La probabilidad Conceptos básicos Fabián Abarca Calderón IE0405 – Modelos Probabilísticos de Señales y Sistemas 1 10 de agosto de 2020 Semana 1 — Tema I EIE Escuela de Ingeniería Eléctrica La probabilidad es una rama de la matemática con inmensa aplicación práctica en muchas disciplinas: desde el quehacer personal y doméstico hasta grandes decisiones sociales. En nuestra disciplina es, además, fundamental para el análisis de. . . señales y sistemas. 1650 1660 1700 1750 1800 1850 1900 1654 Correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre de Fermat sobre un problema de apuestas 1657 Primer libro de probabilidad por Christian Huygens De Ratiociniis in Ludo Aleae Siglo XVIII Aportes de Jacob Bernoulli y The Doctrine of Chances de Abraham De Moivre Siglo XIX Théorie Analytique des Probabilités por Pierre de Laplace y aportes de Pafnuty Chebyshev y Andrey Markov Siglo XX Definición axiomática por Andrey Kolgomorov y aportes de Fisher, von Mises, Neyman. . . ¿�é es y para qué sirve la probabilidad? ¿�é es y para qué sirve la probabilidad? La probabilidad es una medida de la certidumbre de ocurrencia de un evento. • Permite tomar decisiones en un Universo fundamentalmente incierto. • Es útil para tratar de • adivinar el futuro • adivinar el pasado • No es posible saber lo que va a pasar, pero podemos modelar y cuantificar lo que podemos esperar, con base en lo que ya ha sucedido. f (x) = ae−be−cx = 730e−7,62e−0,09x ¿ lim x→∞ f (x) = 730? 5 10 15 20 25 30 35 40 45 200 400 600 Días Casos ◦ ¿�é es y para qué sirve la probabilidad? 3 / 20 ¿�é hace aleatorio a un fenómeno aleatorio? Nota al margen Puede ser la física (a partir del principio de incertidumbre), o por ser un sistema caótico (extremadamente sensible a las condiciones iniciales), o por el conocimiento imperfecto del observador (el fenómeno podría ser predecible desde algún punto de vista, pero el observador no lo sabe). ◦ ¿�é es y para qué sirve la probabilidad? 4 / 20 ¿�é aplicaciones tiene la teoría de probabilidad? � Teoría de la información O Comunicaciones � Reconocimiento de patrones 3 Producción industrial ^ Finanzas � Política pública � Aprendizaje automático , Meteorología î Epidemias ü (. . . ) ◦ ¿�é es y para qué sirve la probabilidad? 5 / 20 Los conceptos de la probabilidad Definición clásica de Laplace La probabilidad de un evento A se define a priori (sin experimentación) como P(A) = Número de resultados favorables a A Número total de resultados posibles = |A| |S| = n(A) n(S) (1) en el caso de que todos los resultados (o salidas) son igualmente probables. Operador P(·) El operador P(·) es una medida de la certeza de la ocurrencia del evento descrito ·. ◦ Los conceptos de la probabilidad 6 / 20 Ejemplo de la caja con bolas blancas y rojas I Definición clásica de Laplace Considerar una caja con n bolas blancas y m bolas rojas. En este caso, hay dos resultados elementales: una bola blanca o una bola roja. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una bola blanca? P(seleccionar una bola blanca) = n n + m ◦ Los conceptos de la probabilidad 7 / 20 Deficiencias de la definición clásica de Laplace P(A) = Número de resultados favorables a A Número total de resultados posibles • La probabilidad es utilizada para definir la probabilidad (referencia cíclica). • No puede ser utilizado para situaciones donde los resultados no son igualmente probables. • No puede ser utilizado para un número infinito de resultados posibles. ◦ Los conceptos de la probabilidad 8 / 20 Definición estadística de la probabilidad Definición y axiomas de la probabilidad Frecuencia relativa Un experimento aleatorio se realiza muchas veces, entonces la probabilidad de un evento A se define como: P(A) = lim n→∞ n(A) n (2) donde n(A) es el número de ocurrencias de A y n es el número total de “experimen- tos” o “pruebas”. Este es un método común para determinación experimental de probabilidades. ◦ Los conceptos de la probabilidad 9 / 20 Otras probabilidades por frecuencia relativa I Personas con obesidad P(ser obeso) = Personas con obesidad Población mundial = 725 039 900 7 687 217 424 ≈ 9, 43% Muertes por fumado P(morir por fumar) = Muertes por fumado Muertes este año = 805 310 9 514 900 ≈ 8, 46% ¿Es correcto decir que tengo un 9,43 % de probabilidades de ser obeso y 8,46 % de morir por fumar? Datos de h�p://www.worldometers.info/es/. ◦ Los conceptos de la probabilidad 10 / 20 http://www.worldometers.info/es/ Deficiencias de la definición estadística de la probabilidad P(A) = lim n→∞ n(A) n • No se pueden realizar infinitos experimentos. • No puede ser utilizado para un número infinito de resultados posibles. • Asume eventos equiprobables. ◦ Los conceptos de la probabilidad 11 / 20 Definición axiomática según Kolgomorov I Definición y axiomas de la probabilidad Axioma Proposición o enunciado tan evidente que no requiere demostración. Primer axioma La “medida” asignada a un evento que denota su probabilidad es no negativa. P(A) ≥ 0 (3) Segundo axioma La probabilidad de ocurrencia de un resultado que pertenece al conjunto universal es segura. P(S) = 1 (4) ◦ Los conceptos de la probabilidad 12 / 20 Definición axiomática según Kolgomorov II Definición y axiomas de la probabilidad Tercer axioma La probabilidad de la suma de eventos mutuamente excluyentes es igual a suma de la probabilidad de los eventos individuales P ( N⋃ n=1 An ) = N∑ n=1 P(An) (5) En el caso especial para dos eventos, A ∩ B = ∅, P (A ∪ B) = P(A) + P(B) Un posible mnemónico es PUSuP (Probabilidad de la Unión es la Suma de las Probabilidades) ◦ Los conceptos de la probabilidad 13 / 20 Nota sobre los valores de la probabilidad Fuente común de errores a partir de la definición axiomática primer axioma −→ 0 ≤ P(·) ≤ 1←− segundo axioma • La medida de la probabilidad es mayor a cero • La medida de la probabilidad es menor a uno P(A) = 0,42 ((( (((( ( P(A) = −0,42 ��� ��� � P(A) = 1,42 ◦ Los conceptos de la probabilidad 14 / 20 Nota sobre álgebra de conjuntos y aritmética Fuente común de errores El tercer axioma es la unión de operaciones de álgebra de conjuntos y operaciones aritméticas: P ( N⋃ n=1 An ) = N∑ n=1 P(An) • Los eventos tienen operaciones de álgebra de conjuntos pero no aritméticas (suma, resta, multiplicación, división). • Las probabilidades son números (0 < P(·) < 1) con operaciones aritméticas, pero no operaciones de unión, intersección, complemento. � ��P(A) P(A) + P(B) ��� ��P(A + B) P(A) (((( (((P(A) ∪ P(B) P(A ∪ B) ◦ Los conceptos de la probabilidad 15 / 20 Identidades útiles de la probabilidad P(A) = 1− P(A) P(∅) = 0 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B) ◦ Los conceptos de la probabilidad 16 / 20 Creación del espacio de probabilidad I Un experimento dentro del contexto de nuestro estudio, se definirá con 1 asignación de un espacio de muestras S = {s1, . . . , sn, . . . , sN} con N el número total de resultados elementales posibles 2 definición de cierto evento de interés A = {a1, . . . , am, . . . , aM} con M ≤ N resultados mutuamente excluyentes, y 3 asignación de probabilidad P = {p1, . . . , pn, . . . , pN} a los resultados elementales tal que satisfagan los axiomas • P(am) ≥ 0 • P(S) = 1 • P(A) = P ( M⋃ m=1 am ) = M∑ m=1 P(am) ◦ Los conceptos de la probabilidad 17 / 20 Creación del espacio de probabilidad II Esto define un “espacio de probabilidad” representado como (S, P) S A (s1, p1) (s2, p2) (s3, p3) (s4, p4) (s5, p5) (s6, p6) (s7, p7) y permite un cálculo de probabilidad tal como P(A) = p2 + p3 + p4 ◦ Los conceptos de la probabilidad 18 / 20 Ejemplo de la escala de Apgar I Justo después de nacer, los niños son evaluados en una escala llamada la escala de Apgar. Los posibles valores son 0, 1, . . . , 10, que está determinado por color, tonificación muscular, esfuerzo respiratorio, ritmo cardíaco y reflejos (el mejor valor posible es 10). Luego de análisis estadísticos, se determina que su “espacio de probabilidad” es x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P(x) 0,002 0,001 0,002 0,005 0,02 0,04 0,18 0,37 0,25 0,12 0,01 ¿Cuál es la probabilidad del evento A = {x ≥ 7}? P(A) = P(x ≥ 7) = P(7) + P(8) + P(9) + P(10) = 0,37 + 0,25 + 0,12 + 0,01 = 0,75 ◦ Los conceptos de la probabilidad 19 / 20 Videos y referencias en internet v Probability Part 1: Rules and Pa�erns CrashCourse, h�ps://youtu.be/OyddY7DlV58 v Overpopulation – The Human Explosion Explained Kurzgesagt – In a Nutshell, h�ps://youtu.be/QsBT5EQt348 ® The Man Who Invented Modern Probability: Chance encounters in the life of Andrei Kolmogorov Slava Gerovitch, h�ps://getpocket.com/explore/item/the-man-who-invented-modern-probability ◦ Los conceptos de la probabilidad 20 / 20 https://youtu.be/OyddY7DlV58 https://youtu.be/QsBT5EQt348 https://getpocket.com/explore/item/the-man-who-invented-modern-probability ¿Qué es y para qué sirve la probabilidad? Aplicaciones de la probabilidad Los conceptos de la probabilidad Definición clásica de Laplace Definición estadística de la probabilidad Definición axiomática según Kolgomorov Modelo matemático de los experimentos