Revista de Matema´tica: Teor´ıa y Aplicaciones 2003 10(1–2) : 92–105
cimpa – ucr – ccss issn: 1409-2433
sobre el problema inverso de difusio´n
J. R. Mercado E.* A´. A. Aldama R.** F. Brambila P.***
Recibido: 21 May 2003
Resumen
Se describe f´ısicamente la infiltraccio´n para modelarla como un proceso estoca´stico
de difusio´n. Se enuncia el teorema M-B 1, cuyo objeto principal es el problema inverso
de difusio´n. Se demuestra dicho teorema, en el contexto particular de la inyectividad
de la solucio´n y se aplica para resolver el problema inverso de difusio´n en presencia del
grupo de Boltzmann. Se resuelve el problema inverso del exponente de similaridad por
los me´todos del ana´lisis de grupo. Se aplica a la dispersio´n de una gota en un medio
poroso tridimensional, resultado a su vez aplicable en el caso del riego por goteo.
Palabras clave: Problemas inversos, ana´lisis de grupo de ecuaciones diferenciales, simi-
laridad, fractales, difusio´n, medios porosos.
Abstract
Infiltration is physically described in order to model it as a diffusion stochastic
process. Theorem M-B 1 is enunciated; whose main objective is the inverse diffusion
problem. The theorem is demonstrated in the specific context of solution injectability,
and it is applied to solve the inverse diffusion problem in the presence of Boltzmann’s
group. The inverse problem of the similarity exponent is solved following group analysis
methods. The dispersion of a water drop in a three-dimensional porous medium is
applied; a result which in turn is applicable to drop irrigation.
Keywords: inverse problems, group analysis of differential equations, similarity, fractals,
diffusion, porous medium.
Mathematics Subject Classification: 35R30,28A80,76R99
*Instituto Mexicano de Tecnolog´ıa del Agua, (IMTA), Coordinacio´n de Tecnolog´ıa Hidrolo´gica, Paseo
Cuauhna´huac No. 8532, Progreso, Jiutepec, Morelos, Me´xico. Tel/Fax: (52)-(777)-319-35-44, Tel com:
3293600,ext 605 o´ 532. E-Mail: rmercado@tlaloc.imta.mx
**Misma direccio´n que R. Mercado. E-Mail: aaldama@tlaloc.imta.mx
***Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Auto´noma de Me´xico (UNAM), 04510 Me´xico, D.F.. tel
(5)-6224858. E-Mail: fbp@hp.fciencias.unam.mx
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sobre el problema inverso de difusio´n 93
1. Introduccio´n
Se sabe que los procesos estoca´sticos pueden verse como la abstraccio´n matema´tica de los
procesos emp´ıricos cuyas variables siguen un comportamiento aleatorio, [4].
Dentro de los procesos estoca´sticos, son de especial importancia aquellos de cara´cter
unigeneracional, conocidos como procesos de Ma´rkov, para los que se cumple la ecuacio´n
de Chapman-Kolmogo´rov y conducen a la ecuacio´n de Fokker-Planck. Esta ecuacio´n tiene
tres feno´menos componentes: el difusivo, el advectivo y el reactivo. Desde un punto de vista
ma´s general, la ecuacio´n de difusio´n cla´sica es una ecuacio´n de Fokker-Planck asociada
con un movimiento browniano standard, para el que la velocidad advectiva es cero y el
coeficiente de difusio´n es constante normalizado al valor 1/2, [4], [10].
Por otra parte, en el estudio del problema inverso de dispersio´n en f´ısica, el potencial
aparece como un coeficiente en la ecuacio´n diferencial, por lo que deviene gene´rico, el llamar
problema inverso a la obtencio´n de los coeficientes de las diversas ecuaciones diferenciales,
[3].
Cuando el feno´meno difusivo es el dominante o incluso con la contribucio´n del feno´meno
advectivo constante o promediado, se requiere abordar inicialmente el problema inverso
de difusio´n, para modelar dicho coeficiente y luego poder estudiar el problema directo de
difusio´n. Este problema inverso de difusio´n es el objeto principal del teorema M-B 1, que
se enuncia, se demuestra en un contexto particular y se aplica en el presente trabajo.
El teorema da la solucio´n para el problema inverso de difusio´n en te´rminos fractales.
En resumen, muchos feno´menos emp´ıricos siguen la ecuacio´n de Chapman-Kolmogo´rov
y e´sta conduce al estudio del coeficiente de difusio´n que se aborda con el teorema M-B 1.
En un trabajo publicado, [7], se aplico´ el teorema citado y los me´todos del ana´lisis
de grupo de las ecuaciones diferenciales, [8], al estudio de problemas inversos que surgen
de la ecuacio´n de Fokker-Planck. All´ı se excluyo´ el caso del grupo de Boltzmann, tema
denominado por algunos autores como difusio´n normal, pero en el presente trabajo, se
aborda el ana´lisis de esa situacio´n para el problema inverso de difusio´n.
Posteriormente, se ilustra su importancia en los feno´menos de filtracio´n del agua en
medios porosos, como uno de los muchos a´mbitos de aplicacio´n y se resuelve el problema
directo por me´todos fractales.
Con me´todos de la teor´ıa de grupos de Lie, aplicados al problema inverso del exponente
de similaridad, tambie´n se encuentran soluciones al problema directo de difusio´n, aplicables
a muchos campos de la modelacio´n matema´tica, como son: el drenaje horizontal, el drenaje
vertical, la dispersio´n de una gota en el suelo y la dispersio´n de insectos, [6], [5].
2. Modelacio´n estoca´stica
Imaginamos, de forma Lagrangiana, una pequen˜a gotita de agua del taman˜o de los poros
medios (tal vez del orden de las cien micras), que en el instante t ocupa la posicio´n ξt
y cambia de lugar en el futuro inmediato, para ocupar en el instante t + ∆t la posicio´n
ξt+∆t. Este cambio de posicio´n o desplazamiento obedece a dos factores, uno de ellos es
el movimiento debido al campo externo de la gravedad, que produce un arrastre global,
el cual no tiene cara´cter aleatorio, sino que es de tipo determinista. Si el campo externo
94 r. mercado – a´.a. aldama – f. brambila
esta´ representado por la velocidad de arrastre a entonces este desplazamiento se representa
por a∆t, y es el movimiento ordenado de la gotita de agua, el cual tiene direccio´n, que
es la misma direccio´n de a. El otro desplazamiento esta´ ligado a la tensio´n superficial de
la capilaridad, que ejercen sobre la gotita los poros adyacentes a ella, y producen sobre
e´sta un desplazamiento de tipo aleator´ıo. E´ste puede cuantificarse como el nu´mero de los
desplazamientos relativos o pasos en una direccio´n por el valor del desplazamiento relativo
o paso, menos el nu´mero de desplazamientos relativos en la direccio´n opuesta por el valor
del mismo desplazamiento relativo. Por ejemplo seis pasos hacia adelante y cuatro pasos
hacia atra´s, producen dos pasos hacia adelante. El valor del paso se puede cuantificar por
la distancia recorrida por unidad de la ra´ız cuadrada del intervalo de tiempo, multiplicada
por la misma ra´ız cuadrada del intervalo de tiempo; entonces se tiene la ra´ız cuadrada
del coeficiente de difusio´n, por el nu´mero de pasos, por la ra´ız cuadrada del intervalo de
tiempo, en la direccio´n positiva (σBt+∆t); menos lo ana´logo, pero en la direccio´n negativa
(σBt), el balance es entonces (σBt+∆t − σBt). E´ste es el movimiento desordenado, que no
tiene o no depende de la direccio´n y tiene cara´cter aleatorio o cao´tico. De tal manera que
ξt+∆t − ξt ≈ a (t, ξt) dt+ σ (t, ξt) (Bt+∆t −Bt) (1)
el cual se escribe
dξt = a (t, ξt) dt+ σ (t, ξt) dBt. (2)
De manera ma´s formal, un proceso de difusio´n es un proceso estoca´stico:
[0,∞) × Ω : (s, ω) ξ7→ ξ (s, ω) = ξs (ω) ∈ Rn
que satisface una ecuacio´n diferencial de la forma:
dξs = a (ξs) ds+ σ (ξs) dBs, s ≥ t; ξt = x, (3)
donde Bs es un movimiento Browniano m-dimensional y los coeficientes:
a : Rn −→ Rn, σ : Rn −→ Rn×m,
satisfacen las condiciones:
|a (x)|+ |σ (x)| ≤ C1 (1 + |x|) ; |σ|2 = Σ |σij|2
|a (x)− a (y)|+ |σ (x)− σ (y)| ≤ C2 |x− y| ; x, y ∈ Rn.
Una difusio´n es un proceso de Ma´rkov y como tal corresponde a una modelacio´n estoca´sti-
ca unigeneracional, que se basa principalmente en la ecuacio´n de Chapman-Kolmogo´rov,
segu´n la cual el promedio es independiente de la gama de los valores intermedios de la
variable aleatoria:
E [µ [ξt ∈ B|ξτ ] |ξt0 ] = µ [ξt ∈ B|ξt0 ] , t0 < τ < t,
donde B es cualquier conjunto boreliano. Expresada en su forma integral y con respecto
a la probabilidad de transicio´n, las cuales se definen por
Ft (B|ξt0 (ω) = x0) = µ [ξt (ω) ∈ B|ξt0 (ω) = x0] = p (t0, x0, t, B) , (4)
es
u (t0, x0, t, B) =
∫
u (t0, x0, τ, xτ ) · u (τ, xτ , t, B) , t0 < τ < t. (5)
sobre el problema inverso de difusio´n 95
2.1. El generador del semigrupo
El semigrupo de operadores se define por su accio´n sobre las mediciones o funciones me-
dibles y acotadas con dominio en el espacio fa´sico y rangos en los reales
Tt+τf (x0) =
∫
X
u (t+ τ, x0, dx) f (x) , (6)
esto conlleva a definir los coeficientes de memoria del proceso como los promedios:
a = l´ım
τ→0
∫
X
u (t+ τ, x¯, dx) (x−x¯)τ , D = l´ımτ→0
∫
X
u (t+ τ, x¯, dx) 12
(x−x¯)2
τ , (7)
y se obtiene el generador del semigrupo asociado a la difusio´n ξt, el cual es un operador
diferencial parcial de segundo orden L, llamado el generador infinitesimal de la difusio´n
ξt
L = −∂x (au) + ∂xx (Du) + f . (8)
Una forma alternativa es la ecuacio´n con te´rmino de reaccio´n o fuente, ya que es posible
definir un proceso estoca´stico asociado que resulta tambie´n un proceso de Ma´rkov fuerte,
y cuyo generador es, [10],
L˜ = L− f .
L = −∂x (au) + ∂xx (Du) + f . (9)
Si se considera a u como la densidad de probabilidad de una variable aleatoria y a J , la
corriente de probabilidad de la misma variable,
J =
(
a− ∂
∂x
D
)
, y
∂
∂t
u = − ∂
∂x
Ju+ f , (10)
entonces la ecuacio´n de Fokker-Planck es:
∂
∂t
u = Lu. (11)
La ecuacio´n de Fokker-Planck lineal, se transforma en la ecuacio´n de difusio´n, advencio´n
y reaccio´n, y adquiere la siguiente forma,
con −a+Dx 7→ −a,
∂
∂t
u =
∂
∂x
(
D (x)
∂
∂x
u
)
− a (x) ∂
∂x
u− axu; u ∈ C20 (R) ,
y la correspondiente ecuacio´n de Fokker-Planck no lineal es
∂
∂t
u =
∂
∂x
(
D (u)
∂u
∂x
)
− a (u) ∂
∂x
u+ f (u) ; u ∈ C20 (R) . (12)
Esta ecuacio´n es de tipo parabo´lico y contiene tres ingredientes principales, los cuales
pueden llamarse: el difusivo, el advectivo y el reactivo; y por lo general se habla de advec-
cio´n con −a, y de conveccio´n con +a.
96 r. mercado – a´.a. aldama – f. brambila
Por tanto, una ple´tora de procesos emp´ıricos pueden modelarse con fundamento en
procesos estoca´sticos que presentan por ejemplo, la ausencia del efecto posterior, no tienen
memoria o son unigeneracionales; e´stos conducen a una ecuacio´n de Chapman-Kolmogo´rov,
de e´sta se llega a la ecuacio´n de Fokker-Planck y por tanto, a considerar los problemas
inversos de difusio´n, adveccio´n y reaccio´n, [7].
3. Me´todo fractal
El problema inverso de difusio´n se aborda desde el punto de vista del teorema MB1, [7],
[9]:
Teorema 1 (M-B 1) El inverso del coeficiente de difusio´n se obtiene por un proceso de
Cantor generalizado:
B = l´ım
n→∞ (−1)
n ∂(n)pn
(
1
qn
)
· (n+ 1) ∂(−n)pn (pn) , (13)
en donde ∂(n)pn es la ene´sima derivacio´n sucesiva, ∂
(−n)
p =
∫ (n) la ene´sima integracio´n
sucesiva, qn viene determinada por la funcio´n de los datos en el problema inverso, se
asocia al hipervolumen en el proceso de Cantor y 1qn es la probabilidad de paso del proceso
de percolacio´n. Finalmente, pn es el nu´mero de rasgos o elementos 1qn en el proceso de
fractalizacio´n de Cantor y se le asocia a la masa, (D = 1/B tiene unidades f´ısicas de
mt2/seg).
Este teorema se demuestra en el contexto particular de la inyectividad de la variable
independiente o humedad u(x, t), como funcio´n de x, y se denota la inversa por la izquierda
como x(u, t).
Se considera un grupo local de transformaciones G dado a trave´s de su generador
infinitesimal, [11],
v = ξ∂x + τ∂t + ψ∂u, (14)
bajo el cual la ecuacio´n diferencial de difusio´n quede invariante; e´ste puede ser, por ejemplo,
un grupo de escalas. Se define el grupo por los cambios
x 7−→ βx, t 7−→ γt, u 7−→ δu,
y la invarianza de la ecuacio´n se garantiza si
γ = β2, δ = 1,
y el grupo se describe por
x˜ = βx = eεx = x+ εx+O
(
ε2
)
t˜ = γt = e2εt = t+ ε (2t) +O
(
ε2
)
u = δu = u+ ε0,
sobre el problema inverso de difusio´n 97
por tanto su generador es
v = x∂x + 2t∂t + 0∂u.
y de las ecuaciones caracter´ısticas, se obtiene la variable de similaridad,
φ =
x√
t
, (15)
en donde a φ (u) se le conoce como variable de similaridad de Boltzmann. Por tanto, se
tiene a x en funcio´n de la variable φ(u)
x(u, t) = φ(u)
√
t.
Se considera a la funcio´n humedad u definida impl´ıcitamente a trave´s de la funcio´n
x(u, t), y con el teorema de la funcio´n impl´ıcita se halla la relacio´n:(
∂u
∂t
)
x
= −
(
∂x
∂t
)
u(
∂x
∂u
)
t
, (16)
luego la ecuacio´n de continuidad se transforma en una ecuacio´n de difusio´n:
∂x
∂t +
∂
∂u
(
D(u)
∂x/∂u
)
= 0, φ
2
√
t
+ ∂∂u
(
D(u)
φ′(u)
√
t
)
= 0,
de donde puede obtenerse el coeficiente de difusividad, [13]:
D(u) = −1
2
φ′(u)
∫ u
u0
φdu. (17)
Adema´s, como φ es positiva (no-negativa), la integral tambie´n es positiva, luego la derivada
debe ser negativa, para obtener una difusividad positiva, entonces φ debe ser decreciente.
La integral aporta el factor ma´s regular y la derivada el factor menos regular o “irregular”.
Se discretiza la variable φ y resulta la sucesio´n
Dn(u) = −12φ
′
n(u)
∫ u
u0
φndu, (18)
si se denota con In a la integral, el resultado encontrado para este coeficiente de difusio´n,
puede presentarse como:
√
Dn
√
tn ·
√
Dn√
tn
=
(
−1
2
φ′n
)
· In.
Por otra parte, en la descripcio´n del proceso de infiltracio´n, la parte del desplazamien-
to que tiene cara´cter aleatorio, lo representamos por el producto entre el valor del paso
-
√
D
√
t-, y el nu´mero de pasos -Bt√
t
-, luego, por:
√
Dn
√
tn · Btn√
tn
=
√
Dn · Btn . (19)
98 r. mercado – a´.a. aldama – f. brambila
Y, por una tercera parte, la fractalizacio´n la podemos describir como un proceso de frac-
tura y conteo de las partes, la fractura la realiza la diferenciacio´n, y el conteo lo hace
la integracio´n; de suerte que en cada etapa del proceso las medidas de las partes son
(−1)n
n! ∂
(n)
pn
(
1
qn
)
y el nu´mero de rasgos o partes son: (n+ 1)!∂(−n)pn (pn). Al tomar en cuenta
las unidades f´ısicas de B como seg/mts2, la medida del conjunto, entonces es
1
(−1)n
n! ∂
(n)
pn
(
1
qn
) · 1
(n+ 1)!∂(−n)pn (pn)
en donde a q lo llamamos la base de la resolucio´n y a p los rasgos.
A la porcio´n aleatoria de la descripcio´n de la infiltraccio´n se le asocia dos representa-
ciones de una misma medida, que se expresan por el producto de una variable intensiva
o densidad, y por una variable extensiva, o bien, es una medida absolutamente continua,
expresada como el producto entre la densidad y la medida extensiva, siendo la densidad
u´nica. Por tanto se tiene la correspondencia√
Dn ·Btn 7→
(
−1
2
φ′n
)
· In = 1
(−1)n
n! ∂
(n)
pn
(
1
qn
) · 1
(n+ 1)!∂(−n)pn (pn)
,
de donde se obtiene por la unicidad de la densidad
−1
2
φ′n =
1
(−1)n
n! ∂
(n)
pn
(
1
qn
)
y el factor irregular resulta asociado a la fase de la resolucio´n de la fractalizacio´n, la cual
es adema´s positiva. Como el factor irregular se comporta en forma creciente, entonces esta
fase es decreciente en el proceso de fractalizacio´n, y rec´ıprocamente. En tanto, el factor
regular se relaciona entonces, con la fase de los rasgos de la fractalizacio´n, la cual tambie´n
es positiva
1
(n+ 1)!∂(−n)pn (pn)
= In =
u∫
u0
φn (u) du, (20)
el factor regular se comporta en forma decreciente, correspondiendo al comportamiento
creciente de la fase de los rasgos.
Por tanto el coeficiente de difusio´n es el l´ımite de la sucesio´n Dn, y e´sta es el producto
de la sucesio´n de la fase de la resolucio´n por la sucesio´n de la fase de los rasgos del proceso
de fractalizacio´n
D = l´ım
n
Dn
Dn =
1
(−1)n
n! ∂
(n)
pn
(
1
qn
) · 1
(n+ 1)!∂(−n)pn (pn)
. (21)
Se observa adema´s, que las sucesiones de los infinitesimales del generador del grupo de
transformaciones, determinan las otras dos sucesiones, la de la resolucio´n y la de los rasgos,
sobre el problema inverso de difusio´n 99
lo cual se hace expl´ıcito a trave´s de las relaciones
(−1)n
n! ∂
(n)
pn
(
1
qn
)
= 1
d
du
(
xn
t
1/2
n
) , (n+ 1)!∂(−n)pn (pn) = 1∫ xn
t
1/2
n
du
.
3.1. Aplicacio´n
Como aplicacio´n se puede encontrar la difusividad y resolver el problema directo de la
ecuacio´n de difusio´n, sujeta a las condiciones l´ımites, inicial:
u (x, 0) = u0 = cte⇔ φ (u0)→∞ (22)
y de frontera:
u (0, t) = us = cte⇔ φ (us) = 0, y (23)
u (∞, t) = u0 = cte.
Segu´n el procedimiento de Phillips, [13], para el problema inverso, se debe escoger
una variable de similaridad apropiada; pero de acuerdo con nuestro procedimiento se debe
escoger una base de resolucio´n en concordancia con el modelo f´ısico y construir el factor
irregular, que permita hallar la sucesio´n de la variable de similaridad, y finalmente en el
l´ımite del proceso de fractalizacio´n, obtener la variable de similaridad. Sea
q = 1 + p, (24)
entonces la fase de la resolucio´n decrece como una potencia
(−1)n
n!
∂(n)p
(
1
q
)
=
1
qn+1
=
1
(1 + p)n+1
, (25)
se discretiza con pn = bun , y se modela el feno´meno como la competencia entre el flujo y la
retencio´n, considera´ndose que para una etapa avanzada de la fractalizacio´n predomina la
retencio´n. As´ı que para la base de la resolucio´n cuando n es suficientemente grande queda
el te´rmino ligado a la retencio´n. Por tanto, el factor irregular crece como una potencia
−1
2
φ′n (u) =
(
1 + b
u
n
)n+1
φn (u) = −2
b
n
n+ 2
(
1 + b
u
n
)n+2
+ cten,
y de acuerdo a la condicio´n l´ımite φ (us) = 0
cten =
2
b
n
n+ 2
(
1 + b
us
n
)n+2
,
luego
φn (u) =
2
b
n
n+ 2
((
1 + b
us
n
)n+2 − (1 + bu
n
)n+2)
,
100 r. mercado – a´.a. aldama – f. brambila
y en el l´ımite, con b = cte > 0, resulta:
φ (u) =
2
b
(
ebus − ebu
)
. (26)
Ahora puede calcularse el coeficiente de difusividad, [2],
φ′ (u) = −2ebu
u∫
u0
φ (u) du = − 2
b2
(
ebu − ebu0
)
+
2
b
ebus (u− u0)
luego
D (u) = ebu
(
− 2
b2
(
ebu − ebu0
)
+
2
b
ebus (u− u0)
)
(27)
y se ilustra su gra´fica en la figura 1.
Figura 1: Difusividad.
Las soluciones autosimilares se encuentran por
x√
t
= φ =
2
b
(
ebus − ebu
)
, (28)
entonces
u (x, t) =
1
b
ln
(
− bx
2
√
t
+ ebus
)
, (29)
que tiene la forma similar a un flujo pisto´n que avanza progresivamente, como se ilustra
en su gra´fica (2).
Alternativamente, del factor regular se obtiene, con an = 2b
n
n+2 ,
u∫
u0
φn (u) du = an
{(
1 + b
us
n
)n+2
u− 1
n+ 3
n
b
(
1 + b
u
n
)n+3}∣∣∣∣u
u0
sobre el problema inverso de difusio´n 101
Figura 2: Soluciones autosimilares.
y al tomar el l´ımite, y luego derivar, se puede tambie´n obtener la variable de similaridad
φ dada por (26).
4. El exponente de similaridad
Cuando la ecuacio´n de Fokker-Planck no lineal se somete a un ana´lisis de grupo se produce
la ecuacio´n (
D
D′
)
uu
(τt − 2ξx) = 0, (30)
e´sta representa una disyuntiva, porque si τt − 2ξx 6= 0, se puede determinar el coeficiente
de difusio´n D, tal como se afirma en el teorema MB1, a partir de la base de la resolucio´n
construida en te´rminos de los datos en una frontera especificada. Pero si el grupo presente
es tal que τt − 2ξx = 0, entonces con el ana´lisis de grupo no es posible determinar el
coeficiente de difusio´n, aunque s´ı lo es por medio del teorema MB1, (27), [7]. Por su
importancia en los feno´menos difusivos, a e´ste grupo lo hemos denominado el grupo de
Boltzmann.
Cuando este grupo no esta´ presente, y despu´es de estudiar el problema inverso para
el coeficiente de difusio´n, se obtiene como una posible solucio´n la potencia del polinomio
lineal, y luego de realizar una traslacio´n en la variable dependiente, se llega a la ecuacio´n
de Boussinesq del medio poroso:
∆ =
1
xn−1
∂x
(
xn−1um∂xu
)− ∂tu (31)
=
(n− 1)
x
umux +mum−1u2x + u
muxx − ut;
para distintos valores de la potencia se obtienen casos importantes, como son: para m = 0,
la ecuacio´n del calor de Fourier; para m = 1, la ecuacio´n para la filtracio´n, que describe
el abatimiento del manto frea´tico; para m = −2, la difusividad de Fujita, quien tiene el
102 r. mercado – a´.a. aldama – f. brambila
me´rito de ser el primero en resolver anal´ıticamente la ecuacio´n de difusio´n con coeficiente
dependiente de la variable independiente, o en forma no-lineal.
Se realiza un ana´lsis de grupo de esta ecuacio´n, [1], [11]. El grupo se representa por su
generador infinitesimal v,
v = ξ∂x + τ∂t + φ∂u (32)
que induce una accio´n ampliada descrita por la seccio´n campo vectorial 2-jet j(2)v (·)
j(2)v = v+ φx∂ux + φ
t∂ut + φ
xx∂uxx + φ
xt∂uxt + φ
tt∂utt .
Para las distintas dimensiones se encuentra que el infinitesimal asociado al tiempo
siempre es
τ = 2δt + σ, (33)
mientras que el grupo se determina por cuatro para´metros, dentro del cual pueden obser-
varse los subgrupos de la traslacio´n espacial y temporal, y los cambios de escala.
Con la condicio´n de que las caracter´ısticas pasen por el origen x = 0, t = 0, se tiene
que el generador para las distintas dimensiones, asume la forma
v = (β + δ) x∂x + 2δt∂t +
2βu
m
∂u (34)
= β
(
x∂x +
2
m
u∂u
)
+ δ (x∂x + 2t∂t)
salvo para los exponentes m = −43 , en la dimensio´n n = 1; m = −1, en la dimensio´n
n = 2; 1m =
n−4
−2(n−3) en la dimensio´n n > 3.
4.1. Variables de similaridad
Con el ana´lisis de las ecuaciones caracter´ısticas se busca determinar las variables de simi-
laridad. Las ecuaciones de dichas curvas son
dx
(β + δ) x
=
dt
2δt
=
du
2βu
m
, (35)
por tanto resulta
x = cte2 · t 12+
β
2δ , u = cte1 · t
β
δm .
Cuando t→∞ debe tenerse que u→ 0, luego βδ es menor que cero, y si
β
δ
= −α, α > 0,
se tiene entonces para las curvas caracter´ısticas
u = cte1 · t− αm , x = cte2 · t 12−α2 .
Se define las variables de similaridad por
v = u · t αm , y = x · t− 12+α2 , (36)
sobre el problema inverso de difusio´n 103
y entonces la solucio´n se representa de la forma
u = t−
α
m v
(
x · t− 12+α2
)
(37)
llamada por algunos autores, la solucio´n autosimilar de segunda clase.
Al sustituir en la ecuacio´n diferencial las derivadas requeridas y aplicar la condicio´n
de invarianza, se obtiene la llamada ecuacio´n auxiliar
0 =
α
m
v +
(
ay +
(n− 1)
y
vm
)
v′ + vmv′′ +mvm−1
(
v′
)2 (38)
la cual resulta independiente de la variable t, y en donde se ha denotado a = −12 + α2 .
Como en el caso del estudio de la ecuacio´n de Boussinesq para la filtracio´n, para m = 1
y dimensio´n n = 1, se obtiene la ecuacio´n que llamamos especial
0 = αv + v′
(
1
2
(−1 + α)
)
y + vv′′ +
(
v′
)2 . (39)
Se hace uso nuevamente de la teor´ıa del ana´lisis de grupo de las ecuaciones diferenciales,
pero en este caso, para ecuaciones diferenciales ordinarias, y se obtiene los infinitesimales
ξ = y, φ = 2v,
en donde se observa que corresponden a un cambio de escala, con el generador representado
por
v = y∂y + 2v∂v . (40)
Se introducen las coordenadas cano´nicas:(
x
u
)
7−→
(
y
w
)
=
(
u
x2
lnx
)
(41)
para transformar la ecuacio´n diferencial especial, con wy = z, en
z′ = (6y + 1) z3 +
(
7− a
y
)
z2 +
1
y
z (42)
la cual es la ecuacio´n reducida al primer orden. En la singularidad wy = ∞ o yw = 0, se
obtiene que y como funcio´n de w es constante: y = −16 , y con u = yx2, se tiene u = −16x2,
sin embargo, para representar magnitudes f´ısicas como se requieren en las aplicaciones,
se realiza una traslacio´n positiva suficiente, y con u = c
(
b2 − x2) en la ecuacio´n auxiliar
especial, se obtiene
c = 16 , α =
1
3 , (43)
con lo que se tiene la solucio´n buscada para el problema inverso del coeficiente α, en el caso
importante de la ecuacio´n auxiliar especial. Adema´s, la solucio´n de similaridad resulta
u =
1
6
(
b2 − x2) , (44)
104 r. mercado – a´.a. aldama – f. brambila
la cual tiene la forma de una familia de para´bolas que se abren hacia abajo.
Para el caso general, se introduce el cambio de variable
um = v (45)
y con
v = c
(
b2 − x2)
resulta entonces
c =
1
2
(
2
m + n
) ;α = n
2 +mn
;m 6= − 2
n
, 0, (46)
con lo que se obtiene la solucio´n para el problema inverso del coeficiente α de la ecuacio´n
auxiliar del medio poroso.
4.2. Aplicacio´n
Para el caso de dimensio´n n = 3, se quiere representar la dispersio´n de una gota en un
medio poroso.
En las variables originales, u = t−
α
m v
(
rt−
1
2
+α
2
)
, se tiene
u = t−
3
2+3m v
(
rt−
1
2+3m
)
, y = rt−
1
2+3m ,
v =
(
c
(
b2 − y2)) 1m =
 1
2
(
2
m + 3
)
b2 −( r1
t2+3m
)2 1m ,
entonces las soluciones de similaridad son:
u (r, t; b) = 0 ∨ 13
t2+3m
(
m
2 (2 + 3m)
(
b2 − r
2
2
t2+3m
)) 1
m
. (47)
Se puede lograr una presentacio´n ma´s sime´trica, al sustituir la constante positiva b2
por la tambie´n constante positiva r20 a trave´s de la relacio´n
b2 =
r20
2
t2+3m1
.
Se asume la presencia de un coeficiente Dm en el coeficiente de difusio´n, el cual se define
en te´rminos de la porosidad efectiva como Dm = Dsφm, y en donde Ds se entiende
proporcional a la conductividad saturada. Se introduce la constante temporal t1 y la
constante espacial r0
t1 =
mr20
2(2+3m)Ds
, r1 = r0
(
t
t1
) 1
2+3m
, (48)
y las soluciones autosimilares adquieren la forma, [5], [12]:
u (r, t; r0) =
 1φ
(
t1
t
) 3
2+3m
(
1− r2
r21
) 1
m
r ≤ r1
0 r > r1
. (49)
sobre el problema inverso de difusio´n 105
La constante r0 puede determinarse a trave´s de una condicio´n de normalizacio´n. Se fija
la cantidad de l´ıquido que contiene la gota, como una muestra inicialmente concentrada,
despue´s el feno´meno de la difusio´n evoluciona y entonces la integral espacial de la concen-
tracio´n en cualquier otro momento posterior debe ser la cantidad original, suponiendo que
no hay evaporacio´n, luego:
M (r, t) =
r∫
0
u (r, t; r0) dV =
2pi
φ
(
t1
t
) 3
2+3m
r∫
0
(
1− r
2
r21
) 1
m
r2dr,
y con el cambio de variable y = r
2
r21
, se obtiene la que fue denominada por Johann Carl
Friedrich Gauss como la distribucio´n beta. La evolucio´n se da entonces por:
M (r, t) =M0DistBeta
((
r
r1
)2
;
3
2
,
1
m
+ 1
)
(50)
y la relacio´n entre la masa inicial de agua y la distancia cubierta resulta ser:
r0 =
(
φM0
piB
(
3
2 ,
1
m + 1
)) 13 . (51)
5. Conclusiones
El me´todo fractal del teorema MB1, es u´til para resolver, tanto el problema inverso,
como tambie´n el problema directo de difusio´n.
El me´todo fractal permite obtener expl´ıcitamente la variable de Boltzmann.
El ana´lisis de grupo de ecuaciones diferenciales da la posibilidad de resolver el prob-
lema inverso del exponente de similaridad en el modelo de la ecuacio´n de Boussinesq.
Creemos haber extendido el concepto de problema inverso, desde los coeficientes de
una ecuacio´n diferencial, hasta incluir los exponentes, como es el caso del exponente
de similaridad.
Referencias
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[10] Oksendal, B. (1989) Stochastic Differential Equations. Springer-Verlag, New York.
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