Revista de Matema´tica: Teor´ıa y Aplicaciones 2(1): 69–81 (1995)
de la fo´rmula de sumacio´n de poisson
a los teoremas de muestreo y reconstruccio´n
William J. Ugalde G.1
Introduccio´n
Los radioastro´nomos miden la visibilidad de una fuente luminosa para determinar la can-
tidad de luz emitida y su distribucio´n, bajo el principio que esta es la transformada de
Fourier de la visibilidad. En la teor´ıa de la informacio´n se reconstruyen sen˜ales continuas a
partir de mediciones uniformemente espaciadas. En la Tomograf´ıa Computada se pretende
la reconstruccio´n de un “objeto” conociendo sus integrales de l´ınea. Estas ideas se apoyan
en los teoremas de muestreo, en los cuales se estudian funciones de tipo banda limitada,
esto es, funciones cuya transformada de Fourier tiene soporte compacto. La idea es expresar
una funcio´n en su expansio´n de Fourier, a partir de all´ı deducir una fo´rmula de sumacio´n
para relacionar f con f̂ , y de ella, obtener un teorema de muestreo, en el cual se recupera f
mediante una sumatoria de valores de la funcio´n original y una funcio´n reconstructora. Si
la funcio´n estudiada no es de banda limitada pero su transformada de Fourier es pequen˜a
en algu´n sentido fuera de un compacto, es posible acotar la diferencia entre la funcio´n y su
posible aproximacio´n. En este trabajo se pretende explorar las te´cnicas que permiten con-
cluir los teoremas de muestreo a partir de las fo´rmulas de sumacio´n, presentar los diferentes
tipos de “series reconstructoras” (llamadas aqu´ı series cardenales) y dar un aporte sobre la
aproximacio´n de estas series por sus sumas parciales en el caso n-dimensional.
1 Fo´rmula de Sumacio´n de Poisson
Para f ∈ L1(IRn) se define su transformada de Fourier y su transformada inversa de Fourier
por las expresiones
(Ff)(x) = f̂(x) := (2pi)−n/2
∫ n
IR
e−ix·yf(y) dy
(F−1f)(y) = f˜(y) := (2pi)−n/2
∫ n
IR
eiy·xf(x) dx.
1Escuela de Matema´tica, Universidad de Costa Rica
69
70 w. ugalde
La transformada de Fourier de un elemento de L1(IRn)∩L2(IRn) esta´ en L2(IRn); as´ı el
teorema de Plancherel extiende la transformada de Fourier a un isomorfismo de L2(IRn) en
s´ı mismo que adema´s satisface ‖f‖L2(IRn) = ‖f̂ ‖L2(IRn).
Para f en el espacio de Schwartz, el espacio lineal de funciones C∞(IRn) tales que
‖f‖k,l := sup
x∈IRn, |α|≤l
|xkDαf(x)|, α ∈ INn,
sea finito para todo k ∈ INn y para todo l ∈ IN (aqu´ı xk = xk11 · · · x
kn
n , |α| = α1 + α2 +
· · · + αn para α = (α1, . . . , αn) y D
α representa el operador ∂
α1
∂x1
∂α2
∂x2
. . . ∂
αn
∂xn
); se satisfacen
las relaciones
˜̂
f =
̂˜
f = f y
̂̂
f(x) ≡ f(−x).
Es importante notar que F lleva S(IRn) en S(IRn), y que la aplicacio´n F :S → S es
un isomorfismo lineal topolo´gico (ver [2]). Si se considera f en L2([−api, api]n) con a > 0;
la familia ortonormal completa uk(x) := (2api)
−n/2ei/ak·x/a para k ∈ ZZn, se obtiene por la
identidad de Parseval, para f ∈ L2([−api, api]n):
f =
∑
k∈ZZn
〈f, uk〉uk =
∑
k∈ZZn
f̂k e
i/ax·k
donde
f̂k = (2api)
−n
∫
[−api,api]n
f(y)e−iy·k/a dy
y la convergencia es en el sentido de L2([−api, api]n). Es as´ı como el siguiente resultado es
va´lido.
Proposicio´n 1.1. Si f ∈ L2(IRn) con su soporte contenido en [−api, api]n, se tiene
f(x) = a−n(2pi)−n/2
∑
k∈ZZn
f̂(a−1k)eix·k/a, (1.1)
que, al tomar a = 1, da la expansio´n de Fourier para f ∈ L2 con sop f ⊂ [−pi, pi]n en la
forma
f(x) = (2pi)−n/2
∑
k∈ZZn
f̂(k)eix·k.
Dicha convergencia no solo vale en L2 sino tambien que es uniforme como se vera´ en la
seccio´n 2. Para una funcio´n en S(IRn) de soporte compacto se verifica, a partir de (1.1)∑
k∈ZZn
f(x+ k) = (2pi)n/2
∑
k∈ZZn
f̂(2pik)e2piik·x, (1.2)
gracias a la periodicidad de
∑
k∈ZZn f(x+ k). Mediante la “regularizacio´n” (aproximacio´n
de una funcio´n por funciones de soporte compacto) y la continuidad de la distribucio´n
Σ :=
∑
k∈ZZn δk se extiende (1.2) al resultado
Proposicio´n 1.2. Para f en S(IRn) se tiene∑
k∈ZZn
f(x+ k) = (2pi)n/2
∑
k∈ZZn
f̂(2pik)e2piik·x. (1.3)
de la fo´rmula de sumacio´n de poisson a los teoremas de muestreo y . . . 71
En el caso particular x = 0 se expresa (1.3) como la conocida Fo´rmula de Sumacio´n de
Poisson: ∑
k∈ZZn
f(k) = (2pi)n/2
∑
k∈ZZn
f̂(2pik). (1.4)
2 Teorema de Muestreo de Shannon y Convergencia Uni-
forme
La funcio´n seno cardenal dada por
senc(x) :=
∏
xj 6=0
senxj
xj
y senc 0 := 1 pertenece a L2(IRn) y tiene por transformada de Fourier
F(senc x) =
(
pi
2
)n/2
χ[−1,1]n .
Donde χA representa la funcio´n indicadora para A ⊂ IR
n.
Definicio´n 2.1. Para f en L2(IRn) se define su serie cardenal, de longitud de paso
h > 0, mediante la expresio´n formal
Shf(x) :=
∑
k∈ZZn
f(hk) senc
(
pi
h (x− hk)
)
. (2.1)
Si se considera f ∈ L2(IRn) tal que f̂ restricta al complemento del cubo [−pi/h, pi/h]n
sea ide´nticamente cero, para cualquier h > 0 se tiene, gracias a (1.1):
f̂(x) = hn(2pi)−n/2
∑
k∈ZZn
f(hk)e−ihk·x. (2.2)
Esta serie no es otra cosa que la expansio´n de Fourier de f̂ , la cual converge en L2(IRn).
La idea del teorema de marras, presentado aqu´ı como Teorema 2.1., es multiplicar ambos
lados de la expresio´n (2.2) por una funcio´n fija g; luego aplicar F−1 a ambos lados, usando
en el miembro de la izquierda las propiedades de la convolucio´n. En general, se tendr´ıan
ecuaciones de la forma
g(x)f̂(x) = hn(2pi)−n/2
∑
k∈ZZn
f(hk)g(x)e−ihk·x,
F−1(g(x)f̂ (x)) = hn(2pi)−n/2
∑
k∈ZZn
f(hk)F−1(g(x)e−ihk·x),
(g˜ ∗ f)(x) = hn(2pi)−n/2
∑
k∈ZZn
f(hk)F−1(g(x)e−ihk·x).
72 w. ugalde
La importancia de esta expresio´n radica en el siguiente concepto: si se identifica la
expresio´n F−1(g(x)e−ihk·x), la cual es independiente de f , se obtiene una funcio´n re- con-
structora para g˜ ∗ f .
En el caso particular en que se toma g = χ[−pi/h,pi/h]n se obtiene
f̂(x) = hn(2pi)−n/2
∑
k∈ZZn
f(hk)χpi/h(x)e
−ihk·x
y luego
f(x) =
∑
k∈ZZn
f(hk)F−1(hn(2pi)−n/2χpi/h(x)e
−ihk·x) =
∑
k∈ZZn
f(hk) senc
(
pi
h
(x− hk)
)
.
(2.3)
Definicio´n 2.2. Una funcio´n f en IRn se llama de banda limitada con longitud de
banda b, o simplemente b -banda limitada, si su transformada de Fourier f̂ es localmente
integrable e igual a cero fuera de la bola de radio b.
Con base en esta definicio´n, se puede reformular el desarrollo (2.3) en el siguiente teo-
rema, debido originalmente a Shannon [6].
Teorema 2.1. Si f es una funcio´n b-banda limitada y si h ≤ pi/b, se tiene
f̂(x) =
∑
k∈ZZn
f(hk)e−ihx·k,
y, en consecuencia,
f(x) = Shf(x) ≡
∑
k∈ZZn
f(hk) senc
(
pi
h (x− hk)
)
,
con convergencia tanto en el sentido de L2 como uniforme sobre IRn.
Aqu´ı la primera igualdad es simplemente la expansio´n de Fourier de f̂ y la segunda se
obtiene de la primera por el razonamiento expuesto. Dicho razonamiento establece la con-
vergencia en el sentido de L2. Para la convergencia uniforme se tiene la siguiente proposicio´n
(en [9] se desarrolla el caso unidimensional).
Proposicio´n 2.2. Para el espacio de funciones f ∈ L2(IRn) tales que f̂(z) = 0 para
todo z fuera de [−pi, pi]n, la funcio´n σ(x, y) definida por
σ(x, y) :=
∑
k∈ZZn
sencpi(x− k) senc pi(y − k)
es un nu´cleo reproductor, es decir
f(x) =
∫ n
IR
σ(x, y)f(y) dy.
de la fo´rmula de sumacio´n de poisson a los teoremas de muestreo y . . . 73
Este hecho se establece con la siguiente deduccio´n:∫
IRn
∑
k∈ZZn∩[−m,m]n
sencpi(x− k) senc pi(y − k)f(y) dy
= pi−n
(pi
2
)n/2 ∑
k∈ZZn∩[−m,m]n
senc pi(x− k)
∫
[−1,1]n
F(f(pi−1(·) + k))(v) dv
= pi−n
(pi
2
)n/2 ∑
k∈ZZn∩[−m,m]n
senc pi(x− k)
∫
[−pi,pi]n
eiw·kf̂(w) dw
=
∑
k∈ZZn∩[−m,m]n
sencpi(x− k)f(k) −→ S1f(x) = f(x).
El intercambio de serie e integral de la primera a la segunda l´ınea se justifica gracias a
que la suma es finita. Si se escribe
σm(x, y) :=
∑
k∈ZZn∩[−m,m]n
senc pi(x− k) senc pi(y − k),
se ha mostrado que la sucesio´n {σm(x, y)}m∈IN es una sucesio´n delta, o lo que es lo mismo,∫
IRn
σm(x, y)f(y) dy → f(x)
conforme m→∞, con convergencia en el sentido de L2(IRn). El resultado de la Proposicio´n
2.2 sigue a partir de la desigualdad de Schwarz:∫ n
IR
|(σ(x, y)− σm(x, y))f(y)| dy ≤ ‖f‖2‖σ(x, ·) − σm(x, ·)‖2.
Con K un conjunto acotado, al tomar como sumas parciales
SKf(x) :=
∑
k∈K∩ZZn
f(k) sencpi(x− k),
se tiene la acotacio´n
|f(x)− SKf(x)| ≤
(∫ n
IR
|σ(x, y)|2 dy
)1/2
‖f − SKf‖2,
y se obtiene la convergencia uniforme por ser∫ n
IR
|σ(x, y)|2 dy = σ(x, x) =
∑
k∈ZZn
senc2 pi(x− k)
perio´dica y uniformemente acotada.
Corolario 2.3. Para el espacio de funciones f ∈ L2(IRn) tales que f̂(z) = 0 para todo
z fuera de [−pi, pi]n
f(x) =
∫ n
IR
senc pi(x− y)f(y) dy.
Este hecho se concluye a partir de la Proposicio´n 2.2. y de (2.3).
74 w. ugalde
3 Acotacio´n del Error y Aproximacio´n de la Serie Cardenal
La llamada condicio´n de Nyquist, a saber, h ≤ pi/b, es la que garantiza la validez de la
representacio´n de f en la forma presentada en el Teorema 2.1. Para tratar de extender este
resulatado basta notar que no es necesario que f̂ se anule fuera de un conjunto, sino que
basta con que fuera de e´l sea pequen˜a en algu´n sentido, para tratar de aproximar la funcio´n
a partir de su serie cardenal. Es as´ı como se considera la siguiente definicio´n.
Definicio´n 3.1. Una funcio´n f en IRn se llama esencialmente de banda limitada
si su transformada de Fourier f̂ es localmente integrable y satisface la condicio´n: para ε > 0
existe un conjunto compacto K en IRn tal que
∫
IRn\K |f̂(x)| dx ≤ ε.
Conside´rese, f en L2(IRn), tal que la expresio´n
g(x) := (2pi)−n/2hn
∑
k∈ZZn
f(hk)e−ihk·x, (3.1)
a saber, el lado derecho de la fo´rmula de sumacio´n de Poisson (2.2), sea convergente en
L2(IRn).
Al calcular la transformada de Fourier de Shf , se tiene
F(Shf)(x) = χ[−pi/h,pi/h]n(x)g(x) = χpi/h(x) g(x);
por lo cual
F(Shf)(x)− f̂(x) = (χpi/h(x)− 1)f̂(x) + χpi/h(x)
∑
k∈ZZn\{0}
f̂(x− 2kpi/h),
y as´ı, mediante la transformada inversa de Fourier
Shf(x)− f(x) = (2pi)
−n/2
∫
IRn\[−pi/h,pi/h]n −f̂(y)e
−ix·y dy
+(2pi)−n/2
∫
[−pi/h,pi/h]n
∑
k∈ZZn\{0} f̂(y − 2kpi/h)e
−ix·y dy.
(3.2)
La segunda integral puede escribirse en la forma (ver [5])
∫
IRn\[−pi/h,pi/h]n
K(x, u)f̂(u) du,
donde K(x, u) := exp(−ix · (u+2kpi/h)) si u ∈ [−pi/h, pi/h]n− 2kpi/h. Como |K(x, u)| ≤ 1,
se tiene que∣∣∣∣(2pi)−n/2
∫
[−pi/h,pi/h]n
∑
k∈ZZn\{0}
f̂(y − 2kpi/h)e−ix·y dy
∣∣∣∣ ≤ (2pi)−n/2
∫
IRn\[−pi/h,pi/h]n
|f̂(x)| dx.
Evidentemente, la primera integral de la expresio´n (3.2) satisface la misma cota. Se ha
obtenido as´ı el siguiente resultado.
de la fo´rmula de sumacio´n de poisson a los teoremas de muestreo y . . . 75
Teorema 3.1 Para f en L2(IRn), vale
|Shf − f | ≤ 2(2pi)
−n/2
∫
IRn\[−pi/h,pi/h]n
|f̂(x)| dx.
Es importante notar que la condicio´n h ≤ pi/b no fue requerida; as´ı pues, se tiene
abierto el portillo para estudiar el caso h > pi/b. La importancia de este ana´lisis radica en
la siguiente observacio´n: siempre que∫
IRn\[−pi/h,pi/h]n
|f̂(x)| dx ≤ ε, se tiene |Shf − f | ≤ 2(2pi)
−n/2ε.
Hasta este punto se ha concluido que la serie cardenal recupera la funcio´n si es de banda
limitada, o bien, se ha acotado el error que se comete al aproximar la funcio´n en el caso de
ser esencialmente de banda limitada. Por lo cual, lo realmente interesante aqu´ı es aproximar
Shf mediante una suma finita. En este sentido va el proximo aporte.
Definicio´n 3.2. Sea K una parte de IRn. Se considera para f la suma
Sh,Kf(x) :=
∑
k∈ZZn∩K
f(hk) senc
(pi
h (x− hk)
)
.
Evidentemente, si sop f ⊂ hK se tiene que Sh,Kf = Shf . Es importante notar que una
funcio´n de soporte compacto no puede ser de banda limitada sin ser cero en todo IRn, por
los teoremas de Paley y Wiener (ver [7] para algunas de sus versiones). En caso contrario,
Sh,Kf +Sh,Kcf = Shf ; esto no representa un reordenamiento que altere la convergencia de
la serie pues una de las sumas es finita siempre que K o su complemento Kc sea acotado.
Aqu´ı
|Sh,Kcf(x)| =
∣∣∣∣ ∑
k∈ZZn\K
f(hk) senc
(
pi
h (x− hk)
)∣∣∣∣,
|Shf(x)− Sh,Kf(x)| ≤
(
h
pi
)n ∑
k∈ZZn\K
|f(hk)|
1
|x− hk|n
, (3.3)
donde |x−hk|n := |(x1−hk1) . . . (xn−hkn)|. Por ejemplo, para n = 1 se tiene, con K ⊂ ZZ,
|Shf(t)− Sh,Kf(t)| ≤
h
pi
∑
k/∈K
|f(hk)|
|t− hk|
.
Es necesario exigir una condicio´n sobre f que garantice la convergencia de esta u´ltima serie.
Se obtiene el siguiente resultado (ver [8]).
Teorema 3.2. Sea f una funcio´n definida en IRn tal que la serie∑
k∈ZZn
|f(hk)|
|x− hk|n
sea uniformemente convergente. Entonces, para todo ε > 0, existe Kε compacto en IR
n que
satisface, para todo x ∈ IRn,
|Shf(x)− Sh,Kεf(x)| < ε.
La demostracio´n es inmediata de la convergencia uniforme y de (3.3).
76 w. ugalde
4 Extensiones de la Fo´rmula de Sumacio´n y de los Teoremas
de Muestreo y Reconstruccio´n
Si se denota tambie´n por H la transformacio´n lineal invertible asociada a la matriz H(n×n)
en la base cano´nica de IRn, y si se toma g en S(IRn), entonces la funcio´n g ◦H pertenece a
S(IRn) y para esta funcio´n se tiene∑
k∈ZZn
F(g ◦H)(z − 2kpi) = (2pi)−n/2
∑
k∈ZZn
g(Hk)e−ik·z .
Por otra parte,
F(g ◦H)(x) =
1
|detH|
ĝ((H−1)Tx).
As´ı se establece, mediante el cambio HTx = z, una versio´n ma´s general de la Fo´rmula
de sumacio´n de Poisson.
Teorema 4.1. Para H una matriz invertible n× n y para g en S(IRn), se tiene
(2pi)−n/2|detH|
∑
k∈ZZn
g(Hk)e−iHk·z =
∑
k∈ZZn
ĝ(z − 2pi(H−1)Tk).
En Faridani [1], se propone el desarrollo del siguiente ejemplo: conside´rese f funcio´n
de variable real con transformada de Fourier de soporte en K = [−pi, pi). Para h 6= 0, los
conjuntos K+2pi(h−1)k = K +2kpi/h, con k ∈ ZZ, son mutuamente disjuntos para |h| ≤ 1.
Al tomar h = 2, los conjuntos K ± 2pi/h = K ± pi tienen interseccio´n con K, y lo
descomponen en los intervalos K1 = [−pi, 0) y K2 = [0, pi). No´tese que para todo x en
[−pi, 0) se tiene que x− kpi ∈ [−pi, pi) si y solo si k ∈ {0,−1} y para x en [0, pi) se tiene que
x− kpi ∈ [−pi, pi) si y solamente si k ∈ {0, 1}.
Para α arbitrario en (0, 2), se resuelven las ecuaciones:
β11 + β
1
2 = 1; β
1
1 + β
1
2e
ipiα = 0; β21 + β
2
2 = 1; β
2
1 + β
2
2e
−ipiα = 0,
para obtener
β11 = β
2
2 = β¯
2
1 = β¯
1
2 = (1− e
−ipiα)−1 =
1
2
(
1− i
senpiα
1− cos piα
)
.
As´ı, al aplicar el Teorema 4.2 (que se expondra´ a continuacio´n) para el caso en quem1 =
m2 = m = L = 2, se tiene, para α1 = 0, α2 = α, {k11, k12} = {0,−1} y {k21, k22} = {0, 1}:
f(x) =
2∑
r=1
∑
k∈ZZ
f(αr + hk)gr(x− αr − hk)
=
2∑
r=1
∑
k∈ZZ
2∑
l=1
f(αr + hk)(2pi)
−1/2|h|βlr χ̂Kl(−x+ αr + hk)
de la fo´rmula de sumacio´n de poisson a los teoremas de muestreo y . . . 77
=
|h|
2
2∑
r=1
∑
k∈ZZ
f(αr + hk) senc(
pi
2 (−x+ αr + hk))
×
(
cos(pi2 (−x+ αr + hk)) + sen(
pi
2 (−x+ αr + hk))
senpiα2
1− cos piα2
)
.
Gracias a la arbitrariedad de α, se permite cierto grado de libertad al elegir los puntos
donde se muestrea la funcio´n f .
Se pretende producir un teorema de muestreo para una funcio´n cuya transformada de
Fourier esta´ soportada sobre una unio´n finita de compactos disjuntos K = ∪Ll=1Kl. En el
teorema de Petersen y Middleton sobre muestreo, se expresa una funcio´n f en S(IRn) con
sop f̂ ⊂ K como
f(x) = (2pi)−n/2|detH|
∑
k∈ZZn
χ̂K(−x+Hk)f(Hk), (4.1)
donde H es un matriz invertible n×n tal que los conjuntos K +2pi(H−1)Tk, con k en ZZn,
sean disjuntos. El lado derecho de (4.1) es una versio´n de la “serie cardenal” la cual tiene
por funcio´n reconstructora χ̂K . Faridani presenta este resultado como un caso particular
de:
Teorema 4.2. Para l = 1, 2, . . . , L, sean Kl ⊂ IR
n conjuntos acotados medibles y
disjuntos, po´ngase K :=
⋃L
l=1 Kl y sea H una matriz invertible, real, n × n tal que para
cada l ∈ {1, . . . , L} existe Ml ⊂ ZZ
n, Ml = {0 = kl1, . . . , klml} con 1 ≤ ml < ∞ con la
siguiente propiedad: para todo z ∈ Kl y k ∈ ZZ
n, z − 2pi(H−1)Tk pertenece a K si y solo si
k ∈Ml.
Sea m := max{m1, . . . ,mL} y sean α1, . . . , αm en IR
n tales que existen βlr ∈ C
n para
r = 1, . . . ,m, l = 1, . . . , L que satisfacen las ecuaciones:
m∑
r=1
βlr = 1,
m∑
r=1
βlr e
−2pii(H−1αr)·klj = 0 para j = 2, . . . ,ml. (4.2)
Para f en S(IRn) con sop(f̂ ) ⊂ K, vale
f(x) = (2pi)−n/2|detH|
m∑
r=1
∑
k∈ZZn
f(αr +Hk)
L∑
l=1
βlr χ̂Kl(−x+ αr +Hk). (4.3)
La expresio´n (4.3) es una versio´n de la “serie cardenal”, la cual se utiliza para funciones
con transformada de Fourier soportada en compactos K1, · · · ,KL y tiene por funcio´n re-
constructora
∑L
l=1 β
l
r χ̂Kl(−x+αr+Hk). El nu´cleo de la prueba se encuentra en el ca´lculo
de la transformada de Fourier de la expresio´n a la derecha de (4.3), dicha transformada se
78 w. ugalde
expresa como
m∑
r=1
∑
k∈ZZn
f(αr +Hk)(2pi)
−n/2|detH|
L∑
l=1
βlr χkl(z)e
−iz·(αr+Hk)
=
m∑
r=1
L∑
l=1
βlr χKl
∑
k∈ZZn
f̂(z − 2pi(H−1)T k)e−2ipik·H
−1αr
=
m∑
r=1
L∑
l=1
βlr χKl
ml∑
j=1
f̂(z − 2pi(H−1)Tklj)e
−2ipiklj ·H
−1αr
=
L∑
l=1
χKl f̂(z) = f̂(z),
al usar las identidades (4.2).
Se pretende ahora estudiar la fo´rmula de sumacio´n para funciones que son perio´dicas
en algunas de sus variables, y a partir de all´ı obtener una versio´n del teorema de muestreo
para cilindros toroidales T n1 × IRn2. En el presente apartado se consideran funciones sobre
el grupo de Lie T n1 × IRn2 donde T es el grupo IR/2piZZ (es decir, el c´ırculo o toro uni-
dimensional). Se asume [−pi, pi) como un modelo para T y su medida de Lebesgue es la
restriccio´n de la medida de Lebesgue de IR a [−pi, pi).
Definicio´n 4.1 Se denota por L(n1, n2) el espacio de funciones de IR
n1+n2 en C, que
pertenecen a L1(IRn2) con los primeros n1 argumentos fijos y a C
∞(IRn1) y son 2pi perio´dicas
con los u´ltimos n2 argumentos fijos. Si x ∈ IR
n1, y ∈ IRn2, se escribe (x, y) ∈ IRn1+n2;
entonces f ∈ L(n1, n2) si y solo si:
(a) f(x, ·) ∈ L1(IRn2) para cada x ∈ IRn1;
(b) f(·, y) ∈ C∞(IRn1) para cada y ∈ IRn2;
(c) f(x+ 2pik, y) = f(x, y) si k ∈ ZZn1.
Para este espacio la transformada de Fourier adquiere la forma
f̂(x, y) := (2pi)−(n1+n2)/2
∫
IRn2
∫
T n1
f(u, v)e−ix·ue−iy·v dv du
donde (x, y) ∈ ZZn1 × IRn2 y (u, v) ∈ T n1 × IRn2.
En [1] se aprecia la secuencia de pasar de una representacio´n para f en te´rminos de una
versio´n de la “expansio´n de Fourier”, a una versio´n de la “fo´rmula de sumacio´n” y de all´ı,
a un “teorema de muestreo”. El primer paso es obtener el siguiente resultado:
Lema 4.3. Si H es una matriz invertible n×n y si g ∈ C(IRn) cumple g(x+Hk) ≡ g(x)
para todo k ∈ ZZn, se tiene que
g(x) =
∑
k∈ZZn
ĝk e
2piik·H−1x
de la fo´rmula de sumacio´n de poisson a los teoremas de muestreo y . . . 79
con
ĝk =
∫
[− 1
2
, 1
2
]n
g(Hx)e−2piik·x dx = |detH|−1
∫
H([− 1
2
, 1
2
]n)
g(x) e−2piik·H
−1x dx. (4.4)
A partir de aqu´ı, si se define
Definicio´n 4.2. Una matriz invertible H de orden (n1 + n2)× (n1 + n2) se llama una
matriz factible (n1, n2) si existe otra matriz de enteros J de orden (n1 + n2)× n1 tal que
HJ =
(
2piIn1
0
)
.
Para A(n1, n2) := {k ∈ ZZ
n1+n2 : Hk ∈ T n1 × IRn2}. Se tiene una versio´n de la fo´rmula de
Sumacio´n de Poisson para T n1 × IRn2 en la siguiente forma (ver Kruse [4]).
Teorema 4.4. Sean H una matriz factible (n1, n2) y sea f en L(n1, n2) tal que las
series
g(x) :=
∑
k∈A(n1,n2)
f(x+Hk)
convergen absolutamente para todo x. Entonces
|detH|
∑
k∈A(n1,n2)
f(Hk) = (2pi)(n1+n2)/2
∑
k∈ZZn1+n2
f̂(2pi(H−1)T k). (4.5)
Para ver la prueba primero deben notarse las siguientes identidades, con n := n1 + n2
por comodidad.
g(x) =
∑
k∈ZZn
ĝk e
2piik·H−1x,
donde
ĝk = |detH|
−1
∑
l∈A(n1,n2)
∫
H([− 1
2
, 1
2
]n)−Hl
f(y) e−2piik·H
−1(y−Hl) dy
= |detH|−1
∫
T n1×IRn2
f(x) e−2pii(H
−1)T k·x dx.
Esta deduccio´n establece la identidad:
|detH|
∑
k∈A(n1,n2)
f(x+Hk) = (2pi)n/2
∑
k∈ZZn
f̂(2pi(H−1)Tk)e2piik·H
−1x. (4.6)
La fo´rmula de sumacio´n (4.5) se obtiene al tomar x = 0 en (4.6).
Con el fin de obtener un teorema de muestreo se considera:
Definicio´n 4.3. El espacio S(n1, n2) formado por las funciones C
∞ sobre IRn1+n2 que
son 2pi perio´dicas en los primeros n2 argumentos y de clase de Schwartz en los u´ltimos n2
argumentos. Es decir, f ∈ S(n1, n2) si y solo si:
80 w. ugalde
(a) f ∈ C∞(IRn1+n2);
(b) f(x, ·) ∈ S(IRn2) para cada x ∈ IRn1 ;
(c) f(x+ 2pik, y) = f(x, y) si k ∈ ZZn1.
No´tese que S(n1, n2) es un subespacio vectorial de L(n1, n2); entonces cada f en S(n1, n2)
tiene definida su transformada de Fourier f̂ :ZZn1 × IRn2 → C.
La transformada inversa de Fourier es dada, en este caso, para una funcio´n g:ZZn1 ×
IRn2 → C por
g˜(u, v) := (2pi)−(n1+n2)/2
∫
IRn2
∑
x∈ZZn1
g(x, y) eix·ueiy·v dy.
Obse´rvese que la medida en ZZn1 × IRn2 es la medida producto de la medida discreta en
ZZn1 y la medida de Lebesgue en IRn2.
Teorema 4.5. Sea K =
⋃L
l=1Kl ⊂ ZZ
n1 × IRn2, donde los conjuntos K1, . . . ,KL son
disjuntos, acotados y medibles. Sea H una matriz factible (n1, n2) que cumple las hipo´tesis
del Teorema 4.2., para n = n1 + n2. Para f ∈ S(n1, n2), escr´ıbase
SHf(x) := (2pi)
−n/2|detH|
m∑
r=1
∑
k∈A(n1,n2)
f(αr +Hk)
L∑
l=1
βlr χ˜Kl(x− αr −Hk). (4.7)
Entonces, si f ∈ S(n1, n2) con sop f̂ contenido en K, se tiene
SHf(x) = f(x). (4.8)
La prueba del Teorema 4.5 sigue por repetir los pasos de la prueba del Teorema 4.2. Como
una generalizacio´n del Teorema 4.3. se tiene el resultado siguiente.
Teorema 4.6 Sean K =
⋃L
l=1 Kl, y sea H una matriz factible (n1, n2) segu´n las hipo´tesis
del Teorema 4.5. Para f ∈ S(n1, n2), sea SHf la “serie cardenal” definido por (4.7).
Entonces, si n = n1 + n2, se tiene
|SHf(x)− f(x)| ≤ (2pi)
−n/2
∫
ZZn1×IRn2 |F(SHf)(z)− f̂(z)| dz
≤ (2pi)−n/2(1 + β)
∫
ZZn1×IRn2\K |f̂(z)| dz,
(4.9)
con β := mmax1≤l≤L
∑m
r=1 |β
l
r|.
Este resultado es u´til porque determina la proximidad de SHf a f para funciones que
son de tipo esencialmente de banda limitada en este espacio.
Conclusio´n
Sea la funcio´n f de banda limitada o esencialmente de banda limitada, es posible, exigiendo
que sean uniformemente convergentes las series
∑
k∈ZZn
|f(hk)|
|x− hk|n
,
de la fo´rmula de sumacio´n de poisson a los teoremas de muestreo y . . . 81
acotar la diferencia |Shf − Sh,Kεf | y as´ı, a partir de una suma finita aproximar, los valores
de f tan solo con una cantidad finita de sus valores, a saber sus valores sobre Kε ∩ hZZ
n.
Adema´s de esto se ha expuesto el camino a seguir para reconstruir funciones de tipo
banda limitada en diferentes espacios, haciendo uso de las Fo´rmulas de Sumacio´n de Poisson,
y se ha acotado el error cometido al estudiar funciones de tipo esencialmente de banda
limitada.
Como una especie de pequen˜o anexo, se llama la atencio´n sobre el siguiente resultado. Si
se define una funcio´n en L2(IRn) como de tipo casi b−banda limitada si su transformada
de Fourier es igual a cero c.p.d. fuera de la bola de radio b. Natterer, en [5], prueba que
fuera de los conjuntos K(φ, b) := { (ν, s) ∈ ZZ × IR : |s| < b, |ν| < max(φ−1|s|, (φ−1 − 1)b) }
una funcio´n f en S(IR2) satisface para 0 < φ < 1 y su transformada de Radon ‖Rf‖∞ ≤ ε,
donde ε es una constante sobre la que se tiene control. Al aplicar las te´cnicas expuestas se
obtiene en [1] una versio´n del Teorema 4.6.
|SHRf(θ, s)−Rf(θ, s)| ≤
1 + β
2pi
ε.
Referencias
[1] Faridani, A. (1990) “An application of a multidimensional sampling theorem to com-
puted tomography”, Contemp. Math., 113: 65–79.
[2] Shannon, C. E. (1949) “Communication in the presence of noise”, Proc. IRE, 37: 10–21.
[3] Jerri, A. J. (1977) “The Shannon sampling theorem, its various extensions and appli-
cations: a tutorial review”, Proc. IEEE 65: 1565–1597.
[4] Kruse, H. (1989) “Resolution of reconstruction methods in computerized tomography”,
SIAM J. Sci. Stat. Comput., 10: 447–474.
[5] Natterer, F. (1986) The Mathematics of Computerized Tomography, John Wiley &
Sons, New York.
[6] Shannon, C. E. (1949) “Communication in the presence of noise” Proc. IRE, 37: 10–21.
[7] Smith, K. T.; Solmon, D. C.; Wagner, S. L. (1977) “Practical and mathematical aspects
of the problem of reconstructing objects from radiographs”, Bull. Amer. Math. Soc.,
83: 1227–1270.
[8] Ugalde, W. J. (1995) La Fo´rmula de Sumacio´n de Poisson y su Aplicacio´n a los Teo-
remas de Muestreo y Reconstruccio´n. Tesis de Licenciatura, Universidad Costa Rica.
[9] Walter, G. G. (1994) “Wavelets and other Orthogonal Systems with Applications”,
manuscrito en prensa.