Los grupos cla´sicos y su clasificacio´n
Joseph C. Va´rilly
Escuela de Matema´tica, Universidad de Costa Rica
10 de agosto del 2011
Los grupos de transformaciones, en la terminologı´a de Sophus Lie (1890), son grupos parame-
trizados por un juego finito de nu´meros reales [1]. En muchos casos, sus elementos son trans-
formaciones lineales de un espacio vectorial —es decir, forman grupos de matrices. Adema´s,
dichos elementos pueden dejar invariante una forma de volumen, o bien una forma bilineal sobre
el espacio vectorial. Estos grupos matriciales se llaman grupos cla´sicos.
Un ejemplo sencillo es el grupo SO(2) de rotaciones del plano R2. Se requiere un so´lo
para´metro, el a´ngulo θ de la rotacio´n. Como transformacio´n lineal de R2, la rotacio´n g(θ) es
una matriz real 2×2:
g(θ) =
 cosθ senθ
−senθ cosθ
 .
El grupo SO(3) de rotaciones de R3 requiere tres para´metros angulares. Estos podrı´an ser, por
ejemplo, las coordenadas esfe´ricos (θ ,φ) del eje de la rotacio´n, junto con el angu´lo ψ de giro en
torno a este eje. Los elementos de SO(3) son matrices reales 3×3.
Estas parametrizaciones dan lugar a una definicio´n ma´s abstracta de un grupo de Lie: es un
grupo que es a su vez una variedad diferencial, en donde las operaciones de grupo (g,h) 7→ gh y
g 7→ g−1 son funciones diferenciales (y adema´s, analı´ticas). En un grupo de Lie G, un vecindario
suficientemente pequen˜o de la identidad 1 es difeomorfo a Rn, donde n es la dimensio´n (real) de la
variedad. El espacio tangente en 1 es un espacio vectorial real g, dotado de una operacio´n bilineal
antisime´trica, el corchete de Lie, la cual es trivial si el grupo es abeliano: esta g es el a´lgebra de
Lie del grupo.
La estructura de un grupo de Lie entonces depende de dos aspectos:
estructura local: las propiedades algebraicas del a´lgebra de Lie; y
estructura global: aspectos topolo´gicos de la variedad del grupo.
1
Por ejemplo, SO(2) tiene a´lgebra de Lie so(2), con elementos
X = θJ =
 0 θ
−θ 0
 para θ ∈ R,
y corchete trivial: [X ,Y ] ≡ XY −Y X = 0. Topologı´camente, SO(2) es conexo y compacto: de
hecho, es homeomorfo al cı´rculo S1 = {(x,y) ∈R2 : x2+y2 = 1} mediante g(θ)↔ (cosθ ,senθ).
Hay una aplicacio´n exponencial exp: g→ G, dado por la serie de Taylor de ex para grupos
matriciales. En el caso de SO(2), fı´jese que
g(θ) = exp(θJ) = 1+θJ+O(θ 2).
Un a´lgebra de Lie g no abeliano1 es simple si no posee un ideal propio (un subespacio h tal
que [X ,Y ] ∈ h todo vez que Y ∈ h, X ∈ g). Dı´cese que g es semisimple si es una suma directa de
ideales simples. (Las mismas palabras se aplican, de modo levemente incorrecto, a los grupos de
Lie correspondientes.)
Adema´s de R como cuerpo de base, se puede considerar el cuerpo complejo C y el “cuerpo no
conmutativo” H de los cuaterniones:
H= { t0+ t1 i+ t2 j+ t3 k : t0, t1, t2, t3 ∈ R}= {z0+ z1 j : z0,z1 ∈ C},
donde i2 = j2 = k2 = −1; i j = k = − ji. Como espacios vectoriales reales, C ' R2 y H ' R4.
(Tambie´n hay un a´lgebra de divisio´n O ' R8, no asociativa — los octoniones [2] — que no es
relevante para los grupos cla´sicos.)
1 Grupos complejos de matrices y sus formas reales
En lo sucesivo, F puede ser R, C o H.
El grupo general lineal GLn(F) ≡ GL(n,F) consta de todas las matrices invertibles n× n
sobre F. Si A ∈ Mn(F) es una matriz n× n cualquiera, se sabe que A ∈ GLn(F) si y so´lo si
detA 6= 0.
Su a´lgebra del Lie gln(F) es el espacio vectorial Mn(F) con el corchete [X ,Y ] := XY −Y X .
Tiene un ideal abeliano: los mu´ltiplos de la matriz identidad 1n; luego gln(F) no es simple, sino
que gln(F) = F1n⊕ sln(F), donde
sln(F) := {X ∈Mn(F) : trX = 0}.
Esta es un a´lgebra de Lie simple. Le corresponde el grupo especial lineal,
SLn(F)≡ SL(n,F) := {A ∈Mn(F) : detA = 1}.
La fo´rmula det(expX) = etrX muestra que sln(F) es el a´lgebra de Lie de SLn(F).
1Un a´lgebra de Lie es abeliano si su corchete es trivial: [X ,Y ] = 0 para todo x,y ∈ g.
2
El grupo SL(1,F) = {1} es trivial; y el a´lgebra de Lie sl(1,F) = {0} es tambie´n trivial. En el
caso complejo, la primera serie de Cartan consta de las a´lgebras de Lie complejas simples
An : g= sl(n+1,C), para n = 1,2,3, . . .
El a´lgebra de Lie sl(n+1,R) es una forma real de sl(n+1,C).
En cuanto a los grupos, hay un grupo complejo simple SL(n,C) cuya a´lgebra de Lie es An−1.
El grupo SL(n,R) es una forma real de este grupo complejo.
Hay una conjugacio´n compleja τ de matrices, τ(A) := A, que deja invariante la forma real
SL(n,R). Otra posibilidad es τ(A) := (A−1)∗. En este caso, la forma real consta de matrices
unitarias con detA = 1. Este grupo es el grupo especial unitario,
SU(n) := {A ∈ SL(n,C) : A∗ = A−1 }.
Este grupo de Lie es compacto.
Hay una tercera posibilidad en algunas dimensiones. Si J ∈ M2n(C) ↔ j 1n1 ∈ Mn+1(H),
las matrices invariantes bajo la conjugacio´n τ(A) := J AJ−1 forman un grupo de Lie llamado
SU∗(2n)' SL(n,H). Esta forma real de SL(2n,C) no es compacto.
Entonces el panorama es el siguiente. Para cada a´lgebra de Lie complejo simple, hay un grupo
de Lie complejo simple, el cual posee varios formas reales. Uno de e´stos es un grupo compacto
simple, pero hay una o ma´s formas reales no compactas.
2 Formas bilineales sime´tricas y grupos ortogonales
Si d : Fn×Fn → F es una forma bilineal sime´trica, las matrices A ∈ GL(n,F) que preservan d
forman un grupo:
{A ∈ GL(n,F) : d(Au,Av) = d(u,v) para u,v ∈ Fn }.
Para la forma bilineal esta´ndar,
d(u,v) = u1v1+u2v2+ · · ·+unvn,
el grupo se denota por O(n,F) = {A ∈ GL(n,F) : AtA = 1n }. En el caso real F = R, se escribe
O(n) = O(n,R). El grupo O(n) es compacto, ya que ∑ni, j=1 a2i j = tr(AtA) = n, de modo que O(n)
es homeomorfo a una parte acotada y cerrada de Rn2 .
La relacio´n (detA)2 = det(AtA) = 1 implica que detA =±1 para A ∈O(n). El grupo especial
ortogonal es el subgrupo
SO(n) := O(n)∩SL(n,R) = {A ∈ O(n) : detA = 1}.
Este es un grupo semisimple para n≥ 3. Su a´lgebra de Lie es
so(n) := {X ∈Mn(R) : X t =−X , trX = 0}.
Fı´jese que (expX)t = expX t = exp(−X) = (expX)−1 y det(expX) = etrX = e0 = 1, de manera que
expX ∈ SO(n) cuando X ∈ so(n).
3
Si F = C, todo forma bilineal sime´trica no degenerada2 tiene la forma esta´ndar con respecto
a una base conveniente de Cn. Para F = R, para n = p+ q hay que considerar la forma bilineal
sime´trica
dp,q(u,v) := u1v1+ · · ·+upvp−up+1vp+1−·· ·−up+qvp+q.
El grupo de simetrı´a de esta forma dp,q se denota O(p,q), donde O(n,0) = O(0,n) = O(n). Si
1≤ p≤ n−1, hay un grupo ortogonal indefinido dado por
O(p,q) = {A ∈ GL(n,R) : AtIp,qA = Ip,q }, donde Ip,q =
1p 0
0 −1q
 .
Se ve que O(p,q)' O(q, p) mediante un cambio de base.
La relacio´n AtIp,qA = Ip,q tambie´n implica que detA = ±1. Entonces hay que considerar el
subgrupo
SO(p,q) := O(p,q)∩SL(p+q,R).
Este grupo no es compacto si 1≤ p≤ n−1. Tampoco es conexo; de hecho, tiene dos componentes
conexas. La componente neutra (la que contiene el elemento unidad 1) se denota por SO0(p,q).
El grupo L = O(3,1) es el grupo de Lorentz, el grupo de simetrı´a lineal del espacio de
Minkowski M4 = (R4,d3,1). Tiene cuatro componentes conexas; su componente neutra se denota
por L↑+ = SO0(3,1).
3 Formas hermı´ticas y grupos unitarios
Para el caso F= C, se puede considerar la forma hermı´tica
δ (w,z) = w¯1z1+ w¯2z2+ · · ·+ w¯nzn,
cuyo grupo de simetrı´a es el grupo unitario
U(n) := {A ∈ GL(n,C) : A∗A = 1n }
donde A∗ = (A)t es el conjugado hermı´tico de A. Este grupo es compacto, en vista de la relacio´n
∑ni, j=1 |ai j|2 = tr(A∗A) = n.
La relacio´n |detA|2 = det(A∗A) = 1 implica que |detA|= 1 para A ∈ U(n). El grupo especial
unitario es el subgrupo
SU(n) := U(n)∩SL(n,C) = {A ∈ U(n) : detA = 1}.
Este es un grupo semisimple para n≥ 2. Su a´lgebra de Lie es
su(n) := {X ∈Mn(C) : X∗ =−X , trX = 0}.
2La forma d es no degenerada si d(u,v) = 0 para todo v implica que u = 0.
4
Ana´logamente al caso real, hay grupos unitarios indefinidos
U(p,q) = {A ∈ GL(n,C) : A∗Ip,qA = Ip,q }; SU(p,q) := U(p,q)∩SL(p+q,C);
para 1≤ p≤ n−1, p+q = n.
4 Formas bilineales alternadas y grupos simple´cticos
Si s : Fm×Fm → F es una forma bilineal alternada (esto es, antisime´trica), posee un grupo de
simetrı´a
{A ∈ GL(m,F) : s(Au,Av) = s(u,v) para u,v ∈ Fn }.
Una forma bilineal alternada sobre Rm o Cm es no degenerada so´lo si m= 2n es par; en cuyo caso,
se puede elegir una base tal que
s(u,v) = u1vn+1−un+1v1+ · · ·+unv2n−u2nvn.
El grupo simple´ctico, para F= R o C, se define como
Sp(n,F) = {A ∈ GL(2n,F) : AtJnA = Jn }, donde Jn =
 0 1n
−1n 0
 .
Resulta que estos grupos son conexos [3], ası´ que la condicio´n detA =+1 es automa´tica.
Los grupos Sp(n,R) y Sp(n,C) no son compactos, pero hay un grupo simple´ctico unitario
Sp(n)≡ SpU(n) := Sp(n,C)∩U(2n),
el cual sı´ es compacto, por ser subgrupo cerrado de U(2n).
Otra manera de definir el grupo compacto Sp(n) es considerrlo como el grupo de simetra de la
forma hermı´tica δ sobre Hn, donde el conjugado de un cuaternio´n se define por
w = t0+ t1 i+ t2 j+ t3 k =⇒ w¯ = t0− t1 i− t2 j− t3 k.
Al identificar Hn con C2n y Mn(H) con una suba´lgebra (real) de M2n(C), se puede comprobar que
Sp(n) = {A ∈ GL(n,H) : A∗A = 1n }.
Las mismas identificaciones son concordantes con la notacio´n SU∗(2n)' SL(n,H).
Para 1≤ p≤ n−1, p+q = n, tambie´n hay un grupo
Sp(p,q) = {A ∈ GL(p+q,H) : A∗Ip,qA = Ip,q }.
En el caso F=H, hay una forma antihermı´tica σ : Hn×Hn→H, dada por
σ(w,z) = w¯1 jz1+ w¯2 jz2+ · · ·+ w¯n jzn.
Su grupo de simetrı´a se puede identificar [4] con
SO∗(2n) := {A ∈ SO(2n,C) : A =−JnAJn }.
Esto completa el cata´logo de los grupos cla´sicos.
5
5 Los grupos de espı´n
Dado cualquier grupo cla´sico G de la lista anterior, el a´lgebra de Lie g asociada con G queda
determinada: como espacio vectorial, es su espacio tangente en 1; y su corchete esta´ dada por la
fo´rmula matricial [X ,Y ] = XY −Y X en todos los casos.
En la direccio´n contraria, para un a´lgebra de Lie matricial g dada, se puede ensayar la cons-
truccio´n de un grupo al tomar todas las matrices expX , para X ∈ g. En general, la aplicacio´n
exp: g→ G es un difeomorfismo de un vecindario de 0 ∈ g en un vecindario de 1 ∈ G; pero en
general exp no es inyectivo ni sobreyectivo. Adema´s, la misma a´lgebra de Lie puede servir para
varios grupos: por ejemplo, O(n) y SO(n) tienen a´lgebra de Lie so(n). Sin embargo, hay un
teorema de Lie y Cartan que garantiza la existencia y unicidad de un grupo de Lie G, que es
simplemente conexo, cuya a´lgebra de Lie coincide con g.
En general, un grupo de Lie conexo G posee un grupo de Lie recubridor Ĝ, que es simplemente
conexo, con un homomorfismo pi : Ĝ→G cuyo nu´cleo es un grupo discreto. El grupo fundamental
pi1(G) es isomorfo a este nu´cleo.3
Por ejemplo, se sabe que hay un homeomorfismo SO(3)≈ RP3 y en consecuencia
pi1(SO(3))' pi1(RP3)' Z2.
Entonces hay un grupo recubridor simplemente conexo G y un homomorfismo pi : G→ SO(3) con
kerpi ' Z2. Concretamente, se puede tomar G = SU(2). Al usar las matrices de Pauli:
σ1 =
0 1
1 0
 , σ2 =
0 −i
i 0
 , σ3 =
1 0
0 −1
 .
Como A = t0 12+ i(t1σ1+ t2σ2+ t3σ3) ∈ SU(2) si y so´lo si detA = t20 + t21 + t22 + t23 = 1, se obtiene
SU(2) ≈ S3. La receta T 7→ ATA−1, para T ∈ R- lin〈σ1,σ2,σ3〉 ' R3 define una rotacio´n de R3,
pi(A) = A(·)A−1 ∈ SO(3), con kerpi = {12,−12} ' Z2. Se escribe
Z2→ SU(2)→ SO(3)
para denotar esta situacio´n: el grupo SU(2) es un recubridor doble de SO(3).
Para cada n ≥ 3, hay un grupo simplemente conexo que recubre SO(n) dos veces, llamado
grupo de espı´n:
Z2→ Spin(n)→ SO(n),
que generalmente no cuenta como grupo cla´sico, salvo el caso n = 3 donde Spin(3)' SU(2). [Es
posible dar una definicio´n matricial de Spin(n), como grupo de elementos unitarios de un a´lgebra
de Clifford: pero esta es otra historia.]
3Hay que recordar que un grupo conexo G es simplemente conexo si y so´lo si pi1(G) es trivial.
6
6 La clasificacio´n de Cartan
Para clasificar todos los grupos listados anteriormente, se procede ası´:
1. clasificar las a´lgebras de Lie complejas simples;
2. identificar uno o ma´s grupos de Lie complejos asociados con cada a´lgebra de Lie;
3. identificar formas reales, compactos y no compactos, de cada uno de estos grupos complejos.
La primera parte de este programa fue efectuado en la tesis de E´lie Cartan [5], quien descubrio´
cuatro series infinitas de a´lgebras de Lie complejas simples y tambı´en cinco a´lgebras de Lie ex-
cepcionales. Las series cla´sicas aparecen en la siguiente tabla.
Series dim Algebra de Lie Grupo Complejo Grupo Compacto
An n(n+2) sl(n+1,C) SL(n+1,C) SU(n+1)
Bn n(2n+1) so(2n+1,C) SO(2n+1,C) SO(2n+1)
Cn n(2n+1) sp(n,C) Sp(n,C) Sp(n)
Dn n(2n−1) so(2n,C) SO(2n,C) SO(2n)
Las dimensiones listados son complejas para las columnas tercera y cuarta, pero son dimen-
siones reales para la quinta columna (formas reales compactos). Al subı´ndice n se le llama el
rango del a´lgebra de Lie, o bien del grupo.
Los a´lgebras de Lie excepcionales se llaman e6, e7, e8, f4 y g2. Los correspondientes grupos de
Lie compactos simples son E6, E7, E8, F4 y G2. Es posible dar una construccio´n “cla´sica” de cada
uno de estos grupos, con el uso del a´lgebra O de los octoniones [2].
El la tabla, hay que excluir D1 —el grupo SO(2) y el a´lgebra de Lie so(2,C) son abelianos—
porque no corresponde con un caso simple. El caso D2 tampoco es simple; pero sı´ es semisimple,
y se permite incluir D2 con esta advertencia.
La coincidencia de dimensiones dimBn = dimCn = n(2n+1) advierte una posible coincidencia
entre ellos; pero resulta que Bn 6= Cn para n ≥ 3. Resulta que las u´nicas coincidencias entre las
entradas de la tabla ocurren para rangos bajos. Concretamente, hay cuatro identidades de Cartan:
Identidades de Cartan Isomorfismos de grupos compactos
A1 = B1 =C1 SU(2)' Spin(3)' Sp(1)
B2 =C2 Spin(5)' Sp(2)
A3 = D3 Spin(6)' SU(4)
D2 = B1+B1 Spin(4)' Spin(3)×Spin(3)
7
7 Los diagramas de Dynkin
Una manera esquema´tica de entender la falta de isomorfismos entre las a´lgebras de Lie cla´sicas,
aparte de los cuatro casos notados por Cartan, es el empleo de los llamados diagramas de Dynkin.
Cada a´lgebra de Lie complejo simple de rango n, como An = sl(n+ 1,C) por ejemplo, incluye n
copias de A1 = sl(2,C). Hay un algoritmo que asocia a la serie una base4 del espacio vectorial Rn,
de manera que el a´ngulo ϕ entre dos vectores es recto u obtuso y cumple 4cos2ϕ ∈ {0,1,2,3}.
El cuadrado de la longitud de cada vector ba´sico debe ser 1, 2 o´ 3. Se arma un diagrama con las
siguientes propiedades:
(a) cada vector ba´sico corresponde con un ve´rtice del diagrama;
(b) si entre dos vectores ba´sicos hay un a´ngulo ϕ , se traza 4cos2ϕ aristas entre sus ve´rtices;
(c) cuando 4cos2ϕ = 2 o´ 3, los vectores tienen longitudes distintas; estas aristas deben ser
decorados con una flecha desde el ma´s largo al ma´s corto.
En rango dos, por ejemplo, hay cinco posibilidades:
A2 B2 C2 D2 G2
Los a´ngulos entre los dos vectores ba´sicos son, respectivamente, ϕ = 2pi/3, 3pi/4, 3pi/4, pi/2
y 5pi/6.
Los diagramas de las series “cla´sicas” son:
An : · · ·
Bn : · · ·
Cn : · · ·
Dn : · · ·
El teorema de clasificacio´n ahora dice que dos a´lgebras de Lie complejos son isomorfos si y
so´lo si sus diagramas de Dynkin son grafos de la misma especie. El cuadro anterior hace patente
que no hay tales isomorfismos, salvo en los casos ya mencionados de las cuatro identidades de
Cartan.
4Los elementos de una tal base se llaman raı´ces simples, en la terminologı´a de la teorı´a de a´lgebras de Lie.
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References
[1] M. S. Lie, Theorie der Transformationsgruppen, Teubner, Leipzig, 1890.
[2] J. C. Baez, “The octonions”, Bull. Amer. Math. Soc. 39, 145–205 (2002).
[3] S. Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, Academic Press, New
York, 1978.
[4] R. Goodman and N. R. Wallach, Symmetry, Representations, and Invariants, Graduate Texts
in Mathematics 255, Springer, New York, 2009.
[5] E. Cartan, “Sur la structure des groupes de transformations finis et continus”, the`se de doctorat,
Paris, 1894.
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