UNIVERSIDAD DE COSTA RICA SISTEMA DE ESTUDIOS DE POSGRADO TÍTULO DEL TFIA DESARROLLO DE UN MÉTODO NUMÉRICO PARA LA OPTIMIZACIÓN MULTI-OBJETIVO DEL DISEÑO DE RESORTES HELICOIDALES A COMPRESIÓN Trabajo final de investigación aplicada sometido a la consideración de la Comisión del Programa de Estudios de Posgrado en Ingeniería Mecánica para optar al grado y título de Maestría Profesional en Ingeniería Mecánica. ERICK VAN PATTEN RIVERA Ciudad Universitaria Rodrigo Facio 2022 iii Tabla de contenido Hoja de aprobación ............................................................................................................ii Resumen ............................................................................................................................... v Lista de cuadros .................................................................................................................. vi Lista de figuras ................................................................................................................. vii 1. Introducción 1 1.1. Descripción general ................................................................................................... 1 1.2. Justificación ................................................................................................................ 2 1.3. Objetivos ...................................................................................................................... 2 1.3.1. Objetivo general ............................................................................................. 2 1.3.2. Objetivos espećıficos ..................................................................................... 2 1.4. Metodoloǵıa general .................................................................................................. 3 1.5. Alcance y limitaciones ............................................................................................... 4 1.6. Aportes y productos materiales ............................................................................... 4 2. Marco teórico 6 2.1. Válvulas de control..................................................................................................... 6 2.2. Resortes helicoidales.................................................................................................. 7 2.2.1. Parámetros de diseño .................................................................................... 7 2.2.2. Esfuerzo máximo y pandeo ......................................................................... 8 2.3. Fatiga no armónica .................................................................................................... 9 2.4. Diseño por robustez ................................................................................................. 12 2.5. Algoritmos para optimización ................................................................................ 14 2.5.1. Optimización multiobjetivo ........................................................................ 15 2.5.2. Algoritmos evolutivos ........................................................................................ 15 2.5.3. Algoritmo genético ordenado no dominado (NSGA II) ......................... 17 2.5.4. Selección, recombinación y mutación ....................................................... 19 3. Metodoloǵıa 24 3.1. Sinopsis metodológica ............................................................................................ 24 3.2. Modelo dinámico ......................................................................................................25 3.3. Optimización del resorte ........................................................................................ 30 3.3.1. Funciones objetivo ...................................................................................... 30 3.4. Restricciones ......................................................................................................................33 3.5. Casos de carga .......................................................................................................... 35 3.6. Implementación del algoritmo .............................................................................. 38 3.7. Subrutinas del programa ........................................................................................ 39 3.7.1. Creación de la población inicial ............................................................... 39 3.7.2. Validación de la población......................................................................... 40 3.7.3. Evaluación de las funciones objetivo ........................................................ 41 3.7.4. Ordenamiento no dominante y distanciamiento ḿınimo ...................... 42 iv TABLA DE CONTENIDO TABLA DE CONTENIDO 3.7.5. Selección, apareamiento y mutación ........................................................ 44 3.8. Parámetros del algoritmo ........................................................................................45 3.9. Comentarios finales ................................................................................................. 46 4. Resultados y discusión 47 4.1. Estructura del código ............................................................................................... 47 4.2. Casos de estudio ...................................................................................................... 49 4.2.1. Carga de onda de presión .......................................................................... 49 4.2.2. Carga armónica simétrica ........................................................................... 51 4.2.3. Carga aleatoria ............................................................................................. 53 4.3. Comentarios generales ............................................................................................. 55 5. Conclusión 57 5.1. Conclusiones y aportes ............................................................................................ 57 5.2. Recomendaciones y trabajo futuro ....................................................................... 60 Referencias 65 Anexos 66 Anexo A.1. Validación del algoritmo .............................................................................. 67 Anexo A.2. Gú́ıa para correr el programa con funciones objetivo ............................. 76 Anexo A.3. Art́ıculo técnico ............................................................................................. 77 Anexo A.4. Código del algoritmo ................................................................................... 82 v Resumen En esta investigación se define la implementación de un método numérico que utiliza un algoritmo genético para la optimización multi-objetivo de resortes helicoidales con el objetivo de minimizar la masa mientras se maximiza la resistencia a la fatiga y la robustez de su diseño. El método numérico y los casos de estudio en los que se prueba se enfocan principalmente a los resortes utilizados en las válvulas de control de flujo, sin embargo la metodoloǵıa se puede cambiar a ser aplicable a otras aplicaciones en resorte similares. Para la implementación del algoritmo se determinan los requerimientos de diseño de los resortes y las restricciones a las que estarán sometidos, después de esto se programa el algoritmo y se prueba con funciones teóricas para verificar su efectividad. Una vez probado el algoritmo se realiza un modelo dinámico de masa amortiguador resorte con múltiples grados de libertad y se traslada esto a un conjunto de formulaciones matemáticas con las cuales se ejecuta la optimización. Finalmente se presentan y analizan tres casos de estudios con diferentes patrones de fuerza: un patrón sinusoidal, una onda de presión y una fuerza aleatoria. Para los diferentes casos de estudio se obtienen las frontera pareto-óptimas en las cuales se encuentran las combinaciones de variables de diseño para el diámetro del resorte, diámetro del alambre y número de espiras activas que tendrán una mejor relación de masa a resistencia a la fatiga y robustez del diseño. Abstract The scope of this work is the implementation a numeric method that utilizes a genetic algorithm to do a multi-objective optimization of helicoidally springs with the intent to minimize the mass, while maximizing the fatigue resistance and the design robustness. The numeric method and the study cases that are analyzed are focused towards the optimiza- tion of springs used in flow control valves; however, the used methodology can be applied to other similar applications. In order to implement the algorithm the design requirements and restrictions were defined, then a dynamic model of the spring in the control valve was created and converted into the mathematic equations that will be optimized through the algorithm. Three study cases are presented and analyzed to assess the performances of the algo- rithm. One is that of a sinusoidal force applied to the spring; another is a random load that varies in time; and that of a load emulating a pressure surge. In each of the study cases, the pareto-fronts are presented along with the combination of variables for spring diameter, wire diameter and number of active coils for each of the individuals. This pareto-front will also define the combinations of design variables that provide the best ratio of mass to fatigue resistance and robust design according to the proposed mathematical model. Ćıtese este trabajo como: Van Patten-Rivera, Erick (2022) Desarrollo de un método numérico para la optimi- zación multi-objetivo del diseño de resortes helicoidales a compresión. Trabajo Final de Graduación para optar por el t́ıtulo de Maestŕıa Profesional en Ingenieŕıa Mecánica. San José: Universidad de Costa Rica. vi Lista de cuadros 2.1. Identificación de variables frecuentes en diseño de resorte (Fuente: el autor). 8 3.1. Valores de las variables utilizadas para los casos de carga. (Fuente: el autor). 38 3.2. Valores de las variables utilizadas para correr el algoritmo. (Fuente: el autor.) 45 4.1. Ejemplos de resultados para el caso de estudio con fuerza de presión (Fuente: el autor). ..................................................................................................................... 51 4.2. Ejemplos de resultados para el caso de estudio con fuerza sinusoidal armóni- ca (Fuente: el autor). ................................................................................................. 51 4.3. Ejemplos de resultados para el caso de estudio con fuerzas aleatorias (Fuen- te: el autor). ............................................................................................................... 54 vii Lista de figuras 2.1. Figuras representativas de la válvula ........................................................................ 7 2.2. Imagen representativa de las variables del resorte. L es la longitud del re- sorte, Del diámetro del resorte, del diámetro del alambre y na la cantidad de espiras activas. (Fuente: el autor.) ........................................................................ 7 2.3. Imagen representativa de la torsión en un resorte. (Fuente: [7].) ........................... 8 2.4. Flujograma del conteo de ciclos rain flow. (Fuente: el autor.) .............................. 10 2.5. Imagen representativa del conteo de ciclos rain flow. (Fuente: [21].) ................... 11 2.6. Gráfico que ejemplifica un diseño robusto. La imagen muestra la diferen- cia entre un punto de optimización convencional y una optimización por robustez de diseño. (Fuente: [16].) ........................................................................... 13 2.7. Imagen representativa de una frontera pareto-óptima dominante. (Fuente: [33].) .............................................................................................................................................................. 15 2.8. Diagrama básico de un algoritmo evolutivo. (Fuente: el autor) ........................... 16 2.9. Diagrama simplificado de un algoritmo evolutivo. (Fuente: [38].) ........................ 17 2.10. Diagrama representativo de la distancia de hacinamiento o apilamiento. (Fuente: [41].) ...............................................................................................................................18 2.11. Diagrama representativo del algoritmo NSGA-II. (Fuente: [43].) ......................... 18 2.12. Diagrama representativo de la distancia de la selección por ruleta. (Fuente: [44].) .............................................................................................................................................................. 20 2.13. Imagen representativo de la selección por torneo. (Fuente: [45].) ........................ 20 2.14. Ejemplo de un problema de optimización utilizando selección de ruleta (a) y torneo (b). (Fuente: [44].) ...................................................................................... 21 2.15. Imagen representativa de la recombinación. (Fuente: el autor.) ........................... 22 2.16. Imagen representativa de la recombinación. (Fuente: [48].) ....................................... 22 2.17. Imagen representativa de la distribución de la mutación polinomial. (Fuente: [50].) .............................................................................................................................................................. 23 3.1. Flujo metodológico. (Fuente: el autor.) .................................................................. 24 3.2. Imagen representativa de la configuración de la válvula. (Fuente: el autor.) . 25 3.3. Imagen representativa del sistema de n grados de libertad (Fuente: el autor.) 27 3.4. Diagrama representativo del flujo del programa de cálculo de fatiga. (Fuen- te: el autor.) ............................................................................................................... 27 3.5. Diagrama de cuerpo libre del primer elemento. (Fuente: el autor.) ..................... 28 3.6. Diagrama de cuerpo libre de un elemento i en el medio. (Fuente: el autor.) 28 3.7. Diagrama de cuerpo libre del último elemento. (Fuente: el autor.) ..................... 29 3.8. Ondas de presión a utilizar para los casos de carga. (Fuente: [29].) .................... 35 3.9. Patrón de fuerza sinusoidal. (Fuente: el autor). ..................................................... 36 3.10. Gráfica de fuerza aleatoria utilizada para el caso de estudio. (Fuente: el autor). ............................................................................................................................................. 37 3.11. Patrón de fuerza simulando una onda de presión. (Fuente: el autor). ................. 37 viii L I S T A DE FIGURAS LISTA DE FIGURAS 3.12. Detalle de patrón de fuerza simulando una onda de presión. (Fuente: el autor). ....................................................................................................................... 38 3.13. Diagrama de flujo del proceso total. (Fuente: el autor) ..................................... 39 3.14. Flujograma del programa de validación de la población. (Fuente: el autor.) 40 3.15. Diagrama de la subrutina de evaluación de funciones objetivo. (Fuente: el autor.) ........................................................................................................................ 41 3.16. Diagrama de flujo para calcular los nuevos cromosomas (Fuente: el autor). 45 4.1. Estructura general del código creado (Fuente: el autor). .................................. 48 4.2. Resultado de frontera pareto-óptima para fuerza onda de presión (Fuente: el autor). ................................................................................................................... 49 4.3. Distribución de las variables para solución de la onda de presión (Fuente: el autor). ................................................................................................................... 50 4.4. Resultado de frontera pareto-óptima para fuerza sinusoidal (Fuente: el au- tor). .............................................................................................................................52 4.5. Distribución de las variables para solución de la fuerza sinusoidal. (Fuente: el autor). ....................................................................................................................52 4.6. Resultado de frontera pareto-óptima para fuerza aleatoria. (Fuente: el au- tor). ............................................................................................................................. 53 4.7. Distribución de las variables para solución la fuerza aleatoria. (Fuente: el autor). ........................................................................................................................54 5.1. Gráfica de la frontera pareto-óptima del problema de Kursawe teórica. (Fuente: [62].) ........................................................................................................... 67 5.2. Resultados obtenidos con el algoritmo para el problema de optimización Kursawe. (Fuente: el autor.) ................................................................................... 68 5.3. Gráfica de la frontera pareto-óptima del problema Poloni de dos objetivos teórica. (Fuente: [63].) ............................................................................................ 68 5.4. Gráfica de la frontera pareto-óptima del problema Poloni de dos objetivos obtenido con el algoritmo creado. (Fuente: el autor). ........................................ 69 5.5. Gráfica de la frontera pareto-óptima del problema de la función Schaffer No.1 teórica. (Fuente: [64].)................................................................................... 70 5.6. Gráfica de la frontera pareto-óptima del problema de la función Schaffer No.2 teórica. (Fuente: [64].) .................................................................................. 70 5.7. Gráfica de la frontera pareto-óptima del problema de la función Schaffer No.1 obtenida. (Fuente: el autor). .......................................................................... 71 5.8. Gráfica de la frontera pareto-óptima del problema de la función Schaffer No.2 obtenida. (Fuente: el autor)........................................................................... 71 5.9. Gráfica de la frontera pareto-óptima del problema de Viennet teórica. (Fuen- te: [65].) ..................................................................................................................... 72 5.10. Gráfica de la frontera pareto-óptima del problema de Viennet práctica. (Fuente: el autor). ..................................................................................................... 72 5.11. Gráfica de la frontera pareto-óptima del problema Constr-Ex teórica. (Fuen- te: [39].) ..................................................................................................................... 73 5.12. Gráfica de la frontera pareto-óptima del problema Constr-Ex obtenida con el algoritmo. (Fuente: el autor). ............................................................................. 73 5.13. Gráfica de la frontera pareto-óptima del problema Osyczka y Kundu teórica. (Fuente: [66].) ........................................................................................................... 74 5.14. Gráfica de la frontera pareto-óptima del problema Osyczka y Kundu obte- nida con el algoritmo (Fuente: el autor). .............................................................. 75 Caṕıtulo 1 Introducción 1.1. Descripción general La industria de las válvulas de control de presión y flujo tuvo un valor de mercado de venta de alrededor de ocho miles de millones de dólares en el 2019. Además, se estima que alcance un valor de mercado de once miles de millones de dólares para el 2025 de manera global [1]. Una gran parte de el mercado de válvulas de control va a dirigida hacia la industria de gas y petróleo [2]. En esta industria se requiere de estas válvulas hidráulicas en las ĺıneas para el control de la presión y el flujo [3]. El correcto funcionamiento de las válvulas es esencial para que las ĺıneas que llevan hidrocarburos funcionen adecuadamente y operen de manera segura [4]. Algunos de los usos comunes de estas válvulas son en ĺıneas de llenado de tanques de combustible, llenado de camiones de distribución de gasolina y, de manera generalizada, en el trasiego de hidro- carburos de un punto a otro como válvulas de alivio de presión [5]. El funcionamiento de estas válvulas es altamente dependiente de la correcta operación del resorte que utilizan. Es por esto que el diseño de los resortes juega un papel fundamental en el funcionamiento y confiabilidad de la válvulas [6]. Los resortes utilizados en estas válvulas de control comúnmente son diseñados median- te un conjunto de buenas prácticas de manufactura que se han determinado debido a la complejidad y cantidad de variables que utilizan [7]. Una forma de lidiar con el proceso complejo de diseño contemplando factores como resistencia contra fatiga y costo de manu- factura es la aplicación de algoritmos de optimización. De esta forma, Zhang [8] aplicó un proceso de optimización multi-objetivo en partes de automóviles contemplando la masa del resorte y la confiabilidad del mismo Kim [9] implementó un algoritmo de optimización aplicado sobre un modelo de resorte dinámico en una válvula de control de una tubeŕıa con el fin de minimizar la masa y el tiempo de respuesta. Zhou [10] desarrolló un algorit- mo de optimización en resortes de diafragma de un embrague de automóvil con el fin de maximizar la resistencia a la fatiga y fuerzas externas del diseño. Sin embargo, basado en la investigación bibliográfica y el estado de la cuestión realizado para este trabajo, no se ha encontrado en la literatura la aplicación de algoritmos de optimización multi-objetivo que contemple la minimización de masa, resistencia contra fatiga aśı como robustez en el diseño de resortes de compresión en válvulas de control. Por lo tanto, en este trabajo pretende desarrollar un método numérico que utilice un algoritmo genético multi-objetivo para estimar el conjunto de soluciones óptimas que pueden tener las variables de diseño de un resorte contemplando las funciones objetivo. 1 1.2. JUSTIFICACIÓ N CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓ N 1.2. Justificación El diseño de resortes a compresión para la industria es uno de los problemas de diseño más complejos de optimizar [11]. Esto por contar con un amplio ́ambito de soluciones posi- bles, de las cuales es dificultoso escoger la solución viable que reduce los costos al máximo y por ser un problema de optimización que requiere lidiar con variables discretas y conti- nuas simultáneamente [12]. El tener esta combinación de tipos de variables, en las cuales algunas no son doblemente derivables, descarta métodos de optimización más eficientes como los algoritmos de gradiente y de optimización combinacional [13]. Los resortes son vitales en una amplia gama de productos de producción como válvulas de control, sis- temas de pistones, caudaĺımetros, entre otros. Lo cual implica que lograr una reducción de costo por unidad tiene grandes impactos en la disminución de gastos de producción [14]. El control del diseño sobre la variabilidad de manufactura de los resortes es también un factor de importancia [15]. Al tomar en cuenta el diseño robusto ayuda a controlar la estabilidad de los resultados de manufactura al mover el punto de diseño sin incurrir en gastos adicionales en la tolerancia de los materiales [16]. Esto a su vez tiene un ahorro económico significativo al tener resultados de manufactura más constantes sin la necesidad de invertir adicionalmente en el control de calidad, que suelen ser costos [17]. Otro punto de interés para el diseño de los resortes es utilizar la combinación de va- riables que necesita la menor cantidad de masa. La menor cantidad de masa implica un menor costo de fabricación del material. Sin embargo, se tomará en cuenta la resistencia a la falla por fatiga con la finalidad de asegurar el correcto funcionamiento del componente y no comprometer la operación de la válvula [18]. Además de esto, otro de los factores a tomar en cuenta al optimizar es que en el diseño de resortes se tiene un ámbito de posibles magnitudes para cada variable de diseño y que al fijar algunos de ellos para optimizar una única variable puede comprometer la solución que no es de mayor beneficio para todos los frentes. Es ah́ı donde la optimización multi- objetivo aporta un gran valor al optimizar para varios de los factores. Por esta razón, que el enfoque propuesto contribuye a generar un alto valor para la industria al optimizar diseños. Además de esto proporciona una gama de opciones óptimas entre las cuales se puede escoger la solución deseada. 1.3. Objetivos 1.3.1. Objetivo general Desarrollar un método numérico para la optimización multi-objetivo del diseño de resortes helicoidales a compresión con la finalidad de minimizar la masa y maximizar la resistencia a la fatiga y la robustez del diseño. 1.3.2. Objetivos espećıficos Identificar los criterios de diseño, formulaciones matemáticas, restricciones y funcio- nes objetivo para el planteamiento del problema de optimización. Implementar el algoritmo NSGA II para la optimización de los resortes helicoidales Evaluar el rendimiento del algoritmo para la verificación de su efectividad. 2 1.4. METODOLOGÍA GENERAL CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓ N 1.4. Metodoloǵıa general Durante esta sección se pretende describir los pasos metodológicos a completar. Estos serán detallados a profundidad en el caṕıtulo espećıfico de la metodoloǵıa. Sin embargo, a manera introductoria se mencionarán las técnicas de investigación y ejecución con la finalidad de enmarcar la metodoloǵıa bajo el cual se dasorrolló esta investigación. Investigación teórica. Para apoyar los conocimientos en esta área del diseño, se efectuará una recopilación bibliográfica de art́ıculos cient́ıficos y libros de diseño con ́enfasis en optimización multi- objetivo y diseño de resortes, estos darán el sustento teórico al trabajo de diseño. Para estos efectos se utilizarán los recursos en ĺınea del sistema bibliotecario de la Universidad de Costa Rica aśı como otras fuentes externas. Definición de parámetros y criterios de diseño Una vez realizada la investigación teórica se procederá a detallar, definir y justificar los criterios y parámetros de diseño bajo los cuales estará sometido el resorte. En este segmento se definirán, además, las restricciones que afectan al algoritmo y los ámbitos posibles para todas las variables. Proposición del algoritmo a utilizar Una vez definidos los parámetros de diseño a utilizar, se procederá a proponer la ver- sión del algoritmo NSGA II a utilizar, los criterios de paro, cantidad de iteraciones y todos lo otros parámetros del mismo. En esta fase además, se hace un diagrama de flujo que facilite el entendimiento del algoritmo de manera gráfica. Implementación del algoritmo. En esta etapa del trabajo se implementará el algoritmo utilizando lenguaje de MatLab. Esto se realizara siguiendo la formulación propuesta en el paso metodológico anterior, y convirtiéndolo en el código requerido para implementarlo. Esta etapa conlleva, además, todo lo necesario para poder ejecutar el algoritmo propuesto. Ejecución del algoritmo en diferentes casos de diseño. Una vez implementado el algoritmo, se pretende correr bajo diferentes casos espećıficos con la finalidad de poder compararlo con lo que hay disponible en la literatura como punto de referencia. Cabe destacar que, debido a que las condiciones de operación y objetivos no son los mismos no se pueden comparar directamente. Sin embargo, es un buen punto de referencia para empezar a validar el funcionamiento del algoritmo. Además se pretende analizar la robustez de los resultados, comparando el cambio en los resultados al cambiar los parámetros de diseño para corroborar su confiabilidad. Evaluación del método numérico utilizado. Finalmente, una vez implementado el algoritmo se pretende realizar una comparación y evaluación del método utilizado. Esto se realizará haciendo varias corridas del algorit- mo para verificar su convergencia y que sus resultados sean homogéneos. Además se hará 3 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓ N 1.5. ALCANCE Y LIMITACIONES una comparación de las condiciones en la frontera pareto-óptima para las corridas entre los casos de estudio propuestos, con la finalidad poder valorar los resultados obtenidos a partir del algoritmo. 1.5. Alcance y limitaciones Esta investigación pretende implementar un algoritmo de optimización para resortes helicoidales usando leguaje Matlab. Sin embargo, no pretende desarrollar el programa como un ejecutable independiente, ni se provee interfase de usuario; cualquier persona que desee hacer uso del programa podrá hacerlo usando directamente el código fuente. El proyecto se enfocará principalmente en el desarrollo del código y en la verificación de los resultados obtenidos a partir del mismo. Asimismo, la investigación no pretende correr pruebas con prototipos o con probetas f́ısicas para verificar resultados. Como entregables finales, se presenta el código del pro- grama, junto con la definición del problema y un análisis de los resultados obtenidos. Sin embargo, el método numérico desarrollado no garantiza encontrar un óptimo absoluto, sino encontrar el ́optimo relativo señalado por la forma de las funciones objetivo. Por otro lado, en esta investigación no se pretende optimizar todos los accesorios que componen la válvula. Asimismo, las cargas que experimenta el resorte es considerado como dato de entrada en el proceso de optimización. 1.6. Aportes y productos materiales En esta sección se presentan los productos y aportes intelectuales que surgen a partir de esta investigación. Esta lista no pretende ser exhaustiva, sino que describe las princi- pales contribuciones creadas. Método de cálculo para optimización de resortes Uno de los aportes de este trabajo será la descripción y definición del método de cálcu- lo creado para la optimización de resortes. Este método incluye el análisis dinámico del sistema con la finalidad de determinar las fuerzas cŕıticas contra fatiga, la robustez del diseño y la minimización de la masa. Además, verifica el cumplimiento de las restricciones según se detalla en el caṕıtulo de metodoloǵıa. Código fuente original con la implementación del algoritmo. En la sección de anexos se presenta el código y subprogramas utilizados para imple- mentar el algoritmo. El anexo contiene detallado el código fuente original con todos los subprogramas junto con una explicación en los comentarios del mismo. Tener el código fuente implica que el algoritmo puede analizar con mucho mayor detalle y recrear la me- todoloǵıa utilizado a lo largo de este trabajo. Asimismo, se presenta una gúıa de los pasos para utilizar el programa y poder recrear los casos de estudio. 4 1.6. APORTES Y PRODUCTOS MATERIALES CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓ N Manuscrito de art́ıculo presentado en la jornada de investigación. Se presenta el manuscrito del resumen extendido presentado en la tercera Jornada de Investigación de la Universidad de Costa Rica del año 2021. El manuscrito representa una ponencia de investigación realizada que contiene un resumen de la metodoloǵıa aśı como una representación de los resultados obtenidos. Memoria de aplicación a casos particulares y su consecuente análisis. En el transcurso del documento de la investigación se presenta el detalle de los casos de estudio particulares que se analizaron. Además en caṕıtulo 4 del documento se muestran los resultados obtenidos al utilizar el método numérico en estos casos de estudio, aśı como un análisis de los mismos. Durante este caṕıtulo se lograron definir las bases bajo las cuales se desarrolló esta investigación, además de los objetivos que se cumplieron a lo largo de la misma. También hace ́enfasis en identificar el alcance que tendrá el tema de investigación y las limitaciones que regirán el desarrollo de las siguientes partes del documento de investigación. 5 Caṕıtulo 2 Marco teórico El propósito de este caṕıtulo es establecer y sintetizar los fundamentos teóricos y ante- cedentes t́ecnicos que sustentaran esta investigación. Se describe tanto el proceso de diseño de resortes como la teoŕıa necesaria para poder comprender con claridad las decisiones to- madas en la implementación del algoritmo. 2.1. Válvulas de control El resorte en el cuál se enfocará esta investigación pertenece a una válvula de control como la que se muestra en la figura 2.1a. Estas válvulas de control funcionan mediante un pistón controlado por un resorte que puede desplazarse a lo largo de un cilindro. La compresión y resistencia de este resorte se puede lograr mediante un tornillo que poseen. La posición en la que se coloca este tornillo se escoge según el punto de operación en el cuál se desee que la válvula opere [5]. Es por esta razón que el resorte de la válvula es uno de los elementos cŕıticos para una operación correcta y segura de la válvula. La ilustración mostrada en la figura 2.1b muestra de una manera más clara y simplifi- cada el funcionamiento y estructura de la válvula. La válvula funciona como una cáıda de presión en la ĺınea por la que pasa el fluido, por lo que en la figura 2.1b el valor de P1 es mayor al valor de P2. Además la precompresión está demarcada en la figura por F1, que se logra a través del ajuste de un tornillo en la parte superior [19]. Esta precompresión es determinada por el usuario según las presiones de trabajo y se tomará en cuenta al momento de realizar el análisis dinámico de la válvula. 6 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓ RICO 2.2. RESORTES HELICOIDALES (a) Imagen. (Fuente: [6]) (b) Diagrama. (Fuente: [5]) Figura 2.1: Figuras representativas de la válvula 2.2. Resortes helicoidales a compresión 2.2.1. Parámetros de diseño Durante este segmento y a lo largo del trabajo se utilizarán frecuentemente variables relacionadas con el diseño de resorte. El cuadro 2.1 define las variables que se usarán y sus unidades con la finalidad de evitar de definirlas múltiples veces a lo largo del trabajo. La figura 2.2 presenta una imagen en la cual se resaltan las variables geométricas del resorte que están definidas en el cuadro. Figura 2.2: Imagen representativa de las variables del resorte. L es la longitud del resorte, D el diámetro del resorte, d el diámetro del alambre y na la cantidad de espiras activas. (Fuente: el autor.) 7 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓ RICO 2.2. RESORTES HELICOIDALES Cuadro 2.1: Identificación de variables frecuentes en diseño de resorte (Fuente: el autor). Variable Significado (unidades) d D E Fmax Llibre G W k na nt ρ θ τmax A Ks Kc C Diámetro del alambre (mm) Diámetro exterior del resorte (cm) módulo de Young del material (Pa) Máxima fuerza del resorte antes de comprimirse totalmente (N) Longitud del resorte libre (cm) Módulo de cizalladura o a cortante del material (Pa) Factor de corrección de Whal constante del resorte (N/m) Cantidad de espiras activas del resorte Cantidad de espiras totales del resorte Densidad del material (kg/m3) Á ngulo de las espiras del resorte (grados) Máximo esfuerzo cortante al que está sometido el resorte Pa Á rea transversal del alambre del resorte (m2) Factor de corrección por el esfuerzo cortante Factor de corrección por la curvatura del resorte Índice del resorte = D d 2.2.2. Esfuerzo máximo y pandeo Producto de las cargas de compresión, se genera en las espiras del resorte un estado de esfuerzos cortantes y torsionales tal y como se muestra en la figura 2.3. Según el estado de carga mostrado en la figura se puede definir la ecuación para τmax presentada en la ecuación (2.1). Además de esto, al hacer ciertas simplificaciones se puede pasar la ecuación del esfuerzo a la presentada en la ecuación (2.2). En esta se incluye el factor Ks para corrección por la el esfuerzo a cortante y se puede calcular mediante la ecuación (2.3). El factor KC se usará multiplicando en la ecuación (2.2), con la finalidad de introducir una corrección por la curvatura del resorte. El factor KC calculado según se presenta en la ecuación (2.4) es más conservador que el definido en Ks. Por esta razón se utilizará la forma de el esfuerzo máximo mostrado en la ecuación (2.5)[7]. Figura 2.3: Imagen representativa de la torsión en un resorte. (Fuente: [7].) La ecuación (2.5) muestra como el esfuerzo en las espiras del resorte se basa principal- 8 2.3. FATIGA NO ARMÓ NICA CAPÍTULO 2. MARCO TEÓ RICO mente en el diámetro del resorte y del alambre, aśı como las caracteŕısticas del material. Basado en el esfuerzo máximo, se puede calcular el esfuerzo de von Mises que, al no poseer esfuerzos normales se simplifica al valor presentado en la ecuación (2.6). Esto es debido a que cuando se tiene una condición de cortante puro, se puede calcular el cortante de fluencia con el esfuerzo normal de fluencia. Tr F τmax = + (2.1) J A 8FD τmax = Ks πd3 (2.2) 2C + 1 Ks = (2.3) 2C 2C(4C + 2) KC = (4C − 3)(2C + 1) (2.4) 8FD τmax = KC πd3 (2.5) σvonMises = √ 3τmax (2.6) Además de verificar el esfuerzo máximo en el resorte, se debe asegurar su estabilidad contra pandeo. Para esto se tiene que verificar que el resorte cumpla con la condición presentada en la ecuación (2.7), en donde α es una constante multiplicativa que depende del tipo de terminación del resorte. πD ( 2(E − G) \1/2 Llibre < α 2G + E (2.7) La ecuación (2.7) se utiliza debido a que los resortes helicoidales suelen ser bastante esbeltos. Esto significa que existe una alta posibilidad de que fallen en alguno de sus modos de pandeo a una carga menor a la cual el material de que están hechos entraŕıa en fluencia. Una longitud libre menor a la mostrada en esta ecuación ayudará a garantizar que el resorte tenga el suficiente diámetro para no fallar con facilidad al pandeo. La ecuación depende de tipo de apoyo del resorte, ya que los grados de libertad de los extremos evitarán, o facilitarán, algunos de los modos de pandeo del resorte [7]. 2.3. Criterio de diseño para fatiga no armónica Para el caso de fatiga no armónica uno de los criterios de diseño más utilizados comúnmente es el del conteo de ciclos rain flow [20] como es definido en el ASTM E1049- 85 utilizado en conjunto con el criterio de acumulación de daño de Miner [21]. El diseño consta principalmente de dos etapas: una primera etapa en el que las fuerzas a las que se expone el componente son convertidas a ciclos con magnitud equivalente y una segunda en la cual se utiliza la acumulación de daño. Se comenzará por detallar el proceso de conteo de ciclos rain flow. El objetivo prin- cipal de esto es reducir el espectro de esfuerzos variables a un espectro equivalente de esfuerzos simples reversibles los cuales generan la misma cantidad de daño en el material 9 9 2.3. FATIGA NO ARMÓ NICA CAPÍTULO 2. MARCO TEÓ RICO [22]. Para realizar el conteo de ciclos se comienza por definir el ́ambito de los esfuerzos en consideración X, Y que es el ́ambito anterior adyacente a X y S que es el punto inicial del historial de esfuerzos graficado en estudio[21]. Los pasos para realizar el conteo de ciclos se describen a continuación. Asimismo en la figura 2.4 se muestra el diagrama del proceso para dar mayor claridad al lector. 1. Se comienza a partir de el punto S. 2. Se anota el siguiente pico o valle que se encuentre en el historial, si no hay suficientes datos en todo el historial salte al paso 7. 3. Si hay menos de tres puntos en el ámbito, repita el paso 1. Al tener tres puntos haga los ámbitos X y Y usando los tres puntos más recientes que no hayan sido descartados 4. Compare los valores absolutos de los ámbitos X y Y a) Si X < Y , vaya al paso 2 b) Si X ≥ Y , vaya al paso 5 5. Si el ámbito Y contiene el punto S, vaya al paso 6. Si no lo contiene cuente Y como un ciclo con la magnitud de su ámbito; descarte el pico y valle de Y y continúe al paso 3. 6. Cuente Y como un medio ciclo;descarte el primer punto de Y y mueva el punto inicial S al segundo punto del ámbito Y, repita desde el paso 3. 7. Cuente cada ́ambito que no fue contado previamente como un semi-ciclo Figura 2.4: Flujograma del conteo de ciclos rain flow. (Fuente: el autor.) Un ejemplo de como funciona este método se muestra en la figura 2.5(a). En este se toma A como el punto S, el ámbito |B − A| como Y y X seŕıa el ámbito |C − B|. Esto debido a que, como se definió con anterioridad S es el punto inicial, Y el ámbito anterior a X y X seŕıa el ámbito en estudio. Al compara este X y Y se nota que X > Y por lo que se se utiliza el criterio de decisión en el paso 4(b) del algoritmo. Como el ́ambito de Y 10 10 2.3. FATIGA NO ARMÓ NICA CAPÍTULO 2. MARCO TEÓ RICO contiene a S que es el punto inicial se toma Y como un medio ciclo y se descarta el punto inicial como se muestra en la figura 2.5(b). Posteriormente se sigue el proceso trasladando el punto S al punto B de la gráfica ya que el punto A fue descartado. Esto transforma la gráfica de la forma a la que se muestra en la figura 2.5(c). Posteriormente se redefinen X y Y , en el cual se repite el mismo procedimiento que lleva a la eliminación del punto B y se añade otro medio ciclo. El algoritmo se continúa al redefinir el punto S en C y se repiten los pasos según se ejemplifica en el diagrama de la figura 2.4. Figura 2.5: Imagen representativa del conteo de ciclos rain flow. (Fuente: [21].) El algoritmo se sigue hasta que finalmente se llega a un resultado similar al mostrado en la figura 2.5(f). En el que ya no queda ningún segmento del patrón de fuerzas que procesar y lo que se tiene es un conteo de ciclos y las magnitudes que tuvieron los mismos. Una vez identificados los ciclos y sus magnitudes se puede proceder con el método de acumulación de daño de Miner para fatiga no armónica [23]. Para este, se define N como el número total de ciclos que soporta un elemento bajo una fatiga con un esfuerzo dado S. Estos datos se tienen experimentalmente para esfuerzo armónico. De manera generalizada, para un material se puede definir calcular N mediante la ecuación (2.8) en donde a y b son constantes del material [24]. N = aS−b (2.8) Una vez establecido esto, definimos ni como el número de ciclos que se obtuvieron me- diante el conteo de rain-flow con un valor de esfuerzo Si, el cual tendŕıa una capacidad de 11 11 2.4. DISEÑO POR ROBUSTEZ CAPÍTULO 2. MARCO TEÓ RICO 12 ⇒ ⇒ vida útil total igual a Ni. A estos se le puede atribuir un a fracción de vida útil consumida equivalente. De esta manera se tiene que para que una pieza fallará cuando la sumatoria de todas las fracciones de vida consumida sea igual a la unidad, tal como lo expresa la ecuación (2.9) que representa el momento de falla [25]. n1 n2 n3 + + N1 N2 N3 + ... = 1 = ) ni Ni = 1 (2.9) La ecuación de Miner representa una relación en la cual un un ciclo con un valor de es- fuerzo dado Si causa un daño igual sin importar cuando se de este en el historial de carga. Utiliza un método de acumulación de enerǵıa basado en la cantidad de trabajo absorbido requerido para fatigar el material. Sus principales puntos débiles son la independencia de la secuencia y nivel de carga, aśı como la falta de contabilizar las interacciones entre las cargas [25]. n1 n2 + N1 N2 n3 + + ... = F N3 Miner = ) ni Ni = FMiner (2.10) La ecuación (2.10) muestra la definición del factor de Miner que es una representación de la fracción de vida útil consumida del componente. Esto implica que entre más se acer- que el número a 0 se tendrá un diseño que se encuentra más lejos de la falla por fatiga. El resultado del método de Miner se calcula de tal forma que entre menor sea el número calculado por medio de la ecuación (2.10) se tendrá un diseño que está más lejos de la falla por fatiga. Esto es de utilidad al ser usado en un algoritmo de optimización ya que se puede utilizar como un valor representativo para poder comparar la resistencia mecánica a la fatiga de dos componentes dados. Al tener el número de Miner de dos elementos, aquel que tenga un menor número tendrá una mejor resistencia a la fatiga ante un patrón de fuerzas dado. 2.4. Diseño por robustez El diseño por robustez consiste en que un producto o elemento mantenga las funciones y desempeño deseado ante variaciones externas, o que sea afectado de manera ḿınima. Es decir, un producto es diseñado robustamente si es poco sensible ante ruido incontrolable de alguna de las variables de diseño [26]. Esto se puede explicar con el ejemplo mostrado en la figura 2.6, donde se evidencia como la solución de una optimización convencional no es coincidente con la de diseño robusto. La solución del diseño robusto busca el punto que minimiza la variación de la respuesta ante un cambio en las variables de entrada de la función. Un ejemplo de esto, en el caso de los resortes es minimizar el cambio en la masa y la resistencia a la fatiga ante cambios no controlables en las dimensiones del diámetro del resorte y el alambre. Estas variaciones no controlables son atribuibles a las tolerancias del material y del método de manufactura y que al escoger un punto de diseño robusto se minimiza el impacto de estas variaciones. Existen varias metodoloǵıas para realizar un diseño robusto, pero una de las más 12 2.4. DISEÑO POR ROBUSTEZ CAPÍTULO 2. MARCO TEÓ RICO 13 frecuentes en el diseño mecánico es la formulación de la sensibilidad ḿınima [27]. Este 13 2.4. DISEÑO POR ROBUSTEZ CAPÍTULO 2. MARCO TEÓ RICO 14 Figura 2.6: Gráfico que ejemplifica un diseño robusto. La imagen muestra la diferencia entre un punto de optimización convencional y una optimización por robustez de diseño. (Fuente: [16].) método utiliza teoŕıa de que al minimizar la sensibilidad a una de las variables, implica una reducción en la probabilidad de falla en un diseño [28].Si se define una función F que representa la respuesta de interés del sistema, la cual depende del diseño y las variables de diseño sin incertidumbre b y las variables con incertidumbre x, tal como se presenta en la ecuación 2.11 [28]. F = F (b, x) (2.11) La idea es determinar un diseño objetivo b* tal que la sensibilidad de F respecto a x sea un ḿınima, por lo que el problema se reduce al presentado en la ecuación (2.12). La ecuación (2.12) queda sujeta a localizarse entre valores requeridos y cŕıticos, aśı como también cumplir con los otros criterios de diseños definidos por gi como se muestra en la ecuaciones (2.13) y (2.14) [28]. dF (b, x) min dx (2.12) F (b, x) ≤ F diseno < F cr (2.13) gi(b, x) ≤ 0, i = 1, ..., m (2.14) Este método de diseño por robustez también se puede definir como minimizar la sen- sibilidad a las variables de diseño. Esta sensibilidad, por ende se puede definir por medio de la ecuación (2.15), en la cual S es el factor de sensibilidad, Fr es la función objetivo y Dp son las variables requeridas [26]. 14 15 2.5. ALGORITMOS PARA OPTIMIZACIÓ N CAPÍTULO 2. MARCO TEÓ RICO ∆F r/Fr δF r/δDp S = ∆Dp/Dp ≈ (2.15) Fr/Dp La investigación pretende tomar ventaja de este método de diseño por robustez para poder obtener por medio de la optimización un diseño que sea más resistente a los cambios en las variables de diseño. El diseño robusto presenta una alternativa a los criterios de diseño convencionales que toma en cuenta factores que se presentan en la manufactura de componentes y ayuda a reducir los requerimiento de tolerancias [27]. 2.5. Algoritmos para optimización multi-objetivo Para iniciar este segmento se pretende realizar un resumen de algunas de las publica- ciones e investigaciones similares que se han realizado en el tema de optimización. Esto con la finalidad de validar y respaldar las decisiones tomadas a lo largo de este segmento y también darle un marco de referencia al contenido del mismo. Cabe destacar, que este segmento no pretende ser exhaustivo en cuanto a las fuentes existentes, sino apuntar a hacia los principales documentos existentes que ayudan a sustentar el mismo. El tema de optimización de un diseño con base en la resistencia a parámetros de interés es uno ampliamente estudiado. Entre los autores y casos similares al de este trabajo se tiene la reducción de elementos de un compresor basado en el diseño robusto por Zhang et al [8]. Este art́ıculo tiene la gran similitud de que uno de los objetivos es realizar una optimización por robustez semejante a la de este trabajo. Además de este, otro trabajo similar es el de Jian et al [29], en el cual se optimiza un válvula de control utilizando un algoritmo genético con dos objetivos. En la referencia [29] el ́enfasis realizado es prin- cipalmente hacia la estabilidad y constante del resorte. Sin embargo, se utilizan fuerzas variables que son una referencia de alto valor con la finalidad de que sean ejemplo y dan base a las fuerzas a las cuales se someterán los componentes en esta investigación. En el art́ıculo de Kim et al [9] se presenta una optimización de una válvula de alivio utilizando un algoritmo genético similar al que se utilizará en este trabajo, pero con dos funciones objetivo. El art́ıculo presenta como variables objetivo la reducción de la masa del sistema y la respuesta dinámica del mismo. La investigación, además, presenta un análisis dinámico del sistema que es de gran utilidad debido a la semejanza que posee con el que se realizará en este art́ıculo, además de poseer la masa como una de las funciones objetivo. La investigación de Zhou et al [10] referente a la optimización de un embrague de au- tomóvil posee una aproximación similar a la que se pretende realizar en en este trabajo. En ella se optimiza un embrague de diafragma de un automóvil con dos funciones objetivo: la masa y la frecuencia del sistema. En este, en vez de utilizar un algoritmo genético se utiliza uno h́ıbrido de selección paralela con una función compartida, que es básicamente otro algoritmo determinista para hacer una optimización multi-objetivo. Finalmente se tiene el art́ıculo de Nikola et al [30] en el cual se realiza la optimización multi-objetivo de una suspensión de un veh́ıculo. Este utiliza el algoritmo NSGA II con tres variables objetivo: la aceleración, el desplazamiento de la suspensión y la deflexión de las llantas. Este a su vez realiza un estudio dinámico con la finalidad de conocer la respuesta del sistema y poder optimizar respecto a la misma. Debido a esto, el art́ıcu- lo también posee similitudes con esta investigación que son un buen punto de referencia para basar las decisiones a tomar en la implementación metodológica de esta investigación. 15 16 2.5. ALGORITMOS PARA OPTIMIZACIÓ N CAPÍTULO 2. MARCO TEÓ RICO 2.5.1. Optimización multiobjetivo La optimización multiobjetivo es un área que busca dar un respaldo matemático a problemas que contengan más de una función objetivo que tienen que ser optimizadas simultáneamente. La optimización multiobjetivo busca realizar la búsqueda de un conjun- to de soluciones finales óptimas entre las cuales se escoge una opción final basada en un criterio de decisión [31]. Este tipo de optimización busca encontrar la frontera ́optima en el espacio de solución, denominada la frontera Pareto ́optima. Un punto x∗ se puede definir como perteneciente de la frontera Pareto óptima dominante S si no existe otro punto x tal que fi(x) ≤ fi(x∗) para todos los puntos del espacio solución, en donde el resultado de la función f se desea minimizar. Se puede decir que un punto que no es completamente dominado por otro punto del espacio solución cuando al mejorar los valores de una de las funciones tendrá el efecto de empeorar el valor de idoneidad en alguna de las otras funciones, de esta manera existe un punto tal que sea objetivamente mejor en todas las magnitudes de sus valores de idoneidad [32]. Una ejemplificación clara de este concepto se puede apreciar en la figura 2.7, donde si se quisiera minimizar f1 y f2, los puntos sobre la ĺınea azul estaŕıan sobre la frontera Pareto ́optima [31]. Figura 2.7: Imagen representativa de una frontera pareto-óptima dominante. (Fuente: [33].) Cabe destacar que mientras que un problema de optimización con una sola función objetivo que solo tiene una solución dominante sobre todos los otros puntos del espacio solución un problema de optimización multi-objetivo tiene un conjunto de soluciones do- minantes que son aquellas soluciones que no son completamente dominadas por ningún otro punto del espacio solución. En casos en lo que se tienen varias funciones objetivo, como es el caso que desarrolla en esta investigación, se tiene un conjunto de soluciones óptimas entre las cuales se puede escoge. La forma de la frontera pareto ́optima dependerá de la cantidad de funciones objetivo. Como ejemplo de esto un caso con dos funciones objetivo presentará una curva como la mostrada en la figura 2.7, mientras que una con tres funciones objetivo tendrá una curva tridimensional o superficie. 2.5.2. Algoritmos evolutivos Un algoritmo evolutivo se puede definir como un algoritmo genérico meta-heuŕıstico basado en la población. Esto quiere decir que representa una forma de solucionar un pro- blema en el cual los métodos tradicionales de optimización son muy lentos, o no logran 16 17 2.5. ALGORITMOS PARA OPTIMIZACIÓ N CAPÍTULO 2. MARCO TEÓ RICO llegar a un resultado. A pesar de esto, este tipo de algoritmos no garantizan obtener el mı́nimo global en algunos problemas [34]. Este tipo de algoritmos se basan en métodos de optimización estocástica, es decir que utilizan variables generadas aleatoriamente para encontrar una solución. Estos se basan principalmente en una serie de pasos de optimización combinatoria en la cual el resulta- do se logra buscando sobre un gran número de soluciones posibles. Una de las ventajas principales que poseen es la posibilidad de obtener soluciones viables con menor poder computacional que métodos directos no estocásticos. Además, debido a la metodoloǵıa en la cual se buscan los individuos de la población, este tipo de algoritmo tiene la capacidad de evadir ḿınimos locales al hacer un muestreo de la población, y no utilizar gradientes para encontrar un punto ́optimo [34]. De manera generalizada, se tiene que un algoritmo evolutivo debe presentar como ḿınimo los pasos básicos generales que se presentan en la figura 2.8 [35]. Como se puede observar en la figura, los algoritmos evolutivos comienzan con una población generada aleatoriamente de las posibles combinaciones de variables y posteriormente se analiza su ajuste y posición en el espacio solución. Con base en este análisis se crea una nueva gene- ración a partir de las mejores soluciones, introduciendo combinaciones entre ellas. Cabe destacar, además, que se introducen agentes de aleatoriedad conocidos como mutaciones para asegurarse que el espacio buscado no se estanque, y garantiza tener variabilidad en- tre las soluciones padres e hijas [36]. Debido a su semejanza al proceso de reproducción genética se le llama a cada combinación de variables un individuo y al conjunto de los individuos se le llama población. De manera similar se dice que las combinaciones de estos individuos pueden generar hijos de los cuales los individuos originales serán los padres. Figura 2.8: Diagrama básico de un algoritmo evolutivo. (Fuente: el autor) Como su nombre lo dice, un algoritmo evolutivo se basa en el proceso de selección natural en una población de soluciones candidatas. Esta población se evalúa según una función de aptitud para establecer mejores candidatos y estos tendrán hijos que formarán la siguiente generación. Además de esto se introduce en el algoritmo un porcentaje de mutación y de cruce o recombinación entre las variables para mantener la diversidad de la misma [37]. 17 18 2.5. ALGORITMOS PARA OPTIMIZACIÓ N CAPÍTULO 2. MARCO TEÓ RICO La figura 2.9 muestra un diagrama simplificado de este tipo de algoritmo en el cual se tiene una solución inicial, posteriormente se evalúan las funciones objetivo y según los resultados de las mismas se genera una nueva población. Este ciclo se repite hasta a alcan- zar el criterio de convergencia, que usualmente es un número definido de generaciones [37]. Figura 2.9: Diagrama simplificado de un algoritmo evolutivo. (Fuente: [38].) Los algoritmos evolutivos son un proceso iterativo. La figura 2.9 muestra con claridad el ciclo utilizado para crear nuevas generaciones y como la recombinación y la mutación son las principales operaciones para crear diversidad en la población con base en la cual se está optimizando. La nuevas generaciones se evalúan y ordenan según la función objeti- vo de interés para determinar cuales son los ́optimos y de ah́ı sacar la nueva generación [39]. 2.5.3. Algoritmo genético ordenado no dominado (NSGA II) Los algoritmos genéticos son una subdivisión de los algoritmos evolutivos. Uno de los más predominantes entre ellos es el es el algoritmo genético en ordenamiento no dominado II (NSGA-II por sus siglas en inglés). En este algoritmo, antes de hacer la selección de estructuras a reproducir presentado en la figura 2.8, la población se clasifica según qué tan dominante es cada una de las soluciones. Todas las soluciones no dominantes se incluyen en una categoŕıa, y las dominantes en otra [36]. Posteriormente, después de haber clasificado los resultados, se le asigna una mayor cantidad de copias o valores hijos a los valores en la clasificación dominante con respecto a la no dominante. Esto se hace de esta manera ya que se asume que tendrán mayor posibi- lidad de generar buenos resultados. Además de esto, una de las principales caracteŕısticas del NSGA-II que lo distingue de los otros algoritmos genéticos que no solamente ordena los resultados de una iteración según su dominancia, sino que también utiliza la distancia de hacinamiento o apilamiento de los datos. La distancia de hacinamiento toma en cuenta no solo que los punto seleccionados se encuentren en la curva pareto-óptima, sino también la distancia entre los puntos consecutivos en la curva [40]. Al tomar en cuenta la distancia de hacinamiento el algoritmo asegura tener diversi- dad en el espacio solución, y busca que los puntos solución finales estén distribuidos a lo largo de la frontera Pareto óptima. Esto se hace realizando que puntos muy cercanos en 18 19 2.5. ALGORITMOS PARA OPTIMIZACIÓ N CAPÍTULO 2. MARCO TEÓ RICO la curva no lleguen a llenar todo el espacio de resultado.Una manera gráfica de visualizar este concepto se presenta en la figura 2.10. En la figura 2.10 se observa como los valores dominantes con los cuales se creará la siguiente generación se escogen según esta distancia de separación ḿınima de los valores en la frontera Pareto-dominante hace que se mantenga una diversidad entre generaciones [41]. Figura 2.10: Diagrama representativo de la distancia de hacinamiento o apilamiento. (Fuente: [41].) Esta combinación de caracteŕısticas hacen que el algoritmo NSGA-II sea uno de los que da resultados más prometedores, debido su rápida convergencia y relativamente baja demanda computacional [42]. Una imagen representativa del algoritmo se presenta en la figura 2.11 en donde se presenta de manera simplificada los pasos del algoritmo. Además, se notan los pasos adicionales requeridos respecto a un algoritmo evolutivo básico como el mostrado el la figura 2.8 [43]. Figura 2.11: Diagrama representativo del algoritmo NSGA-II. (Fuente: [43].) El algoritmo utiliza los siguientes pasos generalizados: 19 20 2.5. ALGORITMOS PARA OPTIMIZACIÓ N CAPÍTULO 2. MARCO TEÓ RICO i },n 1. Creación de la población inicial por medio de alguna metodoloǵıa. 2. Se ordena la población con base en la no-dominancia en los diferentes frentes, esta no-dominancia se obtiene al comparar sus valores de las funciones objetivo para determinar los individuos más fuertes. 3. Se seleccionan los individuos según su posición en el ordenamiento y su distancia de apilamiento. 4. Se crea una población de descendientes utilizando la selección por torneo, el cruce y la mutación. 5. Se combinan los padres e hijos y se hace el ordenamiento no dominado, identificando los frentes. 6. Se escoge la población que seguirá en el proceso tomando en cuenta las distancias de apilamiento para mantener la diversidad. 2.5.4. Selección, recombinación y mutación En este segmento se pretende adentrar dentro de los concepto de selección, recombi- nación y mutación. Esto debido a la necesidad de entender estos conceptos para poder comprender en su totalidad la sección de la metodoloǵıa en donde se explicará espećıfica- mente cómo se realizarán estos pasos. Primero se procederá a explicar en qué consiste el proceso de selección para la recom- binación. La operación de selección se basa en el llamado fitness value o valor de idoneidad de un individuo de la población. Este valor indica que tan fuerte es un candidato para ser el ́optimo de la población, entre mayor sea su número de ajuste, mayor será la probabilidad de ser escogido para seguir adelante y reproducirse [44]. La selección utiliza métodos probabiĺısticos para determinar cuales serán los indivi- duos padres. Esto se realiza de esta forma para mantener la diversidad de la población y fomentar que las generaciones futuras no se enfoquen únicamente en una región de la frontera pareto ́optima. Existen varios métodos de selección, pero en esta sección se aden- trará dentro de los dos más comúnmente usados que son el de la ruleta y el de torneo; se comenzará por explicar el de ruleta. El método de ruleta consiste en realizar la selección por medio del equivalente probabiĺıstico a un juego de ruleta, en la cual a los individuos más aptos se les asignará un segmento más grande en la ruleta y, por ende, una mayor probabilidad de ser escogidos para la recombinación [44]. La figura 2.12 representa gráficamente el método de selección por ruleta. En esta ima- gen los ai son los diferentes miembros de la población y su tamaño de segmento circular esta asociado según la proporción del valor de idoneidad de cada individuo con respecto a la sumatoria de todos los valores de ajuste de la población. Esto se puede expresar además por medio de la ecuación en donde ps(ai) es la probabilidad de ser seleccionado del indi- viduo iésimo en la población P con los individuos a de la forma P = {a1, a2, a3, ..., an}. El término de f (ai) representa el valor de idoneidad del individuo espećıfico de la población [44]. f (ai) ps(a ) = i=1 f (aj ) , j = 1, 2, ..., n (2.16) 20 21 2.5. ALGORITMOS PARA OPTIMIZACIÓ N CAPÍTULO 2. MARCO TEÓ RICO Figura 2.12: Diagrama representativo de la distancia de la selección por ruleta. (Fuente: [44].) El otro método de selección más comúnmente usado es la selección por torneo. El méto- do de torneo tiene la idea de seleccionar el individuo con el mayor valor de idoneidad entre un grupo que ha sido seleccionado aleatoriamente. El tamaño del torneo puede escogerse dependiendo del problema en estudio pero siempre debe ser mayor a dos [45]. En este tipo de selección no hay un método o formulación matemática para escoger entre el grupo, como si lo hab́ıa en el ruleta. Simplemente se escogen aleatoriamente indivi- duos para posteriormente escoger el competidor con mayor valor de idoneidad.La forma de selección escogiendo aleatoriamente varios individuos de la población que formaran parte del torneo. De entre estos se escoge el individuo con el mayor valor de idoneidad y este será el escogido para continuar. Ese proceso se repite N veces, siendo N el número de individuos de la población[45]. La figura 2.13 muestra un ejemplo de como funciona este método de selección. En el caso del ejemplo se seleccionan aleatoriamente los individuos A, E y T, para posteriormente seleccionar A como el ganador del torneo. Este individuo se mantendrá para la siguiente generación ya que su valor de idoneidad es el mayor de los tres. Figura 2.13: Imagen representativo de la selección por torneo. (Fuente: [45].) 21 22 2.5. ALGORITMOS PARA OPTIMIZACIÓ N CAPÍTULO 2. MARCO TEÓ RICO El método de torneo, de manera generalizada, proporciona una convergencia más rápi- da y estable en algoritmos genético con una población suficiente. Como un ejemplo de esto en la figura 2.14 se muestra el caso de la ecuación (2.17) siendo optimizada por los dos métodos para minimizarla. Como se sabe el ḿınimo de esta ecuación se encuentra en 0, pero al comparar la figura 2.14.(a) con la 2.14.(b) se puede notar como el problema converge mas rápidamente utilizando muchas menos generaciones [44]. Figura 2.14: Ejemplo de un problema de optimización utilizando selección de ruleta (a) y torneo (b). (Fuente: [44].) f (x) = x2 + x2 (2.17) 1 2 Ahora se procederá a explicar el proceso de recombinación que consiste en un operador genético utilizado para combinar la información genética de dos individuos de la pobla- ción con la finalidad de crear uno o más nuevos hijos. Es una forma estocástica de generar nuevas combinaciones en el espacio solución a partir de los individuos existentes y es el análogo a la reproducción para la creación de hijos en la naturaleza [46]. La operación de recombinación no utiliza información sobre los valores de ajuste o funciones objetivo, sino que es principalmente una acción en el subespacio de la población. Esto quiere decir que por la acción de recombinación solo se pueden obtener soluciones en las cuales los cromo- somas o variables de los nuevos individuos son una combinación lineal de los anteriores o padres [46]. Como un ejemplo de esto se presenta un sistema binario en el que los cromosomas tie- nen solo dos opciones a o b y cuatro cromosomas, se tiene un individuo S1 = [aabb] y otro S2 = [abaa]. Debido a que al recombinación no genera nuevos componentes podemos ase- gurar que el primer componente del individuo hijo sera a y los otros 3 componentes serán una combinación de las opciones de las otras tres variables de los padres, este ejemplo de la recombinación se presenta en la figura 2.15 [47]. La imagen mostrada en la figura 2.16 tambien ejemplifica lo que sucede durante la operación genética de recombinación al tener dos individuos con opciones de los valores del 1 al 99 y tres cromosomas para ayudar a brindar más claridad a este concepto. Este segundo ejemplo para los cromosomas del hijo se obtuvo el primer cromosoma del padre A y los otros dos cromosomas del padre B y es un ejemplo claro de lo indicado anteriormente que un hijo solo podrá obtener cromosomas que son una combinación de la de sus padres mediante el proceso de recombinación. Finalmente, se tiene mutación que es un operador genético que se utiliza para mantener la diversidad de los cromosomas en la población de una generación a la siguiente. La mu- 22 23 2.5. ALGORITMOS PARA OPTIMIZACIÓ N CAPÍTULO 2. MARCO TEÓ RICO Figura 2.15: Imagen representativa de la recombinación. (Fuente: el autor.) Figura 2.16: Imagen representativa de la recombinación. (Fuente: [48].) tación altera uno o más genes en un individuo o cromosoma de manera aleatoria. Este, a diferencia de la recombinación, puede generar individuos con cromosomas completamente diferentes, al ser un cambio aleatorio [49]. Existen varias estrategias para la mutación por lo que se pretenden describir las más prominentemente utilizadas con los algoritmos genéticos. La primera es la mutación uni- forme, en esta simplemente uno de los valores de los genes escogido se remplaza con un valor aleatorio dentro de los posibles. Esta es relativamente simple de ejecutar, sin embar- go posee la desventaja que no utiliza ninguna información de la población de la cual se está mutando y puede proveer un punto demasiado lejos de la frontera pareto-óptima [50]. La segunda estrategia que se explicará es la mutación polinomial, esta en vez de realizar un cambio de variable completamente aleatorio, se realiza una perturbación al cromosoma para obtener un resultado relativamente cercano o colindante al del padre. Como ejemplo de esto, si se tiene un padre con un valor de p = 3 la imagen de la figura 2.17 muestra la distribución de probabilidad que tendŕıa el hijo utilizando una distribución polinomial. Cabe destacar que el ancho y ámbito de esta distribución se puede modificar según la ecuación de distribución polinomial que se utilice [50]. 23 24 2.5. ALGORITMOS PARA OPTIMIZACIÓ N CAPÍTULO 2. MARCO TEÓ RICO Figura 2.17: Imagen representativa de la distribución de la mutación polinomial. (Fuente: [50].) Lo explicado en este caṕıtulo será referido en secciones posteriores de este trabajo con la finalidad de lograr la comprensión plena por parte del lector. Cabe destacar, además, que esta sección no pretende englobar la totalidad de los temas desde lo más básico. Además de esto el marco teórico presenta una base de fundamentos que ayudarán a justificar las decisiones tomadas a lo largo de este documento. 24 24 Caṕıtulo 3 Metodoloǵıa Este caṕıtulo presenta una explicación detallada de los pasos y estrategias utilizadas para la implementación del algoritmo. Además, presenta y justifica los tipos de casos de estudio que se analizarán en la parte de resultados de este documento. La idea principal de este caṕıtulo es que futuros lectores puedan recrear y entender el procedimiento utilizado en este trabajo. La metodoloǵıa descrita en este caṕıtulo sirve como un marco que le da validez y justifica los resultados presentados posteriormente en este documento. 3.1. Sinopsis metodológica La implementación del algoritmo inicia por determinar las condiciones de operación de la válvula y las restricciones f́ısicas que se utilizarán para la optimización del diseño del resorte. Se comienza por establecer un modelo dinámico con el cual se podrá calcular la respuesta del resorte ante las fuerzas externas. Posteriormente se definen las funciones de optimización y restricciones a utilizar. Luego de esto se procede a determinar los casos de carga que se analizarán en los resultados. Una vez definidos estos pasos, se continua por la creación del algoritmo y su validación con funciones conocidas. Finalmente se analizan los casos de carga del caso en estudio. La figura 3.1 representa los pasos a seguir en la metodoloǵıa de este trabajo. Figura 3.1: Flujo metodológico. (Fuente: el autor.) 25 25 3.2. MODELO DINÁMICO CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA 3.2. Modelo dinámico El primer paso para el proceso de optimización del resorte sujeto a carga variable, es la elaboración de un modelo dinámico que permita determinar las cargas que experimenta el resorte. De acuerdo con varios autores [9], [51], [29] se ha elaborado modelos simplificados de un grado de libertad para estudiar la dinámica en válvulas de control. Para el caso de esta investigación, se parte de esos modelos, y se modela el sistema como uno de varios grados de libertad para considerar un amplio dominio de frecuencias. Ahora se procede a describir y presentar las formulaciones necesarias para el análisis dinámico de la válvula. Se parte del diagrama de la válvula mostrado en la figura 3.2 y se convierte en un sistema de ecuaciones diferenciales para obtener las fuerzas que actúan sobre el resorte y la posición del mismo. Cabe destacar que Lcomprimida es la longitud del resorte con una precompresión x0. La ecuación (3.1) se puede obtener al realizar análisis de cuerpo libre derivado de la figura 3.2. En esta ecuación X es el desplazamiento del extremo del resorte tomando en cuenta la precompresión, Ẋ es la velocidad que tiene el pistón y extremo del resorte y Ẍ es la aceleración del mismo. Además el término P1 es la fuerza causada por la presión aguas arriba de la válvula y P2 es la fuerza causada por la presión aguas abajo en las cuales se tomará la componente de la fuerza que contribuye al movimiento del pistón. El término c es el coeficiente de fricción del ensamble del pistón con el cilindro del mismo. Si se agrupan las fuerzas externas de las presiones en un término Fexterna se llega a la forma mostrada en la ecuación (3.2). Esta forma será la desarrollada tomando la sumatoria de las fuerzas externas que actúan sobre el pistón como una de las entradas al sistema. (P1 − P2cos(θ)) − kx − cẋ = mẍ (3.1) Fexterna = mẍ + cẋ + Kx (3.2) Figura 3.2: Imagen representativa de la configuración de la válvula. (Fuente: el autor.) 26 26 3.2. MODELO DINÁMICO CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA A partir de la ecuación (3.2) el sistema se pretende discretizar para realizar un análisis modal con múltiples grados de libertad. Esto con la finalidad de poder determinar los efectos de las frecuencias de la Fexterna en el sistema. Para esto, se separa el resorte a un sistema equivalente de masa amortiguador resorte con varios grados de libertad, tal como se muestra en la figura 3.3. Esto se hace de esta manera debido a que en caso de que la primera frecuencia natural del sistema esté por debajo de la frecuencia de excitación no se capturaŕıa la totalidad de los modos y podŕıan existir fuerzas internas mayores a la externa. De esta manera se incrementarán los grados de libertad hasta que la frecuencia natural máxima del sistema de masa amortiguador resorte sea mayor a la frecuencia de la fuerza de excitación externa. Este método dará una cantidad de perfiles fuerza iguales a los grados de libertad utili- zados, uno para cada segmento del resorte que representen los componentes de ese grado de libertad. Para el caso de optimización se escogerá el perfil de fuerzas que ocasione una menor resistencia a la fatiga, ya que ah́ı se encuentra el punto cŕıtico de diseño del resor- te. Para obtener esto, se quiere llegar a una función de la forma matricial presentada en la ecuación (3.3). En la ecuación M es la matriz de masa, C es la matriz de constantes de amortiguación, K la constantes de rigidez del resorte y F la de las fuerzas externas. Inicialmente se igualan estas a cero y se resuelve el sistema para encontrar las frecuencias naturales del como se presenta en la ecuación (3.4). Al resolver esta ecuación se tiene que los valores de las frecuencias naturales se pueden encontrar como ω = √ λ. M Ẍ + CẊ + KX = F (3.3) [K]{a} = λ[M ]{a} (3.4) Entonces, en una primer instancia se divide el sistema tal que tenga una rigidez equiva- lente y una masa equivalente, de tal forma que la constante de rigidez de cada sección del resorte que fue discretizada cause que la totalidad del sistema mantenga la rigidez total para que los sistemas sean equivalentes. Para esto el sistema de la figura 3.3 de n grados de libertad se construye de tal forma que la sumatoria de los ki forman una magnitud a la totalidad de la K del resorte y lo mismo se puede decir de los mi que subdividen la masa total del resorte en puntos discretos. Las ecuaciones necesarias para estos conceptos se presentan en las ecuaciones (3.5) y (3.6). En donde Ktotal y Mtotal son la masa y cons- tante del resorte completo mientras que Ki y Mi son las masas y constantes del resorte equivalente para cada sistema discreto. 1 n 1 Ktotal = ) K i=1 (3.5) n Mtotal = ) Mi (3.6) i=1 i 27 27 3.2. MODELO DINÁMICO CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA i Figura 3.3: Imagen representativa del sistema de n grados de libertad (Fuente: el autor.) El proceso iterativo de encontrar cuantos grados de libertad se requieren se inicia con un sistema discreto con 3 grados de libertad. Posteriormente, se calculan las frecuencias naturales de este sistema discreto y se comparan la frecuencia máxima natural del sistema contra la frecuencia relevante máxima de la carga externa. Si la frecuencia natural máxima es menor, se seguirán agregando grados de libertad al sistema hasta que se cumpla este criterio. Una vez determinado el número de grados de libertad del proceso se procede a desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales de tal manera que se puedan resolver como ecuaciones independientes y no simultáneamente. Se procede a describir y desarrollar la metodoloǵıa utilizada para calcular las frecuen- cias naturales del sistema generalizado para cualquier número de grados de libertad. Para comenzar, se separan los elementos de la figura 3.3 en diagramas de cuerpo libre. Se pre- sentan 3 casos: el del primer elemento del sistema, el de un elemento del sistema i que se encuentra en el medio y el del último elemento n del sistema. Figura 3.4: Diagrama representativo del flujo del programa de cálculo de fatiga. (Fuente: el autor.) El diagrama de cuerpo libre en la figura 3.5 presenta el primer elemento discreto del sistema, la figura 3.6 presenta el diagrama de un elemento en el medio y la figura 3.7 presenta el último elemento discreto del sistema. Cabe destacar que en estos diagramas se utiliza la nomenclatura mencionada con anterioridad para los ki y los mi, mientras que ci es el factor de amortiguación para el elemento discreto y xi es la velocidad del iésimo elemento. 28 28 3.2. MODELO DINÁMICO CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA . . . Figura 3.5: Diagrama de cuerpo libre del primer elemento. (Fuente: el autor.) Figura 3.6: Diagrama de cuerpo libre de un elemento i en el medio. (Fuente: el autor.) Los diagramas de cuerpo libre presentados permiten ensamblar el sistema de ecuaciones mostrado en la ecuación (3.7), el cuál se encuentra generalizado para n grados de libertad. Para encontrar las frecuencias naturales del sistema se puede ignorar la fuerza externa y los factores de amortiguamiento debido a que estos no afectan la frecuencia natural. Al colocar el sistema de forma matricial se generan las matrices M y K mostradas en las ecuaciones (3.8) y (3.9). La matriz M es una matriz diagonal que tiene los valores discretos de cada masa en cada valor de la diagonal, mientras que la matriz K tiene una forma diferente de calcular la primera y última fila. Sin embargo, el resto de las filas se pueden llenar con la diagonal con el valor ki−1 + ki, en valor anterior a la diagonal con −ki−1 y el posterior con −ki. Es importante notar que para este caso los valores de ki y mi son iguales para todos los elementos por lo que las matrices presentadas se simplifican al tener valores de igual mag- nitud. 0 = −m1ẍ1 − c1ẋ 1 + c2(ẋ 2 − ẋ 1) + k1x1 + k2(x2 − x1) 0 = −miẍi − ci(ẋ i − ẋ i−1) + ci+1(ẋ i+1 − ẋ i) . . . · · · + k1x1 + ki+1(xi+1 − xi) − ki(xi − xi−1) Fexterna = ẍ + kn(xn − xn−1) + cn(ẋ n − ẋ n−1) (3.7) m1 0 0 . . . M = 0 m2 0 . . . (3.8) .. ... . . 0 0 . . . mn k1 + k2 −k2 0 0 . . . −k2 k2 + k3 −k3 0 . . . K = . . . . . . .. .. . . .. (3.9) 29 29 3.2. MODELO DINÁMICO CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA 0 . . . −kn−1 kn−1 + kn −kn 0 0 . . . −kn kn 30 30 3.2. MODELO DINÁMICO CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA Figura 3.7: Diagrama de cuerpo libre del último elemento. (Fuente: el autor.) Una vez identificadas las matrices de masa y rigidez a resolver, se utiliza el problema de autovalores y autovectores presentado en la ecuación (3.4). Al resolver este problema se obtienen los autovectores que representan la matriz modal y los autovalores que represen- tan el cuadrado de las frecuencias naturales. Una vez obtenidas las frecuencias naturales se compara la frecuencia natural máxima contra las fuerzas externas. Una vez identificados los grados de libertad requeridos se procede a calcular las fuer- zas que existe en cada uno de los elementos discreto. Esto requiere resolver el sistema de ecuaciones diferenciales presentado en la ecuación (3.7). Para resolver este se desacoplará el sistema de ecuaciones de tal forma que se puedan resolver como ecuaciones diferenciales individuales. El desacople del sistema de ecuaciones se logra diagonalizando las matrices de masa y rigidez. La manera de convertir estas matrices en matrices diagonales es multiplicándolas tal como se muestra en las ecuaciones (3.10) para la matriz de masa, (3.11) para la ma- triz de rigidez, (3.12) para la matriz de fuerza y (3.13) para la matriz de amortiguación para obtener las matrices desacopladas. En estas ecuaciones X y Xi es la matriz modal normalizada y su transpuesta. La matriz modal se obtiene del problema de autovectores según se explicó anteriormente y normalizándolo con base a la magnitud máxima de cada columna. El valor de Q es la matriz que remplaza las fueras en el sistema desacoplado. La constante de amortiguación C es calculada según se presenta en la ecuación (3.13) en donde ζ es la constante de amortiguación con un valor de 0,05 para el caso de elemento metálico. MDesac = XiMX (3.10) KDesac = XiKX (3.11) Q = XiFext (3.12) CDesac = 2ζMDesacωn (3.13) Mediante este desacople, se pueden resolver individualmente cada una de las filas de la ecuación de manera independiente según se presenta en la ecuación (3.14), al ser matrices diagonales. En esta ecuación los valores de q se pueden atribuir al desplazamiento o efecto de cada uno de los modos de vibración sobre el movimiento del sistema final y las matrices con el sub́ındice Desac son las matrices desacopladas. Una vez resueltas las ecuaciones independientes se puede devolver al espacio solución para obtener los desplazamientos y velocidades reales de cada elemento según se presenta en la ecuación (3.15) en donde los qi 31 31 3.3. OPTIMIZACIÓ N DEL RESORTE CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA son los valores obtenidos de q para cada elemento, Xi son los valores de la iésima columna de la matriz modal normalizada y X es la matriz con los desplazamientos. MDesacq̈ + CDesacq̈ + KDesacq = Q (3.14) X = q1X1 + q2X2 + · · · + qnXn (3.15) Esta ecuación será utilizada para poder calcular los desplazamientos de los elementos para el modelo dinámico. Una vez calculados los desplazamientos se obtendrán las fuerzas que afectan cada uno de los mismos y, por ende, se podrán calcular los esfuerzos a los cuales están sometidos. 3.3. Optimización del resorte Antes de comenzar con la implementación del algoritmo, se comenzará la sección me- todológica por explicar y justificar las funciones objetivo que se buscarán optimizar. Estas funciones serán las que regirán los valores de ajuste con los cuales se indetificará la do- minancia de un miembro de la población contra el otro según se explica en la sección de marco teórico para un algoritmo genético. Cabe destacar que por la manera en la que se pretende realizar el algoritmo, todas las funciones se presentarán como problemas de minimizar un valor. En los casos en la que la función se quisiera maximizar, se le agregará un valor negativo al frente con la finalidad de convertirlo en un problema de minimización. 3.3.1. Funciones objetivo Masa del resorte La primera función objetivo que se va a definir va a asociada a la masa del resorte, por lo que se puede decir que al minimizar el volumen se estará minimizando la masa. La ecuación (3.16) presentada en la función f1 define la primera función a minimizar que es la de la masa del resorte las variables de esta ecuación se definieron tanto en el marco teórico como en la sección de simboloǵıa 2.3. Cabe destacar que la manera en la que se calcula la masa del resorte en la función (3.16) se presume un resorte de extremos planos. En esta función lo que se hace es calcular el área transversal del alambre del resorte y se multiplica por la longitud del mismo con un número de espiras igual a na + 2. π 2 min f1(d, D, na) = 4 d2D(na + 2) (3.16) Resistencia contra fatiga En el caso del diseño contra fatiga se utilizará el método de conteo de ciclos rain flow y el criterio de acumulación de daño por fatiga de Miner. Este método da como resul- tado la fracción de vida útil que fue gastada por uno de los ciclos de fatiga, según se detalló en la ecuación (2.10). Este resultado fue el utilizado para decidir la dominancia 32 32 3.3. OPTIMIZACIÓ N DEL RESORTE CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA en el sorteo de los elementos en el algoritmo. Al contrario del caso anterior este número se desea minimizar, por lo que no requiere de la introducción de un signo negativo al frente. La función objetivo dos contra la fatiga no armónica busca minimizar la fracción de vida útil utilizada por los ciclos de fatiga, según se define con el método de Miner. Por lo que la función se convierte en la presentada en la ecuación (3.17) en la cual NMiner es la fracción de vida útil utilizada basado en la acumulación de daño. Para el caso de los esfuerzos se evaluarán los esfuerzos calculados a partir del modelo dinámico y se utilizará el patrón que cause el factor de Miner cŕıtico para la optimización. min f2(d, D, na, F, Su) = NMiner (3.17) La forma de calcular el valor NMiner para cada individuo comienza por obtener las fuerzas que lo afectan según se explicó en el modelo dinámico. Una vez obtenidos los pa- trones de fuerzas, se calculan los esfuerzos de Von Mises según se muestra en la ecuación (2.6). Cabe destacar que se obtiene una cantidad de patrones de esfuerzos igual a la can- tidad de grados de libertad del modelo dinámico. A los esfuerzos obtenidos se les realiza el método de conteo de ciclos de rainflow según se describe en el marco teórico lo cual da como resultado la cantidad de ciclos y sus respectivas magnitudes de los esfuerzos. Una vez obtenido el conteo de ciclos, se calculan los Ni para cada uno de ellos utilizando la ecuación (2.8) para poder introducirlos en la ecuación (2.10). De esta manera se obtiene un factor de Miner para cada patrón de esfuerzos de cada individuo y finalmente se escoge el factor de Miner mayor de cada individuo de la población como su valor de idoneidad para la función objetivo de fatiga, ya que representa el caso cŕıtico. Diseño por robustez El principio para obtener la tercera función objetivo estará basado en minimizar la sensibilidad del sistema a las variaciones incontrolables de las variables de diseño princi- pales. Este utiliza la metodoloǵıa Taguchi para el diseño robusto, para esto se pretende minimizar la variación de los resultados del sistema ante una posible variación de los diámetros del alambre, del resorte y el esfuerzo último del material. Para calcular el factor de sensibilidad del diseño robusto esto se ocupa realizar la derivada numérica del cambio en la variable de diseño contra el cambio en las variables de entrada. La idea de esto es disminuir el efecto de las variaciones no controlables escogiendo un punto de diseño tal que tenga un impacto ḿınimo en los resultados. Para las funciones objetivo se definen las variables con variabilidad o ruido no contro- lable como d, D y Su. Esto debido a que las tolerancias de manufactura en el diámetro del alambre y el resorte son variables de alta importancia con variaciones no controlables que introducen incertidumbre al sistema. Además el esfuerzo último es uno de los factores principales a la hora de determinar la resistencia del resorte. La finalidad de considerar esta incertidumbre en las variables es escoger un punto de diseño en el cual la variación del diámetro del resorte, del alambre y el esfuerzo último del material impacten lo menos posible en la masa del resorte y su resistencia a la fatiga. Cabe destacar que, aunque la masa es derivable según se presentan en las ecuaciones 33 3.3. OPTIMIZACIÓ N DEL RESORTE CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA (3.18) y (3.19) se utilizará la definición numérica de la derivada y se calcularán de igual manera que se utilizará la fatiga. Esto con la finalidad de sumar los factores de sensibilidad según se explicará más adelante en un único valor a minimizar. ∂f1 = π dD(n + 2) (3.18) ∂d 2 a ∂f1 = π d2(n + 2) (3.19) ∂D 4 a La metodoloǵıa explicada para determinar la resistencia a la fatiga no es derivable anaĺıticamente y, por ende, no se puede aplicar la definición anaĺıtica del factor de sensi- bilidad. Por esta razón se pretende utilizar el factor de sensibilidad de manera numérica. Para esto se definirán los deltas a utilizar en las variables de entrada y se evaluará el espacio solución en esos puntos. Posteriormente se determinará la magnitud del cambio en el espacio solución dividido entre la variación de la variable de entrada. Para el caso en estudio las variaciones principales serán en cuanto a los posibles cam- bios de dimensión que tendŕıa el diámetro del resorte y del alambre. Además de esto se tomará la resistencia última del material del resorte SU como uno de los factores con va- riabilidad. Esto representará la variabilidad que existirá en los materiales y el proceso de manufactura [8]. La función objetivo 3 entonces, de manera generalizada, se convierte en minimizar el factor de sensibilidad del elemento en estudio y con base a esto se sortearán los pares genéticos más fuertes. La función objetivo 3 se presenta en le ecuación (3.20) la cual además depende de las funciones objetivo 1 y 2 y sus variaciones. En esta función se tiene que f1 es la función objetivo de la masa, f2 es la función objetivo de la fatiga, b es el conjunto de variables de las que dependen estas funciones que se consideran sin incertidumbre y x aquellas variables que se considera su variabilidad. En el caso de estudio se considerará que x estará formado por el diámetro del resorte D, el diámetro del alambre D y la resistencia última del material del resorte SU . Las demás variables no se considerarán como variables significativas que generen ruido en la solución. Es decir, se enfocará el diseño a que sea robusto ante la variación existente en las dimensiones del resorte, el alambre y las caracteŕısticas del material. ∂F (b, x) min f3(f1, f2, b, x) = ∂x = S (3.20) El factor de sensibilidad tomará en cuenta las variaciones en el diámetro del alambre del resorte y el diámetro exterior del resorte. La variabilidad asociada a estos será utili- zando una distribución cuadrada y asumiendo un cambio de cada una de esas variables de un ±20 %. El ámbito del cambio en las variables de entrada asignado fue escogido según las tolerancias de manufactura comúnmente utilizadas en resortes [52]. Una vez definido esto, el factor presentado en la ecuación (3.20) al realizarlo numérica- mente se convierte en minimizar la suma de los cuadrados de los factores de sensibilidad numéricos. Estos están definidos en la ecuación presentada en la función (3.33). En esta se tiene que los Si son los factores de sensibilidad, f1 es la función objetivo de la masa, mientras que f2 es la función objetivo de la fatiga. Además b se define como el conjunto 32 2 2 34 CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA 3.4. RESTRICCIONES 33 4 de variables de las cuales dependen las funciones que se considera que no tienen incerti- dumbre. Los factores de sensibilidad Si se definen en le ecuación (3.22). En esta ecuación se define el cambio porcentual de los resultados de masa según la variación de d y D. Además, se define el cambio porcentual de los resultados de la resistencia a la fatiga según la variación de d, D y Su. I min f3 = I) Si (3.21) 2 i=5 f1(d, D, b) − f1(d + ∆d, D, b) S1 = f1(d, D, b) d ∆d F actores Si = S2 = S3 = S4 = S5 = f1(d, D, b, Su) − f1(d, D + ∆D, b) f1(d, D, b) D ∆D f2(d, D, b, Su) − f2(d + ∆d, D, Su, b) f2(d, D, , Su, b) d ∆d f2(d, D, Su, b) − f2(d, D + ∆D, Su, b) f2(d, D, b) D ∆D f2(d, D, Su, b) − f2(d, D, Su + ∆Su, b) f2(d, D, b) Su ∆Su (3.22) En la ecuación (3.22) se tiene que los factores ∆d, ∆D y ∆Su corresponde a las incer- tidumbres asociadas a los parámetros de diseño y resistencia del material. Estos valores son determinados por el usuario, y para los casos en los que se va a evaluar este algorit- mo van a ser tomados con base en las incertidumbres obtenidas usualmente en la industria. 3.4. Restricciones Las restricciones del modelo serán basadas en restricciones dimensionales del elemento mecánico y fuerzas a las que estará sometido. Entre las restricciones principales y valores a verificar se tienen la compresión máxima del resorte, la resistencia al pandeo del mismo, la resistencia a la fluencia y la longitud del resorte. Cabe destacar que aunque estos no 35 CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA 3.4. RESTRICCIONES 34 Gd d son parámetros a optimizar, se deben verificar con la finalidad de asegurar la correcta operación y seguridad del resorte. Además de estos factores, se tienen los valores variables que se delimitarán, que son las entradas a evaluar en el espacio solución. Los valores variables principales que se tie- nen serán parámetros dimensionales del resorte, entre estos definimos: la longitud libre del resorte, el diámetro máximo del resorte, diámetro del alambre del resorte y el número de espiras activas. Los ámbitos de estas variables serán determinadas como un patrón de entrada, los casos que se correrán como ejemplo en esta investigación se utilizarán valores de referencia y diseños existentes con la finalidad de validar el programa. Las restricciones del algoritmo se presentan de manera numérica en la ecuación (3.23). La ecuación presenta la definición de las restricciones asociadas al ́ındice del resorte, al pandeo y la constante del resorte. Además se incluye una restricción de que los elementos de interés son aquellos con un factor de acumulación de daño menor a uno, ya que el com- ponente falla contra fatiga para valores mayores a este. Finalmente se toma una restricción para evaluar que la longitud libre del resorte est́e dentro de un ámbito determinado. Esto se verifica confirmando que al utilizar un ángulo recomendado de las espiras del resorte entre 6, 35◦ y 9◦ [53] se pueda obtener la longitud deseada. La longitud se calcula a partir del ́angulo del resorte θ, calculando el paso del resorte utilizando la ecuación (3.24) y luego calculando la longitud total por medio de la ecuación (3.25). D 4 ≤ C = πD Llibre < Restricciones del algoritmo = α ≤ 12 ( 2(E − G) \2 2G + E (3.23) NMiner < 1 LMin < Llibre < LMax KMin < K < KMax P aso = 2Dcos(θ) (3.24) Llibre = naP aso (3.25) Un factor importante a destacar de las restricciones de la constante del resorte y la longitud libre es que sus valores ḿınimo y máximo están delimitados por las otras va- riables como el diámetro del alambre, del resorte y el número de espiaras activas. Los ĺımites permitidos absolutos para la constante del resorte estarán dados por los que se p