Revista de Matema´tica: Teor´ıa y Aplicaciones 2012 19(1) : 89–101
cimpa – ucr issn: 1409-2433
sobre el estad´ıstico de
crame´r–von mises
on the crame´r–von mises statistic
Pablo Mart´ınez-Camblor∗ Carlos Carleos†
Norberto Corral‡
Received: 3-May-2010; Revised: 25-May-2011; Accepted: 2-Nov-2011
Resumen
Uno de los criterios ma´s utilizados para comparar funciones es
el introducido por los investigadores Harald Crame´r y Richard Edler
von Mises y conocido como criterio de Crame´r–vonMises (CM ) siendo
aplicado a problemas que van desde la bondad de ajuste de una dis-
tribucio´n hasta la comparacio´n de la igualdad entre co´pulas. En
este trabajo, se aplican procesos emp´ıricos para la obtencio´n de la
distribucio´n asinto´tica de la generalizacio´n del estad´ıstico CM al pro-
blema de comparacio´n de k-muestras independientes propuesta por
Kiefer. Se estudia la calidad de esta aproximacio´n y se indica como,
dado un problema concreto, aproximar la significacio´n final.
∗Oficina de Investigacio´n Biosanitaria del Principado de Asturias, C/Rosal 7 bis,
33009 Oviedo, Espan˜a. E-mail: pmcamblor@hotmail.com
†Departamento de Estad´ıstica e Investigacio´n Operativa y Dida´ctica de la
Matema´tica, Facultad de Ciencias, Universidad de Oviedo – Campus de Llamaquique
c/ Calvo Sotelo s/n 33007 Oviedo, Espan˜a. E-mail: carleos@uniovi.es
‡Misma direccio´n que/Same address as C. Carleos. E-mail: norbert@uniovi.es
89
90 p. mart´ınez – c. carleos – n. corral
Palabras clave: Criterio de Crame´r–von Mises, procesos emp´ıricos, com-
paracio´n de k-muestras
Abstract
Probably, one of the most useful criterions in order to compare
distribution functions is the one introduced by the researchers Harald
Crame´r and Richard Edler von Mises which is known as Crame´r-
von Mises criterion (CM ). It has been applied on a vast variety of
problems. In this work, the theory of empirical processes is applied
in order to obtain the asymptotic distribution for the generalization
to the k-sample problem of CM proposed by Kiefer. The quality of
this approximation is also studied and some indications about how
to obtain an approximation to the final P-value are also included.
Keywords: Crame´r–von Mises criterion, empiric process, k-sample
problem.
Mathematics Subject Classification: 60E05, 62G10.
1 Introduccio´n
Desde que a finales de los an˜os veinte (Crame´r; 1928) el matema´tico sueco
Harald Crame´r (nacido en Estocolmo en 1893) y, de forma independiente,
a principios de los an˜os treinta (von Mises; 1931) el f´ısico austrohu´ngaro
Richard Edler von Mises (nacido en Lemberg en 1883) introdujeran el
ahora conocido como criterio de Crame´r-von Mises (CM ) en el estudio de
problemas de bondad de ajuste, que, dada una determinada distribucio´n
de probabilidad, F ∗, y una funcio´n de distribucio´n F 0, queda definido por
CM =
∫
(F ∗(t)− F 0(t))2dF 0(t), (1)
ha sido aplicado a una gran variedad de problemas siendo objeto de in-
numerables estudios y publicaciones cient´ıficas. Dada una muestra X =
{x1, . . . , xn}, sin ma´s que sustituir en (1) F ∗(t) y F 0(t) por la correspon-
diente funcio´n de distribucio´n emp´ırica (FDE), Fn(X, t), y por una funcio´n
de distribucio´n teo´rica, respectivamente, se obtiene el test de Crame´r-von
Mises para bondad de ajuste. Cso¨rgo˝ y Faraway (1996) calculan la dis-
tribucio´n exacta para este estad´ıstico. Anderson (1962) estudia la apli-
cacio´n del criterio de Crame´r-von Mises al problema de comparacio´n de
dos muestras independientes. Calcula su esperanza y varianza (exactas
y asinto´ticas) y deriva tablas para la aproximacio´n de la significacio´n en
su implementacio´n pra´ctica. Tambie´n se ha aplicado este criterio en la
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construccio´n de tests de bondad de ajuste cuando los datos tienen cen-
suras aleatorias (Koziol et al.; 1976), para comparar la simetr´ıa de una
distribucio´n (Viollaz et al.; 1996) o, ma´s recientemente, en la comparacio´n
de la igualdad entre co´pulas (Re´millar y Scaillet; 2009) o de curvas ROC
(Mart´ınez-Camblor et al.; 2011) entre otras muchas aplicaciones. Por
supuesto, tambie´n han surgido innumerables versiones; multidimensionales
(Deheuvels; 2005), ponderadas (O¨ztu¨rk et al.; 1987) o de tipo L1 (Schmid
et al.; 1996) entre otras muchas.
En este trabajo, se retoma la generalizacio´n del estad´ıstico de Crame´r-
von Mises al problema de comparacio´n de k-muestras independientes pro-
puesta por Kiefer (1959) y definida por
CM (k) =
k∑
i=1
ni
∫
(Fˆni(t)− F¯n(t))2dF¯n(t) (2)
donde dadas k-muestras independientes de taman˜os n1, . . . , nk, Fˆni re-
presenta la FDE asociada a la i-e´sima muestra (1 ≤ i ≤ k) y F¯n =
k−1
∑k
i=1 Fˆni . Se utiliza la expansio´n de Karhunen-Loe`ve de los corres-
pondientes funcionales cuadra´ticos del proceso Gaussiano resultante para
obtener su distribucio´n asinto´tica. Se proponen distintas aproximaciones
(basadas en la distribucio´n asinto´tica) para el ca´lculo de la significacio´n
(P -valor) y, mediante el me´todo de Monte Carlo, se estudia la calidad
de las mismas. La aproximacio´n mediante el me´todo de permutaciones
aleatorias es tambie´n considerada.
2 Distribucio´n asinto´tica
El estad´ıstico CM (k) tiene distribucio´n libre y su distribucio´n muestral
exacta puede ser calculada enumerando de forma exhaustiva las
n!/(n1!n2! · · ·nk!) combinaciones distintas (n =
∑k
i=1 ni) o, ma´s usual-
mente, ser aproximada por una seleccio´n aleatoria de esas posibilidades.
Este procedimiento ha sido considerado en diversos estudios. Por ejem-
plo, en Mart´ınez-Camblor (2008), el estad´ıstico de Crame´r-von Mises es
inclu´ıdo en un estudio de simulacio´n en el que se consideran otros seis es-
tad´ısticos basados en la FDE y, uno ma´s, basado en la estimacio´n nu´cleo
para funcio´n de densidad en problemas de tres muestras. Sobre doce mode-
los distintos (seis modelos sime´tricos y otros seis asime´tricos), el estad´ıstico
CM (k) obtuvo resultados competitivos en casi todos los modelos, si bien,
en aquellos en los que las diferencias esta´n localizadas principalmente en
el para´metro de localizacio´n, tests espec´ıficos para este tipo de situaciones,
como el de Kruskall-Wallis, son considerablemente ma´s potentes.
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La convergencia de FDE a la funcio´n de distribucio´n real es, proba-
blemente, uno de los to´picos ma´s ampliamente estudiados en el campo de
la estad´ıstica matema´tica. Desde el Teorema 3 del trabajo de Komlo`s et
al. (1975) se deriva, bajo condiciones muy generales, que existe un espacio
probabil´ıstico, de modo que se da la igualdad (esta igualdad es conocida
como Proceso Hu´ngaro),
√
n(Fˆn(X, t)− F (t)) = B{F (t)}+O(log n/
√
n) c.s. (3)
donde B{t} (0 ≤ t ≤ 1) es un Puente Browniano usual, esto es, un proceso
estoca´stico Gaussiano, de media nula, varianza E[B{t}2] = t(1 − t) y
covarianza E[B{t}B{s}] = t ∧ s − st (t ∧ s = min{s, t}). Por tanto, si se
asume que limni∧nj→∞ ni/nj = α
2
ij < ∞ (1 ≤ i, j ≤ k) desde el Teorema
de la Convergencia Dominada y, sin ma´s que realizar un cambio de variable
se tiene la convergencia
CM (k) =
k∑
i=1
ni
∫
(Fˆni(t)− F¯n(t))2dF¯n(t)
L−→
k∑
i=1
∫
[Bi{F (t)} − B¯i{F (t)}]2dF (t) (4)
donde para cada i ∈ 1, . . . , k, Bi{F (t)} son puentes brownianos indepen-
dientes y B¯i{F (t)} = k−1
∑k
j=1 αijBj{F (t)}. Para cada 1 ≤ i ≤ k, el
proceso estoca´stico Xi{t} = Bi{F (t)}− B¯i{F (t)} es gaussiano y centrado,
adema´s, dado que para i 6= j, Bi y Bj son procesos independientes y
teniendo en cuenta que i = j ⇒ αij = 1,
E[Xi{t}2] =E[(Bi{F (t)} − B¯i{F (t)})2]
=
1
k2
E



(k − 1)Bi{F (t)} + k∑
j 6=i
αijBj{F (t)}


2

=
(k − 1)2
k2
E[Bi{F (t)}2]− 1
k2
k∑
j 6=i
α2ijE[Bj{F (t)}2]
=

(k − 1)2
k2
+
1
k2
k∑
j 6=i
α2ij

 F (t)(1− F (t)).
Ana´logamente,
E[Xi{t}Xi{s}] =E[(Bi{F (t)} − B¯i{F (t)})(Bi{F (s)} − B¯i{F (s)})]
=

(k − 1)2
k2
+
1
k2
k∑
j 6=i
α2ij

 (F (t) ∧ F (s)− F (s)F (t)).
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sobre el estad´ıstico de crame´r–von mises 93
Por tanto, para cada 1 ≤ i ≤ k se tiene que si
Ci =

(k − 1)2
k2
+
1
k2
k∑
j 6=i
α2ij


−1/2
,
el proceso B∗i {F (t)} = CiXi{t} es un puente browniano standard. Estu-
diar la distribucio´n asinto´tica de CM (k) es estudiar la distribucio´n de
k∑
i=1
∫
Xi{t}2dF (t) =
k∑
i=1
∫
(C−1i B
∗
i {F (t)})2dF (t), (5)
donde para cada 1 ≤ i ≤ k, B∗i {t}, (0 ≤ t ≤ 1) es un puente browniano
standard. Notar que estos procesos no son los definidos anteriormente
y, en particular, no son independientes, esto es E[B∗i {t}B∗j {t}] 6= 0 para
1 ≤ i, j ≤ k. Concretamente, realizando ca´lculos similares a los anteriores
se tiene que
E[B∗i {F (t)}B∗j {F (t)}] = −
2(k − 1)
k2CiCj
F (t)(1− F (t)).
Las propiedades generales de los procesos estoca´sticos nos dicen que,
dado un proceso gaussiano centrado, N{t} (0 ≤ t ≤ 1), satisfaciendo que∫
C(s, t)2dsdt <∞, donde C(s, t) = E[N{t}N{s}] se verifica que
N{t} =
∑
j∈N
√
λjej(t)Yj, (6)
donde {Yj}j∈N es una familia de variables aleatorias independientes con
distribucio´n normal de media cero y varianza uno, {ej(·)}j∈N es una base
ortonormal del espacio de Hilbert L2([0, 1]) y {λj}j∈N es una sucesio´n de
nu´meros reales no negativos verificando λ1 ≥ λ2 ≥ . . . . Adema´s, desde la
ortonormalidad de la base {ej(·)}j∈N se deduce que
∑
j∈N
λj =
∫∫
C(s, t)dsds <∞.
La representacio´n dada en (6), usualmente conocida como descomposicio´n
de Karhunen-Loe`ve (ver, por ejemplo, Adler; 1990), permite directamente
obtener la igualdad ∫
N{t}2dt =
∑
j∈N
λjY
2
j . (7)
La determinacio´n explicita de la distribucio´n anterior, exige conocer los
valores de {λj}j∈N, para ello, se debe calcular la funcio´n C(s, t) (tambie´n
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conocida como kernel). Esta descomposicio´n es, en general, un ca´lculo
complicado que suele involucrar, entre otras cosas, la resolucio´n de una
ecuacio´n diferencial, funciones de Bessel, etc. . . (ver, por ejemplo, Abra-
mowitz et al.; 1965). En el caso del puente browniano standard, B{t}
(0 ≤ t ≤ 1) se tiene que (ver, entre otros, Anderson et al.; 1952 o Anderson;
1962) ∫
B{t}2dt =
∑
j∈N
1
j2pi2
Y 2j =
∑
j∈N
1
j2pi2
(Y 2j − 1) +
1
6
, (8)
donde {Yj}j∈N es una familia de variables aleatorias independientes con
distribucio´n normal de media cero y varianza uno (al mismo resultado se
llega considerando el correspondiente U-estad´ıstico degenerado, ver por
ejemplo Van der Vaart; 1998). Por otro lado, en Tolmatz (2002) se propo-
nen algunas aproximaciones para la funcio´n de distribucio´n de la variable
aleatoria dada en (8).
Volviendo a la distribucio´n de la variable aleatoria dada en (5) (objeto
de este estudio), se tiene, sin ma´s que aplicar la ecuacio´n (6), que para
cada i ∈ 1, . . . , k,
B∗i {F (t)} =
∑
j∈N
√
λjei,j(t)Yi,j , (9)
donde {Yi,j}j∈N es una familia de variables aleatorias independientes con
distribucio´n normal de media cero y varianza uno, {ei,j(·)}j∈N es una base
ortonormal (definida anteriormente) y λj = (jpi)
−2 (j ∈ N). Desde la
ecuacio´n (8),
k∑
i=1
∫
Xi{t}2dF (t) =
k∑
i=1
C−2i
∫
B∗i {F (t)}2dF (t)
=
k∑
i=1
C−2i

∑
j∈N
1
j2pi2
(Y 2i,j − 1) +
1
6

 (10)
donde {Yj = (Y1,j , . . . , Yk,j)}j∈N es una familia de variables aleatorias
con distribucio´n k-dimensional, cuyas distribuciones marginales (normales)
tienen media cero y varianza uno. Para demostrar la normalidad de Yj
(para cada j ∈ N), se comprobara´ que cada combinacio´n lineal de sus
componentes,
∑k
i=1 aiYi,j, (ai ∈ R ∀i ∈ 1, . . . , k) sigue una distribucio´n
normal. Se tiene que
X
∗{t} = (a1X1{t} e1,j(t), · · · , akXk{t} ek,j(t))
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es un proceso k-dimensional Gaussiano centrado. Desde la ecuacio´n (9) y
para cada i ∈ 1, . . . , k
aiXi{t} ei,j(t) = aiC−1i B∗i {F (t)} ei,j(t)ai ei,j(t)
∑
l∈N
√
λi ei,l(t)Yi,l,
por tanto
ai
∑
l∈N
√
λl Yi,l
∫
ei,j(t)ei,l(t)dF (t) = ai
∫
Xi{t} ei,j(t)dF (t).
Luego,
k∑
i=1
ai Yi,j =
k∑
i=1
ai√
λj
∫
Xi{t} ei,j(t)dF (t) =
∫ k∑
i=1
ai√
λi
Xi{t} ei,j(t)dF (t)
sigue una distribucio´n normal. Por otro lado, si para cada i ∈ 1, . . . , k
se define S(i) = C−2i
∫ Xi{t}2dF (t), la covarianza entre los k sumandos
involucrados en la expresio´n (5) viene determinada por
Cov[C2i S(i), C2j S(j)] =Cov
[∫
Xi{t}2dF (t),
∫
Xj{s}2dF (s)
]
=
∫∫
Cov
[Xi{t}2,Xj{s}2] dF (t)dF (s) (11)
=
∫∫
2E[Xi{t}Xj{s}]2dF (t)dF (s). (12)
Y, por tanto,
E[Xi{t}Xj{s}] = 1
k2
(
k∑
l=1
αilαjl − k(αij + αji)
)
(F (t)∧F (s)−F (s)F (t)).
(13)
Sustituyendo en (11) y realizando los correspondientes ca´lculos para
1 ≤ i 6= j ≤ k se obtiene que
Cov[C2i S(i), C2j S(j)] =
1
45 k4
(
k∑
l=1
αilαjl − k(αij + αji)
)2
. (14)
3 Aproximaciones a la distribucio´n
Los ca´lculos realizados en la seccio´n anterior, demuestran que la distribucio´n
l´ımite del estad´ıstico CM es una suma ponderada de las componentes de
infinitas variables aleatorias normales k-dimensionales (no necesariamente
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independientes). Obviamente, en la pra´ctica, no se podra´ hacer esta suma
infinita y deberemos conformarnos con alguna aproximacio´n. A conti-
nuacio´n, se proponen dos me´todos cuyo objetivo es la obtencio´n de una
probabilidad final.
En la aproximacio´n ma´s simple, se considera u´nicamente el primer
sumando. As´ı las cosas, se tendr´ıa
CM ∼ A(1) =
k∑
i=1
C−2i
(
1
pi2
(Y 2i − 1) +
1
6
)
, (15)
donde Y = (Y1, . . . , Yk) es una variable aleatoria k-dimensional cuyas
marginales tienen media nula y varianza uno y cuyas covarianzas, se deri-
vara´n desde (14) resultando que, para 1 ≤ i 6= j ≤ k,
E[YiYj ] = σi,j = ±|
∑k
l=1 αilαjl − k(αij + αji)|pi2√
90k2CiCj
.
Notar que, si la matriz de varianzas y covarianzas de Y se calcula
desde (14), los k sumandos de A(1) tendra´n la misma relacio´n que los k
sumandos de (5). As´ı las cosas, se propone la siguiente aproximacio´n,
CM ∼ A(l) =
k∑
i=1
C−2i

 1
pi2
(Y 2i − 1) +
l∑
j=2
1
j2pi2
(Yi,j − 1) + 1
6

 (16)
donde Y = (Y1, . . . , Yk) es la variable aleatoria definida en (15) y para
i ∈ 1, . . . , k, j ∈ 1, . . . , l, Yi,j son variables aleatorias independientes con
distribucio´n normal de media cero y varianza uno.
3.1 Calidad de las aproximaciones
Una de las grandes ventajas del test de Crame´r-von Mises para k muestras
independientes radica en que su distribucio´n no depende de la distribucio´n
de procedencia de las muestras (esta propiedad es compartida por muchos
otros estad´ısticos basados en este criterio). Por este motivo, para ilustrar la
calidad de las aproximaciones propuestas, no es necesario considear distin-
tos modelos. Nosotros nos limitaremos a un pequen˜o estudio de simulacio´n
de Monte Carlo. El caso considerado es un problema de comparacio´n de
tres muestras de taman˜os 50 y 100 procedentes de distribuciones normales
standarizadas.
Dadas las caracter´ısticas de los modelos considerados, se tiene que para
1 ≤ i ≤ 3, Ci =
√
3/2. Adema´s, para 1 ≤ i 6= j ≤ 3 se tiene que σi,1 ≈
±0.2311. Por tanto, las aproximaciones A(l) (l ≥ 1) se pueden aproximar
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sobre el estad´ıstico de crame´r–von mises 97
Tabla 1: Percentiles 99 (P99), 95 (P95) y 90 (P90) para la distribucio´n
real y para las distintas aproximaciones: Permutaciones (AP ), A(m) con
m = 1 (A(1)) m = 5 (A(5)) y m = 10 (A(10)), y los distintos taman˜os
muestrales considerados (n = n1 = n2 = n3).
n Real AP A(1) A(5) A(10)
50 P99 1.0699 1.0758 0.9322 0.0970 1.0126
P95 0.7427 0.7523 0.6810 0.7195 0.7370
P90 0.6027 0.6179 0.5627 0.6033 0.6127
100 P99 1.0545 1.0461 0.9322 0.0970 1.0126
P95 0.7536 0.7496 0.6810 0.7195 0.7370
P90 0.6133 0.6117 0.5627 0.6033 0.6127
mediante el me´todo de Monte Carlo (existen numerosos resultados sobre
formas cuadra´ticas que tambie´n se podr´ıan emplear; ver, por ejemplo,
Alkarni and Siddiqui, 2001).
En la Figura 1 se muestran, para el problema anteriormente descrito,
las diferencias entre la funciones de distribucio´n del estad´ıstico de Crame´r-
von Mises estimada por el me´todo de Monte Carlo (10,000 iteraciones), la
aproximacio´n por permutaciones (10,000 remuestras), y la aproximacio´n
A(m) (para m = 1, m = 5 y m = 10) cuando el taman˜o muestral
es 50 (arriba) y 100 (abajo). Se observa como los mayores errores son,
lo´gicamente, para la aproximacio´n A(1) (la ma´s simple) y esta´n localiza-
das en los valores ma´s bajos de t. Dado que, en la pra´ctica, la zona ma´s
delicada y, por tanto, la parte que conviene aproximar bien, es la cola
de la distribucio´n y, como se puede observar en la Tabla 1, en esa parte
de la curva, las diferencias son pequen˜as entre todas las aproximaciones
consideradas (en especial para n = 100). Se puede concluir que todas las
aproximaciones estudiadas obtienen buenos resultados.
4 Conclusiones
Una gran parte de los art´ıculos en los que se proponen tests cla´sicos
(Crame´r-von Mises, Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling, etc. . . ) es-
ta´n escritos en una terminolog´ıa muy probabil´ıstica que, para aquellos in-
vestigadores que no esta´n muy familiarizados con las te´cnicas usadas, hace
complicada y dif´ıcil su lectura. Por otra parte, la te´cnicas de remuestreo
actuales, hacen posible tabulaciones para los estad´ısticos mucho ma´s sen-
cillas que las utilizadas por los autores originales, lo que permite evitar
ciertas cotas excesivamente complejas. En este trabajo, y haciendo nues-
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98 p. mart´ınez – c. carleos – n. corral
Figura 1: Diferencias entre la funcio´n de distribucio´n real (estimada desde
10,000 re´plicas de Monte Carlo) del estad´ıstico de Crame´r-von Mises y las
distintas aproximaciones consideradas para n1 = n2 = n3 = 50 (arriba) y
n1 = n2 = n3 = 100 (abajo).
0.0 0.5 1.0 1.5
−0.10
−0.05
0.00
0.05
0.10
n1=n2=n3=50
t
Er
ro
re
s
Permutaciones
Aproximación A(1)
Aproximación A(5)
Aproximación A(10)
0.0 0.5 1.0 1.5
−0.10
−0.05
0.00
0.05
0.10
n1=n2=n3=100
t
Er
ro
re
s
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sobre el estad´ıstico de crame´r–von mises 99
tra la cita del escritor (antan˜o f´ısico) argentino Ernesto Sabato: “. . .Una
buena notacio´n tiene tantas sutilezas y sugerencias que, en ocasiones, se
asemeja a un maestro viviente. . . ”, hemos retomado la generalizacio´n a k-
muestras del estad´ıstico de Crame´r-von Mises propuesta por Kiefer (1956).
Tratando de evitar pasos de una complejidad probabil´ıstica excesiva, pero
sin denostar la valiosa carga teo´rica que estos resultados ofrecen, hemos
usado una notacio´n y un estilo que, pretende ser sencillo, para obtener su
distribucio´n asinto´tica.
En la Seccio´n 3, mediante simulaciones de Monte Carlo, se estudia
la calidad de las aproximaciones que se desprenden de la distribucio´n
asinto´tica y, del siempre socorrido me´todo de las permutaciones y se com-
prueba como una aproximacio´n simple (A(1)) obtiene buenos resultados
estimando P-valores bajos (aproxima bien la cola de la distribucio´n) necesi-
tando utilizar aproximaciones ma´s finas (valores dem elevados) si se desea
precisio´n en la parte inicial de la distribucio´n. El me´todo propuesto, se
aleja de las ca´lculos probabil´ısticos ma´s complejos y propone te´cnicas que,
desde la teor´ıa cla´sica, aprovechan los me´todos computacionales para ta-
bular, con la precisio´n requerida, la distribucio´n de los estad´ısticos cla´sicos,
en particular, el de Crame´r-von Mises para k-muestras independientes.
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