Ciencia y Tecnología, 26(1 y 2): 19-‐‑31, 2010
ISSN: 0378-‐‑0524
SOLUCIONES INTERIORES EXACTAS A LAS ECUACIONES DE EINSTEIN
PARA UN LÍQUIDO IDEAL CON SIMETRÍA AXIAL
Rodrigo Alvarado1
1 rodrigo.alvarado@ucr.ac.cr
Centro de Investigaciones espaciales (CINESPA)
Universidad de Costa Rica
Abstract
Exact interior solutions of Einstein equations were obtained, using the ideal fluid model
with axial symmetry (Weyl-‐‑Lewis-‐‑Papapetrou or Weyl-‐‑Papapetrou). It is considered that
21 , uu (tetra-‐‑velocity components) are null and under these terms, the pressure p is null
(dust model). The exact solution if 0=p y 0=dtdϕ was also obtained. Different
relations among Ricci tensor components and the curvature scalar must be fulfilled in the
same way for the energy-‐‑stress tensor components and trace of this tensor in this symmetry.
In this case, the angular velocity dtdϕ does not determine completely the form of the
function ω appearing in this metric, as it is considered in other related works. Some
solutions are analyzed and proposed as simple models for spiral galactic zones.
Palabras clave: Relatividad General, solución interior, simetría axial, fluido perfecto,
galaxias espirales.
Key words: General relativity, interior solution, axially-‐‑symmetric, perfect fluid, spiral
galaxies.
I. Introducción
Las soluciones exactas a las ecuaciones de Einstein son de gran interés por varias razones.
Una de éstas, es el poder investigar las posibles características gravitacionales que pueden tener
algunos cuerpos en el Universo y otra razón, es que las soluciones exactas forman una parte integral
y auto-‐‑consistente, en relación con el desarrollo y comprensión de la misma Teoría de la
Relatividad. La métrica con simetría axial ha sido utilizada para la obtención de una gran cantidad
de soluciones exactas externas de las Ecuaciones de Einstein [1], y muchas de éstas, en modelos de
cuerpos celestes en el espacio, fundamentalmente estrellas, ya que con ella se pueden estudiar
cuerpos rotantes y no rotantes con distintas características geométricas. Dicha simetría, ha sido útil
en la búsqueda de soluciones a las ecuaciones de Einstein-‐‑Maxwell (soluciones interiores)
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considerando el potencial electromagnético, como se puede notar en varios trabajos [1-‐‑10], en
donde se establecen soluciones asintóticas para potenciales de dipolos magnéticos y monopolos
eléctricos y en soluciones interiores donde se utiliza el modelo del fluido o líquido ideal [1].
Las soluciones interiores exactas a las ecuaciones de Einstein, son de gran interés, incluso
para los modelos más simples en los que éstas se obtienen. Las más conocidas son las relacionadas
con la Cosmología, donde generalmente se tiene la ventaja de contar con una simetría dependiente
del parámetro temporal y con características que permiten obtener soluciones de una manera
relativamente simple. En Cosmología las distintas etapas del Universo, se estudian, generalmente,
suponiendo modelos en las ecuaciones del estado, por ejemplo, el modelo tipo polvo,
ultrarelativista, etc [10]. Cada uno de ellos aporta un gran conocimiento a dicha disciplina y en
general a la Teoría de la Relatividad. Por lo anterior se entiende el interés que existe por obtener
soluciones exactas que sean interiores.
En la Teoría de Partículas, donde se considera el campo gravitacional y la relación auto-‐‑
consistente con otros campos de las partículas, base de soluciones solitónicas (soluciones similares a
partículas) [11,12,13], se han logrado obtener soluciones interiores de las partículas en distintas
simetrías. Una característica de las soluciones con simetría esférica es que a éstas se le puede exigir
condiciones especiales [11]: a) ser estática o estacionaria, b) en todo lugar regular, c) tener asíntota
plana en el infinito, mientras que si la simetría es cilíndrica, la condición c) cambia por ´´ser
localizable en el espacio´´. Para algunos otros tipos de simetría, como la planar, hemos considerado
condiciones similares a las requeridas para la simetría cilíndrica [14].
En alguna medida, las condiciones requeridas en soluciones solitónicas, han sido
reformuladas en otros tipos de soluciones donde intervienen otros campos, o modelos de
partículas. Por ejemplo, utilizando el modelo del fluido o líquido ideal, se han formulado
condiciones de aceptabilidad física [15,16], siempre y cuando la simetría sea esférica, aunque la
presión puede ser isótropa o anisótropa. El interés fundamental es modelar el interior de estrellas
de Neutrones y Enanas Blancas, por lo que una de las condiciones importantes es que la densidad
energética volumétrica y la presión sean positivas. Para otros tipos de simetría como la de Weyl-‐‑
Papapetrou, todas las condiciones formuladas para la simetría esférica, no se cumplen para ninguna
de las soluciones conocidas. Por ejemplo, para la solución de Neugebauer y Meinel [17] de un disco
rotante con presión nula, la densidad energética obtenida no es volumétrica, sino superficial, por lo
que ésta decrece sobre el plano 0=z , es regular en 0=ρ , pero nula si la velocidad angular 0=Ω .
Otro ejemplo es la solución del polvo de Wahlquist [18], para la cual la densidad energética
volumétrica decrece, pero hacia el interior, o la solución de Van Stockum [19], como caso particular
de la simetría de Weyl-‐‑Papapetrou, donde la densidad energética volumétrica es regular en 0=ρ ,
pero no decrece con el aumento de ρ , además de presentar curvas cerradas de tipo tiempo (que
permiten viajes al pasado), similares a las que se presentan en algunas soluciones como las de
agujeros de gusanos, métrica de Kerr, etc.
Problemas como la ley que rige la densidad de los cuerpos celestes, son en gran medida
actuales, y basta con percatarse que incluso para la física newtoniana dicho problema no es ni
trivial, ni falto de interés [10]. Por lo anterior este trabajo pretende ser parte del esfuerzo por
obtener, aunque sea para un modelo muy particular, una solución que pueda servir de base para el
análisis de magnitudes como la densidad, como continuación en el desarrollo del estudio de estas
magnitudes internas de los cuerpos celestes y de la Teoría de la Relatividad.
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II. Métrica de simetría axial y ecuaciones de Einstein
La métrica con simetría axial del tipo de Weyl-‐‑Papapetrou, tiene la forma siguiente [20]:
( ) ( ) ,2 2212221222 ϕωρρϕω γνµµννµµν dFFdzdFeFdtdFdtdxdxgdxdxgds −−+−−=== −− (1)
en donde µνg , µνg representan los componentes del tensor métrico covariante y contravariante
respectivamente y ,,, γω F son funciones arbitrarias de ρ y z [21].
Las ecuaciones que resolveremos son las ecuaciones de Einstein:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−= T
g
TR
2
µν
µνµν κ ,
donde 4/8 cGπκ = , G es la constante de gravitación Universal, c la rapidez de la luz en el vacío,
µνR es el tensor de Ricci, µνT el tensor de Energía Impulso y µν
µνTgT = , la traza del tensor de
Energía Impulso.
Los componentes del tensor de Ricci que son distintos de cero, en este trabajo se han obtenido
y escrito de la forma siguiente:
( ) ( )( ) ,ln
2
2
222
00 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∇⋅∇+⋅∇=
−
FFFeR ρω
ρρ
γ
(2.a)
,
2
22
0003 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ∇
⋅∇−−=
−
ρ
ωρ
ω
γ FeRR (2.b)
( )( ) ,ln112
2
1
2
2
,
2
2
,
2
11 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−∇⋅∇+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∇⋅∇−=
F
F
F
F
R ρρ ρ
ρ
γ
ρ
ρ
ρ
ω
(2.c)
,
2
2
1
2
,,,
2
,,
2
2112 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+==
F
FFF
RR zzz ρρ
ρ
γ
ρ
ωω
(2.d)
( ) ( )( ) ,ln12
2
1
2
2
,
2
2
,
2
22 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−∇⋅∇+∇⋅∇−=
F
F
F
F
R zz ρ
ρ
γρ
ρρ
ω
(2.e)
.2 03
2
2
2
0033 ωω
ρ R
F
RR −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−= (2.f)
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El escalar de la curvatura µν
µνRgR = se puede escribir como
( ) ( )( ) ( ) ( ) .ln14
2 22
00
2211
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ ∇⋅∇
−∇⋅∇+∇⋅∇−−−=+−= −
F
FFF
e
F
F
RRRFeR ρ
ρ
γγ
γ (3)
En las ecuaciones anteriores, el operador ∇ lo he definido como
,ˆˆ 00 zz ∂+∂=∇ ρρ (4)
donde 0ρˆ y 0zˆ son vectores unitarios perpendiculares entre sí y ρ∂ , z∂ las derivadas parciales con
respecto a ρ y z , respectivamente.
Las ecuaciones de Einstein que no son iguales a cero, se pueden escribir de la forma:
( ) ,20000 TFTR −= κ (5.a)
( ) ,20303 TFTR ωκ += (5.b)
( ) ,2121111 TFeTR −−+= γκ (5.c)
,1212 TR κ= (5.d)
( ) ,2122222 TFeTR −−+= γκ (5.e)
( )( ) .22123333 TFFTR ωρκ −−= − (5.f)
III. Soluciones a las ecuaciones de Einstein para un Líquido Ideal
El tensor del líquido ideal, tiene la forma:
( ) ,pguupT αββααβ µ −+= (6)
y 1=α
αuu , donde µ , p , αu y αu son la densidad de energía, la presión, la velocidad covariante
tetradimensional y la velocidad contravariante tetradimensional respectivamente [10].
En este trabajo se considera que el fluido no se mueve en ρ y z , por lo cual los componentes
de dsdxu /αα = ( αµαµ ugu = ) 21, uu son nulos. Los componentes de la velocidad tetradimensional
que son distintos de cero son:
( )( ) ,1 212220 −Ω−Ω−= FFu ρω y ,03 uu Ω= (7)
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donde dtdϕ=Ω , es la velocidad angular.
Nótese, que para el modelo de un líquido ideal del tipo (6), se cumple que 012 =R , o sea que
,
2 2
,,
2
2
,,
, ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
ρ
ωωρ
γ ρρ zzz
F
F
FF
(8)
De las ecuaciones (2.a)-‐‑(2.f) se obtiene
,02 33
33
03
03
00
00 =++ RgRgRg (9)
ó
,033
0
0 =+ RR (10)
y de (9), obtenemos
,33
0
0 TTT =+ (11)
por lo que
.0 22
1
1
2
2
1
1 TTTT −=→=+ (12)
La igualdad (12) es independiente del tipo de problema, en busca de soluciones interiores
que se considere, ésta tiene un carácter simétrico intrínseco dentro de la métrica de Weyl-‐‑
Papapetrou.
Para el caso de un líquido ideal (6), utilizando (12), obtenemos que debe de cumplirse con la
igualdad
p
puuuu
+
=+
µ
2
2
2
1
1
, (13)
como 1u y 2u son nulos, de la igualdad (13), concluimos que .0=p Notemos además que si
restamos 01122 =− RR y despejamos a ργ , obtenemos la siguiente relación
( ) ( ) .
44
2
,
2
,2
2
,
2
,
2
, ρρρ
ρ
ωω
ρ
γ FF
F
F
zz −−−= (14)
Para el caso analizado se tiene que ,012 =T y al derivar (8) con respecto a ρ y derivar (14)
con respecto a z y luego compararlos (asumimos que γ es continua), se obtiene que
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,
2
,
3
00
22
, ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ∇
⋅∇=
ρ
ω
ωρ γ
FFReF zz (15)
de (15), los componentes del tensor de Ricci 03R y 33R se puedan rescribir de la siguiente forma:
,
,
3
,
2
0003 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
z
z
F
F
RR
ω
ρ
ω (16)
.
2
,
3
,
2
2
2
2
0033 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=
z
z
F
F
F
RR
ω
ωρ
ω
ρ
(17)
La divergencia del tensor de energía impulso 0; =
µ
µνT , se puede escribir, para nuestro caso,
de la forma siguiente:
.02 33
33
03
03
00
00 =∇+∇+∇ gTgTgT (18)
De (18), y considerando el tensor energía impulso (6) para el líquido ideal, con las
propiedades establecidas anteriormente, y la forma de los componentes de la velocidad
tetradimensional (7), podemos obtener la siguiente igualdad
( ) ,02 3320300 =∇Ω+∇Ω+∇ gggζ (19)
donde ( )20uµζ = . De (19) tenemos que esto es solamente posible en dos casos: 1. cuando 0=µ ó,
2. cuando 02 33
2
0300 =∇Ω+∇Ω+∇ ggg . El primer caso significa que no se tiene fluido (solución
externa), por lo que analizaremos el segundo caso.
La igualdad a cero de (19), tiene un carácter vectorial, por lo que en realidad están escritas
dos ecuaciones, éstas, considerando a ,0≠µ son:
( ) ,022 ,2,2
,
2
2
,,, =⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−Ω−+Ω− zz
z
zzz FFF
F
FFF ωωω
ρ
ωω (20.a)
( ) .0222 ,2,2
,
2
2
,,, =⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−Ω−+Ω− ρρ
ρ
ρρρ ωωω
ρρ
ωω FF
F
F
F
FFF (20.b)
Con ayuda de las ecuaciones de Einstein (5), de (15) y los componentes del tensor µνR (2.a) y
(2.b), se puede obtener la siguiente igualdad
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( )
;
2 ,
,
0000
0003
2
3
z
zF
TgT
TTF
ω
ω
ρ
=
−
+
(21)
la cual es equivalente a la (20.a).
De las ecuaciones de Einstein se puede obtener, que la densidad de energía µ para el caso de
un líquido ideal, satisface la siguiente relación:
( )
( )
.
1
1
2
2
22
2
2
22
2
00
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ Ω
+Ω−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ Ω
−Ω−
=
F
F
F
R
ρ
ω
ρ
ω
κµ (22)
Obtendremos una solución considerando que la velocidad angular es constante y el sistema
de referencia se elige de forma que ésta se pueda considerar igual a cero ( 0=Ω ). En dicho caso, de
las ecuaciones (20.a) y (20.b) se puede notar que .constF = , lo cual nos indica que el valor que
puede tener Ω está relacionado con Fg =00 de la métrica. Otra cosa interesante es que si 0=Ω
esto no significa que .0=ω Contrario a lo que algunos autores han considerado en sus análisis a
soluciones externas o interiores (por ejemplo [22, 23]), la relación principal de la velocidad angular
(en la forma definida anteriormente y relacionada con nuestro sistema de referencia) con la métrica,
es con F . A pesar de lo anterior, la situación cambia para un observador muy alejado del sistema de
referencia, para el cual la magnitud de la velocidad tridimensional V , se relaciona con ω (siempre
y cuando ωρ > ), de la forma ρ
ω
=V (ver [1] ó [24]).
Los componentes del tensor energía impulso que son distintos de cero, al considerar 0≠Ω ,
son 0300 ,TT y .33T Entre estos componentes existe la relación siguiente
,00
F
T µ= ,0003 TT Ω= .00233 TT Ω= (23)
Como .constF = , de (2.b) tenemos que los componentes 03R y ,00R están relacionados entre sí de la
forma siguiente
.
2
2
2
0003 ρ
ω
ρω
γ ∇
⋅∇−−=
−eFRR (24)
Considerando la igualdad (2.b) ó (24) y (21) se obtiene que
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26
( )
( )( ) ;021 20000
3
0003
,
, =
−
+
=
ρ
ω
ω TgT
FTTF
z
z
(25)
de donde se concluye
00300 =+ RR ω
por lo que de la igualdad anterior y (24) se obtiene
00 ,,,,, =−+==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ∇
⋅∇
ρ
ω
ωω
ρ
ω ρ
ρρ zz . (26)
La ecuación (26), no permite soluciones en el inicio del sistema de referencia, por lo que las
soluciones que pueden encontrarse para ella, deben ser consideradas excluyendo dicho punto [26].
La solución encontrada a la ecuación (26) es
( ) ( ) 03212
22 21 czcczcbzA ++++++= ρρω (27)
en donde 210 ,,,, cccbA y 3c son constantes.
Integrando la ecuación (8) y la (14) se obtiene la función γ de la métrica, la cual tiene la forma
( )( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )( )[ ]312322123122122
22
21
2
)(
0
2
2222
2
2812141
241
ln41 2
3
2
3
32
cczczccccczcF
bzcbzcAF
bzbzbz
F
cAcA
AcA
++−−+−
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +++−−
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ++++++
−=
−+
ρρ
ρ
ρρ
ρρ
γ
(28)
donde 0ρ es una constante con mismas unidades que ρ .
Con (2.a), (27) y (28), encontramos la densidad de energía µ (22) , cuya la forma es:
( ) ( )( )( )
( )
( ) ( ) γρρ
ρ
ρρ
κρ
µ 2
2
31
22
21
2
22
31
2
21
2
2
2
3
21212 −
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
++++
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ++
++++
+= eccczc
bz
ccbzczcAAF . (29)
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La igualdad (29), es la relación buscada que establece la forma en que la densidad µ depende
de los factores métricos ( )FR ,00 para el caso analizado. Para la solución obtenida se pueden analizar
distintos casos dependiendo del valor de las constantes.
Veamos los siguientes casos.
Caso 1.
Consideremos que ,10 =ρ 210 ,,, cccb y 3c son iguales a cero. Para lo cual se obtiene que
( )
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ +
−=
2
2
22
3 ln41
A
Az
F
ρ
ρ
γ . (30)
De (29), (30) y considerando las condiciones anteriores, encontramos que
( ) .2222
23 22 AFzAF += ρ
κρ
µ (31)
Si A es pequeña, entonces, de (31) se obtiene
( )62
45
2
23
2
AOAFAF ++=
κρκρ
µ , (31.a)
para la cual si ∞→ρ , 0→µ . La velocidad tridimensional del fluido determinada por un
observador en las lejanías, y cercana al plano 0=z , es
ρ
ρ
ρω
22
/
z
AV
+
== , la cual es casi
constante e igual a A , lo cual nos indica que podría servir como modelo simple para regiones donde
se presenta el problema de las curvas planas en las galaxias [26]. La constante A, en general, debe de
cumplir con la condición 1 .
Caso 5.
Si A , 1c , 2c y 3c , son nulas en (27), la métrica es la del mundo plano de Minskowski [10].
Otras opciones se pueden analizar, veamos la siguiente
zAzA −+= 22ρω . (32)
Esta solución pierde sentido en 0=z , ya que en (26) surge el término )(2 zδ , el cual se
indefine en 0=z , y representa que la solución (32) no puede ser considerada en el plano 0=z . Por
lo establecido antes, tampoco puede ser considerada válida en la línea 0=ρ . Con estas restricciones
en cuenta, se tiene que (28) y (29), se pueden rescribir, haciendo el cambio zz→ , igualando a cero
0c , 1c , 2c y b , y considerando que Ac −=3 , 1>z .
IV. Resultados y discusión
De la simetría axial de Weyl-‐‑Papapetrou, se obtuvo un conjunto de igualdades, a través de
las ecuaciones de Einstein, que relacionan una serie de estructuras métricas entre sí ((2.b), (2.f), (3) y
(12)), las cuales se cumplen en general. Para algunos modelos de fluido ideal con presión nula, se
obtuvieron soluciones interiores exactas, las cuales si bien es cierto limitadas en cuanto a su
aplicación, permiten hacer modelos de las densidades de cuerpos celestes o sistemas de estos como
las galaxias.
Del trabajo se obtiene que para el modelo del líquido ideal con 0=p y 021 == uu , la relación
mayor entre los términos geométricos, o funciones, de la simetría utilizada, con la densidad
energética, se presenta fundamentalmente por la función ω . Esto se nota si consideramos que
.const=ω y derivamos (8) con respecto a ρ y (14) con respecto a z y se comparan ambos
resultados, la comparación lleva a dos posibles igualdades: a. ( )( ) 0ln =∇⋅∇ Fρ ó b. )(ρFF = ,
asumiendo que a. es válida se tendría que 000 =R , pero de (22) tenemos que entonces 0=µ ; por lo
tanto la densidad de energía µ , está intrínsicamente determinada por la forma en que ω dependa
de ρ y z . Asumiendo b. la simetría cambiaría a la cilíndrica, lo cual demuestra la importancia de la
función ω en la simetría axial.
Cuando dtd /ϕ=Ω es constante y 021 == uu , entonces podemos seleccionar el sistema de
manera que éste rote con el fluido rígido, de manera que 0=Ω de donde 00R∝µ únicamente, lo
cual significa que dicha ecuación es similar a la ecuación πµ4=ΔΨ G y basta con conocer la forma
en que depende Ψ de ρ y z para encontrar la forma en que µ depende también de ellos. En este
trabajo uno de los objetivos fue encontrar esta dependencia en la forma anteriormente mencionada,
para lo cual fue necesario encontrar ω,F y γ .
Ejemplos simples, permitieron encontrar µ en la forma (31) ó (33), y analizar las distintas fases
que puede tener la densidad para dicho modelo y sus singularidades. La solución (31) ó (33) pueden
proponerse como modelos simples de densidad volumétrica energética, para algunas zonas
específicas de galaxias.
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V. Referencias
[1] Stephani, H.; Kramer, D.; Maccallum, M.; Hoenselares, C.; Herlt, E., Exact Solutions to
Einstein’s Field Equations, Ts.; I., Manko, V. S., Gen. Rel. Gav., 1988, V. 20, P. 327.
[2] Gutsunaev, Ts., I., Manko, V. S., Phys. Lett. A., 1988 V.132, P.85.
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