GNM-NIPALS: general nonmetric-nonlinear estimation by iterative partial least squares

Abstract

This paper develops GNM-NIPALS as an extension of the NM-PLS methods, which allows to quantify the qualitative variables of mixed data, by means of the reconstitution function using the first k principal com- ponents, maximizing the inertia in the plane k subspace associated with the PCA of the quantified matrix. It generalizes the NM-NIPALS algo- rithm in the sense that the latter only uses the first principal component in the quantification of qualitative variables. From the maximization and positivity of the correlation ratio between each qualitative variable and the reconstituted function, we have that the accumulated inertia on the k- dimensional subspace associated to the quantification function of the same range is greater than or equal to the one generated on subspaces of equal dimension, but with quantification functions of different range. With the k principal components associated to the quantified matrix, a saturated in- ertia analysis is performed to evaluate if a dimension k∗< k still exists, from which the accumulated inertia on the axes of equal or superior order is already explained, in which case the definitive quantification function is of lesser range (k∗).

En este trabajo se desarrolla GNM-NIPALS para formar parte de los métodos NM-PLS, el cual permite cuantificar las variables cualitativas de una matriz de datos mixtos mediante una función lineal de k componentes principales, tipo reconstitución, maximizando la inercia en el plano k- dimensional asociado al ACP de la matriz así cuantificada. Es entonces una generalización del algoritmo NM-NIPALS que usa solo la primera componente principal en la cuantificación de variables cualitativas. De la maximización y positividad de la razón de correlación entre cada variable cualitativa y la función reconstituida, se tiene que la inercia acumulada en el plano k-dimensional asociado a la función de cuantificación del mismo rango, es mayor o igual que la generada en planos de igual dimensión pero con funciones de cuantificación de diferente rango. Con las k componentes principales asociadas a la matriz así cuantificada, se desarrolla el análisis de inercia saturada para evaluar si aún existe una dimensión k∗< k, a partir de la cual la inercia acumulada en los ejes de orden igual o superior ya esta explicada, caso en el cual la función de cuantificación definitiva es de rango menor (k∗).