MA–729:∗ TEORÍA DE REPRESENTACIONES
Joseph C. Várilly
Escuela de Matemática, Universidad de Costa Rica
II Ciclo Lectivo del 2015
Introducción
La teoría de representaciones es un término que comprende algunos temas del álgebra y
del análisis matemático cuya característica común es la descripción de simetría en espa-
cios vectoriales. Un juego de matrices cuadradas n × n, por ejemplo, actúa directamente
como transformaciones lineales sobre un espacio vectorial de dimensión n y no necesita
ser representada de otra forma. Sin embargo, diversas otras estructuras algebraicas – en
principio más abstractas – como grupos finitos o álgebras de Lie, por ejemplo, pueden
actuar indirectamente sobre espacios vectoriales. En ese segundo caso, se trata de aso-
ciarle a cada elemento abstracto una matriz (o una aplicación lineal), conservando las
leyes de suma o composición, sobre un espacio vectorial apropiado. La tarea de la teoría
de representaciones es deducir propiedades esenciales de la estructura original a partir
de las matrices que la representan.
Tradicionalmente, las representaciones de grupos se estudian como un apartado de
la teoría de grupos; las representaciones de álgebras asociativas forman un subtema de
la teoría de anillos; las representaciones de los grupos de Lie conforman un aspecto de la
geometría diferencial; etcétera. En los últimos años, ha emergido un enfoque “holístico”
que subsume todas estas estructuras bajo un esquema general, el cual es el objeto de este
curso.
Si una determinada estructura algebraica admite una topología, es natural pedir
que las correspondencias con juegos de aplicaciones lineales sea continua: así, por
ejemplo, para representar un grupo compacto se usa un homomorfismo continuo entre
el grupo y un juego de aplicaciones lineales sobre un espacio vectorial (real o complejo)
de dimensión finita. Para representar un álgebra normada, se puede usar operadores
lineales acotados sobre un espacio de Hilbert infinitodimensional. Aún en estos casos,
es importante conocer a fondo las propiedades algebraicas de sus representaciones antes
∗La sigla MA–729 es ficticia. Para efectos administrativos, la designación oficial de este curso es
“MA–710: Tópicos de Álgebra Superior”.
MA–729: Teoría de Representaciones
de abordar los aspectos topológicos. Por lo tanto, en este curso introductorio el enfoque
es mayormente algebraico, sin recurso a las herramientas del análisis funcional.
El origen de esta teoría es el estudio de los caracteres de grupos finitos, emprendido
por Georg Frobenius y sus seguidores, a partir de 1896. Se debe comenzar, entonces,
por estudiar las representaciones de un grupo finito G sobre un espacio F-vectorial V .
(Aquí el cuerpo de escalares F puede ser cualquiera, aunque muchas veces conviene que
F sea algebraicamente cerrada: entre los cuerpos de característica cero, el cuerpo C de
los números complejos tiene un papel privilegiado.) Ahora bien, cada representación
de G da lugar a una representación del álgebra de grupo F[G] sobre el mismo espacio
vectorial V .
Una segunda fuente histórica de estas ideas son las llamadas álgebras de Lie (no
asociativas), introducidas por SophusLie en la década de las 1870s paramodelar simetrías
infinitésimas de ecuaciones diferenciales. Cada álgebra de Lie g puede ser encajada en
un álgebra asociativa U(g); y nuevamente las representaciones de las dos estructuras
están ligadas.
El punto de partida, entonces, es el contexto de las acciones de álgebras asociativas
sobre espacios vectoriales. Las otras estructuras aparecen luego como casos particulares.
Temario
Álgebras asociativas Estructuras algebraicas: grupos y álgebras sobre un cuerpo F .
Representaciones de álgebras irreducibles e indescomponibles, el lema de Schur.
Ejemplos: el álgebra F[G] de un grupo finito, el álgebra de caminos de un carcaj,
las álgebras tensorial, simétrica y exterior de un espacio vectorial. Álgebras de
Lie y sus álgebras envolventes, el teorema de Poincaré, Birkhoff y Witt. Repre-
sentaciones irreducibles del álgebra de Lie sl(2,C).
Representaciones de álgebras Representaciones semisimples, el teorema de densi-
dad. La estructura de álgebras finitodimensionales. Representaciones indescom-
ponibles, el teorema de Krull y Schmidt. El carácter de una representación.
Representaciones de grupos finitos Semisimplicidad y el teorema de Maschke. Car-
acteres de un grupo, funciones de clase. Las relaciones de ortogonalidad de Schur.
Ejemplos de representaciones, tablas de caracteres. Representaciones inducidas,
la reciprocidad de Frobenius.
2
MA–729: Teoría de Representaciones
Representaciones del grupo Sn Acciones tensoriales de álgebras, el teorema de Schur
y Weyl. Representaciones de Sn, los diagramas de Young. Polinomios simétricos,
los polinomios de Schur. La fórmula de caracteres de Frobenius.
Álgebras de Lie semisimples Elementos de Casimir, el teorema de reducibilidad com-
pleta deWeyl. Álgebra de Lie complejas semisimples y sus subálgebras de Cartan.
Raíces de un álgebra de Lie semisimple. Sistemas de raíces, ejemplos (Al , Bl , Cl ,
Dl , E6, E7, E8, F4 y G2). El grupo de Weyl de un sistema de raíces.
Bibliografía
El temario sigue en parte las lecciones deEtingof: Introduction toRepresentation Theory.
Otros tratamientos unificadores son los libros de Fulton & Harris y de Zhelobenko. La
mayoría de los otros libros de la lista que sigue enfatizan las representaciones de grupos,
pero también ofrecen una perspectiva global.
[1] Pavel Etingof et al, Introduction to Representation Theory, Student Mathematical
Library 59: American Mathematical Society, Providence, RI, 2011.
[2] W. Fulton, Young Tableaux, LondonMathematical Society Student Texts 35: Cam-
bridge University Press, 1997.
[3] W. Fulton & J. Harris, Representation Theory: A First Course, Graduate Texts in
Mathematics 129: Springer, New York, 2004.
[4] J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Grad-
uate Texts in Mathematics 9: Springer, New York, 1972.
[5] C. Procesi, Lie Groups: An Approach through Invariants and Representations,
Universitext: Springer, New York, 2007.
[6] J.-P. Serre, Linear Representations of Finite Groups, Graduate Texts in Mathemat-
ics 42: Springer, New York, 1977.
[7] G. E. Shilov, Linear Algebra, Dover Books, Mineola, NY, 1977.
[8] B. Simon, Representations of Finite and Compact Groups, Graduate Studies in
Mathematics 10: American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.
[9] D. P. Zhelobenko, Principal Structures and Methods of Representation Theory,
Translations of Mathematical Monographs 228: American Mathematical Society,
Providence, RI, 2006.
3
MA–729: Teoría de Representaciones
1 Álgebras asociativas
1.1 Estructuras algebraicas
Un álgebra asociativa sobre un cuerpo F es un anillo y la vez un espacio F-vectorial, cuyas
operaciones algebraicas (suma, producto y multiplicación escalar) son compatibles. Dos
ejemplos destacados son F[X], el álgebra de polinomios con coeficientes en F ; y Mn(F),
el álgebra de matrices n × n (para algún n fijo) con entradas en F .
A continuación, se ofrece un resumen de las definiciones formales de estas y otras
estructuras algebraicas, más que nada para establecer las notaciones usadas en adelante.
Definición 1.1. Un grupo es un conjunto G con un producto G ×G → G : (g, h) 7→ gh,
el cual es asociativo: (gh)k = g(hk) para g, h, k ∈ G; que posee un elemento neutro
1 ∈ G tal que 1g = g1 = g para g ∈ G; y en el cual todo elemento g posee un inverso
g−1 ∈ G tal que gg−1 = g−1g = 1.
El grupo G es abeliano si su operación binaria es conmutativa: gh = hg para todo
g, h ∈ G. En grupos abelianos se acostumbra emplear notación aditiva: g + h = h + g
en G; el elemento neutro para la suma se denota por 0. ♦
Definición 1.2. Un anillo es un conjunto R con dos operaciones binarias asociativas, una
suma y un producto, tales que (R,+) sea un grupo abeliano; (R, ·) posee un elemento
neutro (la identidad 1) para el producto; y se cumplen las leyes distributivas: a(b+ c) =
ab + ac y (a + b)c = ac + bc para todo a, b, c ∈ R.
El anillo es conmutativo si ab = ba para todo a, b ∈ R. ♦
Definición 1.3. Un cuerpo es un anillo conmutativo F en el cual todo elemento no cero
posee un inverso: tt−1 = t−1t = 1 para todo t , 0. En otras palabras, F es un anillo y
F× ≡ F \ {0} es un grupo multiplicativo.1 ♦
Definición 1.4. Un espacio vectorial sobre un cuerpo F (brevemente: un “espacio F-
vectorial”) es un grupo abeliano V dotado de una multiplicación escalar F × V → V :
(t, x) 7→ t x distributiva: t(x + y) = t x + ty y (s + t)x = sx + t x para s, t ∈ F y x, y ∈ V ;
que además satisface s(t x) = (st)x y 1 x = x.
Si V yW son dos espacios F-vectoriales, una función R : V → W es una aplicación
F-lineal (o simplemente lineal) si R(sx + ty) = s R(x) + t R(y) para todo s, t ∈ F y
x, y ∈ V . En el caso de que V = W , dícese que R es un operador F-lineal sobre V . ♦
1El término cuerpo viene del alemán Körper, un término introducido por Richard Dedekind en 1871;
se llama corps en francés, corp en rumano, etc., pero en inglés se usa la palabra field. En español, no debe
usarse la traducción secundaria campo, que denota campos vectoriales, campos magnéticos, etc.
4
MA–729: Teoría de Representaciones 1.1. Estructuras algebraicas
Definición 1.5. Un álgebra asociativa sobre un cuerpo F (brevemente: un “F-álgebra”)
es un anillo A que es a la vez un espacio F-vectorial, en la cual t(ab) = (ta)b para t ∈ F
y a, b ∈ A. (Es decir, la multiplicación escalar es distributiva sobre el producto del
anillo A.)2 ♦
Definición 1.6. Si V y W son dos espacios F-vectoriales, la totalidad de aplicaciones
F-lineales de V en W se denota por HomF (V,W ). nOtro nombre para una aplicación
F-lineal es F-homomorfismo. o Este es evidentemente un espacio F-lineal, al escribir
(sR1 + tR2)(x) := s R1(x) + t R2(x) para x ∈ V .
En el caso V = W , se escribe EndF V := HomF (V,V ); un operador F-lineal sobre V
también se llama un F-endomorfismo lineal de V . Este espacio vectorial es de hecho una
F-álgebra, cuyo producto es la composición de operadores, esto es, RS : x 7→ R(S(x)).
Dicho producto es evidentemente asociativo pero rara vez conmutativo.3 ♦
Cada espacio F-vectorial V posee una base: un conjunto B de vectores linealmente
independiente que generaV , es decir,V = { t1x1+ · · ·+tnxn : x1, . . . , xn ∈ B }. Todas las
bases de V poseen la misma cardinalidad, la cual es la dimensión del espacio vectorial,
dimV ≡ dimF V := #(B). Si B es finita, se puede escribir B = {x1, . . . , xn}.
Si V y W son espacios F-vectoriales finitodimensionales, y si {y1, . . . , ym} es una
base deW , entonces HomF (V,W ) también es finitodimensional, con
dimHomF (V,W ) = (dimV )(dimW ).
En efecto, cualquier aplicación F-lineal T : V → W queda determinada por sus valores
es una base de V , mediante la fórmula
T(x j) =
m∑
i=1
ai j yi para j = 1, . . . , n.
Estos coeficientes ai j son las entradas de lamatriz de T con respecto a este par de bases,
A = [ai j] ∈ Mm×n(F). Las mn aplicaciones Ri j dadas por
Ri j(xk) :=

yi si j = k,
0 si j , k,
2Cada anillo posee una identidad multiplicativa 1 y por lo tanto cada F-álgebra es también “unital”.
A veces conviene considerar una F-álgebra no unital, que posee toda la estructura de un F-álgebra salvo
la existencia de una identidad. Si así fuera, se puede unitizar A al formar la F-álgebra A+ := F ⊕ A (suma
directa de espacios F-vectoriales) con el producto (s, x) (t, y) := (st, t x + sy + xy), cuyo elemento neutro
multiplicativo es (1, 0) ∈ F ⊕ A: este es una “identidad externa” para A.
3Sería más consistente escribir EndF (V ); pero las paréntesis son superfluas cuando el espacio vec-
torial V se denota por una sola letra. Hay que recordar las palabras de sabiduría atribuidas a William
de Ockham: Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem.
5
MA–729: Teoría de Representaciones 1.1. Estructuras algebraicas
forman una base de HomF (V,W ). Es evidente que T = ∑mi=1 ∑nj=1 ai j Ri j y que los Ri j
son F-linealmente independientes.
Si Ei j ∈ Mm×n(F) es la matriz de Ri j con respecto a las mismas bases de V y W ,
se ve fácilmente que la entrada (i, j) de Ei j es 1 y las demás entradas son ceros. Estas
matrices Ei j se llaman unidades matriciales en Mm×n(F) y obviamente constituyen una
base F-vectorial de esta álgebra; en efecto, vale A =
∑m
i=1
∑n
j=1 ai j Ei j .
En el caso de que V = Fn yW = Fm, es natural emplear la base estándar {e1, . . . , en}
de Fn – donde e j es el vector columna con 1 en la fila j, 0 en las demás filas – y también la
base estándar {e′1, . . . , e′m} de Fm. Con ese convenio se identifican Ri j ∈ HomF (Fn, Fm)
con la unidad matricial Ei j y se identificaT con su matriz A. En resumen, el isomorfismo
F-lineal HomF (Fn, Fm) ' Mm×n(F) dado por T 7→ A permite identificar estos espacios
F-vectoriales.
Un caso particular de gran importancia es W = F : cuando el codominio es unidi-
mensional, se declara que el espacio dual de V es
V ∗ := HomF (V, F),
el espacio F-vectorial de formas F-lineales sobre V . Al tomar {1} como base de F y al
colocar f j ≡ R1 j , se obtiene una base { f1, . . . , fn} de V ∗, la llamada base dual a la base
{x1, . . . , xn} de V , determinado por la fórmula
f j(xk) := n j = ko ≡

1 si j = k,
0 si j , k .
(1.1)
Notación. En la fórmula anterior se ha introducido el convenio notacional propuesto por
Iverson, y recomendado por Knuth para uso general.4 Si B(x) es una relación lógica que
depende de un parámetro x, la expresión nB(x)o denota la siguiente función booleana:
nB(x)o :=

1 si B(x) es cierto;
0 si B(x) es falso.
Por ejemplo, la función indicatriz χA de un conjunto A se define como χA(x) := nx ∈ Ao.
La delta de Kronecker, comúnmente escrito δ j k , coincide con la expresión booleana
en (1.1), esto es, δ j k ≡ n j = ko.
4Iverson fue el inventor de APL, en: Kenneth E. Iverson, A Programming Language, Wiley, New
York, 1962. Su notación booleana está usado sistemáticamente en el libro: Ronald L. Graham, Donald E.
Knuth and Oren Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley, Reading, MA, 1989.
6
MA–729: Teoría de Representaciones 1.2. Acciones y representaciones
1.2 Acciones y representaciones
Definición 1.7. Dadas dos estructuras algebraicas X , Y de la misma especie, un homo-
morfismo de X en Y es una función ϕ : X → Y que conserva las operaciones alge-
braicas de esa espacie. Así, un homomorfismo de grupos es una función multiplicativa,
ϕ(gh) = ϕ(g) ϕ(h); un homomorfismo de anillos es aditiva y multiplicativa a la vez; un
homomorfismo de espacios F-vectoriales es simplemente una aplicación F-lineal.
En particular, un homomorfismode F-álgebras pi : A→ C es una aplicación F-lineal
multiplicativa:
pi(sa + tb) = s pi(a) + t pi(b), pi(ab) = pi(a) pi(b) para s, t ∈ F ; a, b ∈ A. ♦
Definición 1.8. Una representación de una F-álgebra A sobre un espacio F-vectorial V
es un homomorfismo de F-álgebras pi : A→ EndF V .
La dimensión n = dimV se llama el grado de la representación pi.
En el caso de que V = Fn, se usa el isomorfismo de F-álgebras EndF (Fn) ' Mn(F)
para considerar cualquier homomorfismo σ : A → Mn(F) como una representación
matricial de la F-álgebra A. ♦
Una representación de un álgebra asociativa, entonces, asocia elementos del álgebra
con endomorfismos lineales de un determinado espacio vectorial (o bien con matrices de
cierto tamaño), de modo compatible con sus operaciones algebraicas. En otras palabras,
los elementos del álgebra se representan por simetrías de un espacio vectorial.
En las teorías de grupos o anillos, los conceptos de acción de grupo sobre un conjunto,
o de acción de un anillo sobre un módulo, juegan un papel análogo. Conviene recordar
estas nociones.
Definición 1.9. Una acción (a izquierda) de un grupo G sobre un conjunto X es una
función Φ : G × X → X tal que:
Φ(g,Φ(h, x)) = Φ(gh, x), Φ(1, x) = x,
para todo g, h ∈ G y x ∈ X . A veces se escribe g · x ≡ Φ(g, x), de tal manera que las
propiedades definitorias de la acción son
g · (h · x) = (gh) · x, 1 · x = x. (1.2)
Si SX denota el grupo de todas las permutaciones de X ,5 también se escribe ϕg(x) :=
g · x = Φ(g, x), de modo que ϕg ◦ϕh = ϕgh para g, h ∈ G; y ϕ1 = 1X . La correspondencia
g 7→ ϕg es entonces un homomorfismo de grupos ϕ : G → SX . ♦
5Una permutación del conjunto X es una biyección σ : X → X . Es evidente que tales biyecciones
forman un grupo, bajo la composición de funciones.
7
MA–729: Teoría de Representaciones 1.2. Acciones y representaciones
Definición 1.10. Una acción (a izquierda) de un anillo R sobre un grupo abeliano M es
una función Ψ : R × M → M tal que:
Ψ(a, x + y) = Ψ(a, x) + Ψ(a, y), Ψ(a,Ψ(b, x)) = Ψ(ab, x),
Ψ(a + b, x) = Ψ(a, x) + Ψ(b, x), Ψ(1, x) = x,
para todo a, b ∈ R; x, y ∈ M . Es común escribir ax ≡ Ψ(a, x), así que
a(x + y) = ax + ay, a(bx) = (ab)x,
(a + b)x = ax + bx, 1 x = x.
En la presencia de una acción de R de este tipo, el grupo abeliano M se llama un
R-módulo (a izquierda). Si EndM denota la totalidad de endomorfismos (de grupo
abeliano) de M , está claro que EndM es un anillo – cuyo producto es la composición de
endomorfismos – y al escribir ψa(x) := ax = Ψ(a, x), la correspondencia a 7→ ψa es un
homomorfismo de anillos ψ : R→ EndM . ♦
Al regresar ahora a la categoría de F-álgebras, se puede definir, de manera exacta-
mente análoga, una acción (a izquierda) de un F-álgebra A sobre un espacio F-vectorial
V como una aplicación F-bilinealΠ : A×V → V tal queΠ(a+b, x) = Π(a, x)+Π(b, x) y
Π(1, x) = x para a, b ∈ A y x ∈ V . Con las notaciones alternativas pia(x) ≡ ax ≡ Π(a, x),
se recupera una representación pi : A→ EndF V .
En vista de estas tratamientos paralelos, el espacio vectorial V en donde opera la
representación pi de A también puede llamarse un A-módulo (a izquierda).
n Es posible unificar un poco los diversos conceptos de esta sección con el lenguaje
de las categorías. Recuérdese que una categoría C comprende tres cosas:
 una clase de objetos: A, B, . . . ;
 para cada par de objetos A, B de C, un conjunto de morfismos, HomC(A, B);
 una ley de composición ( f , g) 7→ g f : HomC(A, B)×HomC(B, D)→ HomC(A, D)
que satisface asociatividad y la existencia de identidades locales 1A ∈ HomC(A, A),
como sigue:
h(g f ) = (hg) f para h ∈ HomC(D, E); y f 1A = f = 1B f .
Cabe mencionar las categorías Gr de los grupos, An de los anillos, F-Vect de los es-
pacios F-vectoriales, y F-Alg de las F-álgebras; cuyos morfismos son, respectivamente,
homomorfismos de grupos, homomorfismos de anillos, aplicaciones F-lineales, y homo-
morfismos de F-álgebras. o
8
MA–729: Teoría de Representaciones 1.2. Acciones y representaciones
I En la categoría de grupos, cada grupo tiene varios subgrupos; en la de espacios
F-vectoriales, cada uno tiene varios subespacios vectoriales; etcétera. ¿Cuál sería el
“subobjeto” apropiado para una representación de un álgebra?
Definición 1.11. Dada una representación pi : A → EndF V de una F-álgebra A, una
subrepresentación de pi es un homomorfismo de F-álgebras ρ : A→ EndF U, donde U
es un subespacio F-vectorial de V que es invariante bajo pi(A), esto es, pi(a)(U) ⊆ U
para todo a ∈ A; y ρ(a) := pi(a)|U para todo a ∈ A.
En otras palabras,U es un A-submódulo de V ; y la acción de ρ sobreU entonces es
la restricción aU de la acción de pi sobre V .
Si σ : A → EndF W es otra representación de A, se puede formar V ⊕ W , la suma
directa de los espacios F-vectoriales V yW . Defínase pi ⊕ σ : A→ EndF (V ⊕W ) por
pi ⊕ σ(a) := pi(a) ⊕ σ(a) ≡
(
pi(a) 0
0 σ(a)
)
∈ EndF (V ⊕W )
para todo a ∈ A. Esta pi ⊕ σ es la suma directa de las representaciones pi y σ.
Al identificar V y W con subespacios F-vectoriales de V ⊕ W , como de costumbre,
se ve que pi y σ son subrepresentaciones de pi ⊕ σ. ♦
Definición 1.12. Cualquier representación pi : A → EndF V tiene dos subrepresenta-
ciones triviales: pi mismo, el la representación nula 0: A→ EndF {0}, que correspon-
den a los dos A-submódulos trivialesW y {0} del espacio F-vectorialW .
Dícese que la representación pi es indescomponible si pi no puede ser escrito como
suma directa de dos subrepresentaciones no nulas.
Dícese que la representación pi es irreducible si pi no posee subrepresentaciones no
triviales, es decir, siW no posee subespacios no triviales e invariantes bajo pi(A).
Una representación irreducible es indescomponible; pero no al contrario. ♦
Ejemplo 1.13. Sea A el álgebra de matrices triangulares
a =
(
a11 a12
0 a22
)
∈ M2(F).
La aplicación idéntica 1A(a) ≡ a define la autorrepresentación 1A : A→ EndF F2. Esta
representación no es irreducible, por cuanto posee un solo subespacio invariante unidi-
mensional U = F ⊕ {0} < F2. Pero sí es indescomponible: cualquier otro subespacio
unidimensional W tal que U ⊕ W = F2 como suma directa F-vectorial,6 es de la forma
6Fíjese bien que aquí no se trata de una suma directa “ortogonal”, porque no hay un producto escalar
a la vista; esteW es un subespacio suplementario aU, no necesariamente un complemento ortogonal.
9
MA–729: Teoría de Representaciones 1.2. Acciones y representaciones
W = F(s, t) para algún vector (s, t) ∈ F2 con t , 0; pero entonces(
1 1
0 1
) (
s
t
)
=
(
s + t
t
)
< W,
así queW no es invariante bajo la acción de A; en consecuencia, F2 no es la suma directa
de dos A-submódulos unidimensionales. ♦
Una de las tareas principales de la teoría de representaciones es la descripción
de las subrepresentaciones irreducibles [respectivamente, indescomponibles], de una
representación dada. Además, hace falta saber cómo descomponer una representación
dada en indescomponibles.
I Las representaciones de una F-álgebra dada A sobre espacios F-vectoriales son los
objetos de una categoría, cuyos morfismos se definen a continuación.
Definición 1.14. Sean pi : A → EndF (V ) y σ : A → EndF (W ) dos representaciones de
una F-álgebra A. Una aplicación F-lineal T : V → W entrelaza pi y σ si
T(pi(a) x) = σ(a)(T x) para todo a ∈ A, x ∈ V, (1.3)
o más brevemente, si T ◦ pi(a) = σ(a) ◦T en HomF (V,W ) para todo a ∈ A. La totalidad
de estas aplicaciones entrelazantes se denota por HomA(V,W ). Este es obviamente un
subespacio F-vectorial de HomF (V,W ).
Las representaciones pi y σ se llaman equivalentes si hay un isomorfismo lineal T
que entrelaza pi y σ; en cuyo caso, T−1 entrelaza σ y pi.
En el caso V = W y σ = pi, es decir, cuando T entrelaza pi consigo mismo, se dice
que T conmuta con pi:
T ◦ pi(a) = pi(a) ◦ T para todo a ∈ A, (1.4)
y se escribe T ∈ EndA(V ). Fíjese que EndA(V ) es una F-subálgebra de EndF (V ). ♦
La aplicación entrelazante T también puede llamarse un (homo)morfismo de repre-
sentaciones. Bajo la composición usual de aplicaciones lineales, estas son los morfismos
de la categoría A-Mod. (Un A-módulo V siempre es el espacio vectorial de una repre-
sentación, porque la acción a izquierda de A sobre V es necesariamente F-lineal.)
Un resultado básico, aunque muy sencillo, de la teoría de representaciones, es el
siguiente Lema de Schur.7
7Este lema apareció por primera vez en el artículo: Issai Schur, “Neue Begründung der Theorie der
Gruppencharaktere”, Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin
(1905), 406–432.
10
MA–729: Teoría de Representaciones 1.3. Ejemplos de álgebras asociativas
Proposición 1.15 (Lema de Schur). Sea T ∈ HomA(V,W ) \ {0} una aplicación F-lineal
no nula que entrelaza dos representaciones pi : A→ EndF (V ) y σ : A→ EndF (W ).
(a) Si pi es irreducible, entonces T es inyectiva.
(b) Si σ es irreducible, entonces T es sobreyectiva.
(c) Si pi y σ son irreducibles, entonces T es un isomorfismo.
En particular, si T ∈ EndA(V ) \ {0} conmuta con una representación irreducible de A,
entonces T es un isomorfismo.
Demostración. Nótese que kerT es un A-submódulo deV y que imT es un A-submódulo
deW . La condición T , 0 dice que kerT , V , imT , {0}.
Ad (a): Si pi es irreducible, V no posee A-submódulos no triviales. Se concluye que
kerT = {0} y por ende T es inyectiva.
Ad (b): Siσ es irreducible,W no posee A-submódulos no triviales, así que imT = W
y por ende T es sobreyectiva.
Ad (c): Inmediato de (a) y (b). 
1.3 Ejemplos de álgebras asociativas
En adelante, F denotará un cuerpo cualquiera. Los ejemplos más comunes son Q (los
números racionales), R (los números reales) y C (los números complejos).
También es útil considerar una extensión finitaQ(α) deQ, donde α ∈ C es un número
algebraico – es decir, α es una raíz de algún polinomio p(x) ∈ Q[x]; si p(α) = 0 con p
de mínimo grado m, cada elemento de Q(α) tiene la forma q(α) con q de grado 6 m;
entonces {1, α, α2, . . . , αm−1} es una base de Q(α) como espacio Q-vectorial. Dícese
que el grado de la extensión Q(α) | Q es [Q(α) : Q] := dimQQ(α) = m.
Un cuerpo F es algebraicamente cerrado cuando cualquier polinomio en F[x] tiene
todas sus raíces en F ; o sea, cuando todo polinomio irreducible en F[x] es de primer
grado. El cuerpo Q de todos los números algebraicos es algebraicamente cerrado, desde
luego; se sabe que Q < C ya que pi < Q, por ejemplo. El llamado teorema fundamental
del álgebra afirma queC es algebraicamente cerrado. Si F no es algebraicamente cerrado,
es posible extenderlo al adjuntar raíces de sus polinomios irreducibles; con la ayuda del
lema de Zorn, es posible comprobar que hay una extensión algebraica mínima F | F que
es algebraicamente cerrada; y que dos extensiones con estas propiedades son isomorfas.8
8Para la existencia y unicidad de la clausura algebraica, véase la sección V.2 del libro: Serge Lang,
Algebra (3a edición), Addison-Wesley, Reading, MA, 1993.
11
MA–729: Teoría de Representaciones 1.3. Ejemplos de álgebras asociativas
Este cuerpo F , bien definido hasta un isomorfismo que preserva el subcuerpo F , se llama
la clausura algebraica de F . En particular, se ve que R ' C.
El subgrupo aditivo de (F,+) generado por 1 puede ser finito o infinito. Si es infinito,
este subgrupo es isomorfo a Z y F posee un subcuerpo mínimo, isomorfo a Q; en tal
caso, dícese que F tiene característica cero (se escribe char F = 0). Si ese grupo es
finito, el período aditivo p del elemento 1 es un número primo, y F posee un subcuerpo
mínimo isomorfo a Fp ≡ Z/pZ; dícese que F tiene característica p (escrito char F = p).
En particular, si F es un cuerpo finito con q elementos, su característica es algún primo p;
si m = [F : Fp], entonces q = pm por un simple conteo de sus elementos. (Vale la pena
remarcar que la clausura algebraica F p es un cuerpo infinito, de característica p.)
La condición de ser F algebraicamente cerrada es importante porque garantiza que
una matriz en C ∈ Mn(F) posee (al menos) un autovalor (y luego, por iteración, posee
n autovalores en F , no necesariamente distintas). En efecto, una autovalor λ de C es
una raíz del polinomio característico pC(x) := det(C − x 1n); como F es algebraicamente
cerrado, existe λ ∈ F con pC(λ) = 0. Esta observación permite refinar el Lema de Schur
para cuerpos algebraicamente cerrados.
Corolario 1.16 (al Lema de Schur). Sea pi : A → EndF (V ) una representación finito-
dimensional irreducible de un álgebra A sobre un cuerpo algebraicamente cerrado F .
Si T ∈ EndA(V ) conmuta con la representación pi, entonces T = λ 1V para algún λ ∈ F .
(En consecuencia, EndA(V ) ' F .)
Demostración. El operador F-linealT sobreV tiene un polinomio característico pT (x) :=
det(T − x 1V ) porque V es finitodimensional. Luego, T posee un autovalor λ ∈ F . El
operador (T − λ 1V ) conmuta9 con pi y ker(T − λ 1V ) , {0}. La Proposición 1.15 y la
irreducibilidad de pi entonces implican que T − λ 1V = 0. 
Corolario 1.17. Si A es un F-álgebra conmutativa y F es algebraicamente cerrada,
cualquier representación finitodimensional irreducible de A tiene rango 1.
Demostración. Si pi : A → EndF (V ) es finitodimensional e irreducible, cada operador
pi(a) conmuta con pi(b), para a, b ∈ A. Luego pi(a) = ρ(a) 1V donde ρ : A → F es un
homomorfismo. Si x ∈ V con x , 0, entonces F x := { λx : λ ∈ F } es un subespacio
A-invariante de V . Entonces V = F x por irreducibilidad; es decir, dimV = 1. 
En el caso general (F no necesariamente algebraicamente cerrado) de una repre-
sentación irreducible de A sobreV , el lema de Schur (Proposición 1.15) dice queEndA(V )
es una F-álgebra de división. En el caso F = R, hay tres álgebras de división reales
9Es obvio que el operador identidad 1V pertenece a EndA(V ).
12
MA–729: Teoría de Representaciones 1.3. Ejemplos de álgebras asociativas
finitodimensionales: R mismo; C como extensión del cuerpo R, de grado 2; y H, el
R-álgebra de los cuaterniones, con dimRH = 4. (Un teorema notable, de Wedderburn,
asegura que no hay otras.) En cambio, de la demostración anterior se ve que la única
álgebra de división compleja finitodimensional es la propia C.
I De ahora en adelante, se trabajará con un cuerpo fijo F . Cuando sea necesaria, se
indicará si F es algebraicamente cerrado o no. A continuación, se ofrece un catálogo de
F-álgebras importantes.
Ejemplo 1.18. Las siguientes F-álgebras son conmutativas:
(a) El álgebra unidimensional, A = F mismo.
(b) El álgebra de polinomios en una incógnita, A = F[x].
(c) El cociente de F[x] por el ideal principal (xm) es un álgebra conmutativa de
dimensión finita m: al poner x¯ := x + (xm) ∈ A, se ve que {1, x¯, . . . , x¯m−1} es una
base F-vectorial de A. Esta álgebra tiene elementos nilpotentes, pues x¯m = 0.
(d) El álgebra de polinomios en varias incógnitas, A = F[x1, . . . , xn]. Aquí se asume
que las incógnitas conmutan, x j xk = xk x j para j, k = 1, . . . , n, así que cualquier
elemento de A es una suma finita
a =
∑
M
aM xM ≡
∑
M
aM x
m1
1 x
m2
2 · · · xmnn
donde cada M = (m1,m2, . . . ,mn) ∈ Nn es un multiíndice.
(e) El álgebra trivial A = {0}. Este es el anillo nulo10 y a la vez es el espacio
F-vectorial de dimensión cero. ♦
nLas álgebras del Ejemplo 1.18 son finitamente generadas. En problemas de análisis
se encuentran álgebras conmutativas que no son finitamente generadas. Si F = R o C
y si X es un espacio topológico compacto, se puede considerar el álgebra de funciones
continuas A = C(X,R) [respectivamente, A = C(X,C)] con suma y producto puntual
de funciones. En tales casos, se recomienda usar la norma ‖ f ‖∞ := supx∈X | f (x)|, la
cual, amén de la desigualdad triangular ‖ f + g‖∞ 6 ‖ f ‖∞ + ‖g‖∞ posee la propiedad
submultiplicativa:
‖ f g‖∞ 6 ‖ f ‖∞ ‖g‖∞ .
10Cualquier anillo R debe tener una identidad multiplicativa 1; pero no se excluye la posibilidad 1 = 0.
En efecto, vale 1 = 0 si y solo si R = {0}.
13
MA–729: Teoría de Representaciones 1.3. Ejemplos de álgebras asociativas
(Esto implica la continuidad del producto m : A × A→ A). Dícese que A es un álgebra
normada si la norma es submultiplicativa. El espacio vectorial C(X,R) [resp., C(X,C)]
es además completo en esta norma:11 se trata de un álgebra deBanach (real o complejo). o
Ejemplo 1.19. Si V es un espacio F-vectorial, el álgebra de endomorfismos lineales
A = EndF V no es conmutativa si dimV > 1.
En el caso finitodimensional V = Fn, se identifica esta álgebra con el álgebra de
matrices A = Mn(F) – véase la Definición 1.8 – la cual no es conmutativa si n > 1. ♦
El álgebra A = EndF V tiene una representación obvia: la autorrepresentación
1A : A→ EndF V sobre el A-módulo V . De igual modo, el álgebra de matrices tiene una
autorrepresentación sobre Fn. Esta autorrepresentación es irreducible, porque los únicos
subespacios de Fn invariantes bajo Mn(F) son {0} y Fn.
Ejemplo 1.20. Si G es un grupo finito, el álgebra del grupo F[G] es la totalidad de
combinaciones lineales a =
∑
g∈G ag g con g ∈ G y ag ∈ F , con la suma a + b :=∑
g∈G(ag + bg) g. (En breve: los elementos deG forman una base F-vectorial para F[G].)
El producto en F[G] aprovecha la multiplicación del grupo:
ab =
(∑
h∈G
ah h
) (∑
k∈G
bk k
)
:=
∑
h∈G
∑
k∈G
ahbk hk =
∑
g∈G
( ∑
hk=g
ahbk
)
g , (1.5)
con lo cual (ab)g := ∑hk=g ahbk . Fíjese que el elemento neutro 1 ∈ G es también la
identidad del álgebra F[G]. El álgebra F[G] es conmutativo si y solo siG es abeliano. ♦
La estructura de F[G] es generalmente intrincada si G no es abeliano. De hecho, una
aplicación importante de la teoría de representaciones es la de determinar la estructura
del grupo G mediante un estudio de sus representaciones irreducibles.
Definición 1.21. Si V es un espacio F-vectorial, denótese por GLF (V ) el grupo de
automorfismos F-lineales (es decir, endomorfismos F-lineales invertibles) de V , bajo
composición. Este es el grupo general lineal de V ; se puede omitir el subíndice F si el
cuerpo de base es fijo.
Una representación del grupo finito G es un homomorfismo pi : G → GLF (V ).
Este pi se extiende por F-linealidad a una aplicación F-lineal p˜i : F[G]→ EndF V por:
p˜i(a) :=
∑
g∈G
ag pi(g) si a =
∑
g∈G
ag g.
11El álgebra compleja C(X ;C) posee otras propiedades importantes. La conjugación compleja de fun-
ciones, f ∗(x) := f (x), hace de C(X,C) un álgebra (de Banach) involutiva. La involución f 7→ f ∗ además
obedece la propiedad notable ‖ f ∗ f ‖∞ = ‖ f ‖2∞, por lo que C(X ;C) se llama una C∗-álgebra. La teoría de
representaciones de C∗-álgebras es un subcampo destacado de la teoría general de representaciones.
14
MA–729: Teoría de Representaciones 1.3. Ejemplos de álgebras asociativas
Es evidente de la definición del producto (1.5) que p˜i(ab) = p˜i(a)p˜i(b), así que p˜i es
efectivamente un homomorfismo de F-álgebras.
El espacio vectorial V es un F[G]-módulo. Para enfatizar la acción de los elementos
del grupo, también se dice que V es un G-módulo. Dicho de otra manera: V es un
G-módulo si el grupo G actúa sobre V mediante aplicaciones F-lineales. ♦
Definición 1.22. Un álgebra de Lie sobre F es un espacio F-vectorial g dotado de una
operación F-bilineal g × g → g denotado por (x, y) 7→ [x, y], llamado corchete, que
cumple, para todo x, y, z ∈ g:
(i) [x, y] = −[y, x] (antisimetría),
(ii) [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0 (identidad de Jacobi). (1.6)
El álgebra de Lie es abeliano si el corchete es idénticamente cero. Nótese que las
propiedades anteriores son incompatibles con asociatividad si g no es abeliano, porque
[[x, y], z] − [x, [y, z]] = [[x, y], z] + [[y, z], x] = [y, [z, x]] no se anula en general. ♦
Ejemplo 1.23. Cualquier F-álgebra asociativa A da lugar a un álgebra del Lie, al definir
el corchete de dos elementos de A como su conmutador:
[a, b] := ab − ba.
Este es evidentemente antisimétrica; y la identidad de Jacobi del corchete es una conse-
cuencia inmediata de la asociatividad del producto (a, b) 7→ ab.
En particular, EndF V es un álgebra de Lie, con este el corchete. Para distinguir esta
estructura de la del álgebra asociativa, este espacio F-vectorial se rebautiza glF (V ) –
o bien gl(V ) cuando F es fijo – y se le llama el álgebra de Lie general lineal sobre V .
En el caso V = Fn, se escribe gl(n, F) ≡ gl(Fn) para denotar las matrices Mn(F) con
la operación de conmutador.
Las matrices de traza cero forma un subespacio vectorial preservado por el conmu-
tador, así que
sl(n, F) := { a ∈ gl(n, F) : tr a = 0 } (1.7)
es una subálgebra de Lie de gl(n, F), el álgebra de Lie especial lineal sobre Fn. ♦
Definición 1.24. Un homomorfismo de álgebras de Lie ϕ : g → h es una aplicación
F-lineal tal que ϕ([x, y]) = [ϕ(x), ϕ(y)] para x, y ∈ g.
Una representación de álgebras de Lie sobre un espacio F-vectorial V es un homo-
morfismo ϕ : g→ glF (V ). ♦
15
MA–729: Teoría de Representaciones 1.3. Ejemplos de álgebras asociativas
Definición 1.25. Sea g un álgebra deLie finitodimensional sobre F , con una base vectorial
{e1, e2, . . . , en}. El corchete se expresa mediante un juego de constantes de estructura
{ cki j : i, j, k = 1, . . . , n } por las fórmulas12
[ei, e j] =
n∑
k=1
cki jek . (1.8a)
Las propiedades (1.6) del corchete implican ciertas restricciones sobre estas constantes:13
ckji = −cki j,
n∑
i=1
cki jc
i
lm + c
k
ilc
i
m j + c
k
imc
i
jl = 0.
Se puede definir una F-álgebra asociativa, que incluye g como subespacio vectorial al
tomar {e1, e2, . . . , en} como generadores del álgebra, sujeto a las n2
 relaciones siguientes:
eie j − e jei =
n∑
k=1
cki jek para i, j = 1, . . . , n. (1.8b)
El álgebra asociativa así definida se denota por U(g): esta es el álgebra universal
envolvente de g. ♦
La definición anterior es provisional, porque parece depender de la base de g elegida.
Resulta, sin embargo, que el uso de otra base determina un álgebra asociativa isomorfa a la
original. Además, se puede comprobar que la aplicación F-lineal g→ U(g) determinada
por ei 7→ ei es inyectiva – su imagen no está afectada por las relaciones (1.8b).
Lema 1.26. La F-álgebra U(g) tiene la siguiente propiedad universal: si ϕ : g → A es
un homomorfismo de álgebras de Lie, donde A es un F-álgebra asociativa con corchete
[a, b] := ab− ba, se puede extender ϕ a un homomorfismo de F-álgebras ϕ˜ : U(g)→ A.
Demostración. Para la identidad 1 de U(g), la cual no pertenece al subespacio g, se
define ϕ˜(1) := 1 ∈ A. Si x, y ∈ g, se define ϕ˜(xy) := ϕ(x)ϕ(y) ∈ A. Por linealidad, se
obtiene
ϕ˜(xy − yx) = ϕ˜(xy) − ϕ˜(yx) = [ϕ(x), ϕ(y)] = ϕ([x, y]) ∈ A,
y en particular ϕ˜(eie j −e jei) = ϕ([ei, e j]) = ∑nk=1 cki jϕ(ek). Esto implica que la extensión
ϕ˜ está bien definida sobre el subespacio deU(g) generado por productos de dos elementos
de g. Luego se extiende ϕ˜ a un homomorfismo bien definido sobre todo U(g) por un
argumento inductivo. 
12Se suele omitir el símbolo de la sumatoria en las fórmulas (1.8), con el uso del convenio de Einstein.
13Inversamente, una colección de constantes cki j que satisfacen estas restricciones determina un corchete
sobre Fn .
16
MA–729: Teoría de Representaciones 1.3. Ejemplos de álgebras asociativas
En consecuencia, cualquier representación de un álgebra de Lie g se extiende a una
representación del álgebra asociativa U(g).
Definición 1.27. Un carcaj es un grafo orientado; esto es, un conjunto N de vértices o
nodos, junto con un conjunto F de aristas o flechas entre los nodos; cada flecha tiene un
nodo inicial y un nodo terminal. Puede haber varias flechas (en ambos sentidos) entre
un determinado par de nodos; y puede haber lazos, que son flechas con el mismo nodo
inicial y terminal.
Si f ∈ F y si m, n ∈ N , la notación f : m → n indica que la flecha f tiene el nodo
inicial m y el nodo terminal n. Para una flecha f dada, se escribe m f y n f para sus
respectivos nodos inicial y terminal. ♦
• • • •
•
•
•
• •
Figura 1.1: Tres carcajes simples
Definición 1.28. Una representación de un carcaj Q = (N, F) asigna a cada nodo
n ∈ N un espacio F-vectorial Vn; y también asigna a cada flecha f : m → n una
aplicación F-lineal T f : Vm → Vn. ♦
Definición 1.29. Sea Q = (N, F) un carcaj finito (esto es, los conjuntos N y F son
finitos). Se define FQ, el F-álgebra del carcaj, al tomar como base F-vectorial todos los
caminos c = fr · · · f2 f1 de flechas consecutivas (el nodo terminal de cada fi es el nodo
inicial de fi+1), incluyendo los caminos triviales pn para cada n ∈ N . El producto en
FQ es la concatenación de caminos; si el nodo terminal del camino c1 no coincide con
el nodo inicial de c2, se define c2c1 := 0.
Alternativamente, se puede definir FQ como la F-álgebra generada por elementos
{ pn : n ∈ N } unionmulti { a f : f ∈ F } con las siguientes relaciones:
pmpn = pn nm = no; a f pm = a f nm = m f o; pna f = a f nn = n f o. (1.9)
Si mg , n f , entonces aga f = agpmg pn f a f = 0. Nótese que
∑
n∈n pn = 1 en FQ. ♦
Cada representación del álgebra FQ define una representación del carcaj finito Q
y viceversa. En efecto, si σ : FQ → EndF V es un homomorfismo de álgebras, sea
17
MA–729: Teoría de Representaciones 1.4. Productos tensoriales
Vn := σ(pn)(V ) para cada n ∈ N ; y para f : m → n en F, defínase T f : Vm → Vn por
T f := σ(a f )|Vm . Las relaciones pmpn = 0 si m , n y
∑
n pn = 1 implican que V es
la suma directa de los subespacios vectoriales Vn. Además, las relaciones pna f = 0 si
n , n f muestran que la imagen de σ(a f ) es un subespacio de Vn f .
Inversamente, dada una representación del carcaj finitoQ, sobre el espacio F-vectorial
V :=
⊕
n∈N Vn se puede identificar endomorfismos pi(pn), pi(a f ) que cumplen las rela-
ciones (1.9), obteniendo así una representación de FQ sobre V .
I Los ejemplos de esta sección exhiben una gama de álgebras asociativas obtenidas
de otras estructuras subyacentes (grupos, álgebras de Lie, carcajes). Cada una de estas
estructuras tiene su propio concepto de representación o acción lineal; y en cada caso, hay
una representación o acción lineal del álgebra asociada. Se trata, entonces, de clasificar
las representaciones básicas en cada categoría y sus combinaciones en representaciones
más generales. El punto de partida es el caso de las álgebras asociativas.
1.4 Productos tensoriales
Una herramienta esencial de la teoría de representaciones es el concepto de producto
tensorial. En primera instancia, conviene recordar la definición del producto tensorial
de espacios vectoriales.
Notación. A partir de ahora, el convenio de Einstein estará en vigor: en una expre-
sión con índices inferiores y superiores, se sobreentiende una sumatoria sobre índices
repetidas (que ocurren una vez abajo y una vez arriba), salvo indicación expresa de lo
contrario. Por ejemplo, la fórmula (1.8a) se escribe así:
[ei, e j] = cki jek ,
con una sumación implícita sobre el índice repetido k.
Sean U y V dos espacios F-vectoriales. Denótese por B(U,V ) la totalidad de apli-
caciones bilineales h : U × V → F . Si x ∈ U, y ∈ V , la evaluación h 7→ h(x, y) es
lineal; este elemento del espacio F-vectorial dual B(U,V )∗ será denotado por x ⊗ y. Si
x = x j u j , y = yk vk expresan estos vectores como combinaciones lineales de bases
{u j} de U y {vk} de V , entonces h(x, y) = x j yk h(e j, f k) por la bilinealidad de h. Esto
muestra que
x ⊗ y = x j yk(e j ⊗ f k)
así que los elementos e j ⊗ f k constituyen a su vez una base F-vectorial de B(U,V )∗.
La expresión x ⊗ y se llama un tensor simple. No todo elemento de B(U,V )∗ tiene
esta forma; en general, un elemento de B(U,V )∗ es una suma finita de éstos.
18
MA–729: Teoría de Representaciones 1.4. Productos tensoriales
Definición 1.30. SiU yV son dos espacios vectoriales sobre F , su producto tensorial es
el espacio F-vectorial U ⊗F V ≡ B(U,V )∗. Sus elementos son sumas finitas de tensores
simples x ⊗ y, con x ∈ U, y ∈ V , los cuales cumplen las siguientes identidades:
(x1 + x2) ⊗ y = x1 ⊗ y + x2 ⊗ y,
x ⊗ (y1 + y2) = x ⊗ y1 + x ⊗ y2,
t(x ⊗ y) = t x ⊗ y = x ⊗ ty para todo t ∈ F .
SiU y V son finitodimensionales, entonces dim(U ⊗F V ) = (dimU) (dimV ). ♦
Si V es un espacio F-vectorial, está claro que dim(F ⊗ V ) = dimV = dim(V ⊗ F),
porque hay isomorfismos lineales F ⊗ V ' V ' V ⊗ F , dadas por 1 ⊗ x ↔ x ↔ x ⊗ 1
para x ∈ V . Nada se pierde al identificar estos tres espacios vectoriales mediante estas
correspondencias.
Si U, V y W son tres espacios F-vectoriales, la evaluación k 7→ k(x, y, z) de una
forma trilineal k en tres vectores se puede denotar por
x ⊗ y ⊗ z := (x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ (y ⊗ z).
De esta manera el espacio F-vectorial dual del espacio T(U,V,W ) de las aplicaciones
trilineales k : U × V ×W → F se puede denotar por
U ⊗F V ⊗F W ' (U ⊗F V ) ⊗F W ' U ⊗F (V ⊗F W ). (1.10)
Más generalmente, el producto tensorial de tres o más espacios F-vectoriales puede
escribirse sin emplear paréntesis, en vista de estos isomorfismos.
El producto tensorial de espacios F-vectoriales tiene la siguiente propiedad universal:
existe una aplicación F-bilineal canónica θ : U × V → U ⊗F V tal que a cada aplicación
F-bilineal g : U ×V → W le corresponde una única aplicación F-lineal g˜ : U ⊗F V → W
que satisface g˜ ◦ θ = g:
U × V
W
U ⊗F V
g
θ
g˜
En efecto, se define θ(x, y) := x ⊗ y para x ∈ U , y ∈ V . Es evidente de la definición
de (x ⊗ y) que θ es bilineal. Dado una aplicación bilineal g : U × V → W se define
g˜(x ⊗ y) := g(x, y) necesariamente; su extensión por linealidad a todoU ⊗F V (las sumas
19
MA–729: Teoría de Representaciones 1.4. Productos tensoriales
finitas de tensores simples) es la aplicación lineal buscada. (La unicidad de g˜ muestra
fácilmente que cualquier otro espacio vectorial con la misma propiedad universal es
isomorfo aU ⊗F V .)
En vista de los isomorfismos (1.10), se puede definir el producto tensorial de tres o
más espacios F-vectoriales con una propiedad universal análoga. Para aliviar la notación,
se escribirá U ⊗ V en vez de U ⊗F V cuando no hay ambigüedad sobre el cuerpo F . Es
útil abreviar V⊗n ≡ V ⊗ · · · ⊗ V (n veces).
Definición 1.31. Si S : U1 → U2 y T : V1 → V2 son aplicaciones F-lineales, su producto
tensorial es la aplicación F-lineal S ⊗T : U1 ⊗V1 → U2 ⊗V2 dada sobre tensores simples
por
S ⊗ T(x ⊗ y) := S(x) ⊗ T(y). (1.11)
Es de notar que S ⊗ T está bien definida, porque basta evaluarla en elementos de una
base, S ⊗ T(u j ⊗ vk) := S(u j) ⊗ T(vk), y observar que la extensión lineal de esta receta
da la fórmula (1.11) sobre tensores simples. ♦
Definición 1.32. Si V es un espacio F-vectorial, el álgebra tensorial T(V ) es la suma
directa de los espacios F-vectoriales V⊗n sobre todo n ∈ N:
T(V ) :=
∞⊕
n=0
V⊗n ≡ F ⊕ V ⊕ (V ⊗ V ) ⊕ (V ⊗ V ⊗ V ) ⊕ · · ·
con el producto dado por (la extensión lineal de) la concatenación de tensores simples:
(u1 ⊗ · · · ⊗ uk) ⊗ (v1 ⊗ · · · ⊗ vr) := u1 ⊗ · · · ⊗ uk ⊗ v1 ⊗ · · · ⊗ vr ∈ V⊗(k+r).
Este es evidentemente una F-álgebra asociativa, de dimensión infinita (si V , {0}). ♦
Lema 1.33. La F-álgebra tensorial T(V ) tiene la siguiente propiedad universal: cual-
quier aplicación F-lineal f : V → A con valores en una F-álgebra asociativa se extiende
de manera única en un homomorfismo de F-álgebras f˜ : T(V )→ A.
Demostración. La definición de f˜ sobre T0(V ) ⊕ T1(V ) es automática: f˜ (1) := 1 ∈ A y
f˜ (x) := f (x) para x ∈ V . Como (x, y) 7→ f (x) f (y) ∈ A es bilineal sobreV ×V , se define
f˜ sobre T2(V ) por f˜ (x ⊗ y) := f (x) f (y), necesariamente. Más generalmente, se debe
definir f˜ sobre Tn(V ) por f˜ (x1 ⊗ · · · ⊗ xn) := f (x1) · · · f (xn), ya que el lado derecho es
n-lineal en (x1, . . . , xn). Es evidente que la aplicación F-lineal f˜ : T(V )→ A construida
de esta manera es multiplicativa; es decir, es un homomorfismo de F-álgebras. 
20
MA–729: Teoría de Representaciones 1.4. Productos tensoriales
El álgebra tensorial T(V ) es un ejemplo de una F-álgebra graduada, esto es, una
F-álgebra que puede expresarse como suma directa A =
⊕
n∈N A
n de F-subespacios
An tales que AmAn ⊆ Am+n para m, n ∈ N – es decir, la graduación es compatible
con el producto.14 En el caso de marras, Tn(V ) ≡ V⊗n es el subespacio de elementos
homogéneos de grado n.
I Un ideal de una F-álgebra A es un subespacio F-vectorial J ⊆ A que es a su vez un
ideal del anillo A. Entonces el cociente A/J := { a + J : a ∈ A } es otra F-álgebra. Si
J es un ideal graduado: J =
⊕∞
n=0 J
n con Jn := J ∩ An, entonces el cociente es una
F-álgebra graduada, con (A/J)n := An/Jn.
Hay varias álgebras importantes que pueden definirse como cocientes de un álgebra
tensorial.
Definición 1.34. Si V es un espacio F-vectorial, el álgebra simétrica S(V ) generado
por V es el cociente de T(V ) por el ideal I generado por los elementos
x ⊗ y − y ⊗ x ∈ V ⊗ V .
Fíjese que I es un ideal graduado, con I0 = {0}, I2m+1 = {0} para m ∈ N pues todos
los generadores de I son homogéneos de grado 2. Entonces S(V ) = ⊕∞n=0 SnV es una
F-álgebra graduada, con S0V = F y S1V = V .
Si u1 ∨ u2 ∨ · · · ∨ un ∈ SnV denota la coclase de u1 ⊗ u2 ⊗ · · · ⊗ un ∈ V⊗n y si σ ∈ Sn
es una permutación, entonces uσ(1) ∨ · · · ∨uσ(n) = u1 ∨ · · · ∨un porque σ es un producto
de transposiciones. De ahí se ve que el producto ∨ en el álgebra S(V ) es conmutativa.
El subespacio SnV de S(V ) se llama la n-ésima potencia simétrica del espacio
vectorial V . ♦
Definición 1.35. SiV es un espacio F-vectorial, el álgebra exteriorΛ(V ) generado porV
es el cociente de T(V ) por el ideal generado por los elementos (x ⊗ y + y ⊗ x) ∈ V ⊗ V .
Entonces Λ(V ) = ⊕∞n=0ΛnV es una F-álgebra graduada, con Λ0V = F y Λ1V = V .
Si u1 ∧ u2 ∧ · · · ∧ un ∈ ΛnV denota la coclase de u1 ⊗u2 ⊗ · · · ⊗un ∈ V⊗n y si σ ∈ Sn
es una permutación, entonces uσ(1)∧· · ·∧uσ(n) = (−1)σu1∧· · ·∧un donde (−1)σ denota
el signo de la permutación σ. En particular, dos elementos de V = Λ1V anticonmutan:
x ∧ y = −y ∧ x.
El subespacio ΛnV de Λ(V ) se llama la n-ésima potencia exterior del espacio
vectorial V . Si d := dimV es finita, la anticonmutatividad de los elementos de una base
14Si B y C son subespacios de una F-álgebra A, la notación BC denota el subespacio F-vectorial
generado por los elementos bc, con b ∈ B, c ∈ C. Cada elemento de BC es una suma finita b1c1+ · · ·+br cr
de tales productos.
21
MA–729: Teoría de Representaciones 1.4. Productos tensoriales
de V muestra que dim(ΛnV ) = dn
. En particular, resulta que ΛnV = {0} si n > d y que
ΛdV es unidimensional. En este caso, el álgebraΛ(V ) también es finitodimensional, con
dimΛ(V ) = 2d . ♦
Definición 1.36. Si g es un álgebra de Lie sobre F , sea J el ideal de T(g) generado por
los elementos de la forma
x ⊗ y − y ⊗ x − [x, y], para x, y ∈ g.
Si {e1, e2, . . . , en} es una base F-vectorial de g, la bilinealidad del corchete implica que
el ideal J es generado por el conjunto finito de elementos ei ⊗ e j − e j ⊗ ei − cki jek en
vista de las relaciones (1.8a). Si η : T(g) → T(g)/J es la aplicación cociente (la cual es
un homomorfismo de F-álgebras), se cumplen relaciones análogas a (1.8b):
η(ei)η(e j) − η(e j)η(ei) = cki j η(ek) para i, j = 1, . . . , n. (1.12)
Denótese la F-álgebra cociente (provisionalmente) porU′(g) := T(g)/J. La construcción
de U′(g) no depende de la elección de una base de g. Resulta que U′(g) es isomorfa al
álgebra U(g) de la Definición 1.25, en vista de las relaciones (1.12) y de la inyectividad
de la restricción de η a T1(g) = g. ♦
De todos modos, es fácil verificar que U′(g) tiene la misma propiedad universal que
U(g) – véase el Lema 1.26: si ϕ : g → A es un homomorfismo de álgebras de Lie, con
valores en una F-álgebra asociativa A, se puede extender ϕ a un (único) homomorfismo de
F-álgebras ϕ˜ : U′(g)→ A. En efecto, sea ϕ : T(g)→ A el homomorfismo de F-álgebras
que extiende ϕ al álgebra tensorial, según el Lema 1.33. Está claro que
ϕ(x ⊗ y − y ⊗ x − [x, y]) = ϕ(x)ϕ(y) − ϕ(y)ϕ(x) − ϕ([x, y]) = 0,
así que J ⊆ ker ϕ. Entonces el homomorfismo ϕ pasa al cociente como otro homomor-
fismo ϕ˜ : T(g)/J → A. La unicidad de ϕ˜ es consecuencia de la unicidad de ϕ.
El ideal J no es un ideal graduado, así que U(g) no es una F-álgebra graduada –
exceptuando el caso de un álgebra de Lie abeliana, donde U(g) coincide con S(g). En
general, U(g) solo es un ejemplo de una F-álgebra filtrada. Esta es una F-algebra
que puede expresarse como una unión creciente de subespacios, A =
x⋃∞n=0 An, con
An ⊆ An+1 y AmAn ⊆ Am+n. nSi A es un álgebra graduada, también es un álgebra
filtrada; se puede tomar An :=
⊕n
k=0 A
k . o
Sea Un(g) el subespacio de U(g) generado por los monomios ei1ei2 · · · eik con k 6 n.
Este subespacio no depende de la base de g, es obvio que Un(g) ⊆ Un+1(g) y que
Um(g)Un(g) ⊆ Um+n(g). Esto define una filtración de la F-álgebra U(g).
22
MA–729: Teoría de Representaciones 1.4. Productos tensoriales
I La inyectividad de la aplicación cociente η sobre T1(g) sigue del siguiente teorema.
Como corolario, se ve que U1(g) ' F ⊕ g (como espacios F-vectoriales).
Elíjase una base ordenada {e1, e2, . . . , en} de g (arbitraria pero fija). Un monomio
ordenado M = ei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ eik en T(g) puede llamarse anagógico15 si los índices
están en orden creciente: i1 6 i2 6 · · · 6 ik . Sea Tn(g)ana el subespacio vectorial
de Tn(g) =
⊕n
k=0 g
⊗k generado por los monomios anagógicos (que son linealmente
independientes). Un monomio M más general tiene un índice i(M) que cuenta el número
de descensos (cuando i j > i j+1) en los subíndices de M; de tal manera que M es
anagógico si y solo si i(M) = 0.
Esta terminología permite enunciar el lema siguiente.16
Lema 1.37. Si n ∈ N, hay una única aplicación F-lineal σ : Tn(g)→ Tn(g)ana tal que:
(a) la restricción de σ a Tn(g)ana es la identidad;
(b) para x, y ∈ g; A, B ∈ T(g), se cumple la relación:
σ(A ⊗ x ⊗ y ⊗ B) = σ(A ⊗ y ⊗ x ⊗ B) + σ(A ⊗ [x, y] ⊗ B). (1.13)
Demostración. Se debe definir σ sobre tensores simples M = ei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ eik , por
inducción sobre el grado k y el índice i(M). Cuando i(M) = 0, colóquese σ(M) := M
para cumplir el requisito (a).
Si i(M) > 0, el monomio M es de la forma M = A ⊗ e j ⊗ ei ⊗ B con j > i; el
monomio N = A⊗ ei ⊗ e j ⊗ B tiene índice i(M) o bien i(M)± 1. Al repetir la operación
varias veces, eventualmente se obtiene un monomio de índice i(M)− 1; considérese, por
ejemplo, la composición de transposiciones:
(4321) 7−→ (4231) 7−→ (2431) 7−→ (2413) 7−→ (2143) 7−→ (2134) 7−→ (1234).
Entonces la receta recursiva (se comprobará que está bien definida):
σ(A ⊗ e j ⊗ ei ⊗ B) := σ(A ⊗ ei ⊗ e j ⊗ B) + σ(A ⊗ [e j, ei] ⊗ B)
sirve para extender σ por inducción a todo Tn(g).
Para monomios con i(M) = 1 e i(N) = 0, la receta sí define σ(M) := N + R, donde
el grado de R es menor que el grado de M . Para monomios con i(M) > 2, se debe
15Por un abuso de lenguaje: una anagoge usualmente denota una elevación espiritual o místico.
16Tomado de la subsección 5.7.1 del libro de Procesi. Todas las demostraciones del teorema de
Poincaré, Birkhoff y Witt requieren alguna artimaña combinatoria; esta es una de las menos engorrosas.
23
MA–729: Teoría de Representaciones 1.4. Productos tensoriales
verificar que σ(M) no depende del orden de revertir dos descensos. Hay dos casos que
considerar, según los descensos sean consecutivos o no.
En el caso de descensos no consecutivos, tómese M = A ⊗ e j ⊗ ei ⊗ C ⊗ el ⊗ ek ⊗ B
con j > i, l > k. Para simplificar la notación, escríbase σ(A ⊗ R ⊗ B) =: τ(R). Al
revertir el primer descenso, se obtiene, por la linealidad de τ:
τ

ei ⊗ e j ⊗ C ⊗ el ⊗ ek + [e j, ei] ⊗ C ⊗ el ⊗ ek

= τ

ei ⊗ e j ⊗ C ⊗ ek ⊗ el + ei ⊗ e j ⊗ C ⊗ [el, ek]
+ [e j, ei] ⊗ C ⊗ ek ⊗ el + [e j, ei] ⊗ C ⊗ [el, ek]

= τ

e j ⊗ ei ⊗ C ⊗ ek ⊗ el + e j ⊗ ei ⊗ C ⊗ [el, ek]
.
El resultado final entonces no depende del orden de revertir i ↔ j o bien k ↔ l.
En el caso de descensos consecutivos, tómese M = A⊗ ek ⊗ e j ⊗ ei ⊗B con k > j > i.
Se debe averiguar si hay igualdad en la relación siguiente:
τ

e j ⊗ ek ⊗ ei + [ek, e j] ⊗ ei
 ?= τek ⊗ ei ⊗ e j + ek ⊗ [e j, ei]
. (1.14)
Se puede aplicar la receta inductiva a los dos lados, para obtener
τ

e j ⊗ ei ⊗ ek + e j ⊗ [ek, ei] + [ek, e j] ⊗ ei

?
= τ

ei ⊗ ek ⊗ e j + [ek, ei] ⊗ e j + [e j, ei] ⊗ ek + [ek, [e j, ei]]
.
Aplicar la receta inductiva una vez más a los dos lados, se obtiene
τ

ei ⊗ e j ⊗ ek + [e j, ei] ⊗ ek + [ek, ei] ⊗ e j + [e j, [ek, ei]] + [ek, e j] ⊗ ei

?
= τ

ei ⊗ e j ⊗ ek + [ek, e j] ⊗ ei + [ei, [ek, e j]]
+ [ek, ei] ⊗ e j + [e j, ei] ⊗ ek + [ek, [e j, ei]]
.
Pero la identidad de Jacobi para el álgebra de Lie g muestra que
[e j, [ek, ei]] = −[ek, [ei, e j]] − [ei, [e j, ek]] = [ek, [e j, ei]] + [ei, [ek, e j]],
y así se ve que los dos lados de (1.14) sí coinciden. 
Teorema 1.38 (Poincaré, Birkhoff, Witt). Si {e1, e2, . . . , en} es una base ordenada del
álgebra de Lie g, entonces los monomios ordenados er11 e
r2
2 · · · ernn forman una base
vectorial del álgebra universal envolvente de g.
24
MA–729: Teoría de Representaciones 1.5. El álgebra de Lie sl(2, F)
Demostración. Está claro que los monomios ordenados generan linealmente el álgebra
universal; falta comprobar su independencia lineal.
Las aplicaciones σ del Lema 1.37, definidos inicialmente sobre los subespacios
Tn(g), son compatibles para todo n y así definen un endomorfismo F-lineal de T(g) que
satisface las relaciones (1.13).
Estas relaciones implica que σ se anula sobre el ideal J y define una aplicación
lineal σ : T(g)/J → T(g)ana que envía cada monomio ordenado en U(g) en un monomio
anagógico en T(g)ana. Como estos son linealmente independientes, sus preimágenes
er11 e
r2
2 · · · ernn son también linealmente independientes; y además σ es un isomorfismo
lineal. 
En particular, σ(U′1(g)) ' T1(g) = F ⊕g. Se ha comprobado que {1, η(e1), . . . , η(en)}
es una base de U′1(g). De ahora en adelante, entonces, se puede omitir η y escribir
U(g) ≡ T(g)/J para denotar el álgebra universal envolvente de g.
1.5 El álgebra de Lie sl(2, F)
El álgebra de Lie sl(2, F), de acuerdo con (1.7), es el espacio vectorial de matrices de
traza nula en Mn(F), dotado del corchete [a, b] := ab− ba. En el caso n = 2, este espacio
vectorial es tridimensional, con base
H :=
(
1 0
0 −1
)
, E :=
(
0 1
0 0
)
, F :=
(
0 0
1 0
)
. (1.15)
Estas matrices cumplen HE − EH = 2E, HF − FH = −2F, EF − FE = H .
Por otro lado, una aplicación F-bilineal s : V × V → W queda determinada por
sus valores s(ui, u j) en pares de elementos de una base {u1, . . . , un} de V . Si s es
antisimétrica, basta considerar los valores s(ui, u j) con i < j. Por lo tanto, se puede
redefinir sl(2, F) de una manera más abstracta, como sigue.
Definición 1.39. Sea F un cuerpo de característica , 2. El álgebra de Lie sl(2, F) es
un espacio F-vectorial tridimensional, con una base {h, e, f }, dotado de un corchete
determinado por las siguientes relaciones de conmutación:
[h, e] := 2e, [h, f ] := −2 f , [e, f ] := h. (1.16)
Es fácil chequear que la forma bilineal antisimétrica así definida satisface la identidad
de Jacobi. ♦
25
MA–729: Teoría de Representaciones 1.5. El álgebra de Lie sl(2, F)
Un ideal en un álgebra de Lie g es un subespacio vectorial l tal que [x, y] ∈ l para
todo x ∈ g, y ∈ l. Es inmediato que el espacio cociente g/l es también un álgebra de Lie
bajo el corchete inducido, [x + l, y + l] := [x, y] + l.
Lema 1.40. El álgebra de Lie sl(2, F) es simple, es decir, no tiene ideales no triviales.
Demostración. Sea l un ideal no nulo con y = αh + βe + γ f , 0 en l. Entonces
[e, [e, y]] = [e,−2αe + γh] = −2γe ∈ l,
[ f , [ f , y]] = [ f , 2α f − βh] = −2β f ∈ l.
Luego, si γ , 0, entonces e ∈ l; y si β , 0, entonces f ∈ l (fíjese que se ha usado
char F , 2 a la hora de dividir por 2). Si β = γ = 0, entonces α , 0, así que h ∈ l. En
cualquiera de los tres casos, las relaciones (1.16) entonces implican que h, e, f ∈ l, así
que l = sl(2, F). 
Si g es un F-álgebra de Lie cualquiera y si x ∈ g, se puede considerar el operador
lineal ad x ∈ EndF g dado por
ad x : y 7→ [x, y].
En el caso de g = sl(2, F), las relaciones (1.16) muestran que ad h es diagonalizable,
porque tiene tres autovalores 0, 2 y −2 (que son distintos porque char F , 2). En
cambio, la demostración del lema anterior evidencia que ad e y ad f son nilpotentes,
pues (ad e)3 = 0, (ad f )3 = 0.
I Es hora de considerar las representaciones de sl(2, F) en el caso de que F sea alge-
braicamente cerrado. (Se quiere aprovechar la forma normal de Jordan de las matrices
que representan h, e, f ; pero esto requiere una garantía de existencia de autovalores.) Para
simplificar la notación, en el resto de esta sección se tomará F = C; pero la clasificación
es aplicable a cualquier cuerpo algebraicamente cerrado de característica 0.
Sea σ : sl(2,C)→ glC(V ) una representación finitodimensional irreducible17 para el
álgebra de Lie compleja sl(2,C). Conviene abreviar σ(x) v ≡ x . v si x ∈ sl(2,C), v ∈ V .
Si α es un autovalor de σ(h), denótese Vα el subespacio correspondiente:
Vα := { v ∈ V : h . v = αv }.
Si v ∈ Vα, entonces
h . (e . v) = e . (h . v) + [h, e] . v = e . (h . v) + 2 e . v = (α + 2)e . v,
h . ( f . v) = f . (h . v) + [h, f ] . v = f . (h . v) − 2 f . v = (α − 2) f . v, (1.17)
y por lo tanto e . v ∈ Vα+2 y f . v ∈ Vα−2.
17Más adelante, se verá que cualquier representación irreducible para esta álgebra de Lie es automáti-
camente finitodimensional.
26
MA–729: Teoría de Representaciones 1.5. El álgebra de Lie sl(2, F)
Si U es la suma directa de todas estos autoespacios, el cálculo (1.17) muestra que U
es un submódulo de V , no nulo porque σ(h) posee (al menos) un autovalor. Como V
es irreducible, se concluye que U = V . En otras palabras, el operador C-lineal σ(h) es
diagonalizable y V =
⊕
α Vα.
Lema 1.41. Dado un sl(2,C)-módulo finitodimensional irreducible V , hay un λ ∈ C y
existe una base C-vectorial {v0, v1, . . . , vr} de V tal que:
h . v j = (λ − 2 j) v j,
f . v j = ( j + 1) v j+1,
e . v j = (λ − j + 1) v j−1, (1.18)
para j = 0, 1, . . . , r (tomando v−1 := 0, vr+1 := 0).
Demostración. Como dimV es finito, la suma directaV =
⊕
α Vα tiene un número finito
de sumandos no nulos: hay un autovalor λ ∈ C tal que Vλ , 0 y Vλ+2 = {0}. Tómese
v0 , 0 en Vλ y nótese que e . v0 = 0 necesariamente.
Para j ∈ N, escríbase v j := (1/k!)σ( f ) j(v0). Se obtiene h . v j = (λ − 2 j)v j al
aplicar (1.18) consecutivamente unas j veces. Los vectores no nulos en {v0, v1, v2, . . . }
son linealmente independientes, por ser autovectores de autovalores distintos de σ(h);
por ende, solo hay un número finito de ellos. Sea W := lin〈v0, v1, . . . , vr〉 6 V , donde
r ∈ N es el mínimo entero tal que vr+1 = 0.
Fíjese que f . v j = ( j + 1)v j+1 por definición, y que
j(e . v j) = e . ( f . v j−1) = h . v j−1 + f . (e . v j−1).
Luego, al asumir que e . v j−1 = (λ − j + 2)v j−2 en (1.18), se obtiene
j(e . v j) = (λ − 2 j + 2) v j−1 + (λ − j + 2)( j − 1) v j−1 = j(λ − j + 1) v j−1,
luego (1.18) se verifica por inducción sobre j.
Estos cálculos muestran queW es un submódulo deV ; por irreducibilidad, se obtiene
W = V ; y además, r + 1 = dimV . 
Al tomar j = r + 1 en (1.18), se ve que 0 = e . 0 = e . vr+1 = (λ − r) vr . Como vr , 0
en V , se concluye que λ = r ∈ N. En resumen: el Lema 1.41 muestra que σ(h) tiene un
autovalor r ∈ N, y además que su espectro de autovalores es18
sp(σ(h)) = {r, r − 2, r − 4, . . . ,−r + 2,−r}.
Estos autovalores de σ(h) se llaman pesos de la representación σ. Nótese que el peso
máximo es r := dimC V − 1.
18Este resultado sigue válido si se reemplaza C por cualquier otro cuerpo algebraicamente cerrada F
de característica 0, porque Z ⊂ F ; se identifica r ∈ N con la suma r-tuple 1 + · · · + 1 ∈ F .
27
MA–729: Teoría de Representaciones 1.6. Ejercicios sobre álgebras asociativas
Proposición 1.42. Para cada r ∈ N, existe una representación irreducible del álgebra
de Lie sl(2,C), de dimensión (r + 1). Además, dos representaciones irreducibles de la
misma dimensión finita son equivalentes.
Demostración. Para la existencia, tómese V := Cr+1 y sea {v0, v1, . . . , vr} su base
estándar. Las fórmulas (1.18) definen tres operadores C-lineales σ(h), σ( f ), σ(e)
sobre V . Se verifica directamente que estas operadores cumplen las relaciones de
conmutación (1.16), comprobando así que σ es una representación de sl(2,C).
Si pi : sl(2,C) → glC(W ) es otra representación irreducible con dimCW = r + 1, el
Lema 1.41 produce una base {w0,w1, . . . ,wr} deW que obedece las fórmulas (1.18). En
particular, se obtiene pi(h)(w j) = (r − 2 j)w j para j = 0, 1, . . . , r . Entonces es evidente
que el isomorfismo C-lineal T : V → W determinado por
T(v j) := w j para j = 0, 1, . . . , r
entrelaza las representaciones σ y pi. Esto establece que σ y pi son equivalentes. 
1.6 Ejercicios sobre álgebras asociativas
Ejercicio 1.1. Si A = Mn(F) es el álgebra de matrices n× n con entradas en un cuerpo F ,
demostrar que todo ideal a izquierda de A es de la forma Ae = { ae : a ∈ A } donde
e ∈ A es idempotente, es decir, e2 = e.
Si e es idempotente, mostrar que (1 − e) es idempotente y que A ' Ae ⊕ A(1 − e)
como A-módulos (donde en cada caso A actúa por multiplicación a la izquierda).
Comprobar que hay idempotentes e1, . . . , en ∈ A tales que eie j = 0 si i , j, donde
los Aei son A-módulos irreducibles e isomorfos entre sí. Verificar también que hay un
isomorfismo de A-módulos A ' Ae1 ⊕ Ae2 ⊕ · · · ⊕ Aen.
Ejercicio 1.2. El álgebra de cuaterniones es el espacio R-vectorial H := lin〈1, i, j, k〉
con el producto determinado por las relaciones i2 = j2 = k2 = i j k = −1. Comprobar que
i j = k = − ji, j k = i = −k j, ki = j = −ik,
así que H es una R-álgebra no conmutativa. ¿Cuál es el centro de H?
La suma directa de R-álgebras A ⊕ B tiene producto (a1, b1)(a2, b2) := (a1a2, b1b2).
Demostrar que las siguientes R-álgebras de dimensión 4:
R ⊕ R ⊕ R ⊕ R, C ⊕ R ⊕ R, C ⊕ C, H
son mutuamente no isomorfos. ¿Habrá alguna otra?
28
MA–729: Teoría de Representaciones 1.6. Ejercicios sobre álgebras asociativas
Ejercicio 1.3. Si pi : A→ EndF V es una representación de una F-álgebra A, y siU es un
subespacio A-invariante de V , sea η : V → V/U : x 7→ x +U la aplicación cociente de
espacios vectoriales. Demostrar que hay una única representación p¯i : A → EndF (V/U)
tal que η ◦ pi(a) = p¯i(a) ◦ η para todo a ∈ A.
(Dícese que p¯i es la representación cociente de pi sobreU/V .)
Ejercicio 1.4. Considérese el álgebra A = F[x] de polinomios sobre F en una variable x.
Demostrar que una representación de rango finito pi : F[x] → EndF V está determinada
por el operador T := pi(x) ∈ EndF V .
(a) Si σ : F[x]→ EndF W es otra representación de rango finito, demostrar que pi y σ
son equivalentes si y solo si dimW = dimV y los operadores T y S := σ(x) son
semejantes.19
(b) Considérese la representación pin,λ , donde k ∈ N∗ y λ ∈ F , para la cual V = Fn y
T = Jn,λ es el bloque de Jordan n × n con autovalor λ (es decir, tii = λ, ti,i+1 = 1,
ti j = 0 para otros índices). Demostrar que los pin,λ son inequivalentes y que cada
una es indescomponible.
(c) Si F es algebraicamente cerrado, mostrar que cualquier representación indescom-
ponible de F[x] es equivalente a algún pin,λ . En el caso F = R, encontrar una
representación indescomponible que no sea equivalente a ningún pin,λ .
Ejercicio 1.5. Si A es una F-álgebra finitodimensional, se puede considerar la propia A
como un A-módulo por la multiplicación a la izquierda: λ(a)[b] := ab, para a, b ∈ A.
Denótese por Aop el álgebra opuesta: esta es el mismo espacio F-vectorial A con el
producto a · b := ba. Demostrar que hay un isomorfismo de álgebras EndA(A) ' Aop.
Ejercicio 1.6. El álgebra de WeylW es la subálgebra de EndF V , donde V = F[x], ge-
nerado por dos operadores lineales x y ∂, determinados por sus valores sobre monomios:
x(xm) := xm+1, ∂(xm) := mxm−1 para m ∈ N. Comprobar que ∂x = x∂ + 1. En seguida,
demostrar que { xr∂s : r, s ∈ N } es una base F-vectorial deW.
n Indicación: para la independencia lineal, considérese el efecto sobre cada monomio
xm ∈ V . o
Ejercicio 1.7. SiU, V son espacios F-vectoriales, se identifican F ⊗U ' U, V ⊗ F ' V ,
F ⊗ F ' F por isomorfismos canónicos.
19Dos operadores lineales son semejantes si y solo si poseen matrices semejantes respecto de algunas
bases vectoriales en sus espacios de dominio y codominio.
29
MA–729: Teoría de Representaciones 1.6. Ejercicios sobre álgebras asociativas
(a) Mostrar que la aplicación bilineal (S,T) 7→ S ⊗ T da lugar a un isomorfismo de
espacios vectoriales:
HomF (W,V ) ⊗ HomF (U, Z) ' HomF (W ⊗ U,V ⊗ Z).
(b) Concluir que hay un isomorfismo canónico V ⊗ U∗ ' HomF (U,V ).
(c) Si τ : V ⊗ V ∗ → F es la aplicación lineal definido por τ(x ⊗ f ) := f (x), describir
la aplicación lineal correspondiente τ˜ : EndF V → F , bajo el isomorfismo de la
parte (b).
Ejercicio 1.8. Si K | F es una extensión de cuerpos (es decir, K y F son cuerpos con
F ⊂ K), si A es una F-álgebra y si V es un A-módulo, verificar que A ⊗F K es una
K-álgebra que actúa K-linealmente sobre V ⊗F K.
Ejercicio 1.9. El álgebra simétrica S(V ) = ⊕∞k=0 SkV se define como un cociente del
álgebra tensorial T(V ), donde x1 ∨ x2 ∈ S2V es la coclase de x1 ⊗ x2 ∈ V ⊗ V .
(a) Demostrar que cada SkV es isomorfo a un subespacio deV⊗k ⊂ T(V ), al identificar
x1 ∨ x2 ∨ · · · ∨ xk ←→ 1k!
∑
σ∈Sk
xσ(1) ⊗ xσ(2) ⊗ · · · ⊗ xσ(k) ,
de modo que x∨k ↔ x⊗k en el caso x1 = · · · = xk = x ∈ V .
(b) Comprobar que dim SkV =
n+k−1
k


si dimV = n.
Ejercicio 1.10. Si A =
⊕∞
k=0 A
k es un álgebra graduada, su serie de Hilbert es la
serie de potencias formal20 definida por hA(t) := ∑∞k=0(dim Ak) tk . En muchos casos,
esta serie representa una función racional. Calcular estas funciones racionales para las
álgebras F[x], F[x, y] y Λ(Fn).
Ejercicio 1.11. Sea Λ(V ) el álgebra exterior sobre el espacio vectorial V con dimV = n.
(a) Demostrar que Λ(V ) tiene la siguiente propiedad universal: si A es una F-álgebra
y si T : V → A es una aplicación F-lineal tal que (T x)2 = 0 para todo x ∈ V ,
entonces T se extiende a un único homomorfismo de álgebras ΛT : Λ(V )→ A.
(b) En vista de la inclusión W ↪→ Λ(W ) y la parte (a), cada T ∈ HomF (V,W ) se
extiende a un homomorfismo de álgebras ΛT : Λ(V )→ Λ(W ). Si x1, . . . , xk ∈ V ,
comprobar que ΛT(x1 ∧ · · · ∧ xk) = T x1 ∧ · · · ∧ T xk .
20Esta serie es “formal” por cuanto no hay necesidad de averiguar su convergencia.
30
MA–729: Teoría de Representaciones 1.6. Ejercicios sobre álgebras asociativas
• • • • • •
•
•
•
Figura 1.2: Los carcajes Q1, Q2, Q3 y Q4.
(c) Bajo el isomorfismo lineal ΛnV ' F , mostrar que ΛnT = (detT).
Ejercicio 1.12. Sea Q1 el carcaj con un solo nodo y una sola flecha (Figura 1.2).
Demostrar que el álgebra del carcaj FQ1 es isomorfa a F[x].
Ejercicio 1.13. SeaQ2 el carcaj con dos nodos y una sola flecha entre ellos (Figura 1.2).
Demostrar que el álgebra del carcaj FQ2 es isomorfa al álgebra de matrices triangulares
T(2, F).
Ejercicio 1.14. SeaQ3 el carcaj deKronecker con dos nodos y dos flechas del primero al
segundo (Figura 1.2). ¿Cuál es dim FQ3? Encontrar una subálgebra de T(3, F) isomorfa
a FQ3.
Ejercicio 1.15. Sea Q4 el carcaj con 4 nodos y 3 flechas apuntando a uno de ellos desde
los otros (Figura 1.2). Encontrar un álgebra de matrices isomorfa a FQ4.
Ejercicio 1.16. Hallar un carcaj Q cuya álgebra FQ es isomorfa a T(n, F).
Ejercicio 1.17. Escríbase ad x(y) := [x, y] para x, y ∈ g; de esta manera, se obtiene una
aplicación ad : x 7→ ad x : g → EndF (g). Demostrar que ad es una representación de g,
esto es, una aplicación F-lineal tal que [ad x, ad y] = ad([x, y]) para todo x, y ∈ g.
Ejercicio 1.18. Sea h3(R) el álgebra de Lie real con base {x, y, z} y relaciones de
conmutación
[x, y] = z, [x, z] = [y, z] = 0.
Exhibir tres matrices X,Y, Z ∈ M3(R) que obedecen estas relaciones de conmutación.
Concluir que hay un isomorfismo entre h3(R) y una subálgebra de Lie de sl(3,R).
Ejercicio 1.19. Si ϕ : g→ glF (V ) y ψ : g→ glF (W ) son dos representaciones del álgebra
de Lie g, mostrar que la fórmula siguiente define otra representación de g sobre V ⊗W :
x 7−→ ϕ(x) ⊗ 1W + 1V ⊗ ψ(x).
Además, si V ∗ es el espacio dual de V , mostrar que x 7→ −ϕ(x)t es una representación
de g sobre V ∗.
31
MA–729: Teoría de Representaciones 1.6. Ejercicios sobre álgebras asociativas
Ejercicio 1.20. Si 1n ∈ Mn(C) es la matriz identidad, considérese las siguientes matrices
en M2n(C):
I2n :=
(
0 1n
1n 0
)
, Jn :=
(
0 1n
−1n 0
)
.
y sea I2n+1 := I2n ⊕ [1] ∈ M2n+1(C).
Las cuatro series de álgebras de Lie que siguen, numeradas con n ∈ N∗, se llaman las
álgebras de Lie clásicas. Todas ellas (excepto el casoD2) son simples (no poseen ideales
no triviales). El cada caso, determinar la dimensión (sobre C) del ejemplo mencionado.
An: sl(n + 1,C) := { X ∈ Mn+1(C) : tr X = 0 }.
Bn: so(2n + 1,C) := { X ∈ M2n+1(C) : X t I2n+1 = −I2n+1X }.
Cn: sp(2n,C) := { X ∈ M2n(C) : X t Jn = −JnX }.
Dn: so(2n,C) := { X ∈ M2n(C) : X t I2n = −I2nX }.
Ejercicio 1.21. El rango de un álgebra de Lie simple g es la mayor dimensión de una
subálgebra de Lie abeliana h ⊂ g. Para cada una de los álgebras de Lie listadas en el
Ejercicio 1.20, encontrar una subálgebra de Lie abeliana h con dim h = n.
Ejercicio 1.22. Las álgebras de Lie clásicas son distintas (no isomorfas), con la excepción
de las siguientes isomorfismos en rangos bajos:
A1 ' B1 ' C1 ; B2 ' C2 ; A3 ' D3 ; D2 ' B1 ⊕ B1 .
Tómese F = C. En cada caso, hallar un isomorfismo concreto entre los ejemplos del
Ejercicio 1.20. Por ejemplo, para comprobar A1 ' B1, se debe exhibir un isomorfismo
entre sl(2,C) y so(3,C).
Ejercicio 1.23. (a) Las álgebras de Lie reales u(n) y su(n) se definen así:
u(n) := { X ∈ Mn(C) : X∗ = −X }, su(n) := { X ∈ u(n) : tr X = 0 }.
Calcular dimR u(n) y comprobar que u(n) ' su(n) ⊕ R como R-álgebras de Lie.
(b) El álgebra de Lie real so(n) se define por so(n) := { X ∈ Mn(R) : X t = −X }.
Calcular dimR so(n). Demostrar que su(2) ' so(3) pero que sl(2,R) 6' so(3).
Ejercicio 1.24. Demostrar que el producto cruz usual de vectores hace de R3 un álgebra
de Lie; y comprobar que esta álgebra de Lie es isomorfa a so(3).
32
MA–729: Teoría de Representaciones 1.6. Ejercicios sobre álgebras asociativas
Ejercicio 1.25. Sea C := h2 + 2(e f + f e) ∈ U(sl(2,C)). Calcular [C, x] ≡ Cx − xC para
los casos x = h, e, f . Concluir que C es un elemento central en el álgebra U(sl(2,C)).
Luego, si σ es una representación irreducible de sl(2,C) sobre un espacio V con
dimV = r + 1, el operador σ(C) ∈ EndC(V ) debe ser un operador escalar (¿por qué?).
Comprobar que efectivamente σ(C) = λr1V y hallar el autovalor λr correspondiente.
Ejercicio 1.26. Si l es un ideal de g, sea [g, l] el subespacio vectorial de g generado por
los elementos [x, y], con x ∈ g, y ∈ l. Verificar que [g, l] también es un ideal de g.
(a) Hay una serie decreciente de ideales g(0) := g, g(1) := [g, g], g(2) := [g(1), g(1)],. . . ,
g(k+1) := [g(k), g(k)], etc. Dícese que g es soluble si hay r ∈ N con g(r) = {0}.
Demostrar que matrices triangulares superiores
b+(n, F) := { A ∈ Mn(F) : ai j = 0 si i > j }
forman un álgebra de Lie soluble.
(b) Hay una serie decreciente de ideales g0 := g, g1 := [g, g], g2 := [g, g1],. . . ,
gk+1 := [g, gk], etc. Dícese que g es nilpotente si hay r ∈ N con gr = {0}.
Demostrar que matrices triangulares estrictamente superiores
n+(n, F) := { A ∈ Mn(F) : ai j = 0 si i > j }
forman un álgebra de Lie nilpotente.
Se dice que A es una F-álgebra graduada si A =
⊕
n∈N A
n donde cada An es un
espacio F-vectorial y x ∈ Am, y ∈ An implican xy ∈ Am+n.
Se dice que A es una F-álgebra filtrada si A = ⋃∞n=0 An donde cada An es un espacio
F-vectorial; An ⊆ An+1 para cada n; y x ∈ Am, y ∈ An implican xy ∈ Am+n.
Ejercicio 1.27. (a) Si A en una F-álgebra graduada, colóquese An :=
⊕n
k=0 A
k . Com-
probar que de esta manera A es también una F-álgebra filtrada.
(b) Por otro lado, si A es una F-álgebra filtrada, considérese los espacios vectoriales
cocientes G0 := A0, Gn := An/An−1 y sea G :=
⊕
n∈NG
n. Dado un par de
elementos x¯ = x + Am−1 en Gm, y¯ = y + An−1 en Gn, demostrar que la receta
x¯ y¯ := xy+ Am+n−1 se extiende a un producto bien definido sobreG, de tal manera
que G sea una F-álgebra graduada.21
21Esta G es el álgebra graduada asociada al álgebra filtrada A.
33
MA–729: Teoría de Representaciones 1.6. Ejercicios sobre álgebras asociativas
Ejercicio 1.28. Verificar que T(V ), S(V ) y Λ(V ) – las álgebras tensorial, simétrica y
exterior sobre V , respectivamente – son F-álgebras graduadas.
Si g es una F-álgebra de Lie finitodimensional, demostrar que U(g) es una F-álgebra
filtrada; pero que es una F-álgebra graduada si y solo si el álgebra de Lie g es abeliana
(es decir, su corchete es idénticamente nulo).
Ejercicio 1.29. (a) Si g : V → A es F-lineal y cumple g(x)g(y) = g(y)g(x) en A para
todo x, y ∈ V , demostrar que g se extiende de manera única a un homomorfismo
de álgebras g˜ : S(V )→ A.
(b) Si h : V → A es una aplicación F-lineal tal que h(x)h(y) = −h(y)h(x) en A para
todo x, y ∈ V , demostrar que h se extiende de manera única a un homomorfismo
de álgebras h˜ : Λ(V )→ A.
n Indicación: usar el Lema 1.33, la propiedad universal análoga del álgebra T(V ). o
Ejercicio 1.30. Si g es una F-álgebra de Lie finitodimensional no abeliana. Sea G(g) el
álgebra graduada asociada al álgebra filtrada U(g). Demostrar que hay un isomorfismo
de álgebras (graduadas) entre el álgebra simétrica S(g) y G(g).
n Indicación: usar el Ejercicio 1.29 para obtener un homomorfismo apropiado.
Luego, se debe apelar al teorema de Poincaré, Birkhoff y Witt para comprobar que
este es un isomorfismo. o
Se dice que A es una superálgebra sobre F si A = A0¯⊕A1¯ donde A0¯ es una subálgebra
y A1¯ es un subespacio F-vectorial, con un producto graduado por Z2 como sigue:22
A0¯ A0¯ ⊆ A0¯, A0¯ A1¯ ⊆ A1¯, A1¯ A0¯ ⊆ A1¯, A1¯ A1¯ ⊆ A0¯.
Los elementos homogéneos tiene la paridad #a := 0 si a ∈ A0¯, #a := 1 si a ∈ A1¯. El
superconmutador de dos elementos homogéneos se define por [a, b] := ab− (−1)#a#bba.
Ejercicio 1.31. Comprobar que cualquier álgebra graduada A es una superálgebra, al
tomar A0¯ :=
⊕
m A
2m y A1¯ :=
⊕
m A
2m+1.
Demostrar que, con esta estructura, el álgebra exterior Λ(V ) es superconmutativa, es
decir, su superconmutador es idénticamente nulo.
Ejercicio 1.32. SiV es un espacio vectorial real y si d : V ×V → R es una forma bilineal
simétrica, se define el álgebra de Clifford C`(V, q) como el cociente de T(V ) por el
22Más generalmente, un álgebra puede ser graduado por cualquier grupo abeliano discreto. El término
superálgebra para álgebras Z2-graduadas fue introducido en el libro: Feliks Aleksandrovich Berezin, The
Method of Second Quantization, Academic Press, New York, 1966.
34
MA–729: Teoría de Representaciones 1.6. Ejercicios sobre álgebras asociativas
ideal K generado por los elementos { x ⊗ y − y ⊗ x − 2 d(x, y) 1 : x, y ∈ V }. nDe esta
manera, vale xy − yx = 2 d(x, y) en C`(V, d). o
(a) Si d = 0 es la forma bilineal idénticamente nula, verificar que C`(V, 0) ' Λ(V ).
(b) Si d es no degenerada, V posee una base “ortonormal” {e1, . . . , en} tal que
d(ei, ei) = ±1 y d(ei, e j) = 0 para i , j. Comprobar que C`(V, d) tiene una base
R-vectorial dado por productos anagógicas ei1ei2 · · · eik , con i1 6 i2 6 · · · 6 ik ,
así que dimC`(V, d) = 2n.
(c) Demostrar que C`(V, d) es un álgebra de Clifford filtrada (no graduada si d , 0);
pero también es una superálgebra real.
(d) Comprobar que el álgebra graduada asociada a C`(V, d) es isomorfa a Λ(V ).
Ejercicio 1.33. (a) Si f : V → A es R-lineal y cumple f (x)2 = d(x, x) 1 en A para
todo x ∈ V , demostrar que f se extiende de manera única a un homomorfismo de
álgebras f˜ : C`(V, d)→ A.
(b) Si d y q son dos formasR-bilineales simétricas no degeneradas sobreV , demostrar
que C`(V, d) ' C`(V, q) si y solo si d y q tienen la misma signatura.23
23La forma bilineal simétrica x21 + . . . + x
2
r − x2r+1 − . . . − x2r+s sobre Rn es no degenerada si y solo si
r + s = n; su signatura es r − s. Por el teorema de Sylvester, cualquier forma bilineal simétrica sobre Rn
es congruente con una de estas.
35
MA–729: Teoría de Representaciones
2 Representaciones de álgebras finitodimensionales
En este capítulo, A denotará un álgebra asociativa, de dimensión finita, sobre un cuerpo
fijo F . Las representaciones de A que se consideran serán de grado finito.
2.1 Representaciones semisimples
Definición 2.1. Una representación pi : A → EndF V se llama semisimple si pi es una
suma directa de representaciones irreducibles.
Decir que pi es irreducible es equivalente a decir que V es un A-módulo simple, es
decir, que V no posee A-submódulos triviales.1 Entonces V es un A-módulo semisimple
si y sólo si V es una suma directa de A-submódulos simples. ♦
Ejemplo 2.2. Si pi : A → EndF U es una representación irreducible de grado finito,
entonces V := EndF U es un A-módulo semisimple. En efecto, defínase
p˜i(a)(v) : x 7→ pi(a)(vx) para a ∈ A, v ∈ EndF U, x ∈ U .
Si {x1, . . . , xn} es una base F-vectorial de U , entonces v 7→ (vx1, . . . , vxn) : V → U⊕n
es un isomorfismo F-lineal que entrelaza p˜i con npi ≡ pi ⊕ · · · ⊕ pi (n sumandos).
Al identificar U con Cn con su base estándar, este isomorfismo lleva una matriz en
EndF (Fn) = Mn(F) a la suma directa de sus columnas: cada columna es un A-submódulo
del espacio vectorial de matrices (A actúa a izquierda sobre las matrices). ♦
Definición 2.3. Sea pi : A→ EndF V es una representación de grado finito. SiU 6 V es
un A-submódulo, entonces V ' U ⊕ (V/U) como espacios F-vectoriales (al extender una
base de U a una base de V ). Dícese que V es un A-módulo completamente reducible
si para cada A-submóduloU existe otro A-submóduloW 6 V tal queU ⊕W ' V . ♦
Nótese que el A-submódulo suplementarioW es isomorfo a V/U como A-módulos.
En efecto, sea P : V → W la proyección a lo largo de U, es decir, P(y + z) := z para
y ∈ U, z ∈ W . Está claro que pi(a)P = Ppi(a) para a ∈ A. Defínase Q : V/U → W por
Q(x +U) := P(z) para x ∈ V . Entonces Q es un isomorfismo F-lineal y además
pi(a)Q(x +U) = pi(a)P(x) = Ppi(a)x = Q(pi(a)x +U),
así que Q es un operador entrelazante invertible.
1Cuando se habla de V como A-módulo, se sobreentiende que la acción de A sobre V está dada por la
representación pi, esto es, ax := pi(a)(x) para a ∈ A, x ∈ V .
36
MA–729: Teoría de Representaciones 2.1. Representaciones semisimples
Lema 2.4. Sea V un A-módulo completamente reducible. Entonces, cada A-submódulo
[respectivamente, cada A-módulo cociente] de V es también completamente reducible.
Demostración. Sea pi : A → EndF V la representación dada. Sea U un A-submódulo
de V , es decir, un subespacio vectorial invariante bajo pi(A). Por hipótesis, existe otro
A-submóduloW de V tal que V ' U ⊕W .
Sea P ∈ EndF V el proyector2 definido por P(y+ z) := y para y ∈ U, z ∈ W ; de modo
que im P = U y ker P = W . Como el subespacio U 6 V es pi(A)-invariante, es evidente
que P conmuta con pi, es decir, P ∈ EndAV . Si X 6 U es pi(A)-invariante, entonces
X ⊕ W es un subespacio pi(A)-invariante de V . Por hipótesis, hay otro A-submódulo Y
de V tal que V ' (X ⊕W ) ⊕Y como A-módulos. Al aplicar P a los dos lados de la suma
directa V ' X ⊕ (W ⊕ Y ), se obtieneU ' X ⊕ P(Y ). Entonces P(Y ) es un A-submódulo
deU suplementario a X .
Ahora sea η : V → V/U : x 7→ x +U la aplicación cociente. Sea p¯i(a) : x +U 7→
pi(a)x +U la representación cociente de A sobre V/U . Nótese que p¯i está bien definida
porque U es pi(A)-invariante, y que η entrelaza pi y p¯i. Si M 6 V/U es un subespacio
p¯i(A)-invariante, seaM := η−1(M); este es un subespacio pi(A)-invariante deV . Entonces
hay otro A-submódulo N 6 V tal que V ' M ⊕ N . Es fácil comprobar que N := η(N)
es un A-submódulo de V/U tal queU/V ' M ⊕ N . 
Proposición 2.5. Una representación de grado finito pi : A→ EndF V es semisimple si y
solo si el A-módulo V es completamente reducible.
Demostración. Se demuestra esta equivalencia por inducción. Si pi es irreducible, en
particular si dimV = 1, entonces no hay nada que mostrar.
Supóngase que la proposición es válida cuando dimV < n. Si V es un A-módulo
completamente reducible pero no simple, entonces posee dos A-submódulos no triviales
U 6 V yW 6 V con V ' U ⊕W . Como dimU < n y dimW < n, estas subrepresenta-
ciones son semisimples: pueden expresarse como sumas directas de A-submódulos sim-
ples,U ' U1⊕· · ·⊕Ur yW ' W1⊕· · ·⊕Ws. Por lo tanto,V ' U1⊕· · ·⊕Ur⊕W1⊕· · ·⊕Ws
es también una suma directa de A-submódulos simples.
Por otro lado, si pi es semisimple pero no irreducible, se puede escribirV ' V1⊕· · ·⊕Vk
con k > 1, donde cada Vj es un A-submódulo simple de V . SiU es un A-submódulo no
trivial cualquiera deV , sea P ∈ EndAV el proyector con im P = V1 y ker P = V2⊕· · ·⊕Vk .
Si P(U) = {0}, entoncesU 6 V2⊕· · ·⊕Vk . Por inducción sobre el número k de sumandos,
se puede asumir que existe un A-submódulo X de V con U ⊕ X = V2 ⊕ · · · ⊕ Vk ; por
ende,U ⊕ (X ⊕ V1) ' V .
2En contraste con la aplicación P del párrafo anterior, aquí el codominio de P es el espacio total V .
37
MA–729: Teoría de Representaciones 2.1. Representaciones semisimples
Si P(U) , {0}, entonces P(U) es un A-submódulo no nulo de V1, así que P(U) = V1
por irreducibilidad. Sea Y := U ∩ ker P, el cual es un subespacio pi(A)-invariante de
V2 ⊕ · · · ⊕ Vk . Nuevamente, por inducción sobre k, se puede suponer que hay un A-sub-
módulo Z de V tal que Y ⊕ Z ' V2 ⊕ · · · ⊕ Vk . Entonces U ∩ Z = Y ∩ Z = {0} porque
P(Z) = {0}; luego, U ⊕ Z = V1 ⊕ Y ⊕ Z ' V . Se concluye que V es completamente
reducible. 
En vista de la última proposición, se puede considerar los términos semisimple y
completamente reducible como sinónimos. Así, es permitido hablar de un “A-módulo
semisimple” y de una “representación completamente reducible”.
Sea XA el conjunto de las clases de isomorfía de los A-módulos finitodimensionales
simples (o bien, lo que es lo mismo, las clases de equivalencia de las representaciones
irreducibles de A, de rango finito). Si ξ ∈ XA y si V es un A-módulo semisimple,
considérese la suma de A-submódulos
V(ξ) :=
∑
{U : U 6 V, [U] = ξ }.
Al eliminar submódulos redundantes (por inducción sobre dimV ), se llega a una suma
directa de un número finito de tales submódulosU. (Fíjese que siU1 6 V yU2 6 V son
simples, entonces U1 ∩U2 es también un A-submódulo de V , de modo que U1 = U2 o
bien U1 ∩U2 = {0} por irreducibilidad.) Si V no posee A-submódulo simple alguno de
la clase ξ, entonces V(ξ) = {0}. Como V es semisimple, entonces V es la suma de todos
estos V(ξ) y de nuevo se llega a una suma directa finita:
V =
⊕
ξ∈XA
V(ξ) .
Los sumandos V(ξ) se llaman componentes isotípicos del A-módulo V .
I En adelante en esta sección, se supondrá que F es un cuerpo algebraicamente cerrado.
Lema 2.6. Sea {Uξ : ξ ∈ XA } una enumeración sin repeticiones de los A-módulos
simples – es decir, se toma un A-módulo particular Uξ de cada clase ξ. Si V es un
A-módulo finitodimensional semisimple, entonces hay un isomorfismo de A-módulos:
V '
⊕
ξ∈XA
HomA(Uξ,V ) ⊗F Uξ . (2.1)
Demostración. Defínase una aplicación F-lineal
Sξ : HomA(Uξ,V ) ⊗F Uξ → V por Sξ(ϕ ⊗ x) := ϕ(x) ∈ V .
38
MA–729: Teoría de Representaciones 2.1. Representaciones semisimples
Bajo la acción a · (ϕ ⊗ x) := ϕ ⊗ (a · x), el espacio F-vectorial HomA(Uξ,V ) ⊗ Uξ
es un A-módulo. Además, resulta que ϕ(a · x) = a · ϕ(x) porque ϕ ∈ HomA(Uξ,V ).
Esto muestra que Sξ es también una aplicación entrelazante (es decir, un morfismo de
A-módulos).
Si ϕ , 0 en HomA(Uξ,V ), el lema de Schur (Proposición 1.15) dice que ϕ es
inyectivo, así que ϕ(Uξ) es un A-submódulo simple de V , isomorfa a Uξ . Por lo tanto,
Sξ

HomA(Uξ,V ) ⊗ Uξ
 ⊆ V(ξ).
Si V(ξ) , {0}, entonces V(ξ) ' Uξ ⊕ · · · ⊕ Uξ ≡ mUξ para algún m. Dicho de
otro modo, hay un A-isomorfismo θ : V(ξ) → Fm ⊗F Uξ , donde la acción de A al lado
derecho es a · (c ⊗ x) := c ⊗ (a · x). Si {e1, . . . , em} es la base usual de Fm, entonces
cada ϕi : x 7→ θ−1(ei ⊗ x) es un elemento de HomA(Uξ,V ); y además, ϕ1, . . . , ϕm son
linealmente independientes.
Si ϕ ∈ HomA(Uξ,V ), entonces θ(ϕ(x)) = (x1, . . . , xm), donde cada x 7→ xi es un
elemento de EndA(Uξ). Ahora bien, como F es algebraicamente cerrado, el lema de
Schur (Corolario 1.16) dice que EndA(Uξ) ' F , así que hay αi ∈ F con xi = αiϕi(x).
Se ha comprobada que ϕ = α1ϕ1 + · · · + αmϕm, y se deduce que {ϕ1, . . . , ϕm} es una
base vectorial de HomA(Uξ,V ). En conclusión, Sξ : HomA(Uξ,V ) ⊗ Uξ → V(ξ) es un
isomorfismo de A-módulos.
El número de sumandos no nulos al lado derecho de (2.1) es finito, pues dimF V < ∞.
La suma directa de las Sξ correspondientes es el isomorfismo buscado. 
Corolario 2.7. Una A-módulo semisimple V puede escribirse en la forma
V ' n1V1 ⊕ n2V2 ⊕ · · · ⊕ nrVr, (2.2)
donde V1, . . . ,Vr son A-módulos simples, no isomorfos entre sí; con n1, . . . , nr ∈ N. 
Proposición 2.8. Sea V un A-módulo semisimple de la forma (2.2) y sea U un A-sub-
módulo de V . Entonces
U ' m1V1 ⊕ m2V2 ⊕ · · · ⊕ mrVr
para algunos m1, . . . ,mr ∈ N con mk 6 nk para k = 1, . . . , r . Además, la inclusión
i : U ↪→ V es la suma directa de r inclusiones ik : mkVk ↪→ nkVk de la forma
ik(x1, . . . , xmk ) = (x1, . . . , xmk ) Bk
donde Bk es una matriz mk × nk con entradas en F; al lado derecho, se considera
(x1, . . . , xmk ) como una matriz 1×mk con entradas en Vk . La matriz Bk tiene rango mk ,
es decir, sus filas son linealmente independientes.
39
MA–729: Teoría de Representaciones 2.1. Representaciones semisimples
Demostración. Se demuestra el resultado por inducción sobre el número total de suman-
dos de V , n = n1 + · · · + nr . El caso n = 1 es trivial, porque V = V1 es simple y sus
únicos A-submódulos son {0} y V1 (así que n1 = 1, m1 = 0 o 1).
Ahora seaW un A-submódulo simple deU conW , {0}. Al componer la inclusión
W ↪→ V con la proyección sobre cualquiera de los sumandos en (2.2), el lema de Schur
muestra que el resultado es no nulo para un solo nkVk , y queW ' Vk . Luego de identificar
W con Vk , esta inclusión tiene la forma x 7→ (α1x, . . . , αnk x) con α1, . . . , αnk ∈ F no
todos cero.3
Sea gk ∈ GL(nk, F) una matriz invertible tal que (α1, . . . , αnk )gk = (1, 0, . . . , 0).
Nótese que el grupo GL(nk, F) actúa (a derecha) sobre nkVk de tal modo que W · gk =
Vk ⊕0⊕ · · · ⊕0. Esta acción de grupo se extiende a una acción sobre todoV que deja fijos
los otros sumandos n jVj . Como resultado,U ·gk = Vk ⊕U′, dondeU′ es un A-submódulo
de n1V1 ⊕ · · · ⊕ (nk − 1)Vk ⊕ · · · ⊕ nrVr .
Por la hipótesis inductiva, i′ : U′ ↪→ V está dada por posmultiplicación por matrices
B′1, . . . , B
′
r . Al tomar Bk := B′kg
−1
k y B j := B
′
j para j , k, se obtiene el resultado deseado.
(Fíjese que la transformación B′k 7→ Bk no cambia el rango matricial.) 
Corolario 2.9. Sea pi : A → EndF V una representación irreducible de grado finito, y
sea {x1, . . . , xn} un juego de vectores linealmente independientes en V . Si y1, . . . , yn son
n vectores cualesquiera en V , entonces existe a ∈ A tal que
pi(a)xi = yi para i = 1, . . . , n. (2.3)
Demostración. Considérese la aplicación F-lineal f : A→ nV dada por
f (a) := pi(a)x1, . . . , pi(a)xn
.
Si el enunciado fuera falso, la imagen U := f (V ) sería un A-submódulo propio de nV ,
semisimple por el Lema 2.4 y (por la Proposición 2.8) dada por posmultiplicación por
una matriz B ∈ Mm×n(F) para algún m < n. Luego, hay vectores z1, . . . , zm ∈ V tales
que
(z1, . . . , zm)B = f (1) = (x1, . . . , xn).
Al ser m < n, existe (α1, . . . , αn)t ∈ Fn \ {0} tal que B(α1, . . . , αn)t = (0, . . . , 0)t ∈ Fm.
Luego
α1x1 + · · · + αnxn = (z1, . . . , zm)B(α1, . . . , αn)t = 0 ,
lo cual contradice la independencia lineal de {x1, . . . , xn}. 
3Cada término x 7→ α j x es un A-endomorfismo de Vk , y por ende α j ∈ F por ser F algebraicamente
cerrado, en vista del Corolario 1.16.
40
MA–729: Teoría de Representaciones 2.2. Estructura de álgebras finitodimensionales
Nótese que la asignación xi 7→ yi, i = 1, . . . , n, determina un elemento de EndF V
si n = dimF V ; y si {x1, . . . , xn} es una base F-vectorial de V , cualquier elemento de
EndF V tiene esta forma. (En cambio, si n < dimF V , esta asignación corresponde a varios
elementos de EndF V ; este caso es relevante siV tiene dimensión infinita.) Dícese que un
conjunto T de endomorfismos es denso en EndF V si dados x1, . . . , xn ∈ V linealmente
independientes y y1, . . . , yn ∈ V arbitrarios, hay T ∈ T tal que T(xi) = yi para cada i.
Obviamente, si dimF V es finita, esto es válido solo si T = EndF V . Esta terminología
motiva el nombre del siguiente resultado, el teorema de densidad de Jacobson.4
Teorema 2.10 (Jacobson). (a) Sea pi : A → EndF V una representación irreducible
de grado finito. Entonces el homomorfismo pi es sobreyectivo.
(b) Más generalmente, si V ' V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vr es una suma directa de A-módulos
simples, no isomorfos entre sí, entonces el homomorfismo
pi1 ⊕ · · · ⊕ pir : A→ EndF V1 ⊕ · · · ⊕ EndF Vr (2.4)
es también sobreyectivo.
Demostración. Ad (a): Tómese T ∈ EndF V . Sea {x1, . . . , xn} una base de V y sea
yi := T(xi) para i = 1, . . . , n. Por el Corolario 2.9, existe a ∈ A que satisface (2.3), así
que T(xi) = yi = pi(a)xi para todo vector xi de la base, y por ende T = pi(a).
Ad (b): En el caso general, sea B := (pi1 ⊕ · · · ⊕ pir)(A) 6
⊕r
i=1 EndF Vi. Hay
isomorfismos de A-módulos EndF Vi ' niVi donde ni = dimF Vi, así que
⊕r
i=1 EndF Vi
es un A-módulo semisimple, de la forma (2.2).
Por la Proposición 2.8, el A-submódulo B tiene una descomposición correspondiente:
B ' B1 ⊕ · · · ⊕ Br , donde cada Bi es un A-submódulo de EndF Vi. De la parte (a), se
obtiene Bi = EndF Vi. En consecuencia, se ve que B =
⊕r
i=1 EndF Vi. 
2.2 Estructura de álgebras finitodimensionales
Si pi : A→ EndF V es una representación del álgebra A, su núcleo ker pi es un ideal de A.
Definición 2.11. El radical de una F-álgebra finitodimensional A es la totalidad de
elementos que actúan trivialmente en representaciones irreducibles:
rad A :=
⋂
{ ker pi : pi es una representación irreducible de A }. ♦
4Véase, por ejemplo, la sección 4.3 del libro: Nathan Jacobson, Basic Algebra II, Dover Books,
Mineola, NY, 1989. El teorema de densidad, en un contexto más general, introduce el conmutante
A′ := EndA V y el biconmutante A′′ := EndA′ V para un A-módulo semisimple V y demuestra que A es
denso en A′′ en el sentido indicado.
41
MA–729: Teoría de Representaciones 2.2. Estructura de álgebras finitodimensionales
Si I es un ideal a izquierda de A, el cociente A/I es un espacio F-vectorial y también
un A-módulo (a izquierda): a(b + I) := ab + I para (b + I) ∈ A/I y a ∈ A. El ideal I
es maximal si y solo si el A-módulo es simple. No es difícil comprobar, entonces, que
rad A es la intersección de los ideales a izquierda maximales de A. nDicha intersección
es obviamente un ideal a izquierda. Como la multiplicación a derecha b 7→ ba permuta
los ideales a izquierda maximales, también es un ideal a derecha. o Otra caracterización
del radical es la siguiente:
rad A = { b ∈ A : (1 − ab) es invertible, para todo a ∈ A }
= { c ∈ A : (1 − ca) es invertible, para todo a ∈ A }.
Ejemplo 2.12. Sea A := F[x]/(xm), una F-álgebra conmutativa de dimensión m del
Ejemplo 1.18(c). Si pi : A→ EndF V es una representación irreducible, entonces V ' F
por el Corolario 1.17, pi(1) = 1 ∈ F y pi(x¯) = α ∈ F cumple αm = pi(x¯m) = 0. Por lo
tanto, hay una sola representación irreducible de A hasta equivalencia; en consecuencia,
rad A = ker pi = (x¯), el cual es un ideal nilpotente de A, de codimensión 1. ♦
Proposición 2.13. Una F-álgebra finitodimensional A posee un número finito de repre-
sentaciones irreducibles, no isomorfos entre sí. Estas representaciones V1,. . . , Vr son
finitodimensionales; y hay un isomorfismo de F-álgebras:
A
rad A
' EndF V1 ⊕ · · · ⊕ EndF Vr . (2.5)
Demostración. Si pi : A → EndF V es una representación irreducible y si x ∈ V con
x , 0, entonces pi(A)x es un A-submódulo no nulo de V , porque x = pi(1)x ∈ pi(A)x.
Por irreducibilidad, se obtiene V = pi(A)x, así que V es finitodimensional, con dimV 6
dim pi(A) 6 dim A, habida cuenta de que pi es una aplicación F-lineal.
Si pii : A → EndF Vi, para i = 1, . . . , r , es un juego de representaciones irreducibles
inequivalentes, el Teorema 2.10muestra que el homomorfismoΠ := pi1⊕· · ·⊕pir de (2.4)
es sobreyectivo. En particular, Π es una aplicación F-lineal de A en
⊕r
i=1 EndF Vi; luego
r 6
r∑
i=1
dimEndF Vi 6 dim A.
El número de representaciones irreducibles inequivalentes es finito, acotado por dim A.
Si ahora {pi1, . . . , pir} es una enumeración de todas las representaciones irreducibles
de A (hasta equivalencia), entonces el núcleo del homomorfismo (2.4) es
kerΠ = ker(pi1 ⊕ · · · ⊕ pir) =
r⋂
i=1
ker pii = rad A,
por la definición del radical. La conclusión (2.5) sigue, pues A/ kerΠ ' imΠ. 
42
MA–729: Teoría de Representaciones 2.2. Estructura de álgebras finitodimensionales
Corolario 2.14. Si di ≡ dimVi es el grado de la representación irreducible pii de A,
entonces
d21 + d
2
2 + · · · + d2r 6 dim A, (2.6)
con igualdad si y solo si rad A = {0}.
Definición 2.15. Una F-álgebra finitodimensional A es semisimple si rad A = {0}. ♦
Es evidente que una F-álgebra simple (esto es, sin ideales no triviales) es también
semisimple: el ideal rad A no es todo A porque 1 < rad A, así que rad A = {0}.
Proposición 2.16. Para un álgebra finitodimensional A sobre un cuerpo algebraicamente
cerrado F , las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) A es semisimple.
(b) Si V1, . . . ,Vr son todos los A-módulos simples, hasta isomorfía, con di = dimVi
para cada i, entonces d21 + · · · + d2r = dim A.
(c) Existen d1, . . . , dr ∈ N∗ tales que A '
⊕r
i=1 Mdi (F).
(d) Cada representación finitodimensional de A es semisimple.
(e) La propia álgebra A (por multiplicación a izquierda) es un A-módulo semisimple.
Demostración. La equivalencia (a)⇐⇒ (b) es el Corolario 2.14. Del isomorfismo (2.5)
se deduce la implicación (a) =⇒ (c).
Para obtener (c) =⇒ (a), es cuestión de notar que el álgebra Md(F) es simple y tiene
una sola representación irreducible (hasta equivalencia), sobre F d visto como un espacio
de “vectores de columna”. Cualquier Md(F)-módulo finitodimensional tiene la forma
mF d para algún m.
Entonces es fácil comprobar que (c) =⇒ (d), mientras que (d) =⇒ (e) es inmediato.
Falta comprobar (e) =⇒ (c). Por hipótesis, hay un isomorfismo de A-módulos
A ' n1V1 ⊕ · · · ⊕ nsVs donde V1, . . . ,Vs son A-módulos simples, no isomorfos entre sí.
Sea B := EndA(A) el álgebra de A-endomorfismos de A. Por el lema de Schur, cada
β ∈ B no nula lleva Vi en una copia isomorfa de Vi: se concluye que
B '
s⊕
i=1
EndA(niVi) '
s⊕
i=1
Mni (EndAVi) '
s⊕
i=1
Mni (F),
donde el tercer isomorfismo viene también del Lema de Schur (Corolario 1.16).
43
MA–729: Teoría de Representaciones 2.3. Representaciones indescomponibles
Por otro lado, cualquier A-endomorfismo de la acción a izquierda b 7→ ab viene de la
multiplicación a derecha, b 7→ bc, para algún c ∈ A, por la asociatividad (ab)c = a(bc).
Esto dice que B ' Aop, el álgebra opuesta de A. Por último, nótese que la transpuesta
de matrices da un isomorfismo Mn(F)op ' Mn(F) para cualquier n. Entonces hay
isomorfismos de F-álgebras A ' Bop '⊕si=1 Mni (F); la implicación (e) =⇒ (c) queda
establecida. 
2.3 Representaciones indescomponibles
Las Proposiciones 2.13 y 2.16 esclarecen la estructura de álgebras semisimples (sobre
un cuerpo algebraicamente cerrada), cuyas representaciones son sumas directas de rep-
resentaciones irreducibles. Para álgebras más generales, cuyos radicales no son triviales,
la situación es más compleja: puede haber representaciones que son indescomponibles
en sumas directas pero no irreducibles.
En esta sección, el cuerpo F será algebraicamente cerrado.
Ejemplo 2.17. Sea A = FQ el álgebra del carcaj siguiente:
12 3
u v
•• •
El álgebra A tiene dimensión 5: según la Definición 1.29, una base es {p1, p2, p3, au, av},
donde los p j son idempotentes, p2j = p j , uno para cada vértice, y au, av corresponden
a las flechas. No hay caminos de longitud mayor que 1 en este carcaj. Nótese que
auav = 0 = avau porque las flechas no son consecutivos. Los productos no nulos entre
los p j y las flechas son p1au = au = aup2, p1av = av = avp3.
Hay un isomorfismo entre A y una subálgebra 5-dimensional de M3(F), definido
como sigue. Denótese por ei j lamatriz elemental con entrada (i, j) igual a 1 y sus otras
entradas cero. Las matrices elementales diagonales son idempotentes: e2kk = ekk . La
regla de multiplicación matricial es ei jekl = eil n j = ko. Entonces la aplicación F-lineal
inyectiva A→ M3(F) dada por
p1 7→ e11, p2 7→ e22, p3 7→ e33, au 7→ e12, av 7→ e13,
identifica A con una subálgebra de M3(F). La notación
A ' *..,
∗ ∗ ∗
0 ∗ 0
0 0 ∗
+//-
sirve para exhibir este isomorfismo entre FQ y un álgebra matricial.
44
MA–729: Teoría de Representaciones 2.3. Representaciones indescomponibles
El subespacio Fe12 + Fe13 es un ideal nilpotente maximal de este álgebra; este es el
radical de A:
rad A ' *..,
0 ∗ ∗
0 0 0
0 0 0
+//- .
Es evidente que A/ rad A ' F ⊕ F ⊕ F , visto como la subálgebra diagonal (¡semisimple!)
de M3(F). Fíjese que las tres copias de F son representaciones irreducibles (obviamente,
por ser unidimensionales) de A, pero son inequivalentes al examinar la acción de au y av
sobre cada copia. El último isomorfismo entonces ejemplifica la Proposición 2.13.
La inyección A ↪→ M3(F) ' EndF (F3) es una representación de A, de rango 3. No es
irreducible, porque Fe3 y Fe2 + Fe3 son A-submódulos no triviales de F3. Aun así, esta
representación de A es indescomponible. ♦
I Si A es un F-álgebra finitodimensional y si V es un A-módulo finitodimensional,
entonces bien V es indescomponible, o bien V = U ⊕ W es una suma directa no trivial
de A-submódulos de menor dimensión. Al repetir este argumento con U y W , etcétera
(por inducción sobre dimV , si se quiere), se llega a una descomposición:
V ' V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vs ,
donde losVj son indescomponibles. Se puede obtener una descomposición de este tipo de
varias maneras, lo que plantea un interrogante sobre su unicidad. El resultado principal
de esta sección (el Teorema 2.21) muestra que esta descomposición es “esencialmente
única”.
Definición 2.18. Sea V un A-módulo finitodimensional de una F-álgebra finitodimen-
sional A. SiU es un subespacio A-invariante de V , entoncesU es un A-submódulo de V
y el espacio vectorial cociente V/U es también un A-módulo.
Una filtración de V es una cadena ascendente de A-submódulos:
{0} = V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vm = V .
Los cocientes de la filtración son los A-módulos W j := Vj/Vj−1 para j = 1, . . . ,m.
Si algún W j es reducible, posee un A-submódulo no trivial W ′j ; sea V
′
j := η
−1
j−1(W ′j),
donde η j−1 : Vj → Vj−1 es el A-morfismo cociente. Entonces Vj−1 ⊂ V ′j ⊂ Vj y por
ende es posible intercalar V ′j en la filtración original. Al repetir este proceso un número
finito de veces, se obtiene una filtración maximal de V donde todos los cocientes son
irreducibles. ♦
45
MA–729: Teoría de Representaciones 2.3. Representaciones indescomponibles
Teorema 2.19 (Jordan yHölder). SeaV un A-módulo finitodimensional de una F-álgebra
finitodimensional A. Dadas dos filtraciones maximales de V ,
{0} ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vm = V y {0} ⊂ V ′1 ⊂ · · · ⊂ V ′n = V,
con cocientes irreducibles Wi = Vi/Vi−1 y W ′j = V
′
j /V
′
j−1, entonces resulta que n = m y
hay una permutación σ ∈ Sm tal queW ′j ' Wσ( j) para j = 1, . . . ,m.
Demostración. Por inducción sobre dimV ; el resultado es trivial si dimV = 1. Si
W1 = W ′1 (es decir, V1 = V
′
1 como subespacios de V ), entonces V/V1 tiene dos filtra-
ciones correspondientes, con subespacios Vi/V1 y V ′j /V1, y el resultado sigue porque
dim(V/V1) < dimV .
Si W1 , W ′1, entonces W1 ∩ W ′1 = {0} porque tanto W1 como W ′1 es irreducible.
Entonces V1 ⊕V ′1 es un subespacio A-invariante de V . Considérese el A-módulo cociente
U := V/(V1 ⊕ V ′1). Sea {0} ⊂ U1 ⊂ · · · ⊂ Up = U una filtración maximal de U con
cocientes Zk := Uk/Uk−1.
Al cocientar las dos filtraciones originales de V por V1 y también por V ′1 , se obtiene:
 dos filtraciones de V/V1, una con cocientes W ′1, Z1, . . . , Zp; y otra con cocientes
W2, . . . ,Wm;
 dos filtraciones de V/V ′1 , una con cocientes W1, Z1, . . . , Zp; y otra con cocientes
W ′2, . . . ,W
′
n.
Como dim(V/V1) < dimV y dim(V/V ′1) < dimV , la hipótesis inductiva implica que
m − 1 = p + 1 = n − 1 y que los siguientes conjuntos coinciden:
{W1,W2, . . . ,Wm} = {W1,W ′1, Z1, . . . , Zp} = {W ′1,W ′2, . . . ,W ′n}. 
El número m = n de A-submódulos de V en una filtración maximal se llama la
longitud de V . Si V es semisimple, con V ' W1 ⊕ · · · ⊕ Wm expresada como suma
directa de A-módulos simples, se puede tomar Vj := W1 ⊕ · · · ⊕ W j , formando así una
filtración de V . Luego, en el caso semisimple, la longitud es el número de sumandos
irreducibles en una descomposición de V .
I Conviene recordar la propiedad esencial de una suma directa:5 V ' V1 ⊕ · · · ⊕ Vr si
y sólo si hay homomorfismos ik : Vk → V y pk : V → Vk para k = 1, . . . , r tales que
p j ik = 1Vk n j = ko ; i1 p1 + · · · + ir pr = 1V . (2.7)
Nótese que cada ik es inyectivo y cada pk es sobreyectivo.
5Esta caracterización de sumas directas es válida en cualquier categoría aditiva.
46
MA–729: Teoría de Representaciones 2.3. Representaciones indescomponibles
Lema 2.20. Si V es un A-módulo finitodimensional indescomponible, cada A-endomor-
fismo h ∈ EndAV es un isomorfismo o bien es nilpotente.
Demostración. Considérese h como endomorfismo F-lineal, h ∈ EndF V . Se puede
elegir una base F-vectorial deV respecto de la cual la matriz de h tiene la forma canónica
de Jordan. (Esta forma canónica está disponible porque F es algebraicamente cerrado.)
SeaU un subespacio deV que corresponde a uno de los bloques de Jordan de esta matriz;
hay una suma directa V = U ⊕W de espacios F-vectoriales reduce h, es decir, h(U) ⊆ U
y a la vez h(W ) ⊆ W .
Ahora bien, por ser h un A-endomorfismo, tantoU comoW son A-submódulos de V .
Como V es indescomponible, se concluye queU = V yW = {0}. Por lo tanto, la matriz
de h es un solo bloque de Jordan, con un solo autovalor λ ∈ F . Si λ , 0, la matriz es
invertible y h es un isomorfismo. En cambio, si λ = 0, la matriz es triangular con ceros
en la diagonal y h es nilpotente, con hn = 0 para n = dimV . 
Teorema 2.21 (Krull y Schmidt). Sea V un módulo finitodimensional de una F-álgebra
finitodimensional A. Dadas dos descomposiciones de V en suma directas de A-sub-
módulos indescomponibles:
V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vm = V ′1 ⊕ V ′2 ⊕ · · · ⊕ V ′n ,
resulta que n = m y hay una permutación σ ∈ Sm tal que V ′j ' Vσ( j) para j = 1, . . . ,m.
Demostración. Por inducción sobre dimV . Considérese los A-morfismos ik : Vk → V y
pk : V → Vk que cumplen (2.7) y las aplicaciones análogas i′j : V ′j → V y p j : V → V ′j
para la segunda suma directa. Para j = 1, . . . , n, tómese h j := p1i′jp
′
ji1 ∈ EndAV1. Las
relaciones (2.7) muestran que h1 + · · · + hn = 1V1 .
Si h1 es nilpotente, con hp1 = 0, entonces h2 + · · · + hn = 1 − h1 es un isomorfismo,
porque (1− h1)(1+ h1 + h21 + · · ·+ hp−11 ) = 1V1 . Sea h′j := (1− h1)−1h j para j = 2, . . . , n,
así que h′2 + · · · + h′n = 1V1 . Si h2 es también nilpotente, h′2 = (1 − h1)−1h2 no es
un isomorfismo, así que es nilpotente, por el Lema 2.20. Entonces h3 + · · · + hn =
(1 − h1)(1 − h′2) es un isomorfismo. Al continuar así (o bien, por inducción sobre n), se
ve que no todos los h j pueden ser nilpotentes. Al permutar los Vj se puede suponer que
h1 no es nilpotente, así que es un isomorfismo.
Ahora h1 es la composición de los A-morfismos p′1i1 : V1 → V ′1 (inyectivo) y
p1i′1 : V
′
1 → V1 (sobreyectivo). Luego e := (p′1i1)h−1(p1i′1) ∈ EndAV ′1 es idempo-
tente, e2 = e, así que V ′1 = im e ⊕ ker e. Como V ′1 es indescomponible, se concluye que
e = 0 o e = 1 en EndAV ′1 . Si fuera e = 0, sería p
′
1i1 = 0 porque h
−1(p1i′1) es sobreyec-
tivo, pero esto implicaría h = 0. Entonces e = 1 y por ende p′1i1 ∈ HomA(V1,V ′1) y
p1i′1 ∈ HomA(V ′1,V1) son isomorfismos.
47
MA–729: Teoría de Representaciones 2.4. El carácter de una representación
ColóqueseU := V2 ⊕ · · · ⊕ Vm yU′ := V ′2 ⊕ · · · ⊕ V ′n y sean iU, pU, i′U, p′U los A-mor-
fismos canónicos asociados a las descomposiciones V = V1 ⊕ U = V ′1 ⊕ U′. Tómese
g := p′UiU ∈ HomA(U,U′). Si x ∈ ker g, entonces p′U(x) = 0, así que x ∈ V ′1 . Pero
p1(x) = 0 porque ker g ⊆ U, así que p1(i′1(x)) = p1(x) = 0, y por lo tanto x = 0. Luego
g es inyectivo, pero también sobreyectivo porque dimU′ = dimV − dimV1 = dimU.
En fin, los A-módulos U y U′ son isomorfos: V2 ⊕ · · · ⊕ Vm ' V ′2 ⊕ · · · ⊕ V ′n como
A-submódulos de V . El resultado sigue por inducción sobre dimV . 
2.4 El carácter de una representación
Definición 2.22. Sea pi : A→ EndF V una representación finitodimensional de un álge-
bra A. El carácter de pi (o del A-módulo V ) es la función F-lineal χpi ≡ χV : A → F
definida por
χpi(a) := tr(pi(a)), para todo a ∈ A. (2.8)
Aquí tr : EndF V → F es la traza de un endomorfismo lineal, dada por trT := t11+· · ·+tnn
mediante un isomorfismo cualquiera EndF V ' Mn(F).
Es evidente que dos representaciones equivalentes tienen el mismo carácter. ♦
Lema 2.23. Sea V un A-módulo finitodimensional yU un A-submódulo de V ; el espacio
vectorial cocienteV/U es también un A-módulo. Los caracteres de estos tres A-módulos
obedecen la relación: χV/U = χV − χU .
Demostración. Llámese pi : A → EndF V la representación dada y sea η : V → V/U
la aplicación cociente. Elíjase una base {x1, . . . , xk} de U y extiéndela a una base
{x1, . . . , xn} de V ; sea { f1, . . . , fn} la base dual de V ∗. Al escribir x¯ j := η(x j) ≡ x j +U,
se ve que { x¯k+1, . . . , x¯n} es una base de V/U, con base dual { f˜ k+1, . . . , f˜n} ⊂ (V/U)∗,
donde ηt( f˜i) = f˜i ◦ η = fi para i > k.
El resultado sigue al calcular trazas con estas bases:
χV/U(a) :=
n∑
j=k+1
f˜ j(η(pi(a)x j)) =
n∑
j=k+1
f j(pi(a)x j) = χV (a) − χU(a) si a ∈ A. 
Proposición 2.24. Sea A un álgebra finitodimensional sobre un cuerpo F algebraica-
mente cerrado y sean V1, . . . ,Vr unos A-módulos irreducibles, no isomorfos entre sí.
Entonces los caracteres correspondientes χ1, . . . , χr son linealmente independientes.
Demostración. La Proposición 2.13 muestra que el homomorfismo (2.4),
pi1 ⊕ · · · ⊕ pir : A→ EndF V1 ⊕ · · · ⊕ EndF Vr ' Md1(F) ⊕ · · · ⊕ Mdr (F),
48
MA–729: Teoría de Representaciones 2.5. Ejercicios sobre álgebras semisimples
es sobreyectivo. Supóngase que
∑r
j=1 c j χ j = 0 en el espacio F-vectorial A
∗. Entonces∑r
j=1 c j χ j(a) =
∑r
j=1 c j tr(pi j(a)) = 0 para todo a ∈ A. La sobreyectividad dice que∑r
j=1 c j tr(B j) = 0 para matrices B1 ∈ Md1(F), . . . , Br ∈ Mdr (F) cualesquiera. Para cada
k = 1, . . . , r , tómese Bk := e11 ∈ Mdk (F) y B j := 0 para j , k; la sumatoria anterior se
reduce a ck = 0. Se concluye que χ1, . . . , χr son linealmente independientes en A∗. 
Como pi(1) = 1V , se ve que χpi(1) = 1 + · · · + 1 = n ∈ F . Si F es un cuerpo de
característica p y si dimF V es divisible por p, entonces χpi(1) = 0. En visto de esta
circunstancia anómala, la teoría de caracteres es de mayor utilidad cuando char F = 0,
en cuyo caso χpi(1) = dimV .6
Cuando F es algebraicamente cerrado y de característica 0, los dos resultados ante-
riores llevan a una prueba más corta del Teorema 2.19 de Jordan y Hölder. En efecto,
dadas las dos filtraciones del A-módulo V , el Lema 2.23 muestra que
χW1 + · · · + χWm = χV = χW ′1 + · · · + χW ′n .
Si { χ1, . . . , χr} es una enumeración de todos los caracteres de representaciones irre-
ducibles de A, estas dos sumatorias son de la forma
∑r
k=1 mk χk y
∑r
k=1 nk χk respecti-
vamente, donde mk [respectivamente, nk] es el número de los Wi [resp., de los W ′j] que
son isomorfos al A-módulo irreducible con carácter χk . Por la independencia lineal de
los χk , se obtiene mk = nk para cada k,7 así que losW ′j son una permutación de losWi,
hasta isomorfismo. En particular, vale m =
∑r
k=1 mk =
∑r
k=1 nk = n.
2.5 Ejercicios sobre álgebras semisimples
En estos ejercicios, A denota un álgebra finitodimensional sobre el cuerpo algebraica-
mente cerrado F .
Ejercicio 2.1. Sea A = Mn(F) un álgebra de matrices y sea V un A-módulo finitodi-
mensional. Demostrar que hay m ∈ N tal que V ' m Fn, es decir, V ' Fn ⊕ · · · ⊕ Fn
con m sumandos. n Indicación: si ei j es la matriz con entrada (i, j) igual a 1 y las otras
entradas 0, demostrar que V ' e11V ⊕ e22V ⊕ · · · ⊕ ennV como espacios vectoriales. Si
x ∈ e11V , seaUx 6 V el subespacio generado por los vectores ei1x para i = 1, . . . , n. o
6En el caso en que char F = p y A = F[G] donde G es un grupo finito tal que p divide |G|, se puede
definir un carácter modificado sobre los elementos de G cuyos períodos son primos a p. Esta noción de
“carácter regular”, debido a Richard Brauer, es de gran importancia en la teoría de grupos finitos. Véase
el capítulo 18 del libro de Serre, op. cit.
7En más detalle: mk − nk = 0 para cada k; esto implica que mk = nk porque F es de característica 0.
49
MA–729: Teoría de Representaciones 2.5. Ejercicios sobre álgebras semisimples
Ejercicio 2.2. El producto tensorial de dos F-álgebras A y B es el espacio F-vectorial
A ⊗ B dotado con la multiplicación (a1 ⊗ b1)(a2 ⊗ b2) := a1a2 ⊗ b1b2.
(a) Comprobar que Mm(F) ⊗ Mn(F) ' Mmn(F) como F-álgebras.
(b) Si A y B son álgebras finitodimensionales semisimples, demostrar que A ⊗ B
también es semisimple.
Ejercicio 2.3. El radical de un álgebra A se define8 como la intersección rad A de
los ideales a izquierda maximales de A. Denótese (provisionalmente) por rad′ A la
intersección de los ideales a derecha maximales de A. Demostrar que las siguientes
condiciones son equivalentes, para un elemento a ∈ A:
(a) a ∈ rad′ A;
(b) (1 − ab) tiene un inverso a derecha, para todo b ∈ A;
(c) (1 − ab) tiene un inverso (bilateral), para todo b ∈ A;
(d) (1 − ba) tiene un inverso (bilateral), para todo b ∈ A;
(e) (1 − ba) tiene un inverso a izquierda, para todo b ∈ A;
(f) a ∈ rad A.
Concluir que rad A es un ideal (bilateral) de A.
Ejercicio 2.4. Si A = T(n, F) es el álgebra de matrices triangulares superiores n × n,
comprobar que rad A es el ideal de matrices triangulares con ceros en la diagonal.
Ejercicio 2.5. Si I es un ideal de A, sea In el ideal de sumas finitas de productos
c1c2 · · · cn con cada ci ∈ I. Dícese que el ideal I es nilpotente si In = {0} para algún
n ∈ N∗.
(a) Si I es un ideal nilpotente de A, mostrar que I ⊆ rad A.
(b) Sea {0} = A0 ⊂ A1 ⊂ · · · ⊂ Am = A una filtración maximal de A-submódulos
de A. Si c ∈ rad A, mostrar que cAi ⊆ Ai−1 para i = 1, . . . ,m. Concluir que rad A
es un ideal nilpotente de A.
8El núcleo de una representación irreducible es un ideal a izquierda maximal. Entonces rad A es
también la intersección de los núcleos de las representaciones irreducibles.
50
MA–729: Teoría de Representaciones 2.5. Ejercicios sobre álgebras semisimples
Ejercicio 2.6. Si Q = (N, F) es un carcaj finito sin ciclos (así que el álgebra FQ
es finitodimensional), sea R = R(Q) su ideal de flechas, generado por los elementos
{ au : u ∈ F }.
Demostrar que el ideal R es nilpotente, y que FQ/R ' F ⊕ · · · ⊕ F ≡ nF para algún
n ∈ N∗. Concluir que R es un ideal nilpotente maximal y por ende rad(FQ) = R.
Ejercicio 2.7. Si pii : A → EndF Vi, para i = 1, . . . , r , son representaciones irreducibles
finitodimensionales de A, inequivalentes entre sí, demostrar que existen idempotentes
e1, . . . , er ∈ A tales pii(ei) = 1 en EndF Vi para i = 1, . . . , r y además pi j(ei) = 0 en
EndF Vj cuando i , j.
¿Bajo cuáles circunstancias es posible concluir que eie j = 0 en A para i , j?
51
MA–729: Teoría de Representaciones
3 Representaciones de grupos finitos
La teoría de representaciones tiene su origen en los trabajos de Georg Frobenius, a
finales del siglo XIX, sobre los grupos finitos. Si G es un grupo finito y F es un cuerpo,
entonces el álgebra de grupo F[G] es una F-álgebra finitodimensional y la teoría del
capítulo anterior es aplicable al caso. Sin embargo, las representaciones de grupos
presentan unos rasgos distintos, debido al papel jugado por sus caracteres. También son
notables las representaciones unitarias de un grupo finito G, al dotar el G-módulo V
con un producto escalar, al menos en los casos F = R y F = C. Para aprovechar las
propiedades de representaciones sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, se considerará
mayormente el caso F = C en lo que sigue.
3.1 Semisimplicidad de las representaciones
Conviene recordar la Definición 1.21 de una representación de un grupo finito G sobre
un espacio F-vectorial V : esta es un homomorfismo de grupos pi : G → GLF (V ). Este
homomorfismo se extiende por F-linealidad en una representación del álgebra F[G], que
ahora será denotado por la misma letra pi:
pi(a) :=
∑
g∈G
ag pi(g) si a =
∑
g∈G
ag g. (3.1)
De esta forma, V recibe la estructura de un F[G]-módulo; por un pequeño abuso de
lenguaje, se dice que V es un G-módulo mediante la representación pi.
Un subespacio vectorial U ⊆ V que es invariante bajo cada pi(g), para g ∈ G, es
también invariante bajo cada pi(a), para a ∈ F[G]; y viceversa. Una representación pi deG
es irreducible (no hay subespacios invariantes no triviales) si y sólo si la representación
extendida de F[G] es irreducible.
De esta manera, buena parte del vocabulario de representaciones de álgebras se
transfiere a representaciones de grupos. Por ejemplo, dadas dos representaciones del
mismo grupo, pi : G → GLF (V ) y σ : G → GLF (W ), una aplicación F-lineal T : V → W
entrelaza pi y σ si
T(pi(g) x) = σ(g)(T x) para todo g ∈ G, x ∈ V, (3.2)
lo cual es equivalente a (1.3) para A = F[G]. El espacio F-vectorial de tales T se puede
denotar por HomG(V,W ). Si hay una T invertible con esta propiedad, dícese que pi y σ
son representaciones equivalentes de G, escrito pi ∼ σ; en cuyo caso, vale
σ(g) = T ◦ pi(g) ◦ T−1 para todo g ∈ G. (3.3)
52
MA–729: Teoría de Representaciones 3.1. Semisimplicidad de las representaciones
El Lema de Schur, Proposición 1.15, sigue válido para representaciones de grupos, al
tomar T ∈ HomG(V,W ) \ {0}. En el caso de una representación de rango finito cuando
F es algebraicamente cerrado, el Corolario 1.16 ahora dice que cada T ∈ EndG(V ) es de
la forma λ 1V con λ ∈ F .
I Si F es un cuerpo de característica finita p, y si p divide el orden del grupoG, la teoría
de representaciones de G sobre espacios F-vectoriales es complicada.1 En este curso, se
asumirá lo contrario; en cuyo caso, el siguiente teorema de Maschke presenta una gran
simplificación.
Teorema 3.1 (Maschke). Si G es un grupo finito y si F es un cuerpo cuya característica
no divide |G|, cada representación pi : G → GLF (V ) es completamente reducible.
Demostración. Cabe recordar (Definición 2.3) que el G-módulo es completamente re-
ducible si y solo si cada para G-submódulo U 6 V existe otro G-submóduloW 6 V tal
que V ' U ⊕W .
SeaU, entonces, un subespacio pi(G)-invariante de V . Tómese cualquier subespacio
W ′ 6 V tal que V = U ⊕ W ′ como espacios F-vectoriales (por ejemplo, al completar
una base de U en una base de V ). Si z ∈ V , entonces z = x + y de manera única, con
x ∈ U, y ∈ W ′. Sea P′ ∈ EndF V el proyector sobreU a lo largo deW ′, determinado por
P′(x + y) := x. Defínase otro operador P ∈ EndF V por la fórmula:
P :=
1
|G|
∑
h∈G
pi(h) ◦ P′ ◦ pi(h)−1. (3.4)
Fíjese que |G| , 0 en F porque char F = 0 o bien porque char F = p pero |G| 6≡ 0 mod p
en Z, por la hipótesis del enunciado. Entonces 1/|G| ∈ F× es el recíproco de |G| :=
1 + · · · + 1 ∈ F×. Luego la fórmula (3.4) está bien definida en EndF V .
Nótese que Px = x para cada x ∈ U porque pi(h)(U) = U para cada h ∈ G; además,
im P = P(V ) ⊆ U , así que P2 = P. Esto muestra que P es un proyector en EndF V .
DefínaseW := ker P. EntoncesV = im P⊕ker P = U ⊕W como espacios F-vectoriales.
Además, si g ∈ G, entonces
pi(g) ◦ P = 1|G|
∑
h∈G
pi(gh) ◦ P′ ◦ pi(h−1) = 1|G|
∑
k∈G
pi(k) ◦ P′ ◦ pi(k−1g) = P ◦ pi(g),
así que P conmuta con pi. Esto implica que pi(g)(ker P) ⊆ ker P para cada g ∈ G, así que
W es un G-submódulo de V . 
1El libro de Serre es una buena introducción a dicha teoría.
53
MA–729: Teoría de Representaciones 3.1. Semisimplicidad de las representaciones
En vista de la Proposición 2.5, este teorema tiene un corolario inmediato.
Corolario 3.2. Si G es un grupo finito y si F es un cuerpo cuya característica no
divide |G|, cualquier G-módulo finitodimensional es semisimple. 
El álgebra de grupo F[G] es finitodimensional. De hecho, vale dimF (F[G]) = |G|,
porque los elementos del grupo {1, g2, . . . , gn} forma una base F-vectorial para F[G]. Si
el cuerpo F es algebraicamente cerrado, de la Proposición 2.16 se obtiene la estructura
del álgebra del grupo. Siempre bajo la hipótesis de que char F no divide |G|, se obtiene
la descomposición siguiente:
F[G] '
r⊕
i=1
Mdi (F), (3.5)
donde d1 = 1, d2, . . . , dr son los grados de las representaciones irreducibles inequiv-
alentes de G (o si se quiere, de F[G]). La primera de estas representaciones es la
representación trivial del grupo: pi1(g) := 1 ∈ F para todo g ∈ G, la cual es obviamente
irreducible. Del inciso (b) de la Proposición 2.16, se obtiene la fórmula importante:
d21 + d
2
2 + · · · + d2r = |G|. (3.6)
Ejemplo 3.3. Sea Fp el cuerpo finito de orden p, con p primo; y sea Cp el grupo
cíclico de orden p – el cual es isomorfo al grupo aditivo (Fp ,+). Las hipótesis del
teorema de Maschke no son satisfechos en este caso. ComoCp es abeliano (luego Fp[Cp]
es conmutativo), cada representación irreducible pi j de Cp es de grado 1. Al escribir
Cp = {1, g, g2, . . . , gp−1}, se obtiene pi j(g) = λ j ∈ Fp con λpj = 1.
Luego λ j ∈ Fp es una raíz del polinomio xp − 1. Pero resulta que xp − 1 = (x − 1)p
en Fp[x] – al expandir (x − 1)p con el teorema binomial – y luego λ j = 1. Entonces la
única representación irreducible de Cp sobre espacios Fp-vectoriales es la trivial. Estas
conclusiones no cambian si se reemplaza Fp por su clausura algebraica F p: luego el
álgebra A = F p[Cp] no es semisimple.
De hecho, de la Proposición 2.13 se obtiene A/ rad A ' F p; el radical de F p[Cp] es
un ideal de codimensión 1. ♦
I En el resto de este capítulo, se supondrá que F es un cuerpo de característica 0, así
que el teorema de Maschke es aplicable y todas los G-módulos son semisimples.
Ejemplo 3.4. Con char F = 0, considérese la representación del grupo cíclico Cn sobre
Fn dado por permutaciones cíclicas de la base usual de Fn. En otras palabras, al escribir
Cn = {1, g, g2, . . . , gn−1}, basta definir pi(g) ∈ GLF (Fn) ≡ GL(n, F) por:
pi(g)e j := e j−1 para j = 2, . . . , n; pi(g)e1 := en .
54
MA–729: Teoría de Representaciones 3.1. Semisimplicidad de las representaciones
Por ejemplo, para n = 4, estas matrices 4 × 4 representan C4:
pi(1) = 14 , pi(g) =
*.....,
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
+/////-
, pi(g2) =
*.....,
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
+/////-
, pi(g3) =
*.....,
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
+/////-
.
Esta representación es reducible sobre F , por el Corolario 1.17, porque Cn es abeliano.
El polinomio característico de pi(g) es det(x1n − pi(g)) = xn − 1, por expansión en
la primera columna. Ahora Q ⊆ F pues char F = 0, así que Q ⊆ F : el polinomio
(xn − 1) tiene n raíces distintas en Q, de la forma { ζ kn : k = 0, 1, . . . , n − 1 }; estas
raíces de la unidad son números algebraicos.2 Sin perder generalidad, se puede tomar
ζn := e2pii/n = cos(2pi/n) + i sen(2pi/n). Entonces hay un cambio de base de Fn que
diagonaliza pi(g), en la forma pi(g) ∼ ρ(g) ≡ diag[1, ζn, . . . , ζ n−1n ]. Para n = 4:
pi(g) ∼ ρ(g) =
*.....,
1 0 0 0
0 i 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −i
+/////-
.
Las representaciones irreducibles pi1, . . . , pin de Cn sobre F están dadas por la asignación
pik(g) := ζ kn = e2piik/n, para k = 0, 1, . . . , n − 1. ♦
Ejemplo 3.5. Considérese el grupo no abeliano S3 (permutaciones de 3 objetos):
S3 = { 1, (123), (132), (12), (13), (23) }.
nEl símbolo 1 denota la permutación idéntica. o Este grupo tiene una representación
obvia sobre F3 por matrices 3 × 3: defínase pi : S3 → GL(3, F) por
1 7→ *..,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
+//- , (123) 7→
*..,
0 0 1
1 0 0
0 1 0
+//- , (132) 7→
*..,
0 1 0
0 0 1
1 0 0
+//- ,
(12) 7→ *..,
0 1 0
1 0 0
0 0 1
+//- , (13) 7→
*..,
0 0 1
0 1 0
1 0 0
+//- , (23) 7→
*..,
1 0 0
0 0 1
0 1 0
+//- . (3.7)
La recta diagonal U = { (x, y, z) ∈ F3 : x = y = z } es un S3-submódulo de F3. Luego,
esta representación pi de S3 es reducible.
2Aquí Q denota el cuerpo de los números algebraicos: las raíces complejas de polinomios en Z[x].
55
MA–729: Teoría de Representaciones 3.1. Semisimplicidad de las representaciones
El plano W = { (x, y, z) ∈ F3 : x + y + z = 0 } es otro S3-submódulo de F3, el
cual es simple: la restricción de pi a W sí es irreducible. Entonces F3 = U ⊕ W es la
descomposición de la representación semisimple pi.
Los primeros tres de estas seis matrices determinan una representación del subgrupo
cíclico C3 6 S3. Entonces F3 = U ⊕ W como C3-módulos. Si F = C, entonces W es
reducible como C3-módulo.
En efecto, del Ejemplo anterior, se ve que pi |W ∼ pi2 ⊕ pi3. Escríbase
ω := e2pii/3 =
−1 + i√3
2
, ω2 := e−2pii/3 =
−1 − i√3
2
.
EntoncesW = W1 ⊕W2 como C3-módulos, donde
W1 := { (x, y, z) ∈ W : x + ωy + ω2z = 0 };
W2 := { (x, y, z) ∈ W : x + ω2y + ωz = 0 }.
Luego C3 = U ⊕W1 ⊕W2 es una suma directa de C3-submódulos unidimensionales.
Obsérvese que para F = R, la descomposición R3 = U ⊕W es una descomposición
en irreducibles: el Corolario 1.17 no es aplicable cuando F = R. ♦
Ejemplo 3.6. La representación regular (a izquierda) de un grupo finito G se define
como sigue. Tómese V := F[G], con base F-vectorial G = {1, g2, . . . , gn}, donde
n = |G| = dimF (F[G]). Defínase λ : G → GLF (F[G]) por
λ(g) :
∑
h∈G
bh h 7−→
∑
h∈G
bh gh.
La representación correspondiente de F[G] sobre sí mismo está dada por el producto en
el álgebra F[G]; es decir, λ(a) : b 7→ ab.
Para evitar malentendidos, conviene denotar el elemento g ∈ G por el símbolo xg al
considerarlo como vector básico en F[G]. Con este convenio, la base natural de F[G] se
escribe { xg : g ∈ G } y la representación regular de G asume la forma
λ(g) :
∑
h∈G
bh xh 7−→
∑
h∈G
bh xgh.
En el caso F = C, la representación regular es semisimple; y su descomposición en
irreducibles está dada precisamente por la fórmula (3.5). Por la Proposición 2.16, hay
exactamente r representaciones irreducibles inequivalentes pi1, . . . , pir de G (o de C[G]),
de grados respectivos d1, . . . , dr ; y todos aparecen como subrepresentaciones de la
representación regular. Al combinar (3.5) con la observación de que
Md j (C) ' Cd j ⊕ · · · ⊕ Cd j con d j sumandos,
56
MA–729: Teoría de Representaciones 3.1. Semisimplicidad de las representaciones
al considerar una matriz como el juego de sus columnas, cada representación irreducible
pi j aparece d j veces en la representación regular:
λ ∼ d1pi1 ⊕ d2pi2 ⊕ · · · ⊕ drpir , (3.8)
en consonancia con la fórmula (3.6) para la suma de sus grados: d21 + d
2
2 + · · ·+ d2r = |G|.
En particular, la representación trivial pi1, con d1 = 1, aparece una sola vez en la
representación regular. ♦
Ejemplo 3.7. En el Ejemplo 3.5, se exhibió una representación irreducible compleja del
grupo S3, de grado 2: el plano W = { (x, y, z) ∈ C3 : x + y + z = 0 } es un S3-módulo
simple. Contando también la representación trivial, de grado 1, la suma de cuadrados
de grados es necesariamente
1 + 1 + 4 = 6 = |S3 |.
Entonces hay otra representación de grado 1, pi2 : S3 → GL(1,C) = C×, la cual no es
trivial (porque pi1 y pi2 son inequivalentes). ¿Cuál será? Se trata, pues, del signo de
una permutación. Es decir, pi2(s) := (−1)s ∈ {+1,−1}. Las permutaciones pares son
1, (123), (132), así que ker pi2 = C3; las reflexiones (12), (13), (23) tienen signo (−1). ♦
Definición 3.8. Sean pi : G → GLF (V ) y σ : G → GLF (W ) dos representaciones de un
grupo finito G sobre espacios F-vectoriales. Su producto tensorial es la representación
pi ⊗ σ : G → GLF (V ⊗F W ) definido sobre tensores simples por
pi ⊗ σ(g)[x ⊗ y] := pi(g) x ⊗ σ(g) y,
para todo g ∈ G, extendido por F-linealidad al espacio F-vectorialV ⊗FW . En la notación
de la Definición 1.31, esto dice que pi ⊗ σ(g) = pi(g) ⊗ σ(g) en GLF (V ⊗F W ). ♦
Ejemplo 3.9. Si pi : G → GLF (V ) es una representación de G, su cuadrado tensorial es
pi⊗2 ≡ pi ⊗ pi sobre V ⊗ V . Si x, y ∈ V , las fórmulas
x ∨ y = 12 (x ⊗ y + y ⊗ x), x ∧ y = 12 (x ⊗ y − y ⊗ x)
muestran que x ⊗ y = (x ∨ y) + (x ∧ y) en V ⊗ V . Por lo tanto, hay una suma directa de
F-espacios vectoriales:
V ⊗ V ' S2V ⊕ Λ2V .
Es evidente que tanto S2V como Λ2V son G-submódulos de V ⊗ V . Se puede escribir
pi∨2 := (pi ⊗ pi)|S2V y pi∧2 := (pi ⊗ pi)|Λ2V . Estas son, respectivamente, el cuadrado
simétrico y el cuadrado exterior de la representación pi.
La descomposición pi ⊗ pi ∼ pi∨2 ⊕ pi∧2 muestra que, aunque pi sea irreducible, su
cuadrado tensorial es reducible, toda vez que el grado de pi sea mayor que 1. ♦
57
MA–729: Teoría de Representaciones 3.2. El carácter de una representación
3.2 El carácter de una representación
Definición 3.10. Sea pi : G → GLF (V ) una representación de grado finito de un grupo
finito G. El carácter de pi es la función χpi : G → F dada por
χpi(g) := tr pi(g), para todo g ∈ G. (3.9)
Si pi es irreducible, se dice – con un pequeño abuso de lenguaje – que χpi es un carácter
irreducible de G. ♦
Observación: si dimV > 1, el carácter χpi no es un homomorfismo de G en F×.
Definición 3.11. Una función ψ : G → F se llama una función de clase sobre G si
ψ(ghg−1) = ψ(h) para todo g, h ∈ G.
Una función es de clase si y solo si es constante sobre cada una de las clases conjugadas
de G. Al sustituir h 7→ hg, la condición anterior es equivalente a ψ(gh) = ψ(hg) para
todo g, h ∈ G: las funciones de clase también se llaman funciones centrales.
El carácter de una representación es una función de clase, porque
χpi(ghg−1) = tr pi(ghg−1) = trpi(g) pi(h) pi(g)−1
 = tr pi(h) = χpi(h). ♦
Lema 3.12. El grado de una representación pi es χpi(1). Dos representaciones equiva-
lentes tienen el mismo carácter.
Demostración. El homomorfismo pi cumple pi(1) = 1V ; luego dimV = tr 1V = χpi(1).
Si dos representaciones pi y σ son equivalentes, hay un operador entrelazante T que
es invertible y satisface (3.3). De ahí se obtiene
χσ(g) = trσ(g) = trT pi(g)T−1
 = tr pi(g) = χpi(g), para todo g ∈ G. 
Lema 3.13. El carácter de la representación regular λ : G → GLF (F[G]) está dado por
χλ(1) = |G|; χλ(g) = 0 para g , 1.
Demostración. Es inmediato que χλ(1) = dimF F[G] = |G|. Por otro lado, si g , 1,
entonces λ(g) xh = xgh para h ∈ G. Por lo tanto, en la matriz de λ(g) con respecto a la
base { xh : h ∈ G } cada entrada diagonal es 0, así que su traza es 0. 
Lema 3.14. Sean pi y σ dos representaciones de un grupo finito G. Los caracteres de
pi ⊕ σ y de pi ⊗ σ son la suma y el producto, respectivamente, de los caracteres de pi y σ:
χpi⊕σ = χpi + χσ , χpi⊗σ = χpi · χσ .
58
MA–729: Teoría de Representaciones 3.2. El carácter de una representación
Demostración. En notación matricial, se escribe la suma directa de matrices así:
pi ⊕ σ(g) :=
(
pi(g) 0
0 σ(g)
)
∈ GLF (U ⊕W ).
Su traza es la suma de las trazas individuales:
χpi⊕σ(g) = tr
(
pi(g) 0
0 σ(g)
)
= tr pi(g) + trσ(g) = χpi(g) + χσ(g).
Con respecto a bases {x1, . . . , xn} deV y {y1, . . . , ym} deW , las dos acciones lineales
de G determinan matrices A(g) ∈ Mn(F) y B(g) ∈ Mm(F):
pi(g)x j =:
n∑
i=1
ai j(g) xi, σ(g)yl =:
m∑
k=1
bkl(g) yk .
Luego, la matriz de pi⊗σ(g) es A⊗ B(g) ∈ Mnm(F), cuya entrada (ik, jl) es ai j(g) bkl(g).
Por lo tanto,
χpi⊗σ(g) = trA ⊗ B(g)
 = n∑
i=1
m∑
k=1
aii(g) bkk(g)
= tr A(g) tr B(g) = tr pi(g) trσ(g) = χpi(g) χσ(g). 
Definición 3.15. A cada representación pi : G → GLF (V ) sobre un espacio F-vectorial
V , le corresponde una representación dual pi∗ : G → GLF (V ∗) sobre el espacio dual
V ∗ = HomF (V, F), dada por
pi∗(g) : ψ 7→ ψ ◦ pi(g−1).
Este pi∗ es un homomorfismo, porque si g, h ∈ G y ψ ∈ V ∗, entonces
pi∗(g)pi∗(h)ψ = pi∗(h)ψ ◦ pi(g−1) = ψ ◦ pi(h−1) ◦ pi(g−1) = ψ ◦ pi(h−1g−1) = pi∗(gh)ψ.
Con respecto a una base de V y la base dual de V ∗, la matriz de pi∗(g) es la matriz
contragrediente de la matriz A de pi(g), esto es, la transpuesta de A−1:
pi(g)↔ A =⇒ pi∗(g)↔ (A−1)t = (At)−1 ≡ A−t .
Nótese que (AB)−t = A−tB−t , es decir, la operación A 7→ A−t es un automorfismo del
grupo de matrices GL(n F). ♦
Si ψ : G → F es una función, se denota por ψ∨ la función g 7→ χ(g−1).
Lema 3.16. El carácter de la representación dual pi∗ es χpi∗ = χ∨pi .
Demostración. Si A es una matriz de pi(g), entonces tr(A−t) = tr(A−1) porque la traza no
cambia bajo transposición. Además, A−1 es la matriz de pi(g)−1 = pi(g−1). 
59
MA–729: Teoría de Representaciones 3.2. El carácter de una representación
I Denótese por Fc(G, F) la totalidad de funciones de clase ψ : G → F . Esta es una
F-álgebra conmutativa, en la cual ψ 7→ ψ∨ es una involución.3
Como los elementos de G forman una base F-vectorial de F[G], cualquier función
de clase ψ : G → F puede extenderse por F-linealidad en una forma F-lineal central
ψ : F[G] → F , esto es, ψ(ab) = ψ(ba) para todo a, b ∈ F[G]. (Nuevamente, se usa la
misma letra ψ para la función extendida.)
Al comparar (3.9) con (2.8), es evidente que el carácter χpi : G → F es la restricción
a G del carácter χpi : F[G] → F de la representación extendida del álgebra F[G]. En
particular, los caracteres χ1, . . . , χr de las representaciones irreducibles pi1, . . . , pir de G
(inequivalentes entre sí) se extienden a caracteres del álgebra de grupo F[G].
De ahí se deduce un corolario inmediato pero muy importante de la Proposición 2.24:
si F es algebraicamente cerrado, los caracteres irreducibles χ1, . . . , χr de G son lineal-
mente independientes en Fc(G, F).
Ejemplo 3.17. El grupo S3 tiene tres caracteres irreducibles χ1, χ2, χ3. Para describir-
las, conviene usar la notación S3 = {1, s, s2, r, rs, rs2}, donde s = (123) y r = (12).
Fíjese que las clases conjugadas de S3 son tres: {1}, {s, s2} y {r, rs, rs2}.
Como cada χ j es una función de clase, basta evaluarla en un representante de cada
clase. Luego dimF (Fc(S3, F)) = 3.
La representación trivial pi1 tiene carácter constante: χ1(g) = 1 para todo g ∈ S3. La
representación de signo pi2 tiene carácter dado por χ2(1) = χ2(s) = 1 y χ2(r) = −1.
Para obtener el carácter χ3, considérese la representación pi del Ejemplo 3.5, de
grado 3. La descomposición F3 = U ⊕ W de ese Ejemplo muestra que pi ∼ pi1 ⊕ pi3,
donde pi3 es la representación irreducible de grado 2 del grupo S3. Luego χpi = χ1+ χ3,
por los Lemas 3.12 y 3.14. Al tomar trazas en (3.7), se obtiene χpi(1) = 3, χ2(r) = 1,
χ2(s) = 0. Por tanto, la relación χ3 = χpi − χ1 implica que
χpi(1) = 2, χ2(r) = 0, χ2(s) = −1.
La siguiente tabla de caracteres:
S3 1 r s
χ1 1 1 1
χ2 1 −1 1
χ3 2 0 −1
(3.10)
entonces describe completamente el álgebra tridimensional Fc(S3, F). ♦
3Una involución en una álgebra A es una biyección aditiva a 7→ a† tal que (ab)† = b†a† y (a†)† = a.
Fíjese que una involución es un automorfismo de A si y solo si A es conmutativa.
60
MA–729: Teoría de Representaciones 3.3. Relaciones de ortogonalidad de Schur
3.3 Relaciones de ortogonalidad de Schur
En esta sección,C será el cuerpo de los escalares. Por un lado, el cuerpoC es algebraica-
mente cerrado, así que todos los resultados del Capítulo 2 son aplicables (en particular,
la independencia lineal de caracteres debida a la Proposición 2.24). Por otro lado, las
funciones complejas poseen una involución bien conocida, la conjugación compleja de
funciones, f¯ (x) := f (x). Para compaginar esta con la involución mencionada sobre
funciones de clase, se requiere un ingrediente más: dotar un espacio vectorial complejo
con un producto escalar conveniente.
Definición 3.18. SiV es un espacio vectorial complejo de dimensión finita, un producto
escalar (o producto interno) sobre V es una aplicación V ×V → C : (x, y) 7→ 〈y | x〉 que
cumple:
 〈y | x〉 es C-lineal en la segunda variable;
 〈x | y〉 = 〈y | x〉 para todo x, y ∈ V ;
 〈x | x〉 > 0, con igualdad solo si x = 0 en V . ♦
Dado un producto escalar, cada forma C-lineal f : V → C está dada por x 7→ 〈y | x〉
para algún vector y ∈ V (este es el lema de Riesz). Fíjese bien que 〈αy | x〉 = α¯ 〈y | x〉,
así que la multiplicación escalar se modifica por una conjugación compleja, es decir,
α · y := α¯ y. Se escribe y ∈ V , donde V denota el espacio C-vectorial con el mismo
grupo aditivo, (V,+) = (V,+), pero con la multiplicación escalar modificada. Entonces
hay un isomorfismo C-lineal V ∗ ' V .
nAquí se usa el convenio de Dirac al tomar el producto escalarC-lineal en la segunda
variable pero antilineal en la primera variable. Dirac escribía |x〉 para denotar un vector
x ∈ V , pero 〈y | para denotar la forma lineal dada por y ∈ V ; la evaluación de la forma
〈y | en el vector |x〉 entonces es simplemente la yuxtaposición 〈y | x〉. o
Un espacio C-vectorial finitodimensional admite muchos productos escalares. En
efecto, si {u1, . . . , un} es una base de V , existe un único producto escalar (· | ·) tal que
esta base es ortonormal: (u j | uk) = n j = ko. Si x = ∑nj=1 b ju j , y = ∑nk=1 ckuk son dos
vectores en V , el producto escalar correspondiente es (y | x) := ∑nj=1 c¯ jb j .
Definición 3.19. Dada una representación de grupo pi : G → GLC(V ), dícese que un
producto escalar sobre V es G-invariante y que pi es una representación unitaria si
〈pi(g)y | pi(g)x〉 = 〈y | x〉 para todo x, y ∈ V, g ∈ G.
61
MA–729: Teoría de Representaciones 3.3. Relaciones de ortogonalidad de Schur
Si G es un grupo finito, siempre es posible hallar un producto escalar G-invariante. De
hecho, (· | ·) es un producto escalar arbitrario sobre V , el siguiente promedio proporciona
un producto escalar G-invariante:
〈y | x〉 := 1|G|
∑
h∈G
(pi(h)y | pi(h)x). (3.11)
En adelante, sin perder generalidad, se asumirá que cada representación compleja pi es
unitaria. ♦
Dada una representación unitaria pi : G → GLC(V ), cada pi(g) ∈ EndC V posee una
matriz A(g) ∈ GL(n,C) con entradas
ai j(g) := 〈ui | pi(g)u j〉 (3.12)
donde {u1, . . . , un} es una base ortonormal de V , con respecto a un producto escalar
G-invariante. Esta A(g) es una matriz unitaria, es decir, A(g)∗A(g) = 1n, por cuanto
n∑
j=1
a¯ ji(g)a j k(g) =
n∑
j=1
〈pi(g)ui | u j〉〈u j | pi(g)uk〉
= 〈pi(g)ui | pi(g)uk〉 = 〈ui | uk〉 = ni = ko.
Denótese por U(n) el grupo de matrices unitarias, el cual es un subgrupo de GL(n,C);
se ha comprobado que A(g) ∈ U(n).
Cada matriz en U(n) es diagonalizable, por un cambio de bases ortonormales, así
que A(g) ∼ diag[λ1(g), . . . , λn(g)] y esta matriz diagonal también es unitaria, lo cual
significa que |λ j(g)| = 1 para j = 1, . . . , n. Estos λ j(g) son los autovalores de A(g),
contados con multiplicidad. El carácter χpi entonces satisface
χ¯pi(g) = tr pi(g) =
n∑
j=1
λ j(g) =
n∑
j=1
1
λ j(g) = tr(pi(g)
−1) = tr pi(g−1) = χpi(g−1).
Esto muestra que χ¯pi = χ∨pi = χpi∗ cuando pi es unitaria.
En el espacio C-vectorial finitodimensional Fc(G,C), la siguiente receta define un
producto escalar:
〈ψ | ϕ〉 := 1|G|
∑
h∈G
ψ(h) ϕ(h). (3.13a)
Si ψ = χpi es el carácter de una representación unitaria, entonces también vale:
〈ψ | ϕ〉 = 1|G|
∑
h∈G
ψ(h−1) ϕ(h). (3.13b)
62
MA–729: Teoría de Representaciones 3.3. Relaciones de ortogonalidad de Schur
Proposición 3.20 (Schur). Sean pi : G → GLC(V ) y σ : G → GLC(W ) dos representa-
ciones unitarias irreducibles de un grupo finito G. Entonces:
(a) Si pi y σ no son equivalentes, sus caracteres son ortogonales, 〈χσ | χpi〉 = 0.
(b) En el caso V = W y pi = σ, vale 〈χpi | χpi〉 = 1.
Demostración. Si T : V → W es una aplicación C-lineal cualquiera, defínase
T˜ :=
1
|G|
∑
h∈G
σ(h−1)T pi(h).
Entonces σ(g)T˜ = T˜pi(g) para g ∈ G, es decir, T˜ entrelaza pi y σ.
Sean A(g) la matriz de pi(g) con respecto a una base ortonormal deV , dada por (3.12);
y sea B(g) la matriz análoga de σ(g). Las matrices [tk j] de T y [t˜k j] de T˜ obedecen:
t˜k j =
1
|G|
∑
h∈G
∑
i,l
bkl(h−1) tli ai j(h).
Ad (a): Si pi y σ no son equivalentes, el lema de Schur (Proposición 1.15) muestra
que T˜ = 0. Al tomar para T la aplicación lineal |ul〉〈ui | con matriz elemental Eli, se
concluye que4
1
|G|
∑
h∈G
bkl(h−1) ai j(h) = 0 para todo i, j, k, l .
Como χpi(h) = ∑ni=1 aii(h) y χσ(h) = ∑mk=1 bkk(h), se deduce que 〈χσ | χpi〉 = 0.
Ad (b): En el caso de que V = W y pi = σ, el lema de Schur (Corolario 1.16)
implica que T˜ = λ 1V con λ = (trT)/n.
Nuevamente, al tomar para T la matriz elemental Eli, cuya traza es δli = nl = io, se
obtiene
1
|G|
∑
h∈G
akl(h−1) ai j(h) = 1n δli δk j .
Entonces es inmediato que
〈χpi | χpi〉 = 1|G|
∑
h∈G
n∑
i,k=1
akk(h−1) aii(h) = 1n
n∑
i,k=1
δki =
n
n
= 1. 
Estas relaciones de ortogonalidad de Schur ofrecen, en el caso F = C, una segunda
demostración de que los caracteres irreducibles χ1, . . . , χr de G son linealmente inde-
pendientes. Además, permiten establecer mejorar el Lema 3.12 en el siguiente criterio
de equivalencia de representaciones unitarias.
4La notación |x〉〈y | se refiere a la aplicación C-lineal de rango uno, z 7→ x 〈y | z〉 = 〈y | z〉 x. La traza
de esta aplicación es tr(|x〉〈y |) = 〈y | x〉.
63
MA–729: Teoría de Representaciones 3.3. Relaciones de ortogonalidad de Schur
Teorema 3.21. Dos representaciones unitarias (de grados finitos) de un grupo finito G
son equivalentes si y sólo si sus caracteres son iguales.
Demostración. Si pi : G → GLC(V ) es una representación unitaria, el teorema de
Maschke garantiza que
pi ∼ n1pi1 ⊕ n2pi2 ⊕ · · · ⊕ nrpir
donde pi1, . . . , pir son las representaciones irreducibles de G. Cada copia de pi j en esta
descomposición actúa sobre un subespacio G-invariante de V , dotado con un producto
escalar G-invariante (la restricción del producto escalar original sobre V ). Luego estas
subrepresentaciones pi j son también unitarias.
El Lema 3.14 y la Proposición 3.20 ahora implican que
χpi = n1 χ1 + · · · + nr χr, con n j = 〈χ j | χpi〉 para j = 1, . . . , r . (3.14)
Si σ : G → GLC(W ) es otra representación unitaria, con σ ∼ m1pi1 ⊕ · · · ⊕ mrpir , el
teorema de Krull y Schmidt implica que pi ∼ σ si y solo si n j = m j para j = 1, . . . , r;
si y solo si χpi = χσ. 
El número n j = 〈χ j | χpi〉 de sumandos de pi j en la descomposición de pi en irreducibles
se llama la multiplicidad de pi j en pi.
Ejemplo 3.22. El Ejemplo 3.5 introdujo dos representaciones irreducibles del grupo S3,
como subrepresentaciones de la representación pi de S3 sobre C3 por permutación de
las coordenadas. Nótese que el producto escalar usual sobre C3 es invariante bajo estas
permutaciones, así que pi : S3 → U(3) es unitaria.
La recta diagonal x = y = z de C3 lleva la representación trivial pi1, como subrepre-
sentación de pi.
El plano x + y + z = 0 en C3 – el complemento ortogonal de la recta diagonal – lleva
otra representación σ de S3. Una base de este plano está formada por los dos vectores
x1 := (1, ω, ω2) y x2 := (1, ω2, ω). Con respecto a esta base, las matrices (unitarias!) de
los σ(g) están dadas por:
1 7→
(
1 0
0 1
)
, (123) 7→
(
ω2 0
0 ω
)
, (132) 7→
(
ω 0
0 ω2
)
,
(12) 7→
(
0 ω2
ω 0
)
, (13) 7→
(
0 ω
ω2 0
)
, (23) 7→
(
0 1
1 0
)
. (3.15)
Entonces χσ : S3 → C toma los seis valores 2, −1, −1, 0, 0, 0 sobre estos elementos (es
una función de clase), al notar que 1 + ω + ω2 = 0. Por lo tanto, vale
〈χσ | χσ〉 = 16 (4 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0) = 1,
64
MA–729: Teoría de Representaciones 3.3. Relaciones de ortogonalidad de Schur
lo cual comprueba que σ es irreducible. Su grado es χσ(1) = 2, desde luego. También,
se obtiene σ ∼ pi3 porque χσ = χ3, al examinar la tabla de caracteres (3.10). ♦
I Si ψ ∈ Fc(G,C) y si pi : G → GLC(V ) es una representación unitaria de G de grado
finito, considérese el operador siguiente en EndC(V ):
Πψ :=
∑
h∈G
ψ(h) pi(h). (3.16)
Para todo g ∈ G, vale
pi(g)Πψ pi(g)−1 =
∑
h∈G
ψ(h) pi(g)pi(h)pi(g−1) =
∑
h∈G
ψ(h) pi(ghg−1)
=
∑
k∈G
ψ(g−1kg) pi(k) =
∑
k∈G
ψ(k) pi(k) = Πψ
así que Πψ conmuta con la representación pi. Si pi es irreducible, el lema de Schur
muestra que Πψ = cψ 1V . Al tomar trazas, se obtiene
cψ dimV =
∑
h∈G
ψ(h) χpi(h) = |G| 〈ψ | χpi〉. (3.17)
Proposición 3.23. Si G es un grupo finito, sus caracteres irreducibles { χ1, . . . , χr} son
una base ortonormal para el espacio vectorial Fc(G,C) de funciones de clase complejas.
Demostración. La Proposición 3.20 muestra que χ1, . . . , χr forman una familia ortonor-
mal en Fc(G,C), con respecto al producto escalar (3.13).
Falta mostrar cualquier ϕ ∈ Fc(G,C) es una combinaciónC-lineal de estos caracteres.
Basta comprobar que esta familia ortonormal es total, es decir, que la única ϕ ortogonal
a todo χ j es ϕ = 0.
Supóngase, entonces, que ϕ ∈ Fc(G,C) satisface 〈χ j | ϕ〉 = 0 para j = 1, . . . , r .
Escríbase ψ := ϕ ∈ Fc(G,C). Sea pi una representación unitaria de G sobre un espacio
C-vectorial finitodimensional V , y considérese el operador Πψ dado por (3.16). Al
escribir pi ∼ n1pi1 ⊕ · · · ⊕ nrpir , se obtiene
cψ dimV = |G| 〈ϕ | χpi〉 = |G|
r∑
j=1
n j〈ϕ | χ j〉 = |G|
r∑
j=1
n j〈χ j | ϕ〉 = 0,
así que cψ = 0 y por ende Πψ = 0.
En particular, si pi = λ es la representación regular de G sobre V = C[G], la
fórmula (3.16) define un operador Lψ que cumple Lψ = 0. Entonces∑
h∈G
ψ(h) xh =
∑
h∈g
ψ(h) λ(h) x1 = Lψx1 = 0 en C[G].
65
MA–729: Teoría de Representaciones 3.3. Relaciones de ortogonalidad de Schur
Como los xh son linealmente independientes, se concluye que cada ψ(h) = 0; es decir,
ψ = 0 y también ϕ = 0 en el espacio Fc(G,C). Luego, la familia ortonormal { χ1, . . . , χr}
es total. 
Corolario 3.24. El número de representaciones unitarias irreducibles inequivalentes de
un grupo finito G coincide con el número de sus clases conjugadas.
Demostración. Las funciones que valen 1 en alguna clase conjugada y 0 en las demás
forman una base para Fc(G,C). Luego dimC Fc(G,C) es el número de clases conjugadas.
Por otro lado, como Fc(G,C) admite el producto escalar (3.13), su dimensión es la
cardinalidad r de la base ortonormal { χ1, . . . , χr}. 
Por ejemplo, el grupo S3 posee tres representaciones unitarias irreducibles y tiene
tres clases conjugadas (la identidad, las transposiciones, los 3-ciclos).
Ejemplo 3.25. Si el grupo finito G es abeliano, las clases conjugadas son los singuletes
{g} ⊂ G. Entonces G posee un total de |G| representaciones irreducibles complejas
inequivalentes, todos de grado uno, en consonancia con la fórmula (3.6).
Una representación irreducible pi del grupo cíclico Cn = {1, g, g2, . . . , gn−1} está
determinado por ξ := pi(g) ∈ C× y se verifica ξn = pi(gn) = pi(1) = 1. Entonces
ξ ∈ U(1) = { z ∈ C : |z | = 1 } y pi(Cn) = {1, ξ, ξ2, . . . , ξn−1} ⊂ U(1). Como ξ es una
n-ésima raíz de 1, las únicas posibilidades son ξ = ξk ≡ e2piik/n para k = 0, 1, . . . , n − 1.
Al tomar pi j(g) := ξ j−1, las únicas representaciones unitarias irreducibles de Cn son
pi1, . . . , pin. Ellos son (necesariamente) inequivalentes entre sí. ♦
I La coincidencia del número de clases conjugadas de un grupo finito G con el número
de sus caracteres irreducibles hace factible ilustrar las representaciones irreducibles
mediante una tabla de caracteres. Esta es un arreglo cuadrado, cuyas filas corresponden
con los caracteres irreducibles χ1, . . . , χr y cuyas columnas corresponden con las clases
conjugadas. Tómese un conjunto {h1, h2, . . . , hr} de elementos de G, con h1 = 1, que
tiene un representante de cada clase conjugada. La entrada ( j, k) de la tabla de caracteres
es el valor χ j(hk) ∈ C. Convencionalmente, se reserva la primera fila para el carácter
de la representación trivial y la primera columna para las evaluaciones en 1, que dan los
grados respectivos de las representaciones irreducibles.
En el grupo S3, por ejemplo, el juego de elementos {1, r, s} contiene una transposi-
ción r y un 3-ciclo s; en el Ejemplo 3.17 se tomó r = (12) y s = (123). El arreglo 3 × 3
de la fórmula (3.10) es la tabla de caracteres correspondiente.
66
MA–729: Teoría de Representaciones 3.3. Relaciones de ortogonalidad de Schur
Nótese que las filas de (3.10) son ortonormales para el producto escalar (3.13):
〈χ1 | χ1〉 = 〈χ2 | χ2〉 = 1 + 3 + 26 = 1, 〈χ3 | χ3〉 =
4 + 0 + 2
6
= 1,
〈χ1 | χ3〉 = 〈χ2 | χ3〉 = 2 + 0 − 26 = 0, 〈χ1 | χ2〉 =
1 − 3 + 2
6
= 0.
Este es simplemente un caso concreto de la Proposición 3.20.
En el cálculo anterior, se ha empleado una forma compacto del producto escalar
(3.13a) de las filas, al notar que los sumandos ψ(h) ϕ(h) se repiten varias veces, porque
ψ y ϕ son funciones de clase. Para k = 1, . . . , r , sea mk la cardinalidad de la clase
conjugada de hk , es decir,
mk := #{ ghkg−1 : g ∈ G } = [G : ZG(hk)].
El lado derecho es el índice del subgrupo ZG(hk) := { g ∈ G : ghkg−1 = hk }; en parti-
cular, |G|/mk = |ZG(hk)| es un entero positivo, por el teorema de Lagrange. Entonces se
puede reescribir (3.13) así:
〈ψ | ϕ〉 = 1|G|
∑
h∈G
ψ(h) ϕ(h) ≡ 1|G|
r∑
k=1
mk ψ(hk) ϕ(hk). (3.18)
En otras palabras, las filas de una tabla de caracteres son ortogonales, con respecto al
siguiente producto escalar sobre Cr :
〈z | w〉 :=
r∑
k=1
mk
n
z¯kwk · . (3.19)
Resulta que las columnas de una tabla de caracteres son a su vez ortogonales (aunque
no normalizadas), con respecto al producto escalar usual sobre Cr ,
(z | w) :=
r∑
k=1
z¯kwk ,
como afirma el lema siguiente (también debido a Schur).
Lema 3.26. Si {h1, h2, . . . , hr} es un juego de representantes de las clases conjugadas
de un grupo finito G, entonces se cumplen las siguientes relaciones de ortogonalidad:
r∑
j=1
χ j(hk) χ j(hl) = |G|mk δkl . (3.20)
67
MA–729: Teoría de Representaciones 3.3. Relaciones de ortogonalidad de Schur
Demostración. Considérese la matriz diagonal M := diag[m1, . . . ,mr] ∈ Mr(C). La
ortonormalidad de las filas de la tabla de caracteres dice que
δi j = 〈χi | χ j〉 1|G|
r∑
k=1
mk χi(hk) χ j(hk).
Sea C = [ck j] la transpuesta de la matriz de las entradas ck j := χ j(hk) de la tabla de
caracteres. Las relaciones de ortogonalidad anteriores pueden resumirse en la siguiente
igualdad matricial en Mr(C):
C∗MC = |G| 1r .
nLa entrada (i, l) de la matriz C∗ es c¯li = χi(hl). o Si B = diag[b1, . . . , br] es la matriz
diagonal real con entradas bk :=
√
mk/|G| , entonces la matriz U := BC ∈ Mk(C) es
unitaria; es decir,U∗U = 1r .
Una matriz unitaria es invertible, porque | detU |2 = det(U∗U) = 1. LuegoU−1 = U∗
y por ende UU∗ = 1r . Esto implica que BCC∗B = 1r (fíjese que B∗ = B por ser B
diagonal y real), y en consecuencia CC∗ = B−2. Esto comprueba (3.20):
r∑
j=1
ck j c¯l j =
1
b2k
δkl =
|G|
mk
δkl . 
Ejemplo 3.27. Considérese el grupo diedral D4 de las simetrías de un cuadrado, gene-
rado por una rotación r = ρpi/2 de período 4 y una reflexión s = µ0 perpendicular a un
par de lados. Nótese que rs = µpi/2 es una reflexión en una diagonal del cuadrado. La
notación se refiere a las siguientes isometrías del plano euclidiano R2:
ρθ :=
(
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
)
, µθ :=
(
cos θ sen θ
sen θ − cos θ
)
; (3.21)
las ρθ son rotaciones y las µθ son reflexiones. Entonces, resulta que
D4 = {1, r, r2, r3, s, rs, r2s, r3s}, con sr = r3s.
El subgrupo de rotaciones esC4 = {1, r, r2, r3}. Nótese que srs−1 = r3, así que {r, r3} es
una clase conjugada; además, rsr−1 = rsr3 = rr9s = r2s porque r4 = 1, y {s, r2s} es otra
clase conjugada; también, r(rs)r−1 = r3s así que {rs, r3s} es una clase conjugada. Junto
con los singuletes {1} y {r2}, hay cinco clases conjugadas en total, con representantes
1, m := r2, r , s y t := rs.
Debe haber, entonces, cinco representaciones unitarias irreducibles inequivalentes
de D4. El centro del grupo es Z(D4) = {1,m} ' C2, y resulta que D4/Z(D4) ' V ,
68
MA–729: Teoría de Representaciones 3.3. Relaciones de ortogonalidad de Schur
el grupo no cíclico de orden 4. Si η : D4 → V es el homomorfismo cociente y si
σ j : V → U(1), para j = 1, 2, 3, 4, son las cuatro representaciones irreducibles del
grupo abeliano V , entonces las pi j := σ j ◦ η definen cuatro representaciones unitarias
irreducibles del grupo D4 (inequivalentes entre sí), todos de grado 1.
Falta otra representación, pi5, que debe ser de grado 2, puesto que 1+1+1+1+4 = 8.
El grupo V tiene la forma V = {1, a, b, ab}, con a2 = b2 = (ab)2 = 1, así que las
σ j toman valores en {1,−1}, necesariamente. Esta circunstancia da las primeras cuatro
filas de la tabla de caracteres de D4:
D4 1 m r s t
χ1 1 1 1 1 1
χ2 1 1 1 −1 −1
χ3 1 1 −1 1 −1
χ4 1 1 −1 −1 1
χ5 2 −2 0 0 0
La última fila empieza con 2 = χ5(1). Si esta fila es (2, q, j, k, l) ∈ C5, la ortogonalidad
de filas muestra que 2 + q + 2(± j ± k ± l) = 0 para cuatro patrones de signo diferentes.
Luego j = k = l = 0 y luego también q = −2.
¿Cuál sería, entonces, esta representación pi5 : D4 → U(2)? No es otra cosa que la
presentación original (3.21) de los elementos de D4 en términos de matrices 2 × 2! De
hecho, unamatriz ortogonal real es también unitaria; y al calcular las trazas de lamatrices
12, ρpi, ρpi/2, µ0. µpi/2, se obtiene los valores 2, −2, 0, 0, 0. El carácter correspondiente
es χ5; luego esta representación es irreducible y es equivalente a pi5. ♦
Ejemplo 3.28. Considérese el grupo alternante A4 de permutaciones pares de cuatro
objetos. Es evidente que |A4 | = 4!/2 = 12 y que A4 tiene cuatro clases conjugadas,
representadas por los elementos típicos 1 = 1, r = (12)(34), s = (123), t = (132).
Los pares de transposiciones y la identidad forman un subgrupo normal N =
{1, r, srs−1, trt−1}. (Este es el único 2-subgrupo de Sylow de A4, porque los otros
ocho elementos son 3-ciclos.) Nótese que A4/N = {N, sN, tN} ' C3. Las tres rep-
resentaciones irreducibles del grupo abeliano C3, compuestas con el homomorfismo
cociente η : A4 → C3, dan tres representaciones irreducibles pi1, pi2, pi3 de A4, todos de
rango 1.
La cuarta representación irreducible pi4 (solo hay cuatro inequivalentes, porque solo
hay 4 clases conjugadas) debe tener rango 3 porque |A4 | = 12 = 1 + 1 + 1 + 9. La tabla
69
MA–729: Teoría de Representaciones 3.3. Relaciones de ortogonalidad de Schur
de caracteres de A4 es la siguiente:
A4 1 r s t
χ1 1 1 1 1
χ2 1 1 ω ω2
χ3 1 1 ω2 ω
χ4 3 −1 0 0
Las primeras tres filas se obtienen directamente de la tabla de caracteres del grupo
cociente C3; en ellas, la columna bajo r duplica la primera columna porque rN = N en
A4/N .
La última fila empieza con 3 = χ4(1). Si esta fila es (3, q, j, k) ∈ C4, la ortogonalidad
de las filas con respecto al producto escalar (3.19) implica que
3 + 3q + 4( j + k) = 3 + 3q + 4( jω + kω2) = 3 + 3q + 4( jω2 + kω) = 0,
así que j = k = 0 y además q = −1.
Se sabe que A4 actúa en R3, y de igual manera en C3, por rotaciones de un tetraedro
regular centrado en el origen. Por ejemplo, se puede tomar cuatro de las ocho esquinas
de un cubo como vértices del tetraedro: (1,−1,−1), (−1, 1,−1), (−1,−1, 1) y (1, 1, 1).
La acción de los 3-ciclos s y t deja fijo el cuarto vértice y permuta los primeros tres;
ellos actúan por rotaciones de ángulos ±2pi/3 alrededor de la recta que pasa por el origen
y (1, 1, 1). El elemento r y sus conjugados actúan por rotaciones de pi (pues r2 = 1)
alrededor de los ejes coordenados. Si σ : A4 → SO(3) denota esta representación,
entonces
σ(r) = R := *..,
−1 0 0
0 −1 0
0 0 1
+//- , σ(s) = S :=
*..,
0 0 1
1 0 0
0 1 0
+//- , σ(t) = T :=
*..,
0 1 0
0 0 1
1 0 0
+//- .
La acción de s y t deja fijo únicamente la recta x = y = z y el plano x + y + z = 0, pero
la acción de r no los conserva; luego esta acción de A4 es irreducible en R3 o C3. Al
calcular las trazas de las matrices exhibidas, se ve que esta acción σ de A4 es equivalente
a la representación pi4. En efecto, se ve que χσ(r) = tr R = −1, χσ(s) = tr S = 0 y
χσ(t) = trT = 0; así que χσ = χ4 . ♦
I La tabla de caracteres de un grupo finito G ofrece un resumen concreto de la natu-
raleza de sus representaciones irreducibles. Como se ve en los ejemplos anteriores, su
determinación de esa tabla requiere información detallada acerca del grupo.
70
MA–729: Teoría de Representaciones 3.3. Relaciones de ortogonalidad de Schur
Es posible aprovechar la tabla de caracteres para determinar la descomposición de
un producto tensorial de representaciones.
Definición 3.29. Sean pii : G → GLC(Vi) y pi j : G → GLC(Vj) dos representaciones
irreducibles del mismo grupo finitoG. Su producto tensorial pii ⊗ pi j : G → GLC(Vi ⊗Vj)
en general no es irreducible, sino que admite una descomposición:
pii ⊗ pi j ∼
r⊕
k=1
nki j pik sobre Vi ⊗C Vj '
r⊕
k=1
nki j Vk , (3.22a)
para ciertos coeficientes nki j ∈ N. Esta fórmula de Clebsch y Gordan asocia a cada
grupo finito G un juego de enteros nki j . La determinación de estos enteros se llama el
problema de Clebsch y Gordan. Al aplicar el Lema 3.14 a esta fórmula, se obtiene una
relación análoga entre los caracteres irreducibles:
χi χ j =
r∑
k=1
nki j χk , (3.22b)
que permite hallar los nki j = 〈χk | χi χ j〉. ♦
Ejemplo 3.30. Considérese la representación irreducible pi3 de S3, de grado 2; entonces
el grado de pi3 ⊗ pi3 es 4, así que esta representación no es irreducible. De la tabla
de caracteres (3.10), donde χ3 ↔ (χ3(1), χ3(r), χ3(s)) = (2, 0,−1), se obtiene χ23 ↔
(4, 0, 1). La relación χ23 = n133 χ1+n233 χ2+n333 χ3 se puede resolver de modo elemental,
al evaluarlo en 1, r , s sucesivamente:
4 = n133 + n
2
33 + 2n
3
33 , 0 = n
1
33 − n233 , 1 = n133 + n233 − n333 ,
para obtener n133 = n
2
33 = n
3
33 = 1.
Alternativamente, se puede usar la ortogonalidad de filas bajo el producto esca-
lar (3.19):
n133 = 〈χ1 | χ23〉 = n233 = 〈χ2 | χ23〉 =
4 + 0 + 2
6
= 1, n333 = 〈χ3 | χ23〉 =
8 + 0 − 2
6
= 1.
En todo caso, se obtiene pi3 ⊗ pi3 ∼ pi1 ⊕ pi2 ⊕ pi3.
En el Ejemplo 3.9, hay otra descomposición pi3 ⊗ pi3 ∼ S2pi3 ⊕Λ2pi3 (con un pequeño
abuso de notación), sobre el espacio vectorial
C2 ⊗ C2 ' S2C2 ⊕ Λ2C2 ' C3 ⊕ C
por conteo de dimensiones. Resulta que Λ2pi3 no es trivial, así que Λ2pi3 ∼ pi2 y por lo
tanto S2pi3 ∼ pi1 ⊕ pi3. ♦
71
MA–729: Teoría de Representaciones 3.4. Representaciones inducidas
3.4 Representaciones inducidas
En esta sección, se supone inicialmente que G es un grupo finito y que F es un cuerpo
cualquiera cuya característica no divide |G|, y así F[G] es semisimple.
Si pi : G → GLF (V ) es una representación de un grupo G, su restricción a un
subgrupo H 6 G define una representación de H sobre el mismo espacio‘ C-vectorial
V . Esta restricción puede denotarse por ResGH(pi) ≡ piH : H → GLF (V ); por definición,
piH(h) := pi(h) para todo h ∈ H .
Si pi es irreducible, la restricción piH generalmente no es irreducible como repre-
sentación de H . Por ejemplo, si H es un subgrupo abeliano, entonces piH es una suma
directa de subrepresentaciones de rango 1. En el Ejemplo 3.5 se exhibe la representación
irreducible pi3 de grupo S3, cuyo rango es 2, pero su restricción al subgrupo abelianoC3 es
reducible, como evidencian las primeras tres matrices diagonales en el despliegue (3.7).
Otro ejemplo de restricción de representaciones ocurre con la representación regular
λ : G → GL(F[G]) de un grupo finito, dado por λ(g) xk := xgk para k ∈ G, según el
Ejemplo 3.6. Entonces λH(h) xk = xhk para h ∈ H y k ∈ G. SeaW = lin〈xh : h ∈ H〉 el
subespacio F-vectorial de V = F[G] generado por la parte de la base correspondiente al
subgrupo H . EntoncesW es invariante bajo λH ; y λH |W coincide con la representación
regular de H . Sea {1, g2, . . . , gm}, con m = [G:H], una familia de representantes de las
coclases gH en G/H . Hay una suma directa de espacios F-vectoriales
V = W ⊕ λ(g2)W ⊕ · · · ⊕ λ(gm)W . (3.23)
En esta suma directa, el primer sumando es un H-módulo (bajo la acción λH de H),
pero los otros sumandos no son H-módulos, sino que los operadores λ(h) ∈ EndF V
los permutan entre sí. Nótese que el sumando λ(gi)W solo depende de la coclase giH ,
porque λ(gih)W = λ(gi)λ(h)W = λ(gi)W si h ∈ H .
I En la dirección opuesta, dada una representación σ : H → GLF (W ) de un subgrupo
H 6 G, se puede construir una representación de G por el método siguiente.
Definición 3.31. Sea G un grupo finito y H un subgrupo de G con [G:H] = m; Sea
G/H = {H, g2H, . . . , gmH} el conjunto de coclases (a izquierda) de H . Escríbase
g . i = j cuando ggiH = g jH . Dícese que una representación σ : H → GLF (W ) induce
una representación pi : G → GLF (V ) conW 6 V si
V = W ⊕W2 ⊕ · · · ⊕Wm, donde

pi(h)|W = σ(h) para h ∈ H,
pi(g)Wi = Wg.i para g ∈ G.
(3.24)
Fíjese que dimWi = dimW para cada i; además, vale dimV = m dimW porque la suma
de subespacios es directa. ♦
72
MA–729: Teoría de Representaciones 3.4. Representaciones inducidas
Es evidente de la definición que la representación regular λ de G es inducida por su
restricción λH a un subgrupo H , en vista de (3.23). Es menos evidente que cualquier
representación σ de H induce alguna representación deG. A continuación se ofrece una
prueba de existencia y unicidad (hasta equivalencia) de dicha representación inducida, y
luego una receta explícita que la exhibe.
Proposición 3.32. Sea G un grupo finito y H 6 G; sea pi : G → GLF (V ) una repre-
sentación de G inducida por una representación σ : H → GLF (W ). Si τ : G → GLF (U)
es otra representación de G, y si S ∈ HomF (W,U) cumple S ◦σ(h) = τ(h) ◦ S para todo
h ∈ H , entonces existe una única T ∈ HomF (V,U) tal que T |W = S y T ◦ pi(g) = τ(g) ◦T
para todo g ∈ G.
Demostración. La conclusión puede reformularse como el siguiente enunciado: cada
aplicación que entrelaza σ y τH puede extenderse (de manera única) a una aplicación
que entrelaza pi y τ.
Para la unicidad de T , fíjese que si y ∈ Wi, entonces pi(g−1i )y ∈ W , así que
T y = Tpi(gi)pi(g−1i )y = τ(gi)Tpi(g−1i )y = τ(gi) Spi(g−1i )y.
Entonces T queda determinada sobre cadaWi y por ende sobre su suma directa V .
Para la existencia de T , el resultado del cálculo anterior sirve como una definición:
T y := τ(gi) Spi(g−1i )y para y ∈ Wi .
Para que sea una buena definición, se debe asegurar queT y no depende del representante
gi de la coclase giH . Si h ∈ H , nótese que
τ(gih) Spi((gih)−1)y = τ(gi) τ(h) Sσ(h−1)pi(g−1i )y
= τ(gi) S σ(h)σ(h−1)pi(g−1i )y = τ(gi) Spi(g−1i )y.
Luego T está bien definida sobre cada Wi; y T y = Sy para y ∈ W (en el caso i = 1). Si
x ∈ V , entonces x = y1 + · · · + ym de manera única porque la suma (3.24) es directa, así
que T x := T y1 + · · · + T ym determina T ∈ HomF (V,U).
Si g ∈ G, y ∈ Wi, se puede suponer que ggi = g j para algún j. Luego pi(g)y ∈ W j ,
así que
Tpi(g)y = τ(g j) Spi(g−1j ) pi(g)y = τ(g) τ(gi) Spi(g−1i )y = τ(g)T y.
Esto verifica que T ◦ pi(g) = τ(g) ◦ T para todo g ∈ G. 
73
MA–729: Teoría de Representaciones 3.4. Representaciones inducidas
Corolario 3.33. Sea H un subgrupo de un grupo finito G y sea σ : H → GLF (W ) una
representación de H . Entonces existe una representación pi : G → GLF (V ) inducida
por σ, la cual es única hasta equivalencia.
Demostración. Si dos representaciones σ1 y σ2 de H inducen representaciones pi1 y pi2
de G, es fácil chequear que σ1 ⊕ σ2 de H induce la representación pi1 ⊕ pi2 de G.
Basta suponer, entonces, que σ es irreducible; en cuyo caso, es equivalente a una
subrepresentación de la representación regular de H . Con subespacios apropiados de la
suma directa (3.23), se puede fabricar una representación inducida pi de G.
Si τ : G → GLF (U) es otra representación inducida por la misma σ, la propiedad
τ(h)|W = σ(h) para h ∈ H dice que la inclusión S : W ↪→ U cumple S ◦σ(h) = τ(h) ◦ S
para h ∈ H . La Proposición 3.32 muestra que S se extiende a T ∈ HomF (V,U) que
entrelaza pi y τ.
La relación T ◦ pi(g) = τ(g) ◦ T implica que la imagen de T incluye cada τ(g)W ;
luego, T es sobreyectiva. Como dimU = [G:H] dimW = dimV , entonces T es también
inyectiva. El operador entrelazante invertible T establece la equivalencia pi ∼ τ. 
Si H 6 G y σ es una representación de H , se denota por IndGH(σ) ≡ σG la repre-
sentación deG inducida porσ. Con esta notación, la Proposición 3.32 puede reformularse
como sigue.
Proposición 3.34. Sea H un subgrupo de un grupo finito G; si σ : H → GLF (W ) es una
representación de H , sea σG : G → GLF (V ) la representación de G inducida por σ.
Entonces, dada otra representación τ : G → GLF (U), hay un isomorfismo F-lineal
HomH(W,U) '−→ HomG(V,U) (3.25)
cuyo isomorfismo inverso es la restricción T 7→ T |W . 
Para grupos finitos de bajo orden, la construcción deσG a partir deσ está implícita en
la fórmula (3.24). Si [G:H] = m, seanW2, . . . ,Wm unos espacios vectoriales isomorfos
a W y sea V := W ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wm su suma directa F-vectorial. Dado una familia
{1, g2, . . . , gm} de representantes de coclases en G/H , tómese un isomorfismo fijo de
Ti : W → Wi, con T1 := 1W . Para g ∈ G, la relación ggi = g jh determina h ∈ H;
defínase σG(g) sobre Wi por σG(g) ◦ Ti := Tj ◦ σ(h). Es fácil chequear que σG es un
homomorfismo de G en GLF (V ) que cumple (3.24).
I Hay una forma alternativa de definir la representación σG mediante una fórmula
explícita, que admite una generalización directa a grupos infinitos. Antes de abor-
darla, conviene reformular la representación regular (a izquierda) de un grupo finito G.
74
MA–729: Teoría de Representaciones 3.4. Representaciones inducidas
Denótese por F(G, F) la totalidad de funciones ξ : G → F , sin condición alguna. Este es
obviamente un espacio F-vectorial de dimensión |G|; una base es la familia de funciones
{ δh : h ∈ G }, donde
δh(g) :=

1 si g = h,
0 si g , h,
o más brevemente, δh(g) := ng = ho. Defínase una representación ` de G sobre este
espacio por
`(g)ξ(x) := ξ(g−1x), para g ∈ G. (3.26)
En particular,
`(g)δh(x) = δh(g−1x) = 1 ⇐⇒ g−1x = h ⇐⇒ x = gh.
Entonces está claro que `(g)δh = δgh, para todo g, h ∈ G. Entonces el isomorfismo
F-lineal F[G] → F(G, F) dado por la correspondencia de bases xh 7→ δh, para h ∈ G,
entrelaza la representación regular λ con `. En breve, λ ∼ `, y la representación definida
por (3.26) también puede llamarse la representación regular (a izquierda) de G.
Ahora sea σ : H → GL(W ) una representación (de rango finito) de un subgrupo
H 6 G. Considérese el siguiente espacio F-vectorial de funciones con valores enW :
V := { ψ : G → W : ψ(xh) = σ(h−1)(ψ(x)) si h ∈ H }. (3.27a)
Defínase pi : G → GL(V ) por
pi(g)ψ(x) := ψ(g−1x) para g ∈ G. (3.27b)
Es evidente que pi(g)ψ ∈ V porque ψ(g−1xh) = σ(h−1)(ψ(g−1x)) para g, x ∈ G, h ∈ H .
Nótese que V es finitodimensional porque |G| y dimW son finitos. Además, por su
definición, cada ψ ∈ V está determinado por sus valores ψ(gi) sobre unos representantes
1, g2, . . . , gm de las coclases giH en G/H . Al identificar ψ ↔ (ψ(1), ψ(g2), . . . , ψ(gm)),
se obtiene un isomorfismo F-lineal V ' W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wm, donde cada Wi es una
copia isomorfa deW .
Bajo este isomorfismo, se ve que la relación ggi = g jh implica
pi(g)ψ(g j) = ψ(g−1g j) = ψ(gih−1) = σ(h)(ψ(gi)),
así que pi(g) llevaWi enW j y que pi(h) coincide con σ(h) sobreW1 ' W . Luego pi ∼ σG.
De hecho, se puede tomar (3.27) como la definición concreta de IndGH(σ).
I El carácter de una representación inducida σG está relacionado con el carácter de la
representación original σ, mediante una fórmula explícita obtenida por Frobenius.
75
MA–729: Teoría de Representaciones 3.4. Representaciones inducidas
Proposición 3.35. Sea G un grupo finito tal que char F no divide |G|; para H 6 G,
escríbase G/H = {H, g2H, . . . , gmH}. Si σ : H → GLF (W ) es una representación
de H , el carácter de la representación inducida pi = σG de G está dado por
χpi(k) =
∑
i : g−1i kgi∈H
χσ(g−1i kgi) =
1
|H |
∑
g : g−1kg∈H
χσ(g−1kg). (3.28)
Demostración. En primer lugar, nótese que las dos sumas son iguales, porque χσ
es una función de clase sobre H; en efecto, si g−1kg ∈ H con g = gih, entonces
χσ(g−1kg) = χσ(h−1g−1i kgih) = χσ(g−1i kgi); por eso, en la segunda sumatoria los
términos χσ(g−1i kgi) aparecen repetidos |H | veces cada uno. (Es legítimo dividir por |H |
porque |H | , 0 en F , por hipótesis.)
Sea W j = pi(g j)W para j = 1, . . . ,m. Si k ∈ G, entonces pi(k) ∈ GLF (V ) donde
V =
⊕m
i=1Wi y el operador pi(k) permuta los subespaciosWi deV . De hecho, kg j ∈ giH
si y solo si pi(k)(W j) = Wi.
Para calcular la traza χpi(k) = tr pi(k), se puede usar una base de V formado por una
unión de bases de losWi. La matriz de pi(k) con respecto a esta base es un arreglo m×m
de bloques de lado |H | cada uno. En la fila i de este arreglo, hay un solo bloque no nulo,
el cual queda en la columna j tal que pi(k)(W j) = Wi. Entonces tr pi(k) es la suma de las
trazas de los bloques diagonales, con i = j. Ahora bien, la relación kgi ∈ giH si y sólo
si g−1i kgi ∈ H: esta es la condición para tener un bloque diagonal en la matriz de pi(k).
Si g−1i kgi = h ∈ H , entonces pi(gi)|W es un isomorfismo F-lineal de W en Wi, que
entrelaza el bloque diagonal pi(k)|Wi con pi(h)|W = σ(h): la traza de este bloque es
trσ(h) = χσ(h) = χσ(g−1i kgi). Ahora χpi(k) = tr pi(k) es la suma de estas trazas
parciales, lo cual comprueba (3.28). 
Ejemplo 3.36. Considérese el caso de C3 6 S3, con F = C. Las representaciones
irreducibles σk del grupo abeliano C3, todas de grado 1, inducen representaciones de S3
de grado 2. En la notación del Ejemplo 3.17, C3 = {1, s, s2} y {1, r} representan las dos
coclases. Fíjese que r−1sr = rsr = s2 ∈ C3 pero r−1rr = r < C3.
Denótese por χ˜k el carácter de S3 inducido por el carácter irreducible χk de C3, para
k = 1, 2, 3. De la fórmula de Frobenius se obtienen los siguientes valores:
1 r s
χ˜1 2 0 2
χ˜2 2 0 −1
χ˜3 2 0 −1
76
MA–729: Teoría de Representaciones 3.4. Representaciones inducidas
En detalle: χ˜k(1) = 1 + 1 = 2 para cada k; y χ˜k(r) = 0 para cada k porque la sumas
en (3.28) son vacías. También χ˜k(s) = χk(s) + χk(s2) da lugar a tres casos, 1 + 1 = 2 y
ω + ω2 = ω2 + ω = −1.
Al comparar esta tabla de los χ˜k con la tabla de caracteres (3.10) de S3, se concluye
que (σ1)S3 ∼ pi1 ⊕ pi2 mientras (σ2)S3 ∼ (σ3)S3 ∼ pi3. ♦
Ejemplo 3.37. Considérese nuevamente el grupo alternante A4 del Ejemplo (3.28) y su
subgrupo N ' C2 × C2. Este N es abeliano y tiene cuatro representaciones de grado 1.
Una de ellas es σ, definida por σ(1) = σ(r) := 1, σ(srs−1) = σ(trt−1) := −1.
Sea pi = σA4 la representación inducida de A4. Su grado es 12/4 = 3, el número de
coclases en A4/N , así que χpi = 3. Al tomar A4/N = {N, sN, tN}, la fórmula (3.28)
permite calcular
χpi(r) = σ(r) + σ(s−1rs) + σ(t−1rt) = σ(r) + σ(trt−1) + σ(srs−1) = 1 − 1 − 1 = −1,
porque t = s−1 en A4. Como s−1ss = t−1st = s < N y s−1ts = t−1tt = t < N , las sumas
en (3.28) para los casos k = s y k = t son vacías, así que χpi(s) = χpi(t) = 0. Ahora se
puede calcular
〈χpi | χpi〉 = 112
| χpi(1)|2 + 3| χpi(r)|2 + 4| χpi(s)|2 + 4| χpi(t)|2
 = 9 + 3 + 0 + 012 = 1,
y se concluye que pi es irreducible. (Una mirada a la tabla de caracteres en el Ejem-
plo (3.28) confirma que pi ∼ pi4.) ♦
I Del Ejemplo 3.36, se puede notar que si σ es una representación irreducible de un
subgrupo H , la representación inducidaσG deG puede ser reducible o irreducible, según
el caso. Esto da lugar a una construcción interesante: es posible fabricar representaciones
irreducibles de un grupo G al inducir las representaciones irreducibles de alguno de sus
subgrupos, aunque se requiere algún criterio extra para decidir si una representación
inducida es irreducible o no.5
Es interesante comparar una representación inducida de G con otras de sus repre-
sentaciones. La clave para tal comparación es el siguiente teorema de reciprocidad de
Frobenius. Para simplificar el argumento, conviene tomar F = C y suponer que todas las
representaciones son unitarias.6 Sin embargo, al emplear la versión alternativa (3.13b)
5Hay un criterio general, debido a George Mackey, que dice que σG es irreducible si y solo si σ
es irreducible y para cada s ∈ G \ H , las representaciones h 7→ σ(k) y k 7→ σ(sks−1) del subgrupo
H ∩ sHs−1 tienen caracteres ortogonales. Véase la sección 7.4 del libro de Serre.
6Se debe recordar que cualquier representación compleja de un grupo finito G puede considerarse
unitaria, al dotar el espacio de la representación con un producto escalar G-invariante.
77
MA–729: Teoría de Representaciones 3.4. Representaciones inducidas
del producto escalar, se puede verificar fácilmente que la demostración es válida con
cualquier cuerpo F tal que char F no divide |G|, sin imponer la condición de unitariedad.
Teorema 3.38 (Frobenius). Sean pi : G → U(V ) y σ : H → U(W ) dos representaciones
unitarias de un grupo finito G y de un subgrupo H 6 G, respectivamente. Entonces
〈χσG | χpi〉G = 〈χσ | χpiH 〉H (3.29)
donde 〈· | ·〉G y 〈· | ·〉H son los respectivos productos escalares en Fc(G,C) y Fc(H,C).
Demostración. Sean {1, g2, . . . , gm} unos representantes de las coclases en G/H . La
igualdad (3.29) se verifica por un cálculo directo, a partir de la definición (3.13a) del
producto escalar y la fórmula (3.28) para χσG :
〈χσG | χpi〉G = 1|G|
∑
k∈G
χσG (k) χpi(k) = 1|G|
∑
k∈G
∑
i : g−1i kgi∈H
χσ(g−1i kgi) χpi(k)
=
1
|G|
m∑
i=1
∑
k∈giHg−1i
χσ(g−1i kgi) χpi(k) =
1
|G|
m∑
i=1
∑
h∈H
χσ(h) χpi(gihg−1i )
=
m
|G|
∑
h∈H
χσ(h) χpi(h) = 1|H |
∑
h∈H
χσ(h) χpi(h) = 〈χσ | χpiH 〉H .
La cuarta igualdad es válida porque χpi es una función de clase sobre H . En los primeros
cuatro sumatorias,7 el número de términos es |G| = m |H | y en las dos últimas el número
de términos es |G|/m = |H |, así que en ningún caso hay sobreconteo de términos. 
La fórmula (3.29) tiene relevancia inmediata con la determinación de las repre-
sentaciones del grupo G. Si σ1, . . . , σs son las representaciones irreducibles inequiva-
lentes del subgrupo H , se sabe por (3.14) que piH ∼ k1σ1 ⊕ k2σ2 ⊕ · · · ⊕ ksσs, donde
ki := 〈χσi | χpiH 〉H para i = 1, . . . , s. En consecuencia, vale
〈χσGi | χpi〉G = 〈χσi | χpiH 〉H = ki para i = 1, . . . , s.
Por lo tanto, si σi es una subrepresentación de piH con multiplicidad ki, entonces σGi es
una subrepresentación de pi, con la misma multiplicidad ki .
I Una segunda demostración del Teorema 3.38 es la siguiente. Siσ ∼ j1σ1⊕· · ·⊕ jsσs y
piH ∼ k1σ1⊕· · ·⊕ksσs son descomposiciones deσ y piH en representaciones irreducibles
de H , entonces 〈χσ | χpiH 〉H = j1k1 + · · · + jsks. En vista del Lema de Schur, esta es
7Fíjese que giHg−1i es un subgrupo de G, conjugado de H , así que |giHg−1i | = |H |.
78
MA–729: Teoría de Representaciones 3.4. Representaciones inducidas
la dimensión del espacio F-vectorial HomH(W,ResGH V ), donde W es un H-módulo
mediante la representación σ y ResGH V denota el espacio vectorial V considerado como
H-módulo bajo la representación piH .
Denótese también IndGH W := W ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wm el espacio vectorial de la repre-
sentación inducida σG, considerado como un G-módulo. Si σG ∼ m1pi1 ⊕ · · · ⊕ mrpir y
pi ∼ n1pi1 ⊕ · · · ⊕ nrpir son las descomposiciones respectivas de σG y pi en irreducibles
de G, entonces 〈χσG | χpi〉G = m1n1 + · · · + nrmr = dimHomG(IndGH W,V ). Para
mostrar la igualdad de estas dimensiones son iguales, basta comprobar la existencia de
un isomorfismo F-lineal:
HomG(IndGH W,V ) ' HomH(W,ResGH V ). (3.30)
Pero esto es una consecuencia inmediata de la Proposición 3.34, al reemplazar pi por σG
y V por IndGH W ; y al reemplazar τ yU por pi y Res
G
H V , respectivamente.
nEl isomorfismo (3.30) tiene una interpretación categórica. Si G-Mod denota la
categoría de G-módulos (es decir, módulos a izquierda para el álgebra de grupo F[G]),
cuyos morfismos son aplicaciones entrelazantes para dos representaciones de G, y si
H-Mod es la categoría análoga de H-módulos, entonces la restricción y la inducción
son dos funtores ResGH : G-Mod → H-Mod e IndGH : H-Mod → G-Mod. El isomorfismo
(3.30) indica que estos son funtores adjuntos – más precisamente, IndGH es un “adjunto
a izquierda” de ResGH ; y Res
G
H es un “adjunto a derecha” de Ind
G
H . o
I La representaciones inducidas tienen una interpretación alternativa desde el punto
de vista de módulos sobre F-álgebras. Se debe recordar el concepto de un módulo a
izquierda M sobre una anillo R, en la Definición 1.10. Esta es una función R × M →
M : (a, x) 7→ ax tal que a(bx) = (ab)x, 1 x = x que satisface dos leyes distributivas:
Si M es un espacio F-vectorial y R es una F-álgebra, las leyes distributivas dicen que
(a, x) 7→ ax es F-bilineal.
De modo similar, se puede definir un R-módulo a derecha: un grupo abeliano N (un
espacio F-vectorial si R es una F-álgebra) con una función N × R→ N : (y, b) 7→ yb tal
que, para b, c ∈ R y y, z ∈ N :
(y + z)b = yb + zb, (yb)c = y(bc),
y(b + c) = yb + yc, y 1 = y.
Definición 3.39. Si R y S son dos anillos, un R-S-bimódulo es un grupo abeliano M
que es simultáneamente un R-módulo a izquierda y un S-módulo a derecha, en donde
las dos acciones cumplen la siguiente condición de compatibilidad:
(ax)b = a(xb) para todo x ∈ M, a ∈ R, b ∈ S.
79
MA–729: Teoría de Representaciones 3.4. Representaciones inducidas
Luego se puede escribir axb := (ax)b = a(xb), sin ambigüedad.
Si A y B son F-álgebras, un A-B-bimódulo es un espacio F-vectorial V en donde se
exige además8 que las aplicaciones (a, x) 7→ ax y (x, b) 7→ xb sean F-bilineales. ♦
Definición 3.40. Sean A y B dos F-álgebras,V un A-B-bimódulo yW un B-C-bimódulo.
Sea Z el subespacio F-vectorial de V ⊗F W generado por los tensores (xb ⊗ y − x ⊗ by)
para todo X ∈ V , y ∈ W , b ∈ B; y denótese por x ⊗ y la coclase de x ⊗ y en el espacio
vectorial cociente.
El espacio F-vectorialV ⊗B W := (V⊗FW )/Z es un A-C-bimódulo, con las siguientes
operaciones e igualdades:
a(x ⊗ y) := ax ⊗ y, (x ⊗ y)c := x ⊗ yc, xb ⊗ y = x ⊗ by.
Dícese que V ⊗B W es el producto tensorial sobre B de V yW . ♦
nPor un abuso de notación, se suele escribir x ⊗ y simplemente, en vez de x ⊗ y,
para denotar elementos de V ⊗B W ; la última igualdad se transcribe en xb ⊗ y = x ⊗ by,
la cual se entiende como una regla de compatibilidad de las dos acciones internas de B. o
Hay diversos casos particulares de esta construcción, al tomar A, B o C igual a F :
 si A = F , V es un B-módulo a derecha y V ⊗B W es un C-módulo a derecha;
 si B = F , entonces el producto tensorial ordinario V ⊗F W de un A-módulo a
izquierda V con un C-módulo a derechaW es un A-C-bimódulo;
 si C = F ,W es un C-módulo a izquierda y V ⊗B W es un A-módulo a izquierda.
Ahora bien, sea G un grupo finito y H un subgrupo de G. Las álgebras de grupo
A = F[G] y B = F[H] cumplen B ⊂ A con dimF (A/B) = m = [G:H]. Además F[G] es
obviamente un F[G]-F[H]-bimódulo, por la extensión lineal del producto (¡asociativo!)
gxh de dos elementos deG y uno de h. De modo similar, F[G] es también un F[H]-F[G]-
bimódulo. Con este lenguaje, es un ejercicio de notaciones comprobar las siguientes
isomorfismos:
(a) si V es un G-módulo, entonces ResGH V ' F[H] ⊗F[G] V como H-módulos;
(b) siW es un H-módulo, entonces IndGH W ' F[G] ⊗F[H] W como G-módulos.
Esta observación permite transferir el concepto de representación inducida a la categoría
de F-álgebras más generales.
8La distinción entre estas dos nociones de bimódulos es simplemente la elección de una categoría
apropiada: la de bimódulos sobre anillos o la de bimódulos sobre F-álgebras.
80
MA–729: Teoría de Representaciones 3.5. Ejercicios de representaciones de grupos
3.5 Ejercicios de representaciones de grupos
En estos ejercicios, G denota un grupo finito; F es un cuerpo tal que char F no divide |G|;
U, V , W son espacios F-vectoriales de dimensión finita. En general, pi : G → GLF (V )
es una representación de G y χpi es su carácter. Los caracteres de las representaciones
unitarias irreducibles de G se denotan por χ1, χ2, . . . , χr .
Cuando H 6 G es un subgrupo, se escribeG/H = {g1H, g2H, . . . , gmH} con g1 = 1.
En tal caso, piH = ResGH(pi) denota la restricción de pi a una representación de H; y si
σ : H → GLF (W ) es una representación de H , σG = IndGH(σ) denota su inducción a una
representación de G.
Ejercicio 3.1. Si pi : G → GLF (V ) y σ : G → GLF (W ) son dos representaciones de G,
defínase ρ(g)T := σ(g) ◦ T ◦ pi(g−1) para g ∈ G y T ∈ HomF (V,W ). Comprobar que ρ
es una representación de G sobre HomF (V,W ).
Tomando en cuenta el isomorfismoHomF (V,W ) ' V ∗⊗W de espacios F-vectoriales,
demostrar que hay una equivalencia de representaciones ρ ∼ pi∗ ⊗ σ.
Ejercicio 3.2. Si pi y σ son dos representaciones de G sobre V y W , respectivamente,
comprobar que pi ⊗ σ ∼ σ ⊗ pi.
Ejercicio 3.3. Si pi : G → C× es una representación compleja unidimensional, demostrar
que pi(g) ∈ U(1) = { z ∈ C : |z | = 1 } para todo g ∈ G.
Ejercicio 3.4. Mostrar que existe una representación pi : S3 → GL(2,R) dado por
(12) 7→
(
1 0
0 −1
)
, (123) 7→ *,−1/2 −
√
3/2√
3/2 −1/2
+- .
n Indicación: como S3 ' 〈a, b : a3 = b2 = 1, ba = a2b〉, solo es necesario comprobar
que pi(a) y pi(b) cumplen las mismas relaciones que a y b. o
Comprobar que esta representación es equivalente a la representación irreducible pi2
de S3 sobre el plano x + y + z = 0 en R3.
Ejercicio 3.5. SiCn = {1, g, g2, . . . , gn−1} es el grupo cíclico de n elementos, considérese
las dos representaciones complejas λ y pi de Cn sobre Cn determinadas por
λ(g) := E21 + E32 + . . . + En,n−1 + E1n ∈ Mn(C),
pi(g) := diag[1, e2pii/n, e4pii/n, . . . , e2(n−1)pii/n].
81
MA–729: Teoría de Representaciones 3.5. Ejercicios de representaciones de grupos
Por ejemplo, si n = 4,
λ(g) :=
*.....,
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
+/////-
, pi(g) :=
*.....,
1 0 0 0
0 i 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −i
+/////-
.
Encontrar una matriz invertible P ∈ GLn(C) tal que P λ(gk) P−1 = pi(gk) para cada
k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Concluir que las representaciones λ y pi son equivalentes.
Ejercicio 3.6. Si N es un subgrupo normal de G y si η : G → G/N es el homomor-
fismo cociente, comprobar que la correspondencia σ 7→ σ ◦ η es una biyección entre
representacionesσ deG/N y representaciones deG cuyas restricciones a N son triviales.
Si N = G′ := 〈ghg−1h−1 : g, h ∈ G〉 es el subgrupo conmutador, el grupo cociente
G/G′ es abeliana. Concluir que hay una biyección entre las representaciones de rango
uno pi : G → F× y los homomorfismos ϕ : G/G′ → F×.
Ejercicio 3.7. SeaQ = {±1,±i,± j,±k} el grupo de cuaterniones (véase el Ejercicio 1.2).
Hallar el subgrupo conmutador Q′ y mostrar que Q/Q′ ' C2 × C2. Deducir, si F = C.
que Q tiene exactamente cinco representaciones irreducibles inequivalentes.
Exhibir una representación irreducible compleja de Q, de rango 2.
Ejercicio 3.8 (Representación por permutaciones). SiG actúa sobre un conjunto finito X ,
sea V el espacio F-vectorial con una base { vx : x ∈ X }, de modo que dimV = |X |, y
defínase una representación σ : G → GLF (V ) por σ(g) : vx 7→ vg·x .
Comprobar que el vector u :=
∑
x∈X vx ∈ V genera un subespacio G-invariante de
dimensión 1. Concluir que σ no es irreducible si |X | > 1.
Ejercicio 3.9. Hallar la tabla de caracteres para el grupo abeliano V ' C2 × C2, de
4 elementos.
Ejercicio 3.10. Demostrar que g y g−1 son conjugados en G si y sólo si χ j(g) ∈ R para
todo carácter χ j de una representación unitaria irreducible de G.
Ejercicio 3.11. Si pi y σ son representaciones irreducibles de G, su producto tensorial
pi⊗σ generalmente es reducible. Si pi3 es la representación estándar de S3 (irreducible de
grado 2), demostrar que pi3 ⊗ pi3 ∼ pi1 ⊕ pi2 ⊕ pi3. n Indicación: examinar sus caracteres. o
Ejercicio 3.12. Sea pi una representación por permutaciones (Ejercicio 3.8) deG definido
por una acción de G sobre un conjunto finito X , esto es, pi(g) : vx 7→ vg·x .
82
MA–729: Teoría de Representaciones 3.5. Ejercicios de representaciones de grupos
(a) Comprobar que χpi(g) es el número de puntos fijos en X bajo la acción de g ∈ G.
(b) Demostrar que n1 = 〈χ1 | χpi〉 es el número de órbitas de esta acción sobre X .
Ejercicio 3.13. Sean C1, . . . ,Cr las clases conjugadas del grupo finito G. Defínase
zk :=
∑
h∈Ck h ∈ C[G]; esta es la suma de todos los elementos de la clase Ck . Mostrar
que gzk = zkg en C[G] para todo g ∈ G.
Por otro lado, si c ∈ C[G] satisface gc = cg para todo g ∈ G, demostrar que hay
escalares α1, . . . , αr ∈ C tales que c = α1z1+ · · ·+αr zr . Concluir que el centro Z(C[G])
del álgebra de grupo es un espacio C-vectorial con base {z1, . . . , zr}.
Ejercicio 3.14. SeaQ el grupo de cuaterniones (Ejercicio 3.7) y sea D4 el grupo diedral
de 8 elementos (Ejemplo 3.27).
(a) Hallar todas las clases conjugadas de Q. Explicar por qué los grupos Q y D4 no
son isomorfos, aunque tengan igual número de clases conjugados con los mismos
tamaños.
(b) Construir las tablas de caracteres de Q, mostrando que tiene las mismas entradas
que la tabla de D4. (Por lo tanto, los caracteres no determinan el grupo hasta
isomorfismo, en general.)
Ejercicio 3.15. Sea ζ := e2pii/n = cos(2pi/n) + i sen(2pi/n), una raíz n-ésima de 1. Usar
las relaciones de ortogonalidad de Schur para mostrar que
1 + ζ k + ζ2k + · · · + ζ (n−1)k =

n si k ≡ 0 mod n,
0 si k 6≡ 0 mod n.
Ejercicio 3.16. Considérese las siguientes dos representaciones reales irreducibles de
S4 sobre R3:
(a) S4 actúa por rotaciones del cubo con vértices (±1,±1,±1). Nótese que S4 permuta
las cuatro diagonales largas del cubo.
(b) S4 actúa por rotaciones y reflexiones del tetraedro regular con vértices (1,−1,−1),
(−1, 1,−1), (−1,−1, 1) y (1, 1, 1); el subgrupo A4 actúa por rotaciones solamente.
Por ejemplo, la reflexión x ↔ y en el plano vertical x = y transpone los primeros
dos vértices. Nótese que S4 permuta los cuatro vértices del tetraedro.
Demostrar que estas dos representaciones no son equivalentes. n Indicación: Basta
calcular χpi(g) para una transposición g = (i j) ∈ S4 en los dos casos. o
83
MA–729: Teoría de Representaciones 3.5. Ejercicios de representaciones de grupos
Ejercicio 3.17. Un k-ciclo en Sn permuta cíclicamente k números en {1, 2, . . . , n} y deja
fijos los demás. El k-ciclo a1 → a2 → · · · → ak → a1 se denota por (a1a2 · · · ak). Cada
elemento de Sn es un producto de ciclos disjuntos.
(a) Si s ∈ Sn, mostrar que s(a1a2 · · · ak)s−1 = (b1b2 · · · bk) donde cada bi = s(ai).
(b) Concluir que dos elementos de Sn son conjugados si y solo si son productos de
igual número de ciclos de las mismas longitudes.
(c) Describir todas las clases conjugadas de los grupos S4 y S5. En cada caso, basta
encontrar un elemento en cada clase y calcular la cardinalidad de la clase.
Ejercicio 3.18. El grupo G permuta las coclases en G/H por g · giH := ggiH . Sea
pi(g) ∈ GL(m, F) = GLF (Fm) la matriz de esta permutación. Comprobar que pi es una
representación de G y que pi ∼ (σ1)G, donde σ1 es la representación trivial de H .
Ejercicio 3.19. Lo que sigue es una descripción matricial de la representación σG.
Sea B(h) ∈ Mn(F) la matriz de σ(h) con respecto a una base {y1, . . . , yn} deW . Sea
A(k) ∈ Mmn(F), para k ∈ G, una matriz de m×m bloques, cada bloque de tamaño n× n,
donde el bloque Ai j(k) ∈ Mn(F) se define por
Ai j(k) :=

B(g−1i kg j) si g−1i kg j ∈ H,
0 si g−1i kg j < H .
Verificar que pi : k 7→ A(k) : G → GL(mn, F) es una representación de G sobre Fmn y
demostrar que pi ∼ σG.
Ejercicio 3.20. Usar la descripción matricial de σG en el Ejercicio 3.19 para verificar la
fórmula de Frobenius para el carácter de una representación inducida.
Ejercicio 3.21. Hallar la tabla de caracteres de S4, mediante los pasos que siguen:
(a) Hallar representantes para las clases conjugadas de S4, usando el Ejercicio 3.17.
(b) Verificar que S4 tiene un subgrupo normal V tal que S4/V ' S3. Concluir que
S4 tiene tres representaciones irreducibles pi1 (trivial), pi2 (signo), y pi3, de grados
respectivos 1, 1, 2.
(c) Mostrar que S4 tiene otras dos representaciones irreducibles, pi4 y pi5, ambos de
grado 3; y que pi5 ∼ pi4 ⊗ pi2.
(d) Usar la ortogonalidad de filas y/o columnas para rellenar la tabla de S4.
84
MA–729: Teoría de Representaciones 3.5. Ejercicios de representaciones de grupos
Ejercicio 3.22. Supóngase que H sea un subgrupo abeliano de G, con [G:H] = m.
(a) Si pi es una representación irreducible de G, demostrar que el grado de pi no puede
ser mayor que m. n Indicación: usar la reciprocidad de Frobenius. o
(b) Concluir que todas las representaciones irreducibles del grupo diédrico de or-
den 2n, Dn := 〈a, b : an = b2 = 1, ba = a−1b〉, tienen grado 1 o 2.
(c) Calcular los caracteres de las representaciones de D7 de grado 2 inducidas por
representaciones del subgrupo C7 y determinar así la tabla de caracteres de D7.
Ejercicio 3.23. En el caso G = S4 y H = S3, se sabe que las tres representaciones
inducidas σG1 , σ
G
2 , σ
G
3 tienen grados 4, 4 y 8 respectivamente y por tanto no son
irreducibles de S4. En términos de las representaciones unitarias irreducibles pi j de S4
ya identificadas en el Ejercicio 3.21, usar la reciprocidad de Frobenius para comprobar
estas equivalencias:
σG1 ∼ pi1 ⊕ pi5, σG2 ∼ pi2 ⊕ pi4, σG3 ∼ pi3 ⊕ pi4 ⊕ pi5.
Una acción de un grupo finito G sobre un conjunto finito X es transitiva si tiene una
sola órbita: para x, y ∈ X , hay algún h ∈ G tal que h · x = y. Sea σX : G → GLF (VX )
la representación por permutaciones de G determinado por una acción de G sobre X
(Ejercicios 3.8 y 3.12).
G también actúa sobre Z := { (x, y) ∈ X × X : x , y } por g . (x, y) = (g · x , g · y);
si esta acción de G sobre Z es transitiva, se dice que la acción original sobre X es
doblemente transitiva.
Ejercicio 3.24. Si H es un subgrupo deG, sea X = G/H con la acción g · (kH) := gkH .
Demostrar que la representación pi = σG/H está inducida por la representación trivial σ1
de H; es decir, pi = IndGH(σ1).
Ejercicio 3.25. Sea pi = σX y ρ = σZ las representaciones por permutaciones que
corresponde a las acción de G sobre X y Z .
(a) Si la acción sobre X es transitiva, demostrar que 〈χpi | χpi〉 = 1 + 〈χ1 | χρ〉, donde
χ1 denota el carácter de la representación trivial. Concluir que 〈χpi | χpi〉 = 2 si y
solo si la acción de G sobre X es doblemente transitiva.
(b) Defínase τ : G → GLF (U) por τ(g) := pi(g)|U donde el hiperplano U 6 VX se
define por
∑
x∈X αxvx ∈ U si y solo si ∑x∈X αx = 0. Si la acción de G sobre X es
doblemente transitiva, demostrar que τ es irreducible.
85
MA–729: Teoría de Representaciones 3.5. Ejercicios de representaciones de grupos
Ejercicio 3.26. Sea G el grupo de Heisenberg sobre el cuerpo finito Fp, con p primo.
Sus elementos son las matrices triangulares
[a, b, c] ≡ *..,
1 a c
0 1 b
0 0 1
+//- ∈ M3(Fp), con a, b, c ∈ Fp .
(a) Mostrar que las clases conjugadas de G son los singuletes {[0, 0, c]} y las partes
Ca,b := { [a, b, c] : c ∈ Fp }.
(b) Demostrar que G/Z(G) ' Cp × Cp·. Si ψ1, . . . , ψp son los caracteres irreducibles
deCp, mostrar que χi j([a, b, c]) := ψi(a)ψ j(b) son p2 caracteres irreducibles deG.
(c) Si H := { [0, b, c] : b, c ∈ Fp }, comprobar H ' Cp×Cp. Sea σk([0, b, c]) := ψk(c)
para k = 2, . . . , p; y sea pik := IndGH(σk) la representación inducida de G.
Verificar que el carácter χ˜k de pik está dado por χ˜k([a, b, c]) = pψk(c) na = b = 0o.
Concluir que los χi j y los χ˜k son todos los caracteres irreducibles de G.
86
MA–729: Teoría de Representaciones
4 Representaciones del grupo Sn
La teoría general de representaciones de grupos finitos y la construcción de tablas de
caracteres son suficientes para obtener todas las representaciones irreducibles de grupos
de bajo orden, como ya fue ejemplificado en el capítulo anterior y sus ejercicios. Sin
embargo, el estudio de las representaciones de familias de grupos finitos, o bien de
grupos infinitos de matrices, exige el empleo de técnicas algebraicas más extensas y
sofisticadas. En este capítulo se concentra el esfuerzo en la familia de los grupos de
permutaciones Sn, para cualquier n ∈ N∗. Salvo mención explícita de lo contrario, el
cuerpo de base será C.
En la construcción de las tablas de caracteres para un grupo finito G cualquiera,
se ha visto que estas tablas son arreglos cuadrados porque (Corolario 3.24) la can-
tidad de representaciones irreducibles inequivalentes coincide con el número de sus
clases conjugadas. Desafortunadamente, no se conoce una correspondencia biunívoca
entre representaciones y clases, aplicable a todos los grupos finitos. Los grupos de
permutaciones forman una excepción importante: para ellos las clases conjugadas y las
representaciones irreducibles están etiquetadas por un mismo objeto combinatorio: el
número de particiones p(n) del entero positivo n.
La primera tarea, entonces, es describir las clases conjugadas del grupo Sn.
Definición 4.1. Sea n ∈ N∗ un número entero positivo. Denótese por [n] el conjunto
{1, 2, . . . , n}. Al expresar [n] como unión disjunta de partes no vacías, sus cardinalidades
quedan entre 1 y n. Una partición de n es una lista ordenada λ = (λ1, λ2, . . . , λk) de
enteros positivos tales que:
λ1 + λ2 + · · · + λk = n, con λ1 > λ2 > · · · > λk . (4.1)
Se escribe λ ` n para decir que λ es una partición de n. La cantidad p(n) de tales λ es
el número de particiones de n.1 ♦
Así, por ejemplo, 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1, por lo que p(3) = 3. También,
4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1,
5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1,
6 = 5 + 1 = 4 + 2 = 4 + 1 + 1 = 3 + 3 = 3 + 2 + 1 = 3 + 1 + 1 + 1
= 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
1No se conoce una “forma cerrada” para expresar p(n), pero sí se conoce su función generatriz,∑∞
n=0 p(n)qn =
∏∞
k=1 1/(1 − qk ). Véase, por ejemplo, el capítulo 11 del libro: George E. Andrews,
Richard Askey y Ranjan Roy, Special Functions, Cambridge University Press, Cambridge, 1999.
87
MA–729: Teoría de Representaciones
Luego, p(4) = 5, p(5) = 7, p(6) = 11. El número p(n) crece rápidamente con n; por
ejemplo, p(20) = 627. Esta es una función destacada en la teoría de números.
Las tres particiones de 3 son λ = (3), (2, 1) y (1, 1, 1).
Las cinco particiones de 4 son λ = (4), (3, 1), (2, 2), (2, 1, 1) y (1, 1, 1, 1).
Las particiones de 3, 4, 5 y 6 están desplegadas en orden lexicográfico: Si λ ` n y
µ ` n, se toma λ > µ si es primer valor no cero de λi− µi es positivo. Este es obviamente
una orden total entre las p(n) particiones de n.
I Una permutación σ ∈ Sn puede expresarse, de manera única, como un producto de
ciclos disjuntos:
σ = (i1i2 . . . ir) ( j1 j2 . . . is) · · · (l1l2 . . . lu).
Estos ciclos conmutan entre sí, por ende su orden de composición es irrelevante. Si
τ ∈ Sn, entonces τ(i1i2 . . . ir)τ−1 = (i′1i′2 . . . i′r) donde i′1 = τ(i1), . . . , i′r = τ(ir).
En consecuencia, τστ−1 es otro producto de ciclos, con las mismas longitudes que
los ciclos de σ. La clase conjugada de σ se caracteriza, entonces, por el número y
las cardinalidades de los ciclos que lo componen. Si se ordena el producto tal que
r > s > · · · > u, este dato es una partición λ = (r, s, . . . , u) ` n.
En resumen: las clases conjugadas de Sn están en correspondencia biunívoca con
las particiones λ ` n.
Definición 4.2. Es posible desplegar una partición λ = (λ1, λ2, . . . , λk) de n, por un
artificio combinatorio llamado su diagrama de Young.2 Este es un arreglo rectangular
incompleta de casillas cuadradas, con k filas, que tiene λi casillas en la fila i, justificadas
a la izquierda. Las filas se ordenan de arriba hacia abajo (el convenio inglés). Alternati-
vamente, se pueden ordenar de abajo hacia arriba (el convenio francés), en cuya caso se
llaman diagramas de Ferrers. ♦
Estas son los diagramas de Young para las siete particiones de 5:
(4.2)
Se puede notar que la reflexión en la diagonal principal (de noroeste hacia sureste)
aplicada a cualquier diagrama para λ produce otro diagrama para λ′, la llamada partición
dual de λ. (Se puede notar que cada λ′i es el número de términos λ j con λ j > i, así que
la correspondencia λ ↔ λ′ no requiere el apoyo visual de los diagramas.)
2Los diagramas de Young fueron introducidos al inicio del siglo XX en el artículo: Alfred Young, “On
quantitative substitutional analysis”, Proceedings of the London Mathematical Society 33 (1900), 97–145.
88
MA–729: Teoría de Representaciones 4.1. La dualidad de Schur y Weyl
A veces se adopta una notación abreviada para denotar las particiones:
λ = (ma11 ,ma22 , . . . ,marr ), con m1 > m2 > · · · > mr ,
donde a1m1 + · · · + armr = n en vista de (4.1), se refiere a la partición de n con a1
copias de m1, a2 instancias de m2, etcétera. Así, las particiones de 5 ilustradas en (4.2)
se denotan por (5), (4, 1), (3, 2), (3, 12), (22, 1), (2, 13), (15), en orden lexicográfico.
I Las particiones λ ` n corresponden a las p(n) columnas de la tabla de caracteres del
grupo Sn. Por el Corolario 3.24, ya se sabe que esta tabla tiene p(n) filas. La tarea por
delante es obtener un algoritmo que asocia a cada partición λ un Sn-módulo Vλ . Antes
de abordar ese algoritmo, conviene examinar con más detalle el álgebra de grupo C[Sn].
4.1 La dualidad de Schur y Weyl
Definición 4.3. Sea V un espacio C-vectorial finitodimensional. Para cualquier parte
A ⊆ EndC V , el conjunto
A′ := { b ∈ EndC V : ba = ab para todo a ∈ A }
es una C-subálgebra de EndC V (cuya identidad es 1V ); este es el conmutante de A en
EndC V .
El biconmutante de A en EndC V es
A′′ := (A′)′ = { c ∈ EndC V : bc = cb para todo b ∈ A′ },
la cual es una C-subálgebra tal que A ⊆ A′′.
Si A y B son dos partes de EndC V , entonces A ⊆ B implica B′ ⊆ A′ y A′′ ⊆ B′′.
nNótese que (A′′)′ = (A′)′′ = A′: no hace falta definir un “triconmutante”. o ♦
Proposición 4.4. Sea V un espacio C-vectorial finitodimensional y sea A ⊆ EndC V una
C-subálgebra con identidad 1V . Si el A-módulo V es semisimple, entonces A′′ = A.
Demostración. Sea {e1, . . . , en} una base de V . Si c ∈ A′′, basta encontrar a ∈ A tal que
aei = cei para i = 1, . . . , n, pues esto implica a = c. Considérese el vector
e := (e1, e2, . . . , en) ∈ V ⊕ V ⊕ · · · ⊕ V = V⊕n ≡ nV,
en la notación de la Sección 2.1. Si V ' V1 ⊕ · · · ⊕ Vk como suma directa de A-módulos
simples, entonces nV ' nV1⊕· · ·⊕nVk es también semisimple, bajo la acción “diagonal”
a · (x1, . . . , xn) := (ax1, . . . , axn).
89
MA–729: Teoría de Representaciones 4.1. La dualidad de Schur y Weyl
Sea U := A · e = { a · e : a ∈ A }, un subespacio A-invariante de nV . Como nV
es completamente reducible por la Proposición 2.5, hay otro subespacio A-invariante
W 6 nV tal que nV ' U ⊕ W como A-módulos. La proyección P ∈ EndC(nV ) dada
por P(x + y) := x con imagen U y núcleo W conmuta con la acción diagonal de A. Al
expresar P como matriz P = [pi j] ∈ EndC(nV ) = Mn(EndC V ), esto dice que pi j ∈ A′
para cada i, j.
Luego, si c ∈ A′′, entonces c pi j = pi j c para cada i, j. La propiedad P(e) = e
entonces implica que
P(ce1, . . . , cen) = (ce1, . . . , cen),
así que (ce1, . . . , cen) ∈ im P = A · e. Esto dice que existe un elemento a ∈ A tal que
(ae1, . . . , aen) = (ce1, . . . , cen), lo que había que demostrar. 
Ahora sea A un álgebra finitodimensional semisimple, y sea V un A-módulo finitodi-
mensional tal que 1 ∈ A actúa como 1V sobre V ; dicho de otro modo, la representación
pi : A → EndC V es fiel, esto es, ker pi = {0}. Entonces el A-módulo V es también
semisimple (por la Proposición 2.16) y el resultado anterior es aplicable al caso. Es-
críbase B := A′, así que A = B′ también. Sea
V '
r⊕
j=1
Uj ⊗ Vj (4.3)
la descomposición de V en componentes isotípicos, dada por el Lema 2.6, donde
V1, . . . ,Vr son los diversos A-módulos simples de A; y cadaUj es el espacio C-vectorial
Uj ≡ HomA(Vj,V ). Nótese que Uj = {0} si Vj no es isomorfo a un A-submódulo de V .
nEsta es la fórmula (2.1) con algunos cambios de notación. o El teorema de densidad
(Teorema 2.10) y la fidelidad de pi entonces dice que
A '
r⊕
j=1
1Uj ⊗ EndC Vj . (4.4)
Proposición 4.5. El conmutante B = A′ en EndC V de la subálgebra semisimple A dada
por (4.4) tiene la descomposición
B '
r⊕
j=1
EndCUj ⊗ 1Vj (4.5)
y en consecuencia B es también semisimple.
Además, V es un módulo (a izquierda) para el álgebra A ⊗ B, de tal manera que la
fórmula (4.3) es su descomposición en (A ⊗ B)-submódulos simples no isomorfos.
90
MA–729: Teoría de Representaciones 4.1. La dualidad de Schur y Weyl
Demostración. Dada la descomposición (4.4) del álgebra A, es evidente que el lado
derecho de (4.5) es una subálgebra de A′; y por simetría, el lado derecho de (4.4) es
entonces una subálgebra de A′′. La igualdad A = A′′, debido a la Proposición 4.4,
muestra que el lado derecho de (4.5) es todo A′.
La semisimplicidad de B es una consecuencia inmediata de la Proposición 2.16.
Las acciones de A y B sobreV conmutan, por lo tanto la receta (a⊗b)x := abx = bax
se extiende por C-linealidad a una representación del producto tensorial de C-álgebras
A ⊗ B sobre V . Bajo esta acción, los subespacios Uj ⊗ Vj son invariantes, en vista de
(4.4) y (4.5). Fíjese que
EndC(Uj ⊗ Vj) ' EndCUj ⊗ EndC Vj = EndCUj ⊗ 1Vj 
1Uj ⊗ EndC Vj
,
así que estos (A⊗B)-submódulos son simples. Como losVj son A-módulos no isomorfos
entre sí, el resultado análogo es válido para losUj ⊗ Vj . 
La fórmula (4.5) se puede simplificar en B '⊕rj=1 EndCUj . Apelando nuevamente
a la Proposición 2.16, se concluye queU1, . . . ,Ur son todos los B-módulos simples (hasta
isomorfía) y que ellos son mutuamente no isomorfos. En consecuencia, la simetría entre
las acciones de A y B no admite distinciones. Es evidente que Vj ' HomB(Uj,V )
también.
I Para obtener consecuencias para el grupo Sn de las consideraciones anteriores, se
introducen a continuación dos acciones de grupo sobre un mismo espacio vectorial que
conmutan entre sí. Una de ellas es una acción de Sn; el otro es una acción de un grupo de
matricesGL(m,C) para algún m ∈ N∗. Este no es un grupo finito, pero las proposiciones
anteriores evitan la necesidad de obtener para este grupo un análogo al teorema de
Maschke.3
Definición 4.6. SeaV un espacioC-vectorial de dimensiónfinitam. Denótese el producto
tensorial de n copias de V por V⊗n ≡ V ⊗ · · · ⊗ V (n veces). El grupo G = GLC(V ) y el
grupo finito Sn se representan sobre Vωn por estas dos acciones sobre tensores simples:
g . (x1 ⊗ x2 ⊗ · · · ⊗ xn) := gx1 ⊗ gx2 ⊗ · · · ⊗ gxn para g ∈ G , (4.6a)
s · (x1 ⊗ x2 ⊗ · · · ⊗ xn) := xs−1(1) ⊗ xs−1(2) ⊗ · · · ⊗ xs−1(n) para s ∈ Sn . (4.6b)
3El grupo de matrices GL(m,C) es un grupo algebraico, es decir, puede ser definido mediante
ecuaciones polinomiales. Una representación de un grupo algebraico G que también puede ser definido
mediante ecuaciones polinomiales se llama racional. El grupo GL(m,C) es reductivo, lo que significa
que todos sus representaciones racionales son semisimples. Para la geometría algebraica que sustenta estas
afirmaciones, véase el capítulo 7 del libro de Procesi.
91
MA–729: Teoría de Representaciones 4.1. La dualidad de Schur y Weyl
Es evidente que estas representaciones conmutan: vale s · (g . x) = g . (s · x) para todo
x ∈ V⊗n, por linealidad. ♦
Denótese por A el subespacioC-vectorial de EndC(V⊗n) generado por los operadores
x 7→ s · x con s ∈ Sn; de igual manera, sea B el subespacio generado por los operadores
x 7→ g . x con g ∈ GLC(V ). Entonces A y B son subálgebras de EndC(V⊗n).
Además, A = pi(C[Sn]) donde pi : C[Sn]→ EndC(V⊗n) es una representación fiel del
álgebra de grupo C[Sn]. Por el teorema de Maschke, el álgebra A es semisimple.
Teorema 4.7 (Schur y Weyl). B = A′ y A = B′ como subálgebras de EndC(V⊗n).
Demostración. Está claro que B ⊆ A′ y A ⊆ B′ por (4.6); además, la Proposición 4.4
muestra que A = A′′. Basta mostrar, entonces, que A′ ⊆ B.
Sea {e1, . . . , em} una base vectorial de V . Si I = (i1, . . . , in) ∈ [m]× · · · × [m] ≡ [m]n
es unmultiíndice, llámese eI := ei1 ⊗· · ·⊗ein al tensor simple correspondiente. Entonces
{ eI : I ∈ [m]n } es una base vectorial deV⊗n, de cardinalidadmn. Nótese que Sn permuta
multiíndices mediante la acción
s · (i1, . . . , in) := (is−1(1), . . . , is−1(n)), así que s · eI = es·I para s ∈ Sn .
Cualquier operador R ∈ EndC(V⊗n) tiene la matriz [aI,J] dada por R(eJ) =: ∑I aI,J eI .
Para s ∈ Sn, vale
s · R(eJ) =
∑
I∈[m]n
aI,J s · eI =
∑
I∈[m]n
aI,J es·I
mientras
R(s · eJ) = R(es·J) =
∑
K∈[m]n
aK,s·J eK =
∑
I∈[m]n
as·I,s·J es·I .
Por lo tanto, R ∈ A′ si y sólo si as·I,s·J = aI,J para todo I, J ∈ [m]n, s ∈ Sn.
La forma C-bilineal (R, S) := tr(RS) sobre EndC(V⊗n) es no degenerada. Es menos
obvio que su restricción al subespacio A′ es no degenerada. Para comprobarlo, escríbase
pi(s) : x 7→ s · x y nótese que R ∈ A′ si y solo si Rpi(s) = pi(s)R para cada s ∈ Sn.
Defínase el promedio de un operador bajo la acción de Sn por conjugación:
T \ :=
1
n!
∑
s∈Sn
pi(s)T pi(s)−1.
Nótese que T \ ∈ A′ y que R\ = R para R ∈ A′; en otras palabras, T 7→ T \ es una
proyección lineal de EndC(V⊗n) sobre A′. Si R ∈ A′, entonces
(R,T \) = 1
n!
∑
s∈Sn
tr

R pi(s)T pi(s)−1
 = tr(RT) = (R,T).
92
MA–729: Teoría de Representaciones 4.1. La dualidad de Schur y Weyl
En consecuencia, si (R, S) = 0 para todo S = T \ en A′, entonces (R,T) = 0 para todo
T ∈ EndC(V⊗n), lo cual implica que R = 0. Se ha comprobado que la forma bilineal
simétrica (R, S) 7→ tr(RS) es no degenerada sobre A′.
Se sabe que B ⊆ A′; si fuera B , A′, entonces habría un operador R , 0 en A′
tal que tr(RS) = 0 para todo S ∈ B; se debe mostrar que eso es imposible. Escríbase
σ(g) : x 7→ g . x; basta tomar S = σ(g) para algún g ∈ GLC(V ). La matriz [bI,J] de S,
dada por S(eJ) =: ∑I bI,J eI , tiene la forma
bI,J = gi1 j1gi2 j2 · · · gin jn
en vista de (4.6a), donde g = [gi j] es una matriz invertible en rGLC(V ).
La condición “tr(RS) = 0 para todo g” entonces se reduce a un sistema de ecuaciones
para las entradas de la matriz de R:∑
I,J
aJ,I gi1 j1gi2 j2 · · · gin jn = 0. (4.7)
Esta es una ecuación polinomial de grado n en lasm2 entradas de lamatriz g; el polinomio
se anula en el conjunto dematrices { g = [gi j] ∈ Mm(C) : det[gi j] , 0 }, el cual es abierto
y denso en Mm(C), así que el polinomio se anula para gi j cualesquiera.4
Ahora bI,J cumple la condición necesaria para que S ∈ A′, es decir, bs·I,s·J = bI,J
para todo I, J, s. Luego el sistema (4.7) tiene muchos términos repetidos. Para evitar
repeticiones, llámese X al conjunto de órbitas de [m]n × [m]n bajo la acción de Sn dada
por s ∗ (I, J) := (s · I, s · J); entonces la ecuación polinomial (4.7) se puede reorganizar
como ∑
x
|Sn ∗ x | a˜x b˜x = 0,
donde |Sn ∗ x | es la cardinalidad de la órbita x, a˜x := aJ,I y b˜x := bI,J para (I, J) ∈ Sn ∗ x;
pero ahora los b˜x son linealmente independientes. Se concluye que a˜x = 0 para todo x,
es decir, aJ,I = 0 para todo (I, J), con lo cual R = 0. Se ha demostrado que B = A′. 
Corolario 4.8. Si V es un espacio C-vectorial de dimensión finita, entonces
V⊗n '
⊕
λ`n
Uλ ⊗ Vλ (4.8)
donde losVλ no nulos son Sn-módulo irreducibles e inequivalentes; y losUλ no nulos son
GLC(V )-módulo irreducibles e inequivalentes. CadaVλ determinaUλ hasta isomorfismo
y viceversa. 
4Es posible evitar el uso de la topología del espacio euclidiano Mm(C)mediante un poco de geometría
algebraica: la clave es que GL(m,C) es un “abierto de Zariski” en Mm(C).
93
MA–729: Teoría de Representaciones 4.2. Los tableaux de Young
4.2 Los tableaux de Young
Las representaciones irreducibles Vλ del grupo simétrico Sn aparecen, con multiplici-
dades dλ = dimVλ cada una, en la representación regular de Sn. Para construirlas
explícitamente, se debe examinar de cerca esa representación regular, es decir, se debe
analizar en detalle el álgebra de grupo C[Sn].
Definición 4.9. Considérese el diagrama de Young para una partición fija λ de un entero
positivo n. Si λ = (λ1, . . . , λk), el diagrama tiene n casillas, dispuestas en k filas de
longitudes λ j , con j = 1, . . . , k; estas casillas forman λ1 columnas. Un relleno del
diagrama coloca números enteros positivos en estas casillas.
Un tableau de Young, de forma λ, es un relleno del diagrama de Young para λ con los
números 1, 2, . . . , n, con entradas distintas. Este es un tableau estándar si las entradas
en cada fila son crecientes (de izquierda a derecha) y las entradas en cada columna son
crecientes (de arriba hacia abajo). Por ejemplo, la partición (2, 1) ` 3 da lugar a 3! = 6
tableaux:
1 2
3
1 3
2
2 3
1
2 1
3
3 1
2
3 2
1
pero solo los primeros dos son estándares. Nótese que el grupo Sn actúa sobre los
tableaux de forma λ de manera obvia, permutando sus entradas. ♦
Definición 4.10. Dada una partición λ ` n, sea T un tableau de forma λ. Se definen dos
subgrupos de Sn asociados a T :
 PT es el grupo de permutaciones de T que conservan cada fila;
 QT es el grupo de permutaciones de T que conservan cada columna.
La única permutación que conserva filas y columnas a la vez es la identidad; luego,
PT ∩QT = {1}.
Fíjese que |PT | = λ1!λ2! · · · λk! y que |QT | = λ′1!λ′2! · · · λ′l! donde λ′ = (λ′1, . . . , λ′l).
Si sT es el tableau obtenido de T al aplicar la permutación s a sus entradas, los
subgrupos asociados a sT son conjugados a los originales:
PsT = s PT s−1, QsT = s QT s−1. ♦
Definición 4.11. A cada tableau de Young T con n casillas, se definen tres elementos
del álgebra de grupo C[Sn]:
aT :=
∑
p∈PT
p, bT :=
∑
q∈QT
(−1)qq, cT := aT bT . (4.9)
94
MA–729: Teoría de Representaciones 4.2. Los tableaux de Young
El elemento cT se llama el simetrizador de Young asociado a T . Nótese que
a2T = |PT | aT , b2T = |QT | bT .
La primera igualdad es obvia, la segunda sigue al recordar que el signo es un homomor-
fismo: (−1)rs = (−1)r(−1)s para r, s ∈ Sn . Luego, |PT |−1aT y |QT |−1bT son elementos
idempotentes5 en el álgebra C[Sn]. ♦
Las siguientes igualdades siguen inmediatamente de (4.9):
p aT = aT p = aT para p ∈ PT ,
q bT = bT q = (−1)qbT para q ∈ QT . (4.10)
Entonces p cT = cT y cT q = (−1)qcT para p ∈ PT y q ∈ qT .
Como PT ∩QT = {1}, el coeficiente de 1 en la combinación lineal cT = ∑p,q(−1)qpq
en C[Sn] es 1, porque pq = 1 si y sólo si p = q = 1. En particular, se ve que cT , 0 para
cualquier tableau T .
I El orden lexicográfico de las particiones de n permite establecer el lema siguiente, que
resulta ser la clave para obtener las propiedades esenciales del los elementos cT ∈ C[Sn].
Lema 4.12. Sean T y R dos tableaux de formas respectivas λ ` n y µ ` n, con λ > µ
(en orden lexicográfico). Entonces se cumple una y solo una de estas dos posibilidades:
(i) hay dos entradas distintas i, j ∈ [n] en la misma fila de T y en la misma columna
de R; o bien
(ii) λ = µ, y existen p ∈ PT y q ∈ QR con pT = qR.
Demostración. Considérese la primera fila del tableau T , con λ1 elementos. Fíjese que
λ1 > µ1 por hipótesis. Si λ1 > µ1, las λ1 entradas de la primera fila de T se reparten
entre las µ1 columnas de R de tal manera que dos de ellas están en una misma columnas
de R: este es el caso (i).
En cambio, si λ1 = µ1, hay una permutación q1 ∈ QR tal que las primeras filas de T
y q1R tengan los mismos elementos. Nótese que QR = Qq1R.
En seguida, se puede remover las primeras filas de T y q1R, obteniendo dos tableaux
con n−λ1 entradas. Como λ2 > µ2, el mismo argumento conduce al caso (i) si λ2 > µ2;
o bien, si λ2 = µ2, a una permutación q2 ∈ QR tal que las primeras dos filas de T y q2q1R
tengan los mismos elementos.
5Un elemento de álgebra e ∈ A es idempotente si e2 = e. Si pi es una representación de A sobre V ,
entonces pi(e) ∈ EndF V es un proyector.
95
MA–729: Teoría de Representaciones 4.2. Los tableaux de Young
Continuando así, se llega eventualmente al caso (i); o de lo contrario, se obtiene
λ = µ y se produce q = qk · · · q2q1 ∈ QR tal que todas las filas de T y qR tienen los
mismos elementos, luego hay p ∈ PT tal que los tableaux pT y qR coinciden: el caso (ii).
Nótese también que los dos casos son exclusivos: como las filas de T y pT tiene los
mismos elementos, y las columnas de R y qR tiene los mismos elementos, dos entradas
en la misma fila y la misma columna de pT = qR están en la misma posición: no pueden
ser distintas. 
Corolario 4.13. Sean T , R dos tableaux de formas respectivas λ ` n y µ ` n, con λ > µ.
(a) Si λ > µ, entonces para todo s ∈ Sn hay transposiciones u ∈ PT , v ∈ QR tales que
us = sv.
(b) Si s ∈ Sn con s < PTQT , entonces hay transposiciones u ∈ PT , v ∈ QT tales que
us = sv.
Demostración. Ad (a): Se cumple el caso (i) del Lema 4.12 para los tableaux T y sR:
hay dos entradas distintas i, j en la misma fila de T y la misma columna de sR. Sea
u la transposición (i ↔ j) y sea v := s−1us, para que us = sv. Entonces u ∈ PT y
v ∈ s−1QsRs = QR.
Ad (b): Si se cumpliera el caso (ii) del Lema para los tableaux s−1T y T , existirían
p1 ∈ Ps−1T y q ∈ QT tales que p1s−1T = qT . Al poner p := sp1s−1 ∈ PT , se obtendría
s−1pT = qT , de modo que s−1p = q en Sn, así que s = pq−1 ∈ PTQT .
Por lo tanto, la hipótesis de que s < PTQT demanda el caso (i) del Lema. Por la
parte (a), hay una transposición v ∈ QT ∩ Ps−1T y se pone u := svs−1 ∈ PT . 
Lema 4.14. (a) Sean T , R dos tableaux de formas respectivas λ, µ con λ > µ. El
único a ∈ C[Sn] con pa = a, aq = (−1)qa para todo p ∈ PT , q ∈ QR, es a = 0.
(b) Si T es un tableau de n entradas y si a ∈ C[Sn] cumple pa = a, aq = (−1)qa para
todo p ∈ PT , q ∈ QT , entonces a = α cT para algún α ∈ C.
Demostración. Ad (a): Escríbase a = ∑t∈Sn a(t) t enC[Sn]. Entonces, para todo s ∈ Sn,
resultan sa =
∑
t a(t) st = ∑t a(s−1t) t y as = ∑t a(t) ts = ∑t a(ts−1) t .
Dado un elemento s ∈ Sn, el Corolario 4.13(a) produce u = u−1 ∈ PT , v = v−1 ∈ QR
con us = sv. Entonces las propiedades ua = a, av = −a muestran que
a(s) = (ua)(s) = a(us) = a(sv) = (av)(s) = −a(s),
así que a(s) = 0 en C para todo s ∈ Sn; luego a = 0.
96
MA–729: Teoría de Representaciones 4.2. Los tableaux de Young
Ad (b): El mismo argumento y el Corolario 4.13(b) muestra que a(s) = 0 para
s < PTQT . Si s = pq con p ∈ PT , q ∈ QT , entonces a(pq) = a(q) = (−1)qa(1), así que
a =
∑
p∈PT
∑
q∈QT
(−1)qa(1) pq = a(1) cT . 
Considérese el elemento c2T ∈ C[Sn]. Como c2T = aTbTaTbT , es evidente de (4.10)
que pc2T = c
2
T , c
2
Tq = (−1)qc2T para p ∈ PT , q ∈ QT . El Lema 4.14(b) entonces implica
que c2T = mT cT para algún mT ∈ C \ {0}. Si s ∈ Sn, entonces
msT csT = (csT )2 = sc2T s−1 = mT scT s−1 = mT csT,
así que mT solo depende de la forma λ del tableau T : se puede escribir c2T = mλcT .
Como el coeficiente de 1 en cT es 1, el coeficiente de c2T respecto de la base usual de
C[Sn] es mλ . Esto dice que mλ = ∑p,p′,q,q′(−1)qq′ npqp′q′ = 1o es un número entero no
cero.
Ahora bien, el coeficiente de s en scT es 1, para todo s ∈ Sn. Esto muestra que la traza
de ρ(cT ) en la representación regular a derecha del álgebra A = C[Sn] es ∑s∈Sn 1 = n!.
El elemento eT := cT/mλ es idempotente en el álgebra A, es decir, e2T = eT . Luego
ρ(eT ) es idempotente en EndC A y su traza es la dimensión de su imagen A eT = A cT .
En resumen,
tr ρ(eT ) = tr ρ(cT )mλ =
n!
mλ
así que mλ =
n!
dim(A eT )
y en particular mλ es un entero positivo.
Definición 4.15. Para cada partición λ de un entero n fijo, elíjase un tableau estándar T
(por ejemplo, al colocar 1, . . . , n de izquierda a derecha en filas consecutivos.) Sea6
Vλ := C[Sn] eT = C[Sn] cT (4.11)
el ideal a izquierda del álgebra C[Sn] generado por el simetrizador de Young cT . Los Vλ
son Sn-módulos, etiquetadas explícitamente por las particiones λ ` n. ♦
Proposición 4.16. Los ideales a izquierda Vλ dados por (4.11), para λ ` n, son unos
Sn-módulos irreducibles, no isomorfos entre sí; y hasta isomorfismo, no hay otros. La
representación regular a izquierda del grupo Sn se descompone así:
C[Sn] '
⊕
λ`n
Uλ ⊗ Vλ (4.12)
dondeUλ ' HomSn (Vλ,C[Sn]) cumple dimUλ = dimVλ = n!/mλ .
6Hay un procedimiento que define los Vλ de modo más intrínseco, al reemplazar los tableaux por
tabloides: el tabloide {T} es la órbita de T bajo la acción del subgrupo PT . La variante de (4.11) obtenida
de esta manera se llama un módulo de Specht: véase la sección 7.2 del libro de Fulton.
97
MA–729: Teoría de Representaciones 4.2. Los tableaux de Young
Demostración. Escríbase A = C[Sn]. Si e ∈ A es un idempotente, e2 = e, y siV es un A-
módulo cualquiera, defínase ψe : eV → HomA(Ae,V ) por ψe(ex) : ae 7→ ae · ex = aex
para ex ∈ eV , ae ∈ Ae. Es fácil ver que ψe es C-lineal y está bien definida. Como 1 − e
es otro idempotente en A, considérese la suma directa
ψ := ψe ⊕ ψ1−e : V = eV ⊕ (1 − e)V → HomA(Ae ⊕ A(1 − e),V ) = HomA(A,V ) ' V .
Ahora ψ(x)(a) = (ae + a(1− e))(ex + (1− e)x) = aex + a(1− e)x = ax, lo cual implica
que ψ = 1V bajo la identificación HomA(A,V ) ' V . Se concluye que ψe y ψ1−e son
biyecciones; en particular, que Hom(Ae,V ) ' eV como espacios C-vectoriales.
Considérese dos particiones λ, µ ` n con λ > µ. Sean T y R los tableaux estándares
asociados a ellas. Entonces
HomA(Vλ,Vµ) = HomA(AeT, AeR) ' eT AeR = cT AcR ⊆ aT AbR
y el Lema 4.14(a) implica que aT AbR = {0}. Luego HomA(Vλ,Vµ) = {0} también: los
A-módulos Vλ y Vµ no son isomorfos.
En el caso λ = µ, el Lema 4.14(b) implica que
EndA(Vλ) = HomA(AeT, AeT ) ' eT AeT = cT AcT = C cT
así que dimC EndA(Vλ) = 1, lo que significa que el A-módulo Vλ es irreducible.
Se ha construido una familia de representaciones irreducibles inequivalentes de Sn,
de igual número que las clases conjugadas de Sn: por el Corolario 3.24, no hay otras.
Si sT es otro tableau de la misma forma λ, entonces csT = s cT s−1: luego Vλs−1 =
AcsT es un A-módulo isomorfo a Vλ . En otras palabras, la representación regular
a derecha del grupo Sn permuta los Sn-submódulos de C[Sλ] isomorfos a Vλ dentro del
mismo sector isotípico.
La igualdad dimUλ = dλ ≡ dimVλ es la propiedad (3.8) de la representación regular
(a izquierda) del grupo Sn: la multiplicidad dλ del A-submódulo Vλ es igual a su
dimensión. Un argumento alternativo usa la observación al inicio de esta demostración:
Uλ ' HomA(AeT, A) ' eT A = eT C[Sn]; este es un A-módulo a derecha, el cual, por
simetría, es C-linealmente isomorfo a AeT . 
Ejemplo 4.17. La partición λ = (n) tiene un solo tableau estándar N = 1 2 3 · · · n .
Sus subgrupos de permutaciones son PN = Sn y QN = {1}, así que bN = 1 mientras
aN = cN =
∑
p∈Sn p. Nótese que scN = cN para todo s ∈ Sn y por lo tanto V(n) =
C[Sn] cN es unidimensional. Lamisma fórmula scN = cN evidencia que la representación
correspondiente es la representación trivial, pi1 : Sn → EndC V(n) . ♦
98
MA–729: Teoría de Representaciones 4.2. Los tableaux de Young
Ejemplo 4.18. La partición λ = (1n) también tiene un solo tableau estándar M . En este
caso los subgrupos son PM = {1} y QM = Sn, así que aM = 1 mientras bM = cM =∑
q∈Sn (−1)qq. Es inmediato que scM = (−1)scM para todo s ∈ Sn y por tanto V(1n) =
C[Sn] cM es unidimensional; la representación correspondiente es la representación
signo, pi2 : Sn → EndC V(1n) . ♦
Ejemplo 4.19. La partición λ = (n − 1, 1) tiene (n − 1) tableaux estándares; la entrada
única de la segunda fila puede ser 2, 3, . . . , n . Sea T el tableau estándar con segunda
fila n . Entonces PT ' Sn−1 y QT = {1, r} donde r es la transposición (1n). Ahora
cT =
∑
p∈Sn−1(p − pr). Al calcular c2T = mλ cT se obtiene
c2T =
∑
p,p′∈Sn−1
(p − pr)(p′ − p′r) =
∑
p,p′∈Sn−1
(pp′ − pp′r) + (prp′r − prp′). (4.13)
Antes de simplificar esta sumatoria, considérese la representación “usual” pi de Sn sobre
Cn por permutación de la base {e1, e2, . . . , en}. Si p′ ∈ PT es tal que p′ · e1 = e j con
j ∈ {2, . . . , n − 1}, entonces (rp′r − rp′) · en = e j − e1, (rp′r − rp′) · e1 = e1 − e j ,
(rp′r − rp′) · ek = 0 para otros k. Luego, los únicos términos de la segunda suma al
lado derecho de (4.13) que contribuyen a c2T son los que cumplen p
′ · e1 = e1; tales p′
permutan el conjunto {2, . . . , n − 1}, formando así un subgrupo isomorfo a Sn−2.
La primera suma al lado derecho es (n − 1)! cT porque la suma sobre p′ sobrecuenta
el subgrupo PT unas (n − 1)! veces. En la segunda suma, los términos que no cancelan
son también de la forma (pp′− pp′r) con p′ ∈ Sn−2, por lo tanto la segunda suma es igual
a (n − 2)! cT . En fin,
m(n−1,1) = (n − 1)! + (n − 2)! = n(n − 2)! así que dimV(n−1,1) = n!n(n − 2)! = n − 1.
Esta V(n−1,1) se llama la representación estándar de Sn. Resulta ser equivalente a la
subrepresentación de pi sobre el hiperplano V = { x ∈ Cn : x1 + · · · + xn = 0 }. ♦
En el caso n = 3, las tres representaciones anteriores dan todas las representaciones
irreducibles de S3. Las tres particiones (3), (2, 1) y (1, 1, 1) corresponden a los S3-módulos
V(3) ' C (trivial), V(2,1) ' C2 (estándar) y V(1,1,1) ' C (signo).
Lema 4.20. Si T es un tableau de forma λ ` n, sean c′T := bTaT y Wλ := C[Sn]c′T .
Entonces los Sn-módulos Vλ yWλ son isomorfos.
Demostración. Con A = C[Sn], nótese que Vλ = AaTbT y Wλ = AbTaT . Considérese
los operadores de multiplicación a la derecha sobre A dados por x 7→ xaT , y 7→ ybT .
99
MA–729: Teoría de Representaciones 4.3. Polinomios de Schur
Es evidente que (AaTbT )aT ⊆ AbTaT y que (AbTaT )bT ⊆ AaTbT . Además, estas
aplicaciones lineales conmutan con multiplicaciones a la izquierda por elementos de A.
Las restricciones de estos operadores a los subespacios vectoriales respectivos Vλ y Wλ
definen operadores entrelazantes Ra ∈ HomA(Vλ,Wλ) y Rb ∈ HomA(Wλ,Vλ).
Su composición Rb ◦ Ra ∈ EndA(Vλ) = EndA(AcT ) está dada por multiplicación a
derecha por cT , la cual es el operador escalar no nulo x 7→ mλ x, porque c2T = mλcT .
Luego Ra es biyectivo, con inverso R−1a = (1/mλ)Rb; y por ende Ra es un isomorfismo
de A-módulos entre Vλ yWλ . 
4.3 Polinomios de Schur
La literatura sobre las representaciones de Sn es muy extenso. Para analizar las rep-
resentaciones en detalle, se requiere una fuerte dosis de análisis combinatorio. Se
recomienda la lectura de los dos libros de Fulton y los libros de Procesi y de Simon
citados en la bibliografía para examinar este asunto en más detalle. A continuación, se
enuncian – sin demostraciones – algunos teoremas relevantes.
Proposición 4.21. El grado dλ = dimVλ de la representación irreducible de Sn que
corresponde a la partición λ ` n está dado por
dλ =
n!∏
c hc
(4.14)
donde cada c denota una casilla del diagrama de Young para λ y hc es la longitud del
gancho de c, es decir, el número de casillas a la derecha y por debajo de c, incluyendo
la propia c. 
Tómese, por ejemplo, la partición λ = (4, 3, 2) ` 9; se muestra el diagrama de Young
correspondiente y un relleno (que no es un tableau) donde en cada casilla c se coloca el
número hc correspondiente:
• • •
•
•
6 5 3 1
4 3 1
2 1
El gancho para la casilla c = (1, 2) queda ilustrado; se ve que h(2,1) = 5 en este caso. La
fórmula de dimensiones muestra que
d(4,3,2) =
9!
6 · 5 · 4 · 32 · 2 · 13 =
9 · 8 · 7
3
= 168.
Lema 4.22. La dimensión dλ = dimVλ coincide con el número de tableaux estándares
de la forma λ. 
100
MA–729: Teoría de Representaciones 4.3. Polinomios de Schur
Por ejemplo, hay dos tableaux estándares de la forma (2, 1):
T = 1 23 y R =
1 3
2
y la fórmula d(2,1) = 3!/(3 · 12) = 2 asegura que no hay otros. (Es inmediato, por
inspección, que los otros 4 tableaux de esta forma no son estándares.) El sumando
correspondiente de C[S3] en la descomposición (4.12) es
U(2,1) ⊗ V(2,1) ' C2 ⊗ V(2,1) = C[S3] cT ⊕ C[S3] cR .
Corolario 4.23. Las dimensiones dλ = dimVλ cumplen
∑
λ`n
d2λ = n! . 
I Hay una famosa fórmula, descubierta por Frobenius, que describe completamente
el carácter de la representación irreducible piλ : Sn → GL(Vλ). Su expresión involucra
ciertos polinomios simétricos y alternantes de varias variables. Es oportuno hacer una
pausa para examinar algunas propiedades de estos polinomios.
Definición 4.24. Un elemento p ∈ F[x1, x2, . . . , xm] es un polinomio simétrico de
m variables si
p(xσ(1), xσ(2), . . . , xσ(m)) = p(x1, x2, . . . , xm) para todo σ ∈ Sm .
Las sumas de potencias pk(x1, . . . , xm) := xk1 + · · · + xkm son simétricos (y además
homogéneas de grado k).
Se definen otras dos familias de polinomios simétricos homogéneas mediante fun-
ciones generatrices. Si t es una variable suplementaria, las fórmulas
m∏
i=1
(1 + xit) =: 1 +
m∑
k=1
ektk , (4.15a)
m∏
i=1
1
1 − xit =: 1 +
∞∑
k=1
hktk , (4.15b)
definen los polinomios simétricos elementales ek y los polinomios simétricos com-
pletos hk , ambos de grado k (con k 6 m en el primer caso). Explícitamente, al abreviar
x = (x1, . . . , xm):
ek(x) =
∑
16i1<···<ik6m
xi1 xi2 · · · xik , hk(x) =
∑
16i16···6ik6m
xi1 xi2 · · · xik . ♦
101
MA–729: Teoría de Representaciones 4.3. Polinomios de Schur
Por ejemplo, si m = 3, se ve que
e1(x) = x1 + x2 + x3, e2(x) = x1x2 + x1x3 + x2x3, e3(x) = x1x2x3,
mientras
h1(x) = x1 + x2 + x3, h2(x) = x21 + x1x2 + x1x3 + x22 + x2x3 + x23.
Fíjese que h2 = e21 − e2 y que e2 = h21 − h2. En general, un polinomio en los hk puede
expresarse como un polinomio en los ek y viceversa.
Un teorema conocido de álgebra polinomial dice que cualquier polinomio simétrico
es un polinomio en los ek y que éstos son algebraicamente independientes.7 En símbolos:
F[x1, . . . , xm]Sm = F[e1, . . . , em].
Un elemento q ∈ F[x1, . . . , xm] es un polinomio alternante de m variables si
q(xσ(1), xσ(2), . . . , xσ(m)) = (−1)σq(x1, x2, . . . , xm) para todo σ ∈ Sm .
Al sustituir x j por xi en q(x), se obtiene q(x1, . . . , x j, . . . , x j, . . . , xm) = 0 porque la
transposición (i j) cambia su signo pero lo deja igual. Luego, (xi − x j) divide q(x), toda
vez que i , j en {1, . . . ,m}. Un ejemplo de un polinomio alternante es el determinante
de Vandermonde:
∆(x) :=

xm−11 . . . x
2
1 x1 1
xm−12 . . . x
2
2 x2 1
xm−13 . . . x
2
3 x3 1
...
. . .
...
...
...
xm−1m . . . x2m xm 1

=
∏
16i< j6m
(xi − x j).
(El intercambio de dos filas de esta matriz cambia el signo del determinante.) Por lo
dicho anteriormente, ∆(x) divide q(x), así que q(x) = ∆(x) p(x); y el cociente p(x) es
obviamente un polinomio simétrico de m variables.
I Considérese el monomio xλ11 x
λ2
2 . . . x
λm
m y sus imágenes bajo permutaciones de las
variables; sin perder generalidad, se puede suponer que λ1 > λ2 > · · · > λm > 0. Si
algún λi = λi+1, el polinomio alternante generado por este monomio es nulo.
Nótese que λ = (λ1, λ2, . . . , λm) es una partición de n, donde n = λ1 + · · · + λm.
Para poder tratar con n fijo, se permite rellenar las partes de una partición con ceros.
7Véase, por ejemplo, el Teorema 2.20 del libro: Nathan Jacobson, Basic Algebra I, Dover, Mineola,
NY, 1985.
102
MA–729: Teoría de Representaciones 4.3. Polinomios de Schur
Así, por ejemplo, se escribe las particiones de 3 como (3, 0, 0), (2, 1, 0), (1, 1, 1) en orden
lexicográfico. El número de partes positivas, `(λ) 6 m, se llama la longitud de la
partición λ; este es el número de filas en el diagrama de Young correspondiente.
Para obtener exponentes distintos en monomios, se puede modificar λ al sumarle la
sucesión fija ρ := (m − 1,m − 2, . . . , 2, 1, 0) ∈ Nm. La correspondencia
λ = (λ1, λ2, . . . , λm)←→ λ + ρ = (λ1 + m − 1, λ2 + m − 2, . . . , λm)
es una biyección entre sucesiones decrecientes λ ∈ Nm y sucesiones estrictamente
decrecientes λ + ρ ∈ Nm.
Escríbase l j := λ j+m− j, de modo que λ+ ρ = (l1, . . . , lm). Entonces los polinomios
Aλ+ρ(x) :=
∑
σ∈Sm
(−1)σxl1
σ(1)x
l2
σ(2) . . . x
lm
σ(m) = det

xl ji

forman una base vectorial de los polinomios alternantes de m variables.8 Fíjese que
Aλ+ρ(x) es un polinomio homogéneo, de grado n + 12 (m2 − m).
Definición 4.25. Si λ = (λ1, . . . , λm) ` n es una partición de n con n > m, el polinomio
de Schur sλ se define como
sλ(x) := Aλ+ρ(x)
∆(x) , (4.16)
el cual es un polinomio simétrico y homogéneo de grado n. De las consideraciones
anteriores, se ve que { sλ : λ ` n, `(λ) 6 m } es una base vectorial para los polinomios
simétricos homogéneos de grado n en m variables. ♦
Nótese que Aρ(x) = ∆(x), así que s0(x) ≡ 1: La “partición” nula 0 = (0, . . . , 0) ∈ Nm,
de longitud cero, corresponde con un polinomio constante, de grado cero.
Vale la pena examinar el efecto de colocar xm = 0 en (4.16). Si λm > 0, defínase
µ = (λ1 − 1, . . . , λm − 1) = λ − (1m); entonces Aλ+ρ(x) = x1 · · · xm Aµ+ρ(x) y por ende
sλ(x) = x1 · · · xm sµ(x). Luego sλ(x1, . . . , xm−1, 0) = 0.
Si λm = 0, de modo que `(λ) 6 m − 1, es fácil comprobar que
Aλ+ρ(x1, . . . , xm−1, 0) = x1 · · · xm−1 Aλ+ρ(x1, . . . , xm−1),
y también ∆(x1, . . . , xm−1, 0) = x1 · · · xm−1 ∆(x1, . . . , xm−1) en el caso λ = 0. En conse-
cuencia,
sλ(x1, . . . , xm−1, 0) = sλ(x1, . . . , xm−1) toda vez que λm = 0.
8De hecho, al reemplazar el anillo de coeficientes F porZ, esta es una base integral para los polinomios
alternantes con coeficientes enteros.
103
MA–729: Teoría de Representaciones 4.3. Polinomios de Schur
La conclusión es que sλ(x1, . . . , xm) = 0 si m < `(λ), mientras que sλ(x1, . . . , xm) no
depende del número de variables m toda vez que m > `(λ). Por esta razón, se puede
considerar sλ como un polinomio simétrico en una cantidad infinita de variables.9
Ejemplo 4.26. Si λ = (1, . . . , 1) = (1n) ` n, entonces l j = n − j + 1 para j = 1, . . . , n y
por ende A(1,...,1)+ρ(x) = x1 · · · xn ∆(x). Es inmediato que
s(1,...,1)(x) = x1 · · · xn = en(x), donde x = (x1, . . . , xn).
Es posible mostrar, por un cálculo combinatorio, que a la partición dual λ′ = (n) le
corresponde el polinomio simétrico completo: s(n)(x) = hn(x). ♦
Ejemplo 4.27. Algunos polinomios de Schur se obtienen por cálculo directo. Por
ejemplo, para la partición λ = (2, 1) ≡ (2, 1, 0) ` 3 se calcula, con ∆ = ∆(x1, x2, x3) =
(x1 − x2)(x1 − x3)(x2 − x3), por expansión en la última fila:
s(2,1)(x1, x2, x3) = 1
∆

x41 x
2
1 1
x42 x
2
2 1
x43 x
2
3 1
 =
1
∆
x
4
1 − x43 x21 − x23
x42 − x43 x22 − x23

=
(x21 − x23)(x22 − x23)
∆
x
2
1 + x
2
3 1
x22 + x
2
3 1
 = (x1 + x3)(x2 + x3)x1 − x2 (x21 − x22)
= (x1 + x2)(x1 + x3)(x2 + x3).
Se verifica directamente que s(2,1) = e1e2 − e3 .
Fíjese que s(2,1)(x1, x2) = 1x1 − x2
x
3
1 x1
x32 x2
 = x1x2(x1 + x2) = s(2,1,0)(x1, x2, 0). ♦
I Cabe recordar que la clase conjugada de s ∈ Sn se identifica por el número y la cantidad
de sus ciclos. Si s es el producto de m1 elementos fijos (1-ciclos), m2 transposiciones
(2-ciclos), m3 3-ciclos, etc., hasta mr r-ciclos, entonces m1 + 2m2 + · · · + rmr = n.
La partición correspondiente es µ = (rmr , . . . , 2m2, 1m1), donde se omiten términos con
mk = 0. La cardinalidad de esta clase conjugada Cµ es el índice [Sn : ZSn (s)] donde el
centralizador ZSn (s) es el subgrupo { p ∈ Sn : psp−1 = s }. Tales elementos p permutan
ciclos de la misma longitud y además permutan cíclicamente los índices de cada ciclo
individual:
ZSn (s) ' Sm1 × · · · × Smr × Cm11 × · · · × Cmrr ; y |Cµ | =
n!
1m1m1!2m2m2! · · · rmrmr! .
9De manera menos informal, se define Λm := Z[x1, . . . , xm]Sm , el anillo de polinomios simétricos en
m variables; y se considera el homomorfismo φm : Λm → Λm−1 dado por evaluación en xm = 0. Los sλ
(sin restricción sobre λ) pertenecen al límite proyectivo Λ := lim←− Λ
m y forman una base integral para Λ.
104
MA–729: Teoría de Representaciones 4.3. Polinomios de Schur
Para cada partición λ ` n, sea χλ el carácter del Sn-módulo irreducible Vλ . Si µ ` n
es otra partición, sea χλ(µ) := χλ(s) para cada s ∈ Cµ.
Si µ = (µ1, · · · , µm), sea pµ(x) := pµ1(x) · · · pµm (x) una suma de potencias genera-
lizada, donde pk(x) = xk1 + · · · + xkn para k ∈ N. Cada pµ(x) es un polinomio simétrico
homogéneo de grado n en las variables x = (x1, . . . , xn).
De manera análoga, al escribir µ = (rmr , . . . , 2m2, 1m1), se define el polinomio
simétrico completo generalizado hµ(x) := h1(x)m1 · · · hr(x)mr .
Teorema 4.28 (Fórmula de caracteres de Frobenius). Las entradas χλ(µ) de la tabla de
caracteres de Sn son los coeficientes del polinomio simétrico pµ(x) con respecto de la
base de los polinomios de Schur de grado homogéneo n:
pµ(x) =
∑
λ`n
χλ(µ) sλ(x). (4.17)
Alternativamente, χλ(µ) es el coeficiente de xλ+ρ = x`11 · · · x`nn en el polinomio alternante
∆(x) pµ(x). 
Aquí se omite la demostración de este teorema, incluyendo la equivalencia de las dos
recetas para los coeficientes χλ(µ). El lector puede consultar el libro de Fulton y Harris,
sección 4.3 y apéndice A; o bien el libro de Procesi, sección 9.4.1. Para demostrar (4.17)
o alguna fórmula equivalente, es necesario hacer un estudio detallado de las propiedades
de polinomios simétricos e identidades combinatorias entre ellos.
I En el estudio del grupo Sn se destacan ciertas representaciones reducibles obtenidas
por inducción desde sus subgrupos. Conviene identificar el grupo Sn−1 con el subgrupo
de las permutaciones en Sn que dejan n fijo:
Sn−1 ' { g ∈ Sn : g(n) = n }.
Más generalmente, si λ ` n, sea Sλ := Sλ1 × · · · × Sλm el subgrupo de Sn que deja
invariante las partes {1, . . . , λ1}, {λ1+1, . . . , λ1+λ2}, . . . , de {1, . . . , n}. En particular,
la identificación anterior dice que Sn−1 ' S(n−1,1).
Sea σλ : Sn → GL(Yλ) la representación inducida por la representación trivial del
subgrupo Sλ . Si T es un tableau de forma λ, el subgrupo Sλ coincide con el grupo PT .
En vista de (4.10), que dice que paT = aT para p ∈ Sλ , resulta que el espacio de la
representación inducida puede ser realizada como Yλ = C[Sn]aT . (En otras palabras,
con A = C[Sn] como antes,Yλ es el A-módulo AaT .) En efecto, solo es necesario observar
que el espacio vectorial A aT tiene una base {s1aT, . . . , skaT } donde {s1PT, . . . , skPT }
es una enumeración de las coclases en Sn/PT .
105
MA–729: Teoría de Representaciones 4.3. Polinomios de Schur
Fíjese que la multiplicación a la derecha y 7→ ybT es un homomorfismo sobreyectivo
de Sn-módulos de AaT en AaTbT , es decir, de Yλ en Vλ; a la vez que el isomorfismo del
Lema 4.20 da una inyección AaTbT ' AbTaT ⊆ AaT , es decir, Vλ ' Wλ ↪→ Yλ . Esto
implica que hay una descomposición Yλ ' Vλ ⊕ Z como suma directa de Sn-módulos.
En consecuencia, Yλ es reducible y Vλ es uno de sus componentes irreducibles.
Es una consecuencia del Lema 4.14 que Vµ no es un componente de Yλ si λ > µ;
y además, el componente Vλ aparece en la descomposición de Yλ una sola vez. Esto
conduce a la fórmula
Yλ ' Vλ ⊕
⊕
ν>λ
kν,λVν para ciertos kν,λ ∈ N. (4.18)
Los coeficientes de esta descomposición se llaman números de Kostka (se define
kλ,λ := 1). Ellos aparecen en las siguientes fórmulas de transformación de polinomios
simétricos:10
hλ(x) = sλ(x) +
∑
ν>λ
kν,λ sν(x), (4.19a)
sλ(x) = mλ(x) +
∑
µ<λ
kλ,µ mµ(x), (4.19b)
donde lospolinomios simétricosmonomiales se definen comomλ(x) := ∑α xα11 · · · xαnn ,
donde (α1, . . . , αn) recorre las permutaciones distintas de (λ1, . . . , λn).
Por ejemplo, si x = (x1, x2, x3):
m(2,1)(x) = x21x2 + x21x3 + x1x22 + x1x23 + x22x3 + x2x23 ,
s(2,1)(x) = x21x2 + x21x3 + x1x22 + 2x1x2x3 + x1x23 + x22x3 + x2x23 .
Como los kλ,µ son enteros no negativos, la fórmula (4.19b) evidencia que los coeficientes
de cada polinomio de Schur sλ(x) son enteros no negativos también.
Un caso particular importante de la descomposición es el caso λ = (n − 1, 1), donde
Y(n−1,1) ' V(n−1,1) ⊕ V(n) .
Del Ejemplo 4.19 se sabe queV(n−1,1) es la representación estándar de Sn, cuya dimensión
es n − 1. La dimensión de la representación inducida Y(n−1,1) es el índice [Sn : Sn−1] = n.
Luego el número de copias de la representación trivial V(n) en esta descomposición es 1;
10Véase el apéndice A del libro de Fulton y Harris para el papel de los números de Kostka en el manejo
de los polinomios simétricos; y el capítulo 2 del libro de Fulton, Young Tableaux, para una interpretación
combinatoria en términos de diagramas de Young.
106
MA–729: Teoría de Representaciones 4.4. Representaciones de GL(m,C)
lo cual implica que k(n),(n−1,1) = 1. Ahora, la estructura de una representación inducida, a
partir de la fórmula (3.24), muestra que Y(n−1,1) ' Cn donde Sn actúa por permutación de
las coordenadas. El complemento de la recta diagonal de Cn, la cual es el Sn-submódulo
trivial, es el hiperplano x1 + · · ·+ xn = 0. Se ha comprobado, entonces, que la acción de
Sn sobre este hiperplano no es otra cosa que la representación estándar V(n−1,1) .
4.4 Representaciones de GL(m,C)
El grupo de matrices invertibles complejas GL(m,C) no es un grupo finito; un estudio
completo de sus representaciones requiere ciertos prolegómenos sobre grupos de Lie,
o bien sobre grupos algebraicos. Sin embargo, el teorema de Schur y Weyl pone en
evidencia una familia de representaciones irreducibles de este grupo, una para cada
partición λ ` n. Vale la pena examinar el aporte del grupo finito Sn a la estructura de
estas representaciones.
Definición 4.29. Sea V un espacio C-vectorial de dimensión finita m. Considérese la
descomposición (4.3) del producto tensorial V⊗n de n copias de V bajo las acciones
(4.6) de los grupos Sn y G = GL(m,C). Estas acciones se extienden linealmente a
representaciones de álgebras A ' C[Sn] y B tales que A′ = B y B′ = A por el Teorema 4.7
de Schur y Weyl. La descomposición referida entonces toma la forma:
V⊗n '
⊕
λ`n
Sλ(V ) ⊗ Vλ (4.20)
donde los Vλ son todos los Sn-módulos irreducibles; y cada Sλ(V ) := HomA(Vλ,V⊗n) es
un G-módulo irreducible, de dimensión finita, en vista de la Proposición 4.5.
Los G-módulos Sλ(V ) se llaman módulos de Weyl. La descomposición (4.20)
entonces dice queV⊗n es una suma directa de tales módulos deWeyl, conmultiplicidades
respectivas dimVλ . ♦
El teorema de Schur y Weyl también asegura que Vλ ' HomB(Sλ(V ),V⊗n) como
espacios C-vectoriales.
Si W es otro espacio C-vectorial finitodimensional y si R ∈ HomC(V,W ), entonces
R⊗n : V⊗n → W⊗n es una aplicación lineal que entrelaza las dos representaciones de Sn
y define, por restricción, una familia de aplicaciones lineales Sλ(R) : Sλ(V ) → Sλ(W ).
Es fácil chequear que las correspondencias V 7→ Sλ(V ), R 7→ Sλ(R), definen un funtor
sobre la categoría de espacios C-vectoriales finitodimensionales. Estos Sλ , para λ ` n,
se llaman funtores de Schur.
107
MA–729: Teoría de Representaciones 4.4. Representaciones de GL(m,C)
I Para cada λ ` n, elíjase un tableau estándar fijo T : por ejemplo, T podría ser el
tableau que rellena el diagrama de Young para λ con los números 1, 2, . . . , n en orden de
izquierda a derecha en cada fila, y en las filas sucesivas de arriba para abajo. Denótese
por cλ := cT el simetrizador de Weyl para el tableau elegido. De la discusión después
del Lema 4.14, se ve que los elementos { cλ/mλ : λ ` n } es una familia de idempotentes
ortogonales en A, con Vλ ' Acλ .
De la demostración del Teorema 4.7, se nota que la acción de Sn sobre la base vectorial
{ eI : I ∈ [m]n } está dada por s · eI = es·I . Esta acción se extiende por linealidad a la
acción de A = C[Sn] sobre V⊗n. De ahí resulta que, para cada λ,
Sλ(V ) = cλ · V⊗n como G-submódulo de V⊗n. (4.21)
Ejemplo 4.30. La partición λ = (n) determina el Sn-módulo trivial V(n) = Ac(n) ' C con
c(n) =
∑
p∈Sn p. Esta suma de permutaciones actúa sobre V
(n) como el simetrizador
x1 ⊗ · · · ⊗ xn 7−→
∑
p∈Sn
xp−1(1) ⊗ · · · ⊗ xp−1(n) = n!(x1 ∨ · · · ∨ xn).
Su imagen es la potencia simétrica SnV , vista como subespacio de V⊗n. Es decir,
S(n)(V ) = SnV . En conclusión: si dimV = m, el espacio vectorial SnV es un GL(m,C)-
módulo irreducible, para cada n ∈ N. ♦
Ejemplo 4.31. La partición λ = (1n) corresponde con V(1n) = Ac(1n) ' C donde
c(1n) =
∑
q∈Sn (−1)qq actúa como el antisimetrizador
x1 ⊗ · · · ⊗ xn 7−→
∑
q∈Sn
(−1)qxq−1(1) ⊗ · · · ⊗ xq−1(n) = n!(x1 ∧ · · · ∧ xn).
Su imagen es la potencia exterior ΛnV , vista como subespacio de V⊗n. Se concluye cada
ΛnV , para n = 0, 1, . . . , dimV , es un GLC(V )-módulo irreducible. ♦
Si n = 2, no hay otros GLC(V )-módulos irreducibles: V ⊗ V ' S2V ⊕ Λ2V es un
caso particular de (4.20). Para n = 3, la descomposición toma la forma:
V ⊗ V ⊗ V ' S3V ⊕ S(2,1)(V ) ⊗ C2
 ⊕ Λ3V .
Para λ = (2, 1), sea T = 1 23 el tableau estándar preferido. Entonces aT = 1 + (12) y
bT = 1 − (13), así que
c(2,1) = 1 + (12) − (13) − (132) ∈ C[S3].
En tal caso, S(2,1)(V ) es el subespacio de V⊗3 generado por trivectores de la forma
c(2,1) · (x ⊗ x ⊗ x). Su dimensión es (m3 − m)/3.
108
MA–729: Teoría de Representaciones 4.4. Representaciones de GL(m,C)
I Sea ψλ el carácter de la representación σλ de GL(m,C) sobre Sλ(V ). Este carácter es
una función de clase sobre GL(m,C). Cabe recordar que las clases conjugadas de este
grupo son las clases de semejanza de las matrices invertibles. Dada g ∈ G = GL(m,C),
hay un elemento h ∈ G tal que la matriz hgh−1 tenga la forma normal de Jordan, con
los autovalores de g en la diagonal y entradas 0 o 1 en la subdiagonal superior. La traza
tr(g) = tr(hgh−1) depende solamente de los autovalores de g (porque es su suma).
De igual manera, el carácter de la representación (4.6a) de G sobre V⊗n – y también
de cada una de sus subrepresentaciones σλ – es un polinomio en las entradas de G; por
continuidad, este polinomio queda determinado por sus valores para g diagonalizable;
y por invariancia de la traza bajo semejanza, está determinado por sus valores para
g diagonal. En resumen, cada carácter ψλ es un polinomio en los autovalores de g.
Denótese los autovalores de g por x = (x1, . . . , xm) ∈ Cm. Se requiere hallar el
polinomio ψλ(x).
Ejemplo 4.32. Considérese el caso λ = (1n) donde Sλ(V ) = ΛnV . Obviamente,
ΛnV = {0} si n > m. Para n 6 m, un vector básico en ΛnV es ei1 ∧ · · · ∧ ein donde
1 6 i1 < · · · < in 6 m. Si g = diag[x1, . . . , xm], el autovalor correspondiente de
Λng = σ(1n)(g) es el monomio xi1 · · · xin . Luego, el carácter de ΛnV es el polinomio
simétrico elemental:
ψ(1n)(x) = tr[Λng] =
∑
16i1<···<in6m
xi1 xi2 · · · xin = en(x).
En el caso opuesto de λ = (n), dondeSλ(V ) = SnV , con vectores básicos ei1∨· · ·∨ein
donde 1 6 i1 6 · · · 6 in 6 m, el carácter de SnV es el polinomio simétrico completo:
ψ(n)(x) = tr[Sng] =
∑
16i16···6in6m
xi1 xi2 · · · xin = hn(x). ♦
Considérese las acciones (4.6) de G = GL(m,C) y Sn sobre V⊗n. Según (4.21), se
puede realizar el módulo de Weyl como el G-submódulo Sλ(V ) = cλ · V⊗n.
Si λ = (λ1, . . . , λk), su diagrama de Young tiene k filas; si T es el tableau estándar
preferido de forma λ, entonces cλ = cT = aTbT . En el caso k > m, la acción de bT sobre
un tensor simple cualquiera de V⊗n es nula:
bT · (v1 ⊗ · · · ⊗ vn) = k!(v1 ∧ · · · ∧ vk) ⊗ · · · = 0
pues v1 ∧ · · · ∧ vk = 0 en ΛkV porque v1, . . . , vk son linealmente dependientes. Luego
Sλ(V ) = {0} si λ tiene más que m filas.
109
MA–729: Teoría de Representaciones 4.4. Representaciones de GL(m,C)
Ahora supóngase que k 6 m. Dada una base {e1, . . . , em} de V , considérese el
multivector
wT := (e1 ⊗ · · · ⊗ ek) ⊗ (e1 ⊗ · · · ⊗ el) ⊗ · · · ⊗ (e1 ⊗ · · · ⊗ er) ∈ V⊗n,
donde (k, l, . . . , r) = λ′ es la partición dual de λ. Nótese que k > l > · · · > r porque
estos índices enumeran las columnas del diagrama de Young de λ. Ahora la acción de bT
antisimetriza las columnas de T ; por lo tanto,
bT · wT = k!l! · · · r! (e1 ∧ · · · ∧ ek) ⊗ (e1 ∧ · · · ∧ el) ⊗ · · · ⊗ (e1 ∧ · · · ∧ er).
entonces bT · wT , 0 y luego aTbT · wT , 0 porque aT simetriza los tensores simples al
lado derecho. Se ha comprobado que Sλ(V ) , {0} si y solo si k 6 m.
Proposición 4.33. Sea V un espacio C-vectorial de dimensión n y sea λ ` n una
partición cuyo diagrama de Young tiene a lo sumo m filas. Entonces el carácter del
GL(m,C)-módulo Sλ(V ) está dado por el polinomio de Schur sλ(x1, . . . , xm).
Demostración. Conviene reescribir la representación (4.6b) de Sn sobre V⊗n como una
acción a derecha:
(x1 ⊗ x2 ⊗ · · · ⊗ xn) / s := xs(1) ⊗ xs(2) ⊗ · · · ⊗ xs(n) .
Con A = C[Sn] y B = A′ el álgebra generado por la acción a izquierda deG = GL(m,C),
el espacio vectorial V⊗n es un B-A-bimódulo según la Definición 3.39. Al reescribir
(4.21) como Sλ(V ) = V⊗n / cλ y al recordar que Vλ = Acλ , se concluye que hay un
isomorfismo de G-módulos a izquierda:
Sλ(V ) ' V⊗n ⊗A Vλ ,
donde se usa el producto tensorial sobre A de la Definición 3.40.
La factorización cλ = aTbT sugiere considerar el G-módulo aT · V⊗n = V⊗n / aT en
conexión con el A-módulo (a izquierda) Yλ = AaT . La acción de aT =
∑
p∈PT p sobre
V⊗n permuta los índices de las filas de T independientemente. Este G-módulo entonces
se presenta como
Sλ1V ⊗ Sλ2V ⊗ · · · ⊗ SλkV ' V⊗n ⊗A Yλ ;
al lado izquierdo, cada ⊗ significa un producto tensorial de espacios C-vectoriales.
Según el Ejemplo 4.32, el carácter de este G-módulo es hλ(x) = hλ1(x) · · · hλk (x).
Ahora, Yλ se descompone según (4.18) en A-submódulos irreducibles; al formar el
producto tensorial de V⊗n sobre A con ambos lados, se obtiene
Sλ1V ⊗ Sλ2V ⊗ · · · ⊗ SλkV ' Sλ(V ) ⊕
⊕
ν>λ
kν,λ Sν(V ). (4.22)
110
MA–729: Teoría de Representaciones 4.5. Ejercicios sobre representaciones de Sn
Al tomar caracteres de ambos lados, notando que este proceso convierte sumas directas
de G-módulos en sumas de funciones, se obtiene
hλ(x) = ψλ(x) +
∑
ν>λ
kν,λ ψν(x).
Por otro lado, la misma fórmula (4.19a) expresa hλ en términos de los polinomios de
Schur. Como los números de Kostka kν,λ forman una matriz triangular unipotente (es
decir, todas sus entradas diagonales son iguales a 1), esta matriz es invertible (con inverso
triangular unipotente). Por lo tanto, el sistema lineal (4.19a) tiene una solución única.
La conclusión es que ψλ(x) = sλ(x) para cualquier λ tal que Sλ(V ) , {0}. 
Esta Proposición 4.33, que describe concretamente los caracteres de una serie de
representaciones irreducibles deGL(m,C), es una instancia de una familia de fórmulas de
caracteres obtenidas por Hermann Weyl alrededor de 1925. Las otras son fórmulas para
caracteres de grupos de Lie compactos, fuera del alcance de este curso. El aspecto general
de estas fórmulas es un cociente de dos expresiones antisimétricas, que generalizan la
fórmula (4.16) – debido originalmente a Jacobi – para los polinomios de Schur.
4.5 Ejercicios sobre representaciones de Sn
A continuación, λ y µ son particiones de n; T y R son tableaux de Young de formas λ
y µ respectivamente. Se escribe λ > µ si λ mayoriza µ en orden lexicográfico. La
partición dual a λ es λ′. Las representaciones piλ : Sn → EndC(Vλ) son las irreducibles
de Sn; la representación signo es ε : Sn → C, en el caso λ = (1n). El simetrizador de
Young para T es cT = aTbT en el álgebra A = C[Sn].
Ejercicio 4.1. Se escribe λ D µ (el orden parcial de dominancia) si11
λ1 + · · · + λ j > µ1 + · · · + µ j para j = 1, 2, . . .
(a) Calcular las relaciones D entre todas las particiones para n = 6, mostrando así que
este orden parcial generalmente no es total.
(b) Demostrar que λ D µ implica λ > µ y µ′ > λ′.
(c) Comprobar que la implicación inversa de (b) no es válida, al examinar λ = (6, 3, 3)
y µ = (5, 5, 1, 1) para n = 12.
11Se identifica λ = (λ1, . . . , λk )↔ (λ1, . . . , λk, 0, . . . , 0) si fuera necesario.
111
MA–729: Teoría de Representaciones 4.5. Ejercicios sobre representaciones de Sn
Ejercicio 4.2. Para λ ` n dado, úsase el tableau estándar T de forma λ con 1, 2, . . . , n en
orden creciente en cada fila, y luego en las filas sucesivas de arriba para abajo.
Calcular los simetrizadores de Young correspondientes cT ∈ C[S4] para cada λ ` 4.
Ejercicio 4.3. Se sabe que dλ = dimVλ es el número de tableaux estándar de forma λ.
Exhibir todos los tableaux estándares para n = 5 y obtener así los grados de todas las
representaciones irreducibles de S5 .
Ejercicio 4.4. Sea α el automorfismo del álgebra A determinado por α(s) := (−1)s s
para s ∈ Sn. Si pi es una representación cualquiera de Sn, comprobar que pi ◦ α ∼ pi ⊗ ε.
Demostrar que piλ ′ ∼ piλ ⊗ ε para cada λ ` n. n Indicación: usar el Lema 4.20, el
cual dice que si A = C[Sn], entonces AaTbT ' AbTaT como Sn-módulos. o
Ejercicio 4.5. La fórmula c2T = mλ cT demanda que mλ , 0. Mostrar que efectivamente
c2T , 0, al verificar que a 7→ cTa no es un operador nilpotente sobre A = C[Sn].
n Indicación: Si este operador fuera nilpotente, su traza sería 0. Comprobar que, por
el contrario, su traza es n! con el uso de la representación regular de Sn. o
Ejercicio 4.6. (a) Comprobar que bRAaT = 0 si λ > µ; y que bT AaT ' C cT .
(b) Demostrar que Vλ = AcT es un Sn-submódulo de Yλ = AaT con multiplicidad 1; y
que Vµ = AcR es un Sn-submódulo de Yλ si y solo si λ 6 µ.
Ejercicio 4.7. Al tomar m = 3, x = (x, y, z), el polinomio simétrico monomial mλ(x) es
la suma del monomio xλ1 yλ2 zλ3 y sus permutaciones.
(a) Expresar m(3)(x), m(2,1)(x) y m(1,1,1)(x):
(i) en términos de e1(x), e2(x), e3(x);
(ii) en términos de h1(x), h2(x), h3(x);
(iii) en términos de p1(x), p2(x), p3(x).
(b) Expresar e3(x), h3(x), y p3(x) como combinaciones lineales de m(3)(x), m(2,1)(x)
y m(1,1,1)(x).
Ejercicio 4.8. Se puede definir los polinomios simétricos elementales y completos
mediante sus funciones generatrices con una variable auxiliar t:
E(t) ≡
m∏
j=1
(1 + x jt) =: 1 +
m∑
k=1
ek(x) tk, H(t) ≡
m∏
j=1
1
1 − x jt =: 1 +
∞∑
k=1
hk(x) tk .
Mostrar que ek(1, 1, . . . , 1) = mk 
 y hk(1, 1, . . . , 1) = m+k−1k 
. Con base en este cálculo,
obtener las dimensiones de los espacios vectoriales Λk(Cm) y Sk(Cm).
112
MA–729: Teoría de Representaciones 4.5. Ejercicios sobre representaciones de Sn
Ejercicio 4.9. Si λ = (λ1, . . . , λm) y λ + ρ = (l1, . . . , lm) con l j := λ j + m − j para
j = 1, . . . ,m, comprobar que
Aλ+ρ(1, x, . . . , xm−1) = ±
∏
16i< j6m
(xli − xl j )
con un signo ± que solo depende de m. Calcular sλ(1, x, . . . , xm−1) para x , 1 y obtener
así la fórmula de dimensión de Weyl:
dimSλ(V ) ≡ sλ(1, 1, . . . , 1) =
∏
16i< j6m
λi − λ j + j − i
j − i .
Ejercicio 4.10. Si V(n−1,1) ' Cn−1 es el espacio de la representación estándar de Sn,
demostrar que hay un isomorfismo de Sn-módulos:
S2V(n−1,1) ' C ⊕ V(n−1,1) ⊕ V(n−2,2) ,
donde el primer sumando es el Sn-módulo trivial, V(n) = C.
Ejercicio 4.11. Para el tableau T = 1 23 y V = Cm, V⊗3 ≡ V ⊗ V ⊗ V , defínase los
operadores AT, BT,CT ∈ EndC(V⊗3) por
AT (u ⊗ v ⊗ w) := 12 (u ⊗ v ⊗ w + v ⊗ u ⊗ w),
BT (u ⊗ v ⊗ w) := 12 (u ⊗ v ⊗ w − w ⊗ v ⊗ u), CT := ATBT .
Para R = 1 32 defínase AR, BR,CR de modo similar:
AR(u ⊗ v ⊗ w) := 12 (u ⊗ v ⊗ w + w ⊗ v ⊗ u),
BR(u ⊗ v ⊗ w) := 12 (u ⊗ v ⊗ w − v ⊗ u ⊗ w), CR := ARBR .
Sean STV := CT (V⊗3) y SRV := CR(V⊗3).
(a) Demostrar que V⊗3 ' S3V ⊕ STV ⊕ SRV ⊕ Λ3V . n Indicación: para comprobar
que STV ∩ SRV = {0}, calcular BT AR y BRAT . o
(b) Obtener la fórmula dim STV = m(m2 − 1)/3.
(c) En el caso m = 2, V = C2, sea Q = 3 12 (un tableau no estándar) y determinar
STC2, SRC2 y SQC2, comprobando que SQC2 ⊂ STC2 ⊕ SRC2.
113
MA–729: Teoría de Representaciones
5 Estructura de álgebras de Lie
Las representaciones de grupos de Lie están determinadas en buena medida por las
acciones correspondientes de su álgebra de Lie. Si G es un grupo de Lie y si g = T1G es
el espacio tangente en 1, un par de vectores x, y ∈ g determinan campos vectoriales X,Y
sobre G que son invariantes por traslaciones a la izquierda h 7→ gh en G. El conmutador
XY − YX es otro campo vectorial invariante cuyo valor en 1 es un vector [x, y] ∈ g que
depende bilinealmente de x, y; de este modo, g es un álgebra de Lie finitodimensional.
Hay grupos de Lie reales y complejos: ellos tienen vecindarios de 1 (y, por traslación,
de cualquier otro punto) homeomorfos a Rn o a Cn, según el caso. Un grupo de Lie real
compacto de dimensión n admite una complexificación a un grupo de Lie complejo de
dimensión n y el mismo proceso es aplicable a algunos grupos de Lie no compactos.
Así, por ejemplo, el grupo de Lie compacto SU(2) y el grupo no compacto SL(2,R)
tiene una complexificación común, SL(2,C). En la dirección inversa, se dice que SU(2)
y SL(2,R) son formas reales de SL(2,C): una forma real compacta y otra no compacta.
Estas ambigüedades quedan suprimidas al considerar solamente el caso compacto de
grupos de Lie reales:1 cada grupo de Lie compacto G tiene una complexificación GC, la
cual es un grupo de Lie complejo cuya forma real compacta es G.
En contraste el caso de grupos de Lie, la complexificación de un álgebra de Lie real
g es un sencillo producto tensorial:
gC := C ⊗R g.
Por ejemplo, si g = su(n), con dimR g = n2 − 1, entonces gC = sl(n,C).
En este capítulo, g denotará una F-álgebra de Lie de dimensión finita, sobre el cuerpo
F = R o C. La consideración del caso real anticipa el eventual estudio de espacios
tangentes en la identidad de grupos de Lie compactos; y es puede pasar al caso complejo
directamente al aplicar el funtor (C ⊗R −). Sin embargo, aquí se adoptará un enfoque
puramente algebraico, para iluminar mejor la estructura propia de las álgebras de Lie.
Por lo tanto, se enfatizará más el caso complejo, F = C.
La teoría estructural de las álgebras de Lie tiene muchas analogías con la de álgebras
asociativas; en particular, hay un contraste marcado entre las álgebras de Lie solubles y
las semisimples, que se abordará en seguida.
1El algoritmo de complexificación para grupos de Lie compactos está basado en un teorema de
dualidad de Tannaka y Kreı˘n: los elementos de matriz de representaciones finitodimensionales de G
forma una biálgebra conmutativa R(G,R), cuyos caracteres reales forman un grupo isomorfo a G. La
complexificaciónGC puede definirse como el grupo de caracteres de la bialgebraR(G,C) de elementos de
matriz complejos. Véase el capítulo 3 del libro: Theodor Bröcker y Tammo tom Dieck, Representations
of Compact Lie Groups, Springer, New York, 1985.
114
MA–729: Teoría de Representaciones 5.1. Álgebras de Lie semisimples
5.1 Álgebras de Lie semisimples
Definición 5.1. Si l es un ideal del álgebra de Lie g, sea [g, l] el subespacio vectorial
de g generado por los elementos [x, y], con x ∈ g, Es fácil comprobar que [g, l] también
es un ideal de g.
(a) Hay una serie decreciente de ideales g(0) := g, g(1) := [g, g], g(2) := [g(1), g(1)],. . . ,
g(k+1) := [g(k), g(k)], etc. Dícese que g es soluble si hay r ∈ N con g(r) = {0}.
(b) Hay otra serie decreciente de ideales g0 := g, g1 := [g, g], g2 := [g, g1],. . . ,
gk+1 := [g, gk], etc. Dícese que g es nilpotente si hay r ∈ N con gr = {0}.
Nótese que g(k) ⊆ gk para cada k. Por lo tanto, un álgebra de Lie nilpotente es soluble. ♦
Ejemplo 5.2. Las matrices triangulares superiores forman un álgebra de Lie soluble:
b+(n,R) := { A ∈ Mn(R) : ai j = 0 si i > j }.
En efecto, se ve enseguida que en este caso g(1) = g1 es la totalidad de matrices
triangulares estrictamente superiores,
n+(n,R) := { A ∈ Mn(R) : ai j = 0 si i > j }.
La formación de conmutadores sucesivos en g1 conducen a matrices triangulares con
varios subdiagonales nulos. De ahí es fácil verificar que n+(n,R) es nilpotente y que
b+(n,R) es soluble. Sin embargo, b+(n,R) no es nilpotente. ♦
Si l es un ideal de g, se demuestra por inducción que l(k) ⊆ g(k) y (g/l)(k) = g(k)/l para
cada k. Se concluye que g es soluble si y solo si l y g/l son ambos solubles. Si k y l son
dos ideales solubles de un álgebra de Lie g, el isomorfismo canónico (k + l)/l ' k/(k∩ l)
evidencia que la suma k + l es otro ideal soluble. Entonces la familia de ideales solubles
de g posee un elemento maximal, que es único: este ideal soluble más grande se llama
el radical de g, denotado por rad g.
Definición 5.3. Un álgebra de Lie se llama semisimple si rad g = {0}. ♦
La solubilidad y la semisimplicidad son propiedades complementarias en el siguiente
sentido. Cualquier álgebra de Lie g tiene un ideal rad g que es soluble; el cociente
g/(rad g) es semisimple. Entonces g es soluble si y solo si rad g = g, mientras g es
semisimple si y solo si rad g = {0}.
Un álgebra de Lie g es simple si no posee ideales no triviales y además no es abeliano:
[g, g] , 0. En este caso, desde luego, vale [g, g] = g. Como resultado, la serie de ideales
g(k) es constante (todos coinciden con g) y por lo tanto rad g = {0}: un álgebra de Lie
simple es también semisimple.
115
MA–729: Teoría de Representaciones 5.1. Álgebras de Lie semisimples
I Cartan descubrió unamanera práctica de determinar si un álgebra de Lie es semisimple
o no.2 La semisimplicidad es equivalente a la no degeneración de una forma bilineal
especial.3
Definición 5.4. Sea g una F-álgebra de Lie finitodimensional. La aplicación adjunta
ad: g → glF (g) definida por ad x(y) := [x, y] es una representación de álgebras de Lie,
porque ad([x, y]) = [ad x, ad y] para x, y ∈ g, en vista de la identidad de Jacobi:
[[x, y], z] = [x, [y, z]] − [y, [x, z]] para todo x, y, z ∈ g.
La forma de Killing sobre g es la forma bilineal simétrica
〈x, y〉 := tr(ad x)(ad y). (5.1)
La forma de Killing es asociativa en el siguiente sentido:
〈[x, y] , z〉 = 〈x, [y, z]〉 para todo x, y, z ∈ g, (5.2)
porque los dos lados coinciden con tr
(ad x)(ad y)(ad z) − tr(ad z)(ad y)(ad x). ♦
La estructura de las álgebras de Lie está basada en tres teoremas clásicos, que se
enuncian a continuación, sin demostraciones.4 El teorema de Engel es válido para
F-álgebras de Lie sobre un cuerpo cualquiera; en los otros dos, se toma F = C.
Proposición 5.5 (Teorema de Engel). Si (ad x) es un operador nilpotente para todo
x ∈ g, entonces g es una F-álgebra de Lie nilpotente. 
Proposición 5.6 (Teorema de Lie). Si g es una subálgebra de Lie soluble de glC(V ),
entonces hay una base C-vectorial de V con respecto al cual todos los elementos de g
son matrices triangulares superiores. 
Proposición 5.7 (Criterio de Cartan). Sea V un espacio C-vectorial finitodimensional
y sea g una subálgebra de Lie de glC(V ). Si tr(xy) = 0 para todo x ∈ g, y ∈ [g, g],
entonces g es soluble. 
Con base en los resultados anteriores, se llega a una formulación alternativa de
semisimplicidad en términos de la forma de Killing.
2En su tesis doctoral: Élie Cartan, “Sur la structure des groupes de transformations finis et continus”,
thése de doctorat, Paris, 1894.
3Una forma bilineal 〈· , ·〉 es no degenerada si 〈x, y〉 = 0 para todo x implica y = 0.
4Para tales demostraciones véase, por ejemplo, los capítulos 3 y 4 del libro de Humphreys.
116
MA–729: Teoría de Representaciones 5.1. Álgebras de Lie semisimples
Proposición 5.8. Un álgebra de Lie compleja es semisimple si y solo si su forma de
Killing es no degenerada.
Demostración. Sea g un álgebra de Lie compleja. Si g no es semisimple, su radical
l := rad g no es nulo; luego, hay r > 1 tal que l(r) = 0 pero l(r−1) , {0}. Entonces el
ideal no nulo k := l(r−1) cumple [k, k] = l(r) = {0}, así que k es abeliano.
Si x ∈ g, z ∈ k, entonces ad x(k) ⊆ k porque k es un ideal de g; mientras ad z(g) ⊆ k
y ad z(k) = {0}. Entonces (ad x)(ad z) es una aplicación lineal sobre g que lleva g en k y
se anula en k; por lo tanto5 su traza es 0. Esto dice que 〈x, z〉 = 0 para todo x ∈ g, z ∈ k,
así que la forma de Killing es degenerada: hay un vector z , 0 tal que 〈−, z〉 ≡ 0.
Inversamente, si la forma de Killing de g es degenerada, considérese su núcleo
k := { z ∈ g : 〈−, z〉 ≡ 0 }.
Si y ∈ g, z ∈ k, entonces (5.2) implica que 〈x, [y, z]〉 = 〈[x, y] , z〉 = 0 para todo x ∈ g;
por lo tanto, [y, z] ∈ k. Esto dice que k es un ideal de g.
Ahora ad(k) = { ad z : z ∈ k } es una subálgebra de Lie de glC(g) tales que tr(ab) = 0
para todo a, b ∈ ad(k). Por el criterio de Cartan, ad(k) es soluble. El núcleo de la
representación adjunta ad: g→ glC(g) es el centro z de g; ahora z∩ k es abeliano, luego
soluble, y k/(z ∩ k) ' ad(k) es soluble, lo que implica que k es también soluble. En
resumen: si la forma 〈· , ·〉 es degenerada, su núcleo es un ideal soluble no nulo de g. 
Corolario 5.9. Un álgebra de Lie compleja semisimple es una suma directa de ideales
que son álgebras de Lie simples.
Demostración. Sea g una C-álgebra de Lie semisimple. Si g no es simple, sea l un
ideal minimal de g y sea l⊥ el subespacio ortogonal con respecto a la forma de Killing.
Por (5.2), como en la demostración anterior, l⊥ es un ideal de g.
Ahora l ∩ l⊥ = {0} o l por la minimalidad de l. La segunda opción, l ⊆ l⊥, se
excluye6 porque ad(l) y luego l serían solubles, por el criterio de Cartan. La conclusión
es que g = l ⊕ l⊥, donde l es simple y l⊥ es semisimple. El resto sigue por inducción
sobre dim g. 
Corolario 5.10. Si g es un álgebra de Lie compleja semisimple, entonces [g, g] = g.
Demostración. Basta tomar g simple, donde la igualdad [g, g] = g es inmediato. 
5Para calcular la traza, se puede usar una base vectorial de k extendida a una base de g.
6SiV es un espacioC-vectorial con una forma bilineal simétrica no degenerada, un subespacioW 6 V
es isotrópico siW 6 W⊥. Tales subespacios existen porque una forma bilineal compleja no es “definida”,
en contraste con el caso real.
117
MA–729: Teoría de Representaciones 5.1. Álgebras de Lie semisimples
I Si g es un álgebra de Lie real, su complexificación gC obedece (g(k))C = (gC)(k)
y (gk)C = (gC)k . Entonces g es soluble/nilpotente/semisimple si y solo si gC tiene la
misma propiedad. La forma de Killing para g se extiende a la forma de Killing para gC,
en vista de la fórmula (5.1). Luego la Proposición 5.8 sigue válida para álgebras de Lie
reales: g es semisimple si y solo si su forma de Killing es no degenerada.
Ahora bien, una forma bilineal simétrica real posee un invariante nuevo: la signatura.
En la dirección inversa, al buscar una forma real para un álgebra de Lie compleja dada,
su puede elegir entre varias signaturas. Un álgebra de Lie real semisimple se llama
compacta si su forma de Killing es negativa definida. Obviamente no se trata de tener
una topología compacta porque un espacio R-vectorial no es acotado. La terminología
viene de la relación entre álgebras y grupos de Lie. A continuación se bosqueja un
ejemplo típico.7
Ejemplo 5.11. El álgebra de Lie real so(n) := { X ∈ Mn(R) : X t = −X } se identifica con
el espacio tangente en 1n del grupo SO(n) := { A ∈ GL(n,R) : AtA = 1n, det A = 1 }. La
aplicación exponencial exp: Mn(R)→ GL(n,R), definido por exp X := ∑∞k=0(1/k!) X k ,
cumple
(exp X)t(exp X) = (exp X t)(exp X) = exp(−X) exp X = exp(−X + X) = exp 0 = 1n
para todo X ∈ so(n), y det(exp X) = etr X = e0 = 1; luego, exp lleva so(n) en SO(n).8
Resulta que exp: so(n) → SO(n) es sobreyectiva pero no es inyectiva. nEsta es una
función suave cuyo jacobiano en 0 no se anula; luego tiene un inverso local, también
suave, dada por log(1n + B) := ∑∞m=1(−1)m−1Bm/m, así que exp y log determinan un
difeomorfismo entre un vecindario de 0 en so(n) y un vecindario de 1n en SO(n). o
El grupo de Lie SO(n) es compacto (en el sentido usual). En efecto, AtA = 1n
implica que (det A)2 = 1, así que det A = ±1. Luego el grupo ortogonal O(n) es la unión
disjunta de SO(n) y su coclase con det A = −1; basta ver que O(n) es compacto. Pero
AtA = 1n implica tr(AtA) = n, así que tanto O(n) como SO(n) se identifican con partes
cerradas – determinadas por ecuaciones polinomiales entre sus entradas – de la esfera
compacta
∑n
i, j=1(ai j)2 = n en Rn
2 . ♦
I El Corolario 5.9 indica que las álgebras de Lie complejas satisfacen, al menos parcial-
mente, un análogo de la Proposición 2.16 acerca de las C-álgebras asociativas finitodi-
mensionales: el radical es nulo si y sólo si el álgebra es una suma directa de subálgebras
7Para la relación entre álgebras y grupos de Lie, en los casos compacto y no compacto, véase el libro:
Sigurdur Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, American Mathematical
Society, Providence, RI, 1978.
8La relación det(exp X) = exp(tr X) se verifica directamente para matrices diagonales; por invariancia
bajo semejanza, para matrices diagonalizables; y por continuidad, para matrices en general.
118
MA–729: Teoría de Representaciones 5.1. Álgebras de Lie semisimples
simples. Resulta que el ítem (d) de esa proposición también es válido para C-álgebras
de Lie: las representaciones también serían semisimples. Este es un teorema de Weyl
(Teorema 5.16 abajo).
En primer lugar, nótese que el lema de Schur es válido para g-módulos: cualquier
representación irreducible ρ : g→ glC(V ) de una C-álgebra de Lie se extiende, por uni-
versalidad, a una representación irreducible ρ˜ : U(g)→ EndC V (este es el Lema 1.26).9
Un operador sobre V que conmuta con ρ(x) para todo x ∈ g también conmuta con ρ˜(a)
para todo a ∈ U(g) y por ende es un escalar.
Definición 5.12. Sea g un álgebra de Lie compleja semisimple. Por la Proposición 5.8,
su forma de Killing es no degenerada. Si {x1, . . . , xn} es una base C-vectorial de g, sea
{y1, . . . , yn} la base dual de g con respecto a la forma de Killing:10
〈xi , y j〉 = ni = jo para i, j = 1, . . . , n.
El elemento C := x1y1 + · · · + xnyn ∈ U(g) es el elemento de Casimir para g. ♦
Ejemplo 5.13. Sea {h, e, f } la base usual de sl(2,C), introducida en la Definición 1.39.
Como dim sl(2,C) = 3, la acción adjunta x . v := (ad x)v = [x, v] corresponde con el
caso λ = r = 2 de las fórmula (1.18), de donde se calcula que
ad h ↔ *..,
2 0 0
0 0 0
0 0 −2
+//- , ad e ↔
*..,
0 2 0
0 0 1
0 0 0
+//- , ad f ↔
*..,
0 0 0
1 0 0
0 2 0
+//- .
Un cálculo inmediato da 〈h, h〉 = tr[(ad h)2] = 8, 〈e, f 〉 = 〈 f , e〉 = tr[(ad e)(ad f )] = 4,
mientras 〈h, e〉 = 〈h, f 〉 = 〈e, e〉 = 〈 f , f 〉 = 0. Entonces la base dual de {h, e, f } es
{h/8, f /4, e/4}, así que11
8C = h2 + 2e f + 2 f e = h(h − 2) + 4e f = h(h + 2) + 4 f e.
Es fácil calcular que [C, h] = [C, e] = [C, f ] = 0, así que C es un elemento central del
álgebra asociativa U(sl(2,C)). ♦
Lema 5.14. Sea g una C-álgebra de Lie semisimple. El elemento de Casimir C ∈ U(g)
no depende de la base vectorial de g usada para definirlo; y C es central en U(g).
9Se debe recordar que las notaciones glC(V ) y EndC V son sinónimas.
10Una forma bilineal no degenerada establece un isomorfismo entre los espacios vectoriales V y V ∗.
11El factor 1/8 no afecta los argumentos que siguen.
119
MA–729: Teoría de Representaciones 5.1. Álgebras de Lie semisimples
Demostración. Sea {u1, . . . , un} y {v1, . . . , vn} otro par de bases duales de g, relacionadas
con las originales por
ur :=
n∑
i=1
air xi , vs :=
n∑
j=1
b j s y j .
Entonces
nr = so = 〈ur , vs〉 =
n∑
i, j=1
air b j s ni = jo =
n∑
k=1
akr bks ,
así que los matrices de transición obedecen AtB = 1n o bien B = A−t , de donde A = B−t
así que ABt = 1n . Entonces
n∑
r=1
urvr =
∑
i, j,r
air b jr xiy j =
n∑
i=1
xiyi .
Esto dice que C =
∑n
r=1 urvr y establece su independencia de las bases.
Si z ∈ g, entonces [z, x j] = ∑nj=1 pi j xi y además [z, yi] = ∑ni=1 qji y j para ciertos
coeficientes pi j , qji. La asociatividad de la forma de Killing muestra que
pi j = 〈[z, x j], yi〉 = −〈[x j, z], yi〉 = −〈x j, [z, yi]〉 = −qji ,
esto es, P = −Qt . El conmutador [z,C] se puede calcular mediante la regla de Leibniz
[z, ab] = [z, a] b + a [z, b] para obtener
[z,C] =
n∑
j=1
[z, x j] y j +
n∑
i=1
xi [z, yi] =
n∑
i, j=1
pi j xiy j + qji xiy j = 0.
Los elementos de g son generadores del álgebra U(g); por lo tanto, C conmuta con todos
los elementos de U(g). 
Lema 5.15. Para un álgebra de Lie compleja semisimple, son equivalentes:
(a) Cada representación finitodimensional de g es completamente reducible.
(b) Si V es un g-módulo finitodimensional y si U ⊂ V es un g-submódulo tal que
dim(V/U) = 1, entonces V = U ⊕ C como g-módulos.
(c) Si V es un g-módulo finitodimensional y si U ⊂ V es un g-submódulo irreducible
tal que dim(V/U) = 1, entonces V = U ⊕ C como g-módulos.
120
MA–729: Teoría de Representaciones 5.1. Álgebras de Lie semisimples
Demostración. Las implicaciones (a) =⇒ (b) =⇒ (c) son triviales. Nótese, por el
Corolario 5.10, que [g, g] = g. Esto implica que un g-módulo de rango 1 es trivial,
porque [g, g] actúa como el operador nulo. El sumando C en los enunciados (b) y (c)
indica un g-módulo trivial: se usará subíndices, C1 y C2, para distinguir casos.
Ad (c) =⇒ (b): Sigue por inducción sobre dimU. SiU no es irreducible, incluye un
g-submódulo W ; entonces se puede considerar los g-módulos V := V/W y U := U/W ,
donde obviamente dim(V/U) = 1. Por la hipótesis inductiva, se obtiene V = U ⊕ C1.
Si η : V → V/W es el homomorfismo cociente, sea X := η−1(C1); entonces W ⊂ X
con dim(X/W ) = 1, así que X = W ⊕ C2 por la inducción también. Ahora nótese que
V = U ⊕ C2.
Ad (b) =⇒ (a): Sea v 7→ x . v, para x ∈ g, v ∈ V una representación de g sobre V
con dimV finita; y sea U un g-submódulo de V . Se debe exhibir una g-submódulo Z
de V tal que V ' U ⊕ Z .
El espacio C-vectorial HomC(V,U) es un g-módulo bajo la acción
x · τ(v) := x . τ(v) − τ(x . v) para x ∈ g, τ ∈ HomC(V,U), v ∈ V . (5.3)
Fíjese que τ ∈ Homg(V,U) es un operador entrelazante entre los g-módulos V y U si y
solo si x · τ = 0 para todo x ∈ g.
La restricción R : τ 7→ τ |U : HomC(V,U) → EndCU entrelaza las dos acciones
de g de la forma (5.3). Al lado derecho, el g-módulo EndCU posee un submódulo
unidimensional: los múltiplos de la identidad (es obvio que x · 1U = 0 para todo x ∈ g).
Ahora sea A := R−1(C 1U) y B := R−1(0), estos son submódulos deHomC(V,U) con
B ⊂ A y dim(A/B) = 1. Por la hipótesis (b), vale A = B ⊕ Cσ, para algún σ ∈ A \ B
tal que x · σ = 0 para todo x ∈ g. Esta σ : V → U es una aplicación entrelazante tal que
σ |U = s 1U para algún s , 0. Ahora colóquese Z := kerσ. Se verifica fácilmente que
V ' imσ ⊕ kerσ = U ⊕ Z como g-módulos. 
Teorema 5.16 (Weyl). Si g es un álgebra de Lie compleja semisimple, cada repre-
sentación finitodimensional de g es completamente reducible.
Demostración. Basta comprobar la propiedad (c) del enunciado del Lema 5.15. Sea V
un g-módulo con dimV = n finita y U un g-submódulo irreducible con dim(V/U) = 1.
Fíjese que la representación cociente sobre V/U es trivial porque es de rango 1 y se sabe
que g = [g, g].
Si la acción de g sobreU es también trivial, entonces g actúa sobre V por matrices de
la forma
(
0 ∗
0 0
)
en bloques de lados (n − 1) y 1. Estos matrices obviamente conmutan;
como g = [g, g], la acción es por matrices nulas: así, V es también un g-módulo trivial.
121
MA–729: Teoría de Representaciones 5.2. Subálgebras de Cartan
Si U es un g-módulo no trivial, escríbase g = g1 ⊕ · · · ⊕ gr como suma directa de
ideales simples (por el Corolario 5.9). El elemento de Casimir de g entonces tiene la
forma C = C1 + · · · + Cr donde cada Ci es el Casimir de gi y todos conmutan con cada
x ∈ g. Por el lema de Schur, cada Ci actúa sobreU como un múltiplo de 1U ; comoU no
es trivial, al menos uno de los Ci actúa por un múltiplo no nulo.
Entonces hay un autovalor λ , 0 tal que Ci . u = λu para todo u ∈ U. Como Ci
actúa trivialmente sobre V/U, el número 0 es también un autovalor de Ci. Luego hay un
autovector v ∈ V con Ci . v = 0. Nótese que
Ci . (x . v) = x . (Ci . v) = x . 0 = 0 para todo x ∈ g,
porque Ci es central en U(g). Esto dice que cada x . v ∈ Cv porque el autoespacio de 0
para la acción de Ci es unidimensional. Entonces Cv es un g-módulo, con V = U ⊕ Cv.
El resultado sigue del Lema 5.15. 
I De ahora en adelante, g denotará un álgebra de Lie semisimple compleja. Se ha visto
que g es una suma directa de álgebras de Lie simples (Corolario 5.9) y análogamente para
los g-módulos finitodimensionales (por el teorema de Weyl). Entonces será suficiente
averiguar la estructura de cada álgebra de Lie compleja simple.
5.2 Subálgebras de Cartan
Un operador lineal sobre un espacio C-vectorial tiene una descomposición de Jordan,
como sigue.
Lema 5.17. Sea V un espacio vectorial compleja de dimensión finita. Cada T ∈ EndC V
es una suma T = Ts + Tn de manera única, donde Ts es diagonalizable, Tn es nilpotente,
TsTn = TnTs , y hay polinomios p, q ∈ C[x] tales que Ts = p(T) y Tn = q(T).
Demostración. Elíjase una base de V para la cual la matriz A de T tiene la forma normal
de Jordan. Cada bloque de Jordan Jmi,λi = λi1mi + Jmi,0 es la suma de una matriz
diagonal y una matriz triangular estricta; y la suma directa A =: As + An de tales bloques
tiene la misma propiedad. Sea Ts el operador cuya matriz es As y Tn el operador cuya
matriz es An; As es diagonal y An es nilpotente. La conmutación TsTn = TnTs es evidente
en cada bloque: λi1mi conmuta con Jmi,0.
Sea p un polinomio, con término constante 0, tal que p(x) ≡ λi mod (x − λi)mi para
cada autovalor λi de T : tal polinomio existe por el teorema chino del residuo. Sea
q(x) := x − p(x). Entonces p(T) = Ts y q(T) = T − Ts = Tn .
122
MA–729: Teoría de Representaciones 5.2. Subálgebras de Cartan
Si T − T ′s − T ′n es otra descomposición del mismo tipo, entonces Ts − T ′s = T ′n − Tn y
las cuatro partes conmutan (por ser polinomios en T). Luego Ts y T ′s son diagonalizables
simultáneamente, así que Ts − T ′s es también diagonalizable. Al aplicar el teorema
binomial a la potencia (T ′n −Tn)k para k grande, se ve que T ′n −Tn es nilpotente. Pero una
matriz diagonal nilpotente es cero: luego T ′s = Ts y T ′n = Tn. 
Dícese que Ts es la parte semisimple12 de T y que Tn es la parte nilpotente de T .
Sea g un álgebra de Lie compleja semisimple. La acción adjunta ad: g → glC(g) es
inyectiva: si ad x = 0, entonces 〈x, y〉 = tr[(ad x)(ad y)] = 0 para todo y, luego x = 0
porque la forma de Killing es no degenerada. Entonces cada x ∈ g tiene una (única)
descomposición de Jordan x = xs + xn determinada por ad x = (ad x)s + (ad x)n al
pedir que ad(xs) := (ad x)s y ad(xn) := (ad x)n . Desde luego, se dice que xs es la parte
semisimple y que xn es su parte nilpotente del elemento x ∈ g.
I Si k es una subálgebra no abeliana de g, hay un elemento x ∈ k tal que ad x , 0
en gl(k). Sea y ∈ k un autovector para (ad x) con autovalor µ , 0; entonces x, y ∈ k
obedecen [x, y] = µy , 0. Si U = lin〈x, y〉, entonces las relaciones [y, x] = −µy,
[y, y] = 0 dicen que (ad y)|U tiene la matriz nilpotente
(
0 −µ
0 0
)
y por lo tanto y ∈ k no
es un elemento semisimple.
En consecuencia, si todos los elementos de una subálgebra h ⊆ g son semisimples,
entonces esa subálgebra es abeliana. Entonces todos los operadores { ad h : h ∈ h }
son diagonalizables simultáneamente: existe una base de g para la cual todos los (ad h)
tienen matrices diagonales.
Definición 5.18. Sea g un álgebra de Lie compleja semisimple. Una subálgebra de Lie
de g es toral13 (y por ende abeliana) si consiste de elementos semisimples x = xs . Una
subálgebra toral maximal h es una subálgebra de Cartan de g. ♦
Lema 5.19. Sea g un álgebra de Lie compleja semisimple. Una subálgebra de Cartan
de g no es nula.
Demostración. Sea x ∈ g con descomposición de Jordan x = xs + xn. Si fuera x = xn
para todo x ∈ g, entonces el álgebra de Lie g sería nilpotente, por el teorema de Engel
12Aquí el término semisimple es sinónimo de diagonalizable: una matriz diagonal es la suma directa
de matrices 1×1. Dicho de otro modo: un operador lineal es semisimple si y solo si su polinomio mínimo
tiene raíces distintas.
13Bajo la aplicación exponencial desde una forma real de g y un grupo de Lie compacto, la imagen de
una subálgebra toral es un grupo de Lie compacto, conexo y abeliano: en otros palabras, es un toro, un
producto directo de círculos.
123
MA–729: Teoría de Representaciones 5.2. Subálgebras de Cartan
(Proposición 5.5), contrario a hipótesis. Tómese x ∈ g con xs , 0, así que Cxs es una
subálgebra toral de g. Luego, una subálgebra toral maximal tiene dimensión > 1. 
Definición 5.20. Sea g un álgebra de Lie compleja semisimple y sea h una subálgebra
de Cartan de g. Los operadores (ad h) : x 7→ [h, x], para h ∈ h, conmutan y por tanto
poseen autovectores simultáneos:
[h, x] = α(h) x con x , 0, para todo h ∈ h.
Los autovalores α(h) dependen linealmente de h. Dejando de lado el caso α = 0 (que
corresponde a autovectores x ∈ h), hay un número finito de formas lineales no nulas
α ∈ h∗ \ {0} tales que los siguientes autoespacios no son nulos:
gα := { x ∈ g : [h, x] = α(h) x para todo h ∈ h } (5.4)
cumplen gα , {0}. Estas formas lineales α son las raíces de g relativas a h. Los espacios
vectoriales gα se llaman espacios radicales de g (relativos a h).14 ♦
Ejemplo 5.21. Si g = sl(2,C) = lin〈h, e, f 〉 en la notación de la Definición 1.39, se ha
comprobado que (ad e) y (ad f ) son nilpotentes y que (ad h) es diagonalizable. En este
caso, h := Ch es una subálgebra de Cartan de dimensión 1. Si α ∈ h∗ es la forma lineal
definida por α(h) := 2, entonces gα = Ce y g−α = C f . Fíjese que
sl(2,C) = h ⊕ gα ⊕ g−α
y luego hay exactamente dos raíces, α y −α, en este ejemplo. ♦
Denótese por Φ = Φ(g, h) el conjunto de raíces de g relativas a h. Esta es una parte
finita de h∗ \ {0}. Sea g0 el subespacio de g donde cada (ad h) actúa como 0; se ve que
h ⊆ g0 porque h es abeliano.
Lema 5.22. Con respecto a la forma de Killing, el espacio vectorial g se descompone
en una suma directa ortogonal:
g = g0 ⊕
⊕
±α∈Φ
(gα ⊕ g−α). (5.5a)
La restricción de la forma de Killing a g0 es no degenerada.
14Aunque los raíces se definen relativos a una subálgebra de Cartan, resulta que todas las subálgebras
de Cartan son conjugadas bajo automorfismos internos de g – véase la sección 16.4 del libro de Humphreys
– así que el sistema de raíces es esencialmente una propiedad de g.
124
MA–729: Teoría de Representaciones 5.2. Subálgebras de Cartan
Demostración. Si se escribe la identidad de Jacobi en la forma
[h, [x, y]] = [[h, x], y] + [x, [h, y]] ,
entonces si x ∈ gα, y ∈ gβ, resulta
[h, [x, y]] = α(h) [x, y] + β(h) [x, y] = (α + β)(h) [x, y] ,
así que x, y ∈ gα+β; esto es, [gα, gβ] ⊆ gα+β. (En muchos casos, como se verá, resulta
que gα+β = {0}; si así fuera, α + β ∈ h∗ pero α + β < Φ.)
Además, se ve que [g0, g0] ⊆ g0 por la misma razón; esto dice que g0 es una
subálgebra de Lie de g.
Si α, β ∈ Φ ∪ {0} y si h ∈ h, x ∈ gα, y ∈ gβ, entonces
α(h) 〈x, y〉 = 〈[h, x], y〉 = −〈x, [h, y]〉 = −β(h)〈x, y〉.
Entonces β = −α o bien 〈x, y〉 = 0: los gα son ortogonales entre sí,15 con la excepción
de los casos β = −α. Esto verifica la descomposición (5.5).
La forma de Killing es no degenerada sobre g. Si z ∈ g0 y si 〈z, x〉 = 0 para todo
x ∈ g0, entonces 〈z, y〉 = 0 para todo y ∈ g porque los otros gα son ortogonales a g0.
Luego z = 0; por eso, la forma bilineal 〈· , ·〉 es no degenerada sobre la subálgebra g0 . 
Proposición 5.23. Sea g un álgebra de Lie compleja semisimple y sea h una subálgebra
de Cartan de g. Entonces g0 = h.
Demostración. Fíjese que x ∈ g0 si y solo si (ad x)(h) = { [x, h] : h ∈ h } = {0}. En
ese caso (ad xs)(h) = {0} porque ad xs = (ad x)s = p(ad x) para algún polinomio p con
coeficiente constante 0; luego xs ∈ g0 y de rebote xn = x − xs ∈ g0.
Si x ∈ g0, la subálgebra abeliana h + Cxs es toral, luego h + Cxs = h. Por lo tanto,
xs ∈ h para todo x ∈ g0.
Si h ∈ h cumple 〈h, k〉 = 0 para todo k ∈ h, y si x ∈ g0, entonces (ad xn) = (ad x)n
es nilpotente y conmuta con (ad h). Esto implica que (ad h)(ad xn) es un operador
nilpotente, de traza cero; en otras palabras, 〈h, xn〉 = 0 para todo x ∈ g0. Como xs ∈ h,
se concluye que 〈h, x〉 = 0 para todo x ∈ g0. El Lema 5.22 entonces implica que h = 0.
En resumen: la restricción de la forma de Killing a h es no degenerada.
Ahora se puede descomponer g0 = h⊕h⊥, una suma directa ortogonal con respecto a
la forma de Killing.16 Si h ∈ h, x ∈ g0 ∈ h⊥, k ∈ h⊥, vale 〈h, [x, k]〉 = 〈[h, x], k〉 = 0, así
15Nótese que 〈x, x〉 = 0 en el caso β = α; esto dice los autovectores en gα son isotrópicos.
16La no degeneración de 〈· , ·〉 sobre h implica que h ∩ h⊥ = {0}.
125
MA–729: Teoría de Representaciones 5.2. Subálgebras de Cartan
que [x, k] ∈ h⊥. Entonces h⊥ es un ideal de g0. En el álgebra de Lie g0, cada operador
(ad k), para k ∈ h⊥, es nilpotente por el argumento del párrafo anterior. El teorema
de Engel muestra que el álgebra de Lie h⊥ es nilpotente, así que la forma de Killing
restringida a h⊥ es idénticamente nula. Luego h⊥ = {0} y por lo tanto g0 = h. 
Ahora se puede reescribir la descomposición (5.5a) de manera más exacta:
g = h ⊕
⊕
±α∈Φ
(gα ⊕ g−α). (5.5b)
La forma de Killing, por ser no degenerada sobre h, define un isomorfismo entre h y
su espacio dual h∗. En particular, si α ∈ Φ hay un único vector tα ∈ h tal que
α(h) = 〈h, tα〉 para todo h ∈ h. (5.6)
Proposición 5.24. Sea g un álgebra de Lie compleja semisimple, h una subálgebra de
Cartan, Φ = Φ(g, h). Entonces Φ genera el espacio vectorial h∗; y para cada α ∈ Φ,
(a) la forma lineal −α es otra raíz: −α ∈ Φ.
(b) Si x ∈ gα, y ∈ g−α, entonces [x, y] = 〈x, y〉 tα . Por lo tanto, [gα, g−α] = C tα .
(c) 〈tα , tα〉 = α(tα) , 0.
(d) Hay elementos eα ∈ gα , fα ∈ g−α , hα ∈ h tales que lin〈hα, eα, fα〉 ' sl(2,C).
Demostración. Si fuera lin〈Φ〉 , h∗, habría un vector h , 0 en h tal que β(h) = 0 para
todo β ∈ Φ. Entonces sería [h, x] = 0 para cada x ∈ gβ y también para x ∈ h por ser
h abeliana; en fin, [h, x] = 0 para todo x ∈ g. Entonces sería 〈h, [x, y]〉 = 〈[h, x], y〉 = 0
para todo x, y ∈ g. Pero [g, g] = g porque g es semisimple, de donde 〈h, z〉 = 0 para todo
z ∈ g, lo que contradice h , 0 (por la Proposición 5.8). Luego lin〈Φ〉 = h∗.
Ad (a): Si fuera g−α = {0}, el espacio radical gα sería ortogonal a gβ para todo
β ∈ Φ∪ {0}. Pero entonces gα sería ortogonal a todo g; como la forma de Killing es no
degenerada porque g es semisimple, esto implicaría que gα = {0}, contrario a α ∈ Φ.
Ad (b): Para cada h ∈ h, vale
〈h, [x, y]〉 = 〈[h, x], y〉 = α(h) 〈x, y〉 = 〈h, tα〉 〈x, y〉,
así que
〈
h, [x, y] − 〈x, y〉 tα
〉
= 0. Pero [gα, g−α] ⊆ g0 = h, luego [x, y] − 〈x, y〉 tα ∈ h.
Como la forma de Killing es no degenerada sobre h por la demostración de la Proposi-
ción 5.23, se concluye que [x, y] − 〈x, y〉 tα = 0.
126
MA–729: Teoría de Representaciones 5.2. Subálgebras de Cartan
Obsérvese que [gα, g−α] , {0}, pues de lo contrario sería 〈gα, g−α〉 = 0 y por ende
gα sería ortogonal a todo g. Entonces [gα, g−α] = C tα es unidimensional.
Ad (c): La forma de Killing establece un isomorfismo entre g∗α y g−α. Entonces
existen x ∈ gα, y ∈ g−α tales que 〈x, y〉 = 1. Si fuera α(tα) = 0, serían
[tα, x] = 0, [tα, y] = 0, [x, y] = tα .
Luego k := lin〈tα, x, y〉 sería una subálgebra de Lie nilpotente de g, pues [k, [k, k]] = {0}.
Por el teorema de Lie, ad tα sería nilpotente y a la vez semisimple (porque tα ∈ h), así
que ad tα = 0, lo cual contradice (5.6).
Ad (d): Tómese eα ∈ gα \ {0}. Existe (al menos) un vector fα ∈ g−α tal que
〈eα , fα〉 = 2〈tα , tα〉 ; tómese hα :=
2tα
〈tα , tα〉 .
Entonces [eα , fα] = hα por la parte (b). Se calcula que
[hα , eα] = α(hα) eα = 2 α(tα)〈tα , tα〉 eα = 2eα , (5.7)
y de modo similar [hα , fα] = −α(hα) fα = −2 fα . Entonces lin〈hα , eα , fα〉 es una
subálgebra de Lie de g que cumple las relaciones de conmutación (1.16), y por tanto es
isomorfa a sl(2,C). 
Definición 5.25. Si g es un álgebra de Lie compleja semisimple, con subálgebra de
Cartan h, la forma de Killing es no degenerada sobre h, como ya se ha visto. Esto
establece un isomorfismo C-vectorial h∗ ' h que incluye la correspondencia α ↔ tα
para α ∈ Φ. Mediante este isomorfismo, se puede trasladar la forma de Killing a una
forma bilineal no degenerada sobre h∗, denotada también por 〈· , ·〉. En particular, si
α, β ∈ Φ, se define
〈α, β〉 := 〈tα , t β〉 = α(t β) = β(tα) = 12〈α, α〉 β(hα). (5.8)
Fíjese que β(hα) = 2 〈α, β〉〈α, α〉 en términos con la forma de Killing dual. ♦
Lema 5.26. Los β(hα) que aparecen en (5.8) son números enteros.
Demostración. Sea lα := lin〈hα , eα , fα〉 en la demostración de la Proposición 5.24. La
acción de lα sobre g es una suma directa de representaciones irreducibles de sl(2,C). Por
la Proposición 1.42, los autovalores de (ad hα) son enteros. Como [hα , eβ] = β(hα) eβ,
se deduce que β(hα) ∈ Z. 
127
MA–729: Teoría de Representaciones 5.3. Sistemas de raíces
5.3 Sistemas de raíces
En esta sección, g denotará un álgebra de Lie compleja semisimple, h será una subálgebra
de Cartan fija de g y Φ ⊂ h∗ \ {0} el conjunto de raíces de g relativo a h.
Para cada par de raíces opuestas ±α ∈ Φ, hay una subálgebra slα := lin〈hα , eα , fα〉
de g dada por la Proposición 5.24(d). En vista de (5.6), se sabe que t−α = −tα en h,
así que h−α = −hα por (5.7). Sin perder generalidad, se puede suponer que e−α = fα
en g−α y luego f−α = eα en gα por (5.7) también. Entonces sl−α = slα; el número de
tales subálgebras17 de g es 12 |Φ|.
Lema 5.27. Para cada α ∈ Φ, dim gα = 1. Si cα ∈ Φ con c ∈ C, entonces c = ±1.
Demostración. Considérese la siguiente suma directa de subespacios de g:
V := C fα ⊕ C hα ⊕
∞⊕
k=1
gkα .
Es evidente que V es invariante bajo (ad eα) y (ad fα). El conmutador(ad eα)|V , (ad fα)|V  = (ad hα)|V ∈ EndC V
tiene traza cero: tr[(ad hα)|V ] = 0 (por ser un conmutador). Si dk = dim gkα, esta traza
es
0 = α(hα)
(
−1 + 0 +
∞∑
k=1
kdk
)
.
Como α(hα) = 2, se concluye que d1 = 1 y dk = 0 para k > 2. Esto dice que dim gα = 1
y α ∈ Φ =⇒ kα < Φ para k = 2, 3, . . . . Al aplicar el mismo argumento a la raíz −α,
se obtiene también que kα < Φ para k = −2,−3, . . . .
Si β = cα ∈ Φ con c ∈ C×, entonces α = c−1 β. Por el Lema 5.26, 2c = β(hα) ∈ Z
y 2c−1 = α(hβ) ∈ Z, así que c ∈ {±12,±1,±2}. Pero los casos β = ±2α y α = ±2β
están excluidos por el argumento anterior, así que c = ±1. 
Si β ∈ Φ con β , ±α, entonces [eα, gβ] ⊆ gβ+α y [ fα, gβ] ⊆ gβ−α. Considérese el
siguiente subespacio vectorial de g (obviamente finitodimensional, por tanto casi todos
los sumandos son ceros):
Wβ :=
⊕
j∈Z
gβ+ jα .
Nótese que β + jα , 0 en h∗ para todo j en vista del Lema 5.27. Hay algún k ∈ N tal
que gβ+ jα = {0} para j > k pero gβ+kα , {0}, es decir, β + kα ∈ Φ.
17Nótese que |Φ| es par, porque α ∈ Φ =⇒ −α ∈ Φ por la Proposición 5.24(a).
128
MA–729: Teoría de Representaciones 5.3. Sistemas de raíces
Fíjese que Wβ es un espacio invariante bajo la acción adjunta de slα y ad hα actúa
sobre Wβ con autovalores distintos β(hα) + 2 j ∈ Z. En este juego de autovalores, el
valor 0 ocurre una sola vez si β(hα) es par; el valor 1 ocurre una sola vez si β(hα) es
impar. Cada slα-submódulo de Wβ posee un autovector de (ad hα) de valor 0 o 1, en
vista del Lema 1.41; se concluye queWβ es un slα-módulo irreducible.
Entonces cada β ∈ Φ \ {±α} es una entrada en una α-hilera:
β − lα, β − (l − 1)α, . . . , β, . . . , β + (k − 1)α, β + kα ∈ Φ (5.9)
donde k, l ∈ N, donde Wβ =
⊕k
j=−l gβ+ jα tiene dimensión k + l + 1 y los autovalores
extremos de ad hα son (k + l) y −(k + l), por la discusión después del Lema 1.41. Esto
implica que β(hα) = l − k.
Lema 5.28. Sea h∗0 el espacio vectorial real generado por Φ. Este es un R-subespacio
de h∗, con h∗ = h∗0⊗RC por la Proposición 5.24. Entonces la forma de Killing dual (5.8)
es definida positiva sobre h∗0.
Demostración. Si β, γ ∈ Φ, entonces
〈β, γ〉 = 〈t β , tγ〉 = tr[(ad t β)(ad tγ)] =
∑
α∈Φ
α(t β) α(tγ) =
∑
α∈Φ
〈α, β〉 〈α, γ〉,
porque cada (ad t β) es diagonal con autovalores 0 sobre h y α(t β) = 〈α, β〉 sobre cada
espacio unidimensional gα.
Tómese Φ+ ⊂ Φ con |Φ+ | = 12 |Φ| tal que α ∈ Φ+ ⇐⇒ −α < Φ+. Si λ ∈ h∗0 con
λ =
∑
β∈Φ+ cβ β para algunos cα ∈ R,18 entonces 〈α, λ〉 = ∑β∈Φ+ cβ 〈α, β〉 y
〈λ, λ〉 = 2
∑
α∈Φ+
〈α, λ〉2
es una suma de cuadrados de números reales; luego 〈λ, λ〉 > 0, con igualdad si y solo si
〈α, λ〉 = λ(tα) = 0 para cada α, si y solo si λ = 0 en h∗0. 
Definición 5.29. Para cada α ∈ Φ, defínase una reflexión de raíces sα ∈ EndR h∗0 por:
sα(β) := β − β(hα) α = β − 2 〈α, β〉〈α, α〉 α. (5.10)
Esta receta define un operador R-lineal sobre h∗0. Es evidente que sα(α) = −α y que su
núcleo (ker sα) es el hiperplano ortogonal a α. En otras palabras, sα es una reflexión en
el espacio euclidiano h∗0; es fácil ver que s
2
α = 1.
En términos de la hilera (5.9), se ve que sα(β) = β + (k − l)α también pertenece a
esta hilera: luego sα(Φ) = Φ. ♦
18Esta sumatoria no es única porque los α ∈ Φ+ generalmente no son linealmente independientes.
129
MA–729: Teoría de Representaciones 5.3. Sistemas de raíces
I El espacio vectorial real h∗0 y el conjunto de raíces Φ(g, h) es un ejemplo de una
estructura combinatoria, que se puede estudiar sin referencia al álgebra de Lie subyacente.
Definición 5.30. Sea E un espacio euclidiano – un espacio R-vectorial con un producto
escalar definida positiva 〈· , ·〉 – de dimensión finita. Dícese que (E,Φ) es un sistema de
raíces si Φ ⊂ E es un conjunto con las siguientes propiedades:
(a) Φ es finito; 0 < Φ; y Φ genera E como espacio R-vectorial.
(b) Si α ∈ Φ, c ∈ R, entonces cα ∈ Φ si y solo si c = ±1.
(c) Si α, β ∈ Φ, entonces nα,β := 2 〈α, β〉/〈α, α〉 ∈ Z.
(d) Si α ∈ Φ, la reflexión sα : β 7→ β − nα,β α deja Φ invariante.
El rango19 del sistema de raíces (E,Φ) es l := dimR E.
El sistema (E,Φ) es reducible si E = E1 ⊕ E2 (suma directa ortogonal) y además
Φ = Φ1unionmultiΦ2, donde (E1,Φ1) y (E2,Φ2) son sistemas de raíces individuales. Si no es así,
se dice que (E,Φ) es irreducible. ♦
•A1 : −α α
Figura 5.1: Un sistemas de raíces de rango 1
Ejemplo 5.31. En el caso unidimensional E = R, la condición (b) implica queΦ = {±1}
es la única posibilidad (hasta un cambio de escala en el producto escalar). Esto ejemplifica
el caso del álgebra de Lie simple g = sl(2,C), con h = C h, Φ = {±α} donde α ∈ h∗
queda determinada por α(h) := 2. Este sistema se denota por A1 (Figura 5.1). ♦
Ejemplo 5.32. En el caso bidimensional E ' R2, hay varias posibilidades. Una de ellas
es el sistema reducible A1 ⊕ A1, para el cual Φ = {±α,±β} donde α = (1, 0), β = (0, 1).
Otra posibilidad es el sistema irreducible A2, con seis raíces:
Φ = {±α, ±β, ±(β + α)}, donde α = (1, 0), β = (−12, 12
√
3).
Luego β + α = (12, 12
√
3).
19Si h es una subálgebra de una g semisimple, nótese que l := dimC h = dimC h∗ = dimR h∗0 no depende
de h, porque todas subálgebra de Cartan son conjugadas. Dícese que l es el rango del álgebra de Lie
semisimple g.
130
MA–729: Teoría de Representaciones 5.3. Sistemas de raíces
•
A1 ⊕ A1
α
β
•
A2
α
β β + α
•
B2
α
β β + α β + 2α
Figura 5.2: Tres sistemas de raíces de rango 2
Una posibilidad más es el sistema irreducible B2, con ocho raíces:
Φ = {±α, ±β, ±(β + α), ±(β + 2α)}, donde α = (1, 0), β = (−1, 1).
Luego β + α = (0, 1), β + 2α = (1, 1).
Estos tres sistemas de raíces están ilustradas en la Figura 5.2. En cada caso, se indica
la α-hilera a través de β. ♦
Lema 5.33. Sea (E,Φ) un sistema de raíces y sean α, β ∈ Φ con β , ±α. El ángulo θ
entre los vectores α y β (en el plano generado por α y β) toma uno de los siguientes
valores:
θ ∈
{
pi
6
,
pi
4
,
pi
3
,
pi
2
,
2pi
3
,
3pi
4
,
5pi
6
}
. (5.11)
Demostración. Esto es una consecuencia de la propiedad (c) de un sistema de raíces:
nα,β ∈ Z. Si ‖α‖ :=
√〈α, α〉 es la longitud del vector α en el espacio euclidiano E,
entonces
nα,βnβ,α =
4 〈α, β〉 〈β, α〉
〈α, α〉 〈β, β〉 = 4 cos
2 θ, (5.12)
al usar la fórmula 〈α, β〉 =: ‖α‖ ‖ β‖ cos θ que define el ángulo θ. Ahora 0 6 cos2 θ 6 1
y la posibilidad cos θ = ±1 está excluida porque β , ±α. Por lo tanto,
nα,βnβ,α ∈ {0, 1, 2, 3}, así que cos θ ∈
{
0, ±1
2
, ±
√
2
2
, ±
√
3
2
}
.
Estos siete valores de cos θ corresponde con los ángulos en (5.11). 
La posibilidad θ = pi/2 es evidente en el caso reducible A1 ⊕ A2 y también en B2.
En el sistema A2 se ven los ángulos pi/3 y 2pi/3. En B2 aparecen los ángulos pi/4, pi/2,
3pi/4. Los casos remanentes pi/6 y 5pi/6 aparecen en el ejemplo siguiente.
131
MA–729: Teoría de Representaciones 5.3. Sistemas de raíces
• α
β + α β + 2α β + 3α
2β + 3α
β
Figura 5.3: El sistema de raíces G2, de rango 2
Ejemplo 5.34. El cuarto (y último) sistema de raíces de rango 2 incluye los raíces de A2
y tiene un total de doce raíces (véase la Figura 5.3):
Φ = {±α, ±β, ±(β + α), ±(β + 2α), ±(β + 3α), ±(2β + 3α)},
donde α = (1, 0), β = (−32, 12
√
3). La α-hilera por β es {β, β + α, β + 2α, β + 3α}. Este
sistema se denota por G2. ♦
Ejemplo 5.35. El álgebra de Lie g = sl(3,C) tiene dimensión 8 sobre C. Sus elementos
diagonales forman una subálgebra toral de dimensión 2 (si h = diag[a, b, c], la condición
tr h = 0 dice que a + b + c = 0). Esta es una subálgebra de Cartan de sl(3,C), porque
una matriz que conmuta con cada h ∈ h ya es diagonal.
En términos de las unidades matriciales Ei j de M3(C), los elementos h1 := E11 − E22
y h2 := E22 − E33 forman una base C-vectorial de h. Las relaciones de conmutación
[h1, Ei j] = (δ1i − δ2i − δ1 j + δ2 j) Ei j, [h2, Ei j] = (δ2i − δ3i − δ2 j + δ3 j) Ei j,
muestran que los Ei j con i , j constituyen 6 vectores radicales para g relativos a h.
Defínase tres formas C-lineales e1, e2, e3 sobre h por
ek(h1) := δ1k − δ2k , ek(h2) := δ2k − δ3k .
Los ek se obtienen por restricción de la base dual a la base {E11, E22, E33} de matrices
diagonales en M3(C). Entonces las seis raíces de sl(3,C) relativos a h son
e1 − e2 , e1 − e3 , e2 − e1 , e2 − e3 , e3 − e1 , e3 − e2 .
Al colocar α := e1 − e2, β = e2 − e3, se nota que Φ = {±α, ±β,±(α + β)}.
132
MA–729: Teoría de Representaciones 5.3. Sistemas de raíces
e3 − e1
e1 − e3
e3 − e2
e2 − e3
e1 − e2
e2 − e1
•
•
•
•
•
•
••
•
Figura 5.4: El sistema de raíces A2 para sl(3,C)
En este caso, h∗0 = R- lin〈α, β〉 ' R2. Al identificar {e1, e2, e3} con la base estándar
de R3, se obtiene20
±(e1 − e2)↔ (±1,∓1, 0), ±(e2 − e3)↔ (0,±1,∓1), ±(e1 − e3)↔ (±1, 0,∓1).
Estos seis vectores son los puntos medios de las aristas del cubo con vértices (±1,±1,±1)
que quedan en el plano x + y+ z = 0. Véase la Figura 5.4. Es evidente que las seis raíces
son vértices de un hexágono regular: se ha obtenido una instancia concreta del sistema
de raíces A2 . ♦
Este ejemplo admite una generalización directa al álgebra de Lie g = sl(l + 1,C),
con la subálgebra de Cartan h dada por las matrices diagonales de traza cero. El rango
dimR h∗0 = dimC h
∗ = dimC h es igual a l. Con la base {h1, . . . , hl} de h dada por
hi := Eii − Ei+1,i+1, los Ei j para i , j son vectores radicales; las raíces están dadas por
Φ = { ±(e j − ek) : 1 6 j < k 6 l + 1 },
donde {e1, . . . , el+1} es la base estándar de Rl+1 y E = h∗0 se identifica con el hiperplano
en Rl+1 ortogonal al vector (1, 1, . . . , 1). Denótese por Al este sistema de raíces.
Es fácil calcular los ángulos entre cualquier par de raíces.21 Fíjese que cada raíz es
un vector de longitud
√
2 en E. La ecuación muestra que e j −ek y er −es son ortogonales
si { j, k} ∩ {r, s} = ∅. En cambio, si j < k < r se ve que 〈e j − ek , ek − er〉 = −1, así que
4 cos2 θ = 1 por (5.12); el ángulo entre e j − ek y ek − er es θ = 2pi/3.
20Este sistema de raíces defiere del sistema A2 en el Ejemplo 5.32 por un factor de escala
√
2; esta es
una distinción irrelevante, porque no afecta los valores de los nα,β .
21En el caso de A3, las raíces en Φ resultan ser vértices de un cuboctaedro, que es uno de los poliedros
arquimedianos en R3.
133
MA–729: Teoría de Representaciones 5.3. Sistemas de raíces
Ejemplo 5.36. En el álgebra de Lie g = so(5,C) := { X ∈ M5(C) : X t I5 = −I5X },
una subálgebra de Cartan está dada por h = C- lin〈h1, h2〉 donde h1 := E11 − E33 y
h2 := E22 − E44. Es fácil chequear que dimC g = 10; con cálculos similares a los del
Ejemplo 5.35, se obtiene ocho raíces
Φ = {±e1 , ±e2 , ±(e1 − e2), ±(e1 + e2)},
donde {e1, e2} es la base dual a la base {E11, E22} del primer bloque diagonal 2 × 2.
Entonces E = h∗0 ' R2: este es un sistema de rango 2. Con α := e1, β := e2 − e1, se ve
que Φ = {±α, ±β,±(β + α),±(β + 2α)}; el ángulo entre α y β es 3pi/4. Este es una
instancia concreta del sistema de raíces B2 .
Fíjese que en este caso hay raíces de dos longitudes: ‖α‖ = 1 y ‖ β‖ = √2. En el
sistema B2 hay cuatro raíces largas ±β, ±(β + 2α) y cuatro raíces cortas ±α, ±(β +α).
Véase la Figura 5.2 de nuevo. ♦
La clasificación completa de los sistemas de raíces irreducibles es un cálculo bastante
extenso.22 Resulta que hay cuatro series infinitas de sistemas de raíces, que corresponden
a las álgebras de Lie clásicas:
Al ↔ sl(l + 1,C); Bl ↔ so(2l + 1,C); Cl ↔ sp(2l,C); Dl ↔ so(2l,C).
Los únicos isomorfismos entre ellos ocurren en rangos bajos:
A1 ' B1 ' C1 ; B2 ' C2 ; A3 ' D3 ; D2 ' B1 ⊕ B1 .
Nótese que D2 ↔ so(4,C) corresponde a un álgebra de Lie semisimple: so(4,C) '
so(3,C) ⊕ so(3,C) – que posee una forma real so(4) ' so(3) ⊕ so(3). Los demás casos
corresponden a álgebras de Lie simples, con sistemas de raíces irreducibles.
Resulta también que hay exactamente cinco sistemas de raíces excepcionales (irre-
ducibles):
E6 , E7 , E8 , F4 , G2 .
En cada caso, el subíndice indica el rango. Las dimensiones respectivas del álgebra de
Lie g son: 78, 133, 248, 52 y 14.
22La clasificación de las álgebras de Lie complejas simples fue lograda en la tesis doctoral de Élie
Cartan en 1894, completando un trabajo anterior de Wilhelm Killing. El método de Cartan partió de
una forma bilineal, introducida en esa tesis, que luego fue atribuido a Killing, la cual es no degenerada
sobre álgebras de Lie semisimples (únicamente). Cartan encontró cinco álgebras de Lie simples que no
corresponden a los grupos de Lie “clásicos”: estos son las álgebras de Lie excepcionales. La notación
“alfabética” Al , . . . , G2 está tomada de la tesis de Cartan.
134
MA–729: Teoría de Representaciones 5.4. El grupo de Weyl
5.4 El grupo de Weyl
Las reflexiones sα asociadas a un sistema de raíces (E,Φ) generan un grupo finito de
permutaciones del conjunto Φ. Por otro lado, este grupo también es un subgrupo del
grupo ortogonalO(l) del espacio euclidiano E ' Rl . En esta última sección se examinará
brevemente el papel de este grupo de reflexiones y rotaciones del sistema de raíces.
Definición 5.37. Un isomorfismo de dos sistemas de raíces (E,Φ) y (F,Ψ) es una
isometría23 lineal biyectiva τ ∈ HomR(E, F) tal que τ(Φ) = Ψ. Un automorfismo
de (E,Φ) entonces es un aplicación ortogonal τ ∈ O(E) tal que τ(Φ) = Φ.
Cada reflexión sα es un automorfismo de (E,Φ). El grupo generado por ellas,
W ≡WΦ := 〈sα : α ∈ Φ〉, es el grupo deWeyl de (E,Φ). Este es un grupo finito porque
sus elementos permutan el conjunto finito Φ. ♦
Lema 5.38. Si τ ∈ Aut(E,Φ) es un automorfismo del sistema de raíces (E,Φ) y si α ∈ Φ,
entonces τsατ−1 = sτ(α) . En consecuencia,W es un subgrupo normal de Aut(E,Φ).
Demostración. Nótese que Φ = { τ(β) : β ∈ Φ } porque τ : Φ→ Φ es biyectiva. Ahora
τsατ−1(τ(β)) = τ(sα(β)) = τ(β − nα,β α) = τ(β) − nα,β τ(α).
Además,
nα,β =
2 〈α, β〉
〈α, α〉 =
2 〈τ(α), τ(β)〉
〈τ(α), τ(α)〉 = nτ(α),τ(β) ,
así que τsατ−1(τ(β)) = sτ(α)(τ(β)). Esto dice que τsατ−1 y sτ(α) son automorfismos
de (E,Φ) que coinciden sobre Φ y por ende son iguales.
Cada elemento de W es un producto finito de reflexiones σ = sαs β · · · sλ; luego
τστ−1 = sτ(α)sτ(β) · · · sτ(λ) es otro elemento deW. Por to tanto,W E Aut(E,Φ). 
Definición 5.39. Un juego de raíces ∆ := {α1, α2, . . . , αl} es una base para el sistema
de raíces (E,Φ) si ∆ es una base R-vectorial de E y además cada β ∈ Φ tiene la forma
β = k1α1 + k2α2 + · · · + klαl con cada ki ∈ Z, (5.13)
donde bien todo ki ∈ N (no negativos) o bien todo ki ∈ −N (no positivos).
Dada una base ∆, sus elementos α1, . . . , αn se llaman raíces simples. Se denota por
Φ+ el conjunto de raíces positivas, de la forma (5.13) con cada ki ∈ N. Si Φ− denota su
complemento, está claro que β ∈ Φ+ ⇐⇒ −β ∈ Φ−, así que |Φ+ | = 12 |Φ|. ♦
23Una isometría τ : E → F es una aplicación R-lineal tal que ‖τ(u)‖ = ‖u‖ para α ∈ E, o equivalen-
temente, 〈τ(u), τ(v)〉 = 〈u, v〉 para todo u, v ∈ E. Cualquier isometría es inyectiva; resulta ser biyectiva si
y solo si dim E = dim F.
135
MA–729: Teoría de Representaciones 5.4. El grupo de Weyl
Ejemplo 5.40. En las Figuras 5.2 y 5.3 que muestran los sistemas de raíces de rango 2, la
pareja ∆ := {α, β} es una base. Las raíces nombradas en estas figuras son, en cada caso,
las raíces positivas con respecto a esta base: las raíces no nombradas son sus negativas.
En el Ejemplo 5.35, una base es ∆ := {e1 − e2, e2 − e3}. Fíjese que la raíz e1 − e3 =
(e1 − e2) + (e2 − e3) es la otra raíz positiva.
Más generalmente, para el sistema Al que corresponde al álgebra de Lie simple
sl(l + 1,C), se puede usar la base ∆ := { e j − e j+1 : j = 1, 2, . . . , l }. Las raíces positivas
son los e j − ek con j < k. ♦
Lema 5.41. Si α ∈ ∆, entonces la reflexión sα permuta las otras raíces positivas; es
decir, sα deja Φ+ \ {α} invariante.
Demostración. Se puede suponer que α = α1 . Si β ∈ Φ+ con β , α (y obviamente
β , −α porque −α < Φ+), entonces β tiene la forma (5.13) con cada ki > 0 y k j > 0
para algún j > 2. Pero entonces
sα(β) = β − nα,β α = (k1 − nα,β)α1 + k2α2 + . . . + klαl
con el mismo coeficiente k j > 0 para α j . Esto obliga que todos los coeficientes estén
enN, así que k1−nα,β > 0 y sα(β) ∈ Φ+. La posibilidad sα(β) = α está excluida porque
sα(α) = −α. 
Para comprobar la existencia de una base de raíces simples, se usa un argumento
geométrico. Cada α ∈ ∆ determina un hiperplano Pα := { v ∈ E : 〈α, u〉 = 0 } = P−α =
ker sα, dejado fijo por la reflexión sα . La unión
⋃
α∈Φ Pα de esta cantidad finita de
hiperplanos tiene un complemento no vacío en E. (De hecho, este complemento es una
unión disjunta de conos convexos abiertos, que suelen llamarse cámaras de Weyl.) Si
u ∈ E es un vector que no está en la unión de los Pα, el hiperplano ortogonal a u no pasa
por Φ; su “lado positivo” { v ∈ E : 〈u, v〉 > 0 } incluye exactamente la mitad, Φ+(u), de
las raíces en Φ. Resulta que hay exactamente l = dim E raíces en Φ+(u) que no pueden
expresarse como sumas de dos o más otras raíces enΦ+(u): estas forman una base, ∆(u).
Sucede además que el conjunto ∆(u) solo depende de la cámara de Weyl que contiene el
vector u.24
Los ángulos entre raíces simples son rectos u obtusos: resulta que 〈αi , α j〉 6 0 si
αi , α j ∈ ∆. En las Figuras 5.2 y 5.3, se exhiben los casos θ = pi/2, 2pi/3, 3pi/4 y 5pi/6.
Es obvio que (E,Φ) tiene varias bases (y por ende, varios juegos de “raíces positivas”).
En efecto, hay una correspondencia biunívoca entre bases de (E,Φ) y las cámaras de
24Para una demostración de estas afirmaciones, véase, por ejemplo, la sección 10.1 del libro de
Humphreys.
136
MA–729: Teoría de Representaciones 5.4. El grupo de Weyl
Weyl en E \ ⋃α∈Φ Pα. Aunque es menos evidente, resulta también que el grupo W
permuta las cámaras de Weyl y por lo tanto también permuta las bases. En efecto, si ∆ y
∆′ son dos bases de E,Φ), existe un único25 σ ∈ W tal que σ(∆) = ∆′.
Ejemplo 5.42. Considérese el sistema de raíces Al con raíces Φ = { e j − ek : j , k },
donde j, k ∈ {1, . . . , l + 1}. Al realizar el espacio E como un hiperplano en Rl+1, cada
σ ∈ W es la restricción a E de una isometría lineal de Rl+1 que deja E invariante. Si
α = e j − ek , la reflexión sα la lleva en −α = ek − e j y deja fijo er para r < { j, k}. En
otras, sα está dada por la transposición de ejes e j ↔ ek en Rl+1.
Esas transposiciones dejan fija la diagonal R(1, 1, . . . , 1) y por ende dejan invariante
(pero no fijo) su complemento ortogonal E. Sobre E, la acción de sα es
e j − ek ↔ ek − e j , er − ek ↔ er − e j , er − es ↔ er − es ,
para r, s < { j, k}. De este modo, las transposiciones ( j ↔ k) ∈ Sl+1 actúan como
biyecciones ortogonales de E que dejanΦ invariante. Como las transposiciones generan
el grupo Sl+1, se ha comprobado que el grupo de Weyl del sistema Al esW ' Sl+1 .
Cabe notar también que Sl+1 está generado por las transposiciones ( j ↔ j + 1), para
j = 1, . . . , l; con relaciones conocidas. Esto ejemplifica otra proposición interesante:
el grupo de Weyl W está generado por las reflexiones en las raíces simples solamente:
W = 〈sα1 , sα2 , . . . , sαl 〉 (con relaciones apropiadas). ♦
I Una base de raíces simples permite clasificar los sistemas de raíces – y eventualmente
las álgebras de Lie complejas semisimples – usando ciertasmatrices con entradas enteras.
Definición 5.43. Sea (E,Φ) un sistema de raíces, con una base fija ∆ = {α1, α2, . . . , αl}.
Sea ci j := nαi,α j para i, j = 1, . . . , l. Entonces ci j ∈ Z y cii = 2 para cada i. La matriz
C = [ci j] ∈ Ml(Z) es la matriz de Cartan para el sistema (E,Φ).
Como el grupo de Weyl W permuta las bases sin cambiar los valores de los ci j , la
matriz C no depende de la base ∆ elegida. ♦
La matriz de Cartan es no singular; sus entradas diagonales son iguales a 2; y sus
entradas no diagonales están en {0,−1,−2,−3}. Si el sistema de raíces es reducible, su
matriz de Cartan es una suma directa de bloques. Por lo tanto, la clasificación de sistema
de raíces se reduce a la clasificación de matrices de Cartan irreducibles.26
25En otras palabras, la acción deW sobre el conjunto de todas las bases es transitiva (existencia de σ)
y libre (unicidad de σ).
26Es posible simplificar la clasificación aun más, al asociar a cada matriz de Cartan un grafo, con un
nodo para cada raíz simple y una flecha simple, doble o triple entre dos nodos si el elemento no diagonal
correspondiente es −1, −2 o −3, respectivamente. La clasificación de tales grafos fue descrita por Donald
Coxeter (1934) y aplicados a los sistemas de raíces por Eugene Dynkin (1946).
137
MA–729: Teoría de Representaciones 5.4. El grupo de Weyl
Ejemplo 5.44. Las matrices de Cartan en M2(C) son las siguientes:
A1 ⊕ A1 :
(
2 0
0 2
)
; A2 :
(
2 −1
−1 2
)
; B2 :
(
2 −2
−1 2
)
; G2 :
(
2 −1
−3 2
)
.
En los casos B2 y G2, la matriz de Cartan no es simétrica. Al conjugar C por una
matriz de permutación, hay un intercambio de filas y columnas, que corresponde a un
reordenamiento de la base ∆ = {α1, α2, . . . , αl}. Por lo tanto, no se distingue entre tales
matrices de Cartan. (En el caso 2× 2, no se distingue entre C y su transpuesta.) Módulo
ese detalle, la lista de matrices de Cartan 2 × 2 es completa: hasta isomorfismo, los
únicos sistema de raíces de rango 2 son los que aparecen en las Figuras 5.2 y 5.3. ♦
I Vale la pena mencionar que el grupo de WeylW aparece también en la teoría de los
grupos de Lie compactos, con una definición al parecer diferente. Si G es un grupo
de Lie compacto (y conexo y simple, para simplificar), un toro maximal en G es un
subgrupo cerrado conexo y abeliano T , de dimensión maximal. El toro T es isomorfo a
un producto directo de círculos,T ' U(1)l ; su dimensión l es el rango deG. Por ejemplo,
las matrices diagonales en el grupo compacto SU(l + 1) forman un toro maximal. Un
célebre teorema de Weyl asegura que todos los toros maximales en G son conjugados.
El normalizador de T es el subgrupo NG(T) := { g ∈ G : gTg−1 = T }. Está claro
que T E NG(T) porque T es abeliano. Resulta que27 el grupo cocienteWG := NG(T)/T
es finito, y no depende del toro maximal T . Este es el grupo de Weyl de G.
El grupo NG(T) tiene una acción infinitesimal sobre el álgebra de Lie g de G y
también sobre gC (ellas son simples cuando G es un grupo de Lie simple). El espacio
tangente t en la identidad de T es una subálgebra de Lie abeliana de g; y h := tC es
una subálgebra de Cartan de gC. La acción adjunta de T sobre t o h es trivial, así que
WG = NG(T)/T actúa efectivamente sobre h y, por transposición, sobre h∗. Resulta que
esta acción deWG sobre h∗ permuta los raíces en Φ(gC, h)! Se puede demostrar que esta
acción deWG coincide exactamente con el grupo de WeylWΦ del sistema de raíces.
Como ejemplo ilustrativo, considérese el grupo de Lie compacto G = SU(l + 1).
Los conjugados del subgrupo T (matrices diagonales) son los gTg−1, donde la matriz
unitaria g lleva la base ortonormal usual {u1, . . . , ul+1} de Cl+1 en otra base ortonormal.
Las matrices en gTg−1 generalmente no son diagonales, con dos excepciones. Primero, g
deja la base usual fija si y solo si g ∈ T . Segundo, g deja la base usual invariante, aunque
posiblemente lo permuta, si g ∈ NG(T). Las coclases en NG(T)/T están representadas
por las matrices de permutación: gi j = n j = σ(i)o para algún σ ∈ Sl+1. Se concluye
queWG ' Sl+1: este también es el grupo de Weyl de gC = sl(l + 1,C).
27Véase, por ejemplo, los libros de Fulton y Harris, Procesi, o Simon.
138
MA–729: Teoría de Representaciones 5.5. Ejercicios sobre álgebras de Lie
5.5 Ejercicios sobre álgebras de Lie
Ejercicio 5.1. Si k y l son ideales de un álgebra de Lie g, mostrar que el subespacio [k, l]
es también un ideal de g.
Ejercicio 5.2. Sea g un álgebra de Lie y sean l y n ideales de g.
(a) Si l y g/l son solubles, mostrar que g es soluble.
(b) Dar un ejemplo de un álgebra de Lie g con un ideal n tal que n y g/n son nilpotentes,
pero g no es nilpotente.
Ejercicio 5.3. Si B(· , ·) es una forma bilineal simétrica sobre un espacio C-vectorial V
con base {e1, . . . , en}, y si bi j := B(ei, e j), comprobar que B es no degenerada si y solo
si la matriz [bi j] es invertible.
En el caso V = glC(g), calcular las matrices de la forma de Killing 〈· , ·〉 para el
álgebras de Lie g = sl(2,C), mostrando así que sl(2,C) es semisimple.28
Ejercicio 5.4. Sea g := C- lin〈p, q, r, z〉 el álgebra de Lie de dimensión 4 cuyo corchete
está determinado por las siguientes relaciones de conmutación:
[p, q] = z, [r, p] = q, [q, r] = p, [z, p] = [z, q] = [z, r] = 0.
Mostrar que g es soluble pero no es nilpotente.
Calcular la matriz de la forma de Killing sobre g respecto de esta base. (La forma de
Killing de un álgebra de Lie soluble es degenerada pero no necesariamente nula.)29
Ejercicio 5.5. En el álgebra de Lie matricial sl(n,C), mostrar que la forma de Killing
obedece la relación 〈x, y〉 = 2n tr(xy).
n Indicación: usar la base { Ei j : i , j } ∪ { Eii − Ei+1,i+1 : i = 1, . . . , n − 1 }. o
Ejercicio 5.6. Si g es semisimple y C = ∑ni=1 xiyi es su elemento de Casimir, y si
ρ : g → glC(V ) es una representación de g, demostrar que ρ(C) := ∑ni=1 ρ(xi) ρ(yi)
conmuta con ρ(g). Concluir que ρ(C) = λ 1V para algún λ ∈ C si ρ es irreducible.
Ejercicio 5.7. Hay una inclusión sl(2,C) ↪→ sl(3,C) como la esquina superior izquierda.
La acción adjunta entonces define una representación de g = sl(2,C) sobre sl(3,C).
Demostrar que sl(3,C) ' V0 ⊕V1 ⊕V1 ⊕V2 como g-módulos, donde Vr := lin〈v0, . . . , vr〉
en la notación del Lema 1.41.
28De hecho, el álgebra de Lie sl(2,C) es simple.
29La forma de Killing de un álgebra de Lie nilpotente es idénticamente nula; esta es una consecuencia
del teorema de LIe.
139
MA–729: Teoría de Representaciones 5.5. Ejercicios sobre álgebras de Lie
A continuación, g es un álgebra de Lie compleja semisimple, h es una subálgebra de
Cartan de g, Φ es el sistema de raíces de g relativo a h. Si α ∈ Φ, se denota por gα su
espacio radical.
Ejercicio 5.8. Denótese so′(m,C) := { X ∈ Mm(C) : X t = −X }; esta álgebra de Lie es
isomorfa, pero no igual, a la so(m,C) definida en el Ejercicio 1.20.
(a) Sea Ji := E2i−1,2i − E2i,2i−1 para 2i 6 m. Comprobar que Ji es un elemento
semisimple de g = so′(m,C).
(b) En los dos casos m = 2l y m = 2l + 1, mostrar que h := C- lin〈J1, . . . , Jl〉 es una
subálgebra de Cartan de g.
(c) Se sabe que dim(so′(4,C)) = 6. Hallar 4 autovectores conjuntos para (ad J1) y
(ad J2), mostrando que las raíces tienen la forma Φ = {±α,±β}.
Ejercicio 5.9. Sea g = so(m,C) – véase el Ejercicio 1.20. Para m = 2l o bien m = 2l+1,
hallar matrices diagonales H1, . . . , Hl en g tal que h := C- lin〈H1, . . . , Hl〉 sea una
subálgebra de Cartan de g.
Ejercicio 5.10. Mostrar que el álgebra de Lie sp(2l,C) del Ejercicio 1.20 coincide con
g =
{
X =
(
A B
C −At
)
: A, B,C ∈ Ml(C), Bt = B, Ct = C
}
.
Comprobar que h := { X ∈ g : B = C = 0, A es diagonal } es una subálgebra de Cartan.
Mostrar que los siguientes elementos generan30 todos los espacios radicales gα de g:
αi j = ei − e j : C = Ei j + E ji, A = B = 0;
−αi j = −ei − e j : B = Ei j + E ji, A = C = 0;
βi j = ei − e j : A = Ei j, B = C = 0;
donde i , j en cada caso. Mostrar también, al calcular los autovalores α(h) en casos
apropiados, que estas etiquetas (±ei ± e j) corresponden (mediante la forma de Killing
dual) con un sistema de raíces Cl = (Rl,Φ) el el espacio euclidiano Rl .
Ejercicio 5.11. Sea∆ := {α1, . . . , αl} un sistema de raíces simples para enΦ = Φ(g, h) y
seaΦ+ las raíces positivas (Definición 5.39) correspondientes. Mostrar que el subespacio
b := h ⊕
⊕
α∈Φ+
gα
30Por el Lema 5.27, cada gα = Ctα es unidimensional.
140
MA–729: Teoría de Representaciones 5.5. Ejercicios sobre álgebras de Lie
es una subálgebra de Lie de g (pero no es un ideal). Demostrar que b es soluble; y
además que es una subálgebra soluble maximal de g.
Ejercicio 5.12. Sea ∆ := {α1, . . . , αl} un sistema de raíces simples para en Φ = Φ(g, h).
Sea {hi, ei, fi} la base de la subálgebra slα – según la Proposición 5.24(d) – para α = αi.
Los números ci j := αi(hα j ) = nαi,α j son las entradas de la matriz de Cartan para Φ.
Demostrar que estos elementos cumplen las siguientes relaciones de Serre:31
[hi, h j] = 0;
[ei, fi] = hi, [ei, f j] = 0 si i , j;
[hi, e j] = ci je j, [hi, f j] = −ci j f j ;
(ad ei)1−ci j (e j) = 0 si i , j;
(ad fi)1−ci j ( f j) = 0 si i , j .
Ejercicio 5.13. El sistema de raíces A3 está dado por los vectores
Φ := { ±(e j − ek) : 1 6 j < k 6 4 }
en el hiperplano de R4 ortogonal al vector (e1 + e2 + e3 + e4). Por otro lado, el sistema
de raíces D3 está dado por los vectores
Ψ := { ±(ei ± e j) : 1 6 i < j 6 3 } ⊂ R3.
En cada caso, identificar una base ∆ = {α1, α2, α3} de raíces simples. Calcular las
matrices de Cartan para los dos sistemas Φ y Ψ, comprobando que son iguales; concluir
que A3 ' D3.
31Un teorema de Serre (véase el Teorema 18.3 del libro de Humphreys) asegura que 3l elementos que
satisfacen estas relaciones generan un par (g, h) cuyo sistema de raíces es Φ. De este modo, cualquier
sistema de raíces abstracto viene de un álgebra de Lie semisimple g con subálgebra de Cartan h.
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Indíce General
1 Álgebras asociativas 4
1.1 Estructuras algebraicas 4
1.2 Acciones y representaciones 7
1.3 Ejemplos de álgebras asociativas 11
1.4 Productos tensoriales 18
1.5 El álgebra de Lie sl(2, F) 25
1.6 Ejercicios sobre álgebras asociativas 28
2 Representaciones de álgebras finitodimensionales 36
2.1 Representaciones semisimples 36
2.2 Estructura de álgebras finitodimensionales 41
2.3 Representaciones indescomponibles 44
2.4 El carácter de una representación 48
2.5 Ejercicios sobre álgebras semisimples 49
3 Representaciones de grupos finitos 52
3.1 Semisimplicidad de las representaciones 52
3.2 El carácter de una representación 58
3.3 Relaciones de ortogonalidad de Schur 61
3.4 Representaciones inducidas 72
3.5 Ejercicios de representaciones de grupos 81
4 Representaciones del grupo Sn 87
4.1 La dualidad de Schur y Weyl 89
4.2 Los tableaux de Young 94
4.3 Polinomios de Schur 100
4.4 Representaciones de GL(m,C) 107
4.5 Ejercicios sobre representaciones de Sn 111
5 Estructura de álgebras de Lie 114
5.1 Álgebras de Lie semisimples 115
5.2 Subálgebras de Cartan 122
5.3 Sistemas de raíces 128
5.4 El grupo de Weyl 135
5.5 Ejercicios sobre álgebras de Lie 139
142