Revista de Matema´tica: Teor´ıa y Aplicaciones 2(2): 49–57 (1995)
sobre los puntos fijos hiperbo´licos de un
difeomorfismo local del plano
William Alvarado Jime´nez1
Resumen
Se demuestra una generalizacio´n del λ-lema de J. Palis para un caso de interseccio´n
no transversal de las variedades estable e inestable de un punto fijo hiperbo´lico de un
difeomorfismo local de clase C∈ del plano en s´ı mismo.
Abstract
An extension of J. Palis’ λ-lemma is obtained for one case of non-tansversal inter-
section of the stable and unstable manifolds of an hyperbolic fixed point of a C∈-local
diffeomorphism of R2.
1. Introduccio´n
Consideremos un difeomeorfismo local H de clase C∇ de un vecindario del origen de
coordenadas 0 ∈ Rn, que admite a 0 en calidad de punto fijo hiperbo´lico. En la descom-
posicio´n invariante Rn = Es⊕Eu inducida por el isomorfismo lineal DH(0), consideramos
dos bolas abiertas Bs ⊆ Es, y Bu ⊆ Eu, contenidas respectivamente en la variedad estable
local W sloc, y el la variedad inestable local W
u
loc del difeomorfismo H en el punto 0 ∈ Rn.
Sean V = Bs × Bu, q = (p, 0) ∈ W sloc \ {0}, y Dk un disco de dimensio´n k igual a la di-
mensio´n del subespacio Eu, que interseca transversalmente la variedad estable local W sloc
en el punto q.
El siguiente resultado, debido a J. Palis, se conoce dentro de la teor´ıa de sistemas
dina´micos con el nombre de λ-lema:
Lema (λ-lema).
Sean V , q y Dk como arriba. Si Dkn denota la componente conexa de la interseccio´n
Hn(Dk) ∩ V que contiene al n-e´simo iterado Hn(q) del punto q bajo la accio´n del difeo-
morfismo H, entonces dado ε > 0, se puede hallar un nu´mero natural N , tal que si n ≥ N ,
entonces Dkn es ε C′-pro´ximo de la bola Bu.
Este lema de caracter local se utiliza a menudo en el estudio de sistemas dina´micos
en dimensiones mayores o iguales a 2. En particular, el λ-lema se suele utilizar para dar
1Escuela de Matema´tica, Universidad de Costa Rica
49
50 w. alvarado
una demostracio´n “geome´trica” del Teorema de Grobman-Hartman, o bien para estudiar
el comportamiento de trayectorias en un vecindario de un contorno homocl´ınico estruc-
turalmente estable ([Palis-De Melo]).
Aunque la formulacio´n del λ-lema es bastante “te´cnica”, geome´tricamente este resul-
tado afirma que en un vecindario de un punto fijo hiperbo´lico de un difeomorfismo local de
clase C∇, de 0 ∈ Rn, si un disco de dimensio´n igual a la dimensio´n de la variedad inestable
local W uloc(0) interseca transversalmente a la variedad estable local W
s
loc(0), entonces los
iterados sucesivos del difeomorfismo “enderezan” el disco, de tal forma que para n sufi-
cientemente grande, el n-e´simo iterado del disco no so´lo estara´ muy pro´ximo a W uloc, sino
que tambie´n el espacio tangente del n-e´simo iterado del disco es “casi” paralelo al espacio
tangente de la variedad inestable local. En el caso particular del plano, la figura 1 da una
idea del comportamiento de los iterados del difeomorfismo H.
-
φ
- ff
6
?
- ff
6
?
Es Es
EnEn
W nloc
W sloc
Figura 1:
En el presente trabajo, vamos demostrar, en el plano, un resultado similar al λ-lema
para un punto fijo hiperbo´lico de un difeomorfismo local de clase C∈, en el caso en que
la interseccio´n de una curva γ con la variedad estable local W sloc, sin ser necesariamente
transversal, satisfaga condiciones de “normalidad” que se definen ma´s adelante.
2. Resultados preparatorios
En esta seccio´n vamos a enumerar varios resultados preliminares, que son necesarios
para la prueba del teorema principal. Las demostraciones de estas afirmaciones, aunque
elementales, son bastante largas, y es por esto que hemos preferido omitirlas, refiriendo al
lector interesado a los trabajos [Alvarado], [Ivanov], [Palis-de Melo].
En R2 consideremos un vecindario abierto O del origen de coordenadas, y un difeo-
morfismo H : O −→ R2 de clase C∈, que tiene un punto fijo hiperbo´lico en el origen de
coordenadas (0, 0).
Vamos a suponer que los valores propios α y β del isomorfismo lineal DH(0) verifican
puntos fijos hiperbo´licos de un difeomorfismo local del plano 51
|α| < 1 < |β|2. Adema´s, vamos a suponer, sin pe´rdida de generalidad, que el producto αβ
es estrictamente menor a 1.
Consideremos la descomposicio´n del plano: R2 = Es⊕Eu inducida por el isomorfismo
lineal DH(0). Como se sabe, la variedad estable local del punto 0, W sloc corresponde al
gra´fico de una aplicacio´n de clase C∈,
ϕs : Bs(0, r) −→ Eu ,
tal que ϕs(0) = 0 y Dϕs(0) = 0, donde Bs(0, r) ⊆ Es denota la bola abierta de centro 0
y radio r.
Ana´logamente, la variedad inestable local de 0, W uloc(0) se puede ver como el gra´fico
de una aplicacio´n C∈,
ϕu : Bu(0, r) −→ Es ,
que verifica ϕu(0) = 0 y Dϕu(0) = 0.
Consideremos la aplicacio´n ϕ, definida por
ϕ : Bs(0, r)×Bu(0, r) −→ Es ⊕Eu
(xs, xu) 7→ (xs − ϕu(xu), xu − ϕs(xs)) .
La aplicacio´n ϕ es de clase C∈, y adema´sDϕ(0) = I, donde I denota la aplicacio´n identidad
de R2. De esta manera ϕ es un difeomorfismo local de un vecindario de 0 ∈ R2 en R2.
Consideremos la composicio´n H˜ = ϕ◦H◦ϕ−1. H˜ es un difeomorfismo local de un vecindario
del origen de coordenadas, que satisface H˜(0) = 0 y DH˜(0) = DH(0).
De esta manera, hemos probado que la variedad estable local del punto 0 coincide con
un vecindario del origen de Es, y que la variedad inestable local, con un vecindario del
origen de Eu.
- ff
6
?
Es
En
Figura 2:
2En otras palabras 0 es un punto fijo hiperbo´lico del tipo silla de montar (saddle-point)
52 w. alvarado
Gracias a esto, podemos asumir que las variedades estable local e inestable local de un
punto fijo hiperbo´lico de un difeomorfismo local H, son un vecindario del punto fijo en el
subespacio estable y en el subespacio inestable respectivamente de la parte lineal de H en
este punto.
Consideremos de nuevo nuestro difeomorfismo local H, el cual podemos suponer sin
pe´rdida de generalidad, tiene la forma
H(x, y) = (F (x, y), G(x, y)) = (αx+ f(x, y), βy + g(x, y)) ,
donde f, g ∈ C∈ en O, satisfacen las condiciones
f(0, 0) = g(0, 0) = f(0, y) = g(x, 0) =
∂f
∂x
(0, 0) =
∂g
∂y
(0, 0) = 0 .
Las siguientes proposiciones resumen el comportamiento de los iterados de los puntos
pertenecientes a un vecindario suficientemente pequen˜o del origen, bajo la accio´n del difeo-
morfismo local H.
Primeramente introducimos dos funciones auxiliares φ y ψ:
φ(x, y) =

f(x, y)
αx
, si x 6= 0
0 , si x = 0 ,
y
ψ(x, y) =

g(x, y)
βx
, si y 6= 0
0 , si y = 0 .
En lo que sigue denotamos por B(δ) la bola abierta de centro 0 y radio δ.
Proposicio´n 1.
Existen constantes δ1 > 0 y M > 0, tal que si (x, y) ∈ B(δ1), entonces
|φ(x, y)| < M(|x| + |y|)
|ψ(x, y)| < M(|x| + |y|) .
Sea (x0, y0) un punto que pertenece a B(δ1), y supongamos que los puntos (xi, yi)
definidos por la fo´rmula
(xi, yi) = Hi(x0, y0) ,
donde Hi denota el i-e´simo iterado de la aplicacio´n H, tambie´n pertenecen a B(δ1), para
i = 1, . . . , n.
Para cada i, i = 0, . . . , n− 1, escribimos
φi = φ(xi, yi) , ψi = ψ(xi, yi) .
puntos fijos hiperbo´licos de un difeomorfismo local del plano 53
De esta forma, se tiene que, para k = 1, . . . , n:
xk = αkx0
k−1∏
i=0
(1 + φi)
yk = βky0
k−1∏
i=0
(1 + ψi) .
Proposicio´n 2.
Existen δ2 > 0, δ2 ≤ δ1, y constantes positivas α1, α2, β1, independientes de n, que
verifican
0 < α1 < |α| < α2 < 1 < β1 < |β| ,
tales que si los puntos (xi, yi) pertenecen a B(δ2), para i = 1, . . . , n, entonces
|x0|αn1 < xn < |x0|αn2 ,
y
|y0| < |yn|β−n1 .
Proposicio´n 3.
Existen δ3 > 0, δ3 ≤ δ2, y una constante M1 > 0 independientes de n, tales que
si los puntos (xi, yi) pertenecen a B(δ3), para i = 1, . . . , n, entonces se satisfacen las
desigualdades
|α|n(1−M1δ)|x0| < |xn| < |α|n(1 +M1δ)|x0|
|β|−n(1−M1δ)|yn| < |y0| < |β|−n(1 +M1δ)|yn| ,
para cualquier 0 < δ ≤ δ3.
Proposicio´n 4.
Sea M1 como en la proposicio´n anterior, y sea 0 < δ ≤ δ3, supongamos que todos los
puntos (x0, y0), . . . , (xn, yn) pertenecen a B(δ), entonces
1−M1δ <
∣∣∣∣∣
n−1∏
i=0
(1± |φi|)
∣∣∣∣∣ < 1 +M1δ ,
1−M1δ <
∣∣∣∣∣
n−1∏
i=0
(1± |ψi|)
∣∣∣∣∣ < 1 +M1δ ,
y es posible encontrar ϑ = ϑ(n, x0, y0, δ) y % = %(n, x0, y0, δ) que verifican ϑ, % < M1δ, y
xn = αnx0(1 + ϑ), y0 = β−nyn(1 + %) .
54 w. alvarado
Proposicio´n 5.
Existen constantes 0 < δ4 ≤ δ3 y M2 > 0 independientes de n tales que si 0 < δ ≤ δ4,
y si (x0, y0), . . . , (xn, yn) ∈ B(δ), entonces∣∣∣∣∂xn∂x0 − αn
∣∣∣∣ < |α|nM2δ , ∣∣∣∣∂xn∂y0
∣∣∣∣ < (αβ)nM2δ ,∣∣∣∣∂yn∂x0
∣∣∣∣ < M2δ , ∣∣∣∣∂yn∂y0 − βn
∣∣∣∣ < |β|nM2δ .
3. Resultado principal
En esta seccio´n vamos a considerar de nuevo el difeomorfismo local H introducido en
la seccio´n anterior, y vamos a suponer que H esta´ definido en un vecindario O′ del origen,
contenido en la bola B(δ4).
Sea Es⊕Eu la descomposicio´n de R2 inducida por el isomorfismo DH(0) : R2 −→ R2.
Como vimos ma´s arriba, podemos suponer sin pe´rdida de generalidad que O′ = Bs ×Bu,
donde Bs ⊆ Es y Bu ⊆ Eu son vecindarios del origen, contenidos en la variedad estable
local W sloc(0) y la variedad inestable local W
u
loc(0) del punto 0 ∈ R2. En Es y Eu definimos
una orientacio´n compatible con la orientacio´n usual de R2, y ponemos
Bu+ = {xu ∈ Bu : xu > 0}, O′+ = Bs ×Bu+.
Como se vio´ ma´s arriba, en O′ la aplicacio´n H tiene la forma:
H(xs, xu) = (F (xs, xu), G(xs, xu)) = (αxs + f(xs, xu), βxu + g(xs, xu)) ,
donde f , g son funciones de clase C∈ en O′, que satisfacen las siguientes condiciones:
f(0, 0) = g(0, 0) = f(0, y) = g(x, 0) =
∂f
∂x
(0, 0) =
∂g
∂y
(0, 0) = 0.
Por hipo´tesis, O′ ⊆ B(δ4), y por lo tanto todas las propiedades enunciadas en las proposi-
ciones 1–5 se verifican en O′.
Consideremos el punto (p, 0) ∈ Bs \ {0}, y asumamos que γ = {(γs(t), γu(t)) : t ∈
[−1, 1]} es una curva de clase C∈, tangente a W sloc(0) en el punto (p, 0) = (γs(0), γu(0)).
Denotemos por γn la componente conexa de Hnγ ∩O′ que contiene al punto Hn(p, 0).
Definicio´n 6.
Sea (0, q) ∈ Bu \ {0}. Decimos que una curva γ satisface la condicio´n de tangencia
normal (abreviada TN) respecto al difeomorfismo H y el punto (0, q), si:
(a) γ′u tiene un cero aislado en t = 0,
puntos fijos hiperbo´licos de un difeomorfismo local del plano 55
(b) para cualquier vecindario A del punto (p, 0), existe un tA ∈ [−1, 1] tal que γ(tA) ∈ A,
y γu(tA) 6= 0, si β < 0; o bien γu(tA)q > 0, si β > 0.
Observemos que la condicio´n (b) de la definicio´n anterior supone que en caso orientable
(β > 0) cualquier vecindario de 0 ∈ [−1, 1], existe un punto tA tal que (γs(tA), γu(tA))
este´ en el mismo semiplano que (0, q).
6
?
- ff - ff
6
?
Es
En
Es
En
Figura 3:
Teorema 7.
Sea (0, q) ∈ Bu+. Si la curva γ satisface la condicio´n TN respecto al difeomorfismo H y
al punto (0, q), entonces para cualquier q > ε > 0 existe un N ∈ N, tal que si n ≥ N y el
punto (γs(t˜), γu(t˜)) pertenece al conjunto H−n([−ε, ε] × [q − ε, q + ε]) ∩ γ, entonces
|v˜ns |
|v˜nu |
≤ ε ,
donde v˜n = (v˜ns , v˜nu) denota el vector tangente a la curva γn en el punto (γns (t˜), γnu (t˜)).
(Vale la pena observar que la condicio´n |v˜ns |/|v˜nu | ≤ ε significa que la inclinacio´n del
vector v˜n respecto al subespacio Eu es menor que ε, i.e. que el vector v˜n es “casi” paralelo
a Eu. Por otra parte, es claro que si el punto (γns (t˜), γnu (t˜)) pertenece a B(δ4), entonces
la distancia entre dicho punto y la variedad W uloc(0) se puede hacer tan pequen˜a como se
quiera, si tan solo n es suficientemente grande.)
Demostracio´n.
Para comenzar observemos que es suficiente considerar el caso β > 0, ya que el caso
β < 0 se reduce a e´ste, si se considera el difeomorfismo H2 en lugar de H y la curva Hγ
en vez de γ.
56 w. alvarado
Sea (γns (t˜), γ
n
u (t˜)) ∈ H−n([−ε, ε] × [q − ε, q + ε]) ∩ γ. Dado que la curva γ satisface
la condicio´n TN respecto al difeomorfismo H y el punto (0, q), podemos suponer que
γ′(t˜) 6= 0.
Por definicio´n
v˜ns =
d
dt
γns (t˜) =
d
dt
F n(γs(t˜), γu(t˜)) =
=
∂F n(γs(t˜), γu(t˜))
∂γs
· γ′s(t˜) +
∂F n(γs(t˜), γu(t˜))
∂γu
· γ′u(t˜) ,
v˜nu =
d
dt
γnu (t˜) =
d
dt
Gn(γs(t˜), γu(t˜)) =
=
∂Gn(γs(t˜), γu(t˜))
∂γs
· γ′s(t˜) +
∂Gn(γs(t˜), γu(t˜))
∂γu
· γ′u(t˜) .
Ahora, por la proposicio´n 5, obtenemos:
|v˜ns | ≤ αn(1 +M2δ4)|γ′s(t˜)|+ (αβ)nM2δ4|γ′u(t˜)| ,
|v˜nu | ≥ | βn(1−M2δ4)|γ′u(t˜)| −M2δ4|γ′s(t˜)| |.
Definimos
sn = sup
{ |γ′s(t)|
|γ′u(t)|
: (γs(t), γu(t)) ∈ H−n([−ε, ε] × [q − ε, q + ε])
}
.
(Observemos que como {t ∈ [−1, 1] : (γs(t), γu(t)) ∈ H−n([−ε, ε]× [q−ε, q+ε])} es cerrado
en [−1, 1], entonces sn < +∞.)
Hay tres casos a considerar:
(1) β−nsn es acotado cuando n→∞.
(2) αnβ−nsn →∞, cuando n→∞.
(3) αnβ−nsn es acotado y β−nsn →∞, cuando n→∞.
(1): Se tiene que:
|v˜ns |
|v˜nu |
≤ α
n(1 +M2δ4)sn + (αβ)nM2δ4
|βn(1−M2δ4)−M2δ4sn| =
=
αnβ−n(1 +M2δ4sn + αnM2δ4
|(1 −M2δ4)− β−nM2δ4sn| ,
y dado que el denominador de la u´ltima expresio´n es acotado, mientras que el numerador
tiende a 0 cuando n→∞, se sigue que el cociente |v˜ns |/|v˜nu | tambie´n tiende a 0, si n tiende
a infinito.
(2): Sean
Qn =
αnβ−n(1 +M2δ4)sn
|(1−M2δ4)− β−nM2δ4sn| , Rn =
αnM2δ4
|(1−M2δ4)− β−nM2δ4sn| .
puntos fijos hiperbo´licos de un difeomorfismo local del plano 57
Puesto que
|v˜ns |
|v˜nu |
≤ Qn +Rn .
es suficiente ver que cada uno de los sumandos en el miembro derecho de esta u´ltima
desigualdad converge a 0, cuando n tiende a infinito.
Es claro que Rn → 0 cuando n→∞. En lo que respecta a Qn, consideremos primero
Q−1n :
Q−1n =
|(1−M2δ4)− β−nM2δ4sn|
αnβ−n(1 +M2δ4)sn
≤ (1−M2δ4)
αnβ−n(1 +M2δ4)sn
+
M2δ4
αn(1 +M2δ4)sn
El primer sumando en el miembro derecho de la desigualdad tiende a 0, mientras que el
segundo tiende a +∞, cuando n→∞. De esta manera se tiene que l´ımn→∞Q−1n = +∞,
y en consecuencia l´ımn→∞Qn = 0.
(3): Se prueba en forma similar al caso (1), so´lo hace falta observar que en este caso
el numerador es acotado, mientras que el denominador tiende a +∞ junto con n. 
A manera de conclusio´n debemos hacer un par de observaciones respecto al teorema
7. En primer lugar, el teorema se puede trasladar al semiplano Bu−, sin necesidad de hacer
mayores modificaciones en la demostracio´n. En segundo lugar, hay que mencionar que el
teorema admite una generalizacio´n “cano´nica” a dimensiones mayores a 2, una vez hechos
los correspondientes cambios en la condicio´n TN de la definicio´n 6.
Bibliograf´ıa
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