Revista de Matema´tica: Teor´ıa y Aplicaciones 2011 18(2) : 325–342
cimpa – ucr issn: 1409-2433
modelo geoestad´ıstico
espacio-temporal del crimen en el
salvador: ana´lisis estructural y
predictivo
geostatistical spatio-time model of
crime in el salvador: structural and
predictive analysis
Welman Rosa Alvarado∗
Received: 23 Feb 2010; Revised: 10 Jun 2011;
Accepted: 24 Jun 2011
∗FEDECREDITO, 25 Av. Norte y 23 Calle Poniente, Edificio Macario Armando
Rosales Rosa, San Salvador, El Salvador. E-Mail: welman 16@hotmail.com
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Resumen
En la actualidad, estudiar un feno´meno espacial y espacio-tem-
poral requiere de la bu´squeda de herramientas estad´ısticas que per-
mitan analizar la dependencia de espacio, tiempo e interacciones.
La ciencia que aborda este tipo de temas es la denominada Geoes-
tad´ıstica cuya finalidad es predecir feno´menos espaciales. Esta cien-
cia es considerada el pilar para la modelizacio´n de feno´menos que
involucran las interacciones de espacio y tiempo. En los u´ltimos
10 an˜os la geoestad´ıstica ha tenido gran aplicacio´n en a´reas como la
geolog´ıa, la edafolog´ıa, tratamiento de ima´genes, la epidemiologia, la
agronomı´a, la ecolog´ıa, economı´a, etc. En esta investigacio´n se aplica
para construir un mapa predictivo de la criminalidad en El Salvador;
para ello, se estudia la variabilidad conjunta del espacio y tiempo
para predecir o generar escenarios delincuenciales: focalizar a´reas
geogra´ficas de inseguridad, determinar grupos vulnerables a sufrir
hechos delictivos, incentivar la formulacio´n de pol´ıticas pu´blicas y
facilitar la toma de decisiones en el tema de inseguridad.
Palabras clave: Geoestad´ıstica; Espacio-Temporal; No-Separable; Crimen;
Estructural; Variabilidad; Autocorrelacio´n.
Abstract
Today, to study a geospatial and spatio-temporal phenomena
requires searching statistical tools that enable the analysis of the de-
pendency of space, time and interactions. The science that studies
this kind of subjects is the Geoestatics which the goal is to predict
spatial phenomenon. This science is considered the base for model-
ing phenomena that involves interactions between space and time.
In the past 10 years, the Geostatistic had seen a great development
in areas like the geology, soils, remote sensing, epidemiology, agri-
culture, ecology, economy, etc. In this research, the geostatistic had
been apply to build a predictive map about crime in El Salvador; for
that the variability of space and time together is studied to generate
crime scenarios: crime hot spots are determined, crime vulnerable
groups are identified, to improve political decisions and facilitate to
decision makers about the insecurity in the country.
Keywords: Geostatistics; Spatio-Time; Non-Separable; Crime; Struc-
tural; Variability; Autocorrelation.
Mathematics Subject Classification: 86A32.
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modelo geoestad´ıstico del crimen en el salvador 327
1 Introduccio´n
En los u´ltimos an˜os la comunidad cient´ıfica ha venido da´ndole un intere´s
primordial en la modelizacio´n geoestad´ıstica de feno´menos, construyendo
nuevas familias de estructuras espacio-temporales va´lidas para un mayor
tratamiento a muchas disciplinas como medioambiente, epidemiologia,
geolog´ıa, medicina o geof´ısica en el estudio de la variabilidad espacial
y espacio-temporal. Gran parte de este esfuerzo viene encaminado en la
bu´squeda de nuevas herramientas que permiten estudiar feno´menos donde
se incluya interacciones entre el espacio y tiempo para estudiar la variabili-
dad de un feno´meno de una forma separada. Uno de esos esfuerzos ha sido
posible gracias a las primeras aproximaciones en la construccio´n de cova-
rianzas espacio-temporales (Kyriakidis y Journel, 1999) que se basan en
la extensio´n natural de me´todos espaciales o temporales y una dimensio´n
espacio-temporal. Por otro lado, en lo que respecta a la construccio´n de
modelos donde involucre el ana´lisis de variabilidad con tipo de estruc-
turas espacio-temporal, De Cesare´ et al. (2001) llevo´ esa extensio´n hacia
un contexto no separable, es decir, construir modelos basados en cova-
rianzas espacio-temporales estacionarias en las que asumen isotrop´ıa en
espacio y tiempo.
El objetivo de esta investigacio´n es aplicar la geoestad´ıstica espacio-
temporal al crimen en El Salvador para estudiar la variabilidad conjunta
entre el espacio y tiempo; modelar el feno´meno a partir del estimador
Cokriging y otro mediante el modelo de covarianza espacial y espacio-
temporal v´ıa producto suma (De Iaco, Myers y Posa, 2001) para generar
un escenario delictual del homicidio en el pa´ıs.
2 Manejo del proceso espacial y espacio-temporal
La geoestad´ıstica es una rama de la estad´ıstica que trata de feno´menos
espaciales. Su objetivo es la estimacio´n, prediccio´n y simulacio´n de dichos
feno´menos. Esta rama ofrece una forma de describir la continuidad espa-
cial, que es un rasgo distintivo esencial de muchos feno´menos naturales, y
proporciona adaptaciones de las te´cnicas cla´sicas de regresio´n para tomar
ventaja de esta continuidad (Berlanga, 1970).
Actualmente, la geoestad´ıstica es un conjunto de te´cnicas usadas para
analizar y predecir valores de una propiedad distribuida en espacio y
tiempo. En contraposicio´n con la estad´ıstica cla´sica, tales valores no se
consideran independientes, por el contrario se supone de manera impl´ıcita
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que esta´n correlacionados unos con otros, es decir, que existe una depen-
dencia espacial.
En todo trabajo o estudio geoestad´ıstico tiene que llevarse a cabo en
tres fases:
a) Ana´lisis Exploratorio de Datos Espaciales: aqu´ı se estudian los
datos muestrales sin tener en cuenta su distribucio´n geogra´fica. Ser´ıa
una etapa de aplicacio´n de la estad´ıstica. Se comprueba la consis-
tencia de los datos geogra´ficos y se identifica la distribucio´n de los
que provienen.
b) Ana´lisis Estructural: esta etapa se encarga de la caracterizacio´n
de la estructura espacial y espacio-temporal de una propiedad o
feno´meno regionalizado. Es el proceso en el marco del cual se ob-
tiene un modelo geoestad´ıstico para la funcio´n aleatoria que se es-
tudia. En pocas palabras consiste en estimar y modelar una funcio´n
que refleje la correlacio´n espacial y espacio-temporal de la varia-
ble regionalizada a partir de la adopcio´n razonada de la hipo´tesis
ma´s adecuada acerca de su variabilidad. Esta variabilidad se rea-
liza mediante un ana´lisis de patro´n de localizaciones de la poblacio´n
objeto de estudio, que permite definir el tipo de estructura espacial
y espacio-temporal (en su caso) que organiza al conjunto de loca-
lizaciones; y un ana´lisis de dependencia o autocorrelacio´n espacial
y espacio-temporal de la distribucio´n, que permite medir el grado
de similitud de una variable regionalizada de tipo cuantitativa entre
puntos o eventos vecinos sobre un a´rea muestral de estudio.
c) Prediccio´n: Estimacio´n de la variable en los puntos muestrales, con-
siderando la estructura de correlacio´n espacial relacionada e inte-
grando la informacio´n obtenida de forma directa en los puntos mues-
trales, as´ı como la como la conseguida indirectamente en forma de
tendencias conocidas.
En dicho proceso de estudio geoestad´ıstico es importante tambie´n, el cono-
cer el tipo de dato geogra´fico para su tratamiento. Generalmente son dos
tipos de datos geogra´ficos, un tipo de dato coordenado que consiste en un
punto o evento georreferenciado y un dato geoestad´ıstico o campo escalar
que significa la intensidad o frecuencia en una zona geogra´fica.
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2.1 Ana´lisis estructural y correlacio´n
A continuacio´n se presentan algunos estad´ısticos existentes en la teor´ıa
geoestad´ıstica para el ana´lisis estructural y correlacio´n:
a) Ana´lisis estructural con dato coordenado:
I´ndice del vecino ma´s pro´ximo NNI = d(NN)/d(ran) (Clark y
Evans, 1954), es un cociente de dos medidas que compara la distancia
entre los puntos ma´s cercanos y la media distancia aleatoria. Si el
ı´ndice resulta ser igual a 1, indica que la distribucio´n se ajusta a
una de Poisson; si resulta ser mayor que 1, existe tendencia a la
dispersio´n y si es menor que 1, existe tendencia a la agregacio´n.
b) Ana´lisis estructural con dato mixto coordenado y geoes-
tad´ıstico y/o campo escalar:
La funcio´nK de Ripley (Ripley, 1976; Bailey y Gattrell, 1995), es un
operador que permite establecer el tipo, la intensidad y el rango del
patro´n espacial a trave´s del ana´lisis de las distancias existentes entre
todos los puntos. Este estad´ıstico contrasta la hipo´tesis de aleato-
riedad (esta hipo´tesis bajo el supuesto de Completa Aleatorizacio´n
Espacial es igual a pir2, entonces, si: K > pir2 indica agregacio´n,
K < pir2 indica uniformidad y K = pir2, el proceso muestra aleato-
riedad.
c) Correlacio´n:
La correlacio´n se establece mediante el ana´lisis de co´mo una regio´n
cuantitativa (intensidad, frecuencia) var´ıa de acuerdo con los ejes de
coordenadas X e Y , que miden la localizacio´n de cada uno de los
valores de dicha localidad y que son variables independientes. En ese
sentido, la descripcio´n de la correlacio´n so´lo es posible si se analiza
el feno´meno con el tipo de dato geoestad´ıstico y/o campo escalar. El
Test I de Moran (Anselin, L. 1995), establece el tipo, la intensidad
y el rango de patro´n espacial, midiendo el grado de autocorrelacio´n
de una distribucio´n, y su interpretacio´n es la siguiente: si el I es
mayor a 0, y con tendencia a +1, la autocorrelacio´n sera´ positiva; si
el I es igual a 0, entonces no existe autocorrelacio´n; y si el I resulta
ser negativo, con tendencia a -1, la autocorrelacio´n sera´ negativa.
d) Semivariograma
Una herramienta que cuantifica la semivarianza que existe en una
distribucio´n, midiendo el grado de correlacio´n existente entre los
valores de la variable en cada punto y distancia entre ellos. El
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propo´sito primordial del semivariograma, integrado en las te´cnicas
geoestad´ısticas, va ma´s alla´ de la determinacio´n de la correlacio´n,
esto porque al cuantificar la relacio´n de una variable medida en una
serie de puntos, puede conocer/predecir esa misma variable medida
en puntos situados a distancias conocidas, pero que no han sido
muestreados. El variograma se define como la media aritme´tica de
todos los cuadrados de las diferencias entre pares de valores experi-
mentales separados por una distancia h. La funcio´n γ(h) se deno-
mina semivariograma y su expresio´n es la siguiente:
γ(h) = (1/2Np(h))
∑Np(h)
i=1 [Z(xi − Z(xi + h)]2, donde Np(h) es el
nu´mero de pares a la distancia h, h es el incremento, Z(xi) son
los valores experimentales y xi localizaciones donde son medidos los
valores Z(xi).
Esta funcio´n de semivariograma tiene una serie de componentes
que permiten describir ciertos aspectos de la variabilidad espacial
y espacio-temporal (en su caso) de la poblacio´n objeto de estudio
como la meseta/umbral, efecto pepita y rango. El primero mide
la discontinuidad en el origen; el segundo, mide el valor ma´ximo
de variabilidad (sill); y el u´ltimo, mide el a´rea de influencia de la
correlacio´n (alcance o rango).
En la literatura existe una serie de modelos teo´ricos admisibles o
autorizados de semivariograma que se usan en la pra´ctica, algunos
de ellos son: el modelo esfe´rico, exponencial y gaussiano (J. Berlanga
and J. Obrego´n (1970)).
2.2 Prediccio´n espacial y espacio-temporal
Dentro del contexto de la Geoestad´ıstica se conoce con el nombre de kri-
ging a una familia de algoritmos de regresio´n por minimos cuadrados ge-
neralizados que, a partir de un conjunto de observaciones Z(xi, ti)i∈1,...,n,
proporcionan el predictor lineal o´ptimo para la variable Z en una nueva
posicio´n (x0, t0). Por lo general, a estos algoritmos se les conoce con el
nombre de kriging en reconocimiento del trabajo realizado en este campo
por Danie Krige (1950). Estos me´todos de Kriging han sido ampliamente
estudiados y aplicados en el contexto de la estad´ıstica espacial, y espacio-
temporal. Segu´n la forma del estimador (Mart´ın A. Diaz, 1969) el es-
timador lineal con valores esperados conocidos llamado Kriging Simple,
tiene la forma de Zˆ(x0, t0) =
∑n
i=1 αiZ(xi, ti) + (1 −
∑n
i=1 αi)m. Este
estimador siempre sera´ insesgado, por lo tanto no necesitaremos imponer
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la restriccio´n de que
∑n
i=1 αi = 1.
Modelando una regionalizacio´n espacio-temporal
Consideremos a D un dominio en el espacio, y a T un dominio en el
tiempo con D ⊆ Rd y T ⊆ R1. Sin pe´rdida de generalidad, asumamos que
d = 2; as´ı tenemos que R2 es de dos dimensiones (horizontal) en espacio.
Y la variable aleatoria (RV ) Z(u, t) una variable que puede tomar una
serie de valores (realizaciones) en cualquier lugar en el espacio u ∈ D y
el instante de tiempo t ∈ T , de acuerdo a una distribucio´n de probabili-
dad. Una funcio´n aleatoria espacio temporal (RF ) Z(u, t), (u, t) ∈ D × T
esta´ definida como un conjunto generalmente dependientes RV s Z(u, t),
una para cada lugar en el espacio u ∈ D y un instante de tiempo t ∈ T .
Una realizacio´n de la funcio´n aleatoria RF Z(u, t) (donde u = (x, y, z)) es
una coleccio´n de las realizaciones de sus componentes RV s. Esta funcio´n
aleatoria o campo aleatorio Z(u, t) es estrictamente estacionario si su dis-
tribucio´n de probabilidad es invariante ante traslaciones (h, τ) ∈ D × T ,
es decir, si dados dos vectores cualesquiera RV s Z(u1, t1), . . . , Z(uN , tT )
y Z(u1 + h, t1 + τ), . . . , Z(uN + h, tT + τ) tienen la misma funcio´n de dis-
tribucio´n multivariante, cualquier traslacio´n del vector (h, τ) ∈ D × T , es
decir, una estacionariedad de´bil o intr´ınseca. Una condicio´n menos exi-
gente que la estacionariedad estricta, es la estacionariedad de segundo
orden o estacionario en sentido amplio si se cumple que E[Z(u, t)] =
m(u, t) = m (cte) ∀(u, t) ∈ D × T y la funcio´n de covarianza espacio-
tiempo Cz(u, t;u
′
, t
′
) se supone que depende so´lo de los retardos de la
distribucio´n espacial y temporal h = u − u′ y τ = t − t′ , es decir,
E[Z(u, t)−m][Z(u′ , t′)−m] = Cz(h; τ).
Existen dos importantes puntos de vistas conceptuales para el mode-
lado de distribuciones espacio-temporal a trave´s de herramientas estad´ısti-
cas para incluir una dimensio´n temporal. Primero, exige estudiarlo desde
un punto de vista espacio temporal mediante un modelo u´nico RF Z(u, t),
por lo general se descompone en dos componentes: una componente para
modelar la tendencia mediante la media de la variabilidad espaciotemporal
del proceso Z(u, t), y un componente residual estacionario que modele la
mayor frecuencia de las fluctuaciones en torno a la tendencia en el espacio
y tiempo. Segundo, exige estudiarlo desde un punto de vista espacio tem-
poral mediante un modelo que contenga mu´ltiples vectores RFs o vectores
de TS. Dos subclases de modelos que puedan analizar el espacio temporal
del proceso. La primera subclase que trate el espaciotemporal RF Z(u, t)
como una coleccio´n de un finito nu´mero de T de correlacio´n espacio tem-
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poral RFs Z(u), mientras que los modelos en la segunda subclase vea
la RF Z(u, t) como una coleccio´n de un finito numero N de correlacio´n
espacial TS Z(t).
Modelos de covarianza espacio-temporal
Los primeros intentos en construir funciones de covarianza espacio tem-
poral, hicieron uso de los modelos separables con suposiciones demasiados
simplistas sobre la naturaleza de la variabilidad espacio-temporal, ya sea
combinando la covarianza espacial y temporal de una manera de suma
o producto. Esta construccio´n de modelos separables ignora las interac-
ciones espacio-temporales, y afirman que la covarianza espacio-temporal
presenta una completa independencia. Pocos procesos observados se com-
portan de esta manera, y un esfuerzo considerable se ha hecho en la
bu´squeda de alternativas de representaciones no separables.
El desarrollo de las funciones de covarianzas espacio temporal comenzo´
con los modelos me´tricos, donde la funcio´n de covarianza se expresaba en
te´rminos de una combinacio´n lineal de los retardos espaciales y temporales.
Posteriormente se propuso el modelo producto, expresando la covarianza
espacio temporal como producto de las varianzas individuales espacial y
temporal (Cressie and Huang 1999). Finalmente, se introdujo el modelo
lineal, donde las covarianzas espacio temporal se expresan como suma de
las varianzas tanto para el componente espacial como temporal. Cressie
y Huang desarrollaron un conjunto de funciones de covarianzas espacio
temporal no separable va´lido a trave´s de la transformada de Fourier de la
funcio´n de covarianza unidimensional (Cressie y Huang 1999). Gneiting
desarrollo´ este enfoque para una representacio´n de Fourier libre (Genit-
ing 2001). Estos acontecimientos dieron un paso importante en la geoes-
tad´ıstica espacio-temporal, pero no fue hasta la contribucio´n de De Iaco
que esta forma de estacionariedad, de funciones covarianza no separables
se generalizo´ para su aplicacio´n (De Iaco, Myers y Posa 2003).
El modelo de covarianza producto-suma de De Iaco (2001) permite la
combinacio´n lineal de estructuras de covarianza arbitrariamente complejas
(incluyendo zona de anisotrop´ıa y geome´trica) en el espacio y tiempo,
con una completa interaccio´n. La representacio´n del modelo producto-
suma que incorpora Cressie y Huang ofrece nuevas familias de funciones
de covarianza.
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modelo geoestad´ıstico del crimen en el salvador 333
Modelo Lineal de corregionalizacio´n: variograma producto-suma
espacio temporal
Estudiar un feno´meno donde involucre una distribucio´n multivariante es-
pacio-temporal, por ejemplo, varias variables podr´ıan medirse en localiza-
ciones o lugares dados y para diferentes momentos o intantes de tiempo.
En an˜os recientes muchos autores han venido estudiando el Modelo Lin-
eal de Corregionalizacion (LCM) para un ana´lisis geoestadistico multiva-
riante en el contexto espacial, este modelo no se ha utilizado para procesos
espacio-temporales. Pero el esfuerzo a sido encaminado a que el vario-
grama marginal para aun modelo espacio-temporal pueda ser extendido
al caso multivariante. En particular el LCM es extendido para aplicaciones
espacio temporal, donde el variograma ba´sico espacio temporal es mode-
lado como un modelo producto-suma (De Iaco, Myers, y Posa, 2001). En
este caso, cada uno de los variogramas en el MLC esta´ escrito en te´rminos
de marginales en el espacio-tiempo y pueden ser fa´cilmente obtenidas. Sin
embargo, un modelo espacio-temporal mas general con MLC, como el que
integra el modelo producto y el producto-suma pueden ser usados.
Sea (RF ) {Z(u, t), (u, t) ∈ D × T} una funcio´n aleatoria espacio-tem-
poral estacionaria de segundo orden, donde D representa el espacio n-
dimensioanl y T representa la dimensio´n del tiempo. La funcio´n C(h, τ)
definida anteriormente debe ser definida positiva, a fin de que su co-
varainza sea va´lida, es decir, en el marco de la prediccio´n krigeada, el
ca´lculo de la inversa de la matriz de covarianza, necesaria para la ob-
tencio´n del mejor predictor lineal e insesgado. Esto es, para cualquier
(r1; q1), . . . , (rm; qm), cualquier valor real a1, ..., am, y cualquier intero pos-
itivo m C debe satisfacer que
m∑
i=1
m∑
j=1
C(ri − rj; qi − qj) ≥ 0.
De Cesare (2001) introduce el desarrollo de modelos de covarianza
producto-suma ver De Iaco, Myers, y Posa, 2001):
C(h, τ) = k1Cx(h)Ct(τ) + k2Cx(h) + k3Ct(τ)
donde Cx y Ct son respectivamente los modelos de covarianza espacial y
temporal validos. As´ı, la condicio´n para que estas covarianzas sean va´lidas
es k1 > 0, k2 ≥ 0 y k3 ≥ 0.
En te´rminos de semivariograma usando estacionariedad, la expresio´n
anterior puede ser expresada por
γ(h, τ) = (k2 + k1Ct(0))γx(h) + (k3 + k1Cx(0))γt(τ)− k1γ(h)γt(τ)
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donde γx y γt son los modelos de semivariograma espacial y temporal,
mientras que Cx(0) y Ct(0) son los valores sill. De Cesare (2001) definio´
las relaciones entre el espacio-temporal y los semivariogramas marginales
como:
γ(h, 0) = (k2 + k1Ct(0))γx(h) = kxγx(h)
γ(0, τ) = (k3 + k1Cx(0))γt(τ) = ktγt(τ)
Combinando γ(h, τ), γ(h, 0) y γ(0, τ) con C(0, 0) = k1Cx(0)Ct(0)+
k2Cx(0)+ k3Ct(0) resolvemos para k1, k2 y k3:
k1 =
kxCx(0) + ktCt(0)− C(0, 0)
Cx(0)Ct(0)
k2 =
C(0, 0)− ktCt(0)
Cx(0)
k3 =
C(0, 0)− kxCx(0)
Ct(0)
k =
k1
kxkt
=
kxCx(0) + ktCt(0)
kxCx(0)× ktCt(0)
donde kxCx(0)ktCt(0) y C(0, 0) son los valores sill de γ(h, 0), γ(0, t) y
γ(h, t). Segu´n De Iaco, la condicio´n de definicio´n de positividad se garan-
tiza cuando
0 < k ≤ 1max{sill(γ(h,0)sill(γ(0,τ))} .
3 Planteamiento del problema geoestad´ıstico
Se tienen las intensidades de homicidios en los 262 municipios de El Sal-
vador del an˜o 2003 y 2008 y se dispone de dos tipos de datos (coordenado
y campo escalar) para darle solucio´n al problema. Entonces, la confi-
guracio´n de los homicidios ocurridos en el pa´ıs es la siguiente: cada he-
cho delictivo es georeferenciado a partir del punto coordenado (segu´n la
proyeccio´n geogra´fica que se este´ utilizando), estas coordenadas espaciales
se dan como (x, y). Las intensidades sera´n el conjunto de esos eventos de
homicidios ocurridos en todo el territorio de El Salvador, tomando como
punto geogra´fico el centroide para cada municipio o lo que es lo mismo
un dato de tipo campo escalar. En ese sentido, para predecir un valor no
muestreado en la zona geogra´fica o municipio en particular, por ejemplo,
el municipio con coordenada x = −89.1254, y = 14.1542. La ecuacio´n
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modelo geoestad´ıstico del crimen en el salvador 335
tomara´ la forma de Z(s) = µ+ (s) donde s = (x, y) es la localidad, ejem-
plo, un homicidio ocurrido en el municipio “z” con ubicacio´n geogra´fica
s = (−89.1254, 14.1542); y Z(s) es el valor que toma la localidad, ejemplo,
la intensidad de homicidios ocurridos en un municipio “z” igual a 50, su
expresio´n queda as´ı: Z(−89.1254, 14.1542) = 50.
El predictor toma la forma como una suma de pesos de las observaciones
o datos, as´ı: Zˆ(s0) =
∑N
i=1 λiZ(si). Donde Z(si) es el valor medido en
el municipio i-e´simo, por ejemplo, Z(−89.1254, 14.1542) = 50, λi es el
peso desconocido para el valor medido en el municipio i-e´simo, s0 es la
prediccio´n del municipio, por ejemplo, (−89.1142, 14.4587), y N = 262 el
nu´mero de observaciones o valores medidos.
El problema es: Predecir espacialmente y espacio-temporalmente
(en su caso) un valor muestreado o no observado en el a´rea de estudio,
por ejemplo, predecir una intensidad de homicidios en una regio´n en donde
no se ha observado ningu´n evento en la ocurrencia del homicidio.
4 Metodolog´ıa y herramientas
Metodolog´ıa
La metodolog´ıa que se utilizo´ fue la siguiente:
Fase 1: Ana´lisis Estructural Espacial y Espacio-Temporal: aqu´ı se hizo
uso del ana´lisis de segundo orden para determinar la caracterizacio´n
de la estructura del feno´meno del crimen en El Salvador. Esto me-
diante el ana´lisis del vecino ma´s pro´ximo (considerando el dato co-
ordenado), el estad´ıstico K de Repley (considerando el tipo mixto
de dato), el ana´lisis de correlacio´n con los Test de I de Moran para
contrastar la hipo´tesis de aleatoriedad en el proceso estoca´stico del
feno´meno del crimen, y finalmente, el estudio de la funcio´n de semi-
variograma.
Fase 2: Prediccio´n o Simulacio´n Geoestad´ıstica Espacial y Espacio-Tem-
poral: se realizo´ una interpolar del feno´meno del homicidio tanto
espacial como espacio-temporal. Para la creacio´n del escenario de-
lictual se utilizo´ el estimador Cokriging en un contexto espacio-
temporal. En lo que respecta al escenario delictual del homicidio
para el an˜o 2009 en El Salvador fue necesario realizar una simulacio´n
secuencial gaussiana geoestad´ıstica espacio-temporal considerando
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el modelo lineal de corregionalizacio´n basado en el modelo de cova-
rianza no separable producto-suma De Cesare (2001).
Herramientas
En lo que respecta al ana´lisis exploratorio de datos espacio-temporal, es-
timacio´n de para´metros del semivariograma y generacio´n del escenario
delictual del homicidio se utilizaron: -lenguaje de programacio´n R con pa-
quetes maptools, spdep, rgdal, geoR, sp, foreing, RColorBrewer y classInt.
Por otro lado, para la transformacio´n anamorfosis/tipo gaussiano (in-
dispensable para la simulacio´n secuencial gaussiana) se utilizaron los pa-
quetes Gslib, Nscore, Backtr y gaussim; y para el escenario espacio-
temporal considerando el enfoque cokriging se utilizo´ el paquete AR-
CGIS9.2.
5 Ana´lisis de resultados
Descripcio´n de datos y proyeccio´n geogra´fica
Para la aplicacio´n se utilizaron las intensidades de homicidios ocurridos en
El Salvador en el per´ıodo de 2003 hasta 2008 de los 262 municipios. La in-
tensidad fue georreferenciada mediante el punto centroide correspondiente
a la forma geogra´fica de cada municipio. Esta informacio´n fue llevada al
Sistema de Informacio´n Geogra´fico para darle su respectivo tratamiento
de la informacio´n. Este procesamiento de informacio´n fue realizado por
separado: uno dirigido a datos de tipo coordenados y otro de tipo geoes-
tad´ıstico. En el primer tipo de datos no fue necesario el realizar una trans-
formacio´n de proyeccio´n geogra´fica, trabaja´ndose de esta manera con la
proyeccio´n NAD27 (Norte Ame´rica Datum 1927). Para el segundo tipo de
dato si fue necesario realizar una transformacio´n de proyeccio´n geogra´fica,
convirtiendo la proyeccio´n NAD27 a una proyeccio´n UTM (zona 16 Norte)
con Datum WGS1984.
5.1 Distribucio´n de los datos
En la Figura 1 se muestra la distribucio´n de los datos de las intensidades
de homicidios ocurridos en El Salvador, y tal como se observa, el promedio
de homicidios durante los seis an˜os fue de 13.96. Las mayores intensidades
se observan en los municipios de San Salvador, ubicado en la zona cen-
tral del pa´ıs, Santa Ana, en la zona occidental, Sonsonate y Acajutla,
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en la zona sur-occidente y San Miguel, ubicado en la zona oriental del
pa´ıs. Al analizar esta distribucio´n territorial, el feno´meno presenta una
variabilidad en cuanto a la ocurrencia del homicidio en municipios cuando
se alejan de la mayor intensidad promedio de homicidios, provocando as´ı
una heterogeneidad geogra´fica. Esto se observa en los gra´ficos de dis-
tribucio´n de tales intensidades vista desde una zona Este (East) y una
zona Norte (North). En estos dos tipos de gra´ficos esta´ bien evidenciada
la concentracio´n de homicidios territorialmente, es decir, los municipios
que se encuentran dentro de la franja o paleta de color rojo, su intensidad
es mayor en la ocurrencia del homicidio, mientras que los municipios que
experimentan menor intensidad en la ocurrencia del homicidio su color
es menos intenso. Se observa adema´s el histograma de los datos, y efec-
tivamente, su distribucio´n se corre hacia la izquierda, generando de esta
manera una distribucio´n asime´trica en los datos.
Figura 1: Distribucion de los datos.
5.2 Ana´lisis estructural y correlacio´n
Como el objetivo nuestro es generar un escenario delictual del homicidio
en El Salvador, se necesita grandemente de un ana´lisis estructural que
pueda por medio de ello saber si el proceso estoca´stico espacio-temporal
del crimen en el pa´ıs presenta un patro´n de tipo agregado y de dependen-
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cia o autocorrelacio´n espacio-temporal. Esto para tener evidencia de la
existencia de grupos de municipios que presentan una baja, media y alta
intensidad en la ocurrencia del homicidio.
En el Cuadro 1 se muestra el ı´ndice del vecino ma´s pro´ximo (NNI) y
el test de I de Moran. Se puede inferir a partir del ana´lisis del vecino ma´s
pro´ximo que el feno´meno del crimen en El Salvador presenta un patro´n
no aleatorizado, es decir, existen la evidencia de conformacio´n de grupos.
Tambie´n, al analizar el ı´ndice de Moran con un nivel de significancia del
5% se rechaza la hipo´tesis nula (hipo´tesis de aleatoriedad), infiriendo de
esta manera que hay presencia de dependencia o autocorrelacio´n espacial
en la distribucio´n de homicidios en El Salvador. Mencionar adema´s que se
obtuvieron resultados similares en cuanto al estad´ıstico de K de Repley,
donde se rechazo´ de igual manera la hipo´tesis de aleatoriedad.
En la Figura 2 se muestra la clasificacio´n espacial de la intensidad de
homicidios ocurridos en El Salvador durante el an˜o de 2003 hasta 2008 y el
estad´ıstico de autocorrelacio´n de I de Moran visto desde una perspectiva
espacio-temporal (gra´fico Scatterplot). Tal como se observa, el indicador
de local de autocorrelacio´n espacial es significativo, ya que tiene un valor
de 0.54, infiriendo de esta manera que el feno´meno presenta una depen-
dencia espacial y con tendencia al agrupamiento. Al analizar el mapa
de clasificacio´n se mira que el grupo que presenta una mayor intensidad
esta´n distribuidos en el primer cuadrante del gra´fico del estad´ıstico de I de
Moran, y as´ı sucesivamente en el resto de cuadrantes del plano cartesiano.
An˜o
NN Evidencia de I´ndice de Dependencia
Index Cluster Moran Espacial
2003 — 0.057892 S´ı
2004 0.347 S´ı 0.06856 S´ı
2005 0.314 S´ı 0.081236 S´ı
2006 0.347 S´ı 0.077652 S´ı
2007 0.332 S´ı 0.075466 S´ı
2008 0.367 S´ı 0.075605 S´ı
Tabla 1: Ana´lisis del vecino ma´s pro´ximo y test de Moran.
5.3 Semiovariograma
La generacio´n de un escenario delictual del homicidio en El Salvador para
el an˜o 2009 se realizo´ a partir de dos enfoques: un enfoque mediante el es-
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modelo geoestad´ıstico del crimen en el salvador 339
Figura 2: Clasificacio´n espacial del homicidio en El Salvador.
timador Cokriging y otro mediante el Modelo Lineal de Corregionalizacio´n
Producto-Suma.
En la Figura 3 se muestra el ca´lculo del semivariograma y los para´metros
de los modelos teo´ricos: esfe´rico, exponencial y gaussiano. En tal resul-
tado se tiene que al analizar estos tres modelos, los ma´s ido´neos son el
modelo exponencial y esfe´rico, uno por la mayor variabilidad explicada
en los datos de homicidios y otro por no presentar una discontinuidad o
efecto pepita nulo (ver para´metro de ecuacio´n correspondiente). Segu´n las
estimaciones de la funcio´n de semivariograma, se observa que el modelo
esfe´rico no sobrepasa el 50% del valor de la meseta. Con esto, se llega a
la conclusio´n que para estimar las intensidades de homicidios se utilizara´
cualquiera de los dos modelos, aunque el que se utilizara´ sera´ el modelo
esfe´rico por no haber experimentado un efecto pepita nulo.
Figura 3: Semivariograma y modelos teo´rios.
En la Figura 4 se presenta el ca´lculo de la funcio´n de covarianza no
separable v´ıa modelo lineal de corregionalizacio´n producto-suma. Se mues-
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tra la estimacio´n del modelo de covarianza va´lido, y tal como se observa
en grafico de semivariograma, la separacio´n espacial, su autocorrelacio´n es
evidente en cuanto comparamos las intensidades de homicidios a medida
que la distancia se incrementa, mostrando de esta manera una estaciona-
riedad espacial en los datos. El modelo que ajusta a los datos de homicidios
es el exponencial. Por otro lado, se observa un efecto pepita o nugget para
la parte temporal.
Figura 4: Semivariograma y modelo de covarianza no separable v´ıa
producto-suma.
5.4 Prediccio´n y simulacio´n geoestad´ıstica
La generacio´n de un escenario delictual se realizo´ mediante el enfoque de
Cokriging y una simulacio´n geoestad´ıstica espacio-temporal (basado en
una simulacio´n secuencial gaussiana). En lo que respecta a la simulacio´n
se tuvo que realizar una transformacio´n anamorfosis a la funcio´n aleato-
ria (considerada la intensidad de homicidios en El Salvador durante los
seis an˜os) como un requisito indispensable para este tipo de simulacio´n v´ıa
modelo de covarianza no separable producto-suma (School of GeoSciences,
Institute of Atmosheric and Environmental Science, University of Edin-
burgh, UK). De manera que las estimaciones o simulaciones obtenidas se
tuvieron que transformar nuevamente para volverlas a su escala original
utilizando la transformacio´n inversa gaussiana.
En la Figura 5 se muestra el escenario delictivo de homicidio en El Sal-
vador, al lado derecho se presenta el escenario de homicidios para el an˜o
2009 (enfoque Cokriging) y al lado izquierdo el escenario de homicidios
generado a partir del modelo lineal de corregionalizacio´n v´ıa producto-
suma (considerando el promedio de 100 simulaciones o realizaciones de
las intensidades de homicidos). Tal como se observa en dichos mapas,
el escenario muestra claramente las concentraciones de homicidios en las
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modelo geoestad´ıstico del crimen en el salvador 341
zonas que se hab´ıan identificado en la clasificacio´n espacial contrastado
con el estad´ıstico de I de Moran (ver figura 2). Son cinco concentraciones
las que esta´n distribuidas territorialmente en el pa´ıs, donde la mayor in-
cidencia esta´ siendo ma´s influenciada en la parte central y occidente del
pa´ıs, dejando una concentracio´n en lo que respecta a la zona oriental. En
la zona occidental los municipios ma´s violentos son Acajutla, Sonsonate y
Santa Ana. Por otro lado, en la zona central los municipios ma´s violentos
son San Salvador, Mejicanos, Ayutuxtepeque, San Marcos, San Martin,
Soyapango, entre otros aledan˜os a ellos. Finalmente, la zona oriental los
municipios que presentan una mayor intensidad en la ocurrencia del homi-
cidio son las cabeceras departamentales de San Miguel y La Unio´n.
Figura 5: Escenario delictual de homicidios: enfoques Cokriging y MLC.
6 Conclusiones
El feno´meno del crimen en El Salvador en cuanto al ana´lisis estructural se
constato´ que presenta una estructura de tipo agregada y una dependen-
cia espacial positiva muy fuerte. Se ha logrado identificar por medio del
ana´lisis de segundo orden que´ zonas son las ma´s violentas, esto mediante
el ana´lisis del estad´ıstico de I de Moran como una herramienta para la
clasificacio´n espacio-temporal.
La prediccio´n fue posible realizarla por el hecho de haber detectado
una variabilidad espacial y espacio-temporal del crimen muy fuerte, esto
mediante el gra´fico de la funcio´n de semivariograma. Estimando as´ı el
feno´meno a partir del modelo teo´rico esfe´rico en el enfoque Cokriging y
una simulacio´n secuencial gaussiana v´ıa modelo de covarianza no separa-
ble producto-suma. Teniendo como resultado un escenario delictual del
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homicidio para el an˜o 2009.
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