Análisis de estabilidad y diseño de un sistema no lineal con controladores PI Stability analysis and design of a nonlinear system with PI controllers Raúl Brenes Astorga Estudiante, escuela de ingenierı́a eléctrica Universidad de Costa Rica jose.brenesastorga@ucr.ac.cr Mercedes Chacón Vásquez Profesora, escuela de ingenierı́a eléctrica Universidad de Costa Rica mercedes.chaconvasquez@ucr.ac.cr Palabras clave: Control no lineal, control PI, estabilidad absoluta, optimización, reglas de sintonización I. INTRODUCCIÓN Conforme la tecnologı́a avanza y la complejidad de los sistemas se hace cada vez más grande, se vuelve ne- cesario utilizar herramientas analı́ticas más fuertes que permitan desarrollar maneras más eficientes de controlar un proceso, uno de estos avances corresponde al control de sistemas no lineales, los cuales utilizan una ganancia dinámica para poder llevar a cabo un control más efectivo, a diferencia de las ganancias fijas de algoritmos como el de tipo PID. Un sistema de este tipo es llamado sistema de Lur’e, esta forma de control no lineal se ha desarro- llado en años recientes, dándole un enfoque orientado a maximizar su desempeño, obteniendo resultados bastante positivos, algunos ejemplos de esto son [1], [2] y [3]. Este trabajo presenta el análisis y deducción de las condiciones que garantizan la estabilidad de un lazo reali- mentado implementando un controlador de tipo PI no lineal a partir de los resultados propuestos por [4]. Luego se plantea un problema de optimización cuya función objetivo es el criterio de costo ITAE, que incluye como restricciones las condiciones de estabilidad y ası́ obtener ecuaciones que permitan diseñar un sistema completo. De esta manera se presenta un diseño que no solo ofrece buen desempeño sino que garantiza la estabilidad del lazo para sistemas de primer orden implementando dos no linealidades distintas. La efectividad del método se muestra a través de simulaciones. II. ANÁLISIS Y DEDUCCIÓN DE LAS CONDICIONES DE ESTABILIDAD Definición 1. [5] Se dice que ψ : R → R es una función pendiente-restringida, denotado como ψ ∈ S [0, k], si se satisface: ∀ (x 6= y) ( 0 ≤ ψ(x)− ψ(y) x− y ≤ k ) (1) Corolario 1. [4] Para una planta G(s) = Gn s , donde Gn es una función de transferencia propia sin polos en la parte derecha y cerrada del plano complejo, y Gn(0) > 0; el lazo realimentado entre G y cualquier no linealidad 1 mailto:jose.brenesastorga@ucr.ac.cr mailto:mercedes.chaconvasquez@ucr.ac.cr ψ ∈ S[0, k] es asintóticamente estable si el gráfico de Nyquist de G(jω) sigue el sentido de las manecillas del reloj para todo ω > 0. La función de lazo abierto G(s) de un sistema de primer orden y un controlador PI corresponde a G(s) = C(s)P (s) = ( Kps+Ki s )( a0 bs+ 1 ) = a0 · (Kps+Ki) s · (bs+ 1) = 1 s · a0 · (Kps+Ki) bs+ 1 (2) Con Kp,Ki, a0 y b constantes reales positivas. Sea Gn(s) = a0·(Kps+Ki) bs+1 y note que para s = 0 se tiene que Gn(0) = a0 ·Ki > 0. Para garantizar que el diagrama de Nyquist de G(s) siga el sentido de las manecillas del reloj se debe cumplir que la monotonı́a de la función de fase ]G(jω) sea decreciente. Sin embargo, no es posible garantizar que su monotonı́a sea decreciente para todo ω ya que cambia en ciertos intervalos. Con base en lo anterior, es preciso introducir un polo al sistema para poder satisfacer dicha condición para la función de fase. Esto se puede hacer fácilmente introduciendo un filtro en el lazo de control. La función de lazo abierto G(s) tomando en cuenta un filtro F (s) de ganancia unitaria y constante de tiempo τ · b con 0 < τ < 1, corresponde a G(s) = C(s)F (s)P (s) = ( Kps+Ki s )( 1 τbs+ 1 )( a0 bs+ 1 ) = 1 s · [ a0(Kps+Ki) (τbs+ 1)(bs+ 1) ] (3) Sea Gn(s) = a0(Kps+Ki) (τbs+1)(bs+1) y note que para s = 0 se tiene que Gn(0) = a0 ·Ki > 0. La expresión de fase para G(jω) viene dada por ]G(jω) = arctan ( Kp Ki ω ) − arctan (τbω)− arctan (bω)− π 2 , ]G(0) = −π 2 ∧ ]G(+∞) = −π (4) Para la nueva función de fase sı́ es posible garantizar una monotonı́a decreciente. De los análisis realizados anteriormente, para garantizar la estabilidad del sistema por medio del corolario 1, basta verificar que la no linealidad que se le aplique al lazo de control cumpla con la propiedad de pendiente restringida. Teorema 1. Sea f : R→ R una función diferenciable. f es pendiente-restringida si y solo si, es creciente y su derivada está acotada. En tal caso f ∈ S[0,M ], donde M es la cota de f ′. La demostración del teorema 1 se omite por cuestiones de extensión. � Proposición 1. La función g : R → R de criterio g(x) = 2 1+e−ax − 1 con a > 0, es una función pendiente- restringida con g ∈ S [ 0, a2 ] Proposición 2. La función h : R → R de criterio h(x) = 2 π · arctan (ax) con a > 0, es una función pendiente- restringida con h ∈ S [ 0, 2aπ ] La demostración de las proposiciones 1 y 2 son una aplicación directa del teorema 1. � 2 III. RESULTADOS A. Reglas de sintonización Utilizando las deducciones anteriores, se plantea un problema de optimización en el que la función objetivo es el criterio de costo (ITAE). La restricción que garantiza la estabilidad del sistema corresponde a mı́n{∆]G(jω)} > 0. Al forzar que el mı́nimo de este nuevo vector sea positivo, indirectamente todos los demás valores serán po- sitivos lo que en consecuencia garantiza la monotonı́a decreciente de la fase. El problema de optimización se revuelve para un rango de plantas en el intervalo [0.1,10]. Seguidamente se realiza el ajuste de los resultados de la optimización y una vez obtenidas las ecuaciones de los parámetros en función de la constante de tiempo, se someten a pruebas para verificar los rangos de validez en los cuales se pueden utilizar. Reglas de sintonización para un controlador PI en conexión con la función g Los resultados de las pruebas indican un rango de validez de las siguientes ecuaciones para todo b ∈ [0,425; 0,75] ∪ [1,25; 4,05] ∪ [5; 6,725] ∪ [8,35; 10]. Kp(b) = 71,24 · b5 + (2,874× 104) · b4 − (5,314× 105) · b3 + (2,606× 106) · b2 − (1,688× 106) · b+ (4,193× 105) b4 + (1,144× 104) · b3 − (2,031× 105) · b2 + (9,358× 105) · b− (3,033× 105) (5) Ki(b) = 7643 · b4 − (1,311× 105) · b3 + (6,003× 105) · b2 − (3,899× 105) · b+ 8,295× 105 b5 + (3075) · b4 − (5,555× 104) · b3 + (2,699× 105) · b2 − (1,937× 105) · b+ 1,787× 105 (6) a(b) = −14,66 · b5 + 273,4 · b4 − 1864 · b3 + 5656 · b2 − 7275 · b+ 3002 b4 − 24,17 · b3 + 165,9 · b2 − 353,4 · b+ 226,7 (7) Reglas de sintonización para un controlador PI en conexión con la función h Los resultados de las pruebas indican un rango de validez de las siguientes ecuaciones para todo b ∈ [0,1; 1,375] ∪ [2,05; 3,8] ∪ [4,575; 9,325]. Kp(b) = 7,883 · b5 − 183,4 · b4 + 1526 · b3 − 5151 · b2 + 6045 · b− 357,9 b4 − 24,37 · b3 + 231,6 · b2 − 861,1 · b+ 1048 (8) Ki(b) = 184,1 · b3 − 536,3 · b2 + 467,4 · b− 115,4 b5 − 2,854 · b4 + 37,73 · b3 − 100,1 · b2 + 85,09 · b− 20,91 (9) a(b) = −0,3508 · b5 + 10,62 · b4 − 111 · b3 + 431,1 · b2 − 285,2 · b− 375,7 b3 − 21,02 · b2 + 124,3 · b− 140 (10) B. Ejemplos numéricos A continuación se muestran ejemplos que evidencian la efectividad del método de diseño de parámetros propuesto para ambos controladores. En ambos ejemplos se establece un valor de referencia de 1 y se aplica una perturbación de magnitud 1.5 en t = 15 s. 3 El primer ejemplo corresponde a un proceso de ganancia unitaria, constante de tiempo b = 6,2 s y un controlador PI en conexión con la función g. Los parámetros óptimos proporcionados por las ecuaciones (5),(6) y (7) son Kp = 15,7367, Ki = 2,3053 y a = 5,7680. Las mediciones de ITAE para servocontrol y regulador corresponden a Jr = 0,9396 y Jd = 3,266 respectivamente. El segundo ejemplo corresponde a un proceso de ganancia unitaria, constante de tiempo b = 9,3 s y un controlador PI en conexión con la función h. Los parámetros óptimos proporcionados por las ecuaciones (8),(9) y (10) son Kp = 15,0477, Ki = 1,4987 y a = 5,3831. Las mediciones de ITAE para servocontrol y regulador corresponden a Jr = 2,035 y Jd = 3,613 respectivamente. (a) Ejemplo numérico PI-g (b) Ejemplo numérico PI-h Fig. 1: Ejemplos numéricos para los controladores PI En ambos ejemplos se puede observar un levantamiento rápido de la salida y cómo el controlador lleva rápi- damente la señal al valor de referencia con poca oscilación. Además se puede notar que la señal de control es una curva suave, por lo que no se tiene un esfuerzo de control muy grande. Cabe destacar que al aplicar la per- turbación, se rechaza de manera casi total y se lleva la señal de salida a la referencia con poco sobre paso y poco esfuerzo de control a pesar de la gran magnitud de la perturbación, con lo que se puede afirmar que el sistema presenta una buena robustez. IV. CONCLUSIONES 1. La estabilidad de un sistema de primer orden en conexión con un controlador PI y una no linealidad de pendiente restringida puede ser garantizada al introducir un filtro que asegure la monotonı́a decreciente de la función de fase. 2. El método de diseño propuesto, brinda una manera rápida y simple de diseñar un sistema no lineal con un buen desempeño, estable y robusto. 4 REFERENCIAS [1] S. Akkaya, H. Nak y A. F. Ergenc, ((Design, Analysis And Experimental Verification Of A Novel Nonlinear PI Controller,)) Anadolu University Journal of Science and Technology, págs. 876-896, 2017. [2] J. Liu y W. Wang, ((Nonlinear Immune PID Controller and It’s Application to the Heat Milling System’s Material-level Control Jiuqing Liu,)) vol. 390, págs. 743-749, 2012. DOI: 10.4028/www.scientific.net/AMR. 383-390.743. [3] H. Seraji, ((A New Class of Nonlinear PID Controllers with Robotic Applications,)) vol. 15, págs. 161-181, 1998. [4] J. Zhang, H. Tugal, J. Carrasco y W. P. Heath, ((Absolute Stability of Systems With Integrator and / or Time Delay via Off-Axis Circle Criterion,)) vol. 2, n.o 3, págs. 411-416, 2018. [5] J. Carrasco, M. C. Turner y W. P. Heath, ((Zames – Falb multipliers for absolute stability : From O ’ Shea ’ s contribution to convex searches,)) European Journal of Control, vol. 28, págs. 1-19, 2016, ISSN: 0947-3580. DOI: 10.1016/j.ejcon.2015.10.003. dirección: http://dx.doi.org/10.1016/j.ejcon.2015.10.003. 5 https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/AMR.383-390.743 https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/AMR.383-390.743 https://doi.org/10.1016/j.ejcon.2015.10.003 http://dx.doi.org/10.1016/j.ejcon.2015.10.003 Introducción Análisis y deducción de las condiciones de estabilidad Resultados Reglas de sintonización Ejemplos numéricos Conclusiones