Revista de Matema´tica: Teor´ıa y Aplicaciones 1998 5(1) : 1–10 cimpa – ucr – ccss issn: 1409-2433 sobre la convexidad de la funcin de presin en el problema de la filtracin no lineal Vladimir N. Grebenev* Received: November 5, 1997 Abstract Se hace la demostracio´n de la convexidad de la funcio´n de presio´n v para el flujo de un gas ideal isotrpico, fundamentada en el teorema sobre ceros de la solucio´n de la ecuacio´n parabo´lica (1). Palabras clave: mecnica de fluidos, turbulencia, ecuacin parablica. Abstract We prove the convexity of the pressure function v for the isotropic ideal gaz flow, based on the theorem about the zeros of the solution of the parabolic equation (1). Keywords: fluid mechanics, turbulence, parabolic equation. AMS Subject Classification: 76F99, 76N15 1. Prefacio En [2],[3] se demostro´ que si v(x, t) es convexa, como funcin hacia los reales positivos, en el momento inicial t = 0 y (x, t) ∈ suppv, entonces v(x, t) conserva la forma convexa hacia los positivos respecto a la variable x. La demostracio´n se fundamento´ en la separacio´n de vt = (m− 1)vvxx + v2x, m > 1, en dos ecuaciones vt = (m− 1)vvxx, vt = v2x. *Laboratory of Computational Hydrodinamics, Institute of Computational Technologies, Siberian Divi- sion of Russian Academy of Sciences (SDRAS), Ac. Lavrentjev Ave. 6, Novosibirsk, 630090, Russia; Phone +(383-2) 34.35.70, Fax: +(383-2) 34.13.42; e-mail: vova@lchd.ict.nsc.ru; Grant RFFI No. 970100768 1 2 v. n. grebenev Benilan & Va´zquez demostraron en [3], que vxx ≤ − C1 + (m+ 1)Ct, C ≥ 0, (x, t) ∈ PT cuando vxx(x, 0) ≤ −C para todo x ∈ suppv(x, 0); PT representa el conjunto donde la solucio´n v es positiva. Tambie´n es conocida la estimacin vxx ≥ − 1(m+ 1)t en D ′. La demostracio´n directa de la convexidad de la funcio´n v a trave´s del principio del ma´ximo para p = vxx que satisface la ecuacio´n pt = (m− 1)vpxx + 2mvxpx + (m+ 1)p2, (x, t) ∈ PT no da la estimacio´n necesaria, ya que a priori no es conocido el signo de p en las fronteras libres de PT . Para superar este obsta´culo, en [3] se estudiaron dos problemas de Cauchy para las ecuaciones vt = (m− 1)vvxx, vt = v2x. Para la ecuacio´n de tipo difusivo vt = (m − 1)vxx, “la desigualdad de convexidad” se obtiene como consecuencia de que las fronteras libres de su soporte son estacionarias; al mismo tiempo, la ecuacio´n vt = v2x conserva la forma convexa del perfil de la solucio´n, si para t = 0 tiene esta forma. Entonces, el resultado buscado surge de la aplicacio´n adecuada de la fo´rmula de Trotter-Kato. Nosotros daremos otra demostracio´n de este hecho, que no toma en cuenta la singularidad espec´ıfica de la ecuacio´n no lineal de la filtracio´n ut = (um)xx, v = mm−1u m−1 la cual consiste en la separacio´n del operador A = (um)xx en un operador difusivo y un operador del tipo Hamilton-Jacobi, con la aplicacio´n posterior de los resultados de la teor´ıa de semigrupos. Recordemos algunos hechos que tratan acerca de la suavidad de la solucio´n suave del problema de Cauchy para la ecuacio´n no lineal de la filtracio´n, tambie´n el teorema sobre los ceros de la solucio´n de la ecuacio´n parabo´lica, conocido como Teorema de Schturm y las consecuencias del Teorema. Es muy conocido que el problema de Cauchy para la ecuacio´n no lineal de la filtracio´n en la clase de funciones no negativas con condiciones iniciales continuas con soporte compacto tiene una solucio´n de´bilmente continua, la cual es suave (C∞-diferenciable) en el conjunto donde la solucio´n v es positiva. Para cada t > 0, v(·, t) tiene un soporte compacto y existen funciones ζ1(t), ζ2(t) tales que {x ∈ R/v(x, t) > 0} = (ζ1(t), ζ2(t)). Las funciones ζi son localmente Lipschitz y cuando t crece (fronteras libres) ζ1(t), ζ2(t) no decrecen. Existen nu´meros t∗i ≥ 0, tales que ζi(t) es constante para t ≤ t∗i , llamados tiempos de la localizacio´n metaestable de la solucio´n, tales que ζi(t) es constante para t ≤ t∗i . Aronson & Va´zquez mostraron en [4] que ζi son funciones suaves en (t∗i ;T ) y v ∈ C∞(P ∗T ), donde P ∗T = P T ∩ {t ≥ ma´x(t∗1, t∗2)}, P T = {(x, t) ∈ R× R+/ζ1(t) ≤ x ≤ ζ2(t), 0 < t ≤ T}. sobre la convexidad de la funcio´n de presio´n 3 De [5] se deduce que ζi y v son funciones anal´ıticas respecto a la variable t para t > t∗i y t > ma´x(t∗1, t ∗ 2), respectivamente. Tambie´n es va´lida la fo´rmula ζ ′i(t) = −vx(ζi(t), t). Utilizaremos la siguiente versio´n del Teorema de Sturm para la ecuacio´n parabo´lica wt = a(x, t)wxx + b(x, t)wx + c(x, t)w, (x, t) ∈ R× (0, T ), (1) donde a, a−1, at, ax y axx ∈ L∞, b, bt y bx ∈ L∞, c ∈ L∞ Teorema 1 ([1]) Para cada t ∈ (0;T ], el conjunto de los ceros de la funcio´n w(·, t), Zt = {x ∈ R/w(x, t) = 0} es discreto. El Teorema 1 tambie´n es aplicable para las soluciones de la ecuacio´n (1) en subregiones acotadas. Si w es una solucio´n acotada del primer problema de frontera en el recta´ngulo [0, 1] × [0, T ], entonces se requiere la condicio´n w 6= 0 en las “fronteras laterales” de la regio´n. Si f(x) es una funcin suave que se anula en algn punto x0 de R, entonces x0 recibe el nombre de cero simple, siempre que f ′(x0) 6= 0. El orden de un cero se determina como el menor nmero natural k tal que f (k)(x0) 6= 0; si todas las derivadas de la funcin f son iguales a cero en el punto x0, entonces se dice que f tiene un cero de orden infinito. El nmero de ceros z(f) de f(x) en el intervalo (a, b) se define como la suma de ordenes de todos los ceros de f en (a, b). En la demostracio´n del Teorema 1 se probo´ lo siguiente: si w tiene un cero de multi- plicidad k en un punto (x0, t0) entonces w(·, t) en la cercana del cero multiplicativo para t > t0 tiene a lo sumo un cero simple y exactamente k ceros simples para t < t0. Notemos que para t > 0, el nu´mero z(w(·, t)) es finito y el conjunto de “tiempos” t para los cuales w(·, t) tiene ceros multiplicativos es “discreto”. Como consecuencia de lo anterior y del teorema de la funcio´n impl´ıcita para la funcin suave w en la vecindad (x0 − ε, x0 + ε) × t0 − δ, t0 + δ), se obtiene que la estructura⋃ t 1, u(x, 0) = u0(x). Introduciendo la funcio´n de la presio´n v = m(m−1)um−1 esta ecuacio´n se puede escribir como vt = (m− 1)vvxx + v2x. (2) Se asume que la funcio´n continua positiva v(x, 0) = v0(x) (3) es par y convexa en el soporte compacto [−1, 1]. Como la ecuacio´n (2) es invariante cuando se hace el cambio de variable x→ −x, entonces la solucio´n de´bil v de los problemas (2) y (3) satisface la igualdad v(x, t) = v(−x, t) para todo (x, t) ∈ ST . Las suposiciones para v0 dan a entender que PT = {(x, t) ∈ ST/ζ1(t) < x < ζ2(t), 0 < t ≤ T}, ζ1 = −ζ2 y ζ2(t) es mono´tona creciente. Consecuentemente, ζ2(t) ∈ C∞(0, T ] y v ∈ C∞(P T ). Ade- ma´s, ζ2(t) y v(ζ2(t) cos ξ, t), ξ ∈ [0, pi] son funciones anal´ıticas en variable 0 < t ≤ T . Relacionemos con la funcio´n v(x, t) a la aplicacio´n suave: (τ, t) → ρ(τ, t) de [0, 1] × [0, T ] ⊂ R2 sobre R2, tal que ρ(τ, t) es el gra´fico de la funcio´n v(x, t) en el plano R2 para x ∈ (ζ1(t), ζ2(t)) y cada t fijo en el intervalo [0, T ]. Como consecuencia del principio del ma´ximo y C∞-regularidad de la funcio´n de la presio´n v, la aplicacio´n ρ tiene las siguientes propiedades: a) ρ(τ, t) es una curva acotada gra´ficamente semejante para cada t fijo en el intervalo [0, T ] con los puntos “inicial” y “terminal”que pertenecen a (ζ1(t), 0) y (ζ2(t), 0); b) la huella ρ(·, t) pertenece al semiplano R2 ∩ {y ≥ 0} y ρ(·, t) es mono´tona creciente (respectivamente decreciente) en el intervalo (ζ1(t), 0) (resp. en (ζ2(t), 0)); c) ρ(·, t) tiene forma convexa hacia las positivas en las cercan´ıas del “pico” para cada t ∈ [0, T ]. sobre la convexidad de la funcio´n de presio´n 5 d) ‖ρ(·, t2)− ρ(·, t1)‖C∞(0,1) → 0 cuando t2 → t1. Consideremos la familia de curvas ρ(τ, t) en el plano R2 considerando a t como un para´metro. En virtud de la simetr´ıa de ρ(·, t), slo consideraremos la rama creciente de la curva ρ(·, t), t ∈ [0, T ], denotndola por ρ+(·, t). Supongamos que la segunda derivada vxx cambia de signo y t∗ es un cierto punto del intervalo (0, T ) tal que, al asociarla con el perfil v(x, t∗), la curva ρ+(τ, t∗) no es convexa en el momento t = t∗. De la misma forma podemos considerar que vxx(ζ1(t), t) > 0 en el intervalo (tˆ, tˇ) ⊂ (0, T ] y vxx(ζ1(t), t) < 0 cuando t < tˆ. La existencia de tal intervalo adyacente a (0, tˆ) surge de la suposicio´n sobre el signo de vxx, la fo´rmula d dt vx(ζ1(t), t) = mvxvxx(ζ1(t), t) y de que la funcio´n ζ1 = ζ1(t) es anal´ıtica. Sea t∗ ∈ (tˆ, tˇ), escojamos el punto q∗ sobre ρ+(τ, t∗) de manera que la curvatura K(τ, t∗) de la curva ρ+(τ, t∗) en este punto sea igual a cero y K(τ, t∗) > 0 cuando τ < τ∗. Denotamos por ~Tq∗ el vector tangente de la curva ρ+(τ, t∗) en el punto q∗ y θ∗ es el a´ngulo de inclinacio´n entre la tangente en el plano {x, y} que pasa por el punto q∗ y el eje x. De acuerdo con las fo´rmulas ν = cos θ∗(x− x0) + sen θ∗(y − y0), η = − sen θ∗(x− x0) + cos θ∗(y − y0), donde (x0, y0) son coordenadas del punto q∗ en el plano {x, y}, nos trasladamos hacia una base ortonormal {ν, η} y por Q denotaremos la transformacio´n ortogonal dada. Recorde- mos el bien conocido hecho de que la curvatura de la curva es invariante cuando se hace la transformacio´n ortogonal de las coordenadas. Sea γ la curva en el plano {ν, η} definida por γ(·, t) = Qρ+(·, t), t ∈ [0, T ]. De las propiedades para ρ+, precisamente sobre la alternabilidad del signo de la deriva- da vx en PT ∩ {x < 0}, surge que γ(·, t) es una curva gra´ficamente semejante para todo valor fijo de t ∈ [0, T ]. Representemos, a trave´s de e(ν, t), la funcio´n asociada con la familia de curvas γ(·, t). Ma´s exactamente, la huella γ(·, t) para cada t ∈ [0, T ] fijo, es el gra´fico de la funcio´n η = e(ν, t). Investiguemos los ceros de la funcio´n e(ν, t), para esto escribiremos la ecuacio´n para v en las coordenadas {ν, η}. El ca´lculo directo nos muestra que e(ν, t) satisface et = α(ν, t, θ∗, e)evv + β(θ∗, ev)ev + χ(θ∗), α ≥ 0 (4) donde, α, β, χ pueden ser fa´cilmente calculadas y χ(θ∗) = sen2 θ∗/ cos θ∗. Consideremos la funcio´n ω(ν, t) = e(ν, t) − χ(θ∗)(t − t∗). Es fa´cil ver que ω satisface la ecuacio´n del mismo tipo de (1). Observemos que la funcio´n ω(ν, t) tiene, por lo menos, un cero de multiplicidad tres en el punto q∗0 con coordenadas (0, 0) en el plano {ν, η}. Sin pe´rdida de generalidad, como se vera´ abajo, podemos pensar, que el punto q∗0 con las propiedades arriba anotadas, es u´nico para la funcio´n ω(ν, t), cuando t = t∗. Nos interesan los ceros 6 v. n. grebenev de ω en las curvas si, i = 1, 2, donde si representan las fronteras “laterales” de la regio´n PT ∩ {x < 0} considerada en el plano {ν, t}, o sea s1(t) = (ζ1(t)− x0) cos θ∗ − v(x0,t∗) sen θ∗, s2(t) = −x0 cos θ∗ + (v(0, t∗)− v(x0, t∗)) sen θ∗. La regio´n limitada por arriba por la recta t = T , por abajo por la recta t = 0 y por los laterales por s1 y s2, la denotaremos por GT . No es dif´ıcil probar utilizando las propiedades de la funcio´n v, que w(s2(t), t) es mono´tona decreciente con respecto a t. Para la funcio´n w(s1(t), t) = −(ζ1(t)− x0) sen θ∗ − v(x0, t∗) cos θ∗ − (t− t∗)(sen 2 θ∗) cos θ∗ es va´lido lo siguiente: ella crece en el segmento [0, tˆ] y decrece en [tˆ, t∗]. La demostracio´n surge del ana´lisis de la derivada d dt w(s1(t), t) = sen θ∗(−ζ ′1(t)− tan θ∗) ≡ sen θ∗(vx(ζ1(t), t)− vx(x0, t∗)), de la fo´rmula ddtvx(ζ1(t), t) = mvxvxx(ζ1(t), t) la cual se obtuvo utilizando la diferenciacio´n de la ecuacio´n (1) respecto a t y del resultado obtenido del principio del ma´ximo para la derivada vx, el cual dice que el valor ma´ximo de vx en P T ∩ {t ≤ t∗} ∪ {t = 0} se logra en el punto con coordenadas (ζ1(0), 0). Consideremos la funcio´n w(ν, 0). Es fa´cil verificar que w(ν, 0) tiene a lo sumo dos ceros simples. Estudiaremos el caso cuando w(ν, 0) tiene exactamente dos ceros simples. Esto se refiere, tomando en cuenta la convexidad de w(ν, 0), a que w(ν, 0) ≤ 0 “cerca” de ζ1(0) y ζ2(0). Entonces w(s1(t), t), tomando en cuenta lo arriba dicho, se iguala a cero en el u´nico punto t1 ∈ [0, t∗] (ya que w(s1(t∗), t∗) > 0, y w(s2(t), t) < 0 cuando t > 0). Pasamos a la investigacio´n detallada de las l´ıneas de nivel cero para w en GT ∩ {t ≤ t∗} basa´ndonos en los resultados del teorema 1. Del teorema y comentarios que de e´l surgen, concluimos que existen, por lo menos, tres l´ıneas de nivel σ(0)i (t), i = 1, 2, 3 en GT con σ (0) i (t ∗) = 0, las cuales esta´n definidas para todos los valores de t de (tk, t∗], tk ∈ (0, t∗), tk > t1. Notemos que l´ımt→tk σi(t) existe, o sea el conjunto de ceros para w no puede ser “zigzagueante”. Para convencerse de esto puede usarse el teorema 1 y entonces el ana´lisis dependera´ del comportamiento de w en las fronteras “laterales” de GT ∩ {t ≤ t∗}. Es u´til presentar la demostracio´n fundamentada u´nicamente en que la funcio´n v es anal´ıtica, y por lo tanto, en que la funcio´n w es anal´ıtica con respecto a la variable t. Es va´lido el desarrollo siguiente: w(ν, t) = ∑∞ n=0 cn(ν)(t − tk)n, con los coeficientes cn(ν) = 1n!( ∂ ∂t) nw(ν, tk), que se igualan a cero en algu´n intervalo Ii, sobre la recta t = tk, asumiendo el comportamiento “zigzagueante” de la l´ınea de nivel σ(0)i (t). Lo u´ltimo significa que αwνν + βw2ν = 0 sobre la convexidad de la funcio´n de presio´n 7 en Ii , o sea wt = 0 para ν ∈ Ii. Por induccio´n, utilizando la fo´rmula de Leibniz obtenemos ( ∂ ∂t )n+1w = ∑ s≤n ( n s )( ∂ ∂t )s α ( ∂ ∂t )n−s wνν + β( ∂ ∂t )nw2ν = 0 en Ii, para n = 0, 1, 2.... Llegamos a la contradiccio´n con la estructura del conjunto de los ceros para la funcio´n w. La aplicacio´n sucesiva de este procedimiento con el teorema 1 permite, tomando en cuenta que el conjunto de los “tiempos” t es discreto, donde w(·, t) tiene ceros multiplica- tivos, obtener la existencia del intervalo ma´ximo [t1, t∗] para la prolongacio´n de σ (0) i . Nos interesa el problema sobre la prolongacio´n de σ(0)i a trave´s de t = t1. Para esto consideremos el entorno cerrado del punto (νi, t1) (donde νi = l´ımt→t1 σ (0) i (t)) del tipo Ni = [νi − εi, νi + εi]× [t1 − δi, t1 + δi] con εi, δi pequen˜os tales que w(νi ± εi, t) 6= 0 para todo t ∈ [t1 − δi, ti + δi]. La existencia de tal entorno se garantiza, por lo menos, para dos l´ıneas de nivel, ya que una de las curvas σ(0)i puede “salir” en la frontera s1 en el punto t = t1. Entonces aplicando el teorema 1 a w en Ni obtenemos la prolongacio´n de σ (0) i a trave´s de la recta t = t1. Esto implica que los ceros de la funcio´n w para t < t1 , quedan agotados por dos l´ıneas de nivel. En el caso contrario obtenemos una contradiccio´n con el nu´mero de ceros de w cuando t = 0. De este modo, el orden del cero multiplicativo para w es igual a tres y wν 6= 0 a lo largo de las curvas σ(0)i (ver Figura 1). As´ı pues, volviendo atra´s hacia v, obtenemos que para vxx el cero es regular, o sea (px, pt) 6= 0 en el conjunto p−1({0}) ∩ PT ∩ {t ≤ t∗}. - S1 σ (0) 1 σ (0) 2 σ (0) 3 q∗0 Figura 1 Consideremos las curvas equipotenciales (curvas de nivel) para vxx y vx. De lo arriba dicho y del teorema sobre la funcio´n impl´ıcita, surge que existe una curva suave de la 8 v. n. grebenev forma λ = λ(t) en PT ∩ {x < 0}, que pasa por el punto q∗ a lo largo del cual vxx ≡ 0 y ∂{(λ(t), t)} /∈ ({t = 0} ∪ {x = 0}). De (2) y de que vxxx(λ(t), t) 6= 0 obtenemos vxt(λ(t), t) 6= 0, o sea el conjunto {(λ(t), t)} es regular para vx. Sea (x λ , t λ ) un punto cualquiera del conjunto {λ(t), t} y vx(xλ, tλ) = aλ. Entonces ex- iste un entorno Nδ = (xλ − δ, xλ + δ) × (tλ − δ, tλ + δ) en PT y una funcio´n ρλ(x) ∈ C∞(xλ − δ, xλ + δ) tal que ρλ cubre un conjunto del tipo {(x, t) ∈ PT |vx = aλ} en Nδ.. Con relacio´n a ρλ es conocido lo siguiente: ρλ alcanza un ma´ximo relativo en el punto (xλ, tλ), vxx(x, ρλ(x)) tiene signos algebraicos diferentes en los intervalos xλ − δ < x < xλ y xλ < x < xλ + δ. La demostracio´n de esta afirmacio´n se lleva a cabo igual que en el Lema 5.1 [6]. Representamos a trave´s de ρ−λ , ρ + λ , las ramas de ρλ correspondientes al gra´fico de la funcio´n ρλ en los intervalos xλ − δ < x < xλ y xλ < x < xλ + δ; ρ−λ y ρ+λ , pueden ser prolongadas, como funciones de la variable t hasta las fronteras ∂PT . Ma´s exactamente, las curvas ρ−λ , ρ + λ , que “salen ” del punto (xλ , tλ) terminan en ζ1 y {t = 0} respectivamente, y vxx(ρ±λ (t), t) es del mismo signo para t < tλ . Para ρ + λ , esto surge de lo siguiente: en las coordenadas {ν, η} asociadas con el punto (x λ , t λ ), la l´ınea de nivel de la funcio´n wν , la cual se encuentra entre σ (λ) 2 , σ (λ) 3 , y que sale del punto q∗ λ a lo largo de la cual wν = 0 y wνν 6= 0 cuando t < t∗ corresponde a ρ+λ . Esta equipotencial se puede prolongar hasta t = 0. Por lo que respecta a ρ−λ , existe una prolongacin ρ − λ como funcin de la variable t en un intervalo mximo con un punto “finito”sobre ζ1. La demostracio´n esta´ en el anexo. Estas curvas se encuentran “arriba” y “abajo” de la equipotencial λ respectivamente (Fig. 2). - 6t x λ ρ+λ (xλ, tλ) j ρ−λ ζ1 Figura 2 Entonces, cambiando (x λ , t λ ) a lo largo de λ obtenemos las equipotenciales ρ−λ(t), ρ + λ(t) de las mismas propiedades. sobre la convexidad de la funcio´n de presio´n 9 La construccio´n realizada indica que las equipotenciales de la familia {ρ−λ(t)} son tales que “intersecan” la regio´n Dζ1,λ, limitada lateralmente por las curvas ζ1 = ζ1(t) y λ = λ(t), por arriba por la recta t = t∗, en los puntos de interseccio´n aρ− λ(ti) de la familia {ρ−λ(ti)} de la frontera libre ζ1 = ζ1(t) los valores de la derivada vx son tales que vx(aρ− λ(ti) ) > vx(aρ− λ(tj) ) cuando ti < tj (ti, tj ≤ t∗), que surge de la condicio´n vxx (x, 0) < 0. Entonces, aplicando el teorema del valor medio obtenemos vx(aρ− λ(tj) )− vx(aρ− λ(ti) ) = d dt vx(ζ1(tc), tc)(tj − ti) ≡ mvxvxx(ζ1(tc), tc)(tj − ti), donde la parte derecha es positiva y la parte izquierda es negativa. La contradiccio´n obteni- da significa que la suposicio´n sobre que la segunda derivada vxx es de signo variable es falsa. Entonces demostramos la convexidad de la funcio´n vxx con respecto a la variable x. 3. Anexo Demostremos que ρ+λ (t) puede ser prolongada, como funcio´n en t hasta la l´ınea t = 0. Probemos la existencia de tal prolongacio´n para la equipotencial ρ+λ∗(t), la cual sale del punto q∗ (ana´logamente se demuestra para cualquier otra curva de la familia ρ+λ ). Pasamos a las coordenadas (ν, η) asociadas al punto q∗ y consideremos la funcio´n w. Recordemos que en la situacio´n considerada arriba se probo´ que las l´ıneas de nivel cero de la funcio´n w esta´n limitadas a σ(0)i , i = 1, 2, 3. Una de las cuales, digamos σ (0) 1 , “sale” en la frontera s1 en el punto t = t1, y σ (0) 1 2 σ (0) 3 se terminan en la recta t = 0 en los ceros de la funcio´n w(ν, 0). Consideremos la l´ınea de nivel cero de la derivada wν , la cual se encuentra entre σ(0)2 , σ (0) 3 . Vamos a representarla a trave´s de ζ ∗. Es fa´cil ver, que ella corresponde a la equipotencial ρ+λ∗ . Entonces,es suficiente demostrar esta afirmacio´n para ζ ∗. Notemos que la derivada wν 6= 0 en σ(0)2 , σ (0) 3 . Entonces la equipotencial ζ∗, prolongada hasta el intervalo ma´ximo (t∗∗, t∗), t∗∗ > 0, no puede terminar en las curvas σ(0)2 , σ (0) 3 . Adema´s, l´ım t→t∗∗ ζ ∗(t) existe. Segu´n el teorema 1, utilizado para la ecuacio´n wν en la regio´n limitada “lateral- mente” por las curvas σ(0)2 , σ (0) 3 y por abajo por la recta t = 0, el nu´mero de los ceros de la funcio´n wν no crece con el tiempo. Como wν(ν, 0) tiene un solo cero simple, obten- emos wνν(ζ∗(t∗∗), t∗∗) 6= 0. Entonces, el intervalo (t∗∗, t∗) no es el intervalo ma´ximo, lo que significa que t∗∗ = 0. La existencia para la prolongacio´n para ρ−λ hasta la frontera s1 surge de lo siguiente: dentro de la regio´n limitada “lateralmente” por las curvas s1, λ por arriba por la recta t = 0, la segunda derivada vxx 6= 0 y ddtvx(λ(t), t) 6= 0. Finalmente, notemos que los casos cuando w(ν, 0) es mono´tona (wν(ν, 0) > 0 o´ wν(ν, 0) < 0), y por consiguiente w(ν, 0) se iguala a cero so´lamente en un punto, no se realizan. Cuando t = 0 siempre existe un valor de la variable ν∗ tal, que wν(ν∗, 0) = 0. 10 v. n. grebenev Referencias [1] Angenent, S.B. (1988) “The zero set of a solution of a parabolic equation”, J. Rein Angew. Math., 390: 79–96. [2] Graveleau, J.L.; Jamet, P. (1971) “A finite difference approach to some degenerate nonlinear parabolic equations”, SIAM J. Appl. Math. 20(2): 199–222. [3] Benilan, Ph.; Va´zquez, J.L. (1987) “Concavity of solutions of the porous medium equation”, Trans. Amer. Math. 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