UNIVERSIDAD DE COSTA RICA SISTEMA DE ESTUDIOS DE POSGRADO SIMULACIÓN DE ESCENARIOS DE CALENTAMIENTO POR MICROONDAS PARA CONOCER LAS CONDICIONES DE LA PROPAGACIÓN DE ONDAS DE BERNSTEIN ELECTRÓNICAS EN EL PLASMA DEL STELLARATOR SCR-1 Tesis sometida a la consideración de la Comisión del Programa de Estudios de Posgrado en Física para optar al grado y título de Maestría Académica en Física RICARDO ADOLFO SOLANO PIEDRA Ciudad Universitaria Rodrigo Facio, Costa Rica 2024 DEDICATORIA A las personas valientes que con su esfuerzo y dedicación forjan un camino hacia un futuro de energía pura y sostenible. Que la búsqueda incansable de la fusión nu- clear nos lleve a descubrir nuevos senderos de sabiduría y prosperidad para todas las personas. ii AGRADECIMIENTO A mi amada familia, apoyo ha sido importante durante este viaje académico. Su amor y aliento han sido mi mayor fortaleza. A mi querida Gloriana, mi inspiración, gracias por tu guía, ayuda y apoyo emocio- nal en cada paso del camino. Eres mi luz en los momentos oscuros. Además, agradezco su orientación y ayuda en el manejo de planos y figuras de este trabajo. Al profesor director de esta tesis, Iván Vargas Blanco, quiero expresar mi sincero agradecimiento por su continua disponibilidad, apertura para realizar este trabajo aso- ciado al laboratorio de plasmas y valiosa orientación en el campo de la física de plas- mas. Su constante motivación y guía han desempeñado un papel fundamental en mi desarrollo académico y profesional. Al profesor Luis Araya Solano, por sus recomen- daciones, retroalimentación y generosidad al compartir ideas académicas. Su sabiduría y experiencia han enriquecido enormemente mi trabajo. Al profesor Federico Muñoz Rojas, a quien agradezco su colaboración y apoyo en la utilización de recursos compu- tacionales de alto rendimiento, así como por compartir sus valiosos conocimientos y promover valores fundamentales como el trabajo arduo, durante mis estudios de pre- grado en física. A las personas docentes Álvaro Amador Jara, Esteban Pérez Hidalgo, Miguel Rojas Quesada y Laura Rojas Rojas de la Escuela de Física del Tecnológico de Costa Rica, por sus valiosas recomendaciones, sugerencias y oportunidades de mejora. Al ingeniero físico Allan González Villalobos y al estudiante de Ingeniería Física Fabricio Coto Vilchez, por su colaboración en el trabajo de laboratorio, su participación activa en discusiones técnicas y su valioso aporte en la operación del stellarator SCR-1. A todas estas personas, mi más sincero agradecimiento por formar parte de este camino lleno de aprendizaje y crecimiento. Sin su apoyo y orientación, este logro no habría sido posible. iii “Esta tesis fue aceptada por la Comisión del Programa de Estudios de Posgrado en Física de la Universidad de Costa Rica, como requisito parcial para optar al grado y título de Maestría Académica en Física.” Dr. Francisco Frutos Alfaro Representante de la Decana Sistema de Estudios de Posgrado Dr. Iván Vargas Blanco Director de Tesis M.Sc. Luis Alonso Araya Solano Asesor Dr. Federico Muñoz Rojas Asesor Dr. Jorge Gutiérrez Camacho Director Programa de Posgrado en Física Ricardo Adolfo Solano Piedra Sustentante iv TABLA DE CONTENIDO DEDICATORIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii AGRADECIMIENTO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii HOJA APROBACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv TABLA DE CONTENIDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v RESUMEN EN ESPAÑOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x LISTA DE TABLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi LISTA DE FIGURAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii LISTA DE ACRÓNIMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix LISTA DE SÍMBOLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xx CAPÍTULO I. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Motivación de la fusión termonuclear controlada . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Dispositivos de confinamiento magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 CAPÍTULO II. PLASMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1 Parámetros del plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 Acople del medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.2 Longitud de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.3 Frecuencia del plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 v 2.2 Definición del plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1 Clasificación de los plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Dinámica del plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.1 Modelo de partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.2 Modelo de fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.3 Colisiones de partículas en el plasma . . . . . . . . . . . . . . . . 22 CAPÍTULO III. STELLARATOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1 Campo magnético confinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.1 Formación de superficies de flujo magnético . . . . . . . . . . . . 26 3.1.2 Parámetros del campo magnético confinante . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Concepto de stellarator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 Clasificación de Stellarators según su configuración magnética . . . . . . 30 3.3.1 Clásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.2 Torsatrón (Heliotrón) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.3 Heliac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3.4 Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4 Equilibrio MHD en stellarators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4.1 Sistemas de coordenadas relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4.2 Soluciones al equilibrio MHD sin simetría axial . . . . . . . . . . 34 3.5 Parámetro beta en un stellarator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.6 Temperatura electrónica y densidad electrónica máxima para un stellarator 39 CAPÍTULO IV. PROPAGACIÓN DE ONDAS EN PLASMA . . . . . . . . . . 41 4.1 Producción de plasmas a partir de ondas electromagnéticas de alta fre- cuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 Ondas en un plasma frío magnetizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2.1 Modo ordinario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.2.2 Modo extraordinario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.3 Calentamiento electrónico ciclotrónico en modo ordinario . . . . . . . . 48 4.4 Ondas de Bernstein electrónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.4.1 Conversión O-X-B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 vi CAPÍTULO V. STELLARATOR DE COSTA RICA 1 . . . . . . . . . . . . . 58 5.1 Reseña . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.2 Sistemas periféricos del Stellarator de Costa Rica 1 . . . . . . . . . . . . . 58 5.2.1 Sistema de vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.2.2 Sistema de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2.3 Sistema de inyección de gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2.4 Sistema de calentamiento ECR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2.5 Sistema de control y adquisición de datos . . . . . . . . . . . . . . 62 5.3 Infraestructura computacional de SCR-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.3.1 BS-SOLCTRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.4 Diagnóstico del plasma del SCR-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.4.1 Sonda simple de Langmuir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.4.2 Composición de la sonda de Langmuir del SCR-1 . . . . . . . . . 68 5.5 Perfiles radiales de temperatura electrónica y densidad electrónica con mediciones de sonda simple de Langmuir . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.5.1 Estimación de la densidad electrónica límite para el stellarator SCR-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.5.2 Proceso de descarga de plasma del SCR-1 . . . . . . . . . . . . . . 71 5.5.3 Proceso de medición con la sonda simple de Langmuir . . . . . . 73 5.6 Cálculos de equilibrio MHD para el SCR-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.6.1 Parámetros de entrada para VMEC . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.6.2 Parámetros del equilibrio y estabilidad MHD . . . . . . . . . . . . 83 CAPÍTULO VI. ESCENARIOS DE CALENTAMIENTO PARA SCR-1 . . . . . . 89 6.1 IPF-FMDC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.1.1 Modelado de la radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.1.2 Archivos de entrada y configuración de parámetros para el códi- go IPF-FDMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.1.3 Salidas del código de onda completa . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.2 Simulación de escenarios de calentamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.2.1 Parámetros seleccionados para los escenarios de calentamiento . 92 6.2.2 Proceso de ejecución de simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 95 vii 6.2.3 Escenario 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.2.4 Escenario 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.2.5 Escenario 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.3 Propagación de ondas de Bernstein electrónicas . . . . . . . . . . . . . . 108 CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 APÉNDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 viii RESUMEN EN ESPAÑOL El Laboratorio de Plasmas para Energía de Fusión y Aplicaciones del Tecnológico de Costa Rica alberga al Stellarator de Costa Rica 1 (SCR-1), el primer stellarator modular en Latinoamérica. Enfocado en la investigación de nuevas estrategias del calentamien- to del plasma, actualmente se concentra en la generación de ondas de Bernstein electró- nicas para alcanzar densidades electrónicas elevadas, superando 1020 m−3 con campos magnéticos bajos. Este enfoque ha demostrado ser efectivo en otros dispositivos de confinamiento magnético en la comunidad de fusión. El propósito de este trabajo es definir las características del plasma, el dispositivo de confinamiento magnético y la radiación incidente necesarios para la generación de ondas de Bernstein electrónicas en el plasma del SCR-1. La caracterización del SCR-1 comenzó con un análisis detallado de sus componen- tes y su proceso de descarga. Utilizando mediciones directas con la sonda simple de Langmuir, se obtuvieron perfiles radiales de densidad y temperatura electrónicas. Los resultados indicaron que la densidad electrónica máxima se mantuvo dentro de los límites teóricos, mientras que el código VMEC reveló un equilibrio magnetohidrodi- námico con un bajo parámetro beta y una estabilidad lineal determinada mediante el criterio de Mercier. Se evaluó la viabilidad de las ondas de Bernstein electrónicas mediante simulacio- nes en tres escenarios de calentamiento diferentes, utilizando el código IPF-FDMC. Las simulaciones se basaron en las características del SCR-1 y ajustaron la densidad elec- trónica para lograr un plasma sobredenso. Se determinó que la curvatura del plasma y las longitudes de escala característica influyen en la conversión O-X del plasma del SCR-1, alcanzando un máximo del 63 % de conversión. Sin embargo, se identificaron dos de los tres mecanismos de amortiguamiento que podrían afectar la conversión X-B, donde está la conversión SX-FX, colisiones electrónicas y el calentamiento electrónico estocástico. Estos factores podrían reducir significativamente la porción del modo ex- traordinario lento, posiblemente impidiendo la generación del modo de Bernstein. Por tanto, se destaca la necesidad de condiciones ambientales que favorezcan una longitud de escala de densidad electrónica adecuada y una mayor potencia de radia- ción para el mecanismo O-X-B. ix ABSTRACT The Plasma Laboratory for Fusion Energy and Applications at the Costa Rica Ins- titute of Technology is home to the Stellarator de Costa Rica 1 (SCR-1), a modular ste- llarator and the first of its kind in Latin America. Focused on researching new plasma heating mechanism, it currently focuses on generating electronic Bernstein waves to achieve high electron densities with low magnetic field. This approach has been proven effective in other magnetic confinement devices in the fusion community. The purpose of this work is to define the parameters of the plasma, the magnetic confinement device and the incident radiation necessary for the generation of electron Bernstein waves in the SCR-1 plasma. Characterization of the SCR-1 began with a detailed analysis of its components and discharge process. Using measurements with the Langmuir single probe, radial profi- les of electron density and temperature were obtained. The results indicated that the maximum electron density remained within theoretical limits, while the VMEC code revealed a magnetohydrodynamic equilibrium with a low beta parameter and linear stability determined by the Mercier criterion. The feasibility of electronic Bernstein waves was evaluated through simulations in three different heating scenarios using the IPF-FDMC code. The simulations were ba- sed on SCR-1 characteristics and adjusted electron density to achieve overdense plas- ma. It was determined that plasma curvature and characteristic length scales influence the O-X conversion in the SCR-1 plasma, reaching a maximum conversion of 63 %. Ho- wever, two out of three damping mechanisms were identified that could affect the X-B conversion, including SX-FX conversion, electron-ion and electron-neutral collisions, and stochastic electron heating. These factors could significantly reduce the slow ex- traordinary mode waves fraction, possibly hindering Bernstein mode generation. Therefore, the need for environmental conditions favoring an appropriate electron density scale length and increased radiation power for the O-X-B mechanism is empha- sized. x LISTA DE TABLAS Tabla 1.1 Resultados principales de la conversión a ondas de Bernstein electró- nicas en stellarators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Tabla 5.1 Características de la cámara de vacío. Fuente: documentación técni- ca proporcionada por el Laboratorio de Plasmas para Energía de Fusión y Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Tabla 5.2 Parámetros del dispositivo de confinamiento y plasma del SCR-1 para el cálculo de la densidad límite electrónica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Tabla 5.3 Parámetros iniciales del proceso de descarga de plasma para el stella- rator SCR-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Tabla 5.4 Posición radial de cada etiqueta de los puntos de medición de la Fi- gura 5.15. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Tabla 5.5 Parámetros para la configuración inicial de la sonda de Langmuir sim- ple en el proceso de descarga del plasma del SCR-1 . . . . . . . . . . . . . . 76 Tabla 5.6 Parámetros corregidos del plasma del SCR-1 medidos a partir de la curva I-V. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Tabla 5.7 Parámetros calculados a partir del ajuste de datos experimentales para los perfiles radiales de temperatura electrónica y densidad electrónica . . . 80 Tabla 5.8 Parámetros del plasma confinado en el SCR-1 y campo magnético con- finante obtenidos a partir de VMEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Tabla 6.1 Parámetros de entrada para las corridas con el código de onda com- pleta IPF-FDMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Tabla 6.2 Parámetros relevantes para el análisis de la conversión O-X del meca- nismo O-X-B para el plasma del stellarator SCR-1 en la zona ② del escenario 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 xi Tabla 6.3 Parámetros relevantes para el análisis de la conversión OX del meca- nismo O-X-B para el plasma del stellarator SCR-1 en la zona ② del escenario 2. Fuente: elaboración propia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Tabla 6.4 Parámetros relevantes para el análisis de la conversión OX del meca- nismo O-X-B para el plasma del stellarator SCR-1 en la zona ③ del escenario 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Tabla 6.5 Parámetros relevantes en el análisis de la propagación de ondas de Bernestein electrónicas para la zona ② después de transcurrir 18 periodos de oscilación en el escenario 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 xii LISTA DE FIGURAS Figura 1.1 Tokamaks y stellarators alrededor en el mundo. Fuente: Fusion de- vice information system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Figura 2.1 Diagrama de temperatura electrónica y densidad electrónica del nú- cleo para distintos plasmas. La línea discontinua representa el límite que define a los plasmas con una energía mayor a la energía en reposo de los electrones. El color de los recuadro está asociado a la ocurrencia del plasma, donde morado es natural, rojo es industrial y azul de laboratorio. Fuente: elaboración propia basada en [33] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Figura 2.2 Colisión de tipo Coulomb entre ion y electrón con su trayectoria y parámetro de impacto. Fuente: Elaboración propia basada en [101] . . . . . 23 Figura 3.1 Representación de las partículas confinadas en un dispositivo con líneas cerradas de campo magnético. Fuente: elaboración propia. . . . . . . 25 Figura 3.2 Visualización de las derivas E × B y curvatura de campo magnético de las partículas cargadas en un plasma con un campo magnético toroidal únicamente. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Figura 3.3 Superficies de flujo magnético anidadas a un eje magnético. Visuali- zación de J y B sobre una de las superficies de presión hidrostática constan- te. Fuente: elaboración propia basada en [101] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Figura 3.4 Tipos de stellarator. Fuente: (a), (b) y (c) elaboración propia y (d) Laboratorio de Plasmas para Energía de Fusión y sus Aplicaciones . . . . . 32 Figura 3.5 Variables de las coordenadas cilíndrico-toroidales. Fuente: elabora- ción propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Figura 4.1 Esquema vectorial del índice de refracción y campo magnético en el espacio. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 xiii Figura 4.2 Recíproco del índice de refracción en función de la frecuencia an- gular para ondas electromagnéticas en modo ordinario en un plasma con densidad constante. Fuente: elaboración propia basada en [20] . . . . . . . . 47 Figura 4.3 Recíproco del índice de refracción en función de la frecuencia angu- lar para ondas electromagnéticas en modo extraordinario. Fuente: elabora- ción propia basada en [20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Figura 4.4 Interacción del electrón con el campo eléctrico de las ondas electro- magnéticas en una ambiente magnetizado. Fuente: elaboración propia . . . 49 Figura 4.5 Sincronización de los electrones por el modo Bernstein electrónico. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Figura 4.6 Variación del número de onda perpendicular al campo magnético en función de la posición de la radiación dentro del plasma. Fuente: elabora- ción propia basada en [112] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Figura 4.7 Esquema del mecanismo de conversión O-X-B. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Figura 5.1 Diagrama de la cámara de vacío y equipos periféricos que conforman el stellarator SCR-1. Fuente: documentación técnica proporcionada por el Laboratorio de Plasmas para Energía de Fusión y Aplicaciones . . . . . . . . 59 Figura 5.2 Bobinas modulares implementadas en el stellarator SCR-1 sobre la última superficie de flujo magnético. Fuente: elaboración propia basada en [65] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Figura 5.3 Diagrama del sistema de inyección de gas para el stellarator SCR-1. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Figura 5.4 Diagrama del sistema de calentamiento ECR implementado en el stellarator SCR-1. Fuente: elaboración propia basada en la documentación técnica del Laboratorio de Plasmas para Energía de Fusión y Aplicaciones . 61 Figura 5.5 Diagrama para el cálculo del campo magnético debido a un segmen- to con corriente eléctrico. Fuente: elaboración propia basada en [66] . . . . . 63 Figura 5.6 Magnitud de B para un tubo de flujo magnético de 5,8 cm de radio en las direcciones toroidal y poloidal. Fuente: elaboración propia . . . . . . 65 xiv Figura 5.7 Distribución de Maxwell - Boltzmann asociada a los electrones. Fuen- te: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Figura 5.8 Curva de corriente en función del voltaje flotante recolectada por la sonda de Langmuir. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Figura 5.9 Cabezas de la sonda de Langmuir donde se muestran seis puntas habilitadas para realizar mediciones con sus respectivas etiquetas. Fuente: documentación técnica proporcionada por el Laboratorio de Plasmas para Energía de Fusión y Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Figura 5.10 Sistema de posicionamiento de la sonda de Langmuir mediante el ensamble de un motor. Fuente: elaboración propia basada en [93] . . . . . . 70 Figura 5.11 Circuito eléctrico para la sonda de Langmuir utilizada en el SCR-1. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Figura 5.12 Densidad electrónica máxima en función de la temperatura electró- nica para el plasma del SCR-1. Fuente: elaboración propia. . . . . . . . . . . 72 Figura 5.13 Evolución de (a) la presión en la cámara de vacío, (b) la corriente eléctrica en las bobinas y (c) la potencia de las ondas electromagnéticas en la descarga de plasma 947 del stellarator SCR-1. Fuente: elaboración propia 74 Figura 5.14 Plano de AutoCAD© donde se muestra la cámara de vacío, la sonda de Langmuir y el plasma a escala. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . 75 Figura 5.15 Posiciones de medida para la recolección de corriente y voltaje flo- tante con la sonda de Langmuir en el plasma del stellarator SCR-1. La posi- ción vertical siempre se mantuvo en z = 0,0 m. Fuente: elaboración propia . 75 Figura 5.16 Corriente recolectada del plasma en función del voltaje flotante su- ministrado para la sonda simple al eliminar ruido. Fuente: elaboración propia 76 Figura 5.17 Perfiles radiales de (a) temperatura electrónica y (b) y (c) densidad electrónica y posición vertical z = 0 en el stellarator SCR-1. Fuente: elabo- ración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Figura 5.18 Perfil radial y local de presión electrónica para el archivo de entrada de VMEC. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Figura 5.19 Magnitud del campo magnético para la última de superficie de flujo magnético en el espacio tridimensional del plasma del stellarator SCR-1. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 xv Figura 5.20 Variación radial de (a) iota, (b) cizalla magnética, (c) profundidad del pozo magnético y (d) parámetro beta, a partir de VMEC, en la posición toroidal a 0◦. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Figura 5.21 Primera derivada de la profundidad el pozo magnético respecto al flujo para cada superficie de flujo magnético a cero grados en dirección to- roidal. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Figura 5.22 Comportamiento de los funcionales de cizalla magnética, corriente toroidal, pozo magnético, curvatura y total para el criterio de Mercier. Fuen- te: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Figura 6.1 Celda compuesta por los valores conocidos (en rojo) y a calcularse (en negro) los campos eléctrico y magnético en el espacio. Fuente: [75] . . . 90 Figura 6.2 Mapas de calor para (a) la densidad electrónica y (b) la magnitud del campo magnético para el escenario 1 en el corte toroidal a 0◦. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Figura 6.3 Dependencias del porcentaje de conversión en el modo ordinario a modo extraordinario. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Figura 6.4 Vista frontal de la cámara de vacío del SCR-1 con la superficies de flujo de campo magnético para la posición 0◦ en dirección toroidal y el án- gulo formado entre el borde de la cámara y el eje magnético en AutoCad©. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Figura 6.5 Razón de la densidad electrónica y la densidad electrónica de cor- te del modo ordinario en función de la potencia absorbida por el plasma. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Figura 6.6 Etapas del mecanismo de conversión O-X-B simulado con el códi- go de onda completa IPF-FDMC visualizadas a partir de las variaciones de campo eléctrico normalizado con su valor máximo. Fuente: elaboración propia 99 Figura 6.7 Porcentaje de conversión O-X máximo en función del ancho (cadera) del rayo incidente. La línea punteada solamente une los puntos. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 xvi Figura 6.8 Ventana angular del porcentaje de conversión O-X para las razones de densidad electrónica y densidad de corte: (a) 1,48; (b) 1,85 y (c) 2,14. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Figura 6.9 Ventana angular del porcentaje de conversión O-X para las razón de densidad electrónica y densidad de 2,14, con una posición de la antena en: (a) z = +0,03 m; (b) z = 0,00 m y (c) z = −0,03 m. Fuente: elaboración propia 104 Figura 6.10 Porcentaje de conversión O-X máximo en función del ancho (cadera) del rayo incidente para tres razones de las magnitudes de campo magnético y campo magnético resonante. La línea punteada solamente une los puntos. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Figura 6.11 Ventana angular del porcentaje de conversión O-X para las razones de la magnitud de campo magnético: (a) 0,95; (b) 1,00 y (c) 1,05. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Figura 6.12 (a) Variaciones de campo eléctrico normalizado a partir de su valor máximo de la radiación incidente en el espacio Rz al completar 18 oscilacio- nes (estado estacionario) para la razón de densidades electrónicas de 2,14. (b) Acercamiento a la ubicación de las regiones de conversión donde se eti- quetan cuatro zonas de conversión O-X de la subfigura (a). Fuente: elabora- ción propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Figura 6.13 Porcentaje de conversión O-X en función del ángulo toroidal obte- nido para tres razones de la densidad electrónica y densidad electrónica de corte con w0 = 0,7λ0, B/Bce = 1,0 y θ = 0◦ del escenario 3. La línea puntea- da solamente une los puntos. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . 109 Figura 6.14 Parámetro ηSX−FX para los valores de la razón de densidad electróni- ca y densidad electrónica de corte dentro del rango definido en cada región de conversión identificadas en el escenario 3. Fuente: elaboración propia . . 111 Figura 6.15 Evolución del parámetro ASEH en el tiempo para el escenario 3, con ne/necorte = 2,14 y B/Bce = 1,0 y una intensidad de las microondas de 105 W/m2. Fuente: elaboración propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Figura 1 Coeficientes de impacto de ionización en función de la temperatura electrónica para el hidrógeno. Fuente: elaboración propia. . . . . . . . . . . . 133 xvii Figura 2 Coeficientes de excitación en las colisiones de neutros y electrones en función de la temperatura electrónica para el hidrógeno. Fuente: elabo- ración propia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 xviii LISTA DE ACRÓNIMOS SCR-1 Stellarator de Costa Rica 1 MHD Magnetohidrodinámica CIEMAT Centro de Investigaciones Energéticas, Medioam- bientales y Tecnológicas de España ITER International Thermonuclear Experimental Reactor DEMO Demonstration Power Plant OIEA Organismo Internacional de Energía Atómica LHD Large Helical Device CNCA Colaboratorio Nacional de Computación Avanzada CeNAT Centro Nacional de Alta Tecnología CICIMA Centro de Investigación en Ciencia e Ingeniería de Materiales VMEC Variational Moments Equilibrium Code IPF-FDMC Institut für Plasma-forschung - Finite Difference co- de for Mode Conversion PS Pfirsch–Schlüter ALADDIN A Labelled Atomic Data Interface MFC Mass flow controller ECR Electron cyclotron resonance BS-SOLCTRA Biot-Savart Solver for Computing and Tracing Mag- netic Field Lines xix LISTA DE SÍMBOLOS Ueléctrica energía potencial electrostática K energía cinética q carga eléctrica del ión o electrón t tiempo Z número atómico n0 densidad de neutros ni densidad iónica ne densidad electrónica kB constante de Boltzmann V Volumen ϕ Voltaje vte velocidad térmica de los electrones r vector posición νcol frecuencia de colisión entre partículas cargadas rL radio de Larmor ϵ0 permitividad eléctrica del vacío k número de onda Te temperatura electrónica expresada en electronvolt ϵ0 permitividad eléctrica del vacío e carga eléctrica fundamental ne0 densidad electrónica del núcleo del plasma me masa del electrón B campo magnético v∥ velocidad paralela al campo magnético v⊥ velocidad perpendicular al campo magnético A potencial magnético xx µ momento dipolar magnético n̂ vector normal a la superficie Rcurv radio de curvatura del campo magnético Rcg posición del centro guía s0 parámetro de impacto para un ángulo de dispersión igual a noventa grados Ψnorm flujo de campo magnético normalizado con el flujo de la última superficie cerrada re f f razón de la posición del radial del plasma y el radio menor c rapidez de la luz J densidad de corriente eléctrica E energía p presión g jacobiano f0 frecuencia de la radiación incidente N vector normal a la superficie E campo eléctrico I matriz identidad 3 × 3 N Índice de refracción N⊥ Índice de refracción perpendicular al campo mag- nético N∥ Índice de refracción paralelo al campo magnético A Área Ψnorm flujo magnético normalizado Ise,exp Corriente de saturación electrónica experimental νei frecuencia de colisión ión - electrón xxi 1 I Introducción 1.1 Motivación de la fusión termonuclear controlada Los combustibles fósiles han sido la principal fuente de generación de energía a nivel mundial, a pesar de que presentan dos desventajas significativas. En primer lugar, su uso continuo ha tenido un impacto drástico en la atmósfera, lo que ha tenido efectos negativos en el equilibrio ecológico y la biodiversidad. En segundo lugar, estos recursos son finitos, lo que significa que solo podrán satisfacer la demanda energética mundial durante un período estimado de aproximadamente 50 años. Esta estimación se basa en proyecciones del crecimiento de la población a nivel global y en el consumo energético actual, que ronda los 15 TW/año, como se detalla en [97]. Siguiendo lo expuesto anteriormente, ha surgido la necesidad de considerar mane- ras alternativas para producir energía, siendo una de las candidatas la fusión nuclear. Las reacciones de fusión nuclear implican la unión de elementos ligeros, comúnmente isótopos de hidrógeno, de tal manera que estos elementos posean la suficiente ener- gía para superar el potencial de Coulomb y estén a una distancia del orden de 10−5 veces un radio de Bohr. Una vez que esta separación entre partículas se alcanza, se produce la interacción nuclear fuerte, dando lugar a una reacción nuclear en la que los productos resultantes liberan núcleos más pesados con una energía cinética significa- tivamente superior en comparación con la energía liberada por un conjunto específico de reacciones exotérmicas [39, 58]. La reacción nuclear de fusión más viable debido a su facilidad de inicio y, por lo tanto, de mayor interés para la comunidad científica en el campo de la fusión, es la reacción de deuterio-tritio, conocida como reacción D-T. Esta reacción es la siguiente 2H + 3H → 4He (3,5 MeV) + n (14,1 MeV) (1.1) El objetivo principal de la investigación en fusión nuclear es diseñar un mecanismo y dispositivo viable para generar un gran número de reacciones D-T sin pérdidas signifi- cativas de calor y de manera autosuficiente, como se señala en [27]. Esto se conoce como fusión termonuclear controlada. Para que este mecanismo sea efectivo, es importante 2 que la reacción mencionada en la ecuación 1.1 tenga lugar a una temperatura cercana a los 116 × 106 K. Esto se debe a que la sección eficaz de colisión entre el deuterio y el tritio aumenta significativamente con el incremento de la temperatura. Además, la presión en el medio debe ser de varias atmósferas, la densidad electrónica debe estar alrededor de 1020 m−3, y la distancia media entre los isótopos de deuterio y tritio debe ser de aproximadamente 10−16 cm, según se detalla en [134]. Para alcanzar estas condi- ciones, es necesario utilizar un medio como el plasma en la condición conocida como plasma de quemado (burning plasma). En este régimen, es posible controlar los produc- tos de la reacción 1.1 de manera que los isótopos de helio aumenten la energía cinética de los iones en el núcleo del plasma mientras se mantiene la reactividad. Los neutrones generados por la reacción colisionan con un revestimiento de litio en las paredes de la cámara, lo que produce tritio a través de una reacción química. El tritio resultante se redirige hacia el plasma como reactivo para futuras reacciones D-T [144]. 1.2 Dispositivos de confinamiento magnético La búsqueda de un confinamiento magnético eficiente ha llevado al desarrollo de diversos prototipos. Entre los más prometedores se encuentran el tokamak y el stella- rator. En la Figura 1.1 se presenta un mapa que ilustra cómo están distribuidas estos dispositivos de confinamiento magnético en el mundo, donde se registran con 92 en la actualidad, de las cuales 68 están en operación, 8 en construcción y 16 en miras a cons- truirse. Los tres países con mayor cantidad de máquinas activas son Japón, Estados Unidos y China. Ambos dispositivos incorporan un campo magnético helicoidal de topología especí- fica, generado por distintos mecanismos. Aunque tanto el stellarator como el tokamak poseen bobinas que generan un campo magnético toroidal, difieren en la forma en que producen el campo magnético poloidal. En el caso del tokamak, dicho campo se origina a través de una corriente toroidal circulante en el plasma, generada por un so- lenoide de corriente alterna ubicado en el centro del dispositivo. La corriente toroidal del plasma presenta desventajas, como una mayor propensión a inestabilidades que afectan el equilibrio magnetohidrodinámico del plasma, fluctuaciones estocásticas de los parámetros principales del plasma, una densidad electrónica límite y un tiempo de 3 confinamiento electrónico reducido. Por otro lado, el stellarator genera la componente del campo magnético poloidal mediante la configuración de sus bobinas externas al plasma [48, 141]. Figura 1.1: Tokamaks y stellarators alrededor en el mundo. Fuente: Fusion device information system Actualmente, ITER es el reactor de fusión termonuclear controlada en desarrollo más grande del mundo. Su objetivo es demostrar la viabilidad de la producción de energía a partir de reacciones nucleares D-T desde una perspectiva tanto ingenieril como científica. Este reactor tipo tokamak generará un plasma con un radio de 6,2 m utilizando 50 MW y proporcionará una potencia de 500 MW en pulsos con una dura- ción inferior a los 50 s. Estas dimensiones del dispositivo son necesarias para optimizar el confinamiento de las partículas cargadas. La primera fase experimental de ITER está programada para empezar a principios del año 2025 [11]. 1.3 Justificación El Laboratorio de Plasma para Energía de Fusión y Aplicaciones del Tecnológico de Costa Rica cuenta con dos dispositivos de confinamiento magnético: el stellarator mo- dular SCR-1 y el tokamak esférico MEDUSA-CR. Esta infraestructura es un importante paso hacia la investigación y desarrollo de la investigación en fusión termonuclear con- trolada en Costa Rica. En este contexto, Costa Rica se ha convertido en estado miembro 4 del Consejo Internacional de Investigación en Fusión de la OIEA. Este logro no so- lo fortalece su participación en la comunidad de investigación en fusión termonuclear controlada a nivel mundial, sino que también le brinda la oportunidad de recibir ayuda internacional durante sus campañas experimentales y el desarrollo de estudios teóricos y computacionales en relación a los dispositivos SCR-1 y MEDUSA-CR [16]. En el caso del plasma del stellarator SCR-1, es producido mediante un sistema de calentamiento ciclotrónico electrónico [131]. La desventaja principal de este sistema es que la propa- gación de ondas electromagnéticas en un plasma magnetizado se ve limitada por una densidad electrónica de corte por lo que existe una región dentro del plasma donde la radiación se refleja y se restringe su alcance a la zona del plasma donde las partí- culas tienen la frecuencia adecuada para el calentamiento [122]. Sin embargo, debido a esta desventaja, el stellarator SCR-1 no puede alcanzar un régimen de alta densidad electrónica, alrededor de 1020 m−3. Por lo tanto, uno de los sistemas adicionales para el calentamiento del plasma es la producción de las ondas de Bernstein electrónicas. De- bido a que las ondas de Bernstein electrónicas tienen una naturaleza electrostática, lo que significa que no sufren reflexiones ni resonancias debidas a la densidad electrónica [126] este método se perfila como una técnica que puede aumentar tanto la densidad electrónica como la temperatura electrónica en el plasma del stellarator SCR-1. Ade- más, se cuenta con herramientas computacionales para caracterizar adecuadamente la propagación de las ondas electrónicas. Debido a que cuenta con una cantidad signifi- cativa de puertos de la cámara de vacío del stellarator SCR-1, existe la posibilidad de explorar su producción de manera experimental. En comparación con otros mecanis- mos de calentamiento, como la inyección de neutros [67], es posible que no se requieran cambios significativos ni un gran espacio físico. Desde su confirmación experimental en 1964 [28] las ondas de Bernstein electrónicas han sido ampliamente utilizadas en ste- llarators. Su exploración y aplicación continúan en la actualidad. La Tabla 1.1 muestra algunos de los logros principales alcanzados en dispositivos similares. La conversión a ondas de Bernstein electrónicas ha sido exitosa en dispositivos de pequeña escala, como los stellarators TJ-K y WEGA. 5 Stellarator Radio mayor (m) Radio menor (m) Resultados LHD 3,9 0,6 -Conversión X-B con una absor- ción de 71 % -Aumento de un 9 % en la tempe- ratura electrónica [61] WEGA 0,7 0,1 - Aumento de la densidad electróni- ca en dos órdenes de magnitud [104] TJ-II 1,5 0,2 - Aumento de la densidad electróni- ca en dos órdenes de magnitud [40] Wendelstein 7-AS 2,0 0,2 - Aumento del 20 % en la den- sidad electrónica -Conversión O-X-B con una absorción de 80 % [132] TJ-K 0,6 0,1 - Aumento de la densidad electróni- ca en un orden de magnitud [77] CNT 0,3 0,13 - Conversión del modo O al modo X en un 51 % al con- siderar las reflexio- nes con la cáma- ra de vacío, aunque no fue posible una conversión al mo- do Bernstein elec- trónico. [45] Cuadro 1.1: Resultados principales de la conversión a ondas de Bernstein electrónicas en stellara- tors 1.4 Objetivos Este trabajo tiene como objetivo principal establecer las características del medio, dispositivo de confinamiento magnético y la radiación incidente para la producción de ondas de Bernstein electrónicas en el plasma del stellarator SCR-1. Para lograr este propósito, es fundamental proporcionar una caracterización detallada tanto del dis- 6 positivo como del plasma del stellarator SCR-1. Esto implica presentar en detalle sus sistemas periféricos, el proceso de descarga, los valores experimentales de densidad electrónica y temperatura electrónica en diferentes puntos espaciales, y realizar simu- laciones para evaluar el equilibrio magnetohidrodinámico y la estabilidad lineal del medio. Lo anterior permite calcular los parámetros de entrada para la simulación de escenarios de calentamiento con un código de onda completa. Además, se busca una solución computacional óptima diseñada para simular la propagación de ondas elec- tromagnéticas a través del plasma producido en el stellarator SCR-1 bajo distintos es- cenarios de calentamiento mediante un código de onda completa y con ello explorar las dependencias que produzcan una afectación directa en el mecanismo de conversión O-X-B. Un análisis minucioso de estas dependencias conduce a la identificación de las condiciones, ya sean presentes o ausentes, necesarias para la producción de ondas de Bernstein electrónicas en el plasma del stellarator SCR-1. 1.5 Estructura La estructura de esta tesis se organiza de la siguiente manera: los capítulos 2, 3 y 4 introducen los conceptos fundamentales relativos al plasma, el stellarator y las ondas en el plasma. Estos capítulos proporcionan una base teórica para comprender el tema central. En el capítulo 5, se detalla el stellarator SCR-1; sus componentes periféricos, las mediciones realizadas con su diagnóstico, así como la simulación del equilibrio MHD y la estabilidad lineal del plasma. El capítulo 6 se centra en la presentación, análisis y discusión de los escenarios de calentamiento por microondas específicamente a través del mecanismo O-X-B, aplicado al plasma del stellarator SCR-1. Finalmente, se incluyen las conclusiones de esta tesis. 7 II Plasma Cuando la materia experimenta un aumento de temperatura, puede llegar al punto donde sus átomos se ionicen. En este proceso, la energía cinética de las partículas que componen los átomos supera la energía potencial eléctrica que los mantiene unidos. A temperaturas y densidades electrónicas específicas, esto da lugar a un estado único de la materia que no se encuentra en los estados sólido, líquido o gaseoso. A este nuevo estado se le llama plasma, y se manifiesta tanto a escalas macroscópicas como micros- cópicas. Los plasmas se observan en fenómenos naturales y se generan en entornos de laboratorio, ofreciendo una amplia gama de aplicaciones [21]. A continuación, se presentarán los parámetros físicos clave para caracterizar el plasma, seguido de una definición que incorpore estos parámetros. Por último, se analizará la dinámica del plasma utilizando los modelos útiles para este estudio. 2.1 Parámetros del plasma El cuarto estado de la materia se caracteriza por ser un medio conductor con porta- dores de carga y una tendencia a mantenerse eléctricamente neutro bajo la influencia de fuerzas electromagnéticas externas al medio. La caracterización de un plasma se logra a través del conocimiento de varios parámetros que se explican a continuación, basado en lo propuesto por [101, 64, 8]. 2.1.1 Acople del medio Es posible definir una variable adimensional que cuantifica el equilibrio entre los átomos neutros y los átomos ionizados en un plasma. Esta variable se denomina pará- metro de acoplamiento y se calcula a partir de la ecuación (2.1). Es esencial para com- prender y caracterizar el medio, ya que refleja cómo las interacciones eléctricas entre partículas ionizadas y su movimiento cinético influyen en el comportamiento global del plasma. Γ = Ueléctrica K (2.1) 8 2.1.2 Longitud de Debye Si se considera un plasma tal que los iones tienen un movimiento despreciable, es decir su tiempo de reacción ante interacciones electromagnéticas es significativamente mayor que el tiempo en el que se produce la repulsión electrostática con los electrones. Además, la densidad de partículas de los electrones sigue una distribución maxwellia- na en equilibrio termodinámico, dada por ne (r) = ne0 exp ( eΦ (r) Te ) (2.2) Te ≡ KBTe(K) (2.3) Donde Te(K) es la temperatura electrónica expresada en kelvin. Cuando se introdu- ce una carga externa positiva dentro de un plasma (Q), los electrones experimentan un fenómeno conocido como apantallamiento de Debye. Esto significa que, a medida que los electrones se mueven hacia la carga externa, sus trayectorias se intersecan y se produce una redistribución espacial de las cargas en el plasma. Lo anterior da co- mo resultado, la reducción de la magnitud del potencial eléctrico externo y el sistema alcanza un equilibrio inestable electrostático. El potencial eléctrico del plasma en el contexto del apantallamiento de Debye se calcula a través de la ecuación de Laplace, expresada como ∆Φ (r) = −Qδ (r)− ene (r) ϵ0 (2.4) Si la energía de atracción electrostática entre la carga introducida en el plasma y los electrones es menor que la energía cinética de estos últimos, la solución de la ecuación (2.4) es Φ (r) = Q 4πϵ0r exp ( − r λDe ) (2.5) λDe = ( ϵ0Te ne0e2 )1/2 (2.6) El resultado presentado en la ecuación (2.6) es la longitud de Debye, que se define como la distancia máxima a la cual los electrones pueden apantallar la carga externa. La magnitud de esta longitud de Debye depende de la densidad electrónica y la tempe- ratura electrónica del plasma. La relación inversamente proporcional con la densidad 9 electrónica se da debido a que un aumento o disminución en el número de electrones modifica la carga eléctrica neta y, por lo tanto, afecta la capacidad de apantallamiento. Esto significa que si la densidad electrónica aumenta, la longitud de Debye disminui- rá, ya que habrá más electrones disponibles para apantallar la carga externa. En lo que respecta a la temperatura electrónica, los electrones con mayor energía cinética tienen la capacidad de superar la atracción electrostática que experimentan debido a la carga externa Q. Esto les permite extender la región de apantallamiento. Por lo tanto, a tem- peraturas electrónicas más altas, la longitud de Debye tiende a ser mayor, ya que los electrones con mayor energía cinética pueden apantallar a una mayor distancia. 2.1.3 Frecuencia del plasma Siguiendo las consideraciones de la subsección 2.1.2, cuando las cargas negativas y la carga externa Q establecen un campo eléctrico durante el proceso de apantalla- miento, cualquier perturbación que los aleje a una distancia mayor que la longitud de Debye provoca que los electrones experimenten una fuerza eléctrica que los regresa a su posición de equilibrio. Sin embargo, debido a la inercia de su movimiento, se alejan de esta posición, lo que lleva a un cambio en la dirección del campo eléctrico y al esta- blecimiento de una oscilación que se propaga a través de todo el plasma. La frecuencia de esta oscilación de los portadores de carga negativos se conoce como la frecuencia del plasma. Esta frecuencia se cuantifica a partir del inverso del tiempo que le toma al plasma responder ante la influencia de un campo electromagnético externo o el tiempo que tardan los electrones en establecerse a una longitud de Debye de la carga externa. La frecuencia del plasma para los electrones se expresa como 1 τpe ≡ ωpe = vte λDe = ( nee2 meϵ0 )1/2 (2.7) vte = √ Te me (2.8) 2.2 Definición del plasma Según lo expuesto en la sección 2.1, las características que definen a un plasma son 1. Cuasineutralidad: las partículas cargadas del plasma tienen la capacidad de con- trarrestar cualquier fenómeno electromagnético presente en el medio en escalas 10 cortas, lo que se conoce como desviaciones de la neutralidad eléctrica o cuasi- neutralidad. Un ejemplo de esto es el fenómeno de apantallamiento de Debye. La condición de cuasineutralidad se expresa de la siguiente manera ne ≃ ni (2.9) 2. Comportamiento colectivo: los iones y electrones del medio se comportan de ma- nera similar, interactuando con fuerzas electromagnéticas de largo alcance. Esto ocurre cuando la mayoría de estas partículas se encuentran dentro de un volu- men determinado por una esfera con un radio igual a la longitud de Debye. La cantidad de partículas contenidas en esta esfera se puede expresar como: NDe = ne 4 3 πλ3 De ≫ 1 o Γ ≤ 1 (2.10) La escala espacial del plasma debe ser mayor a la longitud de Debye para que se cumpla la ecuación (2.10) 3. Colisiones entre partículas cargadas: para que los efectos de las colisiones sean despreciables y se establezca el apantallamiento de Debye, es necesario que tanto los iones como los electrones alcancen su posición de equilibrio en un tiempo in- ferior al tiempo en que ocurren las colisiones entre ellas. Esta condición se expresa de la siguiente manera ωpeτcol > 1 (2.11) 2.2.1 Clasificación de los plasmas Los plasmas se categorizan en función del número de electrones contenidos dentro de la esfera de Debye. La ecuación (2.6) define esta esfera, y su tamaño puede determi- narse a partir de la temperatura electrónica y la densidad electrónica alcanzadas por el medio. La Figura 2.1 ilustra la clasificación de los plasmas en función de estas dos variables. En este diagrama, se identifican plasmas que se encuentran tanto en la na- turaleza como en aplicaciones industriales, abarcando ocho órdenes de magnitud en temperatura y treinta órdenes de magnitud en densidad. Además, se presentan tanto a escala macroscópica como microscópica. El 99 % del universo se encuentra en estado de plasma. 11 . Figura 2.1: Diagrama de temperatura electrónica y densidad electrónica del núcleo para distintos plasmas. La línea discontinua representa el límite que define a los plasmas con una energía mayor a la energía en reposo de los electrones. El color de los recuadro está asociado a la ocurrencia del plasma, donde morado es natural, rojo es industrial y azul de laboratorio. Fuente: elaboración propia basada en [33] 2.3 Dinámica del plasma La dinámica del plasma se estudia a través de modelos físicos simplificados en los que el medio se representa como un conjunto de partículas cargadas o un fluido eléc- trico cuasineutro. La elección entre estos enfoques depende de las escalas de longitud y tiempo presentes en las condiciones del medio. Abordar cada una de las interacciones del plasma a nivel microscópico dificulta la comprensión de los diversos principios físi- cos que rigen este medio [63]. A continuación, se presentan los dos modelos relevantes para esta tesis: el modelo de partícula y el modelo de fluido, siguiendo lo presentado por [73, 64, 144, 39, 8, 57] 12 2.3.1 Modelo de partícula El modelo de partícula en un plasma magnetizado analiza los efectos que este cam- po produce sobre iones y electrones de manera individual. La velocidad y la posición de las partículas cargadas quedan determinadas a partir de la ecuación de movimiento, obtenidas con la mecánica analítica y constantes de movimiento. Dentro de las consi- deraciones, este modelo no toma en cuenta las colisiones entre partículas ni el acople de los campos eléctricos y magnéticos con las partículas cargadas en movimiento, las dimensiones del medio son mayores a los radios de giro de las partículas y por último que no exista ninguna perturbación periódica que modifique drásticamente la dinámi- ca de las partículas. La esencia del modelo de partícula está en estudiar el movimiento de las partículas cargadas como la suma de un movimiento de giro ciclotrónico rápido y un centro de giro que se mueve lentamente y se aleja de las líneas de campo magné- tico. Esta idea se trabaja a continuación. Partículas cargadas en un campo magnético Los portadores de carga, como electrones o iones, experimentan un movimiento circular en un campo magnético uniforme. El radio de Larmor o radio de giro y la frecuencia de este movimiento están determinados por rLe,i = me,iv⊥ |q|B (2.12) ωce,i = |q|B me,i (2.13) Donde el subíndice e o i está condicionado por la especie (electrones o iones). La posi- ción el centro de giro de las partículas cargadas para una determinada órbita es Rcg = r − 1 ωce,i b × v (2.14) con v = v∥ + v⊥ (2.15) b = 1 B B (2.16) El campo magnético puede depender de la posición y el tiempo, lo que resulta en cambios en la ubicación del centro guía para cualquier instante, como se ilustra en la 13 ecuación (2.14). Las derivas del plasma corresponden a estas desviaciones del centro guía en una dirección perpendicular a las líneas del campo magnético. Esto provoca que las partículas cargadas experimenten un movimiento radial hacia el exterior o ha- cia el interior. Lagrangiano promedio del centro guía Según lo expuesto anteriormente, las derivas del centro guía se determinan a par- tir de un lagrangiano promediado en un período de tiempo menor al período de giro ciclotrónico. Esto se hace al considerar un gradiente de campo magnético distinto de cero, líneas de campo magnético curvas y un radio de giro mucho menor que las di- mensiones del plasma. El lagrangiano del centro guía se expresa como L̄ = me,i 2 ( b · dRcg dt )2 + qA · dRcg dt − µB − qΦ (2.17) donde µe,i = me,iv2 ⊥ 2B (2.18) µe,i representa el momento dipolar magnético; un invariante adiabático. Los térmi- nos en la ecuación (2.17) comprenden la energía cinética del centro de giro, la energía potencial magnética, la energía potencial debido a la naturaleza diamagnética del plas- ma y la energía potencial electrostática. Las ecuaciones de movimiento derivadas de este lagrangiano se expresan en términos de las velocidades paralelas y perpendicula- res a las líneas del campo magnético de la partícula están dadas por me,i dv∥ dt = qE − µ∇∥B (2.19) v⊥ = E × B B2 + me,iv2 ⊥ 2q B ×∇B B3 + me,iv2 ∥ q Rcurv × B R2 curvB2 (2.20) El último término en la ecuación (2.19) representa la fuerza que confina a las partícu- las cargadas con el propósito de mantenerlas en las líneas del campo magnético, lo que se conoce como una configuración de espejo magnético. Los términos que aparecen en la ecuación (2.20), de izquierda a derecha, son Deriva E × B: esta deriva es causada por la presencia de un campo eléctrico y un campo magnético. Tanto iones como electrones se desplazan en la misma direc- ción, ya que esta expresión es independiente de la carga de la partícula. 14 Derivada del gradiente del campo magnético: Un campo magnético no uniforme provoca desplazamientos en los centros guía debido a la acción de la fuerza de Lorentz. Esto da lugar a una separación de cargas que genera una corriente que se desplaza a través del campo magnético. Deriva por curvatura del campo magnético: las líneas de campo magnético curva- das introducen una deriva por motivo de la existencia de una aceleración centrífu- ga sobre las partículas. Esta deriva se mide desde un marco de referencia ubicado en el centro guía. 2.3.2 Modelo de fluido Magnetohidrodinámica ideal La magnetohidrodinámica ideal proporciona una descripción y justificación de pri- mer orden del comportamiento del plasma, utilizando variables termodinámicas ma- croscópicas y considerando un enfoque similar al estudio de un fluido. Esta aproxi- mación surge debido a las limitaciones del modelo de partícula, como se discute en la subsección 2.3.1. En el modelo de partícula, se requiere conocer la posición de un gran número de partículas cargadas del orden de 1020 en el medio, lo que implica una de- manda significativa de recursos computacionales y posiblemente carecería de solución analítica [8, 33]. La teoría MHD ideal conlleva una serie de conclusiones significativas para el confinamiento de plasmas libres de disrupciones. Además, explica los fenóme- nos de transporte de energía y partículas en el campo de la Física y proporciona los parámetros geométricos fundamentales para el diseño de bobinas [134]. En la teoría MHD, el plasma se modela como un fluido cuasineutro compuesto por iones y electrones en equilibrio termodinámico, sin disipación de energía significativa. Se considera que un elemento diferencial de este fluido contiene un gran número de partículas, de manera que experimenta variaciones notables por campos eléctricos y magnéticos externos. Además, se asume que la separación espacial entre estas partícu- las es mayor que el camino libre medio y el radio de giro ciclotrónico. Según [7] y [101], el modelo es de primer orden debido a las siguientes consideraciones: Alta conductividad eléctrica: la mayoría de las partículas cargadas se desplazan en dirección paralela a las líneas del campo magnético. 15 La contribución de la corriente de desplazamiento a la corriente eléctrica total es despreciable. Cuasineutralidad: las variaciones del campo eléctrico en el espacio son significa- tivas a distancias mayores que la longitud de Debye, lo que indica que el apanta- llamiento de Debye ha ocurrido. Esto permite omitir los términos que involucran un campo eléctrico estático, como los que se encuentran en la ley de Gauss. Inercia de los electrones despreciable: los electrones tienen un tiempo de respuesta a fenómenos externos mucho mayor que el inverso de la frecuencia ciclotrónica electrónica. La viscosidad del fluido es insignificante. La circulación de este único fluido para un plasma de hidrógeno cuenta con una densidad de masa volumétrica y una densidad de corriente eléctrica expresadas como ρm = n (mi + me) (2.21) J = ne (vi − ve) (2.22) donde las velocidades de iones y electrones se miden desde un marco de referencia en reposo ubicado en el centro de masa del elemento de fluido. Las densidades del elemento de fluido experimentan modificaciones espaciales debido a las fuerzas de origen hidrodinámico y electromagnético, así como una evolución temporal del cam- po de velocidades del fluido y la presión hidrostática. Para cuantificar estos efectos, se plantea un sistema de ecuaciones compuesto por la ecuación de continuidad, la ecua- ción de movimiento de un fluido único, la ley de Ohm generalizada y las ecuaciones de Maxwell, tal como se representan en las ecuaciones (2.23) - (2.29). Además de las condiciones previamente mencionadas, se asume una distribución local de las cargas que sigue una distribución maxwelliana. Esto da lugar a una presión hidrostática uni- forme en las direcciones paralela y perpendicular al campo magnético, lo que implica 16 una presión isotrópica, como se muestra en la ecuación (2.30). ∂ρm ∂t +∇ · (ρmvcm) = 0 (2.23) ρm [ ∂vcm ∂t + (vcm · ∇) vcm ] = σE + J × B −∇p (2.24) d dt ( p ργ ) = 0 (2.25) E + vcm × B = J × B −∇pe e (2.26) ∇× B = µ0 J (2.27) ∇× E = −∂B ∂t (2.28) ∇ · B = 0 (2.29) con p = pe + pi = n (Te + Ti) (2.30) vcm = vi + me mi ve (2.31) El conjunto de ecuaciones para un único fluido se complementa con las condiciones de frontera, las cuales son esenciales para relacionar la dinámica del plasma con los campos magnéticos externos y explicar los fenómenos de equilibrio magnetohidrodi- námico y estabilidad lineal. Estas condiciones de frontera, según [38], se dividen en tres categorías: (1) Borde conductor perfecto: en esta configuración, la frontera del plasma es rígida, lo que significa que se mantiene con una forma definida conforme transcurre el tiempo. En la superficie del plasma, se cumplen las siguientes condiciones: n̂ × E = 0 (2.32) n̂ · B = 0 (2.33) (2) Región de vacío aislante: el plasma se encuentra en una región de vacío rodeada por una superficie conductora rígida. Se imponen condiciones adicionales para los campos eléctrico y magnético que conectan la región de vacío con el borde del plas- ma. La forma del plasma puede tratarse como una incógnita más en el modelo, es decir, puede ser una “frontera libre” (free boundary) que se ajusta como parte del problema, o una “frontera fija” (fixed boundary) que se mantiene constante. 17 (3) Bobinas externas al plasma: esta configuración se caracteriza por las condiciones de free boundary, además se incluye el campo magnético producido por las bobinas que confinan al plasma. El campo magnético total se expresa como la suma del campo magnético externo y el campo magnético inducido por el plasma. Equilibrio magnetohidrodinámico ideal Los plasmas de interés para este trabajo deben mantener un equilibrio mecánico para su confinamiento. De acuerdo con lo expuesto en la subsección 2.3.2, es nece- sario determinar las magnitudes de las variables termodinámicas y la configuración magnética adecuada para lograr este equilibrio. En estado estacionario, se cumple que vcm ≈ 0, lo que significa que el campo de velocidades del fluido es significativamente menor que la velocidad del sonido. En consecuencia, el sistema de ecuaciones para un fluido único, representado por las ecuaciones (2.23) - (2.29), se reduce a ∇p = J × B (2.34) ∇ · B = 0 (2.35) ∇× B = µ0 J (2.36) La ecuación (2.34) muestra que el gradiente de presión hidrostática es contrarrestado por una fuerza magnética para una densidad de corriente eléctrica específica. Es es- trictamente necesario que esta densidad de corriente se genere mediante una fuente externa al plasma, ya que las corrientes internas no pueden mantener un equilibrio magnetohidrodinámico. Este requisito está respaldado por el teorema del Virial [134]. La densidad de corriente confinante se conoce como diamagnética y debe estar dirigida perpendicularmente al campo magnético. Su expresión matemática es J⊥ = B ×∇p B2 (2.37) Parámetro beta La condición de equilibrio de presión, derivada al sustituir la ecuación (2.36) en la ecuación (2.34), establece que si en diferentes regiones del plasma hay variaciones en la magnitud de las presiones hidrodinámica y magnética, estas variaciones deben compensarse para que la suma de ambas presiones se mantenga constante. Esto se 18 muestra en la ecuación (2.38). ⟨p⟩+ B2 2µ0 = constante (2.38) A raíz de lo anterior, se define un parámetro adimensional que cuantifica si los efec- tos termodinámicos o magnéticos predominan en el plasma. Este parámetro se deno- mina β y se expresa como β = 2µ0⟨p⟩ B2 (2.39) En muchos plasmas de laboratorio, es común que se cumpla que β ≪ 1, lo que im- plica que la presión de la fuerza magnética domina sobre la presión del plasma. La investigación actual en fusión termonuclear controlada se centra en diseñar dispositi- vos de confinamiento magnético que maximicen el valor del parámetro beta. Esto se debe a que la potencia neta generada en el proceso de fusión termonuclear controlada depende del cuadrado del parámetro beta. Sin embargo, es importante tener en cuenta que un aumento en β conlleva a un incremento en la presión hidrodinámica, lo que resulta en la ruptura de las superficies de flujo magnético anidadas, deteriorando así el confinamiento del plasma [41, 138]. El parámetro β se puede expresar en términos de otros parámetros β definidos en las direcciones poloidal y toroidal para cuantificar el grado de confinamiento en cada una de las componentes del campo magnético. La ecuación que relaciona el β total con los β toroidal y poloidal es: 1 β = 1 βt + 1 βp (2.40) Leyes de conservación El equilibrio MHD ideal conserva la masa, el momentum lineal, la energía del plas- ma y el flujo magnético a lo largo del tiempo, tal como se expresan en las ecuaciones (2.41) - (2.44). La conservación del flujo magnético da lugar al teorema del frozen flux, que implica que el campo de velocidades de los elementos de fluido se establece en una topología de campo magnético invariable en el espacio. En consecuencia, se pue- de afirmar que las líneas de campo magnético en el interior del plasma permanecen “congeladas”. 19 La configuración magnética que cumple con esta última propiedad no considera una evolución hacia configuraciones de menor energía potencial magnética, ya que podrían generar la pérdida de la estabilidad y el equilibrio del plasma. Esta condición restringe el número de configuraciones magnéticas posibles para el confinamiento [38]. d dt ∫ Vp ρmdV  = 0 (2.41) d dt ∫ Ap ( p + B2 2µ0 ) dA  = 0 (2.42) d dt ∫ Vp ( 1 2 ρv2 + B2 2µ0 + p γ − 1 ) dV  = 0 (2.43) d dt (∫ Ap B · dA ) = 0 (2.44) Estabilidad en el equilibrio MHD ideal El equilibrio MHD de un plasma implica la interacción de fuerzas hidrodinámicas y magnéticas que cooperan para el confinamiento del plasma. Esto significa que, incluso cuando se producen perturbaciones en los campos magnético y de presión, estas fuer- zas deben restaurar el equilibrio MHD. A continuación, se abordan las posibles fuentes de inestabilidad y cómo cuantificarlas. Principio de energía Las inestabilidades en el plasma se refieren a modos de perturbación magnéticos que actúan como atenuaciones al equilibrio, por tanto un ligero cambio en el despla- zamiento del plasma confinado genera fuerzas responsables de amplificar la pertur- bación de manera exponencial. Para analizar estas inestabilidades, se utiliza el princi- pio de energía; un enfoque variacional que implica la linealización de las ecuaciones (2.23) a (2.29). En este enfoque, cada una de las perturbaciones presentes en el plasma se expresa como una suma de autofunciones, considerando condiciones de frontera y equilibrio MHD específicas, independientemente de las condiciones iniciales. Si se toma el subíndice 0 para representar el estado de equilibrio, la ecuación de mo- vimiento para el desplazamiento del equilibrio, denotado como ζ, se puede expresar 20 como ρ0 d2ζ dt2 =∇ ( ζ · ∇p0 + γ∇ · ζ ) + 1 µ ( ∇× B0 ) × [ ∇× ( ζ × B0 )] + 1 µ { ∇× [ ∇× ( ζ × B0 )]} × B0 ≡ F (ζ) (2.45) Donde F (ζ) se define como un operador. Al multiplicar la ecuación (2.45) por la razón de cambio de ζ con respecto al tiempo, integrar sobre el volumen del plasma y derivar parcialmente respecto al tiempo, se obtiene que ∂ ∂t [∫ Vp 1 2 ρ0 ( dζ dt )2 dV − ∫ Vp 1 2 ζ · F (ζ)dV ] = 0 (2.46) δW ≡ − ∫ Vp 1 2 ζ · F (ζ)dV (2.47) Según la ecuación (2.47), las inestabilidades que reducen la energía potencial del sis- tema (δW < 0) implican un aumento en la energía cinética del sistema debido a la conservación de la energía mecánica. Esto define un sistema linealmente inestable con velocidades iniciales perturbadas que aumentan exponencialmente. Por otro lado, una energía potencial positiva (δW > 0) indica que el plasma está en un equilibrio MHD estable. La evolución de las inestabilidades se estudia utilizando el principio de energía al imponer condiciones a la ecuación (2.46) y al comparar el crecimiento de la inestabi- lidad con los movimientos del plasma. Si la perturbación oscila con una frecuencia igual al inverso del tiempo de Alfvén, entonces el equilibrio ideal MHD es estable [7]. El principio de energía también cuenta con un segundo método, que consiste en ex- presar la perturbación como una serie de armónicos de Fourier con una dependencia exponencial en el tiempo, y luego resolver las ecuaciones de MHD ((2.34) - (2.36)). Esto permite calcular las tasas de cambio de la perturbación y sus frecuencias de oscilación [124]. Inestabilidades por presión El análisis de las inestabilidades en un plasma confinado por campos magnéticos se basa en perturbaciones infinitesimales con propiedades ondulatorias periódicas. Estas inestabilidades se pueden clasificar de dos maneras: en función de si la superficie del plasma es fija o deformable en relación con su posición de equilibrio y en función de la fuente de las inestabilidades. 21 Si la fuente principal de inestabilidad está relacionada en gran medida con el gra- diente de presión, se les denomina pressure-driven modes. Dentro de esta categoría se encuentran las interchange (flute) instabilities. Estas inestabilidades se explican a partir del teorema del flujo congelado, el cual establece que las superficies de flujo magné- tico determinan la forma del plasma, compuestas por “tubos” o filamentos anidados entre sí. Algunas perturbaciones pueden provocar un intercambio de partículas entre los tubos, lo que conduce a una disminución de la energía potencial gravitatoria. La dirección de esta inestabilidad ocurre en la dirección radial, ya sea hacia afuera o hacia adentro, dependiendo del signo de la curvatura del campo magnético y el gradiente de presión. Criterio de Mercier Para verificar la estabilidad lineal local del plasma, se utiliza el criterio de Mercier. En este criterio, la ecuación (2.46) se transforma en coordenadas de Hamada [50], se expanden las expresiones de las variables de equilibrio en volumen para una superficie racional (eje magnético) y se minimiza el término δW, donde se tiene, según [79], que DMercier = DCM + DIT + DPM + DG > 0 (2.48) donde DCM = 1 16π2 ( dι dΨ )2 (2.49) DIT = 1 16π4 dι dΨ ∫ dA |∇Ψ|3 ( µ0 J − dI (Ψ) dΨ B ) · B (2.50) DPM = µ0 64π6 dP dΨ ( d2V dΨ2 − µ0 dP dΨ ∫ dA B2 |∇Ψ| )∫ B2 |∇Ψ|3 dA (2.51) DG = 1 64π6 (∫ µ0 J · B |∇Ψ|3 dA )2 − 1 64π6 (∫ B2 |∇Ψ|3 dA )∫ (µ0 J · B)2 B2 |∇Ψ|3 dA (2.52) Según la ecuación (2.48), el plasma se considera estable a pesar de la existencia de las interchange instabilities si el funcional de la energía es positivo. Este criterio presenta a DCM, asociado a la cizalla magnética, siempre positivo ya que la curvatura toroidal promedio del campo magnético durante el tiempo brinda estabilidad al medio. El fun- cional DIT representa el aporte al gradiente de campo magnético por el cambio en su magnitud al adicionar una corriente en el plasma. Su efecto depende del signo y si se 22 identifican resonancias. El funcional DPM contribuye a la estabilidad si el volumen del plasma y la presión presentan las variaciones esperadas para las superficies de flujo, además incluye un término por el carácter diamagnético del plasma. El funcional DG se asocia a la curvatura geodésica por la corriente interna de PS o la presencia de islas magnéticas, lo que reduce la estabilidad del plasma [59]. 2.3.3 Colisiones de partículas en el plasma Las colisiones en el plasma se estudian a nivel de partículas individuales, y sus efectos producen variaciones a nivel macroscópico, como densidad electrónica y tem- peratura electrónica anisotrópicas, conductividad del medio diferente de cero y fenó- menos colectivos como los procesos de difusión y movilidad [64]. A continuación, se definen los parámetros relevantes para caracterizar las colisiones neutrón-electrón y las colisiones tipo Coulomb en el espacio de transporte de velocidades para un plasma totalmente ionizado. Colisiones en un plasma parcialmente ionizado Es posible identificar dos procesos principales de ionización del gas: colisiones de un electrón con partículas neutras, que resultan en un ion y dos electrones, y la re- combinación de un electrón con un ion que resulta en un átomo neutro. Cuando estos procesos no se logran equilibrar y el grado de ionización, es decir, la razón entre la den- sidad de iones y la densidad de neutros, es menor a 10−3, se afirma que las colisiones con los neutros son dominantes [41]. La frecuencia de colisión neutrón-electrón, según [135], es: νen = √ 8πTe me n0σn (2.53) donde σn es la sección eficaz de las colisiones electrón-neutro. Colisiones en un plasma totalmente ionizado Las partículas cargadas en un plasma totalmente ionizado presentan colisiones tipo Coulomb. Como se muestra en la Figura 2.2, el electrón en movimiento, con velocidad v0, realiza una trayectoria hiperbólica debido a la interacción electrostática con el ion, que se considera en reposo debido a su velocidad mucho menor en comparación con 23 la velocidad del electrón. La dispersión de Rutherford con su parámetro de impacto, s0, está dado por tan ( θ 2 ) = s s0 (2.54) s0 = Ze2 4πϵ0mev2 0 (2.55) Según [41] y [8], los electrones en el plasma tienden a experimentar con mayor frecuen- cia colisiones de ángulo pequeño (θ ≪ π/2) en vez de colisiones de ángulo grande (π/2 ≤ θ ≤ π). En el primer tipo de colisión, los electrones colisionan varias veces con . Figura 2.2: Colisión de tipo Coulomb entre ion y electrón con su trayectoria y parámetro de im- pacto. Fuente: Elaboración propia basada en [101] los iones, se produce una disminución de su velocidad inicial paralela a su trayectoria original. Por lo tanto, las velocidades de los electrones se promedian en el tiempo. La tasa de cambio en el tiempo para pequeños incrementos en la magnitud de la velocidad paralela ⟨∆v0∥⟩ se puede expresar como d⟨∆v0∥⟩ dt = −4πnis2 0v2 0s0 ln Λ = −νeiv0 (2.56) donde ln Λ ≡ ln ( λDe s0 ) (2.57) νei = −4πnis2 0v2 0 ln Λ = Z2nie4 ln Λ 4πϵ2 0m2 e v3 0 (2.58) 24 El lado derecho de la ecuación (2.56) se interpreta como una fuerza de fricción [51], que define la frecuencia de colisión ion-electrón (νei). El logaritmo de Coulomb, dado por la ecuación (2.57), es un parámetro que cuantifica la relevancia de las colisiones de ángulo pequeño en un plasma débilmente acoplado y depende de la temperatu- ra electrónica y la densidad electrónica [74]. Se deben agregar correcciones cuando la velocidad relativa entre iones y electrones se compara con la velocidad térmica de los electrones [55]. Por lo tanto, el logaritmo de Coulomb se expresa como ln Λ =  23 − ln ( Zn1/2 e T3/2 e ) si Ti me mi < Te < 10Z2 eV 24 − ln ( n1/2 e Te ) si Ti me mi < 10Z2 eV < Te (2.59) Frecuencia de colisión ion - electrón La frecuencia de colisión ion-electrón presentada en la ecuación (2.58) se promedia en una distribución de probabilidades de las partículas en el dominio de velocidades. Para un plasma de hidrógeno con una distribución maxwelliana de electrones, según reportan [101, 84], la frecuencia de colisión ion-electrón promedio está dada por ⟨νei⟩ = √ 2nie5/2 ln Λ 12π3/2ϵ2 0m1/2 e T3/2 e (2.60) 25 III Stellarator El confinamiento magnético del plasma puede generarse gracias a dispositivos to- roidales diseñados para producir líneas de campo magnético que se conectan después de un gran número de circuitos, como se muestra en la Figura 3.1. Esto se conoce como un sistema cerrado de confinamiento, compuesto por un conjunto de bobinas dispues- tas en dirección toroidal [38]. Figura 3.1: Representación de las partículas confinadas en un dispositivo con líneas cerradas de campo magnético. Fuente: elaboración propia. Según lo explicado en la subsección 2.3.1, el principal inconveniente de la curvatura de las líneas de campo magnético es la introducción de una deriva debido al gradien- te de campo magnético, como se describe en la ecuación (2.20). Esta deriva provoca una polarización de la carga y da lugar a la aparición de un campo eléctrico, como se muestra en la Figura 3.2. Este efecto resulta en una deriva debida al campo eléctrico en dirección radial, que arrastra al centro guía en esa dirección y degrada el confinamiento [63]. La solución a este problema consiste en agregar un campo magnético poloidal al campo magnético toroidal, para generar un campo magnético helicoidal. La curvatura de este campo contrarresta la deriva producida por E × B y permite mantener a las 26 Figura 3.2: Visualización de las derivas E × B y curvatura de campo magnético de las partículas cargadas en un plasma con un campo magnético toroidal únicamente. Fuente: elaboración propia partículas cargadas en las líneas del campo magnético[120]. A continuación, se explicará el dispositivo de confinamiento magnético relevante para este trabajo: el stellarator. Se abordará su concepto, la clasificación de los ste- llarators, las características del campo magnético de confinamiento, el análisis de su equilibrio magnetohidrodinámico y el comportamiento de variables relevantes como el parámetro beta y la densidad electrónica en función de la temperatura electrónica. 3.1 Campo magnético confinante 3.1.1 Formación de superficies de flujo magnético El campo magnético confinante debe mantener a las partículas cargadas circulando en un volumen específico para evitar que las colisiones y las derivas provoquen flujos radiales no deseados, lo que llevaría a la pérdida de partículas cargadas por líneas abiertas de campo magnético. Las líneas de flujo de partículas (bajo la acción del campo magnético) en sus tra- yectorias de equilibrio después de cierto número de circuitos definen las superficies de flujo en su proyección sobre el plano poloidal. En una configuración óptima, existe al menos un eje magnético que contiene múltiples superficies de flujo magnético ani- 27 dadas. Estas superficies mantienen un equilibrio magnetohidrodinámico, cumpliendo la ecuación (2.34), y presentan una presión hidrostática constante junto con una densi- dad de corriente eléctrica y un campo magnético helicoidal sobre ellas [134], como se muestra en la Figura 3.3. Sin embargo, en algunas zonas de las superficies de flujo magnético, las líneas de campo pueden desviarse de su posición prevista según el equilibrio MHD ideal, lo que disminuye la energía contenida del plasma. Estas desviaciones se conocen como islas magnéticas y pueden conducir a inestabilidades. Figura 3.3: Superficies de flujo magnético anidadas a un eje magnético. Visualización de J y B sobre una de las superficies de presión hidrostática constante. Fuente: elaboración propia basada en [101] 3.1.2 Parámetros del campo magnético confinante Los parámetros del campo magnético, como la transformada rotacional, la cizalla magnética, el pozo magnético y la razón de aspecto, están relacionados con varios fe- nómenos físicos en el plasma y proporcionan información sobre la optimización de la configuración magnética, así como sobre factores geométricos de las bobinas y errores en el campo magnético. A continuación, se ofrece una definición de cada uno de estos parámetros a partir de [87, 134, 141, 63]. 28 Transformada rotacional Es el ángulo promedio de rotación en dirección poloidal, dividido entre el número de vueltas toroidales de las líneas del campo magnético. La transformada rotacional cuantifica la torsión del campo magnético y, por ende, se vuelve esencial que dicho valor sea distinto de cero para que se mantenga un confinamiento adecuado. En lo que respecta a su magnitud, se busca que sea un número irracional en la superficie de flujo magnético. Esto se debe a que, en el caso de números racionales denominados resonantes, se forman islas magnéticas. Además, es importante destacar que valores elevados de la transformada rotacional implican un mayor tiempo de confinamiento y una menor difusividad térmica para los electrones, como se menciona en [4]. ι = ι 2π = lı́m N→∞ 1 2πN N∑ m=1 (∆θ)m (3.1) Cizalla magnética La cizalla magnética se define como la razón de cambio de la transformada rota- cional en relación al volumen comprendido entre las superficies de flujo magnético en dirección toroidal. Este parámetro desempeña un papel crucial en la caracterización de la calidad de la superficie en términos de flujo magnético. Valores elevados de cizalla magnética se traducen en una reducción en el tamaño de las islas magnéticas y revelan cuán susceptible es la superficie a perturbaciones. Además, indican la influencia sig- nificativa de las corrientes en el plasma debido a efectos de presión, lo que, a su vez, puede dar lugar a inestabilidades [15]. s (V) = 2 V ι dι dV (3.2) Pozo magnético El pozo magnético, representado por la ecuación (3.3), es un indicador fundamental de la estabilidad de un plasma frente a las inestabilidades de tipo Interchange (flute). Es- te pozo magnético cuantifica cómo el plasma se encuentra en su entorno y se relaciona directamente con el volumen específico, como se define en la ecuación (3.4). Ŵ = 2 V ⟨B2⟩ d dV 〈 B2 2 〉 (3.3) 29 U = dV dϕ (3.4) Una estabilidad óptima frente a estas inestabilidades implica que el plasma tiende a si- tuarse en regiones donde maximiza su volumen específico. En otras palabras, se busca áreas donde el campo magnético promedio aumenta en la dirección radial hacia afuera de la superficie de flujo magnético o donde la curvatura de estas superficies es positiva. La ecuación (3.4) se relaciona con la profundidad del pozo magnético, escrito como U0 − U ( re f f ) U0 (3.5) Esta relación permite identificar que las superficies con un gradiente positivo en el pozo magnético son aquellas en las que se encuentra un campo magnético mínimo. Esto cumple el teorema de flujo congelado [29]. Razón de aspecto La razón de aspecto se define como la relación entre el radio mayor del dispositivo (R0) y el radio menor del plasma (a). Este parámetro desempeña un papel fundamental en la discusión actual sobre las futuras plantas de fusión basadas en tokamak, donde se establece una relación inversamente proporcional entre el radio mayor y la magnitud del campo magnético [143]. A = R0 a (3.6) 3.2 Concepto de stellarator El stellarator es uno de los dispositivos de confinamiento magnético de plasma que ha sido objeto de un extenso estudio desde su invención en 1951 por Lyman Spitzer [119]. Ha sido considerado como un prototipo para un reactor de fusión termonuclear controlada. Este dispositivo genera su transformada rotacional al deformar las superfi- cies de flujo magnético, lo que da como resultado un plasma no axisimétrico, o median- te un eje magnético con torsión distinta de cero, es decir, no plano. Esta deformación se logra exclusivamente a través de un conjunto de bobinas externas con una geometría determinada. El stellarator presenta varias ventajas significativas en comparación del tokamak. En primer lugar, introduce una amplia variedad de configuraciones magné- 30 ticas que pueden optimizarse para lograr un confinamiento efectivo del plasma. Ade- más, no tiene un límite en cuanto a la densidad electrónica y es capaz de funcionar en un estado estacionario durante períodos más prolongados, dado que no depende de una corriente toroidal. Sin embargo, el stellarator también conlleva desafíos y desven- tajas. Su diseño mecánico y la construcción de las bobinas son complejas, ya que las imperfecciones en sus curvaturas pueden hacer que cedan debido al esfuerzo genera- do por la fuerza magnética, lo que limita la magnitud del campo magnético. Además, un plasma no axisimétrico experimenta un tiempo de transporte de partículas carga- das reducido en comparación con uno axisimétrico, debido a que entra en un régimen anómalo turbulento causado por una alta difusividad térmica [141, 48, 38]. 3.3 Clasificación de Stellarators según su configuración magnética Hay diversos tipos de stellarators, cada uno de los cuales se ha optimizado de acuer- do a su método para generar una transformada rotacional que resulte en superficies de flujo magnético cerradas. A continuación, se presenta una clasificación de estos tipos, siguiendo la propuesta de [22, 48, 63, 90]. 3.3.1 Clásico El stellarator clásico, como se muestra en la Figura 3.4.(a), se compone de pares de bobinas helicoidales a través de las cuales fluye la corriente eléctrica en direccio- nes opuestas. Además, incluye un conjunto de bobinas circulares planas alrededor del toroide. Una de sus ventajas radica en que la corriente puede variarse de forma inde- pendiente en cada conjunto de bobinas, lo que facilita el estudio del campo magnético total. A pesar de esto, su diseño es extremadamente complejo. 3.3.2 Torsatrón (Heliotrón) El torsatrón busca simplificar el diseño del stellarator clásico al utilizar una configu- ración de bobinas helicoidales que dirigen la corriente eléctrica en una sola dirección, generando un campo magnético helicoidal. Este tipo de stellarator, ilustrado en la Fi- gura 3.4.(b), presenta un campo magnético vertical que debe ser anulado mediante la colocación de bobinas circulares en dirección horizontal. 31 3.3.3 Heliac El campo magnético helicoidal en el stellarator tipo heliac (como se muestra en la Figura 3.4.(c)) se genera mediante una serie de bobinas circulares planas dispuestas en dirección toroidal, con sus centros ubicados en posiciones verticales diferentes, for- mando una estructura helicoidal. Además, se incorporan bobinas circulares planas ho- rizontales adicionales para mantener el control del plasma. 3.3.4 Modular El stellarator modular, mostrado en la Figura 3.4.(d), recibe su nombre debido a la disposición de sus bobinas, las cuales se deforman con respecto a su eje de simetría y se ubican en diferentes posiciones toroidales alrededor de la cámara de vacío. La forma de estas bobinas tiene como objetivo lograr que un solo conductor de corriente eléctrica genere un campo magnético similar al que se obtendría mediante una superposición de bobinas toroidales con un bobinado helicoidal. Al ocurrir esto, ambos sistemas de bobinas se combinan para crear bobinas tipo meandro que siguen alternativamente las trayectorias helicoidal y toroidal. En las bobinas reales, los bordes resultantes necesitan un alisado. Este enfoque permite que los stellarators de esta categoría sean capaces de proponer campos con distintas helicidades magnéticas, lo que resulta en plasmas con propieda- des de transporte y MHD optimizadas. 3.4 Equilibrio MHD en stellarators La falta de simetría axial en un stellarator implica que tanto las componentes cova- riantes como contravariantes del campo magnético experimentan una tasa de cambio con respecto al ángulo toroidal que no es igual a cero. Esta característica abre la posi- bilidad de que el método seleccionado para generar una transformada rotacional no produzca superficies de flujo magnético constantes, cerradas y anidadas a un eje mag- nético [50]. No obstante, el teorema de Kolmogórov–Arnold–Moser (teorema KAM) [127] ase- gura la existencia de superficies de flujo magnético incluso en ausencia de simetría axial en un stellarator. Esto es válido siempre y cuando se cumplan condiciones es- 32 (a) Clásico (b) Torsatrón (Heliotrón) (c) Heliac (d) Modular Figura 3.4: Tipos de stellarator. Fuente: (a), (b) y (c) elaboración propia y (d) Laboratorio de Plas- mas para Energía de Fusión y sus Aplicaciones pecíficas, como la existencia de una transformada rotacional irracional con una cizalla magnética distinta de cero en cualquier punto espacial. Lo anterior evita que los efec- tos de radio finito de Larmor o colisiones tipo Coulomb produzcan perturbaciones que cambien ligeramente la presión del plasma en las superficies isobáricas [57]. A continuación, se presentan nuevos sistemas de coordenadas. Posteriormente, se aborda el principio variacional de energía, que ofrece una solución al problema del equilibrio MHD. Finalmente, se exploran otros parámetros importantes en el contexto del equilibrio MHD, como la densidad de corriente paralela al plasma. 3.4.1 Sistemas de coordenadas relevantes Coordenadas cilíndrico-toroidales Las coordenadas cilíndrico-toroidales, que combinan el uso de coordenadas cilín- dricas y tienen un origen en el centro del toro, brindan una descripción adecuada del 33 toroide. Las coordenadas x, y y z se expresan de la siguiente manera x = (R + r cos θ) cos ϕ y = (R + r cos θ) sen ϕ z = r sen θ (3.7) Figura 3.5: Variables de las coordenadas cilíndrico-toroidales. Fuente: elaboración propia Coordenadas de flujo magnético Las coordenadas de flujo magnético son un conjunto de coordenadas no ortogonales que modelan las líneas del campo magnético como funciones lineales en el espacio de configuración [35]. Estas coordenadas constan de θ = θ (x, y, z), ϕ = ϕ (x, y, z), y una de las etiquetas de flujo, denominada flux surface label (ψ). El valor de ψ se deriva del flujo toroidal en el borde de una de las superficies cerradas, al fijar un ángulo polar en una vuelta toroidal. Esta etiqueta se expresa como ΨT = 1 2π ∫ ∫ S B · ∇ϕ dr′dθ ∇r′ · ∇θ ×∇ϕ = 2πψ (3.8) El campo magnético en sus formas covariante y contravariante en este sistema de coordenadas se expresan de la siguiente manera B (ψ, θ, ϕ) = Bψ (ψ, θ, ϕ)∇ψ + Bθ (ψ, θ, ϕ)∇θ + Bϕ (ψ, θ, ϕ)∇ϕ (3.9) B (ψ, θ, ϕ) = Bθ (ψ, θ, ϕ)∇θ + Bϕ (ψ, θ, ϕ)∇ϕ (3.10) 34 Coordenadas magnéticas Estas coordenadas se basan en el mismo concepto que se describió en la sección 3.4.1, pero permiten una generalización que es aplicable cuando no existen superficies de flujo magnético claramente definidas. Esto resulta particularmente útil cuando se trata de campos magnéticos que se componen de la suma de un campo magnético confinante y un campo magnético perturbado. Esta generalización se vuelve relevante en situaciones que involucran la formación de islas magnéticas. El campo magnético está dado por B = ∇ψ ×∇Θ − ι (ψ)∇ψT ×∇ϕ (3.11) Θ = θ + λ∗ (θ, ψ, ϕ) (3.12) Con λ∗ como una función periódica en θ y ϕ. Estas coordenadas definen la transforma- da rotacional como la pendiente las líneas de campo magnético [63] y escrito como ι = dΘ dϕ (3.13) 3.4.2 Soluciones al equilibrio MHD sin simetría axial Principio variacional Para abordar el equilibrio MHD en stellarators, se utiliza un método de solución basado en el cálculo variacional. Este método tiene como premisa que con el tiempo la energía total del plasma en un volumen determinado alcance un valor mínimo. En respuesta a la invariancia escalar de la energía total del plasma, se adoptan las coorde- nadas de flujo magnético (subsección 3.4.1). Para obtener una resolución numérica de la razón de cambio de la energía del plasma en el tiempo, es necesario incorporar una representación inversa de las coordenadas de flujo magnético [54]. La expresión de energía se deriva a partir de la ecuación (2.34) y es W = ∫ ( |B|2 2µ0 + p γ − 1 ) d3α∗ (3.14) p (ψ) = M (ψ)V′−γ (3.15) V (ψ) = ∫ ∫ dθdϕ|√g| (3.16) α∗ ≡ (ψ, θ, ϕ) (3.17) 35 Esta ecuación está definida en coordenadas cilíndricas. La ecuación (3.14) está acom- pañada de las ligaduras B · ∇ψ = 0 (3.18) ∇ · B = 0 (3.19) δp (ψ) = 0 (3.20) δι (ψ) = 0 (3.21) δψ = 0 en d3α∗ (3.22) Las ecuaciones de ligadura indican que el plasma únicamente realiza trabajo en su entorno, que las líneas del campo magnético son perpendiculares a las superficies de flujo, y que estas superficies de flujo son deformables para asegurar el cumplimiento de la ecuación (2.44). Al tomar la variación temporal de la ecuación (3.14) y convertirla a coordenadas toroidales, se obtiene que dW dt = ∫ [ − ( |B|2 2µ0 + p ) ∂ √ g ∂t + 1 µ0 √ g ( bRḃR + R2bϕḃϕ + bzḃz + Rb2 ϕṘ )] d3α (3.23) Donde x = (R (ψ, θ, ϕ) , θ (ψ, θ, ϕ) + λ∗∗, z (ψ, θ, ϕ)) (3.24) √ g = R det ( Gij ) (3.25) Gjk = ∂xk ∂α∗j (3.26) |B|2 = b2 R + R2b2 ϕ + b2 z(√ g )2 (3.27) bj = bθ ∂xj ∂θ + bϕ ∂xj ∂ϕ (3.28) ∂ √ g ∂t = Ṙ R √ g + √ g ( ∂ẋk ∂α∗j ∂α∗j ∂xk ) (3.29) Donde j, k = 1, 2, 3, la notación con punto es la derivada total respecto al tiempo y λ∗∗ es un parámetro angular encargado de mejorar la convergencia en la dirección po- loidal. La representación inversa permite que las coordenadas de flujo magnético sean independientes, por tanto las coordenadas cilíndricas dependen de ellas. Este proceso 36 resulta ventajoso, debido a que reduce el tiempo necesario para la resolución compu- tacional mediante un análisis espectral y facilita la implementación de las condiciones de frontera del equilibrio MHD mencionadas anteriormente (ver sección 2.3.2). Este mapeo inverso expresa a R y Z como R = R0 (ψ) + vR (ψ, θ, ϕ) Z = Z0 (ψ) + vZ (ψ, θ, ϕ)∫∫ dθdϕvR = ∫∫ dθdϕvZ = 0 Una vez aplicada la representación inversa, las coordenadas cilíndricas en términos del espectro de Fourier son xj = ∑ m,n Xmn j (ψ) ei(mθ−nϕ) (3.30) Con Xmn j como las amplitudes complejas de Fourier. La ecuación anterior permite re- escribir la ecuación (3.23) como dW dt = − ∫ F̄mn j ∂Xmn j ∂t dV (3.31) Fmn j = ( V′)−1 ∫ ∫ Fje−i(mθ−nϕ)dθ dϕ (3.32) V′ = ∂V ∂ψ (3.33) F̄mn = F−m,−n (3.34) Donde los coeficientes Fj se interpretan como las componentes MHD de fuerza. Densidad de corriente eléctrica En el marco de la densidad de corriente que atraviesa el plasma durante el equilibrio MHD, se definen las siguientes ecuaciones para sus componentes, tanto las paralelas como las perpendiculares al campo magnético B · ∇ ( J∥ B ) = −∇ · J⊥ (3.35) J⊥ = B ×∇p B2 (3.36) La ecuación (3.35) establece la condición p′ (ψ) ∂ ∂χ (∮ dl B ) = 0 (3.37) 37 Con χ = θ − ι (ψ) ϕ. Se plantea una solución periódica en términos de una serie de Fourier para la ecuación (3.35), lo que conduce a( J∥ B ) = ∑ m,n [ i (√ g∇ · J⊥ ) m,n ι (ψ)m − n + ∆m,n δ (ι (ψ)m − n) ] ei(mθ−nϕ) (3.38) La corriente calculada a partir del primer término en la ecuación (3.38) se conoce co- mo la corriente de Pfirsch-Schlüter. Esta corriente presenta una singularidad evitable si se cumplen ciertas condiciones, como una baja cizalla magnética (low magnetic shear), la selección adecuada de una superficie para el borde del plasma y una transformada rotacional cercana a un número irracional. Establecer estas condiciones también per- mite explorar perfiles de presión con gradientes distintos de cero, lo que representa escenarios más cercanos a la fusión termonuclear controlada. Esta corriente eléctrica origina el denominado Shafranov shift que consiste en un corrimiento horizontal hacia afuera del eje magnético y, por consiguiente, de las superficies de flujo magnético. Este fenómeno se atribuye al campo magnético vertical inducido ya que es una corriente de dipolo. Por lo anterior, se debe mantener esta corriente en un nivel reducido con respecto a la corriente que circula a través de las bobinas encargadas de confinar el plasma. El segundo término en la ecuación se interpreta como una hoja de corriente eléctrica que se encuentra en cada una de las superficies de flujo magnético. Esto se logra al definir una configuración del campo magnético que cumple con el teorema del flujo congelado [57, 63, 136]. Soluciones numéricas al equilibrio MHD: VMEC VMEC es un código computacional diseñado para resolver el problema del equili- brio magnetohidrodinámico en plasmas confinados en dispositivos toroidales con bo- binas externas de diversas geometrías. Este código utiliza el principio variacional de energía, expresado en la ecuación (3.14), y emplea un enfoque iterativo para encon- trar soluciones numéricas [82]. El método empleado para obtener estas soluciones es el denominado Steppest-Descent e indica que se alcanza un equilibrio magnetohidrodi- námico una vez que se llega a un mínimo de la energía total del plasma. Lo anterior 38 significa que la ecuación (3.31) debe ser cero y establece que ∂Xmn j ∂t = Fmn j (3.39) dW dt = − ∫ ∑ j,m,n |Fmn j |2 dV (3.40) Esta ecuación corresponde a un conjunto de ecuaciones diferenciales parabólicas. Sin embargo, este enfoque puede no ser tan eficiente al buscar la convergencia, por tanto, la ecuación (3.39) se transforma, a través de un esquema de Richardson de se- gundo orden, en una forma hiperbólica que se expresa como ∂2Xmn j ∂t2 + 1 τopt ∂Xmn j ∂t = Fmn j (3.41) 1 τopt ≈ − d dt ln ∫ ||F||2dV (3.42)∫ ||F||2dV = ∫ ∑ j,m,n ||Fmn j ||2dV (3.43) Los coeficientes espectrales de la ecuación (3.41) se calculan en una malla discreta que abarca diferentes puntos radiales. Para establecer las condiciones de frontera, se pueden utilizar los dos métodos mencionados previamente en la subsección 2.3.2. El primer método, conocido como fixed boundary, utiliza los valores de los coeficientes de Fourier para definir la frontera. También, este método garantiza que en la interfaz entre el plasma y el vacío, la presión total no presente discontinuidades y que la componente normal del campo magnético sea igual a cero. El segundo método, denominado free boundary introduce un campo magnético en la región de vacío con el fin de determinar el borde a partir de las coordenadas iniciales de la posición la última superficie de flujo magnético [54, 110]. 3.5 Parámetro beta en un stellarator El plasma en un stellarator tiene el valor máximo permitido para el parámetro beta. Dado que producen un desplazamiento del eje magnético con un orden de magnitud similar al radio menor del plasma, los gradientes de presión y el campo magnético pueden destruir las superficies de flujo magnético cerradas si este valor excede el beta máximo [33]. El valor estimado de beta máximo es βmax ≈ ι2 2A (3.44) 39 A pesar de lo expuesto, en el stellarator LHD no se han reportado disrupciones en el plasma cuando se sobrepasa βmax [114]. Los experimentos no han observado cambios significativos en el gradiente de presión, con una difusión de partículas cargadas en dirección perpendicular al campo magnético. Además, el pozo magnético se mantuvo durante el proceso de descarga del plasma. Los perfiles de temperatura electrónica y densidad electrónica presentaron su comportamiento típico en comparación a experi- mentos anteriores. Posteriormente, en el stellarator LHD se llevaron a cabo cálculos de equilibrio con el código MHD HINT, que no asume superficies anidadas. Los resul- tados de estos cálculos mostraron que los experimentos anteriores han trabajado por debajo del límite teórico de βmax. Además, el límite de beta máximo para el stellarator LHD fue directamente proporcional a la potencia entregada en el calentamiento [125]. 3.6 Temperatura electrónica y densidad electrónica má- xima para un stellarator La relación entre la densidad electrónica máxima y la temperatura electrónica de una descarga de plasma frío, donde la temperatura de las partículas es considerable- mente más baja que su energía de ioniza