Revista de Matema´tica: Teor´ıa y Aplicaciones 2013 20(1) : 79–94
cimpa – ucr issn: 1409-2433
sobre una construccio´n de un monoide
libre con identidad sobre un topos E
con el objeto de los nu´meros
naturales
about the construction of a free
monoid with identity on a topos E with
the object of natural numbers
Osvaldo Acun˜a Ortega∗
Received: 17/May/2012; Revised: 4/Dec/2012;
Accepted: 5/Dec/2012
∗CIMPA & Escuela de Matema´tica, Universidad de Costa Rica, 2060 San Jose´, Costa
Rica.
79
80 o. acun˜a
Resumen
Damos una construccio´n del monoide libre con identidad sobre
un objeto X,M(X). Donde
M(X) = {R ∈ ΩN×N×X/R es funcional y ∃n∈N dom R = [n]}
iX−−→ ΩN×N×X .
Palabras clave: Teor´ıa de topos, objetos K–finitos, nu´meros naturales.
Abstract
We proved that the free monoid with identify in X is
M(X) = {R ∈ ΩN×N×X/R es funcional y ∃n∈N dom R = [n]}
iX−−→ ΩN×N×X .
Keywords: Topoi, K–finite objects, natural numbers.
Mathematics Subject Classification: 03G30, 18B25.
1 Introduccio´n
En [2] probamos que M(X) es un monoide con identidad y que |= R ∈
M(X)⇒ dom R = [L(R)], donde L :M(X) −→ (N,+) es un homomor-
fismo de monoides con identidad.
2 Resultados previos
Para cada X ∈ |E|, E es un topos con el objeto de los numeros naturales,
defina jX : X −→ Ω
N×N×X tal que |= jX(a) = {(0, 0, a)}.
Lema 1 jX se factoriza a trave´s de M(X).
Demostracio´n. |= (n,m, b) ∈ jX(b) ∧ (n,m, b) ∈ jX(b) ⇒ (n,m, b) =
(n,m, b)⇒ b = b por lo tanto jX es funcional y
|= dom jX(a) = ∃pr12({(0, 0, a)}) = {pr12(0, 0, a)}= {(0, 0)}= [1]
entonces |= dom jX(a) = [1] y |= jX(a) ∈M(X).
Define ηX : X −→M(X) el u´nico morfismo tal que ηX ◦ iX = jX .
Proposicio´n 2 M(−) se puede extender a un functon de manera u´nica
tal que M(−) se transforma en un subfuncton de ΩN×N×−; tiene al functor
identidad de E como un subfunctor, via η. Ma´s au´n M(−) se factoriza a
trave´s de la categor´ıa de los monoides con identidad de E.
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 20(1): 79–94, January 2013
sobre la construccio´n de un monoide libre... 81
Demostracio´n. Debemos probar que para cualquier flecha g : X −→ Y
de E, existe una u´nica flecha M(g) : M(X) −→ M(Y ) tal que en el
siguiente diagrama ambos cuadrados conmutan:
Para probar la existencia de M(g) y la conmutatividad del cuadrado su-
perior es suficiente probar internamente que ∃id×g manda elementos de
M(X) en elementos de M(Y ).
(i) ∃id×g(R) un funcional si R es funcional:
|= (n,m, b) ∈ ∃id×g(R) ∨ (n,m, b) ∈ ∃id×g (R)
⇒ ∃k1(n,m, x1) ∈ R ∧ g(x1) = b ∧ ∃x2(n,m, x2) ∈ R ∧ g(x2) = b
⇒ ∃x1∃x2(n,m, x1) ∈ R ∧ (n,m, x2) ∈ R ∧ g(x1) = b ∧ g(x2) = b
⇒ ∃x1∃x2x1 = x2 ∧ g(x1) = b ∧ g(x2) = b
⇒ b = b.
(ii) |= dom ∃id×g(R) = dom (R):
|= (n,m) ∈ dom ∃id×g(R) ⇔ ∃b∈Y (n,m, b) ∈ ∃id×g (R)
⇔ ∃b∃xg(x) = b ∧ (n,m, x) ∈ R
⇔ ∃x∃bg(x) = b ∧ (n,m, x) ∈ R
⇔ ∃x(n,m, x) ∈ R
⇔ (n,m) ∈ dom R.
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 20(1): 79–94, January 2013
82 o. acun˜a
Por lo tanto
|= dom ∃id×g (R) = dom R
y luego
|= `(∃id×g(R)) = `(R).
(i) y (ii) dicen que
∃id×g ◦ iX
se factoriza a travez de M(X), por lo tanto existe una flecha u´nica M(g)
tal que
∃id×g ◦ iX = iY ◦M(g).
Probaremos ahora que el siguiente diagrama conmuta:
|= ∃id×g (jX(a)) = ∃id×g{(0, 0, a)}= {id×g(0, 0, a)}= {(0, 0, g(a))}
entonces como
|= jY (g(a)) = {(0, 0, g(a))}
se tiene que
|= ∃id×g(jX(a)) = jY (g(a))
y entonces
|= ∃id×g ◦ jX = jY ◦ g.
Por definicio´n de ηX tenemos que
∃id×g ◦ iX ◦ ηX = iY ◦ ηY ◦ g,
pero
∃id×g ◦ iX = iY ◦M(g)
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 20(1): 79–94, January 2013
sobre la construccio´n de un monoide libre... 83
y entonces
iY ◦M(g) ◦ ηX = iY ◦ ηY ◦ g
lo que implica que
M(g) ◦ ηX = ηY ◦ g
dado que iY es mo´nica y as´ı se tiene que conmuta:
La unicidad de M(g) es consecuencia de su definicio´n y del hecho de que
iY es mo´nico, esto prueba que
M(idX) = idM (X) y M(f ◦ g) = M(f) ◦M(g).
Hemos visto que para todo X ∈ |E|, M(X) es un monoide con identidad.
La u´nica cosa que falta por probar es la conmutatividad de los siguientes
diagramas:
(i) Es suficiente probar que
∃idXg(R1 ∗R2) = ∃idXg(R1) ∗ ∃idXg(R2)
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 20(1): 79–94, January 2013
84 o. acun˜a
donde R1 y R2 son variables de tipo M(X):
|= (n,m, b) ∈ ∃id×g(R1 ∗R2)
⇔ ∃xg(x) = b ∧ (n,m, x) ∈ R1 ∗R2
⇔ ∃xg(x) = b ∧ ∃k1((n, k1, x) ∈ R1 ∨ (k1, m, x) ∈ R2)
∧n +m+ 1 = `(R1) + `(R2)
⇔ ∃k1(∃xg(x) = b ∧ (n, k1, x) ∈ R1 ∨ ∃xg(x) = b ∧ (k1, m, x) ∈ R2)
∧n +m+ 1 = `(R1 + `(R2))
⇔ ∃k1((n, k1, b) ∈ R1 ∨ (k1, m, x) ∈ R2) ∧ n+m+ 1 =
`(R1) + `(R2)
⇔ (n,m, b) ∈ ∃id×g (R1) ∗ ∃id×g (R2).
Por lo tanto |= ∃id×g(R1 ∗R2) = ∃idXg(R1) ∗ ∃idXg(R2).
(ii) Es suficiente probar que |= ∃idXg(φX) = φY ; esto es claro ya que
∃idXg tiene un adjunto derecho Ω
idXg entonces preserva coproductos.
Recuerde que φX : 1 −→ Ω
X es el objeto inicial de la categor´ıa
interna ΩX .
Denotemos la categor´ıa de monoides con identidad de E por monoide
(E). Hemos visto que M(−) es un functor de E a monoide (E). Debemos
probar que el diagrama
es tal que M(−) es un adjunto izquierdo del functor i (inclusio´n).
Sea r˜ : M(X) −→ ΩN×N×X definido por
|= r˜(R) = {(n,m, x)/(n, s(m), x) ∈ R}
donde s : N −→ N es el morfismo sucesor.
Lema 3 r˜ se factoriza por M(X) y |= `(r˜(R)) = p(`(R)), donde p : N −→
N es la funcio´n predecesor.
Demostracio´n.
(i) r˜(R) es funcional:
|= (n,m, x) ∈ r˜(R) ∧ (n,m, x) ∈ r˜(R) ⇒ (n, s(m), x) ∈
R ∧ (n, s(m), x) ∈ R⇒ x = x.
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 20(1): 79–94, January 2013
sobre la construccio´n de un monoide libre... 85
(ii) |= dom (r˜(R)) = [p ◦ `(R)]:
|= (n,m) ∈ dom (r˜(R)) ⇔ n+ s(m) + 1 = `(R)
⇔ p(n+ s(m) + 1) = p(`(R))
⇔ n+ p(s(m)) + 1 = p(`(R))
⇔ n+m+ 1 = p(`(R))
⇔ (n,m) ∈ [p(`(R))].
Defina r : M(X) −→ M(X) la u´nica flecha tal que iX ◦ r = r˜. Sea ϑ el
subobjeto de M(X)×X dado por
{(R, x)/(p(`(R)), 0, x) ∈ R} −−→
inc`
M(X)×X
donde inc` es la inclusio´n.
Lema 4 (i) ϑ es funcional.
(ii) dom ϑ = {R ∈M(X)/`(R)> 0}.
(iii)
(
inc`
φX
)
: dom ϑ+ 1 −→M(X) es un isomorfismo.
Demostracio´n.
(i) Evidente, en particular existe un morfismo u´nico θ : dom ϑ −→ X
tal que |= (p(`(R)), 0, θ(R)) ∈ R.
(ii)
|= R ∈ dom ϑ ⇔ ∃x(R, x) ∈ ϑ
⇔ ∃x(p(`(R)), 0, x) ∈ R
⇔ (p(`(R)), 0) ∈ dom R
⇔ p(`(R)) + 0 + 1 = `(R)
⇒ p(`(R)) + 1 = `(R)
⇒ `(R) > 0.
∴ dom ϑ ⊆ {R/`(R) > 0}
Por otro lado
|= `(R) > 0 ⇒ s(p(`(R))) = `(R)
⇔ p(`(R)) + 1 = `(R)
⇔ R ∈ dom ϑ.
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 20(1): 79–94, January 2013
86 o. acun˜a
Por lo tanto dom θ ⊇ {R/`(R) > 0} y entonces
dom ϑ = {R/`(R) > 0}.
(iii) Los cuadrados de los siguientes diagramas son productos fibrados:
El diagrama de la derecha es un producto fibrado por (ii). El dia-
grama de la izquierda claramente conmuta, queremos demostrar que es
un produto fibrado:
|= R ∈ `−1(0) ⇒ `(R) = 0 (ya que `(R) = dom R)
⇒ dom R = φ
⇒ Ωpr12( dom R) = Ωpr12(φ) = φ
(∃pr12 ` Ω
pr12) ⇒ R ≤ Ωpr12( dom R) = φ
⇒ R = φ
(donde pr12 es la proyeccio´n N × N×X −→ N × N). Esto prueba que el
cuadrado izquierdo es un producto fibrado. Por universalidad del producto
fibrado a lo largo de ` y como N = 1+ s(N), se tiene que
(
inc`
φX
)
es un
isomorfismo.
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 20(1): 79–94, January 2013
sobre la construccio´n de un monoide libre... 87
Lema 5 |= r(R) ∗ iX(θ(R)) = R.
Demostracio´n.
|= (n,m, x) ∈ r(R) ∗ iX(θ(R))
⇔ ∃k1((n, k1, x) ∈ r(R) ∨ (k1, m, x) ∈ iX(θ(R))) ∧ n+m+ 1 = `(R)
⇔ ∃k1((n, s(k1), x) ∈ R ∧ s(k1) = m)
∨∃k1(k1 = 0 ∧m = 0 ∧ x = θ(R)) ∧ n+m+ 1 = `(R)
⇒ (n,m, x) ∈ R ∨ (m = 0 ∧ (p(`(R)), 0, x) ∈ R) ∧ n +m+ 1 = `(R)
⇒ (n,m, x) ∈ R ∨ (m = 0 ∧ n+ 1 = `(R) ∧ (p(`(R)), 0, x) ∈ R)
(como |= n+ 1 = `(R)⇔ n = p(`(R)))
⇒ (n,m, x) ∈ R ∨ (n,m, x) ∈ R
⇒ (n,m, x) ∈ R.
Por lo tanto r(R) ∗ iX(θ(R)) ⊆ R. Por otro lado tenemos que:
|= (n,m, x) ∈ R
⇒ ((n,m, x) ∈ R ∧m > 0) ∨ ((n, 0, x) ∈ R ∧m = 0)
⇒ ∃k1((n,m, x) ∈ R ∧m = s(k1)) ∨ ((n, 0, x) ∈ R ∧m = 0)
⇒ ∃k1((n, s(k1), x) ∈ R ∧ s(k1) = m)
∨((p(`(R)), 0, x) ∈ R ∧m = 0 ∧ n = p(`(R)))
⇒ ∃k1((n, s(k1), x) ∈ R ∧ s(k1) = m)
∨∃k1 (k1 = 0 ∧m = 0 ∧ x = θ(R) ∧ n +m+ 1 = `(R))
⇔ (n,m, x) ∈ r(R) ∗ iX(θ(R)).
Luego |= R ⊆ r(R) ∗ iX(θ(R)) y as´ı |= R = r(R) ∗ iX(θ(R)).
Proposicio´n 6 Si (B, ·, e) es un objeto monoide con identidad en un
topos E y f : X −→ B cualquier flecha en E, entonces existe a lo sumo
una flecha h que preserva productos e identidad tal que el siguiente dia-
grama conmuta:
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 20(1): 79–94, January 2013
88 o. acun˜a
Demostracio´n. Suponga que existen flechas h1, h2 : M(X) → B que
preservan la estructura de monoide con identidad de M(X) y
h1 ◦ ηX = h2 ◦ ηX .
Considere
{n/∀R∈M (X)(`(R) = n⇒ h1(R) = h2(R))} −→ N.
Denote este subobjeto de N por S. Queremos probar que S = N. Sabemos
que |= `(R) = 0⇒ R = φ; por lo tanto tenemos que:
|= `(R) = 0 ⇒ R = φ
⇒ h1(R) = h2(R) = e
y as´ı |= `(R) = 0 ⇒ h1(R) = h2(R) y as´ı |= 0 ∈ S.
Por otro lado tenemos (por lemas 3 y 5)
|= n ∈ S ∧ `(R) = s(n)
⇒ R = r(R) ∗ iX(θ(R)) ∧ `(r(R)) = n ∧ n ∈ S
⇒ h1(iX(θ(R))) = h2(iX(θ(R))) ∧R = r(R) ∗ iX(θ(R)) ∧ h1(r(R))
= h2(r(R))
⇒ h1(R) = h2(R).
Entonces
|= n ∈ S ∧ `(R) = s(n) ⇒ h1(R) = h2(R)
si y solo si
|= n ∈ S ⇒ (`(R) = s(n)⇒ h1(R) = h2(R)),
y entonces |= n ∈ S ⇒ s(n) ∈ S. Por el principio de induccio´n S = N y
h1 = h2.
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 20(1): 79–94, January 2013
sobre la construccio´n de un monoide libre... 89
Lema 7 Si B ∈ |E|, tiene una seccio´n global ν : 1 −→ B, entonces existe
un morfismo natural Jν : M(B) −→ B
N×N con respecto B.
Demostracio´n. Si R es una variable del tipo M(B), Jν esta´ definida
internamente por:
|= Jν(R) = {(n,m, b)/(n,m, b) ∈ R∨q(n+m+ 1 = `(R)) ∧ b = ν)}.
(i) jν(R) es funcional:
(como [|q(n+m + 1 = `(R)) ∧ (n+m+ 1 = `(R))|] = φ)
|= (n,m, b) ∈ Jν ∧ (m, n, b
′) ∈ Jν(R)⇒ ((n,m, b) ∈ R ∧ (n,m, b
′) ∈
R)∨ (b = ν ∧ b′ = ν∧q((n+m+1) = `(R))∨ (b′ = ν∧q(n+m+1 =
`(R))∧ (n,m, b) ∈ R)∨ (b = ν∧q(n+m+1 = `(R))∧ (n,m, b′) ∈ R)
⇒ b = b′ ∨ b = b′
⇒ b = b′.
(ii) dom Jν(R) =
p
N×Nq:
es claro que
|= n+m+ 1 = `(R)⇔ (n,m) ∈ dom R⇔ ∃b∈B(n,m, b) ∈ R,
por lo tanto
|= n+m+ 1 = `(R)∨q(n+m+ 1 = `(R))
⇒ ∃b∈B(n,m, b) ∈ R∨q(n+m+ 1 = `(R))
(como |= ∃b∈Bb = ν)
⇒ ∃b∈B(n,m, b) ∈ R∨q(n+m+ 1 = `(R)) ∧ ∃b(b = ν)
⇒ ∃b∈B((n,m, b) ∈ R∨q(n+m+ 1 = `(R) ∧ b = ν))
⇔ ∃b∈B(n,m, b) ∈ Jν(R).
Luego
|= n+m+ 1 = `(R)∨q(n+m+ 1 = `(R))⇒ ∃b∈B(n,m, b) ∈ Jν(R),
lo que es equivalente a
[|n+m+ 1 = `(R)∨q(n+m+ 1 = `(R))|] ⊆ [|∃b∈B(n,m, b) ∈ Jν(R)|];
pero
[|n+m+ 1 = `(R)∨q(n+m+ 1 = `(R))|] = verdad,
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 20(1): 79–94, January 2013
90 o. acun˜a
y entonces
[|∃b∈B(n,m, b) ∈ Jν(R)|] = verdad.
As´ı debemos tener que
|= ∃b∈B(n,m, b) ∈ Jν(R),
por lo tanto
|= ∀(n,m)∃b∈B(n,m, b) ∈ Jν(R),
es decir
|= dom Jν(R) = pN× Nq
y (i), (ii) nos dicen que Jν se factoriza por
BN×N.
Probemos que Jν es natural, esto es si f : B −→ B
′ es cualquier flecha
entonces el siguiente diagrama conmuta:
|= fN×N(Jν(R))
= fN×N({(n,m, b)/(n,m, b) ∈ R∨q(n+m+ 1 = `(R))∧ b = ν})
= ({(n,m, f(b))/(n,m, b) ∈ R∨q(n+m+ 1 = `(R)) ∧ b = ν})
= {(n,m, b′)/∃b((b
′ = f(b) ∧ (n,m, b) ∈ R)
∨q(n+m+ 1 = `(R)) ∧ b = ν ∧ b′ = f(b))}
= {(n,m, b′)/(n,m, b′) ∈M(f)(R)∨q(n+m+ 1 = `(R)) ∧ b′ = f(ν)}
= Jf◦ν(M(f)(R)),
pero esto es
|= fN×N(Jν(R)) = Jf◦ν(M(f)(R)),
lo que prueba la naturalidad de Jν .
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 20(1): 79–94, January 2013
sobre la construccio´n de un monoide libre... 91
3 Construccio´n del monoide
Sea (B, ·, e) un monoide con identidad. Nosotros aplicaremos el u´ltimo
lema a la identidad e : 1 −→ B y entonces podemos definir la siguiente
flecha:
donde k : N → N×N es el isomorfismo de Cantor y  es la flecha iteracio´n-
finita definida en (1).
Proposicio´n 8 Sea (B, ·, e) un monoide con identidad e : 1 → B, en-
tonces:
(i) El siguiente diagrama conmuta
(ii) µB :M(B) −→ B preserva productos.
Demostracio´n. Claramente tenemos que
(i) |= Je({(0, 0, b)}) = {(n,m, x)/(0, 0, b) = (n,m, x) ∨ x = e ∧ (n ∈
s(N) ∨m ∈ s(N))} entonces
|= BK(Je(iB(b))) = {(n, k)/(n, k) = (0, b)∨ x = e ∧ n ∈ s(N)},
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 20(1): 79–94, January 2013
92 o. acun˜a
por lo tanto
|= (BK(Je(iB(b))), `(iB(b)))
= ({(n, x)/(n, x) = (0, b)∨ x = e ∧ n ∈ s(N)}, 1).
Como |=
∑
1 = 1 y |= `(iB(b)) = 1, tenemos que
|= (BK(Je(iB(b))), 1) = e ◦ b = b
por propiedades de  y entonces |= µB(iB(b)) = b.
(ii) Por induccio´n tenemos: sea
S = {n/∀R1, ∀R2(`(R1) = n⇒ µB(R1 ∗R2) = µB(R1) · µR(R2))}.
(α) Hemos visto que
|= `(R2) = 0⇒ R2 = φ,
entonces
|= µB(φ) = (B
K×
∑
((Je, `)(φ))) = (({(n, x)/x= e}, 0)) = e,
por lo tanto
|= `(R2) = 0⇒ µB(R1 ∗ φ) = µB(R1) · µB(φ) = µB(R1)
y as´ı
|= `(R2) = 0⇒ µB(R1 ∗R2) = µB(R1) · µB(R2),
entonces |= 0 ∈ S.
(β) Para cualquier variable R de tipoM(B) como `(R) > 0 tenemos
por las propiedades ba´sicas de  que:
|= (BK(Je(R ∗ iB(b))),
`(R)∑
0
i+ `(R) + 1)
= (BK ◦ Je(R ∗ iB(b)),
`(R)∑
0
i+ `(R)) · b
de la construccio´n de Je tenemos:
|= BK(Je(R ∗ iB(b)))i = B
K ◦ Je(R)(i− `(R)).
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 20(1): 79–94, January 2013
sobre la construccio´n de un monoide libre... 93
Tenemos que
(BK(Je(R ∗ iB(b)))j,
`(R)∑
0
i+ `(R) + 1)
= (BK(Je(R)(j − `(R))),
`(R)∑
0
i+ `(R)) · b
= (BK(Je(R))j,
`(R)∑
0
i) · b,
por lo tanto
|= (BK ◦ Je(R ∗ iB(b)),
`(R)+1∑
0
i) = (BK ◦ Je(R),
`(R)∑
0
i) · b
y entonces
|= µB(R ∗ iB(b)) = µB(R) · b.
Por otro lado
|= n ∈ S ∧ `(R2) = s(n)⇒ µB(R1 ∗R2)
= µB(R1 ∗ (r(R2) ∗ iB(θ(R2))))
= µB((R1 ∗ r(R2)) ∗ iB(θ(R2)))
= µB(R1 ∗ r(R2)) · θ(R2)
= (µB(R1) · µB(r(R2))) · θ(R2)
= µB(R1) · µB(r(R2) ∗ iB(θ(R2)))
= µB(R1) · µB(R2),
entonces
|= n ∈ S ∧ `(R2) = s(n)⇒ µB(R1 ∗R2) = µB(R1) · µB(R2),
o equivalentemente
|= n ∈ S ⇒ (`(R2) = sn ⇒ µB(R1 ∗R2) = µB(R1) · µB(R2));
y entonces
|= n ∈ S ⇒ s(n) ∈ S.
Por inducio´n tenemos que N = S y la prueba queda lista.
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 20(1): 79–94, January 2013
94 o. acun˜a
Teorema 9 (M(X), ηX) es el monoide libre generado por X .
Demostracio´n. Sea g : X −→ B cualquier flecha y (B, ·, e) es un
monoide con identidad e : 1 −→ B. La proposicio´n 8 nos dice que existe
µB : M(B) −→ B tal que preserva productos y µB ◦ φ
B = e, por lo tanto
tenemos que el siguiente diagrama conmuta:
M(g) preserva productos e identidades y entonces µB◦M(g) hace lo mismo
por la proposicio´n 6, µB ◦M(g) es u´nico tal que conmuta:
por lo tanto ηX es una flecha universal y la prueba queda completa.
Referencias
[1] Acun˜a–Ortega, O. (1977) Finiteness in Topoi, Ph. D. Dissertation,
Wesleyan University, Middletown, CT.
[2] Acun˜a–Ortega, O. (2011) “Una nota sobre objetos k − finitos en un
topos Booleano con el objeto de los nu´meros naturales”, Revista de
Matema´tica: Teor´ıa y Aplicaciones 19(2): 239–245.
[3] Acun˜a–Ortega, O.; Linton, F.E.J. (1979) “Finiteness and decidability
I”, in: Applications of Sheaves, Lecture Notes in Mathematics 753,
Springer–Verlag, New York: 80–100.
Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN 1409-2433) Vol. 20(1): 79–94, January 2013