UNIVERSIDAD DE COSTA RICA

SISTEMA DE ESTUDIOS DE POSGRADO

COMPARACIÓN DE LA PROBABILIDAD DE NO EXCEDENCIA DEL

CAUDAL PICO Y VOLUMEN DE CRECIENTES OBTENIDA

MEDIANTE UN ANÁLISIS DE FRECUENCIA BIDIMENSIONAL CON

LA METODOLOGÍA DE CÓPULAS Y UN ANÁLISIS DE

FRECUENCIA UNIDIMENSIONAL

Tesis sometida a la consideración de la Comisión del Programa de

Estudios de Posgrado Ingeniería Civil para optar al grado y título de

Maestría Académica en Ingeniería Hidráulica

DAVID JIMÉNEZ GONZÁLEZ

Ciudad Universitaria Rodrigo Facio, Costa Rica

2022



Agradecimientos

A mi familia de sangre y de la vida, gracias por existir, sin ustedes sería nada.

ii



Esta Tesis fue aceptada por la Comisión del Programa de Estudios de Postgrado en
Ingeniería Civil de la Universidad de Costa Rica, como requisito parcial para optar al

grado y título de Maestría Académica en Ingeniería Hidráulica

————————————————————–
PhD. Rafael Murillo Muñoz

Representante de la Decana del Sistema de Estudios de Postgrado

————————————————————–
PhD. Alberto Serrano Pacheco

Profesor Guía

————————————————————–
MSc. Juan José Leitón Montero

Lector

————————————————————–
PhD. Luis Alberto Barboza Chinchilla

Lector

————————————————————–
PhD. Hugo Hidalgo León

Representante del Director Programa de Postgrado en Ingeniería Civil

————————————————————–
David Jiménez González

Sustentante

iii



Índice general

Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Hoja de Aprobación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Índice General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Índice de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

Índice de Cuadros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

Citas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii

1. Introducción 1

1.1. Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.2. Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4. Alcances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5. Limitaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Marco teórico 7

2.1. Análisis de frecuencia de eventos extremos en hidrología . . . . . . . 7

2.1.1. Estimación de los parámetros de la distribución . . . . . . . . . 10

2.2. Probabilidad conjunta y cópulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Dependencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

iv



2.3.1. Cópula empírica y pseudo-observaciones . . . . . . . . . . . . 14

2.3.2. Dependencia en colas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4. Familias de cópulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5. Pruebas de características de la cópula . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.1. Independencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.2. Intercambiabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.3. Simetría Radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.4. Valor extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6. Pruebas de bondad de ajuste y calidad de modelo . . . . . . . . . . . 19

2.7. Medida de calidad de modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.8. Período de retorno en el caso de análisis multivariado . . . . . . . . . 20

2.9. Medición de caudal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.10.Separación de flujo base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.11.Definición de volumen y caudal pico de una creciente . . . . . . . . . 25

2.12.Análisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. Metodología 27

3.1. Herramientas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. Desarrollo 30

4.1. Revisión general de la información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2. Obtención de eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.1. Método de refinamiento de separación de eventos . . . . . . . 36

4.3. Análisis univariado de series de valores máximos . . . . . . . . . . . . 38

4.4. Análisis multivariado de series de valores máximos . . . . . . . . . . . 42

4.4.1. Análisis exploratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.4.2. Estimación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4.3. Comprobación visual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

v



4.4.4. Estimación de probabilidad de excedencia y comparación con
análisis univariado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.5. Análisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.6. Discusión general de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5. Cierre 71

5.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6. Referencias bibliográficas 74

A. Crecientes máximas empleadas en los análisis 83

vi



Resumen

[ES] Las crecientes pueden estar caracterizadas por más de una variable, e.g. caudal
pico, volumen, duración, etc. En este estudio se emplea la metodología de cópulas
para calcular probabilidades de no excedencia y definir la estructura de dependencia
entre el caudal pico y el volumen de eventos extremos en tres estaciones de medición
de caudal ubicadas en la cuenca del río General. Se muestra cómo la dependencia
entre dichas características de creciente pueden variar según los parámetros que se
empleen en el método de segmentación de eventos. Además, se indica la diferencia
que puede existir entre la estimación de la probabilidad de excedencia en una variable
y en múltiples variables de probabilidad de excedencia.

[EN] Floods can be characterized by more than one variable, e.g., peak discharge,
volume, duration, etc. In this study copula models are used to estimate the non-
exceedance probabilities and the dependence structure associated with the peak
discharge and volume of extreme events in three discharge gauging stations in the
General River. It is shown how the dependence can vary depending on the para-
meters used in the event segmentation procedure. Furthermore, it is demonstrated
that significant differences in the exceedance probability can be observed between
univariate and multivariate methodologies estimations.

vii



Índice de figuras

1.1. Estaciones propuestas para ser analizadas. . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1. Distribuciones de probabilidad (a) y densidades (b) de las familias Fré-
chet (punteada), Gumbel (continua) y Weibull (guiones) pertenecientes
a la GEV. McNeil , et al (2005). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Representación de la cópulas W (u, v) ,
∏

(u, v) = uv y M(u, v). Fuen-
te:McNeil , et al (2005) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3. Separación de flujo mediante métodos gráficos. Fuente:Chow , et al
(1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1. Registro completo para estaciones 3103, 3104 y 3105 . . . . . . . . . 31

4.2. Porcentaje de vacíos por mes en estaciones 3103, 3104 y 3105 . . . 31

4.3. Muestra del registro para verificación visual del modelo para separación
de flujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4. Resultado de separación para distintos parámetros α. . . . . . . . . . 34

4.5. Resultado de separación para distintos parámetros α en evento de
mayor magnitud del 2021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.6. Separación de tormentas para parámetros ue = 0.15, ub = 0.15 y w = 72. 38

4.7. Series de valores máximos anuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.8. Distribución GEV ajustada a máximos anuales . . . . . . . . . . . . . 41

4.9. Distribución de máximos anuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.10.Relación de pares (Q, V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.11.Relación de pares (Q, V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

viii



4.12.Comparación entre valores de θ̂MPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.13.Comparación directa entre cópula estimada y empírica. . . . . . . . . 54

4.14.Comparación de los contornos entre cópula empírica y la modelada. . 56

4.15.Comparación de la función de Pickand de la cópula empírica y la
modelada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.16.Comparación de 1− UV y 1− UQ con P∨Q,V . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.17.Comparación de 1− UV y 1− UQ con P∧Q,V . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.18.Comparación de 1/(1− UV ) y 1/(1− UQ) con 1/P∨Q,V . . . . . . . . . . 61

4.19.Comparación de 1/(1− UV ) y 1/(1− UQ) con 1/P∧Q,V . . . . . . . . . . 62

4.20.Impacto en series de máximos asociado a variación en parámetros de
separación de flujo y segmentación se crecientes . . . . . . . . . . . . 65

4.21.Impacto en series de máximos asociado a variación en parámetros de
separación de flujo y segmentación se crecientes empleando modelos
lineales. Flujo Base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.22.Impacto en estructura de dependencia de la variación en parámetros
de separación de flujo y segmentación se crecientes . . . . . . . . . . 67

4.23.Impacto en estructura de dependencia de la variación en paráme-
tros de separación de flujo y segmentación se crecientes empleando
modelos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

A.1. Crecientes estación 3103 {Vb,máx{Qb}}. . . . . . . . . . . . . . . . . 84

A.2. Crecientes estación 3103 {Ve,máx{Qe}}. . . . . . . . . . . . . . . . . 85

A.3. Crecientes estación 3103 {máx{Vb}, Qb}. . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A.4. Crecientes estación 3103 {máx{Ve}, Qe}. . . . . . . . . . . . . . . . . 87

A.5. Crecientes estación 3104 {Vb,máx{Qb}}. . . . . . . . . . . . . . . . . 88

A.6. Crecientes estación 3104 {Ve,máx{Qe}}. . . . . . . . . . . . . . . . . 89

A.7. Crecientes estación 3104 {máx{Vb}, Qb}. . . . . . . . . . . . . . . . . 90

A.8. Crecientes estación 3104 {máx{Ve}, Qe}. . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A.9. Crecientes estación 3105 {Vb,máx{Qb}}. . . . . . . . . . . . . . . . . 92

A.10.Crecientes estación 3105 {Ve,máx{Qe}}. . . . . . . . . . . . . . . . . 93

ix



A.11.Crecientes estación 3105 {máx{Vb}, Qb}. . . . . . . . . . . . . . . . . 94

A.12.Crecientes estación 3105 {máx{Ve}, Qe}. . . . . . . . . . . . . . . . . 95

x



Índice de cuadros

3.1. Paquetes de R a ser empleados en el análisis. . . . . . . . . . . . . . 29

4.1. Medidas de dependencia para cada serie y estación . . . . . . . . . . 46

4.2. Pruebas estadísticas para cada cópula. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3. Pruebas de bondad de ajuste para familias principales de cópulas. . . 49

4.4. Prueba de calidad de modelo nx̂vn para familias principales de cópulas. 51

4.5. Estimación de cópula Gumbel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

xi



“Knowing what we don’t know is better than thinking we

know what we don’t.”

— Philip Tetlock, Superforecasting: The Art and Science of Prediction

xii



 

 

 

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Estudios de Posgrado en el Repositorio Institucional de la Universidad de Costa Rica. 

Yo, _______________________________________, con cédula de identidad _____________________, en mi 

condición de autor del TFG titulado ___________________________________________________ 

_____________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________

Autorizo a la Universidad de Costa Rica para digitalizar y hacer divulgación pública de forma gratuita de dicho TFG  

a través del Repositorio Institucional u otro medio electrónico, para ser puesto a disposición del público según lo que 

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Este Trabajo Final  de Graduación será publicado en formato PDF, o en el formato que en el momento se establezca, 

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Publicación, sino que también realice diligentemente la gestión de subir el documento correcto en la plataforma digital Kerwá.



Capítulo 1 Sección 1.1 Página 1

Capítulo 1

Introducción

1.1. Justificación

En el estado de la práctica de la ingeniería civil es común el uso de eventos hidro-
meteorológicos extremos como insumo para el análisis hidráulico en el diseño de
obras de paso, dimensionamiento de sistemas de drenaje, definición de zonas de
inundación, prevención de desastres naturales y otros. Como se indica en Mays
(1999) y Chow , et al (1988), se requiere para la gran mayoría de aplicaciones que
los eventos empleados en el modelado hidráulico estén asociados a una probabilidad
de no excedencia que permita explícita o tácitamente tomar en consideración la
naturaleza estocástica de dichos fenómenos. Por ejemplo, en Costa Rica parte de
la normativa empleada para el diseño de obras hidráulicas establece el período de
retorno como un parámetro base (AyA (2017), MOPT (s.f.), Municipalidad de Heredia
(2015)).

Para obtener este período de retorno o ,más precisamente, la probabilidad de no exce-
dencia, habitualmente se emplea inferencia estadística para obtener los parámetros
de alguna distribución de probabilidad que caracterice alguna dimensión relevante
de las crecientes, por ejemplo el caudal pico o (infrecuentemente) el volumen.

En el análisis de eventos extremos aplicado al diseño hidráulico, rara vez se evalúa
la relación que existe entre las diferentes dimensiones que caracterizan el fenómeno
como el caudal pico, el volumen y la duración. Para la mayoría de obras hidráulicas,
la variable más significativa en el análisis es el caudal pico, ya que el concepto
de riesgo en estas se fundamenta en el balance entre la capacidad hidráulica de
la obra y el caudal que deben transitar. La ubicuidad del uso de estos métodos



Capítulo 1 Sección 1.1 Página 2

puede estar asociada a la facilidad de emplear técnicas de estimación hidrológica
que solamente proporcionan el caudal pico, y también a que para la mayoría de los
análisis hidráulicos se emplean métodos qué sólo requieren o emplean el caudal pico
y no todo el hidrograma para determinar las dimensiones de la obra.

Actualmente, hay evidencia de que esta tendencia está cambiando. Un ejemplo
de ello es el uso, cada vez más común, de métodos de análisis hidráulico en dos
dimensiones. Estos métodos pueden considerar apropiadamente los efectos de alma-
cenamiento en el cauce en zonas donde el flujo no sigue patrones unidimensionales,
tales como en las llanuras de inundación seguidas de contracciones o expansio-
nes. En este escenario, la utilización solamente de caudales pico podría generar
resultados alejados de la realidad, pues no tomarían en consideración la capaci-
dad de amortiguamiento que tiene el sistema fluvial. Se hace necesario entonces
la incorporación del volumen y la duración como variables importantes dentro del
análisis.

El uso del volumen es de particular interés en el caso de las presas, ya que, en
algunas el tamaño del embalse relativo a la cuenca es suficientemente grande
como para amortiguar parte de la creciente y con ello el caudal necesario para
ser manejado por las estructuras hidráulicas disminuye. En estos casos es común
tomar una de las variables de interés (usualmente caudal) para realizar el análisis
de frecuencias y escoger el hidrograma que generó dicho valor extremo, o uno
similar, para obtener las restantes variables. Como se indica en Brunner , et al
(2016) el problema con esta práctica es que no necesariamente se está asignando
una probabilidad de excedencia correspondiente a todo el fenómeno; por ejemplo,
se podría estar estimando adecuadamente qué tan inusual o común es el caudal
escogido, pero no necesariamente qué tan inusual o común es el hidrograma en
términos de las demás variables como el volumen o la duración.

En los últimos 20 años, para suplir la necesidad de tomar en consideración la
multidimensionalidad de los fenómenos extremos, como se explica en la sección 1.2,
se ha adoptado en diversos ámbitos de la hidrología el uso de la teoría de cópulas
. Las cópulas permiten obtener la probabilidad conjunta de las variables de interés
de los fenómenos extremos y caracterizar la dependencia que existe entre ellas. Por
ejemplo, dicha estructura permite determinar qué tan inusuales son las crecientes
tomando en consideración tanto el caudal pico como el volumen; y no solamente uno
de ellos.



Capítulo 1 Sección 1.2 Página 3

A pesar de la importancia de este tipo de análisis multidimensional de crecientes y de
la existencia de una metodología específica para su exploración, no se encontraron
referencias de trabajos de investigación realizados en Costa Rica enfocados en su
estudio. Tampoco se encontraron referencias a estudios empleando cópulas para la
caracterización de otros eventos hidrometeorológicos extremos.

Se propone comenzar la exploración del tema mediante la obtención de relaciones
de dependencia que existen entre el caudal pico y volumen en crecientes en el país
y obtener su probabilidad de no excedencia conjunta. Para ello se propone el estudio
de tres subcuencas del río General en las que se cuenta con estaciones hidrológicas.

1.2. Antecedentes

Según indica Nelsen (2006), la aparición en literatura científica del concepto de cópula
para describir el análisis de frecuencias empleando las distribuciones marginales de
un fenómeno multidimensional es relativamente reciente. A pesar de ello, ha recibido
mucha atención en los últimos 20 años debido a su utilidad en diversos ámbitos de
aplicación que van desde las finanzas hasta la hidrología.

Dos de las primeras apariciones en el campo de la hidrología de la estructura de
cópulas para analizar la dependencia entre las características de eventos extremos
son Favre , et al (2004) y Salvadori y De Michele (2004). Poco después les siguie-
ron artículos explorando la aplicación en casos específicos de ingeniería como la
estimación de la avenida de diseño o de revisión como el caso de De Michele , et al
(2005).

Desde entonces, el uso de cópulas se ha extendido a la mayoría de los dominios
de la hidrometeorología con particular énfasis en los análisis de eventos extremos.
Algunos de los usos más frecuentes de la metodología, como describe Chen y Guo
(2018), se da en el análisis de relaciones espaciales y temporales de fenómenos
como escorrentía, precipitación y sequías.

Algunos de los múltiples ejemplos del uso del uso de cópulas para análisis bivariados
incluyen: Wen , et al (2022) quienes emplearon cópulas de Gumbel-Hougaard para
predecir la correlación hidrológica entre lluvia y caudal, Stamatatou , et al (2018) quien
realizó un análisis de frecuencia de crecientes en Chipre empleando volúmenes y
caudales como variables de interés; Requena (2015) detalla el procedimiento a seguir
para el análisis de crecientes univariado local, multivariado local, univariado regional y



Capítulo 1 Sección 1.3 Página 4

multivariado regional; por su parte Ávila y Mono (2018) realizó un análisis de cópulas
para la estimación de riesgo hidrológico . Previamente, en el ámbito latinoamericano,
Zegpi (2008) realizó un análisis de cópulas bivariadas para el análisis de sistemas de
drenaje urbanos en Chile.

Como se indicó en la sección 1.1, no se encontraron ejemplos de aplicación en Costa
Rica de cópulas para estimación de la probabilidad de crecientes empleando volúme-
nes y caudales. Incluso, a pesar de su uso generalizado en la práctica profesional
asociada a represamientos, no ha habido en los últimos años muchos ejemplos de
investigación específicamente sobre los procedimientos para el análisis de frecuencia
de crecientes. Se encontraron ejemplos de dicho enfoque en Quirós (1979), Rudín
(1983), Zúñiga (1983). Además, se observa una continuidad hasta la actualidad de
investigación respecto a la estimación de frecuencia de otros fenómenos hidrometeo-
rológicos como sequías y precipitaciones intensas, como se evidencia en los estudios
de García (2015), Muñoz (2017), Murillo (1994, 2006), Rojas (2011a, 2011b).

1.3. Objetivos

1.3.1. Objetivo General

Comparar la probabilidad de no excedencia del caudal pico y volumen de crecientes
del río General obtenida mediante un análisis de frecuencia bidimensional con la
metodología de cópulas y un análisis de frecuencia unidimensional empleando
muestreo de bloque máximo.

1.3.2. Objetivos específicos

Obtener una serie de máximos anuales de volumen y caudal pico para cada
una de las estaciones analizadas en la cuenca del río General.

Realizar un análisis univariado de frecuencias en las series anuales de caudal
pico y volumen para cada una de las estaciones.

Realizar un análisis multivariado de frecuencias empleando cópulas a las series
de caudal pico y volumen para cada una de las estaciones.



Capítulo 1 Sección 1.5 Página 5

Figura 1.1: Estaciones propuestas para ser analizadas.

Desarrollar un análisis de sensibilidad del modelo respecto a la metodología de
obtención de la series de máximos.

1.4. Alcances

Se realiza un análisis de frecuencia univariados y multivariados de crecientes em-
pleando cópulas para las variables de caudal pico y volumen efectuando un muestreo
de bloque máximo.

Se realiza el estudio empleando las estaciones de medición de caudal 3103 El Brujo,
3104 Remolino y 3105 las Juntas de la cuenca del río General, en el período desde
1969 hasta 2018, llegando así a 60 años de registro. Se escogieron estas estaciones
y cuencas debido, principalmente, a la extensión, coincidencia y densidad del registro
de datos que presentan. Además, dichas estaciones se encuentran ubicadas en
tres puntos subsecuentes con áreas de cuenca relativamente diferentes entre sí. La
ubicación de las estaciones se observa en la Figura 1.1.



Capítulo 1 Sección 1.5 Página 6

1.5. Limitaciones

No se realiza dentro del estudio un análisis de validación y verificación de la informa-
ción suministrada por el Instituto Costarricense de Electricidad (ICE), dado que para
ello se requiere de la disponibilidad de información histórica adicional de la que no
se dispone.

Como se indica en la sección 2.9, la medición de caudal es un proceso complejo que
por su naturaleza está asociado a errores aleatorios y sistemáticos significativos; sin
embargo, no se consideran esas fuentes de error en el análisis debido a que ello
sobrepasa el alcance de esta investigación.

Para la separación de flujo excedente del flujo total y para la segmentación de eventos
hidrológicos se emplean métodos cuya calibración se fundamentó en criterios asocia-
dos a la apreciación subjetiva del autor. Para garantizar que estos procedimientos
sean objetivos se requiere de datos de precipitación, análisis isotópicos, modelos
hidrológicos previamente calibrados o una base de datos etiquetada con extensiones
de eventos. No se dispone para este estudio de dichas fuentes de información. Si
bien esta es una fuente de error, se considera su potencial impacto en el apartado
de análisis de sensibilidad (2.12, 4.5).

Algunos de los supuestos requeridos por la teoría de valores extremos potencialmen-
te no se cumplen en este análisis. Uno de los más importantes es la estacionaridad
de la serie de valores extremos, ya que se conoce a priori que la cuenca en la que
están ubicadas las estaciones han sufrido modificaciones antrópicas, aunque se
desconoce en qué medida dichas modificaciones afectaron el comportamiento hidro-
lógico medido en las estaciones de interés. Además, existen efectos de variabilidad y
cambio climático que podrían generar condiciones no estacionarias en la serie. Se
considera que la evaluación de dichas hipótesis consisten en investigaciones con
suficiente complejidad por sí solas, por lo que no se consideran en el trabajo.



Capítulo 2 Sección 2.1 Página 7

Capítulo 2

Marco teórico

Para el desarrollo del análisis que se pretende realizar, se requieren abordar algunos
elementos básicos de la teoría subyacente de estadística para así aclarar algunos
términos y conceptos. Cada uno de los temas tratados a continuación serán de
alguna forma mencionados en uno de los subprocesos de la metodología.

2.1. Análisis de frecuencia de eventos extremos en

hidrología

Como indica Hamed y Rao (1999), el objetivo principal de un análisis de frecuencia
es determinar la relación que existe entre la magnitud de un evento extremo y la
frecuencia de ocurrencia del mismo empleando distribuciones de probabilidad. Para
ello se recurren a una serie de supuestos que no necesariamente son verificables o
siquiera válidos; a pesar de lo anterior, su uso es ubicuo en la ingeniería hidráulica e
hidrológica para el diseño de elementos que deben manejar escorrentía.

Quizá uno de los términos más empleados en este ámbito es el período de retorno.
Como indica Hamed y Rao (1999), el mismo está definido como el tiempo promedio
entre arribos de eventos asociados a una determinada magnitud. Se puede decir
entonces que la probabilidad de excedencia asociada a un caudal definido QT

por un período de retorno T puede ser entendido como P(QT > q) = 1/T , pues
será en promedio excedido en el período solamente una vez, y por consiguiente
la probabilidad de no excedencia viene dada por una distribución de probabilidad
acumulada F (QT ) = P(QT < q) = 1− 1/T .



Capítulo 2 Sección 2.1 Página 8

Para construir dicha distribución es necesario obtener una muestra Q de la población
de caudales tal que permita, con cierto nivel de incertidumbre, estimar los parámetros
que definen la distribución F̂ (Q). Para ello existen varias formas de muestrear la
serie de caudales: el máximo valor anual de cada año (llamada serie anual) o todos
los caudales que superen cierto umbral (serie parcial). Es importante notar que,
según indica Hamed y Rao (1999), para hacer inferencia estadística empleando una
serie parcial o anual se requiere que los eventos sean idénticamente distribuidos e
independientes entre sí. McNeil , et al (2005) indica que el concepto de independencia
puede ser relajado requiriendo que al menos la serie de máximos sea estrictamente
estacionaria; es decir, que sus propiedades estadísticas se mantengan en el tiempo.

En cualquiera de los casos previamente mencionados, se están tomando muestras
que representan la cola superior de la distribución, es decir, se está trabajando
con distribuciones de valor extremo. A continuación se explorará la base teórica del
análisis de máximos enfocándose en un muestreo de serie anual de los datos.

En el caso del Teorema del Límite Central en donde la distribución de las sumas
normalizadas de n valores de una variable aleatoria independiente e idénticamente
distribuída (iid) converge, cuando n es suficientemente grande, a una distribución
normal estándar. Según McNeil , et al (2005), homólogamente en el análisis de
valores extremos existe una familia de distribuciones de probabilidad a la que conver-
gen todos los máximos normalizados estandarizados. Dicha familia se conoce como
GEV por sus siglas en inglés indicando Valor Extremo Generalizado y su distribución
estándar de probabilidad es:

Hξ(x) =

{
exp

(
−(1 + ξx)

−1/ξ
+

)
, ξ 6= 0

exp (−e−x) , ξ = 0
, 1 + ξ > 0 (2.1)

Dónde x = (y − µ)/σ es la variable y estandarizada mediante los parámetros de
localización µ ∈ R y dispersión σ > 0; mientras que ξ es el parámetro de forma.
Como se indica en McNeil , et al (2005) el tipo de distribución es definido por ξ y
puede ser clasificado en tres dominios de atracción: Fréchet, Weibull y Gumbel.

La distribución Fréchet se da cuando ξ > 0, y además de no tener una cota superior
su cola es pesada. La distribución Gumbel se da cuando ξ = 0 y si bien no tiene cota
superior ni inferior su cola es menos pesada que la de Fréchet. Por último, cuando
ξ < 0 la distribución es Weibull y tiene acotada la cola inferior en un valor definido.



Capítulo 2 Sección 2.1 Página 9

Figura 2.1: Distribuciones de probabilidad (a) y densidades (b) de las familias Fréchet
(punteada), Gumbel (continua) y Weibull (guiones) pertenecientes a la GEV.
McNeil , et al (2005).

Dichas distribuciones pueden ser observadas en la figura 2.1 para parámetros ξ =

(0.5, 0.0,−0.5), respectivamente.

Supóngase que la distribución de los máximos de una variable iid (Mn) converge
dada una apropiada normalización con las constantes dn y cn, cn > 0,∀n. Entonces se
puede decir que: ĺımn→∞ P

(
(Mn−dn)

cn
≤ x

)
= ĺımn→∞ F

n (cnx+ dn) = H(x). Se puede
indicar que F ∈ MDA(H), es decir, que pertenece al dominio de atracción de H y
además, se sabe que dicha función debe ser GEV por el Teorema de Fisher-Tippett,
Gnedenko, Gnedenko (1943).

Teorema de Fisher-Tippett, Gnedenko: Si F ∈ MDA(H) para alguna función de
distribución no degenerada H, entonces H es un distribución de tipo Hξ, es decir,
una distribución GEV

Esto implica que sabemos, a priori, cuál es la familia de distribuciones de probabilidad
de la que provienen las series de máximos de caudal y de volumen; sin embargo, no
conocemos a priori cuáles son los parámetros de definen la distribución propiamente.
Para ello podemos recurrir a distintos métodos, como será explorado en el siguiente
apartado.



Capítulo 2 Sección 2.1 Página 10

2.1.1. Estimación de los parámetros de la distribución

Uno de los métodos más usuales para la estimación de los parámetros de una
distribución es empleando el método de momentos. En este método se calculan los
r momentos de una distribución, y luego se calculan sus contrapartes empíricas
usando la muestra. Por último, los mismos se igualan para así obtener, con un sistema
de r ecuaciones y r incógnitas, los parámetros de la distribución. Si definimos x(p)

como la función inversa de F (x) y u = F (x), la ecuación general de los momentos
puede ser descrita, según Hosking y Wallis (1997), como E(Xr) =

∫ 1

0
(x(u))rdu. La

media es un ejemplo de momentos ordinarios cuando r = 1.

Según Hosking y Wallis (1997), el uso de la metodología de momentos ordinarios,
para el cálculo de los parámetros de distribuciones de probabilidad de eventos
extremos resulta en algunos casos problemática. Esto porque, cuando el tamaño de
muestra es pequeño, la inclusión de valores en extremo altos o bajos dentro de la
serie varía significativamente el valor de los momentos y, por tanto, de los parámetros.

Hosking y Wallis (1997), indica que una alternativa al uso de los momentos ordinarios
para el cálculo de los parámetros son los momentos lineales o momentos ponderados.
Una diferencia marcada entre ambas metodologías es que en el caso de los momen-
tos ordinarios la función integrada de x crece a la potencia r por lo que un valor lo
suficientemente diferente a los demás (lejos de la media) puede generar un gran
cambio, ya que dicha diferencia está elevada a números cada vez más grandes. En el
caso de los momentos lineales los datos de la muestra no se elevan a potencias cada
vez más grandes; es la función de ponderación la que aumenta de grado conforme
se requieren momentos de mayor orden, por ejemplo, λr =

∫ 1

0
x(u)P ∗r−1(u)du, donde

P ∗r−1(u) son polinomios de Legendre desplazados. Hosking y Wallis (1997) indica que
los momentos lineales de la muestra pueden ser obtenidos mediante combinaciones
lineales de la muestra, y mediantes estos se pueden obtener los parámetros de la
distribución.

Según indica Hamed y Rao (1999), otro de los métodos empleados para el ajuste
de las distribuciones de probabilidad es el de máxima verosimilitud. Si se supone
que la muestra de una distribución es una variable aleatoria independiente, entonces
la probabilidad conjunta de obtener dicha muestra puede ser obtenida mediante
la multiplicación de la probabilidad asociada a obtener cada uno de los valores de
esta (véase 2.2 para más información sobre probabilidad conjunta). En el método de
máxima verosimilitud se definen los parámetros de la distribución, a la que se supone



Capítulo 2 Sección 2.2 Página 11

la muestra pertenece, de forma tal que la probabilidad de que la muestra provenga de
ella se maximice. Es decir, si α1, α2, . . . , αk son los parámetros de la distribución de
densidad f y x1, x2, . . . , xn es la muestra de dicha distribución, entonces, la función de
verosimilitud se define como L (α1, α2, . . . , αk) =

∏n
i=1 f (xi;α1, α2, . . . , αk). Maximizar

L conlleva entonces a obtener los parámetros de la distribución.

2.2. Probabilidad conjunta y cópulas

Sean (X, Y ) un par ordenado de variables continuas aleatorias iid de las cuales
se conocen adicionalmente F (x) y G(y), las distribuciones de probabilidad que las
caracterizan.

Se desea conocer P(X < x, Y < y) = H(x, y); como se indica en Blanco , et al (2012),
si X y Y son independientes, entonces H(x, y) = P(X < x)P(Y < y) = F (x)G(y).
Este podría ser identificado como un caso particular en el que la dependencia entre
las variables es nula.

Para encontrar la probabilidad conjunta (H(x, y)) en el caso general donde las va-
riables no necesariamente son independientes se debe construir una distribución
de probabilidad bidimensional que tome en consideración esta relación, o bien, se
podría analizar mediante una cópula. Como se describe en Nelsen (2006), cópula
es una función que permite, a partir de las distribuciones de probabilidad de las
distribuciones marginales que caracterizan las variables que definen el fenómeno,
encontrar el valor de la probabilidad conjunta, es decir, es una función que mapea
desde el codominio de las funciones de probabilidad al codominio de la distribución
conjunta. En el ejemplo antes citado la cópula está definida como H(x, y) = C(F (x) ,
G(y)) = C(u, v), donde claramente F (x) = u , G(y) = v. Más formalmente, se puede
hacer referencia al teorema de Sklar (1959):

Teorema de Sklar: Sea H una distribución de probabilidad conjunta con marginales
F y G. Entonces existe una copula C tal que ∀x, y ∈ IR:

H(x, y) = C(F (x), G(y)) (2.2)

Donde si F y G son continuas, C es única, caso contrario C está determinada
únicamente en RanF × RanG.



Capítulo 2 Sección 2.3 Página 12

Las cópulas bidimensionales están definidas con un Dominio DomC = I2 y un rango
RanC = I. Además, las cópulas deben ser doblemente crecientes. Esto implica que
un incremento en cualquiera de las distribuciones marginales genera un cambio no
decreciente en la probabilidad conjunta.

∆y2
y1

∆x2
x1
H(x, y) = H(x2, y2)−H(x2, y1)−H(x1, y2) +H(x1, y1) ≥ 0,

∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ DomH
(2.3)

Finalmente, una cópula se encuentra definida entre los límites de Fréchet-Hoeffding
definidos como:

W (u, v) = máx(u+ v − 1, 0) ≤ C(u, v) ≤ mı́n(u, v) = M(u, v) (2.4)

Es importante notar que, tanto W (u, v) como M(u, v), son a su vez cópulas que indi-
can cuando Y es una función decreciente de X y cuando Y es una función creciente
de X respectivamente. Estos límites se dan cuando la relación de dependencia entre
las variables es funcional, el otro caso límite se da cuando las variables son inde-
pendientes, donde la relación entre estas pueden ser definidas mediante la cópula
independiente

∏
(u, v) = uv. En la figura 2.2 se observan diferentes representaciones

de estos casos particulares.

2.3. Dependencia

Como indica Hofert (2018), las cópulas no solamente pueden ser utilizadas para
determinar la probabilidad conjunta de dos variables aleatorias, sino también pueden
ser empleadas como medio para caracterizar funcionalmente la dependencia que
existe entre las variables; de hecho, de ahí viene su particular nombre, por la acción
de asociar las variables transformadas por medio de las distribuciones marginales
entre sí.

Existen, además de las cópulas, otros medios para entender dicha relación que,
como es de esperarse están a su vez asociados a la estructura matemática de la
cópula. A continuación se indican algunos de ellos.

Supongamos que se conoce una muestra (x1, y1), ..., (xn, yn) de X y Y ,es decir
(X̂, Ŷ ). Como indica Hofert (2018) y Genest y Favre (2007) no es suficiente obtener



Capítulo 2 Sección 2.3 Página 13

Figura 2.2: Representación de la cópulas W (u, v) ,
∏

(u, v) = uv y M(u, v).
Fuente:McNeil , et al (2005)

el coeficiente de correlación de Pearson entre ellas, ya que las distribuciones de
probabilidad que caracterizan a las variables pueden distorsionar dicha medida.

rX,Y =
cov(X, Y )

σXσY
(2.5)

Según Genest y Favre (2007), existen varios estadísticos de orden que brindan mayor
información sobre esta relación independientemente de cuales sean F (x) y G(y). Dos
ejemplos de ellos son ρ de Spearman y la τ de Kendal. Sean las coordenadas del par
(Ri, Si) los órdenes que representan los valores Xi e Yi dentro de sus respectivos
rangos, entonces:

ρn =

∑n
i=1(Ri − R̄)(Si − S̄)√∑n

i=1(Ri − R̄)2
∑n

i=1(Si − S̄)2
=

12

n(n− 1)(n+ 1)

n∑
i=1

RiSi − 3
n+ 1

n− 1
(2.6)



Capítulo 2 Sección 2.3 Página 14

donde R̄ = 1
n

∑n
i=1Ri = n+1

2
=
∑n

i=1 Si. Nótese que la estructura matemática es
muy similar a r con la diferencia que emplea los órdenes en vez de los valores para
obtener la dependencia.

Para obtener el τn de Kendal se requiere obtener el número de pares concordantes
Pn y discordantes Qn .Un par concordante es aquel donde (Xi −Xj)(Yi − Yj) > 0 y
uno discordante (Xi −Xj)(Yi − Yj) < 0. Entonces:

τn =
Pn −Qn(

n
2

) =
4

n(n− 1)
Pn − 1 (2.7)

Como se indica en Genest y Favre (2007), estas medidas de dependencia pueden ser
empleadas para obtener el o los n parámetros de la cópula usualmente denotados θn.
Así, existe una funcion g que permite para cada familia de cópulas obtener el valor
de θn.

2.3.1. Cópula empírica y pseudo-observaciones

Así como se pueden obtener distribuciones empíricas para datos univariados, exis-
te el concepto de cópula empírica. Para poder construirla se emplean pseudo-
observaciones que se pueden entender como los pares (o tuplas) de posiciones
de graficación de cada una de las variables. En este caso, si denotamos RX y RY

como los órdenes (rankings) y n como el número total de observaciones, entonces
las pseudo observaciones se definen como {U = RX

1+n
, V = RY

1+n
}. La cópula empírica

entonces, según Nelsen (2006), puede ser descrita como la función acumulativa de
probabilidad multivariada empírica que puede ser denotada como:

Cn(Ui, Vi) =
1

n

n∑
j=1

I(Uj ≤ Ui, Vj ≤ Vi) (2.8)

Donde: Ui, Vi son los pares ordenados asociados a una pseudo-observación e I es la
función indicatriz.

2.3.2. Dependencia en colas

Como indica Serinaldi (2008), para realizar análisis en las colas de la cópula resulta
útil tener medidas que nos permitan determinar qué tan bien ajusta a los datos. Hacer



Capítulo 2 Sección 2.4 Página 15

inferencia en dicha zona es particularmente interesante en el análisis de eventos
extremos. Una forma usual de entender este fenómeno es mediante el coeficiente de
dependencia que se puede definir de la siguiente forma para la cola inferior:

λL(w) = P (F (x) < w|G(y) < w) =
P (F (x) < w,G(y) < w)

P (G(y) < w)
(2.9)

Donde w es un umbral arbitrario debajo o encima del cual se define la cola. En el
caso de que se desee determinar el coeficiente de dependencia en la cola superior se
emplea una valor alto de w y se invierte la dirección de la desigualdad de la siguiente
forma:

λL(w) = P (F (x) > w|G(y) > w) =
P (F (x) > w,G(y) > w)

P (G(y) > w)
(2.10)

Es usual definir la dependencia de las colas de las cópulas en los casos límite
de las funciones anteriormente descritas, es decir: λU = ĺımw→1− λU(w) y λL =

ĺımw→1+ λL(w).

2.4. Familias de cópulas

Así como existen diferentes distribuciones de probabilidad que responden a las
características estadísticas de la población o de la muestra, así mismo existen
diferentes familias de cópulas para describir el comportamiento de la dependencia
entre las variables analizadas. De todas las familias disponibles para modelar Joe
(2014) indica que las más comunes son las Arquimedianas, las Elípticas y las de valor
extremo. A continuación se presenta una breve descripción de las características de
cada una de ellas.

Según Hofert (2018), las cópulas elípticas se emplean para describir dependencia
entre distribuciones marginales elípticas, de esta forma, unas de las más empleadas
cópulas en ese sentido son la cópula normal o Gaussiana y la cópula de t o Student.
Como indica su nombre y su estructura dichas cópulas tienen a estar concentradas
en áreas o volúmenes de forma esférica o elíptica.

Las cópulas Arquimedianas son, como indica Chen y Guo (2018), la familia más
empleada en hidrología por su flexibilidad para describir la estructura de dependencia



Capítulo 2 Sección 2.5 Página 16

de diversas variables que caracterizan los eventos extremos, en especial cuando
alguna de ellas no es en sí parte de la cola de la distribución.

Como indica Hofert (2018), dichas cópulas comparten la forma matemática para
su definición C(u) = ψ (ψ−1 (u1) + · · ·+ ψ−1 (ud)) , u ∈ [0, 1]d y la diferencia entre
ellas está en el la función ψ o generador que se escoja. Dentro de esta familia se
encuentran la cópula Clayton, Frank, Gumbel-Hougaard y Joe.

Finalmente, las cópulas de valor extremo, según Hofert (2018), son una generali-
zación multidimensional del análisis de eventos extremos empleando la GEV, de
esta forma, las cópulas de valor extremo definen las estructuras de dependencia de
fenómenos en los que ambas marginales provienen de dicha distribución. Según
McNeil , et al (2005), si ambas variables son obtenidas mediante el procedimiento de
serie anual, la cópula que define su dependencia pertenece al dominio de atracción
de la cópula de valor extremo, o a uno de los casos límite anteriormente mencionados
(W (u, v), M(u, v) y

∏
(u, v) = uv).

2.5. Pruebas de características de la cópula

Una vez obtenida la cópula empírica, es posible realizar pruebas que permitan
entender las características de la estructura de los datos para así escoger mejor las
familias de cópulas como candidatas para ser probadas.

Algunas de estas características son: independencia, intercambiabilidad, simetría
radial y dependencia de tipo valor extremo.

2.5.1. Independencia

Según Hofert (2018) uno de las características más importantes para ser probadas
antes de continuar con el modelado mediante cópulas de la estructura de dependen-
cia de los datos, es probar si esta es realmente diferente a la cópula independiente∏

. Es decir H0 : C =
∏

y H1 : C 6=
∏

.

Si bien τ = 0 no implica que C =
∏

, Hofert (2018) indica que para casos prácticos
es apropiado emplear dicha prueba estadística y complementariamente visualizar la
relación entre las pseudo observaciones en un gráfico para descartar otro tipo de



Capítulo 2 Sección 2.5 Página 17

relaciones que podría llevar a un falsa falta de evidencia para rechazar la hipótesis
nula.

2.5.2. Intercambiabilidad

Como se indica en Nelsen (2006), esta propiedad implica que las características de
la cópula se mantienen iguales si se intercambian los vectores que la componen el
uno por el otro, es decir, para el caso bivariado C(u1, u2) = C(u2, u1). Visualmente
esto puede ser interpretado como una simetría respecto a una línea 1 : 1 (recta con
una pendiente de 1 y un intercepto de 0, en el dominio I2).

Hofert (2018) indica que un estadístico natural para evaluar esta característica de la
cópula es:

SexCn =

∫
[0,1]2

n(Cn(u1, u2)− Cn(u2, u1))2dCn(u) (2.11)

Donde: n := número de observaciones, Cn := cópula empírica asociada a la n-
ésima observación. Esta prueba estadística fue estudiada en Genest , et al (2012) e
implementada en el paquete computacional indicado en Hofert, Kojadinovic , et al
(2018).

Como se indica en Hofert (2018) bajo el supuesto de que la cópula provenga de
una distribución extrema se puede realizar una prueba con mayor poder empleando
el hecho de que la intercambiabilidad es equivalente a simetría respecto a un eje
formado por la línea vertical t = 1/2 en la función de dependencia de Pickarnds.

SexAn =

∫
n(An(t)− At(1− t))2dt (2.12)

DondeAn es un estimador no paramétrico deA. Esta prueba estadística fue estudiado
en Kojadinovic y Yan (2012) e implementada en el paquete computacional descrita
en Hofert, Kojadinovic , et al (2018).

2.5.3. Simetría Radial

La simetría radial implica más bien que la cópula es idénticamente igual a la cópula
sobreviviente, es decir C = C̄. Visualmente esto puede interpretarse como una



Capítulo 2 Sección 2.6 Página 18

simetría con respecto a una línea 1 : −1 (recta con una pendiente de -1 y un
intercepto de 1, en el dominio I2). Equivalentemente al caso de la intercambiabilidad
se puede obtener un estadístico para esta característica:

Ssymn =

∫
[0,1]2

n(Cn(u)− C̄n(u))2dCn(u) (2.13)

Donde C̄n(u) = Cn(1 − u). Este estadístico fue estudiado en Genest y Nešlehová
(2014) e implementado en el paquete computacional indicado en Hofert, Kojadinovic ,
et al (2018).

2.5.4. Valor extremo

Si bien en muchas aplicaciones se conoce a priori si la distribución de la que provienen
los datos es extrema, las cópulas extremas pueden ser empleadas para describir la
estructura de dependencia de vectores que no necesariamente tienen dicho origen.
De ahí que, según Hofert (2018), sea útil poner a prueba la hipótesis H0 : C ∈ E con
respecto a la hipótesis alternativa H1 : C /∈ E. Donde E es el conjunto de familias de
cópulas extremas.

Para ello se puede emplear parte de la características de las cópulas extremas.
Según Hofert (2018) una cópula C(u) es extrema si y sólo si es max estable. Esto
implica que para cualquier u ∈ [1, 0]d y r ∈ N, C(u) = C(u1/r)r

Según Kojadinovic , et al (2011) un estadístico para medir esta característica en los
datos es:

SevCn = T3,n + T4,n + T5, n (2.14)

Donde:

Tr,n =

∫
[0,1]2

n((Cn(u
1/r
1 , u

1/r
2 )r − Cn(u))2dCn(u) (2.15)

Esta prueba estadística se encuentra implementada en el paquete computacional
descrito en Hofert, Kojadinovic , et al (2018).



Capítulo 2 Sección 2.7 Página 19

2.6. Pruebas de bondad de ajuste y calidad de mode-

lo

Como indica Genest , et al (2009) las pruebas de bondad de ajuste, en el caso
de las cópulas, buscan encontrar si la estructura de dependencia multivariada está
adecuadamente representada por una parametrización específica de cópulas Cθ, es
decir, se está tratando de probar la hipótesis H0 : C ∈ Cθ. Genest , et al (2009) indica
que para realizar pruebas de bondad de ajuste es preferible emplear el método de
pseudo-máxima verosimilitud. En dicho artículo se realizan pruebas de poder para
rechazar la hipótesis nula y la prueba con mayor poder resultó ser la Cramér-von
Mises.

Sn =

∫
[0,1]d

n (Cn(u)− Cθn(u))2 dCn(u) =
n∑
i=1

(Cn (Ui,n)− Cθn (Ui,n))2 (2.16)

Donde Cθn := cópula parametrizada. Con base en lo indicado por Genest , et al
(2009), Hofert (2018) implementó la ecuación 2.16 y el procedimiento de "boots-
trap"paramétrico para determinar el p− valor de la prueba, ambos en el paquete de
R descrito en Hofert, Kojadinovic , et al (2018). Una vez realizadas las pruebas de
bondad de ajuste, se pueden descartar algunas de las distribuciones o cópulas que
inicialmente se consideraron, pero que es poco probable que describan la estructura
de los datos observados.

2.7. Medida de calidad de modelo

Con el grupo de modelos que no pueden ser descartados como distribuciones de las
que proviene la muestra, se pueden emplear criterios de calidad para así escoger
entre ellos. Grønneberg y Hjort (2014) desarrollaron el Criterio de Información de
Cópulas que es un homólogo del Criterio de Información de Akaike en el caso de
ajustes de cópulas en dos pasos como un ajuste por pseudo-verosimilitud.

Una forma práctica, según los autores, es emplear una metodología análoga a la
validación cruzada dejando una muestra afuera. Esto puede ser escrito como:



Capítulo 2 Sección 2.8 Página 20

x̂vn =
1

n

n∑
i=1

logCθn,−i(Fn,−i(Xi)) (2.17)

Donde Cθn,−i es el conjunto de parámetros de la cópula estimados a partir de todas
las pseudo observaciones menos i, Fn,i es la distribución empírica marginal calculada
sin la observación i y Xi es la observación i, El procedimiento computacional para
desarrollar este análisis está descrito en Grønneberg y Hjort (2014) y se encuentra
implementado en el paquete Hofert, Kojadinovic , et al (2018) en conjunto con una
versión similar a la indicada pero empleando validación cruzada con k pliegues.

2.8. Período de retorno en el caso de análisis multi-

variado

A diferencia del caso univariado, donde para un valor existe solamente una probabili-
dad asociada determinada por la función de distribución de probabilidad, en el caso
bivariado existen diferentes posibilidades para visualizar el problema.

Por ejemplo, una distribución conjunta de probabilidad (o cópula) permite analizar la
probabilidad de que ocurra un evento tal que al menos tenga una de las características
en exceso de determinados umbrales, o bien, la probabilidad de que un evento que
tenga ambas características simultáneamente en exceso. Salvadori y De Michele
(2004), refiriéndoce a dichas posibilidades, indica la nomenclatura P∨u,v = P (U >

u ∨ V > v) = 1 − C(u, v) y P∧u,v = P (U > u ∧ V > v) = 1 − u − v + C(u, v)

respectivamente. Además, si entendemos que la cópula sobreviviente está definida
como Ĉ = u+ v − 1 +C(1− u, 1− v), entonces, podemos simplificar la expresión del
caso ∧ como P∧u,v = P (U > u ∧ V > v) = 1 − Ĉ(u, v). Con estas probabilidades se
pueden calcular los períodos de retorno para ambos casos de la forma T∧u,v = µT/P

∧
u,v

y T∨u,v = µT/P
∨
u,v donde µT es la duración de bloque analizado.

Como se indica en Chen y Guo (2018) si bien para una combinación de u y v se
puede obtener una probabilidad P∨u,v o P∧u,v , dicha relación no es única para la
función inversa, ya que varias combinaciones pueden generar la misma probabilidad.
De ahí que no sólo para la representación, sino también para el análisis, varios
autores emplean las iso-líneas o líneas de igual probabilidad para representar esta
característica de la cópula, en especial si es una bidimensional. Para ello se establece



Capítulo 2 Sección 2.9 Página 21

una relación funcional explícita o implícita para obtener u a partir de v y P o vice
versa.

Stamatatou , et al (2018), Requena (2015) y Chen y Guo (2018) indican que se puede
obtener el valor de la función de densidad en cada uno de los puntos de dicha curva
sencillamente derivando la función de probabilidad por ambas variables. En este
sentido, si bien la probabilidad de excedencia para todos dichos eventos es la misma,
existen entre ellos eventos más probables y menos probables. Este conocimiento
resulta útil para escoger conjuntos probables de eventos asociados a un determinado
período de retorno.

2.9. Medición de caudal

En los apartados anteriores se parte de el hecho de tener una serie de eventos
máximos de caudales y volumen; sin embargo, ese no es el caso en esta investigación.
Es por ello que es útil mencionar el proceso mediante el cual se mide la variable de
interés y cuáles podrían ser sus fuentes de incertidumbre asociada.

El procedimiento para la medición de caudal de forma continua específicamente
en las estaciones estudiadas está fundamentado en la obtención de un nivel de
agua (escala h) respecto a algún punto de referencia en el cauce (cero de la escala)
usando un sensor de presión. Para pasar de la escala a un caudal q se realizan aforos
mediante molinete en los cuales se encuentra la velocidad en diferentes verticales
de la sección transversal donde se mide la escala y luego, multiplicados por el área
aproximada de la vertical correspondiente se suman para encontrar el caudal total en
la sección.

Luego de tener suficientes puntos asociando h con el caudal q se estiman los paráme-
tros de una función potencial desplazada (2.18) donde se emplean los coeficientes
{a, b, h0} para estimar, mediante regresión, los valores de caudal. En algunos ca-
sos incluso se desarrollan ecuaciones para distintos rangos de h para modelar los
cambios en la forma de la sección.

q̂ = a(h− h0)b (2.18)

Como indica World Meteorological Organization (2008) esta es una de las formas más
usuales de medición continua de caudal; sin embargo, por la naturaleza cambiantes



Capítulo 2 Sección 2.10 Página 22

del río, es necesario realizar un esfuerzo constante por actualizar estas curvas.
Además, existen cambios morfológicos en crecientes extraordinarias donde la relación
entre h y q pueden cambiar en cuestión de minutos y el cambio puede mantenerse
en el tiempo.

Según Steinbakk , et al (2016) la incertidumbre asociada a la estimación de de caudal
es muy significativa en la estimación de las características estadísticas de eventos
extremos, incluso respecto a otras fuentes de incertidumbre en la estimacion tales
como el tamaño de muestra.

Cabe resaltar que además de las fuentes de incertidumbre mencionadas por estos
autores, en algunos casos las decisiones de los expertos en hidrometría implican
cierto nivel de subjetividad. Al darse cambios de personal encargado, podría darse
una discontinuidad en el criterio y, por consiguiente, en la estimación.

2.10. Separación de flujo base

Uno de los problemas con que se enfrenta la hidrología es que el caudal que se
observa en un fenómeno de creciente es la suma de los efectos de eventos de
precipitación pasados (llámese caudal base qb) y el efecto del evento actual (llámese
flujo excedente qe). Esta subdivisión es relevante en el contexto de análisis de
crecientes ya que, usualmente se requiere el cálculo del volumen de la creciente que
está asociado un evento de precipitación específico como se indica en el siguiente
apartado.

El caudal base y el excedente pueden ser también entendidos como diferentes
mecanismos físicos que llevan agua desde la zona donde cae la precipitación hasta
el cuerpo de agua analizado. Algunos mecanismos rápidos como la escorrentía
superficial generan una señal en el río que corresponde directamente con el evento
de precipitación que se está observando o se ha observado recientemente. Otros
mecanismos, como la infiltración, percolación y eventualmente exfiltración, generan
una señal lenta que se asocian mayormente a eventos pasados y en menor medida
al evento que se está observando.

Para poder separar ambos flujos existen diversas metodologías que van desde
métodos gráficos hasta aprendizaje estadístico e hidrológica isotópica. Algunos de
los ejemplos más clásicos de separación del flujo en eventos definidos se encuentra
plasmado en Chow , et al (1988). Estos métodos dan una idea general de cómo



Capítulo 2 Sección 2.10 Página 23

deberían "verse"los eventos una vez ya separados qe y qb. Como indican Tan , et al
(2009) Blume , et al (2007) uno de los principales problemas con los métodos de
este tipo es que es muy complejo automatizar su aplicación a una serie continua
de caudales y el uso en crecientes con más de una cresta es complejo cuanto
menos. Además, su carácter subjetivo hace complejo, sino imposible reproducir los
resultados.

Figura 2.3: Separación de flujo mediante métodos gráficos.
Fuente:Chow , et al (1996)



Capítulo 2 Sección 2.11 Página 24

Una alternativa empleada extensamente en análisis hidrológicos son los filtros di-
gitales auto-regresivos. Uno de los más usados y también de los primeros es el
recomendado por Lyne y Hollick (1979), que emplea únicamente un parámetro α y
tiene la siguiente forma:

qe,k = α qe,k−1 +
1 + α

2
(qb,k − qb,k−1) (2.19)

Donde k es el k-ésimo instante muestreado del flujo. Empleando esta metodología
en distintas cuencas en Australia, Ladson (2013) recomienda varios procedimientos
asociados al método para distintas frecuencias de registro y además indica aproxi-
madamente el rango en que se encuentra α luego de la calibración. Es importante
también indicar que este fue el mismo procedimiento empleado por Nikoletta (2017)
para separar el flujo base en su análisis de eventos extremos y cópulas.

Cabe indicar que existen filtros que incluyen más parámetros o tienen una formu-
lación diferente a la desarrollada por Lyne y Hollick (1979), como por ejemplo la
recomendada en Eckhardt (2005) y revisada en Eckhardt (2012), o bien la indicada
en Chapman (1999). Existen metodologías que emplean adicionalmente precipitación
para el análisis (Mei y Anagnostou (2015), Shao , et al (2020)) o trazadores químicos
(Foks , et al (2019)). La mayoría de los autores citados indican que el método con
mayor probabilidad de acercarse a la realidad es el uso de isótopos para determinar
cuál es el funcionamiento de la cuenca e indican que los valores de los filtros o
algoritmos requieren calibración con base en ellos.

Si bien, una separación adecuada de qe y qb debería conllevar por sí misma a una
separación de los eventos, no siempre las metodologías llegan a tener un resultado
de qe = 0 en un tiempo que se considere razonable y congruente con los supuestos
empleados. Esto ha conllevado a que algunos autores se enfoquen directamente en
la segmentación de eventos de creciente sin necesariamente hacer previamente una
separación de flujo base. Un ejemplo de este tipo de enfoques es presentado en
Thiesen , et al (2019) y Oppel y Mewes (2020) donde se emplean metodologías de
aprendizaje estadístico para la clasificación binaria de los períodos correspondientes
a crecientes. Ambos autores emplean para ello además de datos de precipitación y
caudal,una base de datos de eventos previamente segmentados y etiquetados.

Es importante indicar que no se cuenta para este estudio con datos de precipitación,
análisis isotópicos o conductividad, modelos hidrológicos previamente calibrados ni
una base de datos etiquetada con extensiones de eventos.



Capítulo 2 Sección 2.12 Página 25

2.11. Definición de volumen y caudal pico de una cre-

ciente

Dado que el caudal es una variable continua en el tiempo, y, al menos en el caso
de los cuerpos de agua perennes, siempre mayor que 0, la definición de volumen
no es trivial. Usualmente se asocia esta variable a la cantidad de agua escurrida
directamente en el cauce como causa de un evento de precipitación (EP ) definido
en el intervalo de tiempo t ∈ [tep1, tep2]. También puede interpretarse el volumen de
una creciente como la integral del caudal qe en un periodo de tiempo definido por la
duración de esta; es decir, si la creciente (EC) está definida por el intervalo de tiempo
t ∈ [tec1, tec2] entonces su volumen (o volumen excedente) es: Ve,EC =

∫ tec2
tec1

qe(t) dt.
Nótese que el intervalo en que está definido el evento de EP es diferente al intervalo
de tiempo en que está definida EC por las características de respuesta que tiene
una cuenca tal y como se indicó en el apartado anterior.

Cabe indicar que en algunos casos desde el punto de vista práctico, y usualmente
asociado al diseño de infraestructura, interesa también conocer el volumen total que
escurre en el cuerpo de agua en un período de tiempo definido por una creciente
particular. En este caso no sólo se está cuantificando el agua asociada a la tormenta
EP , sino también el agua asociada a tormentas pasadas que todavía tienen un efecto
en el caudal (qb) observado durante EC. Para ello se define el caudal total como
q(t) = qb(t) + qe(t), con lo que volumen total sería Ve+b,EC =

∫ tec2
tec1

q(t) dt.

El caudal pico de una creciente puede estar definido para su análisis, al igual que
el volumen, de dos formas. Si t ∈ [tec1, tec2] el caudal pico excedente es Qe,EC =

máx(qe(t)), y el caudal pico total es Qe+b,EC = máx(q(t)).

2.12. Análisis de sensibilidad

Debido a que el modelo de separación de flujo y segmentación de eventos está
asociado a un alto grado de incertidumbre en los casos en que no se dispone
de información adicional, es útil emplear métodos para determinar qué tanto los
resultados del análisis podrían variar para diferentes elecciones de los parámetros
empleados. Algunos ejemplos de este tipo de análisis se presentan en Eckhardt
(2005) y Eckhardt (2012) aplicados exclusivamente a la metodología de separación
de flujo.



Capítulo 2 Sección 2.12 Página 26

Como se indica en Saltelli , et al (2008) existen muchos métodos para evaluar de
alguna forma la sensibilidad en los resultados de un modelo a la variación de los
parámetros de entrada del mismo, sin embargo uno de los más sencillos de emplear
e interpretar es el uso de simulaciones de Montecarlo y modelos lineales múltiples
para evaluar cuál variación del parámetro genera mayores cambios en la salida.

Si no se tuviera a priori una distribución para los parámetros {z1, z2, · · · , zm}, se
puede indicar un intervalo de valores en que podrían encontrarse {z1 ∈ [a1, b1], z2 ∈
[a2, b2], · · · , zm ∈ [am, bm]}. Luego, se realiza un muestreo de aleatorio de n tuplas en
el espacio definido por los intervalos mencionados y se corre el modelo para cada
una de ellas.

Defínase Y como el vector columna de todas salidas del modelo (y1, · · · , yn) y
Z como la matriz (n · m) definida por todos los parámetros del modelo donde
Zi,. = (zi,1, · · · , zi,m). Entonces, se puede obtener mediante cualquiera de los méto-
dos usuales de regresión lineal múltiple un meta-modelo tal que Ŷ = Ŵ · Zᵀ + ŵ0,
donde Ŵ = (ŵ1, · · · , ŵm) y ŵ0 son meta-parámetros que se encuentran median-
te la minimización de alguna función de costo tal como errores cuadrados(e.g.
arg minW,w0

∑n
i=1

1
2
(yi − ŵizᵀi + ŵ0)2).

Saltelli , et al (2008) indica que apropiadamente estandarizados, los meta-parámetros
W y w0 pueden indicar cuáles de los parámetros explican la mayor parte de la varianza
en los resultados de las simulaciones de Montecarlo. Adicionalmente, los estadísticos
t asociados a cada coeficiente puede indicar la significancia de cada uno de los
meta-parámetros permitiendo así considerar la certeza con que se conoce que estos
no son cero.



Capítulo 3 Sección 3.0 Página 27

Capítulo 3

Metodología

Los datos horarios de las estaciones analizadas en cada cuenca fueron facilitaods
por el Instituto Costarricense de Electricidad (ICE).

Se segmentó ese registro en eventos de creciente. Para ello, se empleó el filtro auto-
regresivo de Lyne Hollick según Ladson (2013). Una vez realizada dicha separación
se empleó un umbral mínimo de la razón de flujo excedente entre el flujo total y
otros indicadores para identificar puntos de segmentación como se indica en 2.10.
Debido a que la escogencia de los parámetros de este procedimiento podría variar
las distribuciones marginales y en las cópulas, se realizó un análisis de sensibilidad
para describir el impacto de dichas decisiones en los resultados finales del estudio.

Se escogieron las tormentas con máximos anuales de caudal pico y volumen; luego
se registraron los valores de volumen y caudal pico que respectivamente caracterizan
dichas crecientes. Esto implica que se trabaja con dos series de valores extremos en
cada una de las estaciones escogidas para el caso donde se remueve el caudal base
y otras dos series en el caso en que se toma el caudal total. Es importante recalcar
que es posible que alguna creciente no solamente contenga el valor máximo de
caudal pico, sino también de volumen. En dicho caso la misma observación existirá
en ambas series.

Con las series indicadas anteriormente se obtiene preliminarmente la distribuciones
de frecuencia para el caudal y el volumen. Para la característica máxima anual, se
emplea la distribución GEV. Para la obtención de los parámetros de las distribuciones
de volumen y caudal , se emplean las metodologías de momentos lineales según se
indica en Hosking y Wallis (1997) y las recomendaciones de Requena (2015). Debido
a factores particulares de la serie de datos con la que se dispone, se considera



Capítulo 3 Sección 3.1 Página 28

inapropiado emplear las distribuciones paramétricas marginales encontradas para
los datos. Se prosigue el estudio empleando las distribuciones empíricas de estos.
Para mayor detalle refiérase al apartado 2.3.1 y 4.3.

Con las pseudo observaciones se ajustaron diferentes cópulas (mayormente arqui-
medianas) mediante tres procedimientos a manera de comparación. Primeramente
se determinó mediante el uso del K de Kendall y la ρ de Spearman el parámetro de
la cópula. Luego se empleó el procedimientos de máxima pseudo-verosimilitud para
obtener dicho parámetro. Se realizará esto con la idea de entender cuáles son las
diferencias generadas por cada uno de los métodos de estimación.

Se emplea la prueba de bondad de ajuste de Cramér Von Mises adaptada para
Cópulas según se indica en Genest , et al (2009) y que es implementada por Hofert
(2018) para descartar familias que no ajustan de forma adecuada los datos.

A las familias de cópulas que no se descartaron con los procedimientos previos se
les calcula el criterio información de cópulas según Grønneberg y Hjort (2014). Por
último, el ajuste se verifica mediante inspección visual.

Con la cópula escogida de cada una de las series de datos se determina cuál es
el valor de P∨u,v y P∧u,v y se compara con el valor de P(u) y P(v) obtenido de las
marginales de cada una de las series de datos. Con ello, se compara los resultados
obtenidos para las estaciones 3103, 3104 y 3105 de la cuenca del río General.

Finalmente, se emplea un análisis de sensibilidad según lo indicado en el apartado
2.12 para determinar qué tan sensibles son los resultados obtenidos a cambios en
los parámetros de la metodología de separación de flujo y segmentación de eventos.

3.1. Herramientas

Para llevar a cabo lo anteriormente mencionado se empleó el lenguaje de progra-
mación R (R Core Team (2019)) en conjunto con algunos de paquetes del mismo
ecosistema. A continuación, se citan algunos de los paquetes que se emplearon
ligados a su uso específico.



Capítulo 3 Sección 3.1 Página 29

Cuadro 3.1: Paquetes de R a ser empleados en el análisis.

Paquete Referencia Uso
copula Hofert, Kojadinovic , et al

(2018)
Obtención de copulas a partir de
marginales, graficación de
cópulas, pruebas de bondad de
ajuste, generación de vectores
aleatorios.

qrmtools Hofert, Hornik , et al
(2018)

Análisis de frecuencias.

ggplot2 Wickham (2016) Graficación.
tidyverse Wickham (2017) Manejo General de Datos.
Ecohydrology DR , et al (2018) Filtro Lyne Hollick.
lmom Hosking (2019) Momentos lineales
snow Tierney , et al (2018) Paralelización
patchwork Pedersen (2020) Composición de Gráficos



Capítulo 4 Sección 4.1 Página 30

Capítulo 4

Desarrollo

4.1. Revisión general de la información

En el análisis de series de tiempo, un primer paso útil consiste en revisar, cómo
la variable de interés (en este caso caudal), cambia en el transcurrir del período
evaluado. En la figura 4.1 se muestran los registros de las estaciones 3103, 3104
y 3105 evidenciando que existen períodos vacíos y, al menos en apariencia, una
diferencia entre la primera parte del registro y la última.

Este tipo de diferencias podría estar ocasionada por cambios en las curvas de
descarga que no necesariamente respondan a fenómenos físicos tal y como se
indica en la sección 2.9. Cabe resaltar que los efectos de estos errores se propagan
a través de todos los resultados y se considera una de las potenciales fuentes de
incertidumbre no cuantificadas más grandes en este estudio.

Otro elemento que se puede observar de la figura 4.1 es que si bien hay cierto nivel
de asociación entre las estaciones, no necesariamente el orden (ranking) de los
eventos coincide. Este fenómeno podría estar asociado tanto a particulares de la
medición y procesamiento de los datos (apartado 2.9) como a la variabilidad espacial
de la precipitación y a la respuesta de la cuenca. Una recomendación para futuras
investigaciones en esta temática es el uso de cópulas para entender la asociación
entre eventos extremos de distintas estaciones de la misma red de drenaje.

El hecho de que el registro cuente con vacíos es relevante, ya que, si algunos de esos
vacíos corresponden con tormentas extremas puede generar errores en la estimación
de parámetros tanto de las distribuciones marginales como de la cópula, en especial



Capítulo 4 Sección 4.1 Página 31

Figura 4.1: Registro completo para estaciones 3103, 3104 y 3105

Figura 4.2: Porcentaje de vacíos por mes en estaciones 3103, 3104 y 3105

debido a que se emplea la metodología de bloques (máximo anual) para definir el
conjunto de valores con los que se realizará el análisis.

En la figura 4.2 se aprecia cómo, existen períodos sin registros de meses y en algunos
casos años. En la estación 3105 es donde se encuentran menos vacíos mientras



Capítulo 4 Sección 4.2 Página 32

que en la estación 3104 es donde hay más períodos sin datos. En algunos casos no
se cuenta con información en períodos lluviosos lo que implica la posibilidad de que
se tomen valores máximos para el año menores que el valor máximo que realmente
ocurrió.

Ejemplos de este tipo de ausencias son los eventos Joan, Otto, Nate y Cesar. Se
encontró que para estos fenómenos al menos en dos de las estaciones estudiadas
se tiene un faltante de de información de más de 50 % del fenómeno usualmente
concentrado en la fase de aumento del caudal medido. Es importante recalcar que
estos eventos son sólo menciones importantes, mas, no exhaustivas de vacíos que
tiene la base de datos con que se está trabajando.

4.2. Obtención de eventos

Como se indicó en el apartado 2.10 usualmente los métodos de separación de flujo
requieren de información experimental de concentración de trazadores químicos o
isótopos para determinar el correcto valor de los parámetros. Diferentes valores de
α en el caso del uso del filtro Lyne Hollick pueden llevar a resultados dispares de
separación y eventualmente de segmentación de los eventos.

Para al menos realizar un control visual de los resultados obtenidos se definió un
período lluvioso (agosto a diciembre) de análisis común entres las estaciones analiza-
das de forma tal que no se encontraran vacíos de datos. Se encontró que el período
desde 2001-09-01 hasta 2002-01-01 es el mayor registro con esas características.
En la figura 4.3 se muestran los registros para este periodo.

Como indica Ladson (2013), valores usuales de α están entre 0.90 y 0.98, siendo un
valor de 0.925 uno de los más usados en la literatura técnica y 0.980 el recomendado
por Ladson (2013) según la calibración realizada en cuencas australianas. Se pre-
senta en la figura 4.4 esos valores y un valor intermedio para mostrar las diferencias
que se pueden dar.

Mientras mayor el valor de α, mayor es la memoria del filtro y por tanto los resultados
son mucho más suavizados. Esto implica que para valores de α cercanos a 1 se
generan valores de flujo base menor y para valores menores se generan valores de
flujo base mayores en el transcurso de un evento.



Capítulo 4 Sección 4.2 Página 33

Figura 4.3: Muestra del registro para verificación visual del modelo para separación de flujo.



Capítulo 4 Sección 4.2 Página 34

Figura 4.4: Resultado de separación para distintos parámetros α.

Además, obsérvese que para valores de α mayores, la cantidad de puntos donde
el caudal excedente es cercano a cero son menores, generándose así .eventos"de
mayor duración llegando en casos extremos a semanas como el evento con un
máximo en 2002-11-01 que se observa más detalladamente en la figura 4.5.

La figura 4.4 y 4.5 ponen en evidencia la razón por la que la definición de evento
o creciente podría estar sujeta a ambigüedad en casos donde no se tienen datos
para separar el caudal excedente del base en cuencas donde la precipitación ocurre
continuamente en la época lluviosa. Obsérvese a finales de octubre cómo una serie
de crecientes generaron un incremento en el caudal que se mantuvo hasta mediados
de noviembre. Si se tomara un valor de α = 0.980 la creciente estaría definida en una
duración en el orden de 15 días, mientras que para α = 0.925 en dicho periodo se



Capítulo 4 Sección 4.2 Página 35

Figura 4.5: Resultado de separación para distintos parámetros α en evento de mayor magni-
tud del 2021

observan varias crecientes cuya duración está en el orden de días u horas. Además,
la diferencia en la separación de flujo base y flujo excedente entre ambos coeficientes
es apreciable.

Se emplea entonces un valor de α = 0.925 ya que en apariencia logra captar
adecuadamente la separación entre los eventos de precipitación y además es de los
valores más empleados en la literatura según Ladson (2013).

En el caso de épocas de estiaje extendidas donde el caudal excedente no es cero
y para evitar inicios anticipados, se empleó un método alternativo para identificar
rangos visualmente razonables de duración de los eventos empleando la información
del filtro como base. Este método se inspira en el trabajo de Blume , et al (2007)



Capítulo 4 Sección 4.2 Página 36

quien propone un método para limitar el final del estiaje en los hidrogramas con base
en la primera derivada del caudal total respecto al tiempo.

4.2.1. Método de refinamiento de separación de eventos

Es necesario aclarar que la razón por la que se necesita definir eventos de creciente
EC es que se requiere identificar aquellos EC que contengan un máximo de caudal
pico (Qe,EC o Qe+b,EC) y volumen (Ve,EC o Ve+b,EC), que, de aquí en adelante, se
denotarán por facilidad de lectura como (Qe y Qb) y (Ve, Vb) correspondientemente.

Uno de los mayores retos para cumplir con ese objetivo es que en épocas de estiaje
extendidas, si no se acota la duración del evento la magnitud de Vb podría incluir
mucha información (caudal) no asociada al evento de creciente EC, influenciando
así la relación que existe entre el caudal pico y el volumen. Para solucionar este
problema se propone el uso de una metodología alternativa para la segmentación
de series de tiempo de caudal en eventos de creciente. En los próximos párrafos se
describirá en qué consiste ese método.

Se conoce que cuando qe comienza a aumentar desde un valor relativamente bajo,
entonces es común que un evento esté comenzando y que cuando qe disminuye
hasta acercarse a 0, entonces el evento está terminando; además entre el inicio y
el final del evento se encuentra el mayor valor de qe que llamaremos caudal pico
excedente Qe.

Sea H una serie discreta de caudales horarios donde qt indica el caudal medido
de dicha serie en el tiempo t, donde qe,t y qb,t son los caudales excedentes y
base asociados a qt.

Sea ECi la creciente i observada en H y EC el conjunto de todas las crecientes
ECi.

Sea tEC el conjunto de tiempos de H que están asociados a alguna de las
crecientes ECi.

Sea w ∈ N el tamaño (número de casillas) de una ventana móvil centrada en
t que calcula Qe,t,w = máx{qe,t−w−1

2
, · · · , qe,t, · · · , qe,t+w−1

2
} si w es impar y en el

caso de ser par, calcula Qe,t,w = máx{qe,t+1−w
2
, · · · , qe,t, · · · , qe,t+w

2
}.

Se considera entonces que que t ∈ tEC si 1 = I(ue ≤ qe,t
Qe,t,w

, ub ≤ qe,t
qb,t

). Donde
ub, ue > 0 son escalares y I es la función indicadora.



Capítulo 4 Sección 4.2 Página 37

Se define un evento de creciente ECi como el intervalo de tiempo compuesto por el
conjunto de los tiempos subsecuentes donde t ∈ tEC . Este criterio genera una serie
de crecientes disjuntas y separadas por intervalos de tiempos t /∈ tEC .

Dado que las crecientes de interés son aquellas que terminarán formando parte
del conjunto de máximos anuales, es de esperarse que para un w suficientemente
grande pero mucho menor que un año Qe,t,w = Qe para los caudales iniciales y finales
de los eventos analizados. Es decir, es de esperar que el máximo en la ventana
incluya el caudal pico del evento para el final y el inicio de este. Por lo que ue puede
ser interpretado como el umbral que define la magnitud relativa que debe tener el
caudal excedente respecto al caudal pico excedente para pertenecer a la creciente;
y ub puede ser interpretado como el umbral que define qué tan grande tiene que ser
un caudal excedente respecto al caudal base para ser considerado una creciente.

Desde el punto de vista práctico, ambos filtros permiten disminuir duraciones poco
realista de crecientes (i.e. excesivamente largas) y por tanto acotan los valores del
volumen total. Además, al clasificar fenómenos relativamente pequeños como no
pertenecientes a crecientes, disminuye la carga computacional para los posteriores
análisis.

La calibración de los parámetros ue, ub, w se realizó iterativamente y buscando que
visualmente la separación de las crecientes se pareciera a los criterios indicados
por Chow , et al (1988). Además, se realizó un análisis de sensibilidad mostrado al
final del apartado de desarrollo donde se indica cuáles son las consecuencias de
la elección realizada. En la figura 4.6 se observan los resultados obtenidos en el
periodo de prueba con los parámetros calibrados.

Obsérvese que el método hace que la división entre los eventos de las tres estaciones
no sea equivalente tanto en tiempo como en el número de eventos considerados
creciente por lo que, en el caso de desearse emplear una estrategia similar para
realizar análisis de cópulas entre estaciones se requeriría otro enfoque y elección
de parámetros. Nótese que en este caso se emplearon parámetros iguales para
todas las cuencas; sin embargo, si se tuviese información para calibrar podría ser
apropiado el uso de distintos valores para cada una de ellas.

Una vez realizado este análisis se procedió con los mismos parámetros a obtener las
tormentas para todas las series continuas de caudal y para todas las estaciones.

Cabe indicar que se consideró el uso de Detección Bayesiana de Puntos de Cambio
para la segmentación de crecientes y se obtuvieron resultados alentadores en un



Capítulo 4 Sección 4.3 Página 38

Figura 4.6: Separación de tormentas para parámetros ue = 0.15, ub = 0.15 y w = 72.

análisis preliminar; sin embargo se considera apropiada la evaluación de esa meto-
dología en conjunto con otras de las mencionadas en el apartado 2.10 en un estudio
aparte empleando idealmente otras fuentes de información como la precipitación en
las cuencas analizadas.

4.3. Análisis univariado de series de valores máximos

Una vez segmentadas las crecientes de toda las estaciones se procedió a obtener
para cada una de ellas los valores de Ve, Vb, Qe y Qb. Luego, se generaron cuatro
series de máximos anuales:

{Vb,máx{Qb}} : Volúmenes totales asociados y máximos caudales pico totales.

{Ve,máx{Qe}} : Volúmenes excedentes asociados y máximos caudales pico
excedentes.

{máx{Vb}, Qb} : Máximos volúmenes totales y caudales pico total asociados.

{máx{Ve}, Qe} : Máximos volúmenes excedentes y caudales pico excedentes
asociados.



Capítulo 4 Sección 4.3 Página 39

Las crecientes asociadas a cada una de las series anteriormente indicadas pueden
ser observadas en el apéndice A y en la figura 4.7 se puede observar la variación a
través del tiempo de las magnitudes.

Figura 4.7: Series de valores máximos anuales

Observando los valores de estas series en el tiempo, como se muestra en la figura
4.7, es poco realista pensar que la serie sea estacionaria. Todo lo contrario, en
algunos casos parecen haber grupos de valores conglomerados entre sí e incluso se
observan tendencias (e.g. cuadrante (1, 3) donde se observa una U en los años 80).
Además, la varianza de los datos no se está manteniendo en todo el registro.

Este comportamiento pone en duda la validez del análisis debido a que los supuestos
indicados en el apartado 2.1 no necesariamente se cumplen en este caso. Algunas
explicaciones plausibles de este fenómeno son: 1. La metodología de medición del
caudal está asociada a altos niveles de incertidumbre y a sesgos sistemáticos que
varían en el tiempo según se indicó en el apartado 2.9; 2. La ausencia de algunas
crecientes máximas hace que se pierdan las propiedades estadísticas de la serie
de máximos según se indicó en el apartado 4.1; 3. Existen procesos hidroclimáticos



Capítulo 4 Sección 4.3 Página 40

que no necesariamente cumplen con los supuestos requeridos para el análisis de
máximos.

En el caso de que la explicación de lo observado resida en el punto 1. o el 2. habría
que reprocesar la información y evaluar la posibilidad de reconstruir los fenómenos
extremos faltantes. Es del conocimiento del autor que esto se realiza de forma
esporádica para análisis de eventos extremos en el Área de Hidrología del ICE, sin
embargo se desconoce si estas series de caudal horario en particular tiene dicho
control de calidad y se considera que ese proceso excede los alcances de este
trabajo.

En el caso 3. se podría evaluar si otro tipo de modelos se podrían aplicar a los datos
que no requieran el cumplimiento de esos supuestos como ejemplo modelos baye-
sianos o mezclas de distribuciones de valores extremos. Se considera la exploración
de estas metodologías un paso necesario para futuras investigaciones en esta área
una vez que se tenga la certeza de que los datos con los que se cuenta han sido
rellenados apropiadamente y se hayan validado la coherencia de las series en el
tiempo. Cabe resaltar que de emplearse un muestreo del tipo máximos por encima
de un umbral y una Distribución Generalizada de Pareto podría disminuir el impacto
de la ausencia de algunos eventos en la serie.

Si se aplica la metodología de momentos lineales a los datos sin ningún tipo de
tratamiento adicional se distingue que la distribución está asociada a más de una
familia de datos como se observa en la figura 4.8. Nótese que después de períodos de
retorno de cinco años se observa en muchas de las series ajustadas una desviación
del ajuste obtenido mediante momentos lineales. En la figura 4.9 se muestran los
valores por encima de cinco años de período de retorno.

Esta evidencia podría indicar que existen varios procesos de generación de eventos
siendo captados por la misma serie de datos. Si ese fuera el caso, metodologías
como el uso de mezclas podría ser apropiado para el análisis de extremos univariado
siempre y cuando se pueda tener algún nivel de certidumbre que el procesamiento y
completitud de los datos. Sería interesante también, conocer si una división entre
diferentes tipos de eventos (huracanes, vaguadas, tormentas tropicales, etc.) o
magnitud de señales sinópticas (ENOS, AMO, PDO, TNA, etc.) puede, en cierta
medida, clasificar a cuál proceso de generación de eventos extremos está asociada
cada creciente.



Capítulo 4 Sección 4.4 Página 41

Figura 4.8: Distribución GEV ajustada a máximos anuales

Para evitar incluir en posteriores análisis errores estructurales asociados a la esco-
gencia del modelo estadístico para representar las distribuciones marginales, acorde
a Joe (2014) es preferible emplear un método de estimación del parámetro de la
cópula que emple estadísticos de orden τ o ρs o bien las pseudo observaciones en el
caso de la máxima pseudo-verosimilitud. Cabe resaltar que este procedimiento no
solventa los problemas asociados a los puntos indicados previamente (4.3) pero al
menos disminuye las potenciales distorsiones asociadas al ajuste de un modelo no
apropiado a las distribuciones marginales.



Capítulo 4 Sección 4.4 Página 42

Figura 4.9: Distribución de máximos anuales

4.4. Análisis multivariado de series de valores máxi-

mos

4.4.1. Análisis exploratorio

Uno de los primeros pasos para la construcción de modelos de cópulas es evaluar
visualmente cuál es la dependencia que existen entre los vectores aleatorios como
se muestra en la figura 4.10. Obsérvese que las variables en general tienen una
relación creciente y que existen vacíos en el espacio de la muestra y valores atípicos
que podrían estar asociados a lo indicado en el apartado anterior.

Si se toman exclusivamente los máximos anuales de cada una de las variables, se
puede llegar a dos series adicionales: {máx{Vb},máx{Qb}} y {máx{Ve},máx{Qe}}.



Capítulo 4 Sección 4.4 Página 43

Figura 4.10: Relación de pares (Q,V )

Para ello es importante repasar cuál es la interpretación de las cópulas que se
pretenden desarrollar con estas series de datos. Si tomamos (Vi, Qi) como un dato
puntual cualquiera de volumen y caudal, en el sitio correspondiente(3103, 3104 o
3105) y del tipo correspondiente (excedente o total), entonces:



Capítulo 4 Sección 4.4 Página 44

Cθ,(V,máx{Q})(Vi, Qi) : Probabilidad de que en un año dado se dé un caudal pico
máximo menor que Qi con un volumen asociado, para la misma creciente,
menor que Vi.

Cθ,(máx{V },Q)(Vi, Qi) : Probabilidad de que en un año dado se dé un volumen
máximo menor que Vi con un caudal pico asociado, para la misma creciente,
menor que Qi.

Cθ,(máx{V },máx{Q})(Vi, Qi) : Probabilidad de que en un año dado se dé un caudal
pico máximo menor que Qi y que en el mismo periodo volumen máximo sea
menor que Vi no necesariamente para la misma creciente.

Empleando las pseudo-observaciones se puede visualizar la estructura de la có-
pula empírica para cada uno de los pares de interés. En la figura 4.11 se muestra
cómo la relación entre UQ y UV muestra una forma elipsoidal y en algunos ca-
sos se observa una dependencia de la cola superior marcada λU (e.g. páneles
(1, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1)). Al igual que en el caso de las variables originales se obser-
van ciertos vacíos e inclusive algunos eventos o grupos de eventos cuya relación
entre UQ y UV es atípica o distante de los demás valores.

En general se puede decir, mediante esta simple inspección, que los caudales y los
volúmenes de las crecientes presentan una estructura de dependencia clara. Además,
se puede inferir que es raro que una creciente con uno de los valores más altos de
caudal no contenga al mismo tiempo uno de los valores más altos de volumen y
vice-versa. También es relativamente raro encontrar que los valores más bajos de
caudal no estén en una creciente que contenga valores bajos de volumen. Estas
aseveraciones generales pueden observarse para todas las cópulas obtenidas en
este estudio independientemente del tipo de muestreo, separación de flujo o estación.



Capítulo 4 Sección 4.4 Página 45

Figura 4.11: Relación de pares (Q,V )



Capítulo 4 Sección 4.4 Página 46

Cuadro 4.1: Medidas de dependencia para cada serie y estación

Tipo Flujo Muestra id ρ ρs τ λU λL

Total (V, max{Q}) 3103 0.844 0.823 0.648 0.562 0.499
Total (V, max{Q}) 3104 0.680 0.803 0.613 0.271 0.244
Total (V, max{Q}) 3105 0.718 0.794 0.596 0.322 0.009

Total (max{V}, max{Q}) 3103 0.850 0.800 0.626 0.533 0.688
Total (max{V}, max{Q}) 3104 0.650 0.689 0.509 0.278 0.354
Total (max{V}, max{Q}) 3105 0.692 0.780 0.591 0.166 0.359

Total (max{V},Q) 3103 0.822 0.738 0.557 0.533 0.551
Total (max{V},Q) 3104 0.652 0.648 0.495 0.278 0.364
Total (max{V},Q) 3105 0.667 0.749 0.540 0.166 0.000

Excedente (V, max{Q}) 3103 0.879 0.873 0.697 0.535 0.368
Excedente (V, max{Q}) 3104 0.789 0.864 0.696 0.503 0.102
Excedente (V, max{Q}) 3105 0.788 0.852 0.658 0.496 0.377

Excedente (max{V}, max{Q}) 3103 0.877 0.861 0.693 0.535 0.562
Excedente (max{V}, max{Q}) 3104 0.775 0.838 0.639 0.503 0.346
Excedente (max{V}, max{Q}) 3105 0.764 0.835 0.644 0.290 0.552

Excedente (max{V},Q) 3103 0.836 0.785 0.600 0.488 0.354
Excedente (max{V},Q) 3104 0.763 0.782 0.589 0.503 0.326
Excedente (max{V},Q) 3105 0.702 0.718 0.539 0.290 0.354

En el cuadro 4.1, se aprecian algunos de los resultados que corroboran las observa-
ciones efectuadas previamente acerca de las características de la dependencia entre
las variables. Otro detalle a notar en dicha tabla es que en general la dependencia
es mayor para máximos anuales de caudal que para máximos anuales de volumen;
es mayor para flujo excedente que para flujo total; y es mayor en la 3103 que en la
3104 y 3105. Además, con pocas excepciones (mayormente presentes en la estación
3105) se presenta una mayor dependencia en la cola superior que en la cola inferior
de la distribución.

Posteriormente a este análisis se realizaron algunas pruebas estadísticas para
determinar las características generales de las cópulas. En el cuadro 4.2 se observan
los resultados obtenidos representados en el valor p de cada prueba. En general se
puede decir que:



Capítulo 4 Sección 4.4 Página 47

Independencia (Ind): hay mucha evidencia para rechazar la hipótesis de que
las cópulas sean independientes.

Intercambiabilidad (Int): existe poca evidencia para indicar que las cópulas no
son intercambiables.

Intercambiabilidad dado que es Extrema (IntEv): dado que las cópulas sean
extremas existe muy poca evidencia para indicar que no sean intercambiables.

Simetría Radial (SimR) : existe muy poca evidencia para indicar que las cópulas
no sean simétricas.

Valor Extremo (VE):

• Para la estación 3103 hay poca evidencia indicando que alguna de las
cópulas podría no ser extrema.

• Para la estación 3104 , a excepción del caso de máximos de caudal pico
totales, no hay suficiente evidencia de que la cópula no sea extrema.

• Para la estación 3105 existe evidencia de que la cópula podría no ser
extrema en el caso de máximos de caudal pico y volumen tanto total como
excedente. Además, no se puede descartar la posibilidad de que la cópula
de máximos de volumen excedente no sea extrema.

Es importante indicar que estos resultados deben de considerarse sólo como informa-
ción adicional para la caracterización de la estructura de dependencia de las series.
Por el corto registro y las potenciales fuentes de error mencionadas con anterioridad
los resultados indicados en estos análisis no deben considerarse como definitivos.
Además, debido a la gran cantidad de pruebas de hipótesis no necesariamente
independientes que se realizan simultáneamente, la probabilidad de encontrar un
falso positivo para algún nivel de significancia sencillamente por el azar se vuelve no
despreciable como se indica en Bonferroni (1936).



Capítulo 4 Sección 4.4 Página 48

Cuadro 4.2: Pruebas estadísticas para cada cópula.

Flujo Muestra id Ind Int IntVE SimR VE
Tot. (V, max{Q}) 3103 0 1.000 0.508 0.647 0.907
Tot. (V, max{Q}) 3104 0 0.302 0.826 0.998 0.055
Tot. (V, max{Q}) 3105 0 0.996 0.750 0.999 0.304

Tot. (max{V}, max{Q}) 3103 0 0.902 0.264 0.955 0.670
Tot. (max{V}, max{Q}) 3104 0 0.686 0.850 0.993 0.158
Tot. (max{V}, max{Q}) 3105 0 0.904 0.587 0.550 0.003

Tot. (max{V},Q) 3103 0 1.000 0.487 0.995 0.800
Tot. (max{V},Q) 3104 0 0.869 0.699 0.999 0.198
Tot. (max{V},Q) 3105 0 0.999 0.785 1.000 0.508

Exc. (V, max{Q}) 3103 0 0.673 0.867 0.460 0.572
Exc. (V, max{Q}) 3104 0 0.191 0.581 0.951 0.535
Exc. (V, max{Q}) 3105 0 0.568 0.997 1.000 0.453

Exc. (max{V}, max{Q}) 3103 0 0.634 0.629 0.999 0.474
Exc. (max{V}, max{Q}) 3104 0 0.161 0.842 0.997 0.654
Exc. (max{V}, max{Q}) 3105 0 0.479 0.997 0.408 0.001

Exc. (max{V},Q) 3103 0 0.431 0.754 0.987 0.967
Exc. (max{V},Q) 3104 0 0.843 0.772 0.996 0.601
Exc. (max{V},Q) 3105 0 0.276 0.344 0.749 0.067
H0 :

Ind: Independencia
Int: Intercambiabilidad
IntVE: Intercambiabilidad dado que cópula es extrema
SimR: Simetría Radial
EV: de Valor Extremo

Habiendo descrito las características principales de las cópulas, se busca información
para saber si alguna familia en particular es poco apropiada para modelar la estructura
de dependencia que estas presentan. Para ello se realizan pruebas de bondad de
ajuste para tres familias de cópulas Gumbel,la t de valor extremo (tEV), Clayton,
Normal y t. Debido al tamaño de la muestra es de esperarse que no haya suficiente



Capítulo 4 Sección 4.4 Página 49

evidencia para rechazar las familias; en el cuadro 4.3 se muestra que solamente se
puede rechazar mediante esta prueba a la cópula Clayton.

Cuadro 4.3: Pruebas de bondad de ajuste para familias principales de cópulas.

Flujo Muestra id Gumbel tEV Clayton Normal t
Tot. (V, max{Q}) 3103 0.583 0.544 0.000 0.302 0.317
Tot. (V, max{Q}) 3104 0.201 0.151 0.002 0.600 0.236
Tot. (V, max{Q}) 3105 0.164 0.124 0.000 0.293 0.068

Tot. (max{V}, max{Q}) 3103 0.544 0.514 0.005 0.379 0.375
Tot. (max{V}, max{Q}) 3104 0.351 0.354 0.035 0.624 0.580
Tot. (max{V}, max{Q}) 3105 0.095 0.051 0.014 0.432 0.111

Tot. (max{V},Q) 3103 0.631 0.649 0.004 0.334 0.425
Tot. (max{V},Q) 3104 0.344 0.338 0.008 0.478 0.503
Tot. (max{V},Q) 3105 0.112 0.092 0.000 0.189 0.050

Exc. (V, max{Q}) 3103 0.340 0.267 0.001 0.115 0.056
Exc. (V, max{Q}) 3104 0.170 0.151 0.000 0.082 0.040
Exc. (V, max{Q}) 3105 0.325 0.269 0.000 0.429 0.174

Exc. (max{V}, max{Q}) 3103 0.462 0.440 0.003 0.376 0.327
Exc. (max{V}, max{Q}) 3104 0.267 0.223 0.000 0.188 0.113
Exc. (max{V}, max{Q}) 3105 0.166 0.127 0.006 0.571 0.355

Exc. (max{V},Q) 3103 0.591 0.497 0.002 0.280 0.198
Exc. (max{V},Q) 3104 0.366 0.271 0.000 0.284 0.183
Exc. (max{V},Q) 3105 0.286 0.244 0.032 0.584 0.537

Para poder medir, de las familias que no se pudieron rechazar, cuál de ellas modela
mejor los datos disponibles se aplica una prueba de calidad de modelo nx̂vn (según
Grønneberg y Hjort (2014)). Los resultados obtenidos muestran que en general la
estructura de dependencia de la estación 3103 está mejor representada por las
cópula Gumbel y tEV mientras que para el caso de las estaciones 3104 y 3105
en general la cópula Normal y t obtienen mejores resultados. Este es un resultado
realmente inesperado debido a que las series de datos provienen de máximos.

Al igual que en el caso de las pruebas de bondad de ajuste, es importante resaltar
que la mayoría de resultados de calidad de modelo no difirieron mucho unos de otros



Capítulo 4 Sección 4.4 Página 50

y que por el tamaño de la muestra algunos de los conjuntos de puntos atípicos y
potenciales errores de las series podrían estar afectando el resultado.

Un potencial problema con la elección de la cópula normal para la descripción de
la estructura de dependencia es que en la parte superior del régimen, que es la
que más interesa, podría sobrestimar la probabilidad de no excedencia de algunos
fenómenos debido a que λU = 0 en el caso límite en la cópula normal mientras que
para la cópula Gumbel λU = 2− 21/θ. Este resultado sería contraintuitivo puesto que
físicamente se espera que crecientes con altos caudales pico contengan volúmenes
altos al mismo tiempo. No son plausibles casos en los que tendiendo a valores muy
altos no haya asociación entre estas variables.

Por las razones anteriormente mencionadas y procurando escoger un modelo parsi-
monioso, se decide emplear la cópula Gumbel para todas las series analizadas. El
análisis anterior pone en evidencia que si bien, los recursos de pruebas estadísticas
y de calidad de modelo pueden guiar decisiones, también es necesario considerar
otros aspectos no explícitamente incluidos en los datos disponibles.



Capítulo 4 Sección 4.4 Página 51

Cuadro 4.4: Prueba de calidad de modelo nx̂vn para familias principales de cópulas.

Flujo Muestra id Gumbel tEV Normal t
Tot. (V, max{Q}) 3103 32.0 30.6 27.4 28.2
Tot. (V, max{Q}) 3104 20.0 19.8 24.5 24.5
Tot. (V, max{Q}) 3105 19.1 19.1 20.8 20.8

Tot. (max{V}, max{Q}) 3103 30.5 30.3 29.2 29.1
Tot. (max{V}, max{Q}) 3104 14.3 13.2 15.8 16.0
Tot. (max{V}, max{Q}) 3105 17.8 18.3 23.1 23.1

Tot. (max{V},Q) 3103 24.2 24.4 22.6 23.1
Tot. (max{V},Q) 3104 13.3 11.1 13.7 14.7
Tot. (max{V},Q) 3105 14.1 14.9 15.7 15.7

Exc. (V, max{Q}) 3103 35.5 35.8 36.2 36.2
Exc. (V, max{Q}) 3104 32.9 31.9 32.4 32.6
Exc. (V, max{Q}) 3105 27.6 27.7 30.1 30.1

Exc. (max{V}, max{Q}) 3103 35.6 35.4 35.4 37.3
Exc. (max{V}, max{Q}) 3104 27.7 27.7 28.4 28.4
Exc. (max{V}, max{Q}) 3105 25.7 25.6 31.6 31.6

Exc. (max{V},Q) 3103 24.9 25.1 24.6 24.6
Exc. (max{V},Q) 3104 22.6 23.4 22.3 22.3
Exc. (max{V},Q) 3105 17.2 17.3 18.6 18.2

4.4.2. Estimación de parámetros

Dado que se escoge la cópula Gumbel-Hougaard como la familia que se empleará
para caracterizar la dependencia, se procede a emplear distintos métodos para la
estimación del parámetro θ̂ que define el modelo. Como se indicó anteriormente, se
usarán como referencia los métodos asociados a τ , ρs y máxima pseudo-verosimilitud
(MPL). En el cuadro 4.5 se muestran los valores de θ̂ para cada uno de los métodos de
estimación. Además, se muestra el error estándar para cada una de las estimaciones.
Nótese que el error es relativamente bajo respecto a la magnitud del parámetro.



Capítulo 4 Sección 4.4 Página 52

Figura 4.12: Comparación entre valores de θ̂MPL

Distintas formas de estimación de los valores en general llevan resultados del pará-
metro y del error estándar similares entre sí. Además, como se observa en la 4.12, el
patrón mostrado por dichos parámetros es afín a lo indicado previamente respecto
al cuadro 4.1. Kojadinovic y Yan (2010) indican que, comparando los métodos de
momentos (ρs o τ ) y el método de MPL, el último presenta mejores resultados para un
número limitado de datos por sus características asintóticas. Por ello, se emplearán
los valores obtenidos a partir de esa metodología en los siguientes procedimientos.



Capítulo 4 Sección 4.4 Página 53

Cuadro 4.5: Estimación de cópula Gumbel.

Flujo Muestra id θ̂MPL θ̂τ θ̂ρ σ̂θMPL
σ̂θτ σ̂θρ

Tot. (V, max{Q}) 3103 2.923 2.842 2.750 0.477 0.495 0.464
Tot. (V, max{Q}) 3104 2.344 2.584 2.599 0.331 0.369 0.402
Tot. (V, max{Q}) 3105 2.249 2.474 2.541 0.285 0.323 0.353

Tot. (max{V}, max{Q}) 3103 2.791 2.675 2.580 0.477 0.476 0.427
Tot. (max{V}, max{Q}) 3104 2.003 2.035 2.021 0.255 0.318 0.319
Tot. (max{V}, max{Q}) 3105 2.169 2.445 2.451 0.314 0.335 0.392

Tot. (max{V},Q) 3103 2.429 2.255 2.230 0.414 0.375 0.344
Tot. (max{V},Q) 3104 1.947 1.979 1.886 0.243 0.331 0.290
Tot. (max{V},Q) 3105 1.965 2.173 2.280 0.283 0.250 0.269

Exc. (V, max{Q}) 3103 3.209 3.303 3.295 0.489 0.527 0.483
Exc. (V, max{Q}) 3104 3.121 3.293 3.167 0.525 0.571 0.529
Exc. (V, max{Q}) 3105 2.734 2.924 3.037 0.373 0.417 0.411

Exc. (max{V}, max{Q}) 3103 3.291 3.253 3.132 0.485 0.614 0.521
Exc. (max{V}, max{Q}) 3104 2.700 2.771 2.892 0.489 0.415 0.406
Exc. (max{V}, max{Q}) 3105 2.600 2.808 2.867 0.368 0.408 0.548

Exc. (max{V},Q) 3103 2.539 2.500 2.482 0.366 0.404 0.361
Exc. (max{V},Q) 3104 2.356 2.431 2.459 0.438 0.337 0.308
Exc. (max{V},Q) 3105 2.130 2.168 2.140 0.272 0.340 0.352

4.4.3. Comprobación visual

Con la cópula modelada para cada una de las series de máximos es valioso com-
probar visualmente el resultado obtenido. Una de las formas más fáciles y evidentes
de realizar dicha comprobación es mediante un gráfico donde se superpongan la