MA–704: TOPOLOGI´A
Joseph C. Va´rilly
Escuela de Matema´tica, Universidad de Costa Rica
I Ciclo Lectivo del 2011
Introduccio´n
La topologı´a es el contexto general de la nocio´n de continuidad. Hoy en dı´a se distingue la
llamada “topologı´a general” que trata de las propiedades ba´sicas ligadas a la continuidad, de
la “topologı´a algebraica” que clasifica los espacios mediante el ca´lculo de ciertos invariantes.
Este curso abordara´ introducciones a estos dos temas.
Durante la primera mitad del siglo XX, se logro´ abstraer la estructura topolo´gica cono-
cida del espacio euclidiano Rn en un a´mbito mucho ma´s amplio, que dio origen a la topologı´a
“general”. En paralelo, ciertos espacios formados a partir de pedazos euclidianos fueron clasi-
ficados mediante dos procedimientos: la triangulacio´n, que da lugar a grupos de homologı´a;
y la deformacio´n, que produce grupos de homotopı´a. Este curso pretende examinar estos
conceptos y calcular los ejemplos ma´s sencillos en cada caso.
El concepto de espacio topolo´gico (sin ese nombre, desde luego) se remonta al ensayo
de Riemann sobre los fundamentos de la geometrı´a.1 Riemann trato´ de llegar a la estructura
geome´trica intrı´nseca que caracteriza un tal “espacio”, que no dependiera de algu´n encaje en
Rn, para luego explotar sus aplicaciones al ana´lisis.2
Posteriormente, el trabajo de Cantor sobre las partes de la recta real R, relevantes al estu-
dio de la convergencia de las series de Fourier, introdujo diversos conceptos como conjuntos
cerrados y abiertos, puntos de acumulacio´n, etc., cuyo estudio culmino´ en el concepto general
de conjunto.3 El estudio de funcionales en el ca´lculo variacional llevo´ a Volterra a considerar
espacios vectoriales cuyos miembros son funciones.4
1G. F. Bernhard Riemann, U¨ber de Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Habilitations-
schrift, 1854), en Gesammelte Mathematische Werke, Teubner, Leipzig, 1892; pp. 272–287.
2Hay un buen resumen de los antecedentes histo´ricos de la topologı´a general en el libro: Nicolas Bourbaki,
Elementos de Historia de las Matema´ticas, Alianza, Madrid, 1972. Para el desarrollo de la topologı´a algebraica
a partir de Poincare´, ve´ase: Jean Alexandre Dieudonne´, A History of Algebraic and Differential Topology 1900–
1960, Birkha¨user, Boston, 1989.
3Georg Cantor, U¨ber eine Eigenschaft des Ingebriffes aller reelen algebraischen Zahlen, Journal fu¨r die
reine und angewandte Mathematik 77 (1874), 258–262.
4Vito Volterra, Lec¸ons sur les fonctions de lignes, Gauthier-Villars, Paris, 1913.
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En otra lı´nea, Poincare´ trato´ de clasificar las superficies y cuerpos multidimensionales
mediante triangulaciones.5 De este modo, pudo determinar sus “nu´meros de Betti” (que
son ciertos nu´meros enteros asociados con una triangulacio´n), dando lugar al concepto de
homologı´a.
La “topologı´a general” en sı´ comienza con la introduccio´n de los espacios me´tricos por
Fre´chet.6 Una formulacio´n aun ma´s general y abstracto fue alcanzado por Hausdorff quien
introdujo los sistemas de vecindarios de un punto, lo cual es equivalente a declarar las partes
abiertas de un espacio topolo´gico.7 La teorı´a de dichos espacios fue elaborado por la escuela
polaca de Kuratowski8 y por la escuela rusa de Alexandrov que alcanzo´ el concepto correcto
de espacio compacto.9
Brouwer introdujo el concepto de homotopı´a de dos aplicaciones continuas.10 Al con-
siderar las aplicaciones continuas entre esferas, Hopf mostro´ que la homotopı´a clasifica los
espacios topolo´gicos de manera distinta (y ma´s fina) que la homologı´a.11 El tipo de homo-
topı´a de un espacio topolo´gico, a menudo determinable por me´todos algebraicos, sirve de
“proxy” para su clase hasta homeomorfismo.
El desarrollo de este curso no puede seguir el orden histo´rico, porque buena parte de
los avances en topologı´a durante la primera mitad del siglo XX consistio´ en simplificar los
me´todos originales y en elaborar demostraciones ma´s cortos y elegantes. Entonces, par-
tiendo de la definicio´n de espacio topolo´gico dado por Hausdorff en la segunda edicio´n de
su libro (1927), se desarrollara´ los conceptos principales de la “topologı´a general” en un
orden lo´gico. Luego habra´ una introduccio´n a las dos ramas principales de la “topologı´a
algebraica”: primero la homotopı´a y luego la homologı´a. En los dos casos se asocia a un
espacio topolo´gico un juego de grupos (en su mayorı´a abelianos), cuyo ca´lculo revela mucha
informacio´n sobre el espacio de marras.
5Henri Poincare´, Analysis Situs, J. E´cole Polytechnique 1 (1895), 1–123; Comple´ment a` l’Analysis Situs,
Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 13 (1899), 285–343.
6Maurice Fre´chet, Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo
22 (1906), 1–74.
7Felix Hausdorff, Grundzu¨ge der Mengenlehre, Veit, Leipzig, 1914.
8Kazimierz Kuratowski, Sur l’ope´ration A de l’Analysis Situs, Fund. Math. 3 (1922), 182–199; Topologie I,
Warszawa, 1933.
9Pavel Sergeyevich Aleksandrov y Pavel Samuilovich Urysohn, Me´moire sur les espaces topologiques com-
pacts, Verhandelingen der Akademie van Wetenschappen te Amsterdam 14 (1929), 1–96.
10Luitzen Egbertus Jan Brouwer, Beweis der Invarianz des n-dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen
71 (1911), 305–313.
11Heinz Hopf, U¨ber die Abbildungen der dreidimensionalen Spha¨re auf die Kugelfla¨che, Mathematische
Annalen 104 (1931), 637–665.
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Temario
? Espacios Topolo´gicos y Funciones Continuas.
Prea´mbulo sobre conjuntos y funciones. Abiertos y cerrados, sistemas de vecindarios.
Funciones continuas, topologı´as de´biles. Subespacios, productos y cocientes de espa-
cios topolo´gicos. Sucesiones, redes y convergencia.
? Conexidad, Compacidad y Separacio´n.
Espacios conexos, componentes. Espacios compactos y localmente compactos. Pro-
piedad de Hausdorff, axiomas de separacio´n. Espacios normales, el lema de Urysohn.
Espacios paracompactos, particiones de la unidad. El teorema de Tijonov. Espacios
me´tricos completos. El Teorema de Baire.
? Introduccio´n a la Homotopı´a.
Una excursio´n sobre categorı´as y funtores. Homotopı´a de caminos, retracciones. El
grupo fundamental de un espacio puntuado. Espacios cubridores. El teorema de Seifert
y van Kampen.
? Introduccio´n a la Homologı´a.
Complejos simpliciales y celulares. Homologı´a simplicial y singular. Sucesiones ex-
actas de homologı´a. El teorema de Mayer y Vietoris.
Bibliografı´a
El curso seguira´, en buena medida, el texto de Munkres y el libro de Singer y Thorpe, men-
cionados a continuacio´n. He aquı´ una lista de libros de mucha utilidad para los temas del
curso.
1. R. Ayala Go´mez, E. Domı´nguez Murillo y A. Quintero Toscano, Elementos de la
Topologı´a General, Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, DE, 1997.
2. N. Bourbaki, Topologie Ge´ne´rale I, Hermann, Paris, 1962.
3. J. A. Dieudonne´, Ele´ments d’Analyse, II et IX, Gauthier-Villars, Paris, 1969 y 1982.
4. J. Dugundji, Topology, Allyn & Bacon, Boston, 1966.
5. R. Engelking, Topologia Ogo´lna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Varsovia, 2007.
6. W. Fulton, Algebraic Topology: A First Course, Graduate Texts in Mathematics 153,
Springer, Berlin, 1995.
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7. A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
8. J. G. Hocking and G. S. Young, Topology, Addison-Wesley, Reading, MA, 1961.
9. J. L. Kelley, General Topology, D. Van Nostrand, Princeton, NJ, 1955.
10. W. S. Massey, Algebraic Topology: An Introduction, Graduate Texts in Mathematics
56, Springer, New York, 1967.
11. J. R. Munkres, Topology, Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, 2000.
12. G. F. Simmons, Introduction to Topology and Modern Analysis, McGraw-Hill/Koga-
kusha, Tokyo, 1963.
13. I. M. Singer and J. A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry,
Springer, New York, 1967.
14. V. A. Vassiliev, Introduction to Topology, Student Mathematical Library 14, AMS,
Providence, RI, 2001.
15. S. Willard, General Topology, Addison-Wesley, Reading, MA, 1970.
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1 Espacios Topolo´gicos y Funciones Continuas
1.1 Prea´mbulo sobre conjuntos y funciones
Antes de abordar la topologı´a propiamente, conviene revisar algunos conceptos ba´sicos sobre
conjuntos. Por lo general, las letras mayu´sculas A, B, C, etc. denotara´n conjuntos, cuyos
elementos se escribira´n a menudo con letras minu´sculas: x, y, z, etc. Si x es un elemento del
conjunto A, escrito x ∈ A o bien A 3 x, dı´cese que x pertenece a A o que A contiene x. En
cambio, si cada elemento de A es tambie´n un elemento de B, escrito A ⊆ B o bien B ⊇ A, se
dice que A es una parte de B o que B incluye A.
Las notaciones A∩B para interseccio´n; y A∪B para unio´n, son conocidas. En el caso
particular de que A∩B = /0 (interseccio´n nula), se puede denotar la unio´n disjunta de A y B
por AunionmultiB. [Hay una notacio´n alternativa AunionsqB para esa unio´n disjunta, en algunos libros.] La
notacio´n para la diferencia es A\B := {x ∈ A : x /∈ B}.
El producto cartesiano A×B := {(x,y) : x ∈ A, y ∈ B} es la totalidad de “pares ordena-
dos” con el primer elemento en A y el segundo elemento en B. Se puede tomar (x,y) como
concepto primitivo, o bien definirlo mediante la formacio´n de conjuntos por agregacio´n:1
(x,y) :=
{{x}, {x,y}}.
En consecuencia, (p,q) = (r,s) si y so´lo si p = r y q = s.
Los nu´meros naturales 0,1,2,3, . . . pueden definirse como conjuntos. Se toma 0 := /0, el
(u´nico) conjunto con cero elementos; luego 1 := {0}, un conjunto con un solo elemento. En
seguida 2 := {0,1}, un conjunto con dos elementos; y ası´ sucesivamente. En adelante, se
usara´ la notacio´n 2 como nombre co´modo para el conjunto {0,1}.
I Una relacio´n R entre dos conjuntos A y B es simplemente una parte del producto carte-
siano: R⊆A×B. Si A=B, se hable de una “relacio´n sobre A”. Es comu´n usar un simbolismo
como x  y como abreviatura para “(x,y) ∈ R”. Por ejemplo, una relacio´n de equivalencia
sobre A, escrito con el simbolismo x∼ y, debe ser reflexiva, sime´trica y transitiva:
x∼ x; x∼ y =⇒ y∼ x; x∼ y, y∼ z =⇒ x∼ z.
En este caso, las clases de equivalencia [x] := {y ∈ A : x ∼ y} forman una particio´n de A,
es decir, una coleccio´n de partes disjuntas cuya unio´n es todo A, es decir, A =
⊎
x∈A[x]. Esa
coleccio´n es un nuevo conjunto, denotado por A/R := { [x] : x ∈ A} y llamado el conjunto
cociente de A por la relacio´n de equivalencia R. (Fı´jese que [x] = [y] si y so´lo si x∼ y; como
los elementos de un conjunto se cuentan sin repeticio´n, el nu´mero de elementos de A/R es el
nu´mero de estas clases de equivalencia.)
1Para una buena discusio´n de los detalles finos de la formacio´n de conjuntos, ve´ase: Paul R. Halmos, Naive
Set Theory, Springer, New York, 1974.
MA–704: Topologı´a 6
Definicio´n 1.1. Un orden parcial sobre una conjunto A es una relacio´n R ⊆ A×A, donde
x≤ y denota (x,y) ∈ A, que es reflexiva, antisime´trica y transitiva:
(a) x≤ x para todo x ∈ A;
(b) x≤ y, y≤ x so´lo es posible si x = y;
(c) x≤ y, y≤ z implica x≤ z.
Por costumbre, se escribe x < y si x ≤ y pero x 6= y. La relacio´n simbolizada por “x < y” es
un orden parcial estricto.
Un orden simple (u orden lineal) es un orden parcial en donde x ≤ y o bien y ≤ x para
cada par x,y ∈ A.
Un conjunto dirigido es una conjunto A con un orden parcial tal que para todo par de
elementos x,y ∈ A, existe z ∈ A que cumple x≤ z, y≤ z.
Ejemplo 1.2. El orden usual de la recta real R es un orden simple. Los nu´meros naturales
N= {0,1,2,3, . . .}, enteros Z y racionales Q, por ser partes de R, son tambie´n simplemente
ordenados.
El plano R2 = R×R puede ser ordenado al declarar que (x1,y1) ≤ (x2,y2) si y so´lo si
x1 ≤ x2, y1 ≤ y2. Este es un orden parcial, pero no es simple, por cuanto los pares (0,1) y
(1,0) no son comparables.
Entonces R2 es un conjunto dirigido: dados (x1,y1), (x2,y2), sean x3 := max{x1,x2},
y3 := max{y1,y2}. Entonces (x1,y1)≤ (x3,y3) y tambie´n (x2,y2)≤ (x3,y3). ♦
Ejemplo 1.3. El plano R2 admite otra relacio´n de orden lexicogra´fico que es simple, al
tomar (x1,y1)≤lex (x2,y2) si x1 < x2 o bien x1 = x2, y1 ≤ y2.
Ma´s generalmente, si (A,≤A) y (B,≤B) son dos conjuntos simplemente ordenados, se
define el orden lexicogra´fico sobre A×B por la misma receta: (x1,y1)≤lex (x2,y2) si x1 <A x2
o bien x1 = x2, y1 ≤B y2. ♦
Ejemplo 1.4. Dado un conjunto X , es posible ordenar las partes de X por inclusio´n. Esto se
simboliza por A⊆ B, desde luego, si A,B son partes de X . Este es un conjunto dirigido: si C
es cualquier parte de X tal que C ⊇ A∪B, entonces A⊆C y B⊆C. ♦
I Una funcio´n f : A→ B es una relacio´n R entre A y B con dos propiedades:2
? para todo x ∈ A, hay un elemento y ∈ B con (x,y) ∈ R;
? si (x,y) ∈ R, (x,z) ∈ R, entonces y = z.
2Algunos autores, como Munkres, permiten que el dominio {x ∈ A : (x,y) ∈ R para algu´n y ∈ B} sea una
parte propia de A. De este modo, por ejemplo, la receta f (x) := 1/x puede considerarse como funcio´n f : R→R,
con x = 0 excluido del dominio.
MA–704: Topologı´a 7
La imagen de f es im( f ) := {y ∈ B : (x,y) ∈ R para algu´n x ∈ A}. Cuando (x,y) ∈ R, se
escribe y = f (x).
Una funcio´n f : A→ B es inyectiva si s 6= t en A implica que f (s) 6= f (t) en B; f es
sobreyectiva si im( f ) = B; f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
Una funcio´n biyectiva f : A→ B determina una u´nica funcio´n g : B→ A por la receta:
x = g(y) si y so´lo si y = f (x). Esta es la funcio´n inversa de la biyeccio´n f .
Notacio´n. La totalidad de funciones f : A→ B es un conjunto denotado por BA.
Dado un conjunto X , cada parte A ⊆ X posee una funcio´n indicatriz χA : X → {0,1},
definido por
χA(x) :=
{
1 si x ∈ A,
0 si x /∈ A.
Fı´jese que χX ≡ 1 y χ /0 ≡ 0 (funciones constantes).
La correspondencia dada por A 7→ χA es una biyeccio´n entre el conjunto de partes de X
y la totalidad de funciones indicatrices. Por tal motivo, se usa la notacio´n 2X tambie´n para
denotar el conjunto de partes de X .
Si X es un conjunto finito, #(X) denotara´ el nu´mero de elementos de X . Obse´rvese que
#(2X) = 2#(X).
I Un conjunto X es finito, con #(X) = n ∈ N, si hay una biyeccio´n entre X y {1,2, . . . ,n}.
Un conjunto X es numerablemente infinito si hay una biyeccio´n entre X y N. (Unos ejem-
plos bien conocidos son Z y Q.) Dı´cese que X es numerable (o contable) si X es finito o
numerablemente infinito.
Cada parte de un conjunto numerable es tambie´n numerable. Esta afirmacio´n se demues-
tra al comprobar que cada parte de N es numerable. En efecto, si A⊆N, sea a0 el menor ele-
mento de A; sea a1 el menor elemento de A\{a0}; sea a2 el menor elemento de A\{a0,a1};
y ası´ sucesivamente. Por induccio´n, este proceso o bien termina, en cuyo caso A es finito, o
bien exhibe una biyeccio´n n 7→ an entre N y todos los elementos de A.
La propiedad de N empleada en el argumento anterior es su buen orden. Un conjunto X ,
dotado de un orden simple, esta´ bien ordenado si cada parte no nula A⊆ X posee un menor
elemento: hay a∗ ∈ A tal que a∗ ≤ a para todo a ∈ A. La existencia de un buen orden en un
conjunto cualquiera es equivalente al axioma de eleccio´n de la teorı´a de conjuntos.
Definicio´n 1.5. Una coleccio´n A de conjuntos esta´ indexada por un conjunto J si hay una
funcio´n sobreyectiva f : J→A. Al escribir Aα = f (α), se usa la notacio´nA= {Aα :α ∈ J }.3
3Hay colecciones de conjuntos que no forman conjuntos (habida cuenta de la paradoja de Russell), pero
estas no admiten conjunto ı´ndice alguno. Obse´rvese que no hay que pedir que f sea inyectiva, porque en la
formacio´n del conjunto {Aα : α ∈ J } se eliminan repeticiones, por regla.
MA–704: Topologı´a 8
El producto cartesiano de estos conjuntos se define como
∏
α∈J
Aα :=
{
x : J→
⋃
α∈J
Aα : x(α) ∈ Aα para todo α ∈ J
}
.
Usualmente se escribe xα := x(α), ası´ que un elemento del producto cartesiano es una familia
x = (xα)α∈J donde se admiten repeticiones.
Cuando #(J) = 2, esta definicio´n coincide con el producto cartesiano A1×A2 introducido
anteriormente. Tambie´n se identifican productos cartesianos de tres conjuntos: (A×B)×C =
A× (B×C) = A×B×C. Cuando J es numerablemente infinito, los elementos de ∏α∈J Aα
son sucesiones de ciertos elementos de
⋃
α∈J Aα .
Si J no es numerable, no es evidente si existen funciones de eleccio´n x : J → ⋃α∈J Aα
con xα ∈ Aα para todo α , es decir, si ∏α∈J Aα 6= /0 (asumiendo que ningu´n Aα sea vacı´o).
El proceso de induccio´n (ordinaria) no es capaz de producir tales funciones. Hay que echar
mano al axioma de eleccio´n, para un conjunto ı´ndice J arbitrario:
Si Aα 6= /0 para todo α, entonces ∏
α∈J
Aα 6= /0 .
He aquı´ una lista de afirmaciones que son equivalentes al axioma de eleccio´n:4
Teorema de Zermelo: Cualquier conjunto posee un buen orden.
Principio de maximalidad: Cualquier conjunto parcialmente ordenado posee una parte
ma´xima que es simplemente ordenada.
Lema de Zorn: Un conjunto parcialmente ordenado, en el cual cada parte simplemente or-
denada posee una cota superior, contiene un elemento ma´ximo.
Quiza´s el ma´s pra´ctico de estas formulacio´n es el lema de Zorn,5 porque tiene una hipo´tesis
fa´cil de verificar en casos particulares: la existencia de una cota superior para una parte
simplemente ordenada.
4La existencia de un buen orden, por ejemplo en un intervalo [a,b] de R, fue mostrado por Ernst Zermelo
en 1904, empleando ideas de Cantor y el axioma de eleccio´n (que e´l mismo introdujo). En 1905, Georg Hamel
uso´ este teorema para mostrar que cualquier espacio vectorial posee una base. Hausdorff formulo´ el principio
de maximalidad en su libro de 1914.
5Este “lema” fue mostrado por Kuratowski en 1922, en el caso particular del orden parcial de inclusio´n de
conjuntos; la versio´n para un orden parcial arbitrario fue encontrado independientemente por Zorn en 1935.
(Los polacos lo llaman lemat Kuratowskiego–Zorna.) Las fuentes originales son: Kazimierz Kuratowski, Une
me´thode d’e´limination des nombres transfinis des raisonnements mathe´matiques, Fundamenta Mathematicae 3
(1922), 76–108; Max August Zorn, A remark on method in transfinite algebra, Bulletin of the American Math-
ematical Society 10 (1935), 667–670.
MA–704: Topologı´a 9
I Dada una funcio´n f : X→Y y unas partes A⊆ X y B⊆Y , se define la imagen bajo f de A
y la preimagen bajo f de B por:
f (A) := { f (x) : x ∈ A} ⊆ Y,
f−1(B) := {x ∈ X : f (x) ∈ B} ⊆ X .
Fı´jese que la correspondencia A 7→ f (A) es una funcio´n 2X → 2Y , mientras B 7→ f−1(B) es
una funcio´n 2Y → 2X . Ojo: la notacio´n f−1 no significa la funcio´n inversa de f , aun cuando
f sea biyectiva.
Lema 1.6. Dada una funcio´n f : X → Y , las dos correspondencias A 7→ f (A) : 2X → 2Y y
B 7→ f−1(B) : 2Y → 2X tienen las siguientes propiedades:
(a) f
(⋃
α∈J Aα
)
=
⋃
α∈J f (Aα), f
(⋂
α∈J Aα
)⊆⋂α∈J f (Aα).
(b) f−1
(⋃
β∈K Bβ
)
=
⋃
β∈K f−1(Bβ ), f−1
(⋂
β∈K Bβ
)
=
⋂
β∈K f−1(Bβ ).
(c) f ( /0) = /0, f (X)⊆ Y .
(d) f−1( /0) = /0, f−1(Y ) = X, f−1(Y \B) = X \ f−1(B).
(e) Si A⊆ X, entonces A⊆ f−1( f (A)), con igualdad si f es inyectiva.
(f) Si B⊆ Y , entonces f ( f−1(B))⊆ B, con igualdad si f es sobreyectiva. 
1.2 Abiertos y cerrados, sistemas de vecindarios
Definicio´n 1.7. Dado un conjunto X , una topologı´a sobre X es una coleccio´n T ⊆ 2X de
partes de X , que cumple:
(a) X ∈ T y /0 ∈ T;
(b) si U1, . . . ,Un ∈ T, entonces U1∩U2∩·· ·∩Un ∈ T;
(c) si Uα ∈ T para todo α ∈ J, entonces ⋃α∈J Uα ∈ T.
El par (X ,T) es un espacio topolo´gico. Si la topologı´a T es evidente del contexto, se puede
decir tambie´n que “X es un espacio topolo´gico”.
Los elementos de T se llaman partes abiertas, o simplemente abiertos, del espacio
topolo´gico X .
Definicio´n 1.8. En un espacio topolo´gico (X ,T), una parte F ⊆ X es una parte cerrada,
o simplemente un cerrado, si X \F ∈ T. Fı´jese que /0 y X son cerrados; si F1, . . . ,Fn son
cerrados, entonces F1 ∪F2 ∪ ·· · ∪Fn es cerrado; y si {Fα : α ∈ J } ⊆ 2X es una familia de
cerrados, entonces
⋂
α∈J Fα es cerrado.
MA–704: Topologı´a 10
Ejemplo 1.9. Si X es un conjunto cualquiera, la coleccio´n de todas sus partes T = 2X , que
obviamente satisface las propiedades (a), (b), (c) de la Definicio´n 1.7, es la topologı´a discreta
sobre X . Todas sus partes son abiertas y cerradas a la vez. ♦
Ejemplo 1.10. Al otro extremo, si X es un conjunto cualquiera, la coleccio´n T = {X , /0} es
la topologı´a indiscreta sobre X . ♦
Ejemplo 1.11 (Sierpin´ski). Sea S = {0,1}, un conjunto con exactamente dos elementos;
to´mese T :=
{
/0,{0},{0,1}}. Esta es la topologı´a ma´s pequen˜a que no es discreta ni indisc-
reta. Con esta topologı´a, S se llama el espacio de Sierpin´ski. ♦
Definicio´n 1.12. Una me´trica sobre un conjunto X es una funcio´n ρ : X ×X → R con las
siguientes propiedades:
(a) ρ(x,y)≥ 0 para todo x,y ∈ X , con igualdad si y so´lo si x = y;
(b) ρ(x,y) = ρ(y,x) para todo x,y ∈ X ;
(c) ρ(x,z)≤ ρ(x,y)+ρ(y,z) para todo x,y,z ∈ X .
La parte Bρ(x;ε) := {y ∈ X : ρ(x,y) < ε } es la bola abierta con centro x y radio ε . Un
abierto de X es, por definicio´n, una unio´n de alguna coleccio´n de bolas abiertas; tales abiertos
constituyen la topologı´a me´trica determinada por ρ .
Ejemplo 1.13. En particular, la recta real R tiene la me´trica dada por ρ(s, t) := |s− t|. La
desigualdad triangular —la condicio´n (c) de la Definicio´n 1.12— en este caso se reduce a
la propiedad |s− u| ≤ |s− t|+ |t − u| del valor absoluto de nu´meros reales. En este caso,
un intervalo abierto (a,b) := { t ∈ R : a < t < b} es una “bola abierta”, con centro 12(a+b)
y radio 12(b− a). La topologı´a usual de R entonces es la topologı´a determinada por esta
me´trica.
El intervalo (b,∞) =
⋃
n∈N(b+ n,b+ n+ 2) es una unio´n numerable de bolas abiertas,
luego es un abierto de R. De igual manera, el intervalo (−∞,a) es un abierto de R. Entonces
el intervalo [a,b] := { t ∈ R : a≤ t ≤ b} es cerrado en R, por ser el complemento del abierto
(−∞,a)∪ (b,∞). ♦
Ejemplo 1.14. Otra topologı´a de R es la que se obtiene al declarar que las partes cerradas,
aparte del propio R, son todas las partes finitas de R. (Estas partes son precisamente los
conjuntos de ceros del polinomios en R[X ]: R mismo es el juego de ceros del polinomio
nulo; /0 es el juego de ceros de un polinomio constante no nulo; cualquier otro polinomio, de
grado n, tiene a lo sumo n ceros reales.) Este es la topologı´a cofinita sobre R. Sus abiertos
no triviales son las partes de R con complementos finitos. ♦
I No siempre es necesario especificar todos los abiertos de una topologı´a T; basta identificar
algunos abiertos que permiten reconstruir los dema´s.
MA–704: Topologı´a 11
Definicio´n 1.15. Dado un conjunto X , una base para una topologı´a sobre X es un juego de
partes B⊆ 2X tal que:
(a) para cada x ∈ X , hay al menos un B ∈B con x ∈ B;
(b) si x ∈ B1∩B2 con B1,B2 ∈B, hay al menos un B3 ∈B con x ∈ B3 ⊆ B1∩B2.
La topologı´a T generada por B es la totalidad de uniones de miembros de B. En otras
palabras, U ∈ T si y so´lo si U =⋃α∈J Bα con cada Bα ∈B, para algu´n conjunto ı´ndice J. (Si
J es vacı´o, esta unio´n tambie´n es vacı´a, ası´ que /0 ∈ T.) Fı´jese, en particular, que B⊆ T.
Ejemplo 1.16. Una base para la topologı´a discreta es B= {{x} : x ∈ X } porque obviamente
cumple las propiedades (a) y (b); y cada parte de X es la totalidad de sus elementos. ♦
Lema 1.17. Sea S ⊆ 2X una coleccio´n cualquiera de partes de X. Hay una u´nica topologı´a
T ma´s pequen˜a que incluye S.
En este contexto, dı´cese que S es una subbase para la topologı´a T.
Demostracio´n. Decir que T es la topologı´a “ma´s pequen˜a” es afirmar que T ⊆ T′, si T′ es
una topologı´a sobre X tal que S⊆ T′. Defı´nase
B := {X , /0}∪{S1∩S2∩·· ·∩Sn : n ∈ N∗; S1, . . . ,Sn ∈ S},
es decir, las partes triviales de X junto con todas las intersecciones finitas de miembros
de S. Entonces B es una base para una topologı´a sobre X : para la condicio´n (a) de la
Definicio´n 1.15, to´mese B := X ; para la condicio´n (b), to´mese B3 := B1 ∩ B2. Sea T la
topologı´a generada por B.
Si T′ es una topologı´a que incluye S, entonces T′ contiene todas las intersecciones finitas
de sus miembros, ası´ que T′ ⊇ B. Tambie´n, T′ contiene todas las uniones arbitrarias de sus
miembros, ası´ que T′ ⊇ T.
Ejemplo 1.18. La recta flechada (o la recta de Sorgenfrey) R` es el conjunto de nu´meros
reales, con la topologı´a cuya base es el juego de intervalos [a,r) := { t ∈ R : a≤ t < r}, con
a ∈ R y r ∈ Q. Es de notar que cada intervalo [a,b) es abierto y cerrado a la vez, en este
espacio topolo´gico.6 ♦
6El espacio R` fue introducido por Alexandrov y Urysohn en 1929 y fue propuesto ma´s tarde como un
“contraejemplo universal” en la topologı´a general, en la obra: Robert H. Sorgenfrey, On the topological product
of paracompact spaces, Bulletin of the American Mathematical Society 53 (1947), 631–632. El te´rmino “recta
flechada” (strałka) es de Engelking. La topologı´a de R` tambie´n se llama la topologı´a del lı´mite inferior.
MA–704: Topologı´a 12
Ejemplo 1.19. Una base para la topologı´a me´trica definida por una me´trica ρ es totalidad
de sus bolas abiertas: Bρ = {Bρ(x;ε) : x ∈ X , ε > 0}. La propiedad (a) es obvia. Para la
propiedad (b), supo´ngase que x ∈ Bρ(y;ε1)∩Bρ(z;ε2), ası´ que ρ(x,y) < ε1, ρ(x,z) < ε2. Si
ρ(x,w)< ε , entonces ρ(y,w)< ε+ρ(x,y) y adema´s ρ(z,w)< ε+ρ(x,z), por la desigualdad
triangular. Al tomar
ε := min{ε1−ρ(x,y), ε2−ρ(x,z)},
se ve que x ∈ Bρ(x;ε)⊆ Bρ(y;ε1)∩Bρ(z;ε2). ♦
Obse´rvese que no es necesario, en el ejemplo, que los radios ε de las bolas tomen todos los
valores positivos en (0,∞). Para elegir el radio de la u´ltima bola Bρ(x;ε), basta con que ε sea
menor que el mı´nimo de dos nu´meros positivos dados. EntoncesB′ := {Bρ(x;1/n) : n∈N∗ }
es otra base para la misma topologı´a me´trica.7
Definicio´n 1.20. Dos basesB yB′ para topologı´as sobre X se llaman equivalentes si generan
la misma topologı´a T. Esto sucede si, toda vez que hay x ∈ B1 ∈ B, hay B′1 ∈ B′ tal que
x ∈ B′1 ⊆ B1, y viceversa: toda vez que hay y ∈ B′2 ∈B, hay B2 ∈B′ tal que y ∈ B2 ⊆ B′2.
Dos me´tricas ρ y σ sobre un conjunto X son me´tricas equivalentes si generan la misma
topologı´a, esto es, si las bases de bolas Bρ y Bσ son equivalentes.
•
(x,y)
Ejemplo 1.21. En el plano R2, estas son tres me´tricas posibles:
ρ1((s, t),(s′, t ′)) := |s− s′|+ |t− t ′| ,
ρ2((s, t),(s′, t ′)) :=
√
(s− s′)2+(t− t ′)2 ,
ρ∞((s, t),(s′, t ′)) := max{|s− s′|, |t− t ′|} .
La me´trica ρ2 es la me´trica euclidiana (la distancia entre dos puntos esta´ dada por la fo´rmula
de Pita´goras). Una “bola” Bρ2((s, t); ε) es un disco circular centrado en (s, t), de radio ε . Las
bolas correspondientes para ρ1 y ρ∞ son la´minas cuadradas, centradas en (s, t). Dentro de
7La notacio´n N∗ := {1,2,3, . . .} para los nu´meros enteros positivos sigue la usanza francesa: N∗ :=N\{0}.
Los autores alemanes prefieren la notacio´n N := {1,2,3, . . .} y N0 := {0,1,2,3, . . .}; aquı´ no se usara´ ese
convenio.
MA–704: Topologı´a 13
cada bola de un tipo es posible colocar una bola de cualquier otro tipo, con el mismo centro
y un radio tal vez ma´s corto. Esto se desprende de las desigualdades
1
2(a+b)≤max{a,b} ≤
√
a2+b2 ≤ a+b,
va´lidas para a ≥ 0, b ≥ 0. Por lo tanto la “topologı´a usual” del plano R2 esta´ dada por
cualquiera de estas me´tricas.
Cada una de las me´tricas ρ1, ρ2, ρ∞ viene de una norma sobre R2. Una norma sobre un
espacio vectorial real V es una funcio´n V → R : x 7→ ‖x‖, que cumple tres requisitos:
(a) ‖x‖ ≥ 0 para todo x ∈ X , con igualdad si y so´lo si x = 0;
(b) ‖tx‖= |t|‖x‖ para todo x ∈ X , t ∈ R;
(c) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+‖y‖ para todo x,y ∈ X .
La me´trica asociada esta´ dada por ρ(x,y) := ‖x− y‖. Las tres me´tricas anteriores sobre R2
viene de las normas
‖(s, t)‖1 := |s|+ |t|, ‖(s, t)‖2 :=
√
s2+ t2, ‖(s, t)‖∞ := max{|s|, |t|}.
Por convenio, la norma euclidiana se escribe sin subı´ndice: ‖(s, t)‖= ‖(s, t)‖2. ♦
I A cada parte A ⊆ X de un espacio topolo´gico, se le puede asociar un abierto ma´ximo U
tal que U ⊆ A (su interior) y un cerrado mı´nimo F tal que A ⊆ F (su clausura), mediante la
definicio´n siguiente.
Definicio´n 1.22. Sea (X ,T) un espacio topolo´gico y sea A ⊆ X . El interior A◦ de A y la
clausura A se definen como sigue:
A◦ :=
⋃
{U abierto : U ⊆ A}, A :=
⋂
{F cerrado : F ⊇ A}.
Es evidente que A◦ es abierto, por ser una unio´n de abiertos; y que A es cerrado, por ser una
interseccio´n de cerrados. Por tanto, A◦ es el abierto ma´s grande incluido en A, mientras A es
el cerrado ma´s pequen˜o que incluye A.
Lema 1.23. (a) La operacio´n de clausura A 7→ A tiene las siguientes propiedades:
/0 = /0, A = A, A∪B = A∪B, A⊆ B =⇒ A⊆ B;
A es cerrado si y so´lo si A = A.
(b) La operacio´n de formar interiores A 7→ A◦ tiene las siguientes propiedades:
X◦ = X , (A◦)◦ = A◦, (A∩B)◦ = A◦∩B◦, A⊆ B =⇒ A◦ ⊆ B◦;
A es abierto si y so´lo si A◦ = A.
MA–704: Topologı´a 14
Demostracio´n. Como A es abierto si y so´lo X \A es cerrado, las leyes de de Morgan permiten
deducir la parte (b) de la parte (a). En particular, es
X \A =
⋃
{X \F : F cerrado, F ⊇ A}=
⋃
{U : U abierto, U ⊆ (X \A)}= (X \A)◦,
de modo que la operacio´n de tomar complementos A 7→ (X \A) intercambia clausuras con
interiores.
Ad(a): Si A es cerrado, entonces A = A; e inversamente, porque A es cerrado de oficio.
En particular, es /0 = /0. Adema´s, A⊆ A con igualdad, porque A es cerrado.
Si A⊆ B, entonces B es un cerrado que incluye A, y por ende B⊇ A.
Finalmente, A∪B es cerrado e incluye A∪B, ası´ que A∪B ⊆ A∪B. Por otro lado, las
inclusiones A ⊆ (A∪B) y B ⊆ (A∪B) implican que A ⊆ A∪B y B ⊆ A∪B, de modo que
A∪B⊆ A∪B.
Lema 1.24. Si A ⊆ X, x ∈ X, entonces x ∈ A si y so´lo si cada abierto U con x ∈U cumple
U ∩A 6= /0.
Demostracio´n. Sea U un abierto con x ∈U . Si U ∩A = /0, entonces X \U es un cerrado con
A⊆ X \U . Por la Definicio´n 1.22, se obtiene A⊆ X \U ; por lo tanto, x /∈ A.
Definicio´n 1.25. Una parte A es densa en un espacio topolo´gico X si A = X .
Ejemplo 1.26. El conjunto Q de los nu´meros racionales es denso en la recta R (con su
topologı´a usual).
En efecto, para cualquier x ∈ R y cualquier abierto U de R con x ∈U , hay algu´n ε > 0
tal que B(x;ε) ⊆U . Existe un nu´mero racional q tal que |x−q| < ε , luego q ∈ B(x;ε) y ası´
q ∈U . El Lema 1.24 muestra que x ∈Q. Se concluye que Q= R.
Obse´rvese que Q◦ = /0, porque cualquier bola B(y;ε) contiene puntos racionales y otros
puntos irracionales. Por lo tanto, el u´nico abierto incluido en Q es el conjunto vacı´o /0. ♦
Definicio´n 1.27. Sea (X ,T) un espacio topolo´gico y sea A ⊆ X . La frontera ∂A de A es el
siguiente conjunto cerrado:
∂A := A∩X \A = A\A◦.
Fı´jese que A = A∪∂A y que A◦ = A\∂A.
Del ejemplo anterior, se obtiene ∂Q = R, al considerar Q como parte densa de R con
interior vacı´o.
I La definicio´n original de espacio topolo´gico dada por Hausdorff (en 1914) no fue formu-
lada en te´rminos de partes abiertas. Ma´s bien, Hausdorff introdujo el concepto de un “sistema
de vecindarios de puntos” en un conjunto dado.
Definicio´n 1.28. Si (X ,T) es un espacio topolo´gico y si x ∈ X , un vecindario de x es un
conjunto V que incluye un abierto U que contiene x : es decir, x ∈U ⊆V con U ∈ T.
MA–704: Topologı´a 15
Lema 1.29. Una parte V ⊆ X es un abierto si y so´lo si V es un vecindario de cada uno de
sus puntos.
Demostracio´n. Su V es abierto y x ∈V , la observacio´n trivial de que x ∈V ⊆V muestra que
V es un vecindario de x.
Inversamente, si V es un vecindario de cada uno de sus puntos, entonces para cada x ∈V
hay un abierto Ux tal que x ∈Ux ⊆ V . Sea U := ⋃x∈V Ux. Este U es un abierto, por ser una
unio´n de abiertos. Como x ∈Ux ⊆U para todo x ∈V , se ve que V ⊆U . Por otro lado, como
Ux ⊆V para todo x ∈V , se ve que U ⊆V . Entonces U =V y por ende V es abierto.
Definicio´n 1.30. Un sistema de vecindarios en un conjunto X es un juego {Vx : x ∈ X }
donde cada Vx es una coleccio´n no vacı´a de partes de X que cumplen estos requisitos:8
(a) si V ∈ Vx, entonces x ∈V ;
(b) si V1,V2 ∈ Vx, entonces V1∩V2 ∈ Vx;
(c) si V ∈ Vx y si W ⊇V , entonces W ∈ Vx;
(d) si V ∈ Vx y si U := {y : V ∈ Vy }, entonces U ∈ Vx.
Lema 1.31. Los vecindarios de un espacio topolo´gico (X ,T) cumplen los incisos (a)–(d) de
la Definicio´n 1.30.
Inversamente, si X es un conjunto dotado de un sistema de vecindarios que cumple es-
tas propiedades, hay una u´nica topologı´a sobre X cuyos vecindarios coinciden con los del
sistema dado.
Demostracio´n. Ad(⇒): Por la Definicio´n 1.28, los vecindarios para una topologı´a T cum-
plen los requisitos (a) y (c). Si V1,V2 son vecindarios de x, hay abiertos U1,U2 ∈ T tales que
x∈U1⊆V1 y x∈U2⊆V2. Entonces x∈U1∩U2⊆V1∩V2 con U1∩U2 ∈ T; se ha comprobado
la propiedad (b).
Si V es un vecindario de x y si O ∈ T cumple x ∈ O⊆V , el Lema 1.29 muestra que O (y
tambie´n V ) es un vecindario de cada y ∈ O. Luego O ⊆U := {y : V es un vecindario de y};
como x ∈ O⊆U , se concluye que U es un vecindario de x.
Ad(⇐): Dado un sistema de vecindarios, sea T la totalidad de partes U ⊆ X tales que
x ∈U =⇒ U ∈ Vx.
Entonces /0 ∈ T trivialmente. Adema´s, X ∈ Vx para cada x por la propiedad (c), ya que
Vx 6= /0; por lo tanto, X ∈ T.
8En su libro de 1914, Hausdorff definio´ un espacio topolo´gico como un espacio dotado de un sistema de
vecindarios. En la segunda edicio´n de 1927, lo reemplazo´ por un espacio que posee una coleccio´n de abiertos:
nuestra Definicio´n 1.7.
MA–704: Topologı´a 16
Si U1,U2 ∈ T y si x ∈U1∩U2, entonces x ∈U1 y x ∈U2, lo cual implica que U1 ∈ Vx y
U2 ∈ Vx; luego U1∩U2 ∈ Vx, por (b). Por lo tanto, U1∩U2 ∈ T.
Si Uα ∈ T para α ∈ J y si x∈⋃α∈J Uα , entonces x∈Uβ para algu´n β ∈ J. Luego Uβ ∈Vx
y en consecuencia
⋃
α∈J Uα ∈ Vx tambie´n, por (c). Se concluye que T es una topologı´a
sobre X .
Si V es un vecindario de x para esta topologı´a T, entonces hay U ∈ T con x ∈ U ⊆ V .
Ahora U ∈ Vx, ası´ que V ∈ Vx, en vista de (c).
Por otro lado, si V ∈Vx, sea U := {y : V ∈Vy }; entonces x∈U y U ⊆V , por (a). Si z∈U ,
entonces V ∈ Vz, ası´ que U ∈ Vz tambie´n, por (d). Esto implica que U ∈ T. Se concluye que
V es un vecindario de x por la topologı´a T.
La unicidad de T sigue del Lema 1.29, como los abiertos son los vecindarios de cada uno
de sus puntos: esto es la definicio´n de los miembros de T.
El Lema 1.24 ahora dice: x ∈ A si y so´lo si cada vecindario de x contiene un punto de A.
Definicio´n 1.32. Una base de vecindarios para un espacio topolo´gico X es un juego de
vecindarios Bx ⊆ Vx, para cada x ∈ X tal que cada V ∈ Vx incluye al menos un elemento
B ∈Bx, ası´ que x ∈ B⊆V .
En un espacio me´trico (X ,ρ), por ejemplo, las bolas abiertas Bρ(x;1/n), para x ∈ X y
n ∈ N∗, forman una base de vecindarios para la topologı´a de la me´trica.
1.3 Funciones continuas, topologı´as de´biles
Definicio´n 1.33. Sean X , Y dos espacios topolo´gicos. Dı´cese que f : X → Y es una funcio´n
continua si para cada abierto V ⊆ Y , la parte f−1(V ) es un abierto de X .
Si x ∈ X , una funcio´n g : X →Y es continua en x si para cada vecindario V de g(x) en Y ,
la parte g−1(V ) es un vecindario de x en X .
Lema 1.34. Para una funcio´n f : X→Y , las siguientes definiciones de continuidad son equi-
valentes:
(a) si V es abierto en Y , entonces f−1(V ) es abierto en X;
(b) si C es cerrado en Y , entonces f−1(C) es cerrado en X;
(c) f
(
A
)⊆ f (A) para todo A⊆ X;
(d) f es continua en x para todo x ∈ X.
Demostracio´n. Ad(a) =⇒ (b): Si C es cerrado en Y , entonces Y \C es abierto en Y , ası´ que
X \ f−1(C) = f−1(Y \C) es abierto en X , luego f−1(C) es cerrado en X .
MA–704: Topologı´a 17
Ad(b)=⇒ (a): Si V es abierto en Y , entonces Y \V es cerrado en Y , ası´ que X \ f−1(V )=
f−1(Y \V ) es cerrado en X , luego f−1(V ) es abierto en X .
Ad(b) =⇒ (c): Si A ⊆ X , entonces f−1( f (A)) es cerrado en X y A ⊆ f−1( f (A)) evi-
dentemente. Por lo tanto, A⊆ f−1( f (A)); lo cual implica que f (A)⊆ f (A).
Ad(c)=⇒ (b): Si C es cerrado en Y , sea A := f−1(C). Luego f (A)= f ( f−1(C))⊆C. Si
x∈ A, entonces f (x)∈ f (A)⊆ f (A)⊆C =C, ası´ que x∈ f−1(C) = A. Por tanto, A= f−1(C)
es cerrado en X .
Ad(a) =⇒ (d): Si x ∈ X y si W es un vecindario de f (x) en Y , entonces hay un abierto
V en Y tal que f (x) ∈ V ⊆W . Luego x ∈ f−1(V ) ⊆ f−1(W ) y f−1(V ) es abierto en X , ası´
que f−1(W ) en un vecindario de x en X .
Ad(d) =⇒ (a): Si V es abierto en Y y si x ∈ f−1(V ), entonces f (x) ∈ V , ası´ que el
abierto V es un vecindario de f (x) en Y . Luego f−1(V ) es un vecindario de x en X ; es decir,
hay un abierto Ux tal que x ∈Ux ⊆ f−1(V ). El conjunto f−1(V ) es la unio´n de todos estos
abiertos Ux y como tal, f−1(V ) es abierto en X .
Lema 1.35. Si f : X → Y y g : Y → Z son funciones continuas entre espacios topolo´gicas, la
composicio´n g◦ f : x 7→ g( f (x)) tambie´n es continua.
Demostracio´n. Si U es un abierto en Z, entonces (g◦ f )−1(U) = f−1(g−1(U)) es un abierto
en X .
Definicio´n 1.36. Sean X , Y dos espacios topolo´gicos. Una biyeccio´n h : X → Y que es con-
tinua, y cuya funcio´n inversa g : Y → X es tambie´n continua, se llama un homeomorfismo
entre X y Y .
Dos espacios topolo´gicos X , Y son homeomorfos si existe un homeomorfismo h : X→Y .
La notacio´n X ≈ Y significa que X es homeomorfo a Y .
Si h : X→Y es un homeomorfismo y si g : Y → X es su funcio´n inversa, para cada abierto
U ⊆ X la imagen h(U) = g−1(U) es abierto en Y . Como tambie´n h−1(h(U)) =U porque la
funcio´n h es biyectiva, se ve que U es abierto en X si y so´lo si h(U) es abierto en Y .
Ejemplo 1.37. Sean a < b en R. Los intervalos (a,b) y (a,∞) y la recta R = (−∞,∞) son
homeomorfos.
En efecto, la funcio´n f : (0,1)→ (a,b) dada por f (t) := (1− t)a+ tb es una biyeccio´n
continua, con inverso continuo s 7→ (s− a)/(b− a); luego los intervalos acotados (a,b) y
(0,1) son homeomorfos. Adema´s, la funcio´n t 7→ (t − a) es un homeomorfismo entre los
intervalos no acotados (a,∞) y (0,∞).
Un homeomorfismo entre (0,1) y (0,∞) esta´ dado por este par de funciones inversas:
s = h(t) :=
t
1− t , t = g(s) :=
s
1+ s
.
MA–704: Topologı´a 18
Un homeomorfismo entre (−1,1) y R esta´ dado por este otro par de funciones inversas:
s = k(t) :=
t
1− t2 , t = l(s) :=
2s
1+
√
1+4s2
. ♦
Las funciones continuas sobre un espacio topolo´gico X con valores en la recta real R (o
bien en el plano complejo C) son particularmente importantes. Las operaciones algebraicas
en R (o en C) inducen combinaciones de funciones continuas.
Definicio´n 1.38. Sea X un espacio topolo´gico. Deno´tese por C(X ,R) la totalidad de fun-
ciones continuas f : X→R. Si f ,g∈C(X ,R), defı´nase su suma puntual f +g, su producto
puntual f g y su dilatacio´n t f para t ∈ R, por las fo´rmulas
f +g : x 7−→ f (x)+g(x), f g : x 7−→ f (x)g(x), t f : x 7−→ t f (x), para x ∈ X .
Si g(x) 6= 0 para todo x ∈ X , tambie´n se define el cociente puntual f/g : x 7→ f (x)/g(x). Es
fa´cil que f + g, f g y t f , como tambie´n f/g cuando g no se anula, son continuas. Entonces
C(X ,R) es un a´lgebra real.9
Deno´tese por C(X ,C) la totalidad de funciones continuas f : X → C, con las operacio-
nes correspondientes de suma y producto puntuales y dilatacio´n por un nu´mero complejo.
Adema´s, el conjugado complejo f¯ de f ∈ C(X ,C) se define por f¯ : x 7→ f (x). Se verifica
que f¯ es tambie´n continua. Entonces C(X ,C) es un a´lgebra involutiva compleja.
I Un conjunto X admite diversas topologı´as. Hay un orden parcial sobre la coleccio´n de
topologı´as sobre X dada por inclusio´n (dentro del conjunto 2X ). Cuando T1 y T2 son dos
topologı´as sobre X tales que T1 ⊆ T2, dı´cese que T1 es ma´s de´bil (o ma´s gruesa) que T2; o
bien que T2 es ma´s fuerte (o ma´s fina) que T1.
Entre todas las topologı´as sobre X , la topologı´a discreta (T = 2X ) es el elemento ma´s
fuerte, mientras la topologı´a indiscreta (T = {X , /0}) es el elemento ma´s de´bil, para este orden
parcial.
Proposicio´n 1.39. Dado un conjunto X y una familia de funciones { fα : X→Yα}α∈J , donde
cada (Yα ,Uα) es un espacio topolo´gico, hay una topologı´a T sobre X que cumple:
? cada fα : (X ,T)→ (Yα ,Uα) es una funcio´n continua;
? T es la topologı´a ma´s de´bil sobre X para que toda fα sea continua.
Dı´cese que T es la topologı´a de´bil sobre X inducida por la familia de funciones ( fα)α∈J .
9Un conjunto A es un a´lgebra sobre un cuerpo K si A esta´ dotado de operaciones de suma, producto y
multiplicacio´n escalar, tal que A sea un anillo y a la vez un espacio vectorial sobre K.
MA–704: Topologı´a 19
Demostracio´n. La topologı´a T puede describirse, en vista del Lema 1.17, al exhibir una
subbase. Conside´rese la coleccio´n S de parte de X de la forma:
S := { f−1α (Uα) : Uα ∈ Uα , α ∈ J }.
Para que cada fα sea continua, es necesario y suficiente que cada parte de este tipo pertenezca
a la topologı´a sobre X ; luego, S ⊆ T. Por otro lado, entre todas las topologı´as sobre X , hay
una que es ma´s de´bil que todas los dema´s, segu´n el Lema 1.17: T es la topologı´a generada
por la subbase S.
Lema 1.40. Sea X un conjunto con la topologı´a de´bil inducida por una familia de funciones
{ fα : X → Yα}α∈J , y sea (Z,V) otro espacio topolo´gico. Para que una funcio´n h : Z → X
sea continua, es necesario y suficiente que todas las composiciones fα ◦ h : Z → Yα sean
continuas.
Demostracio´n. Si h : Z → X es continua, entonces las composiciones fα ◦ h son continuas,
por el Lema 1.35.
Inversamente, si cada fα ◦h es continua, hay que mostrar que h−1(U) es abierto en Z para
todo abierto U de X . So´lo hay que verificarlo para los abiertos de la subbase que definen
la topologı´a de´bil; es decir, puede suponerse que U = f−1β (Vβ ), donde Vβ es un abierto en
algu´n Yβ . En ese caso,
h−1(U) = h−1( f−1β (Vβ )) = ( fβ ◦h)−1(Vβ ),
ası´ que h−1(U) ∈ V, por la continuidad de fβ ◦h.
1.4 Subespacios, productos y cocientes
Definicio´n 1.41. Sea (X ,T) un espacio topolo´gico y sea A ⊆ X una parte cualquiera. La
topologı´a relativa (o la topologı´a de subespacio) sobre A, es
TA := {A∩U : U ∈ T }.
En vista de la identidad A∩ (U1 ∩U2) = (A∩U1)∩ (A∩U2) y tambie´n la distributividad
A∩ (⋃α∈J Uα)=⋃α∈J(A∩Uα), se ve que TA es efectivamente una topologı´a sobre A.
Si iA : A ↪→ X es la inclusio´n, TA es la topologı´a de´bil sobre A inducida por esta inclusio´n,
ya que A∩U = i−1A (U).
Ejemplo 1.42. Conside´rese el intervalo cerrado [0,1] como subespacio deR (con la topologı´a
usual sobre R). Entonces el subintervalo
[0, 12) = [0,1]∩ (−12 , 12)
es un abierto de [0,1] con la topologı´a relativa, aunque no es un abierto de R. ♦
MA–704: Topologı´a 20
A la luz de este ejemplo, hay que distinguir entre las frases abierto en A (con la topologı´a
del subespacio) y abierto en X , cuando se trata de una parte B ⊆ A. Sin embargo, si A es un
abierto en X originalmente, esta distincio´n desaparece.
Lema 1.43. Sea X un espacio topolo´gico y sea B⊆ A⊆ X. Si B es abierto en A y A es abierto
en X, entonces B es abierto en X.
Demostracio´n. Como B es abierto en A, hay un abierto U en X tal que B = A∩U . Como A
es abierto en X , la interseccio´n A∩U es tambie´n abierto en X .
Lema 1.44. Sea X un espacio topolo´gico y sea B⊆ A⊆ X. La clausura de B en la topologı´a
TA es A∩B, donde B es la clausura de B en X.
Demostracio´n. Las partes cerradas de la topologı´a relativa de A son todas de la forma G =
A\ (A∩U) = A∩ (X \U) = A∩F , donde U es un abierto de X y su complemento F = X \U
es un cerrado de X .
Por lo tanto, la clausura de B en la topologı´a relativa de A es⋂
{G : B⊆ G, G cerrado en A}=
⋂
{A∩F : B⊆ F, F cerrado en X }= A∩B.
I Para definir una topologı´a apropiada sobre un producto cartesiano de espacios topolo´gicos,
se aprovecha el concepto de topologı´a de´bil inducida por las proyecciones (xα)α∈J 7→ xβ .
Conviene examinar ese concepto primero en el caso de un producto cartesiano de dos espacios
(lo cual, por repeticio´n de factores, se extiende al caso de un producto de un nu´mero finito de
espacios).
Definicio´n 1.45. Sea (X ,U) y (Y,V) dos espacios topolo´gicos. La topologı´a del producto
sobre el producto cartesiano X×Y es la topologı´a T con subbase {U×V : U ∈ U, V ∈ V}.
De hecho, esta subbase es una base para T, en vista de la identidad
(U1×V1)∩ (U2×V2) = (U1∩U2)× (V1∩V2)
entre partes de X ×Y . Un abierto cualquiera de T es una unio´n de “recta´ngulos” U ×V , con
U ∈ U, V ∈ V.
Hay dos aplicaciones evidentes pr1 : X×Y → X y pr2 : X×Y → Y , dadas por
pr1(x,y) := x, pr2(x,y) := y.
Estas dos proyecciones son continuas para la topologı´a del producto. En efecto, si U es un
abierto en X y V es un abierto en Y , entonces pr−11 (U) =U ×Y y tambie´n pr−12 (V ) = X ×V
son abiertos (ba´sicos) en X×Y . De hecho, como
U×V = (U×Y )∩ (X×V ) = pr−11 (U)∩pr−12 (V ),
MA–704: Topologı´a 21
el recta´ngulo U×V es tambie´n un abierto ba´sico para la topologı´a de´bil inducida por las dos
proyecciones pr1, pr2. Y viceversa: una subbase para dicha topologı´a es la coleccio´n
S := {pr−11 (U) : U ∈ U}∪{pr−12 (V ) : V ∈ V},
y la base correspondiente es formada por las intersecciones U×V .
Al combinar esta observacio´n con el Lema 1.40, se obtiene una “propiedad catego´rica”
de la topologı´a del producto.
Lema 1.46. Si X, Y , Z son tres espacios topolo´gicos y X ×Y tiene la topologı´a del pro-
ducto, sean f : Z→ X y g : Z→ Y dos funciones continuas. Entonces hay una u´nica funcio´n
continua h : Z→ X×Y tal que pr1 ◦h = f y pr2 ◦h = g.
X×Y
X Y
Z
h
f g
pr1 pr2
Demostracio´n. La unicidad es evidente, porque las fo´rmulas
f (z) = pr1(h(z)), g(z) = pr2(h(z))
conllevan la receta h(z) :=
(
f (z),g(z)
)
.
La continuidad de h es una consecuencia del Lema 1.40, que en este caso dice que h es
continua si y so´lo si f y g son continuas.
Definicio´n 1.47. Sean {(Xα ,Tα) : α ∈ J } una familia de espacios topolo´gicos. La topologı´a
del producto sobre el producto cartesiano X = ∏α∈J Xα es la topologı´a de´bil inducida por
todas las proyecciones prβ : X → Xβ : (xα)α∈J 7→ xβ .
Una subbase para esta topologı´a es la coleccio´n de partes de X de la forma pr−1α (Uα)
donde Uα ∈ Tα para algu´n α . La base correspondiente consta de las intersecciones finitas de
tales partes. Un abierto ba´sico es entonces de la forma
U = {x ∈ X : xα1 ∈Uα2, . . . , xαk ∈Uαk }
para algu´n juego finito de ı´ndices {α1, . . . ,αk} ⊆ J. Las coordenadas de x ∈U para las otras
ı´ndices son arbitrarias; es decir, prα1(U) =Uα1 , . . . , prαk(U) =Uαk mientras prα(U) = Xα
para α 6= α1, . . . ,αk. Dicho de otro modo, un abierto ba´sico es de la forma U = ∏α∈J Uα
donde Uα = Xα salvo por un nu´mero finito de los ı´ndices α .
MA–704: Topologı´a 22
Definicio´n 1.48. Dados dos conjuntos X , Y , la coleccio´n de funciones Y X := { f : X → Y }
es un producto cartesiano, porque
Y X ←→∏
x∈X
Yx, donde Yx = Y para todo x ∈ X .
(El sı´mbolo↔ significa que hay una biyeccio´n entre dos conjuntos.) En efecto, un elemento
del producto cartesiano es una familia f = ( fx)x∈X con fx ∈ Yx = Y para todo x ∈ X ; al
escribir f (x) en lugar de fx, se ve que f es simplemente una funcio´n de X en Y . Las proyec-
ciones pix : Y X → Y sobre coordenadas son las evaluaciones f 7→ f (x) en los puntos de X .
La topologı´a del producto es entonces la topologı´a ma´s de´bil sobre Y X tal que todas estas
evaluaciones sean continuas; se llama la topologı´a de convergencia simple sobre Y X .
I Si R es una relacio´n de equivalencia sobre un espacio topolo´gico (X ,T), el conjunto co-
ciente X/R posee una topologı´a apropiada.
Definicio´n 1.49. Sea q : X → X/R : x 7→ [x] la funcio´n sobreyectiva que lleva elementos a su
clases de equivalencia. La topologı´a cociente sobre X/R es Tq := {U ⊆ X/R : q−1(U)∈ T }.
(Recue´rdese que la correspondencia U 7→ q−1(U) respeta uniones e intersecciones.)
Por otro lado, si X , Y son dos espacios topolo´gicos, una funcio´n sobreyectiva p : X → Y
se llama una aplicacio´n cociente si V es un abierto en Y si y so´lo si p−1(V ) es un abierto
en X . (En particular, la funcio´n q : (X ,T)→ (X/R,Tq) es una aplicacio´n cociente.)
Fı´jese que una definicio´n equivalente de una aplicacio´n cociente p : X→Y es la siguiente:
G es un cerrado en Y si y so´lo si p−1(G) es un cerrado en X .
Ejemplo 1.50. El cı´rculo S1 es el conjunto
S1 := {(x,y) ∈ R2 : x2+ y2 = 1}= {z ∈ C : |z|= 1},
usando la identificacio´n usual de R2 con C. Como espacio topolo´gico, S1 tiene la topologı´a
relativa de la inclusio´n S1 ⊂ R2. La funcio´n e : R→ S1 dada por
e(t) := e2piit ∈ S1 ⊂ C, para t ∈ R,
es una aplicacio´n cociente. En efecto, una base para la topologı´a de S1 es el juego de arcos
abiertos Uαβ := {e2piiθ : α < θ < β } (con 0 < β −α ≤ 1) cuyos preima´genes son uniones
de intervalos abiertos: e−1(Uαβ ) =
⋃
n∈Z(α+n,β +n)⊂ R. ♦
Definicio´n 1.51. Sea f : X →Y una funcio´n entre dos espacios topolo´gicos. Dı´cese que f es
una aplicacio´n abierta si para cada abierto U en X , la imagen f (U) es un abierto en Y .
Del mismo modo, una funcio´n g : X → Y es una aplicacio´n cerrada si para cada cerrado
F en X , la imagen g(F) es un cerrado en Y .
MA–704: Topologı´a 23
Una aplicacio´n continua y sobreyectiva f : X → Y que es (i) abierta; o bien (ii) cerrada;
es una aplicacio´n cociente. Sin embargo, estas tres nociones son distintas: hay aplicaciones
abiertas que no son cerradas y viceversa; y hay aplicaciones cocientes que no son ni abiertas
ni cerradas. (Para empezar, no todo abierto de X tendrı´a que ser de la forma f−1(U) donde
U es un abierto de Y .)
Ejemplo 1.52. El plano proyectivo real RP2 se define como el juego de rectas que pasan
por el origen (es, decir, subespacios unidimensionales) de R3. Como cada recta de ese tipo
corta la esfera
S2 := {(x,y,z) ∈ R3 : x2+ y2+ z2 = 1}
en dos puntos antipodales, hay una biyeccio´n entre RP2 y el conjunto de tales pares antipo-
dales. La particio´n de S2 en pares define una relacio´n de equivalencia: (x,y,z)∼ (−x,−y,−z);
sea [x : y : z] := q(x,y,z) la clase de equivalencia del punto (x,y,z). La topologı´a cociente Tq
hace de RP2 un espacio topolo´gico y la aplicacio´n cociente q : S2→ RP2 es una aplicacio´n
abierta. ♦
Definicio´n 1.53. Si X , Y son dos conjuntos tales que X ∩Y = /0, su unio´n X ∪Y es una unio´n
disjunta, a veces denotado X unionmultiY .
Aun cuando dos conjuntos tengan interseccio´n no vacı´a, es posible definir su unio´n dis-
junta mediante el siguiente artificio. Se identifica X con X×{1}, Y con Y ×{2} y se define
X unionmultiY := (X×{1})∪ (Y ×{2}).
De modo similar, se define la unio´n disjunta de cualquier familia de conjuntos {Xα : α ∈ J }
al identificar Xα con Xα ×{α}: ⊎
α∈J
Xα :=
⋃
α∈J
(Xα ×{α}).
Es posible luego suprimir el segundo factor de estos productos cartesianos, para aliviar la
notacio´n.
Si cada Xα es un espacio topolo´gico, se define una topologı´a en X =
⊎
α∈J Xα al declarar
que U es un abierto de X si y so´lo si cada U ∩Xα es un abierto de Xα . (Por tanto, F es un
cerrado de X si y so´lo si cada F ∩Xα es un cerrado de Xα .)
Definicio´n 1.54. Sean X , Y dos espacios topolo´gicos disjuntos; sea A⊆ X una parte cerrada
y sea f : A→ Y una funcio´n continua. Defı´nase una relacio´n de equivalencia sobre X unionmultiY al
declarar que f (x)∼ x toda vez que x ∈ A. Las clases de equivalencia son de dos tipos:
? [x] = {x} si x ∈ X \A;
? [y] = {y}∪ f−1(y) si y ∈ Y .
MA–704: Topologı´a 24
El espacio cociente de X unionmultiY bajo esta relacio´n de equivalencia se denota por X ∪ f Y y se
llama la adjuncio´n de X a Y mediante f . Queda dotado de la topologı´a cociente.
Lema 1.55. En las condiciones de la Definicio´n 1.54, si q : X unionmultiY → X ∪ f Y es la aplicacio´n
cociente, entonces:
(a) q(Y ) es un cerrado en X ∪ f Y y la restriccio´n q|Y : Y → q(Y ) es un homeomorfismo;
(b) q(X \A) es un abierto en X ∪ f Y y la restriccio´n q|X\A : X \A→ q(X \A) es un homeo-
morfismo.
Demostracio´n. Ad(a): La restriccio´n q|Y es una biyeccio´n continua de Y en q(Y ). En
particular, Y = q−1(q(Y )); como Y es cerrado en X unionmultiY y q es una aplicacio´n cociente, se
concluye que q(Y ) es cerrado en X ∪ f Y .
Si F es cualquier cerrado en Y , entonces F es cerrado en X unionmultiY con F = q−1(q(F)).
Entonces q(F) es cerrado en X ∪ f Y ; luego q(F) tambie´n es cerrado en la topologı´a relativa
de q(Y ). Se ha comprobado que la biyeccio´n continua q|Y es una aplicacio´n cerrada, ası´ que
su funcio´n inversa es continua: q|Y es un homeomorfismo.
Ad(b): La restriccio´n q|X\A es una biyeccio´n continua de X \A en su imagen. En parti-
cular, X \A = q−1(q(X \A)); como X \A es abierto en X unionmultiY y q es una aplicacio´n cociente,
se concluye que q(X \A) es abierto en X ∪ f Y .
Si U es cualquier abierto en X \A, entonces U es abierto en X unionmultiY con U = q−1(q(U)).
Entonces q(U) es abierto en X ∪ f Y ; luego q(U) tambie´n es abierto en la topologı´a relativa
de q(X \A). Se ha comprobado que la biyeccio´n continua q|X\A es una aplicacio´n abierta, ası´
que su funcio´n inversa es continua: q|X\A es un homeomorfismo.
Definicio´n 1.56. Si f : X → Y es una funcio´n continua, el cilindro de f es el espacio
topolo´gico Z f definido como sigue. Si I = [0,1], se identifica X ↔ X ×{1} como subes-
pacio cerrado de X× I; entonces Z f := (X× I)∪ f Y .
En ma´s detalle: X×{1} es un cerrado en X× I; la aplicacio´n continua (x,1) 7→ f (x) lleva
X×{1} en Y ; y se forma la adjuncio´n de X× I a Y mediante esta aplicacio´n.
El Lema 1.55 dice entonces que tanto X como Y se identifican con subespacios cerrados
de Z f mediante x 7→ q(x,0) y respectivamente y 7→ q(y).
1.5 Sucesiones, redes y convergencia
Para funciones continuas entre espacios me´tricos, hay una caracterizacio´n de continuidad que
es muy pra´ctico y u´til: una funcio´n es continua si lleva sucesiones convergentes en sucesiones
convergentes. Para espacios topolo´gicos cuya topologı´a no viene de una me´trica, hay que
cambiar esta condicio´n, al introducir una generalizacio´n del concepto de sucesio´n.
MA–704: Topologı´a 25
Lema 1.57. Sean (X ,ρ) y (Y,σ) dos espacios me´tricos. Una funcio´n f : X → Y es continua
en x ∈ X si y so´lo si para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que
ρ(x,x′)< δ =⇒ σ( f (x), f (x′))< ε.
Demostracio´n. Ad(⇒): Como f es continua en x, si ε > 0 el conjunto f−1(Bσ ( f (x);ε)) es
un vecindario abierto de x; luego hay un radio δ > 0 tal que la bola abierta Bρ(x;δ ) cumple
x ∈ Bρ(x;δ )⊆ f−1
(
Bσ ( f (x);ε)
)
. Luego f
(
Bρ(x;δ )
)⊆ Bσ ( f (x);ε).
Ad(⇐): Si V es un abierto en Y , hay que mostrar que f−1(V ) es un abierto en X .
Si x ∈ f−1(V ), entonces f (x) ∈ V ; por tanto, hay un radio ε tal que Bσ ( f (x);ε) ⊆ V . La
condicio´n dada entonces dice que hay δ > 0 tal que f
(
Bρ(x;δ )
) ⊆ Bσ ( f (x);ε). Entonces
x ∈ Bρ(x;δ ) ⊆ f−1(V ), es decir, f−1(V ) es un vecindario de x. Se concluye que f−1(V ) es
un vecindario de cada uno de sus puntos, ası´ que f−1(V ) es un abierto.
Definicio´n 1.58. En un espacio me´trico (X ,ρ) una sucesio´n (xn) converge a un lı´mite x ∈ X ,
escrito xn→ x, si para cada ε > 0 hay N = N(ε) ∈ N tal que n≥ N =⇒ ρ(xn,x)< ε .
En un espacio topolo´gico X cualquiera, dı´cese que una sucesio´n (xn) converge a un lı´mite
x ∈ X si para cada vecindario W de x hay N = N(W ) ∈ N tal que n≥ N =⇒ xn ∈W .
Lema 1.59. Sea (X ,ρ) un espacio me´trico y sea A ⊆ X y x ∈ X. Entonces x ∈ A si y so´lo si
hay una sucesio´n (xn)⊆ A tal que xn→ x.
Demostracio´n. Si xn→ x con xn ∈ A para cada n, entonces cada abierto U con x ∈U incluye
una bola Bρ(x;ε) para algu´n ε > 0, la cual contiene xn para n ≥ N(ε); luego U ∩A 6= /0. El
Lema 1.24 muestra que x ∈ A.
Inversamente, si x ∈ A, entonces para cada k ∈ N la bola Bρ(x;1/k) no es disjunta de A:
hay un punto xk ∈ Bρ(x;1/k)∩A. Ası´, por induccio´n sobre k, se forma una sucesio´n (xk) y
cada para cada ε > 0 se ve que ρ(xk,x) < ε toda vez que 1/k < ε; al tomar N(ε) > 1/ε , se
obtiene la convergencia xk→ x.
Lema 1.60. Sea (X ,ρ) un espacio me´trico y Y un espacio topolo´gico cualquiera. Una
funcio´n f : X → Y es continua si y so´lo si para cada sucesio´n convergente xn → x en X,
la sucesio´n f (xn) converge a f (x) en Y .
Demostracio´n. Ad(⇒): Si f es continua y si xn → x en X , sea V un vecindario de f (x)
en Y . Entonces f−1(V ) es un vecindario de x en X , ası´ que hay N ∈ N tal que n≥ N implica
xn ∈ f−1(V ). Luego f (xn) ∈V para todo n ∈ N. En otras palabras, f (xn)→ f (x) en Y .
Ad(⇐): Si A ⊆ X hay que mostrar que f (A) ⊆ f (A). Si x ∈ A, el Lema 1.59 muestra
que hay una sucesio´n (xn)⊆ A tal que xn→ x en X . Por la hipo´tesis, se obtiene f (xn)→ f (x)
en Y . Como f (xn) ∈ f (A), el mismo lema muestra que f (x) ∈ f (A), que es lo que habı´a que
comprobar.
MA–704: Topologı´a 26
I No todo espacio topolo´gico es metrizable (es decir, homeomorfo a un espacio me´trico).
La primera de las condiciones que sigue es necesaria (aunque no suficiente) para que exista
una me´trica que determine la topologı´a.
Definicio´n 1.61. Un espacio topolo´gico X satisface el primer axioma de numerabilidad si
cada x ∈ X posee una base de vecindarios numerable.
Dı´cese que X satisface el segundo axioma de numerabilidad si la topologı´a T de X
posee una base numerable.10
Dı´cese que X es separable si posee una parte densa que es numerable.
Cada espacio me´trico cumple el primer axioma de numerabilidad; por ejemplo, las bolas
abiertas de radios racionales forman una base de vecindarios en cada punto.
Es evidente que el segundo axioma implica el primero: si B es una base numerable de T,
el conjunto Bx := {B ∈B : x ∈ B} es una base numerable de vecindarios de cada x ∈ X .
Un espacio topolo´gico X que cumple el segundo axioma de numerabilidad es separable.
En efecto, si K ⊆ N y si B = {Bk : k ∈ K } es una base para su topologı´a, elı´jase un punto
xk ∈ Bk para cada k. Entonces la parte numerable A = {xk : k ∈ K } es denso en X , porque el
u´nico abierto disjunto de A es /0, ası´ que el u´nico cerrado que incluye A es X , de modo que
A = X .
El primer axioma no implica el segundo. Por ejemplo, la recta R con la topologı´a dis-
creta satisface el primer axioma trivialmente, pero no cumple el segundo, ya que R no es
numerable.
Al examinar la demostracio´n del Lema 1.59, se ve que la propiedad esencial de espacios
me´tricos empleada allı´ fue el primer axioma de numerabilidad. Esto permite generalizar los
dos lemas anteriores como sigue.
Lema 1.59′. Sea X un espacio topolo´gico que satisface el primer axioma de numerabilidad;
sea A⊆ X y x ∈ X . Entonces x ∈ A si y so´lo si hay una sucesio´n (xn)⊆ A tal que xn→ x. 
Lema 1.60′. Sea X , Y dos espacios topolo´gicos donde X satisface el primer axioma de nu-
merabilidad. Una funcio´n f : X → Y es continua si y so´lo si para cada sucesio´n convergente
xn→ x en X , la sucesio´n f (xn) converge a f (x) en Y . 
Ejemplo 1.62. Sea X un conjunto no numerable. Ame´n de la topologı´a discreta Td , X posee
una topologı´a conumerable Tcn cuyos cerrados son X mismo y todas las partes numerables
de X . Es evidente que Tcn 6= Td y que la funcio´n identidad 1X : (X ,Td)→ (X ,Tcn) es continua
pero no es un homeomorfismo.
10Estos dos axiomas de numerabilidad fueron introducidos por Hausdorff en su libro de 1914. No parece
haber te´rminos sino´nimos de un solo vocablo. Los textos en ingle´s usan la terminologı´a first-countable spaces,
resp. second-countable spaces, para denotar los espacios topolo´gicos que cumplen estos dos axiomas de numer-
abilidad.
MA–704: Topologı´a 27
Una sucesio´n convergente xn→ x en (X ,Td) debe ser eventualmente constante (esto es,
hay N ∈ N tal que xn = x para todo n≥ N) porque {x} es un vecindario abierto de x.
Adema´s, una sucesio´n convergente xn→ x en (X ,Tcn) debe ser eventualmente constante
tambie´n, porque de no ser ası´ habrı´a un ı´ndice nk ≥ k, para cada k ∈N, con xnk 6= x; entonces
X \{xnk : k ∈ N} serı´a un vecindario abierto de x que no incluye cola alguna de la sucesio´n.
Luego Td y Tcn son dos topologı´as diferentes sobre X que poseen las mismas sucesiones
convergentes. [Del Lema 1.59′ se concluye que (X ,Tcn) no satisface el primer axioma de
numerabilidad.] ♦
Hace falta, entonces, generalizar el concepto de sucesio´n para obtener algu´n resultado
ana´logo al Lema 1.60′, aplicable a espacios topolo´gicos cualesquiera. Esta idea es la conver-
gencia por redes (o convergencia generalizada de Moore y Smith).11
Definicio´n 1.63. Una red en un espacio topolo´gico X , indexada por un conjunto dirigido J,
es una funcio´n x : J→ X , usualmente escrito con la notacio´n (xα)α∈J .
Sea A ⊆ X . Dı´cese que la red (xα) esta´ eventualmente en A si hay un ı´ndice α ∈ J tal
que β ≥ α =⇒ xβ ∈ A. La red (xα) converge a un punto lı´mite x ∈ X , escrito xα → x, si
esta´ eventualmente en cualquier vecindario de x, es decir: para todo V ∈ Vx hay α ∈ J tal que
β ≥ α =⇒ xβ ∈V .
Dı´cese que una red (xα) esta´ frecuentemente en A si para todo α ∈ J hay algu´n γ ≥ α tal
que xγ ∈ A. Un punto z ∈ X es un punto adherente de esta red si (xα) esta´ frecuentemente
en cualquier vecindario de z, es decir: para todo W ∈ Vz y α ∈ J, hay γ ≥ α tal que xγ ∈W .
Definicio´n 1.64. Si J es un conjunto dirigido, dı´cese que una parte I ⊆ J es cofinal en J si
para todo α ∈ J, existe γ ∈ I con α ≤ γ . (En consecuencia, I tambie´n es un conjunto dirigido,
con el orden parcial heredada de J.)
Una subred de una red (xα)α∈J esta´ dada por un conjunto dirigido K y una funcio´n
ϕ : K → J tal que β ≤ β ′ =⇒ ϕ(β ) ≤ ϕ(β ′) y tal que ϕ(K) sea cofinal en J. Al escribir
yβ := xϕ(β ), esta subred se denota por (yβ )β∈K .
Si xα → x en X y si (yβ ) es una subred de (xα), entonces yβ → x tambie´n. En efecto, si V
es un vecindario de X y si xγ ∈ V para γ ≥ α , existe β ∈ K tal que ϕ(β ) ≥ λ , de modo que
δ ≥ β en K implica que ϕ(δ )≥ ϕ(β )≥ α y por ende yδ ∈V para δ ≥ β . En otras palabras,
un punto lı´mite para (xα) es tambie´n un punto lı´mite para cualquier subred de (xα).
Si I es cofinal en J, la inclusio´n ι : I ↪→ J sirve para tener (xα)α∈I como subred de (xα)α∈J .
Dada una subred (zγ)γ∈L de la subred (yβ )β∈K mediante ψ : L→ K, se ve que (zγ)γ∈L es
una subred de (xα)α∈J mediante la aplicacio´n compuesta ϕ ◦ψ : L→ J.
11Las redes fueron introducidas en: Eliakim H. Moore y Herman L. Smith, A general theory of limits, Ameri-
can Journal of Mathematics 44 (1922), 102–121. Una nocio´n de convergencia equivalente es la idea de un filtro,
desarrollado en: Henri Cartan, The´orie des filtres, Comptes Rendus de l’Acade´mie des Sciences de Paris 205
(1937), 595–598. La convergencia por filtros fue adoptada por la escuela de Bourbaki en su tratamiento de la
topologı´a general.
MA–704: Topologı´a 28
Ejemplo 1.65. Una particio´n marcada (P,T ) de un intervalo cerrado [a,b] ⊂ R consta de
dos conjuntos de nu´meros reales P = {x0,x1,x2, . . . ,xn} y T = {t1, t2, . . . , tn} tales que:
a = x0 < x1 < · · ·< xn = b; y xi−1 ≤ ti ≤ xi para i = 1,2, . . . ,n.
Otra particio´n (Q,S) con Q = {y0,y1,y2, . . . ,ym} se llama un refinamiento de (P,T ), escrito
(Q,S)  (P,T ) o bien (P,T )  (Q,S), si m ≥ n y P ⊆ Q. Ası´ se define un orden parcial
sobre la totalidad de particiones marcadas P[a,b]. Una tercera particio´n marcada (R,U) es un
refinamiento comu´n de (P,T ) y (Q,S) si P∪Q ⊆ R. Es evidente que P[a,b] es un conjunto
dirigido.
Si f : [a,b]→ R es una funcio´n cualquiera, se define una red en R, indexada por P[a,b],
mediante
(P,T ) 7−→ S( f ;P,T ) :=
n
∑
i=1
f (ti)(xi− xi−1).
Dı´cese que f es integrable en el sentido de Riemann si esta red converge a algu´n s ∈ R, en
cuyo caso se escribe s =
∫ b
a f (t)dt. ♦
Ejemplo 1.66. Una subred de una sucesio´n, por desgracia, no es necesariamente una sub-
sucesio´n! Conside´rese un torneo infinito definido ası´: sea K := N×N con el orden parcial
dado por (m,2n)≤ (m+1,n) y (m,2n+1)≤ (m+1,n), extendido por transitividad. (Figu-
rativamente, en el turno nu´mero m los dos jugadores vecinos 2n y 2n+ 1 compiten para el
puesto nu´mero n en el turno siguiente.) Este K es un conjunto dirigido: cualquier par de ju-
gadores se encontrara´n eventualmente si no quedan eliminados. La funcio´n ϕ : K→ N dada
por ϕ(m,n) := m respeta los o´rdenes parciales (donde N tiene su orden simple usual) y es
sobreyectiva, ϕ(K) = N. Dada una sucesio´n (xm)m∈N en un espacio topolo´gico X , al colocar
y(m,n) := xm se obtiene una subred que no es una sucesio´n. ♦
Lema 1.67. Sea X un espacio topolo´gico, A⊆ X y sea x ∈ X. Entonces x ∈ A si y so´lo si hay
una red (xα)⊆ A tal que xα → x en X.
Demostracio´n. Si xα → x con xα ∈ A para cada α , entonces vecindario V de x contiene xβ
para β ≥ α = α(V ); luego V ∩A 6= /0. El Lema 1.24 muestra que x ∈ A.
Inversamente, si x ∈ A, conside´rese el conjunto dirigido Vx de todos los vecindarios de x,
ordenado por inclusio´n inversa: V ≤W si y so´lo si V ⊇W . Para cada V ∈Vx, elı´jase un punto
xV ∈V ∩A, lo cual es posible porque x ∈ A, en vista del Lema 1.24. De este modo, se forma
una red (xV ) ⊆ A, indexada por Vx, y es evidente que esta red esta´ eventualmente en cada
vecindario de x.
Lema 1.68. En un espacio topolo´gico X, un elemento x ∈ X es un punto adherente de una
red (xα) si y so´lo si hay una subred (yβ ) de (xα) tal que yβ → x en X.
MA–704: Topologı´a 29
Demostracio´n. Ad(⇒): Si x es un punto adherente de la red (xα)α∈J , defı´nase un conjunto
dirigido K := {(α,V ) : α ∈ J, V ∈ Vx con xα ∈ V } con el orden parcial (α,V ) ≤ (γ,W ) si
α ≤ γ y V ⊇W . La funcio´n ϕ : K → J : (α,V ) 7→ α es creciente y sobreyectiva. Luego
y(α,V ) := xα define una subred de (xα).
Si U es un vecindario de x, hay α ∈ J tal que xα ∈U , es decir, y(α,U) ∈U . Si (β ,V ) ≥
(α,U), entonces y(β ,V ) = xβ ∈ V y V ⊆U , ası´ que y(β ,V ) ∈U . Esto dice que la subred esta´
eventualmente en U para todo U ∈ Vx; en otras palabras, que y(α,V )→ x.
Ad(⇐): Por otro lado, si hay una subred (yγ)γ∈L de (xα), definida mediante ϕ : L→ J,
tal que yγ → x en X , to´mese W ∈ Vx y α ∈ J. Como ϕ(L) es cofinal en J, hay un ı´ndice β ∈ L
tal que ϕ(β )≥ α; y como yγ → x, hay un ı´ndice δ ∈ L tal que yγ ∈W para todo γ ≥ δ . Como
L es un conjunto dirigido, existe ε ∈ L tal que ε ≥ β y ε ≥ δ . Entonces ϕ(ε) ≥ ϕ(β ) ≥ α
mientras xϕ(ε) = yε ∈W . Se ha comprobado que la red (xα) esta´ frecuentemente en W para
todo W ∈ Vx, ası´ que x es un punto adherente de (xα).
Hay un caso importante en donde es posible reemplazar redes y subredes por sucesiones y
subsucesiones, respectivamente, para usar la versio´n cotidiana de convergencia. Esto ocurre
cuando el espacio topolo´gico satisface el primer axioma de numerabilidad, como muestra el
siguiente resultado.
Lema 1.69. En un espacio X que satisface el primer axioma de numerabilidad, un elemento
x ∈ X es un punto adherente x de una sucesio´n (xn)n∈N si y so´lo si hay una subsucesio´n
(xnk)k∈N tal que xnk → x.
Demostracio´n. Ad(⇐): Una subsucesio´n es un caso particular de una subred. Luego, si
hay una subsucesio´n (xnk) de (xn) tal que xnk → x, entonces x es un punto adherente de (xn),
por el Lema 1.68.
Ad(⇒): Sea x un punto adherente de la sucesio´n (xn). Sea {Vk : k ∈ N} una base de
vecindarios de x, donde (sin perder generalidad) Vk+1 ⊆ Vk para cada k ∈ N. Entonces hay
un elemento xn0 ∈ V0, ya que la sucesio´n (xn) esta´ frecuentemente en V0. Elı´jase n1 > n0 tal
que xn1 ∈ V1; e inductivamente, elı´jase nk > nk−1 tal que xnk ∈ Vk, para cada k ∈ N. Si U es
cualquier vecindario de x, existe l ∈N tal que Vl ⊆U , ası´ que xnl ∈U . Por lo tanto, se ve que
xnk → x.
Lema 1.70. Sea f : X → Y una funcio´n entre dos espacios topolo´gicos. La funcio´n f es
continua en x ∈ X si y so´lo si xα → x en X =⇒ f (xα)→ f (x) en Y .
Demostracio´n. Si f es continua en x y si xα→ x, sea V un vecindario de f (x) en Y . Entonces
f−1(V ) es un vecindario de x y por ende hay un ı´ndice α tal que β ≥ α =⇒ xβ ∈ f−1(V ).
Esto significa que f (xβ ) ∈ V para β ≥ α , ası´ que ( f (xα))α∈J es una red en Y que converge
a f (x).
MA–704: Topologı´a 30
Por otro lado, si f no es continua en x, hay un vecindario W de f (x) tal que f−1(W ) no
es un vecindario de x. En cada vecindario U de x, entonces, debe haber un punto xU ∈U tal
que f (xU) /∈W . De este modo, se ha encontrado una red (xU), indexada por Vx con el orden
de inclusio´n inversa, tal que xU → x pero f (xU) 6→ f (x).
MA–704: Topologı´a 31
2 Conexidad, Compacidad y Separacio´n
El capı´tulo anterior fue dedicado a los conceptos ba´sicos de espacio topolo´gico y las no-
ciones fundamentales de continuidad y convergencia. En este capı´tulo se pasa revista a ciertas
propiedades importantes cuya presencia (o ausencia) determina la naturaleza de un espacio
topolo´gico particular. Estas propiedades y sus implicaciones para las funciones continuas
conducen a los teoremas ba´sicos de la topologı´a general.
2.1 Espacios conexos, componentes
Definicio´n 2.1. Un espacio topolo´gico X es conexo si X no es la unio´n de dos abiertos
disjuntos no vacı´os.
De lo contrario, dı´cese que X es disconexo si hay dos abiertos no vacı´os /0 6= U ⊂ X ,
/0 6=V ⊂ X tales que U ∩V = /0 y X =U unionmultiV .
Si existe una tal desconexio´n {U,V} de X , entonces los abiertos U = X \V y V = X \U
son tambie´n cerrados en X . Por tanto, X es conexo si y so´lo si las u´nicas partes abiertas y
cerradas son las partes triviales /0 y X .
Ejemplo 2.2. Cualquier conjunto X con la topologı´a indiscreta es un espacio topolo´gico
conexo.
En cambio, un conjunto X con la topologı´a discreta es disconexo si #(X)> 1, porque {x}
con X \{x} forman una desconexio´n, para cualquier x ∈ X . (Cuando una parte solitaria {y}
de un espacio topolo´gico Y es abierta y cerrada, dı´cese que y es un punto aislado de Y .)
El espacio de Sierpin´ski S = {0,1} del Ejemplo 1.11 es conexo, aunque su topologı´a no
es indiscreta: el u´nico abierto que contiene 1 es S, ası´ que no hay una desconexio´n de este
espacio.
La recta flechada R` es disconexo, porque cada subintervalo [a,b) es abierto y cerrado a
la vez.
El conjunto Q de los nu´meros racionales, como subespacio topolo´gico de R, es dis-
conexo. Por ejemplo, U := {r ∈ Q : r ≤ 0 o´ r2 < 2} y V := {s ∈ Q : s > 0, s2 > 2},
un corte de Dedekind, es una desconexio´n de Q. En efecto, U = Q∩ (−∞,√2) mientras
V =Q∩ (√2,∞) forman una particio´n no trivial de Q en dos abiertos no vacı´os. ♦
Lema 2.3. Un espacio topolo´gico X es conexo si y so´lo si las u´nicas funciones continuas
f : X → 2, donde 2 = {0,1} con la topologı´a discreta, son las funciones constantes.
Demostracio´n. Sea f : X → 2 una funcio´n continua. Como las partes {0} y {1} de 2 son
abiertos y cerrados, sus preima´genes U := f−1(0) y V := f−1(1) son abiertos y cerrados
en X . Es claro que U ∩V = /0 y que X =U unionmultiV .
Para que X sea conexo, so´lo caben dos posibilidades: (a) que U = X , V = /0, en cuyo caso
f es la funcio´n constante de valor 0 —se escribe f ≡ 0; o bien (b) que U = /0, V = X , en cuyo
caso f es la funcio´n constante de valor 1 —se escribe f ≡ 1.
MA–704: Topologı´a 32
Por otro lado, si X es disconexo con una desconexio´n {U,V} en dos abiertos no vacı´os,
la funcio´n f : X → 2 dada por f (x) := 0 si x ∈U ; f (x) := 1 si x ∈ V ; es continua y no es
constante.
Lema 2.4. Si X =
⋃
α∈J Xα es una unio´n de una familia de partes conexas y si
⋂
α∈J Xα 6= /0,
entonces X es conexo.
Demostracio´n. Existe un punto z ∈⋂α∈J Xα . Si X =U unionmultiV donde U y V son abiertos disjun-
tos en X , entonces z ∈U o bien z ∈V ; se puede suponer que z ∈U .
Para cada α ∈ J, las partes Xα ∩U y Xα ∩V son abiertos disjuntos en (la topologı´a relativa
de) Xα , con z ∈ Xα ∩U . Como Xα es conexo, se concluye que Xα ∩V = /0. Como α es arbi-
traria, sigue que V = X ∩V =⋃α∈J(Xα ∩V ) = /0. En consecuencia, X no posee desconexio´n
alguna.
Lema 2.5. Si X es un espacio topolo´gico, si A ⊆ X es una parte conexa y si A ⊆ B ⊆ A,
entonces B es conexo.
Demostracio´n. Si B = CunionmultiD es una unio´n disjunta de dos partes abiertas en (la topologı´a
relativa de) B, entonces A = (A∩C)unionmulti (A∩D) donde tanto A∩C como A∩D son abiertos
en A. Como A es conexo, sigue que A⊆C o bien A⊆ D; supo´ngase, sin perder generalidad,
que A⊆C.
Entonces A ⊆ C en X . Ahora bien, hay abiertos U ⊆ X y V ⊆ X tales que C = U ∩B,
D = V ∩B. Como C∩D = /0, se ve que C ⊆ (X \V )∩B y por ende C ⊆ X \V . Entonces
C∩D= (X \V )∩V = /0. Ahora, la hipo´tesis B⊆ A implica que B∩D= /0. Se ha comprobado
que B no posee desconexio´n alguna.
Lema 2.6. La imagen de un espacio conexo bajo una aplicacio´n continua es tambie´n conexa.
Demostracio´n. Si f : X → Y es continua y sobreyectiva y si X es conexo, hay que mostrar
que Y es conexo. Si {V,W} fuera una desconexio´n de Y , entonces tanto f−1(V ) como
f−1(W ) serı´a un abierto no vacı´o en X , habrı´a f−1(V )∩ f−1(W ) = f−1(V ∩W ) = /0 y adema´s
f−1(V )∪ f−1(W ) = f−1(V ∪W ) = f−1(Y ) = X . Esto no es posible porque X es conexo.
Luego Y no posee desconexio´n alguna.
Lema 2.7. El producto cartesiano de espacios topolo´gicos X =∏α∈J Xα es conexo si y so´lo
si cada factor Xα es conexo.
Demostracio´n. Ad(⇒): Sea prβ : X → Xβ la proyeccio´n cano´nica del producto cartesiano
sobre uno de sus factores. La funcio´n piβ es continua, por la Definicio´n 1.47 (de la topologı´a
del producto), y piβ es obviamente sobreyectiva. Si X es conexo, el Lema 2.6 muestra que Xβ
es conexo.
Ad(⇐): En el caso particular donde #(J) = 2 y X = X1×X2, supo´ngase que X1 y X2
son espacios conexos. To´mese un punto (a,b)∈ X1×X2; entonces X1×{b} es un subespacio
MA–704: Topologı´a 33
de X que es homeomorfo a X1, y tambie´n {a}×X2 es un subespacio de X que es homeomorfo
a X2. Su unio´n
Ya,b := (X1×{b})∪ ({a}×X2)
es conexo, por el Lema 2.4, ya que (X1×{b})∩ ({a}×X2) = {(a,b)} 6= /0. De igual ma-
nera los espacios Ya,c son conexos, para cada c ∈ X2. Ahora X1×X2 = ⋃c∈X2 Ya,c mientras⋂
c∈X2 Ya,c = {a}×X2 6= /0, porque (a,b) ∈ {a}×X2. Al aplicar el Lema 2.4 de nuevo, se
concluye que X1×X2 es conexo.
En el caso de que #(J) = n sea finito y X = X1×X2×·· ·×Xn, con cada Xi conexo, resulta
que X es conexo por induccio´n sobre n, al escribir X = (X1× ·· ·×Xn−1)×Xn y aplicar el
caso de dos factores.
En el caso general de un producto cartesiano arbitrario X =∏α∈J Xα con factores conexos,
sea F la coleccio´n de todas las partes finitas de J. Sea z = (zα)α∈J ∈ X un punto especı´fico
—que existe debido al axioma de eleccio´n. Para todo S ∈ F, defı´nase
YS :=∏
α∈J
Zα , donde
{
Zα = Xα si α ∈ S,
Zα = {zα} si α /∈ S.
Entonces YS ≈ ∏α∈S Xα y por el caso anterior, YS es conexo. Como
⋂
S∈FYS = {z} 6= /0, la
unio´n Y :=
⋃
S∈FYS es conexo, por el Lema 2.4 una vez ma´s.
Resulta que Y es denso en el producto cartesiano X . En efecto, para cada x ∈ X y cada
vecindario ba´sico V de x, hay un juego finito de ı´ndices T ∈ F tal que prβ (V ) = Xβ para todo
β /∈ T . Luego V ∩YT 6= /0 y por ende V ∩Y 6= /0. Resulta, entonces, que x ∈Y para todo x ∈ X ;
es decir, Y = X . Del Lema 2.5 se concluye que X es conexo.
Ejemplo 2.8. El espacio de todas las sucesiones reales RN, con la topologı´a del producto, es
conexo.1
Sea I := [0,1] el intervalo cerrado { t ∈ R : 0 ≤ t ≤ 1}. El cubo de Hilbert IN, con la
topologı´a del producto, es conexo. Este es un subespacio de RN, por supuesto.
El cubo de Cantor es el producto cartesiano 2N = {0,1}N (el espacio de sucesiones bina-
rias), donde todos los factores 2 = {0,1} tienen la topologı´a discreta. La topologı´a del cubo
de Cantor no es discreta; pero este cubo es disconexo, porque sus factores son disconexos.
El cubo de Alexandrov es el producto cartesiano SN = {0,1}N, donde en este caso los
factores S = {0,1} tienen la topologı´a de Sierpin´ski. Este cubo es conexo porque todos sus
factores son conexos. ♦
I Cada espacio topolo´gico puede expresarse como una unio´n disjunta de espacios conexos,
de manera u´nica.
1Algunos autores escriben Rℵ0 = RN, donde ℵ0 denota la cardinalidad del conjunto N, o bien de cualquier
conjunto infinito pero numerable.
MA–704: Topologı´a 34
Definicio´n 2.9. En un espacio topolo´gico X , defı´nase una relacio´n de equivalencia al declarar
x ∼ y si hay una parte conexa A ⊆ X tal que x,y ∈ A. [Si x = y, to´mese A = {x}. Si x ∼ y y
si y ∼ z con y,z en una parte conexa B, entonces A∩B 3 y y por tanto A∪B es conexo con
x,z ∈ A∪B.]
Las clases de equivalencia para esta relacio´n son las2 componentes conexas de X . Para
cada x ∈ X , su componente conexa es Cx = ⋃{A conexo : x ∈ A}, la cual es conexa por el
Lema 2.4. Cada componente conexa es cerrada, por el Lema 2.5.
Las componentes conexas no necesariamente son abiertas. Por ejemplo, en la recta
racional Q la componente conexa de cada punto r es el conjunto solitario Cr = {r}, cerrado
pero no abierto.
Definicio´n 2.10. Un camino en un espacio topolo´gico X es una funcio´n continua f : I→ X ,
donde I = [0,1]. Si x = f (0), y = f (1), dı´cese que el camino f va del punto x al punto y.3
Hay otra relacio´n de equivalencia en X que se obtiene al declarar x∼ y si hay una camino
en X de x a y. [La funcio´n constante f (t)≡ x muestra que x∼ x; el recorrido inverso g(t) :=
f (1− t) muestra que y ∼ x cuando x ∼ y; cuando x ∼ y, y ∼ z, es posible “encadenar” dos
caminos para mostrar que x∼ z.]
Las clases de equivalencia de esta relacio´n se llaman componentes conexas por caminos
de X . Si hay un solo componente de este tipo, el espacio X es conexo por caminos.
Lema 2.11. Las partes conexas de la recta R son los intervalos (abiertos, semiabiertos o
cerrados; acotados o no acotados).
Demostracio´n. Conside´rese el intervalo cerrado [a,b] ⊂ R, donde a < b. Si este intervalo
fuera disconexo, habrı´a dos partes cerradas no vacı´as F y G de [a,b] tal que F ∩G = /0 y
F ∪G = [a,b]. Como a ∈ F o bien a ∈ G, se puede suponer que a ∈ F .
Sea c := infG = inf{ t : t ∈ G}. Como G es cerrado, se ve que c ∈ G —por ejemplo, hay
una sucesio´n (tn) ⊆ G tal que tn ↓ c. Entonces c /∈ F , ası´ que c 6= a. Si a < t < c, entonces
t < infG, ası´ que t /∈ G, luego t ∈ F . De este modo, se ve que [a,c)⊆ F . Como F es cerrado
en [a,b], se concluye que [a,c]⊆ F y por ende c ∈ F ∩G, contrario a hipo´tesis. Conclusio´n:
el intervalo cerrado [a,b] es conexo.
Si a< b, entonces (a,b) =
⋃{ [a+ε,b−ε] : 0< ε < 12(b−a)}mientras⋂{ [a+ε,b−ε] :
0 < ε < 12(b− a)} = {12(b− a)} 6= /0. Luego (a,b) es conexo, por el Lema 2.4. De igual
manera, los intervalos semiabiertos [a,b) =
⋃
ε [a,b− ε] y tambie´n (a,b] =
⋃
ε [a+ ε,b] son
conexos.
2El nombre adjetivo componente, que significa ingrediente o elemento de una cosa, es por lo general de
ge´nero masculino; pero en matema´ticas se adopta el ge´nero femenino por razones consuetudinarias.
3Obse´rvese que se distingue el camino f de su rastro f (I) ⊆ X , porque hay que tomar en cuenta el orden
del recorrido de los puntos en la imagen f (I).
MA–704: Topologı´a 35
Los intervalos no acotados [a,∞) =
⋃
n∈N[a,a+ n], (−∞,b] =
⋃
n∈N[b− n,b], (a,∞) =⋃
ε [a+ ε,∞), (−∞,b) =
⋃
ε(−∞,b− ε] y la recta total R = (−∞,∞) =
⋃
n∈N[−n,n] son
tambie´n conexos, al usar el Lema 2.4 en cada caso.
Por otro lado, sea A ⊂ R una parte conexa, no vacı´a. Sea a := infA y b := supA, donde
se admite las posibilidades a = −∞ y b = ∞. Para cualquier t ∈ R con a < t < b, defı´nase
Ut := A∩ (−∞, t) y Vt := A∩ (t,∞). Si fuera t /∈ A, entonces {Ut ,Vt} serı´a una desconexio´n
de A, porque Ut y Vt son abiertos en A, disjuntos y no vacı´os; como A es conexo, se concluye
que t ∈ A. Esto muestra que A es un intervalo con extremos a y b.
Lema 2.12. Un espacio topolo´gico conexo por caminos es conexo. Pero un espacio conexo
no necesariamente es conexo por caminos.
Demostracio´n. Sea X un espacio conexo por caminos. Si x ∈ X , entonces X es una unio´n de
caminos con punto inicial X . De los Lemas 2.11 y 2.6, se ve que cada camino es conexo; y
su interseccio´n es el punto inicial comu´n x. El Lema 2.4 muestra que X es conexo.
Hay que exhibir un contraejemplo: un espacio conexo que no es conexo por caminos.
El grafo de la funcio´n real g(t) := sen(1/t) sirve para este propo´sito. Sea G := {(x,y) : y =
sen(1/x), 0< x≤ 1} una porcio´n de ese grafo, y conside´rese su clausura G⊂R2. Es evidente
(y notorio) que G = G∪{(0,y) : −1 ≤ y ≤ 1}. El conjunto G es conexo, por el Lema 2.6,
como imagen continua del intervalo (0,1] en R. Del Lema 2.5, su clausura G tambie´n es
conexa.
Sin embargo, no hay camino en G que une (0,0) con (1/pi,0). Si hubiera una aplicacio´n
continua f : I → G ⊂ R2, entonces las proyecciones pr1 ◦ f : I → R y pr1 ◦ f : I → R serı´an
tambie´n continuas. Entonces pr1 ◦ f (t) toma los valores 1/(n+ 12)pi para todo n ∈ N. Luego
pr2 ◦ f (t) toma los valores −1 y +1 infinitas veces cuando 0 ≤ t < δ , contradiciendo su
continuidad.
2.2 Espacios compactos
Un intervalo cerrado y acotado [a,b] de la recta real R tiene una propiedad de suma im-
portancia: cualquier funcio´n continua f : [a,b]→ R alcanza un valor ma´ximo en un punto
t0 ∈ [a,b], es decir, existe t0 tal que f (t) ≤ f (t0) para a ≤ t ≤ b. Este no es el caso par un
intervalo abierto; por ejemplo, la funcio´n tg : (−pi2 , pi2 )→ R no tiene cota superior. Tampoco
es el caso para un intervalo cerrado pero no acotado; la funcio´n exp: [0,∞)→ R : t 7→ et no
esta´ acotada por arriba.
La propiedad abstracta del intervalo [a,b] que es responsable, en u´ltima instancia, para el
alcance del valor ma´ximo, fue identificada por E´mile Borel en 1895 y luego extendida por
Henri Lebesgue: cada cubrimiento del intervalo [a,b] por abiertos de R posee un subcubrim-
iento finito.4
4Borel lo mostro´ para cubrimientos numerables; Lebesgue observo´ que el cubrimiento dado puede tener
MA–704: Topologı´a 36
Definicio´n 2.13. Una coleccio´n de partes U = {Uα : α ∈ J } de un conjunto X se llama un
cubrimiento de X si
⋃
α∈J Uα = X . Si X es un espacio topolo´gico y cada Uα ∈ U es un
abierto en X , dı´cese que U es un cubrimiento abierto.
Proposicio´n 2.14. Para un espacio topolo´gico X, las siguientes afirmaciones son equiva-
lentes:
(a) Todo cubrimiento abierto de X posee un subcubrimiento finito.
(b) En toda familia de cerrados en X con interseccio´n vacı´a, hay una subfamilia finita
cuya interseccio´n es vacı´a.
(c) Cualquier red en X posee al menos un punto adherente.
Demostracio´n. Ad(a) =⇒ (b): Sea {Fα : α ∈ J } una familia de cerrados en X tal que⋂
α∈J Fα = /0. Al colocar Uα := X \Fα , se obtiene una familia {Uα}α∈J de abiertos tal que⋃
α∈J Uα = X \
⋂
α∈J Fα = X , es decir, un cubrimiento abierto de X . Sea {Uα1, . . . ,Uαm} un
subcubrimiento finito. De Uα1 ∪·· ·∪Uαm = X se concluye que Fα1 ∩·· ·∩Fαm = /0.
Ad(b) =⇒ (a): Sea U = {Uα : α ∈ J } un cubrimiento abierto de X . Al colocar Fα :=
X \Uα , se obtiene una familia {Fα}α∈J de cerrados tal que ⋂α∈J Fα = X \⋃α∈J Uα = /0. Por
hipo´tesis, hay una subfamilia finita {Fα1, . . . ,Fαm} tal que Fα1 ∩ ·· · ∩Fαm = /0; esto implica
que Uα1 ∪·· ·∪Uαm = X , ası´ que {Uα1, . . . ,Uαm} es un subcubrimiento finito.
Ad(b) =⇒ (c): Si (xα)α∈J es una red en X , sea Bα := {xβ : β ≥ α } la cola a partir
de xα , para cada α ∈ J; y sea Fα := Bα su clausura. Para cada coleccio´n finita de ı´ndices
{α1, . . . ,αm} hay un ı´ndice γ en el conjunto dirigido J tal que γ ≥ αk para k = 1, . . . ,m. En-
tonces Bα1 ∩·· ·∩Bαm ⊇ Bγ ; al tomar clausuras, se obtiene Fα1 ∩·· ·∩Fαm ⊇ Fγ ; en particular,
es Fα1 ∩ ·· · ∩Fαm 6= /0. La hipo´tesis entonces implica que hay al menos un elemento z en⋂
α∈J Fα . Si V es un vecindario de z, entonces z ∈ Fα = Bα conlleva V ∩Bα 6= /0, para todo
α ∈ J; es decir, la red (xα) esta´ frecuentemente en V . Luego z es un punto adherente de (xα).
Ad(c) =⇒ (b): Sea {Gα : α ∈ J } una familia de cerrados en X con Gα1 ∩·· ·∩Gαm 6= /0
para toda subfamilia finita; hay que mostrar que
⋂
α∈J Gα 6= /0.
Sea H la familia de todas estas intersecciones finitas Gα1 ∩·· ·∩Gαm; este es un conjunto
dirigido, ordenado por inclusio´n inversa: H1 ≤ H2 significa que H1 ⊇ H2. Para cada H ∈H,
elı´jase in punto yH ∈ H, lo cual es posible por hipo´tesis. Entonces (yH)H∈H es una red en X ;
sea z un punto adherente de esta red.
Si V es un vecindario de z y si α ∈ J, hay un conjunto H ∈H tal que H ⊆ Gα y yH ∈V ,
porque la red (yH) esta´ frecuentemente en V . En particular, yH ∈ V ∩H ⊆ V ∩Gα . Se ha
comprobado que V ∩Gα 6= /0 para todo V ∈ Vz, ası´ que z ∈ Gα . Como cada Gα es cerrado,
esto dice que z ∈ Gα para todo α ∈ J, y por ende z ∈⋂α∈J Gα .
cualquier cantidad de abiertos.
MA–704: Topologı´a 37
Definicio´n 2.15. Un espacio topolo´gico H es compacto si todo cubrimiento abierto de X
posee un subcubrimiento finito.
Las condiciones (b) y (c) de la Proposicio´n 2.14 son definiciones alternativas de la com-
pacidad de X .
En un espacio topolo´gico X cualquiera, A ⊆ X es una parte compacta si (A,TA), con la
topologı´a relativa, es un espacio compacto.
Las tres condiciones equivalentes de la Proposicio´n 2.14 reflejan tres enfoques histo´ricos
diferentes de elucidar el concepto de compacidad. Bourbaki llama la propiedad (a) el axioma
de Borel y Lebesgue.5
Dı´cese que una familia de partes {Cα : α ∈ J } de un conjunto X tiene la propiedad de
interseccio´n finita si Cα1 ∩·· ·∩Cαm 6= /0 para cada juego finito de ı´ndices {α1, . . . ,αm} ⊆ J.
La propiedad (b), o ma´s bien su contrapositiva: Cada familia de cerrados con la propiedad
de interseccio´n finita tiene interseccio´n no vacı´a, es una alternativa u´til.6
La propiedad (c) es una versio´n moderna de otro postulado que se llama la propiedad
de Bolzano y Weierstrass, de que cada sucesio´n tiene una subsucesio´n convergente. Este
postulado resulto´ inadecuado para los propo´sitos de la topologı´a general y este defecto motivo´
la introduccio´n de redes por Moore y Smith.7
Lema 2.16. Sea X es un espacio topolo´gico y sea A ⊆ X. Entonces A es compacto si y so´lo
si cada cubrimiento de A por abiertos de X tiene una subfamilia finita que cubre A.
Demostracio´n. Ad(⇒): Sea {Uα : α ∈ J } una familia de abiertos de X con A⊆ ⋃α∈J Uα .
Entonces la familia {A∩Uα : α ∈ J } es un cubrimiento de A por abiertos en la topologı´a
relativa de A. Como A es compacto, hay un juego finito de ı´ndices α1, . . . ,αm tales que
A =
⋃m
k=1(A∩Uαk) o, lo que es lo mismo, A⊆
⋃m
k=1Uαk .
Ad(⇐): Sea V = {Vβ : β ∈ K } un cubrimiento abierto de A. Para cada ı´ndice β , hay
un abierto Uβ de X tal que Vβ = A∩Uβ , por la definicio´n de la topologı´a relativa de A.
5Borel mostro´ en 1895 que un cubrimiento abierto numerable del intervalo cerrado y acotado [a,b] ⊂ R
tiene un subcubrimiento finito. Lebesgue observo´ en 1898 que no hace falta que el cubrimiento original sea
numerable. En 1903, Borel comprobo´ esta propiedad para cualquier conjunto acotado y cerrado en Rn. Su
demostracio´n sigue la de un teorema de Heine, quien en 1872 mostro´ que una funcio´n continua f : [a,b]→R es
uniformemente continua. Hoy en dı´a, la compacidad de [a,b], o de un cerrado acotado en Rn, se conoce como
el teorema de Heine y Borel. Las fuentes son: Eduard Heine, Die Elemente der Functionenlehre, Journal fu¨r
die reine und angewandte Mathematik 74 (1872), 172–188; E´mile Borel, Sur l’approximation des nombres par
des nombres rationnels, Comptes Rendus de l’Acade´mie des Sciences de Paris 136 (1903), 1054–1055.
6Esta propiedad fue sen˜alada por Riesz, quien mostro´ que cada familia de cerrados acotados en Rn con
la propiedad de interseccio´n finita tiene un punto comu´n, en: Frigyes Riesz, Stetigkeitsbegriff und abstrakte
Mengenlehre, Atti del IV Congresso Internazionale dei Matematici in Roma 2 (1908), 18–24.
7Un espacio topolo´gico X se llama sucesionalmente compacto si cada sucesio´n tiene una subsucesio´n con-
vergente. Para espacios que cumplen el segundo axioma de numerabilidad y en donde los puntos son cerrados,
esta nocio´n es equivalente a la compacidad; en general, son dos conceptos distintos.
MA–704: Topologı´a 38
Obviamente
⋃
β∈K Uβ ⊇
⋃
β∈K Vβ = A. Por hipo´tesis, hay una subfamilia finita Uβ1, . . . ,Uβn
tal que A⊆⋃nl=1Uβl . Entonces {Vβ1 , . . . ,Vβn} ⊆ V es un subcubrimiento finito de A.
Lema 2.17. Si X es un espacio compacto y si F ⊆ X es cerrado, entonces F es tambie´n
compacto.
Demostracio´n. Si U es un cubrimiento abierto de F , entonces U∪{X \F} es un cubrimiento
abierto de X . Sea V ⊆ U∪{X \F} un subcubrimiento finito de X ; entonces la familia finita
V\{X \F} ⊆ U cubre F .
Lema 2.18. La imagen de un espacio compacto bajo una aplicacio´n continua es tambie´n
compacta.
Demostracio´n. Si f : X → Y es continua y sobreyectiva y si X es compacto, to´mese un cu-
brimiento abierto {Vα : α ∈ J } de Y . Entonces { f−1(Vα) : α ∈ J } es un cubrimiento abierto
de X . Hay unos ı´ndices {α1, . . . ,αm} tales que f−1(Vα1)∪ ·· · ∪ f−1(Vαm) = X y por tanto
Vα1 ∪·· ·∪Vαm = f (X) = Y . Luego, Y es compacto.
I En su definicio´n original de espacio topolo´gico (por sistemas de vecindarios), Hausdorff
postulo´ una propiedad ma´s, que hasta ahora no ha sido utilizado, porque excluye algunos de
los ejemplos anteriores (como la topologı´a indiscreta si #(X)> 1, y el espacio de Sierpin´ski).
Definicio´n 2.19. Una espacio topolo´gico X es un espacio de Hausdorff si para cada par de
puntos distintos x,y∈ X hay un vecindario U de x y un vecindario V de y tales que U ∩V = /0.
Lema 2.20. En un espacio de Hausdorff, cada parte finita es cerrada.
Demostracio´n. Basta mostrar que el conjunto solitario {x} es un cerrado, para cada x ∈ X .
Si y 6= x, hay vecindarios Uy ∈ Vx, Vy ∈ Vy tales que Uy∩Vy = /0. Sin perder generalidad, se
puede suponer que Vy es un abierto. Luego V :=
⋃
y6=xVy es un abierto tal que x /∈ V pero
y ∈V para cada y 6= x. Entonces {x}= X \V y por ende {x} es un cerrado en X .
Corolario 2.21. Un espacio de Hausdorff finito es discreto. 
Lema 2.22. Si X es un espacio de Hausdorff y si K ⊆ X es compacto, entonces K es cerrado
en X.
Demostracio´n. Hay que mostrar que X \K es un abierto en X .
To´mese un punto y ∈ X \K. Para cada x ∈ K, hay vecindarios abiertos Ux de x, Vx de y
tales que Ux ∩Vx = /0. Entonces {Ux : x ∈ K } cubre K con abiertos en X . Como K es
compacto, el Lema 2.16 muestra que hay un juego finito de puntos x1, . . . ,xm ∈ K tales que
K ⊆Ux1 ∪·· ·∪Uxm .
El abierto Wy :=Vx1 ∩ ·· ·∩Vxm entonces cumple y ∈Wy, Wy∩K = /0. El abierto
⋃
y/∈K Wy
entonces coincide con X \K, ası´ que K es cerrado en X .
MA–704: Topologı´a 39
Corolario 2.23. Si K ⊆ X es compacto en un espacio de Hausdorff X y si y∈ X \K, entonces
hay abiertos U, V en X tales que K ⊆U, y ∈V y adema´s U ∩V = /0.
Demostracio´n. To´mese U := Ux1 ∪ ·· · ∪Uxm y V := Vx1 ∩ ·· · ∩Vxm en la demostracio´n del
Lema 2.22.
I Los Lemas 2.17 y 2.22 indican que los espacios compactos y de Hausdorff forman una
buena categorı´a de espacios topolo´gicos.8 Por esta razo´n, algunos autores —como Bourbaki y
la escuela francesa en general— llaman cuasicompacto a un espacio topolo´gico que cumple
las condiciones equivalentes de la Proposicio´n 2.14 y reservan el vocablo compacto para
un espacio cuasicompacto y de Hausdorff.9 Este ha´bito es muy notable en los libros de
geometrı´a algebraica (donde los espacios topolo´gicos ma´s importantes no son de Hausdorff).
Sin embargo, en estos apuntes se sigue la costumbre anglosajona de referirse a los espacios
“compactos y de Hausdorff” para mayor exactitud.
Proposicio´n 2.24. Si f : X→Y es una biyeccio´n continua entre un espacio compacto X y un
espacio de Hausdorff Y , entonces f es un homeomorfismo.
Demostracio´n. Como f es biyectiva, posee una funcio´n inversa g : Y → X . Hay que mostrar
que g es continua.
Si K ⊆ X es cerrado, entonces K es compacto, por el Lema 2.17. Como f es continua,
la imagen f (K) ⊆ Y es compacto, por el Lema 2.18. Por ser Y de Hausdorff, el Lema 2.22
muestra que f (K) es un cerrado en Y .
Ahora f (K) = g−1(K); se ha mostrado que g−1(K) es un cerrado de Y toda vez que K sea
un cerrado de X . Por tanto, g es una funcio´n continua.
Proposicio´n 2.25 (Heine y Borel). Sea a,b ∈ R; entonces el intervalo cerrado [a,b] es com-
pacto.
Demostracio´n. Hay dos casos triviales: si a > b, entonces [a,b] := { t ∈ R : a ≤ t ≤ b}
es vacı´o; si a = b, entonces [a,a] = {a}; y es evidente que un espacio finito es compacto.
Supo´ngase, entonces, que a < b.
Dada un cubrimiento abierto U = {Uα : α ∈ J } del intervalo [a,b], sea c el supremo de
los t ∈ [a,b] tales que el subintervalo [a, t] esta´ cubierto por un nu´mero finito de los Uα . Fı´jese
que el caso t = a es un valor admisible de t, ası´ que c existe y cumple c ≥ a. De hecho, si
a ∈Uβ , entonces hay r > a tal que [a,r)⊆Uβ , ası´ que c≥ r > a.
Si fuera c < b, habrı´a al menos un Uγ con c ∈Uγ ; como Uγ es un abierto en [a,b] y vale
a < c < b, se podrı´a hallar ε > 0 tal que (c− ε,c+ ε) ⊆Uγ . Pero en ese caso el intervalo
8En el capı´tulo siguiente habra´ una discusio´n ma´s detallada del te´rmino categorı´a. Por ahora, basta observar
que se trata de estudiar una coleccio´n de espacios topolo´gicos, junto con la familia de funciones continuas entre
dos espacios de la coleccio´n.
9El libro de Engelking tambie´n adopta esta postura, aunque no usa el te´rmino “cuasicompacto”.
MA–704: Topologı´a 40
[a,c+ 12ε] = [a,c]∪ [c− 12ε,c+ 12ε] estarı´a cubierto por un nu´mero finito de los Uα —los que
cubren [a,c], ma´s Uγ . Esto contradirı´a la supremacı´a de c.
Se concluye que c = b; por lo tanto, U incluye un subcubrimiento finito de [a,b].
Lema 2.26. Si X, Y son dos espacios compactos, su producto cartesiano X ×Y es tambie´n
compacto.
Demostracio´n. Sea W= {Wα : α ∈ J } un cubrimiento abierto de X×Y .
Para todo x ∈ X , la tajada {x}×Y es homeomorfo a Y , porque la funcio´n y 7→ (x,y) es
un inverso continuo para la proyeccio´n pr2 : {x}×Y → Y . Por tanto, la tajada {x}×Y es
compacta. Por el Lema 2.16, hay una subfamilia finita {Wα1, . . . ,Wαm} ⊆U tal que {x}×Y ⊆
Wα1 ∪·· ·∪Wαm .
Conside´rese la familia de “recta´ngulos abiertos” U ×V en X ×Y tales que U ×V ⊆Wαk
para algu´n k. Ellos cubren el compacto {x}×Y , y por tanto poseen una subfamilia finita
{U j×Vj : j = 1, . . . ,n} que cubre {x}×Y . Sea Ox :=U1∩·· ·∩Un.
Entonces Ox es un vecindario abierto de x en X . Si (z,y) ∈ Ox×Y , entonces (x,y) ∈
U j×Vj para algu´n j, luego y ∈ Vj y en consecuencia (z,y) ∈ Ox×Vj ⊆U j×Vj ⊆Wαk para
algu´n k. Se ha mostrado que el tubo Ox×Y esta´ cubierto por {Wα1, . . . ,Wαm}.
La totalidad de los Ox forma un cubrimiento abierto del espacio compacto X . Luego hay
una cantidad finita de puntos x1, . . . ,xr ∈ X tales que X =Ox1∪·· ·∪Oxr . Para cada xi hay una
coleccio´n finita de elementos de U que cubre el tubo Oxi ×Y ; la unio´n de estas colecciones
es la deseada subcubrimiento finito de X×Y .
Proposicio´n 2.27. Cualquier cerrado acotado en Rn es compacto.
Demostracio´n. Si K ⊂Rn es cerrado y acotado, entonces esta´ incluido en un producto carte-
siano de intervalos acotados y cerrados deR. En otras palabras, hay a1, . . . ,an,b1, . . . ,bn ∈R,
con a j ≤ b j para j = 1, . . . ,n, tales que K ⊆∏nj=1[a j,b j].
Cada intervalo [a j,b j] es compacto, por la Proposicio´n 2.25. El Lema 2.26 (repetido
varias veces) muestra que el cuboide ∏nj=1[a j,b j] es tambie´n compacto. Como K es una
parte cerrada de este cuboide, el Lema 2.17 garantiza que K es compacto.
Lema 2.28. Si X es un espacio compacto y si f : X → R es una funcio´n continua, entonces
f (X) es acotado y la funcio´n f alcanza su ma´ximo valor [respectivamente, su mı´nimo valor]
en un punto de X.
Demostracio´n. La imagen f (X) es una parte compacta deR, por lo cual es cerrada y acotada.
Si M = sup f (X), entonces hay una sucesio´n { f (xn) : n ∈ N} en f (X) tal que f (xn) ↑M.
Esto implica que M ∈ f (X) = f (X), ası´ que hay x ∈ X tal que f (x) = M. De igual manera, si
m = inf f (X), se ve que m ∈ f (X) = f (X), ası´ que hay y ∈ X tal que f (y) = m.
MA–704: Topologı´a 41
2.3 Axiomas de separacio´n
Hay muchos aspectos de espacios de los espacios topolo´gicos que pueden enfocarse mediante
variantes de la propiedad de Hausdorff: algunas veces ma´s de´biles, otras veces ma´s fuertes.
Hay una jerarquı´a de estos axiomas de separacio´n, que hoy en dı´a esta´n catalogados por
etiquetas Tk; la letra T viene de Trennungsaxiome.10
Definicio´n 2.29. Un espacio topolo´gico X es un espacio T0 si para cada par de puntos distin-
tos x,y ∈ X , hay un vecindarios de uno de ellos que no contiene el otro.11
Un espacio topolo´gico X es un espacio T1 si para cada par de puntos distintos x,y ∈ X ,
hay un vecindario V de x tal que y /∈V .
Ejemplo 2.30. Si X tiene la topologı´a indiscreta y si #(X)≥ 2, no es un espacio T0.
El espacio de Sierpin´ski S = {0,1} del Ejemplo 1.11 es un espacio T0, porque so´lo hay
dos puntos distintos, 0 y 1, y hay un vecindario abierto {0} de 0 que excluye 1. Sin embargo,
el u´nico vecindario de 1 es S, que no excluye 0: de ahı´ se ve que este espacio no es T1. ♦
Lema 2.31. Un espacio topolo´gico es T1 si y so´lo si {x} es cerrado para cada x ∈ X.
Demostracio´n. Si X es T1 y si x∈ X , cada y 6= x posee un vecindario abierto Uy tal que x /∈Uy.
La unio´n es estos vecindarios es el abierto
⋃
y6=xUy = X \{x}, ası´ que {x} es cerrado.
Por otro, si cada conjunto solitario {x} ⊆ X es cerrado, entonces dados dos puntos x 6= y
en X , el conjunto X \{y} es un vecindario abierto de x que no contiene y.
Por un abuso de terminologı´a, dı´cese que x ∈ X es un punto cerrado de X si el conjunto
{x} es cerrado en X . El lema anterior entonces dice que un espacio es T1 si y so´lo si todos
sus puntos son cerrados.
Ejemplo 2.32. Sea R un anillo conmutativo (con 1 ∈ R) y sea Spec(R) la totalidad de ideales
primos de R. Recue´rdese que un ideal P⊂ R es primo si P 6= R y si ab ∈ P =⇒ a ∈ P o bien
b ∈ P. Un ideal maximal es primo; el ideal nulo 0 es primo si R es un anillo entero (es decir,
no contiene divisores de cero).12
En el caso R = Z, cada ideal es principal, es decir, de la forma (k) = {nk : n ∈ Z} para
algu´n k ∈N. El ideal (p) es primo si y so´lo p= 0 o bien p es un nu´mero entero primo. Luego
Spec(Z) = {(p) : p ∈ N primo}∪{0}.
La topologı´a de Zariski sobre Spec(R) se define al declarar que los conjuntos cerrados
son aquellos de la forma V (S) = {P ∈ Spec(R) : P⊇ S} para alguna parte S⊆ R. Fı´jese que
10Del verbo alema´n trennen = separar, luego Trennung = separacio´n.
11Los espacios T0 fueron introducidos por Kolmogorov; el libro de Bourbaki, que no usa la terminologı´a Tk,
los llama espacios de Kolmogorov. La propiedad T1 aparece en un trabajo de Riesz, ya en 1907.
12Aquı´ se escribe 0 en vez de {0} para el ideal nulo, bajo el convenio de que cualquier elemento nulo se
denota por 0.
MA–704: Topologı´a 42
V (R) = /0 porque cada P es un ideal propio; que V ({0}) = Spec(R); que V (S1)∪V (S2) =
V (S1∩ S2); y que ⋂α∈J V (Sα) = V(⋃α∈J Sα). Por lo tanto, los V (S) son efectivamente los
conjuntos cerrados para una topologı´a sobre Spec(R).
Para que V (S) = {P}, es necesario y suficiente que el ideal primo P sea maximal. Luego
los ideales maximales son exactamente los puntos cerrados de Spec(R). Obse´rvese ahora que
Spec(Z) no es un espacio T1, porque el ideal nulo 0 no es un punto cerrado; este ideal se
llama el punto gene´rico de Spec(Z). Sin embargo, es fa´cil observar que Spec(Z) sı´ es un
espacio T0. ♦
Un espacio de Hausdorff (de la Definicio´n 2.19) tambie´n se llama un espacio T2. Por su
definicio´n (o bien por los Lemas 2.20 y 2.31), cada espacio T2 es tambie´n un espacio T1.
Ejemplo 2.33. Sea X un conjunto infinito, dotado de la topologı´a cofinita, cuyos cerrados
son las partes finitas de X ame´n de X mismo. Entonces X es un espacio T1 porque sus puntos
son cerrados, pero no es T2, porque si U,V son abiertos de X con y /∈U y x /∈ V , entonces
tanto U como V tiene complemento finito, ası´ que U∩V es un conjunto infinito: en particular,
U y V no son disjuntos. ♦
Ejemplo 2.34. Cada espacio me´trico (X ,ρ) es un espacio de Hausdorff. En efecto, si x,y∈ X
son x 6= y, sea δ := ρ(x,y) > 0. Las bolas abiertas U = Bρ(x; 12δ ) y V = Bρ(y; 12δ ) son
vecindarios respectivos de x,y; son disjuntos, por causa de la desigualdad triangular. ♦
Lema 2.35. Un subespacio de un espacio de Hausdorff es tambie´n de Hausdorff.
Demostracio´n. Sea X un espacio T2 y sea Y ⊆ X . Para dos puntos distintos y,z ∈ Y , hay
abiertos disjuntos U , V en X tales que y ∈U , z ∈V . Entonces Y ∩U , Y ∩V son abiertos de la
topologı´a relativa de Y , con y ∈ Y ∩U , z ∈ Y ∩V ; adema´s,
(Y ∩U)∩ (Y ∩V ) = Y ∩ (U ∩V ) = /0.
I El resultado siguiente resalta la gran importancia de los espacios de Hausdorff en el
ana´lisis matema´tico.13
Lema 2.36. Un espacio topolo´gico es de Hausdorff si y so´lo si cada red convergente tiene
un u´nico punto lı´mite.
Demostracio´n. Si X es un espacio T2, sea (xα)α∈J una red convergente en X y sean x, y
puntos lı´mites de esa red. Dadas dos vecindarios abiertos U ∈ Vx y V ∈ Vy, existen dos
ı´ndices α,β ∈ J tal que xγ ∈U para γ ≥ α y xδ ∈ V para δ ≥ β . Como J es un conjunto
13Debido al Lema 2.36 sobre la unicidad de lı´mites, muchos autores, entre ellos Bourbaki y Engelking, adop-
tan la terminologı´a que un espacio compacto debe ser T2 (adema´s de cumplir el axioma de Borel y Lebesgue).
MA–704: Topologı´a 43
dirigido, hay un elemento σ ∈ J tal que σ ≥ α y σ ≥ β a la vez; luego xσ ∈U ∩V , ası´ que
U ∩V 6= /0. Como X es de Hausdorff, se concluye que x = y.
Por otro lado, si X es un espacio topolo´gico que no es T2, entonces hay dos puntos distintos
x,y ∈ X tales que U ∩V 6= /0 para todo U ∈ Vx y todo V ∈ Vy. Sea K la coleccio´n de todas
estas intersecciones no vacı´as U ∩V ; este K es un conjunto dirigido (por inclusio´n inversa).
En cada caso, elı´jase un punto xU∩V ∈U ∩V ; de esta manera se obtiene una red (xU∩V ) con
conjunto ı´ndice K. Evidentemente xU∩V ∈U y xU∩V ∈V tambie´n. La red esta´ eventualmente
en cualquier vecindario de x o bien de y, es decir, x,y son dos puntos lı´mites distintos de esta
red.
Corolario 2.37. Un espacio topolo´gico que satisface el primer axioma de numerabilidad es
de Hausdorff si y so´lo si cada sucesio´n convergente tiene un u´nico punto lı´mite.
Ejemplo 2.38. Sea X := {0′,0′′}∪ (0,1] el conjunto formado al reemplazar el extremo 0 del
intervalo compacto [0,1] por dos puntos distintos 0′ y 0′′.
0′
0′′
1•••
Para definir una topologı´a sobre X , se declaran bases de vecindariosBt en cada t ∈ X . Sea
B1 := {(1−ε,1] : 0< ε < 1}. Si 0< t < 1, seaBt := {(t−ε, t+ε) : 0< ε <min(t,1− t)}.
En los dos extremos izquierdos, defı´naseB0′ := {{0′}∪(0,ε) : 0< ε < 1} yB0′′ := {{0′′}∪
(0,ε) : 0 < ε < 1}. Entonces tanto X \ {0′} como X \ {0′′} son homeomorfos al intervalo
cerrado [0,1] con su topologı´a como subespacio topolo´gico de R. Pero el espacio X no es T2,
porque la sucesio´n (1/n)n∈N∗ converge tanto a 0′ como a 0′′. ♦
I Las siguientes propiedades de separacio´n refuerzan la propiedad de Hausdorff (separacio´n
de puntos por vecindarios disjuntos) al reemplazar uno de estos puntos, o ambos, por conjun-
tos cerrados. De este modo, se acerca ma´s a los espacios tı´picos de la geometrı´a diferencial.
Definicio´n 2.39. Un espacio T1 es regular (o un espacio T3) si, para cada parte cerrada F y
cada punto x /∈ F , hay abiertos U,V tales que x ∈U , F ⊆V y U ∩V = /0.
Fı´jese que un espacio T3 es tambie´n T2, porque los puntos de un espacio T1 son cerrados.
Lema 2.40. Un subespacio de un espacio regular es tambie´n regular.
Demostracio´n. Sea X un espacio T2 y sea Y ⊆ X . Si y ∈ Y y si B ⊂ Y es cerrado en Y , con
y /∈ B, entonces B = Y ∩B, donde B denota la clausura de B en X . Luego y /∈ B. Como X es
regular, hay abiertos disjuntos U , V en X tales que y ∈U , B⊆V . Entonces Y ∩U , Y ∩V son
abiertos disjuntos de la topologı´a relativa de Y , con y ∈ Y ∩U , B⊆ Y ∩V .
MA–704: Topologı´a 44
Lema 2.41. Un espacio topolo´gico X es regular si y so´lo si es T1 y si, para cada x∈ X y cada
vecindario abierto U de x, hay un vecindario abierto V de x tal que x ∈V ⊆V ⊆U.
Demostracio´n. Ad(⇒): Si U ∈ Vx es un abierto, X \U es un cerrado con x /∈ (X \U).
Luego, como X es regular, hay abiertos V,W con V ∩W = /0 tales que x ∈V y (X \U)⊆W .
Luego x ∈ V ⊆ (X \W ) ⊆ U . Como X \W es un cerrado que incluye V , es evidente que
V ⊆ (X \W )⊆U .
Ad(⇐): Si F es un cerrado en X con x /∈ F , entonces X \F es un vecindario abierto
de x. Luego hay un V ∈ Vx abierto con x ∈V ⊆V ⊆ (X \F). Al tomar W := X \V , se obtiene
un abierto W con F ⊆W y V ∩W = /0. Por lo tanto, X es regular.
Definicio´n 2.42. Una espacio T1 es normal (o un espacio T4) si, para cada par de partes
cerradas F y H con F ∩H = /0, hay abiertos U,V tales que F ⊆U , H ⊆V y U ∩V = /0.
Fı´jese que un espacio T4 es tambie´n T3, porque los puntos de un espacio T1 son cerrados.14
Lema 2.43. Un espacio topolo´gico X es normal si y so´lo si es T1 y toda vez que hay un
cerrado F y un abierto U con F ⊆U, hay un abierto V tal que F ⊆V ⊆V ⊆U.
Demostracio´n. Si X es normal y si F ⊆U con F cerrado y U abierto en X , entonces F y X \U
son cerrados disjuntos; luego hay abiertos disjuntos V , W con F ⊆V ⊆V ⊆ (X \W )⊆U .
Inversamente, si F y H son cerrados disjuntos, entonces F ⊆ (X \H); por hipo´tesis, hay
un abierto V con F ⊆V ⊆V ⊆ (X \H). Entonces V y W := X \V son abiertos disjuntos que
separan F y H. Por lo tanto, X es normal.
Lema 2.44. Un espacio compacto y T2 es normal.
Demostracio´n. Sean F y H dos cerrados en un espacio compacto y de Hausdorff X con
F ∩H = /0. Entonces F y H son tambie´n compactos, por el Lema 2.17.
El Corolario 2.23 implica que X es un espacio regular. Concretamente, para todo x ∈ F ,
hay abiertos disjuntos Ux, Vx tales que x ∈Ux mientras H ⊆ Vx. Los abiertos {Ux : x ∈ F }
cubren la parte compacta F ; por el Lema 2.16, hay un juego finito de puntos x1, . . . ,xm ∈ F
tales que F ⊆⋃mk=1Uxk . Entonces los abiertos
U :=Ux1 ∪·· ·∪Uxm, V :=Vx1 ∩·· ·∩Vxm
cumplen F ⊆U , H ⊆V y U ∩V = /0.
14Algunos autores, como Kelley y Willard, omiten la condicio´n T1 de las definiciones de espacio regular
y espacio normal. Entonces usan T3 como sino´nimo de “regular y T1” y usan T4 como sino´nimo de “normal
y T1”, para mantener la jerarquı´a de los Tk. Como este ha´bito conducirı´a a una evidente pobreza de lenguaje, la
mayorı´a de los autores, como tambie´n nosotros, subsumen la propiedad T1 en la regularidad y la normalidad.
MA–704: Topologı´a 45
I Hasta ahora, la discusio´n de las propiedades de separacio´n se ha mantenido en un nivel
abstracto, tratando las propiedades generales de abiertos, cerrados y vecindarios de puntos. El
siguiente resultado, que es un teorema fundamental de la topologı´a a pesar de su designacio´n
como “lema”, caracteriza los espacios normales en te´rminos de un espacio muy concreto: el
intervalo compacto [0,1] de la recta real.
Teorema 2.45 (Lema de Urysohn). Si F y H son dos cerrados disjuntos no vacı´os en un
espacio normal X, entonces hay una funcio´n continua g : X → [0,1] tal que g(F) = {0} y
g(H) = {1}.
Demostracio´n. Para construir la funcio´n g, se definira´ primero un juego de abiertos Ur, in-
dexados por los nu´meros racionales dia´dicos
D := { p/2q : p,q ∈ N, p≤ 2q },
tales que U r ⊆Us toda vez que r < s en D.
Sea U1 := X \H; por hipo´tesis, U es abierto y F ⊆U . Por el Lema 2.43, hay un abierto
U0 tal que F ⊆U0 ⊆U0 ⊆U1.
Al aplicar el Lema 2.43 de nuevo, hay un abierto U1/2 tal que U0 ⊆U1/2 ⊆U1/2 ⊆U1.
Con otras dos aplicaciones del lema, hay dos abiertos U1/4 y U3/4 tales que
U0 ⊆U1/4 ⊆U1/4 ⊆U1/2 ⊆U1/2 ⊆U3/4 ⊆U3/4 ⊆U1.
Se procede por induccio´n sobre q ∈ N: si p ∈ N es impar con p < 2q, se obtiene un abierto
tal que
U (p−1)/2q ⊆Up/2q ⊆U p/2q ⊆U(p+1)/2q .
Ahora defı´nase una funcio´n g : X → [0,1] por
g(x) := inf{s ∈ D : x ∈Us } si x ∈U1; g(x) := 1 si x /∈U1.
Esta´ claro que g(x) = 0 si x ∈ F y que g(x) = 1 si x ∈ H. Falta mostrar que g es una funcio´n
continua sobre X .
Obse´rvese que si x ∈ U r para algu´n r ∈ D, entonces x ∈ Us para todo s > r, ası´ que
g(x)≤ r. Por otro lado, si y /∈Ur, entonces y /∈Us para todo s < r, ası´ que g(y)≥ r.
Los intervalos semiabiertos [0, t) y (u,1], donde t,u ∈ D, forman una subbase para la
topologı´a de [0,1]. Para comprobar la continuidad de g, es suficiente verificar que la preima-
gen de cada uno de estos intervalos es un abierto en X . Fı´jese que
g−1
(
[0, t)
)
= {x ∈ X : g(x)< t }=
⋃
r<t
Ur
es un abierto en X . Por otro lado,
g−1
(
[0,u]
)
= {x ∈ X : g(x)≤ u}=
⋂
r≥u
{x ∈ X : g(x)≤ r}=
⋂
r≥u
U r
es un cerrado en X ; por tanto, g−1
(
(u,1]
)
= X \g−1([0,u]) es un abierto en X .
MA–704: Topologı´a 46
I Debido al Lema de Urysohn,15 hay un axioma de separacio´n intermedia entre T3 y T4,
cuya definicio´n requiere el uso de funciones continuas de X en [0,1].
Definicio´n 2.46. Una espacio T1 es completamente regular (o un espacio T3 12 , o bien un
espacio de Tijonov) si, para cada parte cerrada F y cada punto x /∈ F , hay una funcio´n
continua g : X → [0,1] tal que g(F) = {0} y g(x) = 1.
Un espacio normal es completamente regular, debido al Lema de Urysohn, porque cada
{x} es un cerrado en X , a partir del Lema 2.31. Por otro lado, un espacio completamente
regular es tambie´n regular, porque U := g−1
(
(12 ,1]
)
y V := g−1
(
[0, 12)
)
son abiertos disjuntos
que separan x y F . De ahı´ la designacio´n T3 12 (cuyo autor se desconoce) para esta clase
intermedia de espacios entre los espacios T3 y T4.
I Hay una caracterizacio´n ma´s de los espacios normales, conocido como el teorema de
extensio´n de Tietze.16
Teorema 2.47 (Tietze). Sea X un espacio normal y F un subespacio cerrado. Cualquier
funcio´n continua g : F → R puede extenderse a una funcio´n continua h : X → R.
Demostracio´n. Dı´cese que una funcio´n h : X → R extiende una funcio´n g : F → R si h(x) =
g(x) para todo x ∈ F ; en otras palabras, la restriccio´n h|F coincide con g.
Como primer caso, supo´ngase que g(F) ⊆ [−1,1]; se construira´ una funcio´n continua
h : X → [−1,1] que extiende g.
Obse´rvese que si una funcio´n continua g0 : F→R cumple g0(y)≤ r para y ∈ F , entonces
hay una funcio´n continua h0 : X → R tal que:
|h0(x)| ≤ r3 para x ∈ X ; |g0(y)−h0(y)| ≤
2r
3
para y ∈ F.
En efecto, como A := g−10
(
[−r,−r/3]) y B := g−10 ([r/3,r]) son cerrados disjuntos en F y
por ende17 son cerrados disjuntos en X , entonces el Lema de Urysohn produce una funcio´n
continua f : X→ [0,1] tal que f (A)⊆ {0} y f (B)⊆ {1}. La funcio´n h0 : X→R definida por
h0(x) :=
2r
3
(
f (x)− 1
2
)
es continua y cumple las desigualdades mencionadas, al considerar los casos y ∈ A, y ∈ B,
y ∈ F \ (A∪B) por separado.
15Este “lema” aparece en el artı´culo (po´stumo, porque Urysohn murio´ ahogado cuando se fue a nadar en la
costa atla´ntica francesa, en agosto de 1924): Pavel S. Urysohn, U¨ber die Ma¨chtigkeit der zusammenha¨ngenden
Mengen, Mathematische Annalen 94 (1925), 262–295.
16Este teorema fue demostrado para espacios me´tricos en: Heinrich F. F. Tietze, U¨ber Funktionen, die auf
einer abgeschlossenen Menge stetig sind, Journal fu¨r die reine und angewandte Mathematik 145 (1915), 9–14.
La versio´n general, para espacios normales, fue observada por Urysohn en 1925, como corolario de su Lema.
17Este es el lugar en donde se aprovecha que F es cerrado en X .
MA–704: Topologı´a 47
Ahora se construira´ la funcio´n deseada h por induccio´n. To´mese r = 1, g1 := g, para
obtener h1 : X → R continua con |h1(x)| ≤ 13 para x ∈ X ; |g(y)− h1(y)| ≤ 23 para y ∈ F . En
segundo lugar, to´mese r = 23 y g2 := g− h1 : F → R; se obtiene ası´ una funcio´n continua
h2 : X → R tal que
|h2(x)| ≤ 29 para x ∈ X ; |g(y)−h1(y)−h2(y)| ≤
4
9
para y ∈ F.
Inductivamente, al haber construido h1, . . . ,hn, to´mese r = (23)
n, gn+1 := g− h1− ·· · − hn,
para luego obtener hn+1 : X → R tal que
|hn+1(x)| ≤ 13
(
2
3
)n
para x ∈ X ;
∣∣∣∣g(y)− n+1∑
k=1
hk(y)
∣∣∣∣≤ (23
)n
para y ∈ F.
Ahora defı´nase h(x) := ∑∞k=1 hk(x) = limn→∞ sn(x) para x ∈ X , donde las sn(x) := ∑nk=1 hk(x)
son las sumas parciales. Esta serie converge en R, por comparacio´n con la serie geome´trica
1
3 ∑
∞
k=1(
2
3)
k, y adema´s |h(x)| ≤ 1. La convergencia de la serie es uniforme sobre X , porque
|h(x)− sn(x)| ≤ ∑
k>n
|hk(x)| ≤ 13 ∑k>n
(
2
3
)k−1
=
(
2
3
)n
→ 0 como n→ ∞.
La continuidad de la funcio´n h sigue, por el “argumento con ε/3” usual de la convergencia
uniforme. Para x ∈ F , la desigualdad |g(x)− sn(x)| ≤ (23)n implica que sn(x)→ g(x) como
n→ ∞, ası´ que h(x) = g(x).
Es evidente que el caso anterior no cambia esencialmente si g(F) ⊆ [a,b], donde [a,b]
es un intervalo compacto diferente de [−1,1]. La funcio´n φ(t) := 12(b− a)t + 12(b+ a) es
un homeomorfismo de [−1,1] en [a,b]; la funcio´n continua g◦φ : F → [−1,1] se extiende a
una funcio´n continua h◦φ : X → [−1,1], como ya se ha visto; entonces la funcio´n continua
h : X → [a,b] es una extensio´n de g.
Por u´ltimo, hay que considerar el caso en donde g(F)⊆ R pero g(F) no esta´ incluida en
un subintervalo compacto de R. Como hay un homeomorfismo entre (−1,1) y R, se puede
suponer que g(F) esta´ incluida en el intervalo abierto acotado (−1,1). Hace falta que la
extensio´n continua tambie´n tenga imagen en (−1,1); la primera parte de la demostracio´n
so´lo garantiza que hay una extensio´n continua h con h(X)⊆ [−1,1].
Sea C := h−1
({−1,1}), el cual es un cerrado en X . Como g(F) ⊆ (−1,1), se ve que
C∩F = /0. Si C 6= /0, el Lema de Urysohn produce una funcio´n continua k : X → [0,1] tal
que k(C) = {0} y k(F) = {1}. Defı´nase f : X → [−1,1] por f (y) := h(y)k(y). Entonces el
producto puntual f = hk es continua; f (x) = h(x) = g(x) para x ∈ F ; y adema´s f (z) = 0 para
z ∈C, de modo que f (X)⊆ (−1,1).
MA–704: Topologı´a 48
2.4 Espacios localmente compactos
La recta real R y el espacio vectorial Rn (para n ∈ N∗) no son compactos; pero poseen la
siguiente propiedad de compacidad local.
Definicio´n 2.48. Un espacio topolo´gico X es localmente compacto si cada punto x ∈ X
posee un vecindario compacto.18
Ejemplo 2.49. La recta R es localmente compacto, porque si t ∈ R y ε > 0, entonces el
intervalo [t− ε, t+ ε] es un vecindario compacto de X , por la Proposicio´n 2.25.
De igual manera, el espacio vectorial finitodimensional Rn es localmente compacto: cada
x ∈ Rn es el centro de una bola cerrada B(x;ε) := {y ∈ Rn : ‖y− x‖ ≤ ε }, la cual es un
vecindario compacto de x. ♦
Ejemplo 2.50. El cuerpo Q de nu´meros racionales, con la topologı´a usual dada por la in-
clusio´n Q ↪→ R, no es localmente compacto. Cualquier vecindario compacto de r en Q
incluirı´a como parte cerrada un intervalo cerrado (entonces, tambie´n compacto) de la forma
Q∩ [r− p,r+ p], con p∈Q. Si (qα) fuera cualquier red en este intervalo que converge (enR)
a un nu´mero irracional t, entonces cada subred tambie´n convergirı´a a t; por tanto, esta red no
tendrı´a punto adherente alguno en Q∩ [r− p,r+ p]. Se concluye que ningu´n r ∈Q tiene un
vecindario compacto en Q. ♦
Lema 2.51. Si X es un espacio localmente compacto y si F ⊆ X es cerrado, entonces F es
tambie´n localmente compacto.
Demostracio´n. Si x ∈ F , sea K un vecindario compacto de x; entonces hay un abierto U en X
tal que x ∈U ⊆ K.
Luego x ∈ F ∩U ⊆ F ∩K, donde F ∩U es un abierto en (la topologı´a relativa de) F y
F ∩K, por ser parte cerrada de K, es compacto. Entonces F ∩K es un vecindario compacto
de x en la topologı´a relativa de F .
Lema 2.52. Si X es un espacio compacto y T2, y si z ∈ X, entonces X \ {z} es un espacio
localmente compacto y T2.
Demostracio´n. Si x ∈ X con x 6= z, hay que mostrar que x tiene un vecindario compacto que
no contiene z. Como X es T2, hay vecindarios abiertos U de x y W de z tales que U ∩W = /0.
Fı´jese que X \W es un cerrado en X y por ende es compacto; como x ∈U ⊆ X \W ⊆ X \{z},
este X \W es un vecindario compacto de x en X \{z}. Luego, el espacio X \{z} es localmente
compacto.
Adema´s, X \{z} es un espacio de Hausdorff, en vista del Lema 2.35.
18Algunos autores dicen que X es localmente compacto si cada x ∈ X tiene un vecindario V tal que V sea
compacto. Pero en ese caso V es un vecindario compacto de x, ası´ que las dos definiciones son equivalentes
cuando X es de Hausdorff.
MA–704: Topologı´a 49
Lema 2.53. Un espacio localmente compacto y T2 es completamente regular.
Demostracio´n. Sea X un espacio localmente compacto y T2, sea F un cerrado no vacı´o en X
y sea x ∈ X \F . Entonces hay un vecindario abierto V de x tal que V es compacto.
Sea A := (V \V )∪(V ∩F); este es un cerrado en el espacio compacto V , tal que x∈V \A.
Como V es normal, por el Lema 2.44, el Lema de Urysohn proporciona una funcio´n continua
g : V → [0,1] tal que g(x) = 1 y g(A)⊆{0}. Defı´nase h : X \V → [0,1] como la funcio´n cero,
es decir, h(y) := 0 para todo y /∈ V . Ahora V ∩ (X \V ) = V \V ⊆ A, ası´ que las funciones
continuas g y h coinciden sobre su dominio comu´n. Entonces la funcio´n
f (z) :=
{
g(z) si z ∈V ,
h(z) si z ∈ X \V,
esta´ bien definida y es continua en cada punto z ∈ X , ya que V ∪ (X \V ) = X . Fı´jese tambie´n
que F = (V ∩F)∪(F \V )⊆A∪(X \V ). De este modo, se ha construido una funcio´n continua
f : X → [0,1] tal que f (x) = 1 y f (F) = {0}.
I El Lema 2.52 tiene un resultado inverso importante: cualquier espacio localmente com-
pacto y T2 es un subespacio de cierto espacio compacto y T2 que contiene solamente un punto
extra. Este es el ejemplo ma´s sencillo de una compactificacio´n de un espacio topolo´gico no
necesariamente compacto.
Definicio´n 2.54. Sea (Y,T) un espacio localmente compacto y T2. Defı´nase Y+ := Y unionmulti{ω},
dotado de la topologı´a T+ := T ∪W, donde W ∈W si y so´lo si ω ∈W ⊆ Y+ y Y \W es
compacto en Y .
El espacio Y+ se llama la compactificacio´n por un punto, o bien la compactificacio´n
de Alexandrov, de Y .
Proposicio´n 2.55. El espacio Y+ es compacto y T2. Adema´s, si Z un espacio compacto y T2
tal que Z = Y unionmulti{z0} para algu´n punto z0, entonces la aplicacio´n identidad 1Y : Y → Y se
extiende a un homeomorfismo entre Y+ y Z.
Demostracio´n. Fı´jese primero que T∪W es una topologı´a sobre Y+. Es claro que /0 ∈ T y
Y+ ∈W. Si U ∈T y W ∈W, entonces U∩W ∈T porque Y \(U∩W )= (Y \U)∪(Y \W ) es un
cerrado en Y . Adema´s, es U∪W ∈W porque Y \(U∪W ) = (Y \U)∩(Y \W ) es un compacto
en Y . Si W,W ′ ∈W, entonces W ∩W ′ ∈W porque Y \ (W ∩W ′) = (Y \W )∪ (Y \W ′) es un
compacto en Y . Si {Wα : α ∈ J } ⊆ W, entonces ⋃α∈J Wα ∈ W porque Y \⋃α∈J Wα =⋂
α∈J(Y \Wα) es un compacto en Y .
Ahora, sea {Uβ : β ∈K } un cubrimiento abierto de Y+. Entonces ω ∈Uγ ∈W para algu´n
ı´ndice γ . Los abiertos Y ∩Uβ ∈ T cubren el compacto Y \Uγ ; por tanto, hay un nu´mero finito
de ı´ndices β1, . . . ,βm tales que Y \Uγ ⊆ ⋃mk=1(Y \Uβk). Entonces {Uβ1, . . . ,Uβm,Uγ} es un
subcubrimiento finito de Y+. Luego Y+ es un espacio compacto.
MA–704: Topologı´a 50
Para ver que Y+ es un espacio T2, basta ver que cada punto y ∈ Y esta´ separado de ω
por abiertos disjuntos. Sea V un vecindario abierto de y en Y con V compacto; entonces
W := Y+ \V ∈W es un vecindario abierto de ω , con V ∩W = /0.
Si Z es otro espacio compacto y T2 de la forma Z = Y unionmulti{z0}, la aplicacio´n identidad 1Y
se extiende a una biyeccio´n φ : Y+→ Z al colocar φ(ω) := z0, necesariamente. Si V es un
abierto en Z, entonces z0 ∈V o bien z0 /∈V . Si z0 /∈V , entonces V es abierto en Y = Z \{z0},
ası´ que φ−1(V ) = V ∈ T. En cambio, si z0 ∈ V , entonces Y \V = Z \V es un subespacio
cerrado del espacio compacto Z y como tal, Y \V es compacto. Ahora ω ∈ f−1(V ) y adema´s
Y \ f−1(V ) = Y+ \ f−1(V ) = f−1(Z \V ) = f−1(Y \V ) = Y \V
es compacto en Y , ası´ que f−1(V ) ∈W. En ambos casos, la preimagen f−1(V ) es un abierto
en Y+; se ha establecido que la biyeccio´n f : Y+→ Z es continua. Como Y+ es compacto y
Z es T2, la Proposicio´n 2.24 muestra que f es un homeomorfismo.
Si X es un espacio compacto y T2, entonces en X+ = X unionmulti{ω}, el nuevo elemento ω es
un punto aislado, es decir, el conjunto solitario {ω} es un abierto (y tambie´n un cerrado)
en X+. En efecto, en este caso, X \ {ω} = X es compacto, ası´ que {ω} ∈W en la notacio´n
de la Definicio´n 2.54.
Si Y es un espacio localmente compacto y T2 que no es compacto, entonces cada vecin-
dario abierto de ω en Y+ es de la forma W ∈W donde Y ∩W no es vacı´o. En otras palabras,
es ω ∈ Y en este caso. Por lo tanto, Y = Y+, es decir, el subespacio no compacto Y es denso
en Y+.
Ejemplo 2.56. En el caso de la recta real R, con su topologı´a usual, el punto extra se denota
por el sı´mbolo ∞. La compactificacio´n de Alexandrov de R se denota por R∞ = Runionmulti{∞}.
Una base de vecindarios de ∞ esta´ dada por los Wn := {∞}unionmulti{ t ∈ R : |t|> n}, para n ∈ N.
Sea S1 := {z ∈ C : |z| = 1} el cı´rculo unitario en el plano complejo. Hay homeomor-
fismos entre R, el intervalo abierto (−1,1), y el conjunto S1 \ {−1}, visto como subes-
pacio topolo´gico de S1. El segundo de estos homeomorfismos esta´ dado por la funcio´n
ϕ(t) := epiit . La segunda parte de la Proposicio´n 2.55 entonces implica que el homeomor-
fismo R ≈ (S1 \ {−1}) se extiende a un homeomorfismo R∞ ≈ S1. Dicho de modo ma´s
informal, el cı´rculo S1 es la compactificacio´n por un punto de la recta R. ♦
I Hay una forma alternativa de enfocar la compactificacio´n de Alexandrov de Y , en te´rminos
de funciones continuas sobre Y . Si X es un espacio compacto y T2, entonces X es normal y
cada funcio´n continua f : X→R es acotada, por el Lema 2.28. En cambio, si Y es localmente
compacto y T2, entonces so´lo puede afirmarse que Y es completamente regular y puede tener
funciones no acotadas g : Y → R. Aun ası´, hay un juego importante de funciones continuas
acotadas sobre Y , dadas por la definicio´n siguiente.
MA–704: Topologı´a 51
Definicio´n 2.57. Sea X un espacio topolo´gico, f : X→R una funcio´n continua.19 Dı´cese que
f se anula en el infinito si para todo ε > 0, hay una parte compacta Kε ⊆ X tal que | f (x)|< ε
para todo x /∈ Kε .
La totalidad C0(X ,R) de funciones reales continuas sobre X que se anulan en el infinito
es una suba´lgebra de C(X ,R). Cada f ∈C0(X ,R) es acotada, porque
sup
x∈X
| f (x)| ≤max
{
ε, sup
x∈Kε
| f (x)|
}
para todo ε > 0.
Lema 2.58. Si Y es un espacio localmente compacto y T2, sea Y+ = Y unionmulti{ω} su compacti-
ficacio´n por un punto y escrı´base Nω(Y+,R) := { f ∈ C(Y+,R) : f (ω) = 0}. Entonces
Nω(Y+,R) es un ideal de C(Y+,R) y la restriccio´n f 7→ f |Y es un isomorfismo entre las
a´lgebras Nω(Y+,R) y C0(Y,R).
Demostracio´n. Es evidente que Nω(Y+,R) es un ideal de C(Y+,R). En te´rminos algebraicos,
la evaluacio´n εω : f 7→ f (ω) es un homomorfismo lineal de C(Y+,R) en R, cuyo nu´cleo es
el ideal Nω(Y+,R).
Si f ∈C(Y+,R), su restriccio´n f |Y es continua en cada punto de Y , ası´ que f |Y : Y →R es
continua. Si adema´s f (ω) = 0, entonces para cada ε > 0 la preimagen Wε := f−1
(
(−ε,ε))
es un vecindario abierto de ω , es decir, Wε ∈W en la notacio´n de la Definicio´n 2.54. Por lo
tanto, el conjunto Kε := Y \Wε es compacto en Y , con | f (x)| < ε para todo x ∈ Y \Kε ; se
concluye que f |Y ∈C0(Y,R).
Es evidente que f 7→ f |Y es un homomorfismo inyectivo. Para ver su sobreyectividad, sea
g∈C0(Y,R); esta funcio´n sobre Y se extiende a una funcio´n g˜ : Y+→R al colocar g˜(ω) := 0.
Como g es continua en todo punto de Y , la extensio´n g˜ es continua si y so´lo si es continua en
el punto ω . Si ε > 0, sea Lε ⊆ Y una parte compacta tal que |g(y)|< ε para todo y ∈ Y \Lε .
Entonces Vε := (Y \ Lε)unionmulti{ω} es un vecindario abierto de ω tal que |g˜(z)| < ε para todo
z ∈Vε . Como ε > 0 es arbitrario, se concluye que g˜ es continua en ω , ası´ que g˜ ∈ Nω(Y+,R).
Por su construccio´n, es inmediato que g˜|Y = g.
2.5 Espacios paracompactos, particiones de la unidad
Los espacios localmente compactos no agotan el juego de espacios topolo´gicos que son de
utilidad en el ana´lisis matema´tico. Hay espacios me´tricos que no son localmente compactos
(el conjunto de nu´meros racionales Q, por ejemplo). Para muchos propo´sitos del ana´lisis, lo
que se requiere es una propiedad topolo´gica que permite reemplazar un cubrimiento arbitrario
de abiertos por un cubrimiento que no necesariamente es finito, pero cubre un vecindario de
cada punto finitamente.
19Esta definicio´n tambie´n es aplicable, mutatis mutandis, a funciones complejas f : X → C.
MA–704: Topologı´a 52
Definicio´n 2.59. Sea A ⊆ 2X un juego de partes de un espacio topolo´gico X . Dı´cese que A
es localmente finito si cada x ∈ X posee un vecindario V tal que {A ∈ A : V ∩A 6= /0} sea
finito.
Lema 2.60. Si A⊆ 2X es localmente finito, entonces ⋃A∈AA =⋃A∈AA.
Demostracio´n. Sea Y :=
⋃
A∈AA. Claramente A⊆ Y para cada A ∈A, ası´ que
⋃
A∈AA⊆ Y .
Por otro lado, sea z ∈Y . Cada vecindario V de z tiene interseccio´n con Y , pero solamente
con un juego finito de miembros A1, . . . ,Am ∈ A; sea A′ := A\{A1, . . . ,Am}. Como V tiene
interseccio´n vacı´a con los miembros de A′, entonces z /∈ ⋃A∈A′ A, por el Lema 1.24. De la
igualdad ⋃
A∈A
A =
⋃
A∈A′
A ∪ A1∪·· ·∪Am
se concluye que z ∈⋃mk=1 Ak =⋃mk=1 Ak ⊆⋃A∈AA.
Definicio´n 2.61. Si U y V son dos cubrimientos de un espacio topolo´gico X , dı´cese que V
es un refinamiento de U si para cada V ∈ V hay un elemento U ∈ U tal que U ⊇V . Si cada
V ∈ V es un abierto en X , entonces V es un refinamiento abierto de U.
Un espacio topolo´gico X es paracompacto si cada cubrimiento abierto U de X posee un
refinamiento abierto, localmente finito.20
Lema 2.62. Un espacio compacto es paracompacto.
Demostracio´n. Si X es compacto y U es un cubrimiento abierto de X , entonces hay un sub-
cubrimiento finito, el cual es evidentemente un refinamiento abierto que es localmente finito.
De hecho, si X es un espacio topolog´ico en el cual cada cubrimiento abierto U posee un
refinamiento abierto finito V, entonces X es compacto: si V = {V1, . . . ,Vm}, elı´jase Uk ∈ U
tal que Uk ⊇ Vk para k = 1, . . . ,m; entonces {U1, . . . ,Um} es un subcubrimiento finito de U,
porque U1∪·· ·∪Um ⊇V1∪·· ·∪Vm = X .
Una proposicio´n menos trivial, pero cierto, dice que cualquier espacio me´trico es para-
compacto.21
Lema 2.63. Un espacio paracompacto y T2 es normal.
20El concepto de paracompacidad fue introducido en: Jean A. Dieudonne´, Une ge´ne´ralisation des espaces
compacts, Journal de Mathe´matiques Pures et Applique´es 23 (1944), 65–76.
21Este es el teorema de Stone, que generaliza unos casos particulares probados por Dieudonne´; fue de-
mostrado en: Arthur H. Stone, Paracompactness and product spaces, Bulletin of the American Mathematical
Society 54 (1948), 977–982. La demostracio´n no es corta; para los detalles, ve´ase cualquiera de los libros de
Dugundji, Engelking, Munkres o Willard.
MA–704: Topologı´a 53
Demostracio´n. Sea X un espacio paracompacto y de Hausdorff. En primer lugar, se de-
mostrara´ que X es regular.
Sea F un cerrado en X y sea x ∈ X \F . Para cada y ∈ F hay un abierto Uy con y ∈Uy
mientras x /∈Uy, ya que X es de Hausdorff. Sea U := {Uy : y ∈ F }∪{X \F}, el cual es un
cubrimiento abierto de X . Sea V un refinamiento abierto localmente finito de U.
La familiaW= {V ∈V : V ∩F 6= /0} es un cubrimiento de F por abiertos en X . Si V ∈W,
entonces V ⊆Uy para algu´n y ∈ F y por ende V ⊆Uy; por lo tanto, x /∈V . Si W = ⋃V∈WV ,
entonces W es un abierto en X con F ⊂W . El Lema 2.60 dice que W = ⋃V∈WV ya que W
es localmente finito. Entonces x ∈ X \W mientras F ⊆W . Se concluye que el espacio X es
regular.
Ahora si H es un cerrado en X con F ∩H = /0, para cada y ∈ F hay un abierto U ′y con
y ∈ U ′y ⊆ U ′y ⊆ X \H, al aplicar el Lema 2.41 en el espacio regular X . La familia U′ :=
{U ′y : y ∈ F }∪ {X \F} es un cubrimiento abierto de X y como tal posee un refinamiento
abierto localmente finito V′. Los argumentos de la primera parte de la demostracio´n, mutatis
mutandis, producen un abierto W ′ tal que F ⊆W ′ ⊆W ′ ⊆ X \H. El Lema 2.43 muestra que
X es normal.
Definicio´n 2.64. Sea U= {Uα : α ∈ J } un cubrimiento abierto de un espacio topolo´gico X .
Un encogimiento de U es un cubrimiento abierto V= {Vα : α ∈ J }, con el mismo conjunto
ı´ndice, tal que Vα ⊆Uα para todo α ∈ J.
Lema 2.65. Si X es un espacio paracompacto y T2, cualquier cubrimiento abierto de X posee
un encogimiento localmente finito.
Demostracio´n. El espacio X es normal y en particular es regular, por el Lema 2.63. Si U =
{Uα : α ∈ J } es un cubrimiento abierto de X , para cada x ∈ X hay un Uα con x ∈Uα ; por el
Lema 2.41 hay un abierto Ox,α tal que x ∈ Ox,α ⊆ Ox,α ⊆Uα . La totalidad de tales abiertos
Ox,α forma un refinamiento abierto O de U.
Como X es paracompacto, O posee un refinamiento abierto W = {Wβ : β ∈ K } que es
localmente finito . Para cada β tal que Wβ ⊆ Ox,α , vale Wβ ⊆ Ox,α tambie´n. Entonces, para
cada β ∈ K se puede elegir un ı´ndice α =: φ(β ) ∈ J tal que Wβ ⊆Uφ(β ).
Sea Vα :=
⋃{Wβ : φ(β ) = α }. Este Vα es un abierto en X ; como W es localmente finito,
el Lema 2.60 garantiza que Vα =
⋃
φ(β )=αWβ , ası´ que Vα ⊆Uα .
La familia V= {Vα : α ∈ J } cubre X porqueW cubre X . Adema´s, V es localmente finito:
si x ∈ X y si U es un vecindario abierto de x, hay ı´ndices β1, . . . ,βm tales que U ∩Wβ = /0 para
β /∈ {β1, . . . ,βm}; luego U ∩Vα = /0 para α /∈ {φ(β1), . . . ,φ(βm)}.
I La utilidad de la nocio´n de paracompacidad reside en la posibilidad de extender a todo
el espacio ciertas funciones que se construyen inicialmente en vecindarios de ciertos puntos.
Para efectuar dichas extensiones, hace falta expresar la funcio´n constante de valor 1 como
una suma de funciones continuas que se anulan fuera de los vecindarios elegidos.
MA–704: Topologı´a 54
Definicio´n 2.66. Si f : X → R es una funcio´n real sobre un espacio topolo´gico x, el soporte
de f es el conjunto cerrado
sop f := {x : f (x) 6= 0}.
Si la funcio´n f es continua, entonces X \ sop( f ) es la unio´n de las partes abiertas de X en
donde f se anula.
Sea U= {Uα : α ∈ J } un cubrimiento abierto de X . Una particio´n de la unidad sobre X ,
subordinado al cubrimientoU, es un juego de funciones continuas {hα : X→ [0,1] :α ∈ J }
tal que:
(a) sophα ⊆Uα para todo α ∈ J;
(b) la familia {sophα : α ∈ J } es un cubrimiento localmente finito de X ;
(c) ∑α∈J hα(x) = 1 para todo x ∈ X .
Obse´rvese que, para cada x ∈ X , la condicio´n (c) implica que hα(x) 6= 0 para algu´n
ı´ndice α; y por la continuidad de hα , el conjunto {y∈ X : hα(y)> 0} es un vecindario abierto
de x. La condicio´n (b) entonces dice que el nu´mero de tales ı´ndices α es finito, ası´ que la
suma ∑α∈J hα(y) es una suma finita para y en un vecindario de x. Luego, la convergencia de
la serie es automa´tica, aun cuando el conjunto ı´ndice J sea infinito.
Proposicio´n 2.67. Si U es un cubrimiento abierto de X, un espacio paracompacto y T2, hay
una particio´n de la unidad sobre X subordinada a U.
Demostracio´n. Aplı´quese el Lema 2.65 dos veces, para obtener encogimientos localmente
finitos V= {Vα : α ∈ J } de U y luego W= {Wα : α ∈ J } de V, de tal modo que
Wα ⊆Vα ⊆Vα ⊆Uα para cada α ∈ J.
Como X es normal en vista del Lema 2.63, el Lema de Urysohn produce, para cada α , una
funcio´n continua gα : X → [0,1] tal que gα(Wα) = 1 y gα(X \Vα) = 0.
Como gα(x)> 0 so´lo si x ∈Vα , se obtiene sopgα ⊆Vα ⊆Uα . La familia {Vα : α ∈ J }
es localmente finito, porque cada abierto U tal que U ∩Vα 6= /0 tambie´n cumple U ∩Vα 6= /0.
Luego la familia {sopgα : α ∈ J } es localmente finito.
En particular, si x ∈ X hay un vecindario U de x tal que la suma ∑α∈J gα(y) es una suma
finita de nu´meros positivos para y ∈U . Por lo tanto, la suma ∑α∈J gα es un funcio´n continua
en x, con ∑α∈J gα(x) > 0. Como x es un punto arbitrario de X , la suma g := ∑α∈J gα es
un funcio´n continua sobre X , con g(x) > 0 para todo x. En consecuencia, se puede formar
el cociente hα(x) := gα(x)/g(x), para ası´ obtener una familia {hα : α ∈ J } de funciones
continuas tales que 0≤ hα(x)≤ 1 para cada α y cada x ∈ X .
Fı´jese que hα(x)> 0 si y so´lo si gα(x)> 0; por ende, sophα = sopgα ⊆Uα para cada α .
Adema´s, ∑α∈J hα(x) = ∑α∈J gα(x)/g(x) = 1 para cada x ∈ X . Luego {hα : α ∈ J } es una
particio´n de la unidad subordinada al cubrimiento U.
MA–704: Topologı´a 55
2.6 El teorema de Tijonov
Histo´ricamente, habı´a que decidir entre diversas variantes del concepto de compacidad; por
ejemplo, antes de la aceptacio´n general de la nocio´n de convergencia generalizada de Moore
y Smith (por redes), algunos preferı´an la propiedad de que cualquier sucesio´n tuviera una
subsucesio´n convergente (compacidad sucesional). Por otro lado, en la teorı´a de conjuntos
habı´a un debate acerca de la legitimidad del axioma de eleccio´n. Estas dos discusiones se
acabaron con la demostracio´n por Tijonov, en 1935, de un teorema22 que elevo´ a primera
plana el axioma de Borel y Lebesgue como la definicio´n “correcta” de compacidad. Su
formulacio´n usa de modo esencial el axioma de eleccio´n; y de hecho, la veracidad de ese
teorema es equivalente a dicho axioma.
Teorema 2.68 (Tijonov). Un producto cartesiano de una familia de espacios compactos es
un espacio compacto.
Demostracio´n. Sea {Xα : α ∈ J } una familia cualquiera de espacios compactos (no vacı´os).
Obse´rvese, en primer lugar, que si J es un conjunto no numerable, se requiere el axioma
de eleccio´n para asegurar la existencia (como conjunto no vacı´o) del producto cartesiano
X :=∏α∈J Xα .
Para mostrar que X es compacto, es suficiente (en vista de la Proposicio´n 2.14) mostrar
que cada coleccio´n A de partes cerradas de X con la propiedad de interseccio´n finita tiene
interseccio´n no vacı´a.
Afirmacio´n: hay una familia maximal C de partes de X con la propiedad de interseccio´n
finita, tal que A ⊆ C. Para la verificacio´n, se aplica el Lema de Zorn23 a la coleccio´n de
familias en 2X que incluyen A y poseen la propiedad de interseccio´n finita. Esta coleccio´n
esta´ parcialmente ordenada por inclusio´n; una subcoleccio´n {Bβ : β ∈ K } esta´ linealmente
ordenada si para cada par de ı´ndices α,β valeBα ⊆Bβ o bienBβ ⊆Bα . Una “cota superior”
para el orden de inclusio´n es la unio´n B∗ :=
⋃
β∈KBβ ⊇ A. Hay que comprobar que esta
unio´n B∗ tambie´n tiene la propiedad de inteseccio´n finita. En efecto, si Bk ∈ Bβk para k =
1, . . . ,m, se puede suponer (despue´s de reordenar β1, . . . ,βm si fuera necesario) que Bβ1 ⊆
Bβ2 ⊆ ·· · ⊆Bβm; en cuyo caso se ve que B1, . . . ,Bm ∈Bβm , ası´ que B1∩·· ·∩Bm 6= /0. Por lo
tanto, el Lema de Zorn es aplicable y la existencia de la familia maximal C esta´ asegurada.
Fı´jese que, aunque cada A ∈ A sea cerrado, los miembros C ∈ C no son necesariamente
cerrados; pero es cierto que
⋂
C∈CC ⊆
⋂
A∈AA =
⋂
A∈AA. Para verificar que
⋂
A∈AA 6= /0, es
suficiente comprobar que
⋂
C∈CC 6= /0.
22El artı´culo original que enuncio´ el teorema fue: Andrei Nikolayevich Tijonov, Ein Fixpunktsatz, Mathema-
tische Annalen 111 (1935), 767–776. Por un tiempo, el tipo de espacio contemplado en el teorema se llamo´
bicompacto, hasta que ese vocablo fue desplazado por el te´rmino compacto. Una demostracio´n simplificada,
en la cual la nuestra esta´ basada, aparecio´ en: Claude Chevalley y Orrin Frink Jr., Bicompactness of Cartesian
products, Bulletin of the American Mathematical Society 47 (1941), 612–614.
23Aquı´ es donde se usa el axioma de eleccio´n, al cual el Lema de Zorn es equivalente.
MA–704: Topologı´a 56
La maximalidad de C garantiza que C tiene estas dos propiedades:
(a) si C1, . . . ,Cr ∈ C, entonces C1∩·· ·∩Cr ∈ C;
(b) si B⊆ X y si B∩C 6= /0 para todo C ∈ C, entonces B ∈ C.
De hecho, es cuestio´n de considerar las familias (a) C∪{C1 ∩ ·· · ∩Cr}; y (b) C∪{B}; las
cuales incluyen C y tienen la propiedad de interseccio´n finita.
Para cada α ∈ J, la familia {piα(C) : C ∈ C} de partes de Xα tiene la propiedad de inter-
seccio´n finita. Como Xα es compacto, se concluye que
⋂
C∈Cpiα(C) 6= /0. To´mese un elemento
xα ∈⋂C∈Cpiα(C) y conside´rese el punto del producto X con estas coordenadas: x := (xα)α∈J .
Para terminar la demostracio´n, so´lo hay que confirmar que x ∈C para todo C ∈ C. Si Uα
es un vecindario de xα en el espacio Xα , entonces Uα ∩piα(C) 6= /0, ası´ que hay un punto y∈C
tal que piα(y) ∈Uα ; luego y ∈ pi−1α (Uα)∩C. Por la propiedad (b) anterior, se concluye que
pi−1α (Uα) ∈ C.
Ahora bien: por la definicio´n de la topologı´a del producto cartesiano, cada pi−1α (Uα) es
un elemento de una subbase para esta topologı´a. Se ha mostrado que cada elemento de cierta
subbase que contiene el punto x pertenece a la familia C. La propiedad (a) anterior asegura
que cada elemento V de cierta base de vecindarios de x cumple V ∩C 6= /0 para todo C ∈ C,
ası´ que x ∈⋂C∈CC, tal como habı´a que mostrar.
Ejemplo 2.69. Deno´tese por I := [0,1] el intervalo compacto esta´ndar de la recta real. El
cubo de Tijonov IR =∏t∈R I es un espacio compacto (y de Hausdorff), al igual que el cubo
de Hilbert IN y el cubo de Cantor {0,1}N del Ejemplo 2.8. El cubo de Alexandrov SN es
compacto pero no es T2. ♦
2.7 Espacios me´tricos completos
En esta subseccio´n X sera´ un espacio me´trico, con la topologı´a dada por una me´trica ρ . Dado
que, en general, hay muchas me´tricas “equivalentes” que inducen la misma topologı´a, a veces
se dice que X es un espacio metrizable, sin precisar una me´trica especı´fica.
Lema 2.70. Un espacio topolo´gico metrizable X es separable si y so´lo si su topologı´a tiene
una base numerable.
Demostracio´n. Cualquier espacio topolo´gico cuya topologı´a tiene una base numerable (es
decir, que satisface el segundo axioma de numerabilidad) es separable. En efecto, si B =
{Bk : k∈K } es una base para su topologı´a, donde K ⊆N, sea A := {xk : k∈K } donde xk ∈Bk
para cada k. Si y ∈ X , cada vecindario U de y incluye algu´n Bk, de modo que U ∩A 6= /0; por
tanto, y ∈ A para todo y ∈ X . Entonces A es numerable y denso en X , ası´ que X es separable.
Inversamente, sea (X ,ρ) un espacio me´trico separable y sea A = {xk : k ∈ K }, donde
K ⊆ N, una parte numerable densa de X . Para k ∈ K, m ∈ N, sea Bkm := Bρ(xk;1/m), una
MA–704: Topologı´a 57
bola abierta en X . Si U es un abierto cualquiera en X , entonces U ∩A 6= /0 porque A es denso
en X ; luego xk ∈U para algu´n k. Entonces U es un vecindario de xk, ası´ que Bkm ⊆U para
algu´n m. Se concluye que la familia numerable de bolas {Bkm : k ∈ K, m ∈ N} es una base
para la topologı´a me´trica de X .
Definicio´n 2.71. Sea (X ,ρ) un espacio me´trico. Una parte A ⊆ X se dice acotada si hay
x ∈ A y M > 0 tales que ρ(x,y)<M para todo y ∈ A; dicho de otro modo, si hay x ∈ A tal que
A⊆ Bρ(x;M) para algu´n M > 0.
Una parte C ⊆ X se llama totalmente acotada (o bien precompacta) si para cada ε > 0
hay un juego finito de puntos x1, . . . ,xm ∈ B tales que C ⊆⋃mk=1 Bρ(xk;ε).
I Un concepto importante que tiene sentido en cualquier espacio me´trico, pero no en un
espacio topolo´gico en general,24 es el de una sucesio´n de Cauchy. (Como un espacio me´trico
satisface el primer axioma de numerabilidad, no hace falta considerar “redes de Cauchy”,
en vista del Lema 1.69.) Varias propiedades esenciales de los espacios me´tricos pueden
formularse en te´rminos de las sucesiones de Cauchy.
Definicio´n 2.72. Una sucesio´n (xn)n∈N en un espacio me´trico (X ,ρ) es una sucesio´n de
Cauchy si para todo ε > 0, existe N ∈ N tal que m,n≥ N =⇒ ρ(xm,xn)< ε .
Fı´jese que cualquier sucesio´n convergente es de Cauchy, como consecuencia de la de-
sigualdad triangular.
El espacio me´trico (X ,ρ) es completo si cada sucesio´n de Cauchy en X es convergente.
(Como X es de Hausdorff, el lı´mite de sucesio´n es u´nico.)
Obse´rvese que si ρ,σ son dos me´tricas (me´tricamente) equivalentes sobre un espacio
metrizable X , una sucesio´n en X es de Cauchy en (X ,ρ) si y so´lo si es de Cauchy en (X ,σ).
Lema 2.73. Una parte cerrada de un espacio me´trico completo es tambie´n completa.
Demostracio´n. Sea (X ,ρ) un espacio me´trico completo y sea A ⊆ X una parte cerrada. Si
(xn) es una sucesio´n de Cauchy en A, entonces tiene un lı´mite x ∈ X tal que xn → x. El
Lema 1.67 muestra que x ∈ A = A, ası´ que (xn) converge en el subespacio A.
Lema 2.74. Un espacio metrizable X esta´ totalmente acotada si y so´lo si cada sucesio´n en X
posee una subsucesio´n de Cauchy.
Demostracio´n. Sea ρ una me´trica sobre X que determina su topologı´a.
Ad(⇒): Si X esta´ totalmente acotada, sea (x0n) una sucesio´n de elementos de X . Como X
esta´ cubierta por un nu´mero finito de bolas Bρ(yi;1) de radio 1, al menos una de estas bolas
24Hay una clase de espacios topolo´gicos no metrizables en donde cabe hablar de “redes de Cauchy”: los que
poseen una estructura uniforme. Para la teorı´a de dichas estructuras, ve´ase los libros de Bourbaki, Engelking o
Willard.
MA–704: Topologı´a 58
contiene una infinitud de los x0n; es decir, la sucesio´n esta´ frecuentemente en una de estas
bolas. Entonces hay una subsucesio´n (x1n) de (x
0
n) tal que ρ(x1m,x1n)< 1 para todo m,n ∈ N.
Al cubrir X por un nu´mero finito de bolas de radio 12 , la sucesio´n (x
1
n) esta´ frecuentemente
en una de estas bolas. Luego hay una subsucesio´n (x2n) de (x
1
n) tal que ρ(x2m,x2n) < 12 para
todo m,n ∈ N.
Al continuar ası´ por induccio´n, se obtiene para cada k ∈ N∗ una subsucesio´n (xkn) de
(xk−1n ) tal que ρ(xkm,xkn) < 1/k para todo m,n ∈ N. Defı´nase una nueva sucesio´n (yn) al
colocar yn := xnn para n ∈N. Es claro que (yn) es una subsucesio´n de cada (xkn) y en particular
de la sucesio´n original (x0n). Tambie´n, esta (yn) es una sucesio´n de Cauchy, porque si ε > 0 y
N > 1/ε , entonces ρ(yr,ys)< ε para r,s≥N porque yr,ys son elementos de la sucesio´n (xNn ).
Ad(⇐): Si X no esta´ totalmente acotado, existe ε > 0 tal que X no puede cubrirse por
un nu´mero finito de bolas de radio ε .
Defı´nase una sucesio´n (zn) en X inductivamente, como sigue. To´mese z0 ∈ X . To´mese
z1 ∈ X \Bρ(z0;ε). To´mese z2 ∈ X \
(
Bρ(z0;ε)∪Bρ(z1;ε)
)
. Para n ∈ N en general, to´mese
zn+1 ∈ X \⋃nk=0 Bρ(zk;ε). La sucesio´n (zn) ası´ formada es tal que ρ(zm,zn) ≥ ε para todo
m 6= n; luego (zn) es una sucesio´n en X que no posee subsucesio´n de Cauchy alguna.
Proposicio´n 2.75. Un espacio me´trico es compacto si y so´lo si es completo y totalmente
acotado.
Demostracio´n. Un espacio me´trico (X ,ρ) satisface el primer axioma de numerabilidad. En
vista de la Proposicio´n 2.14 y del Lema 1.69, X es un espacio compacto si y so´lo si cada
sucesio´n en X tiene un punto adherente, si y so´lo si cada sucesio´n en X tiene una subsucesio´n
convergente.
Supo´ngase que X es compacto. Como una sucesio´n convergente es una sucesio´n de
Cauchy para la me´trica ρ , cada sucesio´n (xn) en X tiene una subsucesio´n convergente (xnk)k∈N
que tambie´n es de Cauchy. Del Lema 2.74 se concluye que X esta´ totalmente acotado.
Por otro lado, una sucesio´n de Cauchy (yn) en X tiene una subsucesio´n convergente (ynk),
por la compacidad de X ; es decir, existe y ∈ X tal que ynk → y conforme k→ ∞. Dado ε > 0,
hay K ∈ N tal que k ≥ K =⇒ ρ(ynk ,y) < 12ε; adema´s, hay N ≥ nK tal que m > N =⇒
ρ(ym,ynk) <
1
2ε . Luego m > N =⇒ ρ(ym,y) < ε , ası´ que yn → y conforme n→ ∞. Se
concluye que cada sucesio´n de Cauchy en X es convergente, es decir, (X ,ρ) es completo.
Inversamente, supo´ngase que (X ,ρ) es completo y totalmente acotado. Si (xn) es una
sucesio´n en X , el Lema 2.74 muestra que tiene una subsucesio´n de Cauchy (xnk), la cual es
convergente en vista de la completitud. Por lo tanto, el espacio topolo´gico X es compacto.
I Cada espacio me´trico es una parte densa de un espacio me´trico completo. Por ejemplo, los
nu´meros racionales Q (con la me´trica inducida por la inclusio´n Q ↪→ R) forman un espacio
me´trico incompleto. Una de las construcciones cla´sicas de R, dada por Cantor, consiste en
agregar a Q un juego de lı´mites para sus sucesiones de Cauchy.
MA–704: Topologı´a 59
Definicio´n 2.76. Si (X ,ρ) (Y,σ) son dos espacios me´tricos, una funcio´n f : X → Y es una
isometrı´a si σ( f (x), f (z)) = ρ(x,z) para todo x,z ∈ X .
Fı´jese que una isometrı´a es inyectiva, porque
f (x) = f (z) ⇐⇒ σ( f (x), f (z)) = 0 ⇐⇒ ρ(x,z) = 0 ⇐⇒ x = z.
Cada isometrı´a es continua, porque f−1
(
Bσ ( f (x);ε)
) ⊇ Bρ(x;ε) para x ∈ X , ε > 0, lo cual
implica que la preimagen de un vecindario de f (x) es un vecindario de x, para todo x ∈ X .
Proposicio´n 2.77. Sea (X ,ρ) un espacio me´trico cualquiera. Entonces existe un espacio
me´trico completo (X̂ , ρˆ) y una isometrı´a j : X → X̂ tal que j(X) es denso en X̂.
Adema´s, si (X˜ , ρ˜) es otro espacio me´trico completo con una isometrı´a j′ : X → X˜ tal que
j′(X) es denso en X˜, entonces hay una isometrı´a biyectiva i : X˜→ X̂ tal que i◦ j′= j : X→ X̂ .
Demostracio´n. Sea X la totalidad de sucesiones de Cauchy en X ; escrı´base x := (xn) para
denotar un elemento tı´pico de X.
Si x=(xn), y=(yn) son dos elementos deX, entonces {ρ(xn,yn) : n∈N} es una sucesio´n
de Cauchy en R. En efecto, dado ε > 0, sea N tal que m,n ≥ N =⇒ ρ(xm,xn) < 12ε y
ρ(yn,ym)< 12ε; entonces
ρ(xm,ym)≤ ρ(xm,xn)+ρ(xn,yn)+ρ(yn,ym),
ası´ que |ρ(xm,ym)−ρ(xn,yn)|< ε . Como R ya es completo, se puede definir
d(x,y) := lim
n→∞ρ(xn,yn).
Esta “distancia” entre sucesiones es sime´trica, d(y,x) = d(x,y), y cumple la desigualdad
triangular:
d(x,z)≤ d(x,y)+d(y,z), para x,y,z ∈ X,
pero no es una me´trica25 porque es posible que d(x,y) = 0 aun cuando x 6= y; por ejemplo, si
x, y son dos sucesiones que convergen al mismo lı´mite.
Ahora bien: la ecuacio´n d(x,y) = 0 determina una relacio´n de equivalencia entre ele-
mentos de X. Sea X̂ el conjunto de sus clases de equivalencia; defı´nase
ρˆ([x], [y]) := d(x,y) = lim
n→∞ρ(xn,yn).
Entonces ρˆ es una me´trica sobre X̂ . Si x ∈ X , sea xˆ ∈ X la sucesio´n constante xn ≡ x (la cual
es trivialmente convergente a x); colo´quese j(x) := [xˆ] ∈ X̂ .
25Dı´cese que d es una pseudome´trica, esto es, una funcio´n sime´trica de dos variables que cumple la de-
sigualdad triangular.
MA–704: Topologı´a 60
Obse´rvese que j es una isometrı´a:
ρˆ( j(x), j(y)) = d(xˆ, yˆ) = lim
n→∞ρ(x,y) = ρ(x,y).
Si ([xm])m∈N, con xm = (xmn)n∈N para cada m, es una sucesio´n de Cauchy en (X̂ , ρˆ), sea
z = (zn) la sucesio´n en X formado por las entradas diagonales, zn := xnn para cada n. Dado
ε > 0, to´mese N tal que
m,n≥ N =⇒ ρˆ([xm], [xn])< ε =⇒ lim
k→∞
ρ(xmk,xnk)< ε
=⇒ lim
k→∞
ρ(xmk,xkk)≤ ε.
En otras palabras, ρˆ([xm], [z]) ≤ ε para m ≥ N. Entonces [xm]→ [z] en X̂ . Se concluye que
(X̂ , ρˆ) es completo.
Dado un elemento [y] ∈ X̂ y algu´n ε > 0, to´mese N(ε) ∈ N tal que m,n ≥ N(ε) =⇒
ρ(ym,yn) < ε . Sea z := yN(ε). Entonces ρˆ([y], [zˆ]) = limm→∞ρ(ym,yN(ε)) ≤ ε . Se ha com-
probado que Bρˆ([y];ε)∩ j(X) 6= /0 para todo ε > 0, lo cual dice que j(X) es denso en X̂ .
Ahora sea (X˜ , ρ˜) con j′ : X → X˜ otro espacio me´trico completo e isometrı´a desde X con
imagen densa. Cada x˜ ∈ X˜ es el lı´mite de una sucesio´n j′(xn)n∈N. Como j′ es una isometrı´a
y la sucesio´n j′(xn) es de Cauchy en X˜ —por ser convergente— la sucesio´n x := (xn) es de
Cauchy en X . Defı´nase i : X˜ → X̂ por i(x˜) := [x].
Para ver que i esta´ bien definida, sea y = (yn) otra sucesio´n de Cauchy en X tal que
j′(yn)→ x˜ en X˜ . Entonces
ρ(xn,yn) = ρ˜( j′(xn), j′(yn))≤ ρ˜( j′(xn), x˜)+ ρ˜(x˜, j′(yn))→ 0 como n→ ∞,
lo cual dice que d(x,y) = 0 ası´ que [x] = [y] en X̂ . Es evidente de su definicio´n que i◦ j′ = j.
Ahora to´mese z˜ ∈ X˜ , z = (zn) ∈ X con j′(zn)→ z˜. Entonces
ρ˜(x˜, z˜) = lim
n→∞ ρ˜( j
′(xn), j′(zn)) = lim
n→∞ρ(xn,zn) = ρˆ([x], [z]).
De ahı´ es claro que i : X˜ → X̂ es una isometrı´a.
La isometrı´a i es sobreyectiva porque X˜ es completo. En efecto, si [x] ∈ X̂ , la sucesio´n
x = (xn) es de Cauchy en (X ,ρ). Su imagen j′(xn)n∈N es de Cauchy en (X˜ , ρ˜). Entonces
esta sucesio´n converge a un lı´mite x˜ ∈ X˜ , necesariamente u´nico porque X˜ es de Hausdorff; es
inmediato que i(x˜) := [x].
La funcio´n inversa de una isometrı´a biyectiva es otra isometrı´a y como tal es continua: la
funcio´n i : X˜ → X̂ de la demostracio´n anterior es un homeomorfismo entre X˜ y X̂ .
MA–704: Topologı´a 61
Definicio´n 2.78. Sea (X ,ρ) un espacio me´trico. El espacio me´trico completo (X̂ , ρˆ) de la
Proposicio´n 2.77 se llama la complecio´n de (X ,ρ).
De modo ma´s abstracta, es permisible decir que cualquier espacio me´trico completo
(X˜ , ρ˜), provisto de una isometrı´a j′ : X→ X˜ con imagen denso, es una complecio´n de (X ,ρ).
La Proposicio´n anterior muestra que dos compleciones son homeomorfos mediante una u´nica
isometrı´a biyectiva, que entrelaza las inclusiones isome´tricas densas de una copia de (X ,ρ).
De este modo, la construccio´n concreta de (X̂ , ρˆ) es un asunto secundario.26
2.8 El teorema de Baire
La tesis doctoral de Rene´-Louis Baire, en 1899, describio´ una propiedad interesante de la
recta real,27 que se generaliza inmediatamente a los espacios vectoriales Rn, para n ≥ 1. En
su libro de 1914, Hausdorff mostro´ que este feno´meno es una propiedad topolo´gica de espa-
cios me´tricos completos. Su importancia emergio´ posteriormente con los estudios de Stefan
Banach sobre espacios vectoriales normados completos (hoy en dı´a llamados “espacios de
Banach”), porque el resultado de Baire es el sustrato topolo´gico de dos teoremas fundamen-
tales del propio Banach.
Definicio´n 2.79. Una parte A de un espacio topolo´gico X es un conjunto nunca denso si su
clausura tiene interior vacı´o: (A)◦ = /0.
Una parte B ⊆ X es un conjunto magro (o de primera categorı´a)28 si B = ⋃n∈NAn es
una unio´n numerable de conjuntos nunca densos An.
Ejemplo 2.80. Cualquier parte numerable de R (los nu´meros racionales Q, por ejemplo) es
magra, porque cada conjunto solitario {x} es nunca denso.
El conjunto de Cantor C ⊆ [0,1] es una parte nunca densa del intervalo [0,1]. Este
conjunto se construye de la siguiente forma. Sea C0 := [0,1]; y sea
C1 := [0,1]\ (13 , 23) = [0, 13 ]unionmulti [23 ,1].
Inductivamente, se expresa Cn como una unio´n disjunta de 2n intervalos cerrados de longitud
3−n cada uno. Sea Cn+1 la parte de Cn que queda al remover el tercio (23a+
1
3b,
1
3a+
2
3b)
de cada subintervalo [a,b]⊆Cn. Entonces C := ↓⋂n∈NCn es la interseccio´n (decreciente) de
esta familia de partes encajadas de [0,1].
26La complecio´n de un espacio me´trico es un ejemplo de una construccio´n catego´rica: dos instancias par-
ticulares de la construccio´n esta´n ligadas mediante un isomorfismo u´nico.
27La tesis fue publicado como artı´culo en: Rene´-Louis Baire, Sur les fonctions de variables re´eles, Annali di
Matematica 3 (1899), 1–123.
28En su tesis, Baire clasifico´ las partes de R en dos tipos: las de primera categorı´a (los conjuntos magros) y
las de segunda categorı´a (los conjuntos no magros). Por desgracia, esta pobre terminologı´a fue adoptado por
todos, hasta que la escuela de Bourbaki propuso el te´rmino magro para los conjuntos de la primera categorı´a.
MA–704: Topologı´a 62
Cada Cn es un cerrado en [0,1] y su interseccio´n C tambie´n es cerrado. Para ver que C
es nunca denso, basta ver que C◦ = /0. De lo contrario, habrı´a un intervalo abierto (s, t)⊂C,
con 0 ≤ s < t ≤ 1, lo cual implicarı´a (s, t) ⊂ Cn para todo n; pero eso es imposible cuando
3−n < t− s. ♦
Lema 2.81. Sea X un espacio topolo´gico y sea A⊆ X. Entonces:
(a) A es nunca denso en X si y so´lo si X \A es denso en X.
(b) Si A es nunca denso en X, entonces A es nunca denso en X tambie´n.
(c) Si A y B son nunca densos en X, entonces A∪B es nunca denso en X.
Demostracio´n. Ad(a): Fı´jese que (A)◦ = /0 si y so´lo si X \ (A)◦ = X , si y so´lo si X \A = X ,
si y so´lo si X \A es denso en X .
Ad(b): La operacio´n A 7→ (A)◦ lleva A en (A)◦, porque A coincide con su propia
clausura. Entonces la ecuacio´n (A)◦ = /0 dice que tanto A como A son nunca densos en X .
Ad(c): Si A y B son nunca densos en X y si U es cualquier abierto no vacı´o en X ,
entonces V :=U \A=U ∩ (X \A) es un abierto no vacı´o, por la parte (a). Luego U \A∪B=
U \ (A∪B) = V \B es un abierto no vacı´o. Como U \A∪B =U ∩ (X \A∪B), se concluye
que X \A∪B es denso en X . Por lo parte (a) de nuevo, A∪B es nunca denso en X .
Lema 2.82. Para un espacio topolo´gico X, las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(a) Si {Un : n ∈ N} es una familia numerable de abiertos densos en X, su interseccio´n⋂
n∈NUn es denso en X.
(b) Si {Fn : n ∈ N} es una familia numerable de cerrados nunca densos en X, su unio´n⋃
n∈NFn tiene interior vacı´o.
(c) Si A⊆ X es un conjunto magro, entonces X \A es denso en X.
Demostracio´n. Ad(a) =⇒ (b): Sea Fn un cerrado en X con F◦n = /0, para n ∈ N. Entonces
Un := X \Fn es un abierto denso, ya que Un = X \F◦n = X . Por hipo´tesis, la interseccio´n
B :=
⋂
n∈NUn es denso en X . Si A :=
⋃
n∈NFn = X \B, entonces A◦ = X \B = X \X = /0.
Ad(b) =⇒ (c): Si A es magro en X , entonces A = ⋃n∈NAn donde cada An es nunca
denso en X . Sus clausuras An son tambie´n nunca densos, por el Lema 2.81. Entonces
X \A = X \A◦ ⊇ X \
(⋃
n∈N
An
)◦
= X \ /0 = X ,
ası´ que X \A es denso en X .
Ad(c) =⇒ (a): Sea Un un abierto denso en X , para n ∈ N, y sea B := ⋂n∈NUn. Cada
X \Un es un cerrado con interior vacı´o, el cual es nunca denso. Luego X \B =⋃n∈N(X \Un)
es magro, ası´ que X \B = (X \B)◦ = /0; se concluye que B = X .
MA–704: Topologı´a 63
Definicio´n 2.83. Un espacio topolo´gico X es un espacio de Baire si cumple (una de) las
condiciones equivalentes del Lema 2.82.
Proposicio´n 2.84. Un espacio localmente compacto y T2 es un espacio de Baire.
Demostracio´n. Sea X un espacio localmente compacto y de Hausdorff. Entonces X es com-
pletamente regular, por el Lema 2.53 y por ende X es regular.
Sea {Un : n ∈ N} una familia numerable de abiertos densos en X y sea B := ⋂n∈NUn.
Hay que mostrar que B es denso en X o bien, lo que es lo mismo, que W ∩B 6= /0 para todo
abierto no vacı´o W .
Como U0 es abierto y denso, es W ∩U0 6= /0. To´mese x0 ∈W ∩U0. Como X es regular, el
Lema 2.41 muestra que hay un abierto V0 tal que x0 ∈ V0 ⊆ V 0 ⊆ (W ∩U0). Adema´s, como
X es localmente compacto, se puede suponer que V 0 es compacto.
Como U1 es abierto y denso, es V0∩U1 6= /0. To´mese x1 ∈V0∩U1. Luego hay un abierto
V1 tal que x1 ∈V1 ⊆V 1 ⊆ (V0∩U1).
Al seguir de esta manera, se puede encontrar abiertos V1, . . . ,Vn−1 y puntos x1, . . . ,xn−1
tales que xk ∈ Vk ⊆ V k ⊆ (Vk−1∩Uk), para k = 1, . . . ,n−1. Como Un es abierto y denso, es
Vn−1∩Un 6= /0; puede tomarse xn ∈Vn−1∩Un. Luego hay un abierto Vn tal que xn ∈Vn ⊆V n ⊆
(Vn−1∩Un). Por induccio´n, se produce ası´ Vn y xn para todo n ∈ N.
Entonces {V n : n∈N} es una familia de partes cerradas del conjunto compacto V 0. Como
esta familia es decreciente, porque V n ⊆Vn−1 ⊆V n−1 para todo n≥ 1, tiene la propiedad de
interseccio´n finita. La compacidad de V 0 garantiza que
⋂
n∈NV n 6= /0. Pero V n ⊆W ∩Un para
cada n; en consecuencia, W ∩B =⋂n∈NW ∩Un 6= /0. Se concluye que B es denso en X .
Teorema 2.85 (Baire). Un espacio me´trico completo es un espacio de Baire.
Demostracio´n. Sea (X ,ρ) un espacio me´trico completo. Sea {Un : n ∈ N} una familia nu-
merable de abiertos densos en X y sea B :=
⋂
n∈NUn. Hay que mostrar que W ∩B 6= /0 para
todo abierto no vacı´o W .
Por induccio´n, se construye una sucesio´n de puntos (xn) en X y un juego de bolas abiertos
Bρ(xn;rn) de la siguiente manera.
To´mese x0 ∈W ∩U0. Como W ∩U0 es un vecindario abierto de x, hay un radio r0 ≤ 1
tal que Bρ(x0;r0)⊆W ∩U0. (Recue´rdese que Bρ(x;r) = {y ∈ X : ρ(x,y)≤ r} denota la bola
cerrada con centro x y radio r.)
Inductivamente, como Un es abierto y denso en X , la interseccio´n Bρ(xn−1;rn−1)∩Un es
un abierto no vacı´o, para n ≥ 1, ası´ que hay un punto xn y un radio rn ≤ 1/(n+1) tales que
Bρ(xn;rn)⊆ Bρ(xn−1;rn−1)∩Un.
Si m ≥ n ≥ 1/ε , entonces ρ(xm,xn) ≤ rn ≤ 1/(n+ 1) < ε; esto muestra que (xn) es una
sucesio´n de Cauchy en X . Como (X ,ρ) es completo, hay un punto z ∈ X tal que xn → z.
Como xm ∈ Bρ(xn;rn) para m≥ n y el conjunto Bρ(xn;rn) es cerrado, se ve que z ∈ Bρ(xn;rn)
para todo n. Entonces z∈W y z∈Un para cada n, luego z∈W ∩B; en particular, es W ∩B 6= /0.
Se concluye que B es denso en X .
MA–704: Topologı´a 64
Corolario 2.86. Si n ∈ N∗, el espacio vectorial Rn es un espacio de Baire. 
I El corolario anterior sigue de la Proposicio´n 2.84 y del Teorema 2.85, porque Rn es, por
un lado, un espacio localmente compacto y T2, y por otro lado, un espacio completamente
metrizable: cualquiera de las normas equivalentes del Ejemplo 1.21 define una me´trica so-
bre Rn cuyas sucesiones de Cauchy convergen. Sin embargo, la segunda opcio´n resulta ma´s
u´til en espacios normados de dimensio´n infinita.
Definicio´n 2.87. Sea E un espacio vectorial sobre R o´ C, dotado con una norma ‖ ·‖ y sea ρ
la me´trica asociada, ρ(x,y) := ‖x− y‖. Con la topologı´a inducida por esta me´trica, E es un
espacio normado. Si el espacio me´trico (E,ρ) es completo, dı´cese que E es un espacio de
Banach.
Ejemplo 2.88. Sea X un espacio compacto y T2. Las funciones continuas f : X → R son
elementos de un espacio vectorial real C(X ,R). [De la Definicio´n 1.38, C(X ,R) es un a´lgebra
sobre R, pero aquı´ se hace caso omiso del producto puntual de las funciones.] Como cada
f ∈C(X ,R) es una funcio´n acotada, en vista del Lema 2.28, la receta
‖ f‖∞ := sup{| f (x)| : x ∈ X }
define una norma sobre C(X ,R). Una sucesio´n ( fn) es de Cauchy para [la me´trica asociada
con] esta norma si para todo ε > 0, hay N(ε) ∈ N tal que
m,n≥ N(ε) =⇒ | fm(x)− fn(x)|< ε para todo x ∈ X .
Entonces, para cada punto x ∈ X , la sucesio´n ( fn(x))n∈N es de Cauchy en R. Como R es
completo, hay un nu´mero f (x) ∈ R tal que fn(x)→ f (x) conforme n→ ∞. Al dejar n→ ∞
en el estimado anterior, se ve que
m≥ N(ε) =⇒ | fm(x)− f (x)| ≤ ε para todo x ∈ X .
Resulta que la funcio´n f : X → R es continua, por un “argumento de ε/3”; se concluye que
‖ fm− f‖∞→ 0 conforme m→ ∞; es decir. fm→ f en C(X ,R). Por lo tanto, C(X ,R) es un
espacio de Banach.
Obse´rvese que la convergencia fn(x)→ f (x) es uniforme en x. La topologı´a me´trica sobre
C(X ,R) determinada por esta norma se llama la topologı´a de convergencia uniforme. ♦
Lema 2.89. Si E y F son dos espacios normados, una aplicacio´n lineal ϕ : E→F es continua
si y so´lo si es continua en 0.
Demostracio´n. Cualquier funcio´n continua de E en F es continua en 0. Supo´ngase, entonces,
que la aplicacio´n lineal ϕ : E → F es continua en 0; falta mostrar que ϕ es continua en todo
vector x ∈ F .
MA–704: Topologı´a 65
Si (xn) es una sucesio´n en E tal que xn→ x, entonces ρ(xn,x)→ 0, es decir, ‖xn−x‖→ 0;
en consecuencia, xn− x→ 0 en E. Luego
ϕ(xn)−ϕ(x) = ϕ(xn− x)→ ϕ(0) = 0,
por la linealidad de ϕ y su continuidad en 0. Por lo tanto, ϕ(xn)→ ϕ(x) en F . La continuidad
de ϕ sigue del Lema 1.60.
Lema 2.90. Si F es un espacio normado real29 de dimensio´n m y si Rm es normado por su
norma euclidiana, cualquier isomorfismo lineal entre Rm y F es un homeomorfismo.
Demostracio´n. Un isomorfismo lineal ϕ : Rm→ F lleva la base esta´ndar {e1, . . . ,em} de Rm
en una base vectorial {v1, . . . ,vm} para F , al colocar vk := ϕ(ek) para k = 1, . . . ,m. Si t =
(t1, . . . , tm) ∈ Rm, la linealidad de ϕ dice que ϕ(t) = t1v1+ · · ·+ tmvm ∈ F . Por lo tanto,
‖ϕ(t)‖ ≤
m
∑
k=1
|tk|‖vk‖.
Si (tn) es una sucesio´n en Rm tal que tn→ t, entonces tkn− tk→ 0 en R para cada k, ası´ que
‖ϕ(tn)−ϕ(t)‖ = ‖ϕ(tn− t)‖ → 0 conforme n→ ∞, luego ϕ(tn)→ ϕ(t) en F . Se concluye
que ϕ : Rm→ F es continua.
Deno´tese la norma euclidiana de Rm por ‖ · ‖2. Sea ψ : F → Rm : vk 7→ ek la aplicacio´n
lineal inversa para ϕ . Si ψ no fuera continua en 0, habrı´a ε > 0 y una sucesio´n (xn) en F tal
que xn→ 0 en F pero ‖ψ(xn)‖2 ≥ ε .
Sea yn := xn/‖ψ(xn)‖2 para n ∈ N; entonces (yn) es una sucesio´n en F tal que yn → 0
mientras ‖ψ(yn)‖2 = 1, es decir, ψ(yn) ∈ Sm−1 = { t ∈ Rm : ‖t‖2 = 1}.
La esfera unitaria Sm−1 es compacta, por ser acotada y cerrada en Rm. Luego, (ψ(yn))
posee una subsucesio´n convergente ψ(ynr)→ s ∈ Sm−1. La continuidad de ϕ implica que
ynr → ϕ(s), ası´ que ϕ(s) = 0 y por ende s = 0; lo cual es imposible. Se concluye que ψ es
continua en 0; por su linealidad, ψ es continua en todo F .
Corolario 2.91. Dos normas cualesquiera ‖·‖ y |||·||| sobreRm son equivalentes, en el sentido
de que hay constantes m, M con 0 < m ≤M < ∞ tales que m‖t‖ ≤ |||t||| ≤M ‖t‖ para todo
t ∈ Rm.
Demostracio´n. Basta mostrar el resultado en el caso particular de |||·||| = ‖ · ‖2. Si F denota
Rm dotado de la otra norma ‖ · ‖, con la misma base esta´ndar {e1, . . . ,en} la demostracio´n
del Lema 2.90 muestra que los isomorfismos lineales ϕ y su inverso ψ son continuas; en
particular, son continuas en 0.
Al usar la misma base vectorial enRm y en F , ϕ y ψ coinciden con la aplicacio´n identidad
sobre Rm. La continuidad de ψ en 0 dice que ‖t‖2 ≤M ‖t‖ para algu´n M > 0; la continuidad
de ϕ en 0 dice que ‖t‖ ≤C‖t‖2 para algu´n C > 0; to´mese m := 1/C.
29Para espacios normados complejos, los mismos argumentos son aplicables, con C en lugar de R.
MA–704: Topologı´a 66
Lema 2.92. Si E es un espacio normado infinitodimensional y si F ≤ E es un subespacio
vectorial finitodimensional, entonces F es una parte cerrada de E.
Demostracio´n. Sea m := dimF . El Lema 2.90 dice que hay un homeomorfismo lineal entre
Rm y F que entrelaza sus topologı´as me´tricas; luego F es completo en la norma de E porque
Rm es completo en la norma euclidiana.
Si x ∈ F , entonces hay una sucesio´n (xn) en F tal que xn → x. La sucesio´n (xn) es de
Cauchy, por ser convergente en E, ası´ que converge en F ; luego x ∈ F .
Lema 2.93. Un espacio de Banach infinitodimensional tiene dimensio´n no numerable.
Demostracio´n. Sea E un espacio normado de dimensio´n infinito pero numerable; entonces
E posee una base vectorial numerable {vn : n ∈ N}. Sea Fn := lin〈v1, . . . ,vn〉 el subespacio
n-dimensional generado por los primeros n vectores de esta base. Es evidente que E es la
unio´n creciente de esta cadena de subespacios, E = ↑⋃n∈NFn.
Por el Lema 2.92, cada Fn es cerrado en E. Adema´s, Fn tiene interior vacı´o: si x ∈ Fn y
ε > 0, el vector y := x+ 12ε vn+1 queda en B(x;ε)\Fn, ası´ que ningu´n vecindario abierto de x
esta´ incluido en Fn. Entonces Fn es nunca denso en E.
Por lo tanto, E = ↑⋃n∈NFn es magro. Si E fuera un espacio de Banach, serı´a un espacio
de Baire por el Teorema 2.85; pero un espacio de Baire (no vacı´o) no puede ser magro, por el
Lema 2.82(c). En consecuencia, E no puede ser un espacio de Banach.
Ejemplo 2.94. El espacio vectorial R[X ] := lin〈Xn : n ∈ N〉, de todos los polinomios reales
en un indeterminado X , no puede ser completo en norma alguna. ♦
Un espacio normado real (o complejo) infinitodimensional no es localmento compacto,
en vista del siguiente resultado.30
Lema 2.95 (Riesz). Sea F un subespacio cerrado de un espacio normado E, con F 6=E. Para
todo t ∈ (0,1), hay un punto xt ∈ E tal que ‖xt‖= 1 pero d(xt ,F) := infy∈F ‖xt− y‖ ≥ 1− t.
Demostracio´n. To´mese z ∈ E \F . Entonces d(z,F) := infy∈F ‖z−y‖> 0; de lo contrario, se
podrı´a hallar una sucesio´n (yn) en F tal que yn→ z.
Escrı´base r := d(z,F). Si 0 < t < 1, hay un punto yt ∈ F tal que ‖z− yt‖ ≤ r/(1− t).
Sea xt := (z− yt)/‖z− yt‖. Es claro que ‖xt‖= 1. Adema´s, para todo y ∈ F , resulta que
‖xt− y‖=
∥∥z− yt−‖z− yt‖y∥∥
‖z− yt‖ ≥
r
‖z− yt‖ ≥ 1− t.
30El Lema 2.95 aparecio´ en el artı´culo: Frigyes Riesz, U¨ber lineare Funktionalgleichungen, Acta Mathema-
tica 41 (1918), 71–98. En un espacio de Hilbert, es posible hallar un vector unitario x0 que sea ortogonal a F ,
ası´ que ‖x0‖ = 1, d(x0,F) = 1. En otros espacios de Banach que no admiten el concepto de ortogonalidad, el
Lema de Riesz proporciona una familia de vectores unitarios “casi ortogonales” al subespacio F .
MA–704: Topologı´a 67
Proposicio´n 2.96. Si E es un espacio normado infinitodimensional, su esfera unitaria S :=
{x ∈ E : ‖x‖= 1} no es localmente compacto.
Demostracio´n. To´mese v1 ∈ S. Si F1 := lin〈v1〉, el Lema 2.95 muestra que hay v2 ∈ S tal que
d(v2,F1)≥ 12 .
Si v1, . . . ,vn ∈ S son vectores linealmente independientes tales que ‖vi−v j‖≥ 12 para i 6= j
en {1,2, . . . ,n}, y si Fn := lin〈v1, . . . ,vn〉, el Lema 2.95 produce vn+1 ∈ S con d(vn+1,Fn)≥ 12 .
Por induccio´n, se ha creado una sucesio´n (vn)n∈N en S cuyas entradas cumplen ‖vi−v j‖ ≥ 12
para i 6= j en N.
Esta sucesio´n (vn) no puede tener una subsucesio´n de Cauchy, ni tampoco una sub-
sucesio´n convergente. Por lo tanto, S no es compacto, ni siquiera totalmente acotado.
Corolario 2.97. Un espacio normado infinitodimensional no es localmente compacto.
Demostracio´n. Sea E un espacio normado. Si algu´n x ∈ E posee un vecindario compacto K,
hay ε > 0 tal que K incluye la bola abierta B(x;ε). Esto implica31 que B(x;ε) ⊆ K. Luego,
la bola cerrada B(x;ε) es compacto. La funcio´n afı´n f : E → E : y 7→ (y− x)/ε es un ho-
meomorfismo, ası´ que la bola unitaria B(0;1) es compacta. La esfera unitaria S es una parte
cerrada de esta bola y por ende tambie´n es compacta. La Proposicio´n 2.96 ahora implica que
E debe ser finitodimensional.
31En un espacio normado, la clausura de la bola abierta B(x;ε) es la bola cerrada B(x;ε). Fı´jese, sin embargo,
que esta afirmacio´n no necesariamente es va´lida para espacios me´tricos en general.
MA–704: Topologı´a 68
3 Introduccio´n a la Homotopı´a
La topologı´a general forma la base de muchos otros subdivisiones de la matema´tica, como
la geometrı´a diferencial, la geometrı´a algebraica y el ana´lisis infinitodimensional. Antes de
aplicar esa teorı´a en dichos campos, hay que enfrentar un problema ba´sico de identificacio´n:
dados dos espacios topolo´gicos en un ejemplo concreto, ¿co´mo saber si son homeomorfos
o no? Una estrategia posible es asociar a los espacios topolo´gicos algunos invariantes (cosas
que coinciden cuando los dos espacios son homeomorfos) que son calculables en forma
explı´cita. Durante el siglo XX, se desarrollaron dos formas de asociar ciertos grupos (en
su mayorı´a, grupos abelianos) a un espacio topolo´gico: la homologı´a y la homotopı´a.
3.1 Una excursio´n sobre categorı´as y funtores
Antes de abordar estas teorı´as que establecen vı´nculos entre la topologı´a y el a´lgebra, con-
viene echar una mirada a una formulacio´n general de las estructuras matema´ticas, que ha sido
denominado la teorı´a de categorı´as. Esta es una manera de sintetizar diversos procedimientos
bajo un esquema general.1
Definicio´n 3.1. Una categorı´a C reu´ne tres cosas:
1. Una clase de objetos Ob(C);
2. una familia de conjuntos HomC(A,B), uno para cada par de objetos A,B ∈ Ob(C); los
elementos de HomC(A,B) se llaman morfismos de A en B;
3. una familia de aplicaciones
HomC(A,B)×HomC(B,C)→ HomC(A,C),
llamada composicio´n de morfismos, para cada triple de objetos A,B,C ∈ Ob(C); la
composicio´n de f ∈ HomC(A,B) y g ∈ HomC(B,C) se denota por g f ∈ HomC(A,C).
Estos datos deben cumplir tres requisitos:
(a) Los conjuntos de morfismos HomC(A,B) son disjuntos: cada morfismo f determina
unı´vocamente dos objetos A,B tales que f ∈ HomC(A,B).
(b) Para cada objeto A ∈ Ob(C) existe un u´nico morfismo ide´ntico 1A ∈ HomC(A,A) tal
que f 1A = f para todo f ∈ HomC(A,B) y 1A g = g para todo g ∈ HomC(C,A).
1El trabajo germinal fue el artı´culo de: Samuel Eilenberg y Saunders MacLane, General theory of natural
equivalences, Transactions of the American Mathematical Society 58 (1945), 231–294. En este ensayo el
te´rmino “categorı´a” fue introducido por primera vez, ame´n de los conceptos de “funtor” y “transformacio´n
natural”, con gran cantidad de ejemplos. Las notaciones usuales para categorı´as siguen el libro de referencia:
Sergei I. Gelfand y Yuri I. Manin, Methods of Homological Algebra, Springer, Berlin, 2003.
MA–704: Topologı´a 69
(c) La composicio´n es asociativa: si f ∈HomC(A,B), g∈HomC(B,C) y h∈HomC(C,D),
entonces
h(g f ) = (hg) f en HomC(A,D).
Ejemplo 3.2. La categorı´a ma´s sencilla es Set, cuyos objetos son los conjuntos. Los morfis-
mos en HomSet(X ,Y ) son las funciones f : X → Y .
En muchas categorı´as, los morfismos son funciones: la notacio´n g ◦ f es usada como
sino´nimo de g f . En lugar de decir “ f ∈ HomC(A,B)”, es co´modo escribir f : A→ B, aun
cuando f no sea una funcio´n de A en B. ♦
Ejemplo 3.3. En la categorı´a Gr de grupos (cuyos objetos son los grupos, desde luego) los
morfismos en HomGr(G,H) son los homomorfismos de grupos ϕ : G→ H.
La categorı´a Ab de los grupos abelianos es una subcategorı´a de Gr, es decir, todos los ob-
jetos y morfismos de Ab son objetos y morfismos (respectivamente) de Gr. Esta subcategorı´a
es plena, por cuanto HomAb(G,H) = HomGr(G,H) cuando G y H son grupos abelianos. ♦
Ejemplo 3.4. En la categorı´a An de anillos, los morfismos en HomAn(A,B) son los homo-
morfismos de anillos ψ : A→ B.
Si A es un anillo, los A-mo´dulos (a la izquierda) son los objetos de una categorı´a AMod: en
este caso se escribe HomA(M,N) en vez de HomAMod(M,N) para denotar los homomorfismos
de A-mo´dulos ϕ : M→ N.
(Un Z-mo´dulo es simplemente un grupo abeliano; ası´ que An = ZMod.) ♦
Ejemplo 3.5. Hay una categorı´a Top cuyos objetos son los espacios topolo´gicos. Los mor-
fismos en HomTop(X ,Y ) son todas las funciones continuas f : X → Y . ♦
Un morfismo f ∈ HomC(A,B) es un isomorfismo si posee un morfismo inverso g ∈
HomC(B,A) tal que g f = 1A, f g = 1B. Es fa´cil ver que este morfismo inverso, si existe, es
u´nico. En las categorı´a Set, un isomorfismo es simplemente una biyeccio´n; en las categorı´as
Gr y Ab, es un isomorfismo de grupos; en la categorı´a Top, es un homeomorfismo.
Ejemplo 3.6. Hay una categorı´a Top∗ cuyos objetos son los espacios topolo´gicos puntua-
dos.2 Un objeto en Top∗ es un par (X , p) donde X es un espacio topolo´gico con p ∈ X . Un
morfismo f : (X , p)→ (Y,q) es una funcio´n continua f : X → Y tal que f (p) = q.
Ma´s generalmente, hay una categorı´a TopPar de pares de espacios topolo´gicos cuyos
objetos son pares (X ,A) donde X es un espacio topolo´gico y A⊆X (con la topologı´a relativa).
Un morfismo f : (X ,A)→ (Y,B) es una funcio´n continua f : X → Y tal que f (A)⊆ B. ♦
Ejemplo 3.7. Si Ob(C) es un conjunto, dı´cese que C es una categorı´a pequen˜a. Por ejemplo,
sea J un conjunto parcialmente ordenado. Los elementos de J son los objetos de una categorı´a
2Un nombre menos inelegante serı´a “espacios topolo´gicos con un punto distinguido”.
MA–704: Topologı´a 70
pequen˜a J, donde HomJ(i, j) := { f ji} (un solo morfismo) si i ≤ j, mientras HomJ(i, j) := /0
si i 6≤ j.
Fı´jese que para todo j∈ J, vale 1k = fkk ∈HomJ(k,k), por reflexividad. De la transitividad
del orden parcial, se obtiene fk j f ji = fki si i ≤ j ≤ k. La composicio´n de morfismos es
asociativa, por la unicidad del morfismo fli, si i≤ j ≤ k ≤ l. ♦
Ejemplo 3.8. Sea (X ,T) un espacio topolo´gico. Entonces hay una categorı´a pequen˜a TopX
donde Ob(TopX) = T; sus objetos son los abiertos en X . Si U ⊆V en T, sea iVU : U ↪→V la
inclusio´n y defı´nase HomTopX (U,V ) := {iVU} (un solo morfismo). Si U , V son abiertos en X
con U 6⊆V , to´mese HomTopX (U,V ) := /0 (ningu´n morfismo). ♦
Ejemplo 3.9. Para n ∈ N, escrı´base [n] := {0,1,2, . . . ,n}. Una funcio´n f : [m]→ [n] es cre-
ciente (a veces, “no decreciente”) si f ( j− 1) ≤ f ( j) para j = 1, . . . ,m. Hay una categorı´a
pequen˜a ∆ dada por Ob(∆) := { [n] : n ∈ N}, donde cada Hom∆([m], [n]) es el conjunto de
funciones crecientes f : [m]→ [n]. ♦
Definicio´n 3.10. Si C es cualquier categorı´a, C◦ denota la categorı´a opuesta definida por
Ob(C◦) := Ob(C), HomC◦(A,B) := HomC(B,A).
Es decir, C◦ posee los mismos objetos que C pero “las flechas apunten en la direccio´n con-
traria”. Si f ◦ denota (por esta sola vez) el morfismo f ∈HomC(A,B) visto como elemento de
HomC◦(B,A), entonces la ley de composicio´n en C◦ es f ◦g◦ := (g f )◦.
I En seguida, hay que considerar correspondencias entre dos categorı´as. Hay que advertir,
como los objetos de una categorı´a forman una clase que no es necesariamente un conjunto,
las aplicaciones entre dichas clases no siempre son funciones en el sentido ordinario. Sin
embargo, los morfismos entre dos objetos sı´ forman conjuntos: y al final de cuentas, lo ma´s
importante es hacer corresponder los morfismos. Esta circunstancia motivo´ a Eilenberg y
MacLane a introducir el concepto siguiente.
Definicio´n 3.11. Un funtor covariante F de una categorı´a C en otra categorı´a D consta de:
? una aplicacio´n Ob(C)→ Ob(D) : A 7→ FA; y
? una familia de funciones HomC(A,B)→ HomD(FA,FB) : ϕ 7→ Fϕ;
que cumplen las siguientes condiciones:
(a) F(ψϕ) = (Fψ)(Fϕ), toda vez que ϕ ∈ HomC(A,B), ψ ∈ HomC(B,C);
(b) F1A = 1FA para todo A ∈ Ob(C).
Se escribe F : C→ D si F es un funtor de C en D.
MA–704: Topologı´a 71
Definicio´n 3.12. Un funtor contravariante de una categorı´a C en otra categorı´a D se define
como un funtor covariante G : C◦→ D.
La aplicacio´n Ob(C)→Ob(D) : A 7→ GA y las HomC(A,B)→HomD(GB,GA) : ϕ 7→ Gϕ
cumplen
(a′) G(ψϕ) = (Gϕ)(Gψ), toda vez que ϕ ∈ HomC(A,B), ψ ∈ HomC(B,C);
(b′) G1A = 1GA para todo A ∈ Ob(C).
En otras palabras, un funtor contravariante “revierte el sentido de las flechas”.
Ejemplo 3.13. Si C es una categorı´a cuyos objetos son conjuntos y cuyos morfismos son
aplicaciones entre los conjuntos respectivos, hay un funtor olvidadizo F : C→ Set dado por
FA := A y Fϕ := ϕ para A ∈ Ob(C), ϕ ∈ HomC(A,B). ♦
Ejemplo 3.14. Si X es un conjunto, escrı´base P(X) := 2X para denotar el conjunto de todas
las partes de X . Dada una funcio´n f : X → Y , defı´nase P f : A 7→ f (A)⊆ Y para todo A⊆ X .
Estas correspondencias X 7→P(X), f 7→P f definen un funtor covariante P : Set→ Set. ♦
Ejemplo 3.15. Para n ∈ N, el sı´mplice de dimensio´n n es el conjunto3
∆n := { t = (t0, . . . , tn) ∈ Rn+1 : t j ≥ 0, t0+ · · ·+ tn = 1}.
Los vectores {e0,e1, . . . ,en}, que forman la base esta´ndar de Rn+1, son los ve´rtices de ∆n.
(El sı´mplice ∆n es la envoltura convexa de estos ve´rtices.) Si I ⊆ [n], la faceta I-e´sima
de ∆n es el conjunto convexo { t ∈ ∆n : t j = 0 para j /∈ I }. Si #(I) = m+ 1, hay una u´nica
funcio´n (estrictamente) creciente f : [m]→ [n] que se extiende a una funcio´n lineal inyectiva
∆ f : ∆m→ ∆n cuya imagen es la faceta I-e´sima de ∆n.
Si f : [m]→ [n] es creciente pero no estrictamente creciente (por ejemplo, si m > n), la
extensio´n lineal ∆ f de f no es inyectiva.
Las correspondencias [n] 7→ ∆n, f 7→ ∆ f definen un funtor covariante ∆→ Set que lleva
los morfismos estrictamente crecientes de ∆ en las inserciones de facetas en sı´mplices de
mayor dimensio´n. ♦
Ejemplo 3.16. Si G es un grupo, no necesariamente abeliano, se sabe que el subgrupo G′
generado por productos finitos de conmutadores ghg−1h−1 es un subgrupo normal de G y
que el cociente α(G) := G/G′ es un grupo abeliano. Si ϕ : G→ H es un homomorfismo de
grupos, es claro que ϕ(G′)⊆H ′, lo cual induce un homomorfismo αϕ = ϕ¯ : G/G′→H/H ′.
De este modo, se define un funtor α : Gr→ Ab, llamado abelianizacio´n. ♦
3La palabra sı´mplice no esta´ en el Diccionario de la Real Academia; es una traduccio´n ad hoc de simplex, en
latı´n. Algunos autores escriben simplejo, por analogı´a con “complejo” como traduccio´n de complex; preferimos
no ser co´mplices en ese adefesio lingu¨ı´stico.
MA–704: Topologı´a 72
Ejemplo 3.17. Hay un funtor covariante H0 : Top→Ab que asocia a cada espacio topolo´gico
X el grupo abeliano libre H0(X) generado por las componentes conexas de X . (Un elemento
de dicho grupo es una suma finita ∑ j n jC j donde los C j son las componentes conexas de X y
cada n j ∈ Z, con la regla de adicio´n obvia.)
Si f : X → Y es una funcio´n continua y C es una componente conexa de X , entonces
f (C) es una parte conexa de Y ; como tal, hay una u´nica componente conexa C′ de Y tal que
f (C) ⊆ C′. Defı´nase H0 f : H0(X)→ H0(Y ) por H0 f (C) := C′; esta receta se extiende por
aditividad a un homomorfismo de grupos abelianos. Es fa´cil verificar que H0 es un funtor,
llamado la homologı´a en grado cero. (Ma´s adelante, este funtor aparecera´ como el primero
de una familia de “funtores de homologı´a” de Top en Ab.) ♦
Definicio´n 3.18. Si C es una categorı´a y si A ∈ Ob(C), hay un funtor covariante de C en Set,
denotado hA : B 7→ HomC(A,B), dado por composicio´n de morfismos (a la izquierda): para
cada morfismo g ∈ HomC(B,C), escrı´base
g∗ ≡ hA(g) : f 7→ g f : HomC(A,B)→ HomC(A,C).
Si h ∈ HomC(C,D), entonces hA(hg) : f 7→ hg f compone f 7→ g f con g f 7→ hg f , ası´ que
(hg)∗ = hA(hg) = hA(h)◦hA(g) = h∗ ◦g∗ .
Si B ∈Ob(C), hay un funtor contravariante de C en Set, denotado hB : A 7→HomC(A,B),
dado por composicio´n de morfismos a la derecha: para cada morfismo k ∈ HomC(C,D),
escrı´base
k∗ ≡ hB(k) : f 7→ f k : HomC(D,B)→ HomC(C,B).
Si l ∈ HomC(A,C), entonces hB(kl) : f 7→ f kl compone f 7→ f k con f k 7→ f kl, de modo que
(kl)∗ = hB(kl) = hB(l)◦hB(k) = l∗ ◦ k∗ .
Una de las motivaciones para considerar el funtor hB : C◦ → Set es la de generalizar el
concepto de punto. Si X es un conjunto y P = {p} es un conjunto solitario, los puntos de X
esta´n dados por las funciones en HomSet(P,X). En otras categorı´as conviene considerar los
morfismos de todo objeto posible A en un objeto dado B; los morfismos en HomC(A,B) a
veces se llaman A-puntos de B.
I Un funtor relaciona dos categorı´as, conservando sus estructuras (objetos, morfismos, ley
de composicio´n). Tambie´n es posible relacionar dos funtores F : C→D, G : C→D entre dos
categorı´as dadas.
Definicio´n 3.19. Una transformacio´n natural entre dos funtores F,G : C→D es una familia
de morfismos θA ∈ HomD(FA,GA), uno para cada A ∈ Ob(C), que satisfacen
Gϕ ◦θA = θB ◦Fϕ, para cada ϕ ∈ HomC(A,B).
MA–704: Topologı´a 73
Dicho de otro modo: para cada ϕ ∈ HomC(A,B), el siguiente diagrama es conmutativo:4
FA
FB
GA
GB
θA
Fϕ
θB
Gϕ
Se escribe θ : F→ G, en forma abreviada. Se dice que θ es un isomorfismo natural si cada
θA es un isomorfismo en la categorı´a D.
En sı´ntesis, hay una categorı´a Fun(C,D) cuyos objetos son los funtores F : C → D y
cuyos morfismos son las transformaciones naturales θ : F → G. Cada funtor conlleva la
transformacio´n ide´ntica 1F : A 7→ 1FA; la ley de composicio´n esta´ dada por (θη)A := θA ◦ηA
para A∈Ob(C). Por eso, una transformacio´n natural tambie´n se llama morfismo de funtores.
I El siguiente lema sobre funciones entre conjuntos permite reformular los conceptos de
inyectividad y sobreyectividad de una manera puramente algebraica.
Lema 3.20. Una funcio´n f : X → Y puede componerse con funciones g,h : W → X o bien
con funciones k, l : Y → Z. Entonces:
(a) f es inyectiva si y so´lo si f ◦g = f ◦h =⇒ g = h (cancelacio´n de f a la izquierda);
(b) f es sobreyectiva si y so´lo si k ◦ f = l ◦ f =⇒ k = l (cancelacio´n de f a la derecha).
Demostracio´n. Ad(a): Si f es inyectiva y si w ∈W , vale f (g(w)) = f (h(w)) si y so´lo si
g(w) = h(w); luego f ◦g = f ◦h implica g = h.
Inversamente, si f es cancelable a la izquierda, sean x1,x2 ∈ X tales que f (x1) = f (x2)
en Y . Sea 1 := {0} un conjunto solitario y defı´nase g,h : 1→ X por g(0) := x1, h(0) := x2.
Entonces f ◦ g(0) = f ◦ h(0), ası´ que f ◦ g = f ◦ h, luego g = h por hipo´tesis y por tanto
x1 = x2.
Ad(b): Si f es sobreyectiva, entonces Y = { f (x) : x∈ X }; luego, vale k( f (x)) = l( f (x))
para todo x ∈ X si y so´lo si k(y) = l(y) para todo y ∈ Y ; es decir, k ◦ f = l ◦ f implica k = l.
Inversamente, si f es cancelable a la derecha, defı´nase k, l : Y → {0,1} por k(y) := 0 si
y ∈ f (X); k(y) := 1 si y /∈ f (X); mientras l(y) := 0 para todo y ∈ Y . Es claro que k( f (x)) =
l( f (x)) = 0 para todo x ∈ X , de modo que k◦ f = l ◦ f ; se concluye que k = l, lo cual implica
que f (X) = Y , es decir, f es sobreyectiva.
4Un diagrama es conmutativo si cada cadena de flechas que une dos ve´rtices dados tiene la misma com-
posicio´n.
MA–704: Topologı´a 74
Definicio´n 3.21. En una categorı´a C, f ∈ HomC(A,B) es un monomorfismo (o bien: f es
mo´nico) si f g = f h =⇒ g = h toda vez que g,h ∈ HomC(D,A) con D ∈ Ob(C).
Por otro lado, un morfismo f ∈ HomC(A,B) es un epimorfismo (o bien: f es e´pico) si
k f = l f =⇒ k = l toda vez que k, l ∈ HomC(B,C) con C ∈ Ob(C).
En la terminologı´a de la Definicio´n 3.18, resulta que
? f es mo´nico si y so´lo si f∗ : HomC(D,A)→ HomC(D,B) es inyectivo para todo D;
? f es e´pico si y so´lo si f ∗ : HomC(B,C)→ HomC(A,C) es inyectivo para todo C.
Dı´cese que un morfismo f ∈HomC(A,B) es un isomorfismo si posee un morfismo inverso
g ∈ HomC(B,A) tal que g f = 1A y f g = 1B. (Este morfismo inverso, si existe, es u´nico.) Es
fa´cil ver que cada isomorfismo es a la vez mo´nico y e´pico.
3.2 El concepto de homotopı´a
En esta subseccio´n, se escribe I := [0,1] para denotar el intervalo compacto enR cuya frontera
es ∂ I := {0,1}.
Definicio´n 3.22. Dos funciones continuas f0, f1 : Z → X se llaman homoto´picas, escrito
f0 ' f1, si hay una funcio´n continua F : Z× I→ X tal que
F(z,0) = f0(z) y F(z,1) = f1(z) para todo z ∈ Z.
Esta funcio´n F es una homotopı´a entre f0 y f1.
p
q
f0
f1
•
•
Para cada t ∈ I, sea ft(z) := F(z, t). Estas tajadas { ft : 0≤ t ≤ 1} forman una familia de
funciones continuas ft : Z→ X cuyos miembros extremos son f0 y f1. La continuidad de F
en sus dos variables conjuntamente (es decir, su continuidad sobre el dominio Z× I con la
topologı´a del producto) implica que t 7→ ft es una aplicacio´n continua de I en C(Z,X). En
otras palabras, una homotopı´a entre f0 y f1 define un camino continuo en C(Z,X) entre estos
dos extremos.5
5Para asegurar la continuidad del camino t 7→ ft , hay que precisar cua´l es la topologı´a de C(Z,X). Para
K ⊆ Z compacto y U ⊆ X abierto, sea S(K,U) := {g ∈C(Z,X) : g(K) ⊆U }. Las partes S(K,U) forman una
subbase para la llamada topologı´a compacto-abierta; con esa topologı´a, la homotopı´a F determina un camino
continuo f• : I→C(Z,X).
MA–704: Topologı´a 75
Definicio´n 3.23. Si f0, f1 : Z→ X son dos funciones continuas tales que f0(z) = f1(z) para
z ∈C ⊆ Z, una homotopı´a entre f0 y f1 relativa a C es una homotopı´a F : Z× I→ X (cuyas
tajadas extremas son f0 y f1) tal que ft(z) = f0(z) = f1(z) para todo z ∈ C, t ∈ I. Si tal F
existe, se escribe: f0 ' f1 rel C.
En particular, si f0, f1 : I→ X son dos caminos en X con el mismo punto inicial f0(0) =
f1(0) = p y el mismo punto final f0(1) = f1(1) = q, una homotopı´a de caminos es una
homotopı´a F entre f0 y f1 relativa a ∂ I = {0,1}. La funcio´n continua F : I× I→ X cumple:
F(s,0) = f0(z), F(0, t) = p,
F(s,1) = f1(z), F(1, t) = q,
}
para todo s, t ∈ I.
Si existe tal homotopı´a de caminos F , se escribe f0 '˙ f1 (en lugar de: f0 ' f1 rel ∂ I).
Lema 3.24. La homotopı´a y la homotopı´a de caminos son relaciones de equivalencia.
Demostracio´n. Basta mostrar, para miembros de C(Z,X) que coinciden sobre una determi-
nada parte C ⊆ X , que la homotopı´a relativa, ' rel C, es una relacio´n de equivalencia. Los
casos del enunciado son (a) C = /0; y (b) Z = I, C = ∂ I.
Reflexividad: Para obtener f ' f rel C, basta tomar F(z, t) := f (z) para todo z ∈ Z, t ∈ I.
Simetrı´a: Si f0 ' f1 rel C mediante una homotopı´a F , defı´nase
G(z, t) := F(z,1− t).
La continuidad de G = F ◦ϕ es evidente, porque ϕ : (z, t) 7→ (z,1− t) es un homeomorfismo
de Z× I. Tambie´n es claro que g0 = f1 y g1 = f0 y que gt = f1−t coincide con f0 y f1 sobre C.
Luego f1 ' f0 rel C mediante la homotopı´a G.
Transitividad: Si f0' f1 rel C y adema´s f1' f2 rel C mediante las homotopı´as respectivas
F y G, defı´nase H : Z× I→ X por
H(z, t) :=
{
F(z,2t) si 0≤ t ≤ 12 ,
G(z,2t−1) si 12 ≤ t ≤ 1.
Para t = 12 , vale F(z,1) = f1(z) =G(z,0), ası´ que H esta´ bien definida sobre Z×I. Las restric-
ciones de H tanto a Z× [0, 12 ] como a Z× [12 ,1] son funciones continuas; y estas restricciones
coinciden sobre el dominio comu´n Z×{12}. Luego H es continua sobre Z× I. Es claro que
h0 = f0 y h1 = f2, mientras ht(z) = f0(z) = f1(z) = f2(z) para z ∈ C. Luego f0 ' f2 rel C
mediante la homotopı´a H.
Lema 3.25. Si f0 ' f1 en C(Z,X) y si g0 ' g1 en C(X ,Y ), entonces g0 ◦ f0 ' g1 ◦ f1 en
C(Z,Y ).
MA–704: Topologı´a 76
Demostracio´n. Por transitividad de la relacio´n de homotopı´a en C(Z,Y ), basta mostrar que
g0 ◦ f0 ' g0 ◦ f1 y que g0 ◦ f1 ' g1 ◦ f1.
Si F : Z× I → X es una homotopı´a entre f0 y f1, entonces g0 ◦F : Z× I → Y es una
homotopı´a entre g0 ◦ f0 y g0 ◦ f1.
Si G : X × I → Y es una homotopı´a entre g0 y g1, defı´nase f˜1 ∈ C(Z × I,X × I) por
f˜1(z, t) := ( f1(z), t). Entonces G◦ f˜1 : Z× I→Y es una homotopı´a entre g0 ◦ f1 y g1 ◦ f1.
Corolario 3.26. Si f0 '˙ f1 en C(I,X) y si g ∈C(X ,Y ), entonces g◦ f0 '˙ g◦ f1 en C(I,Y ).
Demostracio´n. Basta observar que si F es una homotopı´a entre f0 y f1 tal que ft(0) = f0(0)
y ft(1) = f0(1) para todo t, entonces g( ft(0)) = g( f0(0)) y g( ft(1)) = g( f0(1)) para todo t.
La homotopı´a g◦F : I× I→ Y entonces muestra que g◦ f0 ' g◦ f1 rel ∂ I.
Definicio´n 3.27. Si X , Y son espacios topolo´gicos, sea [ f ] la clase de homotopı´a de f ∈
C(X ,Y ). Hay un convenio de denotar la totalidad de estas clases de homotopı´a por [X ,Y ]; este
es el conjunto cociente C(X ,Y )/'. El Lema 3.25 asegura que las clases de homotopı´a tiene
una regla de composicio´n: [g] [ f ] := [g ◦ f ], para [ f ] ∈ [Z,X ] y [g] ∈ [X ,Y ], es un elemento
bien definido de [Z,Y ].
Entonces, hay una categorı´a Htp cuyos objetos son todos los espacios topolo´gicos, pero
los morfismos son las clases de homotopı´a de funciones continuas: HomHtp(X ,Y ) = [X ,Y ].
Este es un ejemplo de una categorı´a cuyos morfismos no son funciones, pero todas las reglas
de “composicio´n de flechas” siguen va´lidas como si fueran funciones.
Las asignaciones HX := X , H f := [ f ] definen un funtor H : Top→ Htp.
Definicio´n 3.28. Una funcio´n continua f : X → Y es una equivalencia de homotopı´a si [ f ]
es un isomorfismo en la categorı´a Htp. En otras palabras: hay un morfismo [g] ∈ [Y,X ] tal
que [g] [ f ] = [1X ] y [ f ] [g] = [1Y ]. Ma´s explı´citamente, hay una funcio´n continua g ∈C(Y,X)
tal que g◦ f ' 1X y f ◦g' 1Y .
Dos espacios topolo´gicos X , Y son homoto´picamente equivalentes (o del mismo tipo
de homotopı´a) si son isomorfos en la categorı´a Htp; esto es, si hay una equivalencia de
homotopı´a f : X → Y .
Un espacio topolo´gico X es contractible si la aplicacio´n identidad 1X es homoto´pica a
una funcio´n constante: 1X ' c, donde c : X → X tiene imagen puntual {p}.
Ejemplo 3.29. El cı´rculo S1 y el cilindro recto circular S1× I no son homeomorfos, pero sı´
son homoto´picamente equivalentes. Sea j : S1→ S1× I : z 7→ (z,0) la inclusio´n del cı´rculo
como la base inferior del cilindro; y sea p : S1× I → S1 : (z,s) 7→ z. Entonces p ◦ j = 1S1
obviamente. Por otro lado, j ◦ p es la proyeccio´n del cilindro sobre su base inferior. Defı´nase
F(z,s, t) := (z,st); esta es una homotopı´a, evidentemente continua, de f0 = j ◦ p en f1 =
1S1×I . Se concluye que j ◦ p ' 1S1×I . Observe´se que F es una homotopı´a relativa a la base
inferior S1×{0}.
MA–704: Topologı´a 77
S1
S1× I
j
p
Ma´s generalmente, un subespacio A⊆ X es una retraccio´n de X si la inclusio´n i : A X
tiene un inverso a la izquierda r : X→A en la categorı´a Top; es decir, r es continua y r◦ i= 1A.
Dı´cese que A es una retraccio´n por deformacio´n si i ◦ r ' 1X . Por lo visto, una retraccio´n
por deformacio´n de X es del mismo tipo de homotopı´a que el espacio X . ♦
Lema 3.30. Un espacio topolo´gico X es contractible si y so´lo si es homoto´picamente equi-
valente a un punto {p}.
Demostracio´n. Si X es contractible, hay una homotopı´a F entre 1X y una funcio´n constante c
con c(x) = x0 para algu´n x0 ∈ X . Si A= {x0}, sea i : A X la inclusio´n. Entonces c◦ i= 1A,
mientras i◦ c' 1X mediante F .
Por otro lado, si el espacio puntual P = {p} es homoto´picamente equivalente a X , hay
equivalencias de homotopı´a f : X → P y g : P→ X tales que g ◦ f ' 1X y f ◦ g ' 1P. (De
hecho, en este caso f ◦g = 1P porque no hay otra alternativa.) La funcio´n c := g◦ f : X → X
es la funcio´n constante de valor g(p) y vale c' 1X .
Ejemplo 3.31. El espacio vectorial Rn es contractible, para cada n∈N. En efecto, la funcio´n
F : Rn× I→ Rn : (x, t) 7→ tx es una homotopı´a entre 1Rn y la funcio´n constante 0.
Del mismo modo, la bola unitaria cerrada Bn := {x ∈ Rn : ‖x‖ ≤ 1} es tambie´n con-
tractible. ♦
3.3 El grupo fundamental de un espacio puntuado
Los caminos f : I→ X en un espacio topolo´gico X esta´n ligados (literalmente) por una ope-
racio´n llamado concatenacio´n6 o simplemente producto.
Definicio´n 3.32. Si f : I→ X es un camino de p a q y si g : I→ X es un camino de q a r, su
producto f ∗g (“ f seguido por g”) es el camino h de p a r dado por
h(s) :=
{
f (2s) si 0≤ s≤ 12 ,
g(2s−1) si 12 ≤ s≤ 1.
6La palabra concatenacio´n significa “unio´n en cadena”.
MA–704: Topologı´a 78
Lema 3.33. Si f0, f1 son caminos en X de p a q y si g0, g1 son caminos de q a r, tales que
f0 '˙ f1 y g0 '˙ g1, entonces f0 ∗g0 '˙ f1 ∗g1.
Demostracio´n. Sea F una homotopı´a de caminos entre f0 y f1 y sea G una homotopı´a de
caminos entre g0 y g1. Defı´nase H : I× I→ X por
H(s, t) :=
{
F(2s, t) si 0≤ s≤ 12 ,
G(2s−1, t) si 12 ≤ s≤ 1.
Fı´jese que H esta´ bien definida porque F(1, t) = x1 = G(0, t) pata todo t. Es fa´cil comprobar
ahora que H es una homotopı´a de caminos entre f0 ∗g0 y f1 ∗g1.
F G
f0 g0
f1 g1
El cuadro arriba ilustra el dominio I× I de la homotopı´a H, con coordenadas (s, t).
Si [ f ] ahora denota la clase de homotopı´a del camino f (para la relacio´n '˙ de equivalen-
cia), el producto de clases [ f ]∗ [g] := [ f ∗g] esta´ bien definido, pero solamente para caminos
que son concatenables —esto es, cuando f (1) = g(0). Para obtener un producto de clases sin
esta restriccio´n,7 conviene considerar el caso de los caminos que empiezan y termina en el
mismo punto.
Definicio´n 3.34. Sea X un espacio topolo´gico; elı´jase un punto p ∈ X , arbitrario pero fijo,8
llamado punto de base del espacio puntuado (X , p). Un camino f : I → X tal que f (0) =
f (1) = p se llama un lazo basado en p.
Lema 3.35. Las clases de homotopı´a de los lazos basados en p forman un grupo.
Demostracio´n. Hay que mostrar que la operacio´n de producto [ f ]∗ [g] := [ f ∗g] (a) posee un
elemento unidad; (b) es asociativa; y (c) tiene un inverso para cada clase.
Ad(a): El elemento unidad es, desde luego, la clase 1 := [c] del lazo constante: c(s) = p
para 0≤ s≤ 1. Hay que comprobar que [ f ∗ c] = [ f ] = [c∗ f ], es decir, que f ∗ c '˙ f '˙ c∗ f ,
para cada lazo f basado en p.
7Las clases de caminos en X , sin restriccio´n alguna sobre sus puntos extremos, forman un grupoide, llamado
el grupoide fundamental de X . Un grupoide es un conjunto con una multiplicacio´n parcialmente definida, pero
asociativa y con unidades e inversos; ma´s formalmente, un grupoide es una categorı´a pequen˜a en donde cada
morfismo es un isomorfismo.
8Si el espacio X es conexo por caminos, la discusio´n que sigue no depende de la posicio´n de p.
MA–704: Topologı´a 79
p
f
f
f
p
f
f
f
Una homotopı´a de caminos F entre f ∗ c y f viene dada por
F(s, t) :=
{
f (2s/(1+ t)) si 0≤ s≤ 12(1+ t),
p si 12(1+ t)≤ s≤ 1.
Para el caso de f '˙ c∗ f , hay una homotopı´a similar (ve´ase el cuadro anterior).
Ad(b): Para la asociatividad, hay que mostrar que ( f ∗g)∗h '˙ f ∗ (g∗h) cuando f ,g,h
son tres lazos basados en p.
f g h
f g h
f g h
He aquı´ una homotopı´a de caminos G que logra ese propo´sito:
G(s, t) :=

f (4s/(1+ t)) si 0≤ s≤ 14(1+ t),
g(4s− t−1) si 14(1+ t)≤ s≤ 14(2+ t),
h((4s− t−2)/(2− t)) si 14(2+ t)≤ s≤ 1.
Ad(c): Dado un lazo f basado en p, su lazo inverso g es dado por f˜ (s) := f (1− s). Hay
que mostrar que f ∗ f˜ '˙ c.
p p
f f˜
f f˜
MA–704: Topologı´a 80
Una homotopı´a de caminos entre f ∗ f˜ y c esta´ dada por
H(s, t) :=

p si 0≤ s≤ 12t,
f (2s− t) si 12t ≤ s≤ 12 ,
f˜ (2−2s− t) si 12 ≤ s≤ 12(2− t),
p si 12(2− t)≤ s≤ 1.
El cambio de variable s 7→ 1− s ahora implica que f˜ ∗ f '˙ c tambie´n.
Definicio´n 3.36. Si (X , p) es un espacio topolo´gico puntuado, el grupo pi1(X , p) de las clases
de homotopı´a de lazos basados en p se llama el grupo fundamental de (X , p).
Lema 3.37. Sea u : I → X un camino en X de p a q y sea u˜ su camino inverso de q a p.
Entonces la correspondencia
βu : pi1(X ,q)→ pi1(X , p) : [ f ] 7→ [u∗ f ∗ u˜]
es un isomorfismo de grupos.
Demostracio´n. Fı´jese que si f es un lazo basado en q, entonces u ∗ f ∗ u˜ es un lazo basado
en p; y que la clase de homotopı´a [u∗ f ∗ u˜] depende so´lo de [ f ], en vista del Lema 3.33. Esto
dice que la correspondencia βu esta´ bien definida.
Si f , g son dos lazos basados en q, entonces
βu[ f ∗g] = [u∗ f ∗g∗ u˜] = [u∗ f ∗ u˜∗u∗g∗ u˜] = βu[ f ]∗βu[g],
ası´ que βu es un homomorfismo de grupos. Del mismo modo, βu˜ : [k] 7→ [u˜∗k∗u] es un homo-
morfismo de grupos de pi1(X , p) en pi1(X ,q), y las identidades βu˜(βu[ f ]) = [ f ] y βu(βu˜[k]) =
[k] muestran que βu es un isomorfismo con inverso βu˜.
En consecuencia, si X es un espacio conexo por caminos, la clase de isomorfismo del
grupo fundamental no depende del punto de base. Sin embargo, los isomorfismos concretos
βu dependen de [u]; aun en este caso, es preferible mantener una mencio´n explı´cita del punto
de base. Dicho de otra manera, se trabaja con la categorı´a de espacios topolo´gicos puntuados.
Definicio´n 3.38. Un espacio topolo´gico X es simplemente conexo si es conexo por caminos
y adema´s pi1(X , p) = 0 es el grupo trivial9 (de un so´lo elemento) para algu´n p ∈ X ; y por
tanto, para todo p ∈ X .
9Algunos autores denotan el grupo trivial por 1, otros por 0. El segundo convenio es ma´s natural para grupos
abelianos. Aunque pi1(X , p) no es abeliano en general, la denotacio´n de su caso trivial por 0 es un convenio
socialmente aceptado.
MA–704: Topologı´a 81
Lema 3.39. En un espacio simplemente conexo, cualquier par de caminos con el mismo
punto inicial y el mismo punto final son homoto´picos.
Demostracio´n. Si X es simplemente conexo y si f , g son dos caminos en X de p a q, entonces
f ∗ g˜ es un lazo basado en p. Sea c el lazo constante basado en p. La hipo´tesis pi1(X , p) = 0
implica que f ∗ g˜ '˙ c, ası´ que [g] = [c∗g] = [ f ∗ g˜∗g] = [ f ].
I La correspondencia entre un espacio puntuado y su grupo fundamental es funtorial. Para
ver eso, hay que asociar establecer la regla de correspondencia entre sus morfismos.
Definicio´n 3.40. Sea h : X → Y una funcio´n continua tal que h(p) = q. Entonces hay un
homomorfismo de grupos h∗ : pi1(X , p)→ pi1(Y,q) dado por h∗[ f ] := [h◦ f ].
En efecto, si f0 '˙ f1 son lazos homoto´picos basados en p y si F : I × I → X es una
homotopı´a entre f0 y f1, entonces h ◦F : I× I → Y es una homotopı´a entre h ◦ f0 y h ◦ f1.
En consecuencia, la aplicacio´n [ f ] 7→ [h◦ f ] esta´ bien definida. La definicio´n del producto de
lazos conlleva la relacio´n h◦ ( f ∗g) = (h◦ f )∗ (h◦g); por lo tanto, h∗ es un homomorfismo
de grupos.
Lema 3.41. Hay un funtor pi1 : Top∗→ Gr dado por (X , p) 7→ pi1(X , p) y por h 7→ h∗.
Demostracio´n. So´lo hay que verificar que pi1 preserva composicio´n de morfismos y respeta
unidades.
Si h : (X , p)→ (Y,q) y g : (Y,q)→ (Z,r) son funciones continuas que respetan las puntos
de base, y si f es un lazo en X basado en p, entonces h◦ f : I→ Y es un lazo basado en q; y
g◦ (h◦ f ) : I→ Z es un lazo basado en r. Adema´s, vale
(g◦h)∗[ f ] = [(g◦h)◦ f ] = [g◦ (h◦ f )] = g∗[h◦ f ] = g∗(h∗[ f ]),
ası´ que (g◦h)∗ = g∗ ◦h∗ : pi1(X , p)→ pi1(Z,r).
Si 1X : (X , p)→ (X , p) es la aplicacio´n identidad, es claro que (1X)∗ : [ f ] 7→ [1x ◦ f ] = [ f ]
es el automorfismo ide´ntico de pi1(X , p).
Corolario 3.42. Si hay una equivalencia de homotopı´a h : X →Y tal que h(p) = q, entonces
h∗ : pi1(X , p)→ pi1(Y,q) es un isomorfismo de grupos.
Demostracio´n. Sea g : Y → X una funcio´n continua tal que [g] ∈ [Y,X ] es el inverso de [h] ∈
[X ,Y ]. Sea F : X × I→ X una homotopı´a (libre) entre g◦h y 1X . Entonces u : t 7→ F(p, t) es
un camino en X entre g(q) y p. Entonces βu ◦g∗ ◦h∗ = 1pi1(X ,p); en particular, h∗ : pi1(X , p)→
pi1(Y,q) es un homomorfismo inyectivo.
De manera similar, si G : Y × I → Y es una homotopı´a entre h ◦ g y 1Y , hay un camino
v : t 7→ G(q,1− t) entre q y h(g(q)). Entonces h∗ ◦g∗ ◦ (βv)−1 = 1pi1(Y,q); en particular, h∗ es
un homomorfismo sobreyectivo.
MA–704: Topologı´a 82
Corolario 3.43. Si A es una retraccio´n por deformacio´n de X, con p∈A, entonces pi1(A, p)'
pi1(X , p). 
Ejemplo 3.44. El cı´rculo S1 = {z ∈ C : |z| = 1} es conexo por caminos. Por el Lema 3.37,
cualquier punto de S1 servira´ como punto de base para calcular su grupo fundamental. Como
S1 es un grupo (multiplicativo), hay un punto de base preferido: el nu´mero 1, el cual es el
elemento unidad del grupo. Se escribe pi1(S1) := pi1(S1,1), en forma abreviada.10
Para cada n ∈ Z, hay un lazo en S1 dado por la funcio´n z 7→ zn. Para ser ma´s preciso,
conside´rese el camino e : I → S1 dado por e(t) := e2piit . Como e es continua con e(0) =
e(1) = 1, este es un lazo basado en 1. De igual, manera, las funciones en(t) := e2piint definen
lazos en S1 basados en 1, para todo n ∈ Z.
El caso e0 es, desde luego, el lazo constante c. Es fa´cil comprobar que em ∗ en '˙ em+n
para todo m,n ∈ Z. El siguiente teorema muestra que estos lazos no son homoto´picos entre sı´
y que cada lazo en el cı´rculo (basado en 1) es homoto´pico a uno de los en. La conclusio´n es
que la biyeccio´n en 7→ n es un isomorfismo de grupos entre pi1(S1) y el grupo aditivo Z. ♦
I Vale la pena interrumpir la discusio´n de homotopı´a de lazos para notar una propiedad
general de espacios me´tricos compactos. En un espacio me´trico (X ,ρ), el dia´metro de una
parte A⊆ X es diam(A) := sup{ρ(x,y) : x,y ∈ A}.
Lema 3.45 (Lebesgue). Sea (X ,ρ) un espacio me´trico compacto y sea U= {Uα : α ∈ J } un
cubrimiento abierto de X. Entonces existe ε > 0 tal que cualquier A ⊆ X con diam(A) < ε
esta´ incluido en algu´n Uα .
Demostracio´n. Si ası´ no fuera, para cada n ∈ N habrı´a una parte no vacı´a An ⊆ X con
diam(An) < 1/(n+ 1) tal que An \Uα 6= /0 para todo Uα ∈ U. Al tomar un punto xn ∈ An
para cada n, se obtendrı´a una sucesio´n (xn) en X ; por la compacidad de X , esta sucesio´n
tendrı´a un punto adherente z ∈ X .
Entonces z ∈Uβ para algu´n β ; y habrı´a una bola abierta Bρ(z;δ ) tal que Bρ(z;δ ) ⊆Uβ .
Entonces habrı´a n ∈N tal que 1/(n+1)< 12δ con xn ∈ Bρ(z; 12δ ). Como diamAn < 12δ , esto
implicarı´a que An ⊆ Bρ(z;δ )⊆Uβ , contrario a hipo´tesis.
Corolario 3.46. Sean U+ := S1 \{−1}, U− := S1 \{1}. Si f : I→ S1 es un camino, hay una
particio´n 0= t0 < t1 < · · ·< tn = 1 de I tal que cada subintervalo [ti−1, ti] de la particio´n esta´
incluido en f−1(U+) o bien en f−1(U−).
Demostracio´n. Fı´jese que {U+,U−} es un cubrimiento abierto de S1. Como f (I) ⊆ S1, los
dos abiertos { f−1(U+), f−1(U−)} forman un cubrimiento abierto de I. Si ε > 0 cumple el
Lema 3.45 para este cubrimiento, basta tomar una particio´n de I tal que ti+1− ti < ε para
i = 0,1, . . . ,n−1.
10En general, si G es un grupo topolo´gico con elemento unidad 1, se escribe pi1(G) := pi1(G,1). En particular,
se escribe pi1(Rn) := pi1(Rn,0).
MA–704: Topologı´a 83
Lema 3.47. Si f : I→ S1 es un camino con f (0) = 1, y si e : R→ S1 es la funcio´n continua
dada por e(t) := e2piit , hay un u´nico camino f˜ : I→ R con f˜ (0) = 0 tal que e◦ f˜ = f .
Demostracio´n. Sea {t0, t1, . . . , tn} la particio´n de I dado por el Corolario 3.46. Como f (0) =
1 /∈ U−, esta´ claro que [t0, t1] ⊆ f−1(U+). La restriccio´n de e al intervalo (−12 , 12) es un
homeomorfismo entre (−12 , 12) y U+, con funcio´n inversa l1 : U+ → (−12 , 12). Defı´nase f˜
sobre [t0, t1] por f˜ (t) := l1( f (t)) para t0 ≤ t ≤ t1.
Supo´ngase que f˜ ya haya sido definido sobre el intervalo [t0, tk], con k < n. Ahora hay
dos posibilidades:
? si [tk, tk+1] ⊆ f−1(U−), entonces m < f˜ (tk) < m+ 1 para algu´n m ∈ N; deno´tese por
lk : U−→ (m,m+1) la funcio´n inversa del homeomorfismo e : (m,m+1)→U−;
? si [tk, tk+1]⊆ f−1(U+), entonces m− 12 < f˜ (tk)<m+ 12 para algu´n n ∈N; deno´tese por
lk : U+→ (m− 12 ,m+ 12) la funcio´n inversa de e : (m− 12 ,m+ 12)→U+.
Ahora defı´nase f˜ sobre [tk, tk+1] por f˜ (t) := lk( f (t)) para tk ≤ t ≤ tk+1. Como lk−1( f (tk)) =
f˜ (tk)= lk( f (tk)), el resultado es una funcio´n continua f˜ bien definida sobre [t0, tk+1]. Despue´s
de n repeticiones de este proceso, se obtiene un camino continuo f˜ : I→ R tal que e( f˜ (t)) =
f (t) para 0≤ t ≤ 1.
Si fˆ : I → R es cualquier camino con fˆ (0) = 0 tal que e ◦ fˆ = f , entonces la propiedad
multiplicativa de e garantiza que
e( fˆ (t)− f˜ (t)) = e( fˆ (t)
e( f˜ (t))
=
f (t)
f (t)
= 1 para todo t ∈ I,
ası´ que fˆ (t)− f˜ (t) ∈ Z para todo t ∈ I. Como I es conexo y la funcio´n fˆ − f˜ : I → Z es
continuo, esta diferencia es constante. La condicio´n inicial fˆ (0) = 0 = f˜ (0) obliga que esta
constante sea 0, ası´ que fˆ (t)≡ f˜ (t) para 0≤ t ≤ 1. Esto comprueba la unicidad de f˜ .
El resultado del Lema anterior puede mejorarse, con leves cambios, para “levantar” una
homotopı´a de caminos en S1 a una homotopı´a de caminos en R. Esto se hace a continuacio´n.
Lema 3.48. Si F : I× I→ S1 es una homotopı´a tal que F(0,0) = 1, hay una u´nica homotopı´a
F˜ : I× I→ R con F˜(0,0) = 0 tal que e◦ F˜ = F.
Demostracio´n. Es cuestio´n de repetir la prueba del Lema 3.47, con las siguientes modifica-
ciones. El Lema 3.45 garantiza la existencia de dos particiones {s0,s1, . . . ,sm} y {t0, t1, . . . , tn}
de I tales que cada [si,si+1]× [t j, t j+1] este´ incluido en F−1(U+) o bien en F−1(U−). Como
F(0,0) = 1 /∈U−, esta´ claro que [s0,s1]× [t0, t1]⊆F−1(U+). Defı´nase F˜ sobre [s0,s1]× [t0, t1]
por F˜(s, t) := l1(F(s, t)).
Habiendo extendido F˜ al recta´ngulo [s0,sk]× [t0, t1], se obtiene un inverso local lk de e y se
define F˜(s, t) := lk(F(s, t)) sobre [sk,sk+1]× [t0, t1], de modo que lk−1(F(sk, t)) = F˜(sk, t) =
MA–704: Topologı´a 84
lk(F(sk, t)) para t0 ≤ t ≤ t1. Como las dos versiones de F˜ coinciden sobre {sk}× [t0, t1], la
funcio´n extendida esta´ bien definida y es continua. Luego de m repeticiones de este proceso,
F˜ esta´ definido sobre I× [t0, t1].
Si F˜ ya ha sido extendido al conjunto
(
I× [t0, t j]
)∪([s0,sk]× [t j, t j+1]), es posible exten-
derla al recta´ngulo [sk,sk+1]× [t j, t j+1]⊆ F−1(U±) de modo que coincide con la versio´n vieja
sobre los lados
({sk}× [t j, t j+1])∪ ([sk,sk+1]×{t j}). De este modo, F˜ se define eventual-
mente como funcio´n continua sobre todo I× I tal que e◦ F˜ = F .
Si F̂ : I× I → R es cualquier homotopı´a con F̂(0,0) = 0 tal que e ◦ F̂ = F , se obtiene
e◦ (F̂− F˜) = {1}, ası´ que F̂− F˜ : I× I→ Z es continua. Como I× I es conexo y F̂(0,0) =
0 = F˜(0,0), se concluye que F̂(s, t)≡ F˜(s, t) para todo s, t ∈ I.
Teorema 3.49. Cada lazo en el cı´rculo S1 basado en 1 es homoto´pico a exactamente uno de
los lazos em. Como consecuencia, vale pi1(S1)' Z.
Demostracio´n. Sea f : I→ S1 un lazo con f (0) = f (1) = 1. Por el Lema 3.47 hay un u´nico
camino f˜ : I→R con f˜ (0) = 0 tal que e◦ f˜ = f . En particular, como f (1) = 1 hay un entero
m ∈ Z, determinado por la unicidad de f˜ , tal que f˜ (1) =: m. Este nu´mero entero m se llama
el grado (gr f ) del lazo f .
Para el lazo em : t 7→ e2piimt , es evidente que e˜m(t)≡ mt. Entonces grem = m.
Si g es cualquier lazo de grado m, defı´nase una homotopı´a G˜ : I× I→ R entre g˜ y e˜m por
G˜(s, t) := (1− t)g˜(s)+ te˜m(s).
Fı´jese que g˜t : s 7→ G(s, t) cumple g˜t(1) = m para todo t ∈ I. Al componer con e : R→ S1,
la funcio´n G := e ◦ G˜ es una homotopı´a de lazos entre g y em, donde cada lazo intermedio
gt := e◦ g˜t tiene grado m.
Por otro lado, si f0 '˙ f1 son dos lazos homoto´picos en S1 —basados en 1— mediante una
homotopı´a F : I×I→ S1, el Lema 3.48 produce una homotopı´a F˜ : I×I→R con F˜(0,0) = 0
tal que e ◦ F˜ = F . Ahora e(F˜(0, t)) = F(0, t) = 1 para todo t, ası´ que t 7→ F˜(0, t) es una
funcio´n continua sobre I con valores en Z; luego esta funcio´n es constante. En particular,
vale F˜(0,1) = F˜(0,0) = 0.
Por la unicidad en el enunciado del Lema 3.47, se obtiene F˜(s,0)= f˜0(s) y F˜(s,1)= f˜1(s)
para s ∈ I. Por otro lado, como F(1, t) ≡ 1, la funcio´n t 7→ F˜(1, t) es una funcio´n continua
de I en Z y por ende constante; se concluye que
gr f0 = f˜0(1) = F˜(1,0) = F˜(1,1) = f˜1(1) = gr f1.
En conclusio´n: dos lazos en S1 son homoto´picos si y so´lo si poseen el mismo grado.
En resumen, se ha mostrado que la funcio´n pi1(S1,1)→ Z dado por [ f ] 7→ gr f esta´ bien
definida; y que f '˙ em si y so´lo si gr f =m, ası´ que esta funcio´n es biyectiva. En consecuencia,
pi1(S1,1) = { [em] : m ∈ Z}. La relaciones em ∗ en '˙ em+n comprueban que esta funcio´n
[em] 7→ m es un isomorfismo de grupos entre pi1(S1,1) y Z.
MA–704: Topologı´a 85
Lema 3.50. El cı´rculo S1 no es una retraccio´n del disco cerrado
B2 := {(s, t) ∈ R2 : s2+ t2 ≤ 1}= {z ∈ C : |z| ≤ 1}.
Demostracio´n. Si hubiera una funcio´n continua r : B2→ S1 tal que r(z) = z para z ∈ S1, en-
tonces r◦ i= 1S1 donde i : S1B2 es la inclusio´n. Por funtorialidad, se obtendrı´a r∗◦ i∗= 1Z,
donde i∗ : pi1(S1,1)→ pi1(B2,1) y r∗ : pi1(B2,1)→ pi1(S1,1). Pero B2 es contractible, ası´ que
pi1(B2,1)' pi1(B2,0) = 0, de modo que r∗ ◦ i∗ serı´a una composicio´n de dos homomorfismos
nulos, Z i
∗−→0 r∗−→Z, y por ende r∗ ◦ i∗ = 0 6= 1Z. Esta contradiccio´n niega la existencia de
una retraccio´n r.
3.4 Espacios recubridores
Antes de calcular ma´s ejemplos de grupos fundamentales, vale la pena examinar un tema que
utiliza el me´todo de la demostracio´n del Teorema 3.49.
Definicio´n 3.51. Una funcio´n continua y sobreyectiva p : X˜→ X es una proyeccio´n recubri-
dora si cada x ∈ X posee un vecindario abierto U tal que p−1(U) = ⊎α∈J Vα es una unio´n
disjunta de abiertos Vα en X˜ y cada restriccio´n p|Vα : Vα →U es un homeomorfismo.
Si X˜ es un espacio topolo´gico tal que existe una proyeccio´n recubridora p : X˜ → X , el
espacio X˜ se llama un espacio recubridor11 de X .
Cada fibra p−1({x}) de una proyeccio´n recubridora es discreta: si y ∈ X˜ con p(y) = x,
entonces y ∈ Vα para algu´n α . Este Vα es un abierto en X˜ y p−1({x})∩Vα = {y} porque
p|Vα : Vα →U es inyectivo, ası´ que {y} es abierto en (la topologı´a relativa de) p−1({x}).
Ejemplo 3.52. Un homeomorfismo f : Y → X es una proyeccio´n recubridora, donde cada
preimagen f−1(U) es homeomorfo a U mediante f .
Si J es un espacio topolo´gico discreto, la proyeccio´n pr1 : X × J→ X es una proyeccio´n
recubridora. En este caso, pr1(U) = U × J =
⊎
j∈J(U ×{ j}) donde pr1 : (x, j) 7→ x es un
homeomorfismo de U×{ j} en U . ♦
Ejemplo 3.53. La funcio´n e : R→ S1 : t 7→ e2piit es una proyeccio´n recubridora. En efecto,
si z ∈ S1, elı´jase t ∈ R tal que e(t) = z; entonces e(t +n) = z tambie´n, para cualquier n ∈ Z.
To´mese como vecindario Uz de z el arco semicircular Uz := {w∈ S1 : |w−z|<
√
2}, centrado
en z. Es fa´cil ver que
e−1(Uz) =
⊎
n∈Z
(t+n− 14 , t+n+ 14),
y que e : (t+n− 14 , t+n+ 14)→Uz es un homeomorfismo, cuya funcio´n inverso es el “loga-
ritmo” complejo ln : w 7→ t+n+(2pi)−1 arg(w/z).
Fı´jese que e−1(z) = { t+n : n ∈ Z} es un espacio discreto, homeomorfo a Z. ♦
11En franc¸ais, on dit reveˆtement de X .
MA–704: Topologı´a 86
Ejemplo 3.54. Si m ∈ N∗, la funcio´n pm : S1→ S1 : z 7→ zm es una proyeccio´n recubridora.
En este caso, la fibra de un punto x = zm es {e2piik/mz : k = 0,1, . . . ,m− 1}, que forma los
m ve´rtices de un polı´gono regular inscrito en S1. ♦
Ejemplo 3.55. La aplicacio´n cociente q : S2→ RP2 es una proyeccio´n recubridora: en este
caso q es dos-a-uno y sus fibras son pares de puntos antipodales en S2. ♦
X
X˜
Z
f
p
f˜
Definicio´n 3.56. Sea p : X˜ → X una funcio´n continua (no necesariamente una proyeccio´n
recubridora). Si f : Z→ X es una funcio´n continua, un levantamiento12 de f a trave´s de p
es una funcio´n continua f˜ : Z→ X˜ tal que p◦ f˜ = f .
La propiedad esencial de un espacio recubridor de X es la posibilidad de levantar caminos
y homotopı´as en X a caminos y homotopı´as en X . Los dos lemas siguientes emplean los
argumentos ya vistos en los lemas 3.47 y 3.48 en un contexto ma´s amplio.
Lema 3.57. Si p : X˜→X es una proyeccio´n recubridora con p(y)= x, cada camino f : I→X
con f (0) = x posee un u´nico levantamiento a un camino f˜ : I→ X˜ con f˜ (0) = y.
Demostracio´n. Por la Definicio´n 3.51, el espacio X tiene un cubrimiento U por abiertos U
tales que cada p−1(U) es una unio´n disjunta de abiertos en X˜ homeomorfos a U . Los f−1(U)
forman un cubrimiento abierto de I. Si ε > 0 cumple el Lema 3.45 para este cubrimiento,
hay una particio´n {t0, t1, . . . , tn} de I tal que ti+1− ti < ε para cada i; y por ende cada trozo
f ([ti−1, ti]) del camino f es parte de algu´n U ∈ U.
Defı´nase f˜ (0) := y. To´mese U0 ∈ U tal que f ([t0, t1])⊆U0. Sea V0 ⊆ p−1(U0) el (u´nico)
abierto en X˜ tal que y ∈V0 y p|V0 : V0→U0 es un homeomorfismo. Defı´nase
f˜ (t) := (p|V0)−1( f (t)) para t0 < t ≤ t1,
de tal manera que f˜ : [t0, t1]→V0 es continua y cumple p( f˜ (t)) = f (t) para t ∈ [t0, t1].
Supo´ngase que f˜ ya haya sido definido sobre el intervalo [t0, tk], con k < n. Si f (tk) ∈
Uk ∈ U, sea Vk ⊆ p−1(Uk) el u´nico abierto en X˜ tal que f˜ (tk) ∈Vk y p|Vk : Vk→Uk es un ho-
meomorfismo. Defı´nase f˜ (t) := (p|Vk)−1( f (t)) para tk < t ≤ tk+1. De este modo, se extiende
f˜ como levantamiento continuo de f sobre el intervalo [t0, tk+1]. Despue´s de n repeticiones
de este proceso, se obtiene un levantamiento f˜ de f sobre todo I.
12Este es un lifting en ingle´s (como tambie´n en espan˜ol peninsular).
MA–704: Topologı´a 87
Para mostrar la unicidad de f˜ , basta hacerlo en cada uno de estos trozos. Entonces, sea
fˆ : [t0, t1]→ R cualquier levantamiento continuo de f sobre [t0, t1] tal que fˆ (0) = y = f˜ (0).
Fı´jese que fˆ ([t0, t1]) es una parte conexa de la unio´n disjunta p−1(U0) =
⊎
αVα y por tanto es
parte de uno solo de estos abiertos Vα ; como fˆ (t0) = y ∈V0, se concluye que fˆ ([t0, t1])⊆V0.
Si t ∈ [t0, t1], entonces fˆ (t) = (p|V0)−1( f (t)) = f˜ (t) porque p|V0 es inyectiva; luego fˆ y f˜
coinciden sobre [t0, t1]. Al repetir este argumento para cada subintervalo [tk, tk+1], se concluye
que fˆ (t) = f˜ (t) para todo t ∈ I.
Lema 3.58. Si p : X˜ → X es una proyeccio´n recubridora con p(y) = x, cada homotopı´a de
caminos F : I× I → X con F(0,0) = x posee un u´nico levantamiento a una homotopı´a de
caminos F˜ : I× I→ X˜ con F˜(0,0) = y.
Demostracio´n. Es cuestio´n de modificar apropiadamente la demostracio´n del Lema 3.48. A
la luz de la prueba anterior, se deja los detalles al estimado lector.
Lema 3.59. Si p : X˜ → X es una proyeccio´n recubridora con p(y) = x, el homomorfismo
p∗ : pi1(X˜ ,y)→ pi1(X ,x) es inyectivo.
Demostracio´n. Sea f˜ : I → X˜ un lazo basado en y tal que p∗[ f˜ ] = [p ◦ f˜ ] = 0 en pi1(X ,x).
Entonces f := p◦ f˜ es un lazo en X basado en x tal que f '˙ cx —donde cx es el lazo constante
con valor x.
Hay una homotopı´a de lazos F : I× I → X entre f y cx; en particular, vale F(0,0) =
f (0) = x. El Lema 3.58 produce una u´nica homotopı´a F˜ : I× I → X˜ con F˜(0,0) = y. El
camino s 7→ F˜(s,0) en X˜ cubre el camino s 7→ F(s,0) = f (s) en X y por tanto coincide
con el lazo f˜ , por la unicidad del levantamiento de f con punto inicial y, garantizado por el
Lema 3.57. En otras palabras, vale F˜(s,0) = f˜ (s) para s ∈ I.
El mismo argumento muestra que F˜(s,1) ≡ y ≡ cy(s) para s ∈ I. Como F(0, t) ≡ x,
F(1, t)≡ x para t ∈ I, por ser f una homotopı´a de lazos basados en x, ese argumento tambie´n
muestra que F˜(0, t) ≡ y, F˜(1, t) ≡ y para t ∈ I. En resumen: F˜ es una homotopı´a de lazos
entre f˜ y cy. Se concluye que [ f˜ ] = 0 en pi1(X˜ ,y). Se ha mostrado que ker p∗ = 0, ası´ que
p∗ es inyectivo.
Lema 3.60. Sea p : X˜ → X una proyeccio´n recubridora con p(y) = x, y supo´ngase que el
espacio recubridor X˜ es conexo por caminos. Entonces hay una biyeccio´n de conjuntos
pi1(X ,x)/p∗(pi1(X˜ ,y))←→ p−1({x}),
que lleva la coclase de [ f ] en el punto f˜ (1), cuando f es un lazo en X basado en x, siendo
f˜ : I→ X˜ su levantamiento determinado por la condicio´n f˜ (0) = y.
Demostracio´n. Defı´nase φ( f ) := f˜ (1) si f es un lazo en X basado en x. Como p( f˜ (1)) =
f (1) = x, esta´ claro que f˜ (1) ∈ p−1({x}).
MA–704: Topologı´a 88
Si g es otro lazo en x tal que f '˙ g, hay una homotopı´a de lazos H en X entre f y g.
El Lema 3.58 produce una homotopı´a H˜ en X˜ tal que H˜(0, t) ≡ y. Ahora bien, los levan-
tamientos respectivos f˜ : s 7→ H˜(s,0) de f , y g˜ : s 7→ H˜(s,1) de g, son caminos en X˜ que
no necesariamente son lazos. Sin embargo, la funcio´n t 7→ H˜(1, t) es un camino de f˜ (1) a
g˜(1) en el espacio topolo´gico discreto p−1({x}) y por ende es constante. Se concluye que
f˜ (1) = g˜(1). Luego φ( f ) depende so´lo de la clase de homotopı´a [ f ]; la receta [ f ] 7→ f˜ (1) es
una funcio´n bien definida φ¯ : pi1(X ,x)→ p−1({x}).
Como X˜ es conexo por caminos, para cada z ∈ p−1({x}) hay un camino k˜ en X˜ de y a z.
Entonces k := p◦ k˜ es un lazo en X basado en x tal que φ¯([k]) = z. Por tanto, la funcio´n φ¯ es
sobreyectiva.
Si ahora [ f ] y [h] son elementos de pi1(X ,x) en la misma coclase (a la derecha)13 del
subgrupo p∗(pi1(X˜ ,y)), hay un lazo l en X con [l]∈ p∗(pi1(X˜ ,y)) tal que [h] = [l]∗ [ f ] = [l ∗ f ]
en pi1(X ,x). Hay levantamientos u´nicos f˜ de f ; h˜ de h; y l˜ de l; a caminos en X˜ con punto
inicial y. La condicio´n [l] ∈ p∗(pi1(X˜ ,y)) dice que l˜ es un lazo en X˜ basado en y. Adema´s, el
levantamiento de l ∗ f es l˜ ∗ f˜ , por unicidad. Ahora
(l˜ ∗ f˜ )(1) = f˜ (1), ası´ que φ¯([h]) = h˜(1) = f˜ (1) = φ¯([ f ]).
En conclusio´n, φ¯ es constante sobre las coclases, y de este modo define una funcio´n sobreyec-
tiva Φ : pi1(X ,x)/p∗(pi1(X˜ ,y))→ p−1({x}).
Obse´rvese que Φ tiene el mismo valor sobre las coclases de dos elementos [ f ] y [u] si y
so´lo si φ¯([ f ]) = φ¯([u]); si y so´lo si f˜ (1) = u˜(1). Si v˜ es el camino inverso de u˜, entonces f˜ ∗ v˜
es un lazo en X basado en y; luego [ f˜ ∗ v˜] es un elemento del grupo pi1(X˜ ,y). Sea v := p◦ v˜,
el cual es el lazo inverso de u. Si ahora g es un lazo en X tal que [g] = p∗([ f˜ ∗ v˜]), entonces
[g∗u] = [( f ∗ v)∗u] = [ f ∗ (v∗u)] = [ f ],
porque v ∗ u '˙ cx y por ende [v ∗ u] es la identidad del grupo pi1(X ,x). Se ha comprobado
que [g] ∗ [u] = [ f ], ası´ que [ f ] y [u] esta´n en la misma coclase (a la derecha) del subgrupo
p∗(pi1(X˜ ,y)). La conclusio´n es que Φ es inyectiva.
Corolario 3.61. Si un espacio recubridor X˜ de X es simplemente conexo, entonces [ f ] 7→ f˜ (1)
es una biyeccio´n entre pi1(X ,x) y la fibra p−1({x}). 
Por ejemplo, la funcio´n e : R → S1 : t 7→ e2piit es una proyeccio´n recubridora y R es
simplemente conexo, por ser contractible. Como e−1(1) = Z, se obtiene ası´ una biyeccio´n
entre pi1(S1,1) y Z, como ya era de esperar.
13En muchos casos, el grupo pi1(X ,x) no es abeliano y el subgrupo p∗(pi1(X˜ ,y)) no es un subgrupo normal.
Entonces el cociente del enunciado no es necesariamente un grupo, sino solamente un conjunto de coclases.
Por otro lado, el espacio topolo´gico discreto p−1({x}) tambie´n se considera simplemente como conjunto. Para
decirlo de otra forma, el enunciado del lema se refiere a un isomorfismo en la categorı´a Set.
MA–704: Topologı´a 89
I Esta forma de calcular el grupo fundamental del cı´rculo S1 mediante proyeccio´n de un
espacio recubridor simplemente conexo no sirve para calcular los grupos fundamentales de
las esferas Sn, para n> 1, por la buena razo´n de que Sn ya es simplemente conexo. Esta u´ltima
afirmacio´n no es obvio, porque Sn no es contractible. El ca´lculo de pi1(Sn) es un corolario a
la siguiente Proposicio´n, que tiene su intere´s propio.
Proposicio´n 3.62. Si el espacio topolo´gico X es la unio´n X =U∪V de dos abiertos U y V con
interseccio´n no vacı´a U ∩V que es conexo por caminos, to´mese q∈U ∩V ; entonces pi1(X ,q)
es el grupo generado por sus dos subgrupos i∗(pi1(U,q)) y j∗(pi1(V,q)), donde i : U  X,
j : V  X son las inclusiones.
Demostracio´n. La inclusio´n i : U  X da lugar a un homomorfismo (que en general no es
inyectivo) i∗ : pi1(U,q)→ pi1(X ,q) por i∗[g] = [i◦g], si g es un lazo en U basado en q. Fı´jese
que el lazo g en U coincide con el lazo i ◦ g en X , pero la clase de homotopı´a [i ◦ g] puede
incluir otros lazos que entran y salen de la parte U ⊆ X .
Sea f un lazo en X basado en q. Que pi1(X ,q) sea generado por los dos subgrupos men-
cionados significa que [ f ] es un producto finito de clases [ f ] = [ f1]∗ [ f2]∗· · ·∗ [ fm], donde cada
lazo fk esta´ incluido enteramente en U o bien enteramente en V . (Es evidente que se pueden
combinar lazos contiguos, de modo que se tomen los fk dentro de U y de V alternadamente.)
El par de abiertos {U,V} es un cubrimiento abierto de X . Al usar el Lema 3.45 de igual
manera que en la demostracio´n del Corolario 3.46, se obtiene una particio´n {t0, t1, . . . , tm}
de I tal que cada subintervalo [tk, tk+1] este´ incluido en f−1(U) o bien en f−1(V ).
Si f (tk) ∈U \V para algu´n k ∈ {1, . . . ,m−1}, entonces ni [tk−1, tk] ni [tk, tk+1] es parte de
f−1(V ), ası´ que
[tk−1, tk+1] = [tk−1, tk]∪ [tk, tk+1]⊆ f−1(U)
y se puede eliminar el nudo tk de la particio´n. De modo similar, si f (t j) ∈ V \U , entonces
[t j−1, t j+1]⊆ f−1(V ) y el nudo t j puede eliminarse de la particio´n. Entonces se puede suponer
que f (tk) ∈U ∩V para cada k = 0,1, . . . ,m.
Ahora sea uk un camino en U ∩V de q a f (tk), para cada k. To´mese u0 = um = cq; los
dema´s caminos existen porque U ∩V es conexo por caminos. Sea uˇk el camino inverso de uk
en cada caso. Sea hk : I→ X , para k = 1, . . . ,m, el camino que corresponde a la restriccio´n
de f al intervalo [tk−1, tk], dado por hk(s) := f ((1−s)tk−1+stk). Entonces fk := uk ∗hk ∗ uˇk+1
es un lazo basado en q tal que fk(I)⊆U o bien fk(I)⊆V para cada k. Entonces
[ f ] = [h1 ∗h2 ∗ · · · ∗hm] = [h1 ∗ uˇ1 ∗u1 ∗h2 ∗ uˇ2 ∗u2 ∗ · · · ∗ uˇm−1 ∗um1 ∗hm]
= [ f1 ∗ f2 ∗ · · · ∗ fm] = [ f1]∗ [ f2]∗ · · · ∗ [ fm],
donde [ fk] ∈ i∗(pi1(U,q)) o bien [ fk] ∈ j∗(pi1(V,q)) en cada caso.
Corolario 3.63. Si el espacio topolo´gico X es la unio´n X =U ∪V de dos abiertos simple-
mente conexos U y V con interseccio´n no vacı´a U ∩V que es conexo por caminos, entonces
X tambie´n es simplemente conexo. 
MA–704: Topologı´a 90
Corolario 3.64. La esfera Sn es simplemente conexo, para n≥ 2.
Demostracio´n. Si x = (x0,x1, . . . ,xn) denota las coordenadas cartesianas de x ∈ Sn ⊂ Rn+1,
defı´nase
U := {x ∈ Sn : xn >−12 }, V := {x ∈ Sn : xn < 12 }.
Entonces U y V son abiertos en Sn que son contractibles —hay retracciones por deforma-
ciones a los polos norte y sur, respectivamente— y por ende simplemente conexos. La inter-
seccio´n U ∩V es homeomorfo a Sn−1×(−12 , 12); este espacio es conexo por caminos si n> 1.
El Corolario anterior muestra que pi1(Sn) = 0.
La demostracio´n no funciona para el caso n = 1, ya que U ∩V es disconexo: es un par de
arcos abiertos del cı´rculo S1. Todavı´a hay un homeomorfismo U ∩V ≈ S0× (−12 , 12), pero la
“0-esfera” S0 := {x0 ∈ R : x20 = 1} es el espacio discreto de dos puntos, que es disconexo.
A veces se emplea la notacio´n S0 := {−1,+1} para esta 0-esfera.
Ejemplo 3.65. La aplicacio´n cociente q : S2→RP2 es una proyeccio´n recubridora, y la fibra
del punto x = [0 : 0 : 1] es el par de polos norte n = (0,0,1) y sur s = (0,0,−1)} de S2.
Entonces el Corolario 3.61 muestra que hay una biyeccio´n pi1(RP2,x) con el conjunto {n,s}.
Luego pi1(RP2,x) es un grupo finito de dos elementos, ası´ que
pi1(RP2,x)' Z/2 := {0¯, 1¯},
el grupo aditivo con unidad 0¯ y relacio´n 1¯+ 1¯ = 0¯. (Como RP2 es conexo por caminos,
tambie´n se puede escribir pi1(RP2)' Z/2, independientemente del punto de base.) ♦
Ejemplo 3.66. El grupo ortogonal O(n) es el grupo de matrices {A ∈Mn(R) : AtA = 1n };
como espacio topolo´gico, O(n) es la parte cerrada de Rn2 —las coordenadas de A ∈ O(n)
son las n2 entradas ai j de la matriz— que cumple las ecuaciones ∑nk=1 akiak j = δi j para i, j =
1, . . . ,n. En particular, la ecuacio´n tr(AtA) = n dice que ∑ j,k(ak j)2 = n, ası´ que O(n) es
acotado en Rn2 , por ser parte de una esfera de radio
√
n. Luego O(n) es un grupo compacto.
El grupo O(n) no es conexo: el determinante det : O(n)→ {−1,1} es continuo, por ser
un polinomio de grado n en las entradas ai j, luego define una desconexio´n de O(n). La
componente neutra es el subgrupo de rotaciones SO(n) := {A ∈O(n) : det A =+1}, el cual
sı´ es conexo; de hecho, SO(n) es conexo por caminos.14
En el caso n = 3, las rotaciones de R3 pueden obtenerse por el siguiente artificio. Las
matrices de Pauli en M2(C), son
σ1 :=
(
0 1
1 0
)
, σ2 :=
(
0 −i
i 0
)
, σ3 :=
(
1 0
0 −1
)
.
14La conexidad por caminos no es evidente. Es consecuencia de la continuidad de una funcio´n exponencial
sobreyectiva exp: so(n)→ SO(n), con dominio el espacio vectorial so(n) := {X ∈Mn(R) : X t =−X , trX = 0},
dada por la fo´rmula exp(X) := ∑k=0 Xk/k!.
MA–704: Topologı´a 91
Se identifica R3 con el espacio vectorial real {Z ∈M2(C) : Z∗= Z, trZ = 0}, con base vecto-
rial {σ1,σ2,σ3}. Si u es un elemento del grupo SU(2) := {u∈M2(C) : u∗u= 12, det u= 1},
entonces Ru : Z 7→ uZu∗ = uZu−1 es una rotacio´n de (esta copia de) R3. Todas las rotaciones
deR3 se obtienen por esta medio, y la rotacio´n Ru es trivial si y so´lo si u es una matriz escalar,
es decir, si y so´lo si u =±12.
Ahora bien, u ∈ SU(2) si y so´lo si |u11|2+ |u12|2 = 1; de este modo, se puede identificar
SU(2) con la esfera unitaria en C2 = R4. Entonces hay un homeomorfismo SU(2) ≈ S3
dado por u↔ (ℜu11,ℑu11,ℜu12,ℑu12). En consecuencia, hay una aplicacio´n continua y
sobreyectiva p : S3 → SO(3) dado por p(u) 7→ Ru, con fibra p−1(Ru) = {u,−u}. Se ve,
entonces, que SO(3)≈ RP3 y que p es una proyeccio´n recubridora.
Los grupos fundamentales de los grupos compactos SU(2) y SO(3) son, entonces:
pi1(SU(2)) = pi1(S3) = 0, pi1(SO(3)) = pi1(RP3) = Z/2. ♦
3.5 El teorema de Seifert y van Kampen
Hay una generalizacio´n de la Proposicio´n 3.62 que permite calcular otros ejemplos de gru-
pos fundamentales. Si X = U ∪V y si q ∈U ∩V , donde los tres abiertos U , V , U ∩V son
conexos por caminos, las cuatro inclusiones U ↪→X , V ↪→X , U∩V ↪→U , U∩V ↪→V inducen
homomorfismos entre los respectivos grupos fundamentales tales que el siguiente diagrama
conmuta:
pi1(U,q)pi1(U ∩V,q)
pi1(V,q) pi1(X ,q)
φ1
φ2 ψ1
ψ2
La Proposicio´n 3.62 dice que pi1(X ,q) es generado por las ima´genes de los homomor-
fismos ψ1 y ψ2. Evidentemente, para todo [ f ] ∈ pi1(U ∩V,q), la relacio´n ψ1(φ1([ f ])) =
ψ2(φ2([ f ])) tiene lugar en pi1(X ,q). El teorema de Seifert y van Kampen dice que estas
relaciones caracterizan pi1(X ,q); es decir, que estas son las u´nicas relaciones que los elemen-
tos de este grupo debe obedecer.15
15Aquı´ no se ofrece una demostracio´n de este teorema; el lector puede consultar el capı´tulo 70 del libro de
Munkres, por ejemplo. El teorema fue demostrado en: Egbert R. van Kampen, On the connection between the
fundamental groups of some related spaces, American Journal of Mathematics 55 (1933), 261–267. Herbert
Seifert mostro´ el mismo teorema, pero con hipo´tesis menos generales (los espacios X , U , V son complejos
celulares) en su tesis doctoral en Leipzig en 1932.
MA–704: Topologı´a 92
Para enunciar este teorema de forma ma´s precisa, hay que recordar una construccio´n de la
teorı´a de grupos. Si G y H son dos grupos (no necesariamente abelianos), su producto libre
G∗H es el grupo definido —hasta isomorfismo— por la siguiente propiedad universal. Hay
homomorfismos inyectivos ι1 : G→ G ∗H, ι2 : H → G ∗H; y si K es cualquier otro grupo
con homomorfismos dados φ : G→ K, ψ : H → K, entonces hay un u´nico homomorfismo
θ : G∗H→ K que hace conmutar el diagrama siguiente:
G∗H
G H
K
ι1
φ
ι2
ψθ
Fı´jese que este diagrama es dual al diagrama del Lema 1.46, referente al producto carte-
siano de dos espacios topolo´gicos. En breve: X×Y es un producto en la categorı´a de espacios
topolo´gicos, mientras G∗H es un coproducto en la categorı´a de grupos.16 Los elementos de
G ∗H son palabras x1x2 . . .xm de cualquier longitud m ∈ N, donde las “letras” x j se toman
alternadamente de los grupos G y H; el caso m = 0 es la “palabra vacı´a”, la cual es el el-
emento unidad de G ∗H. Las inyecciones ι1 : G→ G ∗H, ι2 : H → G ∗H se definen por
ι(g) := g si g 6= 1; y ι2(h) := h si h 6= 1; ambos considerados como palabras de una sola
letra. El producto en G ∗H es la concatenacio´n de palabras, y la inversio´n esta´ dada por
(x1x2 . . .xm)−1 := x−1m . . .x
−1
2 x
−1
1 .
Dados dos homomorfismos φ : G → K y ψ : H → K, se define θ : G ∗H → K nece-
sariamente por θ(x1x2 . . .xm) := θ(x1)θ(x2) . . .θ(xm), donde θ(x j) := φ(x j) si x j ∈ G pero
θ(x j) := ψ(x j) si x j ∈ H. Las relaciones θ ◦ ι1 = φ y θ ◦ ι2 = ψ son inmediatas.
En un lenguaje catego´rico, la funcio´n continua h : Z→ X×Y (en la categorı´a Top) puede
considerarse como un morfismo17 que lleva el diagrama X
f←−Z g−→Y en el diagrama espe-
cial X
pr1←−X ×Y pr2−→Y . Dualmente, el homomorfismo θ : G ∗H → K en la categorı´a Gr es
un morfismo del diagrama especial G
ι1−→G∗H ι2←−H al diagrama G φ−→K ψ←−H. Estas dos
construcciones catego´ricas (de producto y coproducto, respectivamente) admiten generaliza-
ciones (llamadas pullback y pushout, respectivamente, en espan˜ol peninsular.)
16La categorı´a de grupos tiene tambie´n un “producto”, definido hasta isomorfismo por el diagrama del
Lema 1.46: el producto directo G×H de dos grupos G y H es simplemente su producto cartesiano, con
la operacio´n de multiplicacio´n (g,h)(g′,h′) := (gg′,hh′).
17Para ser preciso, los “morfismos” de este pa´rrafo pertenecen a otras categorı´as: sus objetos son los diagra-
mas •←•→• en Top; y los diagramas •→•←• en Gr, respectivamente.
MA–704: Topologı´a 93
Definicio´n 3.67. Sean dados tres grupos F , G, H, junto con dos homomorfismos φ1 : F→G,
φ2 : F → H. Un sumidero (K,ψ1,ψ2) para el sistema G φ1←−F φ2−→H consta de un grupo K,
junto con dos homomorfismos ψ1 : G→ K y ψ2 : H→ K que hacen conmutar el diagrama:
F G
H K
φ1
φ2 ψ1
ψ2
Un pushout de G φ1←−F φ2−→H es un sumidero (J,η1,η2) con la siguiente propiedad univer-
sal: dado cualquier otro sumidero (K,ψ1,ψ2), hay un u´nico homomorfismo θ : J → K que
hace conmutar el diagrama siguiente:
F G
H J
K
φ1
φ2
ψ1
ψ2
η1
η2
θ
La existencia (y unicidad hasta isomorfismo u´nico) del pushout del sistema G
φ1←−F φ2−→H
es un lema de la teorı´a de grupos. Resulta que J ' (G∗H)/N, donde N es el subgrupo normal
de G∗H generado por los elementos de la forma
ι1(φ1(v)) ι2(φ2(v−1)), para v ∈ F.
En otras palabras: los elementos de J se obtienen de las “palabras” en G ∗H, despue´s de
cancelar pares de letras contiguos de la forma φ1(v)φ2(v−1) o sus inversos φ2(v)φ1(v−1),
cuando v ∈ F .
El teorema de Seifert y van Kampen ahora puede enunciarse.
Teorema 3.68 (van Kampen). Si X = U ∪V y si q ∈U ∩V , donde los tres abiertos U, V ,
U ∩V son conexos por caminos, el grupo fundamental pi1(X ,q) es el pushout del sistema
pi1(U,q)
i∗←−pi1(U ∩V,q) j∗−→pi1(V,q)
determinado por las inclusiones i : U ∩V U, j : U ∩V V . 
Corolario 3.69. Si X =U ∪V y si q∈U ∩V , donde U y V son abiertos conexos por caminos,
y si adema´s U ∩V es simplemente conexo, entonces pi1(X ,q)' pi1(U,q)∗pi1(V,q). 
MA–704: Topologı´a 94
Ejemplo 3.70. La suma o cun˜a (X ∨Y,r) de dos espacios puntuados (X , p) y (Y,q) es el
espacio topolo´gico
X ∨Y := (X unionmultiY )/{p,q},
obtenido (como espacio cociente) de la unio´n disjunta X unionmultiY al identificar los dos puntos
de base p y q. Su punto de base es la clase de equivalencia r = [{p,q}]. Es costumbre
considerar X y tambie´n Y como subespacios de X∨Y , mediante las inclusiones i : XX∨Y ,
j : Y  X ∨Y , dados por i(x) := x si x 6= p; j(y) := y si y 6= q; con i(p) = j(q) := r.
r
S1∨S1
•
La cun˜a de dos cı´rculos S1∨S1 es homeomorfo a una lemniscata o “figura de ocho”. Para
aplicar el Teorema 3.68 a este espacio, hay que expresarlo como la unio´n de dos abiertos U
y V con interseccio´n conveniente. Concretamente, sea S1a := {z+1 : z ∈ S1 } y S1b := {z−1 :
z ∈ S1 } dos cı´rculos de radio 1 en el plano complejo C, con centros respectivos 1 y −1, que
son tangentes externamente en su punto comu´n 0. Sea U := S1a ∪{e2piit − 1 : −δ < t < δ }
mientras V := S1b∪{1− e2piit : −δ < t < δ }, para 0 < δ < 12 . Entonces tanto U como V es
la unio´n de uno de los cı´rculos junto con un arco abierto del otro, de longitud 2piδ , centrado
en el punto de contacto.
Esta´ claro que S1a es una retraccio´n por deformacio´n de U y que S1b es una retraccio´n
por deformacio´n de V ; y adema´s, que U ∩V es contractible. Entonces hay isomorfismos
pi1(U,r)' pi1(S1a,r)'Z y pi1(V,r)' pi1(S1b,r)'Z, mientras pi1(U ∩V,r) = 0. Entonces, por
el Corolario 3.69, se obtiene
pi1(S1∨S1,r)' pi1(U,r)∗pi1(V,r)' Z∗Z.
Para describir este grupo Z ∗Z, con notacio´n multiplicativa, to´mese generadores a y b de
los grupos cı´clicos infinitos pi1(S1a,r) y pi1(S1b,r). Entonces los elementos de Z∗Z son “pal-
abras” de la forma am1bn1am2bn2 . . .amr y otras similares. Obse´rvese que Z∗Z no es un grupo
abeliano, porque ab 6= ba: no hay relacio´n alguna entre los generadores a y b. ♦
Ejemplo 3.71. Conside´rese el espacioRP2∨RP2, la cun˜a de dos copias del plano proyectivo.
Para ilustrar la topologı´a de este espacio, se puede emplear la unio´n S2a∪S2b de dos copias de la
esfera S2, que se cortan u´nicamente en sus respectivas polos norte y sur. Por ejemplo, to´mese
S2a = S2 como parte de R3, y sea S2b un elipsoide de rotacio´n, tangente a S
2
a en los polos.
Hay una aplicacio´n cociente dos-a-uno q : S2a∪S2b RP2∨RP2. Con el uso de q, se puede
comprobar que pi1(RP2∨RP2,r)' Z/2∗Z/2, el cual es un grupo infinito no abeliano. ♦
MA–704: Topologı´a 95
4 Introduccio´n a la Homologı´a
La teorı´a de homotopı´a asocia a un espacio topolo´gico ciertos grupos que dan una clasifi-
cacio´n u´til de estos espacios, aunque sea incompleta, puesto que no distingue entre espacios
homoto´picamente equivalentes pero no homeomorfos. En el capı´tulo anterior, se estudio´
el grupo fundamental pi1(X , p) de un espacio punteado (X , p), que es solamente el primero
de una sucesio´n de “grupos de homotopı´a superiores” pik(X , p), para k un nu´mero entero
positivo.1 Sin embargo, estos grupos son en muchos casos difı´ciles de calcular. Hay otra
estrategia que asocia una segunda familia de grupos, todos abelianos, a un cualquier espa-
cio topolo´gico que admite una triangulacio´n. Aunque estos grupos de homologı´a dan una
clasificacio´n menos fina que las de homotopı´a, suelen ma´s fa´ciles de calcular.
4.1 Complejos simpliciales y ∆-complejos
La idea de homologı´a es de construir modelos de espacios topolo´gicos (homeomorfos a los
originales si fuera posible, pero al menos homoto´picamente equivalente a ellos) al ensamblar
ciertos subespacios de Rn —no todos de la misma dimensio´n, en general— de tal manera que
sera´ posible calcular algunos invariantes topolo´gicos a partir del proceso de ensamblaje. Este
proceso se llama triangulacio´n, como generalizacio´n de la idea de expresar una superficie
bidimensional como unio´n de parches triangulares colindantes.
Definicio´n 4.1. Un juego finito de k+ 1 puntos {v0,v1, . . . ,vk} ⊂ Rn es geome´tricamente
independiente si no esta´n contenidos en un hiperplano de dimensio´n (k−1), o equivalente-
mente, si los k vectores {v1− v0,v2− v0, . . . ,vk− v0} son linealmente independientes. En tal
caso, su envoltura convexa
[v0,v1, . . . ,vk] := { t0v0+ t1v1+ · · ·+ tkvk : cada t j ≥ 0, t0+ · · ·+ tk = 1} ⊂ Rn
es una parte compacta de Rn, homeomorfa al sı´mplice esta´ndar ∆k del Ejemplo 3.15. Esta
envoltura convexa se llama el k-sı´mplice cerrado con ve´rtices v0,v1, . . . ,vk. Los coeficientes
(t0, . . . , tk) ∈ ∆k del punto t0v0+ t1v1+ · · ·+ tkvk son los coordenados barice´ntricos de dicho
punto del sı´mplice.
Si I = {i1, . . . , ir} ⊆ [k], la faceta I-e´sima de [v0,v1, . . . ,vk] es el sı´mplice r-dimensional
[vi1, . . . ,vir ]. Tambie´n conviene definir el k-sı´mplice abierto
(v0,v1, . . . ,vk) := { t0v0+ t1v1+ · · ·+ tkvk : cada t j > 0, t0+ · · ·+ tk = 1},
cuya clausura es el k-sı´mplice cerrado [v0,v1, . . . ,vk]. Fı´jese que un k-sı´mplice es la unio´n
disjunta de todos sus 2k facetas abiertas.
1El grupo pik(X , p) se define como las clases de homotopı´a [(Sk,n),(X , p)], donde n es el “polo norte” de la
esfera Sk. Entre dichas clases se puede definir una ley de composicio´n que generaliza la concatenacio´n de clases
de lazos, de tal manera que pik(X , p) sea un grupo abeliano para k ≥ 2.
MA–704: Topologı´a 96
Para aliviar un poco la notacio´n, conviene denotar el juego de ve´rtices por una letra s, el
sı´mplice cerrado por [s] y el sı´mplice abierto por (s), ası´:
s := {v0,v1, . . . ,vk}, [s] := [v0,v1, . . . ,vk], (s) := (v0,v1, . . . ,vk).
•
•
•
•
•
•
•
•
Definicio´n 4.2. Un complejo simplicial euclidiano enRn es un conjunto finito K de sı´mplices
abiertos en Rn, que cumple dos requisitos:2
(a) Si (s) ∈ K, entonces cada faceta abierta de [s] tambie´n pertenece a K;
(b) Si (r),(s) ∈ K con (r)∩ (s) 6= /0, entonces (r) = (s).
Su dimensio´n dimK es la mayor dimensio´n de todos los sı´mplices en K.
El soporte de K es la unio´n |K| de todos los sı´mplices en K, con la topologı´a relativa
como parte (compacta) de Rn. En vista de las condiciones (a) y (b), se puede escribir3
|K| :=
⊎
(s)∈K
(s) =
⋃
(s)∈K
[s].
El soporte |K| de un complejo simplicial K tambie´n se llama un poliedro en Rn.
Una triangulacio´n de un espacio compacto (y de Hausdorff) X es un homeomorfismo
h : |K| → X , para algu´n complejo simplicial K.
Definicio´n 4.3. Un subcomplejo de un complejo simplicial K es una parte L⊂K que tambie´n
cumple los requisitos (a) y (b) de la definicio´n anterior.
Si r ≤ dimK, el r-esqueleto de K es el subcomplejo Kr := {(s) ∈ K : dim(s) ≤ r}. El
0-esqueleto de K es el conjunto de los ve´rtices de cada uno de sus sı´mplices (sin repeticio´n).
Por ejemplo, si |K| es un tetraedro en R3, entonces |K0| consta de sus 4 ve´rtices; |K1| es
la unio´n de sus 6 aristas; y |K2| es la unio´n de sus 4 facetas.
Si K es el juego de facetas de un tetraedro regular inscrito en la esfera S2, la proyeccio´n
radial desde el origen 0∈R3 define un homeomorfismo |K2| ≈ S2: la esfera queda triangulado
por cuatro “tria´ngulos esfe´ricos”.
2El adjetivo euclidiano excluye una definicio´n ma´s general de complejo simplicial, en donde se permite una
cantidad numerable de sı´mplices, de cualquier dimensio´n, con una condicio´n de finitud local que implica que
su soporte es un espacio paracompacto pero no necesariamente compacto.
3El libro de Singer y Thorpe usa la notacio´n [K] en vez de |K| para el soporte del complejo simplicial K.
MA–704: Topologı´a 97
Definicio´n 4.4. Al elegir un orden v0,v1, . . . ,vk de los ve´rtices de [s] = [v0,v1,v2, . . . ,vk] hasta
permutaciones pares, se obtiene un k-sı´mplice orientado. Al hacer una permutacio´n impar
de estos ve´rtices, se obtiene −[s] := [v1,v0,v2, . . . ,vk], con la orientacio´n opuesta.
La I-e´sima faceta de s recibe la orientacio´n compatible con el orden vi1, . . . ,vir de sus
ve´rtices, siendo i1 < · · · < ir. Ası´, por ejemplo, en el 2-sı´mplice orientado [v0,v1,v2] las
1-facetas (sus lados) con orientaciones compatibles son [v0,v1], [v0,v2] y [v1,v2].
I Esta discusio´n de sı´mplices y complejos simpliciales servira´ en breve para transferir cier-
tos ca´lculos combinatorios hechos con los sı´mplices al contexto de la topologı´a de sus so-
portes. Histo´ricamente, esto implicaba la necesidad de reemplazar una funcio´n continua
f : |K| → |L| por una aplicacio´n afı´n por trozos ϕ : |K| → |L|, homoto´pica a f , por un pro-
ceso de aproximacio´n simplicial. Ese camino no es corto.4
La ruta se puede abreviar al reemplazar una triangulacio´n estricta de X por cierto tipo
de funcio´n continua sobreyectiva f : Y → X , al dotar un complejo simplicial de un poco de
topologı´a inicialmente.
Definicio´n 4.5. Sea K un complejo simplicial euclidiana. Un ∆-complejo derivado de K es
un espacio cociente5
Y :=
( ⊎
(s)∈K
[s]
)/
∼
donde la relacio´n de equivalencia hace una identificacio´n de algunas familias de k-sı´mplices
cerradas [s] de K mediante la biyeccio´n afı´n ∆k↔ [s]; para k = 0,1, . . . ,(dimK−1).
Entonces Y es una unio´n disjunta de k-sı´mplices abiertos (skα) de varias dimensiones; cada
(skα) conlleva una aplicacio´n caracterı´stica σ kα : ∆k→Y cuya restriccio´n al interior ∆◦k es un
homeomorfismo de ∆◦k a (s
k
α); la clausura de (s
k
α) es la imagen de la funcio´n continua σ kα ; y
la restriccio´n de σ kα a cada (k−1)-faceta de ∆k coincide con la aplicacio´n caracterı´stica σ k−1β
de algu´n (k−1)-sı´mplice abierto (sk−1β ) ∈ K.
Ejemplo 4.6. Conside´rese el complejo simplicial obtenido del cuadrado I × I al dividirlo
con el segmento diagonal desde (0,0) a (1,1): hay 4 ve´rtices, 5 aristas y 2 tria´ngulos en K.
Mediante identificaciones de los dos pares de lados opuestos, es posible obtener un espacio
compacto de varias maneras, dependiendo de la orientacio´n de los sı´mplices en K.
4El teorema de aproximacio´n simplicial fue mostrado por Brouwer con hipo´tesis extras y la versio´n general
fue efectuado por Alexander, en: J. W. Alexander, Combinatorial analysis situs, Transactions of the American
Mathematical Society 28 (1926), 301–329. Para una demostracio´n detallada, ve´ase el libro de Singer y Thorpe,
seccio´n 4.3.
5El te´rmino ∆-complejo no es esta´ndar; aquı´ se sigue la notacio´n del libro de Hatcher. Es una adaptacio´n de
la definicio´n cla´sica de complejo celular.
MA–704: Topologı´a 98
K K
L L
v v
vv
v w
vw
f
g
f
g h
f
g
f
g h
• •• •
• •• •
El diagrama muestra dos casos, en donde los 0-sı´mplices y los 1-sı´mplices con iguales
nombres se identifican. Las flechas indican las orientaciones de los 1-sı´mplices (e implı´cita-
mente, las orientaciones de los 2-sı´mplices tambie´n). En el primer caso, las aristas f y las
aristas g se identifican paralelamente: (t,0) ∼ (t,1) y (0, t) ∼ (1, t); en consecuencia, los 4
ve´rtices se identifican al mismo punto v. El espacio cociente resultante es un toro T2.
En el segundo caso, las aristas f y las aristas g se identifican de modo antiparalelo:
(t,0)∼ (1−t,1) y (0, t)∼ (1,1−t); en consecuencia, los ve´rtices (0,0) y (1,1) se identifican
a un punto v; mientras los ve´rtices (0,1) y (1,0) se identifican a otro punto w. El espacio
cociente resultante es homeomorfo al plano proyectivo RP2. ♦
En el ejemplo anterior, fı´jese que las flechas para cada tria´ngulo no forman un ciclo cer-
rado, porque las orientaciones de los 1-sı´mplices vienen, por restriccio´n, de las orientaciones
de los 2-sı´mplices. Esta condicio´n es necesario, y resulta ser suficiente, para que un cociente
de una unio´n disjunta de sı´mplices cerrados forme un ∆-complejo.
4.2 Homologı´a simplicial y singular
La estructura combinatoria de un ∆-complejo permite armar un aparato algebraico que le aso-
cia un juego de grupos abelianos que permanecen invariantes bajo subdivisio´n. Por ejemplo,
un tria´ngulo plano puede considerarse como un 2-sı´mplice, o bien como un ∆-complejo for-
mado por los tres tria´ngulos obtenidos al trazar un segmento de cada ve´rtice a cierto punto
interior. Se busca invariantes algebraicos que son insensibles a la “cancelacio´n de bordes
internos” de estos tres tria´ngulos, ya que el tria´ngulo subdividido es homeomorfo al tria´ngulo
original.
Definicio´n 4.7. Sea {(skα) : α ∈ Jk } el conjunto de los k-sı´mplices abiertos en un ∆-complejo
Y . Una k-cadena simplicial en Y es suma formal finita ∑α mα(skα) de tales k-sı´mplices,
con coeficientes mα ∈ Z. La totalidad de k-cadenas simpliciales es un grupo abeliano ∆k(Y ).
Dicho de otra manera, ∆k(Y ) es el grupo abeliano libre6 generado por los k-sı´mplices abiertos
de Y .
6Si G es cualquier grupo abeliano, las sumas formales finitas con mα ∈ G —en lugar de Z— forman un
grupo abeliano ∆k(Y ;G) de k-cadenas con coeficientes en G. La opcio´n por defecto es G = Z; pero tambie´n
vale la pena emplear G = R o´ C o bien Z/2, de vez en cuando.
MA–704: Topologı´a 99
Hay una operacio´n de “borde” ∂k : ∆k(Y )→ ∆k−1(Y ), definido por una extensio´n aditiva
de la idea del borde de un k-sı´mplice.
Definicio´n 4.8. Si [s] = [v0, . . . ,vk] es un k-sı´mplice orientado, sus facetas de dimensio´n k−1
son los (k−1)-sı´mplices orientados
[v0, . . . , v̂i, . . . ,vk]≡ [v0, . . . ,vi−1,vi+1, . . . ,vk]
donde la notacio´n v̂i indica que el ve´rtice vi queda suprimida de la lista de ve´rtices.
El borde ∂ [s] es la suma formal de estas (k−1)-facetas con la orientacio´n original u op-
uesta alternadamente:
∂ [v0, . . . ,vk] :=
k
∑
j=0
(−1) j[v0, . . . , v̂ j, . . . ,vk].
En particular, se define ∂ [v0] := 0 y para k = 1,2,3, valen
∂ [v0,v1] := [v1]− [v0],
∂ [v0,v1,v2] := [v1,v2]− [v0,v2]+ [v0,v1],
∂ [v0,v1,v2,v3] := [v1,v2,v3]− [v0,v2,v3]+ [v0,v1,v3]− [v0,v1,v2].
Fı´jese que el borde del tria´ngulo [v0,v1,v2] es un circuito cı´clico de sus lados; y que en el
borde del tetraedro [v0,v1,v2,v3] sus cuatro facetas esta´n orientados de tal manera que en sus
propias bordes, las orientaciones de las seis aristas cancelan en pares: ∂ 2[v0,v1,v2,v3] = 0.
Definicio´n 4.9. Cada k-sı´mplice abierto (skα) en ∆k(Y ) queda determinado por su aplicacio´n
caracterı´stica σ kα : ∆k → Y ; entonces se puede redefinir ∆k(Y ) como el grupo abeliano li-
bre generado por estos σ kα , cuyo elemento tı´pico tiene la forma ∑α mασ kα con mα ∈ Z. Si
ε jk : ∆k−1→ ∆k es la funcio´n afı´n tal que
ε jk
(
[e0, . . . ,ek−1]
)
= [e0, . . . , ê j, . . . ,ek],
donde {e0, . . . ,ek} denota la base vectorial esta´ndar de Rk+1, entonces cada σ kα ◦ ε jk es una
aplicacio´n caracterı´stica de algu´n (k− 1)-sı´mplice en ∆k−1(Y ). El borde ∂k(σ kα) se define
como la (k−1)-cadena:7
∂k(σ kα) :=
k
∑
j=0
(−1) jσ kα ◦ ε jk .
Se extiende ∂k por aditividad, ∂k
(
∑α mασ kα
)
:=∑α mα∂k(σ kα). De esta manera, se obtiene un
homomorfismo de grupos abelianos ∂k : ∆k(Y )→ ∆k−1(Y ).
7Cuando no hay peligro de ambigu¨edad, se escribe ∂ en vez de ∂k para denotar un borde.
MA–704: Topologı´a 100
Lema 4.10. La composicio´n ∂k−1 ◦∂k : ∆k(Y )→ ∆k−2(Y ) es cero.
Demostracio´n. Por aditividad, basta mostrar que ∂k−1(∂k(σ kα)) = 0 para cualquier σ kα ; o
equivalentemente, que ∂ (∂ ([v0, . . . ,vk])) = 0 para cualquier k-sı´mplice cerrado [v0, . . . ,vk].
En el ca´lculo de ∂ (∂ ([v0, . . . ,vk])), se eliminan dos ve´rtices, primero v j y luego vi, de
la lista de ve´rtices del k-sı´mplice; hay dos casos, segu´n el ve´rtice vi precede o bien sucede
al ve´rtice v j en la lista. En el primer caso, hay un factor de signo (−1)i pero este factor es
(−1)i−1 en el segundo caso. Por lo tanto, se obtiene
∂ (∂ [v0, . . . ,vk]) =
k
∑
j=0
(−1) j∂ [v0, . . . , v̂ j, . . . ,vk]
=∑
i< j
(−1)i+ j[v0, . . . , v̂i, . . . , v̂ j, . . . ,vk]+∑
i> j
(−1)i+ j−1[v0, . . . , v̂ j, . . . , v̂i, . . . ,vk]
=∑
i< j
(
(−1)i+ j +(−1) j+i−1)[v0, . . . , v̂i, . . . , v̂ j, . . . ,vk] = 0.
(En el tercer renglo´n, un cambio parcial de ı´ndices i↔ j permite combinar pares de te´rminos
con signos opuestos.)
I La propiedad ∂k−1 ◦ ∂k = 0 permite cambiar el contexto a un problema puramente alge-
braico. La lista de grupos abelianos {∆k(Y ) : k ∈N}, junto con la familia de homomorfismos
{∂k : k ∈ N} entre ellos, es una instancia de la siguiente definicio´n.
Definicio´n 4.11. Un complejo de cadenas (C•,∂ ) es una familia {Ck : k ∈ N} de grupos
abelianos,8 junto con homomorfismos ∂k : Ck→Ck−1 para cada k (con ∂0 : C0→ 0 el homo-
morfismo nulo), tales que δk−1 ◦ δk = 0 en Hom(Ck,Ck−2) para todo k. Los elementos del
grupo Ck se llaman k-cadenas.
Ck Ck−1 · · ·Ck+1· · ·
Dk Dk−1 · · ·Dk+1· · ·
∂k+2 ∂k+1 ∂k ∂k−1
δk+2 δk+1 δk δk−1
ϕk+1 ϕk ϕk−1
Los complejos de cadenas son objetos de una categorı´a Ab• en la cual un morfismo
ϕ• : (C•,∂ )→ (D•,δ ) es una familia de homomorfismos ϕk : Ck→ Dk tales que ϕk−1 ◦∂k =
δk ◦ϕk : Ck→ Dk−1 para cada k; en otras palabras, hay un diagrama conmutativo cuyas filas
son los dos complejos y cuyas flechas verticales son los ϕk.
8Por comodidad, se puede definir C−m := 0 para m ∈ N∗.
MA–704: Topologı´a 101
Definicio´n 4.12. Sea (C•,δ ) un complejo de cadenas. Una k-cadena x ∈Ck es un k-ciclo si
δk(x) = 0; adema´s, x es un k-borde si x = δk+1(y) para algu´n y ∈Ck+1.
La totalidad de los k-ciclos es Zk := ker∂k, un subgrupo de Ck. La totalidad de los k-bordes
es Bk := im∂k+1, el cual es otro subgrupo de ck.
La condicio´n ∂k ◦∂k+1 = 0 garantiza que Bk ≤ Zk. El grupo abeliano cociente
Hk := Zk/Bk = ker∂k/ im∂k+1
es el k-e´simo grupo de homologı´a del complejo (C•,δ ). El grupo abeliano H• :=
⊕
k∈NHk
es la homologı´a (a secas) de este complejo.
Los elementos del grupo Hk se llaman clases de homologı´a de grado k. Dos k-ciclos
x,x′ ∈ Zk tales que x− x′ ∈ Bk se llaman ciclos homo´logos, ya que [x] = [x′] ∈ Hk.
Definicio´n 4.13. Sea Y un ∆-complejo y sea (∆•(Y ),∂ ) el complejo de cadenas simpliciales
correspondiente. La homologı´a simplicial de Y es la homologı´a de este complejo, definido
por H∆k (Y ) := Zk/Bk = ker∂k/ im∂k+1.
• vf
Ejemplo 4.14. El cı´rculo S1 es un ∆-complejo con un so´lo 0-sı´mplice v; y un so´lo 1-sı´mplice,
cuya aplicacio´n caracterı´stica f : ∆1→ S1 esta´ dada por f (1− t, t) := e2piit , lo cual describe
un lazo basado en 1 que rodea el cı´rculo una sola vez contrario a reloj. Entonces
∆0(S1)' Z, ∆1(S1)' Z, ∆k(S1) = 0 para k ≥ 2.
Con mayor detalle: ∆0(S1) = Zv es grupo abeliano libre generado por v; ∆1(S1) = Z f es
grupo abeliano libre generado por f . La aplicacio´n de borde ∂1 : ∆1(S1)→ ∆0(S1) es nula,
ya que ∂1( f ) = v− v = 0. Si k ≥ 2, esta´ claro que Zk = 0 y por ende H∆k (S1) = 0 para k ≥ 2.
Si k = 1, f ∈ Z1 es un ciclo (¡naturalmente!) ya que ∂1( f ) = 0, mientras B1 = 0. Si k = 0,
v ∈ Z0 es un ciclo, mientras B0 = im∂1 = 0. En conclusio´n:
H∆0 (S1) = Z, H∆1 (S1) = Z, H∆k (S
1) = 0 para k ≥ 2. ♦
Ejemplo 4.15. El toro T2 es un ∆-complejo ya visto en el Ejemplo 4.6: tiene un so´lo 0-sı´m-
plice v; tres 1-sı´mplices f , g, h; y dos 2-sı´mplices K, L. De su diagrama, se puede observar
que
∂1( f ) = ∂1(g) = ∂1(h) = v− v = 0;
∂2(−K) = ∂2(L) = f +g−h.
MA–704: Topologı´a 102
Entonces Z0 ' Z con un generador v; Z1 ' Z⊕Z⊕Z con tres generadores f , g, h; y Z2 ' Z
con un generador (K+L). Por otro lado, se ve que B0 = im∂1 = 0; B1 = im∂2 ' Z con un
generador ( f +g−h); y B2 = 0 porque ∂3 es nulo. Entonces
H∆0 (T2) = Z, H∆1 (T2) = Z⊕Z, H∆2 (T2) = Z.
Adema´s, vale H∆k (T
2) = 0 para k ≥ 3. ♦
Ejemplo 4.16. El plano proyectivo RP2 es otro ∆-complejo ya visto en el Ejemplo 4.6: tiene
dos 0-sı´mplices v y w; tres 1-sı´mplices f , g, h; y dos 2-sı´mplices K y L. De su diagrama:
∂1( f ) = ∂1(g) = w− v; ∂1(h) = 0;
∂2(K) = f −g+h; ∂2(L) = f −g−h.
Entonces Z0 ' Z⊕Z con generadores v y w; Z1 ' Z⊕Z con dos generadores ( f −g) y h; y
Z2 = 0 porque ∂2 es inyectivo. Por otro lado, se ve que B0 = im∂1'Z con generador (w−v);
B1 = im∂2'Z⊕Z con generadores ( f −g+h) y ( f −g−h); y B2 = 0. Entonces es evidente
que H∆0 (RP
2)' Z con generador [v] = [w]; y que H∆2 (RP2) = 0.
El ca´lculo de H∆1 (RP
2) requiere un poco de atencio´n. Tanto Z1 como B1 son copias
de Z⊕Z, pero el 1-ciclo h no es un 1-borde, porque no es una combinacio´n con coeficientes
enteros de ∂2(K) y ∂2(L).
Si puede tomar { f −g+h,h} como base de Z1 (sobre el anillo Z); y a la vez una Z-base
de B1 podrı´a ser { f −g+h,2h} porque ( f −g+h)− ( f −g−h) = 2h. Esto muestra que B1
es un subgrupo de ı´ndice 2 en Z1, ası´ que Z1/B1 ' Z/2. En conclusio´n:
H∆0 (RP2) = Z, H∆1 (RP2) = Z/2, H∆2 (RP2) = 0.
Adema´s, vale H∆k (RP
2) = 0 para k ≥ 3. ♦
I De los ejemplos anteriores, es evidente que la homologı´a simplicial de un espacio topo-
lo´gico es bastante sencilla de calcular, una vez que se haya identificado una triangulacio´n o
una estructura de ∆-complejo sobre ese espacio. (Queda pendiente la pregunta de si dos trian-
gulaciones diferentes de un espacio dan lugar a los mismos grupos de homologı´a.) Para espa-
cios topolo´gicos ma´s generales, hay que buscar otra procedimiento. El nuevo me´todo consiste
en relajar la condicio´n de que las aplicaciones caracterı´sticas σ kα : ∆k → Y sean bicontinuas
sobre el interior de cada ∆k; esto permite modelar espacios topolo´gicos con “singularidades”
que no necesariamente son homeomorfos a ∆-complejos.
Definicio´n 4.17. Sea X un espacio topolo´gico. Un k-sı´mplice singular en X es una funcio´n9
continua σ : ∆k→ X . Para cada k ∈ N, sea Sk(X) el grupo abeliano libre generado por todos
9Fı´jese bien que no se trata de la imagen σ(∆k)⊆ X , sino de la propia funcio´n σ .
MA–704: Topologı´a 103
los k-sı´mplices singulares en X . (Si k < 0 en Z, colo´quese Sk(X) := 0 tambie´n.) Los elemen-
tos de Sk(X) —sumas finitas de k-sı´mplices singulares— se llaman k-cadenas singulares
en X .
Defı´nase un homomorfismo ∂k : Sk(X)→ Sk−1(X) por
∂k(σ) :=
k
∑
j=0
(−1) jσ ◦ ε jk ,
donde ε jk : ∆k−1→ ∆k es la inclusio´n de la j-e´sima faceta de dimensio´n k−1.
Lema 4.18. La composicio´n ∂k−1 ◦∂k : Sk(X)→ Sk−2(X) es cero.
Demostracio´n. El argumento es ide´ntico a la demostracio´n del Lema 4.10, con un cambio de
notacio´n. Basta notar que
∂k−1(∂k(σ)) =∑
i< j
(−1)i+ jσ ◦ (ε jk ◦ ε ik−1− ε ik ◦ ε j−1k−1 )
y chequear que los te´rminos en pare´ntesis a la derecha se anulan por cancelacio´n.
Como resultado, los grupos Sk(X) forman un complejo de cadenas singulares (S•(X),∂ )
cuya homologı´a es la homologı´a singular del espacio topolo´gico X . Sus grupos de ho-
mologı´a se denotan Hk(X), para k ∈ N, sin adorno alguno para distinguirlos de los grupos
H∆k (X) de la homologı´a simplicial.
10
Lema 4.19. Si X es un espacio topolo´gico conexo por caminos (con X 6= /0), su homologı´a
singular en grado cero es H0(X) = Z.
Demostracio´n. Cada 0-cadena singular es un 0-ciclo; luego H0(X) = S0(X)/ im∂1. Defı´nase
un homomorfismo ε : S0(X)→Z por ε
(
∑r mrσr
)
:=∑r mr. Si τ : ∆1→ X es un camino (esto
es, una 1-cadena singular), entonces ε(∂1(τ)) = ε(τ(e1))− ε(τ(e0)) = 1−1 = 0.
Por otro lado, si ∑r mrσr ∈ kerε , de tal manera que ∑r mr = 0, entonces hay un camino
τr : ∆1→ X de un punto de base p ∈ X a cualquiera de los puntos σr(e0), ya que X es conexo
por caminos. Si σ0 : ∆0→ X es el 0-sı´mplice singular determinado por σ0(e0) := p, entonces
∂1(τr) = σr−σ0. Ahora
∂1
(
∑r mrτr
)
= ∑r mrσr−∑r mrσ0 = ∑r mrσr.
La conclusio´n es que im∂1 = kerε . Luego H0(X) = S0(X)/kerε ' imε =Z, por un resultado
sencillo de la teorı´a de grupos.
10En la e´poca entre las dos guerras mundiales, se inventaron muchas variantes de la homologı´a de un es-
pacio topolo´gico (simplicial, singular, por cubrimentos de Cˇech, etc.) Estos grupos coincidı´an para muchos
espacios topolo´gicos, aunque su coincidencia no era evidente; y los procedimientos de ca´lculo eran general-
mente engorrosos. Para uniformar los diversos variantes, Samuel Eilenberg y Norman Steenrod propusieron
una formulacio´n axioma´tica de la homologı´a, en el libro: S. Eilenberg y N. Steenrod, Foundations of Algebraic
Topology, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1952.
MA–704: Topologı´a 104
Lema 4.20. Si P = {p} es un punto, entonces H0(P) = Z y Hk(P) = 0 para k > 0.
Demostracio´n. El caso k = 0 es un corolario del Lema anterior.
Para cualquier k ∈N, hay un u´nico k-sı´mplice singular σk : ∆k→ P. Su borde es ∂k(σk) =
∑kj=0(−1) jσk−1. Esta suma se anula si k es impar; y ∂k(σk) = σk−1 si k es par. Entonces
Z2l+1 = B2l+1 ' Z con generador σ2l+1, mientras Z2l+2 = B2l+2 = 0; para todo l ∈ N. En-
tonces Hk(P) = 0 para todo k > 0.
I Una ventaja importante que tiene la homologı´a singular sobre la homologı´a simplicial es
la facilidad de demostrar la propiedad crucial de invariancia bajo homotopı´a. Al trabajar
con cadenas singulares, una homotopı´a F : X × I→ Y puede expresarse en te´rminos del los
sı´mplices ∆k y de los prismas ∆k× I.
v0 v1
v2
w0 w1
w2
•
•
•
•
•
•
Lema 4.21. El prisma ∆k×I es un ∆-complejo formado por (k+1)-sı´mplices [s0], [s1], . . . , [sk]
donde [s j]∩ [s j+1] es una k-faceta comu´n de estos dos (k+1)-sı´mplices, para j = 0, . . . ,k−1.
Demostracio´n. Un recta´ngulo queda subdividido en dos tria´ngulos por un segmento diago-
nal; un prisma de base tria´ngulo queda subdividido en tres tetraedros por dos tria´ngulos
interiores, etc. Para el caso general, escrı´base ∆k × {0} = [v0, . . . ,vk] =: [r0] y tambie´n
∆k×{1}= [w0, . . . ,wk] =: [rk+1], donde v j = (e j,0) y w j = (e j,1) para j = 0,1, . . . ,k.
Los k-sı´mplices [v0, . . . ,v j−1,w j, . . . ,wk] =: [rk+1− j], para j = 1, . . . ,k, puede ser consi-
derados como grafos de funciones afines fk+1− j : ∆k→ I, dados por
fk+1− j(t0e0+ · · ·+ tkek) := t j + t j+1+ · · ·+ tk.
Los k-sı´mplices [r0] y [rk+1] (las “bases inferior y superior” del prisma) son grafos de las
funciones constantes f0 ≡ 0 y fk+1 ≡ 1. Es evidente que fk− j(v) ≤ fk+1− j(v) para todo
v ∈ ∆k; la regio´n entre sus dos grafos es el (k+1)-sı´mplice
[s j] := [v0, . . . ,v j,w j, . . . ,wk].
Entonces [r j−1] y [r j] son las facetas “inferior” y “superior” de [s j].
Fı´jese que 0 ≤ f1 ≤ ·· · ≤ fk ≤ 1. Para cada punto v = t0e0+ · · ·+ tkek ∈ ∆k y s ∈ I, hay
al menos un ı´ndice j tal que fk− j(v) ≤ s ≤ fk+1− j(v). Entonces ∆k× I es la unio´n de los
sı´mplices [s0], [s1], . . . , [sk].
MA–704: Topologı´a 105
Teorema 4.22. Si dos funciones continuas f : X → Y , g : X → Y son homoto´picas, entonces
f∗ = g∗ : Hk(X)→ Hk(Y ) para cada k ∈ N.
Demostracio´n. Sea τ jk+1 : ∆k+1 → ∆k × I la funcio´n afı´n inyectiva cuya imagen es [s j] :=
[v0, . . . ,v j,w j, . . . ,wk], en la notacio´n del Lema anterior, dado por
τ jk+1(ei) :=
{
vi si i≤ j,
wi−1 si i > j.
Sea F : X × I → Y una homotopı´a entre f y g. Para cada k-sı´mplice singular σ : ∆k →
X , escrı´base σ ′(v, t) := (σ(v), t) si (v, t) ∈ ∆k× I, ası´ que F ◦σ ′ : ∆k× I → Y es continua.
Defı´nase un homomorfismo entre cadenas P : Sk(X)→ Sk+1(Y ) por la fo´rmula
P(σ) :=
k
∑
j=0
(−1) j F ◦σ ′ ◦ τ jk+1 =
k
∑
j=0
(−1) j F ◦σ ′∣∣[v0, . . . ,v j,w j, . . . ,wk] .
Por su definicio´n, P(σ) es una (k+1)-cadena singular en Y . Su borde en Sk(Y ) es
∂P(σ) =∑
i≤ j
(−1)i+ j F ◦σ ′∣∣[v0, . . . , v̂i, . . . ,v j,w j, . . . ,wk]
+∑
i≥ j
(−1)i+ j+1 F ◦σ ′∣∣[v0, . . . ,v j,w j, . . . , ŵi, . . . ,wk] .
Por otro lado, ∂σ es una (k− 1)-cadena en Y ; el homomorfismo P : Sk−1(X)→ Sk(Y ) lleva
∂σ en la k-cadena
P(∂σ) =∑
i< j
(−1)i+ j F ◦σ ′∣∣[v0, . . . ,vi,wi, . . . , ŵ j, . . . ,wk]
+∑
i> j
(−1)i+ j+1 F ◦σ ′∣∣[v0, . . . , v̂ j, . . . ,vi,wi, . . . ,wk] .
Todos los te´rminos en P(∂σ) tambie´n aparecen en ∂P(σ), con el signo opuesto. En la suma
∂P(σ)+P(∂σ), sobreviven los te´rminos en ∂P(σ) con i = j. Por lo tanto,
∂P(σ)+P(∂σ) =
k
∑
j=0
F ◦σ ′∣∣[v0, . . . ,v j−1,w j, . . . ,wk]− k∑
j=0
F ◦σ ′∣∣[v0, . . . ,v j,w j+1, . . . ,wk]
= F ◦σ ′∣∣[w0, . . . ,wk]−F ◦σ ′∣∣[v0, . . . ,vk] = g◦σ − f ◦σ .
Al escribir f] : Sk(X)→ Sk(Y ) : σ 7→ f ◦σ , se obtiene un morfismo de cadenas, ya que
∂ ( f ◦σ) = f ◦∂σ . El ca´lculo anterior puede resumirse en la fo´rmula
∂P+P∂ = g]− f]
MA–704: Topologı´a 106
que lleva Sk(X) en Sk(Y ) para todo k ∈N. (La aplicacio´n P que cumple esta fo´rmula se llama
una homotopı´a de cadenas entre los morfismos de cadenas f] y g].)
Ahora bien, si α ∈ Sk(X) es un k-ciclo (es decir, si ∂α = 0), entonces g](α)− f](α) =
∂P(α) es un k-borde, ası´ que sus clases en Hk(Y ) = Zk(Y )/Bk(Y ) coinciden:
f∗(α) := f](α) = g](α) = g∗(α),
para todo α ≡ (α+Bk(X)) ∈ Hk(X).
Obse´rvese que la demostracio´n anterior viene en dos etapas: una larga construccio´n com-
binatoria, usando la subdivisio´n de un prisma en sı´mplices, para pasar de una homotopı´a de
funciones F a la homotopı´a de cadenas P; luego un breve argumento algebraico que con-
vierte esa homotopı´a de cadenas en igualdades a nivel de homologı´a. Los considerandos
algebraicos que pasan de complejos de cadenas a grupos de homologı´a reciben el nombre de
a´lgebra homolo´gica. El contenido topolo´gico del proceso consiste solamente en amarrar las
cadenas.
Corolario 4.23. Una equivalencia de homotopı´a f : X →Y induce una familia de isomorfis-
mos, f∗ : Hk(X)
'−→Hk(Y ) para cada k ∈ N. 
I Una nocio´n muy importante, que a su vez sirve para calcular muchos grupos de ho-
mologı´a, es la relacio´n entre la homologı´a de un espacio X y la de un subespacio A ⊆ X .
Evidentemente, la inclusio´n i : A X induce un homomorfismo i∗ : Hk(A)→ Hk(X), no
necesariamente inyectivo. En la categorı´a de grupos abelianos, es posible pasar al cociente
Hk(X)/Hk(A). Resulta que este grupo cociente no siempre coincide con el grupo Hk(X/A);
pero esto es ventajoso si el cociente topolo´gico X/A es difı´cil de manejar —por ejemplo, si
A no es cerrado en X . En lugar de pasar al cociente en topologı´a, es preferible trabajar en la
categorı´a de pares (X ,A). Recue´rdese que un morfismo f : (X ,A)→ (Y,B) es una funcio´n
continua f : X → Y tal que f (A)⊆ B.
Definicio´n 4.24. Sea X un subespacio topolo´gico y sea A ⊆ X . El grupo abeliano cociente
Sk(X ,A) := Sk(X)/Sk(A) es el grupo de k-cadenas singulares relativas en X mod A. Si
σ : ∆k→ X es una k cadena singular en X , la circunstancia σ(∆k)⊆ A —es decir, σ ∈ Sk(A)
como subgrupo de Sk(X)— conlleva ∂kσ ∈ Sk−1(A) tambie´n. Luego hay un homomorfismo
bien definido ∂¯k : Sk(X ,A)→ Sk−1(X ,A) dado por ∂¯k(σ) := ∂kσ entre las coclases. En otras
palabras, hay un diagrama conmutativo:
Sk(X) Sk−1(X) · · ·Sk+1(X)· · ·
Sk(X ,A) Sk−1(X ,A) · · ·Sk+1(X ,A)· · ·
∂k+1 ∂k
∂¯k+1 ∂¯k
MA–704: Topologı´a 107
donde las flechas verticales son los homomorfismos cocientes de grupos abelianos. Fı´jese
que ∂¯k ◦ ∂¯k+1 = 0 ası´ que las filas de este diagramas son complejos. La homologı´a relativa
del par (X ,A) es la homologı´a del complejo (S•(X ,A), ∂¯ ).
Para dar una descripcio´n ma´s concreta del grupo Hk(X ,A), se puede identificar elementos
de Zk(X ,A) con cadenas singulares α ∈ Sk(X) tales que ∂kα ∈ Sk−1(A); tales α se llaman
k-ciclos relativos. Del mismo modo, es posible identificar Bk(X ,A) con k-bordes relativos;
estos son elementos de Sk(X) de la forma α = ∂k+1β + γ donde β ∈ Sk+1(X), γ ∈ Sk(A). El
grupo de homologı´a relativa en grado k es Hk(X ,A) := Zk(X ,A)/Bk(X ,A).
Por ejemplo, un 1-ciclo relativo es un camino en X cuyos puntos inicial y final quedan
en A. Un k-sı´mplice singular σ : ∆k → X es un k-ciclo relativo si cada (k− 1)-faceta de σ
queda en A.
Lema 4.25. La homologı´a relativa en grado k define un funtor Hk : TopPar→ Ab.
Demostracio´n. Sea f : (X ,A)→ (Y,B) un morfismo de pares; hay morfismos de cadenas
f] : Sk(X)→ Sk(Y ) y f] : Sk(A)→ Sk(B) dadas por la misma fo´rmula σ 7→ f ◦σ , porque si
σ : ∆k→ A es un k-sı´mplice singular en Sk(A), entonces f (σ(∆k))⊆ f (A)⊆ B, de modo que
f ◦σ es un k-sı´mplice singular en Sk(B). Entonces σ 7→ f ◦σ es un homomorfismo bien
definido f] : Sk(X ,A)→ Sk(Y,B) entre grupos cocientes.
La fo´rmula ∂kσ := ∑kj=0(−1) jσ ◦ ε jk , que define la operacio´n de borde, muestra que
∂k( f](σ))= f](∂kσ) en los primeros dos casos; y que ∂¯k( f](σ))= f](∂¯k(σ)) en el tercer caso.
Por lo tanto, cualquiera de estos f] es un morfismo de cadenas. La fo´rmula f∗(α) := f](α)
entonces bien define homomorfismos f∗ : Hk(X)→ Hk(Y ) y f∗ : Hk(A)→ Hk(B) y tambie´n
Hk f ≡ f∗ : Hk(X ,A)→ Hk(Y,B).
Es fa´cil comprobar si g : (Y,B)→ (Z,C) es otro morfismo de pares, entonces (g ◦ f )∗ =
g∗ ◦ f∗ en los tres casos. Tambie´n es evidente que al morfismo de pares 1(X ,A) le corresponde
los automorfismos ide´nticos sobre los grupos Hk(X), Hk(A) y Hk(X ,A). Luego Hk es un
funtor.11
El espacio X puede ser considerado como un par (X , /0); resulta que Hk(X) ' Hk(X , /0)
de modo evidente. En la categorı´a de pares, la funcio´n identidad 1X define un morfismo de
pares j : (X , /0)→ (X ,A). Al aplicar el funtor Hk a este morfismo y tambie´n a la inclusio´n
i : A→ X , se obtiene una composicio´n de homomorfismos:
Hk(A)
i∗−→Hk(X) j∗−→Hk(X ,A).
Si α ∈ Zk(A) es un k-ciclo en A, i](σ) es el mismo k-ciclo como elemento de Zk(X); luego
j](i](α)) es un k-borde relativo en Bk(X ,A). Al pasar a homologı´a, se obtiene la relacio´n
j∗ ◦ i∗ = 0.
11En el transcurso de la demostracio´n, se ha comprobado que la homologı´a singular X 7→ Hk(X), f 7→ f∗
tambie´n define un funtor Hk : Top→ Ab.
MA–704: Topologı´a 108
Entonces im i∗ ≤ ker j∗ como subgrupos de Hk(X). De hecho, estos dos subgrupos coin-
ciden; porque si β ∈ ker j∗ donde β ∈ Zk(X), la relacio´n j∗(β ) = 0 dice que j](β ) ∈ Bk(X ,A)
es un k-borde relativo, de la forma j](β ) = ∂kη + γ para algu´n η ∈ Sk+1(X), γ ∈ Sk(A). En
el grupo Sk(X), la u´ltima ecuacio´n toma la forma β = ∂kη+ γ , o bien β −∂kη = γ . Pero los
k-ciclos β y β ′ := β −∂kη difieren por un k-borde, luego son homo´logos, es decir β = β ′ en
Hk(X). Se concluye que β = i∗(γ) en Hk(X); lo cual muestra que ker j∗ ≤ im i∗.
Definicio´n 4.26. Una composicio´n de homomorfismos de grupos abelianos G ϕ−→H ψ−→K
es exacta en H si imϕ = kerψ .
Una composicio´n de tres o ma´s homomorfismos es una sucesio´n exacta de grupos abelia-
nos si la imagen de cada homomorfismo coincide con el nu´cleo del homomorfismo siguiente.
En particular, una sucesio´n exacta corta esta´ dada por un diagrama de grupos abelianos:
0−→G ϕ−→H ψ−→K−→0
donde ϕ es inyectivo (exactitud en G), imϕ = kerψ (exactitud en H) y ψ es sobreyectivo
(exactitud en K).
Ejemplo 4.27. Sea (X ,A) un par de espacios topolo´gicos, con i : A X la inclusio´n. En-
tonces i] : Sk(A)→ Sk(X) es inyectivo, ya que i](σ) := i ◦σ : ∆k → X para cada k-sı´mplice
singular σ : ∆k→ A. La aplicacio´n cociente j] : Sk(X)→ Sk(X ,A) = Sk(X)/Sk(A) es eviden-
temente sobreyectiva; y su nu´cleo ker j] coincide con el subgrupo im i] ≤ Sk(X). Por lo tanto,
las k-cadenas absolutas y relativas forman una sucesio´n exacta corta de grupos abelianos:
0−→Sk(A)
i]−→Sk(X)
j]−→Sk(X ,A)−→0.
Como estas relaciones son va´lidas para cada k ∈N, donde adema´s las aplicaciones i] y j] son
morfismos de cadenas, se obtiene una sucesio´n exacta corta de complejos:12
0−→S•(A)
i]−→S•(X)
j]−→S•(X ,A)−→0. ♦
Lema 4.28. Dada una sucesio´n exacta de complejos de cadenas
0−→C• ϕ−→D• ψ−→E•−→0,
hay un homomorfismo bien definido δk : Hk(E)→ Hk−1(C) dada por la fo´rmula simbo´lica:
δk(z¯) := ϕ−1(∂ (ψ−1(z¯))).
para todo z¯ := z+Bk(E) ∈ Hk(E).
12Una categorı´a abeliana es una categorı´a C en donde cada conjunto de morfismos HomC(A,B) es un grupo
abeliano; es posible formar la suma directa A⊕B dos objetos A, B cualesquiera; cada morfismo ϕ tiene un nu´cleo
kerϕ y un conu´cleo cokerϕ; y adema´s coker(kerϕ) = ker(cokerϕ). Los grupos abelianos y los complejos
de cadenas singulares son dos ejemplos; el concepto de sucesio´n exacta corta esta´ bien definida en cualquier
categorı´a abeliana.
MA–704: Topologı´a 109
Demostracio´n. Conside´rese el siguiente diagrama conmutativo, cuyas filas son sucesiones
exactas:
0 Ck+1 Dk+1 Ek+1 0
0 Ck Dk Ek 0
0 Ck−1 Dk−1 Ek−1 0
ϕk+1 ψk+1
ϕk ψk
ϕk−1 ψk−1
∂C ∂D ∂E
∂C ∂D ∂E
Si z ∈ Ek es un k-ciclo, hay y ∈ Dk con ψk(y) = z. Entonces
ψk−1(∂Dy) = ∂E(ψk(y)) = ∂Ez = 0,
ası´ que hay un u´nico x ∈Ck−1 tal que ϕk−1(x) = ∂Dy. Adema´s, vale
ϕk−2(∂Cx) = ∂D(ϕk−1(x)) = ∂D(∂Dy) = 0,
ası´ que ∂Cx = 0 porque ϕk−2 es inyectivo. Luego, x ∈Ck−1 es un (k−1)-ciclo. La fo´rmula
del enunciado sugiere definir δk(z¯) := x¯.
Para ver que δk esta´ bien definido, sea z+ ∂Ew un k-ciclo homo´logo a z, con w ∈ Ek+1.
Sea v ∈ Dk tal que ψk(v) = z+∂Ew; y sea u ∈ Dk+1 tal que ψk+1(u) = w. Entonces
ψk(v) = ψk(y)+∂E(ψk+1(u)) = ψk(y+∂Du),
y por ende hay un u´nico t ∈Ck tal que v = y+∂Du+ϕk(t). Entonces
∂Dv = ∂Dy+∂D(ϕk(t)) = ϕk−1(x)+ϕk−1(∂Ct) = ϕk−1(x+∂Ct);
lo cual implica que x+ ∂Ct es el u´nico ciclo en Ck−1 cuya imagen bajo ϕk−1 es ∂Dv. En
resumen: el cambio z 7→ z+ ∂Ew produce una modificacio´n x 7→ x+ ∂Ct, ası´ que la clase
x¯ ∈ Hk−1(C) esta´ determinada por la clase z¯ ∈ Hk(E).
Definicio´n 4.29. Dado un par (X ,A) de espacios topolo´gicos, el homomorfismo
δk : Hk(X ,A)→ Hk−1(A)
dada por el Lema 4.28 aplicada a la sucesio´n de complejos del Ejemplo 4.27, se llama el
homomorfismo conector en grado k entre estos grupos de homologı´a.
El siguiente resultado muestra que la exactitud de la composicio´n j∗ ◦ i∗ en cada grupo
Hk(X) es solamente una tercera parte de una sucesio´n exacta infinitamente larga, formada
por los tres grupos Hk(A), Hk(X) y Hk(X ,A), para cada k ∈ N. El papel del homomorfismo
conector es precisamente el de ligar estos triples de grupos abelianos en una sucesio´n que
termina en el grupo H0(X ,A).
MA–704: Topologı´a 110
Proposicio´n 4.30. Dado un par (X ,A) de espacios topolo´gicos, hay una sucesio´n exacta
larga en homologı´a singular:
· · · δ−→Hk(A) i∗−→Hk(X) j∗−→Hk(X ,A) δ−→Hk−1(A) i∗−→Hk−1(X) j∗−→Hk−1(X ,A) δ−→·· ·
· · · δ−→H0(A) i∗−→H0(X) j∗−→H0(X ,A)−→0.
Demostracio´n. La exactitud im i∗ = ker j∗ en cada grupo Hk(X) ya ha sido comprobada.
Para la exactitud en Hk(X ,A), aplı´quese la construccio´n del Lema 4.28 conψk = j]. Fı´jese
que
δ ( j∗(y¯)) = δ ( j](y)) = i−1] (∂y) = 0
para y ∈ Zk(X). Esto dice que δ ◦ j∗ = 0 o equivalentemente im j∗ ≤ kerδ .
Por otro lado, si z¯= j](y)∈ kerδ , entonces i−1] (∂y) = δ ( j](y)) = 0, ası´ que i−1] (∂y) = ∂x
para algu´n x∈ Sk(A). Luego ∂ (y− i](x)) = ∂y− i](∂x) = 0; el ciclo y− i](x)∈ Zk(X) cumple
j∗(y− i](x)) = j∗(y¯)− j∗(i∗(x¯)) = z¯−0 = z¯
y en consecuencia z¯ ∈ im j∗. Se ha comprobado que im j∗ = kerδ .
Para la exactitud en Hk(A), to´mese z = j](y) ∈ Zk(X ,A); entonces
i∗(δ (z¯)) = i∗(i−1] (∂y)) = ∂y = 0.
Esto dice que i∗ ◦δ = 0 o equivalentemente imδ ≤ ker i∗.
Por otro lado, si u ∈ Zk(A) cumple i∗(u¯) = 0 en Hk(X), entonces i](u) = ∂v para algu´n
v ∈ Sk+1(X); luego, ∂ ( j]v) = j](∂v) = j](i]u) = 0, ası´ que j]v es un ciclo en Sk+1(X ,A).
Adema´s, δ ( j]v) = i−1] (∂v) = u¯ ∈ Hk(A). Se ha comprobado que imδ = ker i∗.
Por u´ltimo, se deja la sobreyectividad del homomorfismo j∗ : H0(X)→ H0(X ,A) como
ejercicio.
Corolario 4.31. Si (X ,A) es un par de espacios topolo´gicos donde X es contractible, en-
tonces Hk(X ,A)' Hk−1(A) para k > 0; y H0(X ,A) = 0 si A 6= /0.
Demostracio´n. Si P = {p} para algu´n p ∈ X , hay una equivalencia en homotopı´a 1X ' cp.
El Corolario 4.23 muestra que Hk(X)' Hk(P) = 0 para k > 0.
Adema´s, H0(X) ' H0(P) = Z, ası´ que i∗ : H0(A)→ H0(X) es sobreyectivo si A 6= /0. El
homomorfismo j∗ : H0(X)→ H0(X ,A) cumple ker j∗ = im i∗, ası´ que j∗ = 0; lo cual implica
que H0(X ,A) = im j∗ = 0.
MA–704: Topologı´a 111
4.3 La sucesio´n de Mayer y Vietoris
Hay una propiedad ma´s de la homologı´a singular que permita aprovechar esta sucesio´n exacta
para calcular muchos grupos de homologı´a. El par (X ,A) puede considerarse heurı´sticamente
como un sustituto para el espacio cociente X/A, en donde se identifican todos los puntos de
la parte A de X . Si B ⊂ A, se puede descartar los elementos de B en A si al mismo tiempo
se descartan estos elementos de X . En otras palabras, hay una biyeccio´n entre conjuntos
cocientes X/A↔ (X \B)/(A \B). No deberı´a ser difı´cil, entonces, identificar condiciones
sobre el triple B ⊂ A ⊆ X para que esta biyeccio´n sea un homeomorfismo, respetando los
pormenores de topologı´as relativas y topologı´as cocientes. Ahora, bien, al volver a la cate-
gorı´a de pares topolo´gicos, esta escisio´n de B transforma el par (X ,A) en el par (X \B,A\B).
El siguiente teorema, cuya demostracio´n sera´ omitida, establece una condicio´n sencilla que
implica que esta transformacio´n determina un isomorfismo en homologı´a.
Teorema 4.32 (Escisio´n). Sea (X ,A) un par de espacios topolo´gicos, y sea B ⊆ X en X tal
que B ⊆ A◦. Entonces la inclusio´n de pares l : (X \B,A \B) (X ,A) induce isomorfismos
l∗ : Hk(X \B,A\B) '−→Hk(X ,A) para todo k ∈ N. 
Corolario 4.33. Si A ⊆ X y Y ⊆ X cumplen A◦ ∪Y ◦ = X, entonces la inclusio´n de pares
(Y,A∩Y ) (X ,A) induce isomorfismos Hk(Y,A∩Y )' Hk(X ,A) para todo k ∈ N. 
La hipo´tesis implica que {A◦,X \B} es un cubrimiento abierto de X ; es decir, {A,X \B}
es un cubrimiento de X por conjuntos cuyos interiores tambie´n cubren X . La demostracio´n
de este teorema es larga y reu´ne varias ideas.13 Primero, un ciclo relativo en Zk(X ,A) es una
cadena z ∈ Sk(X) tal que cada sı´mplice singular de ∂ z tenga imagen en A; luego hay que
considerar cadenas en X cuyos bordes esta´n subordinados al cubrimiento {A◦,X \B}; o ma´s
generalmente, a un cubrimiento abierto finito U que contiene A◦. Segundo, la sucesio´n larga
en homologı´a puede emplearse para reducir el problema a la construccio´n a una homotopı´a de
cadenas entre S•(X ,A) y un complejo de “cadenas subordinadas” S•(U,U\{A◦}). Tercero, si
σ : ∆k→ X es un k-sı´mplice singular, entonces {σ−1(U) : U ∈U} es un cubrimiento abierto
de ∆k; el problema se reduce al de subdividir ∆k en subsı´mplices de dia´metro menor que
el nu´mero de Lebesgue de este cubrimiento.14 Finalmente, hay que ejecutar varias veces
la llamada subdivisio´n barice´ntrica de ∆k, que produce un complejo simplicial15 cuyos
13Para una demostracio´n completa, ve´ase la seccio´n 2.1 del libro de Hatcher; o bien la seccio´n III.7 del libro:
Albrecht Dold, Lectures on Algebraic Topology, Springer, Berlin, 1995. Hay una demostracio´n del teorema de
escisio´n para homologı´a simplicial en el libro de Hocking y Young.
14La primera versio´n del teorema de escisio´n uso´ la homologı´a simplicial, demostrado en el libro: Solomon
Lefschetz, Topology, American Mathematical Society, Providence, RI, 1930. Para ello, Lefschetz quiso escindir
de un par de complejos simpliciales (K,L) aquellos sı´mplices de L que no tienen ve´rtices en K \L. Esta idea es
transferible a homologı´a singular si se cumple la hipo´tesis del Teorema 4.32; pero fue formalizado hasta 1945,
cuando Eilenberg y Steenrod enunciaron los axiomas para homologı´a que forman el tema de su libro de 1952.
15Para los detalles de la subdivisio´n barice´ntrica, ve´ase la seccio´n 4.2 del libro de Singer y Thorpe.
MA–704: Topologı´a 112
ve´rtices son los baricentros de cada uno de las facetas de ∆k; y cuyos dia´metros no exceden
(k/(k+1)) diam(∆k).
I Para ver la utilidad del concepto de escisio´n, he aquı´ una demostracio´n ra´pida de un teo-
rema cla´sico de Brouwer: la invariancia de dimensio´n bajo homeomorfismos, en el caso de
abiertos en espacios euclidianos.
Proposicio´n 4.34. Si dos abiertos no vacı´os U ⊆ Rm y V ⊆ Rn son homeomorfos, entonces
m = n.
Demostracio´n. Sin perder generalidad (una traslacio´n en Rm es un homeomorfismo), se
puede suponer que 0 ∈U ⊆ Rm.
Fı´jese que U ∪ (Rm \{0}) = Rm. Por el Corolario 4.33, hay isomorfismos de escisio´n
Hk(U,U \{0})' Hk(Rm,Rm \{0}) para todo k ∈ N.
El Corolario 4.23 muestra que Hk(Rm \ {0}) ' Hk(Sm−1) para todo k, ya que Sm−1 es una
retraccio´n por deformacio´n de Rm.
Como Rm es contractible, el Corolario 4.31 muestra que Hk(Rm,Sm−1) ' Hk−1(Sm−1)
para k > 0. Es fa´cil comprobar que Hk−1(Sm−1) = 0 para k = 1, . . . ,m− 1 y adema´s que
Hm−1(Sm−1)' Z.
Se concluye que, para cualquier x ∈U , vale
Hk(U,U \{x}) =
{
0 si k < m−1,
Z si k = m−1.
Un homeomorfismo h : U → V , con y := h(x) ∈ V , induce isomorfismos de grupos h∗ que
obligan Hk(V,V \{y}) = 0 si k < m−1; Hm−1(V,V \{y})' Z. Sin embargo, como V ⊆ Rn,
se obtienen las mismas fo´rmulas con n en lugar de m; esto so´lo es posible si m = n.
I Hay un procedimiento en homologı´a parcialmente ana´logo al teorema de Seifert y van
Kampen en homotopı´a. En ambos casos, se trata de obtener informacio´n sobre invarian-
tes algebraicos de una unio´n X = U ∪V a partir de los invariantes correspondientes de los
subespacios U , V y U ∩V .
Definicio´n 4.35. Sea X un espacio topolo´gico y sean U ⊆ X , V ⊆ X dos partes (no necesari-
amente abiertas). Dı´cese que {U,V} es una copla escisiva16 si las dos inclusiones de pares
i : (U,U ∩V ) (X ,V ) y j : (V,U ∩V ) (X ,U) inducen isomorfismos i∗, j∗ en homologı´a.
[En otras palabras, V \U puede escindirse del par (X ,V ), como tambie´n U \V de (X ,U).]
16El te´rmino copla se usa aquı´ en vez de par porque en general U 6⊆ V y V 6⊆ U . No tiene pretensiones
poe´ticas.
MA–704: Topologı´a 113
Ejemplo 4.36. Por el Corolario 4.33, una condicio´n suficiente para que {U,V} sea una copla
escisiva en X =U ∪V es la circunstancia X =U◦∪V ◦.
Pero esta condicio´n no es necesaria. Por ejemplo, si B+ := {x=(x0, . . . ,xn)∈ Sn : xn≥ 0}
y B− := {x ∈ Sn : xn ≤ 0} son los hemisferios norte y sur de Sn; y si se identifica Sn−1 con el
ecuador xn = 0 de Sn, entonces Sn = B+∪B− y Sn−1 = B+∩B−, pero B◦+∪B◦− = Sn \Sn−1.
En este caso, la copla {B+,B−} no cumple las hipo´tesis del Corolario 4.33.
Sin embargo, se puede mostrar, usando la invariancia de la homologı´a singular bajo homo-
topı´a, que {B+,B−} sı´ es escisiva, es decir, que Hk(B±,Sn−1)' Hk(Sn,B∓) para k ∈ N. ♦
El paso principal en la demostracio´n (omitida) del teorema de escisio´n es la construccio´n
de una homotopı´a de cadenas entre el complejo S•(X) y el subcomplejo generado por sı´mpli-
ces singulares cuyas ima´genes quedan en U = A, o bien en V = X \B. Deno´tese este subcom-
plejo por S•(UunionmultiV ). Una manera alternativa de enunciar el teorema de escisio´n es la siguiente:
si {U,V} es una copla escisiva, entonces la inclusio´n de complejos S•(U unionmultiV ) S•(X) in-
duce isomorfismos en homologı´a.
Proposicio´n 4.37. Si {U,V} es una copla escisiva con X =U∪V , entonces hay una sucesio´n
exacta larga de grupos de homologı´a singular:
· · · δ−→Hk(U ∩V ) ϕ∗−→Hk(U)⊕Hk(V ) ψ∗−→Hk(X) δ−→Hk−1(U ∩V ) ϕ∗−→·· ·
llamada la sucesio´n de Mayer y Vietoris para esta copla.17
Demostracio´n. Si i1 : U → X , i2 : V → X son las inclusiones, defı´nase
Sk(U unionmultiV ) := i1](Sk(U))+ i2](Sk(V )).
Este es el subgrupo de Sk(X) generado los k-sı´mplices singulares σ con σ(∆k) ⊆U o bien
σ(∆k) ⊆ V . Es claro que el operador de borde ∂k lleva Sk(U unionmultiV ) en Sk+1(U unionmultiV ), ası´ que
(S•(U unionmultiV ),∂ ) es un complejo de cadenas. En vista del comentario anterior al enunciado, el
teorema de escisio´n garantiza que Hk(U unionmultiV )' Hk(X) para todo k ∈ N.
Si j1 : U ∩V →U , j2 : U ∩V →V son las inclusiones, defı´nase
0−→S•(U ∩V ) ϕ−→S•(U)⊕S•(V ) ψ−→S•(U unionmultiV )−→0,
por
ϕ(x) :=
(
j1](x),− j2](x)
)
, ψ(u,v) := i1](u)+ i2](v),
para x ∈ Sk(U ∩V ), u ∈ Sk(U), v ∈ Sk(V ).
17El problema de calcular la homologı´a de U ∪V a partir de las homologı´as de U , V y U ∩V fue abordado por
Walther Mayer en 1929; su trabajo fue completado por su colega Vietoris (1891–2002), en: Leopold Vietoris,
U¨ber die Homologiegruppen der Vereinigung zweier Komplexe, Monatshefte fu¨r Mathematik 37 (1930), 159–
162. Fue reformulado en te´rminos de sucesiones exactas en el libro de Eilenberg y Steenrod.
MA–704: Topologı´a 114
Es evidente que ϕ es inyectivo y que ψ es sobreyectivo. Como i1 ◦ j1 = i2 ◦ j2 es la
inclusio´n U ∩V  X , tambie´n queda claro que ψ ◦ϕ = 0.
Adema´s, ψ(u,v) = 0 so´lo si i1](u) =−i2](v). Los dos lados de esta ecuacio´n son cadenas
en X que quedan en U y tambie´n en V ; por ende, quedan en U ∩V . Entonces hay s, t ∈
Sk(U ∩V ) con u = j1](s), v = j2](t). La ecuacio´n ψ(u,v) = 0 implica que t = −s, ası´ que
(u,v) ∈ imϕ . En resumen: la sucesio´n anterior de complejos es una sucesio´n exacta corta.
Para cada k ∈ N, hay un homomorfismo conector δ : Hk(X)→ Hk−1(U unionmultiV ), el cual es
nulo si k = 0. La fo´rmula simbo´lica del Lema 4.28 permite describir δ concretamente. Cada
clase z¯ ∈ Hk(X) esta´ representada por un k-ciclo z ∈ Zk(U unionmultiV ). Esto quiere decir que z =
i1](u)+ i2](v), donde ∂ z = 0 implica que i2](∂v) =−i1](∂u). Entonces hay x ∈ Sk−1(U ∩V )
con ∂u = j1](x); de hecho, x es un (k−1)-ciclo porque j1](∂x) = ∂ (∂u) = 0, luego ∂x = 0
ya que j1] es inyectivo. El algoritmo del Lema 4.28 muestra que δ (z¯) = x¯.
Fı´jese ahora que z¯ ∈ imψ∗ si las k-cadenas u,v son k-ciclos, en cuyo caso ∂u = 0 y se
puede tomar x¯ = 0. Esto implica que imψ∗ = kerδ . Por otro lado, x¯ ∈ kerϕ∗ si y so´lo
si ( j1∗(x¯),− j2∗(x¯)) = (0,0) si y so´lo hay u′ ∈ Sk+1(U), v′ ∈ Sk+1(V ) con ∂u′ = j1](x) y
∂v′ = j2](x) tales que i2](∂v′) = −i1](∂u′), en cuyo caso z′ = i1](u′)+ i2](v′) es un (k+1)-
ciclo con δ (z¯′) = x¯; y viceversa. Luego kerϕ∗ = imδ . Se ha comprobado que la sucesio´n
larga del enunciado es exacta.
Ejemplo 4.38. Como los hemisferios norte y sur de Sn forma una copla escisiva {B+,B−},
su sucesio´n de Mayer y Vietoris contiene el pedazo
Hk(B+)⊕Hk(B−) ψ∗−→Hk(Sn) δ−→Hk−1(Sn−1) ϕ∗−→Hk−1(B+)⊕Hk−1(B−).
Como los hemisferios B± son contractibles, esto se reduce para k ≥ 2 a la sucesio´n exacta
0−→Hk(Sn) δ−→Hk−1(Sn−1)−→0,
ası´ que Hk(Sn) ' Hk−1(Sn−1) mediante δ . Este permite calcular Hk(Sn) por induccio´n so-
bre n.
Para el caso especial n= 0, los dos hemisferios de S0 son {+1} y {−1}, con interseccio´n
vacı´a; entonces se obtiene un isomorfismo
0−→Hk({+1})⊕Hk({−1}) ψ∗−→Hk(S0)−→0,
de donde Hk(S0) = 0 si k > 0; y H0(S0) = Z⊕Z. Por induccio´n, se obtiene Hk(Sn) '
Hk−n(S0) = 0 si k > n.
Para k = 1 se obtiene, al agregar dos te´rminos ma´s de la sucesio´n:
0−→H1(Sn) δ−→H0(Sn−1) ϕ∗−→Z⊕Z ψ∗−→H0(Sn)−→0.
Si n≥ 2, este ϕ∗ es inyectivo, ası´ que δ es nulo y por ende H1(Sn) = 0. Luego, por induccio´n,
se concluye que Hk(Sn) = 0 para k = 1, . . . ,n−1.
MA–704: Topologı´a 115
Si n = 1, se obtiene
0−→H1(S1) δ−→Z⊕Z ϕ∗−→Z⊕Z ψ∗−→Z−→0.
De ahı´ resulta H1(S1)' imδ = kerϕ∗ ' Z. Por induccio´n, se concluye que Hn(Sn)' Z para
n≥ 1.
En resumen: para n≥ 1, vale
Hk(Sn) =
{
Z si k = 0,n,
0 si k 6= 0,n. ♦
Corolario 4.39. Si m 6= n en N, entonces Sm y Sn no son homeomorfos. Los espacios vecto-
riales Rm y Rn tampoco son homeomorfos.
Demostracio´n. Como S0 es disconexo mientras Sn es conexo para n > 1, basta considerar
los casos 1 ≤ m < n. Si Sm y Sn fueran homeomorfos, entonces el Corolario 4.23 dirı´a que
Hk(Sm)' Hk(Sn) para cada k, lo cual es falso: de hecho, Hm(Sm) = Z mientras Hm(Sn) = 0.
En la demostracio´n de la Proposicio´n 4.34, se ha observado que Hk(Rm\{0})'Hk(Sm−1)
para todo k. Se concluye queRm\{0} yRn\{0} no son homeomorfos. Si hubiera un homeo-
morfismo h : Rm → Rn, la traslacio´n g : x 7→ x− h(0) sobre Rn darı´a un homeomorfismo
de espacios puntuados g ◦ h : (Rm,0)→ (Rn,0). Por restriccio´n, g ◦ h tambie´n definirı´a un
homeomorfismo de Rm \{0} en Rn \{0}, cosa que no existe.
MA–704: Topologı´a 116
1 Ejercicios sobre espacios topolo´gicos
Ejercicio 1.1. Defı´nase un orden parcial sobre N×N por las reglas
(m,2n)≤ (m+1,n) y (m,2n+1)≤ (m+1,n),
extendidas por transitividad. Demostrar que N×N con este orden es un conjunto dirigido;
es decir, dados dos elementos (m1,n1) y (m2,n2), hay un elemento (m3,n3) ∈ N×N tal que
(m1,n1)≤ (m3,n3) y (m2,n2)≤ (m3,n3).
Ejercicio 1.2. Dada una funcio´n f : X → Y , demostrar estas propiedades de las preima´genes
B 7→ f−1(B) : 2Y → 2X :
(a) f−1
(⋃
β∈K Bβ
)
=
⋃
β∈K f−1(Bβ ), f−1
(⋂
β∈K Bβ
)
=
⋂
β∈K f−1(Bβ ).
(b) f−1( /0) = /0, f−1(Y ) = X , f−1(Y \B) = X \ f−1(B).
(c) Si A⊆ X , entonces A⊆ f−1( f (A)), con igualdad si f es inyectiva.
(d) Si B⊆ Y , entonces f ( f−1(B))⊆ B, con igualdad si f es sobreyectiva.
Ejercicio 1.3. Sean B y B′ dos bases para las topologı´as T y T′, respectivamente, sobre un
conjunto X . Comprobar que T ⊆ T′ si y so´lo si1 se verifica la siguiente condicio´n: para cada
B ∈B y cada x ∈ B, hay un miembro B′ ∈B′ tal que x ∈ B′ ⊆ B.
Ejercicio 1.4. (a) Sea X un espacio topolo´gico con la topologı´a T. Sea B⊆ T una familia de
abiertos tal que, para cada U ∈ T y cada x ∈U , hay un conjunto B ∈ B tal que x ∈ B ⊆U .
Mostrar que B es una base para la topologı´a T.
(b) Mostrar que la familia numerable de intervalos abiertos racionales
Q := {(p,q)⊂ R : p,q ∈Q; p < q}
es una base para la topologı´a usual de la recta real R.
Ejercicio 1.5. Sean X un conjunto simplemente ordenado con al menos dos elementos.
Escrı´base x < y si x≤ y pero x 6= y. Sea B la familia de todos los intervalos
(x,y) := {z ∈ X : x < z < y}, (←,y) := {z ∈ X : z < y}, (x,→) := {z ∈ X : x < z},
para x,y ∈ X . Comprobar que B es una base para una topologı´a sobre X .
1Dı´cese que T′ es ma´s fina que T cuando T ⊆ T′.
MA–704: Topologı´a 117
Ejercicio 1.6. Sea (X ,ρ) un espacio me´trico. Defı´nase otras dos funciones ρ¯ y σ de X ×X
en [0,∞) por
ρ¯(x,y) := min{ρ(x,y), 1}, σ(x,y) := ρ(x,y)
1+ρ(x,y)
.
Mostrar que ρ¯ y σ son me´tricas acotadas sobre X . Verificar que cada una de ellas es equiva-
lente a la me´trica original ρ .
[[ Indicacio´n: Si f (t) := t/(1+ t) para t ∈ [0,∞), mostrar que f (s+ t)≤ f (s)+ f (t). ]]
Ejercicio 1.7. (a) En un espacio me´trico (X ,ρ), comprobar que una “bola abierta” Bρ(x;ε) :=
{y ∈ X : ρ(x,y)< ε } es efectivamente un vecindario de cada uno de sus puntos.
(b) Mostrar tambie´n cada “bola cerrada” Bρ(x;ε) := {y ∈ X : ρ(x,y) ≤ ε } es cerrado
en X .
(c) Comprobar que la bola cerrada Bρ(x;ε) no coincide necesariamente con la clausura
de la bola abierta Bρ(x;ε). [[ Indicacio´n: Conside´rese X := [0,2]∪ [3,5]⊂ R. ]]
Ejercicio 1.8 (Kuratowski). Sea A 7→ A una operacio´n definida sobre las partes de un con-
junto X que cumple estas propiedades:
/0 = /0, A⊆ A, A = A, A∪B = A∪B,
para todo A,B ∈ 2X . Mostrar que A⊆ B =⇒ A⊆ B.
Sea T := {X \F : F = F }. Verificar que T es una topologı´a sobre X , y que la clausura en
esta topologı´a de cualquier A⊆ X coincide con A.
Ejercicio 1.9. Si T y T′ son dos topologı´as sobre un conjunto X , con T ⊆ T′, deno´tese los
interiores de una parte A⊆ X para T y T′ por A◦ y A◦′, respectivamente; deno´tese por A y A′
sus respectivas clausuras.
Mostrar que A◦ ⊆ A◦′ mientras A⊇ A′.
Ejercicio 1.10. En un espacio topolo´gico X , dı´cese que U ⊆ X es regularmente abierto si
U = (U)◦ y que F ⊆ X es regularmente cerrado si F = F◦.
(a) Mostrar que V ⊆ (V )◦ si V es abierto en X ; y que H ⊇ H◦ si H es cerrado en X .
(b) Si H ⊆ X es cerrado, mostrar que H◦ es regularmente abierto.
(c) Si V ⊆ X es abierto, mostrar que V es regularmente cerrado.
(d) Verificar que U es regularmente abierto si y so´lo si X \U es regularmente cerrado.
(e) Dar un ejemplo de un abierto en R que no es regularmente abierto.
(f) Si U y V son regularmente abiertos en X , mostrar que U ∩V es regularmente abierto.
MA–704: Topologı´a 118
2 Ejercicios sobre clausuras, funciones continuas y productos
Ejercicio 2.1. En un espacio me´trico (X ,ρ), la distancia d(x,A) entre un punto x y una parte
A⊆ X se define como
d(x,A) := inf{ρ(x,y) : x,y ∈ A}.
Demostrar que:
(a) x ∈ A si y so´lo si d(x,A) = 0;
(b) x ∈ A◦ si y so´lo si d(x,X \A)> 0.
Ejercicio 2.2. Sea X un espacio topolo´gico y sea A ⊆ X una parte densa en X . Si U es un
abierto en X , mostrar que U = A∩U .
Ejercicio 2.3. Si U y V son dos abiertos densos en un espacio topolo´gico X , mostrar que
U ∩V es tambie´n denso en X .
Ejercicio 2.4. Sea X un espacio topolo´gico y sea A⊆ X . Dı´cese que A es nunca denso en X
si (A)◦ = /0. Demostrar que:
(a) si U es un abierto en X , su frontera ∂U es cerrada y nunca densa en X ;
(b) si A es un cerrado nunca denso en X , entonces A = ∂U para algu´n abierto U ⊆ X .
Ejercicio 2.5. Un espacio topolo´gico X es separable si hay una parte numerable A tal que
A = X . Si la topologı´a de X posee una base numerable B, demostrar que X es separable.
Ejercicio 2.6. Dar un ejemplo de una funcio´n f : R→ R que es continua en exactamente un
punto (y comprobar que ası´ sea).
Ejercicio 2.7. Identificar la topologı´a de´bil sobre R dada por cada una de las siguientes
familias de funcio´nes { fα : R→ R}:
(a) La familia { fs : s ∈ R} de todas las funciones constantes, fs(t)≡ s.
(b) La sola funcio´n identidad, f (t) = t para t ∈ R.
(c) La sola funcio´n signo, definida por
signo(t) :=

1 si t > 0,
0 si t = 0,
−1 si t < 0.
(d) La familia de todas las funciones acotadas que son continuas para la topologı´a usual
de R.
MA–704: Topologı´a 119
Ejercicio 2.8. Sean X , Y dos espacios topolo´gicos. Para A⊆ X y B⊆ Y . mostrar que
A×B = A×B
para la topologı´a del producto sobre X×Y .
Ejercicio 2.9. Sean {(Xk,ρk) : k ∈ N} una familia numerablemente infinita de espacios
me´tricos tales que ρk(xk,yk)≤ 1 para todo xk,yk ∈ Xk y todo k ∈ N.
Demostrar que el producto cartesiano numerable X =∏k∈NXk es un espacio metrizable,
al comprobar que la receta
ρ(x,y) :=
∞
∑
k=0
1
2k
ρk(xk,yk)
define una metrı´ca sobre X cuya topologı´a me´trica coincide con la topologı´a del producto.
Ejercicio 2.10. Sea RN := ∏∞n=0R el producto cartesiano de una familia numerablemente
infinita de copias de R; sus elementos son todas las sucesiones x = (xn)⊂ R.
Sea R(N) :=
⊕∞
n=0R el subespacio vectorial de RN cuyos elementos son “sucesiones
finitas”; es decir, x ∈ R(N) si y so´lo si hay N ∈ N tal que xn = 0 para n > N.
Demostrar que R(N) es denso en RN, para la topologı´a del producto.2
Ejercicio 2.11. Sea X :=∏α∈J Xα un producto cartesiano de espacios topolo´gicos (Xα ,Tα).
Ame´n de la topologı´a del producto T, es posible definir la topologı´a cajonera (“box topo-
logy”) Tc, al declarar como base para Tc todas las partes de la forma∏α∈J Uα , donde Uα ∈ Tα
para cada α ∈ J.
(a) Verificar que T ⊆ Tc, con igualdad si y so´lo si J es finito.
(b) Sea f : R→ RN la funcio´n diagonal dada por f (t) := (t, t, t, . . .), es decir, f (t)n := t
para todo n∈N. Mostrar que f es continua siRN tiene la topologı´a del producto T, pero
que f no es continua si RN tiene la topologı´a cajonera Tc. [[ Indicacio´n: Conside´rese
unos vecindarios Un := (−an,an) de 0 en R. ]]
3 Ejercicios sobre redes y espacios conexos
Ejercicio 3.1. Un filtro sobre un conjunto X es una parte propia F ⊂ 2X tal que:
(i) A,B ∈ F =⇒ A∩B ∈ F; (ii) A ∈ F, C ⊇ A =⇒ C ∈ F.
Si g : X → Y es una funcio´n, g(F) := {B ⊆ Y : B ⊇ g(A) para algu´n A ∈ F} es el filtro
imagen sobre Y .
Si X es un espacio topolo´gico, x ∈ X , dı´cese que F converge a x, escrito F→ x, si cada
vecindario de x pertenece a F, esto es, si Vx ⊆ F.
Si Y es un espacio topolo´gico tambie´n, demostrar que g : X→Y es continua en x si y so´lo
si F→ x =⇒ g(F)→ g(x).
2Munkres escribe Rω para RN y R∞ para R(N).
MA–704: Topologı´a 120
Ejercicio 3.2. Si S = (xα)α∈J es una red en un conjunto X , y si Cα := {xγ : γ ≥ α } denota la
cola a partir de cada xα , el filtro asociado con S es F(S) := {A⊆ X : A⊇Cα para algu´n α }.
Si F es algu´n filtro sobre X , sea J := {(x,A) : x ∈ A ∈ F}, ordenado por (x,A)≤ (y,B) si
A⊇ B. La red S(F) asociada con F se define por la funcio´n J→ X : (x,A) 7→ x.
(a) Dada una red S, verificar que F(S) es un filtro.
(b) Si T = (yβ ) es una subred de S, mostrar que F(S)⊆ F(T ).
(c) Comprobar que F(S(F)) = F.
Ejercicio 3.3. Si X en un espacio topolo´gico, x ∈ X , S = (xα) es una red en X y F es un filtro
sobre X :
(a) mostrar que xα → x si y so´lo si F(S)→ x;
(b) mostrar que F→ x si y so´lo si S(F)→ x.
Ejercicio 3.4. Sea X =
⋃∞
n=0 Xn una unio´n numerable de espacios topolo´gicos conexos tales
que Xn∩Xn+1 6= /0 para cada n ∈ N. Demostrar que X es un espacio conexo.
Ejercicio 3.5. En un espacio normado E, una parte C es convexa si y so´lo si para cada par
de puntos x,y ∈ C, el segmento [x,y] := {(1− t)x+ ty ∈ E : 0 ≤ t ≤ 1} esta´ incluido en C,
[x,y]⊆C. Demostrar que un conjunto convexo es conexo.
Ejercicio 3.6. Si X/R es un espacio cociente de X , si X/R es conexo y si cada clase de
equivalencia [x] para la relacio´n de equivalencia R es una parte conexa de X , demostrar que
X es conexo.
Ejercicio 3.7. Si X , Y son dos espacios conexos, y si A ⊂ X y B ⊂ Y son partes propias de
cada uno, demostrar que (X×Y )\ (A×B) es conexo.
Ejercicio 3.8. Si Sn := {x ∈ Rn+1 : ‖x‖ = 1} es la esfera de dimensio´n n (para la norma
euclidiana), mostrar que Sn es conexa.
[[ Indicacio´n: Conside´rese la funcio´n x 7→ x/‖x‖ sobre Rn+1 \{0}. ]]
Ejercicio 3.9. Si X es un espacio conexo y si f : X → R es una funcio´n continua, mostrar
que f (X) es un intervalo en R.
(a) Dar ejemplos de cuatro funciones continuas f : R→ R tales que las ima´genes f (R)
son los intervalos [0,∞), (0,∞), [0,1] y (0,1) respectivamente.
(b) Demostrar el teorema de valor intermedio: si X es conexo y f : X → R es continua,
y si f (x)< t < f (y) para x,y ∈ X , t ∈ R, entonces existe z ∈ X tal que f (z) = t.
MA–704: Topologı´a 121
(c) Si p : R→ R es un polinomio de grado impar, mostrar que hay al menos una raı´z real
t ∈ R con p(t) = 0.
Ejercicio 3.10. Si h : X → Y es un homeomorfismo (biyectivo) y si x ∈ X , comprobar que
X \{x} ≈ Y \{h(x)}. En seguida, usar las propiedades de conectividad para mostrar que los
siguientes pares de espacios topolo´gicos no son homeomorfos:
(a) los intervalos (0,1) 6≈ [0,1];
(b) Rn 6≈ R si n > 1;
(c) [0,1] 6≈ S1;
(d) Sn 6≈ S1 para n > 1.
Ejercicio 3.11. (a) Mostrar que una funcio´n continua f : [0,1]→ [0,1] tiene un punto fijo
t ∈ [0,1] tal que f (t) = t.
(b) Dar un ejemplo de una funcio´n continua g : (0,1)→ (0,1) que no tiene punto fijo.
(c) Si h : S1→ R es continua, mostrar que hay un punto z ∈ S1 tal que h(−z) = h(z).
Ejercicio 3.12. (a) Dı´cese que X es un espacio totalmente disconexo si la componente
conexa de cada x ∈ X es el conjunto solitario {x}. Verificar que los nu´meros racionales
Q y la recta flechada R` son totalmente disconexas.
(b) Describir todas las funciones continuas de f : R→ R`.
Ejercicio 3.13. Si C ⊆ X es una parte conexa, abierta y cerrada a la vez, mostrar que C es
una componente conexa de X .
Ejercicio 3.14. Demostrar que las siguientes propiedades de un espacio topolo´gico X son
equivalentes:
(a) Cada punto x ∈ X tiene una base Bx de vecindarios conexos.
(b) Las componentes conexas de un abierto en X son abiertas.
(c) La familia de partes conexas y abiertas en X forman una base para su topologı´a.
Dı´cese que X es un espacio localmente conexo si cumple (cualquiera de) estas condiciones.
Ejercicio 3.15. Verificar que el espacio X dado por
X := {(x,y) : y = sen(1/x), 0 < x≤ 1}∪{(0,y) :−1≤ y≤ 1} ⊂ R2
es conexo, pero no es localmente conexo.
MA–704: Topologı´a 122
Ejercicio 3.16. Comprobar que la recta real R es localmente conexo. Concluir que cada
abierto en R es una unio´n numerable de intervalos abiertos.
Ejercicio 3.17. Un grupo topolo´gico es un grupo G dotado de una topologı´a para la cual las
funciones m : G×G→G : (g,h) 7→ gh e i : G→G : g 7→ g−1 (multiplicacio´n e inversio´n) son
continuas.
Si A,B⊆ G, escrı´base A−1 := {g−1 : g ∈ A} y A ·B := {gh : g ∈ A, h ∈ B}.
(a) Si g ∈G, mostrar que las traslaciones λg : h 7→ gh y ρg : h 7→ hg son homeomorfismos
de G en G.
(b) Si V ∈ V1 es un vecindario del elemento unidad 1 ∈ G, hay otro vecindario U ∈ V1 tal
que U ·U−1 ⊆V .
(c) Si H ≤ G es un subgrupo abierto, entonces H tambie´n es cerrado en G.
(d) Si K E G es un subgrupo cerrado y normal en G, entonces el grupo G/K, con la
topologı´a cociente, es un grupo topolo´gico.
Ejercicio 3.18. Si G es un grupo topolo´gico, sea G0 la componente neutra, es decir, la
componente del elemento unidad 1.
Demostrar que G0 es un subgrupo normal de G. [[ Indicacio´n: Si h ∈ G, comprobar que
la componente de h es hG0 = {hk : k ∈ G0 }. ]]
Concluir que el grupo topolo´gico G/G0 es totalmente disconexo.
4 Ejercicios sobre espacios compactos
Ejercicio 4.1. (a) Si X es un conjunto infinito con la topologı´a cofinita, mostrar que X es un
espacio compacto.
(b) Conside´rese la recta real R con la topologı´a conumerable Tcn. Determinar si el inter-
valo [0,1] es una parte compacta o no en (R,Tcn).
Ejercicio 4.2. Sea T< := {R, /0}∪{(−∞,b) : b ∈ R}. Comprobar que T< es una topologı´a
sobre R. Demostrar que una parte A ⊆ R es compacta en esta topologı´a si y so´lo si A es
acotado superiormente con sup(A) ∈ A.
Si Y es un espacio de Hausdorff y si f : (R,T<)→ Y es continua, mostrar que f es una
funcio´n constante.
Ejercicio 4.3. Si K y L son dos partes compactas de un espacio de Hausdorff X , con K∩L= /0,
mostrar que hay dos abiertos U , V en X tales que K ⊆U , L⊆V y U ∩V = /0.
MA–704: Topologı´a 123
Ejercicio 4.4. (a) Si K y L son dos partes compactas de un espacio de Hausdorff X , mostrar
que K∩L es compacto.
(b) Dar un ejemplo de dos partes compactas de un espacio topolo´gico (que no sea de
Hausdorff) cuya interseccio´n no es compacta.
Ejercicio 4.5. Un espacio topolo´gico X se llama σ -compacto si X =
⋃
n∈NKn donde cada
Kn es compacto. Mostrar que un espacio euclidiano Rm es σ -compacto.
Si U es una parte abierta de Rm, mostrar que U tambie´n es σ -compacto.
[[ Indicacio´n: Conside´rese los conjuntos Fn := {x ∈U : d(x,Rm \U)≥ 1/n}. ]]
Ejercicio 4.6. Si A ⊆ X y B ⊆ Y son partes compactas de dos espacios topolo´gicos, y si W
es un abierto en X×Y tal que A×B⊆W , mostrar que hay abiertos U ⊆ X y V ⊆Y tales que
A×B⊆U×V ⊆W .
Ejercicio 4.7. Dı´cese que X es un espacio de Lindelo¨f si cada cubrimiento abierto de X
tiene un subcubrimiento numerable. Comprobar que (i) un espacio compacto; (ii) un espacio
σ -compacto; o (iii) un espacio que cumple el segundo axioma de numerabilidad, todos son
de Lindelo¨f.
Demostrar tambie´n que la imagen continua de un espacio de Lindelo¨f es tambie´n de
Lindelo¨f.
Ejercicio 4.8. Sea (X ,ρ) un espacio me´trico compacto y sea U = {Uα : α ∈ J } un cubri-
miento abierto de X . Demostrar que hay un nu´mero positivo δ > 0 tal que, para cada x ∈ X ,
hay una inclusio´n B(x;δ )⊆Uα en algu´n abierto del cubrimiento.3
Ejercicio 4.9 (Teorema de Dini). Sea X un espacio compacto y sea { fk : X→R : k ∈N} una
sucesio´n creciente de funciones continuas, es decir, fk(x)≤ fk+1(x) para todo x ∈ X y k ∈N.
Supo´ngase adema´s que los fk convergen puntualmente a una funcio´n continua f : X → R
(esto es, fk(x)→ f (x) para cada x ∈ X).
Demostrar que esta convergencia es uniforme: dado ε > 0, hay K ∈ N tal que k ≥ K =⇒
f (x)− fk(x)≤ ε para todo x ∈ X .
[[ Indicacio´n: Conside´rese los conjuntos Fn := {x ∈ X : f (x)− fn(x)≤ ε }. ]]
Ejercicio 4.10. Usar el ejercicio anterior para mostrar que la funcio´n t 7→ √t, para t ∈ [0,1],
es el lı´mite uniforme de una sucesio´n de polinomios:4
(a) definir inductivamente p0(t)≡ 0, pk+1(t) := pk(t)+ 12(t− pk(t)2);
(b) comprobar por induccio´n que pk(t)≤
√
t para 0≤ t ≤ 1;
(c) concluir que pk(t)≤ pk+1(t) para t ∈ [0,1].
3Este δ se llama un nu´mero de Lebesgue del cubrimiento U.
4Este es un ejemplo concreto de un famoso teorema de Weierstrass: cualquier funcio´n continua sobre [0,1]
es un lı´mite uniforme de polinomios.
MA–704: Topologı´a 124
5 Ejercicios sobre separacio´n y compacidad local
Ejercicio 5.1. Sean X , Y dos espacios topolo´gicos.
(a) Mostrar que un espacio topolo´gico X es de Hausdorff si y so´lo si la diagonal D :=
{(x,x) : x ∈ X } es cerrado en X×X .
(b) Si f : X→Y es continua, comprobar que (x,y) 7→ ( f (x),y) : X×Y →Y ×Y es tambie´n
continua.
(c) Si f : X → Y es una funcio´n continua y Y es un espacio de Hausdorff, mostrar que el
grafo G f := {(x, f (x)) : x ∈ X } es cerrado en X×Y .
Ejercicio 5.2. Si f ,g : X→Y son dos funciones continuas y si Y es un espacio de Hausdorff,
mostrar que {x∈X : f (x) = g(x)} es cerrado en X . Concluir que dos funciones continuas que
coinciden sobre una parte densa son iguales, siempre que su codominio sea un espacio T2.
Ejercicio 5.3. Un espacio topolo´gico X es completamente separado (o un espacio T2 12 , o
bien un espacio de Urysohn) si para cada par de puntos distintos x,y ∈ X , hay abiertos U , V
con x ∈U , y ∈V ; y U ∩V = /0. (Un espacio T2 12 es de Hausdorff, obviamente.)
(a) Demostrar que un espacio regular es T2 12 .
(b) Si X es T2 12 y si A⊆ X , mostrar que A es T2 12 .
Ejercicio 5.4. Sea X un espacio topolo´gico y sea A⊆ X .
(a) Si X es completamente regular, demostrar que A tambie´n es completamente regular.
(b) Si X es normal y si A es cerrado en X , demostrar que A tambie´n es normal.5
Ejercicio 5.5. En un espacio topolo´gico X , una parte A ⊆ X es un conjunto Gδ si es una
interseccio´n numerable de abiertos, A =
⋂
n∈NUn. (Sin perder generalidad, se puede suponer
que los Un esta´n encajados: Un ⊇Un+1 para cada n.)
(a) Si X es un espacio normal, demostrar que hay una funcio´n continua f : X → [0,1] tal
que f−1({0}) = A si y so´lo si A es un cerrado Gδ en X .
(b) Si X es normal y si A, B son cerrados Gδ en X con A∩B = /0, demostrar que hay una
funcio´n continua f : X → [0,1] tal que f−1({0}) = A y f−1({1}) = B.
(c) Dı´cese que X es perfectamente normal si X es normal y si cada cerrado A⊆ X es un
conjunto Gδ . Comprobar que un espacio me´trico (X ,ρ) es perfectamente normal.
5Hay ejemplos de espacios normales, con subespacios (no cerrados) que no son normales.
MA–704: Topologı´a 125
Ejercicio 5.6. Sea X un espacio T1, con topologı´a T. Deno´tese por Cb(X ,R) el a´lgebra de
funciones continuas y acotadas de X en R. Esta coleccio´n de funciones define una topologı´a
de´bil Tb sobre X .
(a) Mostrar que las partes de X de la forma g−1
(
(0,∞)
)
consituyen una subbase —y de
hecho, una base— para la topologı´a Tb.
(b) Comprobar que X es completamente regular si y so´lo si Tb = T.
Ejercicio 5.7. Si f ∈Cb(X ,R), el intervalo I f := [inf f (X),sup f (X)] es compacto en R. Si
X es un espacio completamente regular, mostrar que la aplicacio´n de evaluacio´n
e : X → ∏
f∈Cb(X ,R)
I f : x 7→ ( f (x)) f
es un homeomorfismo entre X y su imagen e(X).
Ejercicio 5.8. (a) Sean X , Y dos espacios localmente compactos y T2; demostrar que X ×Y
es localmente compacto y T2.
(b) Si X es un espacio localmente compacto y T2; si U ⊆ X es abierto y si F ⊆ X es
cerrado, comprobar que U , F y F ∩U son localmente compactos y T2.
Ejercicio 5.9. Demostrar que la recta flechada R` un normal, pero no es localmente com-
pacto.
Ejercicio 5.10. Sea X un espacio localmente compacto y T2.
(a) Si U es abierto en X y si x ∈U , comprobar que hay un abierto V con V compacto tal
que x ∈V ⊆V ⊆U .
(b) Si K es un compacto en X y U es un abierto en X con K ⊆ U , mostrar que hay un
abierto V , relativamente compacto,6 tal que K ⊆V ⊆V ⊆U .
(c) Si X es adema´s σ -compacto, mostrar que hay una sucesio´n {Un : n ∈ N} de abiertos
relativamente compactos, con Un ⊆Un+1 para cada n ∈ N, tales que X =⋃∞n=0Un.
Ejercicio 5.11. (a) Si p = (0,1) es el “polo norte” de la esfera Sn = {(x, t) ∈ Rn ×R :
‖x‖2 + |t|2 = 1}, verificar que la proyeccio´n estereogra´fica (x, t) 7→ (1− t)−1x es un ho-
meomorfismo entre Sn \{p} y Rn. Concluir que (Rn)+ ≈ Sn.
(b) Mostrar que N+ ≈ {1/n : n ∈ N∗ }∪{0}, al exhibir un homeomorfismo explı´cito.
6Dı´cese que una parte A⊆ X es relativamente compacto si A es compacto.
MA–704: Topologı´a 126
Ejercicio 5.12. Sea X , Y dos espacios localmente compactos y T2. Si X ≈Y (homeomorfos),
mostrar que X+ ≈ Y+.
Dar un ejemplos de un par de espacios X , Y tales que X+ ≈Y+ pero X , Y no son homeo-
morfos.
Ejercicio 5.13. Un espacio topolo´gico X esta´ compactamente generado (tambie´n se dice
que X es un k-espacio) cuando una parte U ⊆ X es abierto si (y so´lo si) U ∩K es abierto en K
para cada parte compacta K ⊆ X .
(a) Demostrar que un espacio localmente compacto y T2 esta´ compactamente generado.
(b) Verificar que X esta´ compactamente generado cuando una parte F ⊆ X es cerrada si (y
so´lo si) F ∩K es cerrado en K para cada parte compacta K ⊆ X .
(c) Si X es un espacio topolo´gico que cumple el primer axioma de numerabilidad, de-
mostrar que X esta´ compactamente generado.
[[ Indicacio´n: Si xn→ x, fı´jese que el conjunto {xn : n ∈ N}∪{x} es compacto. ]]
(d) Si X esta´ compactamente generado y Y es un espacio topolo´gico, demostrar que una
funcio´n f : X →Y es continua si (y so´lo si) la restriccio´n f |K : K→Y es continua para
cada compacto K ⊆ X .
Ejercicio 5.14. Demostrar que un espacio de Hausdorff X es normal si y so´lo si, para cada
cubrimiento abierto finito {U1, . . . ,Un} de X , hay n funciones continuas fk : X → [0,1] tales
que ∑nk=1 fk(x) = 1 para todo x ∈ X , mientras fk(y) = 0 toda vez que y ∈ X \Uk.
[[ Indicacio´n: Si X es normal, hallar otro cubrimiento abierto {V1, . . . ,Vn} de X tal que
V k ⊆Uk para k = 1, . . . ,n. ]]
6 Ejercicios diversos sobre espacios topolo´gicos
Ejercicio 6.1. Sean X , Y dos espacios topolo´gicos y sean F , G dos partes cerradas de X tales
que X = F ∪G. Si f : F → Y , g : G→ Y son dos funciones continuas tales que f (x) = g(x)
para x ∈ F ∩G, comprobar que la (u´nica) funcio´n h : X → Y tal que h|F = f y h|G = g es
tambie´n continua.
Ejercicio 6.2. Sea X un espacio completamente regular. Una compactificacio´n de X es un
par (K, j) donde K es un espacio compacto y j : X K es una funcio´n continua inyectiva tal
que j(X) sea denso en K.
(a) Si X es localmente compacto y T2 y si i : X  X+ es la inclusio´n, verificar que (X+, i)
es una compactificacio´n de X .
MA–704: Topologı´a 127
(b) Si C =Cb(X ,R) es el espacio de funciones continuas acotadas de X en R; y si e : X
∏ f∈C I f es la aplicacio´n de evaluacio´n, sea βX la clausura de e(X) en∏ f∈C I f . Verificar
que (βX ,e) es una compactificacio´n de X . (Esta es la compactificacio´n de Stone y
Cˇech de X .)
(c) Mostrar que, para cada funcio´n continua acotada f : X → R, hay una u´nica funcio´n
continua F : βX → R tal que F ◦ e = f . (Dı´cese que F es una extensio´n de f a la
compactificacio´n βX .)
(d) Si C es un espacio compacto y T2, mostrar que, para cada funcio´n continua f : X →C,
hay una u´nica extensio´n continua F : βX →C tal que F ◦ e = f .
(e) Si (K, j) es una compactificacio´n cualquiera de X , concluir que hay una funcio´n conti-
nua h : βX → K tal que h ◦ e = j. Si X es localmente compacto, mostrar que hay una
funcio´n continua g : K→ X+ tal que g◦ j = i.
(f) Si X = (0,1)⊂ R, mostrar que βX no es homeomorfo al intervalo [0,1].
Ejercicio 6.3. Sean X , Y , Z tres espacios completamente regulares. Si f : X→Y es continua,
deno´tese por β f : βX → βY la funcio´n continua (u´nica) que extiende e◦ f : X → βY .
(a) Dadas dos funciones continuas f : X → Y , g : Y → Z, mostrar que β (g◦ f ) = βg◦β f .
(b) Si 1X : X → X denota la funcio´n identidad,7 verificar que β1X = 1βX .
Ejercicio 6.4. (a) Sea X un espacio paracompacto y sea F ⊆ X una parte cerrada. Mostrar
que F es tambie´n paracompacto.
(b) Si X es un espacio paracompacto y si Y es compacto, demostrar que X ×Y es para-
compacto.
Ejercicio 6.5. Si X es un espacio regular y σ -compacto, mostrar que X es paracompacto.
Ejercicio 6.6. El dia´metro de una parte A de un espacio me´trico (X ,ρ) se define como
diam(A) := sup{ρ(x,y) : x,y ∈ A} ∈ [0,∞].
Comprobar que el dia´metro tiene las siguientes propiedades:
(a) una parte A⊆ X es acotada si y so´lo si diam(A)< ∞;
(b) diam(A) = diam(A);
(c) si A⊆ B, entonces diam(A)≤ diam(B);
7Las propiedades (a) y (b) dicen que β es un funtor.
MA–704: Topologı´a 128
(d) si A∩B 6= /0, entonces diam(A∪B)≤ diam(A)+diam(B).
Ejercicio 6.7. Una funcio´n f : X → Y entre espacios me´tricos es uniformemente continua
si para cada ε > 0, hay un δ > 0 tal que ρ(x,y)< δ =⇒ σ( f (x), f (y))< ε .
Estos espacios me´tricos (X ,ρ) y (Y,σ) son me´tricamente equivalentes si hay un homeo-
morfismo f : X → Y tal que tanto f como su funcio´n inversa son uniformemente continuas.
(a) Si ρ¯(x,y) :=min{ρ(x,y),1}, comprobar que (X ,ρ) y (X , ρ¯) son me´tricamente equiva-
lentes.
(b) Si (X ,ρ) y (Y,σ) son me´tricamente equivalentes, mostrar que (X ,ρ) es completo si y
so´lo si (Y,σ) es completo.
Ejercicio 6.8. (a) Si (X ,ρ) es un espacio me´trico completo y F ⊆ X es cerrado, mostrar que
(F,ρ) es tambie´n completo.
(b) Si (Y,σ) es un espacio me´trico cualquiera y si H ⊆ Y es una parte tal que (H,σ) sea
completo, mostrar que H es cerrada en Y .
Ejercicio 6.9 (Cantor). (a) Demostrar que un espacio me´trico (X ,ρ) es completo si y so´lo
si cada sucesio´n decreciente de cerrados F0 ⊇ F1 ⊇ F2 ⊇ ·· · con diam(Fn)→ 0 tiene un solo
punto de interseccio´n: ↓⋂n∈NFn = {x}.
(b) Dar un ejemplo de un espacio me´trico completo con una sucesio´n decreciente de
cerrados Fn tales que ↓⋂n∈NFn = /0.
Ejercicio 6.10 (Banach). Si (X ,ρ) es un espacio me´trico, una funcio´n f : X → X es una
contraccio´n si hay r ∈ (0,1) tal que ρ( f (x), f (y))≤ rρ(x,y) para todo x,y ∈ X .
Si (X ,ρ) es completo, mostrar que una contraccio´n f : X → X tiene un solo punto fijo;
es decir, hay un u´nico p ∈ X tal que f (p) = p.
Ejercicio 6.11. Si X es un espacio localmente compacto y T2, sea Cc(X ,R) el espacio vec-
torial de funciones continuas f : X → R de soporte compacto: sop( f ) es una parte compacta
de R. Verificar que ‖ f‖ := sup{ f (x) : x ∈ X } define una norma sobre Cc(X ,R).
Al considerar Cc(X ,R) como espacio me´trico en la me´trica determinada por esta norma,
demostrar que la complecio´n de Cc(X ,R) es C0(X ,R), el espacio de funciones continuas que
se anulan en el infinito.
Ejercicio 6.12. Sea X un espacio de Baire.
(a) Si X =
⋃
n∈NFn es una unio´n numerable de partes cerradas, demostrar que F◦m 6= /0 para
algu´n m ∈ N.
(b) Si A⊂ X es magro en X , comprobar que A◦ = /0.
MA–704: Topologı´a 129
(c) Si U ⊆ X es abierto en X , mostrar que U tambie´n es de Baire.
(d) Si f : X → R es un funcio´n continua y si U ⊆ X es un abierto no vacı´o, demostrar que
hay un abierto no vacı´o V ⊆U tal que f |V sea acotada.
[[ Indicacio´n: Conside´rese {x ∈U : | f (x)| ≤ n}. ]]
Ejercicio 6.13 (Principio de acotacio´n uniforme). Sea (X ,ρ) un espacio me´trico completo
y sea F ⊂C(X ,R) una familia de funciones continuas tales que F(x) := { f (x) : f ∈ F} sea
acotada en R, para cada x ∈ X . Demostrar que hay un abierto no vacı´o U ⊆ X en la cual F es
uniformemente acotada: hay M > 0 tal que | f (x)≤M para todo x ∈U , f ∈ F.
[[ Indicacio´n: Conside´rese {x ∈ X : | f (x)| ≤ n, f ∈ F}. ]]
Ejercicio 6.14. Demostrar que el conjunto de Cantor C ⊂ [0,1] es homeomorfo al cubo de
Cantor {0,1}N, de la siguiente manera: defı´nase f : {0,1}N→C por f (x) :=∑∞n=0 2xn/3n+1.
Mostrar que f es una biyeccio´n continua y concluir que es un homeomorfismo.
7 Ejercicios sobre funtores y homotopı´as
Ejercicio 7.1. Sean J, K dos conjuntos parcialmente ordenados y sean J, K las categorı´as
pequen˜as correspondientes (Ejemplo 3.7). Comprobar que los funtores F : J→ K esta´n en
correspondencia biunı´voca con las funciones no decrecientes f : J → K. Si G : J→ K es
otro de estos funtores, mostrar que hay una transformacio´n natural θ : F → G si y so´lo si
f ( j)≤ g( j) en K para todo j ∈ J.
Ejercicio 7.2. (a) Mostrar que las ima´genes de funciones A 7→ f (A) son instancias del functor
de potencia P : Set→ Set.
(b) Mostrar que las preima´genes de funciones B 7→ f−1(B) son instancias de cierto funtor
contravariante Q : Set◦→ Set.
Ejercicio 7.3. Una parte X ⊆ Rn es radialmente convexo8 si hay un punto p ∈ X tal que
para todo q∈ X , el segmento rectilı´neo [p,q] := {(1−t)p+tq : 0≤ t ≤ 1} cumple [p,q]⊆ X .
(Fı´jese que un conjunto convexo es radialmente convexo.) Demostrar que X es contractible.
Ejercicio 7.4. Sea X un espacio topolo´gico contractible.
(a) Comprobar que X es conexo por caminos.
(b) Si Z es otro espacio topolo´gico, mostrar que el conjunto [Z,X ] —las clases de homo-
topı´a de funciones en C(Z,X)— tiene un solo elemento.
(c) Si Y es un espacio conexo por caminos, mostrar que [X ,Y ] tiene un solo elemento.
8En ingle´s: star-shaped, o bien radially convex.
MA–704: Topologı´a 130
Ejercicio 7.5. Demostrar que una funcio´n continua f : X → Y es una equivalencia de homo-
topı´a si y so´lo si hay dos funciones continuas g,h : Y → X tales que f ◦g' 1Y y h◦ f ' 1X .
Ejercicio 7.6. Si Y es un espacio topolo´gico y si B ⊆ Y , el espacio cociente Y/B se define
por la relacio´n de equivalencia: y∼ z para todo y,z ∈ B. (Para y,z /∈ B, se sobreentiende que
y∼ z si y so´lo si y = z.)
El cono sobre un espacio topolo´gico X es CX := (X× I)/(X×{1}). Al identificar x ∈ X
con [(x,0)] ∈CX , se puede considerar X como subespacio cerrado de CX .
Demostrar que una funcio´n continua f : X →Y es homoto´pica a una funcio´n constante si
y so´lo si f es extiende a una funcio´n continua f˜ : CX → Y .
Ejercicio 7.7. La franja de Mo¨bius es el espacio cociente M = T/∼ del recta´ngulo T =
I× (−1,1) obtenido al declarar (0,s)∼ (1,−s) para−1< s< 1. Al identificar e2piit ∈ S1 con
[(t,0)] ∈M, se puede considerar S1 como subespacio cerrado de M.
Demostrar que el subespacio S1 es una retraccio´n por deformacio´n de M.
Ejercicio 7.8. Si f : Y → Z es una funcio´n continua, demostrar que Y es una retraccio´n por
deformacio´n del cilindro Z f := (X× I)∪ f Y —ve´ase la Definicio´n 1.56.
Ejercicio 7.9. La aplicacio´n antipodal de la esfera Sn ⊂ Rn+1 es la funcio´n an : Sn → Sn
dada por an(v) :=−v.
(a) Defı´nase f ,g : S2→ S2 por f (x,y,z) := (−x,−y,z) y g(x,y,z) := (x,y,−z). Demostrar
que f ' 1S2 y que g' a2.
(b) Si n es impar, comprobar que an ' 1Sn .
8 Ejercicios sobre grupos fundamentales
Ejercicio 8.1. Sea X un espacio conexo por caminos. Un lazo en X basado en p puede con-
siderarse como funcio´n continua f : (S1,1)→ (X , p) en al categorı´a de espacios punteados.
Conside´rese el conjunto [S1,X ] de clase de homotopı´a de funciones continuas S1 → X , sin
tomar en cuenta los puntos de base; sea ϕ : pi1(X , p)→ [S1,X ] dado por ϕ([ f ]) := [ f ].
Demostrar que la funcio´n ϕ es sobreyectivo y que ϕ([ f ]) = ϕ([g]) si y so´lo si las clases
[ f ] y [g] son conjugados9 en pi1(X , p). Concluir que ϕ induce una biyeccio´n entre [S1,X ] y el
conjunto de las clases de conjugacio´n del grupo pi1(X , p).
Ejercicio 8.2. Si r : X → A es una retraccio´n y si p ∈ A, demostrar que el homomorfismo
r∗ : pi1(X , p)→ pi1(A, p) es sobreyectivo.
9Dos elementos g,h de un grupo G son conjugados si y so´lo si hay t ∈ G tal que h = tgt−1. Esta es una
relacio´n de equivalencioa sobre G.
MA–704: Topologı´a 131
Ejercicio 8.3. Si f : X→Y es una funcio´n continua y si u : I→ X es un camino con u(0) = p
y u(1) = q, comprobar que f∗ ◦βu = β f◦u ◦ f∗; es decir, mostrar que el siguiente diagrama de
homomorfismos de grupos es conmutativo:
pi1(X , p)pi1(X ,q)
pi1(Y, f (p))pi1(Y, f (q))
f∗
βu
f∗
β f◦u
Ejercicio 8.4. El producto directo10 de dos grupos G y H es el producto cartesiano G×H
dotado con la ley de grupo (g,h)(g′,h′) := (gg′,hh′).
Si (X , p), (Y,q) son dos espacios topolo´gicos punteados, comprobar que hay un isomor-
fismo de grupos tal que
pi1(X×Y,(p,q))' pi1(X , p)×pi1(Y,q).
Concluir que el toro T2 = S1×S1 tiene grupo fundamental Z2 = Z⊕Z.
Ejercicio 8.5. Sea F : I× I→ X una funcio´n continua, Defı´nase cuatro caminos f0, f1, g, h
en X por sus “ma´rgenes”:
f0(s) := F(s,0), f1(s) := F(s,1), g(t) := F(0, t), h(t) := F(1, t).
Sea gˇ : t 7→ g(1−t) el camino inverso de g. Construir una homotopı´a de caminos que muestra
que f1 '˙ gˇ∗ f0 ∗h.
Ejercicio 8.6. Si G es un grupo topolo´gico y si g, h son dos lazos en G basados en elemento
unidad 1, defı´nase su producto puntual g · h por (g · h)(s) := g(s)h(s), empleando la ley de
grupo al lado derecho de esta fo´rmula. Mostrar que hay dos homotopı´as de lazos
g∗h '˙ g ·h, h∗g '˙ g ·h.
Concluir que el grupo fundamental pi1(G,1) es abeliano.
[[ Indicacio´n: Defı´nase F(s, t) := g(s)h(st) y tambie´n K(s, t) := g(st)h(s); luego aplı´quese
el Ejercicio anterior. ]]
Ejercicio 8.7. En el toro T2 = S1×S1, sea S1 ∨S1 el subespacio formado por la unio´n de
los dos cı´rculos principales:
S1∨S1 := (S1×{1})∪ ({1}×S1).
10Cuando G y H son abelianos y se usa notacio´n aditiva para sus operaciones de grupo, el producto directo
tambie´n se escribe G⊕H.
MA–704: Topologı´a 132
Estos dos cı´rculos se cortan en un so´lo punto (1,1), que puede tomarse como punto de base
de S1 ∨ S1. A veces el toro se representa como el cuadrado I × I con los lados opuestos
identificados, en cuyo caso S1∨S1 es el subespacio formados por esos lados:
• •
••
p
Demostrar que S1 ∨S1 es una retraccio´n por deformacio´n del espacio T2 \ {p}, donde p es
un punto en T2 \ (S1∨S1).
Ejercicio 8.8. (a) Demostrar que la funcio´n exponencial exp: C→ C \ {0} : z 7→ ez es una
proyeccio´n recubridora.
(b) Una aplicacio´n h : Y → X es un homeomorfismo local si cada y ∈ Y tiene un vecin-
dario abierto V tal que h(V ) sea un abierto en X y h|V : V → h(V ) es un homeomorfismo.
Verificar que cualquier proyeccio´n recubridora es un homeomorfismo local.
(c) Demostrar que la funcio´n e : (−1,1)→ S1 : t 7→ e2piit es un homeomorfismo local,
pero no es una proyeccio´n recubridora.
9 Ejercicios sobre homotopı´a y espacios recubridores
Ejercicio 9.1. Demostrar que R2 y R3 no son homeomorfos.
Ejercicio 9.2. Sea B2 := {(x,y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1} el disco cerrado unitario en R2. Si
h : B2 → B2 es un homeomorfismo (biyectivo), demostrar que h(S1) = S1 y que h lleva el
disco abierto (B2)◦ en sı´ mismo.
Ejercicio 9.3. Si p : X˜ → X es una proyeccio´n recubridora donde X˜ es conexo por caminos
y X es simplemente conexo, mostrar que p es un homeomorfismo.
Ejercicio 9.4. Dı´cese que un espacio Z es localmente conexo por caminos si cada punto de Z
tiene un vecindario abierto que es conexo por caminos. Supo´ngase que p : (X˜ ,y)→ (X ,x) es
una proyeccio´n recubridora y que f : (Z,z)→ (X ,x) es una funcio´n continua, donde X , X˜ y Z
son conexos por caminos, y adema´s Z es localmente conexo por caminos.
Demostrar que hay una funcio´n continua f˜ : (Z,z)→ (X˜ ,y) tal que p◦ f˜ = f si y so´lo si
f∗(pi1(Z,z))⊆ p∗(pi1(X˜ ,y)) como subgrupos de pi1(X ,x).
[[ Indicacio´n: La conexidad local por caminos de Z se usa solamente para mostrar la con-
tinuidad de f˜ . ]]
MA–704: Topologı´a 133
Ejercicio 9.5. Sean p : X˜ → X y q : X̂ → X dos proyecciones recubridores, donde X , X˜ y X̂
son conexos por caminos y X es localmente conexo por caminos. Un morfismo de espacios
recubridores h : (X˜ ; p)→ (X̂ ;q) es una funcio´n continua h : X˜→ X̂ con q◦h= p. Demostrar
que h : X˜ → X̂ es tambie´n una proyeccio´n recubridora.
[[ Indicacio´n: Obse´rvese que es necesario mostrar que h es sobreyectiva. ]]
Ejercicio 9.6. Un espacio recubridor X˜ de un espacio conexo por caminos X se llama espacio
recubridor universal si X˜ es simplemente conexo. Demostrar que dos espacios recubridores
universales de X son isomorfos (por un morfismo invertible; por ende, son homeomorfos).11
Ejercicio 9.7. (a) Comprobar que el espacio S2∨S2 (dos esferas tangentes) es simplemente
conexo.
(b) Construir un espacio recubridor de RP2 ∨RP2 de la forma Y = (S2 unionmulti S2)/∼ cuya
proyeccio´n recubridora es dos-a-uno.
Ejercicio 9.8. (a) Sea H un subgrupo discreto (y por tanto cerrado) de un grupo topolo´gico G
y sea q : G → G/H la aplicacio´n cociente, donde G/H es el conjunto de coclases (a la
izquierda) de H, dotado de la topologı´a cociente. Demostrar que hay un vecindario abierto V
de 1 ∈ G tal que V ∩H = {1}. Concluir que q es una proyeccio´n recubridora.
(b) Mostrar que R2, S2 y SU(2) son espacios recubridores universales para los espacios
T2, RP2 y SO(3), respectivamente.12
10 Ejercicios sobre homologı´a simplicial
Ejercicio 10.1. Si X , Y son dos espacios topolo´gicos no vacı´os, su juntura X ?Y se define
como el espacio cociente (X× I×Y )/R, cuya relacio´n de equivalencia R esta´ generado por:13
(x,0,y)∼ (x,0,y′)
(x,1,y)∼ (x′,1,y)
}
para todo x,x′ ∈ X ; y,y′ ∈ Y.
(a) Comprobar que el conjunto X ?Y es la unio´n de todos los 1-sı´mplices [x,y] tales que
x ∈ X ⊂ X unionmultiY , y ∈ Y ⊂ X unionmultiY . (En consecuencia, la juntura de dos ∆-complejos es un
∆-complejo.)
(b) Si P= {p} es un punto, el cono C X es la juntura X ?P. Hallar un homeomorfismo afı´n
entre C∆k y ∆k+1.
11La existencia de un espacio recubridor universal no esta´ garantizado; para las condiciones necesarias y
suficientes sobre X que permiten construir un espacio recubridor universal, ve´ase la seccio´n 1.3 del libro de
Hatcher.
12El caso de S2 no depende directamente de la parte (a), porque S2 no es un grupo topolo´gico.
13En ingle´s: X ?Y is the join of X and Y .
MA–704: Topologı´a 134
(c) La suspensio´n SX es la juntura X ?S0. Describir el espacio S(I× I).
(d) Demostrar que I ? I ≈ ∆3.
Ejercicio 10.2. Si ε jk : ∆k−1 → ∆k es el homeomorfismo afı´n, que preserva el orden de los
ve´rtices, entre ∆k−1 y la faceta [e0, . . . , ê j, . . . ,ek] de ∆k, comprobar que ε
j
k ◦ ε ik−1 = ε ik ◦ ε j−1k−1
para i< j. Usando esta relacio´n, demostrar la fo´rmula ∂k−1◦∂k = 0 sobre cadenas singulares.
Ejercicio 10.3. Sea T el ∆-complejo formado por un solo 3-sı´mplice T = [v0,v1,v2,v3] y
todas sus facetas (con sus ve´rtices ordenados segu´n el patro´n v0 < v1 < v2 < v3). Calcular los
grupos de homologı´a simplicial H∆k (T ) para k = 0,1,2,3.
Ejercicio 10.4. La esfera S2 es homeomorfo al 2-esqueleto ∆′3≡∆23 del tetraedro ∆3. Calcular
los grupos de homologı´a simplicial H∆k (S
2) = H∆k (∆
2
3) para k ∈ N.
Ejercicio 10.5. Sea Y el “paracaı´das triangular” obtenido de un tria´ngulo al identificar sus
tres ve´rtices a un so´lo punto: Y := [v0,v1,v2]/{v0,v1,v2}. Calcular los grupos de homologı´a
simplicial H∆k (Y ) para k = 0,1,2.
Ejercicio 10.6. Si K es un complejo simplicial de dimensio´n n y si Kr es su r-esqueleto para
r ≤ n, demostrar que H∆k (Kr)' H∆k (K) para k = 1, . . . ,r−1.
¿Hay alguna relacio´n general entre H∆r (K
r) y H∆r (K)?
Ejercicio 10.7. Exhibir un homeomorfismo entre el cono CSn de la n-esfera y la bola unitaria
cerradaBn+1. Usar el ejercicio anterior14 para mostrar que Hk(Sn)= 0 para k= 1,2, . . . ,n−1.
Ejercicio 10.8. Si G es un grupo abeliano cualquiera, una k-cadena con coeficientes en G es
una suma formal finita∑α mασα de k-sı´mplices σα donde cada mα ∈G. Ası´ se obtienen com-
plejos de cadenas ∆k(Y ;G) y Sk(X ;G) si Y es un ∆-complejo y X es un espacio topolo´gico; y
de ahı´ se obtiene homologı´a con coeficientes, H∆k (Y ;G) y Hk(X ;G).
Calcular H∆k (RP
2;Z/2) y H∆k (RP
2;R), para el plano proyectivo RP2.
K K
L L
v v
vv
v w
vw
f
g
f
g h
f
g
k
g h
• •• •
• •• •
La botella de Klein B y la franja de Mo¨bius M
14Para un ∆-complejo compacto Y , hay un isomorfismo H∆k (Y ) ' Hk(Y ), para k ∈ N, entre sus homologı´as
simplicial y singular.
MA–704: Topologı´a 135
Ejercicio 10.9. En los dos diagramas anteriores se exhiben ∆-complejos homeomorfos a la
botella de Klein B (se identifican dos lados opuestos de un cuadrado en forma paralela y los
otros dos en forma antiparalela); y la franja de Mo¨bius M (se identifican dos lados opuestos
de un cuadrado en forma antiparalela pero los otros dos lados no se identifican).
Calcular los grupos de homologı´a simplicial H∆k (B) y H
∆
k (M) para k = 0,1,2.
Ejercicio 10.10. Si Y es un ∆-complejo de dimensio´n n y si k ∈ {0,1, . . . ,n}, entonces
H∆k (Y ;R) es un espacio vectorial finitodimensional; las dimensiones bk(Y ) := dimRH
∆
k (Y ;R),
para k = 0,1, . . . ,n, son los nu´meros de Betti de Y .
La suma alternada
χ(Y ) :=
n
∑
k=0
(−1)kbk(Y )
se llama la caracterı´stica de Euler de Y . Si αk(Y ) := dimR∆k(Y ;R) es el nu´mero de los
k-sı´mplices de Y , comprobar la fo´rmula
χ(Y ) =
n
∑
k=0
(−1)kαk(Y ).
Determinar la caracterı´stica de Euler de la esfera Sn. ¿Cua´les son los nu´meros de Betti bk(Sn)?
[[ Indicacio´n: Si W es un subespacio de V , entonces dimR(V/W ) = dimRV −dimRW . ]]
Ejercicio 10.11. Si X =
⊎
α∈J Xα expresa un espacio topolo´gico X como unio´n disjunta de
sus componentes conexas por caminos Xα , comprobar que H0(X)'⊕α∈J H0(Xα).
Ejercicio 10.12. Demostrar que los espacios topolo´gicos T2 y S1∨S1∨S2 tienen grupos de
homologı´a singular isomorfos en cada grado, pero no son homoto´picamente equivalentes.
11 Ejercicios sobre homologı´a singular
Ejercicio 11.1. Si X es un espacio conexo por caminos y si A⊆ X con A 6= /0, demostrar que
H0(X ,A) = 0.
Ejercicio 11.2. (a) Si P = {p} es un punto con p ∈ X , y si c : X → P es la funcio´n constante,
la homologı´a reducida de X se define como15
H˜k(X) := ker(c∗ : Hk(X)→ Hk(P)).
Comprobar que H˜k(X) = Hk(X) para k > 0.
(b) Si i : P X es la inclusio´n, usar c◦ i = 1P para mostrar que H0(X)' Z⊕ H˜0(X).
(c) Usar la sucesio´n exacta larga del par (X ,P) para comprobar que H˜0(X)' H0(X ,P).
15La homologı´a reducida simplifica el caso k = 0 de la homologı´a singular. Por ejemplo, para la homologı´a
reducida de las esferas se obtiene H˜n(Sn) = Z y H˜k(Sn) = 0 para k 6= n.
MA–704: Topologı´a 136
Ejercicio 11.3. Una homotopı´a de pares entre dos morfismos f ,g : (X ,A)→ (Y,B) es una
homotopı´a F : X × I → Y entre f y g tal que F(A× I) ⊆ B. Si los morfismos f , g son
homoto´picos, comprobar que f∗ = g∗ : Hk(X ,A)→ Hk(Y,B) para todo k ∈ N.
[[ Indicacio´n: Explicar por que´ la demostracio´n para la homologı´a “absoluta” de X y de A
sigue va´lido para la homologı´a relativa. Alternativamente, usar el “lema de cinco” para suce-
siones exactas. ]]
Ejercicio 11.4. Si r : X → A es una retraccio´n, demostrar que el homomorfismo
(r∗, j∗) : Hk(X)→ Hk(A)⊕Hk(X ,A)
es un isomorfismo, para cada k ∈ N.
Adema´s, si r : X → A es una retraccio´n por deformacio´n, comprobar que Hk(X ,A) = 0.
Ejercicio 11.5. Demostrar que la sucesio´n exacta larga en homologı´a es una construccio´n
natural. En otras palabras, para cada morfismo de pares f : (X ,A)→ (Y,B), demostrar que
el siguiente diagrama es conmutativo:16
· · · Hk(A) Hk(X) Hk(X ,A) Hk−1(A) · · ·
· · · Hk(B) Hk(Y ) Hk(Y,B) Hk−1(B) · · ·
i∗ j∗ δ
i∗ j∗ δ
f∗ f∗ f∗ f∗
Ejercicio 11.6. En la esfera Sn, defı´nase las partes
B+ := {x ∈ Sn : xn ≥ 0},
B− := {x ∈ Sn : xn ≤ 0},
U+ := {x ∈ Sn : xn > 12 },
U− := {x ∈ Sn : xn <−12 }.
(a) Demostrar que {Sn \U−,Sn \U+} es una copla escisiva.
(b) Demostrar que (B+,Sn−1) es una retraccio´n por deformacio´n de (Sn \U−,B− \U−).
(c) Concluir que {B+,B−} es una copla escisiva.
Ejercicio 11.7. Si X es un espacio topolo´gico, mostrar que {X ,X} es una copla escisiva en X .
Describir explı´citamente los homomorfismos ϕ∗, ψ∗, δ para la sucesio´n de Mayer y Vietoris
de esta copla.
[[ Indicacio´n: Es de esperar que esta copla “trivial” no aporte informacio´n alguna sobre los
grupos de homologı´a Hk(X). Justificar esta conjetura con el ca´lculo del homomorfismo δ . ]]
16La conmutatividad del diagrama para cada f significa que los homomorfismos i∗, j∗, δ son transforma-
ciones naturales entre las funtores Hk que definen las columnas.
MA–704: Topologı´a 137
Ejercicio 11.8. El trabajo original de Mayer17 uso´ los eventuales me´todos de su sucesio´n
exacta con Vietoris para calcular la homologı´a singular del toro T2. Conside´rese T2 como
la superficie z2 +(r− b)2 = a2 en coordenadas cilı´ndricas (r,θ ,z) en R3, donde b > a > 0.
Defı´nase U ⊂T2 por la relacio´n−pi/4< θ < 5pi/4; y tambie´n V ⊂T2 por 3pi/4< θ < 9pi/4.
Demostrar que {U,V} es una copla escisiva en T2. Mostrar que U , V y U ∩V son ho-
moto´picamente equivalentes a S1, S1 y S1 unionmulti S1, respectivamente. Dado que H1(S1) ' Z,
calcular Hk(T2) para cada k ∈ N.
Ejercicio 11.9. (a) Si {U,V} es una copla excisiva con X =U ∪V y si H˜k(U ∩V ) = 0 para
todo k ∈ N, comprobar que H˜k(X)' H˜k(U)⊕ H˜k(V ) para todo k.
(b) Si (X , p) y (Y,q) son espacios puntuados; si hay vecindarios contractibles W de p
en X y W ′ de q en Y ; y si (X ∨Y,r) es la cun˜a de estos dos espacios puntuados, demostrar que
H˜k(X ∨Y )' H˜k(X)⊕ H˜k(Y ) para todo k ∈ N.
(c) Usar este resultado para demostrar que los espacios T2 y S1∨S1∨S2 poseen la misma
homologı´a singular.
Ejercicio 11.10. (a) Si {U,V} es una copla excisiva con X =U ∪V y si H˜k(U) = H˜k(V ) = 0
para todo k ∈ N, comprobar que H˜k+1(X)' H˜k(U ∩V ) para todo k.
(b) Si X es un espacio topolo´gico, su suspensio´n SX = X ? S0 se identifica con el co-
ciente (X× I)/∼ donde (x,0)∼ (x′,0) y tambie´n (x,1)∼ (x′,1) para todo x,x′ ∈ X . En otras
palabras, el subespacio X ×{0} de X × I se identifica con un punto p ∈ SX ; y el subespacio
X ×{1} se identifica con otro punto q ∈ SX . Demostrar que {SX \ {q},SX \ {p}} es una
copla escisiva en SX .
(c) Concluir que H˜k+1(SX)' H˜k(X) para todo k ∈ N.
Ejercicio 11.11. Si f : Sn→ Sn es continua, el homomorfismo f∗ : Hn(Sn)→Hn(Sn) tiene la
forma f∗(z¯) := mz¯ para algu´n m ∈ Z, ya que Hn(Sn)' Z. Este nu´mero entero m =: gr( f ) se
llama el grado de f .
(a) Comprobar que gr(1Sn) = 1 y que gr( f ◦g) = gr( f )gr(g).
(b) Si f ,g : Sn→ Sn son homoto´picas, mostrar que gr( f ) = gr(g).
(c) Para el caso n = 1, si f (z) = z para algu´n z ∈ S1, comprobar que esta definicio´n de
gr( f ) coincide con el grado del lazo f .
(d) Si ρ es la reflexio´n (x0,x1, . . . ,xn) 7→ (−x0,x1, . . . ,xn), mostrar que gr(ρ) =−1.
[[ Indicacio´n: Induccio´n sobre n. ]]
(e) Si an : Sn→ Sn es la aplicacio´n antipodal x 7→ −x, mostrar que gr(an) = (−1)n+1.
17Walther Mayer, U¨ber abstrakte Topologie, Monatshefte fu¨r Mathematik 36 (1929), 1–42.
MA–704: Topologı´a 138
Indı´ce General
Introduccio´n 1
1 Espacios Topolo´gicos y Funciones Continuas 5
1.1 Prea´mbulo sobre conjuntos y funciones 5
1.2 Abiertos y cerrados, sistemas de vecindarios 9
1.3 Funciones continuas, topologı´as de´biles 16
1.4 Subespacios, productos y cocientes 19
1.5 Sucesiones, redes y convergencia 24
2 Conexidad, Compacidad y Separacio´n 31
2.1 Espacios conexos, componentes 31
2.2 Espacios compactos 35
2.3 Axiomas de separacio´n 41
2.4 Espacios localmente compactos 48
2.5 Espacios paracompactos, particiones de la unidad 51
2.6 El teorema de Tijonov 55
2.7 Espacios me´tricos completos 56
2.8 El teorema de Baire 61
3 Introduccio´n a la Homotopı´a 68
3.1 Una excursio´n sobre categorı´as y funtores 68
3.2 El concepto de homotopı´a 74
3.3 El grupo fundamental de un espacio puntuado 77
3.4 Espacios recubridores 85
3.5 El teorema de Seifert y van Kampen 91
4 Introduccio´n a la Homologı´a 95
4.1 Complejos simpliciales y ∆-complejos 95
4.2 Homologı´a simplicial y singular 98
4.3 La sucesio´n de Mayer y Vietoris 111
1 Ejercicios sobre espacios topolo´gicos 116
2 Ejercicios sobre clausuras, funciones continuas y productos 118
3 Ejercicios sobre redes y espacios conexos 119
4 Ejercicios sobre espacios compactos 122
MA–704: Topologı´a 139
5 Ejercicios sobre separacio´n y compacidad local 124
6 Ejercicios diversos sobre espacios topolo´gicos 126
7 Ejercicios sobre funtores y homotopı´as 129
8 Ejercicios sobre grupos fundamentales 130
9 Ejercicios sobre homotopı´a y espacios recubridores 132
10 Ejercicios sobre homologı´a simplicial 133
11 Ejercicios sobre homologı´a singular 135