ______________________________________________________________________________________ 53 42. Los famosos clavadistas de Acapulco se lanzan de un acantilado de 26.5 m de altura sobre la superficie de agua. A lo largo del vuelo -del cual todo menos los últimos dos metros de caída vertical es sobre rocas- viajan ocho metros horizontalmente. Sin tomar en cuenta la resistencia del aire, A) ¿Cuánto tarda el clavadista desde que se lanza hasta tocar el agua? B) ¿Cuál debe ser su velocidad horizontal al lanzarse? C) ¿Cuánto tiempo estará él por encima del agua antes de entrar? 2d A) Obtener el tiempo de caída: (t = ) en segundos. a d B) Obtener la velocidad inicial del lanzamiento: (v= ) en metros/segundo. t 2(dT - 2 m) C) Obtener el tiempo de los dos últimos metros: [t = ] en segundos. a Si} h = 26.5 m d = 8 m tcaída = ? v0 = ? t2 m = ? 26.5 2 m Entonces} 8 m A) 2xd t = a 2x(-26.5 m) t = -9.8 m/s² - 53 m t = - 9.8 m/s² t= 5.408163265s2 =2.325545799 s t = 2.32 s ______________________________________________________________________________________ 54 B) v0x = dx tcaída v0 x = 8 m 2.32 s v0 = 3.448275862 m/s C) 26.5 m - 2 m = 24.5 m 2·d t = a 2 · (-24.5 m) t = -9.8 m/s² - 49 m t = -9.8 m/s t = 5 s² = 2.236 067 978s t = 2.24 s t = 2.32 s - 2.24 s t = 0.08 s Respuesta} A) Los clavadistas tardan 2.32 segundos desde que se lanzan hasta hacer contacto con el agua. B) Los clavadistas para poder desplazarse hasta el agua, deben alcanzar una velocidad inicial de 3.44 m/s C) Los dos últimos metros antes de entrar al agua los clavadistas tardan 0.08 s ______________________________________________________________________________________ 55 43. El legendario Jesse Owens saltó en una ocasión 8.13 metros de longitud. Su velocidad de despegue para ese salto fue de 9.2 m/s, a un ángulo de 22 con respecto a la horizontal. A) ¿Cuál fue su velocidad vertical de despegue? B) ¿Cuál fue su velocidad horizontal de despegue? C) Biomecánicamente hablando, ¿Por qué es imprescindible ser un buen velocista para ser un buen saltador de salto largo? A) Obtener el componente horizontal (x). B) Obtener el componente vertical (y). C) Analizar la relación entre la velocidad y el salto. Si} sen = cat op/hip hip·sen = cat opuesto cos = cat ady/hip hip·cos = cat adyacente Pitágoras c² = a² + b² = 22 d = 8.13 m v0 = 9.2 m/s v0 x = ? v0 y = ? 9.2 m/s y = 3.45 m/s x = 8.53 m/s Entonces} A) B) hip•cos = cat ady (x) hip•sen = cat op (y) 9.2 m/s × cos 22 = 8.530 091 462 m/s 9.2 m/s × sen 22 = 3.446 380 659m/s x = 8.53 m/s y = 3.45 m/s Respuesta} A) La velocidad vertical de despegue fue 3.45 m/s B) Su velocidad horizontal de despegue fue de 8.53 m/s C) Según explica la Biomecánica, la longitud del salto depende mayormente del componente horizontal y entre mayor sea el componente horizontal, añadiendo el efecto del componente vertical, mayor será la longitud del salto. ______________________________________________________________________________________ 56 5. MOVIMIENTO CIRCULAR El movimiento circular uniforme es aquel que describe un cuerpo en una trayectoria circular, con una velocidad cuya magnitud es constante. Las unidades según el Sistema Internacional -1 son los radianes (rad) para distancia y desplazamiento, y radianes por segundo (rad•s ) para rapidez y velocidad. Los ejercicios a continuación tienen por objetivo practicar las conversiones entre grados (5°) y radianes y calcular la velocidad angular de cuerpos en movimiento. 44. ¿Cuántos radianes hay en 171.9° ? Convertir los grados: (171.9°) a radianes. Si} 2 radianes = 360° Entonces} 171.9° x 2 rad = 3 rad 360° Respuesta} En 171.9° hay 3 radianes. ______________________________________________________________________________________ 57 45. ¿Cuál es la rapidez angular de un disco Long Play que gira a 33 y ¹/3 RPM? (Exprésela en rad/s). A) Convertir la fracción: 1/3 rev a revoluciones en número decimal. B) Obtener la rapidez angular: ( = Ø/t) en rad/min Si} 1/3 RPM = 0.333 333 RPM 1 revolución = 2 radianes = 6.283 185 307 rad 1 minuto = 60 segundos Entonces} A) 33 RPM + 0.333 RMP = 33.3 RPM B) = t 33.3 rev x 2 rad x 1 min = 3.49 rad/s min 1 rev 60 s Respuesta} B) La rapidez angular de un disco de Long Play es 3.49 rad/s. ______________________________________________________________________________________ 58 46. Los odómetros de bicicleta son bastante precisos, siempre y cuando se hayan calibrado correctamente en el momento de su instalación. Estos aparatos funcionan con base en el número de revoluciones de una de las ruedas y la circunferencia de esa rueda. Si el diámetro de una bicicleta es de 75 cm, ¿Qué distancia recorre la bicicleta en 100 giros completos de la rueda? diametro A) Obtener el radio: ( ) en metros. 2 2 (r) B) Obtener la distancia por revolución: [( )= ( ] en metros/revolución. rev 1rev C) Obtener la distancia recorrida: (Ø = ) en metros. R giroscompletos Si} 1 revolución = 2 radianes = 6.283 185 307 rad 1 minuto = 60 segundos Diámetro = 75 cm Rev = 100 Ø = ? Entonces} A) diam = 2 = 75 cm x 1 m = 0.375 m 2 100 cm B) Ø/rev= 2 ( ) Ø = 2 x 0.375 m = 2.35619449m/rev rev 1 rev C) Ø = Ø/rev x rev Ø = 2.36 m/rev x 100 rev = 235.6 19449m Respuesta} C) En 100 giros completos de rueda la bicicleta recorre 235.6 m ______________________________________________________________________________________ 59 47. John Hutson logró una velocidad de 53.45 m.p.h. en patineta, en 1978. Si el diámetro exterior de las ruedas era de 6 cm, ¿A cuántas RPM llegaron a girar las ruedas? ¿Qué velocidad es esa en rad/s? A) Convertir la velocidad: (53.45 m.p.h.) a m/min diametro B) Obtener el radio: ( ) en metros. 2 2 (r) C) Obtener la distancia por revolución: [ = ] en metros/revolución. rev 1rev m D) Convertir la distancia por revolución: ( ) a revoluciones por minuto. R E) Convertir las revoluciones por minuto: (RPM) en radianes/segundo. Si} 1 milla = 1.609 Km = 1 609 m 1 hora = 60 minutos = 3 600 segundos 1 minuto = 60 segundos 1 revolución = 2 radianes = 6.283 185 307 rad 1 metro = 100 cm v = 53.45 m.p.h. Diámetro = 6 cm RPM = ? vrad/s = ? Entonces} A) 53.45 m.p.h x 1 609 m x 1 hora = 1 433.350 833 333 m/min 1 milla 60 min B) diametro r = 2 r= 6 cm x 1 m = 0.03 m 2 100 cm C) dis tan cia 2 (r) 2 (0.03m) = = = = 0.188495559 m/rev rev rev rev D) v = 1 433.350 833 m/min x 1 rev = 7 604.162 351rev/min 0.188 495 559 m E) 7 604.1623RPM x 2 rad x 1 min = 796.3060192 rad/s 1 rev 60 s Respuesta} D) Las ruedas llegaron a girar a 7 604.16 rev/min E) es decir a una velocidad de 796.31 rad/s ______________________________________________________________________________________ 60 D. DINÁMICA O CINÉTICA DEL MOVIMIENTO La cinética es una rama de la mecánica que se encarga de estudiar las causas del movimiento. El estudio de la causas del movimiento se realiza desde tiempos antiguos, sin embargo la máxima comprensión fue dada por los aportes científicos de Sir Isaac Newton. La Cinética se interesa por las fuerzas que actúan sobre un cuerpo o sistema en reposo (estática) o en movimiento (dinámica). La fuerza se entiende como la acción que se aplica a un cuerpo o sistema que provoca un cambio en su estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme, se obtiene con el producto de la masa por la aceleración. En el eje vertical la fuerza con que la tierra atrae a los cuerpos hacia su centro se conoce como peso, y éste se obtiene con el producto de la masa por la aceleración de la gravedad. La relación matemática de la fuerza y el peso se muestra en el siguiente cuadro. Fuerza = m x a Peso = m x g 48. Un levantador de pesas aplica una fuerza vertical de 900 N a una barra de 75 kg ¿Qué aceleración le imparte a la barra? Si} A) Obtenga el peso: (P = m·g) en Newtons. B) Obtenga la fuerza resultante: (Fresultante = Fv-P) en N C) Obtenga la aceleración: (a = Fresultante/m) en metros/segundo al cuadrado. m = 75 kg Fv = 900 N a = ? Entonces} A) P = 75 kg x 9.8 m/s² = 735 kg·m/s² P = m· g P = 735 N B) F F = - 900 N + 735 N = - 165 N resultante = Fv + P re ______________________________________________________________________________________ 61 C) Fresultante = m· a - 165 N = 75 kg x a - 165 kg·m/s² = a 75 kg - 2.2 m/s² = a Respuesta} C) El levantador le imparte, hacia arriba, una aceleración de 2.2 m/s² a la barra 49. ¿Cuánta fuerza debe aplicar un levantador de pesas para sostener la barra en un press de banca en posición estática a 6 cm del pecho, si la barra tiene 60 kg de masa? Si} Obtenga la fuerza aplicada: (F = m·a) en Newtons. m = 60 kg a = 9.8 m/s² F = ? Entonces} F = m ·a F = 60 kg x -9.8 m/s² = -588 kg·m/s² F = -588 N Respuesta} El levantador de pesas aplica una fuerza de 588 N hacia arriba, esta fuerza es equivalente al peso de la barra, pues la situación es estática. ______________________________________________________________________________________ 62 50. En el mismo caso del levantador anterior, ¿Cuánta fuerza necesita para acelerar la barra a 1 m/s²? (un levantamiento lento) Si} A¹) Obtenga la fuerza aplicada: (F = m·a) para una aceleración: (1 m/s²) en N Datos m = 60 kg a¹ = 1 m/s² F = ? Entonces} A¹) F = m·a a = 1 m/s² + 9.8 m/s² = 10.8 m/s² F = 60 kg x 10.8 m/s² = 648 kg·m/s² F = 648 N 2 A ) Obtenga la fuerza aplicada: (F = m·a) para una aceleración: (5 m/s²) en N Datos m = 60 kg a = 5 m/s² F = ? Entonces} A¹) F = m·a a = 5 m/s² + 9.8 m/s² = 14.8 m/s² F = 60 kg x 14.8 m/s² = 888 kg·m/s² F = 648 N Respuesta} Para acelerarla a 1 m/s² se necesita una fuerza de 648 N y para acelerarla a 5 2 m/s se necesita una fuerza de 888 N ______________________________________________________________________________________ 63 51. Un ciclista de 80 kg viaja en su bicicleta de 10 kg a 40 km/h en dirección sur, cuando aplica los frenos hasta detenerse completamente, lo cual le toma 4.5 s A) ¿Cuál fue su aceleración (magnitud y dirección)? B) ¿Cuánta fuerza fue necesaria para detener al ciclista? Si} A) Convierta la velocidad: (v = 40 km/h) en m/s vf - vo B) Obtenga la magnitud de la aceleración: (a = ) en m/s² y su dirección. t C) Obtenga la fuerza aplicada: (F = m·a) para detener la bicicleta en N mc = 80 kg mb = 10 kg v = 40 km/h Dirección = t = 4.5 s a = ? F = ? Entonces} A) v = 40 km/h x 1 000 m x 1 h = 11.1111111111 m/s 1 km 3 600 s B) vf - vo a = t a = 0 – 11.11 m/s = -2.469 135 802 m/s² 4.5 s C) F = mTotal · a F = (mc + mb) x 2.46 m/s² F = (80 kg + 10 kg) X 2. 469 135 802 m/s² F = 90 kg x 2.468 888 m/s² = 222.222222222 kg·m/s² F = 222.2222222 N Respuesta} B) Su aceleración fue de 2.47 m/s² en dirección norte. C) La fuerza necesaria para detener la bicicleta fue de 222.2 N en dirección norte. ______________________________________________________________________________________ 64 1. GRAVITACIÓN Y PESO Newton desarrolla la dinámica del movimiento de los planetas y descubre una de las leyes fundamentales en la naturaleza: la ley de gravitación universal. Esta ley se refiere a la atracción que ejercen los cuerpos sobre otros cuerpos hacia sí mismos, el cálculo de esta fuerza es proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. La fórmula matemática se muestra a continuación: FG = G m1 x m2, d² Si uno de los cuerpos es el planeta tierra y el otro es una persona u objeto, la fuerza gravitacional es el peso del objeto o persona (Peso = m x g). Los ejercicios a continuación le ayudarán a familiarizarse con lo que ocurre con objetos lanzados al aire, tanto en la tierra como fuera de ella. 52. Si el radio de la Tierra en el ecuador es de 6378 km y en los polos de 6357 km, ¿Cuánto más pesa una persona en el polo con respecto al Ecuador? R(ecuador) = 6378 km r(polos) = 6357 km FG = G Mt x m, r² donde G, Mt y m son constantes por lo que interesa determinar la relación entre los radios al cuadrado. r 2 P = r 2 Entonces} r²ecuador = P r²polo (6378 kg)² = P (6357 kg)² 1.006617803 = P Respuesta} En el polo una persona pesa 1.01 veces lo que pesa en el ecuador. ______________________________________________________________________________________ 65 53. Si un objeto pesa en el ecuador 750 N, ¿Cuánto pesa en el polo? Peso = 750 N g = 9.8 m/s² m = ? Se multiplica cuánto más pesa el objeto en el polo (el resultado del problema anterior 1.006617803 x el peso del objeto en el ecuador) Peso = 750 N x 1.006 617 803 754.96 N = peso Respuesta} Si un objeto pesa en el ecuador 750 N, en el polo este mismo objeto pesa 754.96 N ______________________________________________________________________________________ 66 54. ¿Cuál sería el valor de “g” si la Tierra tuviera la mitad de su diámetro y por lo tanto la octava parte de su masa real? Si} rT = 3189000 m MT = 7.475 ×10²³ kg dT = dT MT = MT 2 8 g = ? Entonces} A) GMT g = r2 g = 6.67 × 10¯¹¹ kgm³/kg²s² x (7.475 × 10²³ kg) 1.0169721 × 10¹³ m² 2 g = 4.902617289 m/s Respuesta} Si la Tierra tuviera la mitad de su diámetro y por lo tanto la octava parte de su 2 masa real, el valor de “g” sería 4.90 m/s ______________________________________________________________________________________ 67 55. Un astronauta en la Tierra logra una velocidad de despegue de 3.4 m/s² en el salto vertical sin impulso. Si lograra la misma velocidad de despegue en la Luna. ¿Cuál sería la altura de su salto en la Luna? v0 = 3.4 m/s vf = 0 gL = 1.63 m/s² h = ? Entonces} vf - v0 = t a -v0 = thmáx g -3.4 m/s = thmáx -1.63 m/s² 4.2 s = thmáx g·t²/ hmáx = 2 hmáx = 1.63 m/s² · (4.2 s)² 2 hmáx = 3. 52 m Respuesta} Si el astronauta lograra la misma velocidad (3.4 m/s) de despegue en la Luna, su salto vertical sin impulso sería de 3.52 metros. ______________________________________________________________________________________ 68 56. ¿Cuál sería el salto vertical en la Luna de un jugador de baloncesto que salta 0.95 m en la Tierra? hTierra = 0.95 m gTierra = 9.8 m/s² gLuna = 1.63 m/s² hL = ? Entonces} vf² = v0² + 2·a·d v0² = -2·g·hmáx v0² = -2 (-9.8 m/s²) (0.95 m) v0² = -2 (-9.31 m²/s²) v0 = 18.62 m²/s² V0 = 4.315089802 m/s vf = v0 + a·tvuelo vf - v0 = thmáx a -v0 = thmáx g -4.32 m/s = thmáx -1.63 m/s² 2.64 s = thmáx g t 2 hmáx = 2 hmáx = 1.63 m/s² · (2.64 s)² 2 hmáx = 5.680224 m Respuesta} El salto vertical de un jugador de baloncesto que salta 0.95 m en la Tierra sería en la Luna 5.71 m ______________________________________________________________________________________ 69 2. CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL La cantidad de movimiento de un cuerpo, es una cantidad vectorial cuya dirección es la misma de la velocidad. Su magnitud es el producto de la masa por la velocidad instantánea: p = m • v. La cantidad de movimiento es una propiedad que posee un cuerpo en virtud de su movimiento. 57. Un bolichista suelta una bola de 7.2 kg de masa a 3.3 m/s A) ¿A qué velocidad habría que lanzar una bola de 4.5 kg para que tuviera el mismo momentum de la bola pesada? B) ¿A qué velocidad habría que lanzar una pelota de fútbol (440 g) para que tuviera el mismo momentum que cada bola de boliche? Si} A) Obtenga la velocidad: (vB = mA·vA/mB) en metros/segundo. B) Convierta la masa: (440 g) a kg C) Obtenga la velocidad: (vC = mA·vA/mc)en m/s mA = 7.2 kg vA = 3.3 m/s mB = 4.5 kg vB = ? m/s mC = 440 g vC = ? m/s pA = pB pv = ? Entonces} A) pA = pB mA · vA = mB · vB B 7.2 kg(3.3 m/s) = 4.5 kg(v ) 7.2 kg(3.3 m/s) = 5v.B2 8 m/s = vB 4.5 kg B) mC = 440 g x 1 kg = 0.440 kg 1 000 g C) pA = pC mA · vA = mC · vC 7.2 kg· (3.3 m/s) = 0.44 kg (v ) 7.2 kg (3.3 m/s) = v 5 C 4 m/s = vC C 0.44 kg Respuesta} A) Para que la bola de boliche “B” tenga un mismo momentum de la bola “A”, habría que lanzarla a una velocidad de 5.28 m/s B) Para que la bola de fútbol tenga el mismo momentum de las bolas anteriores, habría que lanzarla a una velocidad de 54 m/s ______________________________________________________________________________________ 70 58. Un jugador “A” de fútbol, tiene una masa de 75 kg y corre con velocidad norte a 4 m/s. Otro jugador “B”, que viene por la misma pelota, tiene una masa de 100 kg. y corre con velocidad noreste a 3 m/s. Si luego de chocar quedan en una sola masa, ¿En qué dirección se desplaza y a qué velocidad? A) Obtenga la cantidad de movimiento para cada jugador: (ρ = m·v) en kg·m/s. B) Obtenga los componentes: (x & y) de las cantidades de movimiento para cada jugador. C¹) Obtener la magnitud de la sumatoria: (ρf). C²) Obtener la dirección: (ρf). C³) Obtener la orientación: (ρf). f D) Obtener la velocidad: (vmf = ). m Si} sen = Cat op/hip hip·sen = cat opuesto cos = cat ady/hip hip·cos = cat adyacente Tan = cat op/cat ady mA = 75 kg vA = 4 m/s. mB = 100 kg vB = 3 m/s B A Entonces} A¹) Jugador “A”: ρA = mA x vA ρA = 75 kg x (4 m/s.) ρA = 300 kg·m/s A²) Jugador “B”: ρB = mB · vB ρB = 100 kg x (3 m/s) ρB = 300 kg·m/s  ______________________________________________________________________________________ 71 B¹) A) 300 kgm/s Ax = 0 Ay = 300 kgm/s B²) 300 kgm/s 45º Entonces} 2-1 2-2 B ) B ) hip x cos = cat ady (x) hip x sen = cat op (y) 300 kg m/s × cos 45 = 212.132 0 kg m/s 300 kgm/s × sen 45 = 212.132 0 kg m/s x = 212.132 0344 kg m/s y = 212.132 0344 kg m/s C¹) ρf = mf · vf ρx = ρAx + ρBx ρx = 0 kg·m/s + 212.132 034 4 kg·m/s ρx = 212.132 034 4 kg·m/s ρy = PAy + PBy ρy = 300 kg·m/s + 212.132 034 4 kg·m/s ρy = 512.132 034 4 kg·m/s Pitágoras c² = a² + b² C² = ( ρx)² + ( ρy)² C² = (212.132 034 4 kg·m/s)² + (512.132 034 4 kg·m/s)² C² = 45000 kg²·m²/s². + 262279.2206 kg²·m²/s² C² = 307 279.2206 kg²·m²/s² C = 307279.2206 kg²·m²/s C = 554.3277195 kg·m/s C²) & C³) c = 554. 327 719 y = 512.132 034 4 x = 212.132 034 4 ______________________________________________________________________________________ 72 D) vf = ρf/Mf ρf = Mf x vf ρ 554.33 kg·m/s = 175 kg x vf 554.33 kg·m/s = vf 175 kg vf = 3.1676 m/s tan = 512.132 034 4 kgm/s / 212.132 034 4 kgm/s = 2.414 213 invtan 2.414 213 = 67.50º Respuesta} C) La masa se desplaza en dirección E 67.50º N; D) con una velocidad de 3.17 m/s ______________________________________________________________________________________ 73 59. Un jugador “A” de baloncesto cuya masa es de 90 kg. corre a 8 m/s en dirección norte. A) ¿A qué velocidad debe correr un jugador “B” de 70 kg de masa para que su momentum tenga la misma magnitud? B) Si B corriera en dirección sur y chocara con A ¿en qué dirección y velocidad se desplazaría “la maleta” (suponga que el choque es inelástico) Si} A) Obtenga la velocidad: (vB = mA·vA/mB) en metros/segundo. B) Obtenga la dirección y la velocidad: en que se desplaza la masa total. mA = 90 kg vA = 8 m/s mB = 70 kg vB = ? m/s pA = pB pv = ? Entonces} A) pA = pB mA · vA = mB · vB 90 kg x (8 m/s) = 70 kg x (vB) 90 kg x (8 m/s) = vB 70 kg 10.29 m/s = vB Respuesta} A) El jugador “B” debe correr a 10.29 m/s para que su momentum tenga igual magnitud que el jugador “A”. B) Siendo el choque inelástico, “la maleta” formada por el choque de ambos basquetbolistas, no se desplazaría hacia ningún lado. Al ser el choque de igual magnitud, se cumple la ley de la conservación del momentum y ambos jugadores caen en el mismo sitio. ______________________________________________________________________________________ 74 3. IMPACTOS Y DEFORMACIONES Impacto es cuando dos o más cuerpos chocan entre ellos o con algún objeto o sistema. Existen dos tipos de impactos: el elástico y el inelástico. El impacto elástico ocurre cuando dos cuerpos al chocar se deforman y recuperan su forma original provocando que los cuerpos reboten. Así mismo las deformaciones, en las que si al menos uno de los cuerpos tiene cierto grado de elasticidad, éste rebotará. En los choques inelásticos, al menos uno de los objetos se deforma y queda deformado, y no hay rebote. Para el caso de una pelota que se deja caer al suelo y choca en forma perpendicular con la superficie es posible calcular qué tan elástico es el choque con la siguiente fórmula: e = hr/hc , donde e es el coeficiente de elasticidad, hr altura de rebote y hc la altura de caída. 60. Una bola de hule sólido rebota a 35 cm si se deja caer desde 65 cm de altura. ¿Cuál es el coeficiente de restitución? hcaída = 65cm hrebote = 35 cm e = ? Entonces} e = hr/hc 35 cm e = 65 cm e = 0.538461538 e = 0.733799385 Respuesta} El coeficiente de restitución de la bola de hule es e = 0.734 ______________________________________________________________________________________ 75 4. FUERZA DE FRICCIÓN La fricción es una fuerza que actúa paralela al contacto de dos cuerpos. Su dirección siempre será en sentido contrario al movimiento y su magnitud dependerá de la naturaleza de las superficies en contacto y de la fuerza que las une (la fuerza normal o perpendicular a la superficie de contacto entre los cuerpos). La fuerza de fricción que se calculará en los ejercicios a continuación se denomina fuerza de fricción limitante, ésta es la que se libera una vez que uno de los objetos se desliza sobre el otro. Fórmula Fuerza de fricción limitante es Ffrl = μ x Fnormal, donde μ es el coeficiente de fricción que depende de las superficies en contacto. 61. Un bloque de 58 kg. de masa se sostiene estático en un plano inclinado a 65º de inclinación. A) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de fricción limitante en ese momento? B) ¿Cuál es la fuerza de reacción normal (R) en esas condiciones? ¿Cuál es el valor del coeficiente de fricción? mBloque = 58 kg = 65° Movimiento Fr = ? FN = ? Fr Fnormal Peso Entonces} Fr = m·g·sen Fr = 58 kg x 9.8 m/s² x sen 65° Fr = 568.4 N x· sen 65° Fr = 515.1453462 N FN = m·g·cos FN = 58 kg. x 9.8 m/s² x cos 65° FN = 568.4 N x cos 65° FN = 240.21622 N ______________________________________________________________________________________ 76 Fr = µ·FN Entonces} FN F = 240.21622 N = 0.466307658 = N Fr Fr 515.1453462 N Respuesta} La fricción en ese momento es de 515.14 N, la reacción normal en esas condiciones es de 240.22 N y el valor del coeficiente de fricción es 0.47. ______________________________________________________________________________________ 77 62. Para probar el coeficiente de fricción de dos distintas suelas en un piso de mosaico, se hizo una prueba con un bloque de 110 kg. de masa con las suelas pegadas en caras distintas del bloque. La fricción limitante fue de 98 N para la suela de hule y 7 N para la suela de cuero. A) ¿ Cuál es la reacción normal en cada caso? B) ¿Cuál es el coeficiente de fricción para cada suela? mBloque = 110 kg. Frlimitante hule = 98 N Frlimitante cuero = 7 N G = 9.8 m/s² FN = ? = ? Entonces} RN = m·g FNH = 110 kg x 9.8 m/s² = 1078 N FNC = 110 kg x 9.8 m/s² = 1078 N Fr = x RN Fricción limitante para la suela de hule 98 N = x 1078 N 98 N = 1078 N 0.09090909 = Fricción limitante para la suela de cuero 7 N = x 1078 N 7 N = 1078 N 0.006493506 = Respuesta} La reacción normal para ambas suelas es de 1078 N El coeficiente de fricción para la suela de hule es = 0.0909 y para la suela de cuero el coeficiente de fricción es = 0.0065. ______________________________________________________________________________________ 78 5. ENERGÍA, TRABAJO Y POTENCIA Se realiza trabajo mecánico cuando sobre un objeto se aplica una fuerza que provoca al objeto moverse a lo largo de una determinada distancia. Energía: Es la capacidad para realizar trabajo. La energía puede darse bajo dos situaciones, según la posición (Energía potencial) y según el movimiento (Energía cinética). Potencia: Es el trabajo realizado por unidad de tiempo. Las fórmulas y unidades de medición se muestran en el siguiente cuadro Concepto y Símbolo Fórmula Unidades (SI) Trabajo (W) F x d (fuerza por desplazamiento) Nm (Newton x metro) Energía (E) Epotencial = m x g x h J (Julios) 2 Ecinética = ½ mv Potencia (P) P = W7s J/s (Julios/segundos) 63. Un basketbolista de 80 kg de masa salta por un rebote con una velocidad de despegue de 4.1 m/s. A) ¿Cuál es su energía cinética en el instante de despegue? B) ¿Cuál es su energía cinética y su energía potencial en el punto más alto del salto? C) Razone sus respuestas. mbasketbolista = 80 kg v0 = 4.1 m/s Frlimitante cuero = 7 N g = 9.8 m/s² Ec = ? Ep = ? Hmáx = ? Entonces} A) Ec = ½·m·v0² Ec = ½[(80 kg) x (4.1 m/s)²] Ec = 0.5 [(80kg) x (16.81 m²/s²)] Ec = 0.5 [1 344.85 kgm²/s²] Ec = 672.4 kgm²/s² Ec = 672.4 J La energía cinética en el punto más alto es igual a cero. - v ² hmáx = 0 2·g hmáx = -(4.1 m/s)² 2(-9.8 m/s²) ______________________________________________________________________________________ 79 hmáx = -16.81 m²/s². -19.6 m/s². hmáx = 0.86 m Ep = m·g·h Ep = 80kg x [(9.8 m/s²)·(0.86 m)] Ep = 672.4 kgm²/s² Ep = 672.4 J Respuesta} A) La energía cinética en el instante de despegue del basketbolista a la hora de rebotar es de 672.4 J B) La energía cinética del basketbolista en el punto más alto del salto es igual a cero y su energía potencial en el punto más alto del salto es 672.4 J C) La energía cinética de un cuerpo es la energía producto de su movimiento. Cuanto más rápido se mueva el cuerpo mayor energía cinética. Pero, cuando un cuerpo deja de moverse pierde la energía cinética. Recordemos que la ecuación de la energía cinética para el basketbolista es un medio por la masa del atleta por el cuadrado de su velocidad. Si su velocidad final es cero, su energía cinética, también es cero. Durante el salto, el basketbolista comienza a perder su energía cinética conforme se acerca a su punto de altura máximo, esta pérdida es proporcional a la ganancia de energía potencial. Pero a una altura de valor cero, toda la energía potencial se ha convertido en una cantidad equivalente de energía cinética. Y según el cuerpo suspendido se mueve hacia abajo, la energía potencial cambia continuamente a energía cinética para descender. ______________________________________________________________________________________ 80 64. Calcule la altura del salto del basketbolista del problema anterior, utilizando la fórmula de energía potencial. mbasketbolista = 80 kg V0 = 4.1 m/s. g = 9.8 m/s² hmáx =? Entonces} Ep = m·g·h Ep = m x g x h 672.4 kgm²/s² = 80 kg x 9.8 m/s² x h Ep = h m·g 672.4 kgm²/s² = h 80kg x 9.8 m/s² 672.4 kgm²/s² = h 784 kgm/s² 0.856 m = h hmáx = 0.856 m Respuesta} La altura máxima del salto del basketbolista es 0.86 m ______________________________________________________________________________________ 81 65. En la prueba de Sargent, un maratonista de 62 kg alcanzó una altura de salto de 65 centímetros. Utilizando una alfombra cronómetro y un electrogoniómetro, se observó que la fase de impulso positivo (desde la posición más baja hasta el instante del despegue) tomó 300 milisegundos. A) Calcule el trabajo realizado por el atleta durante el salto. B) Calcule la potencia promedio del atleta durante la fase de impulso positivo. mMaratonista = 62 kg V0 = 300 milisegundos hmáx = 65 cm g = 9.8 m/s² W = ? P = ? Entonces} A) W = F·d Hmáx = 65 cm x 1 m = 0.65 m 100 cm W = m·a·d Wy = m·g·hmáx Wy = 62 kg x [(9.8 m/s²)·(0.65 m)] Wy = 62 kg x [6.37 m²/s²] Wy = 395.34 kgm²/s² Wy = 395.34 J B) W P = t T = 300 mms x 1 s = 0.3 s 1000 mms Patl = 395.34 J = 1 317.8 W 0.3 s Respuesta: A) El trabajo realizado por el atleta durante el salto fue de 395.34 J; B) La potencia del atleta durante la fase de impulso fue de 1 317.8 W ______________________________________________________________________________________ 82 E. Bibliografía Calderón Gómez, A. (1989). Física: El movimiento de los cuerpos. San José: Impresora Tica, S.A. Gowitzke, B.A. & Milner, M. (1999). El cuerpo y sus movimientos: Bases científicas. España: Editorial Paidotribo. Hamill, J. & Knutzen, K.M. (1995). Biomechanical basics of human movement. Philadelphia, PA: Williams & Wilkins. nd Hamill, J. & Knutzen, K.M. (2003). Biomechanical basics of human movement (2 Ed.). Philadelphia, PA: Lippincott Williams & Wilkins. Kreighbaum, E. & Barthels, K.M. (1985). Biomechanics: A qualitative approach for studying human movement. Minnesota: Burgess Publishing Co. ______________________________________________________________________________________ 83 Acerca de los autores Luis Fernando Aragón Vargas. Es profesor catedrático de la Escuela de Educación Física y Deportes de la Universidad de Costa Rica. Realizó estudios de Bachillerato en Educación Física en la Universidad de Costa Rica. Obtuvo su M.Sc. en Educación Física y su Ph.D. en Kinesiología en la Universidad de Michigan en Ann Arbor, EEUU. Es docente en las áreas de Biomecánica, Nutrición deportiva, Fisiología del ejercicio y Salvamento acuático. Laboró como científico para el Gatorade Sports Science Institute. Ha publicado sus investigaciones en revistas como Journal of Applied Biomechanics, European Journal of Applied Physiology, International Journal of Sport Nutrition and Exercise Metabolism, International Journal of Sports Medicine, Measurement in Physical Education and Exercise Science, European Journal of Sport Sciences , Medicina Sportiva, ACSM'S Health & Fitness Journal, Revista Costarricense de Salud Pública y la Revista Educación. Cinthya Campos Salazar. Es profesora asociada de la Escuela de Educación Física de la Universidad de Costa Rica. Realizó estudios de Bachillerato en Educación Física en la Universidad de Costa Rica. Obtuvo su M.Sc. en Educación, con énfasis en Educación Física en la Universidad de Costa Rica. Es docente en las áreas de Biomecánica, y Medición y evaluación en educación física y deportes. Ha sido asesora externa de Investigación de la Unidad de Ejercicio del Hospital de Geriatría y Gerontología Dr. Raúl Blanco Cervantes. Fue coordinadora y profesora del Plan Nacional Educativo acerca de temas en Fisiología del Ejercicio dirigidos a Colegios, Centros de Salud y Clubes Deportivos Mayores y Ligas Menores a través del Gatorade Sports Science Institute. Ha publicado sus investigaciones en revistas como Revista de Ciencias del Ejercicio y la Salud, Revista de Gerontología, Medicine and Science in Sports and Exercise. ______________________________________________________________________________________ 84 ®“Este documento es propiedad intelectual de Luis Fernando Aragón Vargas y de Cinthya Campos Salazar. Queda prohibida la reproducción total o parcial del documento sin la debida autorización de los autores. Una vez autorizada la reproducción total o parcial de este documento, debe citarse la fuente apropiadamente.” La referencia sugerida para este documento es: Aragón Vargas, L.F. y Campos Salazar, C. (2011). Práctica de problemas físico matemáticos relacionados con el análisis del movimiento aplicado al deporte. San José, Costa Rica: Escuela de Educación Física y Deportes. ______________________________________________________________________________________ 85