Los grupos simplécticos y su representación en la teoría del producto cuántico. I. Sp(2,ℝ) Joseph C. Várilly y José M. Gracia-Bondía Escuela de Matemática, Universidad de Costa Rica, San José 11501, Costa Rica Cienc. Tec. (CR) 11 (1987), 63–81 Resumen El álgebra de observables de la teoría cuántica encierra una representación del grupo simpléctico. Esta puede usarse a su vez para resolver problemas de caracterización de estados y síntesis espectral en la formulación de la Mecánica Cuántica en el espacio de las fases. Abstract The algebra of observables of quantum theory carries a representation of the symplectic group. This representation may be used to characterize states and for spectral synthesis in the phase-space formulation of Quantum Mechanics. Introducción El objetivo fundamental de este artículo es dar a conocer una representación de los grupos simplécticos que aparece naturalmente en teoría cuántica cuando esta se formula en la arena del espacio de las fases. La idea básica es: el álgebra de observables cuánticos sobre ℝ2𝑛 es equivariante por la acción simpléctica, por lo cual uno conjetura que esta última debe realizarse por automorfismos del álgebra, con el producto cuántico reflejando la multiplicación del grupo simpléctico correspondiente. Así es en efecto y además, el carácter cuasiclásico de la acción facilita el cálculo de las funciones o distribuciones temperadas que ejecutan dichos automorfismos. Con objeto de no oscurecer el espíritu de los temas fundamentales con complicaciones que desde cierto punto de vista son inesenciales, el propósito del artículo se lleva a cabo únicamente para el caso 𝑛 = 1. Sin embargo, el lector comprobará que en muchas ocasiones, cuando la prueba es básicamente la misma, desarrollamos nuestros resultados de modo que son válidos independientemente de la dimensión del espacio de las fases. Nos proponemos colectar los análogos faltantes de todos nuestros resultados en el caso general en un próximo artículo. El plan es el siguiente: en la sección 1 se repasa la teoría de los grupos simplécticos sobre ℝ2𝑛 con fines más que nada pedagógicos; tomados conjuntamente, el apéndice Apéndice A y la sección 1 constituyen una introducción elemental al tópico; aunque se incluyen resultados como el Teorema 1 generalmente omitidos en tratamientos equivalentes. En la sección 2 se introduce el álgebra cuántica de Moyal M y la representación del grupo simpléctico en ella. Especial relieve 1 adquieren las propiedades de equivariancia de la función generatriz de Poincaré. La representación es en realidad proyectiva; el análisis del grupo de factores asociado queda para un siguiente artículo. La sección 3 es un inciso de carácter Lie-algebraico sobre la transformada de Cayley, que ha emergido en las fórmulas de la sección 2; la misma subyace a nuestra excursión en la teoría de funciones especiales en la sección 6. En la sección 4 se prueba la ley de grupo y se atan algunos de los cabos sueltos. Las herramientas forjadas hasta ese momento permiten abordar importantes cuestiones en la teoría de los estados cuánticos en la sección 5. En la sección 6 se analiza en forma parcial la teoría espectral, pasando rápidamente a un ensayo sobre la inversión de los cálculos funcionales cuánticos. La mayor parte de lo que es nuevo en el artículo se halla en las secciones 5 y 6. Finalmente, en la sección 7 se extiende la representación al grupo producto semidirecto SL(2,ℝ) ⋊ ℍ3. 1. Los grupos simplécticos Introducimos los grupos simplécticos directamente como grupos de matrices reales (la relación con la teoría de formas bilineales alternadas se examina en el Apéndice Apéndice A). Sea la matriz 2𝑛 × 2𝑛 fundamental: 𝐽 = ( 0 1𝑛 −1𝑛 0 ) , (1) donde 1𝑛 denota la matriz identidad 𝑛×𝑛. Es inmediato verificar que 𝐽𝑡 = 𝐽−1 = −𝐽 y que det 𝐽 = 1. La matriz cuadrada 𝑀 se dice simpléctica si 𝑀 𝑡𝐽𝑀 = 𝐽. (2) Por definición, las matrices simplécticas tienen dimensión par. Se ve inmediatamente que forman un grupo. En particular, la inversa de una matriz simpléctica está dada por: 𝑀−1 = −𝐽𝑀 𝑡𝐽. (3) Denotamos por Sp(2𝑛,ℝ) el grupo de matrices simplécticas reales 2𝑛 × 2𝑛. Proposición 1. Para 𝑛 = 1 se tiene Sp(2,ℝ) = SL(2,ℝ), el grupo de matrices reales con determi- nante unidad. Demostración. Fíjese que ( 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 ) ( 0 1 −1 0 ) ( 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ) = ( 0 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 0 ) . □ SL(2,ℝ) es un grupo de Lie conexo, infinitamente conexo, semisimple, no compacto. Estos hechos no son obvios y se demostrarán en lo que sigue. Proposición 2. SL(2,ℝ) es isomorfo al grupo SU(1, 1) de matrices pseudounitarias de determi- nante unidad, que satisfacen 𝑊∗𝐼1,1𝑊 = 𝐼1,1, donde 𝐼1,1 := ( 1 0 0 −1 ) y 𝑊∗ denota la matriz adjunta de 𝑊 . 2 Demostración. La matriz de SU(1, 1) más general tiene la forma: 𝑊 = ( 𝛼 𝛽 𝛽 �̄� ) con |𝛼 |2 − |𝛽 |2 = 1. Calculamos: ( �̄� �̄� 𝛽 𝛿 ) ( 1 0 0 −1 ) ( 𝛼 𝛽 𝛾 𝛿 ) = ( |𝛼 |2 − |𝛾 |2 �̄�𝛽 − �̄�𝛿 𝛼𝛽 − 𝛾𝛿 |𝛽 |2 − |𝛿 |2 ) . Sustituimos la relación �̄�𝛽 − �̄�𝛿 = 0 que viene de la ecuación de arriba en 𝛼𝛿 − 𝛾𝛽 = 1, obteniendo 𝛼𝛿 − (|𝛾 |2𝛿/�̄�) = 1. Usando |𝛾 |2 = |𝛼 |2 − 1 concluimos 𝛿 = �̄�, de donde la misma relación antes invocada permite inferir 𝛾 = 𝛽. □ Figura 1: Región exterior a un hiperboloide Los elementos de SU(1, 1) y de SL(2,ℝ) están relacionados por un automorfismo externo dado por la matriz 𝑈 ∈ 𝑈 (2): 𝑈 = 1 √ 2 ( 1 1 −𝑖 𝑖 ) . Explícitamente, si 𝑀 = ( 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ) y 𝑊 = ( 𝛼 𝛽 𝛽 �̄� ) : 𝑀 = 𝑈𝑊𝑈−1 = ( Re(𝛼 + 𝛽) − Im(𝛼 − 𝛽) Im(𝛼 + 𝛽) Re(𝛼 − 𝛽) ) ; 𝑊 = 𝑈−1𝑀𝑈 = 1 2 ( 𝑎 + 𝑑 − 𝑖(𝑏 − 𝑐) 𝑎 − 𝑑 + 𝑖(𝑏 + 𝑐) 𝑎 − 𝑑 − 𝑖(𝑏 + 𝑐) 𝑎 + 𝑑 + 𝑖(𝑏 − 𝑐) ) . Nótese que𝑈−1𝐽𝑈 = −𝑖 𝐼1,1. En términos de los parámetros de SU(1, 1), la conectividad de SL(2,ℝ) se examina muy fácilmente. Sean 𝛼 = 𝛼𝑅 + 𝑖𝛼𝐼 , 𝛽 = 𝛽𝑅 + 𝑖𝛽𝐼 . La condición de unimodularidad da: 𝛼2 𝑅 + 𝛼2 𝐼 − 𝛽2 𝑅 = 1 + 𝛽2 𝐼 ⩾ 1. Para 𝛽𝐼 fijo esta ecuación describe un hiperboloide de revolución de una hoja con cintura circular en el plano (𝛼𝑅, 𝛼𝐼). Según 𝛽𝐼 va variando sobre ℝ, se rellena (dos veces) la región del espacio ℝ3 limitada por el hiperboloide 𝛽𝐼 = 0 (véase la Figura 1). 3 Es claro que topológicamente SL(2,ℝ) ≈ 𝕊1×ℝ2 y por tanto el grupo SL(2,ℝ) es no compacto, conexo e infinitamente conexo. Incidentalmente, la conectividad del grupo permite asegurar que det 𝑀 = 1 si 𝑀 ∈ Sp(2,ℝ); la ecuación definitoria (2) no daba más que det 𝑀 = ±1. Resulta útil ubicar los principales tipos de matrices simplécticas 2 × 2 sobre la Figura 1. La matriz unidad, identidad del grupo, corresponde al punto 𝛼𝑅 = 𝐼, 𝛼𝐼 = 𝛽𝑅 = 0. Podemos clasificar las matrices de SL(2,ℝ) en (a) Elípticas (𝐸): matrices con valores propios mutuamente complejos conjugados, de módulo unidad, incluyendo 𝑀 = 1 o 𝑀 = −1. (b) Hiperbólicas (𝐻+, 𝐻−): con valores propios diferentes reales e inversos. (c) Parabólicas (𝑃+, 𝑃−): con valores propios +1 (doble) ó −1 (doble) y no semisimples. Hiperbólico 𝐻+ • • Hiperbólico 𝐻− •• Elíptico 𝐸 • • Parabólico 𝑃+ • Parabólico 𝑃− • Figura 2: Posibles casos para los autovalores de una matriz real simpléctica 2 × 2 La Figura 2 indica la colocación de los valores _1, _2 en cada caso. No hay otras posibilidades porque _1_2 = det 𝑀 = 1. De hecho, la ecuación característica es _2 − (tr 𝑀)_ + 1 = 0. En resumen, se clasifican los elementos de SL(2,ℝ) como sigue. Proposición 3. (a) 𝑀 ∈ 𝐸 si y solo si | tr 𝑀 | < 2 ó | tr 𝑀 | = 2 con 𝑀 semisimple. (b) 𝑀 ∈ 𝐻+ si y solo si tr 𝑀 > 2. (c) 𝑀 ∈ 𝐻− si y solo si tr 𝑀 < −2. (d) 𝑀 ∈ 𝑃+ si y solo si tr 𝑀 = 2 y 𝑀 ≠ 1. (e) 𝑀 ∈ 𝑃− si y solo si tr 𝑀 = −2 y 𝑀 ≠ −1. ⊟ 4 Estos conjuntos se visualizan fácilmente en la Figura 1, tomando en cuenta tr 𝑀 = 2𝛼𝑅. Una parte de las matrices de SL(2,ℝ) se encuentran sobre grupos uniparamétricos. Para estudiar estos necesitamos introducir el álgebra de Lie sl(2,ℝ) asociada a SL(2,ℝ). De (2) deducimos para los generadores 𝐿 de matrices simplécticas: 𝐿𝑡𝐽 + 𝐽𝐿 = 0 si y solo si 𝑒𝐿 es simpléctica. Dicho de otro modo: 𝐿 = 𝐽𝐵, con 𝐵𝑡 = 𝐵. (4) Proposición 4. Para cualquier matriz de sl(2,ℝ), si _ es un autovalor, −_ también lo es. El autovalor 0 siempre ocurre con multiplicidad par. Demostración. La ecuación característica es _2 + det 𝐿 = 0. □ De acuerdo con la proposición, la Figura 3 ilustra los tipos de elementos de sl(2,ℝ). det 𝐿 = det 𝐵 > 0 • • det 𝐿 = det 𝐵 < 0 •• det 𝐿 = det 𝐵 = 0 • Figura 3: Casos posibles para los autovalores de una matriz real infinitesimalmente simpléctica 2×2 Por exponenciación las matrices del primer tipo dan todas las matrices de 𝐻+; las del segundo todas las de 𝐸 ; las del tercero no triviales todas las de 𝑃+. Un elemento típico de 𝐸 es 𝐸 (𝜙) = ( cos 𝜙 − sen 𝜙 sen 𝜙 cos 𝜙 ) , 𝜙 ∈ ℝ mód 2𝜋. Un elemento típico de 𝐻+ es 𝐻+(𝜙) = ( 𝑒𝜙 0 0 𝑒−𝜙 ) , 𝜙 ∈ ℝ. Un elemento típico de 𝐻− es 𝐻−(𝜙) = ( −𝑒𝜙 0 0 −𝑒−𝜙 ) , 𝜙 ∈ ℝ. Un elemento típico de 𝑃+ es 𝑃+(𝜙) = ( 1 𝜙 0 1 ) , 𝜙 ∈ ℝ. Un elemento típico de 𝑃− es 𝑃−(𝜙) = ( −1 𝜙 0 −1 ) , 𝜙 ∈ ℝ. Los elementos indicados de 𝐸, 𝐻+, 𝑃+ describen subgrupos uniparamétricos al tomar 𝜙 todos los valores indicados. 5 Proposición 5. Todo elemento de Sp(2,ℝ) es equivalente por semejanza a alguno de los arriba indicados. Demostración. Hay tres casos que considerar. (i) Sea 𝑀 elíptica. Si 𝑀 = 1 o 𝑀 = −1 no hay nada que probar. Sean 𝑒𝑖𝜙, 𝑒−𝑖𝜙 los autovalores de 𝑀 y sean 𝑣, �̄� los autovectores correspondientes. Si 𝐴 es la matriz de columnas 𝑣+�̄� 2 , 𝑣−�̄�2𝑖 , entonces 𝐴−1𝑀𝐴 = 𝐸 (𝜙). Es claro que puede tomarse 𝐴 ∈ Sp(2,ℝ). (ii) Sea 𝑀 hiperbólica. Sean ±𝑒𝜙, ±𝑒−𝜙 los autovalores de 𝑀 y sean 𝑣1, 𝑣2 los autovectores correspondientes. Si 𝐴 es la matriz de columnas 𝑣1, 𝑣2, entonces 𝐴−1𝑀𝐴 = 𝐻±(𝜙). Es claro que puede tomarse 𝐴 ∈ Sp(2,ℝ). (iii) Sea 𝑀 parabólica y sea 𝑣1 un autovector de 𝑀 correspondiente al autovalor ±1. Sea 𝑣2 tal que (𝑀 ∓ 1)𝑣2 = 𝜙𝑣1; sea 𝐴 la matriz con columnas 𝑣1, 𝑣2. Se tiene 𝐴−1𝑀𝐴 = 𝑃±(𝜙). Es claro que puede tomarse 𝐴 ∈ SL(2,ℝ). Además, conjugando 𝑃±(𝜙) con un elemento diagonal de SL(2,ℝ) uno obtiene 𝑃±(𝜙′) para cualquier 𝜙′ del mismo signo que 𝜙. □ Desde el punto de vista del presente artículo, una clasificación importante de matrices de SL(2,ℝ) es la siguiente. (a) 𝐶+ : det(𝑀 + 1) > 0: elementos exponenciales ≠ −1. (b) 𝐶0 : det(𝑀 + 1) = 0: elementos “excepcionales”. (c) 𝐶− : det(𝑀 + 1) < 0: elementos ni exponenciales ni excepcionales. Se tiene 𝐶+ = (𝐸 \ {−1}) ∪ 𝐻+ ∪ 𝑃+, 𝐶0 = 𝑃− ∪ {−1}, 𝐶− = 𝐻− . El conjunto 𝐶0 es el mayor abierto conexo, simplemente conexo y estrellado, formado por elementos exponenciales. Aunque, según lo anterior, no todo elemento de SL(2,ℝ) es exponencial, se verifica lo siguiente. Teorema 1. Todo elemento de SL(2,ℝ) puede descomponerse en producto de dos elementos exponenciales. Demostración. De hecho esta proposición es válida para todos los grupos simplécticos, por lo que desarrollaremos el argumento independientemente de la dimensión del grupo. El punto de partida es la descomposición polar ordinaria: como cualquier matriz no singular real, 𝑀 ∈ Sp(2𝑛,ℝ) puede escribirse como 𝑀 = 𝑃𝑂, (5) donde 𝑃 es definida positiva y𝑂 es ortogonal. De (2) o (3) obtenemos 𝑀 = −𝐽𝑀−𝑡𝐽. Esto insertado en (5) da: 𝑃𝑂 = (−𝐽𝑃−1𝐽) (−𝐽𝑂𝐽), donde obviamente −𝐽𝑃−1𝐽 y −𝐽𝑂𝐽 son, respectivamente, definida positiva y ortogonal. Por la unicidad de la descomposición polar, deducimos 𝑃 = −𝐽𝑃−1𝐽, (6a) 𝑂 = −𝐽𝑂𝐽. (6b) 6 Esto dice que 𝑃 y 𝑂 son simplécticas también. En consecuencia det𝑂 = 1 y se puede escribir 𝑂 = exp 𝐴 con 𝐴𝑡 = −𝐴. Como 𝐴 debe ser única, de (6b) deducimos además 𝐴𝐽 = 𝐽𝐴. Es claro que 𝐴 ∈ sp(2𝑛,ℝ). En conclusión, se ha probado que 𝑂 = exp(𝐽𝐵𝑐), donde 𝐵𝑐 es simétrica y conmuta con 𝐽. De otro lado, se puede también poner 𝑃 = exp𝐶 con 𝐶𝑡 = 𝐶. Usando (6a) obtenemos 𝐶𝐽 + 𝐽𝐶 = 0 y de nuevo se ve que 𝐶 ∈ sp(2𝑛,ℝ). En conclusión, 𝑃 = exp(𝐽𝐵𝑎) donde 𝐵𝑎 es simétrica y anticonmuta con 𝐽. □ En general, toda matriz simétrica puede descomponerse en dos sumandos que anticonmutan y conmutan respectivamente con 𝐽: 𝐵 = 𝐵𝑎 + 𝐵𝑐 = 𝐵 + 𝐽𝐵𝐽 2 + 𝐵 − 𝐽𝐵𝐽 2 . Esto sugiere una descomposición canónica de sp(2𝑛,ℝ). Retornando al caso 𝑛 = 1, la matriz simétrica más general es de la forma 𝐵 = ( 𝑎 𝑏 𝑏 𝑐 ) . Es fácil entonces ver que la condición 𝐵𝐽 = 𝐽𝐵 da 𝐵 = 𝑥 1, esto es, 𝐿 = 𝑥𝐽. Análogamente se calcula que 𝐵𝐽 = −𝐽𝐵 da, en general: 𝐿 = 𝑦 ( 0 1 1 0 ) + 𝑧 ( 1 0 0 −1 ) . Denotemos 𝐿1 := ( 0 1 −1 0 ) , 𝐿2 := ( 0 1 1 0 ) , 𝐿3 := ( 1 0 0 −1 ) . Evaluando 𝑀 = exp(𝑦𝐿2 + 𝑧𝐿3) exp(𝑥𝐿1), obtenemos una parametrización completa del grupo simpléctico: 𝑀 = ( cosh 𝑟 + 𝑧 𝑟 senh 𝑟 𝑦 𝑟 senh 𝑟 𝑦 𝑟 senh 𝑟 cosh 𝑟 − 𝑧 𝑟 senh 𝑟 ) ( cos 𝑥 sen 𝑥 − sen 𝑥 cos 𝑥 ) , donde hemos escrito 𝑟 := √︁ 𝑦2 + 𝑧2. A valores reales diferentes de 𝑦, 𝑧 les corresponden matrices diferentes y se ve con toda claridad que la topología de SL(2,ℝ) es la de ℝ2 × 𝕊1. Otras descomposiciones, distintas a la referida en el Teorema 1 y útiles a diferentes efectos, son posibles. Remitimos a [1, 2] para unos ejemplos. 2. El álgebra del producto cuántico El producto cuántico o producto torcido de dos funciones complejas de la clase S de Schwartz (indefinidamente derivables, rápidamente decrecientes en el infinito) definidas sobre ℝ2𝑛 está dado por 𝑓 × 𝑔(𝑢) := ∬ 𝑓 (𝑣)𝑔(𝑤) exp[𝑖(𝑢𝐽𝑣 + 𝑣𝐽𝑤 + 𝑤𝐽𝑢)] 𝑑𝑣 𝑑𝑤. (7) En lo que sigue usaremos con frecuencia las medidas de Haar sobre ℝ𝑘 : 𝑑𝑢 := (2𝜋)−𝑘/2 𝑑𝑘𝑢, donde 𝑑𝑘𝑢 denota la medida de Lebesgue ordinaria. 7 Se puede verificar fácilmente que S × S ⊂ S (de hecho, es S × S = S) y que la operación es continua en S. Estas observaciones, junto con la propiedad:∫ 𝑓 × 𝑔(𝑢) 𝑑𝑢 = ∫ 𝑓 (𝑢) 𝑔(𝑢) 𝑑𝑢 permiten definir el producto torcido de una distribución temperada y una función de S. Sea M la clase de distribuciones temperadas 𝑇 tales que 𝑇 × 𝑓 y 𝑓 × 𝑇 pertenecen a S cualquiera que sea 𝑓 en la clase de Schwartz. Es casi inmediato comprobar que puede dársele a M una estructura de álgebra asociativa con el producto torcido, con la conjugación compleja como involución y la función constante 1 como elemento unidad. Tienen gran importancia física los automorfismos internos de M, dados por expresiones del tipo 𝑓 ↦→ Ξ × 𝑓 × Ξ∗, (8) donde Ξ es “unitaria”, esto es, Ξ × Ξ∗ = Ξ∗ × Ξ = 1. Ahora bien, es patente que (7) es invariante bajo el grupo simpléctico: ( 𝑓 × 𝑔)𝑀 (𝑢) = ( 𝑓 𝑀 × 𝑔𝑀) (𝑢), donde 𝑓 𝑀 (𝑢) := 𝑓 (𝑀−1𝑢), para 𝑀 ∈ Sp(2𝑛,ℝ). Por tanto, es plausible que exista una realización de Sp(2𝑛,ℝ) por automorfismos de M. Efectivamente se pueden hallar elementos Ξ𝑀 de M tales que Ξ𝑀 × 𝑓 × Ξ∗ 𝑀 = 𝑓 𝑀 para todo 𝑀 ∈ Sp(2𝑛,ℝ). (9) Comenzamos por investigar por métodos Lie-algebraicos la correspondencia definida tentati- vamente por (9) para matrices de 𝐶+. Esto es, estudiamos grupos uniparamétricos de elementos unitarios. El álgebra de Lie sp(2,ℝ) se identifica al álgebra de Lie de polinomios de grado dos en las variables 𝑞, 𝑝 (“hamiltonianos cuadráticos”) por: 𝐿 ∼ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ↦→ 1 2 [ (𝑥 − 𝑦)𝑞2 + 2𝑧𝑞𝑝 + (𝑥 + 𝑦)𝑝2] . Sea 𝐻 un hamiltoniano cuadrático. La función de evolución 𝐻Ξ generada por 𝐻 se define como un exponencial cuántico – más precisamente, como la solución de la ecuación de Schrödinger: 2𝑖 𝜕 𝜕𝑡 𝐻Ξ(𝑢; 𝑡) = 𝐻 × 𝐻Ξ(𝑢; 𝑡), 𝐻Ξ(𝑢; 0) = 1; 𝑢 ∈ ℝ2𝑛, 𝑡 ∈ ℝ. (10) De (10) puede calcularse [3]: 𝐻Ξ × 𝑓 × 𝐻Ξ ∗(𝑢; 𝑡) = 𝑓 𝑀 (𝑡) (𝑢), donde 𝑀 (𝑡) = exp(𝑡𝐿𝐻), siendo 𝐿𝐻 el elemento de sp(2,ℝ) correspondiente al hamiltoniano 𝐻 – esto es, según (4): si 𝐻 = 1 2𝑢 𝑡𝐵𝑢, entonces 𝐿𝐻 = 𝐽𝐵. El problema de integrar (10) cuando 𝐻 es cuadrático ha sido completamente tratado en [3]. De ahí citamos los resultados. 8 Teorema 2. Sea 𝑔𝐻 (𝑢; 𝑡) la función generatriz de Poincaré de la mecánica clásica, definida como la solución de la ecuación de Hamilton–Jacobi modificada: 𝜕𝑔𝐻 𝜕𝑡 = 𝐻 ( 𝑢 + 1 2𝐽 𝜕𝑔𝐻 𝜕𝑢 ) ; 𝑔𝐻 (𝑢; 0) = 0. Las ecuaciones clásicas del movimiento están resueltas en forma paramétrica por: 𝑧0 = 𝑢 − 1 2𝐽 𝜕 𝜕𝑢 𝑔𝐻 (𝑢; 𝑡), 𝑧(𝑡) = 𝑢 + 1 2𝐽 𝜕 𝜕𝑢 𝑔𝐻 (𝑢; 𝑡), con 𝑧0 = 𝑧(0). Se tiene: 𝐻Ξ(𝑢; 𝑡) = 2𝑛√︁ det(1 + 𝑀 (𝑡)) exp ( − 𝑖 2𝑔𝐻 (𝑢; 𝑡) ) , (11) donde: 𝑔𝐻 (𝑢; 𝑡) = 𝑢𝑡𝐺 (𝑡)𝑢, 𝐺 (𝑡) = 𝐽 (1 − 𝑀 (𝑡)) (1 + 𝑀 (𝑡))−1. ⊟ En la expresión anterior, 𝑢𝑡 y 𝑢 denotan el vector fila y el vector columna asociados respectiva- mente al punto del espacio de las fases también designado por 𝑢. Se comprueba que 𝐺 (𝑡) es una matriz simétrica. Resulta que 𝑔𝐻 tiene propiedades de invariancia simpléctica muy notables que permiten dar una forma completamente explícita a los resultados anteriores. Las diferencias entre los diversos tipos de elementos de 𝐶+ clasificados en la sección 1 resaltarán en lo que sigue. Sea 𝑆 un cambio de coordenadas lineal canónico �̃� = 𝑆𝑢 (con 𝑆 simpléctica). Sea 𝐻 (�̃�) la nueva expresión del hamiltoniano. Proposición 6. Se tiene 𝑔 𝐻 (�̃�) = 𝑔𝐻 (𝑆𝑢). Demostración. Si 𝐻 = 1 2𝑢 𝑡𝐵𝑢, será 𝑀 = 𝑒𝐽𝐵 = 𝑒𝐽𝑆 𝑡𝐵𝑆 = 𝑆−1𝑀𝑆. Ahora tenemos 𝑆−𝑡𝐺𝑆−1 = 𝑆−𝑡𝐽 (1 + 𝑀)−1(1 − 𝑀)𝑆−1 = 𝐽𝑆(1 + 𝑆−1𝑀𝑆)−1𝑆−1(1 − 𝑀) = 𝐽 (𝐼 + 𝑀)−1(𝐼 − 𝑀). □ ¡Esto significa que las clases de hamiltonianos invariantes por conjugación van a tener el mismo comportamiento por lo que se refiere a la forma funcional de 𝑔𝐻 y 𝐻Ξ ! Es entonces suficiente llevar a cabo el cálculo para una “forma normal” de 𝐻 representativa de las órbitas de sl(2,ℝ) bajo la acción adjunta del grupo simpléctico. Ahora bien, en la demostración anterior el carácter real eventual de 𝑆 no jugó ningún papel. De hecho, 𝑔𝐻 es invariante por transformaciones simplécticas complejas, por lo cual nosotros preferimos clasificar los elementos de sl(2,ℝ) módulo conjugación por Sp(2,ℂ) = SL(2,ℂ). Se obtiene el siguiente resultado: los elementos de cada una de las clases de sl(2,ℝ) consideradas anteriormente que tienen el mismo determinante forman una órbita de la acción de SL(2;ℂ). El resultado sería falso si nos limitaramos a la acción de SL(2,ℝ), pues es fácil ver que las matrices 𝐵1 = ( 1 0 0 1 ) y 𝐵2 = ( −1 0 0 −1 ) no pueden satisfacer una ecuación de la forma𝑄𝑡𝐵1𝑄 = 𝐵2 con 𝑄 ∈ SL(2,ℝ), mientras que 𝑄 = 1 √ 2 ( −𝑖 −𝑖 −𝑖 𝑖 ) ∈ SL(2,ℂ) hace el trabajo. Análogamente sucede con ( 0 0 0 1 ) y ( 0 0 0 −1 ) . 9 Una vez clasificadas las formas normales, es posible explicitar (11) usando representantes sencillos de ellas: por ejemplo, 𝐵 = ( 1 0 0 1 ) para det 𝐵 > 0; y 𝐵 = ( 0 1 1 0 ) para det 𝐵 < 0. Tenemos: (i) det 𝐵 > 0 : 𝐻Ξ(𝑢; 𝑡) = sec (√︁ | det 𝐵| 𝑡 2 ) exp { −𝑖𝐻√︁ | det 𝐵 | tan √︁ | det 𝐵 | 𝑡 2 } , (12a) (ii) det 𝐵 < 0 : 𝐻Ξ(𝑢; 𝑡) = sech (√︁ | det 𝐵 | 𝑡 2 ) exp { −𝑖𝐻√︁ | det 𝐵 | tanh √︁ | det 𝐵 | 𝑡 2 } , (12b) (iii) det 𝐵 = 0 : 𝐻Ξ(𝑢; 𝑡) = exp ( −𝑖𝐻 𝑡 2 ) . (12c) Los grupos uniparamétricos correspondientes a los casos (ii) y (iii) tienen cubierta trivial, por lo que no esperamos ningún fenómeno de multivaluación. El grupo de (i) es más interesante. Es claro que es periódico y que podemos ceñirnos a considerar el intervalo [0, 4𝜋]. Los fenómenos interesantes comienzan a ocurrir cuando 𝑡 = 𝜋. Se tiene 𝑀 (𝜋) = −1 nece- sariamente; la expresión (12a) entonces parece sin sentido, pero pasando al límite en el espacio de las distribuciones temperadas uno obtiene fácilmente 𝐻Ξ(𝑢; 𝜋) = −2𝜋𝑖 𝛿(𝑢). La primera crisis (correspondiente a una “cáustica”) ha sido solucionada; pero ¡nótese que a 𝑀 (2𝜋) = 1 le corres- ponde 𝐻Ξ(𝑢; 2𝜋) = −1! Entre 𝑡 = 2𝜋 y 𝑡 = 4𝜋 la fórmula (12a) atribuye a las mismas matrices 𝑀 una función con el signo contrario al que le atribuye entre 𝑡 = 0 y 𝑡 = 2𝜋. En particular, ahora Ξ−1 = 2𝜋𝑖 𝛿. En𝐶+ es posible definir de forma continua e inambigua la relación 𝑀 ↦→ Ξ𝑀 , tomando en cuenta que toda matriz de 𝐶+ se encuentra sobre algún grupo uniparamétrico y usando las fórmulas (12) según sea apropiado: para matrices elípticas podría tomarse −𝜋 < 𝑡 < 𝜋. El intento de incluir un elemento más como −1 en el cuadro queda abortado, sin embargo. En general vemos que Ξ𝑀 está definido salvo un factor de fase, esto es, la realización 𝑀 ↦→ Ξ𝑀 es proyectiva. Por supuesto, en tanto Ξ𝑀 actúa adjuntamente como en (9) el factor de fase es irrelevante. El análisis hecho de las matrices del círculo ( cos 𝜙 − sen 𝜙 sen 𝜙 cos 𝜙 ) ⊂ SL(2,ℝ) muestra que los Ξ𝑀 pueden identificarse con una doble cubierta de tal subgrupo. Esto sugiere que los Ξ𝑀 puedan ser definidos salvo el signo, constituyendo una doble cubierta de SL(2,ℝ). Así es en efecto, pero la demostración detallada exige amplia preparación y recursos relativamente sofisticados; será el objetivo del segundo artículo de esta serie. Se habla de la realización metapléctica, o de Shale–Segal–Weil [4–6], quienes fueron los primeros en notar el fenómeno, en contextos algo diferentes del nuestro. El fenómeno es verdaderamente notable, pues SL(2,ℝ) es infinitamente conexo y en general no esperaríamos obtener más que una representación fiel de su grupo recubridor universal. Se ha usado la nomenclatura representación espinorial para subrayar la semejanza con la relación SU(2) ↔ 𝑆𝑂 (3), a pesar de las diferencias obvias. Ahora nos emancipamos de que la matriz simpléctica representada aparezca como elemento de un subgrupo uniparamétrico. Sea 𝑀 = ( 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ) perteneciente a SL(2,ℝ). Obtenemos: 𝐶𝑀 := 𝑀 − 1 𝑀 + 1 = 1 2 + tr 𝑀 ( 𝑎 − 𝑑 2𝑏 2𝑐 𝑑 − 𝑎 ) . 10 Usando las fórmulas anteriores, resulta: Ξ𝑀 (𝑢) = 𝑒𝑖𝛼 exp { 𝑖 2 + 𝑎 + 𝑑 [ 𝑢𝑡 ( 𝑐 1 2 (𝑑 − 𝑎) 1 2 (𝑑 − 𝑎) −𝑏 ) 𝑢 ]} , que es posible usar si 𝑀 ≠ −1 y 𝑀 ∉ 𝑃−. El factor de fase refleja la ambigüedad remanente en la elección de Ξ𝑀 . 3. Un inciso sobre la transformada de Cayley Es conveniente examinar un poco más de cerca la transformada de Cayley 𝑀 ↦→ 𝑀 − 1 𝑀 + 1 que aparece en la expresión de la función generatriz de Poincaré. La función exponencial y su inversa el logaritmo establecen una relación estándar entre sp(2,ℝ) ≃ ℝ3 y 𝐶+ ⊂ Sp(2,ℝ). Ahora bien, la transformada de Cayley establece una relación entre sl(2,ℝ) y SL(2,ℝ) sumamente interesante. Es fácil comprobar por cálculo directo: 𝑀 ∈ 𝐻+ =⇒ −1 < det𝐶𝑀 < 0, 𝑀 ∈ 𝑃+ =⇒ det𝐶𝑀 = 0, 𝑀 ∈ 𝐸, 𝑀 ≠ −1 =⇒ det𝐶𝑀 > 0, 𝑀 ∈ 𝑃−, 𝑀 = −1 =⇒ 𝐶𝑀 no está definida, 𝑀 ∈ 𝐻− =⇒ det𝐶𝑀 < −1. Si, como es natural y hemos hecho antes, identificamos sp(2,ℝ) con ℝ3 mediante la relación (𝑥, 𝑦, 𝑧) ↦→ 𝐿 = ( 𝑧 𝑦 − 𝑥 𝑦 + 𝑥 −𝑧 ) , se tiene det 𝐿 = 𝑥2− 𝑦2− 𝑧2. La relación det 𝐿 = −1 enℝ3 dibuja un hiperboloide de elementos de sl(2,ℝ) que no son la transformada de ningún elemento de SL(2,ℝ). De los dos componentes del complemento del hiperboloide, uno corresponde a elementos de 𝐻− en SL(2,ℝ); y el otro a elementos de 𝐻+, 𝐸 o 𝑃+ . Sobre los dominios indicados la relación puede invertirse. Parentéticamente notamos que det𝐶𝑀 ≠ −1 siempre. Esta observación es importante: en [7] hemos establecido el siguiente resultado: exp(±𝑖𝑢𝑡𝐺𝑢) es un elemento de M si y solo si det𝐺 ≠ −1. Consideremos ahora la aplicación del álgebra de Lie simpléctica sobre sí misma dada por 𝑋 ↦→ 𝑋𝐶 := 𝑒𝑋 − 1 𝑒𝑋 + 1 . Después de un cálculo un poco largo, pero sin ninguna dificultad, ratificamos el resultado que por supuesto esperábamos en vista de (12): 𝑋𝐶 = 𝑋 tanh( 1 2 √︁ | det 𝑋 |)√︁ | det 𝑋 | si det 𝑋 < 0, 𝑋𝐶 = 𝑋 tan( 1 2 √︁ | det 𝑋 |)√︁ | det 𝑋 | si det 𝑋 > 0, 𝑋𝐶 = 1 2𝑋 si det 𝑋 = 0. 11 Las propiedades de la transformación no lineal 𝑋 ↦→ 𝑋𝐶 merecen un estudio más detallado: para cualquier grupo lineal 𝐺 que posee una involución ∗, con la propiedad 𝐴 ∈ 𝐺 ⇐⇒ 𝐴∗𝛾𝐴 = 𝛾, donde 𝛾 es una matriz fija, el álgebra de Lie está dada por 𝑋∗𝛾 + 𝛾𝑋 = 0; y se puede definir una transformada de Cayley con análogas propiedades (en nuestro caso ∗ es transposición y 𝛾 es la matriz 𝐽). No parece, sin embargo, que nadie haya abordado seriamente el estudio de este nuevo instrumento para analizar la relación entre un grupo de Lie y su álgebra de Lie. 4. La ley de grupo Por construcción, los elementos de un subgrupo uniparamétrico de funciones simplécticas satisfacen la ley de grupo 𝐻Ξ(𝑡 + 𝑡′) = 𝐻Ξ(𝑡) + 𝐻Ξ(𝑡′). Sin embargo, no hemos verificado dicha ley para dos elementos cualesquiera. Sean𝐶1 y𝐶2 las transformadas de Cayley correspondientes a las matrices simplécticas 𝑀1 y 𝑀2. Se tiene, según (7) y (11): Ξ𝑀1 × Ξ𝑀2 (𝑢) = 𝐹1𝐹2 ∬ ℝ2 𝑑𝑣 𝑑𝑤 exp(− 𝑖 2𝑣 𝑡𝐽𝐶1𝑣) exp(− 𝑖 2𝑤 𝑡𝐽𝐶2𝑤) exp(−𝑖(𝑢 − 𝑤)𝑡𝐽 (𝑢 − 𝑣)) donde 𝐹𝑖 = 2𝑛 √ det 𝑀𝑖 + 1 para 𝑖 = 1, 2. Vamos a indicar cómo se hace el cálculo de esta integral sobre ℝ2 ×ℝ2 por el método de la fase estacionaria. Sea Ψ(𝑢, 𝑣, 𝑤) la función que aparece exponenciada en el integrando. Es: 𝜕Ψ 𝜕𝑣 = 0 ⇐⇒ 𝐶1𝑣0 − 𝑤0 = −𝑢; 𝜕Ψ 𝜕𝑤 = 0 ⇐⇒ 𝐶2𝑤0 − 𝑣0 = 𝑢. Esto da Ψ(𝑢, 𝑣0(𝑢), 𝑤0(𝑢)) = 𝑢𝑡𝐽𝐶3𝑢, donde 𝐶3 := 𝑀1𝑀2 − 1 𝑀1𝑀2 + 1 , tras un cálculo laborioso, en el que se puede usar 𝐶3 = (𝐶2 − 1) (1 + 𝐶2𝐶1)−1 + (1 + 𝐶1𝐶2)−1(𝐶1 + 1) = (𝐶1 − 1) (1 + 𝐶2𝐶1)−1 + (1 + 𝐶1𝐶2)−1(𝐶2 + 1). Entonces Ξ𝑀1 × Ξ𝑀2 (𝑢) = 𝐹1𝐹2 exp(− 𝑖 2𝑢 𝑡𝐽𝐶3𝑢) ∬ ℝ2 𝑑𝑣 𝑑𝑤 × exp { − 𝑖 2 (𝑣 − 𝑣0(𝑢), 𝑤 − 𝑤0(𝑢))𝑡𝐴(𝑣 − 𝑣0(𝑢), 𝑤 − 𝑤0(𝑢)) } . Aquí 2𝐴 es el hessiano de Ψ con respecto a (𝑣, 𝑤). Esta integral del tipo de Fresnel contribuye con un factor de la forma (det 𝐴)−1/2, salvo factores de fase. Se tiene: 𝐴 = ( −𝐽𝐶1 𝐽 −𝐽 −𝐽𝐶2 ) y en consecuencia det 𝐴 = det ( −𝐽 0 0 −𝐽 ) det ( 𝐶1 −𝐼 𝐼 𝐶2 ) = det(1 + 𝐶1𝐶2) = det(𝑀1𝑀2 + 1) det(𝑀1 + 1) det(𝑀2 + 1) . El resto es claro. 12 En todo lo anterior hemos dejado por fuera algunos detalles, por ejemplo la forma de Ξ𝑀 para 𝑀 ∈ 𝑃−. Vamos ahora a calcular esta para el caso típico 𝑀 = ( −1 𝜙 0 −1 ) . Los demás se pueden obtener simplemente por cambio de coordenadas. Se tiene: Ξ𝑀 = Ξ−𝐼 × Ξ−𝑀 = ∓2𝜋𝑖 𝛿 × exp(−𝑖𝜙𝑝2/4) = ±𝑒𝑖𝜋/4 √︂ 𝜋 𝜙 𝛿(𝑝) exp(𝑖𝑞2/𝜙), el cual, salvo por la diferencia en convenciones, es el resultado obtenido por Daubechies con un método enteramente distinto [8]. 5. Estados gaussianos Los instrumentos desarrollados hasta ahora permiten atacar importantes problemas en la teoría de estados cuánticos. Por definición, un estado es una funcional lineal positiva sobre M, esto es, una función 𝜌 tal que∫ 𝜌(𝑢) ( 𝑓 ∗ × 𝑓 ) (𝑢) 𝑑𝑢 ⩾ 0 para todo 𝑓 ∈ M(ℝ2𝑛). Consideraremos estados normalizados por la condición (4𝜋)−𝑛 ∫ 𝜌2(𝑢) 𝑑𝑢 = 1. Un estado se dice puro si 𝜌 × 𝜌 = 𝜌. Recientemente, Littlejohn [9] planteó y resolvió la siguiente cuestión de interés físico: ¿Cuáles funciones de forma gaussiana definidas salvo traslación, i.e., de la forma 𝜌(𝑢) = 𝐶𝑒−𝑢 𝑡𝐹𝑢/2 con 𝐶 una constante de normalización adecuada y 𝐹 simétrica definida positiva, son estados puros? Teorema 3 (Littlejohn). La gaussiana normalizada: 𝜌(𝑢) = 2𝑛 (det 𝐹)1/4 exp(−1 2𝑢 𝑡𝐹𝑢) (13) es un estado puro si y solo si 𝐹, además de definida positiva, es simpléctica. Demostración. Introduzcamos la transformada de Fourier simpléctica sobre ℝ2𝑛: F 𝑓 (𝑢) := ∫ 𝑓 (𝑣) exp(−𝑖𝑣𝑡𝐽𝑢) 𝑑𝑣. Es fácil probar que F( 𝑓 × 𝑔) = F 𝑓 ⋄F𝑔, donde ⋄ denota la convolución cuántica, definida por: ℎ ⋄ 𝑗 (𝑢) = ∫ ℎ(𝑢 − 𝑣) 𝑗 (𝑣)𝑒−𝑖𝑢𝑡 𝐽𝑣 𝑑𝑣. (14) De modo que necesitamos demostrar F𝜌 ⋄ F𝜌 = F𝜌. En lo que sigue haremos uso frecuente de la fórmula: ∫ exp(−1 2𝑣 𝑡𝐵𝑣 + 𝑏𝑡𝑣) 𝑑𝑣 = exp( 1 2𝑏 𝑡𝐵−1𝑏) √ det 𝐵 , (15) donde 𝐵 es una matriz simétrica con parte real definida positiva, 𝑏 un vector complejo cualquiera. Aplicándola a la gaussiana de (14): F𝜌(𝑢) = 2𝑛 (det 𝐹)−1/4 exp( 1 2𝑢 𝑡𝐽𝐹−1𝐽𝑢). 13 Según (14) y (15) se tiene: F𝜌 ⋄F𝜌(𝑢) = 4𝑛 √ det 𝐹 exp( 1 2𝑢 𝑡𝐽𝐹−1𝑢) ∫ exp(𝑣𝑡𝐽𝐹−1𝐽𝑣 + 𝑣𝑡 (𝑖𝐽 − 𝐽𝐹−1𝐽)𝑢) 𝑑𝑣 = 2𝑛 exp( 1 4𝑢 𝑡𝐽𝐹−1𝐽𝑢) exp(−1 4𝑢 𝑡𝐹𝑢), lo cual equivale a (13) si y solo si 𝐹 = −𝐽𝐹−1𝐽, esto es, por (3) y 𝐹 𝑡 = 𝐹, si y solo si 𝐹 es simpléctica. □ Observación 1. Equivalentemente, F𝜌 = 𝜌. Es fácil ver que los automorfismos (8) transforman estados en estados; el carácter de “puro” o “mezcla” y la normalización también se conservan. Estamos interesados en estudiar la acción del grupo Sp(2𝑛,ℝ) sobre las gaussianas. Si tenemos la gaussiana estándar: 𝑓0(𝑞, 𝑝) := 2𝑒−(𝑞 2+𝑝2)/2, podemos obtener cualquier gaussiana de la forma de (13) mediante conjugación por Ξ𝐹−1/2; la matriz 𝐹−1/2 es simpléctica si 𝐹 lo es, pues si 𝐹 = exp(−𝐽𝐵𝑎), como en la sección 1, entonces 𝐹1/2 = exp(−1 2𝐽𝐵𝑎). Ahora bien, el grupo de isotropía de 𝑓0 para esta conjugación es obviamente el grupo de matrices simplécticas ortogonales. Con lo cual tenemos: El espacio de los estados gaussianos puros ∼ Sp(2𝑛,ℝ) Sp(2𝑛,ℝ) ∩𝑂 (2𝑛) , lo cual da una agradable interpretación de la descomposición del grupo simpléctico efectuada en la sección 1. La dimensión del espacio en cuestión es 𝑛2 + 𝑛. Retornemos al caso 𝑛 = 1 por un momento. Una matriz𝐹 = ( 𝑎 𝑏 𝑏 𝑐 ) puede usarse para representar un estado puro si y solo si 𝑎 > 0, 𝑎𝑐 − 𝑏2 = 1. Ahora bien, existen estados de forma gaussiana que no son estados puros. Ejemplos son los estados de Gibbs del oscilador armónico a temperatura 1/𝛽 [3]: 𝑓𝛽 = sech( 1 2 𝛽) exp ( −1 2 (𝑞 2 + 𝑝2) tanh( 1 2 𝛽) ) . (16) Pero de todo lo anterior es bastante claro que una matriz definida positiva arbitraria con deter- minante menor que 1 puede obtenerse por conjugación simpléctica a partir de una matriz del tipo(√ det 𝐹 0 0 √ det 𝐹 ) . De hecho la matriz que hace el trabajo es:( 𝑎1/2(det 𝐹)−1/4 𝑏𝑎−1/2(det 𝐹)−1/4 0 𝑎−1/2(det 𝐹)1/4 ) . En el Apéndice Apéndice B se prueba que si det 𝐹 > 1, entonces 𝐹 no corresponde a ningún estado. Por tanto, tenemos el siguiente resultado. Teorema 4. Una función de la forma exp( 1 2𝑢 𝑡𝐹𝑢) con 𝑢 ∈ ℝ2 representa un estado cuántico normalizado si y solo si 𝐹 es definida positiva y det 𝐹 ⩽ 1; los estados puros corresponden al caso det 𝐹 = 1. □ 14 Ahora bien, las formas cuadráticas del exponente se clasifican como sigue. Teorema 5. Toda forma cuadrática definida positiva sobre ℝ2𝑛 es simplécticamente equivalente a una dada por una matriz ©­­­­­­­­« _1 . . . 0 _𝑛 _1 0 . . . _𝑛 ª®®®®®®®®¬ con _𝑖 > 0 para 𝑖 = 1, . . . , 𝑛. (17) La prueba se encuentra en [10]. Adecuadamente formulado, el teorema es cierto incluso en dimensión infinita. Por el Teorema 3 y las observaciones subsiguientes, los estados puros corresponden a matrices simplécticamente conjugadas a 1. Entonces, hacemos la siguiente suposición. Conjetura. Una función gaussiana del tipo (13) representa un estado cuántico si y solo si 𝐹 es simplécticamente conjugada a una matriz del tipo (17) con cada 0 < _𝑖 ⩽ 1, esto es, si 𝐹 es una matriz definida positiva con todos sus autovalores menores o iguales a la unidad. La dimensión del espacio correspondiente es 2𝑛2 + 𝑛. Observación 2. Reformulada convenientemente, esta conjetura es también válida probablemente para dimensión infinita; tal resultado permitiría dar un tratamiento interesante de estados del campo libre de la radiación. Observación 3. Es posible probar que cada una de las gaussianas del tipo (13) es la “función de Wigner” asociada a una función de onda de forma gaussiana a su vez. En este contexto, un teorema de Hudson [11], mejorado por Soto y Claverie [12] posteriormente, viene a establecer que los estados de la forma (13), con 𝐹 definida positiva y simpléctica, son los únicos estados puros normalizables que son positivos en el sentido ordinario. ¿Cuáles estados mezcla, aparte de los estados gaussianos que introducimos aquí, son estados positivos en el sentido ordinario? La cuestión merece investigación. Observación 4. Calculando formalmente la función generatriz del “hamiltoniano” 𝐻 = 1 2𝑢 𝑡𝐵𝑢 con 𝐵 = ( −𝑖 0 0 −𝑖 ) , obtenemos 𝑔𝐻 (𝑢; 𝛽) = −𝑖 exp(−(𝑞2 + 𝑝2) tanh( 1 2 𝛽)). Esto es, a la matriz 𝑀 (𝛽) = ( cosh 𝛽 −𝑖 senh 𝛽 𝑖 senh 𝛽 cosh 𝛽 ) le corresponde Ξ𝑀 (𝛽) = sech( 1 2 𝛽) exp(− 𝑖 2𝑔𝐻 (𝑢; 𝛽)), que es (16). Pareciera pues que se pueden extender formalmente los cálculos realizados en la sección 2 al grupo SL(2;ℂ). En todo caso, este proceder no es objetable si Im 𝑔𝐻 ⩽ 0, pues entonces Ξ𝑀 ∈ M (de hecho Ξ𝑀 ∈ S si Im 𝑔𝐻 < 0) y nos da, entre otras funciones, los estados con que hemos venido trabajando. Los elementos que cumplen esta condición integran un semigrupo de SL(2;ℂ) constituido por elementos de la forma 𝑀1𝑀 (𝛽)𝑀2 con 𝑀1, 𝑀2 pertenecientes a SL(2,ℝ) [13]. 15 6. Espectros y cálculo funcional En teoría cuántica en el espacio de las fases, la forma explícita de la función de evolución es útil para calcular el espectro de un hamiltoniano 𝐻. Esto se define como el soporte de la transformada de Fourier de 𝐻Ξ con respecto al parámetro 𝑡: 𝐻Π(𝑢;_) = 1 4𝜋 ∫ ℝ 𝐻Ξ(𝑢; 𝑡) exp(𝑖𝑡_/2) 𝑑𝑡. (18) La “medida espectral” 𝐻Π puede obtenerse también como solución de las ecuaciones de valores propios: 𝐻 × 𝐻Π = 𝐻Π × 𝐻 = _ 𝐻Π. En el presente caso por uno u otro método se obtiene: (i) 𝐻Π(𝑢;_) = ∞∑︁ 𝑛=0 𝑓𝑛 (𝐻) 𝛿 ( _ − (2𝑛 + 1) √︁ | det 𝐵 | ) , (19a) donde 𝑓𝑛 (𝐻) = 2(−1)𝑛𝐿𝑛 ( 2𝐻√︁ | det 𝐵 | ) exp ( − 𝐻√︁ | det 𝐵 | ) y 𝐿𝑛 denota el polinomio de Laguerre ordinario de grado 𝑛. (ii) 𝐻Π(𝑢;_) = 1 2𝜋 Γ (1 + 𝑖_ 2 ) Γ (1 − 𝑖_ 2 ) exp ( 𝑖𝐻√︁ | det 𝐵 | ) 1𝐹1 ( 1 + 𝑖_ 2 , 1; −2𝑖𝐻√︁ | det 𝐵 | ) , (19b) (iii) 𝐻Π(𝑢;_) = 𝛿(𝐻 − _). (19c) Es divertido constatar que el carácter real de 𝐻Π se garantiza en (19b) por la identidad de Kummer para la función hipergeométrica confluente junto con la identidad Γ(𝑧) = Γ(𝑧). De (19) se deduce en cada caso respectivo, para el espectro: sp(𝐻) = { ±1 2 √︁ | det 𝐵 |, 3 2 √︁ | det 𝐵 |, 5 2 √︁ | det 𝐵 |, . . . } (con signo + o − según el hamiltoniano sea una función definida positiva o negativa); sp(𝐻) = ℝ; sp(𝐻) = ℝ+ o ℝ−. La función espectral permite construir un cálculo funcional cuántico, de modo que 𝑓 ×(𝐻) en el sentido del producto cuántico = ∫ 𝑓 (_) 𝐻Π(𝑢;_) 𝑑_. Y así: sp( 𝑓 ×) = 𝑓 (sp 𝐻). Por ejemplo, de (19a), invirtiendo (18), obtenemos: sp(𝐻Ξ(𝑢; 𝑡)) = { exp ( − 𝑖 2 (2𝑛 + 1) √︁ | det 𝐵 | 𝑡 )} = { exp ( −𝑖(2𝑛 + 1) arctan √︃ det 𝐽𝐶𝑀 (𝑡) )} , donde 𝑀 (𝑡) = exp(𝑡𝐽𝐵) como en la sección 2. El interés de poder invertir el cálculo funcional cuántico debería ser obvio. Si Exp denota el exponencial cuántico de (12b), notamos que de: Exp(−1 2𝑖𝑥𝑧) = sech( 1 2 𝑧) 𝑒 −𝑖𝑥 tanh(𝑧/2) 16 con 𝑥 = 𝑞𝑝, o hamiltoniano canónicamente equivalente, brota 𝑒−𝑖𝑥𝑡 = 1 √ 1 − 𝑡2 Exp(−𝑖𝑥 arctanh 𝑡). (20a) Análogamente, de: Exp(−1 2𝑖𝑥𝑧) = sec( 1 2 𝑧)𝑒 −𝑖𝑥 tan(𝑧/2) con 𝑥 = 1 2 (𝑞 2 + 𝑝2), o hamiltoniano canónicamente equivalente, obtenemos: 𝑒−𝑖𝑥𝑡 = 1 √ 1 + 𝑡2 Exp(−𝑖𝑥 arctan 𝑡). (20b) En lo que sigue procederemos formalmente. Eliminando las unidades imaginarias de los expo- nentes en (20), dichas fórmulas se reescriben como: 𝑒𝑥𝑡 = Exp(𝑥 arctan 𝑡) √ 1 + 𝑡2 =: 𝐺1(𝑥; 𝑡), 𝑒𝑥𝑡 = Exp(𝑥 arctanh 𝑡) √ 1 − 𝑡2 =: 𝐺2(𝑥; 𝑡). Se pueden tratar 𝐺1, 𝐺2 como funciones generatrices: 𝐺1(𝑥; 𝑡) = ∞∑︁ 𝑛=0 𝑃× 𝑛 (𝑥) 𝑡𝑛 𝑛! , 𝐺2(𝑥; 𝑡) = ∞∑︁ 𝑛=0 𝑄× 𝑛 (𝑥) 𝑡𝑛 𝑛! . De las ecuaciones diferenciales para las 𝐺: (1 + 𝑡2) 𝜕𝐺1 𝜕𝑡 = (𝑥 − 𝑡) × 𝐺1, (1 − 𝑡2) 𝜕𝐺2 𝜕𝑡 = (𝑥 + 𝑡) × 𝐺2, se deducen fácilmente relaciones de recurrencia de dos términos para los polinomios 𝑃𝑛, 𝑄𝑛; los primeros resultan ser polinomios ortogonales; de hecho son los polinomios de Hahn continuos, que han emergido recientemente en una serie de aplicaciones bastante oscuras [14]; los 𝑄𝑛 parecen ser nuevos. Si 𝑓 (𝑥) denota una función ordinaria del hamiltoniano 𝑥 tal que se tiene 𝑓 (𝑥) = ∑∞ 𝑛=0 𝑎𝑛𝑥 𝑛, será 𝑓 (𝑥) = 𝑔×(𝑥) = ∑∞ 𝑛=0 𝑎𝑛𝑃 × 𝑛 (𝑥) o 𝑓 (𝑥) = ∑∞ 𝑛=0 𝑎𝑛𝑄 × 𝑛 (𝑥) según el caso. Estas fórmulas son la base de un método de inversión para los cálculos funcionales asociados a (19a) y (19b). Daremos en otra parte un tratamiento explícito y riguroso de estas interesantes cuestiones. 7. El caso inhomogéneo Finalmente, estamos interesados en ver la forma de los 𝐻Ξ cuando extendemos la representación para incluir el álgebra de Lie del grupo de Heisenberg ℍ3, con base {𝑞, 𝑝, 1}. Sea un hamiltoniano genéricamente de la forma: 𝐻 = 1 2𝑢 𝑡𝐵𝑢 + 𝑐𝑡𝑢 + 𝑑. Nos preguntamos por la forma de la función cuántica correspondiente. 17 Si det 𝐵 ≠ 0 no aparece ningún fenómeno nuevo. En efecto, el cambio de variables 𝑢 = �̃�−𝐵−1𝑐 transforma el hamiltoniano a 𝐻 (�̃�) = 1 2 �̃� 𝑡𝐵�̃� + 𝑣, con 𝑣 := 𝑑 − 1 2𝑐 𝑡𝐵−1𝑐. Explícitamente, si 𝑐 = ( 𝑐1 𝑐2 ) , 𝐵 = ( 𝑏1 𝑏2 𝑏2 𝑏3 ) , es: 𝑐𝑡𝐵−1𝑐 = 𝑏3𝑐 2 1 − 𝑏2𝑐1𝑐2 + 𝑏1𝑐 2 2 det 𝐵 . Por supuesto, la función generatriz es invariante por el cambio de coordenadas indicado, por lo cual obtenemos: det 𝐵 > 0 : 𝐻Ξ(𝑢; 𝑡) = sec ( 𝑡 2 √︁ | det 𝐵 | ) exp (−𝑖(𝐻 − 𝑣) tan( 𝑡2 )√︁ | det 𝐵 | ) 𝑒− 1 2 𝑖𝑣𝑡 , det 𝐵 < 0 : 𝐻Ξ(𝑢; 𝑡) = sech ( 𝑡 2 √︁ | det 𝐵 | ) exp (−𝑖(𝐻 − 𝑣) tanh( 𝑡2 )√︁ | det 𝐵 | ) 𝑒− 1 2 𝑖𝑣𝑡 . El caso det 𝐵 = 0 es más interesante. Supóngase que se han hecho los cambios de coordenadas canónicas necesarios para que el hamiltoniano quede en la forma 𝑎𝑝2 + 𝛼𝑞 + 𝛽𝑝 + 𝑑. Si 𝛼 = 0, estamos esencialmente en un caso conocido. Si 𝛼 ≠ 0, sin embargo, un momento de reflexión basta para convencerse de que no hay ninguna transformación lineal canónica que permita disponer del término 𝛼𝑞. Sin merma de generalidad, podemos tomar 𝛽 = 0. En tal caso, la ecuación de valores propios 𝐻 × 𝐻Π = 𝐻Π × 𝐻 = _𝐻 toma la forma: 1 2𝛼 2 𝑑2(𝐻Π) 𝑑𝐻2 − (𝐻 − _) 𝐻Π = 0 (aceptando que 𝐻Π pueda expresarse en términos de 𝐻). Esta es una ecuación de Airy con solución regular: 𝐻Π(_) = 3 √︂ 2 𝛼2 Ai ( 3 √︂ 2 𝛼2 (𝐻 − _) ) . Y de ahí: 𝐻Ξ(𝑢; 𝑡) = exp [ −𝑖 (𝐻𝑡 2 + 𝛼2𝑡3 48 )] . (21) Esto constituye un tipo espectral nuevo. Es divertido notar que, mientras el término en 𝑞 no puede ser eliminado, puede serlo el término en 𝑝2. Ello se consigue por conjugación con la función unitaria (no simpléctica) exp(−𝑖𝑝3/6𝛼): 𝑒−𝑖𝑝 3/6𝛼 × ( 1 2 𝑝 2 + 𝛼𝑞) × 𝑒+𝑖𝑝 3/6𝛼 = 𝛼𝑞. En resumen, nuestro tratamiento del caso inhomogéneo ha sido puramente algebraico. Nótese que el factor de fase 𝑡-dependiente en la fórmula (21), que tal vez podría considerarse sin importancia si estuviéramos representando matrices del grupo consideradas aisladamente, es de toda importancia 18 en determinar el tipo espectral del hamiltoniano, el cual es totalmente diferente al de una partícula libre. Invitamos al lector a determinar las fórmulas para Ξ(𝑀,𝑐,𝑑) siendo (𝑀, 𝑐, 𝑑) un elemento general del producto semidirecto SL(2,ℝ) ⋊ℍ3. Resulta que la introducción de las matrices de 𝑃− y 𝐻− (no tomadas en cuenta previamente) no aporta resultados esencialmente diferentes a los que se deducen directamente de lo hecho aquí [15]. Apéndice A. Espacios simplécticos Una forma bilineal 𝜔 sobre un espacio vectorial real 𝑉 de dimensión finita se llama simpléctica si es no degenerada, es decir, 𝑣 ∈ 𝑉 es tal que 𝜔(𝑣, 𝑣′) = 0 para todo 𝑣′ ∈ 𝑉 =⇒ 𝑣 = 0; y alternada: 𝜔(𝑣, 𝑣) = 0 para todo 𝑣 ∈ 𝑉. Diremos que (𝑉, 𝜔) es un espacio simpléctico. Definición 1. Una base canónica de (𝑉, 𝜔) es una base (𝑒1, 𝑒2, . . . , 𝑒𝑛; 𝑓1, 𝑓2, . . . , 𝑓𝑛) del espacio vectorial 𝑉 tal que: 𝜔(𝑒 𝑗 , 𝑒𝑘 ) = 𝜔( 𝑓 𝑗 , 𝑓𝑘 ) = 𝜔(𝑒 𝑗 , 𝑓𝑘 ) − 𝛿 𝑗 𝑘 = 0, para 1 ⩽ 𝑗 , 𝑘 ⩽ 𝑛. Proposición 7. Todo espacio simpléctico posee una base canónica. Demostración. Sea 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝑣 ≠ 0. Existirá otro vector 𝑣′ tal que 𝜔(𝑣, 𝑣′) ≠ 0. Podemos poner 𝜔(𝑣, 𝑣′) = 1. Se concluye que dim𝑉 ⩾ 2. Si dim𝑉 = 2, la proposición está demostrada. Si dim𝑉 > 2, consideramos {𝑣, 𝑣′}⊥ := { 𝑢 : 𝜔(𝑢, 𝑣) = 𝜔(𝑢, 𝑣′) = 0 }. Es claro que dim{𝑣, 𝑣′}⊥ = dim𝑉 − 2 y que 𝑣, 𝑣′ ∉ {𝑣, 𝑣′}⊥. La restricción de 𝜔 a este último espacio es no degenerada, y recomienza la inducción. □ Corolario. Todo espacio simpléctico es de dimensión par. ⊟ Definición 2. Un endomorfismo lineal 𝑚 de 𝑉 se llama simpléctico si 𝜔(𝑚𝑣, 𝑚𝑣′) = 𝜔(𝑣, 𝑣′) para todo 𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑉. En una base canónica, 𝜔 es representada por la matriz 𝐽 de (1). Si 𝑀 representa 𝑚, se obtiene la relación (2). 19 Apéndice B. Gaussianos que no son estados Por transformación de Fourier de la ley de grupo: 𝐻Ξ(𝑡 + 𝑡′) = 𝐻Ξ(𝑡) × 𝐻Ξ(𝑡′), se obtiene 𝑓𝑛 (𝐻) × 𝑓𝑛 (𝐻) = 𝑓𝑛 (𝐻) cuando 𝐻 es el hamiltoniano del oscilador armónico: las autofunciones que conmutan con 𝐻 son por supuesto estados puros. Si 𝜌 es un estado debe tenerse en particular:∫ 𝜌(𝑢) 𝑓𝑛 (𝑢) 𝑑𝑢 ⩾ 0. Supongamos que 𝜌(𝑢) = exp(−𝑐𝐻 (𝑢)) con 𝑐 > 1. Vamos a probar que∫ 𝜌(𝑢) 𝑓1(𝑢) 𝑑𝑢 < 0. Demostración. Es 𝑓1(𝐻) = 2(2𝐻 − 1)𝑒−𝐻 . Entonces:∫ 𝜌(𝑢) 𝑓1(𝑢) 𝑑𝑢 = ∫ 4𝐻 𝑒−(𝑐+1)𝐻 𝑑𝐻 − ∫ 2 𝑒−(𝑐+1)𝐻 𝑑𝐻 = 2(1 − 𝑐) (𝑐 + 1)2 < 0. Como ya observamos en la sección 5, la invariancia simpléctica permite reducir a este caso el de cualquier función de la forma exp(−1 2𝑢 𝑡𝐹𝑢), siendo 𝐹 una matriz 2 × 2 definida positiva con determinante mayor que 1. □ Nota añadida en prueba. La conjetura de la sección 5 ahora es un teorema [16]. Referencias [1] S. Lang, SL(2,ℝ), Addison–Wesley, Reading, MA, 1975. [2] N. R. Wallach, Symplectic Geometry and Fourier Analysis, Math. Sci. Press, Brookline, MA, 1977. [3] J. M. Gracia-Bondía, “Mecánica cuántica en el espacio de las fases: una formulación autocon- tenida”, tesis de maestría, UCR, San José, 1986. [4] D. Shale, “Linear symmetries of free Boson fields”, Trans. Amer. Math. Soc. 103 (1962), 149–167. [5] I. E. Segal, “Transforms for operators and symplectic automorphisms over a locally compact abelian group”, Math. Scand. 13 (1963), 31–43. [6] A. Weil, “Sur certains groupes d’opérateurs unitaires”, Acta Math. 111 (1964), 143–211. [7] M. Gadella, J. M. Gracia-Bondía, L. M. Nieto-Calzada y J. C. Várilly, “Quadratic Hamiltonians in phase space quantum mechanics”, J. Phys. A 22 (1989), 2709–2738. [8] I. Daubechies, “Coherent states on projective representation of the linear canonical transfor- mations”, J. Math. Phys. 21 (1980), 1377–1389. [9] R. G. Littlejohn, “The semiclassical evolution of wave packets”, Phys. Reports 138 (1986), 193–291. [10] R. Abraham y J. E. Marsden, Foundations of Mechanics, 2a edición, Benjamin–Cummings, Reading, MA, 1987. 20 [11] R. L. Hudson, “When is the Wigner quasi-probability density nonnegative?”, Reports Math. Phys. 6 (1974), 249–252. [12] F. Soto y P. Claverie, “When is the Wigner function of multidimensional systems nonnegati- ve?”, J. Math. Phys. 24 (1983), 97–100. [13] P. Kramer, M. Moshinsky y T. Seligman, “Complex extensions of canonical transformations and quantum mechanics”, en: Group Theory and Applications, E. M. Loebl, eds., Academic Press, New York, 1975; pp. 249–332. [14] C. M. Bender, L. R. Mead y S. S. Pinsky, “Continuous Hahn polynomials and the Heisenberg algebra”, J. Math. Phys. 28 (1987), 509–513. [15] G. A. Hagedorn, M. Loss y J. Slawny, “Nonstochasticity of the time-dependent quadratic Hamiltonians and the spectra of canonical transformations”, J. Phys. A: Math. Gen. 19 (1986), 521–531. [16] J. M. Gracia-Bondía y J. C. Várilly, “Nonnegative mixed states in Weyl–Wigner–Moyal theory”, Phys. Lett. A 128 (1988), 20–24. 21