Revista de Matema´tica: Teor´ıa y Aplicaciones 2012 19(1) : 107–119
cimpa – ucr issn: 1409-2433
tsunami. un problema
matema´ticamente interesante
tsunami. an interesting mathematical
problem
Rodrigo Gonza´lez Gonza´lez∗
Modesto Ortiz Figueroa†
Jose´ Miguel Montoya Rodr´ıguez‡
Received: 13-Feb-2010; Revised: 28-Oct-2011; Accepted:
30-Nov-2011
Resumen
Se presentan algunos aspectos fundamentales respecto a la ma-
tema´tica y la herramienta computacional que apoyan la compleja
descripcio´n del proceso f´ısico tsunami desde dos enfoques espec´ıficos.
En particular, se aborda anal´ıticamente un modelo hidroela´stico sim-
ple para el problema de generacio´n de ondas tsunami, el cual permite
obtener resultados en el a´rea de ruptura. Por otra parte, el pro-
ceso de propagacio´n de las ondas tsunami en el oce´ano y el impacto
∗Departamento de Matema´ticas, Universidad de Sonora. Hermosillo, Sonora, Me´xico.
E-Mail: rgonzlz@gauss.mat.uson.mx
†Departamento de Oceanograf´ıa F´ısica, CICESE. Ensenada, Baja California, Me´xico.
E-Mail: ortizf@cicese.mx
‡Divisio´n de Ingenier´ıa de Puertos y Costas, Instituto Mexicano del Transporte.
Quere´taro, Me´xico. E-Mail: mmontoya@imt.mx
107
108 r. gonza´lez – m. ortiz – j.m. montoya
a lo largo de la l´ınea costera se analiza nume´ricamente utilizando
el enfoque hidrodina´mico, presentando en particular una aplicacio´n
directa sobre la prediccio´n de tsunamis en Me´xico producidos por
sismos potenciales en la trinchera Mesoamericana mediante el disen˜o
de un “Mo´dulo Sintetizador de Tsunamis” para simular tsunamis ori-
ginados por sismos ocurridos en la zona de subduccio´n de la costa
occidental de Me´xico.
Palabras clave: ondas tsunami, me´todos matema´ticos, simulacio´n.
Abstract
We present some key aspects regarding the mathematics and the
computational tool that support the complex description of the phys-
ical process tsunami from two specific approaches. In particular, it
addresses analytically a simple hydroelastic model for the problem of
tsunami wave generation, which provides results in the rupture area.
Moreover, the propagation of tsunami waves in the ocean and the
impact along the coastline is analyzed numerically using the hydro-
dynamic approach, presenting in particular a direct application to the
prediction of tsunamis in Mexico caused by potential earthquakes in
the Mesoamerican trench through the design of a “Tsunami Toolbox”
to simulate tsunamis caused by earthquakes in the subduction zone
on the western coast of Mexico.
Keywords: tsunami waves, mathematical methods, simulation.
Mathematics Subject Classification: 76U05, 76V05.
1 Introduccio´n
El problema de tsunami es un tema de intere´s mundial e importancia ac-
tual debido a las implicaciones catastro´ficas que algunas veces origina la
ocurrencia del as´ı llamado feno´meno f´ısico tsunami1 sobre los litorales cos-
teros a lo largo de los oce´anos alrededor del mundo, en particular sobre el
Oce´ano Pac´ıfico donde la actividad s´ısmica es muy frecuente por el aco-
modamiento natural de las placas tecto´nicas involucradas, la cual es una
de las principales causas de origen de un tsunami.
Un tsunami es una serie de ondas de periodo largo (t´ıpicamente entre
10 y 60 minutos) generadas en el oce´ano por una perturbacio´n ra´pida a
gran escala, las cuales se mueven a gran velocidad (alrededor de 700 km/h,
la velocidad de crucero de un avio´n comercial), con longitudes de onda
muy extensas (del orden de cientos de kilo´metros). En mar abierto, un
1El te´rmino tsu-nami, el cual se pronuncia “su-na´-mi”, es una expresio´n compuesta
en Japone´s que significa “ola de puerto”, cuyo equivalente en Espan˜ol es maremoto.
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 19(1): 107–119, January 2012
tsunami. un problema matema´ticamente interesante 109
tsunami es escasamente perceptible; so´lo cuando se aproxima a tierra firme
es cuando se convierte en una amenaza. Cuando un tsunami alcanza aguas
poco profundas, las olas sufren desaceleracio´n y se contraen causando un
incremento en la altura, conservando casi intacta toda su energ´ıa (efecto de
embotellamiento). Al ocurrir un tsunami, en el mejor de los casos este llega
a la costa so´lo como una ligera agitacio´n de la marea normal, pero algunas
veces su potencia es de tal magnitud que implica un aumento considerable
en el nivel del mar causando grandes inundaciones, cuyas consecuencias
dependen de las caracter´ısticas del lugar de impacto. Au´n cuando la causa
ma´s comu´n por la que se forman los tsunamis se debe a la ocurrencia de
terremotos en el sustrato ocea´nico bajo condiciones hasta el momento no
del todo especificadas, otras posibles causas son erupciones volca´nicas en
el lecho marino, deslizamientos en el relieve del fondo del mar, condiciones
metereolo´gicas adversas e impactos de meteoritos. Sin importar el ori-
gen, un tsunami evoluciona en tres distintas etapas sucesivas: generacio´n
por cualquier fuerza que perturba una enorme columna de agua en el mar,
propagacio´n desde aguas profundas cercanas al epicentro2 de la fuente per-
turbadora hac´ıa el litoral de la costa en direcciones espec´ıficas y finalmente
impacto e inundacio´n de las regiones costeras ma´s vulnerables.
De los procesos descritos, el de generacio´n y el de inundacio´n son los
ma´s dif´ıciles de analizar matema´ticamente.
Actualmente, existe una gran cantidad de trabajos en relacio´n al pro-
blema de tsunami, en los que se utilizan diferentes modelos con el fin de
obtener informacio´n relevante para comprender mejor y mitigar el impacto
de este tipo de desastres naturales. El trabajo matema´tico es complicado
y requiere de herramientas de alto nivel, inclusive en las etapas ma´s simpli-
ficadas del problema. Ba´sicamente, se tienen dos enfoques para estudiar
ondas tsunami originadas por terremotos: el hidroela´stico, en el que se
analiza el acoplamiento de un sistema de dos o ma´s capas, el cual lleva a
un problema de condicio´n en la frontera, con la posibilidad de manipular
su solucio´n de forma semi-anal´ıtica; y el hidrodina´mico, en el que se consi-
dera un sistema con una capa de fluido sobre una base r´ıgida, considerando
un modelo plano o uno esfe´rico, el cual lleva a un problema de condicio´n
inicial que comu´nmente se analiza de forma nume´rica.
El enfoque hidroela´stico fue estudiado anal´ıticamente por G.S.
Pod”yapol’sky (1968)[9] y extensiones de su ana´lisis fueron hechas esencial-
mente por N.V. Zvolinskii (1991)[10], S.Ya. Sekerzh-Zenkovich
et al (2000) [4], entre otros, utilizando la aproximacio´n de ondas largas. El
enfoque nume´rico del problema es mucho ma´s amplio, con una larga lista
2El epicentro es la proyeccio´n superficial del hipocentro, punto donde inicia la falla
por deslizamiento o singularidad de la fuente.
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 19(1): 107–119, January 2012
110 r. gonza´lez – m. ortiz – j.m. montoya
de contribuciones disponibles en la literatura. Sin embargo, sigue habiendo
preguntas acerca de la ocurrencia de un tsunami que no tienen respuesta
clara o satisfactoria y aunque se han obtenido resultados muy importantes
no es del todo claro que es lo que sucede exactamente en el oce´ano en
el a´rea de ruptura de un terremoto submarino y cua´ndo este provoca un
tsunami. Como consecuencia, se sigue presentando un alto ı´ndice de falsa
alarma y a la fecha no existe una respuesta convincente para la pregunta
¿Por que´ algunos terremotos producen tsunamis, mientras que otros que se
esperar´ıa que lo hicieran no?
El objetivo del presente trabajo es describir de forma muy general los
dos enfoques para la modelacio´n de este interesante problema. La atencio´n
se centra sobre un modelo espec´ıfico del enfoque hidroela´stico que gener-
aliza al trabajo antecesor, obteniendo resultados en el a´rea de ruptura que
permiten obtener conclusiones importantes sobre el problema de genera-
cio´n de ondas tsunami. En cuanto al enfoque hidrodina´mico, utilizado
en la propagacio´n e impacto, en especial se concluye con una aplicacio´n
directa sobre la prediccio´n de tsunamis en Me´xico producidos por sismos
potenciales en la trinchera Mesoamericana.
2 Un modelo hidroela´stico simple.
Enfoque anal´ıtico
Se considera un sistema formado por una capa delgada £F de un fluido
de densidad constante ρ0 y profundidad constante h0 (el mar) sobre un
cuerpo ela´stico LE perfecto, iso´tropo, homoge´neo y de densidad constante
ρ1 (la tierra), que ocupa el semi-espacio z ≤ 0, cuyo eje z (normal a las
capas) es positivo en la direccio´n superior, con z = 0 en la interfase entre el
fluido y el medio ela´stico en el estado sin perturbar, asumiendo que pasa a
trave´s de la fuente de perturbacio´n (un sismo) con hipocentro en z = −h.
En la Figura 1 se ilustra el modelo plano bicapa tierra-oce´ano con simetr´ıa
axial.
El problema se establece bajo la suposicio´n usual de la teor´ıa lineal,
consideracio´n de la accio´n de la gravedad, sin tomar en cuenta la curvatura
y la fuerza de Coriolis de la Tierra, presio´n constante en la superficie libre
del mar y actuacio´n de una fuente s´ısmica descrita de una forma muy
simple para mantener la simetr´ıa axial y la posibilidad de obtener solucio´n
anal´ıtica directa. Este modelo se considera como base para un estudio ma´s
profundo y realista del problema de generacio´n de ondas tsunami.
El objetivo es obtener las expresiones para los desplazamientos verti-
cales ζ = ζ(r, t), la elevacio´n de la superficie libre del fluido respecto al
nivel de equialibrio la cual permite analizar los diferentes tipos de ondas
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 19(1): 107–119, January 2012
tsunami. un problema matema´ticamente interesante 111
ζ
!
η




























































6
z
-
r
?
g
6
?
h0
(0,0,−h)
XXy fuente de perturbacio´n
(centro de expansio´n o falla por dislocacio´n)
Oce´ano £F
Tierra LE
∗fhjm
6
?
ff 
R	
I





.......












Figura 1: Modelo Hidroela´stico Simple para el Problema de Tsunami.
generadas en la capa liquida y η = η(r, t), la variacio´n de la interface entre
el fluido y el medio ela´stico, muy importante para el ana´lisis teo´rico de
varias variables s´ısmicas. En espec´ıfico, la tarea es determinar las condi-
ciones bajo las cuales el comportamiento de ζ puede ser clasificado como
una onda tipo tsunami y establecer cuales son los para´metros f´ısicos ma´s
importantes que contribuyen en el proceso de generacio´n de un tsunami.
El movimiento del fluido en la capa liquida, £F , considerando compre-
sibilidad por el efecto de la fuerza del campo gravitacional de la Tierra
sobre la columna de agua del mar, de acuerdo a [1] y [6], es determinado
por la velocidad v = −grad φ, donde φ = φ(r, z, t), llamado potencial de
velocidad del fluido, satisface la ecuacio´n
∂2φ
∂t2
= c2f∆φ− g
∂φ
∂z
, en £F = {(r, z) | r > 0, 0 < z < h0} , (1)
con cf la velocidad de fase de las ondas en el fluido, g la aceleracio´n de la
gravedad y ∆ = ∂2/∂r2 + (1/r)∂/∂r + ∂2/∂z2 el operador Laplaciano en
coordenadas cil´ındricas, con vectores base er, eθ, ez.
Por otra parte, el vector de desplazamiento a trave´s del semi-espacio
ela´stico LE, denotado por s(r, z, t) = srer+ sθeθ+ szez, el cual de acuerdo
a la teor´ıa lineal de la elastodina´mica [1] satisface la Ecuacio´n Cla´sica de
Navier
∂2s
∂t2
= (a2 − b2) grad div s+ b2∆s+ F, (2)
en LE = {(r, z) | r > 0, z < 0} ,
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 19(1): 107–119, January 2012
112 r. gonza´lez – m. ortiz – j.m. montoya
donde a y b son, respectivamente, la velocidad de las ondas longitudinales
(compresio´n) y transversales (distorsio´n) en el medio ela´stico, esta´n rela-
cionadas con los para´metros ela´sticos de Lame´ por a2 = (λ+2µ)/ρ1 y b
2 =
µ/ρ1. El te´rmino F, que aparece en la ecuacio´n (2), representa las fuerzas
internas y externas que actua´n sobre el cuerpo ela´stico.
La solucio´n de la ecuacio´n (2) es dada por s = grad ϕ + curl Ψ,
la cual bajo las condiciones de homogeniedad e isotrop´ıa impuestas sobre
el semi-espacio ela´stico se reduce a determinar los potenciales longitudi-
nal y transversal de movimiento a trave´s de la Tierra, respectivamente,
ϕ = ϕ(r, z, t) y Ψ = ψ(r, z, t) eθ, con eθ la direccio´n angular, los cuales sa-
tisfacen (salvo transformacio´n) la ecuacio´n de onda cla´sica con un te´rmino
de forzamiento de acuerdo al tipo de perturbacio´n de la fuente.
Las funciones para los potenciales φ,ϕ y ψ satisfacen condiciones cine-
ma´ticas dina´micas apropiadas y condiciones de frontera en la superficie li-
bre del fluido, z = h0+ζ, y en la interface entre el fluido y el cuerpo ela´stico,
z = η. Adema´s, satisfacen condiciones de desvanecimiento a mucha profun-
didad (z → −∞) y son acotadas a una distancia epicentral lejana (r →∞),
describiendo ondas que se propagan desde la fuente hac´ıa el infinito. En es-
pec´ıfico, las condiciones de frontera en la interfase del cuerpo ela´stico y el
fluido son dadas por la continuidad de los desplazamientos y velocidades
verticales y de los esfuerzos normales, as´ı como ausencia de los esfuerzos
transversales, debido a que el fluido no tiene deslizamientos y no se consi-
dera friccio´n. La accio´n de la gravedad sobre el cuerpo ela´stico se supone
que tiene un efecto directo u´nicamente a trave´s de la frontera en la interfase
(condicio´n de Bromwich, [1]) y en la superficie libre del fluido se considera
presio´n atmosfe´rica constante. Por consiguiente, dadas las ecuaciones que
gobiernan el movimiento en el fluido y medio ela´stico, respectivamente (1)
y (2), y las condiciones de frontera que satisfacen, entonces en un con-
junto conveniente de variables sin dimensio´n, la solucio´n finalmente tiene
la representacio´n integral
ζ(r, t) =
2q3ω20√
2pi b2
∫ sM
sm
[∫
Γ+
N+ζ (s, κ)
D(s, κ)
dκ+
∫
Γ−
N−ζ (s, κ)
D(s, κ)
dκ
]
ds,
η(r, t) =
2q3ω20√
2pi b2
∫ sM
sm
[∫
Γ+
N+η (s, κ)
D(s, κ)
dκ+
∫
Γ−
N−η (s, κ)
D(s, κ)
dκ
]
ds,
(3)
donde q y ω0 son constantes caracter´ısticas que se utilizan para realizar el
cambio de variable.
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 19(1): 107–119, January 2012
tsunami. un problema matema´ticamente interesante 113
Las funciones del numerador N±ζ,η tienen, respectivamente, la expresio´n
N±ζ (s, κ) = κ(1 − 2κ2)µνs2F¯ (s)e±ist¯e−sµαh¯ J0(sκr¯),
N±η (s, κ) = κ(2κ
2 − 1)µν(βµν senh σsµν −
s cosh σsµν)sF¯ (s)e
±ist¯e−sµαh¯ J0(sκr¯),
con J0(·) la funcio´n de Bessel de orden cero de la primera categor´ıa y
F¯ (s) el espectro de Fourier de la dependencia del tiempo, f(t), de la fuente
perturbadora. En particular, el efecto de la fuente de perturbacio´n se
introduce al sistema como un centro de expansio´n de ondas longitudinales,
f (s)(r, z, t) =
Q
2pir
δ(r)δ(z + h) f(t), (4)
donde Q es una constante relacionada con la magnitud del sismo y la
evolucio´n es dada por
f(t) = cos (2pit/T0) e
−(t/N0T0)2 , (5)
dondeN0 ∈ N determina el nu´mero de oscilaciones decrecientes que ejecuta
la fuente con periodo T0. Este es un mecanismo anal´ıtico muy conveniente
que, adema´s de simular de forma muy aproximada a lo que realmente
sucede en un evento s´ısmico, permite manipular fa´cilmente la solucio´n
anal´ıtica exacta del problema. Un caso especial es cuando N0 = 2, el cual
implica que la fuente realiza tres oscilaciones principales con periodo T0,
tal como ha sido reportado en algunos eventos ocurridos.
El denominador, el cual establece la ecuacio´n caracter´ıstica,
D(s, κ) =
[
R(κ)− β(1− ρ)µα
s
] [
βµ2ν
s
senh σsµν − µν coshσsµν
]
+
+ρµα
[
βµν
s
coshσsµν − senh σsµν
]
(6)
con R(κ) = (2κ2 − 1)2−4κ2µαµβ, conocida como la funcio´n de Rayleigh, y
los te´rminos µα =
√
κ2 − α2, µβ =
√
κ2 − 1, µν =
√
κ2 − ν2, proporciona
las singularidades, las relaciones de dispersio´n y los modos naturales del
sistema, adema´s de establecer los contornos de integracio´n Γ± en el κ-plano
complejo.
Bajo estas consideraciones, el problema se reduce a evaluar las inte-
grales (3), teniendo dos posibilidades: obtener aproximaciones de campo
lejano o realizar un ana´lisis detallado del a´rea epicentral, con el fin de
establecer los principales factores tsunamige´nicos de la fuente de pertur-
bacio´n s´ısmica una vez que esta es activada en el sistema. El ana´lisis
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 19(1): 107–119, January 2012
114 r. gonza´lez – m. ortiz – j.m. montoya
en ambos casos se realiza utilizando principalmente te´cnicas anal´ıticas
seguidas de procedimientos nume´ricos como herramienta auxiliar. En
la parte anal´ıtica, se aplican me´todos asinto´ticos e integracio´n de con-
torno, mientras que en la parte nume´rica se evalu´an integrales simples y
mu´ltiples con algoritmos adaptados programados en particular en Mapler,
el cual adema´s permite un excelente ana´lisis simbo´lico-nume´rico-gra´fico de
la solucio´n.
Las evaluaciones nume´ricas finales de las integrales (3) se obtienen
utilizando las cantidades f´ısicas t´ıpicas: a = 5.9 km/s, b = 3.4 km/s,
cf = 1.5 km/s, h0 = 4.0 km, ρ0 = 1.0 gr/cm
3 y ρ1 = 2.7 gr/cm
3, las cuales
a su vez implican los valores correspondientes de los parame´tros adimensio-
nales: α = 0.576, β = 1.157, ν = 2.266, γ = 0.058, ρ = 0.037 y σ = 0.0029.
La constante ω0 = 2pi/Tmax es una frecuencia caracter´ıstica, correspondi-
ente al periodo ma´ximo observado para eventos tsunami, Tmax ≈ 42 min.
El valor de q esta´ relacionado con la magnitud del terremoto. En parti-
cular, en los ca´lculos realizados q = 100000 m (correspondiente a sismos
t´ıpicos de magnitudes cercanas a los 8 grados en la escala de Richter). La
profundidad focal h se considera entre 10 y 60 km (t´ıpico para terremotos
tsunamige´nicos), la cual proporciona el valor adimensional respectivo de
h¯. El valor de los l´ımites de integracio´n sm, sM depende del periodo de
oscilacio´n T0 de la fuente, los cuales se determinan a partir de la parte
significativa del espectro de Fourier F¯ (s). El ana´lisis muestra que para
la excitacio´n de ondas largas de gravedad el rango importante para el pe-
riodo de oscilacio´n es 50 seg < T0 < 15 min . A grades distancias desde
el epicentro se observa que la superficie del fluido ζ adquiere el compor-
tamiento de ondas largas, con amplitudes de orden cercano a los 10 cm,
en un tiempo que corresponde a la velocidad de propagacio´n dada por
c0 =
√
gh0 ≈ 0.2 km/seg, mientras que el comportamiento de la interface
η tambie´n es oscilatorio, pero pra´cticamente imperceptible, ya que la am-
plitud es de orden muy pequen˜o. Por el contrario, cerca del epicentro se
observa un comportamiento interesante de los desplazamientos verticales:
para el rango de periodos de oscilacio´n determinante, distancia epicentral
r < 50 km e hipocentros h < 40 km, los ma´ximos de η son ma´s grandes
que los correspondientes ma´ximos de ζ. Esto es, para un determinado
intervalo de periodos de oscilacio´n en el espectro de fuentes s´ısmicas no
muy profundas, el fuerte movimiento del fondo cerca del epicentro des-
plaza un gran volumen de l´ıquido, el cual puede ser detectado en puntos
de observacio´n lejanos tiempo despue´s con las caracter´ısticas de una onda
tsunami. Por lo tanto, dos para´metros determinantes en la generacio´n de
ondas tsunami son la profundidad focal y el periodo de oscilacio´n de la
fuente s´ısmica.
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 19(1): 107–119, January 2012
tsunami. un problema matema´ticamente interesante 115
As´ı, con los resultados obtenidos se determinan los para´metros tsuna-
mige´nicos principales y se concluye rudimentariamente sobre el concepto
geof´ısico distintivo “silent tsunami-earthquakes”3 (terremotos tsunamige´-
nicos silenciosos), sumamente importante ya que a la fecha u´nicamente
ha sido abordado de forma intuitiva, observacio´n directa o mediante el
ana´lisis estad´ıstico de datos sismogra´ficos. Cabe sen˜alar que los sistemas
de alerta de tsunamis expiden comunicados de prevencio´n cuando la mag-
nitud del terremoto es ma´s grande que un umbral preestablecido, lo cual la
misma experiencia ha mostrado que no es suficiente, por lo que informacio´n
adicional debe ser tomada en consideracio´n, puesto que son muchos los
para´metros f´ısicos que se combinan para que un tsunami pueda ser creado
y precisamente en esta parte es cuando los modelos matema´ticos simples
son importantes porque proporcionan informacio´n valiosa sobre la f´ısica
del problema.
Adema´s, una implicacio´n importante de este modelo matema´tico es
la posibilidad de obtener acelerogramas sinte´ticos para cualquier rango de
frecuencias determinado, los cuales pueden ser u´tiles como informacio´n o
como condicio´n inicial para otros modelos, ya que directamente son muy
dif´ıciles de obtener con exactitud en el a´rea de ruptura en la mayor´ıa de los
terremotos. Tambie´n, es posible determinar los distintos tipos de energ´ıa
presentes en el proceso f´ısico al ocurrir un terremoto, tarea muy compli-
cada de realizar a partir de los datos que se registran en las estaciones
sismolo´gicas, entre otras aplicaciones.
3 Modelo hidrodina´mico global.
Enfoque nume´rico
Las ecuaciones lineales del Modelo de Aguas Someras (de acuerdo a la
referencia [8]), se utilizan universalmente para simular la propagacio´n de
tsunamis sinte´ticos:
∂ζ
∂t
+∇ ·U = 0,
∂U
∂t
+ gh0∇ζ = 0,
(7)
donde U es el vector de velocidad horizontal integrado verticalmente. El
Modelo No Lineal de Aguas Someras, utilizado para analizar el
3Te´rmino introducido por el profesor Hiroo Kanamori (1993) [5] de CALTECH (Ca-
lifornia Institute of Technology) para referirse al hecho que terremotos de magnitudes
moderadas pueden excitar tsunamis excepcionalmente grandes. Existen ejemplos de
tales eventos fatales tal como el ocurrido en Nicaragua 1992, entre otros.
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 19(1): 107–119, January 2012
116 r. gonza´lez – m. ortiz – j.m. montoya
comportamiento fino de las ondas ocea´nicas tanto en mar abierto como
cuando entran a la pendiente continental, esta´ dado por
∂U
∂t
+
1
R cos ϑ
(
U
∂U
∂θ
+ V cos ϑ
∂U
∂ϑ
)
− UV tanϑ
R
=
= − g
R cos ϑ
∂ζ
∂θ
− CBU
√
U2 + V 2
D
+ fV,
∂V
∂t
+
1
R cos ϑ
(
U
∂V
∂θ
+ V cos ϑ
∂V
∂ϑ
)
+
U2 tan ϑ
R
=
= − g
R
∂ζ
∂ϑ
− CBV
√
U2 + V 2
D
− fU,
∂ζ
∂t
+
1
R cos ϑ
(
∂(UD)
∂θ
+
∂(V D cos ϑ)
∂ϑ
)
=
= 0, (8)
en el cual se toma en cuenta la friccio´n en el fondo del mar, la fuerza de
Coriolis de la Tierra y efectos de adveccio´n, donde θ es la longitud, ϑ es la
latitud, U y V son los flujos de velocidad en las direcciones longitudinal y
latitudinal, respectivamente, D(t, θ, ϑ) = H(θ, ϑ) + ζ(t, θ, ϑ) es la profun-
didad real de la columna de agua, R = 6, 371 km es el radio medio de la
Tierra, f = 2Ω sen ϑ es el para´metro de Coriolis, con Ω la velocidad angu-
lar de la rotacio´n de la Tierra y CB = gm
2/D1/3 es un coeficiente empir´ıco
sin dimensio´n el cual puede tomarse constante o depender del grosor de la
columna de agua, con m el coeficiente de Manning, el cual depende de la
rugosidad del fondo del mar (un valor t´ıpico con el que se trabaja es 0.025
s/m1/3).
Las ecuaciones (7) y (8) se resuelven nume´ricamente utilizando un es-
quema de diferencias finitas centrales en coordenadas esfe´ricas empleando
el modelo de propagacio´n de tsunamis de Goto et al, [3] y batimetr´ıa
real. Como ejemplo, para ilustrar la aplicacio´n del modelo nume´rico, se
presenta un “Mo´dulo Sintetizador de Tsunamis” (programa de co´mputo
en MatLabTM para ejecutar la ecuacio´n matricial (9)), desarrollado para
simular tsunamis generados por sismos interplaca originados en la costa oc-
cidental de Me´xico, el cual consiste de un conjunto de funciones de Green
o tsunamis sinte´ticos producidos a partir de grupos de funciones impulso
que a su vez representan la dislocacio´n cos´ısmica del lecho marino corres-
pondiente a cada uno de los segmentos o a´reas de ruptura ilustradas en la
Figura 2.
Las funciones de Green se calculan con las ecuaciones del Modelo de
Aguas Someras (7). Cada una de las funciones impulso o condicio´n inicial
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 19(1): 107–119, January 2012
tsunami. un problema matema´ticamente interesante 117
Figura 2: Segmentacio´n de las a´reas de ruptura en 189 mosaicos de 30 ×
30 km2 localizados en la interplaca entre la costa Oeste de Me´xico y la
Trinchera Mesoamericana.
del tsunami se considera como una perturbacio´n instanta´nea de la super-
ficie del agua igual a la deformacio´n vertical cos´ısmica del lecho marino
calculada con el modelo de dislocacio´n cos´ısmica de Mansinha y Smylie [7].
Las alturas estimadas de los tsunamis sinte´ticos a lo largo de la costa se
obtienen a partir de la superposicio´n lineal de un grupo espec´ıfico de fun-
ciones de Green:
Gij(t)xj = bi(t), (9)
dondeGij(t) representa a la funcio´n de Green en la localidad i generada por
el sismo sinte´tico o funcio´n impulso en la localidad j, xj es la magnitud de
la funcio´n impulso y bi(t) corresponde al tsunami sinte´tico en la localidad
i.
Agradecimientos
La realizacio´n de la parte teo´rica fue una primera actividad del proyecto:
Ana´lisis y Conclusiones sobre el Concepto Geof´ısico “Tsunami Earthqua-
kes” mediante Modelos Matema´ticos Simples, desarrollado por el primer
autor con el Apoyo a la Reincorporacio´n de Exbecarios PROMEP (Pro-
grama de Mejoramiento del Profesorado de la Secretar´ıa de Educacio´n
Pu´blica de Me´xico). El “Mo´dulo Sintetizador de Tsunamis” se desarrollo´
en el CICESE (Centro de Investigacio´n Cient´ıfica y de Educacio´n Superior
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 19(1): 107–119, January 2012
118 r. gonza´lez – m. ortiz – j.m. montoya
Figura 3: Alturas estimadas de un tsunami sinte´tico a lo largo de la costa
Oeste de Me´xico. La magnitud del sismo prototipo utilizado corresponde
al a´rea de ruptura formada por el conjunto de segmentos seleccionados
para representar al sismo de Jalisco-Colima de 1995 (Mw 8.1).
de Ensenada) con el apoyo del Proyecto de Ciencia Ba´sica de CONACYT
(Consejo Nacional de Ciencia y Tecnolog´ıa): Disen˜o de un Sistema Re-
gional de Alerta de Tsunamis, con nu´mero de registro U51457-F.
Referencias
[1] Ewing, W.; Jardetzky, W. (1957) Elastic Waves in Layered Media.
McGraw Hill, New York.
[2] Gonza´lez-Gonza´lez R. (2005) Hydroelastic Model on Tsunami Gen-
eration. Ph.D. Thesis, Moscow State University, M.V. Lomonosov,
Moscow, Russia.
[3] Goto, C.; Ogawa, Y.; Shuto, N.; Imamura F. (1997) IUGG/IOC
TIME Project: Numerical Method of Tsunami Simulation with the
Leap-Frog Scheme. Intergovernmental Oceanographic Commission of
UNESCO, Manuals and Guides 35, Paris.
[4] Gvozdev A.A.; Sekerzh Zen’kovich S.Ya.; Shingareva I.K. (2000) “Ex-
citation of tsunami by a low-frequency nonstationary center of expan-
sion”. Izvestiya Physics of the Solid Earth, Vol.36, No.1, 12–19.
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 19(1): 107–119, January 2012
tsunami. un problema matema´ticamente interesante 119
[5] Kanamori H.; Kikuchi M. (1993) “The 1992 Nicaragua earthquake: a
slow tsunami earthquake associated with subducted sediments”. Na-
ture, Vol. 361, 714–716.
[6] Lamb, H. (1997) Hydrodynamics. Cambridge University Press, Cam-
bridge.
[7] Mansinha, L.; Smylie D.E. (1971) “The displacement field of inclined
faults”, Bulletin of the Seimological Society of America, 61(5), 1433–
1440.
[8] Pedlosky, J. (1979) Geophysical Fluid Dynamics. Springer-Verlag,
New York.
[9] Pod”yapol’skiy G.S. (1968) “Excitation of a long gravitational wave
in the ocean from a seismic source in the crust”. Izvestiya Akademica
Nauka. SSSR Fizika Zemli 1, 7–24.
[10] Zvolinskii N.V.; Nikitin I.S.; Sekerzh Zen’kovich S.Ya. (1991) “Exci-
tation of tsunami waves and Rayleigh waves by a harmonic expansion
center”. Izvestiya Earth Physics. Vol.23, No.2, 115–121.
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 19(1): 107–119, January 2012