UNIVERSIDAD DE COSTA RICA SISTEMA DE ESTUDIOS DE POSGRADO COMPORTAMIENTO REGULAR Y CAÓTICO EN ÓRBITAS GEODÉSICAS CON MOMENTO DE MASA CUADRUPOLAR. Tesis sometida a la consideración de la Comisión del Programa de Estudios de Posgrado de F́ısica para optar al grado y t́ıtulo de Maestŕıa Académica en F́ısica ADRIÁN FRANCISCO EDUARTE ROJAS Ciudad Universitaria Rodrigo Facio, Costa Rica 2021 Dedicatoria Deseo agradecer profundamente: A mis padres por su apoyo durante la redacción del presente trabajo. Y a los pro- fesores Francisco Frutos y Rodrigo Carboni por sus consejos y gúıa. ii Índice general Dedicatoria ii Hoja de aprobación iii Tabla de Contenidos iv Resumen vi Abstract vii Lista de tablas viii Lista de figuras ix Lista de abreviaturas xiii Lista de śımbolos xiv 1. Introducción 1 1.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Antecedentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Marco Teórico 5 2.1. Elementos de Mecánica Clásica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2. Sistemas Dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.1. Caos y Secciones de Poincaré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.2. Teoremas de Kolmogorov-Arnold-Moser y Poincaré-Birkhoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. Relatividad General. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4. Métricas que modelan los objetos compactos. . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.1. Métrica de Kerr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 iv 2.4.2. Métrica tipo-Kerr con momento de masa cuadrupolar. . . . . . . 28 3. Resultados y Simulaciones 29 3.1. Resultados y Simulaciones de la métrica tipo-Kerr con Momento de Masa Cuadrupolar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.1. Momentos Cuadrupolares q = 0,01. . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.2. Momento Cuadrupolar de Masa q = 0,3. . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.3. Momento Cuadrupolar de Masa q = 0,7. . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.4. Caracteŕıstica al variar el momento de masa cuadrupolar. . . . . 40 3.1.5. Comparación con otros Espacio-Tiempo producto de objetos com- pactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2. Número de rotación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4. Conclusiones 60 Anexos 62 A. Diagramas de Flujo 63 B. Soluciones de las Ecuaciones de Campo de Einstein para el Exterior de Objetos Compactos 67 B.1. Métrica de Hartle-Thorne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 B.2. Métrica de Quevedo-Mashhoon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 B.3. Métrica de Manko-Novikov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Bibliograf́ıa 72 v Resumen. En el estudio de órbitas alrededor de objetos compactos como por ejemplo agujeros negros, donde los efectos relativistas están presentes, se encuentran órbitas que presen- tan trayectorias caóticas. Estudiamos el movimiento de part́ıculas de prueba con masa unitaria en una métrica tipo Kerr con momento de masa cuadrupolar y resolvemos numéricamente las ecuaciones de movimiento utilizando un programa escrito en C que encuentra las órbitas con diferentes condiciones iniciales y construye las correspondien- tes secciones de Poincaré del conjunto de órbitas, aśı el problema inicial de órbitas se transforma en un problema de puntos fijos, lo cual hace fácil el análisis de las regio- nes caóticas del movimiento. Adicionalmente, se analiza del número de rotación para identificar resonancias y regiones caóticas. vi Abstract. In the study of orbits near compact objects like black holes, where the relativistic behaviour is present, it is found that orbits follow chaotic trajectories. We study the motion of unitary mass particles in a Kerr-like metric with mass quadrupole moment and solve numerically the equations of motion via a C program that finds the orbits with different initial conditions and construct the respective Poincaré section of the orbit set, so the initial condition problem transforms into a fixed point problem which simplifies the analysis of chaotic regions of the motion. Additionally, we analize the rotation number in order to identify resonances and chaotic regions. vii Índice de cuadros 3.1. Caracteŕıstica del punto eĺıptico principal u0. . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2. Caracteŕıstica del punto eĺıptico de la isla cercana a la última órbita estable u′0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 viii Índice de figuras 3.1. Órbita en el espacio de configuración t́ıpico de Kerr (q = 0). Los paráme- tros son: M = 1,0, a = 0,99, E = 0,932516, Lz = 1,2 y las condiciones iniciales son: r = 7,1, θ = π/2, φ = 0, t = 0, pr = 0, pφ = Lz = 1,2, pt = −E = −0,932516. La condición de pθ se calcula por medio de la ecuación (2.65) seleccionando la ráız positiva de esta ecuación. . . . . . 30 3.2. Proyección r-cos(θ) de la figura (3.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3. Proyección ρ− z de la figura (3.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4. Sección de Poincaré del plano θ = π/2 y pθ ≥ 0 para los parámetros: M = 1,0, a = 0,99, E = 0,932516, Lz = 1,2 y q = 0, la cual coincide con Kerr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.5. Órbita correspondiente al único punto eĺıptico ubicado en r = 6,294 de la sección de Poincaré de la figura (3.4) para el conjunto de parámetros M = 1, a = 0,99, Lz = 1,2 y E = 0,932516. Las condiciones otras iniciales θ = π/2, φ = 0, t = 0, pr = 0, pφ = Lz y pt = −E. La condición pθ se calcula por medio de la ecuación (2.65). . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.6. Detalle de de la figura 3.5 en la región del horizonte cercana a la última órbita estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.7. Sección de Poincaré para el conjunto de parámetros M = 1,0, a = 0,99, Lz = 1, 2, E = 0,932516 y q = 0,01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.8. Sección de Poincaré para el conjunto de parámetros M = 1, a = 0,99, Lz = 1,2, E = 0,932516 y q = 0,01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.9. Sección de Poincaré para el conjunto de parámetros M = 1,0, a = 0,99, Lz = 1, 2, E = 0,932516 y q = 0,3, mostrando la primera isla detectada en r = 3,48. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.10. Sección de Poincaré para el conjunto de parámetros M = 1,0 a = 0,99, Lz = 1, 2, E = 0,932516 y q = 0,3, en la zona cercana al horizonte de eventos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ix 3.11. Sección de Poincaré para el conjunto de parámetros M = 1,0, a = 0,99, Lz = 1, 2, E = 0,932516 y q = 0,3. Se muestra una ampliación de la figura (3.10) cerca del intervalo entre puntos hiperbólicos. . . . . . . . . 38 3.12. Sección de Poincaré para la estructura cercana al extremo izquierdo con el conjunto de parámetros M = 1,0, a = 0,99, Lz = 1, 2, E = 0,932516 y q = 0,3. Se muestra una ampliación de la figura (3.10) en las estructuras más cercanas al horizonte de eventos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.13. Sección de Poincaré para la estructura cercana al extremo izquierdo con el conjunto de parámetros M = 1,0, a = 0,99, Lz = 1, 2, E = 0,932516 y q = 0,7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.14. Posición del punto central u0 de la isla principal de estabilidad en la sección de Poincaré de q = 0,3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.15. Posición del punto central u′0 de la estructura cercana a la última órbita estable en la sección de Poincaré de q = 0,3. . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.16. Relación de la posición del centro principal u0 de la sección de Poincaré al aumentar el momento cuadrupolar de masa. . . . . . . . . . . . . . . 42 3.17. Relación de la posición del centro de la isla prominente cercana al ho- rizonte de eventos de la sección de Poincaré al aumentar el momento cuadrupolar de masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.18. Movimiento de una part́ıcula restringida a la superficie de un toro. Las frecuencias ωr y ωθ se utilizan para calcular el número de rotación por definición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.19. Ilustración del ángulo formado por los vectores ~rn y ~rn+1, cuando apuntan al centro de las islas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.20. Variación del número de rotación para q = 0, 1 respecto a la posición radial inicial sobre la ĺınea pr = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.21. Sección de Poincaré para los parámetros M = 1,0, a = 0,99, E = 0,932516, Lz = 1,2 y q = 0,1, mostrando las resonancias respectivas. Particularmente, cerca de la última órbita estable se ve los puntos dis- persos correspondientes la zona caótica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.22. Comparación del número de rotación sobre la ĺınea pr = 0 de q = 0,1 con la sección de Poincaré correspondiente. . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.23. Variación del número de rotación para q = 0,3 respecto a la posición radial inicial sobre la ĺınea pr = 0. Se señalan tres regiones de resonancia 2/9, 2/7 y 2/5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 x 3.24. Comparación del número de rotación sobre la ĺınea pr = 0 de q = 0,3 con la sección de Poincaré correspondiente. Las ĺıneas en color rojo muestran la relación entre los puntos hiperbólicos con los saltos, las ĺıneas verdes la extensión de las islas con las zonas constantes del número de rotación. 50 3.25. Comparación del número de rotación sobre la ĺınea pr = 0 de q = 0,3 con la sección de Poincaré correspondiente, se marcan en verde las zonas caóticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.26. Comparación del número de rotación sobre la ĺınea pr = 0 de q = 0,5 con la sección de Poincaré correspondiente, se señalan en pares de ĺıneas verde y azul las zonas caóticas y en rojo la extensión de dos islas que cruzan pr = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.27. Comparación del número de rotación sobre la ĺınea pr = 0 de q = 0,7 con la sección de Poincaré correspondiente, se señalan en verde las zonas caóticas y en rojo los centros de las resonancias 2/9, 6/25, 9/37 y 2/7 que cruzan pr = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.28. Comparación del número de rotación sobre la ĺınea pr = 0 de q = 0,9 con la sección de Poincaré correspondiente, se señalan en verde las zonas caóticas que cruzan pr = 0. Se señalan las resonancias 2/9, 6/25 y 9/37 que cruzan el eje pr = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.29. Detalle del número de rotación la figura (3.28) en el intervalo caótico entre las resonancias 6/25 y 9/37. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.30. Detalle del número de rotación la figura (3.28) en el intervalo caótico entre la resonancia de 9/37 y el punto hiperbólico ubicado en r = 3,30812. 55 3.31. Detalle del número de rotación la figura (3.30), se muestra las diferentes planicies que aparecen en la zona caótica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.32. Proyección sobre el plano ecuatorial de dos órbitas de q = 0,9 con un tiempo de simulación moderado y ubicadas en la región caótica entre las resonancias de 6/25 y 9/37 de la figura (3.29) con condiciones iniciales idénticas excepto r1 = 3,30011 y r2 = 3,30012. Ambas órbitas permanecen adheridas durante este trayecto, donde son prácticamente indistinguibles. 56 3.33. Detalle de la figura (3.32). Durante el trayecto las órbitas se mantienen unidas entre śı. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.34. Prolongación de la trayectoria de la figura (3.32), donde al aumentar el tiempo de simulación el efecto de permanecer en una región caótica se visualiza cuando divergen ambas órbitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 xi 3.35. Espacio de configuraciones de la figura (3.34). Ambas geodésicas divergen cuando el tiempo de simulación es lo suficientemente grande. . . . . . . 58 3.36. Trayectoria de una geodésica caótica de q = 0,9 ubicada entre las resonan- cias de 2/9 y 6/25 con condición inicial r = 3,29. Está órbita evoluciona para dirigirse al horizonte de eventos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 A.1. Función principal (main) la cuál controla los datos y realiza las llamadas correspondientes a las subrutinas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 A.2. Primera parte del diagrama de flujo para la función del método de Runge- Kutta-Fehlberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 A.3. Segunda parte del diagrama de flujo para la función del método de Runge-Kutta-Fehlberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 xii Lista de abreviaturas KAM Kolmogorov-Arnold-Moser PB Poincare-Birkhoff xiii Lista de śımbolos ηµν métrica de Minkowski gµν métrica general τ tiempo propio ~v vector en espacio plano de tres dimensiones ḟ derivada de la función f respecto a un parámetro af́ın como el tiempo propio xµ vector de coordenadas generalizadas en espacio- tiempo de cuatro dimensiones ξµ vector de coordenadas locales en espacio-tiempo de cuatro dimensiones aµ vector covariante T µ...ν tensor contravariante Tµ...ν tensor covariante Tα...βµ...ν tensor mixto Tα...βµ...ν;κ derivada covariante respecto a la coordenada xκ D Dτ derivada covariante respecto al parámetro af́ın τ xiv 1 Caṕıtulo 1 Introducción 1.1. Introducción. Las técnicas computacionales han permitido un gran avance en diversas áreas de la ciencia al permitir visualizar el comportamiento de la dinámica de ciertos sistemas descritos por medio de un conjunto de ecuaciones, en este sentido la relatividad general se ha visto ampliamente beneficiada por el uso de programas computacionales ya que las ecuaciones resultantes pueden ser muy complicadas debido al campo gravitacional fuerte de objetos compactos como agujeros negros y las no linealidades presentes. Utilizando programas computacionales se ha podido simular el comportamiento de la dinámica que siguen las part́ıculas tanto masivas como no masivas cerca del horizonte de eventos de un agujero negro [5]. El presente proyecto consiste en el estudio de la dinámica de part́ıculas de prueba de masa unitaria alrededor de agujeros negros que rotan sobre su eje mediante la im- plementación de un programa en C de superficies de Poincaré. Debido a que muchos modelos que describen el campo gravitacional en el exterior de objetos compactos son de reciente publicación existe poca literatura espećıfica para estos modelos como la métrica tipo-Kerr [6], por lo tanto la realización de simulaciones y el análisis de los diversos comportamientos del espacio de fases permitirá comprender como este modelo puede presentar caos. El uso de la teoŕıa de sistemas dinámicos para complementar el conocimiento de la mecánica clásica ha generado importantes resultados especialmente en sistemas no lineales y el correspondiente caos presente en sistemas f́ısicos. El retrato de fases permite estudiar propiedades del movimiento de part́ıculas y permite visualizar como el sistema puede oscilar de manera regular o irregular en alguna región del espacio y determinar la evolución del mismo. En el caso de sistemas no lineales el caos puede estar presente si 2 las condiciones son adecuadas, para ello el uso de soluciones numéricas y por lo tanto de computadoras es indispensable, ya que para estos casos no existe una solución anaĺıtica. Al avanzar en el conocimiento del comportamiento de los objetos compactos tanto teórica como experimentalmente nos damos cuenta que el uso de simulaciones cada vez es más que necesario ya que permite comparar directamente la teoŕıa con lo observado. Existen diversas soluciones a las ecuaciones de Einstein que modelan la región exter- na al horizonte de eventos del agujero negro, cada una revela información de como el espacio-tiempo puede deformarse dependiendo de la masa, la rotación e incluso la forma y la carga del agujero negro. La combinación de los conocimientos de mecánica clási- ca, relatividad general y sistemas dinámicos tiene el potencial de revelar información concerniente a los objetos compactos previamente no vista. Dado el avance en la rapidez con la que las computadoras pueden realizar cálculos, el proyecto de investigación pretende crear una herramienta computacional capaz de aprovechar las capacidades modernas de las computadoras, como el procesamiento en paralelo y el trabajo en memoria RAM, para obtener soluciones numéricas a diversas geodésicas para part́ıculas masivas cerca de objetos compactos. Una de las principales herramientas de estudio lo constituyen las secciones de Poin- caré. Su construcción permite visualizar las posibles estructuras del movimiento alrede- dor de objetos compactos y analizar las implicaciones f́ısicas de posibles elementos de caos y regiones de estabilidad. Este trabajo se enfoca, inicialmente, en el estudio de una métrica (soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein) que presentan momento cuadrupolar de masa de manera perturbativa a la solución de Kerr por medio de un parámetro adicional, esta deformación del objeto compacto afectará la dinámica del movimiento particularmente en la región cercana al horizonte de eventos y posteriormente en la comparación con diversas métricas presentes en la literatura y aśı visualizar las particularidades de cada solución a las ecuaciones de Einstein. 1.2. Antecedentes. El movimiento planetario a inspirado a cient́ıficos como Kepler y Newton para tratar de describir y explicar su paso por los cielos lo cual llevo al desarrollo de las leyes de Kepler para el movimiento planetario y la ley de gravitación universal de Newton la cual unida a las leyes de la mecánica Newtoniana de hecho puede predecir las leyes de Kepler [2]. Como tal los planetas se mueven en órbitas eĺıpticas con el sol en uno de los focos de la elipse. Este movimiento seŕıa el caso solamente si existiera el sol y un planeta, 3 el efecto de los otros planetas va a efectuar una perturbación en la órbita dando lugar a una precesión del perihelio, esto permitió predecir la existencia del planeta Neptuno. Sin embargo, al aplicar esta técnica al planeta Mercurio que también presenta una alta precesión del perihelio no se pudo encontrar nunca un objeto planetario capaz de perturbar fuertemente la órbita de Mercurio [2, 9]. Tiempo después Einstein dio una descripción de la gravedad y la geometŕıa del espacio-tiempo en su teoŕıa de la Relatividad General, al aplicarla con la solución de Schwarzschild se logró demostrar que la precesión del perihelio de Mercurio se debe a las no linealidades debidas al campo gravitacional del Sol [15]. Esta solución de Schwarz- schild representa un espacio-tiempo deformado por una masa sin rotación y presenta una singularidad la cual representa el radio de Schwarzschild e indica que si un objeto masivo tiene un radio igual al radio de Schwarzschild entonces el objeto genera una singularidad en el espacio-tiempo conocida como agujero negro, el cual tiene una gravedad tan intensa que ni la luz no es capaz de escapar del horizonte de eventos [1, 15,16,18]. Existen más soluciones a las ecuaciones de Einstein las cuales pueden modelar el espacio-tiempo circundante de un objeto compacto cuando tiene nuevas caracteŕısticas como rotación. Roy Kerr quien logró encontrar una solución exacta a esta clase de objetos compactos [15, 16]. Grossman et al. [10] muestra el comportamiento regular y armónico de la solución de Kerr. A partir de la métrica de Kerr existen muchas más que se obtienen al realizarle per- turbaciones y en el ĺımite que la perturbación desaparece deben ser iguales. La métrica de Manko-Novikov la cual representa el espacio-tiempo exterior al objeto compacto con simetŕıa axial en el vaćıo además de presentar multipolos [7,14]. La métrica de Quevedo- Mashoon constituye una solución que es la superposición de la métrica de Kerr con la de Erez-Rosen, también contando con un momento cuadrupolar de masa [7, 14]. Además, recientemente otro trabajo de una métrica tipo-Kerr que modela a un objeto achatado nuevamente por medio del momento cuadrupolar [6]. La teoŕıa de sistemas dinámicos puede utilizarse en conjunto a la mecánica relati- vista para estudiar el movimiento caótico como presenta el trabajo de Contopoulos et al. [3,4,13]. Finalmente, una serie de investigaciones proponen usar el espectro medido de las ondas gravitacionales para estudiar la naturaleza de las geodésicas producidas por objetos compactos y en particular determinar la estructura del espacio-tiempo cir- cundante a dicho objeto. Si esta estructura presenta caos y su dinámica se puede asociar a medidas experimentales, entonces seŕıa una confirmación de que el objeto compacto no presenta simetŕıa esférica y un estudio detallado permitirá inferir el parámetro del momento cuadrupolar por medio de simulaciones y comparación con los datos experi- 4 mentales [27–29]. 5 Caṕıtulo 2 Marco Teórico 2.1. Elementos de Mecánica Clásica. En el siglo XVII Isaac Netwon fundamenta las leyes de la mecánica clásica junto con aportes al cálculo infinitesimal, esto dio inicio a grandes avances en f́ısica y ma- temática actuales, gracias a ello se puede calcular el movimiento de objetos cotidianos a partir del análisis de las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo. Sin embargo, existen otros formalismos para formular la mecánica clásica que permiten generalizar los con- ceptos dados por Newton, además de permitir matemáticamente estudiar las áreas de la donde la mecánica de Newton no puede aplicarse como el mundo cuántico y la rela- tividad general. Estos formalismos tienen como base el principio de mı́nima acción de Hamilton, que indica que todo sistema mecánico se puede caracterizar por una función L(qi, dqi/dt, t), donde el conjunto de qi se conocen como coordenadas generalizadas y dqi/dt como velocidades generalizadas [9, 12]. Si en dos instantes de tiempo t1 y t2 se conocen el valor de las coordenadas qi(t1) = q1 y qi(t2) = q2, entonces la acción se define por S = ∫ t2 t1 L(qi, dqi/dt, t)dt (2.1) El principio de Hamilton establece que la trayectoria seguida por el sistema dinámi- co es aquella que minimice la acción. Para determinar tal trayectoria se realiza una variación de las coordenadas δqi(t) tal que δqi(t1) = δqi(t2) = 0 y se establece δS = 0. Adicionalmente, se utiliza el convenio de suma de Einstein [9, 12]. δS = δ ∫ t2 t1 L(qi, dqi/dt, t)dt = 0 (2.2) 6 ∫ t2 t1 [ ∂L ∂qi δqi + ∂L ∂q̇i δq̇i ] dt = 0 (2.3) Por la propiedad de las variaciones se tiene que puede conmutar con las derivadas δq̇ = δ(dq/dt) = d(δq)/dt y se puede integrar por partes [9, 12]. δS = [ ∂L ∂q̇i δqi ]t2 t1 + ∫ t2 t1 [ ∂L ∂qi − d dt ∂L ∂q̇i ] δqi dt = 0 (2.4) El primer término de la ecuación (2.4) se anula al evaluar δqi. Dado que las varia- ciones δqi son arbitrarias, entonces el término en la integral debe ser nulo, lo cual da las ecuaciones de Euler-Lagrange las cuales describen a evolución del sistema mecánico por medio de n ecuaciones de segundo orden, una por cada coordenada qi. ∂L ∂qi − d dt ∂L ∂q̇i = 0 (2.5) Para la mayoŕıa de sistemas mecánicos puede obtenerse la función L conocida como lagrangiano, por medio de la enerǵıa cinética T y la enerǵıa potencial V , donde el lagrangiano toma la forma L = T − V en caso de sistemas no disipativos. En caso de tener sistemas con fuerzas no conservativas siempre se puede obtener un lagrangiano modificando la acción por medio de multiplicadores de Lagrange [9, 12]. Al comparar con la segunda ley de Newton, se define el momento conjugado como pi = ∂L/∂qi. La ventaja de las ecuaciones de Euler-Lagrange es que permite visuali- zar simetŕıas y cantidades conservadas en diversas coordenadas como las esféricas, a diferencia de las leyes de Newton que resulta complicado de generalizar a otras coor- denadas. Sin embargo, al igual que las Leyes de Newton, se requieren n ecuaciones de segundo grado en q para poder integrar el sistema [9,12]. La mecánica hamiltoniana es el segundo formalismo utilizado para integrar un sis- tema f́ısico, en la cual la función H(q1, q2, .., qn, p1, ..., pn) codifica la información de un sistema f́ısico por medio de las coordenadas generalizadas y sus correspondientes mo- mentos conjugados. Esta función está altamente relacionada con la enerǵıa del sistema y en muchos casos es una cantidad conservada. Para definir el hamiltoniano se utiliza la transformada de Legendre de las velocidades generalizadas del lagrangiano: H(qi, pi, t) = piq̇i|pi=∂L/∂q̇i − L(qi, q̇i, t)|pi=∂L/∂q̇i (2.6) donde la barra vertical indica que las velocidades deben reemplazarse por su momento conjugado respectivo ya que el hamiltoniano es solo función de las coordenadas genera- lizadas, los respectivos momentos conjugados y el tiempo. Para obtener las ecuaciones 7 de movimiento por medio del hamiltoniano se analiza el diferencial del hamiltoniano y las ecuaciones de Euler-Lagrange: dH = ∂H ∂qi dqi + ∂H ∂pi dpi + ∂H ∂t dt = q̇idpi + pidq̇i − ∂L ∂qi dqi − ∂L ∂q̇i dq̇i − ∂L ∂t dt = −ṗidqi + q̇idpi − ∂L ∂t dt Comparando los términos que acompañan los diferenciales, se obtienen las ecuacio- nes canónicas de Hamilton que describen el movimiento del sistema [9, 12] dpi dt = −∂H ∂qi (2.7) dqi dt = ∂H ∂pi (2.8) ∂H ∂t = −∂L ∂t (2.9) En caso de que el lagrangiano no depende expĺıcitamente del tiempo entonces el hamiltoniano es una constante de movimiento, en la mayor parte de los casos es la enerǵıa del sistema ya que [9, 12] ∂L ∂t = 0 dH dt = −ṗiq̇i + q̇iṗi − ∂L ∂t = −∂L ∂t = 0 H(qi, pi) = E (2.10) Las ecuaciones diferenciales (2.7) y (2.8) permiten determinar la evolución temporal de las coordenadas y sus momentos generalizados. El conjunto de coordenadas genera- lizadas qi y momentos conjugados pi juntos forman el espacio de fases de un sistema el cual contiene la información de la dinámica del mismo. En el case de que las ecuaciones son muy complicadas puede ser necesario el uso de métodos numéricos para resolverlas, lo cual es especialmente útil cuando el sistema es no lineal [9, 12]. Originalmente este formalismo fue descubierto como parte de la mecánica clásica y 8 tiene mucha utilidad al considerar un gran número de part́ıculas. Además, ofrece una ventaja considerable sobre la visión de Newton y es que puede generalizarse para la relatividad general y usar las mismas ecuaciones canónicas. Existe un tercer formalismo para modelar sistemas f́ısicos por medio de una sola ecuación diferencial parcial conocida como ecuación de Hamilton-Jacobi. En la ecuación (2.4) se tomó que las variaciones deben ser nulas en los puntos extremos del sistema δqi(t1) = δqi(t2) = 0. Sin embargo, al tomar la acción como función de las coordenadas y solamente se utiliza la variación inicial δqi(t1) = 0 se obtiene este nuevo formalismo. También, en la ecuación (2.4) se utilizan las ecuaciones de Euler-Lagrange para eliminar el término de la integral, δqi(t1) = 0 para evaluar el ĺımite inferior del lado derecho y se utiliza t2 = t para el ĺımite superior [9, 12] δS = ∂L ∂q̇i δqi = piδqi (2.11) De la ecuación (2.11), se obtiene una definición alternativa al momentum conjugado del sistema pi = ∂S ∂qi (2.12) Como las variaciones no afectan el tiempo en la acción o el lagrangiano, entonces se puede considerar a la acción como función de las coordenadas generalizadas y del tiem- po. Adicionalmente, por la propia definición de la acción se puede obtener la derivada total de la acción respecto al tiempo [9,12] dS dt = L = ∂S ∂t + ∂S ∂qi dqi dt = ∂S ∂t + piq̇i (2.13) Utilizando la definición del hamiltoniano se obtiene: ∂S ∂t +H ( qi, pi = ∂S ∂qi , t ) = 0 (2.14) Está expresión se conoce como ecuación de Hamilton-Jacobi. Está única ecuación permite integrar de manera general las ecuaciones de movimiento [9, 12]. En caso de que el sistema conserve la enerǵıa mecánica E, entonces la solución de la ecuación anterior adquiere la forma S(qi, t) = S0(qi) − Et, lo cual permite sepa- rar la acción y encontrar una acción reducida S0 que solo depende de las coordenadas generalizadas. Adicionalmente, si alguna de las coordenadas qj es ćıclica entonces su momento conjugado pj es una cantidad conservada y la acción puede separarse nue- vamente S0(q1, ...qj, ...) = pjqj + S1, donde S1 no depende de qj. El proceso se puede 9 repetir para todas las variables ćıclicas. Aunque los sistemas reales poseen pocas o tal vez ninguna variable ćıclica, es posible encontrar en muchos casos especiales tantas constantes de separación αi como coordenadas independientes [9, 12]. Para sistemas que conserven la enerǵıa mecánica y presentan movimiento periódico se puede encontrar un conjunto de variables llamadas variables de acción-ángulo que simplifican las ecuaciones de movimiento. Para sistemas de un solo grado de libertad el hamiltoniano toma la forma H(q, p) = E, en este caso se puede resolver para encontrar el momentum conjugado como función de la coordenada y la enerǵıa p(q, E). Se define la variable de acción J como [9] J = ∮ pdq (2.15) La variable J únicamente es función de la enerǵıa por lo tanto el hamiltoniano toma la forma H(J) = E y J es una constante de movimiento. La acción reducida, también llamada función caracteŕıstica de Hamilton, pasa a ser función de la coordenada generalizada q y de la acción J , S0 = S0(q, J). Utilizando la ecuación de Hamilton-Jacobi como una transformación canónica y la acción reducida S0 = S0(q, J) como generatriz de la transformación se puede ver a J como un momento conjugado, mientras que su coordenada asociada conocida como variable angular ω está dada por la ecuación de transformación [9, 12] ω = ∂S0 ∂J (2.16) Dado que el hamiltoniano únicamente es función de J se puede establecer las ecua- ciones de movimiento por medio de las ecuaciones canónicas J̇ = 0, (2.17) ω̇ = ∂H(J) ∂J = v(J) (2.18) donde v(J) es una función de J y constante [9]. Entonces, la integración de ω̇ da como resultado ω = v(J)t+ β (2.19) Con las ecuaciones anteriores se puede encontrar la solución del sistema en términos de las variables de acción-ángulo, q = q(J, ω, t). Adicionalmente, al considerar un cambio de ω durante un periodo en la coordenada original q, definido por [9] 10 ∆ω = ∮ ∂ω ∂q dq = ∮ ∂2S0 ∂q∂J dq (2.20) Dado que J no es la variable de integración, la derivada respecto a J puede salir de la integral [9] ∆ω = d dJ ∮ ∂S0 ∂q dq = d dJ ∮ pdq = d dJ J = 1 (2.21) Como se está tomando solamente un periodo de tiempo τ , se tiene que ∆ω = vτ = 1 (2.22) Entonces, la constante v representa la frecuencia del movimiento. Esta técnica per- mite encontrar frecuencias asociadas al movimiento sin necesidad de obtener la solución completa del sistema [9]. Las variables de acción-ángulo pueden generalizarse para ciertos sistemas especiales que cumplen con las mismas condiciones anteriores. Si existe un conjunto de coordena- das que vuelven completamente separable la ecuación de Hamilton-Jacobi, entonces se puede encontrar una acción reducida para cada coordenada y una constante de separa- ción [9]. Por lo tanto se pueden encontrar que los momentos pi son de la forma pi = ∂ ∂qi Si(qi;α1, ..., αn) = pi(qi;α1, ..., αn) (2.23) Adicionalmente, se definen las variables de acción Ji para cada coordenada qi Ji = ∮ pidqi = ∮ (qi;α1, ..., αn)dqi (2.24) De la separación de variables y la definición de Ji se puede ver que cada variable de acción ahora es alguna función de las constantes de separación αi. Al identificar α1 con la enerǵıa del sistema, se obtiene H(J1, ..., Jn) = α1 (2.25) Las variables de ángulo correspondientes ωi toman la forma ωi = ∂S0 ∂Ji (2.26) Finalmente, las ecuaciones de movimiento se generalizan 11 J̇i = 0 (2.27) ω̇i = ∂H(J1, ...) ∂Ji = vi(J1, ...) (2.28) Aunque el movimiento de algún sistema f́ısico no sea periódico, las variables (qi, pi) pueden presentar periodicidades en su subespacio de fases. Si las frecuencias separadas no forman fracciones racionales de las restantes, entonces la trayectoria no forma una curva cerrada. En su lugar forma una curva abierta de Lissajous. Cuando las frecuencias forman fracciones racionales, entonces el movimiento es periódico. La ventaja de este formalismo es que puede caracterizar al sistema por sus frecuencias sin necesidad de obtener la solución completa [9]. Para un sistema con n grados de libertad se puede describir por medio de un espacio de fases 2n dimensional utilizando las coordenadas generalizadas qi y sus respectivos momentos pi. Un sistema que pueda ser completamente separable en la ecuación de Hamilton-Jacobi entonces posee un conjunto de n constantes de movimiento Ji llamadas acciones como se mencionó anteriormente. Las acciones forman un subespacio de fases n dimensional cuya topoloǵıa es un toro n dimensional, cuyos puntos están dados por las variables angulares ωi [30]. Los n ciclos independientes del sistema corresponden a cada uno de los distintos circuitos del toro. Un sistema con un solo grado de libertad su toro corresponde a las curvas cerradas H(q, p) = E. Para un sistema con muchos grados de libertad, la natura- leza de la trayectoria está determinada por sus frecuencias vi(J1, ...). Si las frecuencias son todas inconmensurables, entonces la trayectoria nunca regresará a su punto inicial y eventualmente cubrirá densamente al toro. Por otro lado si existe algún par de fre- cuencias cuya razón sea un número racional, entonces el movimiento se restringe a un subespacio del toro. En particular, si existen n − 1 razones independientes de núme- ros racionales entre las frecuencias, entonces el subespacio es de unidimensional y su trayectoria es una curva cerrada [30]. El problema de Kepler puede ser tratado utilizando las variables de acción ángulo ya que cumple con las condiciones de periodicidad y conservación de la enerǵıa [9, 30]. Sin embargo, existen potenciales que no pueden ser integrables por lo cual la teoŕıa de perturbaciones puede obtener una solución aproximada con un error dependiente del parámetro de perturbación [9]. En estos sistemas perturbados la maquinaria de construcción de toros permite encontrar propiedades utilizando análisis de frecuencias por medio de la transformada de Fourier. La mayoŕıa de las órbitas débilmente caóticas 12 permanecerán muy cerca de las trayectorias regulares, pasando entre toros invariantes [31]. 2.2. Sistemas Dinámicos Un sistema dinámico es una representación matemática de la evolución de un estado representado por las n variables de estado xi(t) las cuales dependen de un parámetro t, para la mayoŕıa de aplicaciones de la f́ısica puede ser el tiempo. Los sistemas dinámicos pueden ser de tiempo continuo si t es una variable continua en este caso se representa por la ecuación (2.29) que es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. El otro posible sistema dinámico está representado por variable discreta en este caso la ecuación (2.30) es un conjunto de ecuaciones recursivas, en este caso el tiempo siempre evoluciona como un número entero positivo [17] ẋi = f i(xj, t) (2.29) xi(k + 1) = f i(x(k), k) (2.30) La mayoŕıa de sistemas f́ısico no requieren que la variable de evolución aparezca expĺıcitamente en las funciones f i, pero en caso de que aparezca es suficiente con au- mentar el número de variables con xn+1 = t aśı un sistema no autónomo se puede convertir en uno autónomo. Muchos sistemas dinámicos presentes en la f́ısica se pueden modelar como sistemas lineales, por lo tanto se puede simplificar la forma de las ecua- ciones (2.29) y (2.30), de manera que queden ecuaciones matriciales, para simplificar la notación el conjunto de variables de estado se representará por ~x [17] d~x dt = A~x (2.31) ~x(k + 1) = A~x(k) (2.32) De la ecuación (2.32) se puede reducir a un estado inicial ~x(0) iterado k + 1 veces para tener la solución final [17] ~x(k + 1) = Ak+1~x(0) (2.33) La solución de un sistema dinámico continuo se denomina integral del sistema, la cual muchas veces no se puede conseguir de manera anaĺıtica; sin embargo, existen 13 métodos numéricos para obtenerla. Un sistema dinámico tiene una clase especial de puntos que van a caracterizar la integral del sistema, los cuales muchas veces son más fáciles de obtener anaĺıticamente y dan mucha información del comportamiento del sistema, tales puntos se denominan puntos fijos o estacionarios y se caracterizan, en un sistema continuo, por la ecuación (2.34) y para un sistema discreto por la ecuación (2.35) [17] ~̇x = 0 (2.34) ~x(k + 1) = ~x(k) (2.35) Un sistema dinámico cuya condición inicial es un punto fijo implica que el sistema no evolucionará, se quedará en ese punto fijo. Los puntos fijos se pueden clasificar como estables también llamados atractores o sumideros, inestables llamados repulsores o fuentes. Un sistema dinámico cuya condición inicial sea muy cercana a un punto fijo inestable tiene la propiedad de que empieza a evolucionar de manera que se aleje de ese punto inestable a pesar de ser punto fijo de ah́ı el nombre repulsor, se puede identificar el sistema como un flujo entonces el punto inestable es similar a una fuente y la corriente se aleja de este punto. Mientras que si el sistema empieza lo suficientemente cerca de un punto fijo estable, este evolucionará hasta dicho punto motivo por el cual se llama atractor o sumidero. Existe otro posible punto fijo en el cual en una dirección del flujo se tiene un punto fijo estable, pero en otra dirección es inestable. Se dice que un punto es Liapunov estable si todas las trayectorias que empiezan cerca de este punto fijo permanecen cercanas a él en todo momento [17]. El retrato de fases o espacio de fases se conoce a la variedad formada en el caso de un sistema dinámico sencillo por {xi, ẋi}. El estudio de un sistema al verificar su espacio de fases puede revelar la información de puntos fijos y de la evolución del sistema. En sistemas dinámicos se conoce al espacio formado por {xi}, lo que se ven como órbitas dependiendo de la configuración inicial [17]. En un sistema f́ısico el espacio de fases es un poco más complejo ya que el espacio de fases está formado por {xi, pi}, los puntos del espacio de configuraciones o coorde- nadas generalizadas {xi} y sus respectivos momentos conjugados {pi}, por lo cual la definición de momentos conjugados a partir de un lagrangiano permite a un sistema f́ısico establecer el retrato de fases [17]. Otro concepto de suma importancia es el del ciclo ĺımite el cual es una trayectoria cerrada aislada, en donde aislada significa que las trayectorias vecinas no son cerradas. 14 Si el campo vectorial se atrae a las trayectorias entonces se dice estable o atractiva, si el campo vectorial es saliente del ciclo ĺımite se dice inestable y existen casos combinados por lo que recibe el nombre de semi estable [17]. Los ciclos ĺımites son propios de los sistemas no lineales, un sistema lineal puede llegar a tener órbitas cerradas pero no son aisladas. Además, un sistema gradiente es aquel en que existe una función diferenciable V tal que el sistema dinámico se puede transformar en d~x/dt = −∇V , donde V se conoce como función potencial y un resul- tado importante de esta función es que las órbitas cerradas no existen para sistemas gradientes. Este resultado es de suma importancia porque permite analizar un sistema dinámico a partir de esta función aún cuando no sea un sistema f́ısico [17]. El estudio de sistemas no lineales siempre presenta particularidades y el teorema de Poincaré-Bendixon da un fuerte indicativo del tipo de comportamiento de un sistema dinámico. En un plano de fase si una trayectoria está confinada a una región acotada y cerrada que no contiene puntos fijos entonces la trayectoria eventualmente se aproxima a una órbita cerrada, nada más complicado es posible. Pero para sistemas de varias dimensiones puede ocurrir muchas cosas, las trayectorias pueden circular sobre una región acotada sin llegar a un punto fijo, ni estabilizarse en un ciclo ĺımite por ejemplo algunas de las órbitas de agujeros negros de tipo Kerr. Otras trayectorias en el espacio de configuraciones pueden realizar complejas geométricas al estar oscilando entre dos ciclos ĺımite sin asentarse en ninguno como el atractor extraño de Lorenz, donde la evolución de la part́ıcula es aperiódica y sensible a cualquier cambio minúsculo en las condiciones iniciales [17]. 2.2.1. Caos y Secciones de Poincaré. Cuando un sistema dinámico no lineal presenta una serie de evoluciones diferentes para condiciones iniciales muy cercanas entre śı, se dice que presenta caos ya que las soluciones empiezan a divergir exponencialmente unas de otras después de algún mo- mento determinado, Las ecuaciones donde se presenta son deterministas, pero cuando se presenta el caos se vuelven impredecibles debido a la alta sensibilidad a las condiciones iniciales. También existe otra forma de presentarse el caos y es la sensibilidad al cambio de uno o más parámetros del sistema dinámico, por ejemplo el mapeo loǵıstico de la ecuación (2.36), en el cual dependiendo del parámetro r el movimiento puede pasar de ser ordenado a caótico incluso pasando por ventanas o islas de estabilidad [9] xn+1 = rxn(1− xn) (2.36) 15 Aunque existen diversas formas de relacionar el caos y determinar si realmente existe caos o no, el exponente de Liapunov permite dar un vistazo como divergen dos órbitas diferentes que en el momento de iniciar su recorrido se encuentren muy cercanas entre śı.Además, el exponente de Liapunov permite clasificar si en un tiempo lejano las órbitas se alejan exponencialmente o se mantienen muy juntas. Para ello se toma la distancia en cada momento entre órbitas s(t) y la ecuación (2.37) da la manera de aproximar el coeficiente λ. Si λ > 0 el movimiento es caótico y se puede empezar a apreciar el caos para un tiempo τ ∼ 1/λ y mientras mayor sea el tiempo la evolución caótica es completamente aparente. Si el exponente de Liapunov es negativo entonces las órbitas permanecen cercanas una de la otra por un tiempo indefinido y el resultado es un atractor normal [9, 17] s(t) ∼ s0e λt (2.37) Un mapa de Poincaré es un corte al espacio de fases de manera transversal, aśı las órbitas del espacio de fase cruzan cierta sección del espacio con una dimensión menor por ejemplo un plano cada cierto tiempo. De esta manera el problema de órbitas en el espacio de fases se puede transformar en un problema de puntos fijo, este problema generalmente se aborda por computadora debido a las extensas ecuaciones no lineales muchas veces imposibles de resolver de manera anaĺıtica. Una vez construido un mapa de Poincaré es posible encontrar órbitas cerradas y movimiento periódico e incluso zonas de estabilidad y caos [17]. El caos como tal es un fenómeno que solo se presenta en fenómenos no lineales, los sistemas hamiltonianos no lineales más simples son aquellos de tercer orden que se pue- den considerar como perturbaciones a un sistema conocido como un oscilador armónico. Al fijar los parámetros del sistema hamiltoniano de 2n dimensiones y las condiciones iniciales se puede construir la sección de Poincaré al tomar una de las coordenadas ge- neralizadas y su respectivo momento conjugado qi, pi se puede construir una superficie de Poincaré. Se debe tomar en cuenta si el sistema f́ısico descrito por un lagrangiano no depende expĺıcitamente del tiempo entonces el hamiltoniano es una cantidad con- servada en muchos casos la enerǵıa del sistema o la enerǵıa efectiva del sistema, lo cual va a imponer la reducción del movimiento en una dimensión y además las simetŕıas del sistema reducen los grados de libertad reduciendo más las dimensiones del sistema. Lo anterior tiene una consecuencia importante al tomar un sistema hamiltoniano con enerǵıa fija, las condiciones iniciales no son libres entre śı el propio hamiltoniano impone una relación entre condiciones iniciales, al menos una de las condiciones debe calcularse para mantener el parámetro de la enerǵıa [9]. 16 Las secciones de Poincaré se visualizan por medio de cálculos numéricos, y al cons- truirla se pueden ver trayectorias cerradas en las cuales el punto central es un punto fijo del sistema. En mecánica clásica newtoniana los hamiltonianos son invariantes an- tes transformaciones del tipo q̇i → −q̇i lo cual implica una simetŕıa en el eje q̇i = 0 en una sección de Poincaré, pero no necesariamente sobre el eje qi = 0 ya que las per- turbaciones y términos no lineales sólo son funciones de las coordenadas. En sistemas hamiltonianos presentes en relatividad general esta invarianza no necesariamente existe ya que el hamiltoniano puede presentar términos cruzados q̇iq̇j [9]. Además, las secciones de Poincaré pueden presentar regiones ovaladas que si se buscan condiciones para hacerlas más pequeñas colapsan a puntos fijos llamados puntos fijos eĺıpticos. Para una única sección de Poincaré que presente una curva continua que se interseccione a śı misma, los puntos de intersección se denominan puntos hiperbólicos [9]. El caos puede o no presentarse en un sistema hamiltoniano no lineal, dependiendo de la capacidad de influir el término no lineal, para términos no lineales que dependan de algún parámetro de manera perturbativa si el parámetro es lo suficientemente pequeño puede no presentarse el caos, sin embargo, al ir creciendo el comportamiento del sistema dinámico va a cambiar drásticamente desde empezar a parecer las zonas ovaladas y curvas con puntos hiperbólicos, hasta presentar regiones de puntos dispersos al azar sin formar curvas. Estos puntos dispersos en la sección de Poincaré corresponden a la intersección de esta sección con un atractor extraño de varias dimensiones, lo cual es una evidencia de caos. Al ir aumentando este parámetro hasta un valor cŕıtico se llenará prácticamente todo el espacio disponible para la sección de Poincaré, dejando pocas trayectorias regulares cerradas o ninguna [9]. Las islas de estabilidad son regiones de trayectorias cerradas cuando el caos está presente de manera análoga a un mar de caos con islas de estabilidad. En una sección de Poincaré también al realizar una ampliación cerca de ciertos puntos especiales como los puntos hiperbólicos o donde hay curvas cercanas entre śı, se puede llegar a observar que estás regiones no necesariamente se cortan en un punto, en cambio pueden ser una serie de islas y puntos de caos muy próximos entre śı formando estructuras que se repiten. Las curvas regulares grandes en una sección de Poincaré pueden llamarse islas de orden cero, las islas de orden uno se denominan a las posibles islas circundantes, de esta manera se puede establecer una jerarqúıa de islas que puede llegar a ser infinita, teniendo geometŕıa fractal [9]. 17 2.2.2. Teoremas de Kolmogorov-Arnold-Moser y Poincaré-Birkhoff. La mayoŕıa de los sistemas hamiltonianos reales tienden a ser no integrables por pequeños términos perturbativos. En muchos de estos casos, se puede descomponer el hamiltoniano total H en dos partes H = H0 + ∆H, donde H0 es el término dominante e integrable y ∆H es la perturbación pequeña. Para facilitar el análisis se realiza una transformación canónica al término dominante H0(p, q) a un nuevo hamiltoniano que sea nulo K0(P,Q) = 0. Para el término dominante K0 = 0 se pueden resolver las ecuaciones canónicas de Hamilton para obtener nuevas coordenadas y momentos Q0, P0 que son constantes de movimiento. Al aplicar la misma transformación al hamiltoniano completo H se obtiene un hamiltoniano transformado ∆K0 que se usa para obtener las correcciones a primer orden de las coordenadas y momentos Q1, P1 por medio de las ecuaciones de movimiento [9] ∂ ∂P ∆K0(P,Q) = dQ1 dt (2.38) ∂ ∂Q ∆K0(P,Q) = −dP1 dt (2.39) Al integrar las ecuaciones anteriores se pueden obtener el primer orden de pertur- bación de las coordenadas. Al continuar con el proceso para obtener las ecuaciones de orden superior se obtiene una técnica iterativa para obtener cada vez mejores aproxi- maciones al sistema completo. Sin embargo, identificar cuando un sistema perturbado va a tener soluciones estables o cuando las soluciones pueden tener comportamiento que las mantendrá por largos periodos de tiempo cercanas a las soluciones no perturbadas requiere el uso de dos teoremas que identifican su evolución temporal [9, 19]. El primer teorema importante en el estudio de sistemas no-integrables relacionado con caos y en particular a órbitas sometidas a campos gravitacionales fuertes produc- to de objetos compactos como agujeros negros o estrellas de neutrones es el teorema Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) [9]: Si el movimiento acotado de un sistema Hamiltoniano integrable H0 se perturba por un pequeño ∆H que hace Hamiltoniano total H = H0 + ∆H, no integrable y si se satisfacen las siguientes condiciones: la perturbación ∆H es pequeña y las frecuencias ωi de H0 son inconmensurables. Entonces el movimiento permanecerá confinado a un N-toro, excepto para un con- junto despreciable de condiciones iniciales que resulta en una trayectoria serpenteante 18 sobre la superficie de enerǵıa. El segundo teorema importante que caracteriza el movimiento de sistemas hamil- tonianos sometidos a una perturbación es el teorema de Poincaré-Birkhoff (PB), en su forma simplificada [19]: Para un sistema hamiltoniano sometido a una perturbación, de las infinitas órbitas resonantes de la parte integrable del sistema solamente sobreviven un número par al ser perturbado. La mitad de estas órbitas periódicas son estables, la otra mitad son inestables. El teorema de KAM indica que la forma de las órbitas perturbadas serán similares a las pertenecientes del sistema no perturbado, apenas se deforman los toros. Mientras que el teorema de PB muestra que el rompimiento de los toros al someter al hamiltoniano a una perturbación dará la formación de nuevas estructuras visibles en la sección de Poincaré. 2.3. Relatividad General. A inicios del siglo XX Albert Einstein se dio cuenta que las leyes de Newton solo eran una aproximación de las leyes que gobiernan el Universo cuando la velocidad es mucho menor a la velocidad de la luz y el campo gravitacional es relativamente débil. La teoŕıa de la relatividad general trata el campo gravitatorio como una deformación del espacio y el tiempo debido a la presencia de la materia, el éxito de esta teoŕıa ha permitido grandes avances en la astronomı́a y astrof́ısica, ya que logra predecir correctamente diversos fenómenos como las anomaĺıas en la órbita de Mercurio, lentes gravitacionales y la existencia de agujeros negros [1]. Para expresar el comportamiento del espacio-tiempo se hace uso de la geometŕıa diferencial donde la métrica es la manera matemática de generalizar el concepto de distancia, solamente que ahora se consideran que existen tres dimensiones espaciales y una temporal, de manera similar al teorema de Pitágoras. Para efectos de simplificar las ecuaciones se tomará el sistema de unidades naturales donde la rapidez de la luz en el vaćıo es unitaria al igual que la constante de gravitación universal de Newton c = G = 1. En caso de tener un espacio-tiempo plano la métrica que la representa es la de Minkowski que en coordenadas cartesianas tiene la forma ds2 = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2 = ηµνdx µdxν (2.40) Acá el objeto ηµν se conoce como tensor métrico o métrica de Minkowski y se representa matricialmente como 19 ηµν =  −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1  (2.41) El elemento dxµ se representa por un vector de 4 componentes de la forma dxµ =  dt dx dy dz  (2.42) Se puede observar en la ecuación (2.41) una propiedad de los tensores métricos, al intercambio de los ı́ndices µ con ν permanece invariante por lo que es simétrico con respecto a estos ı́ndices. Como se observa en la ecuación (2.40) el tiempo cuenta con un signo diferente a las coordenadas espaciales esto es caracteŕıstico de la relatividad especial y general, a esto se le denomina signatura [1]. Cabe destacar que la escogencia de signos puede cambiar en diversas fuentes literarias y no afectará la f́ısica, sin embargo, una vez escogida una convención de signos debe mantenerse para tener consistencia en la f́ısica. Albert Einstein formuló su teoŕıa al darse cuenta que la geometŕıa del espacio- tiempo es debido al campo gravitacional producido por la materia y la enerǵıa, en otras palabras podemos expresar un campo gravitacional por medio de una métrica gµν . En ausencia de gravedad en el vaćıo el espacio-tiempo adquiere una geometŕıa plana dada por la métrica de Minkowski. Además, por medio de experimentos mentales y geometŕıa diferencial formuló el principio de equivalencia que establece que para cada punto del espacio-tiempo en un campo gravitacional es posible escoger un sistema de coordenadas inercial local tal que en un vecindario del punto lo suficientemente pequeño las leyes de la naturaleza toman la misma forma que en un sistema de coordenadas cartesiano sin acelerar en ausencia de gravedad [18]. Como Weinberg indica este principio es algo vago, pero da coincidencias con la geometŕıa diferencial en especial con un axioma que Gauss tomó para fundamentar la geometŕıa no-euclideana. Para estudiar las ecuaciones de Einstein primero se debe es- tablecer una manera matemática del principio de equivalencia. Entonces en una región muy pequeña del espacio-tiempo se puede tomar un conjunto de coordenadas ξµ local- mente inerciales también llamadas coordenadas geodésicas locales en las cuales no se siente la fuerza gravitacional. En analoǵıa con la segunda ley de Newton se puede cons- 20 truir una ecuación de movimiento en estas coordenadas, las cuales no van a presentar fuerzas gravitacionales. Para construir una ecuación que siempre mantenga la forma al aplicar un cambio a coordenadas se debe utilizar un parámetro invariante llamado parámetro af́ın, si tenemos una part́ıcula masiva el tiempo propio puede utilizarse como parámetro af́ın, que en el caso de velocidades pequeñas es igual a la noción de tiempo tradicional que se teńıa de mecánica clásica. El tiempo propio es el tiempo que marca un reloj que está en reposo respecto a una part́ıcula [18] dτ 2 = −ηαβdξαdξβ = −gµνdxµdxν (2.43) donde gµν es una métrica en un espacio tiempo en presencia de gravedad. Por analoǵıa con la segunda ley de Newton se puede construir una fuerza gene- ralizada que permanezca invariante ante una transformación de coordenadas, por lo cual representa una ley de la f́ısica, para ello se debe utilizar el tiempo propio como parámetro fα = m d2xα dτ 2 (2.44) En coordenadas inerciales locales está fuerza simplemente se anula ya que no están presentes ni los efectos gravitacionales y da la ecuación diferencial d2ξα dτ 2 = 0 (2.45) Esta ecuación nos da un camino recto en un vecindario muy pequeño donde se pueden usar coordenadas inerciales, sin embargo, se desea encontrar una ecuación de movimiento en coordenadas generalizadas que permita ver el efecto de la gravedad presente. Por lo tanto, se aplica una transformación de coordenadas, en este caso se nota que el tiempo propio es un invariante ante una transformación por lo tanto al cambiar a coordenadas generales d dτ ( ∂ξα ∂xµ dxµ dτ ) = ∂ξα ∂xµ d2xµ dτ 2 + ∂2ξα ∂xµ∂xν dxµ dτ dxν dτ = 0 (2.46) Al realizar cambios de coordenadas solamente las ecuaciones escritas en el lenguaje de tensores van a mantener la forma es decir son invariantes. Existen objetos similares a tensores y vectores que no poseen leyes de transformación homogéneas por lo cual al aplicar una trasformación de coordenadas la ecuación tendŕıa nuevos términos que no tienen significado f́ısico. Tales objetos como el śımbolo de Christoffel, que pronto se 21 definirá, contienen las primeras derivadas del tensor métrico en su regla de transfor- mación lo cual no corresponde a la de un tensor, sin embargo, combinaciones de este objeto pueden generar tensores y por lo tanto representar leyes f́ısicas [18]. Si se reduce algebraicamente está ecuación al de multiplicar por ∂xλ/∂ξα se obtiene Γλµν = ∂xλ ∂ξα ∂2ξα ∂xµ∂xν (2.47) d2xλ dτ 2 + Γλµν dxµ dτ dxν dτ = 0 (2.48) Está ecuación se conoce como ecuación de la geodésica, representa la trayectoria de una part́ıcula en un espacio-tiempo en presencia de un campo gravitacional. Tal ecua- ción también puede obtenerse a partir de principio variacional. El objeto Γλµν se conoce como śımbolo de Christoffel o conexión af́ın la cual da una medida de cómo se deforma el espacio-tiempo, este objeto no es un tensor debido a que su ley de transformación no representa la de un tensor mixto [18] Γ′λµν = ∂x′λ ∂xρ ∂xτ ∂x′µ ∂xσ ∂x′ν Γρτσ + ∂x′λ ∂xρ ∂2xρ ∂x′µ∂x′ν (2.49) El śımbolo de Christoffel tal como se definió presenta el inconveniente de utilizar dos sistemas coordenados para ser calculado, uno localmente inercial y otro de coordenadas generalizadas, sin embargo, se puede encontrar una relación directa del śımbolo de Christoffel con la métrica y sus primeras derivadas, se puede demostrar que [18] Γσλµ = 1 2 gνσ ( ∂gµν ∂xλ + ∂gλν ∂xµ − ∂gµλ ∂xν ) (2.50) Al diferenciar un vector o un tensor respecto a alguna de las coordenadas o incluso al parámetro af́ın no necesariamente se encuentra un nuevo tensor, debido a que al realizar una transformación de coordenadas a una derivación parcial de uno de estos objetos se encuentran términos no homogéneos por lo que es necesario una nueva operación similar a la derivación capaz de generar nuevos vectores o tensores tal operación se conoce como derivada covariante respecto a la coordenada xα denotada por T;α, donde T es un vector o un tensor ya sea covariante o contravariante [18] T µσλ;ρ = ∂ ∂xρ T µσλ + ΓµρνT νσ λ + ΓσρνT µν λ − ΓκλρT µσ κ (2.51) También es posible definir la derivada covariante respecto a una curva xα(τ), en este caso la derivación es muy similar, simplemente se continua por regla de la cadena y se define por [18] 22 DT µν Dτ = T µν;λ dxλ dτ (2.52) Si la derivada covariante respecto a una curva xα(τ) es cero, la ecuación resultante da la evolución del vector conocida como transporte paralelo. Este concepto es muy importante, ya que si se realiza a lo largo de una curva cerrada en una variedad y el vector regresa al punto de destino, entonces cualquier cambio se debe a la curvatura de tal variedad [18]. Una propiedad importante de la derivación covariante es que la derivada de una función escalar coincide con la derivada covariante. También es una operación lineal y sigue las propiedades de regla del producto de derivadas. La derivada covariante del tensor métrico es cero debido a que en coordenadas inerciales locales la conexión af́ın y la derivada parcial se anulan, debido a esto al realizar la transformación a cualquier otra coordenada de un tensor también se anulaŕıa la derivada covariante del tensor métrico [18]. Al analizar la geometŕıa de espacios curvos con las leyes de la f́ısica Einstein llegó a la conclusión de que existe un principio que debe ligar ambos mundos en especial con la gravitación, el principio se denomina Covariancia General para complementar el principio de equivalencia, este principio establece que la forma de las ecuaciones de la f́ısica en forma de relatividad especial y en ausencia de campos gravitacionales se pueden reemplazar las derivadas parciales por derivadas covariantes para incluir el campo gravitacional, y la métrica de Minkowski ηµν por la métrica en espacio-tiempo curvo gµν [18]. Para encontrar el efecto gravitacional sobre una part́ıcula a partir de las coordenadas inerciales locales y la relatividad especial primero se busca ecuaciones que se cumplen en ausencia de campos como la conservación de la cuadrivelocidad de una part́ıcula masiva en coordenadas inerciales locales ξα [18] Uα f = dξα dτ (2.53) dUα f dτ = 0 (2.54) Esta ecuación aún no es covariante general, primero debe pasarse a coordenadas generalizadas y cambiar a derivadas covariantes, entonces se obtiene nuevamente la ecuación de la geodésica (2.48) [18] DUµ Dτ = dUµ dτ + ΓµνλU νUλ = 0 (2.55) 23 donde Uµ = ∂xµ ∂ξα dξα dτ = dxµ dτ (2.56) Aunque la ecuación de la geodésica represente la trayectoria de una part́ıcula con una masa pequeña en un espacio-tiempo curvo, todav́ıa falta encontrar la relación con la curvatura de la variedad y una manera de encontrar la métrica en presencia de la gravedad. Debido a que el espacio tiempo cuenta con 3 + 1 dimensiones es necesario representar la curvatura por medio del tensor de Riemann-Christoffel Rλ µνκ [18] Rλ µνκ = ∂Γλµν ∂xκ − ∂Γλµκ ∂xν + ΓηµνΓ λ κη − ΓηµκΓ λ νη (2.57) Como tal este es el único tensor que se puede formar con la métrica y sus primeras y segundas derivadas, además tiene la propiedad que si este tensor es idénticamente cero junto con que el tensor métrico tenga tres autovalores del mismo signo en cualquier sistema coordenado para algún punto X, entonces el espacio-tiempo es plano y el tensor métrico es equivalente a la métrica de Minkowski para todo punto del espacio tiempo. En muchas aplicaciones y literatura se encuentra la versión completamente covariante del tensor de curvatura [18] Rλµνκ = gλσR σ µνκ (2.58) Si se contrae el tensor de Riemann es posible encontrar un único tensor conocido como tensor de Ricci, cualquier otra contracción daŕıa cero [18] Rµκ = gλνRλµνκ (2.59) El tensor de Ricci tiene la propiedad de ser simétrico con respecto al cambio de los ı́ndices y al contraerlo da el escalar de curvatura R [18] R = gµκRµκ (2.60) Las ecuaciones de campo de Einstein son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales las cuales relacionan la curvatura del espacio-tiempo con la presencia de mate- ria, en ellas se usan para encontrar los coeficientes de la métrica. Las propias ecuaciones de campo de Einstein relacionan el tensor de Ricci Rµν el cual representa una especie de medida de la curvatura del espacio-tiempo con el tensor de enerǵıa impulso el cual representa la presencia de materia y campos f́ısicos. Para ello se basa en comparaciones con la mecánica clásica, en este caso se toma el tensor de segundo orden más general 24 posible que tenga divergencia covariante igual a cero, tal tensor está formado por el tensor de curvatura de Ricci junto con la métrica. El resultado da las ecuaciones de campo de Einstein, en el caso de presencia de materia el tensor de enerǵıa-impulso aparece, pero tiene divergencia covariante también igual a cero [1, 16,18] Rµν − 1 2 Rgµν − Λgµν = 8πG c4 Tµν (2.61) Además, en las ecuaciones de campo (2.61) aparece la constante cosmológica Λ la cual fue introducida por Einstein para mantener la consistencia de las ecuaciones y actualmente se conoce como la densidad de enerǵıa oscura del universo. Para estudios a gran escala del universo requiere la presencia de la constante que actualmente sigue sin conocerse su valor exacto, aunque se ha determinado que tiene un valor sumamen- te pequeño y para los estudios de objetos estelares esta constante no va a afectar el movimiento de part́ıculas de prueba por lo que se puede usar como Λ = 0 [1]. La relatividad General es la teoŕıa que fundamenta la cosmoloǵıa actual, la cual relaciona la geometŕıa del espacio-tiempo con la gravedad principalmente y otros cam- pos y se representa como soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein y a partir de ellas Friedmann obtuvo las soluciones para una métrica homogénea e isotrópica la cual describe a gran escala el universo, además de presentar también la expansión del universo y de ella se pudieron deducir que el universo tuvo una era donde la radiación predominaba sobre la materia [1, 18]. 2.4. Métricas que modelan los objetos compactos. Existe una gran cantidad de estudios para modelar el comportamiento de la dinámi- ca de las part́ıculas alrededor de objetos compactos tanto modelos teóricos basados en relatividad general, observaciones de estrellas, materia y radiación cerca de los aguje- ros negros; sin embargo, los modelos teóricos tienen el detalle de presentar ecuaciones diferenciales muy complejas que en muy pocos casos sencillos pueden ser resueltas de manera anaĺıtica y la única manera de visualizarlas es usando simulaciones por compu- tadora las cuales permiten obtener datos muy precisos del comportamiento general los cuales pueden ser constatados con observaciones de materia alrededor de ellos [1, 2]. El más sencillo de los modelos que representan la deformación del espacio alrededor de un objeto esférico es la métrica de Schwarzschild, el cual modela el espacio-tiempo estático fuera del objeto compacto, estacionario y con simetŕıa esférica [1] 25 ds2 = −c2 ( 1− 2MG c2r ) dt2 + ( 1− 2MG c2r )−1 dr2 + r2 ( dθ2 + sin2 θdφ2 ) (2.62) El modelo de la ecuación (2.62) puede utilizarse para describir las órbitas planetarias en el sistema solar que para el caso de la mayoŕıa de planetas se reduce a las leyes de Kepler y Newton; sin embargo, la órbita de Mercurio al estar tan cerca del Sol puede presentar una precesión. La precesión del perihelio implica que la órbita va cambiando con el tiempo, manteniendo constante el plano orbital, y la relatividad general a través de la ecuación (2.62) predice correctamente este movimiento. Si el radio del objeto que crea la deformación es igual al radio que se encuentra en el denominador llamado radio de Schwarzschild r = 2MG/c2 el objeto se convierte en un agujero negro lo cual se ve como una indefinición, un agujero, en el propio espacio-tiempo. La f́ısica en el interior de un agujero negro aún no se comprende exactamente por la gravedad extrema en este lugar y la falta de un modelo de mecánica cuántica de la gravedad efectiva [1, 2, 15]. La formación de agujeros negros se debe al colapso de estrellas mucho más masivas que el Sol, las cuales al finalizar su vida dejan de fusionar elementos en su núcleo y la gravedad comienza a aplastar la estrella. Debido a los procesos cuánticos como el principio de exclusión de Pauli y la neutronización, las capas exteriores de la estrella explotan violentamente liberando una gran cantidad de enerǵıa mientras que el núcleo se aplasta hasta convertirse en una estrella de neutrones o un agujero negro dependiendo de la masa original de la estrella. El modelo de la ecuación (2.62) es sumamente sencillo para describir a un agujero negro ya que no considera si se encuentra en rotación [2,15]. Las métricas estacionarias, es decir con rotación, en general pueden escribirse de la siguiente forma [6] ds2 = −V dt2 + 2Wdtdφ+Xdr2 + Y dθ2 + Zdφ2 (2.63) donde V , W , X, Y , Z se denominan potenciales y pueden especificarse para simplifi- car la forma de la métrica. Cada potencial es función de las coordenadas espaciales y temporales. Los momentos generalizados obtenidos a partir de la métrica son pt = µ(−V ṫ+Wφ̇) = −E pr = µXṙ pθ = µY θ̇ pφ = µ(Wṫ+ Zφ̇) = Lz (2.64) 26 De estos momentos generalizados pt y pφ son cantidades conservadas para toda la órbita, relacionadas con la enerǵıa E de la part́ıcula de prueba de masa µ y la componente del momentum angular Lz sobre el eje de simetŕıa y son caracteŕısticos para todas las métricas de la forma de la ecuación (2.63). Una vez planteados los momentos generales se puede obtener el hamiltoniano H H = µ 2 ( − 1 µ2(V Z +W 2) (E2Z + 2ELzW − L2 zV ) + p2r µ2X + p2θ µ2Y ) = E (2.65) El propio hamiltoniano es igual a una cantidad conservada análoga a la enerǵıa que se tomará igual a E = −1 para part́ıculas de prueba con masa y E = 0 en caso de part́ıculas sin masa como la luz. A partir de esto se usan las ecuaciones de canónicas de Hamilton (2.7) y (2.8) para modelar el movimiento de una part́ıcula de prueba alrededor del agujero negro dada una métrica en términos de sus potenciales V , W , X, Y , Z, lo cuál queda expĺıcito en las ecuaciones (2.66) ṙ = pr/X θ̇ = pθ/Y ṫ = 1 ρ̃2 (EZ + LzW ) φ̇ = 1 ρ̃2 (LzV − EW ) ṗr = 1 2 ( p2r∂rX/X 2 + p2θ∂rY/Y 2 + ∂rValm ) ṗθ = 1 2 ( p2r∂θX/X 2 + p2θ∂θY/Y 2 + ∂θValm ) ṗφ = 0 ṗt = 0 (2.66) Dada la dificultad para obtener una expresión anaĺıtica para la solución de estas ecuaciones diferenciales acopladas se utiliza un programa de computadora para resol- verlas numéricamente, tomando la masa de la part́ıcula de prueba como µ = 1 para efectos de simplificar las ecuaciones. 27 2.4.1. Métrica de Kerr. Un modelo ampliamente usado en las investigaciones sobre agujeros negros y otros objetos compactos es el de Kerr que toma en cuenta la rotación del propio objeto compacto, además de ser una solución exacta de las ecuaciones de campo. Para describir la rotación del objeto compacto se utiliza el momentum angular J o el momentum angular por unidad de masa a = J/M . La métrica de Kerr en coordenadas de Boyer- Lindquist está dada por [15] ds2 = − ( 1− 2Mr Σ ) dt2 − 4aMr sin2 θ Σ dtdφ+ Σ ∆ dr2 + Σdθ2 + ( r2 + a2 + 2a2Mr sin2 θ Σ ) sin2 θdφ2 (2.67) donde ∆ = r2 − 2Mr + a2 (2.68) Σ = r2 + a2 cos2 θ (2.69) Una caracteŕıstica importante del espacio-tiempo modelado por la métrica de Kerr es la integrabilidad, la existencia de la solución exacta a la ecuación diferencial de la geodésica. Esto se debe principalmente a la existencia de la constante de Carter que es una cantidad conservada y permite al sistema ser integrable [16]. Los sistemas integrables por definición no son caóticos ya que no tienen alta sensibilidad a las con- diciones iniciales [3]. Adicionalmente, el movimiento alrededor de un objeto compacto con métrica de Kerr se visualiza como un toro alrededor del objeto [16]. Las métricas consideradas a continuación, a pesar de tener caracteŕısticas en común con la métrica de Kerr, no presentan la constante de Carter, por lo tanto no son sistemas integrables y cuyas soluciones son numéricas o son aproximadas [6, 11, 14]. Está clase de métricas pueden poseer geodésicas caóticas y también cadenas de Birkhoff u otras estructuras en el espacio de fases que puede visualizarse en una sección de Poincaré. Sin embargo, cabe recalcar que por el teorema de KAM, la mayoŕıa de los toros de las órbitas no son destruidos, solamente se deforman ligeramente del caso de Kerr [20]. 28 2.4.2. Métrica tipo-Kerr con momento de masa cuadrupolar. Entre las métricas, existe una que modela aproximadamente el espacio-tiempo alre- dedor de un objeto achatado que rota y tiene la caracteŕıstica de que posee expĺıcitamen- te el momento cuadrupolar de masa. Conocida como métrica tipo-Kerr con momento de masa cuadrupolar fue propuesta por Frutos et al. es dada por el siguiente conjunto de ecuaciones [6, 8] V = e−2ψ ρ2 (∆− a2 sin2 θ) W = −2Jr ρ2 sin2 θ X = ρ2 e2χ ∆ (2.70) Y = ρ2e2χ Z = e2χ ρ2 ((r2 + a2)2 − a2∆ sin2 θ) sin2 θ donde ψ = q r3 P2 + 3 Mq r4 P2 (2.71) χ = qP2 r3 + 1 3 Mq r4 (−1 + 5P2 + 5P 2 2 ) + 1 9 q2 r6 (2 + 6P2 + 21P 2 2 + 25P 3 2 ) (2.72) y P2 es un polinomio de Legendre P2 = 1 2 (3 cos2 θ − 1) (2.73) El parámetro q es el momento cuadrupolar de masa y representa la deformación de la fuente de campo gravitacional respecto a un objeto esférico. En el Anexo (B) se presentan otras soluciones a las ecuaciones de campo de Eins- tein utilizadas para modelar el espacio-tiempo circundante al objeto compacto. Estos modelos presentan momentos de masa cuadrupolar pero se diferencian entre śı por la expansión multipolar. 29 Caṕıtulo 3 Resultados y Simulaciones 3.1. Resultados y Simulaciones de la métrica tipo- Kerr con Momento de Masa Cuadrupolar. Como se menciona en la sección (2.4.2), la métrica tipo-Kerr es una solución apro- ximada de las ecuaciones de campo de Einstein, basada en una perturbación hasta el orden cuadrupolar de la métrica de Kerr [6]. En otras palabras el parámetro del término cuadrupolar q determina la perturbación a la métrica de Kerr. Cabe resaltar que el caso q = 0 coincide exactamente con la métrica de Kerr. Tomando esto en cuenta se han realizado diferentes simulaciones, utilizando el pro- grama escrito en lenguaje C para este proyecto y la herramienta GNUPLOT para el proceso de graficación. Para los cálculos de las órbitas en la métrica tipo Kerr se tomó como base q = 0 y se aumentó posteriormente este parámetro. Para iniciar el estudio del comportamiento de las geodésicas para la métrica de tipo Kerr, primeramente se selecciona un conjunto de parámetros para el caso q = 0 el cual debe reproducir la métrica de Kerr. Para el conjunto de parámetros M = 1,0, a = 0,99, E = 0,932516, Lz = 1,2 y q = 0, los cuales fueron tomados de [10] ya que presentan una base para comparar con el caso Kerr. En este art́ıculo presentan diversas simulaciones con el objetivo de mostrar casos especiales del comportamiento armónico. Está estructura armónica puede perturbarse al aumentar el momento de masa cuadrupolar. En la figura (3.1) se muestra una simulación de la trayectoria en el espacio de configuraciones para el conjunto de parámetros seleccionados. 30 Figura 3.1: Órbita en el espacio de configuración t́ıpico de Kerr (q = 0). Los parámetros son: M = 1,0, a = 0,99, E = 0,932516, Lz = 1,2 y las condiciones iniciales son: r = 7,1, θ = π/2, φ = 0, t = 0, pr = 0, pφ = Lz = 1,2, pt = −E = −0,932516. La condición de pθ se calcula por medio de la ecuación (2.65) seleccionando la ráız positiva de esta ecuación. Como se ve en la figura (3.2) la proyección r -cos(θ) nos puede mostrar que esta órbita no es cerrada ya que rellena el espacio permitido. Figura 3.2: Proyección r-cos(θ) de la figura (3.1). La proyección ρ-z de la figura (3.3) muestra la región permitida según la enerǵıa del sistema. 31 Figura 3.3: Proyección ρ− z de la figura (3.1). La sección de Poincaré de la figura (3.4) muestra la intersección en el plano θ = π/2 y pθ > 0 de la familia de órbitas del espacio de fases con los parámetros anteriores. En esta figura se observa que el conjunto de trayectorias forman una estructura regular de elipses debido a que la métrica de Kerr forman geodésicas integrables [10,15,16], por lo tanto no se debe esperar encontrar alguna clase de estructura de islas en ninguna parte ni siquiera cerca del horizonte de eventos [26]. En esta misma figura solamente se observa un único punto eĺıptico, el centro de las curvas cerradas que corresponde a r = 6,294455. En la figura (3.5) se muestra la órbita en el espacio de configuraciones. Dado que este punto eĺıptico en el mapa de Poincaré se encuentra sobre el eje de pr = 0 entonces también corresponde a un punto estacionario para la coordenada radial lo cuál implica que no va haber un cambio en el momentum radial. En la figura esto se visualiza en una órbita ordenada donde la part́ıcula se encuentra siempre con r = 6,294455. Además, cabe recalcar que las coordenadas de Boyer-Lyndquist la coordenada radial no corresponde exactamente con la coordenada radial esférica, lo cual se refleja que la geodésica siga un camino ligeramente achatado en lugar de ser esférico. 32 Última órbita estable Punto elíptico Figura 3.4: Sección de Poincaré del plano θ = π/2 y pθ ≥ 0 para los parámetros: M = 1,0, a = 0,99, E = 0,932516, Lz = 1,2 y q = 0, la cual coincide con Kerr. Figura 3.5: Órbita correspondiente al único punto eĺıptico ubicado en r = 6,294 de la sección de Poincaré de la figura (3.4) para el conjunto de parámetros M = 1, a = 0,99, Lz = 1,2 y E = 0,932516. Las condiciones otras iniciales θ = π/2, φ = 0, t = 0, pr = 0, pφ = Lz y pt = −E. La condición pθ se calcula por medio de la ecuación (2.65). Las secciones de Poincaré perturbadas por medio del momento cuadrupolar q van a presentar islas, algunas centradas en el eje pr = 0 y otras aparecen de manera simétrica fuera de él. Por el teorema de KAM, cuando hay una pequeña perturbación a las órbitas integrables, entonces la mayoŕıa de los toros perturbados van a sobrevivir deformados y a tales toros se les conoce como toros de KAM [19]. Adicionalmente, cuando el campo 33 gravitacional sea más intenso y asimétrico, en particular si q es lo suficientemente alto, al estar cerca de la última órbita estable, entonces se espera visualizar caos en la dinámica de la trayectoria. Existes dos posibilidades para los toros destruidos. La primera, que estas trayectorias se vuelvan inestables y se dirijan al horizonte de eventos. La segunda, que se transformen en estructuras de tipo islas y puntos hiperbólicos en la sección de Poincaré. En la figura (3.6) se observa con más detalle las diferentes órbitas en la región correspondiente a las zonas estables más cercanas al objeto compacto y muestra la región con la última órbita estable para este conjunto parámetros. Cualquier otra geodésica entre el horizonte de eventos en el plano r = 1,14107 y última órbita estable r = 2,76819, deberá caer al horizonte de eventos. En está región la gravedad es tan intensa que las part́ıculas masivas no tienen más opción que dirigirse eventualmente al horizonte del objeto compacto. Adicionalmente, se puede observar que cualquier órbita inestable para este caso, no genera ninguna clase de estructura en la sección de Poincaré, estas geodésicas se en- cuentran fuera de la isla de estabilidad principal y solamente corresponden a part́ıculas que caen al horizonte de eventos. Figura 3.6: Detalle de de la figura 3.5 en la región del horizonte cercana a la última órbita estable. Dado que el sistema dinámico es integrable debido a la existencia de las cuatro constantes de movimiento: enerǵıa, la componente z del momento angular, la enerǵıa del reposo y la constante de Carter [16], entonces se refleja en la ausencia de otras estructuras en la sección de Poincaré. Se concluye que no puede existir ninguna región 34 caótica cuando se utiliza la métrica de Kerr como modelo para representar el espacio- tiempo alrededor de un objeto compacto. Además, una consecuencia en la dinámica de las part́ıculas masivas es que cualquier órbita estable con suficiente tiempo va a rellenar una región similar a un toro, sin importar las condiciones iniciales [3]. 3.1.1. Momentos Cuadrupolares q = 0,01. En esta sección se analizan de las diferencias en la dinámica del movimiento de una part́ıcula de prueba al agregar el parámetro de momento de masa cuadruoplar q. En la sección anterior se pudo observar que en la sección de Poincaré existen únicamente curvas cerradas delimitadas por la última órbita estable la cuál separa la región de estabilidad de la zona donde las part́ıculas caen al horizonte de eventos si está muy cerca o escapar si está muy largo. En la métrica tipo-Kerr las ecuaciones de movimiento no tienen variables separables debido a la perturbación del momento de masa cuadrupolar q. Esta consecuencia se refleja en la pérdida de la constante de Carter, por lo tanto el sistema no es integrable si q 6= 0. Manteniendo el mismo conjunto de parámetros anteriores de masa, enerǵıa, momento angular en el eje z, y parámetro de giro para describir la familia de geodésicas, pero agregando el momento q, nos encontramos, que aunque este sea una perturbación pequeña, la dinámica del campo gravitacional cambia cerca del horizonte de eventos. Al escoger una perturbación relativamente pequeña como q = 0,01 se podrán obser- var tanto similitudes como diferencias destacables. Entre las similitudes primeramente, existe una concordancia entre el modelo Kerr y el tipo-Kerr en la forma general de las secciones de Poincaré como se observa en la figura (3.7). 35 Figura 3.7: Sección de Poincaré para el conjunto de parámetros M = 1,0, a = 0,99, Lz = 1, 2, E = 0,932516 y q = 0,01. Segundo, se puede observar que para r alto (lado derecho de la figura) se pueden formar estructuras de islas no mostradas en la figura anterior debido a que son más delgadas y menos propensas a aparecer. Lo cuál implica que la perturbación q afecta poco está región como se puede esperar. Se puede interpretar con una analoǵıa utilizando el campo eléctrico de un objeto compacto cargado en donde no importa la forma que tenga el objeto, a una distancia grande el campo eléctrico va pareciéndose al campo de una carga puntual. En el caso de la masa con momento cuadrupolar que representa una deformación de un objeto esférico, a una distancia grande el campo gravitacional se parece más al modelo de Kerr y a una distancia considerablemente más grande esperaŕıamos que sea un potencial Newtoniano clásico. 36 Figura 3.8: Sección de Poincaré para el conjunto de parámetros M = 1, a = 0,99, Lz = 1,2, E = 0,932516 y q = 0,01. Las diferencias de ambos modelos se comienzan a visualizar cerca del horizonte de eventos, incluso con un valor pequeño de q = 0,01 ya se visualiza la presencia de islas entre las órbitas, como se observa en las figuras (3.7) y (3.8). Para caracterizar la dinámica debida al intenso campo gravitacional y la deformación de la masa se observan las nuevas estructuras que aparecen según el momento de masa cuadrupolar q y se compara también con las diferencias al aumentar este parámetro. Primeramente, se observa la aparición islas centradas en pr = 0 entre las curvas cerradas grandes en la parte izquierda de la figura (3.7), cerca de r = 2,782, r = 2,787, r = 2,803 y r = 2,895. Adicionalmente, aparecen multitudes de islas fuera del eje pr = 0 de manera simétrica. Los espacios en blanco relativamente grandes entre curvas grandes también representan la presencia de islas en esa región de r = 2,84 y pr = ±0,01. Además, una caracteŕıstica común que tendrán las secciones de Poincaré para la métrica tipo-Kerr caracterizadas por el momento de masa cuadrupolar q diferente de cero será la isla más cercana al horizonte de eventos. A pesar de que pueden aparecer otras islas más cercanas al aumentar q, la prominencia de está isla la hace de particular interés. Esta isla centrada en r = 2,78236, muestra una separación más abrupta que otras islas. Por último se puede observar que la última órbita estable es más dif́ıcil de determinar visualmente aunque debe encontrarse cerca de r = 2,77614 para pr = 0, lo que indica que la presencia de la isla obliga a que la última órbita estable se mueva hacia afuera un poco. 37 3.1.2. Momento Cuadrupolar de Masa q = 0,3. En esta sección se analizarán las estructuras que aparecen al utilizar q con un va- lor intermedio de 0,3. Además, se estudiará las implicaciones en la dinámica de las part́ıculas al seguir la trayectoria dada por la geodésica. Figura 3.9: Sección de Poincaré para el conjunto de parámetros M = 1,0, a = 0,99, Lz = 1, 2, E = 0,932516 y q = 0,3, mostrando la primera isla detectada en r = 3,48. En la figura (3.9) se muestra la primera isla detectada centrada en el punto pr = 0 y r = 3,475. Como se puede observar en esta región no existen islas satélite ni puntos dispersos. Sin embargo, muestra la existencia de irregularidades en forma de islas en el campo gravitacional al acercarse al horizonte de eventos. Está pequeña región es caracteŕıstica de una part́ıcula que puede tener una especie de subórbita al acercase al interior. Al comparar con la sección anterior en la cual la aparición de la primera isla para q fue apenas en r = 2,895, mientras que en el caso q = 0,3 la isla más externa apa- rece para un radio más grande cerca de r = 3,5 lo que indica que la deformación del objeto compacto representada por el momento de masa cuadrupolar tiene una fuerte consecuencia sobre la estructura del espacio-tiempo circundante. 38 Figura 3.10: Sección de Poincaré para el conjunto de parámetros M = 1,0 a = 0,99, Lz = 1, 2, E = 0,932516 y q = 0,3, en la zona cercana al horizonte de eventos. Figura 3.11: Sección de Poincaré para el conjunto de parámetros M = 1,0, a = 0,99, Lz = 1, 2, E = 0,932516 y q = 0,3. Se muestra una ampliación de la figura (3.10) cerca del intervalo entre puntos hiperbólicos. 39 Figura 3.12: Sección de Poincaré para la estructura cercana al extremo izquierdo con el conjunto de parámetros M = 1,0, a = 0,99, Lz = 1, 2, E = 0,932516 y q = 0,3. Se muestra una ampliación de la figura (3.10) en las estructuras más cercanas al horizonte de eventos. Cuando se observan las órbitas más cercanas al horizonte de eventos como se muestra en la figura (3.10), se puede apreciar la aparición de diversas estructuras adicionales como puntos hiperbólicos todos con momento radial nulo (pr = 0), aquellos donde se cortan secciones, como lo es el de r = 3,00775. Justo a la derecha de este punto se puede notar que las estructuras en la sección de Poincaré son bastante regulares. Las secciones en blanco por encima y debajo del punto hiperbólico están llenas de islas de manera simétrica. Sin embargo, justo a la izquierda del punto aparece una cadena de islas delgada como se muestra en la figura (3.11). Aún más, aparece una segunda cadena cerca de r = 3,005. Cabe recalcar que existe otro punto hiperbólico más externo cerca de r = 3,185 no mostrado en las figuras anteriores, pero no presenta ninguna otra estructura apreciable. Al adentrarse más, la estructura especial cercana a la última órbita estable ha mo- vido su centro cerca de r = 2,981, como se observa en la figura (3.12). Sin embargo, la caracteŕıstica más notoria en su evolución es la aparición de varias islas satélite en su vecindario. Junto con indicios de puntos dispersos que seŕıan un indicativo de caos, el cuál se analizará más adelante utilizando el número de rotación. 3.1.3. Momento Cuadrupolar de Masa q = 0,7. En la figura (3.13) se muestran las estructuras más relevantes que aparecen en el corte del espacio de fases cuando se incrementa el momento de masa cuadrupolar a 40 q = 0,7. Aparte de la isla centrada en r = 6,144 que posee una frontera definida entre la región de puntos dispersos, aparecen muchas otras islas rodeadas de satélites como en (r, pr) = (3,2012,±0,00303), (r, pr) = (3,206, 0). En (r, pr) = (3,2106, 0) aparece una resonancia ligeramente deformada junto con una cadena de otras islas siguiendo el patrón zigzagueante. El punto hiperbólico en r = 3,215 realmente está formado por una serie islas diminutas. Este punto hiperbólico se nota que separa la región caótica de la zona estable, aún aśı existen del lado derecho de dicho punto varias resonancias. Finalmente, en los lóbulos que parecen simétricamente a ambos lados del eje pr y cerca del punto hiperbólico separan la región caótica de una estable. Estos lóbulos están rodeados por varias cadenas de islas de orden superior. En la sección (3.2) se comprueba que efectivamente la zona caótica termina en r = 3,215. Figura 3.13: Sección de Poincaré para la estructura cercana al extremo izquierdo con el conjunto de parámetros M = 1,0, a = 0,99, Lz = 1, 2, E = 0,932516 y q = 0,7. 3.1.4. Caracteŕıstica al variar el momento de masa cuadrupo- lar. Al considerar la posición radial de alguna órbita periódica como función de algún parámetro del sistema y manteniendo el resto fijos, se puede observar rasgos distintivos para cada familia de órbitas, como señalan Contopoulos et al. en su art́ıculo está clasifi- cación recibe el nombre de caracteŕıstica [4]. En ese art́ıculo presentan la caracteŕıstica para los puntos centrales de las órbitas grandes y para algunas islas, al variar la com- ponente z del momento angular o la enerǵıa del sistema. Sin embargo, no realizan un estudio de la evolución al modificar el parámetro del momento de masa cuadrupolar. 41 Dado que el momento de masa cuadrupolar representa el parámetro de perturbación a la métrica de Kerr, la evolución de la aparición de estructuras en el espacio de fases está directamente relacionada con dicho parámetro. A continuación se presentan dos imágenes ilustrativas de la posición de los puntos u0 y u′0, además de las tablas correspondientes de la evolución de la caracteŕıstica de dichos puntos. u0 Figura 3.14: Posición del punto central u0 de la isla principal de estabilidad en la sección de Poincaré de q = 0,3. u'0 Figura 3.15: Posición del punto central u′0 de la estructura cercana a la última órbita estable en la sección de Poincaré de q = 0,3. 42 Cuadro 3.1: Caracteŕıstica del punto eĺıptico principal u0. Momento de Masa Posición del Centro Cuadrupolar q Principal 0 6,294 0,01 6,293 0,1 6,274 0,2 6,253 0,3 6,232 0,4 6,211 0,5 6,189 0,6 6,167 0,7 6,144 0,8 6,121 0,9 6,098 0,95 6,086 Figura 3.16: Relación de la posición del centro principal u0 de la sección de Poincaré al aumentar el momento cuadrupolar de masa. Como se puede apreciar en la figura (3.16), existe una correlación lineal en el mo- vimiento del punto fijo del centro de la isla principal de las secciones de Poincaré al aumentar la intensidad del momento de masa cuadrupolar. El efecto se traduce en un acercamiento al objeto compacto que genera la deformación del espacio-tiempo. Adi- cionalmente, se presenta en la figura (3.16) que el coeficiente de correlación lineal es muy cercano a 1,0, lo cuál permite concluir que efectivamente la relación lineal. La estructura de islas cerca del borde de la última órbita estable, también presenta 43 movimiento al aumentar q, la siguiente tabla resume está información. Cuadro 3.2: Caracteŕıstica del punto eĺıptico de la isla cercana a la última órbita estable u′0. Momento de Masa Posición del Centro Cuadrupolar q de la Isla 0 - 0,01 2,782 0,1 2,8619 0,2 2,9228 0,3 2,9809 0,4 3,0362 0,5 3,0890 0,6 3,1396 0,7 3,1882 0,8 3,2350 0,9 3,2803 0,95 3,3025 Figura 3.17: Relación de la posición del centro de la isla prominente cercana al horizonte de eventos de la sección de Poincaré al aumentar el momento cuadrupolar de masa. La deformación del objeto compacto también repercute en las estructuras que apare- cen en el espacio de fases, al aumentar el momento cuadrupolar se comienzan a destruir los toros cercanos al objeto. Adicionalmente, los toros sobrevivientes más cercanos al objeto comienzan a fragmentarse en cadenas de pequeñas islas cercanas muy cercanas, dando la apariencia de puntos dispersos. En la figura (3.17) aparece que el centro de 44 la estructura prominente cercana al horizonte de eventos comienza a alejarse lo cual coincide con la destrucción de los toros. En este caso también se aprecia una relación lineal, visto por el coeficiente de correlación cercano a 1,0. 3.1.5. Comparación con otros Espacio-Tiempo producto de objetos compactos. Lukes-Gerakopoulos [19], muestra en su art́ıculo las caracteŕısticas de la naturaleza no-integrable de las geodésicas producto del modelo de Zipoy-Vorhees. Este modelo representa el espacio-tiempo de un objeto compacto con simetŕıa axial y no rotativo. Esta métrica para el caso especial del parámetro δ = 1 se reduce al caso de la métrica de Schwarzschild o si δ = 0 que se reduce inmediatamente a ser el espacio-tiempo de Minkowski, la cuál es un caso especial ya que es integrable. Presenta entre sus resultados secciones de Poincaré con la presencia de órbitas cuasi-integrables, capas caóticas y cadenas de Birkhoff para diferentes parámetros. Adicionalmente, se hace énfasis que esta métrica no es integrable en los casos gene- rales (δ 6= 1 o δ 6= 1) debido al hecho de no presentar la constante de Carter [16,18,19], la cual es una constante de movimiento adicional a la enerǵıa o el momento angular en z. El parámetro de Zipoy-Vorhees representa la perturbación respecto al espacio-tiempo de Schwarzschild, lo cuál indica que ya no existe simetŕıa esférica. Entonces la fuente del campo gravitacional es un objeto compacto achatado. Entre los resultados notables se presenta diversas secciones de Poincaré que muestran claras similitudes con los resultados obtenidos para la métrica tipo-Kerr. Se muestra claramente que existen muchas de las mismas estructuras en el espacio de fases. Cerca del horizonte de eventos, aparece la estructura de una isla central rodeada de islas satélites y una región de puntos dispersos. Además, las regiones de puntos hiperbólicos son similares y aparecen separando la sección de puntos dispersos de la zona cuasi- integrable. Está similitudes entre la geometŕıa del espacio de fases muestran claramente que la falta de la constante de Carter, como ocurre en las ecuaciones de movimiento de la métrica tipo-Kerr o en la métrica de Zipoy-Vorhees, produce el efecto de la destrucción de las órbitas de tipo toroidal caracteŕısticas de las métricas integrables. El efecto de achatamiento de la fuente tiene un fuerte impacto en las geodésicas ya que permite la formación de estructuras solamente visibles por una sección de Poincaré. 45 3.2. Número de rotación. El número de rotación mide el cociente de las frecuencias ωr/ωθ del movimiento a través del toro como se muestra en la figura (3.18), en caso de una órbita resonante da como resultado un número racional y corresponde a la posición de una isla en la sección de Poincaré. Además, cuando se gráfica el número de rotación en función de la posición inicial, en la zona de las islas son constantes racionales. En un punto hiperbólico hay un salto debido al cambio abrupto en la sección de Poincaré del comportamiento de las trayectorias, en este punto se separan los toros en dos regiones diferentes. ωr ωθ Figura 3.18: Movimiento de una part́ıcula restringida a la superficie de un toro. Las frecuencias ωr y ωθ se utilizan para calcular el número de rotación por definición. También, debido al comportamiento anómalo cuando el campo gravitacional es más intenso y asimétrico, entonces pueden aparecer multitudes de islas diminutas de manera desordenada. En dichas zonas caóticas el número de rotación no está correctamente definido, puede mostrar una alta variación de picos y valles. Es incluso posible identificar algunas zonas de estabilidad correspondiendo a resonancias pequeñas mezcladas en la región caótica. [3, 4, 13,19,20]. Como mencionan Contopoulos, Lukes-Gerakopoulos y Santos [3, 4, 13, 19, 20, 25], el número de rotación νθ es un test realizado a la sección de Poincaré para determinar una clasificación de las islas que aparecen producto de la perturbación. En particular, este test permite determinar los intervalos donde las órbitas caóticas permanecen pegadas [25]. 46 rn rn+1 θn+1 u0 Figura 3.19: Ilustración del ángulo formado por los vectores ~rn y ~rn+1, cuando apuntan al centro de las islas. Para poder calcular el número de rotación a partir de una sección dada, primero se debe encontrar el centro de la isla principal u0. El cuadro (3.1) muestra el cambio de la posición del centro de la principal cuando se aumenta el momento de masa cuadrupolar q. Posteriormente se definen los vectores ~rn partiendo del punto central u0 hasta al n- ésimo punto de la sección de Poincaré para una órbita dada. Posteriormente se calcula el ángulo formado por dos vectores consecutivos θn+1 = ](~rn+1, ~rn), como se muestra en la figura (3.19). El número de rotación está definido por la siguiente ecuación νθ = ĺım n→∞ 1 2πn n∑ j=1 θj (3.1) Al construir la gráfica del número de rotación para pr = 0 se puede detectar zonas caóticas fácilmente y también de clasificar la mayor parte de las islas de acuerdo con el número racional correspondiente. En la figura (3.19) se presenta el ejemplo de como se veŕıa la distribución de los vectores para una resonancia de 2/5. Cabe destacar que la construcción del algoritmo computacional para calcular νθ tiene unas caracteŕısticas extra. En primer lugar, se debe tomar en cuenta que los ángulos pueden tener valores superiores a π radianes. Esto implica que se debe utilizar la definición de producto escalar y productor vectorial al mismo tiempo para calcular el ángulo de manera correcta. Se debe tomar cada caso de los signos del seno y coseno para el computo del ángulo. Adicionalmente, dado que los puntos del la sección de Poincaré tienen asociado un pequeño error numérico debido a que fue necesario incluir una tolerancia al plano ecua- torial, entonces pueden pasarse algunos puntos extra sobre la sección o el otro posible 47 caso es que se eliminen puntos que śı corresponden a la sección. Estos puntos son muy cercanos al punto verdadero por lo tanto pueden adicionar una gran cantidad de ángulos pequeños que no corresponden a νθ. Dado que el cálculo se hace de manera numérica y no anaĺıtica, es imposible construir un ĺımite al infinito, entonces se debe escoger un número alto de ángulos para que el error en νθ sea despreciable. Si se adicionan esos ángulos pequeños entonces el valor de n crece mucho más de lo necesario y por lo tanto da una gráfica incorrecta a νθ. Para construir el algoritmo de manera correcta debe op- timizarse el error permitido en la sección de Poincaré de manera que no elimine puntos correctos y eliminar ángulos pequeños producto de la adición de puntos extra. Para el conjunto de valores escogidos anteriormente es suficiente con eliminar ángulos menores a 6× 10−3 radianes y permitir que los puntos del plano ecuatorial donde se encuentra la sección tengan una posición angular θ = π/2± 2,0× 10−4 radianes. Por último, la construcción del algoritmo anterior se hace de manera genérica por lo tanto si se cambia de modelo de métrica, el cálculo sigue siendo el mismo, solamente debe optimizarse los valores del margen de error permitido. Sin embar