Contributions to the continuity problem for Lyapunov exponents

Abstract

O objetivo deste trabalho é estudar a continuidade e a semi-continuidade dos expoentes de Lyapunov em dois contextos diferentes. O primeiro diz respeito a cociclos lineares sobre dinâmicas parcialmente hiperbólicas. É sabido que os expoentes de Lyapunov podem ser muito sensíveis como funções do cociclo. Exemplo disto é o resultado de Bochi-Mañé que mostra que todo SL(2,R)-cociclo contínuo que não é uniformemente hiperbólico pode ser aproximado por outro com expoentes nulos. Mostrarei que o conjunto dos SL(2,R)-cociclos “fiber-bunched”; com expoente de Lyapunov não nulos, sobre um difeomorfismo parcialmente hiperbólico, é um aberto. Este é um trabalho conjunto com Lucas Backes e Mauricio Poletti.

O segundo tipo de resultados trata de expoentes de Lyapunov de cociclos localmente constantes associados a distribuções de probabilidade com suporte não compacto emSL(2,R). Bocker-Viana provaram que, para distribuições com suporte compacto, os expoentes variam continuamente. Analizarei o comportamente dos expoentes de Lyapunov quando as medidas têm suporte não compacto, mostrando que neste caso tem-se semi-continuidade com a topologia de Wasserstein, mas não na topologia fraca*. Além disso, não há continuidade mesmo na topologia de Wasserstein.

The aim of this work is to study the continuity and semi-continuity of the Lyapunov exponents in two different contexts. The first one concerns linear cocycles on partially hyperbolic dynamics. It is known that the Lyapunov exponents can be very sensitive as functions of the cocycle. Example of this is the result of Bochi-Mañé which shows that every SL(2,R)-cocycle that is not uniformly hyperbolic can be approximated by another with zero exponents. We prove that the set of fiber-bunched SL(2,R)-valued Hölder cocycles with nonvanishing Lyapunov exponents over a volume preserving, accessible and center-bunched partially hyperbolic diffeomorphism is open. Moreover, we present an example showing that this is no longer true if we do not assume accessibility in the base dynamics. This is a joint work with Lucas Backes and Mauricio Poletti.

In the second part of this work we will restrict our attention to the study of llocally constant cocycles associated with probability distributions with non-compact support in SL(2,R). Bocker-Viana proved that for distributions with compact support, the exponents vary continuously. We analyze the behavior of the Lyapunov exponents when the measures are not compact, showing that in this case, the Lyapunov exponents, considered as functions of the measure, are semi-continuous with respect to the Wasserstein topology but not the weak* topology. Moreover, we prove that they are not continuous relative to the Wasserstein topology.

El objetivo de este trabajo es estudiar la continuidad y la semi-continuidad de los exponentes de Lyapunov en dos contextos diferentes. El primero trata sobre los cociclos lineales con base dinámica parcialmente hiperólica. Es conocido que los exponentes de Lyapunov pueden ser muy sensibles como funciones de los cociclos. Ejemplo de esto es el resultado de Bochi-Mañé que muestra que todo cociclo SL(2,R) contínuo que no es uniformemente hiperbólico puede ser aproximado por otros con exponentes nulos. Mostraremos que el conjunto de los cociclos “fiberbunched”; con exponente de Lyapunov no nulos, sobre un difeomorfismo parcialmente hiperbólico, es un abierto. Este es un trabajo conjunto con Lucas Backes y Mauricio Poletti.

El segundo tipo de resultado trata de exponentes de Lyapunov de cociclos localmente constantes asociados a distribuciones de probabilidad con soporte no compacto en SL(2,R). Bocker-Viana probaron que, para distribuciones con soporte compacto, los exponentes varían continuamente. Analizaremos el comportamiento de los exponentes de Lyapunov cuando las medidas tienen soporte no compacto, mostraremos que en este caso se tiene semi-continuidad con la topología de Wasserstein, pero no respecto a la topología débil*. Además, no hay semi-continuidad aún con la topología de Wasserstein.