Revista de Matema´tica: Teor´ıa y Aplicaciones 2002 9(2) : 7–14
cimpa – ucr – ccss issn: 1409-2433
lemniscatas 3d *
Rafael Ortega** Marco Paluszny***
Recibido: 1 Nov 2001
Resumen
Una lemniscata 3D es una superficie que consiste en los puntos cuyo producto de
distancias a un conjunto (finito) de puntos fijos o´ focos es constante. En este trabajo se
introducen las lemniscatas 3D en el contexto de la modelacio´n geome´trica, se explora
en particular, el caso de tres focos, especialmente en lo relativo a la deformacio´n
controlada.
Palabras clave: lemniscata, modelacio´n impl´ıcita, superficie cerrada, superficie alge-
braica, deformacio´n interactiva.
Abstract
A 3D lemniscate is a surface consisting of all points whose product of distances to
a (finite) set of points or foci is constant. We introduce 3D lemniscates in the context
of geometric modelling and consider its deformation, paying attention to disconnect-
edness issues. We deal mainly with lemniscates of three foci.
Keywords: lemniscate, implicit modelling, closed surface, algebraic surface, interactive
deformation.
Mathematics Subject Classification: 68U05, 65D17, 65D18
1. Introduccio´n
El problema de modelaje de objetos tridimensionales, tanto por medio del ajuste a con-
juntos de datos prefijados, como tambie´n a trave´s de te´cnicas de “mano alzada”deformando
interactivamente la superficie, se puede abordar esencialmente con dos te´cnicas; parches
parame´tricos y por medio de superficies impl´ıcitas. En este trabajo tratamos el problema
de modelar superficies cerradas.
*Los autores agradecen el apoyo del Conicit (proyecto G97-000651) a la presente investigacio´n.
**Departamento de Matema´ticas. Facultad Experimental de Ciencias y Tecnolog´ıa. Universidad de
Carabobo. Valencia, Venezuela. E-mail:jortega@thor.uc.edu.ve
***Laboratorio de Computacio´n Gra´fica y Geometr´ıa Aplicada. Facultad de Ciencias. Universidad Central
de Venezuela. Caracas, Venezuela. E-mail:marco@ciens.ucv.ve
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8 r. ortega – m. paluszny
La modelacio´n de una superficie cerrada por medio de parches parame´tricos obliga a
hacer un seguimiento de las condiciones de conexio´n continua (y usualmente tambie´n de
la continuidad de los planos tangentes) entre parches adyacentes.
Lo que proponemos es una te´cnica de modelacio´n impl´ıcita con superficies de grado 4, 6
y 8, definidas por varios puntos (estos puntos se denominan focos) y consideramos familias
de superficies definidas por 2, 3 o´ 4 focos. Estas superficies, introducidas por Erdo¨s [2], las
denominaremos lemniscatas tridimensionales, pues generalizan las lemniscatas cla´sicas en
el plano. Las lemniscatas tridimensionales dependen en forma natural de para´metros con
significado geome´trico, lo que facilita el control interactivo de la componente con la que
se modela. (En general una lemniscata 3D es una superficie que tiene varias componentes
conexas).
La modelacio´n con la familia completa de superficies ı´mplicitas de un grado fijo n
depende de 2
(n+2
3
)
para´metros (por ejemplo para grado 4 la superficie depende de 40
para´metros, para grado 6 de 112 para´metros, etc), esto hace que el problema, en gene-
ral, sea inmanejable. Las lemniscatas tridimensionales que proponemos de grados 4 y 6,
dependen solamente de 7 y 13 para´metros, respectivamente.
2. Lemniscatas
Dados n puntos x1,x2, . . . ,xn ∈ R3 el conjunto de puntos x = (x, y, z) tales que
el producto de las distancias ‖x − xi‖ es un valor fijo, se denomina lemniscata 3D. En
coordenadas, la ecuacio´n de la lemniscata dada por los puntos xi = (xi, yi, zi) y un valor
ρ es:
F (x, y, z) =
n∏
i=1
[(x− xi)2 + (y − yi)2 + (z − zi)2] = ρ (1)
Los puntos xi se denominan focos de la lemniscata. Un conjunto dado de focos determi-
na una familia de lemniscatas y cada miembro de la familia corresponde a un valor del
para´metro ρ > 0. Si ρ = 0 la superficie se reduce a los focos u´nicamente. Denotamos
mediante Fρ al elemento de la familia cuya ecuacio´n es F (x, y, z) − ρ = 0.
Cuando los focos yacen en un plano, digamos xi = (xi, yi, 0) para cada i, entonces es
natural considerar las curvas lemnisca´ticas o lemniscatas 2D. La ecuacio´n de una lemnis-
cata 2D es un poco ma´s sencilla :
n∏
i=1
[(x− xi)2 + (y − yi)2]− ρ = 0 (2)
Las lemniscatas 2D son objetos cla´sicos bien conocidos en el marco de la teor´ıa de variable
compleja [3]. En particular a la lemniscata de dos focos se le asocia el nombre de Bernoulli.
La conexio´n de las lemniscatas 2D con ecuaciones diferenciales ha sido estudiada en [5] y
una aplicacio´n a la generacio´n automa´tica de mallas es considerada en [6]. La clasificacio´n
de configuraciones de lemniscatas 2D fue dada en [1]. La Figura 1 ilustra el ejemplo ma´s
sencillo de una familia de lemniscatas: dos focos situados en (−1, 0) y (1, 0).
Para valores de ρ pequen˜os la lemniscata consta de dos componentes cuasicirculares
y cada una de ellas encierra un foco. Para valores de ρ grandes la lemniscata consta
de una sola curva que contiene a los dos focos en su interior. De hecho para ρ = 1 la
lemniscata se asemeja a un ocho y corresponde a la curva de la familia que es la transicio´n
lemniscatas 3d 9
Figura 1: Lemniscatas planas con dos focos
entre lemniscatas de dos componentes conexas (ρ < 1) y lemniscatas de una componente
(ρ > 1). Lo que permite esta transicio´n es que
[(x− 1)2 + (y)2][(x+ 1)2 + (y)2]− 1 = 0 (3)
es una curva singular y por ende aproxima tanto lemniscatas de una componente conexa
como de dos componentes conexas. En este ejemplo (0, 0) es una singularidad.
Una curva F (x, y) − ρ = 0 se dice singular cuando existe un punto (x0, y0), en la curva,
tal que:
∂F (x0, y0)
∂x
=
∂F (x0, y0)
∂y
= 0 (4)
El punto (x0, y0) se llama singularidad.
3. Lemniscatas 3D
Las lemniscatas 3D son superficies dadas impl´ıcitamente y esta´n determinadas por sus
focos y el para´metro ρ. Si todo punto p de la lemniscata satisface (∇F )p 6= 0, entonces
por el teorema de la funcio´n impl´ıcita, la lemniscata es una superficie suave. Cuando la
lemniscata F (x, y, z)−ρ = 0 contiene puntos p donde (∇F )p = 0, se denomina lemniscata
singular y los puntos donde esto ocurre se llaman singularidades. Si x1,x2, . . . ,xn, son focos
de una lemniscata 3D, podemos definir los siguientes conjuntos:
Fρ,− = {xR3 : F (x)− ρ < 0} (5)
Fρ,+ = {xR3 : F (x)− ρ > 0} (6)
Los conjuntos Fρ,− y Fρ,+ son el interior y el exterior, respectivamente, del conjunto Fρ.
Teorema 1. Los conjuntos Fρ,− y Fρ,+ son no vac´ıos. Adema´s si ρ1 < ρ2 entonces
Fρ1 ⊂ Fρ2,−
Demostracio´n: Sea u uno de los focos de la lemniscata, entonces Fρ(u) = −ρ < 0, de
modo que Fρ,− contiene a los focos y es no vac´ıo. Para verificar que Fρ,+ 6= ∅, observamos
que como F (x, y, z) es un polinomio en tres variables se tiene que l´ımF (x, y, z) = ∞
cuando
√
x2 + y2 + z2 −→ ∞, as´ı dado ρ > 0 podemos escoger u ∈ R3 tal que F (u) > ρ,
esto muestra que Fρ,+ 6= ∅.
Los focos y el para´metro ρ parecen proveer una forma para deformar la superficie que
definen; por ejemplo si fijado un valor de ρ se aleja un foco, la superficie se estira en la
direccio´n en que se movio´ e´ste. Sin embargo, si un foco se aleja ma´s alla´ de un cierto
umbral entonces la superficie se desconecta, esto es, cambia su nu´mero de componentes
conexas. Similarmente, fijando los focos, hay rangos de ρ para los cuales la lemniscata
3D: F (x, y, z) − ρ = 0, tiene un nu´mero constante de componentes conexas. Por lo tanto
10 r. ortega – m. paluszny
para que las lemniscatas 3D puedan ser u´tiles en modelacio´n debe controlarse el proceso
de desconexio´n y para e´sto han de entenderse las circunstancias bajo las cuales cambia el
nu´mero de componentes conexas.
Sea F (x, y, z) − ρ = 0 la familia de lemnmiscatas 3D con focos x1,x2, . . . ,xn. Y sean
s1, s2, . . . , sr los puntos, distintos de los focos, donde se anula el gradiente de F; esto
es, los si son puntos, distintos de los focos, donde se anulan simulta´neamente las tres
derivadas parciales de F (x, y, z). Si tomamos dos valores consecutivos de los para´metros
F (si) entonces para cualquier ρ entre esos dos valores el nu´mero de componentes conexas
de F (x, y, z) − ρ = 0 es siempre el mismo. Para hallar los puntos singulares debemos
resolver el sistema de ecuaciones: 
∂F (x,y,z)
∂x = 0
∂F (x,y,z)
∂y = 0
∂F (x,y,z)
∂z = 0
(7)
Como:
F (x, y, z) =
n∏
i=1
[(x− xi)2 + (y − yi)2 + (z − zi)2] (8)
Los puntos singulares son las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
∂F (x,y,z)
∂x = 2Σ
n
i=1(x− xi)∆i(x, y, z) = 0
∂F (x,y,z)
∂y = 2Σ
n
i=1(y − yi)∆i(x, y, z) = 0
∂F (x,y,z)
∂z = 2Σ
n
i=1(z − zi)∆i(x, y, z) = 0
(9)
donde ∆i(x, y, z) =
∏n
j=1,j 6=i[(x− xj)2 + (y − yj)2 + (z − zj)2]
Observacio´n 1. Note que cada foco es solucio´n del sistema anterior, estas soluciones las
denominamos singularidades triviales.
Lema 1. ∆i(a, b, c) = 0 si y so´lo si el punto (a, b, c) es un foco distinto del foco (xi, yi, zi)
El teorema que sigue es una generalizacio´n del teorema de Gauss-Lucas [4] que dice
que los ceros de la derivada de un polinomio complejo esta´n en la ca´psula convexa de las
ra´ıces del polinomio.
Teorema 2. Si
F (x, y, z) =
n∏
i=1
[(x− xi)2 + (y − yi)2 + (z − zi)2] (10)
entonces los puntos singulares, no triviales, de F esta´n en el interior de la ca´psula convexa
generada por los focos.
Demostracio´n: Suponga que (a0, b0, c0) es un punto singular, no trivial, de F (x, y, z)
entonces (a0, b0, c0) satisface el sistema de ecuaciones (7), as´ı que se tiene:
Σni=1(a0 − xi)∆i(a0, b0, c0) = 0
Σni=1(b0 − yi)∆i(a0, b0, c0) = 0
Σni=1(c0 − zi)∆i(a0, b0, c0) = 0
(11)
lemniscatas 3d 11
De aqu´ı obtenemos que:
a0 = Σni=1xi∆i(a0, b0, c0)/∆
b0 = Σni=1yi∆i(a0, b0, c0)/∆
c0 = Σni=1zi∆i(a0, b0, c0)/∆
(12)
Con ∆ = Σni=1∆i y ∆i(a0, b0, c0) 6= 0,∀i = 1 · · · n ya que (a0, b0, c0) no es un foco.
Esto muestra que a0 = Σni=1(Λi)xi, con 0 < Λi < 1 y Σ
n
i=1(Λi) = 1. Igualmente para b0
y c0, esto nos permite concluir que (a0, b0, c0) es una combinacio´n convexa de los focos. y
esta´ en el interior de la ca´psula convexa generada por ellos.
Observacio´n 2. El sistema de ecuaciones anteriores, como ya lo mencionamos, es un sis-
tema de ecuaciones no lineales, y en general hay que utilizar te´cnicas de ca´lculo nume´rico
para su resolucio´n.
4. Lemniscatas 3D con focos coplanares
Cuando los focos x1,x2, . . . ,xn son coplanares, las singularidades de la lemniscata, de
acuerdo con el teorema de Gauss-Lucas, yacen en el mismo plano que contiene a los focos.
En tal caso podemos, sin pe´rdida de generalidad, suponer que los focos yacen en el plano
z = 0 de tal manera que los puntos singulares tambie´n yacen en este plano. En este caso
la ecuacio´n de la familia de lemniscatas es:
Fρ(x, y, z) =
n∏
i=1
[(x− xi)2 + (y − yi)2 + z2]− ρ = 0 (13)
Si hacemos z = 0 en la expresio´n anterior obtenemos la ecuacio´n de una familia de lem-
niscatas planas, que por abuso de lenguaje, continuaremos denotando por Fρ(x, y).
La lemniscata 2D:
Fρ(x, y) =
n∏
i=1
[(x− xi)2 + (y − yi)2]− ρ = 0 (14)
se puede estudiar con te´cnicas de variable compleja. Si hacemos zi = xi + ıyi el polinomio
f(z) =
∏n
i=1(z − zi) es tal que :
F (x, y) =
n∏
i=1
[(x− xi)2 + (y − yi)2] =
n∏
i=1
[(z − zi)(z − zi)] = |f(z)|2 (15)
La fo´rmula que sigue nos muestra que las singularidades no triviales de la lemniscata 3D
coinciden con las ra´ıces de la derivada del polinomio f(z):
|∇F (x, y)|2 = 4|F (x, y)||f ′(z)|2 (16)
En consecuencia las lemniscatas singulares de la familia Fρ(x, y, z) =
∏n
i=1[(x − xi)2 +
(y− yi)2 + z2]− ρ corresponden a los valores de ρ tales que: ρ = |F (ωk)| = |f(ωk)|, donde
f ′(ωk) = 0.
12 r. ortega – m. paluszny
5. Algunos ejemplos sime´tricos
Si los focos forman un tria´ngulo equila´tero podemos escoger el sistema de referencia
adecuadamente de tal forma que sus coordenadas sean:
(−a, 0), (a, 0) y (0,
√
3a)
El polinomio f(z) viene dado por:
f(z) = (z2 − a2)(z − ı
√
3a) (17)
y se tiene una singularidad doble en ω0 = ı
√
3a
3 . La Figura 2 ilustra lemniscatas con los
mismos focos ubicados en los ve´rtices de un tria´ngulo equila´tero y tres valores distintos
de ρ. La lemniscata singular ocurre para
ρ0 = |f(ω0)|2 = 6427a
6 (18)
Figura 2: Lemniscatas planas con focos formando un tria´ngulo equila´tero
La Figura 3 muestra cuatro lemniscatas 3D con focos en los ve´rtices de un tria´ngulo
equila´tero; la vista es en perspectiva desde un punto en el primer octante.
Figura 3: Miembros de la familia 3D correspondientes al caso anterior
Cuando los focos forman un tria´ngulo iso´sceles escogemos el sistema de coordenadas
de modo que su expresio´n sea:
(−a, 0), (a, 0) y (0, b)
Entonces:
f(z) = (z2 − a2)(z − ıb) (19)
f ′(z) = 3z2 − 2bız − a2 (20)
y las ra´ıces de la derivada son:
1
3
bı± 1
3
√
3a2 − b2 (21)
lemniscatas 3d 13
Si b <
√
3a, las ra´ıces son sime´tricas con relacio´n al eje OY y se tiene que hay un u´nico
valor ρ = ρ0 para el cual la lemniscata es singular, ver Figura (4a).
ρ0 = |f(13bı+
1
3
√
3a2 − b2)|2 = |f(1
3
bı− 1
3
√
3a2 − b2)|2 (22)
En este caso, cuando ρ var´ıa de un valor menor que ρ0 a otro mayor, el nu´mero de
componentes conexas pasa de tres a una.
Si b >
√
3a tenemos dos ra´ıces complejas de la forma:
z1 =
1
3
ı(b+
√
b2 − 3a2) (23)
z2 =
1
3
ı(b−
√
b2 − 3a2) (24)
De manera que los puntos singulares, en este caso, yacen sobre el eje OY y los valores del
para´metro ρ correspondientes son:
ρ1 = |f(13 ı(b+
√
b2 − 3a2))|2 (25)
ρ2 = |f(13 ı(b−
√
b2 − 3a2))|2 (26)
Se puede comprobar que ρ1 < ρ2 y la familia de lemniscatas 3D correspondiente
tiene dos lemniscatas singulares tal como se ilustra en la Figura (4b). En este caso, las
lemniscatas no singulares de esta familia son superficies que constan de tres, dos o´ una
componente conexa segu´n sea ρ < ρ1, ρ1 ≤ ρ < ρ2 o´ ρ2 ≤ ρ, respectivamente.
Figura 4a Figura 4b
La lemniscata singular, b <
√
3a Lemniscatas singulares, b >
√
3a
Si ubicamos los focos en tres puntos arbitrarios del espacio, entonces en la familia de
lemniscatas con esos focos habra´ dos lemniscatas singulares (o´ una si la multiplicidad de
la singularidad es dos, lo cual corresponde a que los focos forman un tria´ngulo equila´tero).
Escogiendo un sistema de coordenadas adecuado, el ca´lculo de las singularidades se reduce
a resolver una ecuacio´n cuadra´tica.
Evaluando la funcio´n F (ver (1)) en las dos singularidades obtenemos dos valores que deno-
taremos por ρ1 y ρ2. Para cualquier ρ > max(ρ1, ρ2) la lemniscata 3D
F (x, y, z)−ρ = 0 tiene una u´nica componente conexa que contiene en su interior a los tres
focos. Esta superficie se puede deformar de dos maneras:
1. Modificando el valor del para´metro ρ en el rango max(ρ1, ρ2) < ρ <∞.
2. Cambiando la ubicacio´n en el espacio de cualquiera de los tres focos, para lo cual es
necesario recalcular ρ1 y ρ2 y escoger ρ mayor que estos nuevos valores de los ρi.
14 r. ortega – m. paluszny
Una alternativa razonable cuando se var´ıan los focos consiste en mantener el valor de
ρ = 1110max(ρ1, ρ2). En resumen podemos deformar superficies cerradas de grado fijo (en
nuestro caso de grado alge´braico 6) en cualquier direccio´n y controlar su tensio´n, i.e. ajuste
a la lemniscata singular F (x, y, z) = max(ρ1, ρ2).
Fig 5: Deformacio´n por desplazamiento de un foco
La modelacio´n con lemniscatas F (x, y, z) = ρ tales que min(ρ1, ρ2) < ρ < max(ρ1, ρ2)
es ma´s complicada porque hay que tomar en cuenta la confluencia de lemniscatas singu-
lares, cuando se var´ıa la posicio´n de los focos. La solucio´n para este problema sera´ presen-
tada en un pro´ximo trabajo.
Referencias
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[7] Walsh, J.L. (1985) Interpolation and Approximation byRational Functions in the
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