Prueba de Cuantitativas Habilidades Introducción a la Leiner Víquez García Mónica Mora Badilla Graciela Ordóñez Gutiérrez Luis Rojas Torres CC.SIBDI.UCR - CIP/4042 Nombres: Víquez García, Leiner, 1972- , autor. | Mora Badilla, Mónica, 1989- ,autora. | Ordóñez Gutiérrez, Graciela, 1982- ,autora. | Rojas Torres, Luis,1986- ,autor. Título: Introducción a la prueba de habilidades cuantitativas / Leiner Víquez García, Mónica Mora Badilla, Graciela Ordóñez Gutiérrez, Luis Rojas Torres. Descripción: Primera edición digital. | San José, Costa Rica : Editorial UCR., 2023. Identificadores: ISBN 978-9968-02-113-5 (PDF) Materias: LEMB: Exámenes Universitarios. | Razonamiento –Exámenes, preguntas, etc. | Matemáticas – Exámenes, preguntas, etc. | Solución de Problemas – Exámenes, preguntas, etc. Clasificación: CDD 378.166.2 –ed. 23 Edición aprobada por la Comisión Editorial de la Universidad de Costa Rica. Primera edición impresa: 2021. Primera edición digital (PDF): 2023. © Editorial Universidad de Costa Rica, Ciudad Universitaria Rodrigo Facio. San José, Costa Rica. Apdo.: 11501-2060 • Tel.: 2511 5310 • Fax: 2511 5257 administracion.siedin@ucr.ac.cr www.editorial.ucr.ac.cr Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción de la obra o parte de ella, bajo cualquier forma o medio, así como el almacenamiento en bases de datos, sistemas de recuperación y repositorios, sin la autorización escrita del editor. Hecho el depósito de ley. Las opciones de resaltado del texto, anotaciones o comentarios dependerán de la aplicación y dispositivo en que se realice la lectura de este libro digital. vii Contenido Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX I Prueba de Habilidades Cuantitativas (PHC) . . . 1 II Estructura de la PHC . . . . . . . . . . . . . . . . 3 III ¿Cómo resolver un ı́tem de la PHC? . . . . . . . 7 IV Solución de los ejercicios de práctica para la PHC 11 Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Geometrı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Análisis de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Referencias bibliográficas . . . . . . . . . . . . . 122 Índice de cuadros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Índice de figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Acerca de los autores . . . . . . . . . . . . . . . . 127 VII Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix I. Prueba de Habilidades Cuantitativas (PHC) . . . 1 II. Estructura de la PHC . . . . . . . . . . . . . . . . 3 III. ¿Cómo resolver un ítem de la PHC? . . . . . . . . 7 IV. Solución de los ejercicios de práctica para la PHC . 11 Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Análisis de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Referencias bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Índice de cuadros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Índice de figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Acerca de los autores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 ix Introducción El objetivo de este libro es brindar una explicación senci- lla de qué es la Prueba de Habilidades Cuantitativas (PHC) y cómo se resuelven los ı́tems de esta prueba. El texto va di- rigido a los aspirantes que desean ingresar a las carreras de la Universidad de Costa Rica (UCR) que utilizan la PHC en su proceso de admisión. Para el público que guste profundi- zar en los elementos y fundamentos técnicos de la prueba, se recomienda consultar la literatura cientı́fica existente sobre la PHC (Rojas, 2013; Bolaños y Rojas, 2013; Rojas, 2014; Rojas, Mora y Ordóñez, 2018, y Rojas y Ordóñez, 2019). Con este texto se pretende ampliar la gama de oportuni- dades para que cada vez más personas tengan acceso a una preparación idónea para la PHC. Dicho propósito se lograrı́a mediante la presentación de estrategias para resolver los ı́tems de esa prueba y, posteriormente, la explicación detallada de la solución de cada uno de los ejercicios que aparecen en el folleto de práctica de la PHC. El folleto de práctica de la PHC y este libro fueron ela- borados por el mismo equipo que trabaja en la construcción de la prueba mencionada. El proceso de construcción de los ı́tems se realizó con base en los mismos criterios que se uti- lizan para desarrollar la PHC. Lo anterior implica que estos documentos reflejan los procesos evaluados en la propia PHC, que se aplica con fines de admisión a las carreras de la UCR que tienen la prueba como requisito. IX x INTRODUCCIÓN A LA PHC Es importante destacar que este equipo está conforma- do por profesionales en la enseñanza de la matemática, con diversos estudios de posgrado, tales como didáctica de la matemática, evaluación, estadı́stica y ciencias cognoscitivas. El perfil profesional del equipo facilita que la PHC se en- cuentre en un proceso de evaluación constante desde distin- tos enfoques, lo cual posibilita que esta prueba cumpla con los estándares de calidad esperados para pruebas de altas consecuencias. El equipo desarrollador de la PHC espera que este libro sea de ayuda para todas las personas aspirantes a ingresar a carreras con un perfil cuantitativo en la UCR. Por último, es importante mencionar que este libro se basó en la estructura presentada en la obra Resolvamos la PAA (Brizuela et al., 2015). X 1 I. Prueba de Habilidades Cuantitativas (PHC) La PHC está dirigida a medir el razonamiento cuantitati- vo de los aspirantes a carreras de la UCR, que requieren de la matemática en diferentes cursos incluidos en sus programas y planes de estudio. El razonamiento cuantitativo, en palabras sencillas, es la capacidad de realizar razonamientos complejos con contenidos matemáticos sencillos (Steen, 2004). De for- ma más amplia, es “la habilidad para analizar información cuantitativa y determinar cuáles destrezas y procedimientos pueden ser aplicados para obtener la solución de un problema particular” (Dwyer et al., 2003, p. 1). La definición anterior indica que el razonamiento cuan- titativo está conformado por los procesos de razonamiento con contenidos matemáticos, que se deben realizar para lle- gar a la solución de un problema especı́fico. Esto implica que el razonamiento cuantitativo no es equivalente al conocimien- to matemático, pues el primero le da más importancia a los procesos de análisis que a la repetición de un conjunto de algoritmos complejos. No obstante, para resolver un proble- ma de razonamiento cuantitativo es necesario que el exami- nado domine una base de contenidos matemáticos (Rojas y Ordóñez, 2019). Ası́, en el caso de la PHC, se consideran con- ceptos básicos del plan de estudios de secundaria de Costa Rica (estos contenidos se desglosan en la siguiente sección). 1 2 INTRODUCCIÓN A LA PHC2 INTRODUCCIÓN A LA PHC Para quienes cursen carreras relacionadas con la ma- temática, el razonamiento cuantitativo será indispensable cuando se inserten en el mercado laboral y deban resol- ver problemas reales. Rojas y Ordónez (2019) lo explican como sigue: El razonamiento cuantitativo es necesario para desenvolverse exitosamente en las profesiones que requieren de la matemática en su quehacer [...] dado que los especialistas en estas áreas deben determinar cómo utilizar la matemática para re- solver un problema determinado. Contrario a los ejercicios matemáticos clásicos, en muchas tareas laborales no se indica qué algoritmo matemáti- co se debe emplear y, por tanto, será el profesio- nal quien deba construir una estrategia eficiente y pertinente que permita el éxito en cada tarea. Con este fin, los especialistas de diversas áreas deben atender interrogantes utilizando gran variedad de información cuantitativa; esto los obliga a tomar decisiones sobre cuáles estadı́sticos brindan la in- formación más adecuada a la pregunta atendida. En otros casos, se debe comparar fenómenos mo- delados por medio de expresiones algebraicas, lo cual demanda que el profesional distinga cuál es la estrategia que le permite realizar la compara- ción solicitada [...] Es por esto que se considera que los estudiantes de los programas de estudio que utilizan la matemática en su campo laboral deben poseer un nivel aceptable de razonamiento cuantitativo (Rojas y Ordóñez, 2019, p. 22). 3 II. Estructura de la PHC Esta prueba está conformada por 40 ı́tems de selección única con cuatro opciones de respuesta, que se agrupan en secciones de 10 preguntas según el área de contenido. Las secciones son las siguientes: aritmética, geometrı́a, álgebra y análisis de datos. Para resolver la prueba se dispone de dos horas. En ese tiempo se incluye la labor de rellenar la hoja para respuestas. En cuanto a los materiales necesarios, solo se requieren los siguientes: lápiz, borrador y sacapuntas. El uso de calculadora y hojas adicionales no está permitido durante la ejecución de la PHC. Los contenidos matemáticos que se abordan en la prueba, con los cuales se debe estar familiarizado para resolverla, se anotan a continuación. Aritmética Conjuntos numéricos Números naturales (propiedades y operaciones). Números enteros (propiedades y operaciones). Números racionales (propiedades y operaciones). Números reales (propiedades y operaciones). 3 II. Estructura de la PHC Esta prueba está conformada por 40 ı́tems de selección única con cuatro opciones de respuesta, que se agrupan en secciones de 10 preguntas según el área de contenido. Las secciones son las siguientes: aritmética, geometrı́a, álgebra y análisis de datos. Para resolver la prueba se dispone de dos horas. En ese tiempo se incluye la labor de rellenar la hoja para respuestas. En cuanto a los materiales necesarios, solo se requieren los siguientes: lápiz, borrador y sacapuntas. El uso de calculadora y hojas adicionales no está permitido durante la ejecución de la PHC. Los contenidos matemáticos que se abordan en la prueba, con los cuales se debe estar familiarizado para resolverla, se anotan a continuación. Aritmética Conjuntos numéricos Números naturales (propiedades y operaciones). Números enteros (propiedades y operaciones). Números racionales (propiedades y operaciones). Números reales (propiedades y operaciones). 3 4 INTRODUCCIÓN A LA PHC4 INTRODUCCIÓN A LA PHC Teorı́a de números naturales Divisibilidad. Múltiplos. Números primos. Números compuestos. Descomposición prima. Mı́nimo común múltiplo. Máximo común divisor. Secuencias numéricas. Geometrı́a Geometrı́a plana Elementos básicos de geometrı́a (punto, recta, plano, rectas paralelas, perpendiculares y concurrentes, clasi- ficación y medida de ángulos, ángulos entre rectas pa- ralelas y transversales, teoremas relacionados con rectas paralelas y perpendiculares). Triángulos (desigualdad triangular, ángulos inter- nos y externos, semejanza, congruencia, teorema de Pitágoras). Cuadriláteros (propiedades). Elementos básicos del cı́rculo y la circunferencia. Polı́gonos regulares (ángulo central, radio, apotema, área y perı́metro). Razones trigonométricas (definición, ley de senos y ángulos de elevación y depresión). INTRODUCCIÓN A LA PHC 5INTRODUCCIÓN A LA PHC 5 Geometrı́a analı́tica Coordenadas de puntos en el plano. Distancia entre puntos. Ecuaciones de rectas. Ecuación de la parábola. Cuerpos sólidos Prismas rectos (área y volumen). Pirámide recta (área y volumen). Cilindro circular recto (volumen). Cono circular recto (volumen). Esfera (volumen). Álgebra Operaciones fundamentales con expresiones algebraicas Expresiones algebraicas. Valor numérico de una expresión algebraica. Operaciones con polinomios (suma, resta, multiplica- ción, división). Simplificación y factorización de expresiones algebraicas Ecuaciones e inecuaciones Ecuaciones de primer grado. Ecuaciones de segundo grado. Inecuaciones de primer grado. 6 INTRODUCCIÓN A LA PHC6 INTRODUCCIÓN A LA PHC Análisis de datos Descripción de datos Variables cuantitativas y cualitativas. Análisis de gráficos estadı́sticos: barras, circulares, lineales y de puntos. Frecuencias relativas y absolutas de datos. Medidas de posición Moda. Media aritmética (promedio). Recorrido. Máximo. Mı́nimo. Mediana. Probabilidad Eventos aleatorios. Espacio muestral. Eventos simples y compuestos. Probabilidad frecuencial. Definición clásica de probabilidad. Eventos seguros, probables e imposibles. Introducción a la ley de los grandes números. 7 III. ¿Cómo resolver un ı́tem de la PHC? Con base en Polya (1965), Mayer, Larkin y Kadane (1984) y Embretson y Daniel (2008), se recomienda seguir estos pasos para resolver un ı́tem de la PHC: Leer detenidamente el ı́tem e identificar de forma clara cuál es la incógnita que se debe encontrar para resolver el problema planteado. Este paso permitirá que el exa- minado tenga claro cuál es la ruta que se debe seguir, ası́ como el punto al que se quiere llegar para la solución del ı́tem. Identificar los datos que proporciona el ı́tem: hipótesis, constantes, variables, relaciones, etc. La mayorı́a de es- tos datos tendrán una función en el proceso de reso- lución y por eso es importante identificarlos de forma exhaustiva. Es posible que algunos datos no sean nece- sarios en la solución, debido a que un elemento funda- mental en el razonamiento cuantitativo es la capacidad de discriminar entre la información relevante y la que no lo es. Ordenar la información que se genera con los datos por medio de una representación: una ecuación, un diagra- ma, una figura geométrica, etc. Representar la informa- ción de esta manera permite visualizar los datos para identificar relaciones que podrı́an estar ocultas en una primera lectura. 7 8 INTRODUCCIÓN A LA PHC8 INTRODUCCIÓN A LA PHC Plantear una estrategia que permita utilizar la informa- ción representada para obtener una solución. Se reco- mienda que antes de elaborar algoritmos matemáticos con la información, se realice un análisis sobre el aporte de esos algoritmos a la obtención de la respuesta para el enunciado. La creación de una estrategia apropiada de resolución es el elemento central del razonamiento cuantitativo. Entre las estrategias de resolución destacan las siguientes: • Plantear una relación que conecte los datos repre- sentados con la incógnita del ejercicio (puede ser una fórmula conocida o una ecuación). • Establecer relaciones entre datos brindados en el ı́tem con datos no proporcionados explı́citamente, de manera que se vuelva posible la obtención de la incógnita que permite resolver el problema. • En problemas que requieren determinar la veraci- dad de una proposición, se pueden buscar casos es- pecı́ficos que invaliden la proposición o se deben analizar todos los casos posibles. Si la proposición no se cumple para uno de los casos contemplados, entonces es falsa; por el contrario, es verdadera si se cumple para todos los casos contemplados. La frase con certeza recalca que se debe anali- zar la veracidad de la proposición en todos los casos posibles. • Las proposiciones que hacen referencia a casos di- versos o a totalidades que pueden ser divididas en categorı́as, por lo general, pueden ser verifica- das por medio de casos genéricos. Por ejemplo, INTRODUCCIÓN A LA PHC 9INTRODUCCIÓN A LA PHC 9 una proposición para todos los reales se puede evaluar para un “x” real cualquiera. También, se podrı́a dividir el conjunto en algunos subconjun- tos especı́ficos, de tal forma que queden represen- tados los casos con comportamientos distintos para la proposición de análisis. De esta forma, una pro- posición que se enuncia para todos los reales puede ser verificada analizando si se cumple (o no) para todos los reales según sea su signo (negativo, nu- lo y positivo) o, dependiendo de lo que se enuncie, se puede verificar si se cumple simultáneamente (o no) para los valores reales racionales y los valores reales irracionales. • En problemas que demandan determinar si un ob- jeto matemático es de un tipo especı́fico, se debe analizar si el objeto cumple las propiedades que permiten que sea clasificado de tal forma. Por ejem- plo, para determinar si un número es par se de- be analizar si al dividirlo entre 2 el cociente es un entero. • En la presencia de secuencias, se puede buscar una fórmula matemática que permita determinar el término enésimo. • Generar ejemplos especı́ficos sobre el problema planteado y determinar un patrón de las soluciones para dichos ejemplos. Ejecutar el proceso de solución. Esto conlleva aplicar co- rrectamente la estrategia de resolución planteada en el paso previo. Durante esta ejecución es que se realizan 10 INTRODUCCIÓN A LA PHC10 INTRODUCCIÓN A LA PHC los algoritmos matemáticos. La PHC está diseñada pa- ra que este paso sea de complejidad baja para los estudiantes de último año de secundaria. Verificar la solución. El último paso de la solución de los ı́tems de la PHC consiste en buscar la respuesta encon- trada en la etapa anterior entre las opciones propuestas por el ı́tem. En caso de que la solución no coincida con ninguna de las cuatro opciones, se debe verificar que los datos iniciales hayan sido anotados correctamente y que el proceso de solución haya sido ejecutado de forma pre- cisa. Asimismo, se debe verificar si se contestó efectiva- mente la incógnita demandada por el ı́tem. A su vez, se debe considerar que una misma expresión (numérica o algebraica) puede ser representada de diferentes mane- ras, por lo que es posible que la respuesta encontrada sea equivalente con alguna de las alternativas. En los ı́tems en los que se solicita analizar cada opción, se recomienda plantear una estrategia de resolución para ca- da una de las opciones (por lo general, son muy similares). En estos ı́tems, lo mejor es analizar las cuatro opciones. Si el planteamiento está bien realizado, la primera opción que sea verdadera efectivamente será la clave; no obstante, si se co- metió un error en el análisis de la opción que aparenta ser la clave, este error puede ser detectado al encontrar que otra opción también es verdadera. 11 IV. Solución de los ejercicios de práctica para la PHC A continuación se presentan los enunciados de los ı́tems del Folleto de Práctica para la PHC, ası́ como la clave (A, B, C o D) correspondiente a la respuesta correcta. Inmediatamen- te después de la clave, se brinda un listado con los conteni- dos que un estudiante debe dominar para contestar de forma adecuada la pregunta planteada en el enunciado. Por último, en cada ı́tem se explica con detalle una estra- tegia de solución para el ejercicio. La estrategia descrita no necesariamente es la única. En muchos ejercicios existen otros procedimientos y razonamientos que son válidos para llegar a la respuesta correcta. De hecho, en algunos ejercicios, para los cuales se ha considerado pertinente, se incluye una estrategia adicional que también conduce a la respuesta correcta. Cabe resaltar que en algunas de las soluciones se desta- can en cursiva algunas palabras claves, que permiten a ca- da estudiante o lector identificar procesos importantes para la resolución del ı́tem, tales como comparar o relacionar, validar, ejemplificar, clasificar o generalizar. Además, en los enunciados de las preguntas, debido al protocolo de formato que está es- tablecido para la PHC, la expresión con certeza se escribe en negrita (como se muestra), y la palabra no se escribe en negri- ta y subrayada (como se muestra). Sin más preámbulo, se procede a las soluciones de los ejercicios. 11 12 INTRODUCCIÓN A LA PHC12 INTRODUCCIÓN A LA PHC Aritmética 1. Al dividir 14 505 por un número natural n, el residuo es 25. Con base en lo anterior, ¿cuál de los siguientes números naturales podrı́a ser el valor de n? A) 7 240 B) 7 241 C) 7 242 D) 7 245 Clave La respuesta correcta es la opción A. Conocimientos previos requeridos Números naturales (propiedades y operaciones). Divisibilidad. Múltiplos. INTRODUCCIÓN A LA PHC 13INTRODUCCIÓN A LA PHC 13 Estrategia de resolución Estrategia 1 Una manera de determinar la respuesta correcta consiste en efectuar la división de 14 505 por cada uno de los valores de n presentados en las opciones, hasta encontrar el que dé como residuo 25. En la opción A, se cumple que al dividir 14 505 ÷ 7 240 se obtiene cociente 2 y residuo 25, con lo que se concluye que esta opción es la respuesta correcta. Aunque ya se evidenció que la opción A es correcta, una simple inspección visual de la división ya efectuada y de los otros posibles divisores permite inferir que si se procede a efectuar las divisiones correspondientes en las opciones B, C y D se generarı́an los residuos 23, 21 y 15, respectivamente. De lo anterior, se concluye que las opciones B, C y D no son respuestas correctas. Estrategia 2 Al leer la situación planteada, se observa que hace refe- rencia a una división de números naturales. Como además se hace mención de las partes de esa operación, la estrategia pa- ra trabajar requiere que se establezcan relaciones entre las partes de la división y el algoritmo o procedimiento establecido para resolverla. En ese sentido, se debe considerar que al dividir el número 14 505 (dividendo) por un número natural n (divi- sor) se obtiene un cociente también natural (por el momento desconocido) y como residuo 25. 14 INTRODUCCIÓN A LA PHC14 INTRODUCCIÓN A LA PHC Entonces, como el algoritmo de la división garantiza que: Dividendo = divisor · cociente + residuo Se tendrı́a lo siguiente: 14 505 = n · cociente + 25 A partir del razonamiento anterior se puede despejar: 14 505 − 25 = n · cociente Esto permite deducir que el cociente, que también debe ser entero positivo, cumple lo que sigue: cociente = 14 480 n Por lo tanto, 14 480 debe ser divisible por n, pues el cocien- te es entero. Al analizar las opciones, la única que corresponde a un divisor exacto de 14 480 es 7 240. INTRODUCCIÓN A LA PHC 15INTRODUCCIÓN A LA PHC 15 2. ¿Cuál de los siguientes números es un divisor de 782 + 2 · 78 · 14 + 142? A) 15 B) 46 C) 64 D) 78 Clave La respuesta correcta es la opción B. Conocimientos previos requeridos Números naturales (propiedades y operaciones). Múltiplos. Descomposición prima. Divisibilidad. El conocimiento de la primera fórmula notable facilita la identificación de la respuesta correcta. 16 INTRODUCCIÓN A LA PHC16 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia de resolución Inicialmente, cuando se lee el ejercicio, se observa que el único que se da es la cantidad 782 + 2 · 78 · 14 + 142, y se pi- de identificar un divisor de la misma. Un camino que podrı́a utilizarse consiste en efectuar las operaciones planteadas para obtener el valor especı́fico de dicha expresión. Sin embargo, esto generarı́a un valor muy elevado y se requerirı́a un tra- bajo algo largo para poder identificar cuál de las opciones es un divisor de esa cantidad. Por lo tanto, la situación plantea- da requiere de un análisis más práctico que permita llegar a la solución. Una estrategia que podrı́a facilitar ese análisis consiste en emplear herramientas de factorización, para encontrar una ex- presión equivalente a la cantidad dada y que, a la vez, sea más fácil de analizar. Para eso, se puede utilizar el hecho de que la expresión 782 + 2 · 78 · 14 + 142 corresponde al desarrollo de una suma elevada al cuadrado, es decir, la fórmula notable (a+ b)2 = a2 +2ab+ b2. De lo anterior, se puede concluir que: 782 + 2 · 78 · 14 + 142 = (78 + 14)2 = (92)2 = (22 · 23)2 = 24 · 232 Ahora bien, un divisor exacto de esta cantidad debe tener los mismos factores primos 2 y 23, aunque con exponentes menores o iguales a 4 y 2, respectivamente. Al comparar las opciones, se tiene INTRODUCCIÓN A LA PHC 17INTRODUCCIÓN A LA PHC 17 Opción A: 15 = 3 · 5 no divide a 24 · 232 Opción B: 46 = 2 · 23 sı́ divide a 24 · 232 Opción C: 64 = 26 no divide a 24 · 232 Opción D: 78 = 2 · 3 · 13 no divide a 24 · 232 De ahı́ que la cantidad 782 + 2 · 78 · 14 + 142 se puede clasificar como un múltiplo de 46. Lo anterior es equivalente a decir que 46 se clasifica como un divisor de 782+2 ·78 ·14+142. De esta forma, la respuesta correcta es la opción B. 18 INTRODUCCIÓN A LA PHC18 INTRODUCCIÓN A LA PHC 3. Si n es un número natural impar mayor que 1, ¿por cuál de los siguientes valores es divisible, con certeza, la expresión 4n + 6n? A) 6 B) 7 C) 8 D) 11 Clave La respuesta correcta es la opción C. Conocimientos previos requeridos Números naturales (propiedades y operaciones). Parti- cularmente, las potencias y sus leyes son importantes para la resolución de este ı́tem. Divisibilidad. Múltiplos. Descomposición prima. El conocimiento de la técnica de factor común pa- ra factorizar es útil para una manipulación de las expresiones que se dan en este ı́tem. Sin embargo, el conocimiento de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma es suficiente pa- ra llegar a la respuesta correcta. INTRODUCCIÓN A LA PHC 19INTRODUCCIÓN A LA PHC 19 Estrategia de resolución Se comienza organizando los datos incluidos para visua- lizar mejor la situación descrita. De esta manera, se tiene lo siguiente: Como “n es un impar mayor que 1”, se cumple que n ∈ {3, 5, 7, 9, 11, ...} Se busca un valor que sea, con certeza, divisor de la expresión 4n + 6n Estrategia 1 Dada la información, es necesario expresar la cantidad proporcionada como un producto de factores para identificar los divisores conocidos. Por lo tanto, se replantea la expre- sión dada de manera conveniente, mediante la factorización de las bases de las potencias que aparecen en cada término. Luego, aplicando leyes de potencias es posible establecer lo que sigue: 4n + 6n = (22)n + (2 · 3)n = 22n + 2n · 3n = 2n (2n + 3n) , con n impar, n ≥ 3 Al comparar el primero y el último miembro de la igualdad, se tiene que: 4n + 6n = 2n (2n + 3n) De ahı́ se puede deducir que 4n + 6n es divisible por 2n, con n impar y n ≥ 3. Empero, observe que, a su vez, para todo n impar, n ≥ 3, se cumple que 2n es divisible por 23 = 8. 20 INTRODUCCIÓN A LA PHC20 INTRODUCCIÓN A LA PHC Lo anterior permite concluir que para los valores de n impares mayores o iguales que 3 se tiene que 4n + 6n es divisible por 2n. Como, simultáneamente, se cumple que 2n es divisible por 8, entonces también 4n+6n será divisible por 23 = 8. Ası́, se tiene la certeza de que 4n+6n se puede clasificar como un múltiplo de 23 = 8. Estrategia 2 Un método alternativo para llegar a la respuesta consis- te en construir casos particulares de la situación, asignando valores naturales a la variable n y tomando en cuenta que de- ben ser impares mayores que 1, es decir, n ≥ 3. Después, se clasifican los valores numéricos dependiendo de si son o no múltiplos de los valores en las opciones. El procedimiento anterior permite encontrar contraejemplos, es decir, un ejemplo particular que con- tradice la veracidad del principio que se está tratando de generalizar con certeza. Este proceso posibilita descartar opciones y ası́ llegar a identificar la respuesta correcta. Entonces, se podrı́an plantear los siguientes casos especı́ficos: Si n = 3, se tendrı́a 43+63 = 280, que no es divisible por 6 (lo que descarta la opción A), sı́ es divisible por 7 y 8, pero no es divisible por 11 (lo que descarta la opción D). Si n = 5, se tendrı́a 45 + 65 = 8800, que es divisible por 8 pero no es divisible por 7 (con lo que se descarta la opción B). Ası́, a partir de los ejemplos construidos, se concluye que la respuesta correcta corresponde a la opción C. El procedimiento anterior permite encontrar contraejem- plos, es decir, un ejemplo particular que contradice la vera- cidad del principio que se está tratando de generalizar con certeza. Este proceso posibilita descartar opciones y así llegar a identificar la respuesta correcta. Entonces, se podrían plantear los siguientes casos específicos: INTRODUCCIÓN A LA PHC 21INTRODUCCIÓN A LA PHC 21 4. Considere las siguientes cantidades: I. 0,2% de 100 II. 95% de 1 5 III. 22 20 Con base en lo anterior, ¿cuál de las siguientes afirma- ciones es, con certeza, verdadera? A) La cantidad I es igual que la cantidad II. B) La cantidad II es igual que la cantidad III. C) La cantidad I es menor que la cantidad II y III. D) La cantidad II es menor que la cantidad I y III. Clave La respuesta correcta es la opción D. Conocimientos previos requeridos Números racionales (propiedades y operaciones). En particular, para resolver este ı́tem es importante dominar el concepto de números racionales en distin- tas notaciones y que corresponden a porcentajes, la amplificación y simplificación de números expresados en notación fraccionaria, la multiplicación de números racionales y las relaciones de orden entre números ra- cionales dados en notación fraccionaria o decimal. 22 INTRODUCCIÓN A LA PHC22 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia de resolución Los datos consisten en tres cantidades (una en cada pro- posición), dos de ellas expresadas como porcentajes (I y II) y la otra como razón de dos cantidades (III). Por lo tanto, un plan adecuado para establecer si lo que indican las afirmaciones es correcto o no consiste en calcular el valor numérico correspon- diente a las relaciones indicadas en cada una de las cantidades dadas como referencia. I. El 0, 2% de 100 corresponde a la expresión 0, 2 100 · 100 = 0, 2. II. El 95% de 1 5 corresponde a la expresión 95 100 · 1 5 = 19 100 = 0, 19. III. 22 20 = 4 20 = 1 5 = 0, 2. Se procede a validar las afirmaciones expuestas en cada una de las opciones, mediante la comparación de las cantida- des obtenidas. Las opciones A, B y C se descartan de inme- diato porque las cantidades I y III son iguales entre sı́, pero diferentes con la cantidad II. También, se puede concluir la veracidad de la opción D, puesto que, en efecto 0, 19 < 0, 2. INTRODUCCIÓN A LA PHC 23INTRODUCCIÓN A LA PHC 23 5. Si m es un número entero que satisface la desigualdad −2 < m+5 < 2, ¿cuál es la cantidad de posibles valores de m? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 Clave La respuesta correcta es la opción B. Conocimientos previos requeridos Números enteros (propiedades y operaciones). Inecuaciones de primer grado. Valor numérico de una expresión algebraica. 24 INTRODUCCIÓN A LA PHC24 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia de resolución Para determinar la cantidad de todos los posibles valo- res para m, es necesario analizar la desigualdad dada y, a partir de las relaciones establecidas entre los valores propor- cionados, identificar un intervalo de pertenencia para m. Se tienen dos alternativas para realizar el análisis de dicha desigualdad: Estrategia 1 La primera opción para analizar la desigualdad corres- ponde a separarla en dos desigualdades simples y despejar el valor de m en cada una de ellas. De la primera parte de la desigualdad se tiene −2 < m+ 5︸ ︷︷ ︸ < 2 −2 < m+ 5 −2− 5 < m −7 < m De la segunda parte de la desigualdad se tiene −2 < m+ 5 < 2︸ ︷︷ ︸ m+ 5 < 2 m < 2− 5 m < −3 A partir de las dos anteriores, se obtiene que m debe estar entre −7 y −3, es decir, −7 < m < −3. Al considerar, además, que m es un número entero, las únicas posibilidades se reducen a −6,−5,−4, para un total de tres posibles valores. INTRODUCCIÓN A LA PHC 25INTRODUCCIÓN A LA PHC 25 Estrategia 2 Otra manera de trabajar este ejercicio consiste en darle posibles valores a m e ir verificando cuáles satisfacen la des- igualdad. Si se decide iniciar probando con números enteros positivos, después de analizar unos cuantos casos se observa que, al sustituir el valor de m por dichos valores, se generan desigualdades cuyo valor de verdad es falso. Esto seguirá su- cediendo indefinidamente, pues entre mayor sea el valor pa- ra m, también será mayor el valor de m + 5, ya que al ser una expresión lineal no llegarı́a a ser menor que 2. Lo mismo sucede si se asigna como valor de m el cero. Al probar con enteros negativos, si se asignan los valores de m en el orden −1,−2,−3,−4,−5,−6, ..., se observa que los primeros tres en- teros negativos (−1,−2,−3) generan desigualdades falsas, los siguientes tres (−4,−5,−6) desigualdades verdaderas y con los enteros negativos subsiguientes (−7,−8,−9, ...) se vuelven a obtener desigualdades falsas. Esto se aprecia en el Cuadro 1: 26 INTRODUCCIÓN A LA PHC 26 INTRODUCCIÓN A LA PHC Cuadro 1 Datos auxiliares para el ı́tem 5 Valor para m −2 < m+ 5 < 2 Condición de verdad 2 −2 < 7 < 2 Falso 1 −2 < 6 < 2 Falso 0 −2 < 5 < 2 Falso −1 −2 < 4 < 2 Falso −2 −2 < 3 < 2 Falso −3 −2 < 2 < 2 Falso −4 −2 < 1 < 2 Verdadero −5 −2 < 0 < 2 Verdadero −6 −2 < −1 < 2 Verdadero −7 −2 < −2 < 2 Falso Condición de verdad para la desigualdad con algunos valores enteros m. Luego de probar con, a lo sumo, ocho casos, se deduce que solo tres valores satisfacen la desigualdad planteada en el enunciado. Este razonamiento es correcto puesto que la expre- sión m+5 es lineal y creciente (conforme aumenta el valor de m también aumenta el valor de m+5). Entonces, para m > −4 se cumplirá m + 5 ≥ 2 y, de la misma forma, para m < −6 se tendrá que m + 5 ≤ −2. Por lo tanto, solo con los tres valores ya identificados se cumplirı́a que −2 < m+ 5 < 2. 26 INTRODUCCIÓN A LA PHC Cuadro 1 Datos auxiliares para el ı́tem 5 Valor para m −2 < m+ 5 < 2 Condición de verdad 2 −2 < 7 < 2 Falso 1 −2 < 6 < 2 Falso 0 −2 < 5 < 2 Falso −1 −2 < 4 < 2 Falso −2 −2 < 3 < 2 Falso −3 −2 < 2 < 2 Falso −4 −2 < 1 < 2 Verdadero −5 −2 < 0 < 2 Verdadero −6 −2 < −1 < 2 Verdadero −7 −2 < −2 < 2 Falso Condición de verdad para la desigualdad con algunos valores enteros m. Luego de probar con, a lo sumo, ocho casos, se deduce que solo tres valores satisfacen la desigualdad planteada en el enunciado. Este razonamiento es correcto puesto que la expre- sión m+5 es lineal y creciente (conforme aumenta el valor de m también aumenta el valor de m+5). Entonces, para m > −4 se cumplirá m + 5 ≥ 2 y, de la misma forma, para m < −6 se tendrá que m + 5 ≤ −2. Por lo tanto, solo con los tres valores ya identificados se cumplirı́a que −2 < m+ 5 < 2. INTRODUCCIÓN A LA PHC 27INTRODUCCIÓN A LA PHC 27 6. Si n es un número natural, tal que 211 ·73 ·51 = 210 ·n·73, ¿cuál de las siguientes relaciones se cumple con certeza? A) n < 5 B) n > 10 C) n3 < 64 D) n2 < 128 Clave La respuesta correcta es la opción D. Conocimientos previos requeridos Números naturales (propiedades y operaciones). En particular, el concepto de factores, leyes de potencias y de relaciones de orden con números naturales. Descomposición prima. Ecuaciones de primer grado. Este conocimiento se uti- liza si se emplea la segunda estrategia, que se propor- cionará en la sección siguiente. No obstante, el uso del proceso de despeje de una ecuación no es indispensable, pues basta establecer relaciones a partir de la igualdad entre dos expresiones factorizadas completamente. 28 INTRODUCCIÓN A LA PHC28 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia de resolución El único dato suministrado es una igualdad. Para definir caracterı́sticas correspondientes al valor de n se deberán to- mar en cuenta el concepto y las propiedades de una igualdad. Esto se puede hacer de distintas maneras. Estrategia 1 Al comparar los factores presentes en las cantidades equi- valentes que aparecen representadas a ambos lados de la igualdad y tomando en cuenta que la expresión de la izquier- da está completamente factorizada, se infiere que los factores primos de ambas cantidades son los mismos. De esta mane- ra, n corresponde al producto de los valores que completan la totalidad de factores primos que aparecen en la expresión a la izquierda de la igualdad. De esta manera, se debe cumplir que n = 2 · 5 = 10. Estrategia 2 Aunque se trata de un ı́tem de aritmética, también se podrı́a abordar mediante el uso de herramientas algebrai- cas conocidas, tal y como son las ecuaciones. La igualdad 211 · 73 · 51 = 210 · n · 73 se puede ver como una ecuación de primer grado con n como incógnita. Por lo tanto, se efectúa el despeje de n: 211 · 73 · 51 = 210 · n · 73 n = 211 · 73 · 51 210 · 73 n = 10 INTRODUCCIÓN A LA PHC 29INTRODUCCIÓN A LA PHC 29 Mediante cualquiera de las dos estrategias expuestas se llega a la conclusión de que n = 10. A partir de lo anterior, se procede a analizar la veracidad de cada una de las expre- siones que aparecen en las opciones para validar la respuesta correcta. Al analizar las proposiciones dadas en las opciones se tiene lo siguiente: Opción A: es falsa porque n = 10 > 5. Opción B: es falsa porque n = 10 y, por lo tanto, no se cumple que 10 > 10. Opción C: es falsa porque n3 = 1000 > 64. Opción D: es verdadera porque n2 = 100 < 128. 30 INTRODUCCIÓN A LA PHC30 INTRODUCCIÓN A LA PHC 7. Considere la siguiente secuencia numérica: u2 = ( 2+1 2 ) u3 = ( 2+1 2 ) ( 3+1 3 ) u4 = ( 2+1 2 ) ( 3+1 3 ) ( 4+1 4 ) ... un = ( 2+1 2 ) ( 3+1 3 ) ( 4+1 4 ) · · · ( n+1 n ) Con base en la secuencia anterior, ¿cuál es el valor de u100 ? A) 1100 B) 2100 C) 100 2 D) 101 2 Clave La respuesta correcta es la opción D. Conocimientos previos requeridos Números racionales (propiedades y operaciones). Simplificación. INTRODUCCIÓN A LA PHC 31INTRODUCCIÓN A LA PHC 31 Estrategia de resolución Para establecer una estrategia adecuada para resolver este ı́tem, se debe analizar con detalle la secuencia dada. Se requie- re determinar el valor de cada uno de los casos brindados en los datos y ası́ observar su comportamiento. Es preciso iden- tificar cuál es la forma general que tienen las soluciones de la secuencia para, posteriormente, calcular el valor especı́fico solicitado. Se calculan los valores de la siguiente forma: u2 = ( 2 + 1 2 ) = 3 2 u3 = ( 2 + 1 2 )( 3 + 1 3 ) = 3 2 · 4 3 = 4 2 u4 = ( 2 + 1 2 )( 3 + 1 3 )( 4 + 1 4 ) = 3 2 · 4 3 · 5 4 = 5 2 ... un = ( 2 + 1 2 )( 3 + 1 3 )( 4 + 1 4 ) · · · ( n+ 1 n ) = 3 2 · 4 3 · 5 4 · ... · n− 1 n− 2 · n n− 1 · n+ 1 n = n+ 1 2 A partir de los valores calculados, se observa que el re- sultado siempre es la mitad del sucesor de la posición de- finida por el subı́ndice n. En otras palabras, se identifica el patrón de la secuencia planteada. La generalización establecida se puede incluso representar mediante la siguiente fórmula: un = n+ 1 2 32 INTRODUCCIÓN A LA PHC32 INTRODUCCIÓN A LA PHC Por lo tanto, para calcular el valor solicitado se efectúa lo que sigue: u100 = 100 + 1 2 = 101 2 INTRODUCCIÓN A LA PHC 33INTRODUCCIÓN A LA PHC 33 8. Si x y y son números naturales pares consecutivos, ¿cuál de las siguientes caracterı́sticas corresponde, con certeza, al valor numérico de la expresión x+ y 2 ? A) Es un número par. B) Es un número impar. C) Es múltiplo de cuatro. D) Es un número primo. Clave La respuesta correcta es la opción B. Conocimientos previos requeridos Números naturales (propiedades y operaciones). Divisibilidad. Múltiplos. Números primos. Números compuestos. 34 INTRODUCCIÓN A LA PHC34 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia de resolución Al observar la situación planteada, se aprecia que el obje- tivo es clasificar el valor dado por la expresión x+ y 2 en alguna de las cuatro categorı́as definidas en las opciones, siendo x y y dos números naturales pares consecutivos. Estrategia 1 Una manera de llegar a la respuesta consiste en considerar el conjunto de los números naturales pares {2, 4, 6, 8,10, 12, 14, 16, 18, 20, ...}, para establecer el valor de la expresión x+ y 2 siendo x y y dos números pares conse- cutivos en ese conjunto y, ası́, tratar de identificar un patrón. En el Cuadro 2, se muestran varias parejas de números pares consecutivos (valores especı́ficos de x y y) ası́ como el valor de la expresión x+ y 2 . INTRODUCCIÓN A LA PHC 35 INTRODUCCIÓN A LA PHC 35 Cuadro 2 Datos auxiliares para el ı́tem 8 Valores asignados a x, y Valor correspondiente de x+y 2 2, 4 3 4, 6 5 6, 8 7 8, 10 9 10, 12 11 12, 14 13 14, 16 15 ... ... Valor de x+y 2 para x, y naturales, pares y consecutivos. Basta observar el patrón que surge para concluir que, bajo las condiciones dadas, x+ y 2 siempre se clasificará como un número impar. INTRODUCCIÓN A LA PHC 35 Cuadro 2 Datos auxiliares para el ı́tem 8 Valores asignados a x, y Valor correspondiente de x+y 2 2, 4 3 4, 6 5 6, 8 7 8, 10 9 10, 12 11 12, 14 13 14, 16 15 ... ... Valor de x+y 2 para x, y naturales, pares y consecutivos. Basta observar el patrón que surge para concluir que, bajo las condiciones dadas, x+ y 2 siempre se clasificará como un número impar. 36 INTRODUCCIÓN A LA PHC36 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia 2 Una vı́a alterna para trabajar en este ı́tem consiste en representar algebraicamente los dos números naturales pares consecutivos x y y de la siguiente manera: x = 2n, y = 2n+ 2 con n ∈ Z+. Ası́, la expresión dada corresponde a x+ y 2 = 2n+ 2n+ 2 2 = 4n+ 2 2 = 2(2n+ 1) 2 = 2n+ 1 Como la expresión 2n + 1 corresponde a un número impar con certeza, entonces, la expresión equivalente x+ y 2 , se clasifica como impar. Independientemente de cuál de las dos estrategias se utili- ce, observe que la cantidad resultante no siempre corresponde a un número primo, nunca corresponde a un número par y, por ende, nunca corresponde a un múltiplo de cuatro. Debido a lo anterior, se descartan las opciones A, C y D. INTRODUCCIÓN A LA PHC 37INTRODUCCIÓN A LA PHC 37 9. ¿Cuál es el valor de la suma de los dı́gitos del número (200)6 + (700)2? A) 8 B) 9 C) 23 D) 113 Clave La respuesta correcta es la opción C. Conocimientos previos requeridos Números naturales (propiedades y operaciones). En particular, es necesario comprender las propiedades de las potencias, incluyendo la multiplicación de números naturales por potencias cuya base es 10 (multiplicación abreviada). Descomposición prima. Factorización mediante el método de factor común. Este conocimiento se emplea si se utiliza la estrategia de ma- nipulación de las cantidades dadas, que se expondrá en la siguiente sección. 38 INTRODUCCIÓN A LA PHC38 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia de resolución Estrategia 1 Al revisar el enunciado de la pregunta planteada, se ob- serva que solo se cuenta con un único dato: una cantidad ex- presada como suma de potencias. Es preciso comprender que para obtener la suma de los dı́gitos de dicha cantidad, la for- ma como viene representada no permite llegar directamente a la respuesta, por lo que hay que efectuar algún tipo de trata- miento sobre la expresión, de manera que sea posible deducir cuál va a ser la suma de los dı́gitos de dicha cantidad. Esto se puede lograr al factorizar completamente cada una de las cantidades que se están sumando y aplicar las leyes de potencias. Después se establecen relaciones entre los factores obtenidos y las propiedades de las potencias con base 10, para tratar de identificar la suma de los dı́gitos solicitada. Se debe recordar que cuando en una multiplicación uno de los facto- res es 10n, con n ∈ N, se agregan n ceros al producto de los demás factores. Por lo tanto, se cumple lo siguiente: (200)6 = (2 · 102)6 = 26 · 1012 = 64 · 1012 = 64 000 000 000 000 (700)2 = (7 · 102)2 = 72 · 104 = 49 · 104 = 490 000 INTRODUCCIÓN A LA PHC 39INTRODUCCIÓN A LA PHC 39 La suma de ambas cantidades es 64 000 000 490 000, por lo que la suma de los dı́gitos es 23. Estrategia 2 Un razonamiento parecido serı́a mediante la factorización de la expresión inicial, de la siguiente forma: (200)6 + (700)2 = (2 · 102)6 + (7 · 102)2 = 26 · 1012 + 72 · 104 = (64 · 108 + 49)104 = (6 400 000 049) · 104 Dado que, en esa cantidad, multiplicar por 104 solamente agregarı́a más ceros al final, entonces, la suma de los dı́gitos será 6 + 4 + 4 + 9 = 23. 40 INTRODUCCIÓN A LA PHC40 INTRODUCCIÓN A LA PHC 10. Si p y m son números enteros positivos, tales que p÷2 es entero y m÷3 es par, ¿cuál de las siguientes opciones es, con certeza, verdadera? A) p ·m es múltiplo de 9. B) p ·m es múltiplo de 12. C) 3p m es entero. D) 2m 3p es par. Clave La respuesta correcta es la opción B. Conocimientos previos requeridos Números enteros (propiedades y operaciones). Divisibilidad. Múltiplos. INTRODUCCIÓN A LA PHC 41INTRODUCCIÓN A LA PHC 41 Estrategia de resolución Para resolver este ı́tem es necesario identificar algu- nas propiedades útiles de las variables presentes en el encabezado: p y m. A partir del dato de que p ÷ 2 es entero, se deduce que p es múltiplo de dos. Además, con base en el hecho de que m ÷ 3 es par, se puede inferir que m es múltiplo de seis. La justificación de estas conclusiones es p 2 es entero ⇒ p 2 = k, con k ∈ Z ⇒ p = 2k, con k ∈ Z ⇒ p es múltiplo de 2 m 3 es par ⇒ m 3 = 2h, con h ∈ Z ⇒ m = 3 · 2h, con h ∈ Z ⇒ m = 6h, con h ∈ Z ⇒ m es múltiplo de 6 Con la información anterior, se analizan las tres ex- presiones que son presentadas en las opciones, a saber, p ·m , 3p m , 2m 3p para proceder a clasificarlas según las cate- gorı́as indicadas en cada una de las opciones (múltiplo de 12, múltiplo de 9, entero o par). 42 INTRODUCCIÓN A LA PHC42 INTRODUCCIÓN A LA PHC La expresión de las opciones A y B, p ·m: esta cantidad es, con certeza, un entero múltiplo de 12, ya que p es un entero múltiplo de 2 y m es un entero múltiplo de 6. Se tiene que p ·m = 2k · 6h = 12kh, con k, h ∈ Z. Nótese que si k = h = 1, entonces, p·m = 12, que no es múltiplo de 9. Esto descarta la opción A. La expresión de la opción C, 3p m : esta cantidad es racio- nal con certeza, pero podrı́a ser entera o no. Por ejem- plo, si p = 4 y m = 24, entonces, 3p m = 1 2 que no corresponde a un número entero. Esto descarta la opción C. La expresión de la opción D, 2m 3p : esta cantidad es ra- cional con certeza, pero podrı́a ser un número entero o un número racional no entero. En este caso, si es un ra- cional no entero no se clasificarı́a como número par. Por ejemplo, si m = 12 y p = 16, entonces, 2m 3p = 1 2 . Esto descarta la opción D. Del análisis anterior, se puede inferir que la única opción verdadera, con certeza, es la B. INTRODUCCIÓN A LA PHC 43INTRODUCCIÓN A LA PHC 43 Geometrı́a 11. Considere el rectángulo PQRS y E un punto, tal que R−E−S. ¿Cuál es el porcentaje del área del rectángulo PQRS que es cubierto por el triángulo PQE? A) Menos del 25%. B) Más del 25%, pero menos del 50%. C) El 50%. D) Más del 50%. Clave La respuesta correcta es la opción C. Conocimientos previos requeridos Geometrı́a plana: triángulos. Geometrı́a plana: cuadriláteros. Operaciones fundamentales con expresiones algebraicas. 44 INTRODUCCIÓN A LA PHC44 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia de resolución Antes de determinar la estrategia de solución que deman- da este ı́tem, se debe organizar la información para trabajar de una mejor manera el problema. Para esto, se puede recurrir a un dibujo (Figura 1), como el que se presenta a continuación: P Q S E R Figura 1. Ilustración auxiliar para el ı́tem 11 Nótese que en el dibujo se coloca el punto E de forma estratégica para que no dé la impresión de que es el punto medio, ya que en los datos porporcionados solo se garantiza que es un punto entre R y S. La pregunta del enunciado demanda que se calcule el área del triángulo PQE en términos del área del rectángulo PQRS. El área del triángulo es PQ ·QR 2 = ARectángulo 2 Debido a lo anterior, la respuesta correcta es que el área del triángulo representa la mitad del área del rectángulo, lo cual equivale al 50%. INTRODUCCIÓN A LA PHC 45INTRODUCCIÓN A LA PHC 45 12. Considere el �EPR rectángulo en P y los puntos Q y S, tales que P −Q−R, P −S−E, PQ ∼= QR y PS ∼= SE. De acuerdo con la información anterior, ¿cuál de las siguientes afirmaciones se cumple con certeza? A) EP < 2QS B) QS < QR C) 2QS > RE D) 2EP > RE Clave La respuesta correcta es la opción A. Conocimientos previos requeridos Elementos básicos de geometrı́a. Desigualdades. Triángulos: semejanza, teorema de Pı́tágoras. Ecuación de segundo grado que se simplifica a una de primer grado. 46 INTRODUCCIÓN A LA PHC46 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia de resolución Previo a establecer una estrategia de solución, es nece- sario organizar los datos brindados para relacionarlos. Para ello, es recomendable realizar una representación gráfica de la figura y las condiciones dadas, como la de la Figura 2: Figura 2. Ilustración auxiliar para el ı́tem 12 A partir de dicha representación, se establecen relaciones entre los datos. Por ejemplo, en la Figura 2 se observa que se identificó la distancia de P a S y de S a E con la letra x, para representar que la distancia es la misma, ya que en los datos se afirma que tales segmentos son congruentes. De la misma forma, se señala la distancia de P a Q y de Q a R con la letra y, debido a que, de acuerdo con el enunciado, los segmentos son congruentes entre sı́. Por su parte, se señala la distancia de S a Q con la letra z. De esta manera, según la información brindada, se puede concluir que la distancia de E a R será igual a 2z. Esto último se puede justificar de diversas maneras, utilizando diferentes conocimientos vistos previamente en secundaria, tales como: 46 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia de resolución Previo a establecer una estrategia de solución, es nece- sario organizar los datos brindados para relacionarlos. Para ello, es recomendable realizar una representación gráfica de la figura y las condiciones dadas, como la de la Figura 2: Figura 2. Ilustración auxiliar para el ı́tem 12 A partir de dicha representación, se establecen relaciones entre los datos. Por ejemplo, en la Figura 2 se observa que se identificó la distancia de P a S y de S a E con la letra x, para representar que la distancia es la misma, ya que en los datos se afirma que tales segmentos son congruentes. De la misma forma, se señala la distancia de P a Q y de Q a R con la letra y, debido a que, de acuerdo con el enunciado, los segmentos son congruentes entre sı́. Por su parte, se señala la distancia de S a Q con la letra z. De esta manera, según la información brindada, se puede concluir que la distancia de E a R será igual a 2z. Esto último se puede justificar de diversas maneras, utilizando diferentes conocimientos vistos previamente en secundaria, tales como: INTRODUCCIÓN A LA PHC 47INTRODUCCIÓN A LA PHC 47 Semejanza de triángulos: se tiene que ∆EPR ∼ ∆SPQ por el criterio de semejanza de lado-ángulo-lado. Pues- to que la razón entre los catetos correspondientes en los triángulos semejantes es 1 : 2, se concluye que las hipotenusas están en esa misma razón y, por lo tanto, ER = 2 · SQ, es decir, ER = 2z. Teorema de Pitágoras: dicho teorema garantiza que en el ∆SPQ se cumple que SQ2 = SP 2 + PQ2 o, lo que es lo mismo, x2 + y2 = z2 . De esta manera, al aplicar el teorema en el ∆EPR se tiene que: ER2 = EP 2 + PR2 ⇒ ER2 = (2x)2 + (2y)2 ⇒ ER2 = 4x2 + 4y2 ⇒ ER2 = 4(x2 + y2) ⇒ ER2 = 4z2 ⇒ ER = 2z Una vez establecidas dichas relaciones, se procede a ana- lizar las diferentes alternativas de respuesta, para determinar la veracidad de la desigualdad dada en cada una de ellas. En ca- da caso, se analiza la posibilidad de determinar directamen- te si la desigualdad es verdadera o falsa o, de ser necesario, se procede a buscar contraejemplos para descartarlas, hasta determinar la única que siempre será verdadera. Ası́, se analizan las desigualdades propuestas: En la opción A, EP < 2QS: como 2x = EP y 2QS = 2z = ER se tendrı́a que la desigualdad dada equivale a EP < ER, lo cual es verdadero porque, en 48 INTRODUCCIÓN A LA PHC48 INTRODUCCIÓN A LA PHC cualquier triángulo rectángulo, siempre se cumple que un cateto es menor que la hipotenusa. En la opción B, QS < QR : como QR = PQ = y y z = QS, se tendrı́a que la desigualdad dada equivale a QS < PQ, lo cual es falso porque la hipotenusa de un triángulo no puede ser menor a un cateto. En la opción C, 2QS > RE : como se cumple que 2z = 2QS y 2z = ER, se tendrı́a que la desigualdad es falsa porque 2QS y ER equivalen a una misma cantidad. En la opción D, 2EP > RE: como se cumple que 2EP = 4x y RE = 2z, entonces se busca analizar si se cumple que 4x > 2z. Sin embargo, esto no siempre es verdadero, puesto que en ciertos triángulos rectángu- los podrı́a cumplirse, pero en otros no. Por ejemplo, si las medidas de los lados del ∆SPQ fueran x = 3, y = 4, z = 5 (que en efecto corresponden a las medi- das de los lados de un triángulo rectángulo), se tendrı́a que 4x = 4 · 3 = 12 > 10 = 2 · 5 = 2z. En este caso, sı́ se cumplirı́a que 2EP > RE. No obstante, si las medidas del ∆SPQ fueran los valores x = 5, y = 12, z = 13 (los cuales también corresponden a las medidas de los lados de un triángulo rectángulo), se tendrı́a que 4x = 4 · 5 = 20 < 26 = 2 · 13 = 2z. En este caso, se tendrı́a que 2EP < RE. Por lo tanto, la única afirmación que es siempre verdadera es la que aparece en la opción A. INTRODUCCIÓN A LA PHC 49INTRODUCCIÓN A LA PHC 49 13. Observe los cuatro primeros elementos de una secuencia de formas construidas con cuadrados cuyo lado mide 3 cm. Debajo de cada grupo de cuadrados se indica su posición en la secuencia. Figura 3. Ilustración con datos para el ı́tem 13 Si se continúa construyendo la secuencia con el mismo patrón, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el área total del grupo de cuadrados en la posición 15? A) 192 cm2 B) 405 cm2 C) 1224 cm2 D) 1620 cm2 Clave La respuesta correcta es la opción C. Conocimientos previos requeridos Cuadriláteros: propiedades. Área de un cuadrado. Expresiones algebraicas. 50 INTRODUCCIÓN A LA PHC50 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia de resolución Para establecer una estrategia de solución, se debe ana- lizar con detalle los datos y extraer toda la información po- sible de ellos. En este caso, la información viene dada por medio de imágenes formadas por pequeños cuadrados y que están identificadas como posición 1, posición 2, posición 3 y posición 4. Para determinar la cantidad de cuadrados que conforman cada forma y averiguar el área total de la misma, primero se debe realizar el cálculo con las que vienen dadas en el enun- ciado (de la posición uno a la cuatro) y, posteriormente, deter- minar un patrón de formación de la secuencia para obtener la cantidad de cuadrados que conformarı́an la forma en la posi- ción 15. Se observa que la cantidad de cuadrados en las formas se ajusta al patrón 3, 6, 10, 15, ... Inicialmente, para facilitar el análisis, se asocia cada imagen con el número de posición, por ejemplo n = 1 co- rresponde a la primera posición, n = 2 a la segunda y ası́ respectivamente para identificarlas. Además, se determi- na que cada cuadrado pequeño que conforma cada figura tie- ne un área de 9 cm2, debido a que su lado mide 3 cm. Hay diversas maneras de determinar el patrón general que permite expresar la formación de los elementos en la secuencia. Algunas de ellas son las siguientes: INTRODUCCIÓN A LA PHC 51INTRODUCCIÓN A LA PHC 51 1. De forma recursiva: esto se logra identificando como pri- mer término de la secuencia al acomodo que se apre- cia en la posición 1 (que está conformado por tres cua- drados pequeños) y, tomando como punto de partida ese primer término, se determina cada término en la secuencia usando como referencia el anterior. Se observa que la cantidad de cuadrados pequeños de cada forma respecto a la anterior aumenta ası́: de la posición 1 a la 2 se incrementa en tres cuadrados, de la posición 2 a la 3 en cuatro cuadrados, de la posición 3 a la 4 en cinco cua- drados y ası́ sucesivamente; es decir, si la cantidad de cuadrados de la forma anterior se representa con an−1, entonces la cantidad de cuadrados de la forma siguien- te an se obtendrı́a mediante an = an−1 + n+ 1 . Por lo tanto, para n = 15 se cumplirı́a que: a15 = a14 + 15 + 1 = a14 + 16 = a13 + 14 + 1 + 16 = a13 + 15 + 16 = a12 + 13 + 1 + 15 + 16 = a12 + 14 + 15 + 16 ... = a1 + 3 + 4 + 5 + · · ·+ 13 + 14 + 15 + 16 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · ·+ 13 + 14 + 15 + 16 = 136 52 INTRODUCCIÓN A LA PHC52 INTRODUCCIÓN A LA PHC 2. De forma algebraica: se determina la fórmula general que describe a todos los términos de la secuencia. Pa- ra ello se analizan los datos, se representa la posición del elemento de la secuencia como n y se analizan las relaciones entre el número de cuadrados pequeños que constituyen cada forma y el valor correspondiente de n. En ese caso, se observa que la forma 2 de la secuencia está constituida por 6 cuadritos y que seis es la mitad de 3 × 4; luego, la forma 3 de la secuencia está consti- tuida por 10 cuadritos y que diez es la mitad de 4 × 5 y el mismo comportamiento se da para la forma 4. Por lo tanto, se genera una fórmula que permite expresar el patrón de construcción de la secuencia, que se ajusta a las cuatro formas dadas e, incluso, puede comprobarse con la forma que seguirı́a en la posición 5 de la secuencia y, de esta manera, tener mayor seguridad con respecto al patrón encontrado. Se comprueba que la fórmula que determina la cantidad de cuadritos que conforman la fi- gura en la posición n es (n+ 1) (n+ 2) 2 . 3. De forma geométrica: se busca completar un rectángulo a partir de cada una de las figuras dadas. Se trata de reordenar los cuadritos de cada figura de manera que se evidencie que la misma corresponde a la mitad de un rectángulo. Para completar el rectángulo se reacomodan los cuadrados de la figura original y se agrega la mis- ma cantidad de cuadrados de manera que se obtenga un rectángulo cuya base corresponde a n + 1 y cuya altura es n+ 2. Por ejemplo, en la Figura 4 se aprecia el reacomodo para la forma en la posición 1. En general, se tiene que, al tomar como unidad de área cada cuadrado, INTRODUCCIÓN A LA PHC 53INTRODUCCIÓN A LA PHC 53 el área del rectángulo completo es (n+ 1) (n+ 2) unida- des cuadradas y, por ende, el área de la figura original corresponde a la mitad del área del rectángulo y se re- presenta mediante (n+ 1) (n+ 2) 2 unidades cuadradas. Figura 4. Ilustración auxiliar para el ı́tem 13 Una vez realizada la generalización, mediante cualquiera de las alternativas anteriores, se determina la cantidad de cua- drados (unidades cuadradas) que tendrı́a la figura 15 y que corresponderı́a a (15 + 1) (15 + 2) 2 = (16) (17) 2 = 136 Esa serı́a la cantidad de cuadrados en la figura 15. Pos- teriormente, se multiplica esta cantidad de cuadrados por 9 cm2, que corresponde al área de cada uno; lo cual equivale a 136 · 9 = 1224 Se obtiene ası́ que el área de la figura en la posición 15 es de 1224 cm2. INTRODUCCIÓN A LA PHC 53 el área del rectángulo completo es (n+ 1) (n+ 2) unida- des cuadradas y, por ende, el área de la figura original corresponde a la mitad del área del rectángulo y se re- presenta mediante (n+ 1) (n+ 2) 2 unidades cuadradas. Figura 4. Ilustración auxiliar para el ı́tem 13 Una vez realizada la generalización, mediante cualquiera de las alternativas anteriores, se determina la cantidad de cua- drados (unidades cuadradas) que tendrı́a la figura 15 y que corresponderı́a a (15 + 1) (15 + 2) 2 = (16) (17) 2 = 136 Esa serı́a la cantidad de cuadrados en la figura 15. Pos- teriormente, se multiplica esta cantidad de cuadrados por 9 cm2, que corresponde al área de cada uno; lo cual equivale a 136 · 9 = 1224 Se obtiene ası́ que el área de la figura en la posición 15 es de 1224 cm2. 54 INTRODUCCIÓN A LA PHC54 INTRODUCCIÓN A LA PHC 14. La longitud de cada uno de dos lados opuestos de un cuadrado se aumenta en x unidades y la longitud de cada uno de los otros dos lados opuestos se disminuye en x unidades, con lo cual se obtiene un rectángulo. De acuerdo con la información anterior, ¿cuál de las si- guientes opciones se cumple con certeza? A) El área del cuadrado es mayor que el área del rectángulo. B) El área del cuadrado es menor que el área del rectángulo. C) El perı́metro del rectángulo es mayor que el perı́metro del cuadrado. D) El perı́metro del rectángulo es menor que el perı́metro del cuadrado. Clave La respuesta correcta es la opción A. Conocimientos previos requeridos Geometrı́a plana: cuadriláteros. Operaciones fundamentales con expresiones algebraicas. INTRODUCCIÓN A LA PHC 55INTRODUCCIÓN A LA PHC 55 Estrategia de resolución Este ı́tem demanda analizar la veracidad de cuatro afir- maciones sobre medidas asociadas a un cuadrado y a un rectángulo. En cada afirmación, se deben calcular dos va- lores y, luego, se deben comparar entre sı́. Antes de ini- ciar el análisis de las opciones, se representa la información gráficamente (Figura 5). Se va a suponer que la medida del lado del cuadrado es l. l x x l − x Figura 5. Ilustración auxiliar para el ı́tem 14 En la opción A, se deben comparar las áreas. El área del cuadrado serı́a l2 y la del rectángulo corresponde a (l − x)(l + x) = l2 − x2. Esto implica que el área del cuadra- do es mayor que el área del rectángulo, ya que el área de este último es igual al área del cuadrado (l2), disminuida en x2 unidades cuadradas. Por tanto, esta opción es verdadera. Este análisis implica inmediatamente que la opción B es falsa. Con respecto a las opciones C y D relativas a los perı́me- tros de ambas figuras, se tiene que el perı́metro del cuadrado es 4l y el del rectángulo 2(l + x) + 2(l − x) = 4l, por consi- guiente, ambos perı́metros son iguales. Esto implica que las opciones C y D son falsas. INTRODUCCIÓN A LA PHC 55 Estrategia de resolución Este ı́tem demanda analizar la veracidad de cuatro afir- maciones sobre medidas asociadas a un cuadrado y a un rectángulo. En cada afirmación, se deben calcular dos va- lores y, luego, se deben comparar entre sı́. Antes de ini- ciar el análisis de las opciones, se representa la información gráficamente (Figura 5). Se va a suponer que la medida del lado del cuadrado es l. l x x l − x Figura 5. Ilustración auxiliar para el ı́tem 14 En la opción A, se deben comparar las áreas. El área del cuadrado serı́a l2 y la del rectángulo corresponde a (l − x)(l + x) = l2 − x2. Esto implica que el área del cuadra- do es mayor que el área del rectángulo, ya que el área de este último es igual al área del cuadrado (l2), disminuida en x2 unidades cuadradas. Por tanto, esta opción es verdadera. Este análisis implica inmediatamente que la opción B es falsa. Con respecto a las opciones C y D relativas a los perı́me- tros de ambas figuras, se tiene que el perı́metro del cuadrado es 4l y el del rectángulo 2(l + x) + 2(l − x) = 4l, por consi- guiente, ambos perı́metros son iguales. Esto implica que las opciones C y D son falsas. 56 INTRODUCCIÓN A LA PHC56 INTRODUCCIÓN A LA PHC 15. En la figura adjunta se muestra un cuadrado, cuyo la- do mide x cm. Los puntos M y P son los puntos medios de los lados respectivos. La región sombreada está delimitada por un triángulo determinado por los puntos M , P y un vértice del cuadrado, ubicado en la posición mostrada en la figura. P M Figura 6. Ilustración con datos para el ı́tem 15 ¿Cuál es el área de la región sombreada? A) 1 4 x2 cm2 B) 3 8 x2 cm2 C) 5 8 x2 cm2 D) 1 2 x2 cm2 Clave La respuesta correcta es la opción B. 56 INTRODUCCIÓN A LA PHC 15. En la figura adjunta se muestra un cuadrado, cuyo la- do mide x cm. Los puntos M y P son los puntos medios de los lados respectivos. La región sombreada está delimitada por un triángulo determinado por los puntos M , P y un vértice del cuadrado, ubicado en la posición mostrada en la figura. P M Figura 6. Ilustración con datos para el ı́tem 15 ¿Cuál es el área de la región sombreada? A) 1 4 x2 cm2 B) 3 8 x2 cm2 C) 5 8 x2 cm2 D) 1 2 x2 cm2 Clave La respuesta correcta es la opción B. INTRODUCCIÓN A LA PHC 57INTRODUCCIÓN A LA PHC 57 Conocimientos previos requeridos Geometrı́a plana: cuadriláteros y triángulos. Operaciones fundamentales con expresiones algebraicas. Estrategia de resolución Este ı́tem demanda encontrar una forma de calcular el área del triángulo indicado, ya que no se posee ninguna me- dida de este. Una forma accesible de calcular dicha área es determinar Acuadrado −Aregión no sombreada. El área del cuadrado es x2 y el área de la región no som- breada es la suma de tres áreas de triángulos rectángulos, los cuales se señalan en la Figura 7 como T1 , T2 y T3. T1 T2 T3 P M Figura 7. Ilustración auxiliar para el ı́tem 15 En el caso de T1, los catetos miden x y x 2 (M es el punto medio del lado de un cuadrado). En T2, ambos catetos miden x 2 . Para T3 los catetos miden x y x 2 . INTRODUCCIÓN A LA PHC 57 Conocimientos previos requeridos Geometrı́a plana: cuadriláteros y triángulos. Operaciones fundamentales con expresiones algebraicas. Estrategia de resolución Este ı́tem demanda encontrar una forma de calcular el área del triángulo indicado, ya que no se posee ninguna me- dida de este. Una forma accesible de calcular dicha área es determinar Acuadrado −Aregión no sombreada. El área del cuadrado es x2 y el área de la región no som- breada es la suma de tres áreas de triángulos rectángulos, los cuales se señalan en la Figura 7 como T1 , T2 y T3. T1 T2 T3 P M Figura 7. Ilustración auxiliar para el ı́tem 15 En el caso de T1, los catetos miden x y x 2 (M es el punto medio del lado de un cuadrado). En T2, ambos catetos miden x 2 . Para T3 los catetos miden x y x 2 . 58 INTRODUCCIÓN A LA PHC58 INTRODUCCIÓN A LA PHC De esta manera, como el área de un triángulo rectángulo es el producto de los catetos dividido por dos, las áreas de los triángulos son AT1 = x · x 2 2 = x2 4 AT2 = x 2 · x 2 2 = x2 8 AT3 = x · x 2 2 = x2 4 Entonces, el área de la región no sombreada corresponde a la suma x2 4 + x2 8 + x2 4 = 5x2 8 Luego, con base en la fórmula establecida inicialmente, el área del triángulo sombreado corresponde a x2 − 5x2 8 = 3x2 8 Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B. INTRODUCCIÓN A LA PHC 59INTRODUCCIÓN A LA PHC 59 16. En la figura adjunta todos los pares de segmentos que se intersecan son perpendiculares. Figura 8. Ilustración con datos para el ı́tem 16 De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es el área de la región sombreada? A) (x2 + 3x+ y) cm2 B) (x2 + 4x+ 2) cm2 C) (x2 + x+ 1 + y) cm2 D) (x2 + x+ xy + y) cm2 Clave La respuesta correcta es la opción A. INTRODUCCIÓN A LA PHC 59 16. En la figura adjunta todos los pares de segmentos que se intersecan son perpendiculares. Figura 8. Ilustración con datos para el ı́tem 16 De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es el área de la región sombreada? A) (x2 + 3x+ y) cm2 B) (x2 + 4x+ 2) cm2 C) (x2 + x+ 1 + y) cm2 D) (x2 + x+ xy + y) cm2 Clave La respuesta correcta es la opción A. 60 INTRODUCCIÓN A LA PHC60 INTRODUCCIÓN A LA PHC Conocimientos previos requeridos Geometrı́a plana: cuadriláteros. Operaciones fundamentales con expresiones algebraicas. Estrategia de resolución La solución de este problema demanda dos tareas funda- mentales de razonamiento. La primera es determinar cómo se encuentra el área solicitada, la cual se puede calcular como el área del rectángulo que abarca toda la figura (A1), menos la del rectángulo sin sombrear (A2). La segunda tarea es deter- minar las medidas de los segmentos de cada una de las figuras involucradas en el cálculo del área. En el rectángulo que abar- ca toda la figura, las medidas de los lados son x + y y x + 1; mientras que en el rectángulo sin sombrear son y − 2 y x. Después de esto, se procede a calcular el área solicitada, la cual es A1 −A2 = (x+ y)(x+ 1)− (y − 2)x = x2 + x+ xy + y − xy + 2x = x2 + 3x+ y Por lo tanto, la opción con la respuesta correcta es A. INTRODUCCIÓN A LA PHC 61INTRODUCCIÓN A LA PHC 61 17. Un rectángulo y un cuadrado poseen el mismo perı́me- tro. Los lados del rectángulo miden P cm y Q cm. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado? A) (P +Q) cm B) (2P + 2Q) cm C) ( P +Q 4 ) cm D) ( P +Q 2 ) cm Clave La respuesta correcta es la opción D. Conocimientos previos requeridos Geometrı́a plana: cuadriláteros. Operaciones fundamentales con expresiones algebraicas. 62 INTRODUCCIÓN A LA PHC62 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia de resolución Este ı́tem demanda crear una estrategia que permita cal- cular la medida de un lado (L) de un cuadrado del que se tie- ne un único elemento de información: su perı́metro es igual al perı́metro de otra figura. A partir de esto, se plantea la ecuación 4L = 2(P + Q), donde 4L corresponde al perı́me- tro del cuadrado con lado desconocido y 2(P +Q) representa el perı́metro del rectángulo. Finalmente, se procede a calcular el valor de L despejando la ecuación para dicha incógnita. Por lo tanto, L = 2(P +Q) 4 cm = (P +Q) 2 cm INTRODUCCIÓN A LA PHC 63INTRODUCCIÓN A LA PHC 63 18. Considere el segmento de recta ME y tres puntos P, Q, R, tales que, M − P − Q − R − E. Además, MR = PE+2 y RE = 7. ¿Cuál es la longitud de MP ? A) 2 B) 7 C) 8 D) 9 Clave La respuesta correcta es la opción D. Conocimientos previos requeridos Geometrı́a plana: elementos básicos de geometrı́a. Operaciones fundamentales con expresiones algebraicas. 64 INTRODUCCIÓN A LA PHC64 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia de resolución Antes de proceder a resolver el ejercicio, se representa la información en la Figura 9. La medida buscada se va a denominar x y el valor PE se va a denominar y. • • • • • M P Q R E y + 2 7 yx Figura 9. Ilustración auxiliar para el ı́tem 18 El ejercicio demanda que se construya un procedimiento que permita determinar el valor de x. Al observar la ubicación de las medidas brindadas, se puede concluir que las expresio- nes x + y y (y + 2) + 7 representan la medida de todo el segmento ME y, por tanto, se cumple la siguiente igualdad x+ y = (y + 2) + 7. La relación anterior permite despejar el valor de x en términos de y. No obstante, el valor de y se cancela, con lo cual se obtiene que el valor de x (que representa la longitud de MP ) es igual a 9. Por lo tanto, la respuesta correcta corresponde a la opción D. INTRODUCCIÓN A LA PHC 65INTRODUCCIÓN A LA PHC 65 19. Sea l la arista de un cubo y V el volumen de ese cu- bo. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es, con certeza, verdadera? A) Si l es racional, entonces V es irracional. B) Si l es irracional, entonces V es irracional. C) Si l es par, entonces V es impar. D) Si l es par, entonces V es par. Clave La respuesta correcta es la opción D. Conocimientos previos requeridos Cuerpos sólidos: prismas rectos. Números reales. 66 INTRODUCCIÓN A LA PHC66 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia de resolución En este ı́tem se requiere analizar la veracidad de cada una de las opciones presentadas. Para el análisis se debe te- ner presente que V = l3. En el caso de la opción A, se puede concluir que es falsa para todos los valores racionales de l, ya que si l es racional, su potencia cúbica también es racional (es decir, el volumen). Por ejemplo, para el valor racional l = 2, se tiene que el volumen es un número racional (V = 8). Para la opción B, se tiene que esta no se cumple para todos los casos posibles, por lo cual no es con certeza verdadera. Por ejemplo, para el caso l = 3 √ 2, que es irracional, se obtiene un volumen racional (V = 2). En el caso de las opciones C y D, se tiene que si l es par, entonces, l = 2k, con k un número natural. A partir de esto, se puede concluir que V = l3 = (2k)3 = 8k3. Por tanto, el volumen serı́a un múltiplo de 2, es decir, V serı́a un número par. Esto implica que la opción C es falsa y la D es verdadera. INTRODUCCIÓN A LA PHC 67INTRODUCCIÓN A LA PHC 67 20. Considere P (2, 3), Q(2, 3k) y R(2k, 3), puntos en el plano cartesiano, con k > 1. Con respecto a las distan- cias entre ellos, ¿cuál de las siguientes afirmaciones se cumple con certeza? A) PR = PQ B) PR > PQ C) PQ > PR D) PR = 2PQ Clave La respuesta correcta es la opción C. Conocimientos previos requeridos Geometrı́a analı́tica: distancia entre puntos. Operaciones fundamentales con expresiones algebraicas: operaciones con polinomios. 68 INTRODUCCIÓN A LA PHC68 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia de resolución Inicialmente, se debe notar que este ı́tem demanda una comparación entre distancias. La estrategia más directa para resolver este ı́tem es calcular las distancias involucradas: PR y PQ y, posteriormente, analizar las comparaciones indicadas. Nótese que PR es un segmento horizontal, pues tanto P como R tienen la misma coordenada y (en ambos casos es igual a 3). La distancia PR corresponde al valor absoluto de la resta de las coordenadas x y, por ello, PR = |2k − 2|. De forma similar, PQ es un segmento vertical, pues am- bos puntos comparten la misma coordenada x (para ambos es igual a 2). La distancia PQ, entonces, es igual al valor absoluto de la resta de las coordenadas y, es decir, PQ = |3k − 3|. Luego, como k > 1, los valores 2k−2 y 3k−3 son positivos. De esta forma, se tendrı́a que PR = 2k − 2 y PQ = 3k − 3. A partir de lo anterior, se puede concluir que: PQ = 3k − 3 = 2k + k − 2− 1 = 2k − 2 + k − 1 = PR+ (k − 1) Al establecerse que PQ = PR + (k − 1) y como además se sabe que k − 1 > 0 (pues k > 1), se puede garantizar que PQ > PR. Esto descarta las opciones A, B y D. Ası́, la solución de este ejercicio corresponde a la opción C. INTRODUCCIÓN A LA PHC 69INTRODUCCIÓN A LA PHC 69 Álgebra 21. Para vaciar un contenedor completamente lleno de agua se utiliza un recipiente con z litros de capacidad. Si en todas las extracciones se llena el recipiente comple- tamente, el contenedor quedarı́a vacı́o después de x extracciones. Si se hubiera seguido el mismo procedi- miento para vaciar el contenedor lleno, pero utilizando un recipiente con tres litros más de capacidad, ¿cuál es la expresión que representa la cantidad de extracciones necesarias para vaciar completamente el contenedor? A) xz − 3x B) x− 3x z C) x− 3 D) zx z + 3 Clave La respuesta correcta es la opción D. Conocimientos previos requeridos Expresiones algebraicas. Regla de tres: proporcionalidad inversa. Ecuaciones de primer grado. 70 INTRODUCCIÓN A LA PHC70 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia de resolución Estrategia 1 Inicialmente, la cantidad de agua total del contenedor es desconocida. Sin embargo, en el enunciado se indica que el contenedor está completamente lleno y que en cada extracción se llena completamente el recipiente a su capacidad máxima (z litros), por lo que, si se requirieron x extracciones para que el contenedor quedara completamente vacı́o, se infiere que la cantidad total de agua en el contenedor se puede representar mediante la expresión x · z. Posteriormente, se da un cambio hipotético sobre una de las condiciones iniciales de la situación descrita en el enuncia- do. Dicho cambio consiste en que se usa un nuevo recipiente con una capacidad de (z + 3) litros para extraer el agua. Co- mo se indica que, salvo ese cambio, se sigue el mismo pro- cedimiento para vaciar el contenedor lleno, se tendrı́a que la capacidad máxima del contenedor no cambia, pero al usar un recipiente diferente, la cantidad de extracciones necesarias sı́ cambiará. Si se representa como y la nueva cantidad de ex- tracciones iguales necesarias para vaciar el contenedor, la can- tidad total de agua en el mismo es equivalente a la cantidad de extracciones necesarias multiplicada por la capacidad del nuevo recipiente, es decir, y · (z + 3). Al tener dos expresiones que representan la capacidad to- tal del contenedor (que permanece igual en ambas situacio- nes), se puede representar la relación entre los datos mediante la siguiente igualdad: z · x = y · (z + 3) INTRODUCCIÓN A LA PHC 71INTRODUCCIÓN A LA PHC 71 Al despejar y en esa ecuación, se obtiene el valor buscado: z · x z + 3 = y Por lo tanto, la cantidad de extracciones necesarias para vaciar el contenedor con el nuevo recipiente es zx z + 3 . Estrategia 2 Otra forma de abordar la situación consiste en identificar, a partir de la lectura de los datos, que corresponde a una situación de proporcionalidad entre las cantidades involucra- das. Ası́, si y representa la nueva cantidad de extracciones ne- cesarias, se genera una relación de proporcionalidad inversa, dado que al aumentar la capacidad del recipiente se reduce proporcionalmente la nueva cantidad de extracciones. De es- ta manera, si con un recipiente de capacidad z se requieren x extracciones y con un recipiente de capacidad (z+3) se requie- ren y extracciones, la igualdad que relaciona estos cuatro datos, tomando en cuenta la naturaleza inversa de la proporción, es y x = z z + 3 Al despejar el valor solicitado en el enunciado se tiene que: y = z · x z + 3 De lo anterior, se concluye que para vaciar el contenedor con el nuevo recipiente de z + 3 litros se requieren zx z + 3 extracciones. La respuesta correcta es la opción D. 72 INTRODUCCIÓN A LA PHC72 INTRODUCCIÓN A LA PHC 22. En un rectángulo, el largo es el doble del ancho. ¿Cuál es la razón entre el ancho del rectángulo y su perı́metro? A) 1 2 B) 1 3 C) 1 4 D) 1 6 Clave La respuesta correcta es la opción D. Conocimientos previos requeridos Cuadriláteros: propiedades, perı́metro. Expresiones algebraicas. INTRODUCCIÓN A LA PHC 73INTRODUCCIÓN A LA PHC 73 Estrategia de resolución Estrategia 1 En este ı́tem se solicita realizar una comparación o rela- ción entre dos datos, particularmente la razón entre el ancho y el perı́metro de un determinado rectángulo, del cual se men- cionan previamente algunas caracterı́sticas. Para ello, primero debe representarse la información pro- porcionada de forma que las caracterı́sticas brindadas puedan manipularse de una manera sencilla. En este caso, conviene nombrar con una variable al ancho del rectángulo, puesto que es una de las cantidades que se deben comparar al final, de la siguiente manera: Ancho = x Como se indica en el enunciado que el largo es el doble del ancho, se representa ası́: Largo = 2x Al utilizar estas medidas, se calcula el perı́metro: P = 2x+ 2x+ x+ x = 6x Una vez que se tienen representados todos los datos in- volucrados en el problema, finalmente se relacionan los valores anteriores para establecer la razón solicitada entre el ancho y el perı́metro del rectángulo: x 6x y simplificando se obtiene la razón 1 6 Por consiguiente, la razón entre el ancho y el perı́metro es de un sexto. 74 INTRODUCCIÓN A LA PHC74 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia 2 Otra forma de abordar la situación planteada consiste en el uso de casos particulares del rectángulo, es decir, utilizan- do valores que cumplan las condiciones dadas, lo que implica que deben ser medidas de un rectángulo en el cual el largo sea el doble del ancho. Esto es válido debido a que el ı́tem so- licita una ley que se cumpla en todos los casos, por tanto, si se encuentra la razón solicitada para un caso, este valor apli- cará para el resto. Por ejemplo, supongamos que las medidas del rectángulo son las siguientes: Ancho = 2 Largo = 4 Entonces, el perı́metro es igual a 12. Ası́, la razón solicita- da entre el ancho y el perı́metro es 2 12 y simplificando se obtiene la razón 1 6 En este caso, se está efectuando un proceso de ejempli- ficación, pues se está utilizando un caso particular de los rectángulos cuyo largo mide el doble del ancho con el obje- tivo de establecer cuál es la razón solicitada. INTRODUCCIÓN A LA PHC 75INTRODUCCIÓN A LA PHC 75 23. Sean m, x, y números reales para los cuales se cumple que y = mx − m2 − x. Si x = m + 1, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el valor de y ? A) y = 1 B) y = m C) y = −1 D) y = 2m+ 1 Clave La respuesta correcta es la opción C. Conocimientos previos requeridos Ecuaciones de primer y segundo grado. Operaciones básicas con expresiones algebraicas. 76 INTRODUCCIÓN A LA PHC76 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia de resolución En los datos se proporcionan dos expresiones algebraicas que describen dos relaciones entre un conjunto de cantidades. En la primera, se establece la relación entre y,m, x, mientras que en la segunda se establece la relación entre x y m. Como en la pregunta se solicita determinar una expresión que repre- sente el valor de y, una estrategia de solución serı́a relacionar las expresiones brindadas para establecer una igualdad que permita hallar el valor de y. Para ello, a partir de las expresiones y = mx−m2 − x y x = m+ 1, se puede establecer una relación, para generar una conclusión sobre el valor de y. A partir de la primera expresión, y sustituyendo en esta x por m+1 (ya que es la relación dada en la segunda expresión), se puede efectuar el siguiente despeje: y = mx−m2 − x y = m(m+ 1)−m2 − (m+ 1) y = m2 +m−m2 −m− 1 y = m2 −m2 +m−m− 1 y = −1 Se obtiene como conclusión que el valor de y es igual a −1, lo cual corresponde a la opción C. INTRODUCCIÓN A LA PHC 77INTRODUCCIÓN A LA PHC 77 24. Considere la igualdad 1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n+ 1) 2 , donde n es un número entero positivo. Si se tiene que k(x+1)+ k(x+2)+ k(x+3)+ · · ·+ k(x+20) = 310k, donde k es un número real distinto de cero, ¿cuál es el valor de x ? A) 5 B) 5 k C) 1 5 D) 5k Clave La respuesta correcta es la opción A. Conocimientos previos requeridos Simplificación de expresiones algebraicas. Factorización de expresiones algebraicas. Ecuaciones de primer grado. 78 INTRODUCCIÓN A LA PHC78 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia de resolución En este ı́tem, se presenta una generalización para la suma de los primeros n números naturales. Posteriormente, se pro- porciona una ecuación, en la cual x corresponde a la incógnita de la misma, mientras que k corresponde a una constante real distinta de cero. Se requiere averiguar el valor de x, es decir, resolver la ecuación. Para iniciar se simplifica la segunda expresión, mediante la técnica de factor común, las propiedades de las igualdades y la reducción de términos semejantes. Luego, cuando se ne- cesita efectuar la suma de los primeros 20 números naturales, se aplica la primera igualdad dada en el enunciado (tomando n = 20), lo cual facilita la simplificación y despeje de x, tal y como se muestra a continuación: k(x+ 1) + k(x+ 2) + k(x+ 3) + · · ·+ k(x+ 20) = 310k k [(x+ 1) + (x+ 2) + (x+ 3) + ...+ (x+ 20)] = 310k k [x+ 1 + x+ 2 + x+ 3 + ...+ x+ 20] = 310k x+ 1 + x+ 2 + x+ 3 + ..+ x+ 20 = 310 20x+ (1 + 2 + 3 + ...+ 20) = 310 20x+ 20 (20 + 1) 2 = 310 20x+ 210 = 310 20x = 100 x = 5 Con lo anterior se demuestra que la opción A es correcta. INTRODUCCIÓN A LA PHC 79INTRODUCCIÓN A LA PHC 79 25. Sean x,w, z números reales. Si x+w = z, y w está entre (z − 2) y (z + 1), ¿entre cuáles valores está x ? A) −2 y −1. B) −2 y 1. C) −1 y 2. D) 1 y 2. Clave La respuesta correcta es la opción C. Conocimientos previos requeridos Inecuaciones de primer grado. Expresiones algebraicas. 80 INTRODUCCIÓN A LA PHC80 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia de resolución En los datos del ı́tem se dan dos relaciones entre los va- lores implicados en el ejercicio. La primera relación corres- ponde a una ecuación lineal que involucra las tres cantidades (incógnitas). La segunda relación proporcionada corresponde al intervalo en el que se encuentra el valor de w. Los extremos de dicho intervalo están expresados en términos de z. Para determinar entre qué valores se encuentra el valor de x, se deben establecer relaciones entre los datos brindados para identificar los extremos del intervalo y representarlos en su forma más simplificada. Una posible estrategia de solución es considerar el intervalo al que pertenece w. Puesto que w está entre (z − 2) y (z + 1), entonces: z − 2 < w < z + 1 A partir de la igualdad x+w = z, brindada en el enuncia- do, se despeja w = z − x y se puede sustituir w por z − x en los extremos de la desigualdad anterior, para determinar, me- diante propiedades de las desigualdades y otras manipulacio- nes algebraicas, el intervalo al que pertenece x, de la siguiente manera: z − 2 < w < z + 1 ⇔ z − 2 < z − x < z + 1 ⇔ −z + z − 2 < −z + z − x < −z + z + 1 ⇔ − 2 < − x < 1 ⇔ 2 > x > −1 INTRODUCCIÓN A LA PHC 81INTRODUCCIÓN A LA PHC 81 Esto es equivalente a −1 < x < 2. De esta forma, a partir de la relación establecida entre los datos, se concluye que x está entre −1 y 2, lo que corresponde a la opción C. 82 INTRODUCCIÓN A LA PHC82 INTRODUCCIÓN A LA PHC 26. Sea x un número real, tal que (x− 7) 20 < 1 200 . Analice las siguientes proposiciones: I. El valor de x puede ser 7. II. El valor de x puede ser negativo. De las proposiciones anteriores, ¿cuál(es) es(son) verdadera(s)? A) Solo la I. B) Solo la II. C) Ambas. D) Ninguna. Clave La respuesta correcta es la opción A. Conocimientos previos requeridos Expresiones algebraicas. Números reales: propiedades y operaciones. Valor numérico de una expresión algebraica. INTRODUCCIÓN A LA PHC 83INTRODUCCIÓN A LA PHC 83 Estrategia de resolución En el ı́tem, se requiere verificar el valor de verdad de dos afirmaciones, utilizando para ello la desigualdad dada inicialmente. Para la primera proposición basta sustituir el valor indicado (x = 7) en la desigualdad que satisface x y evaluar si esta se cumple. A continuación, se realiza dicho procedimiento: (x− 7) 20 < 1 200 (7− 7) 20 < 1 200 (0) 20 < 1 200 0 < 1 200 Como lo anterior es verdadero, se comprueba que el valor de x puede ser 7, con lo que obtenemos que la proposición I es verdadera. Para la segunda proposición, hay que notar que si x es negativo, entonces, (x − 7)20 > 720. Lo anterior se justifica debido a que un negativo x menos 7 es un valor, también ne- gativo, menor que −7; es decir, x − 7 < −7 (por ejemplo, si x = −3 se cumple que x − 7 = −10 < −7). Luego, al cal- cular una potencia con exponente par de dos números nega- tivos distintos, la potencia cuya base menor es una cantidad mayor que la potencia cuya base es mayor. De esta forma, se tiene que (x − 7)20 > (−7)20 = 720 (por ejemplo, −5 < −3 y (−5)2 = 25 > (−3)2 = 9). 84 INTRODUCCIÓN A LA PHC84 INTRODUCCIÓN A LA PHC A partir lo anterior, se concluye que para cualquier número negativo x se cumple lo siguiente: (x− 7)20 > (−7)20 = 720 > 1 200 De esta manera, la proposición (x− 7) 20 < 1 200 es falsa y solo la proposición I es verdadera, lo que corresponde a la opción A. INTRODUCCIÓN A LA PHC 85INTRODUCCIÓN A LA PHC 85 27. Para x, y, z ∈ {0, 1, 2} se define la expresión (xyz)3 como x · 32 + y · 3 + z. Si (k2m)3 equivale al número 15, ¿cuál es el valor de k +m? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 Clave La respuesta correcta es la opción B. Conocimientos previos requeridos Expresiones algebraicas. Valor de una expresión algebraica. Ecuaciones lineales. 86 INTRODUCCIÓN A LA PHC86 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia de resolución En los datos del ı́tem, se brinda una expresión algebraica que denota una definición particular para un conjunto de tres números que solo pueden ser 0, 1 y 2. A partir de esa defini- ción se debe calcular el valor de k +m sabiendo, además, que la expresión algebraica desarrollada para los valores k, 2, m en el orden dado es equivalente a 15. Para calcular el valor de k + m es necesario establecer re- laciones entre las expresiones k, 2, m, de acuerdo con la in- formación general brindada en el enunciado. De esta manera, según la definición inicial dada para (xyz)3, se puede obtener una nueva expresión para (k2m)3 la cual, además, es igual a 15. Si se plantea esta igualdad se tiene que k · 32 + 2 · 3 +m = 15 ⇒ k · 32 + 6 +m = 15 ⇒ k · 32 +m = 9 ⇒ 9k +m = 9 A partir de la última igualdad, se debe determinar cuál de los posibles valores de k+m, dados en las opciones, satis- face esta condición. Sin embargo, para identificar el valor de k + m, primero se requiere determinar los valores de k y m que satisfacen la igualdad obtenida. Una manera para hacer eso consiste en sustituir en la expresión 9k + m los posibles valores que pueden tomar k y m, para verificar cuáles de ellos cumplen que 9k +m = 9. INTRODUCCIÓN A LA PHC 87 INTRODUCCIÓN A LA PHC 87 En el Cuadro 3, se han asignado los valores 0, 1, 2 tanto a la incógnita m como a la incógnita k y en las demás casillas se consigna el valor correspondiente de 9k +m. Cuadro 3 Datos auxiliares para el ı́tem 27 �������� m k 0 1 2 0 0 9 18 1 1 10 19 2 2 11 20 Valor de 9k +m para m, k ∈ {1, 2, 3}. Por lo tanto, se evidencia que necesariamente k debe ser igual a 1 y m debe ser igual a 0, con lo cual, k+m es igual a 1. En conclusión, la opción B es la respuesta correcta. INTRODUCCIÓN A LA PHC 87 En el Cuadro 3, se han asignado los valores 0, 1, 2 tanto a la incógnita m como a la incógnita k y en las demás casillas se consigna el valor correspondiente de 9k +m. Cuadro 3 Datos auxiliares para el ı́tem 27 �������� m k 0 1 2 0 0 9 18 1 1 10 19 2 2 11 20 Valor de 9k +m para m, k ∈ {1, 2, 3}. Por lo tanto, se evidencia que necesariamente k debe ser igual a 1 y m debe ser igual a 0, con lo cual, k+m es igual a 1. En conclusión, la opción B es la respuesta correcta. 88 INTRODUCCIÓN A LA PHC88 INTRODUCCIÓN A LA PHC 28. Sean x, y, z números reales positivos distintos, tales que y2 > z > x2. Considere las siguientes proposiciones: I. z − y < 0 II. x− y < 0 De las proposiciones anteriores, ¿cuál(es) es(son), con certeza, verdadera(s)? A) Solo la I. B) Solo la II. C) Ambas. D) Ninguna. Clave La respuesta correcta es la opción B. Conocimientos previos requeridos Números reales: relaciones de orden. Inecuaciones de primer grado. INTRODUCCIÓN A LA PHC 89INTRODUCCIÓN A LA PHC 89 Estrategia de resolución Para dar respuesta a este ı́tem, se debe determinar los va- lores de verdad de las afirmaciones I y II. Para esto se anali- za cada una de ellas utilizando la relación dada inicialmente entre las tres variables implicadas en el problema. Proposición I: z − y < 0 Observe que esta primera proposición es equivalen- te a z < y o, lo que es lo mismo, y > z. Para analizar si lo anterior se cumple o no, inicialmente se extrae de la expresión y2 > z > x2 (proporcionada en el enunciado) la única desigualdad simple en la que se establece una relación entre las variables y y z: y2 > z . Es preciso determinar si a partir de esa relación es posible comprobar que y > z se cumple con certeza. Sin embargo, y2 > z no garantiza que y > z, pues hay valores reales positivos distintos para los que no se cum- ple. Por ejemplo, si y = 2 y z = 3, nótese que se cumple que y2 > z, ya que 22 = 4 > 3, pero no se cumple y > z, pues, por el contrario, y < z (2 < 3). Esto sig- nifica que la proposición I no se cumple para todos los valores reales positivos distintos de y y z. En otras pa- labras, no es posible afirmar que la primera proposición sea verdadera con certeza. Proposición II: x− y < 0 Por transitividad de las relaciones de orden, se pue- de garantizar que si y2 > z y simultáneamente z > x2 (tal como se deduce de la desigualdad proporcionada en el enunciado), entonces, y2 > x2, o lo que es lo 90 INTRODUCCIÓN A LA PHC90 INTRODUCCIÓN A LA PHC mismo,x2 < y2, de la cual si es posible deducir que x < y (pues ambas cantidades corresponden a núme- ros reales positivos). Por lo tanto, como sı́ es posible ga- rantizar que x < y, entonces la proposición equivalente x− y < 0 sı́ se cumple con certeza. Se concluye que solo se puede garantizar que la proposición II es verdadera con certeza. Se concluye que solo se puede garantizar que la proposi- ción II es verdadera con certeza. INTRODUCCIÓN A LA PHC 91INTRODUCCIÓN A LA PHC 91 29. Sean x, y, z números reales no nulos y sean P = x−2y z−3 , Q = x2y−2 z Si PQ > 0 , ¿cuál de las siguientes relaciones de orden es, con certeza, verdadera? A) y < 0 B) z < 0 C) y > 0 D) z > 0 Clave La respuesta correcta es la opción C. Conocimientos previos requeridos Definición de potencia. Leyes de potencias. Números reales: relaciones de orden. Simplificación de expresiones algebraicas. Factorización de expresiones algebraicas. Operaciones con polinomios. 92 INTRODUCCIÓN A LA PHC92 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia de resolución En este ı́tem, se brindan dos valores expresados en térmi- nos de tres variables relacionadas por medio de operaciones aritméticas. Además, se sabe que el producto de los dos valo- res dados es siempre positivo (PQ > 0). A partir de esos datos se debe determinar el valor de verdad de las relaciones de or- den dadas en las opciones de respuesta. Para ello, es preciso relacionar las dos expresiones dadas y simplificar la expresión resultante para obtener algunas relaciones entre las variables implicadas que permitan conocer el valor de verdad de las opciones de respuesta. PQ = x−2y · x2y−2 z−3z = z3yx2 x2zy2 = z3y zy2 = z2 y Por lo tanto, se cumplen simultáneamente las siguientes condiciones: PQ = z2 y > 0. El numerador es positivo con certeza (z2 > 0). De lo anterior, se puede inferir que el denominador de la expresión es positivo, es decir, que y > 0. Se puede concluir, por un lado, que la opción C es verdadera y que la opción A es falsa. Por otro lado, el valor de z puede ser negativo o po- sitivo, debido a que solo se ocupa que z2 sea positivo, lo cual ocurre con cualquier valor no nulo de esta variable (esto per- mite descartar las opciones B y D). Por esto, la opción correcta es la C. INTRODUCCIÓN A LA PHC 93INTRODUCCIÓN A LA PHC 93 30. Sea x un número real y sea z = x(x + 1)(x − 1). Si x ∈ [0, 1[ , ¿cuál de las siguientes condiciones se cumple para z? A) Es estrictamente positivo. B) Es positivo en algunos casos y cero en otros. C) Es estrictamente negativo. D) Es negativo en algunos casos y cero en otros. Clave La respuesta correcta es la opción D. Conocimientos previos requeridos Números reales: propiedades y operaciones. Inecuaciones lineales. 94 INTRODUCCIÓN A LA PHC94 INTRODUCCIÓN A LA PHC Estrategia de resolución Este ı́tem requiere determinar el signo de la variable z a partir de la expresión algebraica inicial y del intervalo en el cual se encuentra la variable x. Este intervalo se puede deter- minar por medio del estudio de los valores que puede tomar dicha variable. Para ello, se deben estudiar los intervalos de pertenencia de los factores que componen a la variable. De acuerdo con lo que se menciona en el enunciado, el factor x pertenece al intervalo [0, 1[ y , por lo tanto, el valor de x puede ser positivo o cero. A partir de lo anterior, se puede concluir que el factor (x − 1) pertenence al intervalo [−1, 0[ y el factor (x + 1) pertenece al intervalo [1, 2[, es decir, el primero siempre es negativo y el segundo siempre es positivo. Luego, el producto x (x+ 1) (x− 1) tiene dos factores po- sitivos (uno de ellos que se vuelve cero para un valor) y un factor que es negativo. Ası́, el producto de los tres factores es negativo en los casos que el factor x no es cero, mientras que ese producto es igual a cero cuando el factor x es igual a cero. Debido a lo anterior, se puede afirmar que z es negativo en algunos casos y, en otros, cero. De ahı́ que la respuesta correcta corresponda a la opción D. INTRODUCCIÓN A LA PHC 95INTRODUCCIÓN A LA PHC 95 Análisis de datos 31. En el siguiente gráfico, se muestra la distribución de la forma principal de traslado al trabajo reportada por 200 personas. ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ..... .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ....... ....... . ....... ....... . ....... ....... . ....... ....... . ....... ....... . Vehı́culo particular Bus Taxi Otros Porcentaje 0 10 20 30 40 50 Figura 10. Gráfico con datos para el ı́tem 31. De acuerdo con la información dada, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es, con certeza, verdadera? A) Solo 40 personas viajan en bus o taxi. B) Más de 100 personas viajan en un medio de transporte que no es un vehı́culo particular. C) La diferencia entre la cantidad de las personas que viajan en bus y la cantidad de personas que viajan en vehı́culo particular es 20. D) La diferencia entre la cantidad de personas que viajan en taxi y la cantidad de personas que viajan en vehı́culo particular es 80. 96 INTRODUCCIÓN A LA PHC96 INTRODUCCIÓN A LA PHC Clave La respuesta correcta es la opción D. Conocimientos previos requeridos Variables cuantitativas y cualitativas. Análisis de gráficos estadı́sticos: barras, circulares, lineales y de puntos. Frecuencias relativas y absolutas de datos. Estrategia de resolución La situación planteada requiere del análisis de los datos que son presentados en un gráfico de barras horizontales. Es importante observar que los valores indicados son porcentajes (frecuencias relativas) de un total de 200 personas (el cual tam- bién es un dato proporcionado en el enunciado) que reportan su medio de transporte al trabajo. Para analizar la información, se debe considerar que las cantidades que aparecen en las altern