¿Es necesaria la Matemática para la Ciencia?

Joseph C. Várilly

Centro de Investigaciones Matemáticas y Metamatemáticas (CIMM), UCR;

Escuela de Matemática, Universidad de Costa Rica, 11501 San José, Costa Rica

25 de mayo del 2008

Resumen

Se medita sobre la relación entre las ciencias naturales y las matemáticas, para contrastar dos
posturas filosóficas: si el empleo de recursos matemáticos es meramente coadyuvante, o bien si
es parte integra del quehacer cientı́fico.

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Un viejo chiste cuenta que para subir la pro-
ducción de leche en una finca ganadera, se hace
consultas a un ingeniero, un psicólogo y un fı́si-
co. El ingeniero sugiere rediseñar los cubı́culos
para ordeñar las vacas, con tantos metros cua-
drados por vaca, etc., para mayor eficiencia. El
psicólogo sugiere pintar los cubı́culos en verde,
etc., para motivar a las vacas. El fı́sico saca una
hoja de papel, traza un cı́rculo, y empieza su
discurso: “Imagı́nese que la vaca es una esfera”
. . .

En muchas paı́ses de habla hispana, hay aca-
demias e instituciones de “ciencias naturales y
exactas”, donde se entiende “ciencias exactas”
como un sinónimo arcaico para las matemáticas.
Esta terminologı́a sugiere, por un lado, que la
matemática es una ciencia (una posición filosófi-
ca muy discutible) y por otro, que las demás
ciencias constituyen el estudio de la naturaleza.
Se plantea, entonces, si esta clasificación es co-
rrecta; o si en todo caso, se puede escindir la
matemática y el estudio de la naturaleza en cam-
pos independientes.

El pobre fı́sico del cuento no aceptarı́a tal

escisión: para él, las artes matemáticas son una
parte ı́ntegra de su profesión. De todas las cien-
cias propiamente dichas, la fı́sica es la que es más
cercana a las matemáticas, tanto en teorı́a como
en la práctica. Pero es un fenómeno muy obser-
vado en la actualidad que todas las demás ramas
(quı́mica, botánica, geologı́a, ecologı́a, zoologı́a
y disciplinas hı́bridas como la bioquı́mica y la
biologı́a molecular) sienten la creciente influen-
cia de una matemática cada vez más sofisticada.

2
Un par de ejemplos, de mi propia experien-

cia. Hace unos 20 años participé brevemente en
un equipo interdisciplinario para mejorar los re-
cursos cientı́ficos para la pesquerı́a tropical. El
equipo que estuvo liderado, como era de espe-
rar, por expertos en biologı́a marina, afrontó dos
problemas serios: la escasez de los datos dispo-
nibles sobre las poblaciones de peces en aguas
tropicales; y la poca utilidad de los modelos de
población disponibles, que usaban matrices para
modelar el cambio estacional de la pesquerı́a en
el Atlántico norte. De ahı́ surgió la necesidad de
modelar estas poblaciones en tiempo continuo

1



(en las aguas tropicales no hay estaciones) con
ecuaciones integrales. Moraleja: en la práctica
actual de la ciencia, las matemáticas son indis-
pensables.

Unos años después, mientras asistı́ a una con-
ferencia de geometrı́a diferencial en Italia, llegó
un bioquı́mico para hablar de un descubrimien-
to cientı́fico entonces reciente, que fue la base
de una nueva loción cosmética contra el enve-
jecimiento de la piel (la Niosôme de Lancôme,
si la memoria me sirve). El punto principal de
su conferencia era que los lı́pidos que mejor pe-
netraban la corteza celular eran aquellos cuyo
balance energético maximizaba un término de
curvatura de cuarto orden, dándoles una forma
de “ocho”; y que el estudio de tales curvaturas
conducı́a a una esquema práctico de fabricación.

Traigo a colación estos ejemplos porque in-
volucran técnicas matemáticas más sofisticadas
que los simples rutinas numéricas y herramien-
tas de cálculo diferencial que suelen identificarse
con “matemática aplicada” y porque se aplican
a disciplinas biológicas en donde la matemática
no suele verse como herramienta crucial. Que-
da ejemplificado, entonces, que la matemática es
al menos útil en toda la ciencia; lo cual aun no
demuestra que es necesaria.

3

Volvamos, entonces, a la fı́sica, donde me-
jor se aprecia la huella profunda que deja la ma-
temática. Richard Feynman, en su libro The Cha-
racter of Physical Law,1 dedica una lección a la
relación entre la Matemática y la Fı́sica. Hace
una distinción entre aquellas leyes de la fı́sica en
donde su expresión matemática no es más que
una forma abreviada de describir fenómenos na-
turales; y otras, como la ley de Newton sobre

la gravitación, que serı́a imposible reducir a una
expresión verbal. La fórmula de Newton,

𝐹 = 𝐺
𝑀 𝑚

𝑟2 ,

expresa que la fuerza de atracción gravitatoria 𝐹

entre dos cuerpos de masas respectivas 𝑀 y 𝑚,
separadas por una distancia 𝑟, es proporcional al
producto de las masas e inversamente proporcio-
nalmente al cuadrado 𝑟2 de la distancia; además,
que la constante de proporcionalidad𝐺 es lo mis-
mo para cualquier par de cuerpos a cualquier dis-
tancia. Esta ley, propuesta por Newton en 1687 y
ampliamente verificada desde entonces, explica
el cómo de la interacción gravitatoria sin expli-
car el por qué de la atracción. Las teorı́as mo-
dernas que hablan del intercambio de partı́culas
denominadas “gravitones” en el fondo no aclaran
el mecanismo de dicha atracción. Todo intento
de reemplazar esta descripción matemática de la
gravedad por una explicación “fenomenológico”
has sido vanos, hasta el dı́a de hoy.2

La ley gravitatoria de Newton ilustra otra fa-
ceta del uso de la matemática en las ciencias. El
cuadrado en el denominador 𝑟2 no es una apro-
ximación: la potencia 2 es exacta. No se trata de
reemplazar 𝑟2 por 𝑟2,00001 ni por 𝑟1,99999, aunque
los estimados originales de Newton sólo tenı́an
una precisión de un 4 % (hoy en dı́a mejorado a
10−12 con mediciones por satélite). Si el expo-
nente de 𝑟 fuera menor o mayor que 2, se ha cal-
culado que el sistema solar no serı́a estable. Algo
similar ocurre con el electromagnetismo, donde
hay una ley similar de atracción y repulsión con
un término 1/𝑟2: si ese exponente no fuera exac-
tamente 2, como explica James Clerk Maxwell
es su tratado sobre el electromagnetismo,3 no se
observarı́a el conocido fenómeno de que la car-
ga eléctrica en un conductor se concentra en su
superficie. Para sacar estas conclusiones acerca

1Penguin Books, Londres, 1992; basado en una serie de lecciones filmadas por la BBC en 1965.
2Véase, por ejemplo, las lecciones de José Gracia Bondı́a, “Notes on ‘quantum gravity’ and noncommutative geo-

metry”, en una Escuela de Verano en Holbæk Bay, Dinamarca, del 12 al 16 de mayo del 2008. Incluidas como un
capı́tulo del libro New Paths Towards Quantum Gravity, B. Booß-Bavnbek, G. Esposito and M. Lesch, eds., Springer,
Berlin, 2010; pp. 3–58.

3J. C. Maxwell, A Treatise on Electromagnetism, Dover, New York, 1954; reedición del original de 1873.

2



del término 𝑟2, es necesario hacer un estudio ma-
temático (de cálculo integral), en cuya ausencia
no se podrı́a ligar los fenómenos observados (es-
tabilidad en mecánica celeste, concentración de
carga eléctrica) con las leyes de atracción.

4
Un tercer aspecto del papel indispensable de

la matemática en las ciencias es el fenómeno,
poco frecuente pero real, de que la propia estruc-
tura matemática de la teorı́a cientı́fica puede dar
lugar directamente a descubrimientos importan-
tes. El ejemplo más famoso es quizás la de la
ecuación de Dirac (1928) para la ley de movi-
miento del electrón: Dirac siempre dijo que lo
intuı́a por su elegancia matemática. Su ecuación
admitı́a nuevas soluciones, confirmadas en 1932

con el descubrimiento experimental del positrón.
Desde este golpe de Dirac, los fı́sicos han

estado fascinados por la que llaman “la eficacia
irrazonable de la matemática en las ciencias”.
Cito aquı́ la conclusión del famoso discurso de
Wigner con ese tı́tulo:4

El milagro de la relevancia del
lenguaje de las matemáticas para la
formulación de las leyes de la fı́sica
es un don maravilloso que no en-
tendemos ni merecemos. Debemos
estar agradecidos por ello y esperar
que siga válido en investigaciones
futuras y que se extenderá, por nues-
tro placer aunque quizás también por
nuestra perplejidad, a amplias ramas
del saber.5

4E. P. Wigner, The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences, Communications on Pure and
Applied Mathematics 13 (1960), 1–14.

5En el original: “The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws
of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve. We should be grateful for it and hope that it
will remain valid in future research and that it will extend, to our pleasure even though perhaps also to our bafflement,
to wide branches of learning.”

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